28
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Hydrodynamika
6. Základní pojmy a rozdělení proudění
Proudění se vyšetřuje v prostoru, rovině nebo po křivce buď sledováním pohybu určité částice
kapaliny jako hmotného bodu, nebo se sleduje celý proud v určitém časovém okamžiku. K popisu
základních případů proudění se používají pojmy trajektorie částice, proudnice a proudová trubice.
Dráha neboli trajektorie je obecně čarou, kterou probíhá částice tekutiny. Proudnice je čára, jejíž tečny
v libovolném bodě udávají směr rychlosti. Proudová trubice je soustava proudnic, které procházejí
uzavřenou křivkou. Přes stěnu proudové trubice tekutina nevytéká ani do ní nevtéká a každým
průřezem téže proudové trubice protéká stejný hmotnostní průtok. V technické praxi je takovou
proudovou trubicí potrubí.
6.1. Rozdělení proudění
Podle uspořádání proudění v prostoru se proudění rozděluje na trojrozměrné (prostorové),
dvourozměrné (rovinné) a jednorozměrné (po křivce). Podle závislosti na čase se definuje proudění
ustálené (stacionární), které je na čase nezávislé , a proudění neustálené (nestacionární ), u něhož se
veličiny v čase mění.
V nejjednodušších případech se předpokládá ideální kapalina, která je nevazká a nestlačitelná a
neklade odpor proti pohybu. Předpoklad ideální kapaliny usnadnil odvození některých rovnic
hydrodynamiky, které platí s určitými omezeními i pro skutečné kapaliny. Při řešení praktických úloh je
uvažováno proudění skutečné kapaliny, která je vazká a stlačitelná, při pohybu klade proti němu
odpor. Hydrodynamické veličiny pak závisejí na tom, jaký režim proudění se vyvine.
Proudění skutečných kapalin může být laminární nebo turbulentní. V případě jednorozměrného
proudění v potrubí hranici tvoří experimentálně určené kritické Reynoldsovo číslo Re , definováno
vztahem Re =
vs d
, kde v s je střední rychlost v potrubí, d jeho průměr a n kinematická viskozita.
n
Kritická hodnota Re krit pro potrubí kruhového průřezu je 2320. Při Re £ Re krit se v potrubí vyvine
uspořádané laminární proudění, pohyb se děje ve vrstvách a částice tekutiny se nepohybují napříč
průřezem. Je-li Re ³ Re krit , proudění je turbulentní, dochází k intenzivnímu míšení částic následkem
jejich podružných (turbulentních) pohybů ve všech směrech.
Příklad 6.1.1
Kyslík proudí potrubím o světlosti d
při absolutním tlaku p a teplotě t . Určete, při jaké rychlosti
bude proudění ještě laminární, je-li dynamická viskozita kyslíku
h a jeho měrná plynová konstanta r .
Jaký maximální hmotnostní průtok Qm se dopraví tímto potrubím při laminárním proudění?
29
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
0.050 m
d=
p =
1 MPa
27 0C
t=
h = 2.06E-04 Pa.s
r=
259.8 J.kg-1.K-1
h,r
O2
l
Výsledky:
Vypočtěte:
r=?
n=?
v krit = ?
Qm = ?
Re krit =
v
d
Zadáno:
kg.m -3
m2.s-1
12.82
0.0000161
m.s-1
0.747
kg.s-1
0.019
Řešení:
Ze stavové rovnice se určí hustota kyslíku
p
p
p
= rT Þ r =
=
r
r T r (t + 273.15)
Kritická rychlost se vypočítá z kritické hodnoty Re čísla
2320n
h
vkrit d
= 2320 Þ vkrit =
, kde kinematická viskozita n =
. Hmotnostní průtok
n
d
r
v pd
se určí ze vztahu Qm = krit
4
2
r.
Příklad 6.1.2
Určete kritickou rychlost v potrubí o průměru d , při níž se proudění laminární změní v turbulentní.
Potrubím proudí voda o teplotě t . Kinematickou viskozitu odečtěte z přílohy.
v
0.1 m
d=
t =
O
20 C
Výsledky:
Vypočtěte:
v krit = ?
h =?
m.s-1
Pa.s
d
Zadáno:
h,r
0.023
1.01E-03
H2O
l
Příklad 6.1.3
Horké spaliny ve spalovacím prostoru parního generátoru mají kinematickou viskozitu
n . Při jaké
rychlosti v s1 je možné očekávat přechod laminárního proudění v turbulentní, které je pro spalování
4
výhodnější, je-li dáno Re krit a paprsek má průměr d . Jaká bude rychlost spalin při Re = 3 × 10 ?
d = 0.030 m
n = 1.2E-04 m2.s-1
Re krit =
10000
Re =
3E+04
n
Výsledky:
Vypočtěte:
v s1 = ?
v s2 = ?
v
-1
d
Zadáno:
m.s
40.00
m.s-1
120.00
spaliny
l
30
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Příklad 6.1.4
Stanovte průměr potrubí d , při kterém se laminární prouděni mění v turbulentní. Potrubím proudí
minerální olej o hustotě
dynamickou viskozitu
r , kinematické viskozitě n a průtoku Qv . Určete rychlost v v potrubí a
h . Jaká je maximální rychlost v potrubí v max ?
Zadáno:
4 dm3.s-1
Qv =
920 kg.m -3
r =
n = 4.0E-05 m2.s-1
Vypočtěte:
d =?
v =?
v max = ?
h =?
d
v
r,n
olej
Výsledky:
0.05488
m
-1
1.69099
-1
m.s
3.38198
Pa.s
0.03680
m.s
l
Řešení:
Přechod z laminárního do turbulentního proudění nastane při kritickém Reynoldsově čísle
Re krit = 2320 . Rychlost můžeme definovat pomocí objemového průtoku, který je zadán.
Re krit n Re krit n pd 2
vd
,
Þd =
=
Re krit =
n
v
4Qv
v=
4Qv
pd
2
h=
,
n
r
Příklad 6.1.5
Kruhovým potrubím o průměru d proudí plyn, jehož dynamická viskozita je
h a hustota je r . Pro
zadaný hmotnostní průtok Qm vypočítejte střední rychlost v potrubí v s a určete režim proudění.
d=
0.149 m
v
Qm =
0.2 kg.s-1
h = 16.38E-06 Pa.s
1.15 kg.m -3
r =
h,r
plyn
Výsledky:
Vypočtěte:
vs = ?
Re = ?
n =?
d
Zadáno:
. -1
ms
l
9.974
104 415.10
2. -1
m s
1.424E-05
Příklad 6.1.6
Kruhovým potrubím o průměru d proudí olej, jehož viskozita
n v závislosti na teplotě t je dána
tabulkou. Sestrojte graf této závislosti. Pro zadaný průtok Qv určete režim proudění oleje při teplotách
t1 a t 2 . Při jaké teplotě se změní laminární proudění na turbulentní?
31
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Zadáno:
d=
0.02 m
0.003 m3s-1
v
o
10 C
r,n
o
50 C
Vypočtěte:
d
Qv =
t1 =
t2 =
n = n (t )
Výsledky:
Re1 = ?
Re 2 = ?
t =?
olej
l
477.46
6 366.18
o
C
31
Závislost kinematické viskozity na teplotě
o
t [ C]
0
10
20
30
40
50
2 -1
1E-03
4E-04
1.7E-04
8.5E-05
5E-05
3E-05
n [m s ]
n = n (t)
1.2E-03
1.0E-03
2 -1
n [m s ]
8.0E-04
6.0E-04
4.0E-04
2.0E-04
0.0E+00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
t [oC] 50
32
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
7. Proudění dokonalých kapalin
Dokonalou kapalinou se rozumí kapalina nestlačitelná a nevazká. V technické praxi jsou časté
případy jednorozměrného proudění s aplikací na proudění kapalin v potrubí. Mezi základní rovnice
popisující proudění ideální kapaliny patří rovnice kontinuity (spojitosti) reprezentující zákon zachování
hmotnosti a Bernoulliho rovnice pro ideální kapalinu, která je aplikací zákona zachování energie v
mechanice tekutin.
7.1. Rovnice kontinuity
Rovnice kontinuity je aplikací zákona zachování hmotnosti. Pro jednorozměrné proudění lze
odvodit rovnici kontinuity ve tvaru
¶( r S v ) ¶ ( r S )
+
= 0 , kde první člen představuje konvektivní a
¶s
¶t
druhý člen lokální změnu hmotnosti. Při ustáleném proudění je tento člen roven nule a tedy
¶( r S v )
= 0 Þ r S v = konst . Při ustáleném proudění protéká každým průřezem téže proudové
¶s
trubice stejný hmotnostní průtok kapaliny Q m = r S v = konst . Pro nestlačitelnou kapalinu lze za
předpokladu r = konst definovat rovnici pro objemový průtok ve tvaru Qv = S v = konst. .
Příklad 7.1.1
Dvě potrubí o průřezech S1 a S 2 , kterými protéká objemový průtok Qv1 a Qv 2 , se spojují v jedno
potrubí o průřezu S 0 . Určete průřezy S 0 a S 2 , je-li zadáno S1 a střední rychlost ve všech úsecích
je stejná. Vypočítejte celkový hmotnostní průtok Qm .
Zadáno:
S1 =
r =
Vypočtěte:
v= ?
S0= ?
S2 = ?
Qm = ?
S1
5 m3 min-1
3
0.04 m
2
Q V0
890 kg.m -3
m.s
Výsledky:
2.083
m2
0.064
2
0.024
-1
m
kg.s-1
Qv0 = Qv1 + Qv 2 ,
118.667
v1 =
Q V2
2
Řešení:
Qv1
, v1 = v 2 = v 0
S1
Qv 2
Q
, S 0 = v0 ,
v2
v0
Q m = r S 0 v 0 = r (Qv1 + Qv 2 ) v 0
S2 =
Q V1
1
-1
3 m min
S2
0
S0
Qv1 =
Qv 2 =
33
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Příklad 7.1.2
Ve zdymadlové komoře o šířce b a délce l se sníží hladina vody o výšku h za čas t . Určete střední
objemový průtok vody Qv ve výpustném zařízení.
Zadáno:
Vypočtěte:
Qv = ?
40 m
h
b=
l=
h =
t =
300 m
8m
30 min
Q
Výsledky:
3 -1
ms
V
53.33
l
7.2. Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu
Tato rovnice je aplikací zákona zachování energie při proudění dokonalé kapaliny. Při pohybu
kapaliny působí na její částice síly, které při posunutí po dráze konají práci. Sečtením těchto
elementárních prací mezi dvěma průřezy 1 a 2, tj. integrací, se získá vztah pro celkovou energii
proudící kapaliny. Podmínka rovnováhy sil objemových, tlakových a setrvačných Fo + F p = Fs při
proudění dokonalé kapaliny je přitom vyjádřena Eulerovou rovnicí hydrodynamiky. Bernoulliho rovnice
je tedy integrálem Eulerovy rovnice hydrodynamiky po dráze. Pro neustálené proudění je odvozena ve
tvaru:
s
¶v
p v2
+
- U + ò ¶s = konst
¶t
r 2
0
Při ustáleném proudění dokonalé kapaliny v proudové trubici a za působení pouze tíže zemské je
součet tlakové, kinetické a polohové energie konstantní a rovnice má tvar
p v2
+
+ gh = 0
r 2
Pro dva průřezy téže proudové trubice 1 a 2 lze Bernoulliho rovnici napsat ve tvaru:
p1 v12
p
v2
+
+ g h1 = 2 + 2 + g h2
r
r
2
2
v2
p
energie kinetická a g h energie potenciální. Energie jsou vztaženy
kde
je energie tlaková ,
2
r
[
na hmotnostní jednotku kapaliny a jejich rozměr je J.kg
-1
].
Jestliže se vydělí celá rovnice tíhovým
zrychlením, pak každý člen představuje energii vztaženou na tíhovou jednotku kapaliny a má rozměr
délky.
p1 v12
p
v2
+
+ h1 = 2 + 2 + h2
rg 2g
r g 2g
34
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
V uvedené rovnici je šest neznámých veličin a
CÁRA ENERGIE
v12
2
proto je její řešení podmíněno dodržením
v22
2
p1
2
v3
následujících pravidel:
2
1. V
r
1
r
gh1
gh 2
r
být
určující
S výhodou se za známý průřez volí hladina
p3
2
průřezu musí
hydrodynamické veličiny p , v , h známy.
gH
p2
jednom
v nádrži, kde je rychlost zanedbatelně malá
3
gh 3
U
a může se pokládat za rovnu nule, tlak je
dán
0
tlakem
potenciální
ovzduší
energie
nebo
kapaliny
je
zadán,
odpovídá
definované výšce hladiny. Ve druhém průřezu musí být definovány dvě známé veličiny, v případě,
že je zadána pouze jedna, musí se k řešení použít další rovnice, většinou rovnice kontinuity.
2. Hladina nulového potenciálu se volí v níže položeném průřezu. K této hladině se pak vztahuje
potenciální energie (výšky) ostatních průřezů.
