: ?,
z
a:
8 1 0 Z e v z t a h t la ) a : 2 x * 3 ; b ) g
*vyjádŤete
")
jako funkci proměnné g a udejte definičníobor této funkce.
c)fi: l=
d ) Í + :J =
2x - 0,6 -
3;;Tg
4
x-3
.=-..-)x+ /.
I
rY-3
;a cR;b) r:?,seR\{oi;
L.)":
2
u
q"::+1,al-R\{o}]
o,<r,l=R;b)4É)=(-oo;-l) U (l'oo)r
c) D(f.r)= (-ml -5) u (5' oo);
=(-""-3)" (i "")]
d)D(Á)
8.ll
b ) y : : l x , y > 0 v y p o č í t e j t ex
Z f u n k č n ír o v n i c e a ) y : . . / ' ;
jako funkci y a určetedefiničníobor tétofunkce
I
oborfunkce:
Určetedefiniční
11
a) r:
y 2 , , 1e R : b ) x : , y ' 3 , y ' e( 0 :o c ) ]
8 . 1 2 Vyjádiete obsah obdélníkuvepsanéhodo rovnoramennéhotroj-
a) Ít
u h e l n í k uo p o d s t a v ě c : l 0 a v y š c eu , :
jeho strany o.
b) Íz
|2 jako funkci délky
I S : l . 2 a ( 1- 0a ) ]
c) Íl
Napětí v elektrickémobvodu rovnoměrně klesá s časem t Na
počátku pokusu bylo toto napěti U, : I2y, na konci pokusu,
ktery trval 8 s, bylo napětí Uz:6,4 V. Vyjádiete tuto závislost
napětí (y V) na čase(x s) rovnici a znázornétezávislost graficky.
d) Íq
e)Ís
I l : | z - 0 . 7 t :p Í í m k a]
DÍs y =
oo);
í' a)W) = (- l; 0)U (1,oo);b)D(f2)= ( al 4) u (5'
=
c\W = (-oo;4)u (5;oo);d)I{f.) (5'oo);
e)Dť5)= (3;oo)l0 D(fs)= R 1
8.9
jsou /(z) a 9(r)
Určete definičníobory funkcí a vysvětlete' proč
rrizné funkce'
8 . 1 4 objem sudu na naftu je V :2O0l. Čerpadlo dodává do sudu
50 l za minutu' PÍed uvedenímčerpadlado činnostibylo v sudu
20l nafty' Jak se mění mnoŽstvi nafty (y l) v sudu s časem
(x min)? Čas počítámedo okamžiku, kdy se cisterna naplnila'
Nalezněte graf tétofunkce .
I y : 50x+ 20;x e (0;3'6)'useěka]
8.15 500 kg vody se ochlazuje a ztráci kaŽdou minutu 420 kJ tepla.
p r or
t ' ) p ( / ) : R ' D ( g ): R \ { - t } ; b ): - : r ' , :g'\0x )i "=, L- '.\ .
:
pro r ( 0 je /('c)
9(r);
/(r)
g(Í)i
.l b.trl= ilt tot.nG) = R\ {0)'tj.Í(Í)=
d) r(/) : R, D(e): R \ {o} l
254
Počátečníteplota vody je T : l0 "C. Udejte závislost tep|oty
vody (y "C) na čase(x min) a vypďítejte, za kolik minut se voda
ávislosti.
ochladí na 0 oC' Sestrojte graf vyšetŤované
I
y:10-0'2x;50min ]
t.16 Měsíční
nájemnéz elekroměruje 22,50Kč. 1 kw. h stojí1,05rx
platbou,
Určetezávislostmezi měsíční
elekĚinu.apoet"u]
\č.T
spoůebovanfch
kilowatttrďin a zapištepffslušnoufunkci.
I p = 22,50+1,055
&22 Sestrojte graf dané funkce. Určete, ve kter;|ch intervalech je
furrkce rostoucí, klesajícínebo konstantni. Rozhodněte, je-li
daná funkce v celémdefiničnímoboru prostá.
* 3
_...:*
t
/:-'\3x - 14
\
b)
3x
4
a)
1
t.17 Sesnojtegrďy funkcía určete,zdajsou danéfunkcemonotÓnní.
a)Y=x
b) y = -0,5-r
c)Y=2x-L
d ) y = 1 , 5 . r -3
e)y=5
I
a) rostoucí; b) ktesající;c) r!|rbuct
d) rosloucí; e) konstantní ]
t.lt
\J
Sestrojtegrď linerírní
funkce! = kx + q, ktrr! prochrází
bode,m
u = [2;-3],je-li:
a)t=i
1))
b)k=-:
1-5J
c)k='-
c)
d)t=0
Í a )q = _ 4 ; b ) q = - | ; " l r
= -|ld)e
I
= -3;
t.19 v rovnici lineárÍ'ífunkce ! = kx + 3 určetet tak, aby grďfunkoc
procházel bodem:
a)A=l-2;Il
b)B=[0;-3]
c)C=[5;3]
d)D=[1;-1]
I a) & = l; b) tatoví funtce necxir!Úci
c)&=0;d)t=-4 l
Sestrojtegrďy funkcí
a)y= l.rl;x e (-3;21
b ) y = l 2 . rxl ;e ( - 2 ; 2 )
c ) y = l . r + 2 1x ;e ( - 5 ; 0 )
d)y= l3.r-41:'x e (0;3)
grafyfunkcídefinovanlch
t21 Sestrojte
v množině
R.
a)y=lx-21-,
b ) y = 1 2 . r1- l + . r + 1
c ) y =l . r + a l - W - 2 1 - ? : + I
256
* 8,5
- 1,5
,r0,5x
,/
x
J
r:--'r
-2x - 10
gmfy jsou piímky procházcjící bodem M = [2; -3l
a vytínajícínaoseytisekq ]
t20
'-1,5x
pro x e (-3:2)
pro x e (2:5)
pro xe(5;7)
pro xe(-3;0)
pro x e (0;3)
pro
pro
pro
pro
xe(3;5)
xe(-l;3)
xe(3;7)
xe(7;8)
a ) N a ( - 3 ; 2 ) k l e s a j i c í ,n a ( 2 ; 5 ) k o n s t a n t n í ,n a ( 5 ;7 ) r o s t o u c í ;
b ) n a ( _ 3 ; 0 ) k l e s a j í c ín, a ( 0 ;3 ) r o s t o u c í ,n a ( 3 ; 5 ) k l e s a j í c í ;
c) na (-l;8)
rostoucí l
8.2 NepŤímáriměrnost
Definice. NepŤímá měrnost je definována rovnicí
I
-
k
-t
x)
kde k l0 je koeficientnepŤímé
irměrnosti,'' c R \ {0}.
PŤíklad
8.23
Z Íyz|ky známe zákon Boyl v-MariottŮv, kter! Ťiká: Pokud se
nezměníteplota plynu a jeho množství,
je součinobjemua pŤíslušného
tlakuplynu stejn!.Máme.li napi. 3 l plynu o tlaku 200kPa, platívztah:
p .V :600 Pa.m3
označíme.li
objem x dm3,tlak y kPa, dostáváme
600
-x
Sestrojmesi tabulku některfchhodnot.
257
mensi
hodnotafunkcer :
8.32 Určeteinterval'v němŽje funkční
I
neŽO,7.UŽiJtegraffunkcey : +
.)
[ ,--,.).(1q'
]
8.33 Skupina 12 dělníkú(stejněvykonnych) vykoná určitou práci z3
40 dní Vyjádiete, jak bude záviset počet dní x, kdy je tato
práce vykonána, na počtu dělníki y, Znázorněte tuto závislost
grafickY
I
n o u n o o rhay p e r b o lrat :
+
]
8.35 Najděte vztah mezi tlakem plynu a jeho objemem pii stálé
t e p l o t ě ,j e s t l i Ž ep Ť it l a k u P : 1 0 1 0 k P a m á p l y n o b j e m V : 2 , 3 | .
Nar!'sujtegraf tétofunkce
I
Rovnoosá hyperbola; p|i : 2323 Pa mr. ]
lx-21
lx+ll - s
b)y :
8.36 Najdětehodnotufunkcea) y :2 _ ffi;
ffi
p r o t y t o h o d n o t y p r o m ě n n éx : x :
_4; x :
-l;
x : 2; x = 5'
-o'], z,fr, at- !; -s,-z;-z )
",
[
8.37 Načrtněte graf funkce:
a)y:E+
-
X+l
b)y:l+l
I^-rrl
*8.38 Hiídel koná torzníkmity kolem svépodélné
osy tak, žese rihlová
dráhaE měni s ěasemÍ podle vztahu Q :,,,in (', - +),
260
kde Eo :
T
1l
_|
_,
r
L
r : l 8 0 s , r r : 1 rrul
l
*8.39 Tělesoje zavěšeno
na pruŽném
závěsua koná harmonické
kmity
kolemrovnováŽné
polohy.Vlchylka y tě|esaz rovnováŽné
polohy
seměnís čase
m r podlerovnice-}: a sin íu, * *)
Vypočire1te
"
r/
\
amplitudu a kmitu a velikost konstantyk, je-li doba kmitu
T: 0'5 s a počáteční
v1fchy|ka
lo : -4 cm,
R o v n o o s á h y p e r b o l a :x y : 4 8 0 ' ]
: 40 m celkem rr-krát.
8.34 Kolo prriměru d m se otočilo na dráze s
Jaká je závislost mezi prťrměremd m kola a počtem otáčekn?
Znázorněte tuto závislost graficky
I
u .:
s - , - Z n á z o r n ě t e t u t o z á v i s l o s tg r a f i c k y .
90
s0
N a j d ě t e d o b u k m i t u T a u h e l ( p p Í ot : 1 0 s
f-r-
|
,:4cm; k:4ns-r
l
8'40 Ozubenékolo má 2l0 zubri a otočíse ltkrát za minutu.
a) Kolik zubrimá druhéko|osoukolí,otáči-lise 15krátza minutu./
b) Kolikrát se otočítŤetíkolo soukolí'kterézapadádo prvního
kola,má-li 55 zub .?
I
a) 154zub , b) 42krát f
8 . 4 1 Z e s u d uo o b j e m uV : 2 0 0 l t e č ev o d ar y c h l o s tuí: 6 | . m i n _ 1
Určetemnožstvíra l vody v sudu v závislosti na době r min,
po kterou voda vytéká Určetedefiničníobor piíslušné
funkce'
-l
| ,, ^: 2oo- 6t:D(Í):(o.,, ]3 /)
\
L
|
8.3
Mocninné
funkce
Mocninná funkceje definovánavztahem U : tn, pro n C Z' nebo
obecnějia : a In, a l 0. Mnohé funkčnízávislosti se vyjadŤují
pomocímocninnychfunkcí.
Je-lin:0 ax e R\{0}, definujeme
je
xo :I. Pro n celézáporné
r c R \ {0}. Pro n celékladnéa:t C.R se jedná o známétypy funkcí,
jakonapŤ.
e R , 9 : a x 2+ b r l c , a f
0,r c R.
a:an*b,at'0,r
Grafem funkce 9 : ar l b, a # O, r c R je pňímka.Grafem funkce
a: ar2 -|br*c, af 0, r C R je parabola.Grafem lineárnílomené
( Á)
k
t u n k c e-! :
c R \ ' t{ - : } , k + } i e h y p e r b o l a .
.až
.
,
,
r
x+b
a)
26t
Narjsujtegraffunkce! : k.1,5''pro k : l: 2; 3: !:*
8.54 Co |zr Ťício exponentum, platí-li:
a)ro': 8 t)(+)':+
rovnejtegrafy.
Sestrojtegrafy funkcí! :3, 3 y :3_'
funkcí! : 3, * 3_' a ! : 3, - 3_x.
I a ) 0 < n r c l : b ) r r r < 0]
Kter! ze vztahú0 < c < |, a > I platí,je-li:
3
slaS<aS
4
2
,
b)ai>ar
s
cla
I
P r o k t e r áa j e f u n k c e, : ( 3 o ; ,
\'/
klesající?
_1
9
8>aE
a) o> l; b)0<o<
1;c) 0<o<
I
]
Na milimetrovémpapírusestrojtegraf funkce } : l0' Za jednotru délkyvolte2 mm.
Co|ze Ťício mocnitelix, platí-li:
b) l 0 ' ' : 0 , 0 0 1i 1 0
a) l0' : 0,001
s/ |
r
c)l0Ě:b3r
J*
f u,':-l:b) t=-T;
L
funkce
| : 3,.
8.58 Sestrojtegraf exponenciální
8.59 Sestrojtegrafy funkcí, : (+)'"
tato funkceklesaiicí?
8 I
.tt:T
I
Sestrojtegraf funkce ! : Q'pto o : 1. Jak se měnígraf funkce,
jestližese čísloa zmenšujeod jednék nule?
&61 Sestrojte graf funkce y : 10'; určetez grafu funkčníhodnoty
pro x : *0,5; *0,25; !0,2.
, : (,+) ? Pro která o
"
\al
jsou to funkcerostoucía pro která a funkceklesájícitPro kteráa
nablvaji obě funkce stáletéžehodnoty?
Jak! je rozdíl mezi funkcemi | : a,
o > 1 jefunkce y : o' rostoucíafunkce
",o
: 1 nablvají obě funkce
, : í])' klesající;Pro o
\o/
stále stejnéfunkčni hodnoty 1; pro 0 < a < L le
266
rostoucí.
f
s
Pro a > j je funkcerostouci,
lsI
proT < a <1le funkceklesající.
I
L)' .o.tou.í a pro která o je
-
| /
t
, : (+)-; co o nich mrižete
funkce y : a' klesajici a funkce, : (+)
\zu
a sestrojtepak grafy
) r o s t o u cai p r o k t e r ác j e
I
8.66 Pro která a je funkce y : (+l
Ťíci?
f
L
o Oo-
Pro a > 0,5je funkcerostouci,
pro o < -0,5 je funkceklesající.]
&67 Podle znalostíexponenciálnífunkce rozhodněte,kterémocniny
jsou většínežjedna, menšínežjedna nebo rovny jedné.
rs.r,-i
- ' \)Ťf/t_\ i
!a, ) v0, v. Ý
8-5 i b
o (Ť,)
d)
zr\-*
(Ťl
e) 7,870
Í\ 2,70,4
I
a) menšíneŽ l; b) větši neŽ l; c) většínež 1;
d) většínež 1; e) 1; 0 většínež l ]
E.68 Co |ze Ťício mocnitelim,jestližeplatí:
b) l0- : 0,6
a) 3,5' : 1,5
:
O,4
d) 3' : 0,35
c) 4'
I
a ) 0 < r n < 1 ;b ) m < 0 ; c ) m < 0 ; d ) . < 0
]
&69 Rozhodněte, zda danédvojice jsou dvojice inverznich funkci.
a) ur:Y :2x - 4; Di Y :0,5x t 2
b) ur: Y : -2x I 5; ur: y : 0,5x * 5
]
I
a) ano; b) ne
]
267
8.70 Ke kaŽdédané funkci určetefunkci inverzní.
-2x+6
)
x
b ) Í z :| :
dll,tv:-
e )Í s : | :
x -12
f \f s t y :
x-3
I
lx
- 1 l ;x e ( - o c ; 0 )
a ) . / i ' : Y : 0 , 2 5 x+ 1 , 2 5 ;
b ) , / i ' , , r: - 0 , 5 x + 3 ; c ) / l r : , :
d )Í i , 'l'' : _
D í Z , .y :
8.7l
*,
:}+f
:.e) Á,:]'
-x + l;re(1;co)
]
Rozhodněte, zda dané dvojice jsou dvojice inverzních funkci.
a ) u r ' .Y : - Z x z + 5 ; x e ( l ; o o )
D | ! : Ý / 0 , 5 ( -5 x ) ; x e ( - o o ; 3 )
xe(0;3)
b\ ur: Y:2x2 -3
D z iy : J 0 , 5 ( x + 3 ) ; x e ( - 3 ; 1 5 )
I
a) ano; b) ano 1
8.5 Logaritmickáfunkce
Exponenciální funkce x : ay pÍi libovolném kladném základu a ) 0,'
a * | j e p r o s t á v i n t e r v a l uy e ( _ c o ; @ ) , a p r o t o k n í e x i s t u j ei n v e r z n i
funkce, tzv. logaritmická funkce o základu a' označeni y : Iogox.
Z vlastnosti exponenciálních funkcí p|yne, že funkce y : |ogox
1. je definována v intervalu x e(0; .o)'
2. je rostouci pro a > 1 a klesajícípro 0 < o < l (viz obr.8.8).
Funkce x : Qy a y :lolax jsou navzájem inverzní.Yyraz pro x p
tedy moŽno napsat ve tvaru x : g|oE"x,napŤ' pro a : |o p|ati x =
: |Qlosrox.V tomto tvaru bjvá někdy uváděna definice dekadického
logaritmu číslax. Místo log,o x píšemestručnělog x.
Piímo z definice logaritmu vypllvají tyto d ležitévlastnosti logaritmú.
l a) Logaritmus jedné pŤi libovolném základu 4 ) 0, a # | je nu|a,
b) PŤi libovolném základu c > 0, a * I je logaritmus tohoto zák|adu
roven jedné'
268
Obr 8.8
y.logrx
c) Pii základech většichnežjedna má většíčíslotakévětšilogaritmus.
Logaritmy číselvětšíchneŽ jedna jsou kladné, logaritmy číselmenších
neŽjedna záporné.
PŤi základech většíchnež nula a menšíchnež jedna je tomu právě
naopak.
2 a) Logaritmus součinukladnlch čiselje roven součtujejich logaritmri'
l o g . ( x r x r . . . X n ) : l o g o x , * l o g .x z * . . . * l o g o x "
b) Logaritmus podílu dvou kladnfch číselje roven rozdilu logaritmťr
dělencea dělitele.
,X,
: lo8o x, _ logo x,
Ť
c) Logaritmus mocniny kladného číslaje roven součinu mocnite|e
a logaritmu tohoto čísla.
logox* : klog,x
d) Logaritmus odmocniny z kladnéhočís|a
je roven podilu logaritmu
tohoto číslaa odmocnitele.
los x
los.]ix:.-ěg.
n
e) PŤevod logaritmu z jednoho základu na jin!':
loc.
losx:+++:
--oo-ln':
lot'
logra
lna
loga'
(l)
\
Cvičení
t.ES Určete:
a) logt 16,
b) logr 162,
LogrI25;
logo162;
.1
t o g rg l
1
c) 1og1
,;
rogs
d) log, r,6;
IT
5r
Log.rl024,
log,u162;
logr
1-l
logt 1
logrrulíz
d) Vo
e)
E) xtyo
h)
0 "J5
i) lm'
a) 5 log n; b) 2 log t';
c)logn * 2logd + logu - log4;
tog+
t6:
*::
L
Iog'Á
logu5 5:
5
I a)413;lO;0;b)S;+;Z; r;
lt
2 t- Z
; ;d ) c )l ; L ; 2 4
1; 1;
I
a ) l o g ua + I o E b -
b) log, a-Iogob
c) 4los' 2
e) logr(log2 16)
d) 2tos't
f) logr(logt 1)
h) lo9.(/o961)
g) logo(logr16)
logo; e) 2(logr, + logr, - log2);
,
f) logx +
I
g) 5 log x + 4log y;
,loes
h )l o g 2+ 2 l o g r + l o g a + l o g b+ l o g R :
, l
r . -) s l o q m
r-l
8.89 Určetelogaritmy vyraz ,'
t.t6 Vypočítejte:
I
d)
a) la2,fa
^\
5/i
I
b)
3 /t
d)
0
e\ a"
I a)0;b) rlc)2;d)2:e)2;
f) není definován;8) l; h) není definovÁn ]
Určetelogariunyvyrazi:
a)Znr
, 4xy
c)'=:)n
..r
c')š;
b) rcf - 2r
.,az-bz
o)2a
1
t
D 4xv
c)
. 6rv
I
a) log2+ logn+ togn b) logr+ logfrr - 2);
c) log4 + logx+ logY - log5 - logn;
d) log(o + á) + log(a _ b) - Log2 - log a;
e) log.r - tog 8; f) -(log 4 + log x + log y);
g) log6 +log;r+ logY - logT
r
\
t/
1
,(loS2
+
,los7):
d)los3 + loga+
,-fZtosb
b)rl
l
g ) l o gT : l o g 2 + l o g n * j 0 o ,
\
l logc,y;
h ) t o gT : t o g 2 + l o g n -
lrisn
t - t o g 2- l o s g ) ;
+
- r ) + l o g ' (+
l r)l;
f trostr
i ) l o g n: r o s ,+ j { t " r n - j t r o s t , - r )+ l o s ( .r ' 1 1
&90 Určetevyraq jehožlogaritmovánimdostaneme:
Určetelogarirny vytazi:
276
t/
e ) n l o g o ;f ) l o g d = t o g 0 , 7 4+ j ( l o S V - t o g t ) ;
-i tl - +
a)n5
s
:
l o g c lb )
ts_
+
i(tos
ž,o'l) 7(t"sz 1tocs):
L ",Ť
t/
r
\
|
")+
a ) 2 | o g a + | o E 3_ l o g Ď - l o g 5
b)3logn-4log(n+l)+2
}]
* 8 . 1 1ď5J Ť _ J T 2 - - : $ - ,
*t.119 a) 0,01= 0,0013'
b) 1,1'+l= 0, l1'-l
c ) 3 , 5 . 4 , 6 r - ,- 5 , ' ,.76 , g ' - r = 0
61 z,-llZ9 - z'+{8P
c){-38'i'3'-7{t:9
d) 78x-3 :
1
l
e) 8t'- 1 . 5-2 -- o,o4
f) 10'-3 : 0,0001
g) l1' : l56o's
8.120 a) oQt+t)(x-z)- 1
b ) 2 , I ' .3 , 5 - ' = 5 , 6
c ) T - t - 2 ' + I 0 . T * t = 5 ' - 2 . 5 , - t+ 3 . 5 , - z
^ , t , b )3 , 5 c; )a ; a ) { ;
[
" )i ;
*t.lzl L) 31+x
- 32+x
+ 33+'= O,1
b) 3' .0, 25-' = IT+r - IL}
l; b)0,926
63 1
I a)- 4,861
t.122 a) I?l = 5,423 b)36,5' = 259 .; 3+-r = J3x+5
37;b)r,5441;
c)-21,08 1
I a)0,680
z'+!14=
= 1024
t.123 a)
b) 7t+'- g .i5-, = 1 960
c)9-T++=Y+l-3zt-t
4.3' :3.2' - 12
h) 2 . 4 ' - 5 . 2 ' + 2 . 4 ' - t : 0
c) 6 ' -
t
8.117a)
b)
/ z \ ' ,- t / 1 \ - ' _- L"
c)
tT,
\'./
,,,:
konci z-téhoroku drínavzorcem Kn = Ko
\ -s/ t
1
2-x.9x-z
3,*"
b ) 8 1 ': +
strojena
?:^
, kde K9 je
('_ '*.J
kupnícena na počiítkuprvníhoroku. Po ko|ika letech bude cena
strojepŤibližněpoloviční,bude-li urokovacíprocentoa) p = 4 %;
b)P=I0%?
I
a) -0,95867; b) O; c) 5 ]
",(+):(+)'
[ "l
284
Í a ) _ Z l u ) r ; c ) ,11
a) 0,63468; b) 4; c) 0,61937; d) 1;
e ) - 3 , 2 3 0 8 6 5 f; ) 2 , 1 5 0 - lg; ) 2 ; l ; h ) 1
t.124 odepisujeme.likaždoročně
z poslďní n,,,o
3. ga-x.6x-r
& l l 8 a ) 3 - ': 2 ' l
1....r
| . ^ t -rt
aa1.<r
I
2;b)- 3,3725r4;c)3,600297
j
|- ")
O - l ; g )1 , 0 5 2 e 8
* 8 . 1 1 6a ) 10-.: 4,312
b) 3 ' + 1 : 3 ' + 1 6 2
c) 3 x - 1 . 5 2 x - , : 5 2 - 3 r . 3 l - 2 x
-r I
3x+
d) 3 3 x - I . 4 1
e) 5 2 + x 4 5 3 + x _ 5 l * - ' : 0 , 8
f) 3 x + 2 _ 5 ' : - J " + 4 - 5 x + 2
'14-6l7+8:o
r3,b)0,er722;c)0,85835
]
-r;ul-], .13
]
I
a) po 17 lerech;b) po 7 leterh 1
8.125 Roste-liproduktivitapráe,kažÁotďně o p ?o,je produktivitaV" po
n letechdrínavztďtem Vn = Vo(' -
*o" uo je produktivita
*.)n,
záklednl Po kolika letechje prďuktivita % pŤibližnědvojnásobná'
roste.lirďně op = 4 %?
I
asipo lElerech
]
285
v čistésměsi se sprílenfmiplyny ve vfbušnémmotoru
t.l.26 Míra smíchríní
je dánavzorcemy = y _ e-, . Vypočítejte
exponentx, je.li pfi y = 1'39
v = 0,65 (eje základpfirozenfchlogariunú).
mírasmíchríní
[ . r = 0 , 3 011 1
E.127 Rrídiumse neustále pŤeměĎujetak, žEz počrítďníhomnožstvíryo
lÍ = Nq . g-)t kde e je zák|ná
kilogramri zbudeza t rokúmnožství
piirozenfch logaritmŮa ) je Ev. pŤeměnová
konstantarrídia"rŤpoci.
napolovinupúvodního
množsM
tejte^,víte-li,žeserádiumpňemění
zat=1600roku.
