İNJEKTİF MODÜLLERE
GİRİŞ
Ali Pancar
Burcu Nişancı Türkmen
Ali PANCAR
Burcu NİŞANCI TÜRKMEN
İNJEKTİF MODÜLLERE GİRİŞ
ISBN 978-605-364-896-3
Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© 2014, Pegem Akademi
Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,
kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt
ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları
satın almamasını diliyoruz.
1. Baskı: Aralık 2014, Ankara
Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu
Dizgi-Grafik Tasarım: Gamze Dumlupınar
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Sonçağ Yayıncılık Matbaacılık Reklam San Tic. Ltd.Şti
İstanbul Cad. İstanbul Çarşısı 48/48
İskitler - Ankara
(0312 341 36 67)
(0535 292 34 31)
Yayıncı Sertifika No: 14749
Matbaa Sertifika No: 25931
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA
Yayınevi 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60
Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet:www.pegem.net
E-ileti: [email protected]
İçindekiler
1 GİRİŞ
1
1.1
Modüller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
İzomorfizma Teoremleri ve Sıfırlayanlar . . . . . . . . . . . . . .
19
1.3
Modüllerde Zincir Koşulları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.4
Modüllerin Homomorfizmalar Grubu . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.5
Alıştırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2 İNJEKTİF MODÜLLER
41
2.1
İnjektif Modüller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.2
Bölünebilir Modüller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.3
Gömülme Teoremi ve İnjektif Bürüm . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.4
Parçalanamaz İnjektif Modüller ve Asal İdealler . . . . . . . . . .
81
2.5
Alıştırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3 İNJEKTİF MODÜLLER VE YARI-BASİT HALKALAR
3.1
Yarı-Basit Modüller ve Halkalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
99
iv
İÇİNDEKİLER
3.2
İnjektif Modüllerin Endomorfizma Halkaları . . . . . . . . . . . . 107
3.3
Bir Modülün Desteği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4
Sonlu Gömülen Modüller
3.5
Artinian Halkalar ve Jacobson Radikali
3.6
Alıştırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
. . . . . . . . . . . . . . 131
4 İNJEKTİF MODÜLLER VE NOETHERİAN HALKALAR
141
4.1
Noetherian Halkaların Karakterizasyonları . . . . . . . . . . . . . 141
4.2
Bazı Önemli Sonuçlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.3
Alıştırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
ÖNSÖZ
Vektör uzaylarının, halkaların ve abel grublarının bir genellemesi olan modül
teori alanında son yıllarda yapılan makalelerde ve Continuous and Discrete Modules, Extending Modules, Cyclic Modules and The Structure of Rings adlı kitaplarda E.Matlis’ in Injective modules over Noetherian rings adlı çalışmasıyla
anlam kazanan injektif modüllere ve genellemelerine önemli ölçüde yer verilmektedir. 1972 yılında D.W.Sharpe ve P.Vamos’ un yayımlamış oldukları Injective
Modules adlı eser günümüzde yapılan çalışmalara ışık tutmaktadır. Bu kitabı
yazmaktaki temel amacımız injektif modüllerin temel özellikleri ve önemli halkaların injektif modüller yardımıyla karakterizasyonları hakkında bilgi ve birikim
sahibi olunmasına yardımcı olmak ve günümüz çalışmalarına katkıda bulunmaktır.
Bu kitabın birinci bölümünde modüllerin temel özelliklerine sadece özet niteliğinde ve diğer bölümlerde kullanılacak ölçüde yer verilmiştir. Okuyucuların
temel kavramlara yabancı olmadıkları kabul edilmiştir. İkinci bölümde injektif
modüller tanıtılmış ve bir modülün injektif bürümünün inşasına ulaşılmıştır. Değişmeli Noetherian halkalar üzerinde parçalanamaz injektif modüller karakterize
edilmiştir. Tüm modülleri injektif olan halkaların yarı-basit olduğu üçüncü bölümde gösterilmiştir. Ayrıca bu bölümde Artinian halkaların Noetherian olduğu
ispatlanmıştır. Dördüncü bölümde ise, injektif modüller yardımıyla Noetherian
halkaların önemli ve kullanışlı bir karakterizasyonu elde edilmiştir. Her bölümün sonunda alıştırmalar yer almaktadır. Bu alıştırmalardan bir kısmı sıradan
olmakla birlikte diğer kısmı da sonuçların genelleştirmesi niteliğindedir.
vi
İÇİNDEKİLER
Bu teorik kaynak kitabımızın anlaşılırlığını kolaylaştırmak için gerek konu
anlatımında gerekse ispatlar yapılırken açık bir dil kullanılmıştır. Büyük emek
harcanarak hazırlanan bu kitabın siz değerli okuyucular tarafından beğeniyle
karşılanacağını umuyoruz.
