cvičící Ing. Jana Fenclová
4. cvičení 4ST201 - řešení
Obsah:
☺
☺
Pravděpodobnost
Náhodná veličina
Vysoká škola ekonomická
VŠE kurz 4ST201
1
Ing. Jana Fenclová
Pravděpodobnost
Co je třeba znát z přednášek
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Náhodný jev, náhodný pokus
Jev nemožný, jev jistý
Klasická definice pravděpodobnosti
Statistická definice pravděpodobnosti
Pravidlo o sčítání pravděpodobnosti
Pravidlo o násobení pravděpodobnosti
Nezávislé jevy
Úplná pravděpodobnost
2
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Pravděpodobnost - příklady
Příklad 3.1.:
Určete pravděpodobnost následujících jevů, které mohou nastat
při hodu dvěma kostkami:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Na obou kostkách padne jednička
Padne alespoň jedna dvojka
Padne právě jedna trojka
Nepadne žádná čtyřka
Na obou kostkách padne sudé číslo
Součet ok na obou kostkách bude osm
3
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1 1 1
P( A I B) = P( A) * P( B) = ∗ =
6 6 36
A- padne na 1. kostce jednička
B-padne na 2. kostce jednička
1 1 1 1 11
A- padne na 1. kostce dvojka
+ − ∗ =
B-padne na 2. kostce dvojka
6 6 6 6 36
1 5 5 1 10 A- padne na 1. kostce trojka
P(( A ∩ B ) U ( A ∩ B)) = P( A) * P( B ) + P( A ) * P( B) = ∗ + * =
B-padne na 2. kostce trojka
6 6 6 6 36
5 5 25 A- padne na 1. kostce čtyřka
P( A ∩ B) = P( A) * P( B) = * =
B-padne na 2. kostce čtyřka
6 6 36
1 1 1
A- padne na 1. kostce sudé
P( A ∩ B) = P( A) * P( B) = * =
B-padne na 2. kostce sudé
2 2 4
přřízniv _ možnosti 5
P=
=
všechny _ možnosti 36
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) =
4
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Pravděpodobnost - příklady
Příklad 3.2.:
Házíme 6 hracími kostkami, určete pravděpodobnost, že na všech
kostkách padnou různá čísla.
Příklad 3.3.:
a)
b)
c)
Ze šesti vajec jsou dvě prasklá. Jaká je pravděpodobnost, že při
náhodném odebrání dvou vajec vybereme
Žádné
Jedno
dvě prasklá vejce?
5
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.2.
6 5 4 3 2 1 6!
P( A) = * * * * * = 6 = 0,015
6 6 6 6 6 6 6
Řešení příkladu 3.3.
A – první vybrané není prasklé
B – druhé vybrané není prasklé
B/A – druhé vybrané není prasklé za podmínky, že první vybrané není prasklé
1.
2.
3.
4 3 6
∗ =
6 5 15
4 2 2 4 8
P (C ) = P( A ∩ B ) ∪ P( A ∩ B) = ∗ + ∗ =
6 5 6 5 15
2 1 1
P( A I B ) = P( A ) * P( B ) = ∗ =
6 5 15
P( A I B) = P( A) * P( B / A) =
6
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Pravděpodobnost - příklady
Příklad 3.4.:
V koši je celkem 30 koulí, z toho 20 červených a 10 modrých.
Náhodně bez vracení vytahujeme dvě koule. Jaká je
pravděpodobnost, že to bude jedna červená a jedna modrá
koule?
Příklad 3.5.:
Určete pravděpodobnost následujících jevů, pokud vybíráme z
balíčku 32 karet dvě karty:
a) Druhá karta bude královna (karty vracíme)
b) Druhá karta bude královna (karty nevracíme)
c) Druhá karta bude piková královna(karty vracíme)
d) Druhá karta bude piková královna(karty nevracíme)
e) Dvě vybrané karty budou obě dámy
f)
Dvě vybrané karty budou obě stejné barvy
g) Mezi 4 vybranými kartami nebude ani jedna dáma
7
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.4.
A – vytáhneme červenou
B – vytáhneme modrou
P(C ) = P( A ∩ B ) ∪ P( A ∩ B) =
2 10 1 20 40
∗ + ∗
=
3 29 3 29 87
Řešení příkladu 3.5.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
4
32
4 3 28 4 1
P (C ) = P ( A) * P ( B / A) + P( A ) * P( B / A ) = ∗ + ∗ =
32 31 32 31 8
1
P ( D ) = 1*
32
31 1
1
P( E ) = P( A ) * P( B / A ) = ∗ =
32 31 32
4 3
3
P ( F ) = P ( A) * P ( B / A) = ∗ =
32 31 248
P( A) = 1*
P (G ) = P ( A) * P ( B / A) * 4 =
P( H ) =
8 7
7
∗ ∗4 =
32 31
31
28 27 26 25
∗ ∗ ∗
= 0,569
32 31 30 29
8
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Pravděpodobnost - příklady
Příklad 3.6.:
Pravděpodobnost zdárného napsání písemky ze statistiky je 0,75.
Jaká je pravděpodobnost, že při psaní dvou písemek bude
alespoň jedna zdárně napsaná?
Příklad 3.7.:
(těžký příklad, jen pro odvážlivce☺)
V první nádobě je 15 lístků, z nichž je 10 bílých. V druhé nádobě je
25 lístků, z nichž je 5 bílých. Náhodně vybereme z každé nádoby
po jednom lístku a z těchto dvou lístků opět vybereme náhodně
jeden. Jaká je pravděpodobnost, že tento lístek bude bílý?
