Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
A) kinematika 1D
Aa) stredná rýchlosť
(doc. Ševčík)
1. Teleso sa pohybovalo po dráhe dlhej Δx. Prvú polovicu prešlo rýchlosťou v1 = 5 m.s-1 , druhú polovicu
rýchlosťou v2 = 10 m.s-1. Aká bola stredná (priemerná) rýchlosť telesa?
[6,67 m.s-1]
(doc. Ševčík)
2
2. Okamžitá rýchlosť telesa pohybujúceho sa po priamke je daná vzťahom v(t ) = v 0 + kt , kde k > 0 je
konštanta. Aká je stredná rýchlosť počas 1. sekundy, 2. sekundy a počas 10. sekundy pohybu, počas n-tej
sekundy pohybu? Aká je stredná rýchlosť za n-sekúnd pohybu od začiatku pohybu?

k
7
271
k
kn 2 
2
v
+
;
v
+
k
;
v
+
k
;
v
+
3
n
−
3
n
+
1
;
v
+
0
0
0
0
 0

3
3
3
3
3 

(
)
Ab) rovnomerný pohyb
(doc. Ševčík)
3. Na prednáške bol skúmaný pohyb telesa po priamke, ktorý bol daný predpisom x(t ) = 2t 2 − 5t + 3 a okamžitá
rýchlosť pohybu je v(t ) =
dx(t )
= 4t − 5 . Určte, aká bude okamžitá rýchlosť v ľubovoľnej polohe telesa, t.j. nájdite
dt
funkciu v = v(x).
(FKS 1999/00, B-2.2)
4. Zo stola odliepame lepiacu pásku ťahaním za jeden jej koniec veľkosťou rýchlosti v0. Akou veľkosťou
rýchlosti sa pohybuje stred odlepenej časti?
 3v0 
 4 
 
verzia ZS 2012
1/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
Ac) rovnomerne zrýchlený pohyb
(N 2000/2001, 10)
5. Dvaja športovci bežia priamočiaro rovnako dlhý čas. Prvý z nich beží prvú polovicu tohto času so


zrýchlením a , druhú polovicu so zrýchlením 2a . Druhý športovec naopak, najprv prvú polovicu so


zrýchlením 2a a druhú so zrýchlením a . Prvý bežec prebehne spolu 20 km. Akú vzdialenosť prebehne
druhý bežec?
[28 km]
(N 2001/2002, 5)
6. Cyril chce byť novým Usainom Boltom a zabehnúť 100 metrov za 9 sekúnd. Vypracoval si aj plán svojho
behu: prvú polovicu času rovnomerne zrýchľuje, potom udrží tempo a je to! Akou veľkosťou rýchlosti
vbehne do cieľa?
[53,33 km.h-1]
(N 2004/2005, 2)
7. Peťko ráno zaspal. Hodina mu začne za čas τ. Preto sa z domu rozbehne so zrýchlením veľkosti a.
V
polovici cesty si uvedomí, že to nestihne. Preto dvakrát zvýši svoje zrýchlenie, vďaka čomu dobehne na
vyučovanie načas. Koľko by meškal, keby bežal celú cestu so zrýchlením veľkosti a?
[τ.0,0353]
(N 2004/2005, 8 modifikované)
8. Teleso sa pohybuje po priamke. Graf závislosti jeho rýchlosti je na obr. Začiatočná poloha telesa je x(0 =
0.
verzia ZS 2012
2/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
a) Vypočítajte súradnicu jeho polohy v čase t = 4 τ.
b) Vypočítajte celkovú dráhu s, ktorú teleso prešlo.
c) Nakreslite graf funkcie jeho polohy x = x (t).
[ x(4τ ) = 7,5τ ; s = 12,5τ ]
(MMF, s. 50)
9. Častica sa začala v čase t = 0 pohybovať po priamke veľkosťou rýchlosti v( x) = α x . Za aký čas t1 sa
dostane z bodu 0 do bodu x1 ?