3. Tlaky v Bernoulliho rovnici mohou být absolutní nebo relativní, avšak na obou stranách rovnice
definovány shodně.
Příklad 7.2.1
Z nádoby vytéká voda průtokem Qv svislým kuželovým potrubím o délce l , které se k výstupnímu
průměru d 2 zužuje pod úhlem
d . Vypočtěte odpovídající výšku hladiny H a tlak p1 v místě 1 .
Atmosférický tlak p 0 je 101325 Pa.
Zadáno:
p0
0
200 m3.h-1
1m
d1
75 mm
d2 =
d =
10 o
r = 1000 kg.m-3
v1
d
Výsledky:
v2 = ?
H =?
d1 = ?
p1 = ?
Řešení:
p1
l
Vypočtěte:
1
H
Qv =
l =
m.s-1
m
12.575
8.060
m
0.250
Pa (abs.tl.)
2
p0 v
2
d2
169 943.16
Ze zadané hodnoty objemového průtoku se pomocí rovnice kontinuity vypočítá rychlost ve
výstupním průřezu potrubí 2:
v2 =
4Qv
p .d 22
Hladina v nádrži představuje průřez, ve kterém jsou známy hodnoty hydrodynamických veličin p , v ,
přitom rychlost na hladině se pokládá za rovnu nule.
35
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Z Bernoulliho rovnice definované pro hladinu 0 a výtokový průřez 2 se vypočítá spád H :
p0
p 0 v 22
v 22
+ 0 + gH =
+
+ 0Þ H =
r
r
2
2g
K výpočtu tlaku p1 v místě připojení potrubí k nádrži se použije Bernoulliho rovnice definovaná pro
hladinu 0 a průřez 1,
p0
p1 v12
+ 0 + gH =
+
+ gl ,
2
r
r
2
v2 S 2 v2 d 2
kde rychlost v1 =
=
=
S1
d12
v 2 d 22
(d 2 + 2 l tg(d / 2))2
é p0
. Tlak p1 = r ê
êë r
+ g (H - l ) -
v12 ù
ú.
2 úû
Příklad 7.2.2
Z nádoby vytéká násoskovým potrubím o průměru d dokonalá kapalina o hustotě
r do tlaku ovzduší
p 0 . Nádoba je otevřená a na hladině je rovněž atmosférický tlak. Jsou dány výšky h1 a h2 .
Vypočítejte objemový průtok Qv a tlak p1 v nejvyšším průřezu násosky.
Zadáno:
12 cm
1000 kg.m -3
1m
p0
Vypočtěte:
Qv = ?
p1 = ?
Výsledky:
3 -1
ms
d
0
h2
h1 =
1m
h2 =
p 0 = 100000 Pa
h1
d =
r =
1
v = konst
r
2
0.05010
p0
Pa (abs. tl.) 80 380.00
Příklad 7.2.3
Jak velký musí být spád H , aby voda vytékala vodorovným potrubím, jehož konec je opatřen
konfuzorem, do ovzduší výtokovou rychlostí v 2 . Průměr potrubí je d1 , výstupní průměr je d 2 .
Kapalinu považujte za dokonalou.
Zadáno:
d1 =
0.1 m
d2 =
0.08 m
r =
1000 kg.m -3
v2 =
6 m.s-1
p 0 = 100000 Pa
Vypočtěte:
H =?
p1 = ?
p0
Výsledky:
m
1.83
Pa(abs.tl.) 110 627.2
2
d2
1
d1
H
0
v2
36
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
7.2.1. Měření rychlosti kapaliny v potrubí a jejího tlaku
Měření rychlostí je jednou ze základních úloh experimentu v mechanice tekutin. V praxi se
uplatňují metody nepřímé, kdy rychlost je měřena pomocí tlaku, jak vyplývá z Bernoulliho rovnice.
Protože ztráty třením jsou na malé vzdálenosti odběrových míst zanedbatelné, může se při měření
tlaků a rychlosti v potrubí aplikovat Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu.
Měření místní rychlosti
K měření místní rychlosti se může použít Pitotova nebo Prandtlova trubice. Pitotova trubice (zahnutá
proti směru proudění) měří celkový tlak v určitém místě proudu, statický tlak je měřen piezometrickou
trubicí připojenou k otvoru navrtanému kolmo ke stěně potrubí. Bernoulliho rovnici lze pro vodorovné
potrubí napsat ve tvaru:
p v2
1
+
= konst Þ p + r v 2 = konst = p c
r 2
2
nebo také
p s + p d = pc
kde
pd = pc - p s =
2 ( pc - p s )
2 pd
1
rv2 a v =
. Rozdíl celkového a statického tlaku
=
2
r
r
se může určit z rozdílu výšek hladin v připojených tlakoměrných trubicích
p d = r g (hc - hs )
nebo, v případě větších tlaků, pomocí rozdílu hladin Dh odečteném na diferenciálním tlakoměru (Utrubice) p d = gDh( r m -
r ) , kde r m ñ r je hustota měřící kapaliny.
Příklad 7.2.4
Vypočítejte rychlost vody, která se měří Pitotovou trubici v ose potrubí. Určete dynamický tlak p d .
hs =
0.3 m
hc =
r =
0.4 m
pd = ?
1000 kg.m -3
m.s
Výsledky:
1.40
Pa
981.00
-1
v
d
Vypočtěte:
v =?
h
Zadáno:
H2O
Řešení:
Rozdíl celkového a statického je roven tlaku dynamickému, který je ekvivalentní kinetické energii
kapaliny
p d = r g hc - r g hs = r g (hc - hs )= r gh =
1
rv2 Þ v =
2
2 gh
37
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Příklad 7.2.5
Vypočítejte rychlost vody v max , která se měří Pitotovou trubici v ose potrubí. Rozdíl celkového a
statického tlaku je měřen pomocí U-trubice naplněné rtutí o hustotě
rm.
d
Zadáno:
Dh =
rm=
13600 kg.m -3
r =
1000 kg.m -3
0.017 m
Výsledky:
v max = ?
pd = ?
m.s-1
2.05
Pa.
2 101.30
Dh
Vypočtěte:
h
max
1
1
m
Řešení:
Rozdíl celkového a statického tlaku lze určit z podmínky rovnováhy hydrostatických tlaků na U-trubici
definované k rovině 1-1, přitom se vždy sčítají měřené tlaky a hydrostatické tlaky .
p L = p p Þ ps + r g (h - Dh ) + r m gDh = pc + r gh
pd = pc - p s = gD h ( r m - r ) =
1 2
r vmax Þ vmax =
2
2 g Dh( r m - r )
r
Příklad 7.2.6
Vypočítejte rychlost vzduchu v max , která se měří Pitotovou trubici v ose potrubí. Rozdíl celkového a
statického tlaku je měřen pomocí U-trubice naplněné lihem o hustotě
rm.
0.035 m
900 kg.m
1.23 kg.m
-3
Vypočtěte:
v max = ?
pd = ?
h
max
-3
Výsledky:
m.s-1
22.40
Pa
308.59
Dh
Dh =
rm=
r =
d
Zadáno:
m
Měření střední rychlosti
Střední rychlost lze stanovit z tlakového rozdílu mezi dvěma průřezy, z nichž jeden je zúžen, jak je
tomu u Venturiho trubice, clony nebo dýzy. Oba měřené tlaky jsou statické. Zúžení průřezu způsobí
zvýšení rychlosti a tím pokles statického tlaku. Ten je úměrný průtokové rychlosti. Při řešení je
aplikována Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu a rovnice kontinuity.
38
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Pro dva různé průřezy vodorovného potrubí a ideální kapalinu lze napsat Bernoulliho rovnici ve tvaru
p1 v12 p 2 v 22
p - p 2 v 22 - v12
+
=
+
Þ 1
=
r
2
r
2
r
2
Pomocí rovnice kontinuity lze vyloučit jednu z neznámých rychlostí v1 nebo v 2
v1 S1
v1 S1 = v 2 S 2 Þ v 2 =
æd
= v1 çç 1
è d2
S2
ö
÷÷
ø
2
a po dosazení do rovnice pro rozdíl tlaků se může odvodit vztah pro střední rychlost v potrubí v1
p1 - p 2 v12 æ d 1
ç
=
2 çè d 2
r
4
ö
v2
÷÷ - 1
2
ø
Þ v1 =
2( p1 - p 2 )
éæ d
r êçç 1
êè d 2
ë
4
ù
ö
÷÷ - 1ú
ú
ø
û
Tlakový rozdíl p1 - p 2 lze určit z rozdílu hladin h1 , h2 v připojených tlakoměrných trubicích nebo s
využitím diferenciálního manometru, takže
p1 - p 2 = r g (h1 - h2 )
nebo p1 - p 2 = gDh( r m -
r)
Příklad 7.2.7
Do potrubí o průměru D je zapojena Venturiho trubice s minimálním průměrem měřidla d . Vypočtěte
objemový průtok vody Qv , jsou-li výšky odečtené v tlakoměrných trubicích h1 a h2 . Proudící kapalinu
považujte za dokonalou.
Zadáno:
1
Qv = ?
Řešení:
Dh
0.08 m
0.75 m
1000 kg.m -3
v1
Výsledky:
-1
m.s
d
h2
0.43 m
v2
D
Vypočtěte:
v =?
0.2 m
h1
D =
d=
h1 =
h2 =
r=
0.406
3 -1
ms
0.01275
v1 =
2( p1 - p 2 )
éæ D ö 4 ù
r êç ÷ - 1ú
êëè d ø
úû
=
2 r g (h1 - h2 )
éæ D ö 4 ù
r êç ÷ - 1ú
êëè d ø
úû
=
2 g (h1 - h2 )
4
æ Dö
ç ÷ -1
èdø
Příklad 7.2.8
Objemový průtok vody Qv v potrubí o průměru D je měřen pomocí Venturiho trubice s minimálním
průměrem měřidla d . Výšky odečtené v tlakoměrných trubicích jsou h1 a h2 . Proudící kapalinu
považujte za dokonalou. Jaká je střední rychlost vody v potrubí? Vypočítejte Reynoldsovo číslo a
určete režim proudění v potrubí.
39
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Zadáno:
D=
d=
h1 =
h2 =
r=
0.4 m
Dh
0.125 m
0.95 m
h1
0.18 m
Výsledky:
0.381
m3s-1
0.04788
-1
1
Qv = ?
Re = ?
v2
v1
D
m.s
d
Vypočtěte:
v =?
h2
1000 kg.m -3
152 400
Příklad 7.2.9
Průtok vody v potrubí se měří Venturiho trubici spojenou s diferenciálním U - manometrem se rtuťovou
náplní. Jsou dány průměry D, d a změřen rozdíl tlaků Dh . Vypočtěte objemový průtok Qv za
předpokladu, že se voda chová jako dokonalá kapalina. Určete Re číslo.
D=
d=
Dh
D
1
2
0.075 m
0.55 m
V
v
13600 kg.m -3
1000 kg.m -3
Vypočtěte:
v1 = ?
Qv = ?
Re = ?
Výsledky:
-1
m.s
3 -1
ms
Dh
r Hg =
r=
0.25 m
D
d
Zadáno:
1.054
0.05174
263 500
Hg
Řešení: Z podmínky rovnováhy na U-manometru se určí rozdíl statických tlaků
(
)
2 g Dh(r Hg - r )
=
D p = p1 - p 2 = gDh r Hg - r
v1 =
2( p1 - p2 )
=
éæ D ö 4 ù
r êç ÷ - 1ú
úû
êëè d ø
éæ D ö4 ù
r êç ÷ - 1ú
úû
êëè d ø
v D
pD 2
QV =v1S1 = v1
, Re = 1
n
4
2 g Dh
4
æ Dö
ç ÷ -1
èdø
(r Hg - r )
r
Příklad 7.2.10
Průtok vzduchu ve vodorovném potrubí se měří Venturiho trubici spojenou s U-trubicí, která je
naplněna lihem o hustotě
r m . Jsou dány průměry D, d a změřen rozdíl tlaků Dh . Vypočtěte
rychlost v1 vzduchu v potrubí, jeho objemový průtok Qv a hmotnostní průtok Qm . Hustota vzduchu
je
r.
40
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
1
V
2
0.050 m
D
0.125 m
D
v
0.315 m
900 kg.m -3
1.18 kg.m -3
Vypočtěte:
Výsledky:
-1
v1 = ?
Qv = ?
Qm = ?
m.s
11.121
m3s-1
0.13648
-1
0.16104
kg.s
Dh
D =
d=
Dh =
rm=
r=
d
Zadáno:
m
Příklad 7.2.11
Jaký je rozdíl tlaku Dp = p1 - p 2 na cloně, jestliže potrubím protéká voda o hustotě
připojené U – trubici, která je naplněna kapalinou o hustotě
r a na
r m je naměřen rozdíl hladin rtuti h .
Vypočtěte rychlost v vody v potrubí, když jsou známy průměry potrubí D a clony d . Ztráty na cloně
zanedbejte. Vypočítejte hmotnostní průtok Q m .
d
Zadáno:
D =
d=
h=
rm =
13600 kg.m -3
r=
1000 kg.m -3
D
0.150 m
0.075 m
0.120 m
1
Dp = ?
v= ?