Ir=o,omnrzzfi
]
po dopadunazem do dvou ůetinvfšky' z níždopadá"
t.12t Míčs odrážÍ
Po ko|ikátémodrazuvyskočímíčdo vfšky /t = 1,6 nr' spadl.[ na
pďrítkuzvfškyh=8,1m?
I
po čtvrtémodrazu l
d ') l o-g
- - .
</l ovgY l l x : 4 l o g $ " x s * l o g 4 x
J
x
e) ílogxz + 5 log xa - 3log xs + 2log {x = 85
f) 2log(xz - l) - log(x - 1)2+ logJx + t : 5togv20
l-r
L
8.r3ra) jl--]gg:L:
) - togx
u , a , - r + , / r r l br )2 5 c; )v 5 r
d) 0'96808; e) 64.|62,07;Í) |9
7
8
o)ffi:Jt
c) log (3x2 + 1) - log (3 + x) = log (3x - 2)
log(x2+ 13) ^
,,, -log(;+
:
"'
5D
"
Řďte následujícílogaritnické rovnice, určetepodmínky,zanichž nrrídaná
rovnicBsmysl,a proveďe zkoušlo.
I a ) o , t ' Y r o o= 0 , 1 3 5 9 3b;) 0 , 5 3 9 s 7 ;
c)l; d) -t,z l
t . 1 2 9a ) 2 l o g x = 3 - l o g 5
b
-' ) , 1 9 g r= ,= 1
log(5.r- 3)
. 2 + loc.r
C) =---:
& 1 3 2 a ) 3 r + r o s-r g 1
= )
J - logr
d) logr(x - 1) + logt(l +.r) = 2logz(x - 3) - 2
1^
e)logI +loglft=3log.B +log).x
t a)rrffi: 14,142;b)0,75;
c) l,t6,78;
d)nemákofun;e)0,8937 l
/1 \
r
8.130a)
. log
- \ |3 ; +.r| = log;
- 5 - log.r
/
=+-Iog,
b)2logr.r
ft
c ) l o g . f= t - l o g 2
286
c) 3l+lort : 9
e) 23+tort : 3,4x2,1
: I
g), l n x n - l
1n** t
b) 24t't' : 5'76
d) 26tosz'': 676
f) 0,04los-': 15
h) 3el"' - 2"to2s * 4e : 0
I a) 1000;b) l00; c) l0; d) 50;e) |,6ÚM7;
f) 0'1.í4
l l; d 2,5aa37; h)ae ]
*&133a) (logx)2'43:
1,26
b) (3log x)t'2 = 5,6
c) log(l + 3x) - log(1 - 3x) : -1
d) (5 - x)ror(s-'): 10000
c)0,27272't;
d) -95;4,99 )
I a) l2,sE3;b)2s,r6,4;
281
\
a)sin{.or}n - sin{n.orf
e )c o t1g* r r +
,,
n
sind
-r ' l --------l
cosa
,
-tg(-7n).o,r{n
ui
,)
",
r;-
sine
:--:I + COSe
sind
r+cosd
1 + c o s -e
-1- -
.
Slne
sin2 f - sin2g
cosz Í - cos2g
I
[ "r
- l ; b )- t ; c ) o d; )- ] ; ' r o ;r r o
laiot7,
|
t,
t'n
l
U r+tgzí+ 11*or;,x+kz
f
L'l
9.16 Zjednoduštea udejte,kdy vlrazy mají smysl:
a) sin a - sin c cos2a
b) (sin b + cos b)2 + (sin b - cos b)2
I
.1
I
sinc
I + sinc
296
]
\
b)cosY:-!
c)tgy: -+
d) cotgl:
f434
a ) c o sy :
I
'ÍÍ,
f) 2 cos2l; g) '.sin zt - l; h) I
R, 9 c R, Í * g*kn, keZ
a)sinY:1
b)siny =
c)stny:
ul r; b) (sinu cosu + l)2; c) I - cosp; d) l;
e) - |-;
R\{/cn},kez;
n I vypočtěte
hodnotyostat.
9.l7 Bez vypočtuve|ikostiuhlu y.l*;
\'
/
ních goniometricklch funkcí,jestliŽeznáte:
+ fn
- l' x * o+
"",r- l
z
sln o
") *,ee
f) -i, /c
e) sin2y+ cos2y + t1zY, Y + ! + f"
f) 1 - sin2Í + cotg2tsín2t, t + kn
9 J,rr.
c R \ {\: + r ' } . t e z ,
c
d) =,dcR\{kr),kez;
]
P+Tc+2kn
d ) ( l + t g 2 z ) c o s 2z , Z #
2
'
c) -----;;,
cos'c
9.15 Upravte na jednoduššitvar:
a) cos(-u)cosu - sinrrsin(-u)
b ) c o s 2u s i n 2( - u ) - 2 s i n ( - u ) c o s ( - u ) + l
.
s i n 2p
c)
a) sin3a, aC R; b) 2, be R;
d)siny :
l
_
-2
-
š.t9y:
Ť'..,
2.113
-Ť-'cosy:
f'cos,
4
' c o t gy :
_
= -2,l2' cotgy:
il)
ls
3
= _
-
l;
l)
_
Ť;
3 -/13
'cotg)': j3
) t\
Ť-*,t1y
:
_
r
I
1
]
3
2;
9.l8 Určete hodnoty zb1fvajících
goniometrick1fchfunkcí velikosti
rihlu z e
a) slnz:
/
1\
(n;7
-
)
.1
r/' je-li známo:
b) cosz:
7l)
5
297
\
Cvičení
vjrazy:
936 Pomocítgt atgz vyjrídŤete
933 Zjednodušte:
(n
\
/"'
a ) s i (ne + x ) + . .( ; - t
\
u l c o sí 1 * ' ) - . o , í ] _ '.))
\b /
\r
tgt-tgz,b) Er-82,".,
[
tgt+tgz' l-tgrtBz''
"
.
,
L'
\
ln
\
/n
\
/n
\
'' lt-')*"o'(t**)*'(t-t
(2*')il''
d) sin(10o+y) sin (10"- y) + cos(10o+y) cos(10"- y)
_,-. /n
I
a) cos x; b) - sin 'r; c) 0; d) coÝ y - sin2 y - cos 2y
]
D ) C O S l ,=
. -n,
934 Dokažte,žep|atirovnosti:
a) cos a + cos(a + 1200)+ cos(o + zno) = 0
b) cos(y + z) cos (y - z) = cos2y - sin2z
c) sin (n + v) + cos(a - v) = (sin u + cos aXsin v +cos v)
\Ť
./
\.t
,/
\
COSv =-2
i
, ,, ()^,2")
,r(i,"),,e(n]")
I u#'"1*
]
Vypďtěte sin o - z),je-li dríno:
ln
\
/n
\
/
l\
d ) t c( i * a ) r s ( ; - d l . = r , d f ( k + T l n , k e Z
e) sin (e + g) sin (e - g) = sin2e - sin2g
Vypočtěte
cos (a + v),je.li dríno:
159
a)srn,.=
cosv=41i ue (;'")
17,
87
t8r+t8z
l+rgt.Bz
a)siny = -I,cos3 =-{,io** ,, ("1.),
+/
,,("11
935 Upravte zlomky:
^.,sin (z + v) - sin (r - v)
y=-!, sinz =-fr, ioou"r,(i
b)cos
";i;[email protected]
,,("11
,.., cos (z + v) cos (z v)
"r .5qu * ,).' 6ffi - v)
),
Iu#'"-#
939 $pďtěte
tg (x +y) a tg (.r_ y)' jastližeje:
-+
a)tg,v=
i, or=
=-+, Ey=-2-,fr
b)tgr
I
306
O H , b ) t g u t g v ; c )-l *
; dk)
]
[ " f,
l
t;DtB+2,1
307
\
/,\
/.\
( ; ) = 13038,40''+118oo
í : ) =3g,zg,Og-+t18oo
\2/ z
\2/ t
xz=27o17'20"+t3600
xr =78o58'18"+/<3600
9.69
b-) " o t 8 r- +Il : 2
cotgu
.. l-cosx : I
o'
lJ cosr
T
+ & 360o,k eZl1
P = {27ol7t20"+Ic360o,k e7} U {78058'18"
.,
Cvičení
k t}'{+
+ 2kn,
kez}:
+ 2kn,
b)[18.26,
+ l l8o.,leZ); c) * u-,o.'1
{Ť
(n
,^n
b) tgs = -y'!
a)COSr=--
,n/a\
c)cotgr=f
d ) s i n( 2 r - ; ) = ,
-yE
e)2cos(3v+33')=
-4y)=0
D5cotg(300
-'*,,Í.k
e z\l
e z\ u {!" +zt'"*
I u {|"
D { ] * * * , , . * .z
}'.l{í
at{}"+r'n*ez\;
+* n , ke z } l
e) {34o+kl?.O",keZ} u {640+t l?i",k eZ}|
D { 1 6 5 0+ k 4 l e , k e Z }
9.6t ŘďtevR rovnice:
a) sin a = sin 20o
7
n\
lp
$n
c)sm
(.3-_s)=
37Í
b) cos b = cos 1000
o*.(?.#)="o,2!
G Z} u {160'+k360o,keZ}]
I a){20o+&3600,&
b){lmo +&3600,te Z} u {2600+&3600,k
eZI|'
o { f " * * , .e*z } u{ ! " * * n r , e z \ ,
+3k',\kez}u t*r.\,
{}.t
{125.+kx25o,keZ}
9.70 Řeštev R rovnice:
a ) 4 c o s 2t + 4 c o st - 3 : 0
p) tgzy - Ztgy :3
(s
)
I
I
b ) 2 s i n 2 x+ s i n x - I = 0
d) 2cotg2z - 3entgz - |
+2kx.k
4'{+.'2trq*ez}:
[ ",{+
k ez]1:
*ez}" +zkn,
k ez}" +z*x.
. 2kx.
{+"
{+"
{+
"c ) { z t " r l ' +& l E o ' .k e z \ , wl l 3 5 ' + k t t o " & e Z } ; - ,
+ & ltoo,tez)
d) {45"+ ftltO" keZl l.j16326',
]
. - \ )(+- tt") =tg85o
"),s
)
"c){ i f ;
)
*ez}
d) + zkr,keZ}w * z*tc'
)
t;
tŤ"
Bez použitíTabulek fuštev B rovnici:
320
{+'
9.71 Řeštev R rovnice:
a)6cos2t+sinÍ-5:0
c) tg2u-cotg-rt):2
e) 3sinY: ScotgY
l
b)sinzu-3cosu
d)cotg2x+4cos2x-3:0
Í| 2tgz i 3cotgz : 5
I a ){ 3 0 ' +l 3 @ ' , & e Z } u l l 5 o ' + & 3 6 0 '&, e Z l v
+ * 360",/<eZl;
v {tgszs' + t 360",t eZ} v {340'32'
&
360'.* ezi;
w'r2tt"tt'+
t
keTl
360o,
t1 lt2'23'+
c ) { 6 3 2 6 ' +k l t o o ,t e Z ) v t l 3 5 ' + & l t 0 ' , * e Z } ;
*i.*.2].,
"c){+.
t7o'3t'+ k 360",&e Z ) v {zsc2s'+ &360",&eZ l:
l tto.,keZi ]
D {45.+ t ltť, keZ}v {56.t9,+
321
-
Po dosazení známych veličin dostaneme:
Ú: 7303'9m
u :5542,8m
u:10803,2m
Cvičení
9.82
9.86
Řešte trojrihe|nik ABC, je-li dáno:
a) a :65mm, Ď : 46mm, a : 42"35,
b ) b : 1 3 , 4 c m ,c : 1 6 , 3 c m ,7 : 7 0 o I 2 '
c) b : 14,5cm, c : 25,8cm, B : 54o281
d) o : 5,2cm, c : 8,8cm, 7 : 52o08'
,7 : 108o48';
I a) c = 90,9mm,B : 28o37'
b) o = 14,9cm,o = 59o08',P : 50"40'i
c) nemá
Íešení;
d) b = 11cm,d + 27048',B : 1OO"O4'I
9.E3
Řešte trojťrhe|nikABC,je-li dáno:
a) c: 210mm,a:62o32t, 0 :48"56'
b) o : 40cm, q.:26o38', I :89"40'
c ) b : 2 2 5 m m , a : I O 7 " 3 5 t ,0 : 3 0 " 4 0 '
d) b : 79,5cm, 0 : 65o20',1 : 54"40'
*9'88
- 68"32t,a:200,2mm, b= 170,lmm;
[ ") r
b ) 1 : 6 3 " 4 2 ' , b = 8 9 , 2 c m c, : 8 o , o c m ;
c) 1 = 41"45', a + 420,5mm, c : 293,7mm;
d) o:60",
a:75,8cm,
c+7L,4crn
*9.89
)
ABC je dríno:
9.84 V trojťrhelníku
a) a : 165mm, 0 : 40"50',"1: 69"20'
b) Ó: 722rnrn,a: 49"25,,7: 108"40/
c) c : 3, 54 cm, o : 35o50','y : 52"45'
Vypočítejteostatní prvky.
I r ) o : 6 9 o 5 0 ' , b : 1 1 4 , 9 m m c, : 1 6 4 , 5 m m ;
b) 9:21o55',o:1469mm, c:1833mm;
c)9:91"25', o:2,60cm, $=4,45cm I
9.E5 Vypočtěteostatníprvky trojírhelníkuABC, ve kterémje drí.no:
a)o:7dm,b:4dm,?:38"
b ) b : 3 2 c m ,c : 4 0 c m , o : 1 0 0 o 2 1 '
330
*9.87
c) a:10,9cm, c:I5,2cm, B-67"
d) b : 51,32dm, c : 34,76dm, o : 89o57'
I a ) c : 4 , 6 d m a, : 1 0 9 o 2 3A' :, 3 2 " 3 7 t ;
b ) o : 5 5 ,5 c m ,B ' 3 4 " 3 2 t , 1 + 4 5 " 0 7 ' ,
c ) b : 1 4 , 8 c ma, i 4 2 a 3 l t 1, : 7 O o 2 ;9 '
d ) o : 6 1 , 9 6 d mB, : 5 5 " 5 5 /I, : 3 4 o 0 8 ']
V trojírhelníku ABC jsou dány velikosti stran. Vypočtěte velikosti vnitŤních hlti.
a) a:16cm, b:25cm, c:36cm
b) : 4,2dm,b : 3,8dm,c : 5,5dm
"
c) o:5m, Ď:6m, c: 7m
=22o20B
t ,= 3 6 o 2 5 ' , ' y : I 2 I o L 1 t ;
[ .) o
b) o + 49o40/,
B + 43o37',1 = 86"43'
;
c ) a : 4 4 o 2 5 t B, : 5 7 " 0 7 ' , 1 : 7 8 " 2 8 t I
Vypočítejte obsah rovnoběžníku,je-li o : 57cm, rihlopŤíčka
u : 66cm a rihel proti rihlopŤičceu je 0 :57"43, .
[ 3 6 4 0 c m 2]
R o v n o b ě ž n í km á s t r a n u a : 5 8 c m
a r i h l o p Ť í č kuy: 8 9 c m ,
u :52cm' Vypočtěte obvod o a obsah '9 tohoto rovnoběžníku.
I o + 2 0 4 , 2 8 c mS,: 2 2 o 2 , 8 3 c m 2 |
je
V rovnoběžníku součetvelikostí stran a * b : 234dm. Útret
proti danému
sevŤenystranami a, b je 60.. Velikost ťrhlopŤíčky
ťthluje u : 162 dm. Vypočtěte strany rovnoběžníku,jeho obvod
a obsah.
I o : 1 8 1 , 6 9 d mb, : 5 2 , 3 d m ,S : 8 2 2 9 , 3 d ^ 2 , o : 4 6 8 d m]
*
9.90
Vypočtěte obsah rovnoběžníku,jsou-li velikosti stran a : 80 cm,
je 60".
b:60cm a velikost ťrhlusevŤenéhorihlopŤíčkami
Í 2424,8cm2 l
9'91
V jakém zorném rihlu se jeví pŤedmět 70 m dlouhj. pozorovateli'
kterj'je od jednoho jeho konce vzdálen 50 m a od druhéhokonce
80m?
r;l
9.92
Na wcholu kopce stojí rozhledna 35m vysoká. Patu i vrchol
vidíme z určitéhomísta v írdolípod vfškovfmi rihly o velikosti
331
\
a : 2 8 " a f : 3 1 ' . J a k vysoko je vrchol kopce nad rovinou
pozorovacihomísta?
[ 26em ]
v1fšku
stoŽáru,jehoŽpatu vidímev hloubkovémrlhlu
9.93 Vypočítejte
rjhlu o velikosti28"57,.
o velikosti |1"23,a vrcho|ve v!'škovém
Stožárje pozorován z jednoho místa l0 m nad urovní paty
stožáru.
[ .17,5m
]
9.94 Stožárelektrickéhovedenívrhá 12 m dlouh stínna stráĎ,která
stoupá od paty stožáruve Směru stínu pod uhlem o velikosti
a : l1o' Určetev!'škustožáru,jestliževfška Sluncenad obzorem
je dána rihlemo velikostia : 43"12,'
m ]
I 13,35
9.95 Telegrafnísloup je postaven na svahu se sklonem a: 15o
a vrhá stín délky 10m ve směru největšíhoklesání svahu.
VypočtětevÝšku stožáru'jestliže v!ška Slunce nad obzorem
je dána rihlem o velikostiQ : 48"37,.
| 8.4m l
9.96 Vypočítejtedélku stínu vrženéhov pravé poledne metrovou
tyčínacházejicíse v rovině poledníkua odchllenou od vodorovné roviny k severu o ťrhelvelikosti 70", jestliže Slunce
kulminujepod rihlemo velikosti4l"03'.
[ 1,a2m]
9.97 Určetevelikost zornéhouh|u, pod nimŽ vidí pozorovatelpŤed.
mět 12 m dlouhf, je-li od jednoho jeho konce vzdálen 15m
a od druhého24m.
f
| 24"og,
9.98 Na bŤehuieky stoji budova,z jejichŽdvou nad sebouumistěnlch
oken ve vzdálenosti12m je vidět bod na druhémbÍehu(v rovině
ko|méke směruÍeky)v hloubkovj'chrjhlecho velikostil : 37"57,
Ťeky'
a B : 25.26'.VypočtětešíÍku
m ]
[ 39,a3
z v!šky 150 m nad hladinoujezerapod
9.99 Dvě lodky jsou zaměŤeny
hloubkovlmi uhly o velikostech5,|" a 39"' Vypočtétevzdá|epŤístroja obě lodky jsou
nost obou loděk, jestližezaměŤovací
v rovině kolmék hladině jezera.
m ]
[ 87,82
332
9.lfi) Dvě obce ,4,B jsou oddělenylesem;obě jsou viditelnéz obce C,
která je s oběma spojena piímlmi cestami. Jak dlouhá je
projektovanácesta z A do B, je.li |,qc | :2 003m, I ac | :
: I 593m a I x ABCI : 63"23'?
| 2 t 2 2 , z nf
pozorovatelen
9.l0l Cil C je pozorovánze dvou dělostŤelecklch
,4,B,
kteréjsou od sebe vzdáleny 975m, pŤitomje c B A C l : 6 : " ,
vzdálenost|,4C
I x nc | : 48.. Vypočítejte
|
776m l
9.102 Dvě d lní štoly vycházejize stejnéhomístaP v šachtěa svírají
uhel o velikosti5Io45,.Délkyštoljsou: I pQ|: 479m, IPR | :
: ,796m. Vypočtětedélkuspojovacíštoly QR
I
|.
[ 625m ]
9.103 Dvě pÍiméŽe|ezniční
trati se sbíhajíve stanici pod rihlemo ve|ikosti 64o20,.Z tétostanice vyjely současnědva vlaky, každy
po jiné trati. Jeden jel rychlostí1l m.s-l a druh! rychlosti
15m. s-t. Jak dalekobyly od sebeza jednu hodinu a 16 minut?
[
64,e8km ]
9.104 Po pÍímécestějede vojenská kolona. Radio|okátoremležícím
v mistě .4 mimo cestu bylo zjištěno,že vzd,á|enostmísta l
od čela kolony C je 14 350 m, vzdálenost mista ,4 od konce
kolony Z je t3 840m a | * c,lz|:
13"32,.Vypďítejte délku
kolony.
[ 3360m ]
*9.105Určetevzdá|enostdvou nepŤístupnjch
místP, Q, jestliževzdálenost dvou pozorovacích
mist A, B je In1:2000m
a jestliže
:
:
:
znáte | š QAB | 52"40,,|x r a,l | 42"0L,,I x r,ln | 86.40,,
| * Qne | : 81.15,.Uvažovaná místa .,{,B, P, Q leŽi v jedné
rovině.
I l633m ]
*9.l(b Dva body A, B maji od rovinnéhozrcadla vzdálenosti a :
: 7 0 c m , b : 1 8 0 c m .V z d á l e n o s|t, , 4 B | : . : 3 6 0 c m . J a k ! 'j e
rihel dopadu paprsku, kterf dospeje z bodu .,{ po odrazu od
zrcadla do bodu B?
[ 53's4',]
333
| | . l 4 V b i r z é n ut v i r r u k v á d r u j c | 5 0 m J v o d y . U r č c t c r o z t r r č t . y
dnit,
jc-|i h|oubka vody 250 cnr a jedcn rozměr
dnir jc o 4 rrl včtší
ncždruh .
[ 6 r n .t 0 n r ]
l l.l5 Vypočtětcobjcm ko|nréhohrano|u,jc-li
a) v!ška (),l]cnr a podstavajc pravorihlj,rrojuhe|niks ďvěsnanrt
o délce40,4cm a 43 cm.
h) v1iškal7.5 cm ir podstirva.jc rovnoramcnny trojÚhclnik
sc zírklit<lnouo tJé|cc5.Ílcnr a ramencm o détcc3.7cm,
c) v;1iška
9,6 cnr a po<lstitva
jc Iovnostrann:ytrojriheIniksc stranou
dé|ky4,t|cm.
<Jml:b) t 16,6
l a) 52'tt
cm];c)9.5.ll
emJ l
l l.l6 Vypočtčto
c b j c n r k o I r r r c h oh r i t n < l | u .
|c-|i
a) v šklr |2 cm ir potislava jc lrojL,ihc|níksc
s|ranami o <lc|cc
9 cm, l0 cm, I I cnr.
b ) v y š k r r4 0 c m a p < r d s t a vjac t r o j ť r h c l n i k
u r č e n !< l é | k o u
<lvotr
sÍran22 crn. 30 cnr a vc|ikosti 11hlustranami
sevÍcného97.6-5",
c) v]1iška
4.8 nr a po<lstava.icpravi<lcln;1i
šcstiťrhclník
sc stranou
tl délcc 0,ll rrr.
I a) 509cm];b) 13,08
dmr' c) 7.91t
nr, ]
l l.|7 Tě|csová rihlopÍička pravide|ného
čtyŤbokéhohranolu svirít
s podstavou rihe|o vetikosti60".Hrana podstavy
má dé|ku|0 cm.
Vypočtěteobjem tě|esa.
[
2 4,50crn]
]
l l.|8 K postaveni 80 m d|ouhéhonáspq jehoŽ pr ňezcmjc
rovno.
ramenn;||ichoběžník
o zák|adnáchdé|ky7 m a 5 m a ramenech
dé|ky2,6m,je tÍebadovéztzeminu.Ko|ik jizd vykonajinák|adni
automobily,odveze-lijeden
2 m3 zeminy?
, ,ru roo ,
l|.|9 Jak! objem má čtyibokf kos1fhrano|s podstavn;|mi
hranami
o d é | oae: | , 0 m , b = l , l m , c : | , 2 m , d : o , . | m ,j e s t | i ž e
boční
hranao dé|cn
h: 3,9m má odchy|kuod podstavy20,35.a hrany
4 á sviraji rihe|o velikosti5o.5"?
I lrn] l
ll.20 Pravidelnf šestibokfhranol je vysokf 2 cm. Poloměr kružnice
opsanépodstavěje 8 cm. Určeteobjema povrch.
V : 332,6cmr, S = 428,6cm2 l
f
*ll.2l Určetev!šku pravidelného
trojbokéhohranolu vyrobenéhoze
skla o hmotnosti |29,9g a hustotě8 : 2500 kg.'_.. Hrana
podstavymá délku2 cm'
[
30cm ]
l|.22 Je dán rotačníválec.
a) r : 5 cm, u = 10 cm; vypočítejte
s,l, s, y
b) Spl : 400 cm2, u : 8 cm; vypočitejter, lz
c) Spr: 1 m2,r : 50 cm; vypočítejte
u, lz
d) V :0,5 m2,r : 0,6m; vypočítejte
u, S
a) So,: 314cm2,S : 471 cmz,V :785 cmr;
b) r :7,96 cm, V = I 592cm3;
I
;];r3'il í:iÍii].