2 x1 
t1 =

α 

(N 2008/2009, 4)
10. Po diaľnici idú autá veľkosťou rýchlosti 135 km.h-1. Ak jedno z nich začne naplno brzdiť zrýchlením
veľkosti 5 m.s-2, vodič auta za ním začne brzdiť s rovnakým zrýchlením, ale najskôr o pol sekundy neskôr.
Aký minimálny odstup musia autá dodržiavať, aby sa za takýchto idealizovaných podmienok nezrazili?
[18,75 m]
(MMF, s. 59)
11. (*) Máme L0 = 1 m kvalitného gumového lana; tak kvalitného, že sa všade naťahuje rovnako. Jeho ľavý
koniec A je pevne uchytený a pravý koniec sa začne od určitého okamihu pohybovať veľkosťou rýchlosti vB
= 10 m/s. V tom istom okamihu začne liezť mucha z bodu A po lane veľkosťou rýchlosti
vm = 1 m/s (voči lanu). Dolezie mucha do bodu B? Ak áno, v akom čase t ?

  vB
 L0 exp
  v m

t =
vB



verzia ZS 2012
 
 − 1 
  




3/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(dr. Košinár)
12. (*) V okamihu, keď sa vlak pohybuje rýchlosťou v0 = 10 m.s-1, rušňovodič zapne brzdy, pohyb sa spomaľuje
a za 2 sekundy na dráhe s dlhej 8 metrov vlak zastaví. Ak použijeme na riešenie rôzne nám známe vzorce pre
rovnomerne spomalený pohyb, dostaneme:
a) ak v čase t = 0 je poloha x(0) = 0, pre zrýchlenie a < 0 bude prejdená dráha pri brzdení
s (t ) = v 0 t +
1 2
at , a < 0
2
b) okamžitá rýchlosť od začiatku brzdenia bude:
v(t ) = v 0 + at , a < 0
c) z oboch vzťahov pri vylúčení času t dostaneme:
t=
v(t ) − v 0
a
2
v − v0
 v − v0 
2
2 s = 2v 0 t + at = 2v 0
+ a
 ⇒ 2as = v 2 − v0
a
 a 
2
Teraz dosadíme do týchto vzťahov zadané hodnoty z príkladu:
t = 2 s,
v0 = 10 m.s-1,
podľa a) :
a = - 6 m.s-2
podľa b) :
a = - 5 m.s-2
podľa c) :
a = - 6, 25 m.s-2
s(2) = 8 m,
v(2) = 0 m.s-1
Prečo sú výsledky rôzne?
[☺]
verzia ZS 2012
4/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
Ad) voľný pád
(N 2008/2009, 19)
13. Tomáš s Fajom našli v Slovenskom krase krasovú jamu, ktorej nedovideli na dno. Pustili do nej teda
kameň a odmerali čas t medzi tým, ako kameň pustili a tým, ako začuli jeho dopad na dno jamy. Rýchlosť
zvuku je c, tiažové zrýchlenie g a odpor vzduchu zanedbateľný. Aká je hĺbka jamy?

c2
−
ct +
g

c 4 2c 3 t 
+

g 
g2
B) Kinematika 2D
Ba) vrh zvislo nadol
(doc. Ševčík)
14. Keď teleso nechám voľne padať, dopadne na zem za určitý čas. Ako rýchlo ho musím hodiť smerom nadol, aby
som tento čas skrátil na polovicu?


9
Hg 
v 0 =
8


Bb) vrh zvislo nahor
(FKS 1996/97, B-6.3)
15. Hádžeme guľôčku zo zeme zvislo nahor do výšky h = 29,4 m. Túto výšku musí guľôčka dosiahnuť
a) za čas t = 3 s,
b) za čas t = 6 s.
Určte veľkosť počiatočnej rýchlosti, ktorú sme museli guľôčke udeliť v oboch prípadoch. Nezdá sa vám na
výsledkoch niečo čudné? Ak ste počítali dobre, vyšla vám rýchlosť v prípade b) väčšia ako v prípade a). To
znamená, že ak má guľôčka doletieť do výšky h za dlhší čas, musí letieť na začiatku rýchlejšie. Vysvetlite
tento paradox. Platí všeobecne, že pre kratší čas letu je potrebná menšia rýchlosť hodu? Ak áno, ako je to
v prípade, keď sa čas t blíži k nule? Ak nie, viete určiť čas, pre ktorý je rýchlosť minimálna?
[☺]
verzia ZS 2012
5/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(N 2007/2008, 2)

