International GeoGebra Conference
for Southeast Europe
Međunarodna GeoGebra Konferencija
Novi Sad, 15-16, January, 2011
Novi Sad, Serbia
GeoGebra in Novi Sad
Ministarstvo Prosvete i Nauke Republike
Srbije finansiralo je štampanje ove publikacije.
Zbornik je uredila professor Djurdjica Takači
Izdaje: Departman za matematiku i informatiku, Prirodnomatemati;ki fakultet u Novom Sadu, 21000 Novi Sad, Trg Dositeja
Obradivica 4, tel (021)458136
Štampa: Stojkov, Novi Sad
Tiraž: 250 primeraka
GeoGebra in Novi Sad
The Conference is supported by
1. University of Novi Sad
2. Faculty of Sciences
3. Department of Mathematics and Informatics Provincial
Secretariat for Science and Technological Development of
4. Ministry of Science and Technological Development
of Serbia,
5. IPA project Teaching Mathematics and Statistics in Sciences:
TEAMATHMODSCI IPA HU SRB/0901/221/088 2010 –
Program Committee
Markus Hohenwarter (University of Linz), Honorary President
Zsolt Lavicza (Cambridge University), President
Academician Petar Kenderov (Bulgarian academy of Sgience,
Janos Karsai (University of Szeged)
Arpad Takači University of Novi Sad)
Evgenia Sendova (Bulgarian academy of Sgience, Bulgaria)
Đurđica Takači (University of Novi Sad)
GeoGebra in Novi Sad
Peter Körtesi, (Miskolc, Hungary)
Emilia Velikova (Rousse, Bulgaria)
Dragoslav Herceg (University of Novi Sad, Serbia)
Zorana Lužanin (University of Novi Sad, Serbia)
Đorđe Herceg (University of Novi Sad, Serbia)
Matija Lokar (Maribor, Slovenija)
Zoltán Kovács (Szeged, Hungary)
Organizing Committee
Zsolt Lavicza (Cambridge University), President
Đurđica Takači (University of Novi Sad), President
Dragoslav Herceg (University of Novi Sad)
Arpad Takači (University of Novi Sad)
Janos Karsai (University of Szeged)
Peter Körtesi, (Miskolc, Hungary)
Emilia Velikova (Rousse, Bulgaria)
Zorana Lužanin (University of Novi Sad)
Đorđe Herceg (University of Novi Sad)
Arpad Takači (University of Novi Sad)
Jelena Tatar (Jovan Jovanović-Zmaj Grammar School, Novi Sad)
Duška Pešić (Jovan Jovanović-Zmaj Grammar School, Novi Sad)
Zoltán Kovács (Szeged, Hungary)
Nada Aleksić (University of Novi Sad)
Mirjana Rakić (University of Novi Sad)
Marija Veselinović (University of Novi Sad)
GeoGebra in Novi Sad
This volume is the Proceedings of the International GeoGebra
Conference for Southeast Europe.
This Conference was held from January 15 to 16 (17) 2011, in Novi
Sad, Serbia, at the Department of Mathematics and Informatics, Faculty
of Sciences, University of Novi Sad.
There were about 340 participants:
• 49 from abroad (Hungary, Bulgaria, Croatia, Slovenia,
Macedonia, Bosnia and Hercegovina, Slovakia, Romania,
Albania, Iran, Canada)
• about 200 university professors, teachers and professionals from
• About 90 high school and University students.
There were 45 lectures and they were devoted to teaching mathematics
by using computers and dynamic geometry, in particular the package
GeoGebra is free and multi-platform dynamic mathematics
software for all levels of education that joins geometry, algebra,
tables, graphing, statistics and calculus in one easy-to-use package,
as well as:
Graphics, algebra and tables are connected and fully dynamic
Easy-to-use interface, yet many powerful features
Authoring tool to create interactive learning materials as web
GeoGebra in Novi Sad
Available in many languages for our millions of users around
the world
Free and open source software
GeoGebra is introduced by Markus Hohenwarten, form Linz Austria,
and it has received several educational software awards in Europe
and the USA.
All papers in this proceedings have been reviewed individually.
We are thank to the Ministry of Education and Science, for financing
the printing of this publication.
GeoGebra in Novi Sad
On the role of GeoGebra in the proof of
Doru Păunescu 1, Ðurđica Takači 2,
University Politehnica of Timişoara, Romania
Department of Mathematics and Informatics
Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia
Abstract: In this paper a few theorems are presented and their proofs
are given visually, by using package GeoGebra.
