06.05.2014
HEDEF PROGRAMLAMA
Doç. Dr. İhsan KAYA
YTU Endüstri Mühendisliği Bölümü
Hedef Programlama
 Hedef programlama yaklaşımında, sistemlerin birden fazla ve genellikle
birbiriyle çatışan hedeflerinin olması durumu söz konusudur.
 Örneğin; bir işletmede üretim oranının belirli bir etkinlik seviyesinin üstünde
olması arzu edilirken, işçi ve makine sayısının daha az bir seviye düşürülmesi
istenebilir.
 Bu şekilde birbiriyle çakışabilen hedefleri optimal bir şekilde gerçekleştiren bir
çözüm elde etmek mümkün olmayabilir.
 Bunun yerine hedeflerin ağırlıklarına veya önceliklerine uygun bir çözüm
arayışına gidilebilir.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
1
06.05.2014
Hedef Programlama
Hedef programlamada temel düşünce; bütün hedefleri tek bir hedefe
dönüştürmektir.
Sonuçta elde edilen çözüm birbiriyle çatışan hedefler için optimal
olmayabilmektedir.
Ancak, bu teknik problemin geneli için “etkin çözüm” olarak adlandırılan
en iyi çözümün elde edilmesini sağlar.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Hedef Programlama
 Herhangi bir problemin formülasyonun da mümkün olduğu kadar
sağlanması gereken ve geçici olabilmekle birlikte kesin olarak
belirlenen ihtiyaca hedef denir.
 Hedef programlama ise; göreli önem derecesine göre
ağırlıklandırılan birçok hedeften negatif, pozitif veya her iki yöndeki
sapmaları eş zamanlı olarak minimize etmeyi amaçlayan bir çok
amaçlı doğrusal programlama çözüm tekniğidir.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
2
06.05.2014
Hedef Programlama Modeli
Min z =
d1–+
d2+ . . . dm– +
dm+
d1+ +
d2– +
a11x1 +
a12x2 + ...
+
a1nxn+
d1– –
d1+
=
T1
a21x1 +
a22x2 + ...
+
a2nxn+
d2– –
d2+
=
T2
am1x1 +
am2x2 + ...
+
amnxn+
xj  0
(j=1, 2, ..., n)
di–, di+  0
(i=1, 2, ..., m)
dm– –
dm+ =
Tm
Ti = inci hedefin değerini
di– = inci hedeften negatif yöndeki sapma miktarını
di+ = inci hedeften pozitif yöndeki sapma miktarını
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Hedef Programlama Modeli
 Hedef programlama modelinin genel yapısındaki
amaç fonksiyonunda yapılacak bazı değişikliklere
göre, hedef programlama aşağıdaki şekilde iki gruba
ayrılır.
1.
Önceliksiz (ağırlıklı) hedef programlama.
2.
Öncelikli hedef programlama.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
3
06.05.2014
Önceliksiz Hedef Programlama
 Ağırlıklı hedef programlama olarak da bilinen önceliksiz hedef
programlamada her hedef için bir ağırlık belirlenerek bu ağırlıklara
göre amaç fonksiyonu oluşturulur. m adet hedeften oluşan bir hedef
programlama probleminin inci hedefi;
Min Gi (i= 1, 2, ..., m) ise;
Min z = w1 G1 + w2G2 + ...+ wmGm
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Örnek: Bir otomobil firması yeni ürettiği bir model için televizyonda
reklam yayınlamayı planlamaktadır. Otomobil firmasının reklam şirketine
bildirdiği hedefler aşağıda sıralanmıştır.
1. Reklamı en az 40 milyon yüksek gelirli izlemelidir. (YG hedefi)
2. Reklamı en az 60 milyon orta gelirli izlemelidir. (OG hedefi)
3. Reklamı en az 35 milyon düşük gelirli izlemelidir. (DG hedefi)
Reklam şirketi futbol maçı veya sinema arasında reklam
düzenleyecektir. Otomobil şirketinin reklam bütçesi ise en fazla 600
birimdir. Reklamın kuşaklara göre bir dakikasının maliyeti ve dakikada
ulaşılabilecek izleyici sayısı Tabloda verilmiştir. Bu verilere göre ve
yukarıdaki üç hedefi dikkate alacak şekilde reklam planlaması
yapılacaktır.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
4
06.05.2014
Tablo Reklam Şirketi Problemi Verileri
İzleyici Sayısı (milyon kişi/dk.)
Maliyet
(birim / dk.)
YG
OG
DG
Futbol
7
10
5
100
Sinema
3
5
4
60
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Min (veya Maks) z =
0 x1 +
0 x2 (veya herhangi bir amaç fonksiyonu)
7 x1 +
3 x2  40
(YG kısıtı)
10 x1 +
5 x2  60
(OG kısıtı)
5 x1 +
4 x2  35
(DG kısıtı)
100 x1 + 60 x2  600 (Bütçe Kısıtı)
x1 ,
x2  0
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
5
06.05.2014
1. Reklamı izlemeyen 40 milyonun altındaki her 1 milyon (YG) için, firmanın satış
gelirlerinde 200 birim kayıp ortaya çıkmaktadır.
2. Reklamı izlemeyen 60 milyonun altındaki her 1 milyon (OG) için, firmanın satış
gelirlerinde 100 birim kayıp ortaya çıkmaktadır.
3. Reklamı izlemeyen 35 milyonun altındaki her 1 milyon (DG) için, firmanın satış
gelirlerinde 50 birim kayıp ortaya çıkmaktadır.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
di ¯ = i nci hedeften eksik olan miktar (negatif yöndeki sapma
miktarı) (i=1, 2, 3)
d1+ = i nci hedeften fazla olan miktar (pozitif yöndeki
sapma miktarı) (i=1, 2, 3)
7x1 +
3 x2 +
d1 – –
d1+ = 40
(YG kısıtı)
10x1 +
5 x2 +
d2 – –
d2+ = 60
(OG kısıtı)
5x1 +
4 x2 +
d3 – –
d3+ = 35
(DG kısıtı)
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
6
06.05.2014
Min z =
200 d1– + 100 d2– + 50d3–
(Amaç fonksiyonu)
7 x1 +
3 x 2 + d1 – – d1 +
= 40
(YG kısıtı)
10 x1 +
5 x 2 + d2 – d2
+
= 60
(OG kısıtı)
5 x1 +
4 x 2 + d3 – d3
+
= 35
(DG kısıtı)
 600
(Bütçe Kısıtı)
–
–
100 x1 + 60 x2
x j , di – , d i +
0
(j=1,2) (i=1,2,3)
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Optimal Çözüm:

