POLOŽAJ I IMPULS
U prethodnim poglavljima smo uveli operatore za poziciju i impuls, i pokazali kako se oni koriste za
izračunavanje očekivanih vrednosti i neodređenosti, ali nismo eksplicitno razmatrali svojstvene vrednosti
i svojstvene funkcije ovih operatora. Ovde ćemo to učiniti tako to ćemo da posmatramo česticu koja se
kreće u jednoj dimenziji. Označićemo svojstvenu funkciju čestice, sa svojstvenom pozicionom vrednošću
, sa
, a svojstvenu funkciju za česticu sa svojstvenom vrednošću impulsa , sa
.
SVOJSTVENA FUNKCIJA POZICIJE
Svojstvena jednačina pozicije zadovoljava jednačinu svojstvenih vrednosti :
, koju imajući u vidu da je
možemo napisati i u obliku
Ova jednačina ovako napisana, je moguća samo u slučaju da je
beskonačnim pikom u
. Takva funkcija se obično piše u obliku :
veoma čudna funkcija sa
, gde je
Dirakova Delta funkcija. Dirakova delta funkcija se može smatrati graničnim slučajem
većine ponatih funkcija. Na primer funkcija :
, se ponaša slično Dirakovoj delta funkciji pošto postaje sve uža i viša kako
osobina Dirakove delta funkcije je da, za svaku funkciju važi :
. U stvari, definicija
Ova definicija je zadovoljena za
za
, zato što kada uzmemo u obzir ovo ograničenje,
funkcija postaje sve veća i veća u blizini
a površina koju zaklapa teži jednici. Svojstvena funkcija
pozicije, slično onima za bilo koju drugu opservablu, formira kompletan set baznih funkcija. Konkretno,
bilo koja talasna funkcija
može biti napisana u obliku :
, gde je
verovatnoća amplitude pozicije, tj
je verovatnoća pronalaska čestice
između x’ i x’+dx’ u trenutku t. Ako iskoristimo jednačinu (16.6) nalazimo da je :
Ova jednačina potvrđuje pretpostavku koju smo ranije uveli da talasna funkcija
verovatnoću amplitude za poziciju.
predstavlja
SVOJSTVENA FUNKCIJA IMPULSA
Svojstvena funkcija čestice sa svojstvenom vrednošću impulsa p’,
, koju možemo napisati, koristeći izraz
, zadovoljava jednačinu :
na sledeći način :
, koja ima rešenje u obliku :
Kao što smo i očekivali, svojstvena funkcija sa impulsom p’ je ravni talas, sa talasnim brojem
sa talasnom dužinom
. Konstanta
i
je korisna konvencija koja osigurava da se svojstvene
funkcije impulsa i pozicije pokoravaju sličnim normalizacionim uslovima. Pošto svojstvena funkcija
impulsa formira kompletan set baznih funkcija svaka talasna funkcija može biti napisana u obliku :
, gde je funkcija
verovatnoća amplitude impulsa, dok je
verovatnoća da će
izmereni impuls čestice u trenutku t biti između p’ i p’+dp’. Ako iskoristimo jednačinu (16.11) dobijamo :
, koja i pored razlika u notaciji , je identična relaciji :
, koja je uvedena u ranijim poglavljima kada smo pravili pretpostavku da Furieova transformacija talasne
funkcije
je verovatnoća amplitude impulsa. Sada vidimo da je ta pretpostavka bila ispravna.
NORMALIZACIJA DELTA FUNKCIJE
Problem normalizacije svojstvenih funkcija impulsa i pozicije se javlja zato što obadve imaju kontinualne
svojstvene vrednosti. Ako jednačinu (16.6) iskoristimo zajedno sa definicijom Dirakove delta funkcije,
onda jednačina (16.7) daje :
Pošto je delta funkcija jednaka nuli za
i beskonačna za
, zaključujemo da svojstvene
funkcije pozicije su međusobno ortogonalne ali da ne mogu biti normalizovane na jedinicu. Na sličan
način, koristeći Furieove transformacione tehnike, može se pokazati da svojstvene funkcije impulsa
zadovoljavaju uslov :
Dakle, svojstvene funkcije impulsa su takođe međusnobno ortogonalne ali ne mogu biti normalizovane
na jedinicu. Prisetimo se da talasna funkcija mora biti normalizovana na jedinicu ako opisuje česticu koja
se uvek može negde naći. Stoga, striktno govoreći svojstvene funkcije date sa (16.6) i (16.11) ne mogu
biti korišćene da opišu fizički prihvatljive talasne funkcije. Međutim normalizovana talasna funkcija može
biti formirana koristeći linearnu superpoziciju ovih svojstvenih funkcija, pa su ove talasne funkcije grupa
talasa koja se može koristiti za opisivanje čestica sa veoma malim neodređenostima u položaju i impulsu.
Konačno, treba imati na umu da se upotreba delta funkcija može izbeći zamišljanjem čestice u kutiji
velikih dimenzija. Kada se usvoji ovaj pristup, normalizacija svojstvenih funkcija impulsa i položaja može
biti napravljena.
Download

(PDF, 307KB)