Matematika 2
časť: Funkcia viac premenných
Letný semester
2013/2014
RNDr. Jana Pócsová, PhD.
Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov
Fakulta BERG
Technická univerzita v Košiciach
e-mail: [email protected]
Euklidov priestor
Každú usporiadanú n-ticu [x1 , x2 , ..., xn ] reálnych čísel, kde n ≥ 1, nazývame
bodom n-rozmerného priestoru. Čísla x1 , x2 , . . ., xn nazývame súradnice tohto
bodu.
Dva body A = [a1 , a2 , ..., an ], B = [b1 , b2 , ..., bn ] sa rovnajú práve vtedy, ak
platí
ai = bi , pre všetky i = 1, 2, ..., n
teda ich zodpovedajúce súradnice sa rovnajú.
Euklidov priestor
Nech A = [a1 , . . . , an ] a B = [b1 , . . . , bn ] sú dva body n-rozmerného priestoru.
Definujme vzdialenosť medzi týmito bodmi nasledovne:
p
d(A, B) = (a1 − b1 )2 + · · · + (an − bn )2
Množinu všetkých n-tíc reálnych čísel s takto definovanou vziadenosťou d
nazývame n-rozmerný Euklidovský priestor a označíme ho En .
Základné vlastnosti vzdialenosti:
1. d(A, B) = d(B, A) pre ľubovoľné A, B (vlastnosť symetrie).
2. d(A, B) = 0 vtedy a len vtedy, ak A = B, inak d(A, B) > 0.
3. Pre ľubovoľné tri body A, B, C platí: d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C)
(trojuholníková nerovnosť).
Priestory E1 , E2 , E3 majú svoj geometrický model:
1. E1 je číselná os,
2. E2 je rovina, v ktorej je zavedená pravouhlá súradnicová sústava,
3. E3 je priestor, v ktorom je zavedená pravouhlá súradnicová sústava.
Niektoré dôležité pojmy
Množinu všetkých bodov X priestoru En , ktoré majú od daného bodu A
vzdialenosť menšiu alebo rovnajúcu sa r, r > 0, budeme nazývať guľou
priestoru En so stredom v bode A a polomerom r.
Nech A je bod priestoru En . Okolím bodu A označujeme vnútro každej gule so
stredom v A. Ak polomer tejto gule bude číslo r, budeme to okolie označovať
Or (A). Je to množina tých bodov priestoru En , pre ktoré platí d(A, X) < r.
Bod Z je hromadným bodom množiny M vtedy a len vtedy, ak v každom jeho
okolí leží nekonečne veľa bodov množiny M . (Pozn. Hromadný bod nemusí
patriť do množiny M .)
Množinu, ktorá obsahuje všetky hromadné body nazývame uzavretou
množinou.
Hovoríme, že bod A je vnútorným bodom množiny M , ak existuje r > 0 také,
že Or (A) ⊆ M .
Množinu všetkých vnútorných bodov množiny M nazývame vnútro množiny.
Množinu, ktorej každý bod je jej vnútorným bodom nazývame otvorenou
množinou.
Funkcia viac premenných
Nech M je množina bodov priestoru En . Funkcia n-premenných s definičným
oborom M je priradenie, ktoré každej n-tici z množiny M priradí práve jedno
reálne číslo. Označujeme ju f (X) alebo f (x1 , . . . , xn ).
Definičný obor funkcie dvoch premenných f (x, y) je množina všetkých
usporiadaných dvojíc [x, y] ∈ E2 , pre ktoré funkcia f (x, y) nadobúda reálne
hodnoty.
Podobne ako pri funkcii jednej premennej môže byť funkčný predpis daný
rôznymi spôsobmi, napr. slovami, tabuľkou hodnôt, analyticky pomocou
matematického výrazu alebo rovnice.
Zložená funkcia viac premenných
Nech funkcia f (x1 , x2 , . . . , xn ) je definovaná na množine M ⊆ En . Nech
x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tm ), . . . , xn = ϕn (t1 , . . . , tm ) je n funkcií m premenných,
ktoré sú definované na možine Mt ⊆ Em . Nech tieto funkcie sú také, že bod
[ϕ1 (T ), . . . , ϕn (T )] je z množiny M pre všetky body T = [t1 , . . . , tm ] z
množiny Mt . Potom možeme utvoriť funkciu f [ϕ1 (T ), . . . , ϕn (T )] = F (T ),
ktorá bude definovaná na množine Mt . Tejto funkcii hovoríme zložená funkcia.
