4EK213 – Lineární modely
Cvičení 1–2
Cvičení 1–2 – formulace úloh LP
Následující příklady typově odpovídají příkladům, které se mohou objevit v 1. průběžném testu a které
byste měli zvládnout na základě absolvování předmětu 4EK311 – Operační výzkum. Všechny příklady
byste měli umět vyřešit v programu LINGO a získané výsledky interpretovat (strukturní a přídatné
proměnné, hodnotu účelové funkce). Vybrané úlohy lze řešit také graficky.
Příklad 1 – Výrobní problém – balení bonboniér
Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 90 karamelových
bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér:
 do první se dávají tři čokoládové, šest oříškových a deset karamelových bonbónů,
 do druhé bonboniéry se dává deset čokoládových, šest oříškových a pět karamelových
bonbónů.
Na každém kusu první bonboniéry firma vydělá 45 Kč, na druhé vydělá 30 Kč.
a) Formulujte matematický model úlohy maximalizující zisk firmy.
b) Jaký je výrobní program, pokud má firma k dispozici pouze 9 krabiček?
c) Jaký je výrobní program, pokud má firma vyrobit alespoň o 2 bonboniéry prvního typu
více, než vyrobí druhých bonboniér?
Vyřešte úlohu graficky a získané výsledky interpretujte.
Příklad 2 – Výrobní plánování – balírny čaje
Balírny čaje plánují na následující období výrobu dvou čajových směsí Zlatý čaj a Granát. Na
výrobu obou směsí se jako suroviny používají čínský, indický a cejlonský čaj. Pro dané období
má firma k dispozici 5 tun čínského, 8 tun indického a 3,6 tun cejlonského čaje. Při výrobě
obou směsí je třeba dodržovat technologické postupy, které mimo jiné určují, jaké procento
jednotlivých komponent bude použito při této výrobě (viz tabulka):
Komponenta
čínský čaj
indický čaj
cejlonský čaj
Složení směsí [%]
Zlatý čaj Granát
50
20
50
50
0
30
Kapacita
[kg]
5000
8000
3600
Na základě nákladů byl vykalkulován zisk 30 000Kč za tunu Zlatého čaje a 24 000Kč za tunu
Granátu. Naplánujte produkci firmy tak, aby byl celkový zisk firmy maximální.
Formulujte matematický model, vyřešte úlohu graficky a získané výsledky interpretujte (pozor
na jednotky!!!).
Příklad 3 – Výrobní plánování – teplé nápoje
Na domácí party jsme se rozhodli narychlo vytvořit speciální teplé nápoje – kávu s přídavkem
kakaa. Budeme míchat dvě různé směsi – sladkou směs s cukrem a směs, kde je více kakaa. Do
sladké směsi („s cukrem“) dáme 2 lžičky kávy, 2 lžičky kakaa a 1 kostku cukru, do směsi „bez
cukru“ dáme 3 lžičky kakaa a 1 lžičku kávy. K dispozici máme 36 lžiček kakaa, 20 lžiček kávy
a 8 kostek cukru. Formulujte matematický model úlohy, chcete-li dané suroviny co nejlépe
využít a vytvořit co nejvíce nápojů. Řešte graficky a získané výsledky interpretujte. Změní se
řešení, pokud bychom nápoje chtěli prodávat za 10 Kč s cukrem a za 5 Kč bez cukru a chceme
maximalizovat tržbu?
4EK213, Ing. Veronika Skočdopolová
1
4EK213 – Lineární modely
Cvičení 1–2
Příklad 4 – Výrobní plánování – brambory
Drobný podnikatel vyrábí a prodává bramborové lupínky a hranolky po řadě za prodejní ceny
120 a 76 peněžních jednotek za kilogram produktu. Na výrobu 1 kg lupínků je zapotřebí 2 kg
brambor a 0.4 kg oleje, na výrobu 1 kg hranolků je třeba 1.5 kg brambor a 0.2 kg oleje. Týdně
má podnikatel k dispozici 100 kg brambor a 16 kg oleje za regulované ceny 12 a 40 peněžních
jednotek za kilogram příslušné suroviny. Sestavte matematický model této úlohy
maximalizující zisk podnikatele z prodeje uvedených produktů. (Zisk = příjem – náklady).
Vyřešte v programu LINGO a získané výsledky interpretujte.
