1.
2.
3.
4.
Giriş
Kristal Yapılar
Kristal Kafes Noktaları
Kristal Kafes Doğrultuları ve Düzlemler
MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
Katı malzemeler, atomların veya iyonların oluşturdukları düzene göre sınıflandırılabilir. Bir kristal malzemede uzun‐aralıkta düzen mevcuttur. Atomlar, atomsal ölçekte uzun mesafelerde tekrar eden düzenli bir yapı oluştururlar. Yani katılaşma sırasında atomlar, en yakın komşu atomlara bağlanırken üç boyutta tekrar eden bir düzenin içinde yerlerini alırlar.
Normal katılaşma koşullarında, bütün metallerde, seramik malzemelerin çoğunda ve polimerlerin bir kısmında kristal yapı oluşur. Kristalleşmeyen malzemelerde, uzun aralıkta atomsal düzen bulunmaz.
MALZEME BILGISI‐B3
Kristal katıların bazı özellikleri, malzemelerin kristal yapılarına, yani atomların, iyonların ya da moleküllerin üç boyutlu olarak meydana getirdikleri düzene bağlıdır. Metaller
de bulunan nispeten basit olanlardan, bazı seramik ve polimerlerde bulunan son derecede karmaşık olanlara kadar, uzun‐aralıkta düzene sahip çok sayıda farklı kristal yapı söz konusudur. Bu bölümde, metallerde yaygın olarak bulunan bazı kristal yapılar ele alınacaktır.
Kristal yapılar anlatılırken atomların (veya iyonların), belirli çaplara sahip katı küreler şeklinde olduğu düşünülür. Katı‐küre atom modeli olarak adlandırılan bu modelde,
en yakın komşuluğa sahip olan atomları temsil eden küreler birbirleri ile temas halinde
bulunur.
MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
Kristal yapılarda bulunan atomsal düzen, yapının bir grup atomdan oluşan küçük bir birimin tekrar etmesi ile oluştuğuna işaret eder. Bu açıdan kristal yapıları tanımlamak ve
birim hücre anlatmak için, birim hücre olarak adlandırılan, kristalin tekrar eden bu en küçük öğesinin kullanılması kolaylık sağlar. Çoğu kristal yapıda, birim hücreler birbirine paralel üç çift yüzeyi olan prizmalardan oluşur. Şekil 3.1c’de bir grup atomun oluşturduğu hacim içinde gösterilen birim hücre kübik bir şekle sahiptir. Kristalin simetrisini temsil edecek şekilde seçilen birim hücrenin, atom konumlarından, kenar uzunluğu kadar yapılacak ötelemelerle kristalin içindeki bütün atom noktaları elde edilebilir. Dolayısıyla, birim hücre kristal yapıyı oluşturan temel yapı taşıdır, geometrisi ve içerdiği atomların konumları kristal yapıyı tanımlar ve temsil eder. Kolaylık açısından, her kristal yapının birim hücresi, genellikle birim hücrelerin köşeleri, atomların merkezlerine denk gelecek şekilde seçilir. Bununla birlikte, belirli bir kristal yapıda birden fazla birim hücre seçeneği olsa da genellikle en yüksek geometrik simetriye sahip birim hücre tercih edilir.
MALZEME BILGISI‐B3
Bu malzemelerde bulunan metalsel bağlar yöne bağımlı olmadığı için, bir atomun en yakın komşuluğunda bulunan atomların sayısı ve konumu üzerindeki kısıtlar minimumdur. Bu nedenle, metalik kristal yapılarda en yakın komşu atom sayısı ve atomsal istiflenme nispeten yüksektir. Metallerin kristal yapıları için katı‐küre modelinin kullanılması durumunda, her bir küre serbest elektronları hariç olmak üzere bir atomu (ya da metal iyonu) temsil eder. Tablo 3.1 ‘de bazı metaller için atom yarıçapları verilmiştir. Yaygın olarak bilinen metallerin çoğu, yüzey‐
merkezli kübik, hacim‐merkezli kübik ve sıkı‐paket hekzagonal olmak üzere, nispeten basit olan üç farklı kristal yapıda bulunur.
MALZEME BILGISI‐B3
Birçok metalde bulunan bir kristal yapı, bütün köşelerinde ve yüzey merkezlerinde birer atomun bulunduğu, kübik geometride bir birim hücreye sahiptir.
