Šíření světla v dielektriku
Maxwellovy rovnice
matematické vyjádření představ o elektřině a magnetismu, Faradayovy poznatky o elmag poli
chování makroskopického elmag. pole
hlavní:
⃗
⃗
zákon celkového proudu
⃗
⃗
zákon elmag indukce
⃗
zákon elektrostatiky (siločáry elektrické indukce začínají nebo končí tam, kde je
přítomen elektrický náboj)
⃗
zákon spojitosti indukčního toku, tj. magnetický indukční tok libovolnou
uzavřenou orientovanou plochou S je roven nule (neexistují magnetické
monopóly)
⃗ [A/m] – intenzita magnetického pole
⃗ [V/m] – intenzita elektrického pole
Hamiltonův operátor
(
⃗ [T = Vs/m ] – magnetická indukce
⃗ [As/m2 = C/m2] – elektrická indukce
⃗)
2
⃗
[A/m2] – hustota el. proudu
ρ [C/m3] – objemová hustota el. náboje
t [s] – čas
⃗ - jednotkové vektory ve směru os x, y, z
materiálové:
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
γ [S = 1/Ωm] – el. vodivost
[F/m] – permitivita
εr – rel. permitivita, látková konstanta, kolikrát se Coulombova síla zmenší v případě, že tělesa s el.
nábojem jsou umístěna v daném prostředí místo ve vakuu (C. silou působí el. pole na tělesa s el. nábojem)
[H/m = N/A2] – permeabilita, vyjadřuje reakci prostředí na silové účinky magnetického pole
(zeslabuje nebo zesiluje), udává míru magnetizace v důsledku působícího magnetického pole
– permeabilita vakua
1
µr [1] – materiálová konstanta
Rozhraní dvou dielektrik – hraniční podmínky
plochy hranolů a čoček – rozhraní dvou homogenních prostředí – náhlá změna vlastností prosředí
→ změna velikosti ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Maxwellovy rovnice – pro spojité prostředí → použijeme limitní postup: rozhraní = tenká vrstva, kde se
vlastnosti mění spojitě, tloušťka jde v limitě k nule
dielektrikum:
Stokesova věta (pro vektorové pole intenzity el. pole)
⃗
∫
∮ ⃗
S – obdélník tečně k rovině rozhraní
– jednotkový směrový vektor
podle strany δh se spojitě mění ε1, μ1 → ε2, μ2
pro ⃗
∫
mající konečnou hodnotu má konečnou hodnotu i
⃗ a po přechodu k limitě δh → 0 je
⃗
⃗⃗⃗⃗ - intenzita el. pole na straně δl1 v prostředí 1
⃗⃗⃗⃗ - intenzita el. pole na straně δl2 v prostředí 2
∮ ⃗
[⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
]
(⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ )
pro δh = 0 je δl1 → δl2 → δl
intenzity rozložíme na složky ⃗⃗⃗ (tečná k rozhraní) a ⃗⃗⃗⃗ (kolmá k rozhraní)
⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
musí být splněno pro libovolnou orientaci v rovině rozhraní, tedy
⃗⃗⃗⃗⃗
→ na rozhraní dvou dielektrik se mění tečné složky intenzit polí spojitě
podobně platí pro normálné složky indukcí polí ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , stejně pro ⃗
Vlnová rovnice a rychlost šíření světla
úpravou Maxwellových rovnic → diferenciální rovnice s derivací pouze intenzity el. pole nebo intenzity
magn. pole
podmínka: homogenní, izotropní dielektrikum, permitivita a permeabilita v čase konstantní
použité vzorce:
⃗
(
)⃗
( ⃗)
potom pro rotor intenzity elektrického pole platí
⃗
⃗
( ⃗)
)⃗
(
z Maxwellových rovnic (pro ρ = 0,
⃗
(
⃗
⃗)
⃗)
⃗
)
⃗
(
(
⃗
⃗
)
⃗)
(
(
( ⃗)
)
⃗
potom
⃗
⃗
což se nápadně podobá skalární vlnové rovnici z akustiky
(
)
(
)
u – okamžitá výchylka částice
v – rychlost šíření vzruchu v prostředí
má rozměr rychlosti
√
→ Maxwell usoudil, že
rychlost těchto vln
⃗
⃗
√
je vlnová rovnice pro vektorové elmag. vlny
, ve vakuu
√
což je rychlost světla → světlo je elmag. vlnění
Absolutní index lomu prostředí
3
Fermatův princip
světlo se šíří z jednoho bodu prostoru do druhého po takové dráze, že doba potřebná k proběhnutí
této dráhy je extrémní (tj. kratší nebo delší než po jakékoliv sousední dráze) nebo je stacionární.
opticky homogenní prostředí: světlo se šíří přímočaře, po nejkratší dráze
opticky nehomogenní prostředí: index lomu se spojitě mění, v místech menšího N se čelo pohybuje
rychleji → čelo vlny se deformuje → zakřivují se paprsky (tj. směry šíření vlny)
-
optická dráha
s – geometrická délka
N – index lomu
nehomogenní prostředí – elementy dráhy s konstantním N:
celá optická dráha:
∫
jednotlivé elementy:
∑
∑
z bodu A vychází svazek paprsků, které se po lomech a odrazech sejdou v bodě A’ → pro optickou dráhu
každého paprsku platí
(
)
∑
(
)
přímočaré šíření světla
- plyne přímo z Fermatova principu, přímka je nejkratší spojnice 2 bodů
zákon odrazu
α2 příslušející α1 určíme z podmínky nejkratší dráhy ABC
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
posuneme B do B’
δa = -δb protože a + b = konst
úsečky l1 a l2 se změní o
4
rozdíl drah AB’C a ABC
(
)
skutečná dráha paprsku musí být extrémní, tedy
(
)
pro δa = - δb vychází
odražený paprsek zůstává v rovině dopadu
znaménko je věcí úmluvy
rovinné rozhraní – světlo se šíří po nejkratší dráze – vždy minimum
elipsoid – pro body A a C v ohniscích jsou všechny dráhy stejné - Cartesiova plocha
zakřivená plocha (A,C ohniska rotačního elipsoidu)
- elipsoid se dotýká zrcadlící plochy zevnitř: dráha je minimální
- elipsoid se dotýká zrcadlící plochy vně: dráha je maximální
zákon lomu
čas průchodu z A do C
(
)
pro extrémní čas
(
)
opět pro δa = - δb
lomený paprsek zůstává v rovině dopadu
5
Download

Šíření světla v dielektriku