Marcel Mojzeš – Globálna geodézia 1 2009/2010
1/13
3 TIAŽOVÉ POLE ZEME
Tiažové pole Zeme je médium, v ktorom realizujeme všetky geodetické
merania. Generujú ho dva fyzikálne princípy (obr.1) a to:
hmotnosť Zeme M,
konštantnou uholovou rýchlosťou rotáciae Zeme
okolo pevnej osi
Z (pozri obr. 1).
R3
Tiažové pole Zeme je definované v celom priestore
Obr. 1 Generátory tiažového poľa Zeme
V ďalšej časti budeme predpokladať, že tiažové pole Zeme je statické, t.j.
hmotnosť Zeme a uhlová rýchlosť rotácie Zeme
okolo osi Z sú konštantné,
t.j. jeho parametre v definičnej oblasti
sa nemenia v čase.
Tiažové pole Zeme môžeme rozdeliť na vnútorné, definované vo vnútri
Zeme, na povrchu Zeme a jej blízkom okolí a vonkajšie, definované mimo telesa
a jej blízkeho okolia. Všetky geodetické merania sa vykonávajú v tiažovom poli
Zeme a preto sú viazané na:
lokálny smer tiažového zrýchlenia, realizovaný olovnicou
lokálny horizont, dotyková rovina k ekvipotenciálnej ploche realizovaná
urovnanou libelou.
Lokálny horizont ktorý je reprezentovaný kolmou rovinou na smer tiažového
zrýchlenia.
Parametre tiažového poľa Zeme umožňujú:
1. jednoznačne definovať lokálny referenčný systém pri meraní v geodézii,
2. určiť tvar ekvipotenciálnych plôch, napr. geoidu,
3. určiť štruktúru stavby Zeme.
Marcel Mojzeš – Globálna geodézia 1 2009/2010
2/13
Poznanie geometrie tiažového poľa Zeme (lokálny smer tiažového zrýchlenia
a lokálny horizont) umožňuje spoľahlivo transformovať vykonané geodetické
merania na povrchu Zeme na zvolenú spoločnú výpočtovú plochu. Aby sme
hlbšie prenikli do tejto filozofie, musíme sa podrobnejšie oboznámiť
s matematicko-fyzikálnou definíciou parametrov tiažového poľa Zeme.
3.1 Parametre tiažového poľa Zeme
Tiažové pole Zeme v ľubovoľnom bode P definičnej oblasti môžeme
charakterizovať tromi fyzikálnymi parametrami:
tiažovým potenciálom, ktorý budeme označovať W(P)
vektorom tiažového zrýchlenia, ktorý budeme označovať g (P),
tiažovým tenzorom, ktorý budeme označovať W (P).
Polohu bodu P môžeme vyjadriť pomocou karteziánskych súradníc X, Y, Z
s počiatkom v ťažisku Zeme O.
Tiažový potenciál, vektor tiažového zrýchlenia a tiažový tenzor sú definované
matematicko-fyzikálnymi vzťahmi, ktoré stručne uvedieme v ďalšej časti.
3.1.1 Tiažový potenciál
Tiažový potenciál W je generovaný dvomi zdrojmi a to gravitačným
potenciálom, ktorý je generovaný hmotnosťou Zeme, budeme ho označovať VM
a odstredivého potenciálu V , ktorý je generovaný rotáciou Zeme okolo pevnej
osi prechádzajúcej ťažiskom konštantnou uhlovou rýchlosťou t.j.
W P
VM P
V P .
a) Gravitačný potenciál
Nerotujúca Zem generuje svojou hmotnosťou gravitačné pole, ktoré môžeme
popísať gravitačným potenciálom v ľubovoľnom bode P nasledovným vzťahom
(obr. 2)
VM P
VM r
G
dM
l
Zem
G
Zem
r
d
l
,
(1)
kde G je gravitačná konštanta a dM je hmotný element definovaný vzťahom
dM
r d ,
(2)
Marcel Mojzeš – Globálna geodézia 1 2009/2010
kde
3/13
r je hustota a d je objem hmotného elementu.
Obr. 2 Gravitačný potenciál
Gravitačný potenciál VM je definovaný v celom priestore R3 (obr. 2) a je
regulárny v nekonečnu, t.j. platí
lim VM r
r
0.
Obr. 3 Priebeh gravitačného potenciálu generovaného hmotnosťou Zeme
b) Odstredivý potenciál
(3)
Marcel Mojzeš – Globálna geodézia 1 2009/2010
4/13
Rotujúca Zem okolo pevnej osi konštantnou uhlovou rýchlosťou
generuje
pole odstredivého potenciálu (obr. 4), ktoré môžeme popísať odstredivým
potenciálom v tvare
V
P
V r
1
2
2
X P2
YP2
1
2
2
p2 ,
(4)
kde
p
X P2
YP2 .