Uygun bir şekilde yüzey‐merkezli kübik (YMK) kristal yapı olarak adlandırılmıştır. Bakır, alüminyum, gümüş ve altın gibi iyi bilinen bazı metaller YMK yapıya sahiptir (Tablo 3.1). Şekil 3. 1a’da YMK birim hücre katı‐küre modeliyle gösterilmiş, Şekil 3.1b’de ise
tüm atomların görünürlüğü açısından atom merkezleri küçük dairelerle işaretlenmiştir. Şekil 3. 1 c’de ise çok sayıda YMK birim hücrenin oluşturduğu bir kristal hacim gösterilmiştir. Bu yapıda, küreler veya iyonlar yüzey köşegeninde birbirleri ile temas halinde bulundukları için, küpün kenar uzunluğu, a ve atom yarıçapı, R arasında aşağıdaki ilişki geçerlidir.
MALZEME BILGISI‐B3
YMK kristal yapıda, köşelerde bulunan her bir atom sekiz, yüzey merkezlerindeki her bir atom ise sadece iki birim hücre tarafından paylaşılır. Dolayısıyla, bir birim hücre içinde, sekiz köşe atomunun sekizde biri, altı yüzey atomunun yarısı olmak üzere, toplam dört atom vardır. Bu durum, kürelerin sadece birim hücre içinde kalan kısımlarının resmedildiği Şekil 3.1a’da gösterilmiştir. Hücre, küp köşeleri, şekilde gösterilen köşe atomlarının merkezlerine denk gelecek şekilde oluşturulmuştur. Aslında, köşe ve yüzey atom konumları arasında bir fark yoktur yani eşdeğerdir. Küp köşesinin, bir köşe atomu merkezinden bir yüzey atomu merkezine ötelenmesi durumunda, hücre yapısında hiç bir değişiklik meydana gelmez.
MALZEME BILGISI‐B3
Koordinasyon sayısı ve atomsal dolgu faktörü (ADF) kristal yapılar için önemli diğer
sayısı iki özelliktir. Metallerde her atomun koordinasyon sayısı aynıdır. Bir başka ifadeyle, her atom atomsal dolgu için en yakın komşuluğunda bulunan veya kendisiyle temas halinde bulunan atomların sayısı aynıdır. Yüzey‐merkezli kübik yapılar için koordinasyon sayısı 12’dir. Şekil 3.1a yardımıyla bu sayı teyit edilebilir. Ön yüzeydeki atomun en yakın komşuluğunda (yani onunla temas halinde bulunan) dört köşe atomu, arka tarafında dört yüzey atomu ve şekilde gösterilmeyen ön tarafındanki
bitişik hücrede ise arka taraftakilere özdeş dört tane daha yüzey atomu vardır. ADF, birim hücredeki bütün atomların, katı‐küre modeline göre, birim hücre içinde
kalan toplam küresel hacimlerinin, birim hücre hacmine oranıdır.
MALZEME BILGISI‐B3
Metallerde yaygın olarak bulunan bir diğer kristal yapı; hacim merkezinde bir ve köşelerinde sekiz atomun bulunduğu, kübik bir birim hücreye sahip olan hacim‐
merkezli kübik (HMK) yapıdır. Şekil 3.2c’de bu kristal yapıya sahip bir grup küreden oluşan, bir hacim gösterilmiştir. Şekil 3.2a ve 3.2b ‘
de ise HMK birim hücre, sırasıyla katı‐küre ve küçük‐küre modeliyle gösterilmiştir. Bu yapıda, merkez ve köşe atomları hacim köşegeni üzerinde
temas halinde bulundukları için, birim hücre kenarı, a ve atom yarıçapı, R arasında aşağıdaki eşitlik geçerlidir:
MALZEME BILGISI‐B3
HMK yapı içinde toplam iki atom bulunur. Hacim merkezindeki atomun tamamı birim hücre içinde kalırken köşe atomları sekiz birim hücre tarafindan paylaşılır. Bunun yanında, köşe ve merkez atom konumları eşdeğerdir. HMK yapıda koordinasyon sayısı 8’dir. Her merkez atomunun en yakın komşuluğunda sekiz köşe atomu vardır. Koordinasyon sayısı gibi, HMK yapının atomsal dolgu faktörü de YMK yapınınkine göre daha düşüktür. ADF, YMK yapı için 0,74 iken HMK için bu değer O,68’dir.
