ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
FAKULTA STAVEBNÍ – OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE
KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE
název předmětu
Kosmická geodézie
úloha/zadání
název úlohy
Průběh geoidu z altimetrických měření
4/003
školní rok
2010/11
semestr
2
skupina
NG1-90
zpracoval
datum
Jan Dolista
02. 05.
klasifikace
Průběh geoidu z altimetrických měření
Zadání:
Jsou dána redukovaná altimetrická měření na dvou vzestupných a dvou sestupných přeletech
družice TOPEX/Poseidon. Data naleznete v adresáři ftp://athena.fsv.cvut.cz/KGD/altimetrie.
Zjištěná výška družice je zatížena systematickou chybou, kterou považujte za konstantu, různou
pro každý přelet. Velikost této chyby určete pro jednotlivé přelety nad daným územím na základě
rozdílných hodnot v bodech křížení. Výpočet proveďte vyrovnáním podle zprostředkujících měření s podmínkou, aby součet oprav ze systematických chyb byl roven nule. Opravené výšky jsou
podkladem pro zobrazení průběhu geoidu dané oblasti.
Číselné zadání 003:
Soubor měření: zadani_-66_075.003
Vypracování:
Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave.
1
Určení systematické chyby jednotlivých přeletů
V souboru měření, který má strukturu:
č. subsat. bodu
[∘ ]
[∘ ]
ℎ []
ℎ
 []
MDJ,
je ve čtvrtém sloupci výška družice nad referenčním elipsoidem určená z efemerid a v pátem
sloupci pak redukovaná altimetrická výška určená z měření družice. Rekudovaná altimetrická
výška je výška naměřená altimetrem opravená o excentricitu antény, konstantní složku mořské
topografie (SST(p)) variabilní složku mořské topografie (SST(v)) a mořské slapy (T). Redukovaná
altimetrická výška je tedy vztažena ke střední hladině moře, pomocí které je definován geoid.
Odlehlost geoidu a referenčního elipsoidu je tedy dána vztahem:
 = ℎ − ℎ

Soubor měření svým rozsahem pokrývá území od 59∘ do 66∘ jižní šířky a od 75∘ do 105∘ východní
délky. V daném rozsahu jsou 4 přelety družice, z toho dva vzestupné a dva sestupné. Body křížení přeletů označené A,B,C,D byly použity k určení systematických chyb jednotlivých přeletů.
Odlehlost geoidu od elipsoidu v těchto bodech určená z jednotlivých přeletů by měla být až na
systematickou chybu stejná.
Odlehlosti byly v těchto bodech pro každý přelet určeny lineární interpolací ze dvou sousedních
subsatelitních bodů. Pro účel interpolace byly zeměpisné souřadnice bodů považovány za pravoúhlé a byla vypočtena délka v rovině Marinova zobrazení (tzv. čtvercová mapa) [1] vydělená
poloměrem Země (pro interpolaci je používán pouze poměr délek, vydělení konstantou tedy výsledek nijak neovlivní). Toto zobrazení má sice značné délkové zkreslení v polednících, které roste
směrem k pólům, pro účely interpolace je však takto určená délka dostatečná.
Pro každý z bodů křížení byla odlehlost určena dvakrát a lze tedy sestavit rovnici pozorování pro
vyrovnání MNČ:
1 + ℎ1 = 4 + ℎ4
1 + ℎ1 = 2 + ℎ2
2 + ℎ2 = 3 + ℎ3
3 + ℎ3 = 4 + ℎ4,
kde  je odlehlost bodu X určená z i-tého přeletu, a ℎ je systematická chyba daného přeletu.
Jednoduchou úpravou lze rovnice zapsat ve tvaru:
1 − 4 = ℎ4 − ℎ1
1 − 2 = ℎ2 − ℎ1
2 − 3 = ℎ3 − ℎ2
3 − 4 = ℎ4 − ℎ3
Levé strany rovnic pak tvoří vektor měření  , derivací pravých stran podle neznámých systematických chyb ℎ1, ℎ2, ℎ3, ℎ4 dostaneme matici plánu  :
⎛
⎜
⎜
=⎜
⎜
⎜
⎝
1 − 4
1 − 2
2 − 3
3 − 4
0
⎞
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
=⎜
⎜
⎜
⎝
−1
0
0 1
−1
1
0 0
0 −1
1 0
0
0 −1 1
1
1
1 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Vektor měření i matice plánu byly rozšířeny o řádek odpovídající pseudoměření, které do výpočtu
zavádí podmínku:
ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 + ℎ4 = 0
Vektor vyrovnaných neznámých je určen vyrovnáním MNČ:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
ℎ1
ℎ2
ℎ3
ℎ4
⎞
⎟ (︁
)︁−1
⎟
 
