Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Kamil Postava
[email protected]
Institut fyziky, VŠB Technická univerzita Ostrava
(A 931, tel. 3104)
18. května 2010
1
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Obsah přednášky
1
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Maxwellovy rovnice
Vybrané vztahy vektorové analýzy
2
3
4
2
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetických vln
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Absorpce a disperze
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Polarizace světla
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Členění přístupů v optice
3. Elektromagnetická optika
Světlo je elektromagnetickým
vlněním
Kvantová optika
Elektromagnetická
Skalární
vlnová
Paprsková
jevy polarizace světla,
optika anizotropního
prostředí
Maxwelovy rovnice
∂D
=j
∂t
∂B
=0
rot E +
∂t
rot H −
K. Postava: Fyzika III – Optika
div B = 0
Vlnová rovnice
∇2 E −
3
div D = 0
1 ∂2E
=0
c2 ∂ t2
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Úvod – kde se setkáváme s elektromagnetickým polem
4
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Srovnání elektrického a magnetického pole
Matreriálové vztahy
Elektrické pole
Magnetické pole
Veličiny popisující pole
Elektrická intenzita E
Elektrická indukce D
D = ε E = ε0 E + P
ε = ε0 εr – permitivita prostředí
ε0 = 8, 8542 · 10−12 C2 N−1 m−2
– permitivita vákua
Vektor polarizace P
5
K. Postava: Fyzika III – Optika
Magnetická intenzita H
Magnetická indukce B
B = µ H = µ0 H + M
µ = µ0 µr – permeabilita prostředí
µ0 = 4π · 10−7 N s2 C−2
– permeabilita vákua
Vektor magnetizace M
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Elektrické pole
Magnetické pole
Pole v látce
Vektor polarizace – hustota
dipólového momentu
P
p
,
P=
∆V
Vektor magnetizace – hustota
magnetických momentů
P
m
M=
,
∆V
kde p = Q l – elektrický dipolový
moment
kde m = µ0 I S – magnetický
moment
+Q
p
−Q
6
m
l
K. Postava: Fyzika III – Optika
I
C. Elektromagnetická optika
S
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Srovnání elektrického a magnetického pole
Síla elektrického a magnetického pole
Elektrické pole
Magnetické pole
Síla elektromagnetického pole F = Fe + Fm
Coulombův zákon
Lorentzova síla
Fe = q E
Fm = q v × B
Objemová hustota energie
we =
7
1
ED
2
K. Postava: Fyzika III – Optika
w = we + wm
wm =
C. Elektromagnetická optika
1
BH
2
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Srovnání elektrického a magnetického pole
Elektrické pole
Magnetické pole
Elektrické pole generované
bodovým nábojem:
Magnetické pole generované
vodičem s proudem:
Coulombův zákon
Z
ρ dV
1
r
E=
4πε
r3
Biot – Savartův zákon
Z
I dl × r
µ0
B=
4π
r3
B
E
r
r
dV
dl
dQ
I
8
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Srovnání elektrického a magnetického pole
Elektrické pole
Magnetické pole
Tok vektoru E uzavřenou
plochou
Cirkulace vektoru B podel
uzavřené křivky
Gaussova věta
ZZ
Q
E · dS =
ε0
S
Amperův zákon
I
B · dl = µ0 I
E
l
B
dl
dS
I
ΣQ
S
9
K. Postava: Fyzika III – Optika
l
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Maxwellovy rovnice
Soustava rovnic popisující vlastnosti elektromagnetického pole.
Gaussův zákon elektrostatiky
Neexistence izolovaných magnetických nábojů
Ampérův zákon celkového proudu (v vcetně Maxwellova
zobecnění na nestacionární elektromagnetická pole)
Faradayův zákon elektromagnetické indukce
Rovnice jsou doplněny materiálovými vztahy, které charakterizují
elektrické a magnetické vlastnosti prostředí.
10
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Gaussův zákon elektrostatiky
Tok vektoru elektrické indukce D uzavřenou plochou je roven
součtu nábojů v objemu, který plocha uzavírá.
ZZ
D · dS = Q =
S
ZZZ
ρ dV
V
Elektrostatické pole je zřídlové – zřídla jsou náboje.
11
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Neexistence izolovaných magnetických nábojů
Magnetický indukční tok (tok vektoru magnetické indukce B)
uzavřenou plochou je roven 0.
ZZ
B · dS = 0
S
Magnetické pole je nezřídlové – neobsahuje izolované magnetické
náboje.
12
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Ampérův zákon celkového proudu
Cirkulace vektoru magnetické intenzity H po uzavřené křivce je
rovna celkovému proudu, který proteče plochou, kterou křivka
obepíná.
ZZ
I
j · dS
H · dl = I =
l
S
Maxwellovo zobecnění na nestacionární elektromagnetická pole:
j → j+
∂D
,
∂t
|{z}
jd – hustota posuvných proudů
jd
13
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Faradayův zákon elektromagnetické indukce
Časová změna magnetického indukčního toku závitem vyvolá vznik
indukovaného napětí.
dΦ
Ui = −
dt
I
l
14
E · dl = −
K. Postava: Fyzika III – Optika
∂
∂t
ZZ
S
B · dS .
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru
Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru
ZZ
D · dS =
S
ZZZ
∂
E · dl = −
∂t
l
ZZ
S
B · dS
Faradayův zákon
elektromagnetické indukce
15
B · dS = 0.
V
Gaussův zákon elektrostatiky
I
ZZ
ρ dV
K. Postava: Fyzika III – Optika
S
nezřídlovost magnetického pole
I
l
H · dl =
ZZ S
j+
∂D
∂t
· dS
Ampérův zákon celkového proudu
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Maxwellovy rovnice – materiálové vztahy
Materiálové vztahy
D = εE
ε = ε0 εr – elektrická permitivita prostředí
B = µH
µ = µ0 µr – magnetická permeabilita prostředí
j = σ E – Ohmův zákon
σ – měrná vodivost prostředí
Odvození Ohmova vztahu pro element vodiče:
1 dl
dl
dI = dU
R , kde dI = j dS, dU = E dl, R = ρ dS = σ dS .
16
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Vektorová analýza
Totální diferenciál skalární funkce f (x, y, z):
df ≡
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
Vektorový operátor nabla:
∂
∂
∂
+ ~
+ ~k
∂x
∂y
∂z
∂f
∂f ~ ∂f
grad f = ∇f = ~ı
+ ~
+k
∂x
∂y
∂z
∇ = ~ı
Operátor gradientu:
Operátor divergence:
∂Ax ∂Ay
∂Az
div A = ∇ · A =
+
+
∂x
∂y
∂z
věta Gaussova-Ostrogradského:
ZZ
ZZZ
div A dV = A dS
V
17
K. Postava: Fyzika III – Optika
S
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Vektorová analýza
Operátor rotace:
věta Stokesova:
ZZ
~k ~ı
~
∂
∂
∂ rot A = ∇ × A = ∂x ∂y
∂z A A A x
y
z
rot A dS =
S
Laplaceův operátor:
∆f = ∇ · ∇f = div grad f =
A dl
l
∂2f
∂2f
∂2f
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
div grad f = ∆f
~ = grad div A
~ − ∆A
~
rot rot A
18
I
K. Postava: Fyzika III – Optika
~=0
div rot A
rot grad f = 0
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru
Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru
div D = ρ
Gaussův zákon
elektrostatiky
rot E +
∂B
=0
∂t
Faradayův zákon
elektromagnetické
indukce
19
K. Postava: Fyzika III – Optika
div B = 0.
nezřídlovost
magnetického pole
rot H −
∂D
=j
∂t
Ampérův zákon
celkového proudu
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic
Odvození hraničních podmínek Maxwellových rovnic
předpokládáme spojitý přechod z prostředí o parametrech ε1 ,
µ1 , σ1 a ε2 , µ2 , σ2
spojitý přechod je realizován tenkou nehomogenní vrsvou o
tloušt’ce h
limitním přechodem h → 0 vzniká hranice se skokovou
změnou materiálových parametrů
1
ε1
µ1
σ1
1
ε1
µ1
σ1
h
20
2
ε2
µ2
σ2
2
ε2
µ2
σ2
K. Postava: Fyzika III – Optika
0
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic – odvození
Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru
ZZ
−→
(B1n − B2n ) dS = 0,
B · dS = 0.
S
ZZ
D · dS = Q
S
−→
(D1n − D2n ) dS = dQ,
dQ jsou náboje uvnitř objemu lim (dQ/dS) = σ, kde σ je
h→0
povrchové náboje
dS
h
B1n = B2n
D1n − D2n = σ
−dS
21
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic – odvození
Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru
I
ZZ
∂
E · dl = −
B · dS
−→
∂t
l
S
I
l
H · dl = I +
∂
∂t
ZZ
S
D · dS
(E1t − E2t ) dl = 0,
−→
(H1t − H2t ) dl = dI,
dI je proud uvnitř tekoucí obdelníkem lim (dI/dl) = J, kde J je
délková hustota povrchového proudu
h→0
dl
h
−dl
22
K. Postava: Fyzika III – Optika
E1t = E2t
H1t − H2t = J
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic
n · (B1n − B2n ) = 0
n · (D1n − D2n ) = σ
E
n × (E1t − E2t ) = 0
n × (H1t − H2t ) = J
B
D
H
without surface
charges
without surface
current
Příklady využití hraničních podmínek pro elektromagnetické vlny
rovinná rozhraní – jevy na rozhraních, Fresnelovy vztahy, odraz a průchod
vrstvou a multivrstvami
hraniční podmínky ve válcových souřadnicích – šíření elmag. vln v
optických vláknech a vláknových vlnovodech
hraniční podmínky v kulových souřadnicích – rozptyl na kulových
částicích – Mie rozptyl
23
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Energie elektromagnetického pole
rot E + ∂B
∂t = 0 | · H
∂D
rot H − ∂t = j | · E
E
)
rovnice odečteme
∂D
∂B
+H
+ H · rot E − E · rot H = −jE
∂t
∂t
Zákon zachování elektromagnetické energie
∂w
+ div S = −jE,
∂t
1
w = (ED + HB) – objemová hustota energie
2
elektromagnetického pole,
S = E × H – Poyntingův vektor – vektor proudové hustoty
energie.