MALZEME BILGISI‐B3
Bazı metallerin birim hücrelerinde kübik simetri bulunmaz. Ele alınacak son kristal yapı
hekzagonal bir birim hücreye sahiptir. Şekil 3.3a’da sıkı‐paket hekzagonal (SPH) yapı olarak adlandırılan bu yapının birim hücresi küçük‐küreler ile gösterilmiştir. Şekil
3.3b’de ise SPH birim hücrelerinden oluşmuş bir hacim gösterilmiştir.1 Birim hücrenin
alt ve üst yüzeyleri, merkezlerinde bulunan bir atomun etrafında düzgün altıgen oluşturan altı atomdan (yani merkezdeki atomla birlikte toplam yedi atomdan) meydana gelir. Birim hücrenin içinde, alt ve üst yüzeyler arasında, 3 atomun bulunduğu başka bir düzlem vardır. Bu ara düzlemdeki atomlar, en yakın komşuluğunda bulunan alt ve üst düzlemlerdeki atomlar ile temas halindedir. MALZEME BILGISI‐B3
SPH kristal yapıda, bir birim hücrede, alt ve üst yüzeylerin köşelerinde bulunan 12 atomun altıda biri, alt ve üst yüzeylerin merkezinde bulunan iki atomun yarısı ve ara düzlemdeki 3 atom olmak üzere toplam 6 atom bulunur. Şekil 3.3a’da gösterilen a ve c kenarları, birim hücrede kısa ve uzun kenarlara karşılık gelmeleri durumunda, c/a oranı 1,633 olmalıdır. Ancak, bazı SPH metallerde bu ideal değerden sapma söz konusudur. YMK yapıda olduğu gibi, SPH yapının koordinasyon sayısı ve atomsal dolgu faktörü, sırasıyla 12 ve O,74’tür. Kadmiyum, magnezyum, titanyum ve çinko gibi bazı metaller SPH yapıda bulunurlar. Bu yapıya sahip bazı metaller Tablo 3.1 ‘de verilmiştir.
MALZEME BILGISI‐B3
YMK birim hücre hacmini atom yarıçapı, R cinsinden hesaplayınız:
atomlar 4R uzunluğundaki yüzey köşegeninde birbirlerine temas etmektedir. Kenar
uzunluğu a olan kübik bir geometriye sahip olduğuna göre, birim hücrenin hacmi
a3’e eşittir. Birim hücrenin ön yüzeyinde gösterilen, iki küp kenarı ve yüzey köşege
ninin oluşturduğu dik üçgene göre aşağıdaki eşitlik yazılabilir:
YMK birim hücre hacmi, VBH aşağıdaki gibi hesaplanahilir:
MALZEME BILGISI‐B3
YMK yapı için atomsal dolgu faktörünün 0,74 olduğunu gösteriniz.
Atomsal dolgu faktörü, birim hücrede atomların kapladığı toplam hacmin, birim hücre hacmine bölünmesiyle bulunur:
Birim hücrenin ve atomların toplam hacmi atom yarıçapı, R’ye göre hesaplanabilir. YMK
birim hücrede, her birinin hacmi 4/3πR3 olan toplam dört atom bulunduğuna göre, YMK
birim hücredeki toplam atom (ya da küre) hacmi aşağıda gösterilen şekilde hesaplanır:
birim hücrenin hacmi atom yarıçapı, R cinsinden aşağıdaki gibi bulunmuştu:
MALZEME BILGISI‐B3
Kristal yapı bilgisi sayesinde metallerin teorik yoğunlukları aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
Burada;
n = birim hücredeki toplam atom sayısı
A = atom ağırlığı
VBH = birim hücre hacmi
NA = Avagadro sayısıdır (6,023x1023 atom/mol)
MALZEME BILGISI‐B3
Bakırın atom yarıçapı 0,128 nm, kristal yapısı YMK ve atom ağırlığı 63,5 gr/mol
olduğuna göre, bakırın teorik yoğunluğunu hesaplayınız ve deneysel olarak bulunan
yoğunluğu ile kıyaslayınız.