Qm = ?
2
Výsledky:
Pa
m.s-1
-1
kg.s
14 832.72
1.406
h
Vypočtěte:
2
24.846
m
41
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
8. Proudění vazké tekutiny
8.1. Proudění skutečných kapalin
Při proudění skutečné kapaliny se projeví vliv viskozity odporem proti pohybu. Smykové napětí od
viskozity je podle Newtona vyjádřeno vztahem
t =h
dv
. Třecí síla Ft , kterou působí vazká kapalina
dy
na plochu S a kterou je nutno při pohybu kapaliny překonat, je určena vztahem Ft =
t S . Na
překonání tohoto hydraulického odporu se spotřebuje část mechanické energie kapaliny, což se
projeví poklesem rychlosti, tlaku nebo polohové výšky. Spotřebovaná energie se přemění v teplo.
Velikost hydraulických odporů závisí na režimu proudění v potrubí, který může být laminární nebo
v d
turbulentní, viz kap.6. Kritériem je Reynoldsovo číslo Re = s
, jehož kritická hodnota pro potrubí
n
kruhového průřezu je 2320. Při Re £ Rekrit je v potrubí laminární proudění a ztráty rostou lineárně s
průtokem. Je-li Re > Rekrit , vznikne kvalitativně zcela odlišný režim - turbulentní proudění, kdy
částice konají neuspořádaný pohyb všemi směry. Pohyb částic kolmo ke stěně zvyšuje tok hybnosti
ke stěně a proto je pokles tlaku ve směru proudění mnohem větší než v případě laminárního proudění.
Matematický model jednorozměrného proudění skutečné tekutiny v potrubí je dán rovnicí
kontinuity vyjadřující zákon zachování hmotnosti (viz 7.1.), která pro skutečnou kapalinu má stejný
tvar jako pro kapalinu ideální, tj.
p d2
Qv = v S = v ×
= konst v případě nestlačitelné kapaliny
4
Qm = r v S = r v
p d2
= konst v případě kapaliny stlačitelné.
4
Podmínka rovnováhy sil při proudění skutečné kapaliny Fo + F p + Ft = Fs je vyjádřena NavierStokesovou rovnicí. Do podmínky rovnováhy sil je nutno na rozdíl od ideální kapaliny zahrnout třecí
síly Ft , které jsou důsledkem viskozity. Účinek těchto sil se musí objevit i v Bernoulliho rovnici pro
skutečnou kapalinu, respektující zákon o zachování energie.
8.2. Bernoulliho rovnice pro skutečnou tekutinu
Všechny síly, a tedy i třecí síla Ft , při posunutí po dráze konají práci. Bernoulliho rovnice pro
skutečnou kapalinu musí tedy na rozdíl od rovnice pro ideální kapalinu obsahovat další člen, který
představuje práci třecích sil na jednotku hmotnosti proudící tekutiny, což je rozptýlená (disipovaná)
měrná energie e r , spotřebovaná na překonání hydraulických odporů na úseku vymezeném dvěma
průřezy proudové trubice. Tato rozptýlená energie, často označovaná jako měrná ztrátová energie
e z , zmenšuje mechanickou energii kapaliny (tlakovou + kinetickou + polohovou) a mění se v teplo.
Rozdíl mezi energetickým horizontem a čárou energie ukazuje úbytek mechanické energie tekutiny.
42
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
2
v1
2g
ENERGETICKÝ HORIZONT
CÁR hz13
hz12
A
EN
v22
2g
p1
rg
1
v1
Bernoulliho rovnici pro proudění skutečné
tekutiny lze pro dva průřezy téže proudové
ER
2
v3
2g
p2
rg
v2
h2
H0
p3
2
h1
trubice 1 a 2 napsat ve tvaru:
GIE
rg
h3
p1 v12
p 2 v 22
+
+ g h1 =
+
+ g h2 + e r
2
2
r
r
kde měrnou rozptýlenou energii e r ( e z ) lze
3
v3
U
vyjádřit pomocí kinetické energie, tlakové,
případně potenciální energie
0
ez = z
v2 pz
=
= g h z , kde z je ztrátový
2
ρ
součinitel, p z tlaková ztráta, hz ztrátová výška. Nejčastěji se v Bernoulliho rovnici definuje měrná
ztrátová energie pomocí ztrátové výšky. Rovnice pak má tvar
p1 v12
p 2 v 22
+
+ g h1 =
+
+ g h2 + g h z
r
r
2
2
Příklad 8.2.1
Ve vodorovném potrubí stálého průřezu d byla ve dvou průřezech vzdálených o délku l změřena
pomocí piezometrických trubic diference tlakové energie, tj. výšky h1 , h2 , a dále byla změřena
rychlost v proudícího oleje o kinematické viskozitě
n a hustotě r . Určete měrnou ztrátovou energii
e z , tlakovou ztrátu p z a Reynoldsovo číslo Re .
Zadáno:
Vypočtěte:
ez = ?
pz = ?
Re = ?
h2
h1
Dh
l=
5m
d=
0.1 m
-1
v =
2 m.s
0.45 m
h1 =
0.2 m
h2 =
n = 0.00017 m2s-1
r=
890 kg.m -3
J.kg
Výsledky:
2.4525
Pa
2 182.73
-1
v
2
1
1 176.471
l
Příklad 8.2.2
V trubici obecného průřezu byla při proudění vody změřena ve dvou různých průřezech S 1 , S 2
rychlost v1 , v 2 a současně i tlaková energie pomocí piezometrických trubic (výšky D h1 , Dh2 ).
Zvolené průřezy jsou ve výškách h1 , h2 . Měrná hmotnost vody je
r . Určete velikost měrné
43
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
rozptýlené (ztrátové) energie e z a tlakové ztráty p z . Dále vypočtěte objemový průtok Qv a
hmotnostní průtok Qm .
Zadáno:
S1 =
v1 =
v2 =
Dh1 =
Dh2 =
h1 =
h2 =
r=
ENERGETICKÝ HORIZONT
0.035 m
Vypočtěte:
ez = ?
pz = ?
Qv = ?
Qm = ?
v12
2
C ÁRA
2g
-1
1.2 m.s
2.1 m
hz12
ENE
RGIE
p1
rg
0.6 m
2
v2
2g
1
0.3 m
25 m
v1
17 m
p2
rg
h1
1000 kg.m -3
H0
2
v2
Výsledky:
J.kg-1
Pa
h2
79.9380
U
0
79 938.0
3 -1
ms
0.042
-1
kg.s
42.000
Příklad 8.2.3
Stanovte tlakovou ztrátu p z třením na délce l ve vodorovném potrubí, jimž proudí vzduch o hustotě
r vz , přitom hustota měřící kapaliny je r l . Přepočtěte tlakovou ztrátu p z na ztrátovou výšku hz a
měrnou ztrátovou energii e z .
Zadáno:
rl =
900 kg.m -3
r vz =
1.23 kg.m -3
pz = ?
ez = ?
hz = ?
vz
Výsledky:
Pa
264.508
-1
J.kg
215.047
m
21.921
Dh
Vypočtěte:
d
0.03 m
h
Dh =
l
l
44
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
9. Laminární proudění
9.1. Proudění v trubici kruhového průřezu
Laminární proudění v trubici kruhového průřezu nastane při Re £ Re krit = 2320 . Při řešení
laminárního proudění se uplatňuje Newtonův vztah pro smykové napětí
odvodit, že průběh smykového napětí je dán vztahem
t= h
dv
. Lze snadno
dy
dp p z
i
=
. Smykové napětí
t = - r , kde i =
2
dl
L
působí proti pohybu, maximální hodnoty nabývá na stěně, v ose potrubí je nulové.
2
ù
1 p z éæ d ö
Rychlostní profil je parabolický v =
êç ÷ - r 2 ú , maximální rychlost je v ose potrubí
4h L êè 2 ø
úû
ë
1 pz 2
1 pz 2
v max =
d , na stěně je rychlost nulová, střední rychlost v potrubí v s =
d , poměr
16h L
32h L
vs
1
střední a maximální rychlosti m =
a objemový průtok z rovnice kontinuity
=
v max 2
p pz 4
Qv =
D .
128h L
Příklad 9.1.1
Určete tlakovou ztrátu p z ve vodorovném potrubí o průměru d a délce l , ve kterém proudí olej
rychlostí vs . Hustota oleje je
r a kinematická viskozita n .
1
d=
10 mm
l=
15 m
-1
vs =
2.5 m.s
r=
900 kg.m -3
v = 0.00016 m2.s-1
Vypočtěte:
Re = ?
pz = ?
Pa
2
vs
p1
d
Zadáno:
p2
l
Výsledky:
Řešení:
156.25
Re =
1 728 000
d vs
64
, l=
n
Re
p z = p1 - p 2 = l
l v s2
r
d 2
Příklad 9.1.2
Určete objemový průtok nafty v potrubí kruhového průřezu o průměru d , jestliže na délce l byla
změřena ztrátová výška hz . Je dána hustota nafty
r a kinematická viskozita n .
45
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
100 mm
20 m
Vypočtěte:
vs = ?
Výsledky:
-1
Re = ?
l=?
Qv = ?
Řešení:
hz
hz =
2m
r=
890 kg.m -3
v = 0.000225 m2.s-1
m.s
1.36250
m3s-1
605.56
0.10569
0.0107
vs
1
p1
2
d
Zadáno:
d=
l=
p2
l
2 g d 2 hz
l v s2
64 l v s2 64nl v s
hz = l
=
= 2
Þ vs =
d 2 g vs d d 2 g
64n l
d 2g
n
Re =
d.v s
n
l=
,
64
,
Re
Qv =
pd 2
vs
4
Příklad 9.1.3
Vodorovným přímým potrubím o délce l a průměru d protéká olej střední rychlostí v s . Stanovte
průtok oleje Qv a potřebný tlakový spád Dp . Je dána hustota oleje
vs =
r=
v=
8 mm
20 m
1
5 m.s-1
900 kg.m -3
0.0004 m2.s-1
Vypočtěte:
Qv = ?
p1
2
vs
d
Zadáno:
d=
l=
r a kinematická viskozita n .
Výsledky:
3 -1
ms
Dp = ?
p2
l
0.00025
Pa
18 000 000
Příklad 9.1.4
Na cejchovním laboratorním potrubí průměru d se měří viskozita proudícího média. Průtok se měří
odměrnou nádobou o objemu V a dobou jejího naplnění
t . Na délce potrubí l byl současně zjištěn
pomocí piezometrických trubic tlakový rozdíl odpovídající Dh . Ověřte, zda je proudění laminární a
určete kinematickou viskozitu.
Re =
v= ?
mm
m
dm3
s
mm
Výsledky:
3 -1
ms
2 -1
ms
0.0000667
1 568
0.000005416
1
p1
vs
d
10
2
1
15
300
hz
Zadáno:
d=
l=
V=
t=
Dh =
Vypočtěte:
Qv = ?
l
2
p2
46
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
9.2. Proudění mezi paralelními deskami
Mezi rovnoběžnými deskami je tlakovým spádem Dp = p1 - p 2 vyvoláno laminární proudění ve
vodorovném směru. Rychlostní profil, průtok, střední rychlost a poměr střední a maximální rychlosti při
laminárním proudění mezi paralelními deskami o šířce b , jejichž vertikální vzdálenost je h , jsou
určeny vztahem
v=
p
v
1 pz
(h - y ) y , Qv = 1 p z bh 3 , vs = 1 z h 2 , s = 2
12h L
v max 3
2h L
12h L
Rychlostní profil představuje v nákresně kvadratická parabola. Maximální rychlost v max =
je uprostřed vzdálenosti desek , tj. y =
1 pz 2
h
8h L
pz
h
y.
. Průběh smykového napětí je mezi deskami je t = 2
L
Jako průtok mezi dvěmi rovnoběžnými
deskami lze řešit také průtok válcovou mezerou.
Předpokládá se, že válcová mezera je velmi úzká. Šířka mezery v tomto případě se rovná obvodu
kružnice, tedy b = pd a vzdálenost desek h odpovídá tloušťce válcové mezery, čili h = s . Rychlostní
profil, průtok, střední rychlost a poměr střední a maximální rychlosti jsou dány vztahy
v=
v
1 pz
(s - y )s , Qv = 1 p z p d s 3 , v s = 1 p z s 2 , s = 2
2h L
12h L
12h L
v max 3
Příklad 9.2.1
Obdélníková mezera má délku l , šířku b a výšku h . Jaký je potřebný tlakový rozdíl Dp , aby
mezerou proudil olej o dynamické viskozitě
h a objemovém průtoku Qv ?
Zadáno:
200 mm
80 mm
0.06 mm
0.2 dm3min-1
vs
p2
l
0.08 Pa.s
Vypočtěte:
Dp = ?
p1
h
l=
b=
h=
Qv =
h=
Výsledky:
Pa
37 037 037
Příklad 9.2.2
V hydraulickém válci o průměru d a délce l se udržuje stálý tlak p . Určete největší přípustnou
radiální mezeru s mezi pístem a válcem, přičemž při maximální možné výstřednosti pístu nesmí být
objemové ztráty oleje o viskozitě
h při teplotě 1000C větší než zadané Qv . Pro jednoduchost
předpokládejte, že válcová mezera je velmi úzká a tudíž je rozvinuta na mezeru obdélníkovou o šířce
b = pd .