24
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Energie elektromagnetického pole
rot E + ∂B
∂t = 0 | · H
∂D
rot H − ∂t = j | · E
E
)
rovnice odečteme
∂D
∂B
+H
+ H · rot E − E · rot H = −jE
∂t
∂t
Zákon zachování elektromagnetické energie
∂w
+ div S = −jE,
∂t
1
w = (ED + HB) – objemová hustota energie
2
elektromagnetického pole,
S = E × H – Poyntingův vektor – vektor proudové hustoty
energie.
24
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Energie elektromagnetického pole
rot E + ∂B
∂t = 0 | · H
∂D
rot H − ∂t = j | · E
E
)
rovnice odečteme
∂D
∂B
+H
+ H · rot E − E · rot H = −jE
∂t
∂t
Zákon zachování elektromagnetické energie
∂w
+ div S = −jE,
∂t
1
w = (ED + HB) – objemová hustota energie
2
elektromagnetického pole,
S = E × H – Poyntingův vektor – vektor proudové hustoty
energie.
24
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Zákon zachování elektromagnetické energie
∂w
+ div S = −jE,
∂t
Zákon zachování elektromagnetické energie v integrálním tvaru:
ZZZ
ZZ
ZZZ
∂
jE dV
w dV = S · dS +
−
∂t
V
S
V
úbytek elektromagnetické
energie z objemu V
za jednotku času
je dán
množstvím elmag. energie,
která proteče přes plochu S
ohraničující objem V
za jednotku času a
Jouleovým teplem
vytvořeným v objemu V
za jednotku času.
Intenzita elektromagnetického pole
– plošná hustota výkonu [W m−2 ]
I =|<S>|=|<E×H>|
25
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Zákon zachování elektromagnetické energie
∂w
+ div S = −jE,
∂t
Zákon zachování elektromagnetické energie v integrálním tvaru:
ZZZ
ZZ
ZZZ
∂
jE dV
w dV = S · dS +
−
∂t
V
S
V
úbytek elektromagnetické
energie z objemu V
za jednotku času
je dán
množstvím elmag. energie,
která proteče přes plochu S
ohraničující objem V
za jednotku času a
Jouleovým teplem
vytvořeným v objemu V
za jednotku času.
Intenzita elektromagnetického pole
– plošná hustota výkonu [W m−2 ]
I =|<S>|=|<E×H>|
25
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Zákon zachování elektromagnetické energie
∂w
+ div S = −jE,
∂t
Zákon zachování elektromagnetické energie v integrálním tvaru:
ZZZ
ZZ
ZZZ
∂
jE dV
w dV = S · dS +
−
∂t
V
S
V
úbytek elektromagnetické
energie z objemu V
za jednotku času
je dán
množstvím elmag. energie,
která proteče přes plochu S
ohraničující objem V
za jednotku času a
Jouleovým teplem
vytvořeným v objemu V
za jednotku času.
Intenzita elektromagnetického pole
– plošná hustota výkonu [W m−2 ]
I =|<S>|=|<E×H>|
25
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Elektromagnetické vlny – omezení ρ, µ
prostředí neobsahuje volné náboje: ρ = 0 (efekty volných
nabojů jsou započteny do permitivity prostředí)
pro optické frekvence prostředí není magneticky aktivní
µ = µ0 , µr = 1
magnetické momenty nestačí reagovat na vysoké optické
frekvence
magnetický moment atomu ≪ elektrický moment atomu
neplatí pro nanostrukturované materiály – metamateriály –
µ 6= 1
26
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Metamateriály
Metamateriály – umělé strukturované materiály, se zvláštními
elektromagnetickými vlastnostmi, které nemají přírodní materiály.
27
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Metamateriály – negativní lom
Kombinací záporné permeability a permitivity je možné dosahnout
záporného indexu momu n < 0
Příklady potenciálního použití
negativní lom
ideální zobrazení
neviditelnost (cloaking), transformační optika
28
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Dělení materiálových prostředí
Absorbující – neabsorbující prostředí
nevodivé: σ = 0,
j = σE = 0
– neabsorbující, bezeztrátové – dielektrikum
vodivé: σ 6= 0
– absorbující, ztrátové – kovy
Disperzní – nedisperzní prostředí
nedisperzní: ε 6= ε(ω, λ),
σ 6= σ(ω, λ)
– okamžitá odezva prostředí
disperzní: ε = ε(ω, λ),
σ = σ(ω, λ)
P(r, t) = ε0
Z
χ(r, r′ , t, t′ ) E(r′ , t′ ) dr′ dt′ ,
kde χ je elektrická susceptibilita, εr = 1 + χ.
29
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Dělení materiálových prostředí
Absorbující – neabsorbující prostředí
nevodivé: σ = 0,
j = σE = 0
– neabsorbující, bezeztrátové – dielektrikum
vodivé: σ 6= 0
– absorbující, ztrátové – kovy
Disperzní – nedisperzní prostředí
nedisperzní: ε 6= ε(ω, λ),
σ 6= σ(ω, λ)
– okamžitá odezva prostředí
disperzní: ε = ε(ω, λ),
σ = σ(ω, λ)
P(r, t) = ε0
Z
χ(r, r′ , t, t′ ) E(r′ , t′ ) dr′ dt′ ,
kde χ je elektrická susceptibilita, εr = 1 + χ.
29
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Dělení materiálových prostředí
Homogenní – nehomogenní prostředí
homogenní: ε 6= ε(r), σ 6= σ(r), µ 6= µ(r)
– v paprskové aproximaci se světlo šíří přímočaře
nehomogenní: ε = ε(r), σ = σ(r), µ = µ(r)
– optika nehomogenního prostředí, gradientního indexu lomu
(GRID)
Nehomogenní prostředí – refrakce v atmosféře, GRID čočky,
gradientní optická vlákna
30
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Dělení materiálových prostředí
Izotropní – anizotropní prostředí
izotropní: ε, σ, µ jsou skaláry – nezávislé na směru E, H
– vektory E, D jsou rovnoběžné
anizotropní: εˆ, σ
ˆ, µ
ˆ jsou tenzory
– optika anizotropního prostředí, krystalová optika
Vzájemná vazba mezi elektrickým a magnetickým polem:
biizotropní: D = ε E + ξ H, B = ζ E + µ H
– chiralní prostředí (ξ, ζ – imaginární)
bianizotropní: D = εˆ E + ξˆ H, B = ζˆ E + µ
ˆH
31
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Dělení materiálových prostředí
Izotropní – anizotropní prostředí
izotropní: ε, σ, µ jsou skaláry – nezávislé na směru E, H
– vektory E, D jsou rovnoběžné
anizotropní: εˆ, σ
ˆ, µ
ˆ jsou tenzory
– optika anizotropního prostředí, krystalová optika
Vzájemná vazba mezi elektrickým a magnetickým polem:
biizotropní: D = ε E + ξ H, B = ζ E + µ H
– chiralní prostředí (ξ, ζ – imaginární)
bianizotropní: D = εˆ E + ξˆ H, B = ζˆ E + µ
ˆH
31
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Dělení materiálových prostředí
Lineární – nelineární prostředí
lineární: polarizace prostředí P je lineární funkcí elektrického
pole E:
P = ε0 χe E, kde χe je elektrická susceptibilita.
D = ε0 εr E = ε E, kde εr 6= εr (E)
nelineární: P je nelineární funkcí elektrického pole E:
2
(3) 3
P = ε0 χe E + PNL = ε0 (χe E + χ(2)
e E + χe E + · · · ),
kde PNL je nelineární polarizace
– nelineární optika
generace druhé harmonické, parametrické zesílení
Ramanův rozptyl
samofokusace v Kerrově prostředí, optické solitony
optická bistabilita
32
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Odvození vlnové rovnice pro elektromagnetické vlny
Uvažujme nevodivé σ = 0, j = 0, homohenní εr 6= εr (r), izotropní,
lineární εr 6= εr (E) prostředí bez volných nábojů ρ = 0.
Maxwellovy rovnice se pak s využitím materiálových vztahů
redukují:
div H = 0.
div E = 0
∂E
∂H
rot H = ε
∂t
∂t
Z rovnic obsahujících rotace vyloučíme H tak, že aplikujeme
operátor rot :
rot E = −µ
∂2E
rot rot E = grad div E −∆ E = −ε µ
| {z }
∂ t2
=0
33
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Vlnová rovnice pro elektromagnetické vlny
Vlnová rovnice
∆E −
1 ∂2E
= 0,
v 2 ∂ t2
1
v=√
εµ
Rovnice popisuje šíření elektromagnetických vln rychlostí v.
Ve vákuu je rychlost šíření vln:
1
= 2, 998 · 108 m s−1 ,
c= √
ε0 µ0
což je rychlost světla → světlo je elektromagnetické vlnění.
Index lomu (Maxwellův vztah):
√
c √
n = = εr µr ≈ εr
v
34
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Vlnová rovnice pro elektromagnetické vlny
Vlnová rovnice
∆E −
1 ∂2E
= 0,
v 2 ∂ t2
1
v=√
εµ
Rovnice popisuje šíření elektromagnetických vln rychlostí v.
Ve vákuu je rychlost šíření vln:
1
= 2, 998 · 108 m s−1 ,
c= √
ε0 µ0
což je rychlost světla → světlo je elektromagnetické vlnění.
Index lomu (Maxwellův vztah):
√
c √
n = = εr µr ≈ εr
v
34
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Elektromagnetické vlny
35
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Monochromatické vlny
Monochromatické vlny
Uvažujme řešení vlnové rovnice ve tvaru monochromatické vlny o
frekvenci ω:
E(r, t) = ℜ Eω (r) ei ω t ,
H(r, t) = ℜ Hω (r) ei ω t ,
kde ℜ je reálná část a Eω , Hω jsou komplexní amplitudy.
Pak
36
∂
∂t
→ i ω a Maxwellovy rovnice přecházeji na tvar:
rot Hω = i ω ε Eω
rot Eω = −i ω µ Hω
div Eω = 0
div Hω = 0.