Funkcii f (x1 , x2 , . . . , xn ) hovoríme hlavná zložka, funkciám ϕ1 (T ) . . . , ϕn (T )
vedľajšie zložky.
Definičný obor funkcie viac premenných
Určte definičný obor nasledujúcich funkcií:
1. f (x, y) =
x+y−1
x−y
2. f (x, y) = log (x2 + y 2 − 4)
3. f (x, y) = arcsin y−1
x
p
4. f (x, y) = x2 + y 2 − 1 + ln (2 − x2 − y 2 )
Graf funkcie viac premenných
Nech funkcia f (X) je funkcia n-premenných definovaná na množine M ⊆ En .
Grafom funkcie f (X) rozumieme množinu G všetkých bodov
[x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 ] priestoru En+1 , pre ktoré platí:
1. [x1 , x2 , . . . , xn ] ∈ M
2. xn+1 = f (x1 , . . . , xn )
Grafom funkcie dvoch premenných f (x, y) definovanej na množine M bodov
priestoru E2 je množina všetkých usporiadaných trojíc [x, y, z] priestoru E3 , pre
ktoré platí:
1. [x, y] ∈ M
2. z = f (x, y)
3. teda G = {[x, y, z] ∈ E3 : [x, y] ∈ M, z = f (x, y)}.
Úlohy
Vyšetrite graf funkcie:
1. f (x, y) = 2 − x − y
p
2. f (x, y) = 1 − x2 − y 2
3. f (x, y) = x2 + y 2
4. f (x, y) = e−x
2
−y 2
Postupnosť bodov a jej limita
Nech {X1 , X2 , . . . , Xk , . . . } je postupnosť bodov priestoru En . Hovoríme, že
táto postupnosť konverguje k bodu A, ak postupnosť vzdialeností
{d(A, X1 ), . . . , d(A, Xk ), . . . } konverguje k nule.
Konvergentná postupnosť má len jeden limitný bod.
Postupnosť bodov konverguje k bodu A, vtedy a len vtedy, ak postupnosť
prvých súradníc bodov konverguje k prvej súradnici bodu A, až postupnosť
n-tých súradníc bodov konverguje k n-tej súradnici bodu A.
Úloha
i
h
3 3n−5
1. Nájdite limitný bod postupnosti {Xn }∞
n=1 , kde Xn = 2 + n2 , 1−n
1 n−1 2. Dokážte, že postupnosť bodov {Xn }∞
n=1 , kde Xn = n , n , 2
konverguje k bodu A = [0, 1, 2].
n−1 √
3. Nájdite limitný bod postupnosti {Xn }∞
, n n, 1 .
n=1 , kde Xn =
n2
√
n
4. Nájdite limitný bod postupnosti {Xn }∞
2, n13 .
n=1 , kde Xn = 0,
Limita funkcie dvoch premenných
f (x, y) =
sin(x2 +y 2 )
x2 +y 2
D(f ) = {[x, y] ∈ E2 ; x2 + y 2 6= 0}, teda do definičného oboru funkcie f patria
všetky body roviny okrem bodu [0, 0].
Na základe grafu funkcie sa pozrime na to, ako sa vyzerajú funkčné hodnoty
funkcie f v okolí tohto bodu.
f (x, y) =
sin(x2 +y 2 )
x2 +y 2
Kvôli lepšej predstve numericky vypočítame funkčné hodnoty funkcie f v okoli
bodu [0, 0].
-1,0
-0,5
-0,2
0,0
0,2
0,5
1,0
Je zjavné, že
-1,0
0,455
0,759
0,829
0,841
0,829
0,759
0,455
lim
[x,y]→[0,0]
-0,5
0,759
0,959
0,986
0,990
0,986
0,959
0,759
-0,2
0,829
0,986
0,999
1,000
0,999
0,986
0,829
0,0
0,841
0,990
1,000
1,000
0,990
0,841
sin(x2 + y 2 )
= 1.
x2 + y 2
0,2
0,829
0,986
0,999
1,000
0,999
0,986
0,829
0,5
0,759
0,959
0,986
0,990
0,986
0,959
0,759
1,0
0,455
0,759
0,829
0,841
0,829
0,759
0,455
f (x, y) =
sin(x2 +y 2 )
x2 +y 2
Overenie pomocou výpočtov.
lim
[x,y]→[0,0]
sin(x2 + y 2 )
x2 + y 2
2
zavedieme substitúciu x + y 2 = t, ak x → 0 a y → 0, tak aj t → 0.