16. Jednu loptičku vyhodíme zo zeme nahor rýchlosťou v , druhú necháme v tom istom momente voľne
padať z výšky h, presne nad prvou loptičkou. V akej výške sa zrazia?
 
gh 
h1 − 2 
2v 
 
Bc) vodorovný vrh
(N 2010/2011, 9)
17. Obyvatelia Šturáku majú štandardné problémy s holubmi, ktoré im špinia balkóny. Uvažujte holuba

letiaceho vodorovne rýchlosťou v 0 priamo k Šturáku. V akej vzdialenosti s od internátu musí holub vypustiť
svoj exkrement, ak chce trafiť balkón nachádzajúci sa o h metrov nižšie?

2h 
s = v

g 

Bd) šikmý vrh
(N 2002/2003, 20)


18. Kačka letela po vodorovnej priamke rýchlosťou u . Pytliak do nej hodil kameň rýchlosťou v pod uhlom
α. Bol to neskúsený pytliak, takže kameň hodil bez nadbehu, t.j. v smere okamžitej polohy kačky. Ale bol to
zároveň pytliak, ktorý mal šťastie, takže kačku predsa len zasiahol. V akej výške letela kačka?
 2utg 2α

( v cos α − u ) 

 g

(N 2001/2002, 41)
19. V láske nešťastný Filip chce trafiť kameňom Andreu a tak upútať jej pozornosť. Janka stojí na kopci, jej
vodorovná vzdialenosť od Mirka je l a navyše stojí o h metrov vyššie ako on. Nájdite podmienku pre
minimálnu veľkosť rýchlosti v kameňa, ak ju chce trafiť.
v ≥ hg + h 2 g 2 + l 2 g 2 


verzia ZS 2012
6/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(N 2007/2008, 11)
20. Ako ďaleko doskočí žaba, ak skáče šikmo nahor rýchlosťou veľkosti v a počas skoku dosiahne
maximálnu výšku h?


v2
− 2h 
 2 2h
g


(N 2009/2010, 28)
21. Záhradník Braňo polieval trávnik. Všimol si, že keď drží ústie hadice nízko nad zemou, prúd vody
vytvorí oblúk vysoký H a dopadajúci vo vzdialenosti L. Akou veľkosťou rýchlosti vychádzala voda z ústia
hadice? Odpor vzduchu zanedbajte.
 1 L2

+ 2 gH 
 g
 8 H

(FKS 1995/96, B-4.1)
22. Po ceste idú za sebou dve autá veľkosťou rýchlosti v = 60 km/h. Aká musí byť minimálna vzdialenosť
týchto dvoch áut, aby kamienky od kolies prvého auta netrafili druhé auto? Predpokladajte, že konštrukcia
auta nijako nebráni odletovaniu kamienkov. (Potrebné číselné údaje pre vyčíslenie výsledku odhadnite.)
v2 
 
g
(FKS 2000/01, B-1.1)
23. Delo strieľa náboje rýchlosťou veľkosti vo, hlaveň dela zviera s vodorovnou rovinou uhol α. Po rovine sa
priamo k delu blíži tank rýchlosťou u. Pri akej vzdialenosti tanku od dela musí delo vystreliť, aby náboj
zasiahol tank? V akej vzdialenosti od dela bude tank zasiahnutý?
 2v 0 sin α

( v 0 cos α + u ) 

g


(FKS 1998/99, B-5.2)
24. Pri akom pomere h1/h2 je doba pádu telesa na obrázku maximálna?
[2]
verzia ZS 2012
7/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(N 2002/2003, 8)

