URSI-TÜRKİYE ’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Kesir Dereceli Sallen Key Filtrelerin Tasarımı ve Analizi
Özkan ATAN, Mustafa TÜRK *
Yü züncü Yıl Üniversitesi
Elekt ronik Haberleşme Teknolo jileri Bölü mü
Erciş, VA N
[email protected]
*Fırat Üniversitesi
Elekt rik Ele ktronik Mühendisliği Bö lü mü
Merkez, Elazığ
[email protected]
Özet: Bu çalışmada, haberleşme sistemlerinde kullanılan ve aktif bir filtre türü olan Sallen Key filtresi, kesir
dereceli olarak tasarlandığında sağladığı avantaj ve dezavantajların ortaya kon ması amaçlanmıştır. Opamp’ın
performansına daha az bağlı davranış sergiledikleri için uygulamada oldukça sık karşımıza çıkan Sallen -Key
tipi filtrenin yapısında bulunan kapasite elemanlarının yerine, kesir dereceli kapasite elemanı kullanılmıştır. Bu
yöntemle oluşturulan filtrenin karakteristiği ve kesir derecesinin etkisi analiz edilmiştir. Ayrıca kesir dereceli
Sallen Key filtresinin devre modeli oluşturularak devrenin uygulamada göstereceği davranışlar bu model
üzerinde gözlenmiştir.
1. Giriş
Kesir dereceli sistemler (KDS) 16yy’da Leibniz’in, L'Hôpital’a göndermiş olduğu mektupla ortaya atılmış ve
sonraki yıllarda da bu alanda çalış malar sürmüştür [1-2]. Sistem derecesinin herhangi bir reel sayı o lması
durumu olarak bilinen KDS’in mühendislik uygulamaları üzerine son yıllarda b irço k çalış ma yapılmaktadır [36]. KDS’in elektrik mühendisliği alan ında uygulamaları ise kesir dereceli devre elemanların ın veya KD devre
modellerinin gerçekleştirilmesi üzerinde çalış malar sürdürülmektedir [7-10]. Bunlardan biride kesir dereceli
filtreler ü zerine yapılan çalışmalar olmuştur [11-12].
Filtreler haberleş meden ilet im hatlarına kadar elektrik mühendisliğin in her aşamasında yaygın olarak
kullanılmaktadır. Filtreler içinde en yaygın olarak bilinen model Sallen -Key filtresidir. Sallan Key filtresi1955
R. P. Sallen ve E. L. Key tarafından bulunmuştur. Bu tip bir filtrede ku llan ılan iki adet kapasite elemanın ın kesir
dereceli fractor eleman kullanılmasıy la kesir dereceli Sallen Key fitlere modeli elde edilir.
Bu çalışmada kesir dereceli devre modeli kullanılarak oluşturulan Sallen Key filt renin davranışı incelen miştir.
Sallen Key filtren in devre modeli ve transfer fonksiyonu modelinden yararlanılarak filtren in davranışı
incelen miştir.
2. Kesir Dereceli Sistemler
KDS birçok farklı çözü m tekniğ ine sahiptir. Bu teknikler; Grunwald– Letnikov (GL) yöntemi,(Denklem 1) ve
Riemann–Liouville (RL) yöntemi (Den klem 2) [1-2].
1 [( t a ) / h] (  k )
f ( x  kh)

h  ( )h
(k  1)
k 0

a Dt f (t )  Lim

a Dt f (t ) 
1
d
 
(m   )  dt 
mt
f ( )
 (t   )
1 ( m  )
d
(1)
(2)
a
Bir başka yöntem ise Laplace dönüşüm yöntemidir. Laplace dönüşümkesir dereceli sistemlerin nümerik
çözü mleri için kullanılır [2]. Başlangıç değeri sıfır olarak alındığında, KDS Denklem 3 gibi ifade edilir.
 d  f (t )  
L
 s F (s)
 