Bu modelin optimal çözümü; z=250, x1=6, x2=0, d1– = d2– = d2+= d3+=0 ve d1+=2,
d3– =5 bulunur.

Bu sonuca göre reklam şirketi 6 dakikalık bir reklam hazırlamalı ve bunun
tamamını maç arasında yayınlamalıdır.

Bu yayın sonucunda; (d1+=2 olduğu için) 40+2=42 milyon yüksek gelirli, (d2–
=d2+=0 olduğu için) 60 milyon orta gelirli ve (d3– =5 olduğu için) 35–5=30
milyon düşük gelirli seyirciye ulaşılır.

Ayrıca reklamlar otomobil firmasının hedeflediği miktardan daha az düşük gelirli
insana ulaşacağından, firma 5(50)=250 birim satış gelirlerinden kayba uğrar.

Bu sonuca göre 1nci hedef fazlasıyla, 2nci hedef tam olarak karşılanır ancak,
3ncü hedef karşılanamaz.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
7
06.05.2014
Min z =
200 d1– + 100 d2– + 50d3– + d4+
(Amaç fonksiyonu)
7 x1 +
3 x 2 + d1 – –
d1+ = 40
(YG kısıtı)
10 x1 +
5 x 2 + d2 –
d2 = 60
(OG kısıtı)
5 x1 +
4 x 2 + d3 –
–
+
d3 = 35
100 x1 + 60 x2 + d4– – d4+ = 600
–
x j , di – , di +
+
0
(DG kısıtı)
(Bütçe Kısıtı)
(j=1,2) (i=1,2,3,4)
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Optimal Çözüm:
 Reklam şirketi 7.66 dakikalık (7 dakika 40 saniyelik) bir reklam hazırlamalı,
 Bunun 4.33 dakikalık (4 dakika 20 saniyelik) kısmını maç arasında,
 3.33 dakikalık (3 dakika 20 saniyelik) kısmını ise sinema arasında yayınlamalı,
 Bu yayın sonucunda; 40.33 milyon yüksek gelirli, 60 milyon orta gelirli ve 35
milyon düşük gelirli seyirciye ulaşılır.
 Firma, reklam bütçesini 33.33 birim artırmak suretiyle hedeflediği tüm seyirci
kitlesine ulaşabilir.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
8
06.05.2014
ÖNCELİKLİ HEDEF PROGRAMLAMA
 Öncelikli hedef programlamada karar vericinin en önemliden
(1nci hedeften) en önemsize (m nci hedefe) doğru hedeflerini
sıralaması gerekmektedir.
 i hedefine ait değişkenin amaç fonksiyonu katsayısı olarak Pi
kullanılacak olursa;
P1 >> P2 >> P3 >> …>>Pm
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Min z =
P1 d1– + P2 d2– +
P3d3–
(Amaç fonksiyonu)
7 x1 +
3 x 2 + d1 – –
d1+ = 40
(YG kısıtı)
10 x1 +
5 x 2 + d2 – –
d2+ = 60
(OG kısıtı)
5 x1 +
4 x 2 + d3 – –
d3+ = 35
(DG kısıtı)
100 x1 + 60 x2
 600
x j , di – , di +
0
(Bütçe Kısıtı)
(j=1,2) (i=1,2,3,4)
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
9
06.05.2014
Örnek: Makine Satın Alma Problemi
Bir işletme üretim sürecinde kullanılmak üzere CNC, torna, freze ve