25. Guľočku hodíme rýchlosťou v 0 pod uhlom α, ale tá sa nám odrazí späť od zvislej steny vzdialenej od nás
o l (obr.). Nájdite, v akej vzdialenosti x od steny dopadne guľôčka na zem. Odraz považujte za dokonale
pružný.
2


v0
sin ( 2α ) − l 
x =
g


(N 2005/2006, 13)
26. Juraj stojí v jame vo vzdialenosti d = 3 m od veľmi vysokej steny. Ako ďaleko za jamu môže odrazom
od steny hodiť loptičku, ak hádže maximálnou veľkosťou rýchlosti v = 15 m.s-1? Odraz od steny je dokonale
pružný a loptička opúšťa Jurajovu ruku na okraji jamy, teda v nulovej výške. Odpor vzduchu prirodzene
zanedbajte.
v2

 − 2d ≈ 16,94m
g

verzia ZS 2012
8/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(FYKOS VIII-I-1)
27. Hráč golfu stojí pred náročnou úlohou. Musí trafiť jamku vo vzdialenosti d a súčasne prestreliť prekážku
výšky h. Prekážka sa nachádza vo vzdialenosti l od hráča (obr.). Akou veľkosťou rýchlosti v0 a pod akým
uhlom φ musí golfista odpáliť loptičku?
 2
gd
h d 
v 0 = sin ( 2ϕ ) ; tgϕ > l d − l 


(FYKOS XVII-I-3)
28. (*) Hádžeme granátom stojac na svahu. Smerom dole dokážeme dohodiť 62 m, ale proti svahu len 53 m.
(Predpokladajme, že sme urobili množstvo pokusov a v oboch prípadoch sme našli optimálny uhol hodu.)
Určte sklon svahu.
[približne 4,5°]
(FYKOS XXI-III-3)
29. (**) Malú guľočku hodíme vodorovne na naklonenú rovinu. Guľôčka po nej začne poskakovať a po N
odrazoch dopadne kolmo k povrchu naklonenej roviny (obr.). Aký uhol α zviera naklonená rovina?
Predpokladajte, že guľôčka sa odráža dokonale pružne a rotáciu guľôčky neuvažujte.
[α = arc cot g
verzia ZS 2012
2N
9/21
]
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(FYKOS XVII-VI-1)

30. (**) Strieľame strelou s počiatočnou rýchlosťou v 0 z výšky h nad povrchom Zeme na kovovú stenu vo
vzdialenosti L (obr.). Pod akým uhlom α máme strieľať, aby sme čo najskôr počuli náraz?
2


v0
α
=


Lg + v 0 c1 

(c1 – rýchlosť zvuku v stene)
C) skladanie rýchlostí
(N 2003/2004, 11)
31. Po trati premávajú v pravidelných intervaloch električky. Keď idem rýchlosťou

v1
v tom istom smere ako
električky, stretávam ich každých t1 sekúnd. Keď sa dám do behu a bežím rýchlosťou

v2
(stále v tom istom
smere), časové intervaly sa zmenia na t2 sekúnd. V akých časových intervaloch premávajú električky?
 v 2 − v1

t1t 2 

 v 2 t 2 − v1t1

(FYKOS XXV-IV-1)
32. Eskalátory v budúcom bratislavskom metre majú n schodov a pohybujú sa veľkosťou rýchlosti v.
Vypočítajte, koľko schodov v skutočnosti prejdete, ak po nich pôjdete veľkosťou rýchlosti v1:
a) v smere jazdy,
 v1 
n

 v1 + v 
b) proti smeru jazdy (uvažujte, že v1 > v).
 v1 
n

 v1 − v 
verzia ZS 2012
10/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(N 2007/2008, 5)
33. Výletná loď príde po Dunaji z Bratislavy na Devín za hodinu a dvadsať minút, späť za pol hodiny.
Koľkokrát rýchlejšie ide loď vzhľadom na vodu ako voda v Dunaji vzhľadom na breh?
11