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Monochromatické vlny
Monochromatické vlny
Uvažujme řešení vlnové rovnice ve tvaru monochromatické vlny o
frekvenci ω:
E(r, t) = ℜ Eω (r) ei ω t ,
H(r, t) = ℜ Hω (r) ei ω t ,
kde ℜ je reálná část a Eω , Hω jsou komplexní amplitudy.
Pak
36
∂
∂t
→ i ω a Maxwellovy rovnice přecházeji na tvar:
rot Hω = i ω ε Eω
rot Eω = −i ω µ Hω
div Eω = 0
div Hω = 0.
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Monochromatické vlny
Helmholtzova rovnice – vlnové rovnice pro monochromatické vlny
∆ Eω + k2 Eω = 0,
ω
√
ω
kde k = = ω ε µ = n = n k0 je vlnové číslo.
v
c
k0 – vlnové číslo ve vákuu.
Řešení Helmholtzovy rovnice:
rovinné vlny
Gaussův svazek, Gauss-Hermitovy svazky
stojaté vlny v rezonátoru
vlny v optickém vlákně
difrakční úlohy (Fresnelova a Fraunhofferova difrakce)
37
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Monochromatické vlny
Helmholtzova rovnice – vlnové rovnice pro monochromatické vlny
∆ Eω + k2 Eω = 0,
ω
√
ω
kde k = = ω ε µ = n = n k0 je vlnové číslo.
v
c
k0 – vlnové číslo ve vákuu.
Řešení Helmholtzovy rovnice:
rovinné vlny
Gaussův svazek, Gauss-Hermitovy svazky
stojaté vlny v rezonátoru
vlny v optickém vlákně
difrakční úlohy (Fresnelova a Fraunhofferova difrakce)
37
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Energie monochromatické vlny
Intenzita:
I = | < S > |,
kde Poyntingův vektor je dán: S = E × H
S = ℜ Eω ei ω t × ℜ Hω ei ω t =
1
=
Eω × H∗ω + E∗ω × Hω + Eω × Hω ei 2ω t + E∗ω × H∗ω e−i 2ω t .
4
< S >=
1
(Eω × H∗ω + E∗ω × Hω ) .
4
Energie monochromatické vlny
< S >= ℜ(Sω ),
Sω =
1
Eω × H∗ω
2
kde Sω je komplexní Poyntingův vektor.
38
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Energie monochromatické vlny
Intenzita:
I = | < S > |,
kde Poyntingův vektor je dán: S = E × H
S = ℜ Eω ei ω t × ℜ Hω ei ω t =
1
=
Eω × H∗ω + E∗ω × Hω + Eω × Hω ei 2ω t + E∗ω × H∗ω e−i 2ω t .
4
< S >=
1
(Eω × H∗ω + E∗ω × Hω ) .
4
Energie monochromatické vlny
< S >= ℜ(Sω ),
Sω =
1
Eω × H∗ω
2
kde Sω je komplexní Poyntingův vektor.
38
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Energie monochromatické vlny
Intenzita:
I = | < S > |,
kde Poyntingův vektor je dán: S = E × H
S = ℜ Eω ei ω t × ℜ Hω ei ω t =
1
=
Eω × H∗ω + E∗ω × Hω + Eω × Hω ei 2ω t + E∗ω × H∗ω e−i 2ω t .
4
< S >=
1
(Eω × H∗ω + E∗ω × Hω ) .
4
Energie monochromatické vlny
< S >= ℜ(Sω ),
Sω =
1
Eω × H∗ω
2
kde Sω je komplexní Poyntingův vektor.
38
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Energie monochromatické vlny
Intenzita:
I = | < S > |,
kde Poyntingův vektor je dán: S = E × H
S = ℜ Eω ei ω t × ℜ Hω ei ω t =
1
=
Eω × H∗ω + E∗ω × Hω + Eω × Hω ei 2ω t + E∗ω × H∗ω e−i 2ω t .
4
< S >=
1
(Eω × H∗ω + E∗ω × Hω ) .
4
Energie monochromatické vlny
< S >= ℜ(Sω ),
Sω =
1
Eω × H∗ω
2
kde Sω je komplexní Poyntingův vektor.
38
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Řešení Helmholtzovy rovnice – rovinné vlny
∆ Eω + k2 Eω = 0,
Předpokládejme separovatelné řešení Eω (r) = Ex (x) Ey (y) Ez (z),
pak se Helmholtzova rovnice rozpadne do tří lineárních
diferenciálních rovnic:
dEx
+ kx2 Ex = 0,
dx
kde kx2 + ky2 + kz2 = k2 . Řešení rovnic je ve tvaru Ex = Ax e−i kx x .
Celkové řešení:
Eω (r) = E0 e−i (kx x+ky y+kz z) = E0 e−i k r .
39
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Řešení Helmholtzovy rovnice – rovinné vlny
∆ Eω + k2 Eω = 0,
Předpokládejme separovatelné řešení Eω (r) = Ex (x) Ey (y) Ez (z),
pak se Helmholtzova rovnice rozpadne do tří lineárních
diferenciálních rovnic:
dEx
+ kx2 Ex = 0,
dx
kde kx2 + ky2 + kz2 = k2 . Řešení rovnic je ve tvaru Ex = Ax e−i kx x .
Celkové řešení:
Eω (r) = E0 e−i (kx x+ky y+kz z) = E0 e−i k r .
39
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Řešení Helmholtzovy rovnice – rovinné vlny
∆ Eω + k2 Eω = 0,
Předpokládejme separovatelné řešení Eω (r) = Ex (x) Ey (y) Ez (z),
pak se Helmholtzova rovnice rozpadne do tří lineárních
diferenciálních rovnic:
dEx
+ kx2 Ex = 0,
dx
kde kx2 + ky2 + kz2 = k2 . Řešení rovnic je ve tvaru Ex = Ax e−i kx x .
Celkové řešení:
Eω (r) = E0 e−i (kx x+ky y+kz z) = E0 e−i k r .
39
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Řešení Helmholtzovy rovnice – rovinné vlny
Rovinné vlny
Eω (r) = E0 e−i k r ,
kde E0 je komplexní obálka vlny a k je vlnový vektor.
Vlnoplochy konstantní fáze jsou roviny kolmé na směr vlnového
vektoru k.
Operátor nabla přechází:
∂
∂
∂
+ j ∂y
+ k ∂z
→ −i k .
∇ = i ∂x
Mawellovy rovnice jsou ve tvaru:
E0 = −
1
k × H0
ωε
k E0 = 0
40
K. Postava: Fyzika III – Optika
H0 =
1
k × E0
ωµ
k H0 = 0.
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Řešení Helmholtzovy rovnice – rovinné vlny
Rovinné vlny
Eω (r) = E0 e−i k r ,
kde E0 je komplexní obálka vlny a k je vlnový vektor.
Vlnoplochy konstantní fáze jsou roviny kolmé na směr vlnového
vektoru k.
Operátor nabla přechází:
∂
∂
∂
+ j ∂y
+ k ∂z
→ −i k .
∇ = i ∂x
Mawellovy rovnice jsou ve tvaru:
E0 = −
1
k × H0
ωε
k E0 = 0
40
K. Postava: Fyzika III – Optika
H0 =
1
k × E0
ωµ
k H0 = 0.
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Maxwellovy rovnice
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic
Typy materiálového prostředí
Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny
Rovinné vlny
Pro rovinné vlny v izotropním
prostředí platí
E0 , H0 ⊥ k,
E 0 ⊥ H0 .
Intenzita rovinné monochromatické vlny:
Sω =
41
1
E0 H0∗ ,
2
q
= µε =
I = |ℜ(Sω )| =
1
|E0 |2
|E0 H0 | =
,
2
2η
η0
E0
kde η = H
n je impedance prostředí a
q 0
η0 = µε00 je impedance vakua.
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Odvození vlnové rovnice ve vodivém prostředí
Uvažujme nyní vodivé σ 6= 0, j 6= 0, bez volných nábojů ρ = 0.
Maxwellovy rovnice se pak s využitím materiálových vztahů
redukují:
div E = 0
div H = 0.
∂H
∂E
=0
rot H − ε
= j = σE
∂t
∂t
Z rovnic obsahujících rotace vyloučíme H tak, že aplikujeme
operátor rot a ∂∂t :
rot E + µ
∂2E
∂E
− µσ
.
rot rot E = grad div E −∆ E = −ε µ
2
| {z }
∂t
∂t
=0
42
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Odvození vlnové rovnice ve vodivém prostředí
Uvažujme nyní vodivé σ 6= 0, j 6= 0, bez volných nábojů ρ = 0.
Maxwellovy rovnice se pak s využitím materiálových vztahů
redukují:
div E = 0
div H = 0.
∂H
∂E
=0
rot H − ε
= j = σE
∂t
∂t
Z rovnic obsahujících rotace vyloučíme H tak, že aplikujeme
operátor rot a ∂∂t :
rot E + µ
∂2E
∂E
− µσ
.
rot rot E = grad div E −∆ E = −ε µ
2
| {z }
∂t
∂t
=0
42
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Vlnová rovnice ve vodivém prostředí
Vlnová rovnice ve vodivém prostředí
∂E
∂2E
= 0.
− µσ
∂ t2
∂t
∂
Pro monochromatické vlny ∂t
→ i ω vlnová přechází ve
ztrátovém prostředí:
∆E − εµ
Helmholtzova rovnice ve vodivém prostředí
∆ Eω + kˆ2 Eω = 0,
kde kˆ = ω
43
q
√
ε − i ωσ µ = ω εˆ µ je komplexní vlnové číslo.
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Vlnová rovnice ve vodivém prostředí
Vlnová rovnice ve vodivém prostředí
∂E
∂2E
= 0.
− µσ
∂ t2
∂t
∂
→ i ω vlnová přechází ve
Pro monochromatické vlny ∂t
ztrátovém prostředí:
∆E − εµ
Helmholtzova rovnice ve vodivém prostředí
∆ Eω + kˆ2 Eω = 0,
kde kˆ = ω
43
q
√
ε − i ωσ µ = ω εˆ µ je komplexní vlnové číslo.
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Vodivé prostředí
Maxwellovy rovnice pro komplexní amplitudy monochromatické
vlny ve vodivém prostředí:
rot Hω −i ω ε Eω = σEω
rot Eω + i ω µ Hω = 0
div Eω = 0
div Hω = 0.