Teda
sin(x2 + y 2 )
sin t
lim
= lim
t→0
[x,y]→[0,0]
x2 + y 2
t
čo je limita funkcie jednej premennej. Pomocou L’Hospitalovho pravidla
ukážeme, že táto limita sa rovná jednej.
lim
t→0
sin t
cos t
= lim
= 1.
t→0
t
1
lim
[x,y]→[0,0]
sin(x2 + y 2 )
=1
x2 + y 2
Limita funkcie dvoch premenných
g(x, y) =
x2 −y 2
x2 +y 2
D(g) = {[x, y] ∈ E2 ; x2 + y 2 6= 0}, teda do definičného oboru funkcie g patria
všetky body roviny okrem bodu [0, 0].
Na základe grafu funkcie g:
g(x, y) =
x2 −y 2
x2 +y 2
Kvôli lepšej predstve numericky vypočítame funkčné hodnoty funkcie g v okoli
bodu [0, 0].
-1,0
-0,5
-0,2
0,0
0,2
0,5
1,0
-1,0
0,000
-0,600
-0,923
-1,000
-0,923
-0,600
0,000
-0,5
0,600
0,000
-0,724
-1,000
-0,724
0,000
0,600
-0,2
0,923
0,724
0,000
-1,000
0,000
0,724
0,923
0,0
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
Zdá sa, že v bode [0, 0] funkcia g nemá limitu.
0,2
0,923
0,724
0,000
-1,000
0,000
0,724
0,923
0,5
0,600
0,000
-0,724
-1,000
-0,724
0,000
0,600
1,0
0,000
-0,600
-0,923
-1,000
-0,923
-0,600
0,000
Limita funkcie viac premenných
Definícia (Cauchy)
Nech funkcia n-premenných f (X) je definovaná v istom okolí bodu
A = [a1 , a2 , ..., an ], ktorý je hromadným bodom jej oboru definície D(f ). Číslo
l nazývame limitou funkcie f (X) v bode A, ak pre každé > 0 existuje také
δ > 0, že pre všetky X ∈ Oδ (A), X 6= A, je f (X) ∈ O (l).
Ak je f (X) funkciou dvoch premenných a A = [x0 , y0 ], potom môžeme písať aj
lim
f (x, y) = l.
X→[x0 ,y0 ]
Veta (Heine)
Funkcia n-premenných f (X) má v bode A = [a1 , a2 , ..., an ] limitu číslo l práve
vtedy, ak pre ľubovoľnú postupnosť bodov {Xn }∞
n=1 , kde Xn ∈ D(f ), Xn 6= A
konvergujúcu k bodu A je lim f (Xn ) = l.
n→∞
Základné vlastnosti limity funkcie viacerých premenných
Nech funkcie f a g majú v bode A limitu, lim f (X) = b1 , lim g(X) = b2 .
X→A
Potom má v bode A limitu aj funkcia:
I
c1 · f + c2 · g, kde c1 , c2 sú ľubovoľné konštanty a platí
lim (c1 · f + c2 · g) = c1 · b1 + c2 · b2
X→A
I
f · g a platí lim f (X) · g(X) = b1 · b2
X→A
I f
g
f (X)
X→A g(X)
a platí lim
=
Vypočítajte limitu funkcie:
x3
lim
x2 +y 2
[x,y]→[0,0]
b1
, b2
b2
6= 0
X→A
Dôkaz neexitencie limity - po krivkách
Veta
Ak existuje lim f (x, y), tak lim f (x, y) existuje po ľubovoľnej krivke
X→A
X→A
prechádzajúcej cez bod A a je stále rovnaká.
Dokážte, že nasledujúce limity neexistujú.
1.
x2 −y 2
lim
2
2
[x,y]→[0,0] x +y
2.