Çözüm
Bu problemin çözümü için Denklem 3.5 kullanılacaktır. Bakırın kristal yapısı YMK olduğu için birim hücredeki atom sayısı 4’tür. YMK birim hücresinin hacmi Örnek Problem 3.1 ‘de olarak hesaplanmıştı. Bakırın atom yarıçapı, R = 0,128 nm ve ağırlığı Acu= 63,5 gr/mol olarak verildiğine göre:
n = birim hücredeki toplam atom sayısı
A = atom ağırlığı
VBH = birim hücre hacmi
NA = Avagadro sayısıdır MALZEME BILGISI‐B3
Bu değer, bakırın literatürde
belirtilen gerçek yoğunluğu olan 8,94 gr/cm3’e çok yakındır.
Bazı metaller ve metal dışı malzemeler birden fazla kristal yapıda
bulunabilirler. Bu özelliğe polimorfizm denir. Element halindeki katılar için,
allotropi olarak adlandırılan bu allotropi özelliğe sahip malzemelerin hangi
kristal yapıda bulunduğu, sıcaklığa ve dış basınca bağlıdır. Örneğin, normal
koşullarda karbon kararlı grafit halinde bulunurken, aşırı yüksek basınçlar
altında elmas oluşur. Oda sıcaklığında HMK kristal yapıda bulunan saf demir
ise 912°C’de YMK yapılı demire dönüşür. Genellikle, polimorfik dönüşümler
sırasında malzemelerin yoğunlukları ve diğer fiziksel özellikleri değişir.
MALZEME BILGISI‐B3
Çok sayıda farklı kristal yapı bulunduğu için, kristal
yapıları birim hücre biçimlerine ve/veya atom
dizilişlerine göre sınıflandırmak kolaylık sağlamaktadır.
Sınıflandırma, birim hücredeki atom konumlarına
bakılmaksızın, sadece birim hücre geometrisine veya
uygun prizmatik birim hücre biçimine göre yapılabilir.
Bu çerçevede, Şekil 3.4’te gösterildiği gibi x, y ve z
eksenleri birim hücre kenarları üzerinde olacak
şekilde, orijini birim hücrenin bir köşesine yerleştirilen,
bir xyz koordinat sistemi oluşturulur. Birim hücre
geometrisi, kenar uzunlukları a, b, c ve iç açıları α,β,γ
oluşan altı parametre yardımıyla tam olarak
tanımlanır.
MALZEME BILGISI‐B3
a, b, c ve α,β,γ nın, her biri ayrı bir kristal sistemi temsil eden, yedi farklı kombinasyonu vardır. Kübik, hekzagonal, tetragonal, rombohedral, ortorombik, monoklinik ve triklinik olmak üzere bu yedi kristal sistemin kafes parametreleri arasındaki ilişki ve birim hücreleri Tablo 3.2’de gösterilmiştir a = b = c ve α=β=γ =90°
olan kübik sistem en yüksek simetriye sahipken, a ≠b ≠c ve α ≠ β ≠ γ olan triklinik
sistem, simetrisi en az olan sistemdir. Bu bölümde ele alınan metallere özgü kristal yapılarından, YMK ve HMK yapıların kübik, SPH’in ise hekzoganal sisteme ait olduğu açıktır. MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
Kristal malzemelerle ilgi yapılan çalışmalarda,
birim hücre içinde belirli bir noktanın, bir kafes
doğrultusunun ya da kafes düzleminin belirtilmesi
gerekebilir. Kafes noktalarını, doğrultularını ve
düzlemlerini adlandırmak için ü. rakamdan veya
indisten oluşan bir sistem benimsenmiştir. İndis
değerlerinin belirlenmesi için Şekil 3.4’te
gösterildiği gibi, birim hücre ve x, y ve z eksenleri
sağ el kuralına göre birim hücrenin kenarlarına
denk gelecek şekilde, birim hücrenin bir köşesine
yerleştirilen bir koordinat sistemi kullanılır.
Hekzagonal, rombohedral, monoklinik ve triklinik
sistemlerde, kartezyen koordinat sisteminden
farklı olarak, bu eksenlerin hepsi birbirlerine dik
değildir.