The proofs of theorems are known to be very difficult for almost all
student, and therefore the teachers must act careful. A good strategy to
introduce high level mathematical facts is to catch the attentions of
auditory with some entertaining things. When such introductory task is
done, curiosity is stimulated and the interest is high, so it is easy to
present and solve even hard problems. Some new challenges can no arise
and original proof are expected. GeoGebra is an excellent tool to follow
this way to prove things and to acquire new knowledge.
GeoGebra in Novi Sad
A theorem attributed to Napoléon ([1] pag. 105)
Let A,B,C,D be a convex quadrilateral. The points P,Q,R,S are external
points of the given quadrilateral, constructed such that the triangle ABP,
BCQ, CDR and DAS are right-isosceles triangles (in P, Q, R respectively
in S).
a) Show that PR=QS and PR ⊥ QS ;
b) Show that
PQRS is a square if and only if
Visual Solution:
By using package GeoGebra we constructed the points A, B, C , D and
quadrilateral determined with this points, denoted by Quadrilateral.
Since we wanted to emphases it, we denoted it, also its area is also
determined, even we did not asked for it. To build up the right-isosceles
triangles on each side of ABCD, it suffices to build only one of them and
save this construction as a New tool (see the Polygon menu in Figure 1).
The points P,Q,R,S are drawn, as it is predicted, and it is shown that
really the angles β = γ = 450 , in the triangle ABP , making it rightisosceles triangles.
From Figure 1 it can be seen that PR=QS=14.71 and PR ⊥ QS , i.e. the
angle α = 90 0. Starting really from arbitrary points A,B,C,D constructing
points P,Q,R,S satisfying the conditions of the theorem we got the
“proof“ of item a).
Let us remark that the lengths of all segments are given in Algebra View,
where the proof can be checked also.
By using package GeoGebra the very precise picture is constructed and
the proof can be check. May be, in the case of our consideration we can
talk about the “checking solution” by using precise picture and algebraic
GeoGebra in Novi Sad
Now, we can apply the dynamic property of package GeoGebra, in order
to change the position of given points A,B,C,D and to obtain different
quadrilateral, with different angles and sides. In Figure 2a
Figure 1.
and Figure 2b, the coordinates of the points A,B,C,D are different than
the corresponding coordinates on Figure 1. But, as it was expected the
lengths of the segments PR and QS are the same and the angle between
them is right.
GeoGebra in Novi Sad
Figure 2a
Figure 2b.
GeoGebra in Novi Sad
In the case b) we can make the quadrilateral parallelogram ABCD with
the help of the grid, choosing for more accuracy the vertexes A,B,C and
D on appropriate nodes. Now we obtain P,Q,R,S as it is proposed: not
only with PR=QS and PR ⊥ QS but with PQ=QR= =RS=SP and
right-angles in P,Q,R,S (see Figure 3a). This end the the direct
Figure 3a
GeoGebra in Novi Sad
Now we present the steps for build up the visual proof of reverse
implication (see Figure 3b).
1. Show the grid and eventually set distance 1 on each axis
(Options - Settings - Grid – Distance).
2. Define the points P,Q,R,S in the nodes of the grid such that
PQRS be a square having the sides on the grid lines. (Remark
that PR=QS and PR ⊥ QS but these segments are not present
in Figure 3b).
Figure 3b
GeoGebra in Novi Sad
3. Fix the point A on the grid and choose the point B, on the grid
again, such that PA=PB (note that this segments are diagonals in
equal rectangles with a common point in P).
4. Respect the same rule to choose the point C arround Q: QB=QC.
5. Repeat the above step to define D arround the point R.
6. Finally reveal the sides length of the quadrilater ABCD and
conclude that this is a parallelogram.
Figure 4a
GeoGebra in Novi Sad
New challenges related to Napoléonian theorem
I What happens if the quadrilateral ABCD is not convex ?
Figure 4b
Conclusion: PR=QS and PR ⊥ QS
GeoGebra in Novi Sad
II What happens if P,Q,R,S constructed such that the triangle ABP,
BCQ, CDR and DAS are right-isosceles triangles (in P, Q, R respectively
in S) lies inside the given quadrilateral ABCD ?