σ
Jestliže zavedeme komplexní permitivitu εˆ = ε − i jsou rovnice
ω
ve stejném tvaru, jako pro nevodivé prostředí.
44
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Komplexní permitivita ve vodivém prostředí
Pro rovinné monochromatické vlny vodivost prostředí odpovídá
komplexnímu vlnovému číslu
r
p
σ
ω
ˆ
ε−i
ˆ =n
µ = ω εˆ µ = n
ˆ k0
k=ω
ω
c
a následně komplexní permitivitě εˆ a komplexnímu indexu lomu n
ˆ:
Komplexní permitivita a komplexní index lomu vodivého prostředí
σ
σ
Komplexní permitivita εˆ = ε − i = ε0 εr − i
= ε0 εˆr .
ω
ε0 ω
r
p
σ
.
Komplexní index lomu n
ˆ = εˆr = εr − i
ε0 ω
45
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Komplexní permitivita ve vodivém prostředí
Pro rovinné monochromatické vlny vodivost prostředí odpovídá
komplexnímu vlnovému číslu
r
p
σ
ω
ˆ
ε−i
ˆ =n
µ = ω εˆ µ = n
ˆ k0
k=ω
ω
c
a následně komplexní permitivitě εˆ a komplexnímu indexu lomu n
ˆ:
Komplexní permitivita a komplexní index lomu vodivého prostředí
σ
σ
Komplexní permitivita εˆ = ε − i = ε0 εr − i
= ε0 εˆr .
ω
ε0 ω
r
p
σ
.
Komplexní index lomu n
ˆ = εˆr = εr − i
ε0 ω
45
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Rovinné vlny ve vodivém prostředí
Rovinná vlna šířící se ve směru osy z ve vodivém prostředí má
komplexní amplitudu
ˆ
Eω = E0 e−i k z = E0 e−i nˆ k0 z = E0 e−i k0 ℜ(ˆn) z e−k0 ℑ(ˆn) z .
Beer-Lambertův zákon – intenzita rovinné vlny ve vodivém
prostředí
I(z) = I0 e−2k0 ℑ(ˆn) z = I0 e−α z ,
exponenciálně klesá se vzdáleností z.
α = 2k0 ℑ(ˆ
n) je absorpční (extinkční, útlumový) koeficient.
Beer-Lambertův zákon nezapočítává jevy na rozhraních
prostředí a interferenční jevy v tenkých vrstvách
46
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Rovinné vlny ve vodivém prostředí
Rovinná vlna šířící se ve směru osy z ve vodivém prostředí má
komplexní amplitudu
ˆ
Eω = E0 e−i k z = E0 e−i nˆ k0 z = E0 e−i k0 ℜ(ˆn) z e−k0 ℑ(ˆn) z .
Beer-Lambertův zákon – intenzita rovinné vlny ve vodivém
prostředí
I(z) = I0 e−2k0 ℑ(ˆn) z = I0 e−α z ,
exponenciálně klesá se vzdáleností z.
α = 2k0 ℑ(ˆ
n) je absorpční (extinkční, útlumový) koeficient.
Beer-Lambertův zákon nezapočítává jevy na rozhraních
prostředí a interferenční jevy v tenkých vrstvách
46
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Ztrátové prostředí
Charakteristická penetrační hloubka W – definována jako
tloušt’ka materiálu, na níž je vlna utlumena na hodnotu 1/e,
tedy 36.8 %.
1
W = .
α
Imaginární část indexu lomu ℑ(ˆ
n) nebo permitivity
ℑ(ˆ
ε) = 2ℜ(ˆ
n)ℑ(ˆ
n) odpovídá ztrátovosti prostředí.
ˆ odpovídá absorpci
Imaginární část vlnového vektoru ℑ(k)
elektromagnetické vlny.
47
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Ztrátové – ziskové prostředí
V konvenci monochromatické vlny ei ω t
ℑ(ˆ
n) < 0, ℑ(ˆ
ε) < 0 – absorbující, ztrátové prostředí
Elektromagnetická energie je absorbována elektrony a
převáděna na teplo, nebo na vibrační, rotační rezonance,
fonony, excitony, atd.
ℑ(ˆ
n) = 0, ℑ(ˆ
ε) = 0 – neabsorbující, bezeztrátové prostředí
ℑ(ˆ
n) > 0, ℑ(ˆ
ε) > 0 – zesilující, ziskové prostředí
Např. lasery, nebo luminiscenční zdroje, elektromagnetická
energie je generována (zesilována) stimulovanou, nebo
spontanní emisí.
Pozn.: V konvenci e−i ω t platí opačná znaménka pro absorbující, zesilující
prostředí.
48
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Disperze materiálů
Závislost indexu lomu na vlnové délce (frekvenci)
49
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Disperze materiálů
Uvažujme lineární prostředí, jehož odezva na elektrické pole
není okamžitá. Vektor polarizace je dán konvolucí
Z ∞
χ(t − τ ) E(τ ) dτ,
P(t) = ε0
−∞
kde χ(t) je elektrická susceptibilita, εr = 1 + χ
přechod k Fourierovým obrazům
(od časových k frekvenčním
R
závislostem), např. E(ω) = E(t) exp(iω t) dt:
P(ω) = ε0 χ(ω) E(ω).
princip kauzality – důsledek nemůže předcházet příčinu.
Pro τ > t je χ(t − τ ) = 0.
50
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Disperze materiálů
Uvažujme lineární prostředí, jehož odezva na elektrické pole
není okamžitá. Vektor polarizace je dán konvolucí
Z ∞
χ(t − τ ) E(τ ) dτ,
P(t) = ε0
−∞
kde χ(t) je elektrická susceptibilita, εr = 1 + χ
přechod k Fourierovým obrazům
(od časových k frekvenčním
R
závislostem), např. E(ω) = E(t) exp(iω t) dt:
P(ω) = ε0 χ(ω) E(ω).
princip kauzality – důsledek nemůže předcházet příčinu.
Pro τ > t je χ(t − τ ) = 0.
50
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Disperze materiálů
Uvažujme lineární prostředí, jehož odezva na elektrické pole
není okamžitá. Vektor polarizace je dán konvolucí
Z ∞
χ(t − τ ) E(τ ) dτ,
P(t) = ε0
−∞
kde χ(t) je elektrická susceptibilita, εr = 1 + χ
přechod k Fourierovým obrazům
(od časových k frekvenčním
R
závislostem), např. E(ω) = E(t) exp(iω t) dt:
P(ω) = ε0 χ(ω) E(ω).
princip kauzality – důsledek nemůže předcházet příčinu.
Pro τ > t je χ(t − τ ) = 0.
50
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Vztah mezi absorpcí a disperzí
Absorpce a disperze je svázána Kramers-Kronigovymi disperzními
relacemi
Vyjadřují vztah mezi reálnou a imaginární částí odezvové
funkce prostředí χ(ω) = χ′ (ω) + iχ′′ (ω).
Jsou základními vztahy v optické spektroskopii. Využívají se k
analýze experimentálních spektroskopických dat.
Jsou přímým důsledkem principu kauzality
51
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Využití teorie funkce komplexně promněnné
Je-li h(z) – funkce komplexní proměnné z = x + iy, která je holomorfní
(analytická)
funkce (v každém bodě má derivaci), pak platí Cauchyova
I
h(z ′ ) dz ′ = 0.
věta:
C
Uvažujme integrál:
I
f (z ′ )
dz ′ = 0
′−z
z
C
C
kde křivka C obsahuje reálnou osu,
obklopuje pól z = x a uzavírá se v
∞ horní poloroviny (uvnitř křivky
nejsou póly)
Z
52
x−δ
−∞
f (x′ )
dx′ +
x′ − x
Z
∞
x+δ
f (x′ )
dx′ +
x′ − x
K. Postava: Fyzika III – Optika
8
y=Im(z)
Cδ
x
Z
Cδ
f (z ′ )
dz ′ +
z′ − z
Z
C∞
C. Elektromagnetická optika
x=Re(z)
f (z ′ )
dz ′ = 0
z′ − z
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Využití teorie funkce komplexně promněnné
Je-li h(z) – funkce komplexní proměnné z = x + iy, která je holomorfní
(analytická)
funkce (v každém bodě má derivaci), pak platí Cauchyova
I
h(z ′ ) dz ′ = 0.
věta:
C
Uvažujme integrál:
I
f (z ′ )
dz ′ = 0
′−z
z
C
C
kde křivka C obsahuje reálnou osu,
obklopuje pól z = x a uzavírá se v
∞ horní poloroviny (uvnitř křivky
nejsou póly)
Z
52
x−δ
−∞
f (x′ )
dx′ +
x′ − x
Z
∞
x+δ
f (x′ )
dx′ +
x′ − x
K. Postava: Fyzika III – Optika
8
y=Im(z)
Cδ
x
Z
Cδ
f (z ′ )
dz ′ +
z′ − z
Z
C∞
C. Elektromagnetická optika
x=Re(z)
f (z ′ )
dz ′ = 0
z′ − z
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Využití teorie funkce komplexně promněnné
Z
x−δ
−∞
|
Z
Z
Z ∞
f (x′ )
f (z ′ )
f (z ′ )
f (x′ )
′
′
′
+
+
dx
+
dx
dz
dz ′ = 0,
′
′
′
′ −z
x −x
x
−
x
z
−
z
z
C
C
x+δ
{z
}
| ∞ {z
}
}
| δ {z
pro δ → 0
→0
subst.
Z ∞
z ′ − x = δ eiϕ
pro |z ′ | → ∞
f (x′ )
′
P
dx
′
f (z) − omezená
→ −iπf (x)
−∞ x − x
kde P je Cauchyho hlavní hodnota integrálu.
Z
∞
f (x′ )
dx′ = iπ f (x),
kde f (x) = f ′ (x) + if ′′ (x)
′
−∞ x − x
Hilbertovy integrální transformace:
Z ∞ ′′ ′
Z ∞ ′ ′
f (x ) dx′
f (x ) dx′
1
1
′′
′
,
f
(x)
=
−
P
f (x) = P
π
x′ − x
π
x′ − x
−∞
−∞
P
53
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Využití teorie funkce komplexně promněnné
Z
x−δ
−∞
|
Z
Z
Z ∞
f (x′ )
f (z ′ )
f (z ′ )
f (x′ )
′
′
′
+
+
dx
+
dx
dz
dz ′ = 0,
′
′
′
′ −z
x −x
x
−
x
z
−
z
z
C
C
x+δ
{z
}
| ∞ {z
}
}
| δ {z
pro δ → 0
→0
subst.