MALZEME BILGISI‐B3
Birim hücre içinde her hangi noktanın yeri, birim hücre kenarları (a, b ve c) ile orantılı koordinatlarına göre belirtilir. Koordinatların nasıl bulunduğunu göstermek için, Şekil
3.5’teki, içinde bir P noktasının bulunduğu birim hücreyi ele alalım. P’nin konumu genelleştirilmiş q, r ve s koordinatları ile belirlenir. q, x ekseni üzerinde a ile orantılı bir
uzunluğu belirtir. Benzer şekilde r, y ekseni üzerinde h ile ve s ise z ekseni üzerinde c ile
orantılı bir uzunluktur. Dolayısıyla, P ‘nin
konumu, değerleri bire eşit ya da birden daha küçük olabilen q r s koordinatları ile gösterilir. Ayrıca, genel uygulamaya uygun olarak,
bu kitapta bu koordinatları ayırmak için virgül
veya başka noktalarna işaretlerinin kullanıl
ması tercih edilmemiştir.
MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
Bir kristal kafes doğrultusu iki nokta arasında çizilen bir doğru ya da vektör ile tamamlanır.
Bir doğrultuya ait üç indisinin belirlenmesi için aşağıdaki adımlar uygulanır:
1. Uygun uzunlukta bir vektör, koordinat sisteminin orijininden geçecek şekilde yerleştirilir. Paralellik korunduğu sürece, bir vektör kristal kafes içinde istenilen noktaya
taşınabilir. Bu şekilde yapılan bir taşıma, doğrultunun miller indislerini değiştirmez.
2. Vektörün ü. eksen üzerindeki iz düşüm uzunlukları belirlenir. Bu uzunluklar birim
hücre boyutları a, b ve c ‘ye bölünür.
3. Gerektiğinde, bulunan sayıları en küçük tam sayılara dönüştürmek için, ortak bir sayı
ile bölme ya da çarpma işlemi yapılır.
4. Sayılar köşeli parantezin içine virgül koymaksızın alınır [uvw]. u, v ve w tam sayıları
vektörün x, y ve z eksenleri üzerindeki indirgenmiş (kafes parametreleri ile orantılı)
iz düşümlerdir.
MALZEME BILGISI‐B3
Her ü. eksende pozitif ve negatif koordinatlar söz konusu olduğundan, indisler önlerine negatif işaret de alabilirler. Böyle negatif işaretli indisler, üzerlerine çizilen bir eksi
işareti ya da çizgi yardımıyla gösterilir. Örneğin, [111] doğrultusunun —y yönünde bir bile
şeni vardır. Ayrıca, bir doğrultunun bütün
indislerinin negatifterinin alınmasıyla bulunan
yeni indisler, doğrultunun kendisine paralel, ancak zıt yönde bir doğrultuyu gösterir. [‐11‐1]
doğrultusu, [1‐11] doğrultusuna göre tam ters yönde uzanır. Belirli bir kristal yapıda birden
fazla doğrultu (ya da düzlem) belirlenecek ise pozitif ve negatifyönlerin bir defa belirlen
mesinin ardından değiştirilmemeleri gerekir.
Şekil 3.6’daki birim hücrede [100], [110] ve [111] doğrultuları gösterilmiştir.
MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
Hekzagonal Kristaller
Hekzagonal (altıgen) simetriye sahip kristallerde eşdeğer doğrultuların aynı indislere sahip olmamaları nedeniyle ortaya çıkan bir problem söz konusudur. Bu durum Şekil 3.7’degösterilen, dört eksenli veya Miller‐Bravais koordinat sisteminin kullanılmasıyla giderilebilir. Taban (bazal) düzlemi olarak adlandırılan, tek bir düzlem üzerinde bulunan a1, a‐> ve (13 eksenleri arasındaki açılar 120°C’dir. z ekseni taban düzlemine dik olarak uzanır. Daha önce bahsedildiği gibi, elde edilen doğrultu indisleri, [uvtw] şeklinde dört indis ile belirtilir. Bu indislerden ilk üçü taban düzlemindeki a1, a2 ve a3 eksenleri üzerindeki iz düşümleri
gösterir.
MALZEME BILGISI‐B3
Bu denklemlerde u’, v’, w’ üç‐indis sistemine ve u, v, t, w ise Bravais‐Miller dört‐indis
sistemine ait indislerdir. Örneğin, [0101 doğrultusu [İ2TOj haline gelir. Ayrıca, daha önce
belirtildiği gibi indislerin en küçük tam sayılı hale dönüştürülmeleri gerekir. Şekil 3.8a’da
hekzagonal birim hücrede birkaç farklı doğrultu gösterilmiştir.