testere tezgah alımı planlanmakta olup bunun için toplam 3500
birim ödenek ayrılmıştır. Probleme ait veriler aşağıda verilmiştir.
Makine Satın alma Problemi Verileri
Birim
Maliyet
Bakım – İşletme
Gideri
Etkinlik
Puanı
İhtiyaç
CNC
600
4
6
5
Torna
250
3
4
5
Freze
150
2
5
10
Testere
40
1
3
20
Cinsi
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Bu satın alma problemi ile ilgili hedefler öncelik sırasına göre aşağıda
verilmiştir.
1. Toplam etkinliğin en az 80 puan olması.
2. Yıllık toplam bakım ve işletme giderinin mümkün olduğu kadar
70 birimi aşmaması.
3.
CNC makine ihtiyacının mümkün olduğu kadar tam olarak
karşılanması.
4. Diğer makine ihtiyaçlarının ise ihtiyaç miktarından az olmayacak
şekilde karşılanması.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
10
06.05.2014
Min (maks) z =
(herhangi bir amaç fonksiyonu)
6 x1+
4 x2 +
5 x3 +
3 x4  80
4 x1+
3 x2 +
2 x3 +
x4  70
x1
x2
x3
x1,
25 x2 +
0
x2 ,
(bakım–işletme kısıtı)
=5
(CNC kısıtı)
5
(torna kısıtı)
 10
(freze kısıtı)
x4  20
600 x1+
(etkinlik kısıtı)
(testere kısıtı)
15 x3 + 40 x4  3500 (bütçe kısıtı)
0
x3 ,
x4  0
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
6 x1 + 4 x2 + 5 x3 + 3 x4 +
d1– – d1+ = 80 (etkinlik)
4 x1 + 3 x2 +
d2– – d2+ = 70 (bakım–işletme)
2 x3 +
x4 +
x1
+
x2
+ d – – d4+
4
x3
x4
22
d3– – d3+ = 5 (CNC)
= 5 (torna)
+ d5–
– d5+ = 10 (freze)
+ d6–
– d6+ = 20 (testere)
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
11
06.05.2014
Hedef 1. Toplam etkinliğin en az 80 puan olması,
Bu hedef için negatif yöndeki sapma miktarı istenmeyen değişim miktarıdır.
Min Z1 = d1–
Hedef 2. Yıllık toplam bakım–işletme maliyetinin en fazla 70 birim olması,
Min Z2 = d2+
Hedef 3. CNC ihtiyacının tam olarak karşılanması.
İhtiyaç miktarı 5 adetin mümkün olduğu kadar altındaki veya üstündeki bir
miktarda CNC satın alınmamalıdır.
Min Z3 = d3– + d3+
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Hedef 4. Diğer makine ve teçhizatlarının en az ihtiyaç miktarı kadar karşılanması.
Mümkün olduğu kadar belirlenen ihtiyaç miktarlarından az sayıda makine ve
teçhizatı alınmamalıdır.
Min Z4 = d4– + d5– + d6–
Tüm hedefler için amaç fonksiyonu belirlendikten sonra,
P1 >> P2 >> P3 >> P4
Min z= P1d1– +P2d2+ +P3d3– +P3d3+ +P4d4– +P4d5– +P4d6–
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
12
06.05.2014
Optimal Sonuç