Příklad 5 – Výrobní plánování s minimálním množstvím suroviny
Firma vyrábí pozlacené sádrové sošky – osobnosti a světce. Na sošku osobnosti je potřeba
1 jednotka sádry a 2 jednotky zlata. Na sošku světce jsou potřeba 3 jednotky sádry
a 4,5 jednotky zlata. Zisk z prodeje sošky osobnosti je 400Kč, ze světce 700Kč. Denně máme
k dispozici 120 jednotek sádry. Stanovte optimální výrobní program, který by vyžadoval co
nejmenší spotřebu zlata a zajistil zisk alespoň 40 000Kč. Vyřešte a získané výsledky
interpretujte.
Příklad 6 – Kapacitní problém s mezemi – výroba válců a kotoučů
Firma vyrábí válce a kotouče. Oba tyto výrobky se postupně zpracovávají na třech typech
strojů: soustruh, hoblovačka a svářecí stroj. Každý výrobek může být zpracován různými
způsoby, které nemají vliv na cenu ani na kvalitu, ale liší se délkou zpracování. Válce lze
vyrábět třemi způsoby:
 První způsob zahrnuje 2 min. na soustruhu a stejný čas i na hoblovačce a svářecím stroji.
 Druhý způsob výroby zabere na hoblovačce jen 1 min., ale 3 min. trvá soustružení
i sváření.
 Třetím způsobem je válec soustružen 2,5 min., hoblován 1,5 min. a svářen 1 min.
Na výrobu kotoučů jsou jen dva způsoby:
 První zabere 1 min. na soustruhu, 1 min. na hoblovačce a 4 min. na svářecím stroji.
 Druhým způsobem kotouč vůbec není soustružen, je jen 2 min. hoblován a pak 1 min.
svářen.
K dispozici je 145 hodin strojového času na soustruhu, 200 hodin na hoblovačce a 175 hodin
na svářecím stroji. Každý válec je prodán za 270 Kč a kotouč je prodáván za 135 Kč. Výroba
je ovšem z provozních důvodů omezena následovně: kotoučů lze druhým způsobem vyrobit
pouze 1500 ks, válců je potřeba vyrobit druhým způsobem minimálně 500 ks. Jak bychom měli
stanovit výrobní program, aby firma maximalizovala tržbu?
a) Formulujte matematický model úlohy.
b) Ekonomicky interpretujte výsledky.
Příklad 7 – Kapacitní problém s polotovary – výroba čokolády a balíčků
Podnik vyrábí 4 druhy výrobků, které pro jednoduchost označíme V1 (surová čokoláda 250g),
V2 (balení oříšků v čokoládě 500g), V3 (dárkový balíček – pytlík kakaa a 250g oříšků
v čokoládě) a V4 (bonboniéra – 1 čokoláda a 1 kg oříšků v čokoládě). Výrobky se vyrábějí na
stejném zařízení Z (balička), čas (v sekundách) potřebný k jejich výrobě je uveden v tabulce
a celkový čas, který je na zařízení Z k dispozici pro práci, je 20 minut.
K výrobě je potřeba také surovina S (kakao). I její množství do jednotlivých výrobků je uvedeno
(v dekagramech) v tabulce a k dispozici je 15 kilogramů této suroviny. Pro výrobu výrobku V2
4EK213, Ing. Veronika Skočdopolová
2
4EK213 – Lineární modely
Cvičení 1–2
(oříšky v čokoládě) se jako polotovar užívá výrobek V1 (surová čokoláda) – pro výrobu jednoho
výrobku V2 je třeba 0,5 ks výrobku V1 (na jedno balení oříšků v čokoládě je třeba půlka
čokolády), pro výrobu jednoho výrobku V3 j třeba 0,5 ks výrobku V2 (na jeden dárkový balíček
je třeba půl balení oříšků v čokoládě) a pro výrobu výrobku V4 (bonboniéra) je třeba jeden
výrobek V1 a dva výrobky V2 (1 čokoláda a 2 balení oříšků). Výrobky jsou prodávány za ceny
uvedené v tabulce. Sestavte optimální výrobní program, který maximalizuje tržby.
Zařízení Z
Surovina S
Výrobek V1
Výrobek V2
Prodejní cena
V1
V2
15 s
0s
20 dkg 15 dkg
0 ks
0,5 ks
0 balení 0 balení
30 Kč
60 Kč
V3
20 s
20 dkg
0 ks
0,5 balení
100 Kč
V4
25 s
0 dkg
1 ks
2 balení
300 Kč
Formulujte matematický model úlohy, najděte optimální řešení pomocí vhodného softwaru
a ekonomicky interpretujte výsledky.