MALZEME BILGISI‐B3
Hekzagonal sistemlerde kristal kafes doğrultularını göstermek
diğer altı sistemde bulunan kristallere göre daha karmaşıktır.
Hekzagonal kristaller için Şekil 3.9’da gösterilen dört eksenli
koordinat sisteminin kullanılması daha kullanışlıdır. Şekilde
görüleceği üzere, taban düzlemi üzerinde a1, a2 ve a3
eksenlerine paralel çizgiler bulunmaktadır. Sadece
eksenlerden birine paralel olarak çizilen bu çizgiler, paralel
olmadıkları diğer iki eksen üzerinde kafes parametreleri
mesafelerini üç eşit parçaya bölecek şekilde, eşit aralıklarla
yerleştirilmiştir. Ayrıca, Şekil 3.9’daki z ekseni üzerindeki kafes
parametresi uzunluğu da m ve n noktaları ile üç eşit parçaya
bölünmüştür. Bu şekilde gösterilen koordinat sistemi
indirgenmiş koordinat sistemi olarak anılacaktır
Dört indis ile belirtilmiş bir doğrultunun çizilmesi daha önce anlatılan, ilgili eksenler üzerindeki vektör iz düşümlerini içeren işlemlere benzer bir şekilde gerçekleştirilir. Bu durumda, a (a1, a2 ve a3’ü temsilen) ve z’den oluşan kafes parametreleri üzerindeki iz
düşümler yerine, Şekil 3.9’daki indirgenmiş ölçek uygulanarak, a13 ve c13 kullanılır. Bu işlem aşağıdaki örnek problemde gösterilmiştir
MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
KRİSTAL KAFES DÜZLEMLERİ
Kristal yapılarda düzlemler benzer bir şekilde gösterilir. Şekil 3.4’te gösterildiği gibi, yine
birim hücre ve üç‐eksenli koordinat sistemi temel alınır. Hekzagonal kristal sistemi dışın
da bütün düzlemler (hkl) şeklinde üç Miller indisi ile belirtilir. Birbirlerine paralel olan
herhangi iki kristal kafes düzlemi, birbirine eşdeğerdir ve aynı indislerle gösterilir. h, k ve
l indislerinin belirlenmesi için uygulanan işlemler aşağıda sıralanmıştır:
1. Düzlem orijinden geçiyorsa düzlem uygun bir şekilde paralel olarak taşınır veya orijin
başka bir birim hücrenin köşesine taşınır.
2. Bu noktada kristal kafes düzlemi tüm eksenleri ya da en azından bir ekseni keser. Kesmediği eksenler varsa bu eksenlere paralel olarak uzanıyor demektir. Düzlemin eksenleri kestiği noktaların orijine uzaklıkları a, b ve c kafes parametreleri cinsinden belirlenir.
3. Bu sayıların çarpmaya göre tersleri alınır. Düzlemin herhangi bir eksene paralel olarak uzanması durumunda, 0 ekseni sonsuzda kestiği düşünülür ve çarpmaya göre tersi olarak 0 sayısı alınır.
4. Gerektiğinde bu üç sayı, en küçük tamsayıları verecek bir sayı ile çarpılır ya da
bölünür.
5. Son olarak indisler virgül ile ayrılmaksızın (hkl) şeklinde parantez içine alınarak yazılır.
MALZEME BILGISI‐B3
Düzlem herhangi bir ekseni orijinin negatif tarafinda kesiyorsa, ilgili indis üzerine çizilen eksi ya da çizgi işareti ile gösterilir. Ayrıca, bütün indislerin negatifterinin alınması ile bulunan yeni indisler, orijinin diğer tarafında, eksenleri eşit mesafelerde kesen, diğer bir paralel düzlemi belirtir. Şekil 3.10’da bazı düzlemler gösterilmiştir.
Ayrıca, kübik kristallerde aynı indisli düzlem ve doğrultular birbirlerine diktir. Ancak, diğer kristal sistemlerde aynı indisli düzlemler ve doğrultular arasında basit geometrik ilişkiler bulunmaz.
MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
MALZEME BILGISI‐B3
Download

B3 - A. Alper Cerit, PhD