'
l l.23 v rotačním
válci je dáno:
a) V : 120cm3,u : 4 cm; vypočtěte
r, S,1
b) Sor: 500 cm2,s : l 1o0cm2;vypočtéte
r, u, V
c) S,r : 96 cm2,V: |92 cm3;vypočtěte
r, u
I
a) r : 3,09cm, So,:77,7 cmz;
b) r :9,71 cm, u : 8,14cm, V: 2443 cm}:
c)r:4CÍr,u:3'82cm ]
l l.Z Délka poloměru podstavy rotačnihoválce je 5 m. Vypočtěte
poloměr stejněvysokéhoválce,jehožobjem je stonásobn!'.
I s0m ]
ll.25 Válcová cisterna má délku 8m a obsahuje40 m3 benzinu.
Jak! je jejívnitŤníprťrměr?
f 2,s2m)
ll.26 obvod podstavy rotačníhoválce je tak vetk , jako jeho v!ška.
Jak! je prrlměra vfška válce o objemu l litr?
f
d :0,'14 dm, u : 2,325dm )
352
353
ll.52 Jakou hmotnost bude mit strojnísoučástve tvaru dutéhokomolého kuŽele o vjšce 64 mm? Dolní prriměry jsou 6,4 mm a 4 mm,
horni prriměry jsou 3,4 mm a 2,4 mm, Hustota pouŽitéhomateriálu je 8 000 kg. m 3.
[ 5 , 7 5g ]
ll.53 Jakou v1fškumá těleso tvaru rotačníhokomo|éhokuŽele,jsou-li
poloměry podstav 4 m a 3 m, objem 465 m3?
I 12m ]
l l.54 V jakém poměru jsou objemy pravrdelnéhočtyibokéhokomoléhojehlanu a komolého kuŽele do jehlanu vepsaného?
I v',:vr:q:n )
ll.55 Povrch rotačniho komolého kuŽele je S: 7 697 m2, pr měry
p o d s t a vj s o u 5 6 m a 4 2 m ' U r č e t ev ] f š k uk u Ž e l e
| 2ln )
l.l1.56 Pravideln1f komol! trojbok! jehlan je vepsán do rotačniho komo-
léhokužele.o kolik procentmá menšíobjem?
I sa,t2 1
*|t.62 Kouli je opsán rovnostrann!váleca roYnostrann!kuŽel.Určete
poměr povrchria objemritěchtotŤítěles.
I
l|.57 Že|eznákoule má hmotnost100kg,hustotag:7600kg..-..
Vypďtěte a) objem,b) povrch,c) prŮměr koule.
I
a) 13,16dm3; b) 27 dmz; c) 2,9dm ]
11.5t Kouli je vepsánakrychleo hranědélky16 cm. Vypočtětepotoměr
koule'
cm ]
[ 13,86
11.59a) objem koule je 1 km3.Vypočtětepovrch.
b) Povrch koule je l km2. Vypočtěteobjem.
I
S,:S,:S.:4:6:9iVr:v" V,:4'6
dolní
ll.64 Vypočtěte objem ku|ové vrstvy l8 cm vysoké. Pr měr
je
cm'
podstavy
60
je
pr
měr
horní
podstavy 80 cm,
, 73,7dm] ]
ja
l l.65 V!ška vrchlíkuSerovná tŤetiněpoloměru koule. V kém poměru
je povrch koule k obsahu vrchlíku?
[
ll.60 Jakou hmotnostmá kovovétělesove tvaru činkysložené
ze dvou
koulí o prŮměru 6 cm a pŤíčky
tvaru válce o prŮměru 1,5cm
a vfšce13 cm? Hustota tělesaje 8 100kg. m-3.
|
2,02kg )
6:l
]
l|.66 Vypďtěte objem a povrch koule,jsou.li dány poloměrydvou
rovnoběŽnj'chiezri ťl :,| cÍn,12: 5 cm a jejich vzdálenost
I
r=E,6cm,v:266]cmr,s:929,4cm:]
*ll.67 Jak velkou částzemskéhopovrchu vidi kosmonautz paluby
orbitálníhokomplexu z v!šky h : 350 km nad Zemi? (Poloměr
Zeméje R = 6 370km.)
[ I,3 lo?km, ]
''.ll.68 Vypočtětepovrch a objem kulové vyseče,kdyŽ kulová useč,
která je částivfseče,má poloměr podstavy 8 : 6 cm a v!šku
u:2cm.
I
s = 3 1 4 c m 2 , v , _ 4 l 9 c m ]]
ll.69 Vypočtětepovrch kulové seče,znáte.li jeji objem l4l,4 cm3
a vfšku3 cm.
I98 cm!
I
a) a,85km2; b) 0,094km3 ]
9 ]
*ll.63 Je dán objem kou|e t4 odvodte vztah pro objem kou|e U'', jejiŽ
povrch S, je dvakrát většinež povrch S dané koule'
I Y'=ztut ]
t:2cm'
ll.4 Koule a její části
358
ll.6l objem duté kou|e je 3432cm3. JakÝ je jeji vnitini poloměr,
stěnyje 3 cm?
kdyŽ tloušťka
I ttcnr I
]
je.li
l l.70 Určeteobjem kulovériseče,
stŤedo:
její
l0 cm a ve|ikostpŤís|ušného
podstavy
8
a) po|oměr
:
véhorihluro |2o",
stŤedového
b) poloměr koule r : 12cm a velikost pŤislušného
uhlu o.r= 90".
a) I 006,9cmrl b) 420,9cm] l
I
359
1.5
a) c:I+2i,
b) rl :
d) c : 4.5,
e) r ::
I
1.6
-3,5Í,
i
-
f) r ::2.45- 7,251
Cvičení
Ii,
o) d
1 _ 2 i ; b ) d : 3 , 5 i ;c ) d : 2
.1)d
4,5;e)d':'i -
- 3í;
f) d : _2,45+ I,25í ]
ii;
1.8
y : 3 . : r c ( 0 ;+ c c ) ;b ) 3 7 : - 1 . r 6 ( - o o r0 ) r
"c )) x : 2 , 9 c ( 1 ;+ o c ) ;d ) r - 4 , Y e ( o . ;- 1 ) .
l
Znázorněte v rovině komplexních číselmnclžinu M, která je určena:
L2
- 2i: -1+ty/t..
1.9
rr)i'
f)'u:
4,u--3
]
Vypočítejte:
a) 3+2í-(7+i),
c) (2+4i)-4,
b) 8 6i + (7 21),
d) 5i - (-4+2i).
[
1.10
_7í:7+(u+
a)u:3.u:-l,Ul
u:12.r:
2:
2',
,
r
l
:
c)
1 .u : 1 6 ;d ) u :
3 ,u : 4 ;
c)tL:u-2;
Rovnost, součet a součin
komplexních čísel
Rovnost dvou komplexních čísel a : ot * tl,2i, b : h * bzí,
a:bear:braa2-b2.
Součet (rozdíl) dvou komplexních čísel o : a,t l a2i, b : bt l bzi,
( o 1t b 1 ) 1 ( o . 2 . L b 2 ) i .
atb:
čísel a : at * {t,2i,b : bt * bzi,
Součin dvou komplexních
- ozbz) ]- (a z + a2bl)i.
:
,b
:
(aft1
(bl
b2i)
(o'
a
+
+ ozí).
;
t ) ( t t ,-2, , )
'I
f) M : {z : r tyi, r e (-2;3),y < 4},
e (-1; 5),Ae (t;S)}.
C) M: {z-rlsi,r
I.2
o,
ii.
e) u* u - (tL-,u)i: 4,
a) l\l: {z-rtAi,!>-2},
b) M:{z:riyí,r<5},
(-3; 2)},
c) M : {z : x lyi,re
d ) M : { z : r t a i , ' ! t c ( 0 ;4 ) } ,
-3,9 > 1},
e) M : {z : rlyi,x>
Určctc reálná číslau. r,'tak, aby byla splrrěrrarovnost:
a) Tr,-|2oi:3-5i,
b) 4 - 3r-,i: 12 -f 6i,
c ) ( u- t t ' z +s i :
V ror'ině komplexníchčísel,stanovtemnoŽinuM kornplcxrrích
:, kteréjsou určeny:
Čísel
a) M : {z: r-|3i,rž0}, b) M : {z: r-i,r <0},
d) M: {z:-4-|,!í,l) <-1}
c) M: {z_2t,yi,y>I},
[
I.7
c) c: -2 + 3i,
Speciální pŤípady:
a : a t + a z i , b : b r + a , . b - ( a t + r t z i ) b t- a t b r I a 2 b j ;
(t : (Il + a2I, b : bzi + rl,' b : (,,, + az|)bzí: -a,zbz * cl, zi'
Ke korrrplexnímrrčíslrrr:,stanovte kornplexní číslod, které bucle
poclle počátku O:
v rovirrě korrrplexníc}rčíselsorrnrěrrré
-a+i; b) 15-8i;
"c )) - 2
| 4i; d)4+3í.
]
Vypočítejte:
a ) ( 2- 3 i ) ( - 1+ 2 i ) ,
b ) ( 3 i+ 7 ) ( 8- i ) ,
c ) - i + 2 i ( 3- 4 i ) ,
d ) ( 1- i ) ( 1 + i ) - ( 2 + 3 i ) ( 2 - 3 i ) ,
e ) ( - 3 + 4 i ) ( i- 1 )+ ( 2 i- 1 ) ( 2+ i ) ,
f ) ( 3 - 2 i ) ( 5- 4 i ) ( 2- i ) ,
c ) ( 1 - i ) ( 3 i+ 2 ) 6 i ,
h ) 2 ( - 3 + 4 i ) ( 1- i ) .
[
1.11
b)b9f17i; c)8+bi;
-8 - 51i;
Í]- á'i,"J,,l],|.,i,)
")++7i;
Vypočítejte:
a) i5,
b) ito,
c) i15,
d) i2o,
e) i7 - i5,
f) itt - it4 - 4i17,
13
I.37
Napištc v goniorrretrickérrr
tvaru komplexrrí číslo:
a)
d) 4(1+iv6),
r\
s) -3.5i,
--
'
lll
I
5
c)
c) -z (v6+ i),
f) 3 - ivf,
b) -5,
e) -4 + 4i,
I + ivE,
2
l
\
+i"ir'
I.4o
\
i " i n "l x J :
ft z',/r(cos
:T
+
I qtn
:T
3/
\
4
4/
Komplexní číslovyjádŤete v algebraickém tvaru:
.) z(.o,Í^* ' ,'" 1') (r- iu6),
4/
t,
roq
u)ova(.o.
*,,i,'I"),
3^*t,i"f ^),u)# (""'f,^
i);
i"in ln),
" 1 0 1 2 (\ , u ' l {n
/
-
d)
:r
3\
/
c
r\
n ) 2 ( c o s : n + i s i r r 1 n r ); b ) 5 ( c o s n - | i s i n n ) ;
/
z\
/
c)a(cos
isirr
o, o(..
|n+
á^).
'
;:.,
:::';\'
]ii:"
;;::;l'
":;.jl
5.
-1.
2\/3
3(cos $;rt i sin f :t)
/
z" * +
r\
s) 3.5(cosl;.isin1n):
'./
"
\
n,T (.*i^-,.,,
1^)
1.38
Napište v goniometrickém tvaru komplexní čísloa:
..,
a) a:l'2-t)-,
.
"/ -
/;
VJ
1-2i
I+2í.
")
a:
a:5(.o.
b\ o =
13,
(cos 157o23'+isin 157o23'):
;
al a =
-
n, ol -Ť
tvar komplexního čísla
lze zapsat v exponenciálním
a7+ 02i- lole'o,
306"52'+ i sin 306ob2');
-/
st/3/
n
c') a : - l c o s - + i s i n 5
2
\
1.39
ExponenciáIní
Každékomplexní čísloa : at l a2i (a l0)
tvaru
/;
VO
[
1.6
:v6+gi; b) 5-5i; c)
'
[
tc;
f(cos3brob2',
n\
l:
2)
isin3b1.b2,)
V goniometrickém tvaru napište komplexní číslo:
kde ]o| : tl"? -| a2, a rihel rr (vyjádňeny v obloukové míŤe)je arguttrcnt komplexního číslao. V následujícíchpŤíkladechbudeme pouŽívat
jenom základní argument (rr e (0; 2n))' Porovnáním goniometrického
a exponenciáIního tvaru komplexního čísla
a : a,r I a2i : lal(cos cr * i sin cr) : lole''
dostáváme tzv. Eulerriv
vztah
era:coscr*isina
24
otr
4.,
/
c) a : 3i. b :21cos
\
'l\
4
-t
;. ;) t i s i n ;Ó ;/t f ,
/ ? - \
d)
ta)\
o = 3( cos i;t - i sin ;n ). Ó:
o
o/
\
-
I' b
o
a) -
Z rovnosti korrrplexníclrčíselvyplyvá
c o s8 5 o - i s i n 8 5 o .
LL-i
- 5 ( c o s 1 1 0 0+ i s i n 1 1 0 o ): 5
eil'"',
f
3 : i , . " . 2 5 0 o + i s i n 2 5 o o )"- * 5 " ' ,
b_ ./; I : 9 ( c o s 2 t 4 o* i s i n 2 4 4 0 ) : 9
?\"""_-b
3 ," S " '
:
.,q !....
.u
C 'l b= :
:
-
. u
d ')b ;
3(
-l
?\
1 1 6 o+ i s í n1 1 6 o ):
COS
cos 2rr | i sin 211: (cos2a - sin2o) + 2i sin o cos o
T
-n+
6
lsln
I :
; (-" f*+isi':^)
- 3^1( c o s 1 3
llrrisin
36
\
?
3
-
2
sin2o-2slnrlcoso
Cvičení
L.49
Moivreova
tl.
13\
^ leri
-n
|'3e36''
36/
s)
-
x\b
-.3'l
4
h ) [ ( c o sr s ' t
L(."'m*isin )]
a)
l
f ) (cos26' - i sin 26')4,
r ; r ' , r1; . t j (
).,
,
i sin,t")t] .
v / s+ i ) r d ) i r
(t + it6) ; f) cos 256o + i sin 2560;
661
* isin i;r: n) (l + i/3).
s) cos
;
in
I
1.5o
Pomocí Moivreovy věty vypočítejte(a)', kde o: cos 53o t
-| i sin 53" a n : 2,3, 4,5,6, Vysledek zapištev algebraickém
tvaru' Reálnou a imaginární část zaokrouhlete na tŤi desetinná
místa.
; 3- 0,934 o,3b8i;
I a ' - _ 0 , 2 7 -6 0 , 9 6 1 i a
aa : -0,848t 0,530i;d,5: -0,087t 0,996i;
a 6 : 0 , 7 4 3+ 0 , 6 6 9 i . ]
1.51
Pomocí Moivreovy věty vypočítejte(-a)-, kde a : cos 47o *
-| i sin 47" a rn - -2, -3, _4, -5. Mocniny zapište v algebraickém tvaru. ReáInou i imaginární část zaokrouhlete na tŤi
desetinná místa.
t
[ (-o)-' : -0,070* 0,998i;(-o) : -0,777* 0,629i;
( - o ) - n - - 0 , 9 9 0* 0 , 1 3 9 i ;( - o ) t : - 0 , 5 7 4+ 0 , 8 1 9 i . ]
ol,,
",,or.
Pňíklad 1.48
Pomocí Moivreovy věty najděme vzorec vyjadŤující
cos 2o pomocí mocnin cos o a sin rr.
Rešení, Komplexní jednotku 0 : cos tl * i sin a, a e R, umocníme
a použijeme Moivreovu větu
30
L-
e)
alr(eoi)" :
o2 : (cosn*isin a)2:cosza * 2isinacos o-f i2sin2o:
: (cos2cr- sin2<r)* 2i sin o cos o.
f ,
Íi
/
lcos-+1s]il-|
\
3
3/
d ) I| v,O(, t, - ' ). ll u
..]5
I
a n : ( a t + a z i ) n : l a ] ' ( c o s o * i s i n a ) ' : l o , l ' ( c o sn o | i s i n n a ) ,
Tutéžkomplexní jednotku umocníme jako mocninu dvojčlenu
b)
e ) ( c o s1 2 0 ' + i s i n 1 2 0 o ) o ,
věta
u2 : (cos o f i sin o)t : .o. 2a * isin 2o.
tl
rr
c) l;(/s+i)l '
l
Pro kaŽdéceléčíslon a plo komplexní čísloa platí
a,, :
a
a ') ( c o s ; r i s i n t ' ) .
\
4
4/
"8""
resp'
Pomocí N,Ioivreovyvěty vypočítejtertrocrrinykomplexrríclrjednotek:
/
r^;
eo
: : : ('* *ryn+i""
#^): i "*"'
1.8
sin2rr
a navíc .ještě
Í "ffi"',
7
-n \
6 /
cos 2o : cos2o
31
2. Dvojnásobny rcáiny koňend.ostaneme,jestližeD : k2
P r o A 1: 1 j e r r , 2 :
4k -|3:
O,
1.58
1,
a) x1-2
pro A2 : 3 je rs,"t- 3
1.59
[
,\ *::r#,
množině C vypočtěte koŤeny kvadratické rovnice:
c) 2 r 2
2r*2-0,
8r+9-0.
b) ,' - 2r'15 : 0,
d ) 3 x 2- 3 r * 6 : o
Řešte kvadratickou rovnici v množině C:
11
1
rt10
2ri7
. r*4
r\
2t _+
,>T
.
tt
r
4
2
r-6
1.60
z
I
L ")
\/
l
a) 12+6rlk:0,
b) kr2 + (2k - I)r -t k : 0, k I 0,
c) 12 + 4kr -l36 :0,
2k_O,
e ) ( k - z ) r 2+ 3 ( 2- k ) r + 6 k - O , k + 2 ,
f ) 1 2+ 2 ( k- l ) r + 3 k 2+ 5 : 0 .
|
8'
k { 9 + dvě reálná rúzná iešení, z1,2 : -3 t rE-T,
") :9
k
+ reálnj' dvojnásobnf koŤen, r1,2 :
3,
k> g+
k o m p l e x n ě s d r u ž e n ék o ň e n y , r 1 , 2 :
3L,,,E-9;
b) k c ( oo;0) U (.
\
+
- ,)i
-
dvé reálná rúzná iešení,
7 2k+\n-&
r\
t_
t
V mnoŽině C proved'te diskusi Ťešení
kvadratické rovnice vzhledemkparametrukeR.
ď) 12+(k-!r+13
t * i ; b )1 + 2 i ;c )2 * * r , a l ! + { t
IL U
I-r
2-t3r
r +2'
7r i2
111
d)
-*-*
7-r
r-6
ri2
a ro ( r - ; - r , ) ( r - I r z r\ l
U
/
5
5r-|4
n, Í"
7'
12 -7:r+2
r5
r 2ir b) I 1i: c) t iv6: dl l2i: e) L iv6: fr t3r'
| "f
a) 1 2
"b))(('z++23- 1 )3(i r) +
) ;3 i ) ;
( r2++3i +
]*,É).
'4)r'
",o(,_!
4
4/\
4
4
\
)
s 1 2: ( r + t ) 2 ,
,-
]
b) r2+6rt18,
d) 9r2 6r -f 37.
2r I l,
b) 4xz{ 25: 0,
c1)
3+r:rt*,
J{
u)r'-4r+5:0;
b)12+g-O;
c)12+62+13-0; d)4r2 162*17-0
V mnoŽině C rozložte v součin lineárních čirritelŮ (koŤenovych
cinitel ) kvadraticky Lrojckn:
c) 4r2
Rešte v mnoŽině C rovnicr:
c) 11:2i-3,
z
a) 12+41|. 5,
a) 12+ 4:0,
c) (r - 2)' - (,
I.57
b) 11:3i,
I
Cvičení
1.56 V
i,
.l
d).r,:2--t.
3 Dva komplexně sdruŽcnékoŤenynastarrou v pŤípaděk2 4k + 3 < 0
Pro pararrrctrk e (1; 3) (tab. 1.1) má kvadratická rovnice dva komkoťerry'
p l e x n r .s r l r u Ž e n é
1.55
Napište kvadratickou rovnici s reáInymi koeficienty, jestliŽe
znáte jeden je.jíkoŤen11 C C:
2k
1
4-r
+ 2\t/10;b) 8 +3trt; n",)
I
:0.
1
20
4
/4
20
.. 40
'7
6iv5
7
.l
k>
4
reáln
d v o j n á s o b n j ' k o Ť e n ,Í t , z :
komp1exně sdružené koŤeny' z1'2 :
I,
r -2k +i^/[[ 1
.'ti)
i)
I I
, r '' : J : - l c o s - n r t s t r t
2\
-
--
isin0)
;(cos0l
3/
-
| cos
2\
2n
-
lsln
+
5
/
1
5/
l :
..
cl)rr:1-
4i
e J
L.67
3
1),
5tn,sogo+i0,951
4
3/
|t:3-'(cos;E+lsrn
:
4
- r /\ :
3/
-6t r + r s r n -6r r\/ :
i(cos
lt !":
t ""
")
") "t
3
I
z n: a ( . o "
1.66
"i,' Í^)
:.
.)rr :4,
9ni
."
",
b) rr
-2. rz
-
,n:
+(_lŤi).
"Ť"'
2J,( 7+i),
- 2J,(-1_
:xq:3-i;
-t.t ' "1" i. 13 : -3.5
;(-r
T,
+ i . , / 5 ) r. s : - 1 ,
]
r(-r-i/s).
.r1oi(r-i"6);
nrisobek;
uytkněte
z rru7t;h duou-člerui
c) ntíuod;
",,i":
r
,
i/5);
i
r
l
s
)
r
s
:
zr - 8. ,, +
,
;(r
"^: ,(t
d) ntiuotl: leuou stranu rounice uhod'ně d,oplrite na (o' + b)3 ;
. r L 3 .r z
i),
it-t-is'/5).
,r:I(-o-is,z:),
e) ruiaod': leuou stranu rounice uhod'ně d'oplrite na (o' _ b)a ;
zr : 1 *,E + iy'Ž, Iz : I -'/Ž + irt,
rs:1- lZ-i^re, ra - 1*
"D-irt.
:^.1"i :2rD,1r i). l
f , n + i . i .I " )
rz:3+i,,t:r;
I i ) ./ ,
, , = + ( - r - i ) .r o t f , r - , , ,
*isin1):n.,1 :2rtG+i),
+i
l
- 14 - 0,
"tu
d) 13+612 +),2r:rr7,
' z0 .. l ' :r + ( l
I a ). l ' 1=
1.68
binomickourovnici:
V množiněC Ťešte
b) (r + 5)3: 27,
a) (r-3)n:t,
d ) ( 2- x ) 3: - 2 7 .
c ) ( 2 r - 5 ) n: - 1 6 ,
[
40
|n
r..Á.
*Ť'
b ) z r , z . s ,:a 0 , r s : I , 1 6 : j { r + i " 6 ) ,
" z : a ( . o . f , x + i s i ni " ) : ^ " Í " ' :
'. : a(.o"
l
- 4r3 + 6t2 - 4r - _17.
flo,tono-io.eb11);
d )1 1: n ( - "
'
.t'2:5. .r.c:'
^n
b)
rn -8r3+:r-8-0,
3 9"i
t."
,
;'ir,D
V nrrrožiněC vypočítejtevšechny koŤenyzadané rovnice:
f t-o,.ono-i0,s878),
8 \
8
3/
,s -+ I srn -r/ :
i (cos S,r
:
srt.
;i.
a ) , r o+ 8 1 1 2 : 0 ,
- jr-o.tono+i0,s878).
r^:
1
;-
". t2 'r.
2
J,
"2222
2
2
s-rt
,2'."'"
2
s-tT
Á\
t\/'1
)i
:l"o' -11'
2n\
-
'trt-
l
-;ll
lri
:J /
3
c) .r'r
. l -t
D
\
;nl:e'
3
s+"8 '/r.
.
1
^1
1-'
1.
.
- t-' 'r:' 2 2- í c o s n + l S | n ] I ) : - ( . ' . :
]
Vypočtěte všechny komplexní n-té odmocniny z komplexního
čísla.ReáInou i imaginární část koňenrizaokrouhlete na 4 desetrnna mtsta.
Ó/-
JVJ
-t.
'2
a) z:
{t,
-c) z:Vi,/Z-t,
b) z:{L_
l\
^ v).-
't,
1-i
2 ( 1+ i )
4I
NT
rr(r I t)
n -2
7l
Cvičeni
rO
IlŤL
L
ull*l
-
5'L2
-.-']--Áutt.
,rL-Ť z
ověŤte, že posloupnost (o,.)i je rostoucí.
/2rr+l\-
5,I3
Dokažte,Že pos1oupnost(o') je klesající'
\Ň
.
a)
5.L4
1
|
n
\
/í\Ň
Dokažtc,že poslorrpnost
'
ťl-Fr
\
/.\X
5.15
Dosadíme
.i" klesajícía posiclup-
>0
Pro která reálná číslak je posloupnost (o')i
která A je klesající?
a) (#),
b)(kn)i
I
(n+1)(n+2)>n(n+L)
2>0,
coŽ je správná nerovnost. Ekvivaientními írpravami jsme ověŤili, že
posloupnostje klesající (obr. 5.a).
c) Pro kažďért c N platí
-. 1^ >0.