Z ∞
z ′ − x = δ eiϕ
pro |z ′ | → ∞
f (x′ )
′
P
dx
′
f (z) − omezená
→ −iπf (x)
−∞ x − x
kde P je Cauchyho hlavní hodnota integrálu.
Z
∞
f (x′ )
dx′ = iπ f (x),
kde f (x) = f ′ (x) + if ′′ (x)
′
−∞ x − x
Hilbertovy integrální transformace:
Z ∞ ′′ ′
Z ∞ ′ ′
f (x ) dx′
f (x ) dx′
1
1
′′
′
,
f
(x)
=
−
P
f (x) = P
π
x′ − x
π
x′ − x
−∞
−∞
P
53
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Odvození Kramers-Kronigových relací
Elektrická susceptibilita χ(ω) = χ′ (ω) + i χ′′ (ω)
kauzalita χ(t − t′ ) – Fourierova transformace je analytická v
horní polorovině
je omezená
protože E, P jsou reálné, je χ(ω) Fourierovou transformací
reálné veličiny χ(t − t′ )
χ′ (−ω) = χ′ (ω) − sudá
χ(−ω) = χ∗ (ω) −→ ′′
χ (−ω) = −χ′′ (ω) − lichá
1
χ (ω) = P
π
′
54
Z
∞
−∞
χ′′ (ω ′ ) dω ′
,
ω′ − ω
K. Postava: Fyzika III – Optika
1
χ (ω) = − P
π
′′
Z
C. Elektromagnetická optika
∞
−∞
χ′ (ω ′ ) dω ′
ω′ − ω
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Vztah mezi absorpcí a disperzí
χ′ (ω) =
2
P
π
Z
∞
0
ω ′ χ′′ (ω ′ ) dω ′
,
ω ′2 − ω 2
χ′′ (ω) = −
2ω
P
π
Kramers-Kronigovy disperzní relace
ε(ω) = ε1 (ω) + i ε2 (ω) = ε0 [1 + χ(ω)]
Vztah mezi reálnou a imaginární částí permitivity:
Z ∞ ′
ω ε2 (ω ′ ) dω ′
2
ε1 (ω) = ε0 + P
π
ω ′2 − ω 2
0
Z ∞
ε1 (ω ′ ) dω ′
2ω
P
ε2 (ω) = −
π
ω ′2 − ω 2
0
55
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Z
0
∞
χ′ (ω ′ ) dω ′
ω ′2 − ω 2
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Absorpce vazaných elektronů
Pohybová rovnice vazaných elektronů (v jedné dimenzi x):
d2 x
,
dt2
kde me je hmotnost elektronu a F je síla působící na elektron
F = me a = me
F = −e E − κ x − γ v.
První člen je síla elektrického pole E = E0 exp(iω t) působící na
elektron o náboji e
Druhý člen představuje přitažlivou sílu atomového jádra (restoring
force).
Síla je přímo úměrná výchylce x s konstantou úměrnosti κ = me ω02 ,
ω0 je vlastní rezonanční frekvence
Třetí člen představuje sílu tlumení, kde γ je konstanta tlumení a
v = dx
dt je rychlost elektronu.
56
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Absorpce vazaných elektronů
Pohybová rovnice vazaných elektronů (v jedné dimenzi x):
d2 x
,
dt2
kde me je hmotnost elektronu a F je síla působící na elektron
F = me a = me
F = −e E − κ x − γ v.
První člen je síla elektrického pole E = E0 exp(iω t) působící na
elektron o náboji e
Druhý člen představuje přitažlivou sílu atomového jádra (restoring
force).
Síla je přímo úměrná výchylce x s konstantou úměrnosti κ = me ω02 ,
ω0 je vlastní rezonanční frekvence
Třetí člen představuje sílu tlumení, kde γ je konstanta tlumení a
v = dx
dt je rychlost elektronu.
56
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Absorpce vazaných elektronů
Pohybová rovnice vazaných elektronů:
me
dx
d2 x
+ me ω02 x = −e E0 ei ω t
+γ
2
dt
dt
Řešení pohybová rovnice předpokláme ve tvaru x = x0 ei ω t
Pak x0 =
−e E0
a dipolový moment p = −e x0 .
me (ω02 − ω 2 ) + i γ ω
Polarizace (hustota dipolových momentů)
E0
e2 N
a příspěvek k relativní permitivitě:
P =Np=
2
me ω0 − ω 2 + i mγe ω
χe =
57
A
P
= 2
.
2
ε0 E
ω0 − ω + iγ0 ω
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Absorpce vazaných elektronů
Pohybová rovnice vazaných elektronů:
me
dx
d2 x
+ me ω02 x = −e E0 ei ω t
+γ
2
dt
dt
Řešení pohybová rovnice předpokláme ve tvaru x = x0 ei ω t
Pak x0 =
−e E0
a dipolový moment p = −e x0 .
me (ω02 − ω 2 ) + i γ ω
Polarizace (hustota dipolových momentů)
e2 N
E0
P =Np=
a příspěvek k relativní permitivitě:
2
me ω0 − ω 2 + i mγe ω
χe =
57
A
P
= 2
.
2
ε0 E
ω0 − ω + iγ0 ω
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Absorpce vazaných elektronů
Pohybová rovnice vazaných elektronů:
me
dx
d2 x
+ me ω02 x = −e E0 ei ω t
+γ
2
dt
dt
Řešení pohybová rovnice předpokláme ve tvaru x = x0 ei ω t
Pak x0 =
−e E0
a dipolový moment p = −e x0 .
me (ω02 − ω 2 ) + i γ ω
Polarizace (hustota dipolových momentů)
E0
e2 N
a příspěvek k relativní permitivitě:
P =Np=
2
me ω0 − ω 2 + i mγe ω
χe =
57
A
P
= 2
.
2
ε0 E
ω0 − ω + iγ0 ω
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Lorentzův tlumený harmonický oscilátor
χe (ω) =
ω02
A
A0
= 2
,
E0 − E 2 + i Γ0 E
−
+ i γ0 ω
ω2
kde E = ~ ω je energie fotonů elektromagnetické vlny
E0 = ~ ω0 , ω0 je rezonanční frekvence oscilátoru
Γ0 = ~ γ0 představuje tlumení oscilátoru
A0 = ~ A, A =
N e2
ε0 me
je amplituda oscilátoru
Příspěvek k relativní permitivitě ε1 − i ε2 :
A0 E02 − E 2
A0 Γ0 E
,
ε2 (E) =
ε1 (E) =
2
2
E02 − E 2 + Γ20 E 2
E02 − E 2 + Γ20 E 2
Pro Γ0 ≪ E0 a E ≈ E0 je ε2 (E) Lorentzova funkce.
58
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Lorentzův tlumený harmonický oscilátor
Lorentzův tlumený harmonický oscilátor – vyhovuje
Kramers-Kronigovým disperzním relacím
59
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Vztah mezi absorpcí a disperzí
Dielektrická funkce − SiO2
5
ε1
0
−5
10
5
0
60
ε2
10−3 10 −2
10 −1
10 0
10 1
Energie (eV)
K. Postava: Fyzika III – Optika
10 2 10 3
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Vlnová rovnice vodivého prostředí
Disperze
Kramers-Kronigovy disperzní relace
Optické materiály – spektrální propustnost
61
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Úvod – polarizace světla
Polarizace
projev vektorové povahy světla (E – vektor)
oko není citlivé na polarizaci světla
62
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Využití polarizace světla
Polarizační filtry ve fotografii
Polarizace světla odrazem
od vodní hladiny. Fotografie
bez a s polarizačním filtrem.
63
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Využití polarizace světla
Polarizace oblohy rozptylem – orientace hmyzu
Polarizace oblohy rozptylem na vodních částicích
polarizačně citlivé vidění hmyzu
(včely, mravenci)
orientace při plavbě po moři
(Vikingové)
64
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Využití polarizace světla
Displeje s kapalných krystalů, spínače, izolátory, fotoelasticita
65
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Polarizace rovinné monochromatické vlny
Polarizace monochromatické
n
o rovinné vlny:
iω t−ikr
E(r, t) = ℜ A e
Při šíření ve směru osy z, je vektor komplexní obálky:
A = Ax i + Ay j = ax eiϕx i + ay eiϕy j,
pak
E(z, t) = ax cos(ωt − kz + ϕx ) i + ay cos(ωt − kz + ϕy ) j
{z
}
|
{z
}
|
Ex
Ey
vyloučíme parametr (ωt − kz)
66
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Polarizace rovinné monochromatické vlny
Polarizace monochromatické
n
o rovinné vlny:
iω t−ikr
E(r, t) = ℜ A e
Při šíření ve směru osy z, je vektor komplexní obálky:
A = Ax i + Ay j = ax eiϕx i + ay eiϕy j,
pak
E(z, t) = ax cos(ωt − kz + ϕx ) i + ay cos(ωt − kz + ϕy ) j
{z
}
|
{z
}
|
Ex
Ey
vyloučíme parametr (ωt − kz)
66
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Polarizace rovinné monochromatické vlny
Složky vektoru E vyhovují rovnici elipsy
Ex Ey
Ex2 Ey2
+ 2 −2
cos ϕ = sin2 ϕ,
2
ax
ay
ax ay
kde ϕ = ϕy − ϕx .
Monochromatická vlna je vždy úplně elipticky polarizovaná
lineární polarizace sin ϕ = 0
pravotočivá
levotočivá
sin ϕ > 0
sin ϕ < 0
– kruhová polarizace
ax = ay , cos ϕ = 0
67
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Jonesův vektor
Polarizace monochromatické
o rovinné vlny:
n
E(r, t) = ℜ A eiω t−ikr
Při šíření ve směru osy z, je vektor komplexní obálky:
A = Ax i + Ay j = ax eiϕx i + ay eiϕy j,
Jonesův vektor
J=
Celková intenzita
I=
Ax
Ay
.
|Ax |2 + |Ay |2
1 +
|E|2
=
=
J J,
2η
2η
2η
kde J+ = [A∗x A∗y ] je Hermitovsky sdružený vektor.