47
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Vypočtěte:
b=?
s=?
D
d=
40 mm
l=
80 mm
Qv = 0.005 dm3.s-1
p=
2 MPa
h = 0.0051 Pa.s
p
Výsledky:
0.12566
0.000046
m
m
d
s
Zadáno:
l
s=3
Řešení:
12QV lh
pb
Příklad 9.2.3
Kapalina proudí z prostoru, kde je přetlak p do prostoru o tlaku p 2 dvěma kruhovými spárami o
velikosti s1 a s 2 a délkách l kolem pístů o průměrech d1 a d 2 . Určete tloušťku mezery s 2 tak, aby
tlak v meziprostoru p1 byl střední hodnotou tlaků p a p 2 . Určete průtok Q v oleje o dynamické
viskozitě h .
Zadáno:
50 mm
p
p1
d1
40 mm
0.25 mm
s1
s2
25 mm
0.4 MPa
0 MPa
l
p2
d2
d1 =
d2 =
l=
s1 =
p=
p2 =
h=
l
0.01 Pa.s
Výsledky:
Vypočtěte:
p1 = ?
MPa
Qv = ?
s2 = ?
3
0.2
-1
dm .s
0.05113
mm
0.19843
9.3. Proudění mezi paralelními deskami s unášivým pohybem
Mezi rovnoběžnými deskami, z nichž jedna se pohybuje rychlostí u , proudí kapalina unášením jednou
z ploch. Tlakový rozdíl je nulový. Průběh smykového napětí podle Newtonova zákona viskozity je
t =h
u
. Rychlostní profil, průtok a střední rychlost proudění v mezeře jsou určeny vztahy
h
v=u
u
y
1
, QV = ubh , v s =
h
2
2
Je zřejmé, že rychlostní profil je lineární a střední rychlost je rovna polovině rychlosti unášené desky.
U válcové mezery je průtočná plocha S = p d h , takže průtok Qv =
1
up d h .
2
Příklad 9.3.1
U obdélníkové mezery šířky b a výšky h se horní stěna pohybuje unášivou rychlostí u vzhledem
k pevné dolní stěně. Jaký objemový průtok oleje protéká mezerou?
48
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Zadáno:
200
0.1
15
0.75
Vypočtěte:
Qv = ?
u
mm
mm
m
m.s-1
h
b=
h=
l=
u=
Výsledky:
3 -1
ms
0.00000750
Příklad 9.3.2
Hydraulický válec o průměru d a délce l má soustředně uložený píst s výškou mezery h . Píst se
pohybuje rychlostí u . Stanovte objemový průtok oleje o dynamické viskozitě
h při zadaném tlakovém
spádu Dp . Pro jednoduchost předpokládejte, že válcová mezera je velmi úzká a tudíž je rozvinuta na
mezeru obdélníkovou o šířce b = pd .
Zadáno:
Vypočtěte:
b=?
QV = ?
m
m3.s-1
s
d=
100 mm
l=
50 mm
h = 0.00005 m
u=
0.5 m.s-1
Dp =
15 MPa
h=
0.06 Pa.s
d
u
p1
p2
Výsledky:
0.31416
l
0.00002029
9.4. Proudění válcovou mezerou
V hydraulických strojích a zařízeních se často lze setkat s případy, kdy kapalina proudí válcovou
mezerou. Průtok válcovou mezerou je v případě velmi úzké mezery určen jako průtok mezi dvěma
deskami, viz kap. 9.2. Pokud se řeší průtok ve válcové mezeře jako průtok mezikružím, platí pro
rychlostní profil, objemový průtok a střední rychlost tyto vztahy
r
æ
ln
ç
r1
1 pz ç 2
2
2
2
+
v=
r
r
r
r
1
2
1
r
4h L ç
ln 2
çç
r1
è
ö
æ
ç
2
2÷
r - r1 ÷
1 pz ç 2
vs =
r2 + r12 - 2
ç
r ÷
8h L
ln 2 ÷÷
çç
r1 ø
è
(
)
ö
÷
÷
÷
÷÷
ø
Qv =
(
p pz 2
r2 - r12
8h L
ö
æ
ç
2
2÷
ç r 2 + r 2 - r2 - r1 ÷
1
ç 2
r ÷
ln 2 ÷÷
çç
r1 ø
è
)
Příklad 9.4.1
Určete objemový průtok válcovou soustřednou mezerou o délce l , vnějším poloměru r2 a vnitřním
poloměru r1 , při tlakovém rozdílu Dp . Dynamická viskozita oleje je h .
49
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Zadáno:
l
l=
r1 =
r2 =
Dp =
h=
20 mm
24.97 mm
p1
p2
h
v
1
r
25 mm
32 MPa
Qv = ?
r2
0.05 Pa.s
Vypočtěte:
Výsledky:
m3.s-1
1.07152E-05
Příklad 9.4.2
V pracovním prostoru hydraulického válce se udržuje stálý tlak p . Určete objemové ztráty Qv oleje o
dynamické viskozitě
h kruhovou spárou při soustředném uložení pístu ve válci. Průměr pístu je d ,
délka l a radiální vůle s . Výsledek porovnejte s výpočtem průtoku Qvp získaným zjednodušeně jako
proudění mezi paralelními deskami.
Zadáno:
p0
0.05 Pa.s
Vypočtěte:
Qv = ?
QVp = ?
s
120 mm
140 mm
0.1 mm
7 MPa
d
d=
l=
s=
p=
h=
p
Výsledky:
m3.s-1
3.21210E-05
m3.s-1
3.14159E-05
l
9.5. Stékání po svislé stěně
Viskózní kapalina, která ulpívá na svislé stěně, stéká po ní účinkem tíhového zrychlení. Na rozhraní
stékající vrstvy kapaliny o tloušťce h s ovzduším je tlak ovzduší p o . Proudění je ustálené, tlak ve
stékající vrstvě je konstantní. Rychlostní profil, průtok, střední rychlost a podíl střední a maximální
rychlosti jsou určeny vztahem
v=
vs
2
gæ
xö
g 2
gb 3
=
h , vs =
h ,
ç h - ÷ x , QV =
2ø
3n
nè
vmax 3
3n
Průběh smykového napětí je
t = rg (h - x )
Příklad 9.5.1
Po svislé stěně stéká voda o teplotě t1 a viskozitě
n 1 . Jaký je objemový průtok Qv a střední rychlost
v s , když tloušťka vrstvy stékající vody je h a šířka stěny je b . Zkontrolujte, zda se jedná o laminární
proudění, tj. Re £ 1000 (z hydraulického průměru). V jakém poměru se změní objemový průtok při
změně teploty kapaliny na t 2 a tudíž viskozity n 1 na
n2 .
50
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Zadáno:
h=
b=
n1 =
n2 =
0.4 mm
0.8 m
x
1.011E-06 m2.s-1
2
vs
-1
0.6E-06 m .s
Vypočtěte:
Výsledky:
Qv1 = ?
Re = ?
Qv 2 = ?
Qv 2 ?
=
Qv1
m3.s-1
0.000166
819
m3.s-1
0.000279
h
1.69
9.6. Proudění klínovou mezerou tvořenou rovinnými deskami
V teorii hydrodynamického mazání je významné proudění v klínové mezeře, která je tvořena dvěma
plochami, z nichž spodní se pohybuje rychlostí u . Rychlostní profil, průtok, střední rychlost a podíl
střední a maximální rychlosti jsou určeny vztahem
æ ih 2 u ö
hh
æ i
vs
2
g 2
uö
÷
ç
+ ÷h = 1 2 u , v s =
=
h ,
v=ç
y + ÷(h - y ) , Qv = ç
ç
÷
h1 + h2
vmax 3
3g
2ø
è 2h
è 12h 2 ø
Maximální tlak v mezeře
p max =
2
2
3 hu ( x1 - x 2 )
3 hu (h1 - h2 )
=
,
2 y 2 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) 2 y h1 h2 (h1 + h2 )
h=
h1 - h2
x = x.tgy =& yx
x1 - x 2
Příklad 9.6.1
Klínová mezera tvořená rovinnými deskami je zatížena silou F . Rozměry mezery jsou h1 , h2 , x1 ,
x 2 . Jak velký objemový průtok Qv protéká klínovou mezerou a jaký je maximální tlak p max oleje
v mezeře, má-li tento dynamickou viskozitu
h ? Dolní deska má šířku b a pohybuje se rychlostí u .
Zadáno:
10000 N
0.2 mm
F
0.15 mm
h1
150 mm
70 mm
15 ms-1
h2
F=
h1 =
h2 =
x1 =
x2 =
u=
b=
h=
x2
1m
0.05 Pa.s
Vypočtěte:
QV = ?
p max = ?
Výsledky:
3
-1
F
x1
m .s
0.001286
Pa
428 571
u
x
51
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
10. Turbulentní proudění
Turbulentní proudění je trojrozměrný, časově proměnný pohyb tekutiny, při němž veličiny
charakterizující proudění (rychlost, tlak, hustota, teplota) se mění nahodile v čase. Okamžité hodnoty
veličin neustále kolísají kolem střední hodnoty, takže v každém okamžiku je například rychlost dána
součtem střední rychlosti a fluktuační složky. Pro složku rychlosti ve směru x tedy bude platit
v x = v x + v ¢x , kde v x je střední hodnota rychlosti v čase a
v ¢x je fluktuační složka. Střední
hodnota v x (resp. vy , vz ) za čas T se určí ze vztahu
T
vx =
1
v x dt .
T ò0
Je-li časový interval dostatečně dlouhý, je střední hodnota fluktuační složky v ¢ nulová
v¢x =
T
1
v ¢x dt = 0 .
T ò0
10.1. Bernoulliho rovnice pro turbulentní proudění
Pro technické výpočty v praxi se turbulentní proud považuje za ustálené pole středních rychlostí
místo neustáleného pole okamžitých rychlostí a lze použít vztahů odvozených dříve, např. rovnici
kontinuity a Bernoulliho rovnici. Důležité jsou zejména střední hodnoty rychlosti a tlaku, které se
mohou snadno určit běžnými přístroji. Např. rychlostní profil tekutiny proudící potrubím turbulentně
vyjadřuje rozložení střední rychlosti. Na rozdíl od laminárního proudění v potrubí, kdy průběh rychlosti
po průřezu lze odvodit z matematického popisu laminárního proudění, u turbulentního proudění lze
tvar rychlostního profilu přibližně vyjádřit pomocí logaritmické nebo mocninné funkce. Konstanty
vystupující v těchto závislostech jsou určeny experimentálně různými autory.
Je-li známo rozložení středních rychlostí v po průřezu, je možné integrací po průřezu stanovit
Qv
, tj. rychlost, která se dosazuje
S
do rovnice kontinuity, do Bernoulliho rovnice, do vztahu pro Re číslo a ztrátovou výšku hz , a také
poměru střední objemové rychlosti v ku maximální rychlosti v max v ose potrubí.
objemový průtok Qv , střední objemovou rychlost po průřezu v =
Příklad 10.1.1
Vypočítejte rychlost vzduchu v max , která se měří Pitotovou trubici v ose potrubí. V U - trubici je líh o
hustotě
r m . Stanovte střední rychlost v s z maximální rychlosti v max . Předpokládejte rychlostní profil
vyjádřený vztahem:
æ
r 2 ö÷
ç
a) v = v max 1 ç
R 2 ÷ø
è
n
n0
, kde
r je vzdálenost od osy potrubí, n0 = f (Re )
æ yö
b) v = v max ç ÷ , kde y je vzdálenost od stěny potrubí, n = f (Re )
è Rø
52
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Zadáno:
0.200 m
d=
h =
0.045 m
max
Výsledky:
v max = ?
Re = ?
n0 = ?
m=?
vs = ?
n= ?
m=?
vs = ?
Pa .
432.091
m.s-1
26.836
Dh
pd = ?
h
Vypočtěte:
d
980 kg.m -3
rm =
1.20 kg.m -3
r =
n = 1.75E-05 m2s-1
306 697
0.189
0.841
m.s-1
22.569
0.106
0.858
m.s-1
23.04
m
Řešení:
Rozdíl celkového a statického je roven tlaku dynamickému. Určí se z rozdílu hladin Dh odečteném na
diferenciálním tlakoměru (U-trubice) ze vztahu
p d = gDh( r m - r ) , kde r m ñ r
Rychlost v ose potrubí se vypočte z dynamického tlaku
pd =
1
2
Þ v max =
r × v max
2
2 g Dh( r m - r )
r
Pro exponent n 0 v mocninovém rychlostním profilu ad a) byl na základě experimentálních výsledků
určen vztah
1
Re
= 1+ 6
Þ n0 =
n0
50
1
1+ 6
Re
50
Poměr střední a maximální rychlosti v potrubí
m=
vs
v max
=
1
a v s = m × v max
1 + n0
Hodnotu exponentu n v mocninovém rychlostním profilu ad b) lze určit ze vztahu, který definoval
např. Troskolanski
1
1
= 1.03 ln Re - 3.6 Þ n =
n
1.03 ln Re - 3.6
Poměr střední a maximální rychlosti v potrubí
m=
vs
v max
=
2
a v s = m × v max
(n + 1) × (n + 2)
53
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
11. Hydraulický výpočet potrubí
Hydraulický výpočet potrubí je aplikací Bernoulliho rovnice, rovnice spojitosti a poznatků o
hydraulických odporech třením a místních. Jak již bylo uvedeno, vznikají při proudění skutečných
tekutin následkem viskozity hydraulické odpory, tj. síly, které působí proti pohybu částic tekutiny.