Bu problemin optimal çözümü; x1=4, x2=0, x3=2, x4=20, d1+ =14, d2– =30, d3–
=1, d4– =5, d5– =8 ve d1– = d6– = d2+= d3+= d4+= d5+= d6+=0 bulunur.

Bu tedarik faaliyetinin sonucunda; (d1+=14 olduğu için) 80+14=94 puanlık
toplam etkinliğe ulaşılır ve (d2– =30 olduğu için) 70–30=40 birimlik toplam
bakım–işletme maliyetine katlanılmak zorunda kalınır.

Bu durumda 1 ve 2nci hedefler fazlası ile sağlanmış olur. Ancak hedeflenen
miktardan 1 adet eksik CNC tedarik edileceğinden, 3ncü hedef sağlanamaz.
25
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
 Optimal sonuca göre 4 adet CNC, 2 adet freze ve 20 adet testere makine satın
alınmalıdır.
 94 puanlık toplam etkinliğe ulaşılır.
 40 birimlik toplam bakım–işletme maliyetine katlanılır.
 Hedeflenen miktardan 1 adet eksik CNC tedarik edileceğinden, 3ncü hedef
sağlanamaz.
 Testere hedeflendiği miktarda tedarik edilmesine rağmen, yeterli freze tedarik
edilemeyeceğinden ve 8 adet eksik freze tedarik edileceğinden 4ncü hedef
kısmen sağlanmış olur.
26
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
13
06.05.2014
Örnek

Çikolata üretimi yapan bir firma, gelecek üretim döneminde şekerleme
üretimine geçmeyi planlamaktadır. Üretmeyi planladığı iki tür şekerleme de
şeker, fındık ve çikolata içermektedir.

Firmanın mevcut günlük stoklarında 200 kg şeker, 40 kg fındık ve 60 kg da
çikolata bulunmaktadır. A türü şekerleme %15 fındık ve % 15 çikolata
içermelidir. B türü şekerleme de en az %20 fındık içermektedir. A türü
şekerlemenin kilosu 50 kuruşa (0.2 lira), B türü şekerlemenin kilosu da 20
kuruşa (0.5 lira) satılmaktadır.

Firma günlük karının en az 1000 lira olmasını hedeflemektedir. Yanı sıra, A
türü şekerlemeden de günde en çok 3 ton üretilmesini hedeflemiştir.