9
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.6.
A – první písemka zdárně napsána
B – druhá písemka zdárně napsána
P (C ) = P( A ∩ B ) ∪ P( A ∩ B) ∪ P( A ∩ B) = 0,75 * 0,25 * 2 + 0,752 = 0,937
Řešení příkladu 3.7.
Těžký příklad, zkuste sami. Výsledek je 0,43.
Pokud by vás zajímal postup, přijďte na KH.
10
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Rychlé opakování pravděpodobnosti na
doma
Příklad A.: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi kostkami
Padnou právě tři jedničky
Nepadne ani jedna trojka
Padnou jen lichá čísla
Padne právě jedna čtyřka
Padnou právě dvě trojky
Padne alespoň jedna šestka
[1/216, 125/216, 1/8, 25/72, 5/72, 91/216]
Příklad B.: V osudí je 10 černých a 8 bílých koulí, losujeme bez vracení
tři koule, jaká je pravděpodobnost, že budou právě dvě bílé a jedna
černá?[0,34]
Příklad C.: Jaká je pravděpodobnost, že kouzelník vytáhne za sebou dvě
stejné karty, když tahá z jednoho balíčku a to s vracením nebo bez
vracení? [ 0,031; 0]
11
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Náhodná veličina
Co je potřeba znát z přednášek:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Náhodná veličina
Nespojitá a spojitá náhodná veličina
Zákon rozdělení náhodné veličiny
Distribuční funkce
Pravděpodobnostní funkce
Hustota pravděpodobnosti
Charakteristiky náhodných veličin (střední hodnota E(X),
rozptyl D(X) )
12
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Diskrétní náhodná veličina I.
Příklad 3.8.:
Náhodná veličina představuje výsledek hodu jednou kostkou. Určete
distribuční funkci a pravděpodobnostní funkci této veličiny.
Příklad 3.9.:
Náhodná veličina představuje výsledek hodu jednou kostkou, která má
ovšem napilované hrany. Pravděpodobnosti padnutí jednotlivých ok je
následující:
x
1
2
3
4
5
6
P(x)
0,2
0,15
0,1
0,05
0,1
0,4
Určete pravděpodobnost, že na kostce padne:
• Jednička
• Alespoň 3
• Číslo menší než 3
• Číslo větší než 2 a menší než 6
• Číslo maximálně rovno 2
Určete distribuční funkci i s grafem
13
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.8.
x
1
2
3
4
5
6
P(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
F(x) =0
x<1
=1/6 x=1
= 2/6 x=2
= 3/6 x=3
= 4/6 x=4
= 5/6 x=5
=1
6<=x
P(x)=1/6 pro x=1,2,3,4,5,6
=0
jinak
Řešení příkladu 3.8.
1.
P(x=1) = 0,2
2.
P(X<3) = P(X<=2) = F(2) = P(1) + P(2) = 0,35
3.
P(X<=2) = F(2) = P(1) + P(2) = 0,35
4.
P(X>=3) = 1 – P(X<3) = 1 - P(X<=2) = 1 - F(2) = 1 – (P(1) + P(2)) = 1 - 0,35 = 0,65
5.
P(2<x<6) = P(3) + P(4) + P(5) = 0,25 …..!! Neboli F(5)-F(2)!!
14
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Diskrétní náhodná veličina II.
Příklad 3.10.:
Náhodná veličina A má pravděpodobnostní funkci
P(X) = x/10 pro x=1,2,3,4
P(X) = 0
jinak
Určete:
P(7), P(4), P(2<X<4), F(3), F(2,8), P(2,8), F(8).
15
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.10.
1. P(7) = 0
2. P(4) = 4/10
3. P(2<x<4) = P(3) = 3/10
4. F(3) = P(X<=3) = P(1)+P(2)+P(3) = 3/5
5. F(2,8) = P(X<=2,8) = P(1)+P(2) = 3/10
6. P(2,8) = 0
7. F(8) = P(X<=8) = 1
16
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Spojitá náhodná veličina
Příklad 3.11.:
(těžký příklad, jen pro odvážlivce)
Náhodná veličina Y má hustotu pravděpodobnosti
f(x)=
y
5
pro 0<y<2
Určete střední hodnotu náhodné veličiny a rozptyl náhodné
veličiny.
17
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.11.
18
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Náhodná veličina - příklady
Příklad 3.12.:
V tombole je každý týden slosováno 10000 losů. Losy jsou v ceně 5 Kč za
kus. Seznam možných výher je v následující tabulce:
Počet výher
1
3
700
1200
8096
Vyhraná částka
20000
5000
500
5
0
Vypočítejte střední hodnotu výhry pro jeden los a směrodatnou odchylku
výher.
Příklad 3.13.:
Třikrát házíme mincí. Náhodná veličina X nechť je počet hodů, při kterých
padne hlava. Vypočtěte hodnoty pravděpodobnostní a distribuční
funkce náhodné veličiny X a sestavte je do tabulky. Nakreslete grafy
obou funkcí.
19
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.12.
20
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 3.13.
21
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Za 14 dní budeme psát první test, pokud budete mít jakékoliv
dotazy, přijďte na konzultační hodiny
každý pátek 9:00-11:00 JM317,
před testem se bude vše dohánět hůře.
Máte možnost se na cokoliv zeptat i na webu
jana-fenclova.php5.cz ,
kde máte na fóru široký prostor pro vaše dotazy.
22
Download

4. cvičení 4ST201 - řešení - Ing. Jana Fenclová