 5 − krát 
(N 2008/2009, 25)
34. V rieke šírky d tečie voda všade veľkosťou rýchlosti u. Tomáš stojí na jednom brehu rieky a chce sa
dostať na druhý breh do protiľahlého bodu. Dokáže však plávať len veľkosťou rýchlosti v menšou než u.
Ako najbližšie k protiľahlému bodu vie doplávať?
 u2 − v2 
d

v


(FKS 1998/99, B-3.4)
35. Veľkosť rýchlosti prúdu vody v rieke je u, veľkosť rýchlosti loďky v stojacej vode je v. Aký smer (kurz)
voči prúdu rieky musí udržiavať človek v loďke, ak sa potrebuje dostať na druhý breh
a) za čo najkratší čas?
[kolmo na prúd]
v

arcsin

u 
b) po čo najkratšej dráhe?
(FKS 1994/95, B-5.2)


36. Pod akým uhlom voči rýchlosti rieky v má plávať plavec rýchlosťou u , aby ho čo najmenej odplavilo
dolu vodou? Uvažujte všetky prípady.
v
u


u > v : ar cos u ; u < v : ar cos v ; u = v : nikdy 
verzia ZS 2012
11/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(N 2002/2003, 6)
37. Indiáni zajali zálesáka. Ten sa môže oslobodiť, ak zvíťazí v plaveckých pretekoch proti miestnemu
šampiónovi. Okolo dediny tečie rieka veľkosťou rýchlosti v = 1 km.h-1. Zálesák i indián plávajú rovnako
rýchlo, a to c = 3 km.h-1 (voči vode). Pravidlá sú nasledujúce: jeden závodník pláva naprieč riekou tam
a naspäť (na pôvodné miesto). Druhý pláva tam a naspäť tú istú vzdialenosť medzi dvoma kolmi zatlčenými
do dna rieky pozdĺž jej toku. Ktorú trasu si má zálesák vybrať a ak si vyberie správne, o koľko zvíťazí?
Rieka je široká 300 m.
[naprieč riekou; približne o 46 s]
(doc. Ševčík)
38. Športovec v triatlone sa má dostať z bodu A do bodu B na opačnom konci rieky. Veľkosť rýchlosti toku vody je
v0, veľkosť rýchlosti jeho plávania vzhľadom na vodu je
2v 0 a môže do B na druhej strane bežať veľkosťou
rýchlosti 2v0. Pod akým uhlom φ voči brehu má začať plávať, aby sa dostal do bodu B za najkratší čas?
[φ ≈ 118,12°]
(FKS 1999/00, B-5.4)
39. Vlajka na sťažni lode zviera pri rýchlosti 20 km/h s jej smerom uhol 60°. Pri rýchlosti lode 40 km/h je
tento uhol 30°. Predpokladajte, že obdĺžnik listu vlajky vlaje v zvislej rovine.
a) Určte rýchlosť vetra.
[20 km/h]
b) Pri akej rýchlosti lode bude tento uhol 90°.
[10 km/h]
(MMF, s. 49)
40. Veľkosť rýchlosti tečenia vody v rieke narastá lineárne z nulovej veľkosti na krajoch po veľkosť u0
v strede rieky. Naprieč riekou sa pohybuje loď veľkosťou rýchlosti v. Nájdite trajektóriu lode.
[RIEŠENIE:]
verzia ZS 2012
12/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(FKS 1995/96, B-4.1)


41. (*) Za líškou, ktorá beží rovnomerne priamočiaro rýchlosťou v1 uteká pes, ktorého rýchlosť v 2
konštantnej veľkosti má vždy smer na líšku. V okamihu, keď sú oba vektory rýchlostí na seba kolmé,
vzdialenosť medzi psom a líškou je L. Aké je zrýchlenie psa v tomto okamihu?

 v1 v 2 
 L 


D) polohový vektor
(doc. Ševčík)
42. Hmotný bod sa pohybuje v rovine (x,y) podľa predpisu



r (t ) = i A cos(bt ) + j A sin(bt )
A > 0, konšt.
B > 0, konšt.
a) Vypočítajte karteziánske zložky rýchlosti a veľkosť vektora rýchlosti,
[ x(t ) = A cos(bt ), y(t ) = A sin(bt ), v = Ab]

b) Určte zložky jednotkového vektora τ , ktorý určuje smer rýchlosti v každom čase t,
[τ = i[ − sin(bt )] + j [ cos(bt )] ]
c) Určte karteziánske zložky zrýchlenia a veľkosť zrýchlenia,
[a = i[− Ab
d) Odvoďte rovnicu trajektórie hmotného bodu,
2
] [
[x
]
]
, kruznica ]