Figure 5a
GeoGebra in Novi Sad
Figure 5b
GeoGebra in Novi Sad
Remark that Figure 5a is not accurate. Figure 5b is constructed with
more care and the computation in Algebra view is made with ten digits
Conclusion: PR=QS and PR ⊥ QS
[1] Audin, M., Geometry, Universitext, Springer (2003)
[2] Tall, D., Recent Developments in the Use of Computer to Visualize
and Symbolize Calculus Concepts, The Laboratory Approach to
Teaching Calculus, M.A.A. Notes, Vol. 20 (1991) 15-25.
GeoGebra in Novi Sad
On the role of GeoGebra in examining
Djurdjica Takači , Gordana Stankov , Mirjana Rakić
Department of Mathematics and Informatics
Faculty of Science, University of Novi Sad
High Tehnical School, Subotica
This paper is the contribution to the role of computer, in particular
package GeoGebra, as an environment for understanding the function
concept in the last grade in grammar school in Novi Sad, Serbia. By
using package GeoGebra, the graphs of functions are drawing and then
the properties of functions are examined.
In our schools in Serbia, the students start with learning functions when
they are approximately thirteen years old and continue throughout their
whole further mathematical education. In the last grade of high school
the students are working on examining functions based on advanced
mathematics, i.e., limits, derivatives
and their applications and this is one of the most difficult task for
students. The student are supposed to do all calculations as determining
GeoGebra in Novi Sad
the derivatives, their zeroes, limits, asymptotes, and so on and then to
draw the graph of function. In fact the most difficult task for students is
to connect the calculate properties with the graph of function.
But in these days the classical procedure of examining functions is
chaining with the use of computer, i.e., different packages, as
Mathematica, GeoGebra, Scientific Workplace, and so on. The
mentioned packages can be of great help not only for drawing the
excellent graphs of considered functions, but also for doing all necessary
calculations. This is very helpful because all properties of function can
be visualized and results obtained by calculation can be connected with
the graph.
In the book [1] the classical procedure of examining function is
presented. In the papers [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], the transition to
advanced mathematical thinking with the use of computer is considered.
In this paper we consider the last version of package GeoGebra 4, as a
help for examining functions. Since in the high school, the students are
working almost rational functions, we took the example of such function
and presented the whole procedure for its examining. In particular, we
the advantages of the use of package GeoGebra, are featured, but also
the conflicts that comes out from such kind of considerations are
pointed out.
The package GeoGebra 4, is a new version, appeared a month ago,
where the CAS is improved very much, comparing to the previous
versions. Therefore the excellent, and easy for application, combination
of CAS and dynamic geometry is considered in the next example.
On the application of GeoGebra for examining the functions
We consider the function f ( x) =
x2 − 2
. Its graph, and the graph of
x2 −1
the first and second derivatives are drawn on Figure 1. The graph of the
function is drawn with solid line, the graph of its first derivative with
GeoGebra in Novi Sad
dashes, and the graph of second derivative with dots.
Figure 1
Domain: The points (−1,0), and (1,0), does not belong to the domain
of f , and on Figure 1, it can be seen that the function and its derivatives
have vertical asymptotes at x = −1, and x = 1.
Zeroes: The points A, and B, are zeroes of f . Their coordinates can be
seen in Algebra part, on the considered graph. The points A, and B, are
obtained as the intersection of x − axes. Let us remark that the point
F , is obtained by using the Input “Root of f , with initial value 1”, the
GeoGebra in Novi Sad
point C , analogously. The second root of f can be ontained by using
“Root of f , with initial value 1”.
In this situation the usual conflict:
The zeroes are the zeroes of numerator and the points where the function
is not defined are the zeroes of denominator, appeared when we work
with the rational functions is avoid, because the students can follow
their reasoning with the graph of the function. It is clear the the function
is not defined at x = −1, and x = 1.
Derivatives: Let us remark that on Figure 1 the graphs of the function
and its derivatives, together with their analytical expressions are given.
They can be easy factorized, and the properties of the functions can be
analyzed from the analytical expressions of the function and its
derivatives, analogously as in the case without the computer. But the
benefit of the Algebra and Graphics part expressed together on Figure
1, is the connection of analytical expressions and the corresponding
graphs. This means that the properties of function can be simultaneously
checked and followed with the property of the graphs.
Extremes: From Graphics part it can be seen that the graph of the first
derivative intersect x − axes at the origin, and at the point M (0,2) the
local minimum of f is achieved.
