DOĞRUSAL
ZAMAN SERİSİ
MODELLERİ
Durağan ARIMA Modelleri:
Otoregresiv Modeller
AR(p) Süreci
Tek Değişkenli Zaman Serisi Modelleri
Ekonomik verilerin analizi ile ekonomik değişkenlerin
gelecekte
alabilecekleri
değerleri
kestirimini
amaçlanmaktadır.
Geleneksel ekonometrik model kurmadaki aşamalar:
1. Ekonometrik Modelin Formüle Edilmesi
2. Veri Toplama
3. Modelin Parametrelerinin Tahmini
4. Çıkarsama ve Önraporlama
26.03.2014
2
DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ
• Zaman serisi verisi analizlerinde model kurmak yerine
serinin kendisi analiz edilir.
• Ekonomik değişkeni meydana getiren değerler
dizisinin iç dinamikleri araştırılır.
• Bu iç dinamikleri ortaya çıkaran istatistiksel model
zaman serisi modeli olarak adlandırılmaktadır.
26.03.2014
3
DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ
• Bu iç dinamikleri ortaya çıkaran istatistiksel model
zaman serisi modeli olarak adlandırılmaktadır.
• Zaman serisi modelleri analizi iktisadi teori ile
başlamaz.
• Zaman serisi modeli serinin kendi değerlerini dikkate
alarak gelecekteki değerleri hakkında bilgi verir.
26.03.2014
4
DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ
• Önraporlama
amacıyla
bir
zaman
kullanılacaksa şu hususlara dikkat edilmelidir.
serisi
 Kısa dönemi önraporlamak
 Önrapor için çok kısa süreye ihtiyaç duyulması
 Önraporu yapılacak zaman serisi için yeterince
gözlem bulunması
26.03.2014
5
DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ
Zaman serisi modeli
Yt = f (Yt-1, Yt-2, ……, et, et-1, et-2,……)
Fonksiyonel
Form
Gecikme
Yapısı
Kalıntı Terimleri
Yapısı
26.03.2014
6
Otoregresif Süreç: AR(p)
• Bir ekonomik değişkenin geçmiş değerlerinin
içerdiği bilgiye dayanarak gelecek değerleri hakkında
önraporlama yapılabilir.
• Ekonomik değişkenin geçmişini yansıtan bilgi
yalnızca kendi değerlerine göre modellenirse
otoregresif süreç sözkonudur.
26.03.2014
7
AR Süreci için bir örnek
Bir limonata satıcısı olduğunuzu ve her saat beşbardak
limonata sattığınızı düşünürseniz. Eğer siz limonata
sattığınız yeri kapatmak ve limonata bittiği için satmaktan
vazgeçmek istemiyorsanız, her saat başına tükenen
limonata yerine yeni limonata doldurmanız gerekir.
Böylece her saat beş bardak limonata satılsa da siz her
zaman yerine yenisini ilave ettiğinizden siz bir kaza
geçirmediğiniz sürece asla limonata satışınızda bir aksama
olmaz. Bu bir otoregresif süreci tarif eder. Çünkü daha az
ya da daha fazla limonata satmanız şeklinde bir şok belli
bir saatteki limonata seviyesini etkiler.
26.03.2014
8
p. Derece Otoregresif Süreç
Yt =  + 1Yt-1+ 2Yt-2 +……,+ pYt-p+et
 : Sabit terim olup stokastik süreç olan Yt’nin
ortalamasıdır.
’ler : Bilinmeyen ototregresif parametreler
et : Ortalaması sıfır, sabit varyanslı;  otokorelasyonsuz
rassal değişkendir.
2
e
26.03.2014
9
AR(1) Süreci
• Birinci derece otoregressif süreç
Yt=  + 1Yt-1 + et
-1 < 1 < +1
• Zaman serileri analizi, ilgilenilen değişkenin yani
Yt’nin
-ortalama,
-varyans
-kovaryansının
hesaplanmasıyla başlar.
26.03.2014
10
AR(1) Süreci
• Geçmiş ve gelecekteki rassal değişkenler örneklem
gözleminde (Y1, Y2,….,Yt) olduğu gibi aynı olasılık
yoğunluk fonksiyonunu takip eder.
• Bir değişken tüm dönemlerde aynı olasılık
fonksiyonuna sahipse, bu değişkenin geçmiş ve
gelecek değerlerine bakılmaksızın aynı ortalama ve
varyansa sahip oldukları varsayılır.
26.03.2014
11
AR(1) Süreci
• Yt ve Yt-s arasındaki kovaryans zamana değil, bu iki
rassal değişken arasındaki s sayıdaki öncül yada
gecikmeye bağlıdır.
• Bu ise geçmişe dayanarak geleceği öngörmek için
önemli bir varsayımdır.
• Yt =  + 1Yt-1 + et
et ~IID(0,2)
26.03.2014
12
AR(1) Sürecinin Ortalaması
E(Y) =E( + 1Yt-1 + et)
= E( + 1Yt-1 ) + E(et)
= E( + 1Yt-1 )
 =  + 1 
 - 1  = 