cos(bt ) + j − Ab 2 sin(bt ) , a = Ab 2
2
+ y 2 = A2
e) Nakreslite karteziánske zložky rýchlosti a zrýchlenia.
[ x = −by, y = +bx; x = −b
verzia ZS 2012
2
x, y = −b 2 y
13/21
]
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(doc. Ševčík)
43. Hmotný bod sa pohybuje v rovine (x,y) podľa predpisu
x(t ) = A cos(kt )
y (t ) = B sin( kt )
A>B
A, B, k sú konštanty
a) vypočítajte karteziánske zložky rýchlosti a veľkosť vektora rýchlosti,
[v
x

= − Ak sin( kt ), v y = Bk cos(kt ), v = k A 2 sin 2 ( kt ) + B 2 cos 2 ( kt )
b) Určte karteziánske zložky zrýchlenia a veľkosť zrýchlenia,
[a
x
= − k 2 x, a y = − k 2 y
]
]
 x2

y2
+
= 1, elipsa 
 2
2
B
A

c) Aká bude jeho trajektória?
d) Kde pohyb začína? Bude pohyb pravo- alebo ľavotočivý?
[x (0) = A, y (0) = B; proti smeru hod. ručičiek]
e) V akých časoch bude hmotný bod prechádzať cez bod C2?
(4l + 1)π


, l = 0,1,2,3,...
t 2 =
2k


f) Aká je perióda obehu?
2π 

t 2 = k 
(doc. Ševčík)
44. Pohyb hmotného bodu je daný v polárnych súradniciach rovnicami
r (t ) = Ae kt
ϕ (t ) = kt ,
kde A, k sú konštanty, A > 0, k > 0.
Nájdite:
[r = Ae ]
ϕ
a) rovnicu trajektórie pohybu hmotného bodu,
b) jeho rýchlosť,
c) jeho zrýchlenie.
verzia ZS 2012
[v = ( Ake
kt
[


)1 r + ( Ake kt )1ϕ


a = 2 Ak 2 e kt 1ϕ
]
]
14/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
E) príklady na vhodnú voľbu vzťažnej sústavy
(N 2001/2002, 3)
45. Guľôčka nalietava vodorovne veľkosťou rýchlosti 2 m/s na ťažkú steno, ktorá sa proti nej pohybuje
veľkosťou rýchlosti 3 m/s. Ak uvažujeme dokonale pružnú zrážku, aká bude rýchlosť guľôčky po odraze:
a) vzhľadom na pevnú stenu?,
b) vzhľadom na vonkajšieho pozorovateľa?
[ v = (−5,0,0)]
[ v′ = (−8,0,0)]
(N 2002/2003, 7)
46. Delostrelec chce trafiť jablko, ktoré je od neho vzdialené 3l a je o výšku l vyššie ako on. Jeho náboje
vylietavajú z hlavne rýchlosťou v. V okamihu vystrelenia náboja jablko začne padať k zemi. Pod akým
uhlom má delostrelec strieľať, aby trafil jablko? Odpor vzduchu a rozmery dela zanedbajte.

 1 
arcsin 3 
 

(N 1999/2000, 12 – zlý vzorák !)

47. Delo strieľa vodorovne rýchlosťou v 0 z kopca so sklonom α. Vypočítajte vzdialenosť s, kam strela
doletí.
2

2v 0 sin α 
s
=


g cos 2 α 

verzia ZS 2012
15/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(N 2004/2005, 38)
48. Z naklonenej roviny s uhlom sklonu α = 30° hádžeme hmotný bod (počiatočná poloha hmotného bodu je
na naklonenej rovine). Pod akým uhlom β, meraným od vodorovnej roviny, musíme tento hmotný bod
hodiť, aby sa po dokonale pružnom odraze od naklonenej roviny vrátil naspäť do bodu, z ktorého bol
hodený?
[70° 54´]
(N 2003/2004, 16)

