cvičící Ing. Jana Fenclová
6. cvičení 4ST201-řešení
Obsah:
☺
☺
1. průběžný test
Normální rozdělení
Vysoká škola ekonomická
VŠE kurz 4ST201
1
Ing. Jana Fenclová
První průběžný test
Na lavici možno mít TABULKY, VZORCE, PSACÍ POTŘEBY, PRÁZDNÉ PAPÍRY,
KALKULAČKU.
Jakékoliv další materiály dejte ze stolu pryč.
Můžete používat: EXCEL, SAS, VZORCE či TABULKY na PC
Celková doba: 30 MINUT
Na jakékoliv dotazy se ptejte pouze mě, nikoliv souseda!!!
Všechny papíry na které chcete psát si PODEPIŠTE a napište hodinu CVIČENÍ.
Variantu otáčejte, až po vyzvání a nepište, prosím, do ní!! Děkuji ☺
2
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Normální rozdělení
X ~ N(µ; σ2) » (X – µ)/ σ ~ N(0; 1)
xp = up · σ + µ
• N(µ; σ2)
• µ … střední hodnota
• σ2 … rozptyl
Distribuční a kvantilovou funkci N(0;1)
najdete v tabulkách.
N(0; 1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
N(100; 100)
70
80
90
100
110
120
130
3
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Normování veličin
Normální rozdělení
Normované normální rozdělení
X ~ N(µ, σ2)
U = (X – µ)/σ ~ N(0; 1)
F(x)
=
Ф((x – µ)/σ)
xP
=
uP · σ + µ
4
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Normální rozdělení – příklady I.
Příklad 6.1.:
Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry μ=15 a σ2=36.
Určete pravděpodobnost, že:
1. P(X<21)
2. P(3<X<27)
3. P(X>27)
Příklad 6.2.:
Výška mužů ve věku 25-30 má přibližně normální rozdělení s
parametry μ=180 a σ2=49.
Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný muž, bude:
1. Vyšší než 201 cm
2. Vysoký mezi 173 a 187 cm
5
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 6.1.:
X ~ N (15,36)
 X − µ 21 − 15 
<
P( X < 21) = P
 = P(U < 1) = Φ ( X = 1) = Φ (1) = 0,84134
6 
 σ
 3 − 15 X − µ 27 − 15 
<
<
P(3 < X < 27) = P
 = P(− 2 < U < 2 ) = Φ (2) − Φ (− 2 ) =
σ
6
6


= Φ (2 ) − [1 − Φ (2)] = 2 ∗ 0,97725 − 1 = 0,9545
 X − µ 27 − 15 
>
P( X > 21) = P
 = P(U > 2 ) = 1 − P(U < 2 ) = 1 − Φ(2 ) =
6 
 σ
= 1 − 0,97725 = 0,02275
Veškeré výsledky naleznete v tabulkách!! Nutno umět hledat distribuční
funkce! V tabulkách naleznete pouze hodnoty pro distribuční funkce
kladných hodnot!!!!
6
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 6.2.:
X ~ N (180,49)
 X − µ 201 − 180 
P( X > 201) = P
>
 = P(U > 3) = 1 − P(U < 3) =
7
 σ

= 1 − Φ (3) = 1 − 0,99865 = 0,00135
 173 − 180 X − µ 187 − 180 
P(173 < X < 187) = P
<
<
 = P(− 1 < U < 1) = Φ (1) − Φ (− 1) =
7
7
σ


= Φ (1) − [1 − Φ (1)] = 2 ∗ 0,84134 − 1 = 0,68268
Veškeré výsledky naleznete v tabulkách!! Nutno umět hledat distribuční
funkce! V tabulkách naleznete pouze hodnoty pro distribuční funkce
kladných hodnot!!!!
7
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Normální rozdělení – příklady II.
Příklad 6.3.:
Náhodná veličina U má normované normální rozdělení. Určete:
a) P(U<0)
b) P(U>2)
c) P(-1<U<1)
d) u0,975
e) u0,05
f) u0,95
Příklad 6.4.:
Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry μ=10 a σ2=25.
Určete:
a) P(X<5)
b) P(9<X<11)
c) P(X>20)
d) x0,975
e) x0,05
8
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 6.3.:
a) P (U < 0) = 0,5......Bez _ počočítá _ je _ viděi _ v _ grafu!!!!
b) P(U > 2) = 1 − P(U < 2 ) = 1 − Φ(2) = 0,02275
c) P (−1 < U < 1) = Φ(1) − Φ(− 1) = Φ (1) − [1 − Φ(1)] =
= 2 ∗ 0,84134 − 1 = 0,68268
d )u0,975 = 1,95667 = 1,96
e)u0, 05 = −u0,95 = −1,645
f )u0,95 = 1,645
Příklad je řešen v aplikacích. Jsou k němu obrázky, podívejte se na ně. Nutno
obrázky pochopit, abyste věděli, co počítáte, a uměli si do obrázku nakreslit,
to co počítáte!!
9
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 6.4.:
X ~ N (10,25)
 X − µ 5 − 10 
a) P( X < 5) = P
<
 = P(U < −1) = 1 − P(U < 1) =
5 
 σ
= 1 − Φ (1) = 0,158
 9 − 10 X − µ 11 − 10 
b) P(9 < X < 11) = P
<
<
=
5 
σ
 5
P(−0,2 < U < 0,2) = Φ (0,2 ) − Φ (− 0,2) = Φ (0,2) − [1 − Φ (0,2)] =
= 2 ∗ 0,579262 − 1 = 0,159
c) P( X > 20) = 1 − P( X < 20) = 1 − P(U < 2) = 1 − Φ (2 ) = 0,02273
d ) x0,975 = 1,95667 ∗ 5 + 10 = 19,8
e) x0, 05 = −1,645 ∗ 5 + 10 = 1,776
Příklad je řešen v aplikacích. Jsou k němu obrázky, podívejte se na ně. Nutno
obrázky pochopit, abyste věděli, co počítáte, a uměli si do obrázku nakreslit,
to, co počítáte!!
10
Download

6. cvičení 4ST201-řešení