-|
l)
je tedy zdola omezená a zároveĎ platí
rostoucí, pro
c) (fr")f, k>0.
a) Rostoucí pro k ) 0, klesající pro k < 0;
b) rostoucí pro A; > 0, kiesající pro k < 0;
c) k e (0; 1) klesající' ,t ) 1 rostoucí
nl2>rt
ri(rz
)
/t
je rostoucí. Jakou vlastnost má posloupnost
a odtud
Posloupnost
n
I Rostoucí. ]
C!,n)Arr.:-lrnCN.
(rl * )')(rt -ť 2)
,,r\
c) (' ")r
D ) (/ . 2 n J l r \' o
\'(,,-Dir'
/n-1\
uost | |
\ n /,
( tr \-.,
t-t
I
\n*1/r
b) Pro klesajícíposloupnost musí platit
4 (\ z + -n ++I )/ --
b) (log2")i.
a) ( .. -., J
\trr,/I
5.16
]
Rozhodněte, zda posloupnost (o")f je rostoucí(klesající),
ome-
zená zdoIa,shoraneboomezená.
/n-1\1\a ) (/ 'n/+
b) (Ť,l,'
,'
c)
d) (3n+ 5)f ,
e) (2- 3n)i,
f)
g) (]n(n+ 1))f ,
h) ("')I,
1
i) / \ -
I
((-t)"
")I
(.".ff):
\2" ),
a) Klesající' omezená; b) rostoucí, omezená;
c) není rostoucí ani klesající, neomezená; d) rostoucí, zdo|a omezená;
což znamená' že posloupnost je shora omezená. Pokud posloupnost
je zdola i shora omezená, posloupnost je omezená.
r20
e) klesající, shora omezená; f) omezená;
g) rostoucí, zd.o|a omezená; h) rostoucí, zdo|a ornezená;
i) klesající, omezená.
]
12I
Cvičení
5.2o
5.25
Napište prvních pět čIenriaritmetické posloupnosti, jestliže
a ) o . 1: 2 , d . : 3 ,
b) a1 : -3, d : 0,4,
c) a1:5, d,:4,
e) or - -3, d,:2,5,
d) o1:0,
cI:-2,
f) a1:2,
d,:0.
5.21
I,2, d:
-0,4,
b) orr :36,
I
a) a1 : 4, d,:3,
b) a1: -2, d,: -2,
c) a5:7,
d) otoo:1, d:0,1.
d:I2,
as:21,
I
- 53; d) a. : O,In - 9.
d) orr:28,
-
uzl
t
I
3'
5.26
1
a ) 1 0 ;t 4 ; 1 8 ; 2 2 ; 2 6b; ) 1 2 ; 5 ;- 2 ; - 9 ; - 1 6 ;
c) 63;57;51;45;39; d) 48;46;44;42;40.
c) a5:3,
as:24,
b) aa :2,
a15- -7,
[
a1s : )Q,
d) o6 : 83, a13 : g!.
.) or:27,5,d:-;;
c) a1 :7,
1
b)ar:-7,fl.:3;
d,: -I; d) o1 : 98, d : -3.
určete anl2l
55.
2
110
i o)0a,
. s r = 3 2 ; d ' )a n + 2 :
2
.J5:
=,
I
d = -6, aL : Lg4, an: 200 _ 6n,
sn : rg1n _ 3n2;
")
:) d: 1,56, at : _8I,24,
an : _BZ$ t r,56n, sn : _g2,O2n
I o,T8n2
1
d:3,r:10,
c) o5:r, d,:_3, n:lb,
d) aa:49, d,:g, rt:n,
[
.) a, =
b) obo:6, r):O,O4,n:100,
zGR,
g4-R, rncN.
+1,1 o 1 o : - ! .
4g,
",n
- -1075.
b) o1 : 4,04, alss:8,
s1e9- 692.
c) a1 : r + 12, arc: r - 30, s15 :15u
d)ar:9t am:gm, sm:ffC+^1.
5.28
5
-.
V aritmetické posloupnosti určete Q71
an, sn:
a) azo:-8,
I
10
T,so:17,
V aritmetické posloupnosti určetean
a sn,.ie-li dáno:
a ) o e o: 2 0 , a s 4 : - { ,
b) oro : -4,8, aso: -36.
|
5.27
S4l
6n-5
c) an-1:
36,
určete an_7l
"s:l
a) d :2,
arz:26.
V aritmetické posloupnosti určete a1 a d,,je.Ii dáno:
a) aa:26,
124
dl
2'
7 -2rt
Napište prvních pět členriaritmetické posloupnosti:
a) aa- 22, a5:26,
b) a2:5, as: -),
c) a7:27,
5.24
I -l- on
un-
u) on :3n + 1; b) a- - -2n;
c) a,n:72n
' určete a4,
J
d:7.
u ) a ; 3 , 6 i3 , 2 ; 2 , 8 ; 2 , 4 ; 2 ;
b) - 62; -55; -48; 4I; -34; -27.
4+6n
určeted, s5,
3 ,
3n-2
-_-T-
Vyjádiete n-tj.čIen aritmetické posloupnosti pomocí diference d
a členu ai:
L
5.23
b) 0'. :
Napište prvních šest č]enri aritmetické posloupnosti:
a) os:
5.22
a) a,:
2 ; 5 ; 8 ;1 1 ;1 4 ;
")
b)
3;-2,6; -2,2; -I,8; -I,6;
c ) 5 ; 9 ; 1 3 ;1 7 ; 2 1 ; d ) 0 ; - 2 ; - 4 ; - 6 ; - 8 ;
; , 5 ; 7 ;f ) 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 .
e) - 3;-0,5;24
]
|
V aritmetické posloupnosti je dán n-ty
člen a,, (n } 1 ) '
_ f.b;
]
V aritmetické posloupnosti je dáno:
a) or _ 45O, d _ -24, an :2I0, vypočtěte
fl, Sn,
.1
2
b) d':5'
s 3 7: 2 0 9 i ,
v y p o č t ě t ea l , a 3 7 l
c) s' : 245, d:5, d,: 47, vypočtěte
n, a1.
|
r : 1 1 , s 1 1: 3 6 3 0 ;
")
1
35
Lu \t u^t :
=T'
.)ar=2.n:lO
i.ot
l
125
5.2g
V aritmeticképosloupnosti (o,')i určetevšechnan C N, jestliže
-42,
a ) a 1 : - 5 , d , - - 3 ' s " ,ž 2 8 0 , b ) a l ' : 3 , d ' : O , 7 5 , s , , Š
5,34
.l
5 ) , . s ,> t 6 4 ,
,{5"d ) a ' : 7 - 2 n , ' s r (, - 1 6 '
c) a,:
[
5.30
") "
ž ro; t; pro Žádnén; c) rt,Ž r0; a) n > s
L
5.31
. l d ) s- ;
TI
[ ")aš-s;
-li splĎovatpodmínky:
szs>460,
c) d:f ,,rutUn,
-2,
13.
cl) rr,6_| 0ro : 0,
All
:
Úi]
Aritmetická posloupnost (o')f
;1
ODi
y.
:
/.]"12
5.35
3 2 , a 4 * a 5 : 3 6 , u r č e t e5 6 ' o 1 0 ,
d) o' - os :
10, a6 _ 2a1:
l.
36, určetea76, S12.
u ) a n = ) ' 2+ 2 ( n - 1 ) , s r z : 2 7 6 ; b ) s o : 3 0 , o t o =
c) s6 : 84, a1s: aO; d) arc:64, srz : 198. ]
u r c e t e Ú lt r_ : l l S 2 I .
a) ne - -14.
n
. s s: - 4 ;
7. s12
1,s, s11:
6;
;;;
: (rt
l4)d,
s21 : O.
]
V aritmetické posloupnosti' platí:
b) o' + an*o'a:7I aa5-a3a2:2,
posloupnosti dává součet 182?
5.36
k o l i k p r v n í c hč l e n r i
u) an : 3n _ 2; b) prvních sedn členú
5.37
Prvních šest členrf' ]
Určete součet s prvních deseti čIen aritmetické posloupnosti,
ve které(ls: -4 a, a7 :2,4. Dá|e určetesoučets/ prvních deseti členúaritmetické posloupnosti, která má polovičnídiferenci
a stejny první členjako daná posloupnost.
[ "to
5.38
l
Ctvrty členaritmetické posloupnosti je 16, osmy 24. Kolik prvních členrije tŤeba sečíst,aby jejich součct bvt 90?
I
56, o10,
určete
c) az + aa:
SI7,
a ) t , ' z +a 5 - Q 3 : 1 0 a a , t l t l ' a : 1 7 , u r č e t ea . ,
je dána:
az*az:16,
Urcete d,
d) d e R. a,-3
4
b) o,+ os:10,
UrCele 0,,. .5!2.
c) d:
d) d:-j.trn>-38.
a 2 - | c l ' 5 : 3 4 , u r č e t ed n , S 7 2 ,
4.
a25,
I
a) or + oa :30,
Urcete O,g, 58,
b).1,,
t) d<-t; c)d52; d)d<_1.
1
b) d= -t,"ru<-180,
-O,
a6(
I
d) o5: 6, sP 127'
1
15
| u )o r Ž _ z ; r ) , , . Ť ;
c )a r ) - 1 : a l a r Ž 1 L . ) . . l
l
L
726
b) oo + e7:
o,6
:
^
u4
V aritmetické posloupnosti (rr,")f určetepodmínku pro a1, má.
a) d:2,
5.33
-4,
c)dž3: d)d>17.
Určete podmínku pro diferenci d aritmetické posloupnosti
(a')i tak, aby splĎovala podmínky:
b) o1 : -5, szo < -290,
a) o1 : 10, s1s < -35'
c ) a a : - 1 5 , s 2 e< - 4 0 ,
5.32
u)d> ::
tr) a3 * aT :
c) a5 * o.tr :
Určete podmínku pro diferenci d aritmetické posloupnost
(o,.)i tak' aby splĎovala podmínky:
b) a1 : 3, srs > 216,
a) a1 - -2, s8 > 68,
d) o3 : -3, sra > 1 029.
c ) a 2 - 6 , s 1 1ž 1 9 8 ,
|
Aritmetická posloupnost (o,.)i je dána:
: o; s/ro= -36
]
Ve které konečnéaritmetické posloupnosti o deseti členechje
součetprostňedníchdvou členú55 a součinkrajních čIenri250?
- b n e b oa t r - 5 , f l , t : 5 .
I or:50, d,]
127
5.39
5.4o
5.4L
5.42
5.43
Součetprvních osmi členŮaritmetické posloupnosti celych čísel
jc 100; zrrásobírnc-liosmy člerrsoučtem pŤedcházejícíchčlenri,
obdržínrečíslo1771' Určete tuto posloupnost.
I ot - 2, tl:3' ]
: 90
Určete aritmetickou posloupnost, tak aby íaz l7as
a s ' r: 1 2 .
L a . t: 2 , d : 2 . ]
Prvníclr pět členri aritmetické posloupnosti dává součet 30
a součetjejich čtverctije 220' Určete tuto posloupnost.
t ] , - 2 ;o \ - t o , d ' ' : - 2 . ]
[ ",:2,
V pětičlennéaritmetické posloupnosti je součindruhého a čtvrtého čIenuroven osmi pětinám součinu krajních členri.Součet
clruhj'ch mocnin všech členrije 220. Určete tuto posloupriost'
- 2 , d ' ': - 2 i
L u, :2, cl:2; 0,\:
-2;
a'l' : -IO, t7"':2'
a'l : IO, d" :
]
5.45
5.46
5.49
]
Prúrněry vrritňníclr kotoučkú čtyŤstupĎovéŤenlcntce
jsou d2 : 310 mrn, (h - 22O nrm.
l
Zclezné roury jsou srovnány v 10 Ťadách nad sebou tak, že
vrchní Ťaclamá 15 trubek akaždá rriŽšíŤada o 1vícc. Kolik ie
vŠec}r
trubek?
I
5'51
]
Prrirnč:ry jednotlivych kotorrčkri u strrpřové ňenrenice tvoŤí
aritnretickou poslorrpnost. Určctc prťrměry vnitŤrríchkotorrčkri
tr čtyrstupiiovéňemenice s prúrněry krajních kotoučkri400 mrrr
a 130mm.
I
5.50
46,3 oC
s'o : 195, všech trubek je 195 kusri.
]
DěIník vyrobí za směnu 35 součástek'Kolik součástekby vyrobil za 16 dní' kdyby zvyšoval svrij vykon denně o 2 součástky?
[
800 součástek.
]
5.52
Volrrě padajícítěleso vykoná za první sekundu dráhu
{, v kaŽdé
dalšísekundě dráhu o g většíneŽ v predeŠ]é'
Jakou diáhu urazí
těleso za Í sekund?
1 ,, f
|
Délky stran pravoírhléhotrojrihelníku tvoŤí aritmetickou posloupnost. Určete velikost jeho stran, víte-li, Že poloměr pkn
nice vepsanémá déIku 7 cm.
I a:2lcm, b-28cm, c:35cm' I
5.53
Jak dlouho by padala koulc do hloubky 2750 m, bylo-ii zjištěno,
Že v první sekundě prolétne dráhu s : 4.904 m a v každédalší
sekundě o 9,808 m více než v pňedcházející,?
Vypočítejte vnitŤní rihly šestirihelníku,tvoŤí-li velikosti írhlrl
aritmetickou posloupnost a nejmenšívelikost rihlu je 70..
5.54
d":20" , dt :70" , oz : 90o,
, 06 : 170o' I
Neimenší vnitňní írhel mnohoríhelníkuje 117", největší 171o
Velikosti rihlri tvoŤíaritmetickou posloupnost' Kolik má m
horihelník stran a jak velké má vnitŤníírhly?
I
I28
15, n33 = -$$.
Délky stran pravoírhléhotrojírhelníku tvoŤí aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna je 12 cm. Vypočtěte délky stran, obvod a obsah.
b:9cm, c:15cm, o:36cm' S:54cm2' ]l
I a-tZcm,
I
5.47
au-
Teplota Země pŤibyvá o 1 "C na 33 m. Jak velká je teplota
v šachtě lrluboké 1 256 m, je-li v hloubce 25 m stá]á teplota
+9 "C?
[
V a r i t m e t i c k ép o s l o u p n o s t í 3 0 ^ 2 7 , 2 4 , . . . n a j d ě t e č l e n ,k t e r y
se rovná osmině součtu všech pŤedcházejícíchčlenri.
I
5.44
5.48
n : 1 0 , v n i t ň n í r i h l y j s o u 1 1 7 o , 1 2 3 o' .
L "': ,rt'- ]
[ Í:23'7s ]
Určete čtyŤicelá čísla,která tvoŤí aritmetickou posloupnost,
jcjichž součetje 20a součetjejich reciprokych hodnot (pŤevrácenych hodnot) k
;
NrÍuod,: Členyposloupnostioznačter - 3rl,r - cI,r -| d,'r -| 3d''
|
2, 4, 6,8 nebo 8, 6, 4, 2.
I
. , I77"
129
5.62
Určete zbyvajici veličiny v koncčnégeometrické posloupnosti,
jc-li dárro:
a) a1:18,
b ) n , 1:
,,,,:4, n:'/.
c ) r t a : 2 4 , a "62: * , . r , , : - 1 2 3 0 ,
|
5.66
n,:?, q:?,
at-?,
tt:?,
c) a'_2,
q : 3 , r t .- 7 ; b ) r t : 5 , s s : 7 2 4 i
")
a1 : -1 536,
c) q: -:,
4 ".:5,
":
n-
,1
c) a1:
ft,
L,
os:16,
I
136
.k,.4k
cl o,,:
I
Q:5,
)1
sl < --.
5\
4
/:)
\
| *'-t/u(r'1*)'
- 3t /\ ' ( - :/ tI c , , ) . \
( *,
)
64,q:;,
d) ott:36.
ara:9.
u ) s r o : 9 , 9 9 0 2 3 ; b ) s 1 o: 1 2 7 , 8 7 5 ;
c ) s 1 o : 2 7 8 4 5 , 3 1 2 5 n e b o . s 1 6: - 1 3 1 0 7 , 1 8 7
d) s1s : I47 3I2 nebo s1o : -49 704'
]
s , .ž 6 5 5 ' b ) o 1 : 2 ,
Q:3,
/k_
b) o,: (Ť)'
2\''
( 2 k - t1)\ n .
s,,Ž2I
d)
o , --
(ll!rr'
' :lf:l_::t,iL?f
l-Jj,"'
d ) k e ( - o o ;0 ) u ( 2 ;{ c o ) .
5.68
Stanovte podmínku pro n C N, rr,ž 1v geometricképos
nosti (r2,,)i, kde
a ) o , 1: 3 ,
d)q+/
-3,
\u,/
T
d)ss :31.
V zadané geonretricképosloupnosti vypočítejtesoučetprv
deseti členú:
a) a1: 5, a:
cl) o1 :
V geometrické posloupnosti určenért,-tyrnčlenem a', r} C N,
stanovte reálné číslok tak, aby kvocient q splřoval podmínkrr
(A-1)'-t
a)ts:93: b)ss:
b) o1:
]
b ) a 1 : 4 . . s 3> 1 9 ,
q q c ( - a ; 3 ) ;t ) q e /
a- \) o ' " ' : t ,
/o
5.65
s3Š2,
c)qe\-t:O):
5.67
d)rrž6
l q l< 1 .
c ) s 5: - + ;
5.64
l;n,Žz;c)n)6;
l
d ) o , + r t 5 I a 6 : 5 0 , a s f n ' 61 a z : 1 0 0 .
I
26,
4Ž
I
aa-asIaz:-64,
ar -a6-tt'z:I92,
c) aZ-a:l-a+:3,
240.
V geometricképosloupnosti (a')i stanovte podmínku pro kvocient q c R \ {0} tak, aby platilo
a ) r t 1_ - 2 '
q:?.
Stanovte součetprvních pěti člcnúgeometricképoslouprrosti:
a ) c n - a z l a t : 9 , a +- a s * a a : 7 2 ,
b ) o t - ( 1 , 2I a s : 8 ,
s,, <
[")''ž+;
c l )a 1 : - r 2 , q : - I .
5.63
1 2 , (' t2- : ,
. s , :, ' 7 ,
c I )c t 2 : 6 , Q q , : ž , , , , : - + , " , : ? ,
s , ,< - 6 2 4 ,
o
.l
d) o1:
4 , , : L 3 I 2 2 , . s n- 1 9 6 7 4 , n , : | , q : 7 ,
64,cl:'r,
-I, q:3,
c) c4:
l
Rozhodněte, zda geometrická posloupnost je rostoucí, klesající
nebo zdola' shora omezená pŤípadněomezená.
a)(rll-"),,
b)(#),
d,(#),
I
",(u=),
a) Rostoucí, zdola omezená; b) rostoucí, zdola omezená;
c) není rostoucí ani klesající, ornezená1 d) klesající, omezená;
e) rostoucí, omezená; f) klesající, shora omezená.
]
r37
5.69
Stanovte podmínkrr pro reáiné číslok tak, aby geometrická posloupnost byla rostorrcíresp. klesající.
Nd,,uot].:Gcometrická posloupnostje rostoucí:ar ) 0 a q > 1 nebo
5.74
or <0a0<q< 1l
or < 0
jeklesající:
o'1> 0 t}0 ( 11( 1 rret.lo
Geomctrickáposlouptlost
Aritmetická i geometrická posloupnost začínajíčíslem6 a také
dru}réčleny jsou si lovny. TŤetí člen aritnretické poslorrpnosti
je s tŤetím členem geometrické posloupnosti v poměru
3 : 4.
Určeteobě posloupnosti'
I
aqžl.
a) o1 :
c) n1 :
e) a1 :
-2k,
a,2:
8Ik' u2:
-k3,
a,:
-2k ^,
9
k'
Lr) a1 -
3k',, 12-3k2,
z
,.,
d) a1- -i,or,:f,
Á',
I
5'75
1
o.
f) ai:
a,2:k.
VK;
a ) R o s t o u c í : k e ( 0 l 1 ) , k l e s a . j í c ík: e ( 1 ; o o ) ;
b ) r o s t o r r c í :k > 1 , k l e s a j i c í : k e ( 0 ; 1 ) ;
I\
/
I\
/
-i)-(0:
c ) r o s t o u c i *: . ( - j/,
/
L
f ) r o s t o u c í : k ) 1 , k l e s a j í c í :k e ( 0 ; 1 ) .
-- !,
Q:2
Í at
5.72
5.73
V geometrické posloupnosti je az _ a5 :
S , , : 2 0 4 6 . U r č e t ea I 1 ' ] )n .
I c r r:,2 ,
138
5.77
N{ezi čísla8 a216 vložte dvě číslatak, aby s danymi číslytvoŤila
geometrickou posloupnost.
[1]
I a;z+;72;216
].
5.78
Mezi čísla6 a 1536 vložte tŤi číslataková' aby s danymi čísly
tvoňila geometrickou posloupnost. Určete součet s vloženÝch
členú.
I
3 ; 6 ; 1 2 n e b o 1 2 ;6 ; 3 .
96, oo l a5 =
Q:2,
n:
Lo'
]
Stanovte takové číslo,aby zvětšenopostupně o 3, 7, 15 dalo tŤi
po sobě jdoucí členy geometricképosloupnosti.
Součet prvních tŤíčlenrigeometricképosioupností je 21',
jejich druhj.ch mocnin je 189. Určete tyto členy.
V sedmičIennégeometrické posloupnosti je Součetprvních
členri26 a posledních tŤí2 106. Určete tuto posloupnost.
r26_
neboal
ot:2.q:s
n'q=-3'
I
;'
5.76
]
Geometrická posloupnost o šesti čleriechrná Součetvšech
čIenri63; Součetsudí'ch členúmá hodnotu 42. Určete tuto
sloupnost.
|
V aritmetické poslouprrosti je a1 : 8, (1 _ 2,
v geometrické posloupnosti al :3, q _ 2;
nebo v aritmetické posloupnosti je a1 : 17, tJ _ -7,
v g e o m e t r i c k ép o s l o u p n o s t i a l _ 1 2 , :
s
\
d) není rostoucí ani klesajícÍ;
e ) r o s t o u c í :k e ( - 1 ; 0 ) u ( 1 ; c c ) '
k l e s a j í c í : k e( o c ; - 1 ) u ( 0 ; 1 ) ;
*5.7L
TŤi čísla,která tvoňíaritmetickou posloupnost, mají součet30.
odečteme-Ii od prvního 5, od druhého 4 a tŤetí ponecháme'
dostarremegeometrickou posloupnost. Určete obě pásloupnosti.
I
/1
\
k l c s a j í *c .í : ( _ 5 ; o / u ( i . ^ , / .
5.70
Aritrnetická posloupnost: 6;72; L8;
geometrická posloupnost: 6;72;24: . . .
nebo aritmetická posloupnost: 6;4;2, . .
,
geometrická posloupnost: o; a;
.
]
i;
5.79
V l o ž e n á č i s l a :2 4 ; 9 6 ; 3 8 4 ,
jejich součet s je 504 nebo:
-24;96; -384, jejich součet je -312.
s
]
Mezi koňeny kvadratické rovnice !I)I,12 vložte tŤi reáIná čísla
0 , , b , c , 1 1 1 a < Ď < c 1 r z t a k , a b y s e z í s k a n j , mki o Ť e n y
vznikla geometrická posloupnost. Napište vloženéč|enya
n-ty
člen geometricképosloupnosti.
u) ,' - r7r * 16: O,
c) 2r2-|17z1g:g,
b) 9rz-|82r*9:0,
d) ,' - B4r-l64: O.
139
n , 2* 1 0 n * 1 7
,.
:lirn
lirrr
il
rr-\
r/-\
c)
lf
-1 0 | 1.7l \
/r n"/
^/
n'lLl
\
/1
n'
5.85
\
Určetelimitu rl-téhočlenuposloupnosti:
a)
b)
c)
d)
" ' t\( /{t +
' r) ,/
10
l+_+tt
tt2
,í!*')
,l+x
\rl"
,l I.n1I 1 _0+ l t l n
11+6
'n,
tr+x
110\7
L7
:
-i
n n ' ,| " *
lirn
e) ('-
[
,.
ÍL-@
L7
Io+o+o]
.n','
5.86
L 0+1 l
lim | -r lim r
7l,+É
rL"
c) a,,- vď;
Posloupnost konvergujek 0 (obr. 5.21).
e) an:2n'-n'
+a -B,
5.84
d)
(o")r' (b')r, jejichžlimity n: 6. Vypočítejte:
čIenrijsou lim o,, : 1,
'n_Ť,,2
'I11b'
a)
c)
I46
Iim (2a,),
b)
Iím (2a" - 3b,"),
d l.
IL+@
n+Ň
,lim
llm
rt+@
f)
3an
;-.
0n
5.88
a) +oo, diverguje; b) *oo, diverguje;
c) -oo, diverguje; d) *oo, diverguje;
e) 0. konverguje: f) *co. diverguje
b)
l
lim
n+@
Iim
7t+rc
u),!L(+)-
lim
n+@
lim
n+rc
2
5n2- 2'
I
(4r2,,b,),
1;b)7;c)5;d)8;e) 1;f) 10.
]
Vypočtětelimity:
c)
Jsou dány posloupnosti
")
)
/1
f) an : tn(n3+ 2n + 2).