49. Loď pláva z miesta A rýchlosťou v tak, že zviera s úsečkou AB uhol α (obr.). Pod akým uhlom β má

nepriateľská loď z miesta B vypustiť rýchlosťou u torpédo, aby loď A trafila?

v

 β = arcsin u sin α 



(N 2010/2011, 11)
50. Dva mravce sa nachádzajú na protiľahlých vrcholoch hárku papiera tvaru obdĺžnika so stranami a, b
 


(obr.). Oba mravce sa začnú naraz pohybovať rýchlosťami v1 , v 2 , pričom platí: v1 = v 2 = v . Jeden ide po
hrane papiera, druhý krížom cez papier tak, ako to znázorňuje obrázok. Pod akým uhlom α sa má pohybovať
druhý mravec, aby sa oba mravce stretli v jednom bode na hrane papiera?
(
)

 a 2 − b 2 
α
=
arctg



 2ab 

verzia ZS 2012
16/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(N 2001/2002, 45; 200 problems, 1)
51. Tri psy sa hrajú naháňačku: postavia do rovnostranného trojuholníka s dĺžkou a, ktorého vrcholy
označme 1, 2, 3 (viď obrázok). Pes 1 beží vždy na psa 2, pes 2 vždy na psa 3 a pes 3 vždy na psa 1. Za aký
čas sa stretnú v strede trojuholníka, ak každý z nich beží rovnakou veľkosťou rýchlosti v?
 2a 
t = 3v 
BONUS: Nájdite trajektóriu (rovnicu krivky) psa.
F) pohyb po kružnici
(Hajko I/20)

52. Koleso železničného vozňa sa valí bez kĺzania po priamej koľajnici tak, že rýchlosť jeho stredu je v 0 .
Určte rýchlosti A a B kolesa v okamihu zachytenom na obrázku.


[vA = v0 2 , v A zviera s osou x uhol 45 ° ; vB = 2v0, v B je rovnobežná s osou x]
verzia ZS 2012
17/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(N 2004/2005, 7)

53. Obruč s polomerom R sa valí po ceste rýchlosťou v (obr.). Nájdite rýchlosť bodu A na obruči, ktorý
zviera so zvislicou uhol φ.
[veľkosť: v = 2v cos ϕ ]
A
(Hajko I/13)
54. Teleso sa začína otáčať okolo pevnej osi s konštantným uhlovým zrýchlením ε = 0,04 s-2. V ktorom čase
od počiatku otáčania bude celkové zrýchlenie ľubovoľného bodu telesa zvierať uhol α = 76° s rýchlosťou
toho istého bodu?
[10 s]
(Hajko I/16)
55. Koleso sa otáča s frekvenciou n = 1 500 otáčok/min. Brzdením možno dosiahnuť, že jeho otáčanie bude
rovnomerne spomalené a koleso sa zastaví po čase t0 = 30 s od začiatku brzdenia. Vypočítajte uhlové
zrýchlenie ε a počet otáčok N, ktoré koleso vykoná od začiatku brzdenia až do zastavenia.
[ε = - 5,24 s-2; N = 375]
(FKS 1997/98, B-5.1)
56. Koncertné pódium má tvar kruhu s polomerom 10 m. Na začiatku pesničky je skupina rozmiestnená na
odvrátenej strane a pódium sa z pokoja začne roztáčať s konštantným uhlovým zrýchlením veľkosti ε. Určte
veľkosť celkového (uhlového) zrýchlenia a speváka skupiny (stojaceho na okraji pódia) počas celého
otáčania.
verzia ZS 2012
[a = Rε
1 + t 4ε 2
18/21
]
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(Hajko, I/15)
57. Vlak sa pohybuje rovnomerne spomalene po dráhe dĺžky s = 800 m, ktorá je zakrivená do tvaru kružnice
s polomerom R = 800 m. Určite hodnotu celkového zrýchlenia ľubovoľného bodu vlaku na začiatku a na
konci zakrivenej trate a čas, za ktorý túto časť trate urazí. Veľkosť rýchlosti vlaku na začiatku je v0 = 54
km/h a na konci v1 = 18 km/h.
[t = 80 s; a0 = 0,308 m.s-2; a1 = 0,129 m.s-2]
(Hajko I/14)
58. Na obvode kladky s polomerom R, otáčajúcej sa okolo vodorovnej osi, je preložené lanko, na ktorom je
1
2
2
zavesené závažie (obr.). Pohyb závažia je určený rovnicou s = at . Nájdite časovú závislosť zrýchlenia
bodu M, ležiaceho na obvode kladky.
 * a
2
2 4 
a = R R + a t 
(N 2003/2004, 10)
59. Na obrázku je nakreslená cievka s niťou. Veľký polomer je R, polomer menšieho valca (na ktorom je
namotaná niť) je r. Koniec nite chytíme a začneme ho ťahať veľkosťou rýchlosti v. Akou veľkosťou
rýchlosti sa začne pohybovať stred cievky? Cievka pri pohybe neprešmykuje.



