Obsah
1 Matematická analýza — časť I
1.1 Základné definície (funkcie jednej premennej) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Spojitosť funkcie (jednej premennej) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Spojitosť funkcie v bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Spojitosť funkcie na množine a štruktúra niektorých množín na číselnej osi
1.2.3 Vlastnosti spojitých funkcií definovaných na kompaktných množinách . . .
1.2.4 Niekoľko vlastností monotónnych funkcií súvisiacich so spojitosťou . . . . .
1.3 Diferenciálny počet (funkcie jednej premennej) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Derivácia funkcie (jednej premennej) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Derivácia a spojitosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Vety o deriváciách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Diferenciál funkcie (jednej premennej) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Základné definície (funkcie vektorového argumentu) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Spojitosť funkcie (vektorového argumentu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Diferencovateľnosť zobrazení z Rn do Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Diferencovateľnosť vektorových funkcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Diferencovateľnosť reálnej funkcie vektorového argumentu . . . . . . . . . .
1.8 Derivácia funkcie v smere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Diferenciály vyšších rádov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Funkcie dané implicitne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
3
4
5
5
5
5
5
6
6
7
7
8
8
8
8
9
2 Matematická analýza — časť II
2.1 Lokálne extrémy funkcie vektorového argumentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Extrémy funkcie danej implicitne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Lokálne viazané extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
11
11
3 Matematická analýza — časť III
3.1 Riemannov integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Definície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Aplikácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lebesgueov integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Parametrické integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Riemannov parametrický integrál . . . . . . . . .
3.3.2 Nevlastný parametrický integrál prvého druhu .
3.3.3 Nevlastný parametrický integrál druhého druhu .
3.4 Gamma funkcia a jej vlastnosti . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Zovšeobecnené polárne súradnice . . . . . . . . . . . . .
3.6 Riemannov integrál na kompakte . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Definície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 m-násobný Riemannov integrál . . . . . . . . . .
3.6.3 Kritérium riemannovskej integrovateľnosti . . . .
3.6.4 Zámena premenných v Riemannovom integrále .
3.7 Greenova formula integrácie per partes pre viacrozmerné
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
integrály
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
14
14
14
15
16
16
16
16
17
17
17
17
17
18
19
19
19
4 Matematická analýza — časť IV
4.1 Metrické priestory . . . . . . . .
4.1.1 Definície . . . . . . . . . .
4.1.2 Úplnosť MP . . . . . . . .
4.1.3 Kompaktnosť MP . . . .
4.1.4 Banachova veta o pevnom
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20
20
20
21
21
21
. . .
. . .
. . .
. . .
bode
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Verzia z 26. augusta 2003. Vytvoril OLE, na prípadné chybičky ho upozornite ([email protected]).
1
1
Matematická analýza — časť I
Funkcie jednej a viac premenných: Spojitosť, diferencovateľnosť, derivácia v smere, totálny diferenciál. Funkcie zadané implicitne. Veta o inverznej funkcii. Úplná derivácia.
1.1
Základné definície (funkcie jednej premennej)
Definícia 1.1.1 Nech A a B sú dve množiny. Ak ku každému prvku x ∈ A priradíme práve jeden
prvok y ∈ B, hovoríme, že na množine A je definovaná funkcia. Píšeme y = f (x) a hovoríme o
funkcii f .
Množina A je nazývaná definičný obor funkcie f . Množina pozostávajúca zo všetkých prvkov
y, ktoré sú priradené prvkom x ∈ A je nazývaná obor hodnôt f .
Definícia 1.1.2 Nech f (x) a g(x) sú dve funkcie. Hovoríme, že tie funkcie sa sebe rovnajú, ak
1. Sú definované na tej istej množine M
2. Pre každé x ∈ M platí f (x) = g(x)
Definícia 1.1.3 Funkciu f (x), ktorej obor je množina reálnych čísel, nazývame reálnou funkciou,
ak aj definičný obor, aj obor hodnôt je množina reálnych čísel, hovoríme o reálnej funkcii reálnej
premennej.
V ďalšom pod funkciou budeme myslieť reálnu funkciu reálnej premennej.
1.2
1.2.1
Spojitosť funkcie (jednej premennej)
Spojitosť funkcie v bode
Definícia 1.2.1 Nech f (x) je funkcia definovaná na množine M . Budeme hovoriť, že f (x) je
spojitá v čísle a, ak je v ňom definovaná (t.j. a ∈ M ) a ak ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ M, |x − a| < δ
platí |f (x) − f (a)| < ε.
Veta 1.2.1 Nech f (x) je funkcia definovaná na množine M . Nech a je hromadným bodom1 množiny M . Funkcia f (x) je v bode a spojitá ⇔ f (x) je bode a je definovaná, má v ňom limitu a platí
limx→a f (x) = f (a).
Poznámka: Ak a nie je hromadným bodom M , limita f (x) v tomto bode nemá zmysel, o
spojitosti sa však hovoriť dá.
Veta 1.2.2 Nech f (x) a g(x) sú spojité v bode a, potom
i. f (x) + g(x) a f (x) · g(x) sú spojité v bode a
ii. nech navyše g(a) 6= 0, potom
f (x)
g(x)
je spojitá v bode a
Veta 1.2.3 Nech f (x) je definovaná na M a nech jej obor hodnôt je M ∗ . Nech g(x) je definovaná
na M ∗ . Nech a ∈ M, b ∈ M ∗ a b = f (a). Ak f (x) je spojitá v bode a a g(y) je spojitá v bode b, je
zložená funkcia F (x) = g(f (x)) spojitá v bode a.
1 Hromadný
bod množiny M : v každom jeho okolí sa nachádza aspoň jeden bod z M rôzny od a.
2
1.2.2
Spojitosť funkcie na množine a štruktúra niektorých množín na číselnej osi
Definícia 1.2.2 Nech f (x) je funkcia definovaná na množine M . Budeme hovoriť, že f (x) je
spojitá na množine M , ak je spojitá v každom bode množiny M .
Definícia 1.2.3 Číslo a sa nazýva vnútorný bod množiny M , ak existuje také okolie O(a), že
O(a) ⊂ M . Množinu budeme nazývať otvorenou, ak každý jej bod je vnútorným bodom.
Definícia 1.2.4 Množinu M nazývame uzavretou, ak obsahuje všetky svoje hromadné body.
Veta 1.2.4 Množina M je uzavretá vtedy a len vtedy, ak pre každú konvergentnú postupnosť
{xn }∞
n=1 , ktorej prvky sú z M , platí limn→∞ xn ∈ M .
Dôkaz: (=⇒) Nech M je uzavretá a nech x0 = limn→∞ xn , kde xn ∈ M pre n = 1, 2, . . . Sú dve
možnosti:
a) x0 je hromadným bodom množiny M
b) x0 nie je hromadným bodom množiny M
V prípade a) z uzavretosti M vyplýva, že x0 ∈ M , teda dôkaz je hotový.
V prípade b) dostávame, že existuje O(x0 ) tak, že v O(x0 ) sa nenachádza žiadny bod z množiny
M rôzny od x0 . Z toho, že limn→∞ xn = x0 však plynie, že existuje N tak, že pre n > N je
xn ∈ O(x0 ). Pretože xn ∈ M , musí platiť xn = x0 pre n > N a teda x0 ∈ M .
(⇐=) Nech limn→∞ xn pre každú konvergentnú postupnosť, ktorej prvky sú z M . Zvoľme ľubovoľný
hromadný bod x0 množiny M . Potom z vety2 vyplýva, že existuje {xn }∞
n=1 tak, že xn ∈ M a
limn→∞ xn = x0 . Teda x0 ∈ M . Tým je dokázané, že M je uzavretá. Veta 1.2.5 Množina M je uzavretá vtedy a len vtedy, ak jej komplement je otvorená množina.
Dôkaz: Nech M je uzavretá. Nech a ∈ M 0 (M 0 je komplement množiny M ). Z uzavretosti M
vyplýva, že a nie je hromadným bodom M , teda existuje okolie bodu O(a) bodu a, neobsahujúce
žiadny bod z množiny M . Platí teda O(a) ⊂ M 0 , tzn. a je vnútorným bodom M 0 . Teda M 0 je
otvorená.
Nech teraz M 0 je otvorená množina. Nech b je ľubovoľný hromadný bod M . Potom každé okolie
O(b) obsahuje nejaké body patriace do M a teda nepatriace do M 0 . Bod b teda nie je vnútorným
bodom M 0 , nemôže teda patriť do M 0 (lebo M 0 je otvorená) a teda je z M . Tým je dokázané, že
M je uzavretá. Definícia 1.2.5 Nech M je množina a nech {Pt }t∈T je systém množín taký, že každý prvok množiny M patrí aspoň do jednej množiny Pt zo systému {Pt }t∈T . Potom hovoríme, že systém {Pt } je
pokrytím množiny M . Ak systém {Pt } obsahuje len konečne mnoho prvkov, hovoríme, že pokrytie
je konečné. Ak množiny {Pt } sú otvorené pre každé t ∈ T , pokrytie nazyvame otvoreným.
Definícia 1.2.6 Množinu M nazývame kompaktnou, ak pre ľubovoľné otvorené pokrytie {Pt }t∈T
tej množiny existuje konečný počet t1 , t2 , . . . , tn prvkov patriacich do T tak, že M ⊂ Pt1 ∪ Pt2 ∪
. . . ∪ Ptn (teda, ak z ľubovoľného jej otvoreného pokrytia možno vybrať konečné pokrytie).
Veta 1.2.6 Každý uzavretý interval ha, bi je kompaktná množina.
Dôkaz: je dlhý, v skriptách na strane 81. Veta 1.2.7 Každá kompaktná množina je uzavretá.
Veta 1.2.8 Každá kompaktná množina je ohraničená.
Veta 1.2.9 Číselná množina M je kompaktná vtedy a len vtedy, keď je uzavretá a ohraničená.
Veta 1.2.10 Každá nekonečná ohraničená množina má aspoň jedno reálne číslo za svoj hromadný
bod (ktorý môže, ale nemusí danej množine patriť).
Veta 1.2.11 Každá neprázdna kompaktná číselná množina má najväčší aj najmenší prvok.
2 Veta: Pre ľub. bod a rozšírenej číselnej osi ∃ postupnosť okolí {O n (a)}∞
n=1 tak, že pre ľub. postupnosť {xn }n=1
reálnych čísel takú, že xn ∈ On (a) platí limn→∞ xn = a.
3
1.2.3
Vlastnosti spojitých funkcií definovaných na kompaktných množinách
Veta 1.2.12 Ak f (x) je spojitá funkcia na kompaktnej množine M , potom f (x) je na tej množine
ohraničená.
Dôkaz: Pre ľubovoľný bod z ∈ M existuje okolie O(z) tak, že f (x) je na O(z) ohraničená, teda
|f (x)| ≤ Kz pre každé x ∈ O(z), kde Kz ∈ R. Ak z prebieha celú množinu M , potom príslušné
okolia O(z) dávajú otvorené pokrytie M . Z kompaktnosti M vyplýva, že existuje konečné podpokrytie toho pokrytia (patriace k nejakým bodom z1 , z2 , . . . , zn množiny M . Zoberme príslušné
čísla Kz1 , Kz2 , . . . , Kzn a položme K = max{Kz1 , . . . , Kzn }. Pre každý bod x ∈ M platí, že x
patrí do niektorého O(zi ), kde i = 1, 2, . . . , n, teda |f (x)| ≤ Kzi ≤ K. Tým je dokázané, že f (x)
je na M ohraničená. Veta 1.2.13 Ak f (x) je spojitá funkcia definovaná na kompaktnej množine M , potom f (x) nadobúda na tej množine najväčšiu aj najmenšiu hodnotu.
Dôkaz: Pretože f (x) je na M ohraničená, existuje supx∈M f (x) = s a rovnako inf x∈M f (x) = r.
Stačí ukázať, že existujú body c1 a c2 ∈ M tak, že f (c1 ) = s a f (c2 ) = r (teda, že f (x) nadobudne
svoje suprémum aj infimum). Dokážeme existenciu c1 . (pre c2 je dôkaz analogický.) Postupujeme
nepriamo. Nech neexistuje taký prvok c1 v množine M , že f (c1 ) = s. Potom f (x) < s pre každé
x ∈ M . Utvorme funkciu g(x) = s−f1(x) . Táto fukcia je definovaná na M a je na nen spojitá
(je podielom dvoch spojitých funkcií, pričom s − f (x) 6= 0 pre ∀x ∈ M . Zvoľme ľubovoľné číslo
1
K > 0. Platí K
> 0. Z toho, že s = supx∈M f (x) = s a z druhej vlastnosti supréma3 dostávame, že
1
1
existuje bod x0 ∈ M tak, že s− K
< f (x0 ) < s. Odtiaľ s−f (x0 ) < K
a teda g(x0 ) = s−f1(x0 ) > K.
Ukázali sme, že g(x) je neohraničená funkcia. To je spor s vetou 1.2.12. Veta 1.2.14 Obor hodnôt spojitej funkcie definovanej na kompaktnej množine je kompaktná množina.
Definícia 1.2.7 Funkciu f (x), definovanú na množine M , budeme nazývať rovnomerne spojitou
na M , ak k ľubovoľnému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pre ľubovoľnú dvojicu x1 , x2 ∈ M takú, že
|x1 − x2 | < δ, platí |f (x1 ) − f (x2 )| < ε.
Veta 1.2.15 Ak je funkcia f (x) rovnomerne spojitá na M , potom je na M spojitá. (Opačne
tvrdenie neplatí.)
Veta 1.2.16 Ak f (x) je funkcia spojitá na kompaktnej množine M , potom je na tej množine
rovnomerne spojitá.
Veta 1.2.17 Nech f (x) je funkcia spojitá na uzavretom intervale ha, bi. Potom:
1. f (x) je na ha, bi ohraničená.
2. f (x) nadobúda na ha, bi maximum a minimum.
3. f (x) je na ha, bi rovnomerne spojitá.
Dôkaz: Vyplýva z viet 1.2.12, 1.2.13 a 1.2.16. 3 Definícia supréma: Nech M je podmnožinou usporiadanej množiny U . Prvok β ∈ U nazývame suprémom
množiny M , ak má tieto vlastnosti:
V1 : Pre každé x ∈ M platí x ≤ β
V2 : Ak y ∈ U a ak platí x ≤ y pre každé x ∈ M , potom β ≤ y.
4
1.2.4
Niekoľko vlastností monotónnych funkcií súvisiacich so spojitosťou
Veta 1.2.18 Nech f je neklesajúca funkcia na intervale J. Nech a je vnútorným bodom tohoto
intervalu. Funkcia f je nespojitá v a vtedy a len vtedy, keď limx→a− f (x) < limx→a+ f (x).
Veta 1.2.19 Nech f je monotónna funkcia, definovaná na intervale J taká, že jej oborom hodnôt
je buď jednobodová množina alebo interval. Potom f je na intervale J spojitá.
Veta 1.2.20 Nech f je rýdzo monotónna spojitá funkcia, definovaná na intervale J. Potom funkcia f¯ inverzná k f je rýdzo monotónna a spojitá.
1.3
1.3.1
Diferenciálny počet (funkcie jednej premennej)
Derivácia funkcie (jednej premennej)
Definícia 1.3.1 Nech f (x) je definovaná v okolí bodu a. Hovoríme, že f (x) má v bode a deriváciu,
ak existuje
f (x) − f (a)
lim
x→a
x−a
Túto limitu budeme nazývať deriváciou v bode a a značiť f 0 (a).
Táto limita môže byť vlastná aj nevlastná. Ak je vlastná, hovoríme o konečnej derivácii. Často
(a)
sa uvádza v tvare limh→0 f (a+h)−f
, kde h je z vhodného okolia bodu 0. Ak ∀x0 ∈ M ∃f 0 (x0 ),
h
0
máme na M definovanú funkciu f (x) (hovoríme jej derivácia funkcie f (x)). Analogicky sa zavádza
pojem derivácia sprava (zľava).
1.3.2
Derivácia a spojitosť
Veta 1.3.1 Ak má funkcia f (x) v bode a konečnú deriváciu, potom je v tomto bode spojitá.
Dôkaz: Platí
f (x) = f (a) + lim
x→a
f (x) − f (a)
(x − a)
x−a
pre každé x 6= a. Odtiaľ dostávame
lim f (x) = f (a).
x→a
1.3.3
Vety o deriváciách
Veta 1.3.2 Ak funkcie f a g majú v bode x konečné derivácie f 0 (x) a g 0 (x), potom existuje
derivácia ich súčinu a súčtu a platí:
i. [f (x) + g(x)]0 = f 0 (x) + g 0 (x)
ii. [f (x) · g(x)]0 = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
a ak g(x) 6= 0, existuje aj derivácia podielu a platí:
h
i0
0
(x)
(x)g 0 (x)
iii. fg(x)
= f (x)g(x)−f
g(x)2
Veta 1.3.3 (O derivácii inverznej funkcie) Nech f (x) je funkcia definovaná na intervale J,
spojitá a rýdzomonotónna na ňom a nech x0 je vnútorným bodom toho intervalu. Nech f¯(y) je
funkcia inverzná k f (x), majúca v bode y0 = f (x0 ) konečnú deriváciu rôznu od nuly. Potom f (x)
má v bode x0 deriváciu a platí
1
f 0 (x0 ) = ¯0
f (y0 )
Veta 1.3.4 (O derivácii zloženej funkcie) Nech g(x) má v bode x0 konečnú deriváciu. Nech
f (u) má konečnú deriváciu v bode u0 = g(x0 ). Potom funkcia f (g(x)) má v bode x0 deriváciu
f 0 (u0 )g 0 (x0 ).
5
1.4
Diferenciál funkcie (jednej premennej)
Definícia 1.4.1 Nech f (x) je funkcia definovaná v okolí bodu x0 a nech existuje reálne číslo A
a funkcia ω(x) taká, že limx→x0 ω(x) = ω(x0 ) = 0 a že pre x ∈ O(x0 ) platí f (x) − f (x0 ) =
A(x − x0 ) + ω(x)(x − x0 ). Potom funkciu f (x) nazývame diferencovateľnou v bode x0 a výraz
A(x − x0 ) diferenciálom funkcie f (x) v bode x0 . Píšeme
A(x − x0 ) = df (x, x0 ).
(x0 )
Platí f (x)−f
= A + ω(x) pre x ∈ O(x0 ), x 6= x0 a teda limx→x0
x−x0
sa A. Teda A = f 0 (x).
f (x)−f (x0 )
x−x0
existuje a rovná
Veta 1.4.1 Funkcia f (x) je diferencovateľná v bode x0 ⇔ ak má v tom bode konečnú deriváciu.
Platí
df (x, x0 ) = [df (x)]x=x0 = f 0 (x)(x − x0 ).
Diferenciál ľubovoľnej funkcie f (x) v bode x0 môžeme zapisovať v tvare df (x, x0 ) = f 0 (x0 ) =
d(x − x0 ), ak uvažujeme ľubovoľný bod x, píšeme predchádzajúci vzorec často vo forme df (x) =
f 0 (x)dx
Veta 1.4.2 Nech f (x) je diferencovateľná v bode a. Potom existuje také okolie O(a) bodu a, že
pre x ∈ O(a) platí
|f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a)| = |f (x) − L(x)|,
kde L(x) = f (a) + k(x − a). Čiže diferenciál je lineárnou funkciou, ktorá v istom okolí bodu a
najlepšie aproximuje rozdiel f (x) − f (a) spomedzi všetkých lineárnych funkcií.
1.5
Základné definície (funkcie vektorového argumentu)
• Euklidovský metrický priestor: E n = (R, ρ), ρ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
pPn
i=1 (xi
− yi )2 .
• Otvorená guľa: S(x0 , r) = {x ∈ Rn : ρ(x, x0 ) < r}.
• Uzavretá guľa: S[x0 , r] = {x ∈ Rn : ρ(x, x0 ) ≤ r}.
• Otvorený interval v Rn : (a1 , b1 ) × (a1 , b1 ) × . . . × (an , bn ), kde (ai , bi ), i = 1, . . . , n sú otvorené
intervaly v R.
• Uzavretý interval v Rn : [a1 , b1 ] × [a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ], kde [ai , bi ], i = 1, . . . , n sú otvorené
intervaly v R.
• Okolie O(A) bodu A: ľubovoľná otvorená množina v Rn , ktorá obsahuje bod A. Guľové okolie
Or (A) := S(A, r).
• Vektorový (lineárny) priestor nad poľom skalárov K: množina X, v ktorej sú definované
1. Vnútorná binárna operácia X × X → X : (x, y) 7−→ x + y, ktorá má vlastnosti
a.
b.
c.
d.
x + (y + z) = (x + y) + z
x+0=x
x + (−x) = 0
x+y =y+x
2. Vonkajšia binárna operácia K × X → X : (λ, x) 7−→ λx, ktorá má vlastnosti
a.
b.
c.
d.
λ(x + y) = λx + λy
(λ + µ)x = λx + µx
(λµ)x = λ(µx)
1·x=x
6
• Normovaný vektorový (lineárny) priestor : normou vo vektorovom priestore rozumieme zobrazenie X → R+ , R+ = [0, ∞], pre ktoré:
1. (kxk > 0 ∧ kxk = 0) ⇐⇒ x = 0
2. kλxk = kλk · kxk, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K
3. kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X
• Lineárne zobrazenie: A : X → Y je lineárne, ak platí: ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K : A(x + y) =
A(x) + A(y) (aditivita), A(λx) = λ(Ax) (homogénnosť).
Definícia 1.5.1 Reálna funkcia f vektorového argumentu n premenných je zobrazenie f : Rn →
R
Definícia 1.5.2 Vektorová funkcia f~ vektorového argumentu je zobrazenie f~ : Rn → Rm
1.6
Spojitosť funkcie (vektorového argumentu)
Definícia 1.6.1 Funkciu u = f (x1 , . . . , xn ) nazývame spojitou v bode A = (x1 , . . . , xn ) podľa premennej xk , ak k-ta parciálna funkcia f (a1 , . . . , ak−1 , xk , ak+1 , . . . , an ) je spojitou funkciou jednej
premennej xk v bode ak . Parciálna spojitosť je spojitosť podľa jednotlivých premenných.
Platí:
1. Súčet a súčin spojitých funkcií je opäť spojitá funkcia.
2. Nech f (x1 , . . . , xn ) je spojitá na D ∈ Rn s nech x1 = X1 (u1 , . . . , um ), . . . , xn = Xn (u1 , . . . , um )
sú spojité funkcie na na D0 ∈ Rm . Potom zložená funkcia f (X1 (u1 , . . . , um ), . . . , Xn (u1 , . . . , um ))
ako funkcia premenných u1 , . . . , um je spojitá na D0 (ak body x1 = X1 (u1 , . . . , um ), . . . , xn =
Xn (u1 , . . . , um ) patria do D).
3. Nech D je súvislá množina ⊂ D(f ) a nech a = f (Pa ), b = f (Pb ), a < b, Pa , Pb ∈ D. Potom f
nadobúda v D ľubovoľnú hodnotu medzi a a b.
Veta 1.6.1 Ak u = f (x1 , . . . , xn ) je definovaná v nejakom okolí bodu A a je v ňom spojitá, tak
je spojitá v A podľa všetkých premenných.
Veta 1.6.2 (Young) Ak f (x, y) je spojitá podľa x aj podľa y a podľa jednej z nich je monotónna,
tak je celkovo spojitá.
1.7
Diferencovateľnosť zobrazení z Rn do Rm
Definícia 1.7.1 Nech f : D → Rm , D ⊂ Rn . Zobrazenie f nazývame diferencovateľným, v bode
(x0 )−α(x−x0 )k
=
x0 ∈ D, ak existuje lineárne zobrazenie α : Rn → Rm také, že platí limx→x0 kf (x)−fkx−x
0k
4
0 . Vtedy sa α nazýva úplným (totálnym) diferenciálom zobrazenia f v bode x0 a označuje sa
α = df (x0 ). Ak je f diferencovateľné vo v x0 , tak totálny diferenciál df (x0 ) je definovaný na
celom Rn a na ľubovoľnom vektore H ∈ Rn nadobúda hodnotu df (x0 )(H) = α(H)
Pm
Matica A = (aij ) lineárneho zobrazenia α : Rn → Rm , α(Ej ) = i=1 aij Eji , i = 1, . . . , n, kde
Ei a Ej sú vektory štandardnej bázy v Rm , resp. Rn .
Definícia 1.7.2 Úplnou (totálnou) deriváciou f 0 (x0 ) zobrazenia f : D → Rm , D ⊂ Rn , ktoré je
diferencovateľné v x0 ∈ D nazývame maticu A lineárneho zobrazenia α = df (x0 ).
Veta 1.7.1 Ak je f diferencovateľná v každom bode x ∈ D, f nazývame diferencovateľným na D.
Veta 1.7.2 Nech f : D → Rm , D ⊂ Rn , x0 ∈ D. Ak existujú lineárne zobrazenia α1 a α2 : Rn →
0 )−αi (x−x0 )k
Rm , také, že limx→x0 kf (x)−f (x
= 0 pre i = 1, 2, tak α1 = α2 .
kx−x0 k
4 Inak:
limH→0
1
(f (x
kHk
+ H) − f (x) − α(H)) = 0
7
1.7.1
Diferencovateľnosť vektorových funkcií
Veta 1.7.3 Vektorová funkcia f : J → Rn sa nazýva diferencovateľnou
v x0 ∈ J, ak existuje
0 )−α(x−x0 ) konštantný vektor α ∈ Rm taký, že limx→x0 f (x)−f (xx−x
=
0.
0
Platí: Ak vektorová funkcia f (x) = [f1 (x), . . . , fm (x)], x ∈ J ⊂ R má diferencovateľné komponenty fj v x0 ∈ J, potom vektorová funkcia f : J → Rm je diferencovateľná v x0 , pričim
(x0 )
0
= f 0 (x0 ) = [f10 (x0 ), . . . , fm
(x0 )].
limx→x0 f (x)−f
x−x0
1.7.2
Diferencovateľnosť reálnej funkcie vektorového argumentu
Definícia 1.7.3 Hovoríme, že f : D → R, D ⊂ Rn je diferencovateľná v X0 ∈ D ak existuje
0 )−α(x−x0 )|
lineárne zobrazenie α : Rn → R tak, že limx→x0 |f (x)−f (x
=0
|x−x0 |
Definícia 1.7.4 Nech f : D → R, D ⊂ Rn , x0 ∈ D je diferencovateľná v X0 . Matica-riadok A =
(a1 , . . . , an ) lineárneho zobrazenia α z predošlej definície sa nazýva totálnou (úplnou) deriváciou
funkcie f v X0 a označuje sa f 0 (X0 ). Teda df (X0 )(H) = f 0 (X0 ) · H, H ∈ Rn .
1.8
Derivácia funkcie v smere
Nech f : D → Rm , D ⊂ Rn , x0 ∈ D, E = (α1 , . . . , αn ) je jednotkový vektor v Rn a t > 0 skalár
taký, že x0 + t · E ∈ D.
(x0 )
Definícia 1.8.1 Ak existuje konečná limita limt→0 f (x0 )+t·E)−f
, tak ju nazývame deriváciou
t
∂f
funkcie f v smere E v bode x0 . Označujeme ∂E (x0 )
Veta 1.8.1 Ak je f diferencovateľná v x0 ∈ D, tak má deriváciu v ľubovoľnom smere E vychádza-
∂f
∂f
∂f
júcom z bodu x0 . Pritom ∂E
(x0 ) = (∇f (x0 ), E), kde ∇f (x0 ) = gradf (x0 ) = ∂x
(x0 ), . . . , ∂x
(x0 )
1
n
a (·, ·) je skalárny súčin.
1.9
Diferenciály vyšších rádov
Definícia 1.9.1 Úplným diferenciálom druhého rádu (alebo druhým úplným diferenciálom d2 f (X0 )
funkcie f v bode X0 patriacom k hodnote H budeme nazývať úplný diferenciál funkcie
X 7−→ f 0 (X) · H
v tomto bode X0 .
d2 f (X0 )(H) =
n X
n
X
i=1 j=1
∂2f
(x0 )hi hj
∂xi ∂xj
2
(Inak: d f (X, X0 ), H = X − X0 ).
Diferenciál m-tého rádu
dm f (X0 )(H) =
n
X
n
X
i1 ,...,im =1 j=1
∂mf
(x0 )hi1 · . . . · him
∂xi1 . . . ∂xim
(hik = dxik (H))
Vzorec na výpočet diferenciálu m-tého rádu:
dm f (X) = (dx1
∂
∂ m
+ . . . + dxn
) f (x).
∂x1
∂xn
8
1.10
Funkcie dané implicitne
Nech f : A × B → C, A ⊂ Rn , B ⊂ Rm , C ⊂ Rm a θ ∈ C (θ – nulový vektor). Vyšetríme rovnicu
f (X, Y ) = θ (1). Predpokladajme, že ∃A0 ⊂ A, ∃B 0 ⊂ B také, že ∀X ∈ A0 ∃!Y ∈ B 0 také, že (X, Y )
spĺňa (1). Teda na A0 máme funkciu φ(x) = Y (funkcia daná implicitne rovnicou f (X, Y ) = θ).
Platí teda f (X, φ(X)) = θ, ∀X ∈ A0
Veta 1.10.1 Nech funkcia f : D → R vyhovuje podmienkam
1. f je spojitá v D a f (x0 , y0 ) = 0
2. v D existuje fy0 , ktorá je spojitá v (x0 , y0 )
3. fy0 (x0 , y0 ) 6= 0
¯ 0 , δ) → S(Y
¯ 0 , ε)
Potom ∃δ ∈ (0, a) ∧ ∃ε ∈ (0, b) tak, že rovnica (1) určuje jedinú funkciu Y : S(X
¯ 0 , δ) a taká, že Y (x0 ) = y0
(2), ktorá je spojitá v S(X
Dôkaz: Dôkaz bol dôležitý, ale nenormálne dlhý a hnusný. 9
2
Matematická analýza — časť II
Optimalizácia funkcií viac premenných: Voľné a viazané extrémy funkcií viac premenných. Nutné
a postačujúce podmienky. Lagrangeove multiplikátory a ich geometrický význam.
2.1
Lokálne extrémy funkcie vektorového argumentu
Definícia 2.1.1 Bod X0 ∈ D ⊂ Rn nazývame bodom lokálneho maxima (minima) funkcie f :
D → R, ak existuje také okolie O(X0 ) ⊂ D, že ∀X ∈ O(X0 ) ∧ X 6= X0 platí f (X) ≤ f (X0 ) (resp.
f (X) ≥ f (X0 )).
Ak ≤ a ≥ nahradíme < a >, hovoríme o ostrom maxime (minime).
Môže sa stať, že f má extrém vo všetkých smeroch prechádzajúcich cez x0 , ale celkový extrém
nemá. (f (x, y) = (x − y 2 )(2x − y), (x, y) ∈ R2 ).
Nech f : D → R, D ⊂ Rn , X0 ∈ D, nech f má v bode X0 lokálny extrém a nech ∃fx0 i (X0 ), i =
1, . . . , n. Fixujme všetky súradnice okrem i-tej a definujme
F (xi ) := f (x01 , x02 , . . . , x0i + (xi − x0i ), xi+1 , . . . , x0n ) = f (X0 + (xi − x0i )Ei )
Platí:
xi ∈ O(x0i )
F 0 (Xi0 ) = 0
Čiže ∀i = 1, . . . , n :
systém
∂F
∂xi (X0 )
= 0 (inak: dF (X0 ) = 0). Hľadanie bodov možných extrémov: riešime
∂f
(X) = 0,
∂xi
i = 1, . . . , n
Body, ktoré vyhovujú tomuto systému sa nazývajú stacionárne body.
Nie každý bod extrému musí byť stacionárny.
Veta 2.1.1 (Postačujúce podmienky pre lokálny extrém) Nech f : D → R, D ⊂ Rn má v
X0 ∈ D diferenciál druhého rádu. Nech X0 je stacionárny bod. Potom
a) Ak d2 f (X, X0 ) > 0 pre ∀X ∈ D, tak f má v bode X0 ostré lokálne minimum.
b) Ak d2 f (X, X0 ) < 0 pre ∀X ∈ D, tak f má v bode X0 ostré lokálne maximum.
c) Ak v D existujú body X 6= Y , pre ktoré d2 f (X, X0 ) < 0 a d2 f (Y, X0 ) > 0, tak f v X0 nemá
extrém.
Ak f je dvakrát diferencovateľná v X0 , tak d2 f (X, X0 ) je symetrická kvadratická forma s
maticou


∂f
∂f
∂f
(X0 )
∂x1 ∂x2 (X0 ) . . .
∂x1 ∂xn (X0 )
∂x21

∂f
∂f
(X0 ) 
(X0 )
. . . ∂x∂f

 ∂x2 ∂x1 (X0 )
∂x22
1 ∂x1


A=
..
..
..

..


.
.
.
.
∂f
∂f
∂f
...
∂xn ∂x1 (X0 )
∂xn x2 (X0 )
∂x2 (X0 )
n
Veta 2.1.2 (Sylvestrovo kritérium) Nutná a postačujúca podmienka kladnej (zápornej) definitnosti druhého diferenciálu d2 f (X0 ) funkcie f : D → R, D ⊂ Rn , dvakrát diferencovateľnej v X0
je Aj > 0, j = 1, . . . n (resp. A1 < 0, A2 > 0, . . . , (−1)n An > 0).
10
2.2
Extrémy funkcie danej implicitne
Ak je Y : D 7−→ R, D ⊂ Rn , daná implicitne rovnicou
f (X, Y ) = 0,
tak
f (X, Y (X)) = 0, ∀x ∈ D.
Nech Y je dvakrát diferencovateľná v D a X0 ∈ D je stacionárnym bodom. Potom:
Pn

1
0
dY (X0 ) (dX) = − f 0 (X0 ,Y
i=1 fxi (X0 , Y (X0 ))dxi = 0 
(X0 ))
Y
| {z }
(dx1 ,...,dxn )

f (X0 , Y (X0 )) = 0
(1)
Teda stacionárne body budeme hľadať ako riešenia systému
∂f
∂xi (X, Y
(X)) = 0,
i = 1, . . . , n
f (X0 , Y (X0 )) = 0
(∗)
Potom vyšetríme druhý diferenciál
d2 y(X0 )(dX) =
n
X
1
∂2f
(X0 , Y0 )dxi dxj
fy0 (X0 , Y0 ) i,j=1 ∂xi ∂xj
Ak d2 Y (X0 )(dX) > 0, má funkcia Y v X0 lokálne minimum. Ak d2 Y (X0 )(dX) < 0, má funkcia
Y v X0 lokálne maximum.
2.3
Lokálne viazané extrémy
Nech D ⊂ Rn je oblasť a f, g1 , . . . , gr sú spojite diferencovateľné reálne funkcie na D. Vyšetríme
na extrém funkciu f na podmnožine Ω ⊂ D určenej rovnicami
g1 (X) = 0, . . . , gr (X) = 0,
(2)
ktoré nazývame rovnicami väzby.
Definícia 2.3.1 Hovoríme, že funkcia f (X) ,má v oblasti D v bode A = (a1 , . . . , an ) ∈ D lokálny
extrém viazaný podmienkou (2), ak pre ∀X z nejakého okolia O(A), ktoré vyhovujú podmienke
(2) platí jeden zo vzťahov
a) f (X) ≥ f (A) (viazané lokálne minimum)
b) f (X) ≤ f (A) (viazané lokálne maximum)
Lema 2.3.1 Nech v bode A = (x0 , y0 ) má funkcia f (x, y) lokálny extrém viazaný podmienkou
g(x, y). Nech ďalej
a) |gx0 (A)| + |gy0 (A)| > 0
b) na nejakom okolí O(A) sú f (x, y) a g(x, y) spojite diferencovateľné
Potom existuje číslo λ (Lagrangeov multiplikátor), ktoré spolu s x0 a y0 spĺňa

fx0 + λgx0 = 0 
fy0 + λgy0 = 0

g(x, y) = 0
11
(3)
Dôkaz: Vzťah g(x, y) platí špeciálne aj v bode A: g(x0 , y0 ) = 0.
a) znamená, že gx0 (A) a gy0 (A) nie sú súčasne = 0. Nech napr. gy0 (A) 6= 0. Podľa 1.10.1 existuje
na nejakom okolí O(A) funkcia y = ϕ(x) daná implicitne g(x, y) = 0 pre ktoré ϕ(x0 ) = y0 . Táto
g 0 (x ,y )
ϕ(x) je diferencovateľná v x0 : ϕ0 (x0 ) = − g0x(x00)(y00 ) . Ak dosadíme ϕ(x) do f (x, y), tak dostaneme
y
F (x) := f (x, ϕ(x)), čo už je funkciou iba jednej premennej. Pre x = x0 :
0 = dF (x0 )(h1 , h2 ) = fx0 (x0 , y0 )h1 + fy0 (x0 , y0 )h2 ,
h1 ≡ dx, h2 ≡ dy.
g 0 (x ,y )
dy
= ϕ0 (x0 ) = − gx0 (x00 ,y00 ) , z čoho gy0 (x0 , y0 )dy + gx0 (x0 , y0 )dx = 0.
Ďalej dx
y
Násobme poslednú rovnicu λ ∈ R a sčítajme s fx0 (A)dx + fy0 (A)dy = 0:
[fx0 (A) + λgx0 (A)] dx + fy0 (A) + λgy0 (A) dy = 0.
f 0 (A)
Zvoľme λ tak, aby fy0 (A) + λgy0 (A) = 0 (dá sa to, lebo gy0 (A) 6= 0, čiže λ = − gy0 (A) ). Ale keďže
y
dx, dy sú ľubovoľné, tak musí aj fx0 (A) + λgx0 (A) = 0. Definícia 2.3.2 Lagrangeova funkcia je funkcia L(x, y, λ) = f (x, y)+λg(x, y). Všeobecne L(x1 , . . . , xn , λ1 , . . . , λr ) =
f (x1 , . . . , xn ) + λ1 g1 (x1 , . . . , xn ) + . . . + λr gr (x1 , . . . , xn ).
λ1 , . . . , λr sú Lagrangeove multiplikátory.
Geometrická interpretácia: Normálový vektor k väzbe musí byť kolineárny s normálou k úrovňovej rovine:
~ E = λN
~E ,
N
c
g
kde λ je konštanta kolineárnosti (a zároveň Lagrangeov
multiplikátor, keďže analytický zápis toho
∂f
,
istého je ∇f = λ∇g, pričom ∇f (x0 , y0 ) = ∂f
∂x ∂y – je to “najstrmšie stúpanie”, “kolmica na
vrstevnice”).
Lema 2.3.2 Nech x0 , y0 , λ0 je riešením systému 3. Ak Lagrangeova funkcia L(x, y, λ) := f (x, y)+
λg(x, y) má pre dané λ0 voľný lokálny extrém v bode (x0 , y0 ), tak f (x, y) má v (x0 , y0 ) lokálny
extrém viazaný podmienkou g(x, y) = 0.
Dôkaz: Ak má funkcia L(x, y, λ) pri danom λ = λ0 v bode A = (x0 , y0 ) voľný lokálny extrém
(napr. maximum), tak ∀(x, y) ∈ nejaké O(A) platí
f (x, y) + λ0 g(x, y) ≤ f (x0 , y0 ) + λ0 g(x0 , y0 ) = f (x0 , y0 )
| {z }
0
Teda špeciálne aj pre tie (x, y) ∈ O(A), pre ktoré g(x, y) = 0:
f (x, y) = f (x, y) + λ0 g(x0 , y0 ) ≤ f (x0 , y0 )
| {z }
0
Čiže naozaj je f (x, y) ≤ f (x0 , y0 ) pre tie (x, y) ∈ O(A), pre ktoré g(x, y) = 0. Pozn: Môže sa stať, že Lagrangeova funkcia nemá pri danom λ = λ0 voľný lokálny extrém,
ale pôvodná funkcia f (x, y) má v (x0 , y0 ) viazaný lokálny extrém.
Veta 2.3.1 (Lagrangeova veta o viazaných extrémoch) Nech f, g1 , . . . , gr sú funkcie spojite diferencovateľné na oblasti Ω, na ktorej má Jacobiho matica



∂g1
∂x1
..
.
∂gr
∂x1
∂g1
∂x2
...
..
.
...
..
.
∂gr
x2
12
∂g1
∂xn
..
.
∂gr
∂xn



hodnosť h = r.
Nech sústava n+r rovníc prislúchajúcich Lagrangeovej funkcii L = f (x1 , . . . , xn )+λ1 g1 (x1 , . . . , xn )+
. . . + λr gr (x1 , . . . , xn )
L0x1 = 0, L0x2 = 0, . . . , L0xn = 0
L0λ1 = 0, L0λ2 = 0, . . . , L0λn = 0
ˆ1, . . . , λ
ˆ n ). Ak má Lagrangeova funkcia L pri vypočítaných λ
ˆ1, . . . , λ
ˆn v
má riešenie (ˆ
x1 , . . . , x
ˆn , λ
bode (ˆ
x1 , . . . , x
ˆn ) voľný lokálny extrém, tak má f v tom istom bode extrém viazaný rovnicami väzby
g1 (X) = 0, . . . , gn (X) = 0.
13
3
Matematická analýza — časť III
Teória integrovania: Riemannov a Lebesgueov integrál. Parametrické integrály. Spojitosť a diferencovateľnosť parametrických integrálov. Gamma funkcia a jej základné vlastnosti. Viacrozmerné
integrály. Veta o substitúcii. Greenova formula integrácie per partes pre viacrozmerné integrály.
Viacrozmerné integrály. Polárne súradnice.
3.1
3.1.1
Riemannov integrál
Definície
Definícia 3.1.1 Delenie intervalu ha, bi je ľubovoľná množina D ⊆ (a, b) taká, že D = {a = x0 <
x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. D(ha, bi) je množina všetkých delení intervalu ha, bi.
Pre f : P
ha, bi → R ohraničenú a nejaké delenie D:
n
S(f, D) = i=1 suphxi−1 ,xi i f (x)(xi − xi−1 ) je horný súčet príslušný f ,
Pn
s(f, D) = i=1 inf hxi−1 ,xi i f (x)(xi − xi−1 ) je dolný súčet príslušný f .
Rb
Horný Riemannov integrál funkcie f na ha, bi: a f = inf D∈D(ha,bi) S(f, D)
Rb
Dolný Riemannov integrál funkcie f na ha, bi: a f = supD∈D(ha,bi) s(f, D)
3.1.2
Vlastnosti
Rb
f je Riemannovsky integrovateľná na ha, bi (f ∈ R(ha, bi)) ⇐⇒
Rb
píšeme a f .
a
f =
Rb
a
f . V takomto prípade
Veta 3.1.1 (Nutná a postačujúca podmienka Riemannovskej integrovateľnosti) f : ha, bi →
R ohraničená. f ∈ R(ha, bi) ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃D ∈ D(ha, bi) : S(f, D) − s(f, D) < ε.
Rb
Rb
Dôkaz: (⇐=) ε > 0 ∃D : a f ≤ S(f, D) < s(f, D) + ε ≤ a + 2ε.
Rb
Rb
(=⇒) Nech a f = a f .
Rb
Rb
ε > 0 ∃D1 : a f + ε > S(f, D1 ) ≥ a f
Rb
Rb
∃D2 : a f − ε < s(f, D2 ) ≤ a f
D = D1 ∪D2 : 0 ≤ S(f, D)−s(f, D) ≤ S(f, D1 )−s(f, D2 ) <
S(f, D) − s(f, D) + 2ε. Rb
a
Rb
Rb
Rb
f +ε−( a f −ε) = a f − a f +2ε ≤
Veta 3.1.2 (Postačujúce podmienky Riemannovskej integrovateľnosti)
a) f : ha, bi → R spojitá =⇒ f ∈ R(ha, bi)
b) f : ha, bi → R monotónna =⇒ f ∈ R(ha, bi)
Veta 3.1.3 (Linearita R-integrálu)
Rb
Rb
1) f ∈ R(ha, bi), λ ∈ R =⇒ λf ∈ R(ha, bi) a a λf = λ a f .
Rb
Rb
Rb
2) f, g ∈ R(ha, bi) =⇒ f + g ∈ R(ha, bi) a a λ(f + g) = λ a f + λ a g.
Veta 3.1.4 Nech f, g ∈ R(ha, bi), f ≤ g na ha, bi. Potom
Rb
a
f≤
Rb
a
g.
Veta 3.1.5 (Absolútna konvergencia Riemannovho integrálu) Nech f ∈ R(ha, bi) =⇒ |f | ∈
Rb
Rb
R(ha, bi) a platí | a f | ≤ a |f |.
Veta 3.1.6 Ak f ∈ R(ha, bi), f : ha, bi → hA, Bi, a ϕ : ha, bi → R je spojitá =⇒ ϕ ◦ f ∈ R(ha, bi).
Dôsledok: f, g ∈ R(ha, bi) =⇒ f ◦ g ∈ R(ha, bi).
14
Rb
f+ c f.
Rb
Veta 3.1.8 Nech a < b < c < ∞, f ∈ R(ha, ci), f ∈ R(hc, bi). Potom f ∈ R(ha, bi) a a f =
Rc
Rb
f + c f.
a
Veta 3.1.7 Nech f ∈ R(ha, bi), c ∈ (a, b). Potom f ∈ R(ha, ci) a f ∈ R(hc, bi) a
Rb
a
f=
Rc
a
Definícia 3.1.2 Ak D ∈ D(ha, bi). Číslo ν(D) = maxi=1,2,...,n (xi −xi−1 ) sa nazýva norma delenia.
Veta 3.1.9 Nech f ∈ R(ha, bi). Potom ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀D ∈ D(ha, bi) ν(D) < δ =⇒ S(f, D) −
s(f, D) < ε.
Nech Dn ∈ D(ha, bi), limn→∞ ν(Dn ) = 0, ∀Dn nech cn ∈ I(Dn ), nech σn =
Pk(n)
n
n
n
σ(f, Dn , cn ) =
i=1 f (ci )(xi − xi−1 ).
Rb
Ak f ∈ R(ha, bi) =⇒ limn→∞ σn = a f .
Veta 3.1.10
5
def.
Definícia 3.1.3 (Iné definície Riemannovho integrálu)
1) f ∈ R(ha, bi) ⇐⇒ ∃K ∈ R ∀ε > 0 ∃Dε ∈ D(ha, bi), ∀D ∈ D(ha, bi), D ⊇ Dε , ∀c ∈ I(D) :
Rb
Pk
| i=1 f (ci )(xi − xi−1 ) − K| < ε, navyše a f = K.
2) f ∈ R(ha, bi) ⇐⇒ ∃L ∈ R ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀D ∈ D(ha, bi), ν(D) < δ, ∀c ∈ I(D) :
Rb
Pk
| i=1 f (ci )(xi − xi−1 ) − L| < ε, navyše a f = L.
Veta 3.1.11 Nech f ∈ R(ha, bi) a g : ha, bi → R je ohraničená a {x ∈ ha, bi : g(x) 6= f (x)} je
Rb
Rb
jordanovsky nulová6 . Potom aj g ∈ R(ha, bi) a a g = a f .
Veta 3.1.12 Nech f : ha, bi je ohraničená. Potom f ∈ R(ha, bi) ⇐⇒ {x ∈ ha, bi : f nie je spojitá v x}
je lebesgueovsky nulová7 .
Rx
Veta 3.1.13 Nech f ∈ R(ha, bi), nech F : x 7→ a f (t)dt, x ∈ ha, b). Potom platí:
1. F je spojitá v ha, b)
2. Ak x0 ∈ (a, b) také, že f je spojitá v x0 =⇒ ∃F 0 (x0 ) = f (x0 ). (x0 = a: Ak f je spojitá sprava
v a =⇒ ∃F+0 (a) = f (a), analogicky pre x0 = b).
Veta 3.1.14 (2. veta o strednej hodnote) Nech f : ha, bi → R je monotónna, g ∈ R(ha, bi).
Potom ∃c ∈ ha, bi také, že:
Z b
Z c
Z b
f g = f (a)
g + f (b)
g.
a
3.1.3
a
c
Aplikácie
Veta 3.1.15 (Obsah plochy) Nech f, g : ha, bi → R spojité, f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ ha, bi. Plošným
Rb
obsahom množiny M = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)} je číslo a [g(x) − f (x)]dx.
Veta 3.1.16 (Objem rotačného telesa) Nech f, g : ha, bi → R spojité, nech 0 ≤ f (x) ≤
Rb
g(x), ∀x ∈ ha, bi. Objem telesa, ktoré vznikne rotáciou množiny M okolo osi x je číslo π a (g 2 (x) −
f 2 (x))dx. Ak a > 0, tak objem telesa, ktoré vznikne rotáciou množiny M okolo osi y je číslo
Rb
2π a x[g(x) − f (x)]dx.
Veta 3.1.17 (Dĺžka rovinnej krivky) Nech f : ha, bi → R má spojitú f 0 . Potom dĺžkou krivky
Rbp
C = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ ha, bi, y = f (x)} je číslo a 1 + [f 0 (x)]2 dx.
Veta 3.1.18 (Plochy, ktoré vznikli rotáciou kriviek; povrchy rotačných telies) Nech f :
ha, bi → R má spojitú f 0 . Plošný obsah množiny, ktorá vznikne rotáciou krivky C = {(x, y) ∈ R2 :
p
Rb
a ≤ x ≤ b, y = f (x)} okolo osi x je číslo 2π a |f (x)| 1 + [f 0 (x)]2 dx.
5 Označenie: D = {a = x < x < . . . < x = b} ∈ D(ha, bi), I(D) = {c < c < . . . < c : c ∈ hx
0
1
1
2
i
i−1 , xi i, ∀i =
k
k
n
n
n
n
n
n
1, 2, . . . , k}, C n = {cn
1 < c2 < . . . < ck(n) }, D = {a = x0 < x1 < . . . < xk(n)S= b}.
P
∞
∞
6 A ⊆ R sa nazýva jordanovsky nulová ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃(a , b )n
i i i=1 konečná:
i , bi ) ⊇ A,
i − ai ) < ε.
i=1
i=1
S(a
P(b
∞
∞
7 A ⊆ R sa nazýva lebesgueovsky nulová ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃(a , b )n
spočitateľná:
(a
,
b
)
⊇
A,
i i i=1
i=1 i i
i=1 (bi −ai ) <
ε.
15
3.2
Lebesgueov integrál
Lebesgueov integrál je dostatočne zhustený v materiáli s názvom “Základné pojmy z teórie miery
a integrálu”, ktorý je k dispozícii na 9mef a ktorý sme používali pri učení sa na VPzMA. . .
3.3
3.3.1
Parametrické integrály
Riemannov parametrický integrál
Definícia 3.3.1 Nech E = ha, bi × (c, d) a nech funkcia f : E → R je pre každé y ∈ (x, d)
riemannovsky integrovateľná na ha, bi. Potom funkciu
Z b
F (y) =
f (x, y)dx
a
nazývame Riemannovým parametrickým integrálom.
Veta 3.3.1 Ak je funkcia f spojitá na množine E, tak funkcia F je spojitá na intervale (c, d).
Veta 3.3.2 Ak je funkcia f spojitá na množine E a hranice integrovania sú spojité funkcie ϕ a
ψ, ktoré zobrazujú (c, d) do ha, bi, tak funkcia
Z ψ(y)
I(y) =
f (x, y)dx
ϕ(y)
je spojitá na (c, d).
Veta 3.3.3 Za predpokladov vety 3.3.1, resp. vety 3.3.2, platí pre y0 ∈ (c, d): limy→y0
Rb
R ψ(y)
R ψ(y)
limy→y0 f (x, y)dx, resp. limy→y0 ϕ(y) f (x, y)dx = ϕ(y) f (x, y0 )dx.
a
Rb
a
f (x, y)dx =
Veta 3.3.4 Ak spojitá funkcia f : E → R má na množine E spojitú parciálnu deriváciu
Rb
funkcia F (y) = a f (x, y)dx je diferencovateľná na (c, d) a platí
Z b
∂f (x, y)
dx
(tzv. Leibnizov vzorec).
F 0 (y) =
∂y
a
∂f
∂y ,
tak
Veta 3.3.5 Ak spojitá funkcia f : E → R má na množine E spojitú parciálnu deriváciu ∂f
∂y a
funkcie ϕ a ψ, ktoré zobrazujú (c, d) do ha, bi, sú diferencovateľné na (c, d), tak funkcia I(y) =
R ψ(y)
f (x, y)dx je diferencovateľná na (c, d) a platí
ϕ(y)
0
0
Z
ψ(y)
I(y) = f (ψ(y), y)ψ (y) − f (ϕ(y), y)ϕ (y) +
ϕ(y)
3.3.2
∂f (x, y)
dx.
∂y
Nevlastný parametrický integrál prvého druhu
Definícia 3.3.2 Nech f jeR reálna funkcia definovaná na množine ha, ∞) × (c, d) a nech pre každé
∞
y ∈ (c, d) existuje integrál a f (x, y)dx. Potom funkciu
Z ∞
f (x, y)dx
F (y) =
a
nazývame nevlastným parametrickým integrálom prvého druhu.
Definícia 3.3.3 Integrál F (y) nazývame rovnomerne konvergentným na intervale (c, d), ak ∀ε >
0 ∃B(ε) > a : ∀b > B(ε) ∧ ∀y ∈ (c, d) platí
Z ∞
< ε.
f
(x,
y)dx
b
Tu nasleduje veľa viet o kritériách na konvergenciu nevlastných parametrických integrálov
1. druhu. Keďže to v zadaní otázky nie je, myslím, že budú stačiť tieto definície.
16
3.3.3
Nevlastný parametrický integrál druhého druhu
Definícia 3.3.4 Nech f je reálna funkcia definovaná na ha, b) × (c, d) a nech je neohraničená na
každom intervale (b − δ, b) × (c, d), δ > 0. Ak pre každé y ∈ (c, d) konverguje nevlastný integrál
Z
b
f (x, y)dx,
a
tak funkciu
b
Z
F (y) =
f (x, y)dx
a
nazývame nevlastným parametrickým integrálom druhého druhu.
3.4
Gamma funkcia a jej vlastnosti
Definícia 3.4.1 Funkciu
Z
Γ(x) =
∞
e−t tx−1 dt,
0
ktorá je definovaná pre x > 0, nazývame Eulerovým integrálom druhého druhu alebo gamma
funkciou.
Základné vlastnosti:
1. Γ(x + 1) = xΓ(x).
2. Γ(n) = (n − 1)! pre n prirodzené.
3. Γ(x)Γ(1 − x) =
4. Γ(x)Γ(x + 12 ) =
5. B(x, y) =
Γ(x)Γ(y)
Γ(x+y) ,
6. Γ(x) = limn→∞
3.5
π
sin πx , 0 < x < 1.
√
π
22x−1 Γ(2x), špeciálne
kde B(x, y) =
R1
0
Γ(n + 12 ) =
(2n−1)!! √
π
2n
pre n prirodzené.
tx−1 (a − t)y−1 dt je beta funkcia.
(n−1)!
x
x(x+1)(x+2)...(x+n−1) n .
Zovšeobecnené polárne súradnice
Zovšeobecnené polárne súradnice:
x = aρ cosα ϕ
y = bρ sinα ϕ,
kde ϕ > 0, 0 < ϕ < 2π.
Jakobián:
3.6
D(x, y)
= abαϕ sinα−1 ϕ cosα−1 ϕ.
D(ρ, ϕ)
Riemannov integrál na kompakte
3.6.1
Definície
Fn
Nech X = i=1 Xi , Xi sú po dvoch disjunktné. Π := {Xi , i = 1, . . . , n} je delenie X. d(Xi ) je
priemer bunky Xi , d(Π) je najväčší z týchto priemerov (tzv. norma delenia).
Pn
Nech f : X → R a nech ξi ∈ Xi je ľubovoľný bod z i-tej bunky. SΠ (f ) := i=1 f (ξi )µXi je tzv.
integrálny súčet pre funkciu f pri delení Π.
Definícia 3.6.1 limd(Π)→0 SΠ (f ) = I, ak ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀Π také, že d(Π) < δ je |SΠ (f )−I| < ε.
17
Definícia 3.6.2 Ak pre d(Π) → 0 ∃ lim SΠ (f ) = I, I ∈ R, tak f : X → R sa nazýva riemannovsky
R integrovateľnou na X a I sa nazýva Riemannovým integrálom z f na X, označuje sa
I = X f (X)dµ.
R(X, σ) je množina všetkých riemannovsky integrovateľných funkcií na X s polokruhom8 σ.
Základné vlastnosti Riemannovho integrálu na MP s polokruhom:
R
1. ak X ∈ σ(X), tak f (x) ≡ c = konšt. je R-integrovateľná na X a platí: X cdµ = cµX.
R
R
2. ak f ∈ R(X, σ), c = konšt., tak aj cf ∈ R(X, σ) a platí X cf (x)dµ = c X f (x)dµ.
R
R
3. Rak f ∈ R(X, σ), g ∈ R(X, σ), tak aj f + g ∈ R(X, σ) a platí X (f + g)(x)dµ = X f (x)dµ +
g(x)dµ.
X
4. ak f ∈ R(X, σ), tak je f ohraničená funkcia.
R
R
5. ak f ∈ R(X, σ) ∧ g ∈ R(X, σ) ∧ f (x) ≤ g(x) na X, tak X f (x)dµ ≤ X g(x)dµ. Dôsledky:
R
R
a. ak f ∈ R(X, σ) ∧ |f | ∈ R(X, σ), tak | X f (x)dµ ≤ X |f (x)|dµ.
R
b. ak X ∈ σ(X), f ∈ R(X, σ), c1 ≤ f (x)R ≤ c2 pre ∀x ∈ X, tak c1 µX ≤ X f (x)d = µ ≤
c2 µX. Špeciálne inf x∈X {f (x)}µX ≤ X f (x)dµ ≤ supx∈X {f (x)}µX.
3.6.2
m-násobný Riemannov integrál
J¯ = ha1 , b1 i × . . . × ham , bm i =: kváder v Rm .
¯ pomocou nadrovín xj = x(j) , 0 ≤ ij ≤ nj , j = 1, . . . , m rozdelíme J¯
Sieťové delenie kvádra J:
ij
Fn
na n = n1 · n2 · · · · · nm buniek Ji po dvoch disjunktných, pre ktoré J¯ = i=1 Ji . Ďalej µJi je
euklidovský objem kvádra Ji .
¯
¯ Pn
Lema
Fn 3.6.1 Ak Π = {Ji , i = 1, . . . , n} je sieťový rozklad kvádra J, tak platí µJ = i=1 µJi (=
µ i=1 Ji ).
¯ Nech Π = {Ji , i = 1, . . . , n} je sieťové delenie kvádra J.
¯
Nech f : J¯ → R je ohraničená na J.
Nech Mi = supx∈Ji {f (x)}, mi = inf x∈Ji {f (x)}. Potom horný integrálny súčet pre funkciu f pri
delení Π je
n
X
S Π (f ) :=
Mi |Ji |
i=1
(|Ji | je euklidovský objem kvádra Ji ) a dolný integrálny súčet pre funkciu f pri delení Π je
S Π (f ) :=
n
X
mi |Ji |
i=1
Nech {Π} označuje všetky možné sieťové delenia kvádra J. Definujeme
Z
f (x)dX = inf {S Π (f )}
– tzv. horný integrál
{Π}
8 Nech
(X, ρ) je metrický priestor. Systém σ(X) podmnožín množiny X nazývame polokruhom, ak platí
1. ∅ ∈ σ(X)
2. A1 ∈ σ, A2 ∈ σ =⇒ A1 ∩ A2 ∈ σ
3. Ak A ∈ σ, A1 ∈ σ a A1 ⊂ A, tak v σ existuje Aj , j = 2, . . . , k, po dvoch disjunktné a také, že A =
Sk
i=1
Ai .
Navyše budeme o σ(X) predpokladať:
1. ∀δ > 0 ∃ rozklad X na konečné zjednotenie mn. A1 , . . . , An zo σ(X), ktoré sú po dvoch disjunktné a priemer
najväčšej z nich < δ
F
Pk
2. ∀A ∈ σ je definované nezáporné číslo µA (miera množiny) tak, že ak A = kj=1 Aj , tak µA =
j=1 µAi
(aditívna vlastnosť miery).
18
Z
f (x)dX = sup{S Π (f )}
– tzv. dolný integrál
{Π}
¯ ak
Definícia 3.6.3 Funkcia f : J → R sa nazýva riemannovsky integrovateľná na kvádri J,
Z
Z
f (x)dX = f (x)dX.
Táto spoločná hodnota sa nazýva m-násobným Riemannovým integrálom z funkcie f na kvádri
¯ Označujeme
J.
Z
ZZ
Z
f (x)dX =
. . . f (x1 , . . . , xm )dx1 , . . . , dxm .
¯
J¯
| {z J}
m
3.6.3
Kritérium riemannovskej integrovateľnosti
¯ ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃ sieťové delenie Π tak, že platí
Veta 3.6.1 f ∈ R(J)
0≤
Pn
S Π (f ) − S Π (f )
|
{z P }
i=1 (Mi −mi )|Ji |=
n
i=1
< ε.
ωi |Ji |
Pozn.: ωi je variácia funkcie9 f na bunke Ji delenia Π.
3.6.4
Zámena premenných v Riemannovom integrále
Veta 3.6.2 Nech O a O0 sú konvexné oblasti v Rm s fixovanou bázou, K ⊂ O je kompakt s
okrajom ∂K (nadplocha dimenzie m − 1 triedy C 1 ) a nech ξ je C 1 -difeomorfizmus10 O0 na O. Ak
f : K → R je funkcia spojitá na K, tak platí vzorec
Z
Z
f (x)dX =
f (ξ(T ))| det ξ 0 (T )|dT,
K
K0
kde K 0 = ξ −1 (K) a ξ 0 (T ) je Ostrogradského-Jacobiho matica11 zobrazenia ξ.
3.7
Greenova formula integrácie per partes pre viacrozmerné integrály
¯ →R
Veta 3.7.1 (Greenov vzorec) Nech Ω ∈ Rm je oblasť s hladkou hranicou ∂Ω. Nech u, v : Ω
1
sú C hladké funkcie v Ω, spojité na uzávere Ω. Potom
Z
Z
Z
∂v
∂u
u(x)
(x)dx = −
(x)v(x)dx +
u(x)v(x)ni (x)dS,
∂xi
Ω ∂xi
∂Ω
Ω
kde ~n = (n1 , . . . , nm ) je jednotkový vektor vonkajšej normály k ∂Ω v bode x ∈ ∂Ω.
9 Variácia
funkcie f na množine E: ω(f, E) = supx1 ,x2 ∈E |f (x1 ) − f (x2 )|
10 Homeomorfizmus:
1. f je bijekcia
2. f je spojitá
3. f −1 je spojitá
C 1 -homeomorfizmus obsahuje navyše podmienku, že f je triedy C 1 .
C 1 difeomorfizmus:
1. f je bijekcia
2. f je triedy C 1
3. f −1 je triedy C 1
11 Determinant
Ostrogradského-Jacobiho matice zobrazenia ξ 0 sa nazýva jakobián a označuje sa
19
D(ξ1 ,...,ξm )
.
D(t1 ,...,tm )
4
Matematická analýza — časť IV
Metrické a normované priestory: Úplnosť a kompaktnosť. Banachova veta o pevnom bode a jej
aplikácie.
4.1
4.1.1
Metrické priestory
Definície
Definícia 4.1.1 Neprázdnu množinu X nazývame metrickým priestorom (MP), ak na X × X je
definovaná reálna funkcia ρ, ktorá má vlastnosti
1. ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
2. ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀x, y ∈ X (axióma symetrie)
3. ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z), ∀x, y, z ∈ X (trojuholníková nerovnosť)
Definícia 4.1.2 Nech (X, ρ) je MP a nech b ∈ X a ε > 0. Potom množinu S(b, ε) := {x ∈ X :
ρ(b, x) < ε} budeme nazývať otvorenou guľou v (X, ρ) (alebo ε-okolím bodu b).
Množinu S[b, ε] := {x ∈ X : ρ(b, x) ≤ ε} nazveme uzavretou guľou.
Definícia 4.1.3 Nech (X, ρ) je MP a A ⊂ X, A 6= ∅. Číslo
sup ρ(x, y)
x,y∈A
nazývame priemerom množiny A (ozn. diam A). Množinu A nazývame ohraničenou, ak diam A <
∞, neohraničenou, ak diam A = ∞.
Lema 4.1.1 Ak ∅ =
6 A1 ⊂ A2 ⊂ X, tak diam A1 ≤ diam A2 .
Definícia 4.1.4 Nech X je vektorový priestor nad R (C). Zobrazenie k · k : X → [0, ∞) sa nazýva
norma na X, ak
1. kλxk = |λ| · kxk, ∀λ ∈ R (C) (homogenita)
2. kx + yk = kxk + kyk, ∀x, y ∈ X (trojuholníková nerovnosť)
3. kxk = 0 ⇐⇒ x = ~0
Dvojica (X, k · k) sa nazýva normovaný lineárny priestor (NLP).
Definícia 4.1.5 Úplný NLP sa nazýva Banachov priestor.
Definícia 4.1.6 MP sa nazýva separabilný, ak v ňom existuje hustá spočítateľná podmnožina.
Definícia 4.1.7 MP (X, ρ) nazývame úplne (totálne) ohraničeným, ak z každej postupnosti {xn }∞
1
sa dá vybrať cauchyovská12 .
Platia vety: Každý totálne ohraničený MP je ohraničený, každý totálne ohraničený MP je
separabilný.
12 Postupnosť {x }∞ prvkov MP (X, ρ) sa nazýva cauchyovská (fundamentálna) podpostupnosť, ak ∀ε > 0 ∃k ∈
n 1
0
N také, že ∀k, m > k0 platí ρ(xk , xm ) < ε. Platí veta: Každá konvergentná postupnosť {xn }∞
1 je cauchyovská.
20
4.1.2
Úplnosť MP
Definícia 4.1.8 MP (X, ρ) nazývame úplným metrickým priestorom, ak každá cauchyovská postupnosť je konvergentná v X.
Veta 4.1.1 (X, ρ) je úplný ⇐⇒ každá postupnosť do seba zapadajúcich uzavretých gúľ Sn =
{x ∈ X : ρ(x, xn ) ≤ rn }, n = 1, 2, . . ., pre ktoré navyše rn → 0 pre n → ∞, má neprázdny prienik.
Veta 4.1.2 (Baireova veta) Nech (X, ρ) je úplný MP. Potom neexistuje spočítateľné pokrytie
X riedkymi13 množinami.
Dôsledok: Každý úplný MP bez izolovaných bodov je nespočítateľná množina.
Definícia 4.1.9 Nech (X, ρ) je MP. Úplný MP (X ∗ , ρ) sa nazýva zúplnením metrického priestoru
(X, ρ), ak:
1. X je podpriestor X ∗ .
¯ = X ∗.
2. X je hustá množina v X ∗ , t.j. X
Veta 4.1.3 (O zúplnení) Každý MP (X, ρ) má zúplnenie. Toto zúplnenie je určené jednoznačne,
až na izometriu.
4.1.3
Kompaktnosť MP
Definícia 4.1.10 MP (X, ρ) nazývame sekvenciálne kompaktný, ak sa z každej postupnosti bodov
tohoto MP dá vybrať podpostupnosť, ktorá konverguje v X.
Veta 4.1.4 MP je sekvenciálne kompaktný ⇐⇒ je úplný a totálne ohraničený (teda v dôsledku
je úplný, ohraničený a separabilný).
Veta 4.1.5 Nech (X, ρ) je s-kompaktný. Potom A ⊂ X je kompakt ⇐⇒ A je uzavretá.
Veta 4.1.6 Podmnožina A ⊂ Rn v euklidovskom priestore E n = (Rn , ρ) je kompakt ⇐⇒ je
uzavretá a ohraničená.
Veta 4.1.7 (Cantorova) Nech (X, ρ) je kompaktný MP. Nech Fn , n = 1, T
2, . . . sú neprázdne,
∞
uzavreté, do seba zapadajúce množiny, t.j.: F1 ⊃ F2 ⊃ . . . ⊃ Fn ⊃ . . . Potom n=1 Fn 6= 0.
Veta 4.1.8 (Borelova veta o pokrytí) MP je kompaktný
pokrytia je možné vybrať konečné podpokrytie.
⇐⇒
z každého jeho otvoreného
Veta 4.1.9 Nech (X, ρ) je kompaktný MP a f : X → Y , kde (Y, σ) je MP, je spojité. Potom
f (X) je kompakt v (Y, σ).
4.1.4
Banachova veta o pevnom bode
Definícia 4.1.11 Hovoríme, že zobrazenie f : X → X má pevný bod, ak ∃x0 ∈ X, taký, že
f (x0 ) = x0 .
Definícia 4.1.12 Zobrazenie f metrického priestoru (X, ρ) do seba nazývame kontraktívne, ak
existuje konštanta α, 0 ≤ α < 1, že ∀x, y ∈ X platí: ρ(f (x), f (y)) ≤ αρ(x, y).
13 Nech (X, ρ) je MP. Nech A ⊂ X, B ⊂ X. Potom A sa nazýva hustá v B, ak A
¯ ⊃ B. (A
¯ = A ∪ Ad – uzáver
¯ = X.
množiny A, Ad je množina všetkých hromadných bodov množiny A). Množina A sa nazýva hustá v X, ak A
Množina A sa nazýva riedka v X, ak nie je hustá v žiadnej guli (t.j. pre každú guľu S existuje podguľa S 0 ⊂ S
taká, že S 0 ∩ A = ∅).
Ďalšie pojmy: x ∈ X nazývame bodom uzáveru množiny A, ak ∃ postupnosť {xk }∞
1 , xk ∈ A taká, že limk→∞ xk = x.
Ak postupnosť {xk }∞
1 je prostá, tak x ∈ X, pre ktorý limk→∞ xk = x, nazývame hromadným bodom množiny A.
21
Veta 4.1.10 (o spojitosti kontraktívneho zobrazenia) Kontraktívne zobrazenie je spojité na
X.
Veta 4.1.11 (Banachova veta o pevnom bode) Nech (X, ρ) je neprázdny úplný MP a nech
f : X → X je kontraktívne zobrazenie. Potom f má v X jediný pevný bod, t.j. ∃! x
¯0 ∈ X : f (¯
x0 ) =
x
¯0 .
Dôkaz: Nech (X, ρ) je neprázdny úplný MP a nech f : X → X je kontraktívne. Zvoľme x0 ∈ X
ľubovoľne. Definujme postupnosť {xn }∞
n=1 takto:
x1 = f (x0 )
x2 = f (x1 )
...
xn = f (xn−1 )
...
(iterácia zobrazenia)
kontr.
Postupnosť {xn }∞
n=1 je cauchyovská: ρ(xn , xn+1 ) = ρ(f (xn−1 , f (xn )) ≤ αρ(f (xn−2 ), f (xn−1 )) ≤
. . . ≤ αn ρ(x0 , x1 ).
Pre m > n:
ρ(xn , xm ) ≤ ρ(xn , xn+1 ) + ρ(xn+1 , xn+2 ) + . . . + ρ(xm−1 , xm ) ≤ αn ρ(x0 , x1 ) ≤ αn+1 ρ(x0 , x1 ) . . .
ρ(xn , xm ) ≤ αn ρ(x0 , x1 ) + αn+1 ρ(x0 , x1 ) + . . . + αm−1 ρ(x0 , x1 )
∞
X
ρ(xn , xm ) ≤ αn ρ(x0 , x1 ) · (1 + α + . . . + αm−n−1 ) ≤ αn ρ(x0 , x1 )
αk
k=0
| {z }
ρ(xn , xm ) ≤
αn
1−α
1
= 1−α
0
ρ(x , x1 )
| {z }
konšt.
αn
0
1−α ρ(x , x1 )
Keďže α < 1, tak
→ 0 pre n → ∞ =⇒ {xn } je cauchyovská.
Pretože (X, ρ) je úplný, tak {xn }∞
¯. Ukážeme, že x
¯ je pevný bod
n=1 má limitu v X, označme ju x
zobrazenia f . Keďže f je spojitá (veta 4.1.10), tak
spoj.
x
¯ = lim f (xn−1 ) = f lim xn−1 = f (¯
x).
n→∞ | {z }
n→∞
|
{z
}
x
n
x
¯
Exitencia je dokázaná. Jednoznačnosť: Nech existujú dva pevné body x
¯, y¯ ∈ X, t.j. x
¯ = f (¯
x), y¯ =
f (¯
y ). Potom:
ρ(¯
x, y¯) = ρ(f (¯
x), f (¯
y )) ≤ αρ(¯
x, y¯),
pričom α < 1 =⇒ ρ(¯
x, y¯) = 0 ⇐⇒ x
¯ = y¯ – spor. Aplikácie Banachovej vety o pevnom bode: napríklad model ponuky a dopytu, D = D(P ), S =
S(P ), S 0 (P ) > 0, D0 (P ) < 0. Hľadáme P = f (P ), f kontraktívne. Keďže D(P ) = S(P ), dostávame
P = S −1 (D(P )).
Čiže
f (P ) = S −1 (D(P ))
D0 (P )
f 0 (P ) = −1
S (D(P ))
d
0
D
(P ) n−1
ide o to, aby supP ∈M |f 0 (P )| = supP ∈M S −1 (D(P
=
)) = θ < 1. Ak θ = a < 1 =⇒ P
−1
n
n
∗
S (D(P )), P → P (optimálna trhová cena).
S(P n+1 ) = D(P n ) – ponuka pre cenu P n+1 v čase n + 1 závisí na dopyte pre cenu P n v čase n.
Takisto sa veta využívala pri Leontieffovom modeli produkcie, pri hľadaní dodávateľsko-odberateľských
vzťahoch medzi n výrobcami.
Veta 4.1.12 Nech f je zobrazenie neprázdneho úplného MP X do seba. Ak existuje k ∈ N tak,
že k-ta iterácia zobrazenia f (t.j. f k ) z X do X je kontrakcia, tak f má v X pevný bod.
22
Download

matematicka_analyza.pdf