ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
FAKULTA STAVEBNÍ – OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE
KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE
název předmětu
Kosmická geodézie
úloha/zadání
název úlohy
Určení C20
3/6
školní rok
2010/11
semestr
2
skupina
NG1-90
zpracoval
datum
Jan Dolista
04. 04.
klasifikace
Určení C20
Zadání:
Na základě sekulárních variací rektascenze výstupního uzlu tří zadaných družic určete normovaný Stokesův parametr C20. Pro určení časové derivace rektascenze výstupního uzlu použijte
polynomickou aproximaci. Vliv sekulárních lunisolárních poruch zanedbejte; vliv periodických poruch bude vyloučen vyrovnáním při výpočtu derivace. Potřebné NASA two line elements najdete
v souborech TPUDZAD.xxx v adresari ftp://athena.fsv.cvut.cz/KGD/C20, kde xxx znamená
příslušné číslo zadání. Vysvětlivky k dekódování elementů jsou v souboru TWODATA.txt.
Číslo zadání: 006
Vypracování:
Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave.
1
Vstupní data a konstanty
Ke zpracování byla použita data o drahách družic NOAA, LAGEOS-2 a TOPEX. Data jsou ve
formátu two line elements. K dispozici jsou elementy dráhy družice ve 20 epochách. Pro další
zpracování byly ze vstupních souborů načteny:
∙  – epocha, ke které jsou dráhové elementy vztaženy, ve vstupním souboru je udávána
v destinném rrddd.zzzzzzzz, přičemž první dvě cifry představují rok, další tři den od začátku
roku, za desetinnou čárkou následuje zlomek dne. Jelikož v dalším výpočtu jsou použity
pouze relativní časové rozdíly jednotlivých epoch, lze od sebe časy odečítat (časový rozdíl
epoch je pak ve dnech). Jedinou komplikací je pokud zadaná data přesahují do následujícího
roku – tento případ ani u jedné z družic nenastal.
∙  – argument perigea, uváděn ve stupních jako desetinné číslo.
∙ Ω – rektascenze výstupního uzlu, uváděna ve stupních jako desetinné číslo.
∙  – střední denní pohyb, uváděný v otočkách za den.
Pro výpočet v progamu Octeve byly úhlové veličiny Ω a  převedeny na radiány, střední denní
pohyb  byl převeden na [rad/s]. Epocha byla ponechána ve dnech avšak v dalším výpočtu byla
následně časová změna rektascenze výstupního uzlu převedena z [rad/den] na [rad/s].
Dále byla pro výpočet použita velikost hlavní poloosy náhradního elipsoidu pro Zemi:
 = 6378137
a geocentrická gravitační konstanta:
 = 398600.4405 · 109 3 /2
Z výše uvedených hodnot byla ještě vypočtena velikost hlavní poloosy keplerovské elipsy odpovídající dráze družice v základní epoše 0 .
√︃
=
3

2
Pozn.: Jako základní epocha 0 byla zvolena epocha prvního záznamu v souboru dráhových
elementů.
2
Určení časové změny rektascenze výstupního uzlu
Rektascenzi výstupního uzlu v dané epoše lze vyjádřit ze vztahu:
˙ 0 )( − 0 ) + Ω sin  ,
Ω( ) = Ω(0 ) + Ω(
˙ 0 ) je sekulární variace rektascenze
kde Ω(0 ) je rektascenze výstupního uzlu v základní epoše, Ω(
výstupního uzlu vzhledem k základní epoše a Ω sin  je člen dlouhoperiodických poruch, Ω je
pak amplitudou těchto poruch.
˙ 0 ) a Ω neznámé, které lze ze souboru měření určit vyrovnáním
V daném výrazu jsou hodnoty Ω(
MNČ. Pro vyrovnání je rektascenze výstupního uzlu v základní epoše převedena na druhou stranu
rovnice. Za předpokladu, že hodnoty neznámých jsou malé a jejich přibližné hodnoty lze považovat
za rovné 0, lze vektor měření zapsat:
Ω1 − Ω0
⎟
⎜
..
=⎝
⎠
.
Ω − Ω0
⎞
⎛
Matice plánu je pak maticí parciálních derivací podle jednotlivých neznámých:
1 − 0 sin 1
⎜
⎟
..
..
=⎝
⎠
.
.
 − 0 sin 
⎛
⎞
Za výše uvedeného předpokladu (přibližné hodnoty neznámých rovny 0) jsou vyrovnané hodnoty
neznámých přímo rovny přírůstkům:
(︃
˙ 0)
Ω(

)︃
(︁
=  
)︁−1

Pokud by uvedený předpoklad neplatil, projevila by se chyba z linearizace a bylo by nutné vyrovnání opakovat s použitím výsledků jako přibližných hodnot neznámých, nebo přibližné hodnoty
stanovit jiným způsobem.
Ověření bylo provedeno pomocí I. a II. výpočtu oprav:
(︃

 =·
˙ 0)
Ω(

)︃
−
  =  −  ,
kde  je vektor měřených hodnot rektascenze výstupního uzlu a  je vektor hodnot rektascenze výstupního uzlu vypočtený s použitím vyrovnaných hodnot neznámých. Rozdíl I. a II.
výpočtu oprav se pohybuje v řádu 10−16 , tedy chyba z linearizace je zanedbatelná.
3
Určení 20
Stokesův koeficent 20 byl určen z pozorování každé družice zvlášť. Jelikož časová změna rek˙ 0 ) je vztažena k epoše 0 , jsou i ostatní dráhové elementy použité
tascenze výstpupního uzlu Ω(
pro výpočet 20 vztaženy k této epoše.
20 =
˙ 0)
Ω(
√
 3 2 5 (1−1 2 )2
(︀  )︀2


cos 
Výsledná hodnota 20 je určena jako aritmetický průměr hodnot určených z pozorování každé
družice.
4
Číselné výsledky
družice
NOAA
LAGEOS-2
TOPEX
˙ [rad/den]
Ω
0.0172135
−0.0110232
−0.0362518
Ω [rad]
−5.5146 · 10−5
−7.6148 · 10−4
2.7303 · 10−5
20
−0.00048348
−0.00048409
−0.00048392
Aritmetický průměr z pozorování každé družice: 20 = −0.00048383
Závěr:
Z pozorování družic NOAA, LAGEOS-2 a TOPEX byla určena hodnota Stokesova koeficientu 20 reprezentujícího zploštění Země. Výpočet byl proveden na základě sekulární variace
rektascenze výstupního uzlu, která byla z dráhových elementů družic v různých epochách určena
vyrovnáním MNČ. Výpočty byly provedeny v programu Octave. Zdrojový kód k výpočtům není
přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán).
V Kralupech nad Vltavou 28.03.2011
Jan Dolista ([email protected])
Download

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE - skola