,
a)' lim ----!nJ& rt2+ Bn _ 14'
Cvičení
\.J,/
d) a,,: 2,,,'_,,
,
I
Obr.5.21
\
x
b ) o,,: J " t -r r f Án +6 ,
(trn
5.87
/ I \ n\
Vypočtěte limitu n-tého členu posloupností a rozhodněte. zd'a
posloupnost je konvergentní nebo divergentní.
a) o.n:n2 _ 5n+g,
7L+@
/
f) íto-(=)
(;)"),
n,o
/
.Ť
'r1,'
"
- +t
?t+x
a) 0, konverguje; b) 0, konverguje;
c) 0, konverguje; d) 1, konverguje;
e) l, konverguje; f) -oo, diverguje.
]
n-ty člen posloupnosti je vyjádŤen ve tvaru racionální funkce
proměnné n. Vypočtěte jeho limitu a stanovte zda posloupnost
je konvergentní nebo divergentní.
r47
a)
")
7)3-1
,'n
2-n-|lz-IlÓ
-
2 r ť 2- n , l 3
^
n
3- 2 n + 5
-------------;,
h)
1-3nlno
1-n3
2-n+4n2'
o ', , :
f)
n
n,' - ,5n
)
("-1)1,
(2 ] 3n)'
Vypočítejte limitu ri-tych čIenriposloupnosti:
5" rl - lOn
2" +3
..
Iim
a)
'
-
5.90
hl
n]-n,2*nl4'
i)
(n+3)(2+rr.)
"
/1\
ar,:l;l
c)
\ D,/
l) a ' : l n (
rtlS
3"2
n-x
- o
lrnnr'pronrrtni.rll
_oo,
e ) 0 . k o n v e r g e n t n í ;h ;
\
7l+Ň
divergentní:
e ) o <. d i v e r g e n t n i : f ) o o . d i v e r g o n t n i :
).
-l,
\tr;l+t
e) lim
a) -1, konvergentní; b) foc; divergentní;
.\
I+2+3-l-...+n
lim
7l+Ň
f)
konvergentní;
J
lim
n+@
i) 1, konvergentní; j) '|co, divergentní;
oo, divergentní.
k) *co, divergentní; m)
5.89
Vypočítejtelimity:
a)
c)
nÍ|
lim sin l,
.rc
n
t)
. nÍ|
srn -;
ě,
lim
n+@
tl+&
[ . o . ]=
,,-aln-4
2n l
--1.
"-
l-. (n-l)n
lsrn
"lim l----------'2n-Ť|
n
L,
o)
ri
148
,.
f ' rrr
l(-rl
''IL| 2n
L-l
1
11
1 t : t,-^
*
1+
8
111
J
+
Ť
totlf
4
n
-l
|
ÝE+6|,
l.
I
-T-
-r
s+ 2T
1
2n
_LL' " ' ' 3 n
- ;t ;1
1
b) t0; c) :;
1
d)
2'
e)2:f)1
Vypočítejte limitu n-tého členu posloupnosti
PŤíklad 5.91
rim (n - Jn\
4n\
/
Ř,ešení. n-tj.člen posloupnosti pŤevedemena zlomek
-l
n 2 _ tl l
,I
I+2+ 3t... -|n
["r
.
tozslnme vvrazem
n)
?3\
1 + 3 + 5 + . . 1- (2rt - 1 )
n+E\
d) Iim
--l
r r l,2
tl-Ň
n
lim |
f\
lim
b)
5n'
'
I+2+ 3f ... |n
d) ri* (
/ r t,- \2
)
\.i + ri- /
lr' Ť
,,'jl} 10/r-l
1- 4.2,t
n+Ň
(i)*,
k) a':ln
a) Limita neexisttrjer b) Iimita neexistuje;
c) 0; d) 0; e) -2r f) --; g) 0; h) -:c
I
n2 -3ttl2
8) a," :
í) u", _
(1,,, :
d) -"-
!
o
Ó+n-lL.
2n3 -rt2 -3
-
u lt
b)
-,
-----------^
,'
il+JF++"
------=ttlÝn2r4n
n-Ji?+4n
a upravrme
-u
= Iim
Iim
?.-x
= lim
'n-x
7L-O
-4n
n2-n2-L-
tL + t/n2 + 4n
n+@
n2-(t/n2+an)'
n+ JiF + qn
n+ t/ffi + +n
-tl-
f-ool
L+ooJ
149
5.100
Rozhoclrrěte, které z clanj'ch geometrickych ňad jsou konvergerrtnía které divergentní. Korrvergerrtrríňady sečtěte'
.
X
r
ztn-I
,f-\.)/
b) Ď'(*)"
a l' 2 2 )
-,
4n-'
I
b) q -
5.101
Ň
iada'jedivergentrrí;
750
+
l0
iada je konvcrgentnt.
!
t
/
_
"
-
-i-:r
" ,t r + l U
I
;.
.' ti
\
,..
\-tt,
a) k(].s='j,.l,,l
l
-)\n
k
|Á',I.s
^:
[
1
..,.
;--';;
l+/í
l
a) 8,4,
COS
ts
d)
\L-
I
5.106
a1270", s-ílsin
al
180", s -
315o<o(360o,
J99e1-cosq
s--ig3-'
r+tgo
d) pro l1f sin al ) 1 + sintr > 0+
+0o(o{1800,.s:
]
5.103 SečtětegeometrickouŤadu:
154
3 ,e 9
-;+
27
"t'
' ťCR\{-10,0}'
t+Lt2_ 13-
J
-
E
VA
1
4
c) 3.012.
b) 2.6004.
r l
q
4
I
I
-
d) 0.23.
76 ..26
4
''
I
l0
9000
t2
1003
23
' o)
n*
rs3
99
-
- .
h l
5851
2250'
Ve tvaru zlomku v základním tvaru napište tato ryze periodická
čísla:
c) pro 0o š a ( 45o, 135o ( a <225" '
/,
4+..'.
sln'r
,
c) J:
Ct.
-jG |sinci)
a)Proal9o",
b) pro a loo,
r
,5
z-,-
l,rlkn;c)s:4t3nT
uD;b)s:
I
,N,:I
a) 1-
_
)3, zl-r0, r --6, r-4; b) r (1,
")]"1
c)r:x<r,r-],r:
l; a) " 1r,T:?,
273
Ň
,YD ), l J )
I
_
5.105 PŤevedte na zlomky v základním tvaru:
5.Lo2 Určete,pro kteréhodnoty a e (0.; 360.)jsou danégeomet
Ťady konvergentní,a pak je sečtěte.
1)'+r tg"cr,
1
2 ""
_
x
c) " -r |3r ,2+13+3za+...,
"
,.2
,t) -; :t-2x2
+13 2ra+....
/r\'"
c )1 < k . , r ,r - f , j . '
.) t(
1
_
I^
u, Y;:I_
n-I
.'
|
,/z-t'2-vtr
L
F
rin*l
\-r'l
rL -r tr \ -
\I-n
zlt "' '
rt:I
"D+1
|.)":z
Stanovte, pro které hodrioty paran}etru A c R Ize dané geometrické Ťady sečísta udejte jcjich součet.
or
"'
.
5'104 Řešte rovnice s geonretrickouňadou:
5,
]+
u) q-
nl
4,
Lb \) r ,r + c o s 2
-.rJCoS.']"Ť...l
a) 0,645,
b ) 0 , 1 3 20 ,
c) 2,436.
40,.t E
f "r T, b)
1
333
303
37 l
L
5.107 Ve tvaru zloniku v základním tvaru napište tato neryze perioclická čísla:
a) 0,4Ť,
b ) 0 , 2 2 78 3 ,
c) 0.32165.
| u ' 4 3' D r 8 4 3 t ' r 0 7 l r I
so
3 7 o o ' 3 33 o o ' ]
L
5.108 Na ramenu
ostrého 'hlu'AVB o ve]ikosti o je zvolen bod Á
tak, že IV A| : a. Z boďu Á je vedena kolmice na rameno l/B
a její pata je označena A1. Z boďl Á1 je vedena kolmice na
155
r
2 . r ( 1- ' - 2 ) - ( 1 + r : 2 ) ( - 2 ; r ; )
(I - :ť)2
rJ.6
Vyl-loč:ítcite
]roclrrotucltll'ivace Í'urrkctlr'. prťrsečíkrr
.jtljíiio gra,frr
s osoll .t'.
4t:
-2 . r 2 . r 3i 2 - rl.2 : t : t :
--"zl'
(rlI --liÝ/1
.t:21'
(1
1,2)
a) y : ..t+., --6.
lt) y:.y2
t
Hrltirrota rierivirce clarréfunkce v lloclě ;r : o jc y,(0) :
0, v boclč'r = 2
R
. j e/ 1 2 1: Y .
:)
t,t
8.3
tl/
,
"t,
),.t \-t))..1tn).
\,
I
5,
d) y : 12 +2y - 1. zo :
r'-
-10.
[
Vypočítcjteclerivacefrrnkcí:
a ) ' a: 5 ; r 3 + 5 ,
c ) U : ( a t :+ b ) ( x * 1 o , , ,
I
. ' l
1
"
r=')
Sln"r
-
t3 -3''a
-P",
3
2
5*
c) y: (rt'+s)(r_2),
1
L
J;
]
8.9
a) y, _
t.
+ v h ; b ) a , : r , 2 - 6 x 3+ I 2 x 1 - 6 Í 6 i
io,-ž
c) a' : 4:r3- 612 + 8; ,l) !J, : 3(r - zy2 + 2r
]
]
-at 1
Í
":
!n.
_ I: !J,@) nenídeÍirtovana;
") a,Q)
Z
b ) y , ( 2 ) : 7 . ! r , , 4 ) = l1: 9
/\
, , ," \,l(/ \ \
,!3|T_4).,,í:)
./"\
. / . ,\
-2'''
,"\,)-
= 1.
Í|2.
, ' ( i ^ ) ='
,._ ,
Najděte definičníobor a první derivaci
Í.unkcc:
,/5
r>)
u: 1ft,
\/r"
a),a:vE+5,
d) a:(r-2)"+12.
I
-
, r ) v ';( ) = r| t 1 - n )
\",/ .
9,,
7"
l
3rtr
1. -; , J - - - .
x42
Vypočítejtederivacedanychfurrkcí:
a) u:arE+:ryG,
b) u
r
;I:
Úz
c)u,:2ac:x+at]+d
b )c u: , _ 1 . _ á
',
r;:1,:r::0,
d ) . q : s i n ; r {: c o s : . . r : l ,
Qo
b) u:612-3.r+8,
d) y: vF +s.
a) U' = lSL z'. b) y' = l2t'
\
l
t : 2t 2 . t - 3
r,
D) !l=
:
") a'(t) a8;b) a,( b): z;
. ) a ' 0 ) : 1 ; c t ): v ' ( - r o:) - r s .
i,r2 ^ ;t
,6, -,
Vypočítcjte ]rodrrotuderivace frrnkce i7
v clarrÝcliboclcch:
a) Y: ='
Ť.
1,;rs:1,
I
l
V y l l o č í t d t e ' f, ( , ) , , Í , , ( 0 ) ,
! '
L
8.8
r11:
c) a:2t?-3tl
274
l
-
J ,
, 1 . r ' f4 .
:,: !t,t.2) r,; lt1r1tl.21 6
Pornocí clerivacc nroctliriné ftrnkce ttaiezttětel <ierivtrci
dané
firlrkcev boclč.r6.
b) y-2tlI.
8.5
. / -I \
ftl
a) ll : zil. l'9 : 4,
8.4
Je cleirra Í\rrikcc l.(r')
r
Cvičení
a) t1't-:t1,
c) lJ:3t/,
-i- 16r,
q)
!/:
L,-| Ýl'l
,/r,
,111
\tu-l--
,Ť
/,'
vJ
J/.
Ýx
,Ž.
l
I
8.13
a) I c (0rco),
,,' -- .).."t.,, r
\'
e -!\
|
I
b ) r : e ( 0 ro c ) ,
c) r e (0;:c),
2
t t
8.I4
cJ)r: e (0;oc). "
,i'
,1
I
I
|
e) :r e (0; rx,)' ! J ' - - : r :
l,r-
-
'.1
2\/:r.
i/ t:2
1
1
1
s
--,t
2,J
J
:J
f
.
1
.
I +- cos.li
,.J/')!,
J
Ť
\L^
r\r))t'
Ť
I
8,15
1 l
Vccvlčeníclr8108.15vypočíteiteclerivaceÍurrkcíl.libovolrrérrrbodě,
v nčInŽtyto clerivace cxistrrjí.
8.10
'r-
a) v:
-i ť, t r
1
siun
. .
T 1 t ' t ,
r
2
Derivace složené funkce
V 1cltlrto člárrku si prclcvičírne derivaci sloŽcrrÓ firnkce.
2r
ť) 9-
L
8.2
l
"i J
I
N e c h t . r r r á | r t r r k c ey d e r i v a c i v b o d c . r n a l " u n k c e/ c l e r i Včta 8.2
r'irci r.boclč u,O: [email protected]). Potom složerrá furrkce h: f (g(r)) má clerivaci
v btlc1ě e'g a platí
i.,
.r't r
lť (r()) _ f, (ql)q, (l:()): Í, (g(,,)) . g, (to)
PŤíklad 8.16
Vypočítejmeclerivacifirnkce y:
(8 6)
J,', +2 pro.r c R.
R,ešení. Daná firnkce je clefirrována rra celém R a pŤedpoklacly
věty 8 2.jsou splněny (ověŤte).PouŽijernevzorce (8.6), kde Í(,,) _ nti,
1 : 9 ( . r : )- 1 2 + 2 .
y ' : . f' ( u ) g , ( r )
8.11
a , - 6 I i ) ' ( r , + z ) ' - ! 2.
c)
.
-0":
<,)1)' - ' " . . t
276
l
1l:-
"
2 r (\ L/i 2- l \ ' 2 ' ' r l * L ;
I Lr+
,Ip+z
Pňíklad 8.17
tlodě:r C R.
Vypočítejme d'erivaci Í.urrkce
9 - sin 12 v libovo1nérn
Rešr'n,,í'Funkce je definována na celém R a pňeclpoklady věty 8.2 jsou
splněn}r(ověŤte).Použijenrevzotce (8.6), kcle
Í(") _ sinz, tr : g(r):
-injŽ]
1+lnr
ta
PIo vŠeclrrra
x] c R.
b) ,',
(1+t+t2i2
8.12
I
-.9Ť-
= 2".
l-)
I "u ' = - - - - - ; ,
r ( 1 1 l n . z) '
L
1
,t
I
.r ) 0. Í Ť ; . )
.
o/ : (sin ,L'), (r2), : cos ?,Ú'2r : 2r cos 12
ProvšechriarCR.
) .l 2 r '
Pňíklad
clcril.aci furrkt t' ,, :
\r1.1-ltli.í1t.jlrlt.
8.18
(,r
-, tla irltt'rval1
1.2
( 0 ;; . )
tla itttcr.l'iilrr(2Á'l: (2A + 1)n),
clcÍirrrlr.iírra
Rt,'st,ttí. or'i.Ťtc. Žc Íilrr]ir.c.je
,
l i - ( v A ) ' ( t g, ) ' ( ; ) '
;
:
ri:
8.27
cosl i
I
1y/ig , .nr2+
tt,ltl1
a)
b ) i/ : r'os 3.r'.
c)
cl)
.)
lj :
I
.2t.r.2
l)..
t
\,(in
pt<l vŠechrrar. e (0; ;t)
al
PŤíklad
8.19
clcrir.aci furrkc.cj/:
V1.1ločítcjrrre
,. plo r
C R.
J.i,'
' - ,( ' ( } 5í J ' :
!l,
\,
věty 8.2
Rcšt'n,,í,. Ftrtrkce je rlrlfirrovárrir rra celérrr R a pŤedpoklady
1'!,=
4,,,
(8.6).
kdc
./'(.,)
jstlrr
splrrěrrr. (or,ěite). PorrŽiierric \.Zorcc]
':
vysledku
téŽ
potrŽijt:rrrt.
- /l('r.)
.r2 (l)i-i 11'.počtrr
ll(,,): .i' .,'. r.
pi'íkl:rdu 8'17).
-r
d\tt'
sin ,r
2cos:.t
: . 1 . , l r i . 1. 2 . r c: o s . ť ':
! ' t ,_ ( 4 , , ) , ( s i r ri , ) , . ( ' ' , ) '
-
cos.ll
a) lJ-
,,-tit,-,trt
., E \z^'1, \.^
2rlsin.r:
2
r) !t'
8.22
(
|2A-\
r'
:.
I
r , z A '+
^1' 2\/ ,
2
+ 1)n):
cos t7'
:j (1
- 2 r . I t t 4 c o sr : 2 4 s i ' 1 2
pfu .r t n.
rus rl -:
Vt
r')i
2(l
jI silr]'|'i:
T1
ct ll
e) !J'
|,) t1, =
t
s i r r . r 1 á ( 1 + s i r r r . ;*
b) y :7i"
t t ' t '( n > 0 ) .
.
CJ lJ:2",
,i) y-3'o"'",
Cvičení
c) !J:t'."',
f) U:.@,
Íirrrkcer. lillovolném bodě
Vc cvičenícli8.20 E.-t4 .,.ypočíteitecleri.,.:rct'
v tlěrnŽ tyto derivace rlxistrrjí.
8) '|: .:y'Ň.
h) y - pts..
8.20 a) Y:r\E+.i(1-'''3\+
,
c) ,!t_
\t_"l/
278
b) .ry-
[
,r) '!)': 3o,''
< : )t 1 '-
. ť# l r + 2 A ' t
l ' ( , 1 ,u > t ) ; b ) y '
312 2'
'
7
j'
lt 7
l' 2:
rl) u' - 3'""- ' ( sin 2.r:)ln 3r
r.:)'u' -.1r;3 c''r ; f) y' =
"t[i.'+,+z
2r+7
2 Ý / i , + . . l+
' '2,
279
.,t{-
" - )U
,
l).
-..t,(24
(-os_.t
l,
:t)t!'-''- 1-
( 2 l ' ' n (: 2 Á ' | | ) n ) .
.r'
2
slll J
r'lA '
l,) !J'
8.23
,,,"
--
ln4-4.t
tr
I
z
.ll'.;'
| t l t l ,_ _ ,
coq-.]'
(,r'2-.r+1)'
b) Y -
c) '!): uf sin 3:r',
ď ) y _ ( . , 2+ 2 ) ' . ( ] o s 2 . r .
8.26
' , - ( 2 ' t - : , t ) t / . r 2- I
''
c) '!)':
8.24
b) g:lttoLt'
c) Y: ln(cos;r)'
d) y :
/lrr.r\5
\1/
d
2
u
.
uly'=
b
-:
,r\
,
(ilnlr
/
'
-\
-/
"ty
I>Ui
8.30
tr .,tz
---:'_-.
.1.:-
\/ 0.
-
,
-
;l
t/l
V.r'" ln-J
r'\
- # .- l n
3 r/rr' ln .r
I
tE,-P'o''
71e' l2.r
.r\ 0, .r'7 l:
: p\ 1'
1 5 " . .1 . 1 2 .
I
.llnr'-
- c L 2 ( a -,
)-)
' l t/
|
L
.,,_
,r':
8.32
, , -> t ;
d) y:3"''
:
L'-l
lt : \nog x
rr -
1
' 2 .-r
ln l0/1og "r'
l o o t 2r
2 l:n:t
,
lJ : --.
.r'>0
Slrrl
,
lJ:--,
r lrr'10
r>0
,V: 1og2,r2
/r:
l r r /I' ,r' , 1, ,,-), . '
''
8.BB
2
-!\
J. ln'10
8.31
J
r = ()
,
b) a:2
..
3,i)(.,-' l)
.I'"
ri);
-
'f t\ e t t ' '
280
8.29
yt t-I 3 - ' '
.) u' =
l
1/rr.
,\/
, la,l
)Ťfr.:T e (- al:lol) l
,
b)Y'
\
vt
A \
c)
lt
Ý'' 1" j...
/
) .- Ť | | |.
|
8.28
r'\l
'
vt;-2+1
h) y : ln(15e"'+.t).
Y:lrr(in:r:),
a) l J - 4 ' ' z - x - ,
"
'J
3.r
f' ,
Ý 'I'.
t , r '' 'l '
""
!l' -
c)!t|: _tg.l'..re (zÁn _:.zk-
8.25
,, :
)t"
,
I
| 'a:h(r:+^,,tr+"),
- )
I
,;
(rt + z) sin 2r] .
a) r:ln(or.rb) '
e) rr:t
9)7
1
i:i:r.
i 6rr:cos3.r.).:r:) 0;
fr,rttt
d) ut : 1rz +z)'') [6,,'.o"t,,
11 : .
2
| l t ' 2 . ' t 7 1 z Á ,'
< : )u ' - t 0 - ' 1 t : r ' l r r t 0 ) ;
d ) u / : : J ' 3 : l . r : 2h r 3
a) y : (2t:2+ t) vG')-- L
J>
':
,I
. r ( tl l r rr ) '
I ,,.rvE I
'2r/Z
t\/D + I
ll
I a
'r
L'"
"
/l>
,/e
2
281
8.34
'tJ: efri
r , . )u : l o g z s i r r2 . r , ,
.,,. ť,'.r:
u ' - : -' 5
8.35
)'#o
Ý.ť
e'' | í.
,2
l r':i('''-"')
8.36
I
lt -
t l ) 1 1 '- 2 r ' l . g e :
,') '!j' - I log sin 2;r, iog (, ( otg 2 r
siri :r'
1 -| siu.r'
It,,,
..t
cos
'--))!'')
t1 '-
r ,,La
I''g'rI
Inge
:I
t*
.1:
; -c()s
, il;l .1 -+-s.i l r . r , , + ( 1 4_ 1 ) :
2
I
8.BZ
Í) l _ ltr .t;. iog .t:2
*8.42 a) u:5.r''
lr) u:(5.r')'.
I a':
-.rlki
Sil]-J
3 cotg2r
,
-_,
sl Il':l'
a)
,,
a-cos
c)
li:
e.Ě
]
d)
!
r) lJ
( s i ur . ) '
cl) y:5
110i"
-sirr(lrrr), r)0.
q -
()s .
sin rl
1
lĎ.
e'< J -.
t
*9.44
gcorB'r
b) 17':
e"'. "
L' , (2k r J)r;
d ) . ! 1:, _ e c ( ) trs- + ,
)t
slll- 7 '
282
() !:
rlkr.
b ) y : ( t g r : ) '.
b) Y : -e""'
I
tt) y, _ e
8.41
1
*8.43 a)
u:,r'"i"'.
g - cos ln r
l1
) tt :
L]:
8.40
Z
c o t g . r '- c o t g ' . r .
u,_
8.39
c:) g -.r'5'
u ) t l ' : 5 . r " ( l r r : r* 1 ) . r ) o :
) t ) 4 ' : ( 5 , r) , ( h r 5 / .+ 1 ) . . . > 0
c) !/' : 5 r'5'(ln .r -l 1). .i ) o
I
sin 2;r'
f 1
y
e (A,,0^*
l-)/
\
t
L
8.38
.r
111.11
..t:ll
t2 7 A:r. ]
a)
Ir) 'U: log cotg r:,
c)
d) v:
cos Í1
al
t1: 'ifr,
( ' l lJ :
b) 4:
Ý,x:ť- r,
t
;,9j,
cl) i7:]^'".*'.'"j.
:tttl
L
;l
l . ! /
V
1
"
,
"'
(l
'lrr.i ). ./
Á,e R
.0:
loge"',
283
8.51
kc ki-ir.ceil tr.člrrt.
rclvrrir:i
Na1liŠtrl
++
./Tt
r.r[2;go],
r. ll.,.lt,t.lr
't'21
4: uo)
8.58
.]trk sc rrrěrrí rlbjclrn plvrrrr I,/ r, zár,is]osl,i rta
.jchtl
l
i
Ž
c
s
c
p l Y t r i . í c l íB o v ] o v Ý n i - N ' Í a r i o t t o r , Ý nzr á k o n t l n ' 7 , . i . :
7
l
.
.
j
e
s
1
1lirklr
= kortst'/
pňíklad
]!t čt'ttí, Z dané]ro zltkorra rlostatrtltne. Žc z:ivisl<lst objc'nrrr p]yntt rtir
j..l 1ltrliu jt: dtirra rol'rricí r' : !
8.52
N a 1 l i š t ' t t l v r r i c i t c č r l v k e k Ť i v c : ei l -
(..2
3.l'1 1)'' v bodě
rl-1,.rro]
Ztt tlzttllljcnru v zár.islclsti .'u'i.uuu ]liyrru. ktcry se ŤíclíBoytovvrrr-JIirrirlttovÝrrr zákcltretrt.jc: diirra ror,rricí
cil,'
8.53
0 . 5 ;y 6 ] .
i
8.54
1 : t t . 7 - l t ;Z l ;
a) f: 3,i - y
t r )1 : 6 r * l l t l . 7 ' l 0 . 5 ;3 1 . 1
Napišt e rtlvrtice t ečerrkc ki'ivcc u : r';J 2 ,5,r'2- 10.r;i 6, jsou-li
t e č t l y r o v t i o b ě Ž r r és p i í r r l k c l r r. L r - 2 y 1 3 : ( ) .