Příklad 8 – Výrobní plánování s polotovary – nábytek
Nábytkářská firma má ve svém sortimentu stůl a dva druhy židlí. Pro tuto výrobu produkuje
dále jako polotovary nohy ke stolu a nohy k židlím. Při produkci je třeba sledovat spotřebu
dřevní hmoty, které je omezené množství, a pracnost, protože i kapacita pracovní doby dělníků
je omezená. Množství dřeva i času dělníků potřebných pro výrobu je v tabulce:
Dřevo [kg/ks]
Pracnost [hod/ks]
Noha k židli
Noha ke stolu
Stůl
Židle 1
Židle 2
0,3
0,8
5,0
1,5
2,0
0,25
0,4
2,0
1,5
2,5
Na každý stůl jsou potřeba 4 nohy ke stolu, pro židli 1 jsou třeba 4 nohy k židli a pro židli 2 dvě
nohy k židli. Dřevní hmoty je na dané období k dispozici 20 tun. Kapacita pracovní síly dělníků
je na toto období 12 000 hodin. Prodejní cena stolu je 8000 Kč, židle 1 se prodává za 1200 Kč
a židle 2 za 1800 Kč. Pokud by se nohy k židli nebo ke stolu nespotřebovaly ve vlastní výrobě,
lze je prodávat i samostatně jiné firmě za 50, resp. 120 Kč. Kromě uvedeného sortimentu lze
prodávat komplet jeden stůl a čtyři židle 2 za cenu 14 900 Kč. Těchto kompletů je vzhledem
k poptávce třeba vyrobit minimálně 200ks. Cílem je naplánovat produkci tak, abychom
maximalizovali celkovou tržbu. Formulujte matematický model úlohy, najděte optimální řešení
pomocí vhodného softwaru a ekonomicky interpretujte výsledky.
Příklad 9 – Směšovací úloha – krmivo na farmě
Farma potřebuje pro zvířata 800kg speciální stravy denně. V této stravě je potřeba sledovat
obsah proteinů a vlákniny. Proteinů má být v denní dávce alespoň 240kg, vlákniny naopak
nejvýše 40kg. Denní dávka se míchá z kukuřičných zrn a ze sójových bobů. Kukuřice obsahuje
9% proteinů a 2% vlákniny. Sójové boby obsahují 60% proteinů a 6% vlákniny. Kilogram
kukuřice stojí 12 Kč, kilogram sójových bobů 32 Kč. Navrhněte způsob vytvoření směsi tak,
aby byla co nejlevnější. Formulujte matematický model úlohy, najděte optimální řešení pomocí
vhodného softwaru a ekonomicky interpretujte výsledky.
4EK213, Ing. Veronika Skočdopolová
3
4EK213 – Lineární modely
Cvičení 1–2
Příklad 10 – Směšovací problém (nutriční problém) – vitamíny
V době chřipek je nutné mít dostatečný příjem vitamínů a dalších důležitých látek a chránit se
tak před možnou nákazou. Máme k dispozici 3 multivitaminové přípravky s různým obsahem
jednotlivých látek v jedné tabletě a také s různou cenou (viz tabulka – mg látky v 1 tabletě; cena
za 1 tabletu):
[mg/tableta]
Multivit
Vitacin
NaturVit
Vit. A
0,6
0,5
0,8
Vit. C Vit. E
30
9
40
6
50
8
Vápník
800
400
600
Cena
5
3,6
3
Kolik kterých tablet si máme denně vzít, aby naše tělo přijalo:
maximálně 1,5mg vit. A
minimálně
60mg vit. C
12mg vit. E
1000mg vápníku
a zaplatíme co nejméně?
Formulujte matematický model úlohy, najděte optimální řešení pomocí vhodného softwaru
a ekonomicky interpretujte výsledky.
Příklad 11 – Směšovací úloha (analýza portfolia) – Drink Invest
Společnost Drink Invest se zabývá investicemi do akcií firem produkujících nápoje. Vedení
firmy zvažuje investici 2 000 000 Kč do akcií 4 firem v ČR. Aby předešla ztrátám plynoucím
z rizika, rozhodla se část peněz investovat do vládních obligací. Z dlouhodobého sledování
finančního trhu vyplývají roční procenta výnosů a indexy rizika u sledovaných cenných papírů,
jejichž hodnoty jsou uvedeny v tabulce. Na poradě managementu společnosti bylo rozhodnuto
o následujících pravidlech:
a) Do Českých mlékáren se nesmí investovat více než 200 tisíc Kč.
b) Investice do obligací musí činit alespoň 20% všech investic.
c) Z hlediska diverzifikace portfolia nesmí žádná z firem vyrábějící alkoholické nápoje
získat více než 800 tisíc Kč.
d) Celkový index rizika portfolia nesmí přesáhnout 0,05. Cílem společnosti je
maximalizovat roční výnos portfolia při dodržení všech uvedených podmínek.
České pivovary, a.s.