⎟ =  
⎠
Jelikož rovnice pozorování jsou lineární, není v daném případě nutné provádět kontrolu linearizace
pomocí I. a II. výpočtu oprav.
2
Určení zbytkové chyby v bodech křížení
Odlehlosti v bodech křížení byly opraveny o systematické chyby. Odlehlosti bodů křížení určené
z různých přeletů však ani poté nebudou stále stejné, neboť budou zatíženy zbytkovou chybou.
Proto byla odlehlost v bodech křížení určena jako průměr z obou přeletů:
 =
1 + ℎ1 + 4 + ℎ4
2
1 + ℎ1 + 2 + ℎ2
2
2 + ℎ2 + 3 + ℎ3
 =
2
3 + ℎ3 + 4 + ℎ4
 =
2
Pro každý z bodů křížení a příslušný přelet byla určena zbytková chyba jako rozdíl odlehlosti
opravené o systematickou chybu od průměru.
 =
3
Určení odlehlosti geoidu od referenčního elipsoidu v subsatelitních bodech
Pro každý ze subsatelitních bodů byla ze souboru měření určena odlehlost geoidu od elipsoidu
a opravena o systematickou chybu podle toho, kterému z přeletů bod přísluší. Zbytková chyba
pro každý subsatelitní bod byla určena lineární interpolací resp. extrapolací ze známých hodnot
zbytkových chyb v bodech křížení. Každému přeletu přísluší dva body křížení ve kterých je známa
zbytková chyba. Těmito hodnotami byla proložena přímka a určena její směrnice. Zbytková chyba
v subsatelitních bodech pak byla určena na základě vzdálenosti od bodů křížení. Použita byla opět
vzdálenost ze „čtvercové“ mapy. Výsledná odlehlost je pak součtem měřené hodnoty, systematické
chyby a zbytkové chyby.
4
Zpracování výstupů
Grafické výstupy byly vytvořeny v programu ArcGIS. Pro interpolaci modelu geoidu z měřených
hodnot v subsatelitních bodech byla použita metoda spline. Model byl zvýrazněn pomocí barevné hypsometrie a pomocí vrstevnic. Krok vrstevnic byl volen 1m, vrstevnice v kroku 5m byly
zvýrazněny a doplněny popisem.
5
Výsledky
Odlehlost geoidu a referenčního elipsoidu v bodech křížení drah:
bod
A
B
C
D