68
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Jonesův vektor
Polarizace monochromatické
o rovinné vlny:
n
E(r, t) = ℜ A eiω t−ikr
Při šíření ve směru osy z, je vektor komplexní obálky:
A = Ax i + Ay j = ax eiϕx i + ay eiϕy j,
Jonesův vektor
J=
Celková intenzita
I=
Ax
Ay
.
|Ax |2 + |Ay |2
1 +
|E|2
=
=
J J,
2η
2η
2η
kde J+ = [A∗x A∗y ] je Hermitovsky sdružený vektor.
68
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Transformace Jonesova vektoru rotací souřadnicového systému
y′
A′y
y
Ay
A′x
Ax
x′
α
x
Transformace Jonesova vektoru rotací souřadnicového systému
cos α sin α
′
J = R(α) J,
R(α) =
− sin α cos α
Platí:
69
R−1 (α) = R(−α)
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Ortogonální polarizace
Polarizační stavy J1 , J2 jsou ortogonální, jestliže:
∗
∗
J+
1 J2 = A1x A2x + A1y A2y = 0
Ortogonální polarizační stavy mophou tvořit bázi – libovolný
polarizační stav lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci:
J = α1 J1 + α2 J2 .
Příklady ortogonálních polarizací:
dvě kolmé lineární polarizace
levotočivá a pravotočivá kruhová polarizace
70
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Ortogonální polarizace
Polarizační stavy J1 , J2 jsou ortogonální, jestliže:
∗
∗
J+
1 J2 = A1x A2x + A1y A2y = 0
Ortogonální polarizační stavy mophou tvořit bázi – libovolný
polarizační stav lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci:
J = α1 J1 + α2 J2 .
Příklady ortogonálních polarizací:
dvě kolmé lineární polarizace
levotočivá a pravotočivá kruhová polarizace
70
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Jonesovy vektory základních polarizačních stavů
y
1
lineárně polarizované světlo
polarizace ve směru osy x:
Jx =
polarizace ve směru osy y: Jy =
polarizace pod úhlem α:
Jx′ =
ortogonální polarizace: Jy′ =
71
K. Postava: Fyzika III – Optika
1
0
0
1
x
y
x
y′ y
cos α
sin α
− sin α
cos α
C. Elektromagnetická optika
y′ y
x′
α
x
x′
α
x
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Jonesovy vektory základních polarizačních stavů
2
72
kruhově polarizované světlo
pravotočivá polarizace:
1
1
JR = √
i
2
y
levotočivá polarizace:
1
1
JL = √
2 −i
y
K. Postava: Fyzika III – Optika
x
x
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Jonesovy vektory základních polarizačních stavů
3
y
elipticky polarizované světlo
s elipticitou ǫ:
J=
cos ǫ
i sin ǫ
ǫ
s elipticitou ǫ a azimutem hlavní osy θ:
cos θ cos ǫ − i sin θ sin ǫ
J=
sin θ cos ǫ + i cos θ sin ǫ
73
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
x
y
θ
ǫ
x
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Transformace Jonesova vektoru polarizační součástkou
Jonesova matice
Polarizační součástky lineárně transformují složky komplexní amplitudy
A′x = T11 Ax + T12 Ay
A′y = T21 Ax + T22 Ay
)
′
J = TJ
T=
T11 T12
T21 T22
,
kde T je Jonesova matice popisující polarizační vlastnosti součástky.
Kaskáda polarizačních součástek: T = TN · TN −1 · . . . · T3 · T2 · T1 .
74
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Jonesovy matice základních polarizačních součástek
1
Lineární polarizátor
ve směru osy x
1 0
T=
0 0
Lineární polarizátor pod úhlem α
cos2 α
sin α cos α
T(α) =
sin α cos α
sin2 α
Malusův zákon
75
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Jonesovy matice základních polarizačních součástek
2
Vlnový retardér (fázová destička)
fázové zpoždění mezi lineárními polarizacemi ve směru osy x a y
T=
1
0
−iΓ
0 e
π
čtvrtvlnová destička
Γ=
2
– transformuje lineárně polarizované světlo na kruhové a
naopak
půlvlnová destička
Γ=π
3
Polarizační rotátor
T=
76
cos α − sin α
sin α cos α
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Popis polarizačního stavu světla
Jonesův vektor, 2 × 2 Jonesova matice
popis pouze úplně polarizovaného světla
nelze využít k popisu částečné polarizace, depolarizace
Stokesův vektor, 4 × 4 Muellerova matice
zahrnuje popis úplně polarizovaného, částečně polarizovaného,
nebo nepolarizovaného světla
Koherenční vektor, 4 × 4 koherenční transformační matice
ekvivalentní se Stokesovým popisem
77
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Stokesův vektor
Stokesův vektor


S0
 S1 

S=
 S2 
S3
kde S0 je celková intenzita;
S1 – rozdíl mezi lineárními polarizacemi podel x a y;
S2 – rozdíl mezi lineárními polarizacemi ve směrech ±45◦ ;
S3 – rozdíl mezi pravotočivou a levotočivou kruhovou polarizací
p
S12 + S22 + S32
Stupeň polarizace: P =
, 0≤P ≤1
S0
P = 1 – úplně polarizované světlo
P = 0 – nepolarizované (chaotické) světlo
0 < P < 1 – částečně polarizované světlo
78
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Stokesův vektor
Stokesův vektor


S0
 S1 

S=
 S2 
S3
kde S0 je celková intenzita;
S1 – rozdíl mezi lineárními polarizacemi podel x a y;
S2 – rozdíl mezi lineárními polarizacemi ve směrech ±45◦ ;
S3 – rozdíl mezi pravotočivou a levotočivou kruhovou polarizací
p
S12 + S22 + S32
, 0≤P ≤1
Stupeň polarizace: P =
S0
P = 1 – úplně polarizované světlo
P = 0 – nepolarizované (chaotické) světlo
0 < P < 1 – částečně polarizované světlo
78
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Stokesův vektor – Poincarého sféra
Stokesův vektor úplně polarizovaného
světla:


S0
 S0 cos 2ǫ cos 2θ 

S=
 S0 cos 2ǫ sin 2θ 
S0 sin 2ǫ
Poincarého sféra
kartezské souřadnice: S1 , S2 , S3
sférické souřadnice: 2θ, 2ǫ
79
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Muellerova matice
Polarizační součástku lze popsat pomocí
 ′  
S0
M11 M12 M13
 S1′   M21 M22 M23
′
 
S =
 S2′  =  M31 M32 M33
S3′
M41 M42 M43
80
K. Postava: Fyzika III – Optika
Muellerovy matice:


M14
S0


M24 
  S1  = M S
M34   S2 
M44
S3
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Device using polarization – LCD
81
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Polarizace v přírodě
Mantis shrimp (kreveta) využívá kruhově polarizovaného světla
82
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Rovinná monochromatická vlna na rovinném rozhraní
Uvažujme lineární, homogenní, izotropní, nemagnetické prostředí
popsané indexy lomu n1 , n2 .
E = E0 eiωt−ikr ,
H = H0 eiωt−ikr ,
H0 =
Hraniční podmínky Maxwellových rovnic:
E
B
D
H
without surface
charges
83
K. Postava: Fyzika III – Optika
without surface
current
C. Elektromagnetická optika
1
k × E0
ωµ
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Šíření světla na rozhraní
dopadající vlna
k1 α1
dopadající vlna E1 , H1 , k1 ,
lomená vlna E2 , H2 , k2 ,
odražená vlna E3 , H3 , k3 ,
z
odražená vlna
n
α3
k3
x
n1
n2
rozhraní
y
k2
α2
lomená vlna
Na rozhraní platí:
(E01 )t eiω1 t−ik1 r + (E03 )t eiω3 t−ik3 r = (E02 )t eiω2 t−ik2 r
(H01 )t eiω1 t−ik1 r + (H03 )t eiω3 t−ik3 r = (H02 )t eiω2 t−ik2 r
84
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Šíření světla na rozhraní
(E01 )t eiω1 t−ik1 r + (E03 )t eiω3 t−ik3 r = (E02 )t eiω2 t−ik2 r
(H01 )t eiω1 t−ik1 r + (H03 )t eiω3 t−ik3 r = (H02 )t eiω2 t−ik2 r
1
porovnání fází
ω1 = ω2 = ω2 – frekvence se při odrazu a lomu nemění
k1 r = k2 r = k3 r,
neboli (k1 − k2 ) r = 0
– k1 , k2 , k3 leží v rovině dopadu dané vektorem k1 a normálou n
– spojitost tečných složek vlnového vektoru na rozhraní
zákon odrazu
zákon lomu
2
α1 = −α3
n1 sin α1 = n2 sin α2
porovnání amplitud
(E01 )t + (E03 )t = (E02 )t ,
85
K. Postava: Fyzika III – Optika
(H01 )t + (H03 )t = (H02 )t
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Šíření světla na rozhraní
(E01 )t eiω1 t−ik1 r + (E03 )t eiω3 t−ik3 r = (E02 )t eiω2 t−ik2 r
(H01 )t eiω1 t−ik1 r + (H03 )t eiω3 t−ik3 r = (H02 )t eiω2 t−ik2 r
1
porovnání fází
ω1 = ω2 = ω2 – frekvence se při odrazu a lomu nemění
k1 r = k2 r = k3 r,
neboli (k1 − k2 ) r = 0
– k1 , k2 , k3 leží v rovině dopadu dané vektorem k1 a normálou n
– spojitost tečných složek vlnového vektoru na rozhraní
zákon odrazu
zákon lomu
2
α1 = −α3
n1 sin α1 = n2 sin α2
porovnání amplitud
(E01 )t + (E03 )t = (E02 )t ,
85
K. Postava: Fyzika III – Optika
(H01 )t + (H03 )t = (H02 )t
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Definice amplitudových reflexních a transmisních koeficientů
Popis polarizačních stavů:
E0j x
, j = 1, 2, 3.