Víno Morava, a.s.
Moravská švestka, a.s.
České mlékárny, a.s.
Obligace
Výnos
12%
9%
15%
7%
6%
Index rizika
0,07
0,09
0,05
0,03
0,01
Formulujte matematický model této úlohy, nezapomeňte na ekonomickou interpretaci
proměnných včetně jednotek. Vyřešte v programu LINGO a výsledky interpretujte.
4EK213, Ing. Veronika Skočdopolová
4
4EK213 – Lineární modely
Cvičení 1–2
Příklad 12 – Směšovací problém s určeným procentním složením
Předpokládejte, že máte dva druhy sterilované zeleniny. První z nich obsahuje v každé
plechovce 100 mg vitamínu A a 100 mg vitamínu C, druhá směs obsahuje v každé plechovce
100 mg vitamínu A a 200 mg vitamínu C. Cena za plechovku první směsi je 10 Kč a cena druhé
směsi je 20 Kč za kus. Cílem je namíchat zeleninový salát tak, aby v něm bylo maximálně 2000
mg vitamínu A, minimálně 3000 mg vitamínu C, salát obsahoval minimálně 20% první
zeleninové směsi a maximálně 60% druhé zeleninové směsi a jeho cena (náklady na jeho
výrobu) byla minimální. Formulujte matematický model úlohy a ekonomicky interpretujte
výsledky.
Příklad 13 – Dělení materiálu – prkna
Dřevařské závody vyrábějí prkna o délce 2 metry. Někteří odběratelé potřebují pro svou výrobu
jinou délku prken. Firma nabízí rozřezání standardních prken na menší, a sice o délkách 0,5 m,
0,8 m a 1,2 m. V rámci jedné zakázky je třeba dodat 500 ks prken o délce 0,5 m, 1000 ks prken
o délce 0,8 m a 400 ks prken o délce 1,2 m. Cílem je nalezení takové struktury rozřezání
standardních prken, která uspokojí požadavky odběratele a bude minimalizovat počet
standardních 2 m prken, která bude třeba rozřezat. Formulujte matematický model úlohy
a ekonomicky interpretujte výsledky.
Příklad 14 – Úloha o dělení materiálu – plastové sloupky
Jistá nejmenovaná firma recykluje PET láhve a vyrábí z nich součásti pro stavbu
umělohmotných plotů. Firma mimo jiné tímto způsobem vyrábí dvoumetrové sloupky. Tyto
sloupky jsou však vzhledem ke své nízké ceně využívány také jako součásti dětských hřišť
apod. Dvoumetrová délka ovšem těmto potřebám nevyhovuje a jsou potřeba sloupky kratší –
konkrétně 50 cm, 80 cm a 120 cm. Pro tyto potřeby se výroba neupravuje, nýbrž kratší sloupky
jsou z dvoumetrových nařezány. V rámci nadcházející akce je třeba zajistit dodání 100 ks
sloupků délky 50 cm, 200 ks sloupků délky 80 cm a 80 ks sloupků délky 120 cm. Najděte
optimální způsob nařezání dvoumetrových sloupků tak, abyste minimalizovali počet použitých
dvoumetrových sloupků a uspokojili dané požadavky. Formulujte matematický model úlohy
a ekonomicky interpretujte výsledky.
Co by se změnilo, kdyby bylo naším cílem minimalizovat množství odpadu? Formulujte
matematický model úlohy a ekonomicky interpretujte výsledky.
Příklad 15 – Úloha o dělení materiálu s poměrem výrobků – dětské
prolézačky
Firma recykluje PET láhve a vyrábí z nich dvoumetrové sloupky. Z těchto sloupků dále řeže
součásti pro stavbu dětských plastových prolézaček. Na každou takovou prolézačku potřebuje
mimo jiné 4 sloupky délky 50 cm, 4 sloupky délky 80 cm a 3 sloupky délky 120 cm. Tato
zakázka je výborně zaplacena, a tak je firma ochotna věnovat na výrobu prolézaček 1000 ks
dvoumetrových sloupků, které nařeže příslušným způsobem. Vzhledem k velikosti této zakázky
jsou ostatní zakázky pozastaveny, a tak firma nemá pro nařezané sloupky jiné uplatnění a nemá
tedy zájem na tom, aby zbývaly. Jakým způsobem firma rozřeže 1000 ks dvoumetrových
sloupků, aby mohla vyrobit co nejvíce dětských plastových prolézaček? Formulujte
matematický model úlohy a ekonomicky interpretujte výsledky.
4EK213, Ing. Veronika Skočdopolová
5
Download

Cvičení 1–2 – formulace úloh LP