2xy
lim
2
2
[x,y]→[0,0] x +y
3.
x2 y
lim
4
2
[x,y]→[0,0] x +y
Limita funkcie dvoch premenných - Dvojnásobné (opakované) limity
Nech funkcia f (x, y) je definovaná na množine M ⊆ E2 a nech [x0 , y0 ] je
hromadným bodom množiny M . Nech pre každé x 6= x0 také, že [x, y] ∈ M
existuje lim f (x, y) = g(x) a nech táto funkcia má v bode x0 limitu, potom
y→y0
lim f (x, y) sa nazýva dvojnásobná (opakovaná) limita
lim g(x) = lim
x→x0
x→x0
y→y0
funkcie f v bode [x0 , y0 ] podľa y a x.
Nech existuje limita funkcie f (x, y) v bode [x0 , y0 ] a nech existuje ľubovoľná z
dvojnásobných limít, potom sa tieto limity rovnajú.
Limita funkcie dvoch premenných - Opakované limity
Opakované limity sa používajú na dôkaz neexistencie limity
1. Ak opakované limity
existujú a sú rôzne, tak limita funkcie neexistuje.
yx
lim
1+y 2x
[x,y]→[0,∞]
2. Ak opakované limity existujú
a sú rovnaké, limita funkcie nemusí existovať.
x2 +y 2
lim
1+(x−y)4
[x,y]→[0,∞]
3. Opakované limity neexitujú,
ale limita funkcie dvoch premenný existuje.
lim
x · cos x
[x,y]→[0,∞]
Spojitosť funkcie viac premenných
Nech je funkcia f (X) definovaná na okolí bodu A = [a1 , a2 , ..., an ], ktorý je
hromadným bodom jej oboru definície D(f ). Hovoríme, že funkcia f (X) je
spojitá v bode A, ak platí
lim f (X) = f (A).
X→A
Hovoríme, že funkcia f (X) je spojitá v A vzhľadom na množinu M ak:
∀ > 0 ∃δ > 0; ∀x ∈ Oδ A ∩ M : |f (X) − f (A)| < Ak je funkcia f spojitá v každom bode množiny M ⊆ D(f ), hovoríme, že je
spojitá na množine M .
Spojitosť funkcie viac premenných
Nech funkcie f (X) a g(X) spojité v bode A. Potom
1. |f (X)| je spojitá v A,
2. c1 · f (X) ± c2 · g(X) je spojitá v bode A, kde ci ∈ R sú konštanty,
3. f (X) · g(X) sú spojité v bode A.
4. Nech platí g(A) 6= 0. Potom
f (X)
g(X)
je spojitá v bode A.
1. Nájdite body nespojitosti funkcie: f : z =
x+y
.
x−y
2. Dodefinujte funkciu, ak sa dá, na spojitú v bodoch nespojitosti
g : z = arctan xy2
Spojitosť funkcie viac premenných
Funkcia viac premenných, ktorá je spojitá na uzavretej oblasti, má podobné
vlastnosti ako funkcia jednej premennej spojitá na uzavretom intervale.
Ak je funkcia f spojitá na ohraničenej uzavretej oblasti M ⊂ En , potom platí:
1. funkcia f je ohraničená na M , teda existuje také číslo K > 0, že
|f (X)| < K pre každý bod X ∈ M .
2. funkcia f nadobúda na množine M svoje maximum aj minimum, teda
existuje aspoň jeden bod P 1 ∈ M a aspoň jeden bod P 2 ∈ M taký, že
f (X) ≤ f (P 1), f (X) ≥ f (P 2) pre každý bod X ∈ M .
3. ak A, B sú dva rôzne body z oblasti M také, že f (A) 6= f (B), funkcia f
nadobudne každú hodnotu medzi f (A) a f (B) aspoň v jednom bode
oblasti M , teda existuje aspoň jeden bod C ∈ M taký, že
f (A) < f (C) < f (B).
Spojitosť zloženej funkcie
Nech funkcie ϕ1 (X), . . . , ϕm (X) sú spojité na množine M ⊆ En . Nech funkcia
f (Y ); kde Y = [y1 , . . . , ym ] je spojitá na množine N ⊆ Em a nech pre každý
bod X ∈ M je bod Y = [ϕ1 (X), . . . , ϕm (X)] z množiny N . Potom aj zložená
funkcia f (ϕ1 (X), . . . , ϕm (X)) je spojitá na množine M .