(5)
Obr. 4 Priebeh odstredivého potenciálu
c) Tiažový potenciál Zeme
Tiažový potenciál Zeme je definovaný súčtom gravitačného potenciálu Zeme a
odstredivého potenciálu Zeme (obr. 5), t.j.
W P
W r
VM r
V r
VM P
V P
G
Zem
r
d
l
1
2
2
p2
(6)
Marcel Mojzeš – Globálna geodézia 1 2009/2010
5/13
Obr. 5 Tiažový potenciál, gravitačný potenciál a odstredivý potenciál
Pre tiažový potenciál vo vnútri Zeme platí Poissonova diferenciálna rovnica
v tvare
2
2
W
2
W
X2
W
Y2
2
W
Z2
4 G
P
2
2
(7)
a v priestore mimo Zeme platí Laplaceova diferenciálna rovnica v tvare
2
2
W
2
W
X2
W
Y2
2
W
Z2
2
2
.
(8)
3.1.2 Vektor tiažového zrýchlenia
Vektor tiažového zrýchlenia je definovaný deriváciou tiažového potenciálu
v smere normály, t.j. je to vektorový súčet vektora gravitačného zrýchlenia
generovaného hmotnosťou Zeme a vektora odstredivého zrýchlenia
generovaného rotáciu Zeme
g P
gM P
g
P .
a) Vektor gravitačného zrýchlenia
Vektor gravitačného zrýchlenia je definovaný vzťahom
gM P
G
r r
l3
Zem
r d
G
l
dM
3
l
Zem
(9)
Marcel Mojzeš – Globálna geodézia 1 2009/2010
6/13
Ak rotácia vektora g M vo všetkých definičných bodoch je rovná nule, t.j.
rot g M
0
(10)
,
potom takéto pole sa nazýva konzervatívne a pre takéto pole platí
gM P
gradVM P
b) Vektor odstredivého zrýchlenia
Vektor odstredivého zrýchlenia je definovaný vzťahom
g
(ω r) ω
P
2
p
2
( X P i YP j)
(11)
Rotácia vektora g vo všetkých definičných bodoch je rovná nule, t.j.
rot g
(12)
0
c) Vektor tiažového zrýchlenia
Vektorovým súčtom vektorov gravitačného a odstredivého zrýchlenia
dostaneme vektor tiažového zrýchlenia g (obr.6), t.j.
g P
gM P
g
P
G
r r
l3
Zem
r d
2
( X P i YP j)
(13)
Ak rotácia vektora g vo všetkých definičných bodoch je rovná tiež nule, t.j.
rot g
(14)
0
potom takéto pole sa nazýva konzervatívne a pre takéto pole platí
g P
gradW P .
Marcel Mojzeš – Globálna geodézia 1 2009/2010
7/13
Obr. 6 Tiažové zrýchlenie
3.1.3 Prirodzené súradnice
Globálny súradnicový systém. Zavedieme si systém globálnych nelineárnych
„prirodzených“ súradníc Φ,Λ,W definovaných tiažovým poľom Zeme a to:
- astronomická šírka,
- astronomická dĺžka
W- tiažový potenciál
Smer vektora g v globálnom súradnicovom systéme je definovaný
astronomickou šírkou
a astronomickou dĺžkou (pozri obr.7), t.j.
g P
g Φ,Λ
gradW P
W
X
W
Y
W
Z
g P nP
g P
cos Φ cos Λ
WX
cos Φ sin Λ
WY
sin Φ
P
WZ
P
(15)
Inverzné vzťahy pre prirodzené súradnice sú definované nelineárnymi vzťahmi
P
Marcel Mojzeš – Globálna geodézia 1 2009/2010
ΦP = arctan
ΛP = arctan
W P
WZ P
W
2
X
P
2
Y
W
8/13
,
P
WY P
,
WX P
(16)
W X ,Y , Z
Obr. 7 Vektor tiažového zrýchlenia v globálnom a lokálnom súradnicovom
systéme
Lokálny súradnicový systém. Počiatok lokálneho súradnicového systému je
v bode P na zemskom povrchu, os z totožná s lokálnou zvislicou a os x smeruje
na sever a os y smeruje na východ. Lokálny súradnicový systém je ľavotočivý a
je realizovaný každým urovnaným geodetickým prístrojom. Os z je realizovaná
vertikálnou osou meracieho prístroja a osi x a y realizujú lokálny horizont.