Mechanismus hydraulických odporů je složitý jev, který se dosud nepodařilo exaktně vyřešit až na
jednodušší případy laminárního proudění. Proto se v hydraulických výpočtech uplatňuje řada
poloempirických metod. Z fyzikálního hlediska lze hydraulické odpory (ztráty) rozdělit na ztráty třením
a ztráty místní.
11.1. Třecí ztráty v potrubí
Ztráty třením vznikají vzájemným třením částic proudící tekutiny při rozdílných rychlostech a
třením tekutiny o stěny zařízení. Při proudění skutečné tekutiny je rozložení rychlostí pro průtočném
průřezu nerovnoměrné a v jednotlivých vrstvách a na stěnách vznikají tečné síly a napětí od viskozity.
Při turbulentním proudění dochází navíc k výměně hybnosti a energie mezi jednotlivými vrstvami, což
je spojeno s přídavnými silami, které zvyšují hydraulický odpor. Ztráty třením lze definovat stejným
způsobem pro laminární i turbulentní proudění pomocí ztrátové výšky hz podle Darcy-Weisbacha
hz =
kde
pz
l v2
v2
=l
=zt
rg
d 2g
2g
l je třecí součinitel, l je délka potrubí, d jeho průměr a v je střední rychlost v potrubí. Velikost
ztráty třením závisí na režimu proudění v potrubí, který se určí na základě hodnoty Reynoldsova čísla.
Součinitel tření při laminárním proudění v potrubí
U laminárního proudění pro Re < 2320 se hodnota třecího součinitele dá odvodit analyticky pro
potrubí kruhového i nekruhového průřezu. V případě potrubí kruhového průřezu je za předpokladu
vyvinutého laminárního proudění součinitel tření
l=
l závislý pouze na Re a je dán vztahem
64
Re
Pro potrubí nekruhového průřezu platí analogická rovnice
l=
A
, kde A je funkcí tvaru průřezu.
Re
Hodnoty této konstanty respektive vztahy pro určení součinitele tření a ztrátového součinitele jsou
uvedeny v následující tabulce.
54
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Re = v
(D - d )
l=
n
64
×
Re
æ dö
ç1 - ÷
è Dø
2
ædö
1- ç ÷
D
ædö
1+ ç ÷ + è ø
d
è Dø
ln
D
2
=
K0
Re
zt =l
l
D-d
2
d
a
a
D
Re =
va
n
l=
92.4
Re
zt =l
l
a
Re =
va
n
l=
57
Re
zt =l
l
a
Re =
vb
n
l=
K1
Re
zt =l
l
b
a
a
b
a
a
b
=
a
1
0.8
0.5
0.333
0.25
0.1
K1 =
57
64.7
93.2
137.6
181.8
465.9
b
Re =
vb
n
b
=
a
K2 =
a
l=
K2
Re
zt =l
1
0.7
0.5
0.3
0.2
0.1
64
55.2
50.9
47.4
45.7
42.9
l
b
Součinitel tření při turbulentním proudění v potrubí
Součinitel tření
l je závislý na velikosti Reynoldsova čísla Re a poměrné drsnosti e =
případně relativní drsnosti k r =
d
,
k
k
, kde k je absolutní drsnost stěny potrubí v mm. Pro hladké potrubí
d
k = 0 odvodil Blasius vztah pro součinitel tření při turbulentním proudění ve tvaru
0 ,3164
4
l=
, který platí v rozmezí Re k £ Re £ 8.10
4
Re
Významná je také Prandtlova rovnice pro hydraulické hladké potrubí uváděna ve tvaru
1
l
(
)
= 2 log Re l - 0,8
Mezi oblastí hydraulicky hladkých potrubí a oblastí vyvinutého turbulentního proudění je oblast
přechodová, v níž součinitel tření
l závisí jak na Reynoldsově čísle, tak na relativní drsnosti
k
. Pro
d
tuto oblast bylo různými autory odvozeno několik desítek rovnic, nejčastěji se však používá vzorec,
který odvodil Colebrook-White
55
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
æ
k
2,51
= 2 log çç 0,27 +
d Re l
l
è
1
ö
÷
÷
ø
Tuto rovnici lze řešit pouze iteračnímí metodami, proto pro přímé určení
l je vhodnější vztah
æ
k
5.74 ö
0.25
= 2 log ç 0,27 +
÷Þl =
.
0
9
2
d Re ø
è
l
é æ
k
5.74 öù
êlog çç 0.27 + 0.9 ÷÷ú
d Re øû
ë è
1
Pro ruční výpočet lze také použít vztah podle Altšula
æ 100 k ö
+ ÷
l = 0.1ç
è Re d ø
0.25
Pro vyvinuté turbulentní proudění je možné aplikovat pro výpočet
l vztah podle Nikuradseho, který
vyšetřoval vliv drsnosti v bronzovém potrubí experimentálně již v letech 1930-1933.
l=
1
d
æ
ö
ç 2 log + 1,138 ÷
k
è
ø
2
k
Re l ñ 191,2
d
pro
Další vztahy pro výpočet třecího součinitele
Autor
Oblast
l jsou uvedeny v následující tabulce.
Vzorec
Platnost
l = 0.3164 × Re -0.25
Re á 8 ×10 4
Lees
l = 0.00714 + 0.61× Re -0.35
Re á 1.5 × 10 6
l = 0.0056 + 0.5 × Re -0.32
Re á 10 6
l = 0.0054 + 0.395 × Re -0.3
Re á 10 8
Drew
Herrman
Kármán-Nikuradse
Hydraulicky hladká
potrubí
Blasius
1
Re l
= 2 × log
2.51
l
Re á 6 ×10 4
l = (1.8 × log Re - 1.5)-2
Nikuradse
l = 0.0032 + 0.221× Re -0.237
Colebrook-White
Moody
Kármán
Nikuradse
Hydraulicky
drsná
potrubí
Altšul
Přechodná oblast
turbulentního proudění
proudění
Konakov
æ 100 k ö
+ ÷
l = 0.1ç
è Re d ø
0.25
æ
k
2,51
= 2 log çç 0,27 +
d Re l
l
è
1
ö
÷÷
ø
1ù
é
6
ê æ
k 10 ö÷ 3 ú
l = 0.0055ê1 + ç 2 ×10 4 +
ú
ç
d Re ÷ø ú
ê è
û
ë
1
d
= 1.74 + 2 × log
2k
l
3.7 d
1
= 2 × log
k
l
Součinitel tření
l v oblasti turbulentního proudění
0.34 £
k × Re× l
£ 6.2
32.5d
4 ×10 3 á Re á × 10 7
k × Re× l
ñ 191.2
32.5d
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
56
Ztráty třením turbulentního proudění v potrubí nekruhového průřezu jsou určeny stejnými
vzorci jako pro kruhové potrubí. Místo průměru d kruhového potrubí je však třeba dosadit ekvivalent
pro nekruhové průřezy, pomocí něhož se vypočte Re-číslo, součinitel tření a ztrátová výška. Tento
ekvivalent se nazývá hydraulický průměr d h a je určen vztahem
d h =4
S
o
kde S je průtočná plocha a o je omočený obvod průřezu. Hydraulický průměr se může dosadit do
výrazu pro poměrnou drsnost k r , do Reynoldsova čísla , do vztahu pro ztrátovou výšku h z a třecí
součinitel
l
kr =
vd
1 v2
k
, Re = h , h z = l
, l = f (Re, k r )
dh
v
d h 2g
Pro přechod laminárního proudění v turbulentní v nekruhových průřezech se uvažuje kritická hodnota
Reynoldsova čísla Re krit stejná jako u kruhového potrubí.
Výsledky měření Nikuradseho jsou uvedeny v interpretaci Moodyho v diagramu
kterého lze odečíst hodnoty
l = f (Re, k r ) , ze
l pro vypočtené Re číslo a hodnotu relativní drsnosti. Křivky pro různé
poměrné drsnosti k r se odpoutávají od přímky Blasiovy, která představuje průběh součinitele tření
pro hladké potrubí. Z diagramu je zřejmé, že od určitého Reynoldsova čísla, které závisí na poměrné
drsnosti, má součinitel tření stálou hodnotu.
Nikuradseho diagram v interpretaci Moodyho
57
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Příklad 11.1.1
Stanovte tlakovou ztrátu p z třením na délce l ve vodorovném potrubí o průměru d , jimž proudí
minerální olej o hustotě
r a viskozitě n rychlostí v . Přepočtěte tlakovou ztrátu p z na ztrátovou výšku
hz a měrnou ztrátovou energii e z . Jaký je součinitel tření l a Re-číslo? Určete průtok Q v a
hmotností průtok Q m .
Zadáno :
=5
= 20
=4
= 880
= 1.6E-04 m2.s-1
Vypočtěte:
Re = ?
l =?
hz = ?
pz = ?
ez = ?
Qv = ?
Qm = ?
v
m
mm
m.s-1
kg.m -3
d
l
d
v
r
n
2
1
l
Výsledky:
500.00
Řešení:
0.1280
vd
Re =
,
n
m
26.10
Pa
225 316.08
J.kg-1
256.04
m3.s-1
0.0012566
kg.s-1
1.105808
ì 0.3164
ï 4
l = í Re
64
ï
î Re
2
l v
hz = l
,
d 2g
Qv =
pro Re ³ 2320
pro Reá 2320
p z = rghz ,
v pd 2
,
4
e z = ghz
Qm = rQv
Příklad 11.1.2
Do jaké vzdálenosti l se dopraví nafta vodorovným kruhovým potrubím o průměru d , máme-li k
dispozici na pokrytí zrát třením po délce tlak p1 a střední rychlost proudění nafty je v s . Je dána
kinematická viskozita ropy n a její hustota r .
Zadáno:
=
250 mm
v
= 600000 Pa rel.tl
3 m.s-1
=
=
890 kg.m -3
2. -1
= 0.0005 m s
Vypočtěte:
Re = ?
l =?
l =?
2
m
p1
d
d
p1
vs
r
n
1
l
Výsledky:
1 500.000
0.042667
877.802
Řešení:
Re =
vs d
64
, l=
n
Re
p1 = l
l vs2
2p d
r Þ l = 12
d 2
l vs r
p2= 0
58
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Příklad 11.1.3
Vypočítejte součinitel tření
l , tlakovou ztrátu p z , ztrátovou výšku hz a měrnou ztrátovou energii e z
při proudění oleje v potrubí. Olej má měrnou hmotnost
r a kinematickou viskozitu n . Určete průtok
Qv a druh proudění. Stanovte dynamickou viskozitu h . Průměr potrubí je d délka l . Rychlost
proudění je v .
l=
1m
d=
0.05 m
v=
3 m.s-1
r=
890 kg.m -3
n = 4.0E-05 m2s-1
Vypočtěte:
Re = ?
v
1
2
Výsledky:
3 750.00
l=?
hz = ?
pz = ?
ez = ?
Qv = ?
h =?
d
Zadáno :
l
0.04038
m
0.3705
Pa
3 234.80
-1
3.6346
-1
m .s
0.005890
Pa.s
0.0356
J.kg
3
Příklad 11.1.4
Stanovte součinitel tření v potrubí
l při proudění vzduchu, jestliže tlaková ztráta Dh na délce l je
měřená lihovým U - manometrem. Určete průtok Q v a hmotnostní průtok Q m . Jaká je tlaková ztráta
Dp , měrná ztrátová energie e z a ztrátová výška hz ? Rychlost proudění v potrubí o délce l a
průměru d je v .
Zadáno:
15 m.s
d
0.04 m
3m
50 mm
vz
1.2 kg.m -3
890 kg.m -3
Výsledky:
Pa
Dh
Vypočtěte:
Dp = ?
hz = ?
ez = ?
l=?
Qv = ?