,2a 5L - 0' 7.r
[3; 11).5];
| Í 1 :1 . r ,
t2: i>1:t: 27ti+ LLo-
8.55
tt. I':[I *l
'', )
L ',
t
Napište rovrrici tečrry ]larlrboly y - ,2 - 6r.* 8, která je rovSoustavy sourrollěŽrrá se s1lojuicí vrc:lroltr pirrtr}loly s 1ločiítke.rrr
Ťatlnic
R,cšcll,í. okanrŽit<lrychlosti těclito boclri určírrre
ze vztahu u(t) : .,,111'
r'1(t) : 3t'2- tot i IT, u2(t)- 312 3.
R'ychlostiobou boclriniají-bytstcjné,tedy'u1(t) - rr2(t).
Řešímerovnici
3t. I}t + 17 : 3ť2 3. RcŠerrírri
této rovrrice dostanerrreÍ : 2.
R1.clrlostiobou bodri budou stejnév časc/ : 2 s.
Cvičení
8.60
, 3 6 u + 1 -' 0'7,L' c[ ! ' - ] i l , l ' 't"3' ; -' 1 1I) '
I t ,-, 2- ',+
rtul
t
8.56
krir'kt..kter1tjc tlzrriarclr.rricí
lrlá tt:člrir
btlclec:lr
V ktcr.í'clr
a = Í3,
srrrěrtticiÁ' 3./
-11' I
I 'J'1
[ 1 :r ] r T z l - r ;
8.57
Vl ktclrérnbodc]kŤivkv určerttirclvlrir:í
lJ _ .t:2- 4.r.* 5 je směr.
-2?
rricc tcčrrvrtlr,'rttiA' :
t Ttr;zl| ,
286
(/)\r"
Dva ]rrnotnr]:
PŤíklad 8.59
bcl<lyse poirybrriíJlo 1lŤírtrce'Prcl jcjicti
č2a Sl p l a t í . 5 t: Í 3- 5 t 2 + l 7 t , , s , 2 : 1 3 - 3l' V jakelrn
c l r . i í l r r . , s 1a. 5
čascl
jsrlrr.jr'jicl1r
r-ychlostistcjnÓ./
Nir1;ištc rtlr.nici tcčrrr.clatrékŤivkr. r' llor1č'7.
'l'll:
a ) y - 3 , r . 2- 3 . r 1 2 .
uo).
lr) y-I-2.r+Jr'2.7'[
konst.
dt,---iF
.r lt |2,,o - 0, 1'l-1; 125] ]
[ 1:;175+
8.61
Vr.počítc.ite.
jakorr dráhu vykonai limotny bod za čas :
Ú
2 s,
platí-li pro jcho dráhu vztah s : ť3+ 2t2. Dráhu
lněŤírnev rnetrcc]r. čas v sckuridách. Vypočítejte,jaká byla jelro
rychlost
vČascÚ:2s.
[
- 16 ni. u(2) :20
rn s-l
]
Pohyb.lrmotnriho boclu po pŤírnccjc popsárr
touto rovrricí
_
,
4f + I6t2, kde 1 je čas. V jakém čase byla jeho
t
rr-chlost rovna rrule?
|
8 ..v.
Rr
"(z)
h 1
t-ohyb
viaktt'
.'(il-0m's
ktery
1včaseÍ1-0s'
vyjížrlí ze stanice,
lz-,1s.1;_8s.
ie popsán
touto
]
rovrricí
.s : 1 80012l ut t Ď, kde s je drália v km
a l čas v hoclinách.
287
8.66
t :l
. / ( ,) - . r ' ' '- l 5 . r ' '+
xg'75
(
[
8.67
,1
ll.tt,
.t'
'-..
3). (:3l.x ) trlstrlttcí: (
; 3 :l 3 ) k l e s a j i 6 j .
]
1
r--
I
.r'
a ) 4 : l , r . n 5 . , t+ , , .- 2 . ( 0 : 2 ,. 1
| (---.,.,
(,,?) 1 z : : r ) k l e s a j í c í ;
(;
8.68
( -.
(--;
0) klesající: (0; xl) rostoucí.
oo) rostoucí ]
.f(r'): +r' :r:2
|
8.72
a) a : t(Iz
2r')'
( -l
2) rostorrcí; (2: m) klesající. ]
1 * ln;r
c)
J]
8.5
Diferenciál
funkce
lkl:iclejtne. Že frlrrkce u Pi'r.rl1lr
Lil;it.i f,('r'6)' Pak diferenciál
tr
rl./(i )j jetsou<ririrlerir.trct,filrrkce:a
1
l , ' t \l . r [ , i ' .D : t s r ' t t k l i z i r t
: I,'|
. Žt'A
ir tliÍt'rt'rit,iálernclq jt' r.irlčt na clll;
Íjrtrlict..Z <lbt.8.1 .itl také zrejrrré. Že
rralrraclírne-liki.ivktr
!/ : 'Í(l.)
p t ' r lt t i l t l Ó Á . r : . 1 e j ít e < ] t r o t t . / ' ( . r )p. t r k
pÍírristck Lu lzt' na|rrírlit
1l;irtr
dili,r'errcihlcirrclil.
u ) ( c o l 2 ) . ( 6 ; o o ) r o s t o r r c í ;( 2 ; 6 ) k l e s a j í c í ;
b) :il ) 0 rostou<;í.:r { 0 klesající.
a)
a) l'latí
b) Y:2+t'3'
I
8.73
]
l ( , r )- x '
(_-;
.1.1
I l ) 1 l l a 1í
]
|
8.71
l
/(.,'): r''
[
lt) q -
]
. l ) k l e s aj í c í : ( - 1 : 1 ) r r e k l r ' sjaí c ía r r e r o s t o u c í ;
(1; oo) rostlrrrcí
8.70
( r ; 2 ) r ir:s t l t t t c í
r- 1
. / ( . ): l r ' + l l t
|
8.6e
')
Or-ěrtc. zda platí I'trgtitlrgtlor-it
rr:ttr ]lrcl Íiurkci t, :
'|(l: ) lttt
ttt1err'a]tt fu: b). Nir]ezrlětt' pli'ísilršrrd:
rjíslrl r.. 1,l...,l.te,'.| pt,rti
. f( | , ) . í ( . , ) : Í , ( r ) ( b r r ) . ; e . s t l i ž c
]
- 1 r ŽO,
b) y: v,T',.,,
.l>u,
A-t'-2ln.r..r)0.
[
(l; :x) rosttlucí.(0; 1) klesající;
")
b);r>0rclstoucíl
?lo ;r:o cl:r:
+
c ) ( 2 ; c o ) r o s t t l u c í ,( 0 ; 2 ) k l e s a j í c í . 1
8.74
a) tJ
b ) 'U :2t
; ;)
-| cotg r: v intervalu r e (0; n).
, .,(i,i) .,","*'(
;,; )
r, (;
290
Olrr.8.1
. r - s i n 2 . r v i r r t t ' r v i L l r.rr 'e (
ln)
.u.to.,.i
('
;)
Užití Cliferenciá|u
("
\6
. n l i l e s a j í d ;' .
').
- /I
( ; ^ ^) klesající.
.,,,!
r;:,
1
\Ii"t.,
l , ,í l. I . t k l rl i r r r k c rf .r 7 ptlčítrirrrc
je1ícliÍ.crerrciál.
Pro pr.ibliŽní'vv-.
t , u c t 'l lt .' r l l t r , 1 v
| r r r r k rp. ol a | ívztah
.A.r,
l(ro + A") - ,Í'(,,)+ '//(.r'6)
(8 8)
29r
8.91
V y p o č t č t e , f ( c : )f , ( r : ) '. f , ,( r : ) ,f , , ,( : ) .
a ) / ( r ; ) - 2 r ' 1 5 , r 4 1 0 1 2* 6 , r :: 0 '
b ) ' | ( . , ' |: Ý T ; 1 2 v J ' . ^ l | .
.) /(") -cos2/'
"-?,
c 1 ) l ' ( : r )- l n s i n t ) . t : a ( O ; t ) . t ' - I
2
| " ) I ( 0 )- 6 . / ' ' ( 0 ) : o , / " ( 0 )-
8.96
a) y - sin ir,
' ! J "I
!/:0.
g.g7
ll - ct:rI r:2ln r,, r2(1tr:r
8.98
a)'Y-1t2e',
',,( 1') _ o,Í,,,(;
") - 4;
8.101 a) a : ltL:+ k?,
(2r + t)g" + (4r
t,
I, rt'!J" r'y'+q-g,
a) A-*"
b) y : e2' re' , 'y" - 3!J'l2!) - e" ,
3
I
Zaciané furrkce g:
l(r)
jsou iešenírrtdanych cliferenciálnich rovnic'
8.93
+ r,y, + 31 Il x'
U _ In x], Í:2,y,,
8.94
b) ll - 3r,
o) 'a : Zr,
t ) ' ! / ', 2 r 3 i i 2 a : O
8.95
296
a) y : e3',
5'g'+ 6v: 13sin3r'
2Y:O'
x'U"
d) U:1+5r2'
b) g : .n'",
'a"- 7ti 'l l2v - o.
c) 'A : -5r,
c) u:
3)
3 s i n x I c t r 2 * c z r 1 , , 3 ,! J " ': : r ' s i n r .
b) 'a -
+
8.102 y : ,f -' 'r?, z e (-1; I), 'yA'- :r - 2r:t.
]
8.92 8.103 ověŤte,Že dariá furrkce a _ Í@) je Ťešením
V cvičeníc}r
cliferenciálnírovnice.
4
2)u'- 89 : e'''(er2 +,
, a : : ť !t + \, a t t 2 .
)
Í , , ( ; ) _ - 7 , J ' , (, ,; ) : c ,
sin sr, v"
I
-.1,
L
8 . 9 9 L J- ( r c ' 2 "+ , , 2 ( " * 1Ť )/ + " ' ( r ' . +
. ) )/ ,
\
\
8 . 1 0 0 g - : r : c o sr
cos3r
L::t1t
!'y - g.
b) Y::,
: +,,f,,, (I)-u*J*'
Í,,(.t)
-'
:), r'(:")
,,/(:")
, i )/ ( ; ) - 0 , r ' ( ; ) : .
c) y -.t'' *
I)y"
c) y - sin.r, cos -1,
'!l'!l''!J"
: (u')' + ('u")'.
2 0 . l " ' ( 0 )- - 0 ;
b )l ( 1 )_ z + u t rÍ, , ( t ) _ , * + ,
8.92
b) u - co" r.
c r e 3 "+ c 2 e 4 ' ,
]
8 . 1 0 sa - # , " . ( - ; , ; )
8.7
,
,,tgr-0.
Funkce konvexní, konkávní a inflexní
body
Definice.
Leži-h graf funkce Í(.") určiténrokolí bodu c pocl teč"
nou sestrojenouv tomto bodě, Ťíkánrc,že
f(r) je v bodě c konkávní
1 o o r8. . 2 ) .
LeŽí-ligraf funkce ./(") určitémokolí bodu r:nad tečnorrsestroje"
nou v tonlto bodě c, Ťíkáme,
že J@) je v boclě c konvexní (obr. 8.3).
Věta s.o
Nechť funkce Í(r)je spojitá na intervalu (o; Ď) a nechť
P r o k a z r l e . /c ( t r ;b ) p l a t í
,f,,(,) > 0,.esp. f,,(,) <0. Poiom je funkce
J\.r] ryze konvexní IeSp. ryze konkávní
na intervalu (rr;Ď).
297
l ' l . . Š í t Il r) t()' l I l |í( l t l r Ir r t l k r
/
|
-l
\:
\
- l2 t
c) .l'(.r')
(i')
1\
2/
c l ) / ( r ) - , ' '+
(2: :r,)
5t2
.I'
l8
,1,
I
k r l r r k á v n;ír::E (
tl
/
(
i r ) I i l l n r e x r r í ;r i
/
1\
\l
J
t] (2: 1 \ )
;j t; z ) .
/
\
]: 'l'2 - ];
:J.
J l ) 1 l r o t ' É R j t ' l i . , t l t . . x t t í a r i c t t l l i i r r í l i , x r l í] l t l c l :
i I r l l c x r l í b t l c l ] ' :' l ,
korrkár.rrí
i i rl t t r . c x t l í
r ) k o r r r - c x n l :, t i ( \ :
j i l l t l k i i r . r r í :. l e (
L 2 8l
t/- ln yr'l;
l,)
:t -
8.107
1
'f 1 't
L+ti)
,,
i r r í l r ' x r r íb r l c l t l t . r ' x i s 1r l j t .
r'c R.
'z'rT -l?
'2r')
12
1
I
1-
ttt
tt
--
r':-() )
'), l -
ri,
( 1- ' r ' : ) '
:
:t1-1
lll
7l
t t t ' l r o: 1 2:
I
lli::
-
! i " \ - |)
0 j r ' k , , t r rx't, r t :
r:
l).
r e l é l l i l l t e l \ . 2 r ] r?t e (
t l ) k l l t t r . e x n' eí : ( - ;
2
u' krlttkár.tlt:
i. i)
+:-),
/,)u(z+vD;
k r l r r l r i i v r rrí::e ( z _ ' / Ž ; z + u t r ) ,
i r r í l t ' x l l í b o rrJry :- 2
a,,,,._z+uE
]
I
x
I-
8'
FU
8.8
+n
Definice.
jcstliŽc cxis.
lttrtikcc / má v lrtrclě r1 lokální rnaxirnum,
tttje takovc <lkolí V1 bodu;r:1 Ža (r) Š
,
'l'(,'') pro vŠec}irta:t. C l't
f
|ollt'' 8.6)' F.uIlkce f nrá.,' llrltlc r'2 lokální rninimum..jcsl 1iŽe exrst l t J ct a l ( o \ . co k t t l í . t 2 b o c 1 r r' t . 21 a k . Ž c
/(..) Ž./,(r'2) pr.o l.šcclltllr.l'c It
Itltlt' s.7)' Frlrrkc'e rrrá l'rrěiakrirrt bodě lokální extrém. ltri,r-lir, trěnr
}lrr<[
lok:ilrrí tttitxittttttn. nebá l.,ká1rrí rnirrirntrtu.
Cvičení
300
\ r' t,/
r r rI ' r , , . i
t)r
1
Lloclv.
Body |1:1rr2]. |-1: ln 2]jsrlrlirlflexrrí
8.106
/
^ ;\
l l ) k t l r r k 1 r r . r r.ír :. . (
Irrflexrií bt lt l r, clost arrerrrc.z ]ltl<ltrrírreki7,'(r,) - () tr zárcrvc it 1i,, @) l 0.
! 1 "- ( ) +
l
.l) .,/- ,r'2c ". J: C R.
(1+.r2)2
(t +., r)t
"
I + 12
I f 1ncos t. .t c
E
().
}l) ..l .. , v{ ---r. .r Š 1.
a) y .. ,t' - lu.r'. .i ) 0.
c) a -
1:
'),.-
1r)
(). krllrk:ír'rrí: .t {
rl) lrrllrr.exrrí: :l }
I
I r J-,.-,
l r r H e r r rl 'í. ' . I r. l | _ | . , : | . t ] | 2 | 7 0 l
t) ,(0:
8: ()). irtflexrrí ilrll] t .-
Na.iclčltcilrtervaly ryzí korivexrrosti,r'yzí korikávrrosti airfiexll
b o d y Í \ r r r k cue _ Í ( t ) .
7'
a) /(.,) : 3.r:4- 10.r':t r2.t'2+ t2l
2
,
6
.
r
'
+
b) .l(.r)-.r1
Lokální extrérny a globální extré'''y
Vota g.s
)i:i
I
.
It'o)
.\t't:lrťrrrá funkr:crf na intcrvalu (o; b) spo.jitou cleriec'lrťrrrii Íiirrkcc / v lloclě r'g C (rr;Ď) lokální extrť:tttPotom
0.
301
d) lt
,,""* - t; t;16.;- !
cl) pro.r - t2,
11 3 i . r ' . I ) 2 '
(.i
e ) p r o r - i l , l U , r r i ,-.
,:\f)
6:
1'
c)'Y:Yt:-'
'xl
a) lJ-,
)' z3 -
: 1 ' L-
l j t ] ] t l k á ] r r í l r r i n i r t t r r r r t , 7 - ' 2: 2 l o k : i l n í
:r:: -
3 loki.ilní lnlrlrlnrrnl;
1
-,:I'2
v horle .t'1 :
1
..
i nasl:ivá lukiilní
v bodč: r'2 :
l] lokálrrí rrrirlirllunll
-
-1
:
v bodi..r':
r:3 -
v bodě
e) iediny
naximum,
_
1, t:2:
1
us :
s,
r :
0, kdc
rrastává
,
8.113
-l
* /t; rninimum
.J
L-'Ó
c) u:
I-
_4
,
.,,3
4
t
)
-=
' ! =
b) Y:s'
-f 5,
L' l1r
-
c) lrroz:
g . n l r r: _ T
l. !'na*- i3;
.J
maximum,
'r-
l
.i7,'o* -
;T
"6
,)
I
t.
lt
I
I
ť) y-sinzz
rvintcrr,altlx]c(
I
rÓ
T'
llni,:
1'
intervalu r e (0; a),
a) A : T
í ;+ r "
afriÍ=li
-91
;,;)
xI : globální maximtrm, 711: gl.lbá1níntirrimrrrn:
a) 11 - 73. rn,- a; b) .\{ - 8, rn - 0;
8;
c) ,\{-2, rrt: 10; d) n/ -6, tn:
1; f) I1 _ž,,",_
e)'11_;.-,-
ploÍ] : 2, ]],-u*= ž;
p.o x -3,
tl) 1;ro :r: :
0 . 9 , , r 1 ,-. 0 ;
v i n t e r v a l r . r : r e( 0 ;4 ) .
b) Y:r+2\/E
5
Í
4
c : )y : x : 5
+ 5 r 3 + 1 l ' i r i t e r v t r l u : re: ( - 1 ; 2 ) ,
2virrtervalure (-1; 1),
,1)y-x:t-3r2*6r-f
minimum;
8.116
-2,
1;
8 . ]] 5 N a j d e rc g l o l r á l r rcíx l r é l I t yf . r r r r k r . i :
a ) ' ! ) : r a 2 t ? + 5 v i n t e r v a l ur e \ - 2 ; 2 ) ,
: -2,
Zápis vys1edkrr provet1crne strrtčně: a) pro :r
b) pro r:
(r; b ) p r o . t ;-
:(\
^
x4
rl) u_I+21..___;,
_
.JX-
g,ilin y r r o _ *:
",tr
2
NaieZIIěte extrémy náslcclujících furrkcí:
a) I:
308
-
c,
0,
t;
1 extrt,:rrr rreexistrrje;
bod
ll -
c) pro .l :
a) Pro
I
'1;
f )' v boclec}r , : ! + 2Ál, Á: celé čís1o nastává
,4
2k;r nrinirnunr;
v bodectr , : 2n{
4_
* Á.n rrastává ntaxitnum,
g) v boclech'
;
v boclech
,.'2
.
''
c) !-e
'
ď) y : r: f cos 2;t' v irtter.,'trlrr(0; l).
J;
rrastává lokálrrí ntaxitrrrtrrr,
I
- lukalDr lntlllmuln'
stacionární
,
rrraxitrrtrrrr,
cl) st:rciorrárrrí bocly isou l.] :
v boclě :l,.1-
llt J:
b) ,r: r: 1rr(1
*.r:),
ťrrrrkce jc rtlsttlrrcí a nctnii extrérrr1
: ] . : I : 2:
b) s|at;iorrární Llocly jsrlrr ]t]1
rt -
]
6.11a Najdčtc extrérnyflrrrkcí:
f) a - sin :t:-| cos ;l:'
_
tg.'.
ď lJ +t
llocl'
I a) r : 1 .jedirrfstar:itlnárrtí
t) sta,iurlzrrtttLndv
j / , , , i ,:, 1 ;
}
l
Stanovte globální extlémy darré firnkce v danétr irrtervalrr.
a) y:4r-t:2,
zc(0;
3),
b) iy - x3 +6:'2 '| 9, ;r e (-3;
C) a :
vÍ00
- ,,
dr e:2rgr-rg2r.
1),
. l .. ( - 6 : 8 ) .
r.(0,
l)
309
I
globálrrí minimuq;
LI : globálrrí nraxinttrtn, rlr,:
=
11 : 3ti;
14'
r11
=
b)
4;
a) tn : 0. l'\1
n
e
e
x
i
s
t u j e l ,^ 1 - 1 .
r
r
l
'
:
c
1
)
1
0
;
:
6
.
'\Í
1
c) rn'
dvou číseltak, aby
na Sorrčot
8.117 Čís1oto0 roZCIěItc
8,L25
plechu roznrěrri 60 cm a 28 cnr zhotovte oteZ obdélrríkového
vŤcrroukrabici největšíhoobjemu a určetejejí rozrriěry'
I
|
L.-S
I a) 50; b) 50.
obdéIník rreivětší}roobsahu a
Do kruhu o pololněru r vcpište
četejeho rozněrv'
[
8.119
Čtverec o straně rl':
rl/Ž,
největšíhoobjemu a
Do koule o pololněrlr R vepišteválec
jcho poloměr a vyšku.
Ó.
obsahu a určetejeho rozměry rr'.
o"D cm; b : 3J' ctu'
I a:
: 12 cm vepište rotačníkužel'
8 . 1 2 1 Do koule o poloměru R
a povr(
ptasť, u určete jeho poioměr, vyšku
.á
"":"asr
:8.,G
r = sJŽ cln; U : 16 cm; s
8.123
8.124
m3 má mít čtvercovédno.
Nádrž na vodu o objemu 256
na vJ'l
tak, aby, spotÍeba materiálu
počítejtej"jí .;"-;;;
jejich stěn a dna byla nejmenší.
[ 8mx8mx
I
310
r-l
írhlu tak, aby
Drát déIky 5 m ohněte do pravého
obou koncri bYla co neJmensr'
obě ramena pravého
h1u mají délku
r
2nt,t::13-m
I
I
60cm
]
Dvě chodby široké2,4 m a 1'6 m se protínajípod pravym rihlem.
Jaky nejcielšížebŤiklze ve vodorovné poloze pŤeriéstz jedné
chodby do druhé?
I a:t'u"' ]
8.]'29 Stanovte rozměry sila tvaru válce, které má pŤi daném objemu
(v :1000 m3) nejmenšípovrch' Silo není shora uzavňené.
lr;T:l
=roi/i-I
|L .:,:i/;
''Y'
.J
cn,
tl
stranu a a pÍíslušnouvÝšku
8.L22 Do trojírheiníku, ktery má
VyPočítejte,tento
vepsán obdélník o ,'e;íctsírn obsahu.
1bs
T.t
I
Dl
L'
2-
[
: 6 cm vepište obdélník
8 . 1 2 0 Do pŮlkruhu o poloměru r
I
]
N'Íenší
8.127 Plechovy žIabrrrá prliŤez rovnorarnennéholichobčŽrríkrr.
základnii a obě ramena mají stejriou déIku 30 crri. Jak široky
rrltrsíbyt Žlab nahoŤe,aby pojal co nejvíce vody?
t.128
pŤímku'
6 cnr'
8.126 Z kmene tvaru rotačníhokorrroléhokužcie délky 20 rn a prtimeru
1 rrr a 0,5 m rnáme vytcsat trám čtvercovéhoprriŤezutak, irby
měl největšíobjerrr.
a) jeiich Soltčinbyl ncjvětší,
byl ne,jmenší.
b) sotrčetjejich druhj,ch rrrocnin
8.118
o : 48 crn. Ď : 16 ctrr,c:
8.130 Na parcele s pridorysem pravorihlého trojírhelníku s pŤeponou
8 rn a s irhlem 60" má byt postaveno skladiště s obdélníkovou podstavou. Jaké musí byt rozměry základri skladiště, aby
zastavěrrá plocha byla co největší?
I n -, r,/5m nebo2 m,2yE rn. ]
8.13l
VyšetŤeteprriběh Í.unkce(i souměrnost a chování v krajních
bodech definičníhooboru) a načrtněte graf funkce:
a) l:3r_
:r3,
b) a:r+12-o,\ra
311
PÍik|ad 8.140
Cvičení
[0]
Vypočítejte limity typtt
Lol
nebo
r-4
8.134 a) lim -;- .^ -'
.r -4
ll
,1,
c) lirrt . r- 3
-
'l
I'-
. f "' -- V
L;]
tn
r-+r-z
----':'
,.
llÍI
(r - 1)-
x-7
3 - ,/r2 +5
;:i
o
Lr
x2 -2
lirrr . ;-=-- _ 3 .
. r _ r c_ r r - 1 r
b)
8.136 .) J':i
^
\
\,1
lim
J--Ň
o'
at- - ')
op
I
J--Í-J
612-3r+4
:. ,
1 l2.t _ 6r'2
213
:r2 1 r f 2
lim
,::L
d)
'lim
,.Iá
[
3" - 3-"
3r+ 3-.'
d)
b)
")3;
iim
/ -+Ť
b) -1;
C ) s t a t r rvíy r a z y [ 0 . - ] , | o o - c o ] .
[ o 0 ] , |-o],
|:]
uprar'it ria požadovanétypy.