1  1
26.03.2014
13
AR(1) Süreci
• Otoregresif parametrenin değeri | 1| <1 ise süreç
durağandır.
• 1 =1 ise serinin varyansı sabit olmaz ve zamanla
büyür.
•  =0 ise Yt‘nin ortalaması  = 0’dır. Bu durum seriyi
ortalamadan sapmalar cinsinden tanımlamakla
özdeştir. Yani (Yt -  )’a ulaşırız.
26.03.2014
14
AR(1) Sürecinin Varyansı
•  = 0 olarak varsayılsın. Bu durumda AR(1) denklemi:
Yt = 1Yt-1 + et
2

Var(Yt) = Y  Var(1Yt-1 +et)
  Var (Yt 1 )  Var (et )
2
1
 12    e2  
0
0
2

 2Y  e 2   0
1  1
26.03.2014
15
AR(1) Sürecinin Kovaryansı
Cov(Yt, Yt-1)= E { [Yt – E(Yt)] [Yt-1 – E(Yt-1)] }
E(Yt)= 
E()= 0
= E(Yt Yt-1)
= E[( Yt-1+ et) Yt-1]
= E[ Yt-12+ etYt-1]
=  E(Yt-12) + E [etYt-1]
= 1Y2
26.03.2014
16
AR(1) Sürecinin Kovaryansı
Bu kovaryans bütün rassal değişkenler için aynıdır.
Cov(Yt-1, Yt-2)= E(Yt-1 Yt-2)= 1Y2
2


E(Y
Y
)=
Cov(Yt-2, Yt-3)=
1 Y
t-2 t-3
26.03.2014
17
t=2 için kovaryans
Cov(Yt, Yt-2)= E {[Yt – E(Yt)] [Yt-2 – E(Yt-2)]}
=
=
=
=
0
0
E(Yt Yt-2)
E[( Yt-1+ et) Yt-2]
E[ Yt-1 Yt-2 + etYt-2]
 E(Yt-1 Yt-2) + E [etYt-2]
0
= 1(1Y2)
= 12Y2
26.03.2014
18
t=k için kovaryans
k = Cov(Yt, Yt-k)= 1k Y2
Yt’nin varyansı
0 = Cov(Yt, Yt)= Y2 =(e2)/(1- 12)
k = 1 k-1= 1kY2= 1k0
•Yt ve Yt-k arasındaki kovaryans zamana bağlı değildir.
26.03.2014
19
Korelasyon Katsayısı
•Kovaryanslar Yt’nin ölçü birimlerine bağlı olduğundan
yorum problemi ile karşılaşılır.
•Bu durumu aşmak için Yt ve Yt-k arasındaki
korelasyon hesaplanır.
Cor  Yt ,Yt k  
rk =
rk =
cov  Yt , Yt  k 
V ar  Yt  Var  Yt  k 
Yk
Y0
k  0,  1, 2,...
26.03.2014
20
Otokorelasyon Fonksiyonu
•Otokovaryans ve otokorelasyon katsayıları sıfır
gecikme civarında simetriktirler: r-k = rk
•Bu nedenle de yalnızda pozitif gecikmeleri dikkate
almak yeterlidir.
•AR (1) süreci için otokorelasyon katsayısını
tanımlayan
rk=Фrk-1= Ф1k
k=1,2,…
ifadesi serinin otokorelasyon fonksiyonu olarak (ACF)
bilinir.
26.03.2014
21
Ф1’nin Etkisi
• Ф1 sıfıra yakın değerler aldıkça ortalamayı sıkça
keser.
• Ф1 bire yakın değerler aldıkça ortalamayı daha az
sayıda keser.
• Ф1≥ 1 olursa patlayan seri ile karşılaşılır.
• Ф1= 1 olduğunda temiz – dizi söz konusudur.
26.03.2014
22
AR(1) Modeli ACF ve PACF GRAFİKLERİ
 Uygulamalarda PACF grafiğinin sadece ilk
gecikmesine ait ilişki miktarı istatistiksel
olarak önemli ise, yani güven sınırını aşıyorsa
ve ACF grafiğindeki ilişki miktarları gecikme
sayısı arttıkça yavaş yavaş azalıyorsa seriye
en uygun model AR(1) modelidir.
26.03.2014
23
AR(1) Modeli ACF ve PACF GRAFİKLERİ
24
26.03.2014
25
26.03.2014
26
AR (2) Sürecinin Özellikleri
•AR(1) zaman serisi modelleri bir çok ekonomik zaman
serisini tasvir eder.
•Ancak konunun teorik yapısı için AR(2) süreci ile
genel hal olan ve AR(p) süreci açıklanacaktır.
26.03.2014
27
AR (2) Sürecinin Özellikleri
Yt = +Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et
et ~IID(0,2)
E(Yt) = E(+Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et)
= E()+Ф1E(Yt-1)+ Ф2E(Yt-2)+E(et)
= +Ф1μ+ Ф2μ
veya