Qm = ?
h
v=
d=
l=
Dh =
r vz =
rl =
l
-1
435.9564
m
37.03
-1
J.kg
363.30
0.0431
3
-1
0.01885
-1
0.02262
m .s
kg.s
l
59
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Řešení:
Z podmínky rovnováhy na U-trubici se určí tlaková ztráta Dp , přitom se definují tlaky z levé a pravé
strany U-trubice ke tlakové hladině, kterou je rozhraní obou tekutin :
pL = pP
p1 + h ¢r vz g = p 2 + g (h ¢ - Dh )r vz + gDhr l Þ Dp = p1 - p 2 = Dh g (r l - r vz )
Bernoulliho rovnice pro proudění skutečné tekutiny vodorovným potrubím má tvar:
p1 v 2
p
v2
l v2
+
+0= 2 +
+0+l
d 2
r
2
r
2
2Dp d
l v2
Þ Dp = p1 - p 2 = l
rÞl =
d 2
r vz l v 2
hz =
p - p2
p1 - p 2
,
, ez = 1
rg
r
Qv =
pd 2
v , Qm = r Qv
4
Příklad 11.1.5
Ve vodorovném potrubí délky l a průměru d proudí voda střední rychlostí v . Stanovte tlak na
počátku potrubí p1 , jestliže jeho konec ústí do ovzduší. Výpočet proveďte pro potrubí hydraulicky
hladké a pro drsné potrubí, je-li hodnota absolutní drsnosti k .
Zadáno:
v=
v
0.10 m
150 m
-6
p1
1000 kg.m
l
-3
Výsledky:
60 000.000
Řešení:
Hodnota Re čísla odpovídá turbulentnímu proudění.
Hladké potrubí
l=?
p1 = ?
p2= 0
2 -1
10 m s
0.1 mm
Vypočtěte:
Re = ?
2
d
d=
l=
n=
k=
r=
1
0.6 m.s-1
0.020
Pa rel.tl. 5 400.0
Drsné potrubí
Neuvažujeme-li drsnost, můžeme pro výpočet
l použít
vztah podle Blásia, určený pro hydraulicky hladká potrubí.
Drsnost potrubí zvyšuje tlakové ztráty. Pro výpočet
l=?
0.023
p1 = ?
Pa rel.tl. 6 210.0
l lze
použít vztah např. dle Altšula.
Příklad 11.1.6
Ve vodorovném potrubí délky l a průměru d proudí vzduch střední rychlostí v . Vypočítejte součinitel
tření
l , relativní drsnost a absolutní drsnost k v potrubí, jestliže byla měřením určena pro zadané
parametry tlaková ztráta Dp = p1 - p 2 .
60
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
-1
17 m.s
1
d=
0.032 m
=
l
1.50 m
n = 15.8 E-06 m2s-1
Dp =
251 Pa
r=
1.152 kg.m -3
Vypočtěte:
Re = ?
l=?
2
v
d
Zadáno:
v=
p1
p2= 0
l
Výsledky:
34 430.380
0.0322
kr = ?
k=?
mm
0.008
0.256
Příklad 11.1.7
Určete tlakovou ztrátu třením p z při průtoku mazutu mezikružím o vnějším průměru D a vnitřním
průměru d , je-li hmotnostní průtok Q m . Délka potrubí je l . Je dána hustota
r a dynamická
viskozita h mazutu. Vzhledem k velké viskozitě se předpokládá laminární proudění. Konstantu K0 pro
výpočet třecího součinitele určete z přiloženého grafu.
p1
Zadáno:
p2
Vypočtěte:
v= ?
Re = ?
d D= ?
l=?
pz = ?
d
0.156 m
0.05 m
D
72000 kg.hod-1
350 m
0.1 Pa.s
K 0 = f (d / D )
920 kg.m -3
-1
ms
Výsledky:
1.268
100
95
1 236.55
90
0.32
0.0760
85
K0
Qm =
D=
d=
l=
h=
r=
Qv
Pa
185 597.495
80
75
70
65
60
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
d/D
Příklad 11.1.8
Vzduch proudí rychlostí v obdélníkovým potrubím o rozměrech a , b a délce l . Stanovte tlakovou
ztrátu p z pro hladké potrubí. Jaký je hydraulický průměr d h ? Určete druh proudění. Stanovte
součinitel tření
l . Vypočítejte měrnou ztrátovou energii e z .
61
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
v
0.04 m
0.05 m
b=
l=
v=
r=
1
2
2m
-1
11.2 m.s
1.18 kg.m
l
Řešení:
Výsledky:
dh = ?
m
0.04444
25 524.51
0.02500
Pa
83.269
J.kg-1
70.567
Re = ?
l=?
pz = ?
ez = ?
b
-3
n = 1.95E-05 m2s-1
Vypočtěte:
a
Zadáno:
a=
Pro nekruhový průřez definujeme hydraulický průměr d h :
dh =
4S
4(ab )
=
o 2(a + b )
v dh
0,3164
l v2
Re =
, l=
, pz = r l
4
n
dh 2
Re
Příklad 11.1.9
Jaké proudění nastane v potrubí obdélníkového průřezu při střední rychlosti vzduchu v ? Vypočtěte
hydraulický průměr d h , Reynoldsovo číslo Re a objemový průtok Q v . Určete součinitel tření
l a
ztrátovou výšku hz pro jednotkovou délku kanálu.
b=
l=
v=
n=
0.05 m
0.2 m
2m
14 m.s-1
2E-05 m2.s-1
Vypočtěte:
dh= ?
1
m
2
l
Výsledky:
b
0.080
56 000.00
Re = ?
l=?
hz = ?
Qv = ?
v
a
Zadáno:
a=
0.021
m
2.622
3
-1
m .s
0.140
11.2. Místní ztráty
Místní odpory, neboli místní ztráty, vznikají v krátkých úsecích potrubí, kde dochází ke změně
charakteru proudu, tj. velikosti rychlosti a směru proudu, případně k obojímu. Často dochází k odtržení
proudu od stěny a ke vzniku víření, které je příčinou místní ztráty. Velikost místní ztráty závisí na typu,
tvaru a konstrukci daného úseku potrubí nebo elementu a na materiálovém provedení, drsnosti, atd.
Je zřejmé že k místním ztrátám bude docházet ve všech tvarovkách (kolena, odbočky, spojky,
difuzory), armaturách (ventily, šoupátka, kohouty, klapky), měřících zařízeních (clony, dýzy,
vodoměry) a dalších zařízeních (chladiče, čističe, filtry).
Velikost místních ztrát lze vyjádřit obdobně jako ztrátu třením pomocí ztrátové výšky h z , tlakové
ztráty p z , nebo součinitele místní ztráty
Vm.
62
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
e z = gh z =
pz
v2
v2
=zm
Þ hz = z m
2
2g
r
Hodnota ztrátového součinitele se určuje ve většině případů experimentálně, zpravidla při vyšších Re
číslech. Určená hodnota je však platná jen při stejných podmínkách, za kterých byla změřena nebo ve
fyzikálně podobných případech (stejná hodnota Re). Pro některé jednodušší případy lze součinitel
místní ztráty odvodit (náhlé rozšíření a zúžení průřezu, kuželová potrubí). Místní odpory v potrubí se
mohou vyjádřit ekvivalentní délkou l e potrubí, v němž je ztráta třením stejná jako místní ztráta. Vztah
pro ekvivalentní délku se odvodí z porovnání ztrát třecích a místních
zm
l v2
z
v2
=l e
Þ le = m d
2g
d 2g
l
Za součinitel tření a průměr se dosadí hodnoty platné pro rovný úsek potrubí. Při změnách průřezu se
mění průtočná rychlost a místní ztráty se mohou vyjádřit v závislosti na přítokové rychlosti v1 nebo
odtokové rychlosti v 2 , přitom pro přepočet ztrátových součinitelů lze odvodit vztah:
h zm
v12
v 22
v12
= z1
=z2
Þ z 2 = z1 2
2g
2g
v2
Pro kruhové průřezy platí
æv
z 1 = z 2 çç 2
è v1
4
2
2
æd ö
z 2 = z 1 çç 2 ÷÷
è d1 ø
ö
æS ö
æd ö
÷÷ = z 2 çç 1 ÷÷ = z 2 çç 1 ÷÷ ;
ø
è S2 ø
è d2 ø
4
Pro praktické výpočty lze hodnoty součinitelů místní ztráty odečíst z grafů a nomogramů, které jsou
součástí literatury zabývající se návrhem potrubního vedení.
Příklad 11.2.1
Stanovte tlakový rozdíl p z potřebný k překonání náhlého rozšíření průřezu v potrubí, kterým protéká
objemový průtok Qv oleje o hustotě
r . Určete hodnotu ztrátového součinitele z 1 a z 2 .
Zadáno:
0.6 dm .s
p1
v1
0.018 m
850 kg.m -3
Vypočtěte:
v1 = ?
v2 = ?
hz = ?
pz = ?
z1= ?
z2= ?
p2
0.014 m
d2
d1 =
d2 =
r=
2
-1
d1
Qv =
1
3
v2
Výsledky:
1
2
-1
m.s
3.898
m.s-1
2.358
Řešení:
m
0.121
Při náhlém rozšíření průřezu se odtrhne proud kapaliny od
Pa
1 007.930
stěn a vytvoří se víry. Ve směru proudění klesá střední
0.156
rychlost, a tedy stoupá statický tlak. Toto stoupnutí však
0.426
bude nižší o tlakovou ztrátu p z spojenou s rozšířením
průřezu. Pomocí rovnice Bernoulliho a věty o změně hybnosti odvodil Borda vztah pro ztrátovou výšku
63
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
hz
2
2
(
v1 - v2 )2
=
æ
ö v22
S1 ö v12 æ S 2
ç
÷
ç
= ç1 - ÷
=ç
- 1÷÷
2
S
g
S
è
è 1
ø 2g
2ø
2g
kde
2
2
2
é æ d ö2 ù
éæ d ö 2 ù
æ
æ S2
ö
S1 ö
1
÷÷ = ê1 - çç ÷÷ ú a
z 1 = çç1 z 2 = çç
- 1÷÷ = êçç 2 ÷÷ - 1ú
S
d
S
ú
ú
ê
êè d1 ø
2ø
è
è 1
ø
û
ë è 2ø û
ë
Rychlosti v1 a v 2 se určí z rovnice kontinuity
p
p
Qv = d12 × v1 = d 22 × v 2
4
4
2
Příklad 11.2.2
Stanovte tlakový rozdíl Dp potřebný k překonání náhlého zúžení průřezu v potrubí, kterým protéká
objemový průtok Qv oleje o hustotě
r . Určete hodnotu ztrátového součinitele z 1 a z 2 . Uvažujte
hodnoty stejné jako v předchozím případě. Porovnejte velikost tlakové ztráty se ztrátou při náhlém
rozšíření průřezu.
A
Qv =
p'
0.6 dm3.s-1
0.018 m
0.014 m
850 kg.m -3
Vypočtěte:
p1
Výsledky:
v1 = ?
v2 = ?
hz = ?
pz = ?
z1= ?
z2= ?
v1
S0
S1
d1 =
d2 =
r=
C
B
v2
p2
S2
Zadáno:
B
m.s-1
2.358
-1
m.s
3.898
Řešení:
m
0.306
Zúžením průřezu se vyvolá zrychlení kapaliny. Proud
Pa
2 551.581
kapaliny nemůže následkem setrvačnosti sledovat tvar
1.080
stěn potrubí, proto se odtrhne a vzniknou vířivé oblasti.
A
0.395
C
Matematické řešení ztráty zúžením vychází ze změny
hybnosti kapaliny.
Ztrátová výška náhlým zúžením průřezu je určena výrazy
æ S1
ö S1 v12 æ S 2 ö v 22
ç
÷÷
hz = ç
- 1÷÷
= çç1 2
S
S
g
S
è 2
ø 2
è
1 ø 2g
kde
æS
öS
S
z 1 = çç 1 - 1÷÷ 1 a z 2 = 1 - 2
S1
è S2
ø S2
Příklad 11.2.3
V oblouku o průměru d a poloměru
r se mění směr proudění o úhel a . Stanovte ztrátovou výšku hz ,
tlakovou ztrátu p z pro zadané hodnoty úhlu
a . Součinitel místní ztráty odečtěte z přiloženého
diagramu. Potrubím proudí vzduch střední rychlostí v . Stanovte ekvivalentní délku potrubí l e , je-li
součinitel tření
l.
64
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Zadáno:
a1 =
a2=
a 3=
l=
a
0.25 m
0.375 m
2.5 m.s-1
1.2 kg.m -3
25
o
45
o
90
0.02
o
r
d=
r=
v=
r=
v
d
v
a [o]
Vypočtěte:
h =?
m
0.016
=?
hz 2
hz 3 = ?
p z1 = ?
p z2 = ?
p z3 = ?
l e1= ?
m
0.029
m
0.058
Pa
0.188
Pa
0.341
Pa
0.683
m
0.625
=?
m
1.125
le 3= ?
m
2.275
z1
le2
Výsledky:
a
r/d
Součinitel místní ztráty pro ohyb kruhového průřezu
Příklad 11.2.4
Stanovte ztrátovou výšku pro vtok vody do potrubí průměru d , které je zasunuto do nádrže o délku
b . Tloušťka stěny potrubí je t , rychlost v potrubí v .
Zadáno:
d=
b=
t=
v=
0.2 m
0.1 m
4 mm
3.16 m.s-1
Vypočtěte:
z =?
hz = ?
pz = ?