From Algebra part it can be seen that the zero of the first derivative is
x = 0.
Monotonicity: In order to visualize the monotonicity of the function, we
consider the points C(a, f (a)), D ( a, f ' ( a )), E ( a, f ' ' ( a )) , drawn by
using the slider a . By changing a one can follow the change of all three
graphs, f , f ' , and f ' ' , together. This new dynamic visualization can
help in understanding the following properties of functions.
The function f increases on intervals (0,1), (1, ∞), and the first
derivative is positive one on these intervals.
The function f decreases on intervals (−∞,−1), ( −1, 0), and the first
GeoGebra in Novi Sad
derivative is negative one on these intervals.
Looking at the graph, the usual mistake that student make when they
work with sign of the first derivative, by eriting:
f ' > 0,
x > 0,
f increases on intervals (0, ∞),
can be avoid.
Analogously, one can visually analyze the influence of second derivative
function to the first derivative function.
The function f is concave downward on intervals (−∞,−1), (1, ∞ ), and
the second derivative is negative one on these intervals.
The function f is concave upward on interval (−1,1), and the second
derivative is positive one on these intervals.
The second derivative has no real zero. It can checked graphically and
analytically (the function does not have a saddle point, but the sign of the
second derivative is not the same on the domain. We can not say: “ The
second derivative change it sign at x = −1, and x = 1, ” because it is not
defined for these values.
In such consideration the students are sometimes confused with the fact
the decreasing or increasing of function depends on the sign of the first
derivative, not on its monotonicity. Therefore it is necessary to pointed
out such conflict and to present the connection of the graphs of functions
and its derivatives.
Odd and even: The function and its second derivatives are even. It can
be checked visually by drawing mirrored points at y − axes. Let us
remark that the mirror points cannot be drawn by using the graph of
functions, meaning that the geometric objects are supposed to be
considered. Therefore, first the y − axe has to be considered as
geometric object, i.e., the line e, as the line through two points O, and
M . Then for each point, in particular C and E , one can checked that
the corresponding mirror points C ' and E ' , drawn by the Input “Reflect
GeoGebra in Novi Sad
object about the line” belong to the graph of f , or f " , respectively.
Figure 2
Analogously, it can be checked that the first derivative is odd function,
and its graph is symmetric about the point O (0,0).
Let us remark that on Figure1 and Figure 2 both Algebra and Graphic
views are shown. In previous GeoGebra versions only graphic view
could be possible, (without algebraic), but in GeoGebra 4, Algebra view
is possible without graphic view. The graphic view is good, because
besides drawing and writing one can move objects, add text, pictures,
and so on, but in Algebra view nothing can be changed “by hand”.
GeoGebra in Novi Sad
Figure 3
Asymptote: It is known that the determining the asymptote, and draw
the corresponding graph are the most difficult points in examining
algebraic functions. The students have problems in determining
corresponding limits, in particular for vertical asymptotes. In this case
the case the computers helps a lot. Since the graph of function can be
drawn together with the asymptote, it is visually clear “what happens
when x → −1−, x → −1+, and so on”.
By using GeoGebra 4, the asymptote can be ordered by using
appropriate command, and it appeared as “list1={1, x=1, x=-1}”,
representing horizontal and vertical asymptote. Simultaneously, its
graph was drawn (Figure 4).
GeoGebra in Novi Sad
In this package one can find the limits of the functions, too. This is also
the new possibility comparing to previous versions of GeoGebra.
In Algebraic view i = 1 , j = −∞ , and h = ∞, represent the following
i = lim f ( x) = 1, j = lim f ( x) = −∞, h = lim f ( x) = ∞ .
x →∞
x →1−
x →1+
On Figure 4, the value a is not defined, because we wanted to determine
lim f ( x ) , but it does not exist.
Figure 4
GeoGebra in Novi Sad
[1] Schmeelk, J., Takači, Dj., Takači, A., Elementary Analysis through
Examples and Exercises, Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht/Boston/London, 1995.
[2] Tall, D., The Transition to Advanced Mathematical Thinking:
Functions, Limits, Infinity, and Proof, in Grouws, D. A., Handbook
of Research on Mathematics Teaching and Learning, Macmillan,
New York, 1991, 495-511.
[3] Tall, D., Resent Developements in the Use of Computer to Visualize
and Symbolize Calculus Concepts, The Laboratory Approach to
Teaching Calculus, M.A.A. Notes, Vol. 20 (1991), 15-25.