Ali PANCAR
Burcu NİŞANCI TÜRKMEN
Bölüm 1
GİRİŞ
1.1
Modüller
(R, +, .) cebirsel yapı olsun. (R, +) abel grup ve (R, .) yarı-grup olmak üzere
r, s, k ∈ R keyfi elemanları için r(s + k) = rs + rk ve (r + s)k = rk + sk
eşitlikleri gerçekleniyorsa (R, +, .) yapısına halka denir.
n ≥ 1 tamsayı olmak üzere nZ ve rasyonel sayılar kümesi Q alışılmış toplama
ve çarpma işlemlerine göre birer halka yapısına sahiptir. R bir halka olmak üzere
n × n tipindeki matrislerin M (n, R) kümesi, matrislerin toplama ve çarpma
işlemlerine göre bir halkadır.
(R, +) abel grubunun birim elemanına R halkasının sıfırı denir ve 0R ile
gösterilir. Her r ∈ R için ra = ar = r olacak şekilde a ∈ R elemanı mevcut
ise, a elemanına R halkasının birim elemanı denir ve a = 1R ile gösterilir. Bu
2
BÖLÜM 1. GİRİŞ
durumda R halkasına birimli halka denir. Eğer 1R = 0R ise, halka sadece 0R
elemanına sahip olup halkaya aşikar halka denir. Ayrıca r, s ∈ R keyfi elemanları
için rs = sr eşitliği gerçekleniyorsa R halkasına değişmeli halka denir. Aksi
belirtilmedikçe R halkası denildiğinde birimli (R, +, .) halkası anlaşılacaktır.
Z tamsayılar halkası birimli ve değişmeli, 2Z çift tamsayılar halkası birimli
olmayan değişmeli bir halkadır. Matris halkaları, değişmeli olmayan birimli halkalar için önemli bir örnek teşkil etmektedir.
R bir halka ve ∅ =
6 I ⊆ R olsun. I, R halkasının bir alt grubu ve a, b ∈ I
keyfi elemanları için ab ∈ I ise, I alt grubuna R halkasının alt halkası ve her
r ∈ R, her a ∈ I için ra ∈ I (ar ∈ I) ise, I alt halkasına R halkasının sol (sağ)
ideali denir. Her sol (sağ) ideal alt halkadır fakat tersi genellikle doğru değildir.


0
n r 
I = {
 | n ∈ Z; r, r ∈ Q}
0
0 r
kümesi M (2, R) halkasının alt halkasıdır, fakat sol yada sağ ideali değildir.
I, R halkasının hem sol hem de sağ ideali ise, I alt halkasına R nin ideali
denir. R ve 0, R halkasının idealleridir. Bu ideallere R halkasının aşikar idealleri
denir. R halkası değişmeli ise, her sol (sağ) ideal bir ideal yapısına sahiptir.
R halkasının kendisinden farklı sol (sağ) ideallerine öz sol (sağ) ideal denir.
M (2, R) halkasında

 a
I = {
b

a 
 | a, b ∈ R}
b
kümesi, M (2, R) halkasının sol ideali olmasına rağmen sağ ideali değildir. Sağ
ideal olup sol ideal olmayan alt halka örneği benzer şekilde verilebilir.
1.1. MODÜLLER
3
R halkasında keyfi alınan sol (sağ) ideallerin arakesiti de bir sol (sağ) idealdir.
S∞
I1 ⊆ I2 ⊆ ... ⊆ In ⊆ .., R halkasının sol (sağ) ideallerinin bir zinciri ise, I = i=1
alt kümesi de R halkasının bir sol (sağ) idealidir.
0
R halka ve r ∈ R sıfırdan farklı bir eleman olsun. r r = 1R (rr
0
00
= 1R )
00
olacak şekilde r ∈ R (r ∈ R) elemanı mevcut ise, r ∈ R elemanına sol (sağ)
0
terslenebilir eleman denir. r r = 1R ve rr
00
0
= 1R ise, r = r
00
olup r ∈ R
0
ye terslenebilir eleman ve r ∈ R elemanına da r ∈ R elemanının tersi denir,
0
genellikle r = r−1 ile gösterilir. Sıfırdan farklı her elemanı terslenebilir olan
bir R halkasına bölme halkası denir. I, R halkasının sol (sağ) ideali olsun. I sol
(sağ) terslenebilir eleman içeriyorsa, I = R dir.
R halka ve 0R 6= r ∈ R olsun. rs = 0R (sr = 0R ) olacak şekilde R halkasının
sıfırdan farklı bir s ∈ R elemanı mevcut ise, r ∈ R elemanına sol (sağ) sıfır
bölen eleman denir. R halkası sol (sağ) sıfır bölen içermiyorsa R halkasına sol
(sağ) sıfır bölensiz halka denir. Sol ve sağ sıfır bölensiz halkaya sıfır bölensiz
halka denir. Birimli ve sıfır bölensiz bir R halkasına bölge denir. n asal olmayan
bir tamsayı olmak üzere Zn halkası ve bir matris halkası sıfır bölen elemana
sahiptir.