E(Yt) = μ =
1  1  2
26.03.2014
28
AR (2) Sürecinin Özellikleri
AR (2) sürecinin durağan olması için Ф1 ve Ф2
Ф1 + Ф2 < 1
Ф2 – Ф1 < 1
|Ф2| < 1
olmalıdır.
26.03.2014
29
AR (2) Sürecinin Özellikleri
 = = 0 varsayılarak Yt’nin varyans ve kovaryansı
E(Yt2) = E[YtYt]
= E [Yt ( Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et ) ]
0 = Ф11+ Ф22+ e2
E(Yt-1Yt) = E [ Yt-1 ( Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et ) ]
1 = Ф10+ Ф21
E(Yt-1Yt) = E [ Yt-2 ( Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et ) ]
2 = Ф11+ Ф20
26.03.2014
30
AR (2) Sürecinin Özellikleri
Genel olarak k ≥ 2 için
E(Yt-kYt) = E [ Yt-k ( Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et ) ]
k =
Ф1k-1+ Ф2k-2
yazılabilir.
0, 1 ve 2 eşitliklerini eş anlı olarak çözüp
Ф1, Ф2 ve e2 terimleri cinsinden 0 değeri
elde edilebilir:
26.03.2014
31
AR (2) Sürecinin Özellikleri
1 = Ф10+ Ф21
φ1γ 0
γ1 =
1-φ 2
2 eşitliğini 0 eşitliğinde yerine yazıp düzenleyelim:
2
Ф

+
Ф
(Ф

+
Ф

)
+

 0= 1 1
2
1 1
2 0
e
 0= Ф11+ Ф2 Ф11 + Ф2 20 + e2
1 eşitliğini yukarıdaki eşitlikte yerine yazalım:
 γ  γ
γ0 =
+
+2 2 γ 0 +σe 2
1-2
1-2
2
1 0
2
2 1 0
26.03.2014
32
AR (2) Sürecinin Özellikleri
γ0 =
2
1
σ
 2 e
2