Zdôvodnite spojitosť funkcie v E2
f (x, y) = cos(x2 + y 2 )
Parciálne derivácie
Nech f je funkcia n ≥ 2 premenných x1 , . . . , xn definovaná na nejakom okolí
bodu A = [a1 , . . . , an ]. Hovoríme, že funkcia f má v bode A parciálnu
deriváciu podla premennej xi , ak existuje limita
lim
xi →ai
f (a1 , . . . , ai−1 , xi , ai+1 , . . . , an ) − f (a1 , . . . , ai−1 , ai , ai+1 , . . . , an )
.
xi − ai
Hodnotu tejto limity označujeme
∂f (A)
∂xi
alebo fx0 i (A).
Výpočet parciálnej derivácie
Ak je daná funkcia f n-premenných, tak pri počítaní jej parciálnej derivácie
podľa premennej xi postupujeme rovnako, ako pri počítaní derivácie funkcie
jednej premennej. (Teda použitím vzorcov pre derivovanie elementárnych
funkcií a viet pre derivovanie.) Pri derivovaní funkcie f podľa premennej xi
budeme funkciu f považovať za funkciu jednej premennej a to premennej xi ,
ostatné premenné v predpise funkcie f budeme považovať za konštanty.
Parciálna derivácia funkcie f je takisto funkciou n-premenných.
1. Zderivujte nasledujúce funkcie podľa oboch premenných:
a) f (x, y) = x2 + xy + 2y 2
b) g(x, y) = arctan (x2 + y 2 )
c) h(x, y, z) = x · sin (y + z) + ex+y+z
2. Určte parciálne derivácie predchádzajúcich funkcií podľa oboch
premenných v bode A = [1, 2].
Parciálne derivácie vyšších radov
Nech f je funkcia n-premenných, ktorá má na množine M parciálne derivácie
∂f
∂f
, . . . , ∂x
. Parciálna derivácia druhého rádu funkcie f podľa premenných xi
∂x1 n 2
∂ f
a xk ∂xi ∂xk je parciálna derivácia podľa xk parciálnej derivácie funkcie f
podľa xi .
Označenie:
∂2f
∂xi ∂xk
Ak xi = xk , píšeme
∂2f
.
∂x2
i
Zameniteľnosť parciálnych derivácií vyšších rádov
Veta
∂f
∂f
Nech f je funkcia n premenných, nech parciálne derivácie ∂x
a ∂x
podľa
i
j
niektorých premenných xi , xj existujú na nejakom okolí bodu A a nech
2
f
parciálna derivácia ∂x∂i ∂x
je spojitá v A. Potom v A je definovaná aj parciálna
j
derivácia
∂2f
∂xj ∂xi
a platí
∂ 2 f (A)
∂ 2 f (A)
=
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
2
2
Dokážte, že funkcia z = y + ex −y vyhovuje parciálnym diferenciálnym
00
00
00
00
rovniciam zxx
+ zxy
= 1 a zxy
+ zyy
=1
Dotyková rovina
Veta
Ak funkcia f (x, y) je v bode A = [x0 , y0 ] diferencovateľná, tak jej graf má v
bode P = [x0 , y0 , f (x0 , y0 )] dotykovú rovinu. Jej rovnica je:
z − f (A) =
∂f (A)
∂f (A)
· (x − x0 ) +
· (y − y0 )
∂x
∂y
Nájdite rovnicu dotykovej roviny ku grafu funkcie f (x, y) = x2 + 2y 2 v bode
P0 = [1, 1, z0 ].
Lokálne extrémy
Hovoríme, že funkcia f (X) n-premenných má v bode A = [a1 , . . . , an ] ostré
lokálne maximum (lokálne maximum), ak pre každý bod z okolia bodu A platí
f (X) < f (A) (f (X) ≤ f (A)).
Hovoríme, že funkcia f (X) má v bode A = [a1 , . . . , an ] ostré lokálne
minimum (lokálne minimum), ak pre každý bod z okolia bodu A platí
f (X) > f (A) (f (X) ≥ f (A)).
Veta (Nutná podmienka existencie extrému)
Nech funkcia f (x1 , . . . , xn ) n-premenných má v bode A = [a1 , . . . , an ] lokálny
extrém. Nech existujú parciálne derivácie podľa všetkých premenných. Potom
∂f (A)
= 0 pre každé i = 1, . . . , n.
∂xi
Bod, v ktorom sa všetky parciálne derivácie rovnajú nule, nazývame
stacionárnym bodom.
z = x2 + y 2
V bode [0, 0] je ostré lokálne minimum.
z = xy
V bode [0, 0] nie je extrém.