N1
dh1
∘
∘
[m]
9.01
3.21
—
—
[m]
-0.24
-0.24
—
—
[ ]
89.3582
93.5620
89.3626
85.0607
[ ]
-61.9676
-63.0880
-63.9867
-63.0885
N1
+
dh1
[m]
8.78
2.97
—
—
N2
dh2
[m]
—
2.56
8.08
—
[m]
—
0.22
0.22
—
N2
+
dh2
[m]
—
2.78
8.30
—
N3
dh3
[m]
—
—
8.27
14.39
[m]
—
—
-0.16
-0.16
N3
+
dh3
[m]
—
—
8.11
14.23
N4
dh4
[m]
8.79
—
—
13.87
[m]
0.17
—
—
0.17
N4
+
dh4
[m]
8.97
—
—
14.04
průměr
[m]
8.87
2.88
8.21
14.14
Určení zbytkové chyby v bodech křížení drah:
bod 
dh
zbytková chyba
N
[m]
[m]
[m]
[m]
1.přelet
A
9.01 -0.24
0.10
8.87
B
3.21 -0.24
-0.10
2.88
2.přelet
B
2.56 0.22
0.10
2.88
C
8.08 0.22
-0.10
8.21
3.přelet
C
8.27 -0.16
0.10
8.21
D
14.39 -0.16
-0.10 14.14
4.přelet
A
8.79 0.17
-0.10
8.87
D
13.87 0.17
0.10 14.14
Pozn.: Případná odchylka v součtu v řádu cm je způsobena zaokrouhlením dílčích výsledků pouze
pro uvedení v tabulce, jinak byly výpočty prováděny s plným počtem cifer v programu Octave.
Odlehlost geoidu od referenčního elipsoidu v subsatelitních bodech:
číslo



dh
zbytková
N
bodu
[∘ ]
[∘ ]
[m]
[m] chyba [m]
[m]
987
84.1194 -60.2680
20.64 -0.24
0.34 20.74
988
88.4948 -61.7343
10.25 -0.24
0.14 10.15
989
93.2995 -63.0326
3.36 -0.24
-0.08
3.04
990
98.5339 -64.1376
0.33 -0.24
-0.32 -0.23
1266
79.5862 -65.4338
16.54 0.22
-0.54 16.22
1267
85.4359 -64.6884
13.11 0.22
-0.27 13.06
1268
90.9133 -63.7096
6.10 0.22
-0.03
6.29
1269
95.9727 -62.5223
-0.66 0.22
0.21 -0.23
1270 100.5999 -61.1522
-5.39 0.22
0.42 -4.75
2741
76.0509 -60.4275
27.07 -0.16
-0.51 26.41
2742
80.4702 -61.8775
22.02 -0.16
-0.30 21.56
2743
85.3200 -63.1569
13.96 -0.16
-0.08 13.72
2744
90.5981 -64.2403
6.53 -0.16
0.15
6.52
2745
96.2749 -65.1021
2.48 -0.16
0.40
2.72
2746 102.2870 -65.7189
-3.69 -0.16
0.66 -3.18
3021
77.5199 -64.5971
19.84 0.17
0.43 20.44
3022
82.9553 -63.5954
16.13 0.17
0.19 16.49
3023
87.9700 -62.3880
10.74 0.17
-0.03 10.88
3024
92.5524 -61.0003
4.31 0.17
-0.24
4.25
3025
96.7134 -59.4571
2.01 0.17
-0.43
1.75
Pozn.: Případná odchylka v součtu v řádu cm je způsobena zaokrouhlením dílčích výsledků pouze
pro uvedení v tabulce, jinak byly výpočty prováděny s plným počtem cifer v programu Octave.
Výřez modelu EGM-96 s přibližným zákresem zájmového území
Zdroj: prezentace k přednáškám prof. Kosteleckého
Závěr:
Ze čtyř přeletů družice TOPEX/Poseidon nad zájmovým územím byl vytvořen model geoidu.
Altimetrická měření pro každý přelet byla opravena o systematickou chybu. Ta byla určena vyrovnáním zprostředkujících s doplňující podmínkou. Zbytkové chyby pak byly rozděleny úměrně
vzdálenosti od bodů křížení. Model geoidu byl graficky zobrazen pomocí vrstevnic a barevné
hypsometrie. Výsledky byly srovnány s modelem EGM-96. Výpočty byly provedeny v programu
Octave. Zdrojový kód k výpočtům není přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán).
Zdroje:
[1] BUCHAR Petr. Matematická kartografie. 2007.
V Kralupech nad Vltavou 02.05.2011
Jan Dolista ([email protected])
Download

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE - skola