Jj =
E0j y
x
y
k3
x
α3
k1
y n1 n2
y . . . TM (p) polarizace
J2 = T J 1
T=
ts 0
0 tp
ts , tp – amplitudové transmisní koeficienty
rs 0
J3 = R J1
R=
0 rp
rs , rp – amplitudové reflexní koeficienty
86
K. Postava: Fyzika III – Optika
k2
α2
α1
x . . . TE (s) polarizace
x
C. Elektromagnetická optika
y
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Definice amplitudových reflexních a transmisních koeficientů
Popis polarizačních stavů:
E0j x
, j = 1, 2, 3.
Jj =
E0j y
x
y
k3
x
α3
k1
y n1 n2
y . . . TM (p) polarizace
J2 = T J 1
T=
ts 0
0 tp
ts , tp – amplitudové transmisní koeficienty
rs 0
J3 = R J1
R=
0 rp
rs , rp – amplitudové reflexní koeficienty
86
K. Postava: Fyzika III – Optika
k2
α2
α1
x . . . TE (s) polarizace
x
C. Elektromagnetická optika
y
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Fresnelovy vztahy – TE polarizace
E01 + E03 = E02 ,
H03
H01 cos α1 −H03 cos α3 = H02 cos α2 ,
α1 = −α3
rs =
H0 = n
E03
,
E01
r
ts =
ε0
E0
µ0
E02
E01
E02
E03
α3
H02
α2
α1
E01
H01
n1
n2
Fresnelovy vztahy – TE polarizace
rs =
sin(α2 − α1 )
n1 cos α1 − n2 cos α2
=
n1 cos α1 + n2 cos α2
sin(α1 + α2 )
t s = 1 + rs =
87
2 n1 cos α1
n1 cos α1 + n2 cos α2
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Fresnelovy vztahy – TE polarizace
E01 + E03 = E02 ,
H03
H01 cos α1 −H03 cos α3 = H02 cos α2 ,
α1 = −α3
rs =
H0 = n
E03
,
E01
r
ts =
ε0
E0
µ0
E02
E01
E02
E03
α3
H02
α2
α1
E01
H01
n1
n2
Fresnelovy vztahy – TE polarizace
rs =
sin(α2 − α1 )
n1 cos α1 − n2 cos α2
=
n1 cos α1 + n2 cos α2
sin(α1 + α2 )
t s = 1 + rs =
87
2 n1 cos α1
n1 cos α1 + n2 cos α2
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Fresnelovy vztahy – TM polarizace
E01 cos α1 − E03 cos α3 = E02 cos α2
H01 + H03 = H02
α3 = −α1
rp =
H0 = n
E03
,
E01
r
tp =
ε0
E0
µ0
E02
E01
E02
H03
E03 α3
E01
H02
α2
α1
H01
n1 n2
Fresnelovy vztahy – TM polarizace
rp =
n2 cos α1 − n1 cos α2
tan(α1 − α2 )
=
n2 cos α1 + n1 cos α2
tan(α1 + α2 )
tp =
88
2 n1 cos α1
n1
(1 + rp ) =
n2
n2 cos α1 + n1 cos α2
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Fresnelovy vztahy – TM polarizace
E01 cos α1 − E03 cos α3 = E02 cos α2
H01 + H03 = H02
α3 = −α1
rp =
H0 = n
E03
,
E01
r
tp =
ε0
E0
µ0
E02
E01
E02
H03
E03 α3
E01
H02
α2
α1
H01
n1 n2
Fresnelovy vztahy – TM polarizace
rp =
n2 cos α1 − n1 cos α2
tan(α1 − α2 )
=
n2 cos α1 + n1 cos α2
tan(α1 + α2 )
tp =
88
2 n1 cos α1
n1
(1 + rp ) =
n2
n2 cos α1 + n1 cos α2
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Rozbor Fresnelových vztahů: n1 < n2
Odraz od opticky hutšího prostředí (ze vzduchu od skla)
Reflection air/glass
,
p
rp = |rp | eiφp .
s
rs = |rs | e
1
| r |, | r |
iφs
n1 = 1 (vzduch)
n2 = 1.5 (sklo)
rs = −rp =
89
n1 − n2
n1 + n2
150
r
p
s
(α1 = α2 = 0):
0
200
φ ,φ
Pro kolmý dopad
0.5
s
100
rp
50
0
0
10
K. Postava: Fyzika III – Optika
20
30
40
50
60
70
Angle of incidence (degree)
C. Elektromagnetická optika
80
90
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Brewsterův úhel
Pro α1 = αB se TM polarizace (p-polarizace) neodráží rp = 0
Brewsterův úhel
n2
tan αB =
,
kde αB je Brewsterův úhel
n1
– odražený a lomený paprsek svírají úhel 90◦
Pro rozhraní vzduch (n1 = 1) / sklo (n2 = 1, 5): αB = 56, 3◦ .
90
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Využití Brewsterova úhlu
polarizátor
Brewsterova okénka laseru
91
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Rozbor Fresnelových vztahů: n1 > n2
Odraz od opticky ridšího prostředí (ze skla od vzduchu)
Reflection glass/air
,
p
rp = |rp | eiφp .
s
rs = |rs | e
1
| r |, | r |
iφs
n1 = 1.5 (sklo)
n2 = 1 (vzduch)
rs = −rp =
92
n1 − n2
n1 + n2
150
r
p
s
(α1 = α2 = 0):
0
200
φ ,φ
Pro kolmý dopad
0.5
s
100
rp
50
0
0
10
K. Postava: Fyzika III – Optika
20
30
40
50
60
70
Angle of incidence (degree)
C. Elektromagnetická optika
80
90
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Mezní (kritický) úhel
paprsek se pro mezní úhel láme pod úhlem 90◦
Totální (úplný) odraz, mezní úhel
sin αC =
n2
,
n1
kde αC je mezní (kritický) úhel
Totální (úplný) odraz nastává pro α1 > αC
Pro rozhraní sklo (n1 = 1.5) / vzduch (n2 = 1): αC = 41, 8◦ .
Úhel lomu pro totální odraz:
cos α2 = ±
93
p
1 − sin2 α2 = ±
s
K. Postava: Fyzika III – Optika
n2
1 − 12 sin2 α1 = −i
n2
C. Elektromagnetická optika
s
sin2 α1
−1
sin2 αC
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Fáze odražené vlny
α1 < αC
rozdíl fází mezi odrazy od opticky řidšího a od opticky
hustšího prostředí je π (uplatnění v interferenci – Newtonova
skla).
Pozn.: fázový rozdíl mezi s a p-polarizací je dán otočením souřadného
systému
α1 > αC – při totálním odrazu
p
TE (s) polarizace
TM (p) polarizace
Kde bylo využito:
94
sin2 α1 − sin2 αC
φs
=
2
p cos α1
sin2 α1 − sin2 αC
φp
tan
=
2
sin2 αC cos α1
tan
tan 2α =
α
a
2ab
2 tan α
; tan =
⇔ tan α = 2
1 − tan α
2
b
b − a2
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Fáze odražené vlny při totálním odrazu
Fázová retardace mezi TE a TM polarizací při totálním odrazu:
p
φ
cos α1 sin2 α1 − sin2 αC
φ = φs − φp ,
tan =
2
sin2 α1
Pro rozhraní sklo/vzduch je maximální
retardace φm = 45◦ pro α1 = 51◦ 40′ .
50
Využ: polarizační retardér
30
p
φ −φ
s
40
20
10
0
40
95
K. Postava: Fyzika III – Optika
50
60
70
Angle of incidence (degree)
C. Elektromagnetická optika
80
90
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Evanescentní vlna
lomená vlna při úplném odrazu – evanescentní vlna
šíří se ve směru rozhraní
je rychle exponenciálně tlumena se vzrůstající vzdálenosti od
rozhraní
∆x
Goos-Hanchenův jev – posuv odraženého poprsku při totálním
odrazu
96
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Odrazivost a propustnost prostředí
r, t – vyjadřují vztah mezi komplexními amplitudami
R, T – vyjadřují vztah mezi energiemi, intenzitami
(Poyntingovy vektory)
S1
S3
S2
Intenzita – výkon který projde kolmou jednotkovou plochou
r
A2
n µ0 2
I=
A
=
2η
2 ε0
R=
Odrazivost R, propustnost T
n2 cos α2 2
R = |r|2 , T =
|t| ,
n1 cos α1
97
K. Postava: Fyzika III – Optika
I3 S3
,
I1 S1
T =
I2 S2
I1 S1
T = 1 − R.
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Odrazivost a propustnost prostředí
R = 12 (Rs + Rp )
Odrazivost nepolarizované vlny:
Reflection air/glass
Reflection glass/air
1
1
Rs
0.8
0.8
R
p
Reflectivity
Reflectivity
R
0.6
0.4
0.6
0.4
R
s
0.2
0
0
Rp
0.2
10
20
30
40
50
60
70
Angle of incidence (degree)
80
90
0
0
R
10
20
30
40
50
60
70
Angle of incidence (degree)
n1 − n2 2
,
n1 + n2
pro rozhraní vzduch/sklo: R = 0.04.
Pro kolmý dopad R =
98
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
80
90
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Odraz od absorbujícího prostředí
Platí vztahy při započtení komplexního indexu lomu.
Např: odraz od hliníku pro λ = 500 nm: n = 0.77 − i 6.08
Reflection air/Al
| rs|, | rp|
Reflection air/Al
1
1
0.95
0.95
Reflectivity
0.9
φ s, φ p
150
0.9
Rs
0.85
Rp
r
s
100
r
R
0.8
p
50
0
0
99
10
20
30
40
50
60
70
Angle of incidence (degree)
80
90
K. Postava: Fyzika III – Optika
0.75
0
10
20
30
40
50
60
70
Angle of incidence (degree)
C. Elektromagnetická optika
80
90
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Optika anizotropního prostředí
optické vlastnosti anizotropního materiálu závisí na směru
šíření a na polarizaci světla
pochází z anizotropní struktury materiálu
dielektrické krystaly (v jiné, než kubické symetrii)
kapalné krystaly s uspořádanými anizotropními molekulami
umělé nanostrukrurované materiály – fotonické krystaly,
mřížky, anizotropní metamateriály
symetrie porušena vnějším polem (magnetooptické,
elektrooptické jevy),
nebo tlakem (akustooptický, fotoelastický jev)
závislost vektoru D na E:
100
D1
= ε11 E1 + ε12 E2 + ε13 E2
D2
D3
= ε21 E1 + ε22 E2 + ε23 E2
= ε31 E1 + ε32 E2 + ε33 E2
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Optika anizotropního prostředí
Tenzor elektrické permitivity εˆ


ε11 ε12 ε13
D =  ε21 ε22 ε23  E
ε31 ε32 ε33
|
{z
}
εˆ
Reprezentace tenzoru permitivity εˆ pomocí elipsoidu indexů lomu (indicatrixu).