1+2  1+2   12 
Otokovaryanslar arasındaki ilişkiler aşağıdaki gibi ifade
edilebilir:
 1= Ф10+ Ф2 1
 2= Ф11+ Ф2 0
26.03.2014
33
AR (2) Sürecinin Özellikleri
Otokovaryanslar arasındaki ilişkilerin benzeri
otokorelasyon katsayıları için de elde edilebilir.
r 1= Ф1+ Ф2 r 2
r 2= Ф1 r 1 + Ф2
Bunların çözümü yapılırsa:
r 1= Ф1 / (1 - Ф2 ) ve r 2= Ф2 + (Ф1 2) / (1 - Ф2 )
Elde edilir.
26.03.2014
34
AR (2) Sürecinin Özellikleri
AR(2) süreci için otokorelasyon fonksiyonu:
r k= Ф1 r k-1 + Ф2 r k-2
k =3,4,…
 Ф1 ve Ф1 değerleri sıfıra yaklaştıkça saçılım çok sık
ortalamayı keser.
 Ф1 ve Ф1 değerleri bire yaklaştıkça saçılım daha az
olarak ortalamayı keser.
26.03.2014
35
AR(2) Modeli ACF ve PACF Grafikleri
 Uygulamalarda AR(2) modelinin seriye en
uygun model olarak belirlenebilmesi için ACF
grafiğinde ilişki miktarları yavaş yavaş
azalırken PACF grafiğinde ilk iki gecikmeye
ait ilişkilerin önemli olması, ikinci gecikmeden
sonra da ilişkilerin önemsiz hale helmesi, yani
güven sınırlarını geçmemesi gerekmektedir.
26.03.2014
36
AR(2) Modeli ACF ve PACF Grafikleri
37
26.03.2014
38
26.03.2014
39
26.03.2014
40
26.03.2014
41
AR (p) Sürecinin Özellikleri
Yt =  + Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+ … + ФrYt-r+et
 Bu modelde denklemin sağında yer alan değişkenler
rassaldır.
 Cor (et,es) = 0 olduğu içim Yt’nin gecikmeli değerleri
ile korelasyonsuz olacaktır.
 Bu modelde EKKY kullanılarak tutarlı bir tahmin
üretilebilir.
 Otoregresif süreç durağan ise ortalaması μ ile
gösterilir ve zamanla değişmez.
26.03.2014
42
AR (p) Sürecinin Özellikleri
E(Yt) = E(Yt-1)= ….=
E(Yt-r)= μ
μ= +Ф1 μ+ Ф2 μ+…+ Фr μ
μ=
() / (1- Ф1 - Ф2 +…+ Фr )
 Süreç durağan ise μ sonludur.
 Bu durumda
Ф1 + Ф2 +…+ Фr < 1
olur. Ancak bu durağanlığı sağlamak için yeterli koşul
değildir.
26.03.2014
43
AR (p) Sürecinin Özellikleri
 μ sonlu değilse, süreç herhangi bir referans
noktasından daha uzağa kayar.
 Bu durumda süreç durağan değildir.
 Ф1=1, μ= ∞ ve >0 olduğu için kayan rassal süreç
sürekli yukarıya doğru kayma eğilimindedir.
26.03.2014
44
AR (p) Sürecinin Tahmini
Zaman serisi sürecinin gözlenen değerlerinin
tamamını aşağıdaki biçimde ifade edebiliriz:
Yp+1 =  + Ф1Yp+ Ф2Yp-1+ … + ФrY1+ep+1
Yp+2 =  + Ф1Yp+1+ Ф2Yp+ … + ФrY2+ep+2
…
YT =
…
 + Ф1YT-1+ Ф2YT-p+ … + ФrYT-p+eT
Bu denklem sisteminin matris notasyonunda gösterimi:
26.03.2014
45
AR (p) Sürecinin Tahmini
y = Xβ+e
y = (Yp+1, Yp+2, … , YT)
e  = (ep+1, ep+2, … , eT)
β  = ( , Ф1, Ф2, … , Фp)
1

1

X


 1
YP
YP 1
YP 1
YP
YT 1 YT  2
Y1 
Y2 


Yt  p 
26.03.2014
46
AR (p) Sürecinin Tahmini
βˆ’nın en küçük kareler tahminci
ˆβ=  XX 1 Xy
βˆ’nın kovaryansı

cov βˆ = σe  XX 
2
1
σe 
2

ˆ  y  Xβˆ
(y  Xβ)
 T  2p  1

AR(p) sürecinin ortalaması ’nün tahmincisi
δˆ
ˆ
μ=
1-φˆ 1  φˆ 2   φˆ p
26.03.2014
47
Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu
AR sürecinin derecesinin belirlenmesinde:
• p değerlerini arttırarak ilave parametreli yeni bir AR
sürecini tahmin edilir.
•İlave edilen yeni parametrenin anlamlılığı test edilir.
Yada AR sürecinin derecesinin belirlenmesinde kısmi
otokorelasyonlardan faydalanılır.
pp p.dereceden bir AR sürecinin kısmi otokorelasyon
katsayısını göstersin.
26.03.2014
48
Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu
Bu katsayı Yt-1, Yt-2, …, Yp-t+1’in etkilerini
hesapladıktan sonra Yt ile Yt-p arasındaki korelasyonu
ölçer.
Yt =  + Ф1Yt-1+et
Yt =  + Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et
tk 
φˆ kk
1 T 
12

Tφˆ kk
26.03.2014
49
AR(p) Modeli ACF ve PACF Grafikleri
ve AR(2) modelinin özelliklerine
bakarak AR(p) modeli için ACF grafiğindeki
ilişkiler yavaş yavaş azalırken PACF
grafiğindeki ilk p gecikmeye ait ilişkiler önemli
p’inci gecikmeden sonraki ilişkilerin de
önemsiz olduğu söylenebilir.
 AR(1)
26.03.2014
50
12 gecikme için AR(1) ,φ1= 0.6
12 gecikme içinAR(1), φ1 = −0.7
26.03.2014
53
26.03.2014
54
26.03.2014
55
26.03.2014
56
26.03.2014
57
26.03.2014
58
26.03.2014
59
Download

Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller