SYSTÉMY DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC
1. Normálny systém diferenciálnych rovníc rádu n
x′1 = f1 (t, x1 , x2 , ..., xn )
x′2 = f2 (t, x1 , x2 , ..., xn )
. . .
. . .
.
x′n
xi (t), i = 1, 2, ..., n
. .
= fn (t, x1 , x2 , ..., xn )
x′i (t)
sú neznáme funkcie,
(1)
sú derivácie podľa t.
(1) nazývame normálny systém diferenciálnych rovníc rádu n.
Riešením systému (1) na intervale J je každá n-tica funkcií (x1 (t), x2 (t), . . . xn (t)), ktoré sú definované
na intervale J, majú tam derivácie a sú také, že dosadením týchto funkcií a ich derivácií do systému (1)
dostaneme z každej rovnice tohoto systému rovnosť pre každé t ∈ J.
Ak označíme:

f1
 f2 
 
 . 
F = (f1 , f2 , ..., fn )T =   ,
 . 
 
.
fn


x1
 x2 
 
 . 
ξ = (x1 , x2 , ..., xn )T =   ,
 . 
 
.
xn

dostaneme vektorový tvar systému (1)
ξ ′ = F(t, ξ)
(2)
Poznámka. Diferenciálnu rovnicu n-tého rádu tvaru
x(n) = f (t, x, x′ , ..., x(n−1) ),
x = x(t)
(3)
po použití substitúcie: x = x1 , x′ = x2 , x′′ = x3 , . . . , x(n−1) = xn ,
môžeme zapísať ako systém (1) nasledovne:
x′1 = x2
x′2 = x3
. . .
.
.
. .
. .
x′n = f (t, x1 , x2 , ..., xn ).
Cauchyho začiatočná úloha pre systém (1), resp. (2) sa nazýva úloha nájsť také riešenie systému,
pre ktoré v nejakom bode t0 ∈ J platí:
x1 (t0 ) = x1,0 ,
x2 (t0 ) = x2,0 ,
...,
xn (t0 ) = xn,0 ,
(4)
kde x1,0 , x2,0 , . . . , xn,0 sú dané reálne čísla. Podmienky (4) sa volajú začiatočné podmienky.
Ďalej pod oblasťou O budeme rozumieť množinu všetkých bodov (t, x1 , x2 , . . . , xn ) pre ktoré t ∈
J = (t0 − a, t0 + a), xi ∈ (xi,0 − b, xi,0 + b) i = 1, 2, . . . , n, a > 0, b > 0.
1
Veta. (O existencii a jednoznačnosti riešenia Cauchyho úlohy )
Nech na oblasti O sú funkcie fi (t, x1 , x2 , ..., xn ), i = 1, 2, . . . , n spojité, ohraničené a parciálne derivácie
∂fi
(i, j = 1, 2, ..., n) ohraničené. Potom Cauchyho úloha pre systém (1) a začiatočné podmienky (4)
∂xj
má jediné riešenie na intervale J1 ⊂ J (t0 ∈ J1 ).
2. Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
x′1 = a11 (t)x1 + a12 (t)x2 + ... + a1n (t)xn + b1 (t)
x′2 = a21 (t)x1 + a22 (t)x2 + ... + a2n (t)xn + b2 (t)
.
.
.
. .
. .
. .
(5)
x′n = an1 (t)x1 + an2 (t)x2 + ... + ann (t)xn + bn (t)
Urobme označenie:


x1
 x2 

ξ=
 ... 
xn

a11 (t) a12 (t) . .
 a21 (t) a22 (t) . .

. .
 .
A=
. .
 .

.
. .
an1 (t) an2 (t) . .
.
.

a1n (t)
a2n (t) 





. ann (t)
 b (t) 
1
 b2 (t) 

β=
 .. 
.
bn (t)
ξ je matica (vektor) neznámych, A je matica systému (5).
Systém (5) prepíšeme do maticového tvaru:
ξ(t)′ = A(t). ξ(t) + β(t),
t ∈ J.
(6)
Hovoríme, že systém (6) je homogénny, ak β(t) = (0, 0, ..., 0) ∀ t ∈ J.
Ak β(t) 6= (0, 0, ..., 0)T pre nejaké t ∈ J, systém (6) je nehomogénny.
T
Veta. Nech matice A(t), β(t) sú spojité na otvorenom intervale J. Potom Cauchyho úloha pre systém
(6) (resp. (5)) a začiatočné podmienky (4) má práve jedno riešenie definované na celom intervale J.
Eliminačná metóda riešenia systémov lineárnych diferenciálnych rovníc
Spočíva v tom, že istými úpravami získame taký systém (alebo len jednu rovnicu), že každá rovnica
systému obsahuje len jednu neznámu funkciu a jej derivácie. K tomu používame okrem ekvivalentných
úprav aj derivovanie, čo nie je ekvivalentná úprava. Preto musíme urobiť skúšku. (Môžeme dostať viac
riešení ako má náš systém.)
3. Homogénne systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
ξ(t)′ = A(t). ξ(t),
t ∈ J.
(S)
Veta 1. Množina všetkých riešení systému (S) tvorí vektorový priestor dimenzie n.
To znamená, že
1. Ak ξ1 , ξ2 sú riešenia systému (S) a c1 , c2 ∈ R, potom aj c1 ξ1 + c2 ξ2 je riešenie systému (S).
2. Ak ξ1 , ξ2 , ..., ξn sú nezávislé riešenia systému (S), potom tvoria bázu vektorového priestoru všetkých
riešení systému (S).
2
Každú n-ticu ξ1 , ξ2 , ..., ξn lineárne nezávislých riešení systému (S) voláme
fundamentálny systém riešení systému (S).
Všeobecné riešenie systému (S) je
ξ(t) = c1 ξ1 (t) + c2 ξ2 (t) + ... + cn ξn (t),
ci ∈ R,
t ∈ J.
Veta 2.
Nech
ξ1 =(x11 , x21 , ..., xn1 )T
ξ2 =(x12 , x22 , ..., xn2 )T
. . .
.
.
. .
. .
ξn =(x1n , x2n , ..., xnn )T
sú riešenia systému (S). Potom sú lineárne nezávislé na intervale J vtedy a len vtedy, ak determinant
x11 (t)
x21 (t)
.
D(ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) = .
.
xn1 (t)
x12 (t) . .
x22 (t) . .
. .
. .
. .
xn2 (t) . .
(Potom je rôzny od nuly pre každé t ∈ R.)
Maticu
x1n (t) x2n (t) 6= 0 aspoň v jednom čísle t ∈ J.
. xnn (t)
.
.

x11 (t) x12 (t) . . .
 x21 (t) x22 (t) . . .

. .
 .
Φ(t) = 
. .
 .

.
. .
xn1 (t) xn2 (t) . . .

x1n (t)
x2n (t) 





xnn (t) ,
ktorej stĺpce sú lineárne nezávislé riešenia ξ1 , ξ2 , ..., ξn systému (S), nazývame
fundamentálnou maticou systému (S).
Veta 3. Nech Φ(t) je fundamentálna matica systému (S)
ξ(t)′ = A(t). ξ(t),
t ∈ J.
(S)
Potom platí:
1. Φ′ (t) = A(t). Φ(t),
t ∈ J.
2. det Φ(t) 6= 0,
t ∈ J.
3. Ak K je regulárna konštantná matica typu (n, n), potom matica Φ(t) K je tiež fundamentálna
matica systému (S).
Všeobecné riešenie systému (S) môžeme zapísať aj v tvare
ξ(t) = Φ(t) C,
C = (c1 , c2 , . . . , cn )T ,
c1 , c2 , . . . , cn ∈ R.
4. Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientami
ξ(t)′ = A. ξ(t),
3
(S1)
prvky matice A sú čísla.
Riešenie systému (S1) hľadáme v tvare
ξ = κeλt ,
kde λ je vlastné číslo matice A (koreň charakteristickej rovnice det(A − λE) = 0) a κ odpovedajúci
vlastný vektor.
Veta 3. Nech λ1 , λ2 , . . . , λn sú navzájom rôzne vlastné čísla matice A a nech κ1 , κ2 , . . . , κn sú
odpovedajúce vlastné vektory matice A. Potom funkcie
ξi = κi eλi t ,
i = 1, 2, . . . , n
tvoria fundamentálny systém riešení systému ξ(t) = A. ξ(t).
′
Reálne riešenia v prípade komplexných vlastných čísel matice A
Ak matica A systému ξ(t)′ = A. ξ(t) má jednoduché komplexne združené vlastné čísla λ1 = α + iβ,
λ2 = α − iβ, potom 2 lineárne nezávislé reálne riešenia nájdeme takto:
Vyberieme jeden z týchto koreňov, napríklad
λ1 = α + iβ.
Nájdeme odpovedajúci komplexný vlastný vektor κ
f1 a komplexné riešenie
ξe = κ
f1 eλ1 t
Z vlastností riešení homogenného lineárneho diferenciálneho systému vyplýva, že reálne riešenia sú
Tieto riešenia sú lineárne nezávislé.
e
ξ1 = Re ξ,
e
ξ2 = Im ξ.
5. Metóda variácie konštát pre riešenie nehomogénneho lineárneho diferenciálneho systému
ξ(t)′ = A(t). ξ(t) + β(t),
ξ(t)′ = A(t). ξ(t).
(nehomogénny systém)
(SP )
( príslušný homogénny systém)
(S)
Nech ξ1 (t), ξ2 (t), ..., ξn (t) je fundamentálny systém riešení systému (S)
a Φ(t) príslušná fundamentálna matica. Označme:
ξ=
n
X
ci ∈ R - všeobecné riešenie systému(S),
ci . ξi ,
i=1
ξ - všeobecné riešenie systému(SP ),
ξ ∗ - partikulárne riešenie systému(SP ).
Potom platí
ξ = ξ + ξ∗.
ξ ∗ hľadáme metódou variácie konštánt:
ξ∗ =
n
X
ci (t). ξi ,
pričom
i=1
ci (t) =
Z
Di (t)
dt , i = 1, 2, ..., n;
D(t)
D(t) = det Φ(t) a Di (t) dostaneme z D(t) keď zameníme i − ty stĺpec stĺpcom β(t).
4
Download

SYSTÉMY DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC 1. Normálny systém