,, je
typu [- 0] Upravíme
,) J:'::]:'e
^
3!L - 3-r
1, t
it-1-6
o
.).
Ť
/t
lirn [ .f-2\.i'z-4
Í
- 1 \^ l : f o o
Ť
-
1
)r
h'\ lim-.
"/ ;': In(1+ 2r)
-
f, -(l
:
Inr
c)' lim :------,.
l-l
lttn í1 { 'r) ;
ocl- :
l
Lol
lim
t+2
- t^
:lim
r-2
2:t
-!
l i m e t o tr + " ) '
r-0
iim ei ln(l+r)
t-0
1
lim
t9
L.-
1
:e1
:p
L-.t"
,.
tlm
a) linir-.U
c ')
|1Ň1
tI
lim
ez-'o
J++rc
8.138
.)
-
2r[0]
1 2- 4
lir+2
I u)0; b)1; c)
e-*-r
fS]
[t-] musírne
'I*l-á: t=]:.,IŤ.1:o,
c)0; d)oo
t-.I
r-,- It
8.137 a) lIim
-I
In l'
vyrazytyp'
Řešerrí. l'Hospitalovo pravidlo lze pouŽít pro
lim-'---:.
I ^ , i : b l c o : c 1 i r d )6 .
cl
-F')',
.) J'lli(1
e) litn r'""'t.
'
4-'x2
d)
g r 2+ 7
8 . 1 3 5 a ) / -Iricm ;. t-J -- ; -; L I - T t'
b)
I
b)
^ '
.e "',
a') l -i{n t r
,t
)L
nar
-
fcol
Vypočítejme:
1-cosr
:t
lnr
Iim -----.
r-Ol
b)
d)
cotg r
x-slnr
--'
'
]':b
lim
.:i
r
ts.
"
:
e/
l
:
r.;
!u
lim
.Ťr
:
_1
l o c , "l :
lim
xj++Ň
et'"" :
I
'''..--i-n
|e=
- P " - G
r
I
! .
tg Sr
I u ,or ; t ; f ; c ) o ;
Lo
8 . 1 3 9 a .)
er
Iim -"'
J-+Ň
J"
b)
lim
a+_e
éÍ
-T.
Í"
Iu)+
t1tr
,1 ^
Cvičení
8.173
Tčhso sjecle po riaklončrrt,:
ro.''ině 50 rrr cllorrlr za 10 s. Jaká jq
korrečná
pi'ec1pokláclárnel-li,
rvchlost,
Žc clrtílrtrje kvadra.jclro
tick1r funkctl časria že poč1rttlčrrí
rYcli]ost tě1esa.jc ro\rna nrrle?
.-.
I t' 10rn s-1 ]
8.174
Ryclr1ík jccloucí rvclrlost.i 90 krrr . lr 1 nrá za|tzclit tak, aby
se rovnonrěrrrě zponrtr1cn1'.rrr
polr1'.bertrztrstavil na vzclálenosti
1 km.
a) Po jaké clobčse zastar.í?
}l) Stirnovtc 'jelrorychlost vŽclv po 10 s orl okamžikrr,krly začal
brzdit, až clo zasttrverrí.
I
8.175
a)Í-80s:
b )o o 7. 8 * . r r ; 1r r, ,u ! . z z l , r , 0 ( rk, m h 1 ) l
i
i
i.
.]iik sc rrrěriít1ak plyrru p v z1rvis1ostirra jelrcl objcnrrr I{ jestliže
platí zobccrrělrá stavor'á rovrrice
rrzirvrcnyn prostorcm. Určete clélkrrstrarry poclstar.1,r:, vyšku
prc]Storlr
stantt t' i obierrr statroverré}ro
(t - "
-ltrr
| ,,-4"r i ; r ' - - V 3 : I =
7 I; I
i
L
l
8'179 Krrrlrovy prť1rezpotrubí s prúrnčrcmr7 sc nrá znrěrrit v obclélníkovy. I)Ťijakérrrporněru str:rn btrde rrrít obclé]rríkovy
prúňcz
rrc.jl,čtší
svět]ost. jestliže o}lvoclpotrubí sc nczrrrčrrí?
Jak brrdclrr
velké?
stlanY obdéltríkrr
r/
f ',,, srrarLabu,l' I
1,1
l
'.8.180 Dvč místa A. B Iežicírra opačrryc}r
bŤezíclrpotoka.jsorrspoierry
pčšinami AC, BD tr ltivkorr kolrrtclrrk oběma bŤclrrirnv bo.
cleclr C, l). Určete polo}rrrlávky tak, aby cesta z A c]o R byla
co rrekratší.\Iísto Á je cr nretrú a místo B le b rrretrri vzdálerio
oc1bŤe}rupotoka (za pŤcdpok]ar]rrrrulovéšíŤkypotoka)
I
Jsotr l\ A,, B, kolrrréprúrnčty rltíst /. B do směru toku potoka,
, ,B , | _ b , : "
| A , B ,_ c , A A , | _ a B
áa:
je rovrroběžrr1'sc snrěrem BD.
c a:
vzclálerrost )C A, _
l
0,+f)
rreboli směr ÁC
( , + * ) -r, r ,
V
r
Ú )- k o r r s t ?
Konstarrty a. Ď c}iarakterizují vnitŤnít1ak plyrrrr a objem, kterj'
zabíra.jínrolekuly plynrr.
Iap
Ia'
8.176
:'!l '
korrst.'l
(O<Iz<Ó). l
1t' by'
l
Kolikrát je větší objem korrle ncŽ objerri válcc rnaximálního
objcmrr, ktery .je té kouli vcpsán?
t:
I
L \/3 'J
8.177
Určetc roznrěry válcovésilážníjámy (osa r'álcovéplochy směŤuje
clo stŤecluZcné), jejíŽ objerri je 27 rn'3tak, aby na vyzdění její
stěny a clna bylo tŤeba co ncjméně rriateriá]rr.
I t-.,:Z,OS^
8.178
324
)
Zc čtvÍstejně dlouhych stanovych tyčídéIky a metrri se ÍIá
postavit starr tvarujeh]anu se čtvercovorrpodstavou s největšírn
#^
i"
"
_
Ť
8'181 Plotcnr 200 nr cliorrlrym se nrají o}rradit tŤi strany obdélníkové
jcdnorr stranou pŤiléháparcela k p1otu jiŽ hoparcely' pŤičcrnŽ
tovémrr.Pii kterych roznrěrec}rparcely bucle její plošná vyrněra
rnaximální?
I
D é l k a 1 0 0 m . š í Ť k a5 0 m
]
8.182 Vodrrí prorrcl o rychlosti t,': 8 nr . s 1 pŮsobí na lopatkrr, která
9ť
r t s l r t p r t .rjvcc h l o s r ír r a m á v y k o r rP
r r ) r l .U r Ó c t c .
,,
jaké
pŤi
rychlosti u Se dosáhne riejvětší}ro
vykonu, a vypočítcjte
j e j p r o r n n o Ž s t vvío c l y Q : 3 0 l . s 1 , j e - l i p - 1 0 0 0 k g . . - '
3.
ak:10001.m
s',
[
L 2" : l : 4 m
P-o,48okw. I
l
8.183 Ryc}r]ost stŤely v hlar.ni se rnění s drálrou r: podle ror,nice
ctÍ,2
o+'r
l
a,zi)
,) v'(r): r ll,
d ) y ' ( " )- r * 1 ,
r c ( o ;3 ) , y ( o )- g ,
r e ( 0 ;3 ) , s ( 1 ): 1 .
I
a| !J(Í):
),,
b ) y ( r ):
I
7 , t re ( - 1 ; 1 ) ;
i"'*:t
c ) ! J t . r ) ! r ' + , . . r c ( o :3 ) :
d ) y ( r ): ' r r ' * ,
9.8
-
), "
9.10
e (o;3).
e ) u ( Í:)4 - + ,
a ' @ ) : e " i 1 , r c ( - 2 ; 1 8 ) , g ( 8 ): a ,
)
e ) y ' ( r ) - t - . r c ( o :I 2 ) . u Q ) L
f) k(r)
Rr
_ z -. i . r e R . f 0 ; 8 1 .
4
,, n
Tt
t
Í e ( 1 ;1 0 0 )s,( 1 ): 1 $ ,
- 3 . , c ( 1 ; 1 o o ) , s (-11)2 .
f ) t r ( t:)t - T
I
a@) : 12 - 3r; b) y(x) : 12 - 3x;
. ) u @ ) : c o st t + 3 ; d ) a ( r ) : u ' + r +
e) neexistuje. ]
čení
9.3)
a) ,k(r)- 3r', r C R, [2;3],
b ) A ( r ) : 3 c o sI t . R . [ 0 ;n ] .
2
c) k(r) : -2e-2', r e R, [0;3],
d) ,k(r)- 3,+2ln3, r e R, [1;28],
1
e) k(r) _ o, r > 2. 13;01.
Ú c ( 1 2 ;1 0 ) ,s ( 0 ) - 8 ,
d) o(t):,rt, t e (4i26),s(4)- 6,
il
9.9
Í e ( 0 ;2 5 ) ' s ( 0 ) : g ,
c ) t , ' ( t:)1 * c o s t ,
a ' @ ) : - s i n r , r c n , y" \( 2, */ ' ) : ; ,
Určete funkce ,y _ a@), jejichž graf prochází ďanym
a pro které platí, že tečna grafu v každémbodě grafu |r; y(
má danou směrnici k(z) (použijte některych vysledkri
l
b ) t ' ( t ) : 8 t + t , t e ( 0 ;4 0 ) ,s ( 0 ) - 1 0 ,
y ' ( r ) : 2 r - 3 , r e ( - 2 ; 2 ) , g ( o ): o ,
")
b ) a ' @ ) : 2 r - 3 , r c ( o ; 3 ) , y ( 2 )- - 2 ,
I
2' +2;
Určete dráhu s(Ú) pohybu v metrech, je-li dána jeho rych1ostu(t) V m.S 1 a je-li s(tg) veiikost dráhy v metrech v časeÚg
v sekundách.
a ) o ( t ): 3 ,
Určetefunkce g(r), pro kteréplatí, že
d
"
d ) u @ ) : 3 " * 2a 1 ;
e)9(r) - ln(r 2);
I u@) : 4tn(r2 + 1) + 8.
2. ,re (_1:l);
L'
u )s ( r ) : 1 3 - 5 ;
b ) g ( " ): 6 s i n I * n ; c )
a ) s ( t ) - 3 Ú ; b ) s ( t ) : a t 2* Ú l 1 0 ;
c)s(Ú):Ú+4sinl+8;
' 7 t ,_
r1t- ?,
d ) s ( / ):
e ) s ( t )- a t I , 2l n t I t 4 ;
f ) s ( Í ): 9 Í- 0 , 8t ^ t+ , , + ,
9.11
]
Určete dráhu s(Ú) pohybu v metrech, je-Ii dána jeho rychlost r,r(Ú),, m.S_' a dráha s(0) v metrech v časeÚ : 0 s. Určete
čas T v sekundách tak, aby v časovéminterva]u (0; T) byl
prír stek dráhy roven As v metrech.
a ) u ( t ) : 0 ' 8 Ú ' Ú e ( 0 ;1 2 0 ) , s ( 0 ) : 3 '
As:40,
b ) t l ( t ): 2 - \ J t , Ú c ( 0 ;1 5 ) ' s ( 0 ) : 7 ,
c ) o ( t ) : 4 - 0 , L 6 t , Í e ( 0 ;2 0 ) ' s ( 0 ) : 2 ,
I
Ls : 12,
Ls : 40.
a ) s ( Ú ): o , 4 t 2 + 3 ' Ú c ( 0 ;1 2 0 ) ,T , : I o ;
b ) s ( t ) : 2 t - o , o 5 P + 1 , t c ( o ;1 5 ) , T - 7 , 3 5 ,
c ) s ( Ú ): 4 t - O , o 8 ť + 2 1 t e ( 0 ;2 0 ) , 7 : 1 3 , 8 2 . ]
9.L2
'
Určetc rychltlst rl(Í) v rrl .s
a clráhu s(Í) 1lohybtr v llletrech
v clanéttrčasovérrrirrtervalu'.jc-li <lárrozryclrlerrí rr(l) v rrr.s-2
v tomttl intcrva]rt. rychlost il(Íg) v nr.s 1 a <lrá}ra's(Í9)v metr<lc:Irv čase 111v selkulitlác}r.
j) 2\,,i + c. ;r,e (0; oc);
ul
+ c , r . :c ( - - ; o ) n e b o r e ( o ;o o ) ;
it
it
r
,t )' 2
r, . l ' _ í 0 : r ) : n r )
L r.
_
't'C
.)t : y [ i +
a ) r u( r ) - 2 . t e ( 0 :1 6 ) . u ( 0 )- 1 . 5 . s ( 0 )- a 0 ,
b ) r r ( Í:) I . | 0 , 2 t . Í c ( 1 ;3 0 ) . r ' ( 1 ): 0 , 8 , s ( 1 )- 1 6 .
I
9.13
4
n) -t
J
a ) u ( 1 ): 2 t + 1 , 5 . s ( t ): t ' + 1 , 5 t+ 1 0 , t c ( 0 ;1 6 ) ;
l l ) t l ( Í ): Í + 0 . 1 / ' - 0 . 3 .
.LT:l
!2 - t3
s(/)
O.jl/ -.
/- (1:;10).I
,
n
PŤedpokláde.jnre, Že Se Sportovní arrtoniobil rozjížtLi zrychlenym
pohybcrn se Zryc}ileníIrlo(t) : i.1 + 0.EÍ v1,j1rdŤenrrr v m's_2.
1?
Za jak <llorrhodosá}rne rychlosti 60 km.h
Jakou dráhu pŤitom ujecle?
I
9.t4
t-S.zzs.
s:33.9m
]
Vvpočítejte:
u)1a,,,
a)
/o,rr
a,,,
s)f z,'*a,,
i) f ,-i a,,
^yf trea,,
r3
p) /-dr,
.l x
I
a)lr a,,
")l,' a,,
n)
fr_2at,
u) ,-L a,,,
|
11
") J ft
d,.
,) f oa,,
r)lr'.r ar,
, Í#o",
t)
a,,
lye
t) f z,-'a,,, ,; .l 1r,1' a,.
a)a:+C,reR;
b)4Í+c' reR;
c)c, rcR;
d ) 0 , 1 1 n* c . , r c R ; e ; 1 r s 1 c . r e R ;
,r*r,
+ c , r : e n '* )
i"'n*c,reR;
h ) - ; + c , i ' c R \ { o } ;, - # + c , : x c R \ { o } ;
JJO
(U: \
7
9.15
Vypočítejte:
v 216,,
o .f {r,'- 4r:
4 J ť-j. d,,
2\/G-i/i+r,
{UJ
',/f('. ;)' ,,']
u.
A .f O.,+1)2d:r.
dl
):
: i + . ' , r e ( { ) ;c c ) ; o ) - ; 1 Ť
* r : l 'r : 6 ( 0 ; 1 ) ;
p ) 3 l r r l . r l* r , . r C ( 0 : x ) n e b o , r g ( - x : 0 ) ;
11)2 ln l:r:f r,, r . R \ { { ) } : r )
í..].CR
]t,, '.
a1
+ vE - r) d.,i,
,[ 1zxlr
,)/ r,- I*,,o,,
n)/#n,,
d..,
,)/4j#o,,
j)
*tl(?', - ri+z)/na,,
r)
r_
ot V.rb
dr.
J
n_-r'i
zlo
"n /fr"e
I
- iE), d,,
n)
a ) 3 ; r 3t 3 x 2 a i : i c :
jfr.*1).+". :rcR;
oi*" +),^+i,' - X,,,* , z c R ;
f"*.
.)r(i'. -,, +,) * c. z 6 ft;
.. J4
2
d)T'irz'
")ž
s
1
-
,r"+r.
rc(o: o.);
j ' ' + . . , z e R ;f )
ť*3''
- r 1r + c ,
zcR;
)DJ
4
,,
!,i
+ c , Í c ( 0 ;c o ) ;
-, l' t o + t 5, Z
20
-Z"t*l-2 t n l r l+ c , z c ( - - ; 0 ) n e b o r c ( 0 ;o 6
nl
X""
i ) 1 2 + l n t " l + * + c i r e ( 0 ; o o )n e b o r e ( o o ;0 ) ;
1r3- !r'+r,
"; ')3
2
t)
*1zŤ
l) Z"Ť *
ž*
*
1,, , e (0;oo);
1,*
*'U"i *c, rc(o; oo);
,ry2]rz-lri
'1,,- ?!,# *
- !,i * c,r e (o;
oo).l
fr"+
9.16
Substituční metoda
JestliŽe dany integrál nelze integrovat pňímo, potom v mnoha pŤípadec}rmúžemedany integrál vypočítat pomocí záměny proměnné (substituce)
re R\{ri;
+ o r 3 + c , r e ( 0 ;o o ) ;
f";
g.2
Substituce typu p(r) :1
\tIéta9.4
Nechť funkce 'F proměnné Ú je primitivní furrkcík funkci /
(o;0), nechťfunkce t: p(") má spojitou derivaci 9r, na
intervalu
tia
(a;
Ó)
a nechťpro každéčíslor C (a; b)je rp(r) e (a;B). Pak
inter'valu
(
o
l
b) plalí
i
n
t
e
r
v
a
'
|
u
na
r
d r): F(9 @ ))+ c'
l.t Í(e @ ))p ,(r
Vypočítejte:
a J f- sinz) dr,
"; /1ri"
r - 5 cos r) d'r,
") ;[(ri.ru"
s)
/"o.1"
b)
a,,
J s"o,,
d)
- 6 cosr) d'r,
I fro
* sin r cos2r)dr, f)
- n) dz,
h)
;[.i"("
Větu 9'4 používáme pŤi vj.počtu neurčitéhointegrálu
funkcc a má tvar
s@): Í(p("))p,(,)
-t 2n) dr,
o",
| ",,tr-;"e;
a kde snadno vypočteme neurčity integrál Í(t) dt.
PŤi vypočtu stručně postupujeme takto:
Položímet : p(r), odkud formáIně plyne
i) .lfffio,
cos J
I
11:9'(r) dr,
a ) c o sr * C , Í e R ; b ) 3 s i n e * c , r e R ;
c) -(cosr+5sinz) +c, re R;
af
5^
it
-6sinr-
c- xc Rl e) - cosr*c' fr
f) -cos rlc, re R; s) -sinr+c, rCRi
í; -.o, rlC, Íe(2kr;(zk+t) , keZ,
c o sn + c , r e ( ( 2 k +1 ) n (; 2 k+ z ) f l , k e Z ;
i1r,/Ž +",
rJŽ + c,
338
I g@) d'r, kde
.t
"
"
. (- + zt,n,} + zn"), t,e
}
. (; + 2kl,;1n + 2kT'),k e7.
a tedy
dr:
dÚ: F,(Ú)
+c: F(v@))
+..
I r|,{,)),,(z) I ral
Pozndmka.
Tuto substitučnímetod.u pouŽijeme zejrnénapŤivypočtu
:
f tt/^\
tntegrálu
typu l,-:+ dr, kde položíme
Í(") _ t, Í,(,) ďr _ dt,
J Í\r)
Dotorn t :,.,
/
l t l+ c : l n l / ( r ) l + c .
Jt
PŤíklad 9.17
/ .r'd.ir
P o m o c í s r t I l s t i 1 l l c cV y p o c l e m t ' i r r t . ' g r á l
J Ti:-
+1 : Í, oclkrrcl ,, + l:
Zaveclerrrc substituci {?
Rešení.
:2Í
potoni:
dÍ.
2l:
c]'t:
rcncovárrírrl tlostalrerrte
t ! ! L _ : [ t :.!l
,
t,
-
./ 1.r.rrl
Pňíklad 9.18
t
J
lu, t,,
Í2. Dife-
9.21 9.30 vypočítejtcrrcrrrčité
irrtegrálysubstitučnínreto\'itlcr.íčeníc]r
dort.
9.21
r3
cl.t
/ .l z - ;).r
ln 2
s.22
l'
/
,'3
- a..
! , l .'
2l
sin":r
ť
r ^
r"
:
:
lc:
+c::
/ s i n t . r ' c o s . r d . r .ll t ' d t
n
T
.t
I
/ sinrr
\' : I
l c , _ j . + . i ' ' 3 " . ( s i n r ) ,:
*
"
)
(Ť
n('i"n")'
arr
9.23
f
I 4-
.l
Vypoclernr-/ r'''
.t
'
: r ) 2 1+
r) 23+
d"t
vJ-
|
|
L
: sin3r ' c o s ť .
PňíkIad 9 . 1 9
5r'
J (1-.'')'"
Rešen,í. Položme sirr t: : Í' potorn cos ir:dlr - df .
Zkouška:
t-;
v,;,,1 "
cos r c]r;.
Vypclčterrrc/,i''"
Cvičení
2 l++; rl . r l
_1 t n _
12
2 3rl
s.24 " "*'a,
f
cos r d;'.
|
l2
Rešen,í. PoloŽme sin r : Í, odtud cos r dr : dÍ. Potom
1" 2t+3+L
-1
f
/
3''"'cosrdr
.l
PŤíklad g . 2 o
3/
r-,
:ln3'.
l
3
'
d
l
J
fs
Vypočtěme
l,r,
- 3\rn/ fc'
ln3
dr,l' l,+kr,
*: Í+:
Í,,,d":IH o"_ Í ;jl";'
340
Iei
/ 1d.r
.l r'
l n l c o sr l + c : : t " f r q * .
"i *"
|
k eZ.
- sin a ]a = dt.
Rešen,í. Upravímea zavedemesubstituci cos Í : t,
:-lnltl +c:
s.25
e.2G
./"'
.ots
"'
dt
lnlsine'1c
s.27 [ +
o"
J Vcosor
-
2
r.,/.-"t
+' r-
34r
9.28
o't,, dr,a f 1,a,) 0.
J
f
")
g,2g
9.30
ln"it + c
1 1 2- -
cos"Í+c
Vypočítejte:
u)
./rirr
"; /{s
", I
s)
,l
|
3r dr,
.i,'
sin 3r) dr,
"
rr 4r dr,
f)
,o,{-zr * r) ctr,
h)
n) dr,
Í,cos(7r
k)l,,G i) o'
.t'
-;
q
d)
/-ts(*
+ [) a*,
Í,cotg(3r
j)
|
f
I
,
n . ' 2 r ) ( L_ t g2 r ) d r ,
A -2 cotg5r)dr,
;['
lr
"or
2r d.r,
s'.,{" 1-2)ď:r,
,tnyr{,2))d.r,
r) rrrlr,- 1)dz,
l
-s
0",
n)
| ""ts(" X)
I "o"3r1c,
tt
? 1.
,) -:sin(
"i.
(-,; **;,; .:;),
kez;
(O;;(k+1)I), rrr,
2n+1)+c, ze R;
h) -3cos(r +Z)+c, reR;i)
j) -{co"(sr-6)}c,
9sir(7r-n)+c,
reR;
zeR;
. I / ^\l
*'-l'
l'*\' n)l*.'
,t(-1-kn,ln+kn).nrz,
1)
4
\4
,
ln I cos(2r - 1) * c,
:
)'
rcez;
lcos!x +c)
EZ;
a l 0, je primitivní k funkci f (at) a tedy platí
.)Á,
cc R;
sr +c,..
- 2)dr.
lrfr*b)dt:
reR;
j- t k , ] : 1 + k : -l .\k e Z :
4
2 4
2)
I l.,l"o.4rl+c,,.
e)
f)3r
b)
rcR; b) !.l.2nyc,
a; 1 1.tn2r + cos2r) + c,
/
.rtí
\
ror'r,sin r d;r
L
9.31
-;cos3rtc,
c) -3cos"*
Í**
J
, , , , + r ) d / ' r ( n t, b , , " .
, keZ;
F(t+b)+c,
lrcoat:[email protected])+c,
,r(r"!'.
\
3
(k+rl:r+zo
) ,. r .
3
/'
I
348
9.32
Vypočítcjte:
a)
f
v)
e'+1ar,
f
su-"a,,, ")
a,,
.fs""-'
a,,,
")f +,,-,
a) z"+2
a,.
f
il
I
d ) 2 l n l e - 5 1 + c , r e ( o o ;b ) n e b or e ( b ;o o ) ;
r)
f
|P.s't'z
, ' e l o + r ; * - 1 " r ; ; ]+ c ,r e ( 1 ; o o ) ;
rl
oJ'+2ar,
3.2'+3)dr,
r e (3;oo). l
9.34
Vypočítejte:
") #nt"-'
g)""t
h)
*
')
2'+2+c,rcR;
+ ci r. e R; f) -19,1"*2
2,1*
.,')+..
ln8
)
olÍ
a*'
") / 31t -.,;
r/ 5
3
+ c, c c R;
-
/ (t-
e) /::^
,
cl ) platl
tv aTod:
dr,
r). [4o,,
l x + Lr
a..
nt/f
-)-
f
#*,) o-,
\,
-+
; t 1 1 o ' " ' d) .Í
ď J 3,žd,.