Transformací souřadnicového systému lze
εˆ převést na diagonální tvar s permitivitami ε1 , ε2 , ε3 na hlavní diagonále.
101
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Hlavní indexy lomu
Hlavní indexy lomu:
n1 =
q
ε1
ε0 ,
Dělení anizotropních materiálů:
dvojosý
n2 =
q
ε2
ε0 ,
n3 =
q
n1 6= n2 6= n3
ε3
ε0
jednoosý n1 = n2 = no – řádný (ordinární) index lomu,
n3 = ne – mimořádný (extraordinární) index lomu
pozitivní ne > no
křemen (SiO2 ) – ne = 1.553, no = 1.544
LiNbO3 – ne = 2.29, no = 2.20
negativní ne < no
islandský vápenec – ne = 1.486, no = 1.658
izotropní
102
n1 = n2 = n3
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Vlnová rovnice v anizotropním prostředí
Užitím B = µH Maxwellovy rovnice jsou ve tvaru:
div D = 0
div H = 0.
∂H
∂D
rot H =
∂t
∂t
Z rovnic obsahujících rotace vyloučíme H tak, že aplikujeme operátor
rot :
rot E = −µ
∂ 2D
rot rot E = grad div E −∆ E = −µ
| {z }
∂ t2
6=0
Vlnová rovnice v anizotropním prostředí
∆E − grad div E + µ
103
K. Postava: Fyzika III – Optika
∂2D
=0
∂t2
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Vlnová rovnice v anizotropním prostředí
Užitím B = µH Maxwellovy rovnice jsou ve tvaru:
div D = 0
div H = 0.
∂H
∂D
rot H =
∂t
∂t
Z rovnic obsahujících rotace vyloučíme H tak, že aplikujeme operátor
rot :
rot E = −µ
∂ 2D
rot rot E = grad div E −∆ E = −µ
| {z }
∂ t2
6=0
Vlnová rovnice v anizotropním prostředí
∆E − grad div E + µ
103
K. Postava: Fyzika III – Optika
∂2D
=0
∂t2
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Rovinná monochromatická vlna v anizotropním prostředí
D0 E0
vlnoplochy
k × H0 = −ωD0
k × E0 = ωµH0
k
S = E 0 × H0
H0 ||B0
H0 k B0 ,
D0 ⊥ k, H0 ,
D0 ∦ E0 ,
E0 6⊥ k
ale
104
H0 ⊥ k, E0 ,
K. Postava: Fyzika III – Optika
S
S ⊥ E 0 , H0
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Řešení vlnové rovnice v anizotropním prostředí
Jsou-li osy symetrie osami souřadnicového systému:
a ε11 = n1 , ε22
0
k × (k × E0 ) + ω 2 µˆ
ε E0 = 0
= n2 a ε33 = n3 , k = (k1 , k2 , k3 )
n21 k02 − k22 − k32
@
k1 k2
k1 k3
k1 k2
n22 k02 − k12 − k32
k2 k3
12
3
k1 k3
E0x
A 4 E0y 5 = 0
k2 k3
n23 k02 − k12 − k22
E0z
Soustava rovnic má netriviální řešení jestliže det(·) = 0
– disperzní relace ω = ω(k1 , k2 , k3 ).
1 vlastní vlnové vektory k = (k , k , k )
1
2
3
– z podmínky det(·) = 0
k-plocha – kolmá na směr paprsků (směr S)
2 vlastní polarizace E = (E
0
0x , E0y , E0z ) – v daném směru se
šíří beze změny polarizačního stavu
105
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Řešení vlnové rovnice v anizotropním prostředí
Jsou-li osy symetrie osami souřadnicového systému:
a ε11 = n1 , ε22
0
k × (k × E0 ) + ω 2 µˆ
ε E0 = 0
= n2 a ε33 = n3 , k = (k1 , k2 , k3 )
n21 k02 − k22 − k32
@
k1 k2
k1 k3
k1 k2
n22 k02 − k12 − k32
k2 k3
12
3
k1 k3
E0x
A 4 E0y 5 = 0
k2 k3
n23 k02 − k12 − k22
E0z
Soustava rovnic má netriviální řešení jestliže det(·) = 0
– disperzní relace ω = ω(k1 , k2 , k3 ).
1 vlastní vlnové vektory k = (k , k , k )
1
2
3
– z podmínky det(·) = 0
k-plocha – kolmá na směr paprsků (směr S)
2 vlastní polarizace E = (E
0
0x , E0y , E0z ) – v daném směru se
šíří beze změny polarizačního stavu
105
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Řešení vlnové rovnice v anizotropním prostředí
Jestliže se světlo šíří podél optické osy, nedochází k dvojlomu.
106
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Šíření vln v anizotropním prostředí
směr vlnového vektoru k – šíření vlnoploch
směr Poyntingova vektoru S – šíření paprsků – kolmice na
k-plochu
107
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Jednoosá anizotropie
Index lomu mimořádné vlny (z rovnice elipsy):
cos2 θ sin2 θ
1
+
=
n2 (θ)
n2o
n2e
108
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Dvojlom
mimořádná (extraordinární) vlna – TM polarizace
sin θ1 = no sin θo
řádná (ordinární) vlna – TE polarizace sin θ1 = n(θ) sin θe
109
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Dvojlom při kolmém dopadu
110
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Polarizační součástky
polarizátory
kompenzátory – λ/4 (λ/2) destičky
depolarizátory
polarizační modulátory (fázové modulátory, rotátory)
111
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Typy polarizátorů
dichroické polarizátory
wire-grid polarizátory
112
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Typy polarizátorů
hranolové polarizátory
113
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
Vlnový retardér
Podel rychlé a pomalé osy v jednoosém krystalu se světlo šíří
různým indexem lomu no , ne – dochází k fázovému zpoždění mezi
kolmými lineárními polarizacemi
Γ=
114
2π
(ne − no ) d
λ
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
115
K. Postava: Fyzika III – Optika
Jonesův počet, Muellovy matice
Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy
Optika anizotropního prostředí
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
Nelineární susceptibilita
D = ε E = ε0 E + P,
P = ε0 χ E + PN L = ε0 χ E + χ(2) E3 + χ(3) E2 + · · ·
kde polarizace
χ – lineární susceptibilita ε = ε0 (1 + χ)
χ(2) – kvadratická susceptibilita, kvadratické nelineární jevy
χ(3) – kubická susceptibilita, kubické nelineární jevy
116
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
Nelineární susceptibilita
D = ε E = ε0 E + P,
P = ε0 χ E + PN L = ε0 χ E + χ(2) E3 + χ(3) E2 + · · ·
kde polarizace
χ – lineární susceptibilita ε = ε0 (1 + χ)
χ(2) – kvadratická susceptibilita, kvadratické nelineární jevy
χ(3) – kubická susceptibilita, kubické nelineární jevy
116
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
Nelineární vlnová rovnice
D = ε E = ε0 E + P,
Nelineární vlnová rovnice:
∆E −
1 ∂2E
∂ 2 PN L
=
µ
0
v 2 ∂t2
∂t2
Příklady konstant χ(2) :
NH4 H2 PO4 – ADP
KH2 PO4 – KDP
LiNbO3
117
χ(2) = 0.5 · 10−13 mV−1
χ(2) = 0.45 · 10−13 mV−1
χ(2) = 4.8 · 10−13 mV−1
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
Nelineární jevy
Kvadratická nelinearita (2. řádu)
generace druhé harmonické frekvence ω2 = 2 ω1
frekvenční konverze ω3 = ω1 + ω2
parametrické zesílení
Ramanův rozptyl
Kubická nelinearita (3. řádu)
optický Kerrův jev
generace třetí harmonické
samofokusace, prostorový soliton
čtyřvlnové směšování
optická fázová konjugace
optická bistabilita
118
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
Nelineární jevy – Generace druhé harmonické
119
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
Generace druhé harmonické – naladění fáze
120
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
Nelineární jevy – Frekvenční konverze
121
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
Nelineární jevy – Parametrická generace, parametrický laser
OFC – frekvenční konverze;
OPA – optický parametrický zesilovač;
OPO – optický parametrický oscilátor
122
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
Optický Kerrův jev, samofokusace, prostorový soliton
Index lomu závisí na intenzitě: n = n0 + n2 I
pro sklo n2 ≈ 10−19 m2 V−1 , pro organické materiály n2 ≈ 10−12 m2 V−1
123
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
Prostorový soliton
124
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
Členění přístupů v optice
Kvantová (fotonová) optika
Světlo je tvořeno fotony, je reprezentováno částicově a také
vlnově
Kvantová optika
jevy generace světla
(laser), kvantová povaha
světla, nelineární optika
Elektromagnetická
kvantová elektrodynamika
ˆ H
ˆ
– operátory E,
Skalární
vlnová
energie a hybnost fotonů
E = h f = ~ ω,
Paprsková
~=
h
2π
p = ~k
−34
= 1.0546 10
J s je
Diracova konstanta
125
K. Postava: Fyzika III – Optika
Heisenbergovy relace
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
Interference jednotlivých fotonů na dvojštěrbině
x
x
x
z
a
θ
d
126
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
Nelineární optika
Kvantová optika
Stimulovaná emise, princip laseru
127
K. Postava: Fyzika III – Optika
C. Elektromagnetická optika
Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice
Absorpce a disperze
Polarizace světla
Nelineární a kvantová optika
128
K. Postava: Fyzika III – Optika
Nelineární optika
Kvantová optika
C. Elektromagnetická optika
Download

Fyzika III – Optika - Nanotechnologie na VŠB-TUO