Bu problemin doğrusal hedef programlama modelini kurunuz?
27
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Çözüm
28
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
14
06.05.2014
Çözüm

Kâr ve üretim hedeflerine ilişkin hedefler modelde hedef kısıtları olarak yer almıştır.
Amaç fonksiyonunda ise kâr hedefinin altında kalınmak istenmediğinden d1değişkeni, üretim hedefinin de altında kalınmak istenmediğinden d2+ değişkeni
toplamları en küçüklenmektedir.
29
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Hedef Programlama Modellerinin Çözümü

Öncelikli hedef programlama problemleri simpleks metodun bir uzantısı olan
hedef programlama simpleksi ile çözülebilir.

Normal simpleks tablosunda sadece bir amaç satırı var iken, m hedef
bulunan bir hedef programlama simpleks tablosunda her hedef için bir amaç
satırı olmak üzere toplam m adet amaç satırı vardır.

Her amaç fonksiyonu ilgili hedefteki istenmeyen yöndeki sapmadan doğan
cezayı (maliyeti) temsil etmektedir.

Buna göre herhangi bir i hedefinin amaç fonksiyonu değerinin sıfırdan büyük
olması (zi>0), i hedefinde istenmeyen yönde bir sapma olduğunu gösterir.
zi değeri sıfıra yaklaştıkça hedefe yaklaşılmakta olup, zi=0 ise i hedefi elde
edilmiş demektir.
30
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
15
06.05.2014
Hedef Programlama Modellerinin Çözümü
Tablo : Reklam Problemi İçin Başlangıç Hedef Programlama Simpleks Tablosu
Satır
Katsayılar
TD
x1
x2
d1+
d2+
d3+
d1–
d2–
d3–
s4
STD
(YG)
z1
0
0
0
0
0
–P1
0
0
0
0
(OG)
z2
0
0
0
0
0
0
–P2
0
0
0
(DG)
z3
0
0
0
0
0
0
0
–P3
0
0
(YG)
?
7
3
–1
0
0
1
0
0
0
40
(OG)
?
10
5
0
–1
0
0
1
0
0
60
(DG)
?
5
4
0
0
–1
0
0
1
0
35
Bütçe
s4
100
60
0
0
0
0
0
0
1
600
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Aşama-2
Satır
Katsayılar
TD
x1
x2
d1+
d2+
d3+
d1–
d2–
d3–
s4
STD
0
0
0
0
0
40P1
60P2
(YG)
z1
7P1
3P1
–P1
0
(OG)
z2
10P2
5P2
0
–P2
0
0
0
0
0
(DG)
z3
5P3
4P3
0
0
–P3
0
0
0
0
35P3
(YG)
d1–
7
3
–1
0
0
1
0
0
0
40 (40/7 min.)
(OG)
d2–
10
5
0
–1
0
0
1
0
0
60 (60/10)
(DG)
d3–
5
4
0
0
–1
0
0
1
0
35 (35/5)
Bütçe
s4
100
60
0
0
0
0
0
0
1
600 (600/100)
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
16
06.05.2014
Aşama-3
Satır
Katsayılar
TD
x1
x2
d1+
d2+
d3+
d1–
d2–
d3–
s4
STD
(YG)
z1
0
0
0
0
0
–P1
0
0
0
0
(OG)
z2
0
5P2/7
10P2/7
–P2
0
–10P2/7
0
0
0
20P2/7
(DG)
z3
0
13P3/7
5P3/7
0
–P3
– 5P3/7
0
0
0
45P3/7
(YG)
x1
1
3/7
–1/7
0
0
1/7
0
0
0
40/7
(OG)
d2–
0
5/7
10/7
–1
0
–10/7
1
0
0
20/7
(DG)
d3–
0
13/7
5/7
0
–1
–5/7
0
1
0
45/7
Bütçe
s4
0
120/7
100/7
0
0
–100/7
0
0
1
200/7
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Aşama-4
Satır
Katsayılar
TD
x1
x2
d1+
d2+
d3+
d1–
d2–
d3–
s4
STD
(YG)
z1
0
0
0
0
0
–P1
0
0
0
0
(OG)
z2
0
–P2
0
–P2
0
0
0
0
–P2/10
0
(DG)
z3
0
P3
0
0
–P3
0
0
0
–P3/20
5P3
(YG)
x1
1
3/5
0
0
0
0
0
0
–1/100
6
(OG)
d2–
0
–1
0
–1
0
0
1
0
–1/10
0
(DG)
d3–
0
1
0
0
–1
0
0
1
–1/20
5
Bütçe
d1+
0
6/5
1
0
0
–1
0
0
7/100
2
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
17
06.05.2014