[4] Tall, D., Vinner, A., Concept Image and Concept Definitionin
Mathematics with particular reference to Limits and Continuity,
Education Studies in Mathematics, 12 (1981), 159-169.
[5] Takači, Dj., Pešić, D., Tatar, J., On the continuity of functions,
International Journal of Mathematical Education in Science and
Technology, Taylor & Frencis, Vol. 37, No. 7, (15 October 2006),
[6] Takači, Dj., Pešić, D., Tatar, J., An introduction to the continuity of
functions using Scientific Workplace, The Teaching of Mathematics,
Belgrade, Vol. 6, 2 (2003), 105-112.
[7] Takači, Đ., Samardžijević M., Vizualni pristup definiciji izvoda
funkcije, Nastava matematike, LI_1-2 / 2006 str. 19-28 Beograd.
[8] Takači, Đ., Radovanović, J., The examining functions and computer,
Zbornik radova na CD, Internacionalna Konferencija nastave
matematematike, ICTM 3, 2006 Istambul.
GeoGebra in Novi Sad
Computer aided teaching of Mathematics
and the Pilot-courses in ECADL
Péter Körtesi
University of Miskolc
The massive decrease in mathematical knowledge of students entering
the higher education system has alarmed those teaching Mathematics,
and generally the decison makers in higher education. This phenomena
has been signalised for engineering education for the first time, but it
does not characterise the Engineering education only. The results of
students entering some of the Natural Science faculties of universities
were even lower in the past few years. The dramatic decline of
mathematical knowledge and skill of students entering the
universities is leading to the increasing responsibility of those
teaching mathematics. The measures undertaken by the European
universities include: the analysis and renewal of syllabus content,
the introducing collaborative learning forms to increase the
students’ participation in the teaching process, and extending the
use of computer based methods for teaching. The paper contains the
description of the pilot- course which has been offered by the author in
GeoGebra in Novi Sad
Technikum Wien and the experience of its application during the last
years in the CEEPUS Network CIII-HU-0028-05-1112 - Active Methods
in Teaching and Learning Mathematics and Informatics.
Motto: Make your life easier by letting the computer to do your
mathematical computing!
Acknowledgment. The present paper was partially supported by
the project TÁMOP 4.1.2.B-10/2/KONV-2010-0001, and the
CEEPUS grant CIII-HU-0028-05-1112-M-49520.
The Decline of Mathematical Knowledge and Skill of Engineering
There is a growing concern in the engineering communities of many
technologically advanced countries, including Australia, Sweden and the
United Kingdom, that too many graduate engineers are deficient in their
mathematical knowledge base and mathematical skills. The UK Institute
of Mathematics and its Applications issued a report in 1995 expressing
this concern. The engineers were perceived to lack the necessary
understanding of important mathematical concepts and ideas, the ability
to manipulate mathematics efficiently, and thus the facility for applying
their mathematics in the engineering context.
R. Sutherland, and S. Pozzi reporting for the Engineering Council stated
[1]: „There is unprecedented concern amongst mathematicians, scientists
and engineers in higher education about the mathematical preparedness
of new undergraduates.” This concern is almost universal around the
world. They reported that the majority of engineering lecturers surveyed
said that the mathematical knowledge of first year undergraduate
engineers is weaker and more variable nowadays than it was 10 years
ago. The situation has not changed since, but the decrease of
mathematical knowledge continued even further.
They identifed two main reasons for these changes:
- the broadening of university entrance requirements to enable students
to enter through vocational or other non traditional routes; and
- curriculum changes in the students pre-university education.
GeoGebra in Novi Sad
Our colleagues teaching in technical universities reported similar
experience in meetings held at Miskolc (2000), Göteborg (2002), Wien
(2004), and Kongsberg (2006), Loughborough (2008) or Wismar (2010)
at the SEFI MWG European Seminars on Mathematics in Engineering,
many of theese concluded in the so called SEFI-MWG Core Curriculum.
The phenomenon does not characterise the Engineering education only.
The results of students entering some of the Natural Science faculties of
universities were even lower in the past few years.
The aims of teaching mathematics
It seems that the above indicated problem, the dramatic decline of
mathematical knowledge and skill of students entering the universities is
leading to the increasing responsibility of those teaching mathematics.
This responsibility has got at least two faces.
First the need to address the recruitment problem and selecting the
students entering the university with abilities to finish their studies.