Výsledky:
0.73
m
0.372
Pa
3 649.320
Příklad 11.2.5
Náhlé rozšíření průřezu se nahradí kuželovým potrubím o průměrech d1 a d 2 a délce l . Určete
ztrátovou výšku h z a tlakovou ztrátu p z pro zadaný průtok vody Qv a hodnoty porovnejte se ztrátou
náhlým rozšířením průřezu. Součinitel tření určete podle Blasia. Vypočtěte úhel rozšíření
a.
65
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Zadáno:
1.2 m .min
v2
1
v
a
0.080 m
0.120 m
0.25 m
l2
Výsledky:
v1 = ?
v2 = ?
Re 1 = ?
Re 2 = ?
ls = ?
pz = ?
hz = ?
h ¢z = ?
a =?
m.s-1
3.979
-1
1.768
m.s
v1
l1
l
Vypočtěte:
d1
-1
d2
Qv =
d1 =
d2 =
l=
2
3
Řešení:
a dostatečně malý, nedojde k odtržení
318 320
Pokud je úhel
212 160
proudu od stěny a hydraulická ztráta je v podstatě ztrátou
0.0140
třením po délce. Ta se určí integrací diferenciální rovnice,
Pa
137.340
přičemž je uvažována změna průměru a rychlosti po délce
m
0.014
kuželového potrubí. Mění se rovněž součinitel tření, takže
m
0.24916
9.15
pro
o
výpočet
je
uvažována
jeho
střední
hodnota
l s = (l1 + l 2 ) / 2 . Vztah odvozený pro ztrátu třením v
kuželovém potrubí má tvar:
é æ d ö4 ù v 2
ls
l
ê1 - ç 1 ÷ ú × 1
hz =
×
ç d ÷ ú 2g
d
d
4
2
1 ê
ë è 2ø û
Vypočtenou hodnotu h z porovnáme s hodnotou definovanou pro ztrátu náhlým rozšířením průřezu
h ¢z =
(v1 - v 2 )2
2g
, kde rychlost v1 , v 2 určíme z rovnice kontinuity.
11.3. Jednoduché potrubí
Jednoduché potrubí je po hydraulické stránce definováno průměrem d , délkou l , rychlostí v
nebo průtokem Qv , případně Qm . Potrubím může tekutina proudit v důsledku gravitace nebo
přetlaku na počátku potrubí. Hydraulický výpočet se v praxi provádí nejčastěji pro tři základní případy:
·
při daném průtoku a rozměrech potrubí se určuje spád nebo tlakový rozdíl
·
při daných rozměrech a daném tlakovém spádu, který je dán rozdílem hladin nebo jiným tlakovým
zdrojem, se počítá průtok
·
ze zadané hodnoty průtoku a spádu se určuje průměr potrubí
Pro hydraulický výpočet potrubí mají zásadní význam ztráty, ke kterým dochází při proudění skutečné
kapaliny. Součinitele tření a místních ztrát bývají v některých případech zadány nebo se musí určit
výpočtem či z grafů a nomogramů. Ztráty v potrubí závisí na rychlosti a tedy i průtoku. Vztah mezi
ztrátovou výškou nebo tlakovou ztrátou a průtokem lze odvodit a také vynést graficky. Tato závislost je
charakteristikou potrubí a má význam při grafickém řešení potrubí.
Příklad 11.3.1
Stanovte ztrátovou výšku hz při proudění vody o kinematické viskozitě n v drsném potrubí o průměru
d , délce l , drsnosti k a rychlosti v . Přepočtěte ji na tlakovou ztrátu p z a měrnou ztrátovou energii
66
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
e z . Určete Re-číslo a součinitel tření l pro drsné potrubí. Určete ztrátový součinitel tření v potrubí
z t . Součinitel místní ztráty v armatuře je z .
Zadáno:
v=
l=
k=
z=
100 m
0.4 mm
6
z
l
r=
1000 kg.m -3
n = 1E-06 m2s-1
Vypočtěte:
Re = ?
l=?
hz = ?
pz = ?
ez = ?
zt = ?
v
d
d=
3 m.s-1
250 mm
Výsledky:
750 000
0.02040
m
3.743
Pa
36 718.830
-1
J.kg
36.719
8.160
Řešení:
vd
æ k 100 ö
Re =
, l = 0.1ç +
÷
n
è d Re ø
l v2
,
hz = l
d 2g
p z = rgh z ,
0.25
,
ez =
zt = l
l
d
pz
r
Příklad 11.3.2
Stanovte rychlost vody a průtok v potrubí o délkách l1 a l 2 a průměru d . Výška hladiny vody v
nádrži je h . Spočítejte relativní tlak p m naměřený na manometru před ventilem. Určete rychlostní
j a teoretickou výtokovou rychlost vt . Určete ekvivalentní délku potrubí l e pro místní
ztráty. Ztrátové součinitele na vtoku jsou
z 1 , v koleni z 2 a ve ventilu z 3 a součinitel tření je l .
Zadáno:
h=
d=
l1 =
l2 =
l=
z1 =
z 2=
z3=
r=
Vypočtěte:
v= ?
vt = ?
j=?
Qv = ?
le = ?
pm = ?
0
2m
0.05 m
1.5 m
1
0.3 m
0.0203
p0
z1
h
součinitel
d
pm
1
z3
z2
3
6
l1
1000 kg.m -3
m.s
Výsledky:
1.829
m.s-1
6.264
-1
0.29199
m3.s-1
0.00359
m
24.631
Pa
10 238.27
QV , v 1
l2
2
p0
Řešení:
Uvažujeme ustálené proudění potrubím se zadanými
parametry. Bernoulliho rovnice pro hladinu a výtokový
průřez (0-2) má po dosazení za odpory třením a místní
tvar:
67
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
p0
p
v2
ö v 2 . Z této rovnice lze vyjádřit skutečnou
æ l +l
+ 0 + gh = o +
+ 0 + ç l . 1 2 + z 1 +z 2 +z v ÷
d
2
r
r
ø 2
è
rychlost v :
2 gh
v=
l +l
æ
ö
ç1 + l 1 2 + z 1 +z 2 +z v ÷
d
è
ø
Je zřejmé, že rychlostní součinitel
2g h
1
l +l
æ
ö
ç1 + l 1 2 + z 1 +z 2 +z v ÷
d
è
ø
= vt j ,
j je dán poměrem skutečné a teoretické rychlosti
1
j=
vt = 2 gh ,
=
l +l
æ
ö
ç1 + l 1 2 + z 1 +z 2 +z v ÷
d
è
ø
=
v
vt
Dále vypočteme objemový průtok a ekvivalentní délku potrubí, na které dojde ke stejně velké ztrátě
třením, jako jsou ztráty místní
Qv =
pd 2
v,
4
l e = (z 1 +z 2 +z 3 )
d
l
Tlak p m před ventilem určíme z Bernoulliho rovnice pro průřezy 0 a 1
l ö
v2 æ
ç1 + z 1 + z 2 + l 1 ÷
2 è
dø
p m = rgh - r
Příklad 11.3.3
Určete ztrátový součinitel ventilu
z 3 , jestliže je znám průměr potrubí d , délky l1 a l 2 , výška hladiny
h , rychlost proudění v , součinitel tření l , ztrátový součinitel při výtoku z 1 a ztrátový součinitel
kolena
z 2 . Vypočtěte rychlostní součinitel j a výtok Qv . Určete ekvivalentní délku potrubí l e pro
místní ztráty.
Zadáno:
100 mm
l1
50 m
50 m
29 m
-1
3.09 m.s
0.035
z1
z2
l2
d
0.5
z3
0
Vypočtěte:
z3= ?
le = ?
vt = ?
j=?
Qv = ?
h
d=
l1 =
l2 =
h=
v=
l=
z1 =
z 2=
Výsledky:
23.091
m
67.403
-1
m.s
23.853
0.12954
3
-1
m .s
0.02427
v
68
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Příklad 11.3.4
K nádrži s hladinou ve výšce h a o tlaku p je připojeno potrubí o délce l a průměru d . Součinitel
tření v potrubí je
l a ztrátový součinitel na vtoku do potrubí je z 1 . Kapalina proudí rychlostí v .
Určete velikost ztrátového součinitele ventilu
součinitel
z , teoretickou výtokovou rychlost vt , rychlostní
j , průtok Qv .
Zadáno:
l=
500 m
=
d
0.1 m
v =
2 m.s-1
h=
5m
p = 300000 Pa
l = 0.001
z1 =
0.8
r=
1000 kg.m -3
h
r
l
Výsledky:
vt = ?
m.s-1
Qv = ?
3
-1
m .s
26.422
z1
0.01571
j=?
0.07569
z =?
167.751
d
Vypočtěte:
p
z
v
p0
Příklad 11.3.5
Stanovte přetlak v nádrži p N , při kterém vytéká voda z připojeného potrubí o délce l a průměru d
rychlostí v . Dále známe výšku hladiny h , součinitel tření
z v . Vypočtěte rychlostní součinitel j , teoretickou výtokovou rychlost v t , průtok Qv .
Zadáno:
v=
3 m.s-1
l=
d=
6m
0.02 m
zk =
0.3
l=
zv=
h=
r=
0.02
pN
zV
18
1m
1000 kg.m -3
Vypočtěte:
pN = ?
vt = ?
j=?
Qv = ?
l
l
h
ventilu
l , ztrátový součinitel v koleně z k , a
zK
r
d
Výsledky:
Pa
104 040.00
-1
m.s
0.19881
3
-1
m .s
p0
15.090
0.00094
v
69
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Příklad 11.3.6
Násoskovým potrubím o průměru d a celkové délce l = l1 + l 2 , které překonává spád h2 , proudí
voda. V nejvýše položeném průřezu
ve výšce h1 nad hladinou v horní nádrži nesmí
násosky
poklesnout tlak pod hodnotu p min . Pro zadané parametry potrubí určete objemový průtok Qv a
odpovídající ztrátový součinitel ventilu
z 2 . Stanovte ekvivalentní délku le .
Zadáno:
p min =
l=
z1 =
0.2 m
100 m
p0
60 m
4m
1
h1
d
0
6m
z1
1000 kg.m
h2
d=
l1 =
l2 =
h1 =
h2 =
r=
-3
r
3E+04 Pa(abs.tl)
0.034
z2
2
p0
Qv
5
Vypočtěte:
v= ?
-1
m.s
z 2= ?
Qv = ?
le = ?
Výsledky:
1.635
11.837
3
-1
m .s
0.051
m
99.041
Příklad 11.3.7
Dvě nádrže s rozdílem hladin h jsou spojeny potrubím o délce l a průměru d , kterým proudí voda
rychlostí v . V potrubí je umístěn ventil se ztrátovým součinitelem
součinitele na vtoku do potrubí
z 1 , dále jsou známy ztrátové
z 3 , na výtoku z potrubí z 4 a v koleně z 2 a součinitel tření l . Jaký
absolutní tlak p musí být na hladině ve spodní nádrži, aby nastalo proudění vody ze spodní nádrže
do horní. Vypočtěte průtok Qv a určete ekvivalentní délku potrubí le pro místní odpory.
d=
l=
h=
åz =
l=
r=
Vypočtěte:
p=
Qv =
le =
p0
5 m.s-1
0.3 m
10 m
7m
h
Zadáno:
v=
v
14.7
d
0.02
1000 kg.m -3
Výsledky:
360 753.33
? Pa
3
p
-1
? m .s
0.35343
?m
220.50
r
z3
z2
z1
70
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Příklad 11.3.8
Za jak dlouho se naplní nádrž o objemu V vodou z potrubí o délce l a průměru d , ve kterém je
přetlak p . Je dán součinitel tření
l a součinitele místní ztráty.
Zadáno:
0.076 m
45 m
l
4.3
p0
l = 0.027
V=
36 m3
p = 2.5E+05 Pa
Vypočtěte:
v= ?
-1
m.s
Qv = ?
t=?
m3.s-1
s
Výsledky:
4.847
l
z1
d
d=
l=
åz =
z2
p
Qv
V
0.022
1636.364
11.4. Gravitační potrubí
Potrubí spojující dvě nádrže s volnými hladinami při daném spádu h je potrubí gravitační.
Proudění je vyvoláno změnou polohové energie. Na hladinách je atmosférický tlak a nulová rychlost.
Za těchto podmínek se Bernoulliho rovnice redukuje na vztah
2
æ l
ö v
h = hz = ç l + å z ÷ ×
è d
ø 2g
Často se jedná o dlouhé potrubí, ve kterém převažují ztráty třením nad místními ztrátami.
Příklad 11.4.1
Dvě otevřené nádrže s rozdílnou výškou hladin h jsou spojeny gravitačním potrubím o délce l a
třecím součiniteli
l . Stanovte potřebný průměr potrubí d tak, aby se dosáhlo průtoku Qv . Vypočtěte
rychlost v potrubí v .
Zadáno:
Vypočtěte:
d=?
v= ?
Řešení:
450 m
17 m
h
l=
h=
Qv =
l=
p0
0.1 m3.s-1
p0
0.024
Výsledky:
m
m.s-1
0.22081
2.611
p0
p
l v2
,
+ 0 + 0 = 0 + 0 - g .h + l
r
r
d 2
d
l
v=
4 Qv
p d2
v
71
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
8 l l Qv2
l l v 2 16 l l Qv2
5
d=
=
Þd =
2 g h 2 g hp 2d 4
g hp 2
Příklad 11.4.2
Určete v gravitačním potrubí rychlost v a objemový průtok Qv vody při zadaném průměru potrubí d ,
je-li dán spád h , délka potrubí l , a absolutní drsnost k . Místní ztráty zanedbejte.