R birimli ve değişmeli halka olsun. R halkasının sıfırdan farklı öz ideali yoksa
R halkasına cisim denir. Her cisim bölme halkasıdır. Değişmeli bölme halkası
cisimdir. n ≥ 2 tamsayı olmak üzere M (n, R) halkasının determinantı sıfırdan
farklı olan elemanlarının kümesi GL(n, R) cisim olmayan bölme halkasıdır. Ayrıca R cisim iken matrisler halkası M (n, R) öz ideale sahip değildir.
R değişmeli bölge ve ∅ 6= S ⊆ R olsun. r, s ∈ S keyfi elemanları için rs ∈ S
4
BÖLÜM 1. GİRİŞ
ise, S kümesine R halkasının çarpımsal kapalı alt kümesi denir. S, R nin bir
çarpımsal kapalı alt kümesi ve 0R ∈ R − S olsun. (r, s), (u, v) ∈ R × S keyfi
elemanları için
(r, s) ∼ (u, v) ⇐⇒ rv − us = 0R
ile tanımlı ∼ bağıntısı R × S üzerinde bir denklik bağıntısıdır. Buradan (r, s) ∈
R × S elemanının denklik sınıfını
r
s
ile gösterelim ve R × S nin tüm denklik
sınıflarının kümesi RS olsun. Bu takdirde rs , uv ∈ RS keyfi elemanları için
(1)
r
s
=
u
v
olması için gerek ve yeter koşul en az bir a ∈ S için a(rv−us) = 0R
olmasıdır,
(2) a ∈ S keyfi elemanı için
ar
as
=
r
s
dir,
ve
(3)
r
s
+
u
v
(4) rs . uv =
=
rv+su
sv
ru
sv
ile tanımlı işlemlerine göre RS değişmeli bölgedir. Burada RS halkasına R halkasının S alt kümesine göre yerelleştirme halkası denir. 1R ∈ S olsun. Bu takdirde
∀r ∈ R için r −→
r
1R
ile tanımlı R −→ RS dönüşümü alınırsa R ⊆ RS olduğu
görülür. Eğer S = {1R } ise, R = RS olduğu açıktır. I, R halkasının ideali olmak
üzere IS = { rs |r ∈ I ve s ∈ S} kümesi RS yerelleştirme halkasının idealidir ve
RS değişmeli bölgesinin her ideali bu formdadır. I ∩ S = ∅ ise IS , RS değişmeli
bölgesinin öz idealidir.
Eğer S = R − {0R } alınırsa RS cisimdir ve RS cismine R halkasının kesir
cismi denir.
Z değişmeli bölgesinin kesir cismi Q rasyonel sayılar cismidir.
1.1. MODÜLLER
5
R halka ve (M, +) abel grup olsun. r ∈ R ve m ∈ M olmak üzere, r.m ile
tanımlı . : R × M −→ M fonksiyonu r, s ∈ R ve m, n ∈ M keyfi elemanları için
(1) r.(m + n) = r.m + r.n
(2) (r + s).m = r.m + s.m
(3) (r.s).m = r.(s.m)
koşullarını gerçekliyorsa M ye sol R-modül denir. R birimli olmak üzere, eğer
her m ∈ M için 1R .m = m oluyorsa M sol R-modülüne üniter sol R-modül
denir. Benzer şekilde üniter sağ R-modül tanımı da yapılabilir.
R bir halka ve I, R halkasının sol ideali olsun. Bu taktirde I üniter sol Rmodül yapısına sahiptir. Özel olarak, I = R alınırsa R halkası sol R-modüldür.
Dolayısıyla modüller halkaların bir genellemesidir. Ayrıca F bir cisim olmak
üzere her F -vektör uzayı bir F -modüldür.
Bu kitapta modül denildiğinde üniter sol R-modüller kastedilecektir ve bir
M R-modülü için, r ∈ R ve m ∈ M olmak üzere ”r.m” yazılışı yerine ”rm”
kullanılacaktır. Ayrıca M modülünün sıfırı 0 ile gösterilecektir.
M modül olmak üzere N , M abel grubunun bir alt grubu olsun. r ∈ R ve
n ∈ N keyfi elemanları için rn ∈ N oluyorsa, N ye M modülünün alt modülü
denir ve N ⊆ M ile gösterilir. 0 ve M modülünün kendisi M nin alt modülleridir.
Bu alt modüllere M modülünün aşikar alt modülleri denir. N , M modülünün
kendisinden farklı bir alt modülü ise, N alt modülüne M modülünün öz alt
modülü denir ve N ⊂ M ile gösterilir. Ayrıca N ⊆ M modüller ise, M modülüne
N modülünün genişlemesi denir. Her modül kendisinin bir genişlemesidir.
M bir R modülü olmak üzere A, R halkasının bir sol ideali ve K M modü-
Download

İNJEKTİF MODÜLLERE GİRİŞ