Second - and this is nonetheless important - to offer the necessary
mathematical knowledge, based on minimal background preparedness.
The section is an overview of some of the actual problems in the
teaching of Mathematics in European universities, taking into account
the experience of national and international conferences in the subject
and the SEFI Mathematics Working Group activities.
Measures undertaken by universities
European universities have not been unaware of these problems and a
range of measure have been taken to address them. These measures
1. reducing syllabus content, replacing some of the harder material with
more revision of lower level work;
2. developing additional units of study;
3. establishing mathematics support centers;
Each of these measures has its own disadvantages.
GeoGebra in Novi Sad
Reducing syllabus content may help the weaker students to pass;
however, removing more advanced material disadvantages the more able
students who become less well-prepared for the more advanced and
more analytical parts of their engineering study.
The use of additional units of study to cover basic material means that
there is no need to remove some more advanced material from the
curriculum. However, this approach has a number of practical
difficulties. Ideally the basic material should be covered before the
"standard" mathematics course is started, but there is no time for this.
Mathematics support centers are outside the formal taught course
structure. They provide students experiencing difficulties with
supplementary resources and additional tuition. However, those working
in such centers know that this approach does not reach the root of the
problem. The less well-prepared students need a systematic
programme of study in order to give them a coherent body of
mathematical knowledge rather than one riddled with gaps.
The root of the problem, and possible solutions
We may start accepting that the classical way of teaching is not enough
to face the present situation, and they must be supported by new,
different teaching methods facing the changes and expectations. The
following may remedy the present deficiencies:
- Analysis and renewal of syllabus content
- Extending the use of computer based methods for teaching
- Introducing collaborative learning forms to increase the students’ participation in the teaching process.
Renewal of the content of Mathematical teaching
This measure has constantly been on the agenda of universities as every
faculty tries to keep pace with the changing demand. This is why a final
version can hardly be found. Also the renewed syllabi are usually the
product of several people or a team of experts. In consequence to the
GeoGebra in Novi Sad
Bologna Declaration universities will necessarily introduce drastic
changes in their present day educational profile. This will also mean
significant changes in the content of the courses. In the renewal of
subjects within mathematics one of the most important step is the proper
formulation of basic concepts of mathematics. Regarding the concept of
function to be the most important in engineering training many papers
discuss the role of function in mathematics for engineering and some of
its seemingly unusual usage, e.g. the definition of sequences, vectors,
matrices and graphs. The technical examples will enable the students to
familiarize themselves both with the mathematical concepts, theorems
and their practical application.
The concept centered renewal must concentrate on the training of logical
thinking and appropriate deduction, we will argue for inductive- intuitive
teaching in this respect. A significant issue in engineering education is
articulated in the quote from Walek (former professor of the University
of Miskolc): „One never knows when some abstract theorem of
arithmetic will be introduced in technical application. This is why
students must get familiar with some special chapters of mathematics.”
Consequently we suggest the teaching of some of the abstract chapters of
mathematics, such as the concept of inverse semigroups, Hamilton
quaternions, or Eulerian paths for graphs as chapters that can be
introduced in engineering education.
Active participation of students - colaborative learning methods
The opinion of students who graduated some years ago reveal that in
their professional work they only make use of a part of their knowledge
of mathematics gained during their university education. However they
make excellent use of their logical thinking acquired by learning
It is important for the students to be able to formulate their own working
method. For this they must be provided help. Students must learn how to
study. The application of the present Leonardo project method can be
very important in their university studies together with its secondary
GeoGebra in Novi Sad
effect. The structure of the teaching process is very important as well as
a thorough knowledge of questions based on each other. Concepts must
be defined clearly as well as the clear and brief definition of theorems is
important. In order to handle the time available for teaching and for
efficiency we all try to demonstrate theorems and explain their
applicability instead of their proof. This is what is made easier by
emphasizing the aspects of the theory of Mathematics, the computerized
demonstrations, the models and the counter-examples.
It is important to find the description and discussion of technological
applications in the teaching of mathematics. It is important as well to
interpret the theoretical part and the results of the calculations. The unity
of teaching-learning, however includes the proper evaluation of the
results in addition to the practice of the calculation technique.
Nowadays the speed of the methods have become as important as
propriety. Teaching the students how to work independently would need
such software and hardware background and adequate guidance.