Marcel Mojzeš – Globálna geodézia 1 2009/2010
9/13
Pre konzervatívne tiažové pole platí
rot g P
rot gradW P
0
(17)
3.1.4 Skutočný tiažový tenzor
Skutočný tiažový tenzor je usporiadaná množina druhých derivácií tiažového
potenciálu do tvaru matice
2
W P
2
2
W
W
W
,
,
2
X
X Y X Z
2
2
2
W
W
W
, 2,
Y X Y
Y Z
2
2
2
W
W
W
,
, 2
Z X Z Y Z
gradg P
(18)
P
pričom tento tenzor je pre konzervatívne pole symetrický a súčet jeho
diagonálnych prvkov vo vonkajšom priestore (v priestore mimo Zeme) vyhovuje
rovnici
2
2
W
W
X2
2
W
Y2
2
W
Z2
2
2
(19)
3.2 Geometria tiažového poľa Zeme
Geometria tiažového poľa Zeme je definovaná:
Geometrickým tvarom ekvipotenciálnych plôch,
Geometrickým tvarom tiažníc (priestorovými krivkami).
Ekvipotenciálna plocha tiažového poľa Zeme sú definované rovnicou
W r
konšt
(15)
t.j. každá ekvipotenciálna plocha je vytvorená množinou bodov, ktoré majú
rovnaký tiažový potenciál. Je ich nekonečné množstvo. Ekvipotenciálne plochy
sú uzatvorené.
Tiažnica je priestorová krivka, ktorá je kolmá na všetky ekvipotenciálne
plochy. Je ich nekonečné množstvo. Všetky tiažnice začínajú v hmotnom strede
Zeme a končia v nekonečnu.
Zvislica je priamka definovaná ako dotyčnica k tiažnici v danom bode.
Zavesená olovnica reprezentuje dotyčnicu k tiažnici v bode závesu olovnice.
Marcel Mojzeš – Globálna geodézia 1 2009/2010
10/13
Obr. 8 Diferenciálny prírastok tiažového potenciálu
Pre totálny diferenciál tiažového potenciálu (diferenciálny prírastok tiažového
potenciálu) platí
W
dX
X
dW
W
dY
Y
W
dZ
Z
W
i
X
W
j
Y
W
k . dX i dY j dZ k
Z
g.ds g ds cos g, ds
(16)
Maximálna zmena tiažového potenciálu bude vtedy, keď
cos g ,ds
1,
potom
dW
gdn
(17)
Marcel Mojzeš – Globálna geodézia 1 2009/2010
11/13
Obr. 9 Ekvipotenciálne plochy a tiažnice
3.3 Zvislicové odchýlky
Uhol medzi normálou k ekvipotenciálnej ploche n v bode P a normálou
dvojosému referenčnému elipsoidu n e v bode P sa nazýva povrchová
(Helmertova) zvislicová odchýlka a označuje sa .
Obr. 8 Zvislicová odchýlka
Zvislicová odchýlka
sa vyjadruje v uhlových jednotkách. Zvislicovú
odchýlku je možné rozložiť do zložiek a to v smere sever-juh (meridiánová
Marcel Mojzeš – Globálna geodézia 1 2009/2010
12/13
zložka), označuje sa
sa (eta).
(ksí) a v smere východ-západ (priečna zložka), označuje
Ak smer normály k referenčnému elipsoidu vyjadríme pomocou elipsoidickej
šírky
a elipsoidickej dĺžky
a smer normály k ekvipotenciálnej ploche
vyjadríme pomocou astronomickej šíky
a astronomickej dĺžky , potom pre
zložky zvislicových odchýlok môžeme napísať vzťahy (obr.9)
(18)
,
cos
(19)
,
Ak poznáme zložky zvislicovej odchýlky môžeme vypočítať jej azimut zo
vzťahu
tg
(20)
,
a celú hodnotu zvislicovej odchýlky zo vzťahu
2
2
(21)
.
Obr.9 Zložky zvislicovej odchýlky
Zložky zvislicovej odchýlky sa používajú na redukcie meraných horizontálnych
a vertikálnych uhlov na referenčný elipsoid.
Praktická ukážka zvislicových odchýlok v oblasti Vysokých Tatier je
znázornená na obr.10.
Marcel Mojzeš – Globálna geodézia 1 2009/2010
13/13
Obr. 10 Povrchové zvislicové odchýlky vo Vysokých Tatrách
Download

3 tiažové pole zeme