Zadáno:
Vypočtěte:
l=?
v= ?
Qv = ?
400 mm
17 m
h
d=
h=
l=
k=
p0
1
4550 m
2
0.1 mm
Výsledky:
0.0143
-1
m.s
m3.s-1
d
1.44
0.181
l
p0
Qv
Řešení:
Při řešení úlohy se vychází z Bernoulliho rovnice
h = hz = l
l v2
d 2g
Protože není známá rychlost a tedy Re číslo, hodnotu
l lze určit přibližně z Darcyho vzorce
1 ö
æ
l = 0.02ç1 +
÷
è 40 × d ø
Střední rychlost v potrubí se vypočte ze spádu h
v=
2g hd
ll
Určí se hodnota Re, znovu vypočte součinitel tření
v×d
,
n
l ¢ ze vztahu dle Altšula
0.25
æ 100 k ö
+ ÷
l ¢ = 0.1ç
è Re d ø
a porovná s původní hodnotou l . Pokud l - l ¢ ñd , kde d je určeno požadavkem konvergence,
Re =
musí se provést další přiblížení
0.25
l
v¢ × d
æ 100 k ö
+ ÷
v¢ = v ×
,
Re ¢ =
,
l ¢¢ = 0.1ç
, přitom se požaduje splnění nerovnosti
l¢
n
è Re ¢ d ø
l ¢ - l ¢ ¢ £ d . Není-li podmínka splněna, pokračuje se ve výpočtu dalším upřesněním rychlosti, Re
čísla a součinitele tření tak dlouho, až je nerovnost splněna ( např. d = 0.0001) .
11.5. Složené potrubí
Potrubí může být složené z více úseků o stejném či různém průměru. Potrubí s proměnným
průřezem je možno považovat za sériově řazené úseky jednoduchých potrubí s konstantním
průřezem. Ztráty v každém úseku se pak vyjádří pomocí odpovídající rychlosti.
72
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Příklad 11.5.1
Stanovte průtok vody potrubím o délkách l1 a l 2 a odstupňovaných průměrech d1 a d 2 .Vypočítejte
teoretickou a skutečnou rychlost výtoku vt ,a v 2 , rychlostní součinitel
j a objemový průtok Qv .
Ostatní zadané veličiny jsou uvedeny v tabulce.
Zadáno:
parametry potrubí 1:
0
h1
300 m
0.1 m
1
0.03
z1
0.8
l 1 ,l 1
0.04 m
z3
z4
z5
h2
z2
300 m
0.02
4
2
p0
0.2
2
v2
4m
Řešení:
10 m
Vypočtěte:
vt = ?
v2 = ?
j=?
Qv = ?
d1
l 2 ,l 2
0.2
parametry potrubí 2:
l2 =
d2 =
l2 =
z3=
z 4=
z5=
h1 =
h2 =
v1
d2
l1 =
d1 =
l1 =
z1 =
z 2=
p0
Výsledky:
Pro průřezy 0 a 2, které jsou součástí téže proudové
-1
16.573
trubice, platí Bernoulliho rovnice ve tvaru
-1
m.s
1.312
0.07916
m3.s-1
0.00165
m.s
p0
p
v 2
+ 0 + g (h1 + h2 ) = 0 + 2 + g h z
2
r
r
Ztrátová výška zahrnuje ztráty v potrubí 1 a 2, vyjádřené
příslušnými rychlostmi v1 a v 2 .
p0
p
v 2 æ
l ö v2 æ
l ö v2
+ 0 + g (h1 + h2 ) = 0 + 2 + çç z 1 + z 2 + l1 1 ÷÷ 1 + çç z 3 + z 4 + z 5 + l 2 2 ÷÷ 2
2 è
r
r
d1 ø 2 è
d2 ø 2
Z rovnice kontinuity lze rychlost v1 v potrubí 1 vyjádřit pomocí výtokové rychlosti v 2 :
æd
S
v1 S1 = v 2 S 2 Þ v1 = v 2 2 = v 2 çç 2
S1
è d1
ö
÷÷
ø
2
Po dosazení do Bernoulliho rovnice se získá
4
p0
p0 v 2 2 æ
l1 öæ d 2 ö v 22 æ
l 2 ö v 22
÷
+ 0 + g (h1 + h2 ) =
+
+ ç z 1 + z 2 + l1 ÷÷çç ÷÷
+ çz 3 + z 4 + z 5 + l2
r
r
2 çè
d1 øè d1 ø 2 çè
d 2 ÷ø 2
Nyní jsou všechny ztrátové součinitele vztaženy na výtokovou rychlost v 2 a dále se postupuje stejně
jako v případě jednoduchého potrubí
73
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
2 g (h1 + h2 )
v2 =
4
æ
l öæ d ö æ
l ö
çç z 1 + z 2 + l1 1 ÷÷çç 2 ÷÷ + çç1 + z 3 + z 4 + z 5 + l 2 2 ÷÷
d1 øè d1 ø è
d2 ø
è
v t = 2 g (h1 + h2 ) ,
,
p .d 2 2
v2
j=
, Qv =
.v 2
4
vt
11.6. Charakteristika potrubí
Charakteristika potrubí udává vzájemnou souvislost parametrů H a Qv , kde H je tlaková výška
a Qv objemový průtok kapaliny. Vztah pro tlakovou výšku se odvodí z Bernoulliho rovnice pro
skutečnou tekutinu
p1 v12
p 2 v 22
+
+ g h1 =
+
+ g h2 + g h z
r
r
2
2
Je-li potrubí konstantního průřezu, pak v = konst a tlaková výška
H=
2
p1 - p 2
æ l
öv
,
= (h2 - h1 ) + h z = h + ç l + å z ÷
rg
è d
ø 2g
kde h vyplývá z rozdílu potenciální energie mezi dvěma průřezy a je na průtoku nezávislé, druhý člen
pak představuje dynamickou složku tlakové výšky, která závisí na hydraulických odporech a tedy na
rychlosti. Jestliže se do vztahu dosadí místo střední rychlosti tekutiny objemový průtok Qv určený z
( )
n
rovnice kontinuity, získá se funkční závislost H = h + f Qv , kde velikost exponentu n je dána
režimem proudění v potrubí a ovlivňuje strmost charakteristiky:
·
n = 1 pro laminární proudění Þ H = h + k L Qv
·
7
n = pro turbulentní proudění v hydraulicky hladkém potrubí Þ H = h + k T Qv4
4
·
n = 2 při vyvinutém turbulentním proudění Þ H = h + k T¢ Qv2
7
konstanty
k
vyplývají z parametrů potrubí a ztrátových součinitelů třením a místních. Pokud je
( )
n
potrubí vodorovné, je h = 0 a závislost se zjednoduší na tvar H = f Qv . Často se místo závislosti
( ) uvádí vztah celkové měrné energie na průtoku Y
n
tlakové výšky na průtoku H = f Qv
sp
( )
= f Qvn ,
zejména v souvislosti s hydrodynamickým čerpadlem, přitom platí Y sp = g H .
Příklad 11.6.1
Určete charakteristiku potrubí o vnitřním průměru d a délce l , jestliže tímto potrubím protéká ropa o
dané viskozitě n . Maximální přípustná rychlost pro dopravu ropy je v max . Vyšetřete režim proudění a
vykreslete charakteristiku v celém rozsahu povolené rychlosti. Potrubí je vodorovné.
74
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Zadáno:
860 m
v
150 mm
d
l=
d=
v max =
n=
2
1
p1
2 m.s-1
p2= 0
0.000085 m2.s-1
Vypočtěte:
l
Ysp = f (QV )
Řešení:
Nejprve se vyšetří režim proudění v potrubí výpočtem Reynoldsova čísla při maximální rychlosti.
Reynoldsovo číslo pro maximální přípustnou rychlost
Re =
v max × d
n
=
2 × 0,15
8,5 ×10 -5
= 3529, 412
Re = 3529,412 ñ 2320 ….. turbulentní proudění
Přechod z laminárního do turbulentního proudění nastane při kritické rychlosti v krit :
v krit =
Re ×n 2320 × 8,5 ×10 -5
=
= 1,315 m × s -1
d
0,15
Oblast laminárního proudění je vymezena rozsahem rychlostí
0 < v £ 1,315 m.s-1.
Odporovou křivku potrubí představuje funkční závislost měrné energie na objemovém průtoku
Ysp = f (Qv ) .
Ysp = gh z = λ
2
8 l Qv2
l v2
l 16Qv
=λ
=λ
d 2
d 2π 2 d 4
d 5π 2
64
, v oblasti turbulentní (bez
Re
0,3164
. Výpočet se
uvážení drsnosti potrubí) je třecí součinitel definován vztahem dle Blasia l =
4
Re
Součinitel tření je definován pro laminární proudění vztahem
l=
provede v EXCELu a zapíše přehledně v následující tabulce:
v [ms-1]
Re
llam
l turb
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.315
1.4
1.6
1.8
2
0
352.941
705.882
1058.824
1411.765
1764.706
2117.647
2320
2470.588
2823.529
3176.471
3529.412
0.181
0.091
0.060
0.045
0.036
0.030
0.028
-
0.046
0.045
0.043
0.042
0.041
Qv [m3s-1] YSlam [J/kg] YSturb [J/kg]
0
0.004
0.007
0.011
0.014
0.018
0.021
0.023
0.025
0.028
0.032
0.035
20.793
41.587
62.380
83.174
103.967
124.760
136.751
-
225.997
252.162
318.541
391.456
470.715
75
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Závislost Y sp = f (Qv ) je možno zobrazit graficky.
Charakteristika potrubí Y s = f (Q v )
500
450
laminární proudění
400
turbulentní proudění
Y s [Jkg-1]
350
300
250
200
150
100
50
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
Q [m3s-1]
V místě
přechodu z laminárního do turbulentního proudění je graf nespojitý, což vyplývá
z následujícího odvození :
V oblasti laminárního proudění platí pro součinitel tření vztah
l=
64 64n
=
a tedy
Re vd
128n l
128 × 8,5 ×10 -5 × 860
l v 2 64n l v 2 32n l
=
= 2 v=
=
Q
Qv = 5883,18Qv
v
d 2
vd d 2
d
p d4
p × 0,15 4
= f (Qv ) je pro laminární proudění lineární.
Ysp = gh z = λ
Závislost Y sp
V oblasti turbulentního proudění je pro hydraulicky hladké potrubí třecí součinitel popsán vztahem dle
Blasia
l=
0,3164
Ysp
4
a tedy
Re
l v 2 0.3164 × ν 0.25 l v 2 0,1582 ×n 0.25 l 7 / 4
=λ
=
=
= 139,959v 7 / 4
v
0
.
25
1
.
25
d 2
d 2
d
(v d )
Po dosazení za rychlost pomocí průtoku (rovnice kontinuity)
Ysp = 139,959 × v
7/4
æ 4 ö
= 139,959 × çç
÷÷
èp ×d 2 ø
7/ 4
× Qv7 / 4 = 163408,307 × Qv7 / 4
7/4
Měrná energie Y sp v hydraulicky hladkém potrubí je úměrná Qv
V případě turbulentního proudění při Re ñ 80000 je
7/4
energie Ysp » Qv
¸ Qv2 .
V oblasti vyvinutého turbulentního proudění
.
l funkcí Re a poměrné drsnosti
( )
l nezávisí na Re a Ysp = f Qv2 .
d
a měrná
k
76
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin
Příklad 11.6.2
Určete tlakovou výšku H tak, aby potrubním systémem dle obrázku protékal objemový průtok Q v .
Potrubí tvoří tři úseky řazené sériově, předpokládá se turbulentní proudění. Charakteristiky
jednotlivých úseků jsou dány rovnicemi:
H 1 = h1 + K1 × Qv2 , H 2 = h2 + K 2 × Qv2 , H 3 = h3 + K 3 × Qv2
Potrubí je nové, ocelové a charakteristiky jednotlivých úseků
charakteristiku potrubí H = f (Qv ) .
jsou známy. Určete výslednou
Řešte početně i graficky. Geodetická výška systému je
h g = h1 + h3
Zadáno:
100 m3.hod-1
20 m
l2 , d 2
10054
27082
l1 , d1
85479
Vypočtěte:
H = f (QV
H=?
l3 , d 3
30 m
h3
0m
h1
Qv =
h1 =
h2 =
h3 =
K1 =
K2 =
K 3=
p0
Výsledky:
)
U=0 (hladina nulového potenciálu)
m
144.61
Pozn.:
Výslednou charakteristiku potrubí lze určit graficky, úseky jsou řazeny sériově, protéká jimi stejný
objemový průtok Qv , sčítají se tedy tlakové výšky pro zvolené hodnoty průtoků. Z výsledné
charakteristiky se odečte spád H odpovídající zadané hodnotě průtoku.
Download

zde