-n+c, u cR;
#r'. B ' + 2- L
-r'*'*c, zc R;
't _í.]^'2
\21n2
2
.t
a ) e ' + r+ c , : x c R ; t ) 9 " 2 ' 7 c , r e R ;
d Z " ' " + c , : x e n ,a ) #
* r " _ s l s+ f ( z - s ; Ť * i , , - 3 I+c ,
,-,
x-|3
la
{TU
Í+3
-;*,
*o,
:'--!,podobně
upravte i v dalších cvičeních.
-. e' n .
]
f
.)
,
;
Inlr -21+ c, :r c (--;
2 ) n e b o z e ( 2 ;o o ) ;
1
9.33
Vypočítejte:
b ) : l t t l " + s l + c , r c ( - o o ; - 8 ) n e b or e ( - 8 ; o o ) ;
u) Ji -ta,,
,) #o",
Í
Í
dr,
o I fv".s - n;=r)ar,a)1r,,,_b)-1
c ) s l n l e + 1 - 3 t n l t : - 2 )+ c , . t C ( _ - ; _ 1 )
nebo r C (-1; 2) nebo :r e (2; cn);
d) z-3ln r*31 +ct r.e(--; -3) neborc(_3; oo);
e)r-l 2tnlx-21 +c, xje(
2 ) n e b o r e ( 2 ;o c ) ;
"";
f ) 5 r - 5 b t n l z + 1 1 1 + c , r c ( - o o ; _ 1 1 ) n e b oe e ( _ r r ; o o ) ;
Náuod:
ď - 2 , " 9 k ' i s "- 4 | + c , , , ( - - - , 1 ) . " o " ' . ( 1 . " " ) ,
h )b r nr r u l - . , , c ( o o ; 0 , . r i l , u , " " o .
""I
" . \ , 1 , . " , 1l
o J f,t,+t-.,/r-r) ar, rl I fv;-+ 1/i=B)'z
Použijte návod cvičení9'31.
.23
a)
I
g(r-l)t
9.35
*c,
re(l;oo):
Vypočítejte:
b ) l n l z + 5 1 + c , r e ( - o o ;5 ) n e b o r e ( 5 ; t
q x<"+
a);
s;á - tr"-,l*+,,, e(2;
344
345
9.38
časbopíŠ<lrrre:
Pro 1li'tllrltlcllrost,
Vypclčítt'jte:
tr
b ) / l " ( . r ' )t l r .
a ) i h r ( r ' - F1 ) < 1 . r .
.J,J
rt
-e'cos
I
,
I(
Drlsatlílrrc.]i cltl (9'E) z,t
f'
2 /
I
/.,'
Poutá,tnko'.
t tl'
pcl tt1lrar,é
clost,attt'rrre
t*,,cos .t,<1:t.
rc ' s i n . r : ( l ; l :r
oclkutl
t i/'t'*itt
< " s i r r . r ' c) l t : e ' ' c o s
. i r t . t< l t:,
cl) / li 1n(5:r'F 2) cl:r,
eJ /t',;,1i ,)1,1.,.
.t.l
I)
t.t
Nduod':
/e.,. si,'(b:r)a',
,]
$
/ l n . , , 1 . ,=.
c ,) , 1
- - r l l. l ,
[].
l;
l,
|rrsin(Ďl)
ln r cl:r:
.:t: cl:l :
- .
.ť
L
l) | c. :z'C (0;c'c);
\5
)
- z) - 1l + c. r C (0:5):
(l'r ;r:)[lrr(]-r
4 ) ( l r rl 3 r
.1
1)+ c.
+ ] (' s r ' * 1 1 ) ( h rl 5 r :1 1 1 1- 1 ) + c .
11
- , l
lr
I
lL'n''d'.r,nf !.
u ' (' . r ' I n a - 1 ) -,r u-
\
/
J C | : : . x l r r ( ' b ( ' . r CI
\2
/
\
h) rr;hi 4 + (r: 2)(ln :r
| ( r : 3 ) ( l nl . r - : J 1 ) +
. r ' C ( : J : o ) n e b ( ): r ' C ( - - ;
- t: I r:: z(ln .r;- 1) -l-c
It-A
348
lr':0):
cos(Ď.r:)]
* c'
per par.
intcgrály rrrt-.todou
Ve cvičcrrích9.37 9.40 vvpclčítejtcrrcrrrčité
tes.
.t
1:x):
+r,,rC(
f) (r + t)(ln :ri I - r) + j{l:r
uvlcenl
9.37
+c-:r:(lrr r+1)
e) r'(hr:r; 1)
1
,
.r+(,..ťÉ(
-r2) rl + c, .r e ( l, - ),
a; l1s.r't 2)lhr(i,.r
;
u:ln"r,u'-1
I L
ll ln xl
( l ' + 1 ) l n (f + ] )
c ) . r ' ( l n2 r
+ cos r')+ c,
.n, r d.rrf "'(ritt:f
./'..'
I a ' ' c , , t ( b1. ,4 , - l i l r r s i r r { l rr'b) s i r r ( l t \ | r - '
n''rt'
")
b) r[lrr( r)tt]
I)oclobričvvpočterrrtl. Že
.l
V írlohiit:lr využi.jtt: rrávod zc cvičcrri 9 i]1.
|
c o s' r : ) +r '
r
fl,,yt., l)(3.,- l) ,1,.
x r / t r , [ u r z . ,] ) r i . r ' l l t ]r l r ' .l r ) f 1 ,',l ( . r ' - i t t - t i ) ] , 1 . r .
e ' ( s i t r ' t :- c : o sl : ) + 2 r "
!{.t"
c) / ln(2r) clr,,
.tt
9.39
t+
x:
rr\
;5 / l ;
21 1)+
('.
2)
]
perpirr.tesportŽijte vícckrát.)
cl.r(NÍctoclrr
I
+c
i ( t ' . t , , , * 3 1 . 2 r . r ; * 6 l n 2 + o])
349
9.4O
r-
I
/cv"d:r
I z.v;(v{i r). ]
9.4I
a)
/
, r . s i r r. r r l . r .
cr) /.. . .' .1.r,
tt
.l
,
itl
,)
.l) Í ,, 1rr1 .l...
t')
9.45
l
a)
c)
./
a'' sin.r, d.r,
.f""
l,) -
l
\',/
..)-lÍ
hL;l\
\
9.43
350
N'Ietotlupcr partes pcluŽijtevícekrzit.
f ,'2
a) yi.r2c,"
rlr:.
l,) / 1.1..,
,)
(l)
I
,, sin r: cl:r'
/
.r' cos 3.r'cl.r
")
'Í "
,["
'o" :r'r1 -i'' si' rlzl rr
cos .?:Cl..'
sin 2r ctr.
-1 e"
(sin z - cos r) + c:;
c)
*""(t
,t) !
9.46
1\
-|+(-;
ln3/
2
I
^
( , ' , 2 ) s i r rJ . rd . r .
sin 3r + 2 cos 3r:)* c;
"t'(ll "i,r
2.,, 2 cos2.r:)+ c.
\
:t/
at
' 3]...ír "1
f
b) f"'(.or;r + sin r')+ c;
- ltr;
lln.i
3 \
d)
[")
I u )1 . . " ( , j ) * , , ,
t
b)
,or3.r;
d.r.,
.r' . 1rr.r;d.r:.
,:7
I',
. l c ( ' s. t ' + s l l l . u + . .
l)
f
. ,) . l n . , r 1 . , .
t' j (T -
a,)' l I , . , . ' ' d , , , .
,. 3''cl.r'.
I
( r "'
' - 1 .r 3
' " , (á .. * ; .' ) ]' .r
I ., * ,,.
lr) .r sirr J + cos .r + c;
c) r" (.r' l) * c;
.l)
e "(r'+1)*c
.l
[,
(1..1:.
c
t
9.42
a)
cos l clr,
(1) [ .,
*("'+2r+2)+t::
. r ' ' c o s ; l ' + 2 ( : r . s i rr ' * c o s l . ) * c ;
'2
2\
, I ( ,
L l)
r i t , : , r l - r l o s 3 . r '. r .
(
J
'
J
lt/
9.44
,,)
(:r,2 2t:+ 2) + r.;
"'
c)
V: c.r.ičc:trí<
lr 9 .1l 9 45 pclrrŽijtt.ttlt'to<luJ)er pa 1 1( ' s
tt'
,.)
b)
Zavedte substÍtucia potom použijtemetody per partes
a)
reÝ, dr,
.f
1) * c. 1
3)
b)
7
9.4
t^
'|lťr
rll'.
a) zefr (,,8 - r) + c;
b) z ln2z 2(r In t
e') + c.
Určity integrál
A) Součtová definice
Definice.
Kažďákonečná množina D c
{e.6;:t1;. . .; r,.}, pro kte_
rott platí a c D'
l c D, se nazyvá děIeníintervalu (o; ) ' Doteni o
JJl
l
l ' ) V irrterva,lu (0; 1) .ic frrrrkce r ('.) - irr l. prirrritivní k irrtegrova16
fiurkci. Frrnkctltr však atli rreníspojitá v uzavňcnénrirrtervtilu(0; 1),
prrlto rrel1zc
iritcgr.álrrporrŽítvětu Í).9 (,lc nrožno
k vypočttrcl:rrrého
rrklLzat.žc irittlgrál lreexistrrjc.
)
r , ) P r t l k a Ž t l ér C R p l t r t í :s i r i ( r | 1 ) - s i r r z
cos 1tcos:l
h) -cos2fcosl;
i)"1r;z
9.53
rf
/
*
,).
.
(n.
,t
s i r r1 '
a)
r
I ( 5 . , t ' 2 . r '- 3 ) , l . r ' ,
.t
I
(cos 1 sin.r'* sin 1 cos r) clr' -
I ('r3- ri{i) ae,.
b)
2
l6
I
q F,,''-,,i + ') a,', d) Ir . t : 4- , t 1 2 * 2 : r . "
I
'iV
:
i)0;
Vyp<lčítejte
intelgrály:
trrc
/ sin(.r * 1) tl.r'
.l.t
00
"
tt; k)
I
cos 1 / sirr z tlrr:-l sin 1 / cos ;l' dr :
.t
.l
00
I
lťJ
cll:,
t)
,
e]
- cos 1 . l- cos .rl[ + sin 1 . lsin r]i :
cos 1 (cosn cos 0) t sin 1 (sinn - sin 0) :
(0-0) :2cos1:1.081
cos1.(-1 -1) isinl
r^2 -J ,
,
d.ť'
/
.l
\/.r
I'I
1
r-2tq
g) / ,
,1
TJ
o..,
.
'l'I-L
-1
Cvičení
9.52
Vypočítejteirrtegrály:
2
a)
1
:)
.r_
b ) I (r + I)r d.r'. c) I ;vE, ar,
,1,
.t
- r -r
/
.] Í
clr.
e)
r
C) / sin .r d.r',
t5
I
cl.r:,
Ntíuod:
Ě-
O,r 1
| o
L
h)
t
/ sin .r'd.r.
g) Dělte čitatele jmenovatelem.
Í,
i) / sin .r'dr,
,]
l4'
]l21
: b) 60 - 3V4 3
d)
g) 4
31.005
3_
i/Z: ,l I 04d rriT:
,
ln 10; e) neexistuje; f) 10
7ln 3; h) 9 + t..r5,
i) neexistuje.
9.54
l
i
clr:.
'#, b)?q#
2!4, a1t'
, "1
a
1
,. I
d) /
^ d.r.
.1 (sin.r)'
0
-2
e ) n e c x i s t u j c ;r )
ln 11;
VypočítejteintegráIy:
f1
b) | _,
dr,
J ( c o sr ) -
8
k)
u)
2
2
-L
762
| (:t 2)B dx,
.J
.
+.I -Ú
L
J
2
0
/ e'' dz,
f)
3
2
360
,l
lt
l't
1
1
j)
-
1
e
d)
I
l]I-u-.dr'.
l1
| 7r., ďx^
2
r l .t J. 2
.,
; (rg
- r); c) r;
In
[ .) 1; b) nle*istu;e;c) neexistuje;d) 2. ]
361
fn
r
I er'ts
r'l
2
rrlt'
;
tn9
2
ci) I Q| - f i + L ) a r
2
2
I u)o;b)0; c)0:d)0. ]
9.69
/ e''' sin r dr;
Ve cr.icjelních
nebo per partes
9 63 9.71 vypočítcitc nrctoclottsrrbsLitrrčrrí
určitéintegrá1y.
e.63
f
l -J .' '
.l
:l
,,.
.rt,
4
|
tL5
9.70
I ln3
2 e r "| 1
I
/lnrd;r
.l
1
[1
9.7L
[n
L 4-,
1
1
t'
/re "dr
.t
0
[':
9.6
4r2
I| r--lo
A) obsah
;
f/ cos r sin'.r dr
9.66
0
9.67
Ii
r,.
/rcos:
.t
o
a
Některé geometrické a fyzikáIni
aplikace určitého integrálu
dr
rovinného
obrazce
Jc-li funkce / spojitá a nezáporná na intervalu (o; b), ie obsah,S rovinnélroobrazce, vyznačenéna obr. 9'2, určenvztahem
b
S:
r
l/(r) d.r.
(e.13)
u_Í@)
|
-ro'
3
t^
'r'dr
/ ;'sirr
9.68
1
JOO
Obr. 9.2
.1o í
(Strrrčrrě Ťíkárrrtl.Žc M .jc mnoŽina llrč:cu1l,grafen (rreztqltlrné
firrrkce Í(,,) _ l -|:t'", :t C (-2;3)). Nacirtrrěte rririožilrrrM.
I l-r0
g.76
a) .f(.r:)
Lr
9.74
a)
"T,
c ) / ( . r) :
cos | :t)
b)
trg : t
.,s0.0Šg
a) {[';y]: rc(0.l:2). oíy!
9.75
9.77
t?8
9.78
c)e6-e
E,+ ::
370
") ;
: , J ' 2 . 6 7 \b ) s r c ) l n v D :
0.1147:
0,1 + 0,1 ln 0'1 { 2 ln 2 - 1,0516
]
Vypočítejte obsalr rrrrroŽiny
M - { | ' . ; . l ] ; . . . e ( 0 :1 ) .
2-li2ŠuŠ
1+.rlr}
(Stručně ňíkánrc.Žc rrrnožinaM je r.rrčcriagrafy funkcí /(r') 2-,,,r
e ( 0 ;1 ) , a 9 ( z ) - - 1 + l . ; J .: ] .c ( 0 ;t ) ) | { a č r t n č : t e
rnnožinu M '
t#l
i q , . r e, ( 0 , 11; ) .
9b_l
b) .ď
2''
Vvpočítejte obsaliy trtrtoŽin ze cvičerrí9.74.
|
3\
0r
;"),
o
3
_T
a ) 3 l n ll : 3,29(i; l;) ilr
d)
re (0;a),
") ;'
z
22
. 1 ) / ( r ) : 2 " . r ' c ( 1 r1 . 8 ) ,
t
ri
c ) 1 0 h r 1 - o , , l r t x l d ) , 1I n v / 2 - 1 ' l l 8 ( t ;
24
-v 5,,5
, -.,e) 1*
c) f(r )-e'+1, rc(-2; 5),
f) Í(t):
n
I
a) Í(") - , , ' , 1 2 e ( - 1 ; 1 ) ,
e ) / ( ' ) - sin jr'.:r c
l c ( 1;1),
.)
:l
Vypočítejte obsali rnnoŽiny olrrarričclré grafern fu kce JÍ(")
il osou r (nrrrožirry vŽcly nakresletc).
b) ./(' ) : ( 2 r + 1 ) t ,
/i\
ri. ti\
];\
\/ - . -'2// .
.1
\
1)..,c
/
3 \
í ) [ ( t \ : s i r r (r ' - 1 - ) . . r c
\=,/
r7l,r'c (0:1(').o a y 1
") tlr::
(
. r ' ' 2 - .o / '!J .
nr ll.,r,, -!
f2
.,. \ ,,=1.
.l) /(r') ]cots .'
/
c ) l ' ( . r '-)c o s ( r '
: ).
ci) .l (.r) - I 1 r rr ' 1 . r 'e ( 0 . 1 2
]t | ' ' y ] . i
e ( 0 ;2 ) ,
lJ'
t-),
rg r:.r'e (- j, o),
t
.l+r
2.rl
c) .l ' (r-) ; +,
c+ t
. r ' e ( 0 r1 6 ) ,
b ) / ( ; r) : I c o s . r ' .; r c ( - l '
;.t
b ) . / ( . i ' -) | s i n i .
trrrroŽ1rrr'ohrattit.t'ltti gr'afcnr frurkce .f (r
Ztrpište a trirčt.ttrč'tc
tt osou .l
/(r' ) -
Vvpočítejtc ollsalr ttltroŽirry ohrarričtltrílgr'aÍt'rnfl.ulkce 'f' :r tlstltl .t
(ninoŽirry vŽc1y lrllkrtlslete).
-5Í)04.8;
r:403.06rul
z)
*(t'.
1 . 7 0 7r ; l ( l - o . r á
I
9.79
t.1
grafy furrkcíf a c.
Zapište a načrtriětenrnožinyohraničerré
a ) / ( : r ) : e r . . r ' e ( 0 : t ) . 9 @ ) : s i t t : t : .; t rC ( 0 ' t t ) .
11
lr) /(.r) -. .re (l: 3). g(r) - ,. r'e (l: 3).
:l''r
.r7 1
( ) ./(r,) - 11t.., ' r e ( 1 ; c ) , o ( . r ::)l r . f , . r :
(Str'rrčrrěĚíkárrrc.Žtl rnttoŽitra M je (rlrnclze--rrá)
nilioŽirra olrrani-
c(1;e),
č e r i 1 lrt i i v k a r n i o r o r , n i t . i c h t 1 : 1 +
I
, l ) J ( : r ;- - .
,r
:
3
. r = { ) ). N n c r t r r l l e t r r r rr ,z i r r r rM .
c ) ' Í ( . t :)2 ' , . r c ( - 1 ; 1 ) . o ( . r )- 3
[
'r Ž
- 0 a !/ _
+ .Ý,F,
. r : 4. r ' c ( t ; 1 )
,rl {rr':u:0'.t---.
r/-e'}:
s i l r. r :
l , t { . r ' :t t l.:, , ' , 1 , , . - \
,,
./':
L
)
2
9.83
Za1;išttl a lračrtričtc rrttložitry. které .jsorr ohranič'crrÓ graÍ!. rla-
rrycli Íirnkcí:
1l
+
. t .}
a) '/i.t.)
)
,;'
_.t' . 2.
! t ( ' ť \-
b ) / ( ' ' ) : , r ' . s ( t ' )- , 5 .
c ) / ( t ) - s i n . r , . r ' c ( 0 ; r . ) g, ( , ) : c o s2 r , r c ( 0 ; n ) .
9.80
Vypočítcjteobsahy rrtnoŽinze cvičení9.79.
I
u)
"-
l ] : 2 0 . 1 . 1 1b;) l n ; t
c) z; a; !
9.81
? - O.,ISZ;
tn 4 - 6.11.1;
e) l-,,6
ft1
: t,nn.
9.84
I
Vypočítejte obsahy rrrnožino}rraničeriÝchgrafy funkcí:
9.85
t , ) / ( " ) : 9 , r e ( 0 ;2 ) . g ( x ) : 3 . . t . , Í c ( 0 ;2 ) ,
c ) Í ( r ) - s i r rr , r c ( 0 ; n ) ' . q ( r ): C o Sj Ú l z C ( 0 ; ; t ) ,
d ) . / ( t ) : e ' ' , , r .e' \ - 2 ; 2 ) , g ( r ) : e - ' , x e ( - 2 ; 2 ) ,
e ) / ( r ) : I r rÍ , ; r c ( 1 ;a } , g ( , ) :
1)
{ a) 2: u, ft
a ) z ( e 2+ e - 2
9.82
l -,.
r
r e (1;4).
c\ 2rt:
10.923:
2 ) : t r , o S , e ) 3 1 n4 : 4 , 7 5 9 .
Vypočítejteobsah nrnoŽiny
Mqiq
Vypočítejteobsahy mtrožirrze cvičení9.83.
, (o;e), r + ; S ! r < L t u t r j
{lr;a l; e
a) 21,]G
+ h(5 - zvtr) - z.r:;
'5"8
- z.a. l
b) ; .)
"
Vypočítejte obsahy mnoŽirr ohraničcnyclr kŤivkarrri.které jsorr
grafy danych furrkcí (ncjprve tyto mrrožiny rračrtrrětc)
a) /(r) - 12, s(r) : 4,
:5
b) /(r;)
:
!, s@) z,
c ) . f( r ) : s i n z . r c ( 0 ;n ) . 9 ( , r )- 1 .
2'
d) /(r) : 12, s@) - 3\/8.
e ) / ( r ): , +
g @ )- e r ,r e ( o o; c ) ,
+,
f) f (:r) : ,4 - 2x2, g(x) :2r2.
r c (0; rc).
.32
b) 4i'lci 9.798: c) r,z3
a o.ott,
I a)
T:
i
d ) 3 : e ) 3 2 : f1 - Y
4,267.
I
,JA
g.94
Cvičení
9.90
Porrtocívztahu (9.15) vypočítejtc:
a) objerri koule o prťrrrrěrud : 6 cnr.
b) objem rcltačrrílrokužele s vyškorr h :
záklaclnyd:8crn,
72 crn a prr.irněrery1
c) objem komolÓho rotacirrílrokuželes vyŠkou|t,: I0 crrr a prriměry základem rl1 : 6 ctn, c12- 12 crrr.
(--l
Vvpočítejte objem rotačrríhoe1ipsoidrr,ktery vzrrikne rotací
elipsy se stŤeclerrrv bodě [0;0], poioosou o : 4 cnr na ose o
a poloosou b - 2 cm na ose g:
t
u)
qn.-3
::t
rr) T^
3
g.g2
"-3
ht M:{[',..u]: 0'
r 1 3 4 . 0 4 1. - s .
c) r --/4-f
r_4,
b) '-,/í+a,,
.)
ll
<2.O<'t'.
. u'utl.
92}' osur.,
lt 1;L'2,6_//:}
oĎay.
-o,s42s; b) *n :o,e125;
10
Í) 20;: 62.832;
r =-5.
Kolem osy g rotuje množina bodťr,jejíž}rranici tvoŤíčást dané
paraboly a írsečkana dané pŤímce:
1
b) y:
a) y:4r2, y:16.
tr".y:t.
c) a-3x2, y-24.
. )' 1l0n
1 2 0 , 6 3 7d; ) 8 n - 2 5 . 1 3 3 ;
. )' T ^ :
15
)o
er -r(r/t0
l ) . , 1 5 . 27 t:
r:5,
Nakreslete dané mnoŽiny a vypočítejteobjemy tě1esvzniklj'ch
jejich rotací.
2 n : 6 , 2 8 3 ;c ) 9 6 t : 3 0 1 , 6 ' ]
I a ) s z n 1 0 0 , 5 3 1b;)
J/O
r
-
i
]
Nakreslete dané množiny a vypočítejteobjemy rotačriíchtěles.
níutl- ov4J)
?'
_94,659;
| .) ;^:33,51: o) Ť
c) 27n- 84,823 l
9.93
-
VŽdy nrrrožinuM nakresletc.
G 7 . 0l2c r r r : t :
Kolem osy z rotuje množina bodú,jejížhranici tvoŤíčástikŤivek o rovnicícil:
a):t_,/4+i,
(.
1 šrš rÁ0. 0au 1rlto-r'}
{|:r;y];
c ) M - { [ ' ; E ] ;0 š 1 7 Š 2 . 0 < r , . g š t 2 { 6
u
b) kolem osY g.
a) kolem osy r,
,2] . .,su.'.
Lr'
v / i o .o ' r r / t o
{ [ t ,l r ] ,
f ) M - { | " ; l l l ;0 š r š 1 . 0 < ' . / š 3 e l }U
Vysieclky ovčňtevypočtern podle znárrrych vzorcú pro obiemy.
9.91
tělesa vznlkléhorotacímnožirryboclri M
Určetcobicrn rotačnílro
osy.
kolenr c1arré
a ) M - { | ' ; y ] ; ] ) > Í . 2 }n { [ . r :y,] ; r ; > 9 2 } ' o s a r ; .
b ) M : { | ' ; . q ] ;, ! J ž1 2 } n { [ ' ; y ] ; r Ž 9 2 } ' o s a U ,
osajr,
c) V:{[r'; y]; s)23r2]n{[.r:e
; ]; y{6r),
. 1 ) M - { | ' . ; : q ] ;, y Ž 3 t i } n { [ ' ; u ) ; a 1 - 6 r : } . o s a 9 ,
e) M-{|l'; uJ;0šrš1.0<.9a3:t|U
I
_
6R
gr nf 4\,/o \ro/
_\
/2 | : lo.64o:
22
- 23,03E
h)
Tn
9.95
l
paraboloidu (tj. těrotačrrího
odvoďte vzorec pro objenr ítseče
lesa vzniklého rotací rnnožiny M na obr' 9.7 kolem osy souměrnosti) s poloměrem zák).adny fi a vyškorr h.
I y_"R'h
2
L'9.96
1
)
Vypočítejtc objern tělesa, které vznikne rotací množirryM y E i } k o l e r r rp r í m k y o r o v n i c i
tl''. y]: .i.. (2:8). 2 1t1Š
'!-2'
I
v - Ttr:2s,322
/n'=
l
7
Download

Sbírka úloh (průřez 1. až 4. ročníkem)