Tabloya göre 3ncü hedefin amaç satırındaki tek pozitif katsayı x2 değişkeninin
katsayısı (P3) olduğuna göre, bu hedefe yaklaşmanın tek yolu x2 değişkeninin
temele girmesidir.

Ancak bu sütundaki 2nci hedefin amaç satırındaki katsayısının negatif olduğu
görülmektedir (–P2). Bu sebeple x2 değişkeninin temele girmesi daha öncelikli bir
hedef olan 2nci hedeften sapmayı artırır. Ayrıca 3ncü hedefin amaç satırında pozitif
değere sahip başka katsayı olmadığından elde edilen bu tablo aynı zamanda
optimal çözüm tablosudur.

Bu problemin optimal çözümü; z=5P3, x1=6, x2=0, d1– = d2– = d2+= d3+=0 ve d1+=2,
d3– =5 bulunur.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Öncelikli Hedef Programlama Problemlerinin Bilgisayar ile
Çözümü
Min z1 =
d1–
7 x1 +
3 x2 +
d1– –
d1+ = 40
10 x1 +
5 x2 +
d2– –
d2+ = 60
5 x1 +
4 x2 +
d3– –
d3+ = 35
100 x1 +
xj, di–, di+
6 x2
 600
(j=1, 2) (i=1, 2, 3)
0
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
18
06.05.2014
Öncelikli Hedef Programlama Problemlerinin Bilgisayar
ile Çözümü
Min z2 =
d2–
7 x1 +
3 x2 +
d1– –
d1+ = 40
10 x1 +
5 x2 +
d2– –
d2+ = 60
5 x1 +
4 x2 +
d3– –
d3+ = 35
100 x1 +
 600
6 x2
d1–
=0
0
xj, di–, di+ (j=1, 2) (i=1, 2, 3)
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Öncelikli Hedef Programlama Problemlerinin Bilgisayar
ile Çözümü
Min z2 =
d3–
7 x1 +
10 x1 +
3 x2 +
5 x2 +
d1– –
d2– –
d1+ = 40
d2+ = 60
5 x1 +
100 x1 +
4 x2 +
6 x2
d3– –
d3+ = 35
 600
–
d1 = 0
d2– = 0
0
xj, di–, di+ (j=1, 2) (i=1, 2, 3)
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
19
06.05.2014

Optimal Çözüm

Son hedefin diğer hedeflerden küçük bir ayrıcalığı olup, bu hedefin optimal
çözümü aynı zamanda öncelikli hedef programlama modelinin de optimal
çözümüdür.

Bu modelin optimal çözümü ise; z=5 x1=6, x2=0, d1– = d2– = d2+= d3+=0 ve
d1+=2, d3– =5 bulunur.

Bu model gerçekleştirilmesi gereken son hedefi ifade ettiğine göre, bu
modelin optimal çözümü aynı zamanda öncelikli hedef programlama
modelinin optimal çözümüdür.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Kaynakça

Wayne L. Winston, Operations Research: Applications and Algorithms,Thomson, 2004

Hamdy A. Taha, Operations Research: An Introduction, Prentice Hall, 2000.

White, D.J., Operational Research, John Wiley &Sons, 1987.

Yöneylem Araştırması Ders Kitabı, 2012, KHO Yayınları.

Prof. Dr. B. Fethi ŞENİŞ, Yöneylem Araştırması-1,T.C. Anadolu Üniversitesi Yayını No: 2528
40
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
20
Download

Hedef Programlama