1 
w = v

r

1+
R 

verzia ZS 2012
19/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(N 1999/2000, 19)
60. Guľa sa kotúľa bez prešmykovania vo vodorovnom žľabe z dvoch rovinných dosiek (ktoré zvierajú uhol
60°) rýchlosťou 10 cm/h. Aká je maximálna rýchlosť, akú dosahuje niektorý z bodov na jej povrchu?
[v
MAX
= 3v = 30 cm.s-1]
(FKS 1997/98, A-3.1)
61. Lampáš sa nachádza vo vzdialenosti R0 = 3 m od zvislej steny a vrhá na ňu malú svetelnú stopu. Lampáš
sa otáča okolo zvislej osi idúcej jeho stredom frekvenciou n = 0,5 s-1 (viď obrázok). Pri otáčaní lampáša sa
stopa po stene pohybuje po vodorovnej priamke . Určte veľkosť rýchlosti v1 svetelnej stopy v čase t1 = 0,1 s,
keď viete, že v čase t = 0 s dopadala svetelná stopa kolmo na stenu.
[v1 = 10,42 m.s-1]
G) Iné druhy kinematických príkladov
(Hajko I/18)
62. Určte periódu periodického pohybu telesa, ktoré kĺže dole aj hore po naklonenej dvoch naklonených
rovinách, zvierajúcich s vodorovnou rovinou uhol α, resp. β (obr.), keď v čase t = 0 je voľne pustené
z polohy A, a keď zanedbávame trenie, ako aj straty kinetickej energie telesa pri jeho dopade z jednej roviny
na druhú.
 2h  1
1 


+
2
g
sin
α
sin
β



verzia ZS 2012
20/21
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
KINEMATIKA HB
(FKS 2000/01, B-1.2)
63. (*) Obruč s polomerom R stojí na vodorovnej podložke. Rovnaká obruč sa kotúľa popred ňu

rýchlosťou v . Čas ich prvého zdanlivého dotyku označme t = 0 s. Nájdite závislosť rýchlosti pohybu
horného „priesečníka“ oboch obručí od času.


R v


 t (4 R − vt ) 
(FX A2)
64. (**) Kozmonaut našiel vo vesmíre dlhý a veľmi tenký valec s polomerom r. Na jeho plášti bol uviazaný
špagát s voľnou dĺžkou L, s malým kamienkom pripevneným na druhom konci. Ako správny fyzik,

kozmonaut natiahol špagát tak, aby sa uviazaným koncom práve dotýkal valca a kamienku udelil rýchlosť v
kolmú na špagát tak, aby sa začal namotávať v rovine kolmej na os valca. Za aký čas sa špagát úplne namotá
na valec?

L2 
T
=


2rv 

(FYKOS XXI-I-1)
65. (**) Zamyslite sa nad nasledovnou skutočnosťou: pri pohľade z idúceho vlaku sa vzdialenejšie objekty
na horizonte zdanlivo pohybujú po okne pomalšie, kým stĺpy pri trati sa len-tak mihnú. Ako závisí táto
zdanlivá (uhlová!) rýchlosť ω pohybu krajiny na jej vzdialenosti od cestovateľa?
v sin α 

ω = l 
verzia ZS 2012
21/21
Download

K I N E M A T I K A