 dt 
R
(3)
URSI-TÜRKİYE ’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
3. Kesir Dereceli Sallen Key Filtreleri
Klasik Sallen Key t ipi filtre iki kondansatör bir Opamp kullanılarak oluşturulmuştur. Bu çalış mada analizi
gerçekleştirilen kesir dereceli alçak geçiren Sallen Key filtre ise Şekil 1’de gösterildiği gibi bir yapıya sahiptir.
Bu devre şemasında ki devre eleman larının değeri Tablo 1’de verilmiştir. Bu eleman lara göre s istemin transfer
fonksiyonu Denklem 4 de verilmiştir.
C
R1
C
µ
µ
R2
Vgiris
Vcık
µ
C
R4
R3
Vin
vo
Şekil 1Kesir dereceli alçak geçiren Sallen Key filtresi
Tablo 1. Kesir dereceli alçak geçiren Sallen Key filtre devresi
Devre Elemanı
Değeri
R1
100kΩ
R2
10kΩ
R3
1kΩ
R4
1kΩ
F
1µF
µ
1.0-1.2
T ( s) 
Ra  Rb
R1 R2C2 s 2   ( R1  R2 ) Ra C  ( Ra  1) R1C  s   Ra
(4)
Bu transfer fonksiyonuna göre filtrenin bode diyagramı Şekil 2’de gösterilmiştir. Burada kesir derecesinin
değişiminin bode diyagramı üzerindeki etkisi görülmektedir. Kesir derecesinin değişiminin band genişliği ve
kesim frekansı üzerindeki etkisi görü lmektedir.
Devrenin Mult isim 11 devre simülsayonu programında oluşturulan modelinde devrenin bode diyagramı Şekil
3’de gösterilmektedir. Bu devre modelinde kesir derecesi 1.2 olduğu durumda sistemin frekans cevabı
gösterilmektedir.
Şekil 2. Farklı kesir Derecesine sahip Sallen Key filtersinin frekans cevabı
URSI-TÜRKİYE ’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Şekil 3. µ=1.1 o lması duru munda kesir dereceli Sallen Key filtren in frekans cevabı
4. Sonuç
Bu çalışmada kesir dereceli Sallen Key tipi alçak geçiren filtre tasarımı yapılmıştır. Literatürde, kesir dereceli
devre modelinden yararlanılarak filtrenin devre modeli tasarlan mıştır. Filtrenin farklı kesir derecesine sahip
olması duru munda filterenin kutupların ın ve band genişliğinin değiştiği gö zlen miştir. Filtrenin tasarlanan devr e
modelinden µ=1.1 olması duru munda frekans cevabının benzer şekilde davrandığı gözlen miştir. İki şekil
arasında ki fark, devre modelinde bulunan eleman larının tolerans ından kaynaklandığı düşünülmektedir.
Kaynaklar
[1]. Podlubny I., Fractional Differentia l Equations. Academic Press, New Yo rk, U.S.A.,1999.
[2]. Miller KS., ve Ross B., An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations.
Wiley, New Yo rk, U.S.A., 1973.
[3]. Atan, O., Turk M., ve Tuntaş R., "Fract ional Order Controller Design for Fractional Order Chaotic
Synchronization", International Journal of Natural & Engineering Sciences , 7(3), s.71-77, 2013.
[4]. Hegazi, A.S., Ahmed, E., ve Matouk, A.E., "On chaos control and synchronization of the commensurate
fractional order Liu system", Co mmun ications in Nonlinear Science and Numerical Simu lation, 18(5), s.11931202, 2013.
[5]. Aghababa, M.P., "A novel terminal slid ing mode controller for a class of non -autonomous fractional-order
systems", Nonlinear Dynamics, 73(1-2), s.679-688, 2013.
[6]. Rad wana, A.G., Moaddyb, K., Salamac, K.N., Moman id, S., ve Hashimb, I., "Control and switching
synchronization of fract ional order chaotic systems using active control technique", Journal of Advanced
Research, 5(1), s.125-132, 2014.
[7]. Jia, H.Y., Chen, Z.Q., ve Qi, G.Y., "Chaotic Characteristics Analysis and Circuit Imp lementation for a
Fractional-Order System", IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers, 61(3), s.845 -853,
2014.
[8]. Chen, D., Liu, C., Wu, C., Liu, Y., Ma, X., ve You, Y., "A New Fractional-Order Chaotic System and Its
Synchronization with Circuit Simu lation," Circuit Systems Signal. Processing, 31(5), s.1599-1613, 2012.
[9]. Rong, C.X., Xin, L.C., ve Qiang, W.F., "Circu it realizat ion of the fractional-order unified chaotic system",
China Physics B, 17(5), s.1664-1674, 2008.
[10]. Jun-Jie L. ve Chong-Xin, L., " Realization of fractional-order Liu chaotic system by circu it", Ch ina Physics,
16(6), s.1586-1590, 2007.
[11]. Ali, A.S., Radwan, A.G., ve Soliman, A.M. "Fract ional order Butterworth filter: active and passive
realizations", IEEE Journal on Emerging and Selected Topics in Circuits and Systems, 3(3), s.346-354, 2013.
[12]. So ltan, A., Radwan, A.G., ve So liman, A.M. "Fract ional order filter with two fractional elements of
dependant orders", Microelectronics Journal, 43(11), s.818-827, 2012.
Download