The contents of our Leonardo project, European Virtual Laboratory of
Mathematics [4] is meant to enhance the teaching and learning
Mathematics, and if the experience of collaborative learning and the
consultations made available in the Mathematics learning centers
designed by the project partnership, we will, probably, contribute to the
main goals of the project.
Despite the falling level of secondary teaching more and more
educational forms appear in which mathematics is given a more
dominant character. The motivation of students to study is reducing
which can be handled only by introducing newer methods. A process of
standardization has started all over the world and in Europe, which can
be seen in the CORE CURRICULUM elaborated by SEFI-MWG [5].
New trades and specializations are disappearing, while others seem to
grow out from nowhere. The systems of conditions seem to be rather
hectic. Often they get changed and modified after the phase of
introduction. Market orientation makes education vulnerable. The major
objectives of teaching of mathematics for engineering students can be
GeoGebra in Novi Sad
seen in the demands of the lecturers in engineering subjects, the postuniversity applications and the consumers demands. It is important to
select a coherent part of mathematical knowledge, which can be well
taught. It is similarly important to know a wide range of methods of
teaching and learning and to get acquainted with students. abilities, the
testing of their prior knowledge.
Computer aided teaching
Authors like Burton et al, [2], and Mason, [3] conclude that employers of
all graduates, but in particular employers of engineering graduates, are
emphasising the need for employees who have learnt how to learn, are
flexible, have good problem solving and analytical skills, and have the
ability to work as team members. New technologies are having a
significant impact but their introduction both at the workplace and in the
classroom or lecture theatre can lead to the uncritical use of tools without
accompanying changes in understanding about learning and,
consequently, teaching and assessing needs. It is important for the
students to have a thorough mathematical knowledge which enables
them to become conscious users of softwares and to properly understand
and check the results. To require the students to learn how to use
mathematical software to carry out tasks which are plainly most
efficiently done by computer (such as solving large systems of
simultaneous equations).
It is important that students do not just learn the relevant commands in
the software package available to them. They must learn to use this
packages discerningly, from a base of mathematical knowledge that will
inform them, when the computer solution may be unreliable.
Recent years have seen an increased interest in the research of computer
aided teaching. and it have been accumulated various experiences
presented in several papers. The author has come to the conclusion,
based primarily on his own experience, that the majority of teaching
methods aided by computer can be most effective in tutorial groups of
GeoGebra in Novi Sad
relatively few participants, and especially when these are conjoined with
active methods.
The author’s opinion - the product of the number of participants and the
efficiency coefficient is constant - has been proven by conclusions like:
- computer based learning and distance learning, according to experts in
the subject, is most effective when 10-15 students and their teacher are
sitting in front of the computer at the same time though fare away from
each other, thus learning together.
- the research in computer software applications has proved that it is
most efficient in the teaching of mathematics in case of smaller groups.
Description of the Pilot-course
Rationale for the course
The rapid changes in computer and information technology, the increase
of computer power available and the complexity of mathematical
software (Maple, Mathematica, MatLab, MuPad and Derive) and series
of open source or shareware software (GeoGebra, Reduce, Maxima) now
accessible to the students cannot be ignored; at the very least it demands
a radical re-think on the way in which topics in the curriculum could be
presented and does have an impact on the teaching of Mathematics in
most of European universities. There are two connected but distinct
issues related to this expansion in the availability of computer and
software, which are of considerable importance to the mathematics
curriculum. The first is that new approaches to teaching and learning are
made possible. The second is that enormously sophisticated
mathematical software is now commonly available which allows the
tackling of problems of such size and complexity that only a few years
ago have been parts of research activities.
The present course was aimed in increasing the efficiency of using
computer algebra software, by designing a 16 hours programme (10 h
lectures, 5 h practical-s, 1 h assessment, equivalent to 1.5 credits) for
introducing students in the right use of computer algebra systems,
GeoGebra in Novi Sad
examples were be given in Maple 15 and GeoGebra, and the results of
computation have been edited in Scientific Workplace.
By the end of the course the students were expected to make a short
presentation, or to edit a short paper using the scientific editors and did
obtain a certificate (ECADL – introductory level).
Learning objectives
Goals of the course included a systematic overview of computer algebra
software available to the students:
-to compare content of different packages and their applicability to their
study and real world problems.
-to require the students to learn how to use mathematical software to
carry out tasks which are plainly most efficiently done by computer
(such as dynamical visualisation of data, better understanding of basic
mathematical tools, interpretation of the results obtained in solving the
mathematical problem formulated in other subjects, solving large
systems of simultaneous equations etc.).