Lokálne extrémy - Postačujúca podmienka existencie extrému - funkcia
dvoch premenných
Veta
Nech bod A = [a1 , a2 ] je stacionárnym bodom funkcie f (x, y). Nech má
funkcia v okolí bodu A spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu.
Nech determinant
2
∂ f (A) ∂ 2 f (A) ∂x2
∂x∂y
D = ∂ 2 f (A) ∂ 2 f (A) > 0
2
∂y∂x
∂y
Potom má funkcia f (x, y) v bode A lokálny extrém, a to:
1. lokálne minimum, ak súčasne platí
2. lokálne maximum, ak súčasne platí
∂ 2 f (A)
∂x2
2
∂ f (A)
∂x2
>0
<0
Ak determinant je záporny (D < 0), tak funkcia f (x, y) v bode A nemá extrém.
Ak determinant rovný nule (D = 0), tak o lokálnom extréme nevieme
rozhodnúť. Je potrebné vyšetrovať funkciu f (x, y) v okolí stacionárneho bodu
A inými metódami (napríklad: testujeme funkčné hodnoty v okolí bodu A).
Lokálne extrémy - Postačujúca podmienka existencie extrému - funkcia
troch premenných
Nech bod A = [a1 , a2 , a3 ] je stacionárnym bodom funkcie f (x, y, z). Nech má
funkcia v okolí bodu A spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu.
Nech determinant
2
∂ f (A) ∂ 2 f (A) ∂x2
∂x∂y
D = ∂ 2 f (A) ∂ 2 f (A) > 0
2
∂y∂x
∂y
Potom má funkcia f (x, y, z) v bode A lokálny extrém, a to:
2
f (A)
1. lokálne minimum, ak platí ∂ ∂x
> 0 a zároveň
2
2
∂ f (A) ∂ 2 f (A) ∂ 2 f (A) ∂x2
∂x∂y
∂x∂z
∂ 2 f (A) ∂ 2 f (A) ∂ 2 f (A) >0
∂y∂x
∂y∂z
∂y 2
∂ 2 f (A) ∂ 2 f (A) ∂ 2 f (A) ∂z∂x
2
∂z∂y
∂z
2
f (A)
2. lokálne maximum, ak súčasne platí ∂ ∂x
<0
2
2
2
2
∂ f (A) ∂ f (A) ∂ f (A)
∂x2
∂x∂z
∂ 2 f (A) ∂∂x∂y
2
f (A)
∂ 2 f (A)
2
∂y∂x
∂y∂z
∂y
∂ 2 f (A) ∂ 2 f (A) ∂ 2 f (A)
∂z∂x
∂z∂y
∂z 2
a zároveň
<0
Lokálne extrémy - Algoritmus
1. Nájsť stacionárne body,
2. otestovať stacionárne body na možný extrém,
3. vyšetriť body, v ktorých neexistujú parciálne derivácie podľa všetkých
premenných.
Nájdite lokálne extrémy funkcie (ak existujú):
1. f (x, y) = x2 + y 2 + xy − 6x − 9y
2. f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2
3. f (x, y) = y 2 − 2x2 y + 2x4
4. g(x, y) = x3 + 3xy 2 − 51x − 24y
Viazané extrémy
Nech funkcia f (x, y) je definovaná na M ⊆ E2 . Nech množina N je definovaná
pomocou funkcie dvoch premenných g(x, y) t.j. N = {[x, y] ∈ M ; g(x, y) = 0}.
Lokálne extrémy funkcie f (x, y) na množine N nazývame viazanými lokálnymi
extrémami a rovnicu g(x, y) = 0 nazývame väzbou.
Funkcia má v bode A viazané lokálne maximum (minimum) vzhľadom na
množinu N , N = {[x, y] ∈ M ; g(x, y) = 0}, ak A ∈ N a existuje také okolie
bodu A, že pre každý bod X ∈ O (A), ktorého súradnice spĺňajú rovnicu väzby
platí f (X) ≤ f (A) (f (X) ≥ f (A)).
Hľadanie viazaných lokálnych extrémov
1. Ak rovnica väzby g(x, y) = 0 určuje jedinú funkciu y = h(x), potom
viazané lokálne extrémy môžeme nájsť ako extrémy funkcie jednej
premennej z = F (x) = f (x, h(x)) na množine N .
1.1 Nájdite viazané extrémy funkcie: f (x, y) = x2 + y 2 za podmienky
x + y − 1 = 0.
1.2 Zo všetkých obdĺžnikov, ktorých obvod je 10 cm, nájdite ten, ktorého
plošný obsah je maximálny.
2. Pomocou Lagrangeovej metódy neurčitých multiplikátorov
Veta
Nech funkcia F (x, y) = f (x, y) + λg(x, y) má lokálne maximum (minimum) v
bode A, pričom A ∈ N . Potom funkcia f (x, y) má v bode A viazané lokálne
maximum (minimum) vzhľadom na množinu A.
Nájdite viazané lokálne extrémy funkcie f (x, y) = x + y pri väzbe
x2 + y 2 − 1 = 0.
Globálne extrémy
Nech f (x, y) je funkcia definovaná na množine M . Maximum (minimum)
množiny všetkých hodnôt f (X) funkcie f pre X ∈ M sa nazýva globálne
alebo absolútne maximum (minimum) funkcie na množine M .
Ak M je uzavretá ohraničená množina, tak funkcia má na nej globálne extrémy.
Hľadáme ich takto:
1. Nájdeme lokálne extrémy funkcie f vo vnútri množiny M .
2. Nájdeme viazané lokálne extrémy funkcie f na hranici množiny M .
3. Potom globálne maximum (minimum) funkcie f na množine M je
maximum (minimum) z lokálnych extrémov funkcie f vo vnútri množiny
M a z extrémov funkcie f na hranici množiny M .
Nájdite globálne extrémy funkcie f (x, y) = x2 − y 2 na množine
M = {[x, y] ∈ E2 : x2 + y 2 ≤ 4.
Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie
f (x, y) = x2 − 2y 2 + 4xy − 6x − 1 na množine
M = {[x, y] ∈ E2 : x ≥ 0; y ≥ 0; y ≤ −x + 3}.
Derivácia v smere
Nech f (X) je funkcia viac premenných, kde X = [x1 , x2 , . . . , xn ], bod
A = [a1 , a2 , . . . , an ] a jednotkový vektor ~
u. Deriváciou funkcie f (X) v bode A
f (A + t~
u) − f (A)
v smere vektora ~
u nazývame limitu lim
a označujeme
t
t→0+
df (A)
.
d~
u
Gradient
Veta
Nech f (x, y, z) je funkcia diferencovateľná v bode A = [a1 , a2 , a3 ]. Gradientom
funkcie f (x, y, z) v bode A nazývame vektor grad f (A), pre ktorý platí
∂f (A)~ ∂f (A) ~ ∂f (A) ~
grad f (A) =
k
i+
j+
∂x
∂y
∂z
Veta
Nech f (X) je funkcia diferencovateľná v bode A. Potom pre deriváciu funkcie
f (X) v bode A v smere určenom jednotkovým vektorom ~
u platí:
df (A)
= grad f (A) · ~
u
d~
u
Derivácia funkcie v bode A v smere vektora je skalárnym súčinom jednotkového
vektora a gradientu funkcie f (A).
Úlohy
1. Vypočítajte deriváciu funkcie f (x, y) = 6xy 2 − 2x3 + y 2 + 2x − 8 v bode
A = [1; 2] v smere vektora ~l, ak
a) ~l =
√ !
1
3
− ;−
2
2
h
i
√
b) ~l je určený vektorom B − A, kde B = 1 − 3; −1
π
c) vektor ~l zviera s osou ox orientovaný uhol −
4
2. Nech je dané f (x, y) = 6xy 2 − 2x3 + y 2 + 2x − 8 a A = [1; 2].
a) Nájdite smer, v ktorom má funkcia f (x, y) v bode A najväčšiu deriváciu.
b) Nájdite smer, v ktorom má funkcia f (x, y) v bode A najmenšiu deriváciu.
c) Nájdite smer, v ktorom má funkcia f (x, y) v bode A nulovú deriváciu.
Zoznam použitej literatúry
Eliáš J., Horváth J., Kajan J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky 3,
Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, Bratislava, 1967.
Ivan J.: Matematika 2, Alfa, Bratislava, 1989, ISBN: 80-05-00114-2.
Kluvánek I., Mišík L., Švec M.: Matematika 1, Slovenské vydavateľstvo
technickej literatúry, Bratislava, 1959.
Download

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných Letný