The edition of the scientific text was introduced using different editors as
well, examples were done in Scientific Workplace, Publicon and
Teaching Methods
Power point presentation, and practical computer algebra software
demonstration projected, some remarks and additional comments were
done on the white board. The lectures were programmed in computer
laboratory, and the students could use their own laptop.
Learning outcome
It is important that students do not just learn the relevant commands in
the software package available to them. They must learn to use this
packages discerningly, from a base of mathematical knowledge that will
inform them, when the computer solution may be unreliable.
GeoGebra in Novi Sad
During the practical hours the students were assisted in the use of the
CAS software, and to prepare some applications related to their own
study specialisation, one of the best of the applications (mini-project)
was to be handed in before the exam.
Course Contents
Introduction, definition of CAS
The main CA Systems,
Examples in Derive, GeoGebra, Maple etc.
CAS resources on the web
From real world problem to mathematical formulation
Interpretation of results, reliability of the results
Recommended Reading and Material
See [6], and
Chapters 1, 14-24 in the Student’s Guide in the European Virtual
Laboratory of Mathematics, [on line]
Chapters 1, 2, 3, 4, 10, 13,14 in the Teacher’s Guide in the European
Virtual Laboratory of Mathematics, [on line]
Assessment Methods
During the practical the students have prepared some applications related
to their own study specialisation, one of this applications (mini-project)
were handed in before the exam.
By the end of the course the students were expected to make a short
presentation of their project and will obtain credits, or a certificate
(ECADL – introductory level).
GeoGebra in Novi Sad
The course is part of the CEEEPUS Network CII-HU-0028-04-1011
Active Methods in Teaching and Learning Mathematics and Informatics
(see details on the internet page, coordinated
by the University of Miskolc, Hungary and it has been offered as part of
a series of Computer Algebra Summer universities (2003-2010) where a
number of 107 students have obtained the Computer Algebra Driving
licence – basic level, and 18 students did the intermediate level course,
and 5 the professional level. Technikum Wien is a partner university of
the above mentioned network, and using it the students can apply for
study grants in the 21 partner universities.
Some of the recommended study materials are available in more
languages beside English on the pages of the European Virtual
Laboratory of Mathematics (e.g. Hungarian, Bulgarian, Spanish or
Slovak) see:
The new software GeoGebra bexcame an integral part of the course due
to its user friendly property, many of the examples were studied parallel
in Maple and GeoGebra, comparing the way the two softvare are
tackling the mathematical problem.
Let us mention a few examples. When studying the notion of compound
functions, we studied the usual composition of the sin and its inverse, i.e
we asked Maple and GeoGebra about the functions sin(arcsin(x)), and
arcsin(sin(x)). Maple gave the professional solution we had to agree
with, while GeoGebra “answered” representing the given functions. Both
ways offered other advantages, and of course we could make the plots by
Maple as well, but the first “reaction” of the two tools was comletely
A similar example of different reactions we did remark when asking the
defini integral of the function sin(x)/x on the interval -1 to 1. GeoGebra
“refused” to compute (because of the indetermination in x=0, while
Maple “had no difficulties”, it recognised the improper integral, and
gave the correct answer.
GeoGebra in Novi Sad
Some of the Students’ feedback
„It was a very interesting course about solving Mathematical problems
with the help of tools.“
„ I really liked the ShowSolution-function to show how complicated it
actually is. Thank you for giving us the chance to get some experience in
1. Sutherland, R,; Pozzi, S.: The changing Mathematical Background of
Undergraduate Engineers, The Engineering Council, London, 1995.
2. Burton, L.; Cook, J.; Gallacher, J.; Jordison, R.; and Nickson, M.:
Access to Mathematics for Higher Education, Report of a project
sponsored by BP Glasgow. „Aiming for a College Education
Programme, Birmingham, University of Birningham, University of
Glasgow and Glasgow Polytechnic, 1992.
3. Mason. W.H.: A Complete Engineer, Prism, American Society of
Engineering Education, October, 1994/10.
4. EVLM [],
6. Computer Algebra Systems: A Practical Guide, Ed. Michael J. Wester,
Wiley and Sons, Chichester, United Kingdom, ISBN 0-471-98353-5,
xvi+436 pages, 1999).
GeoGebra in Novi Sad
Spatial orientation with GeoGebra
Vera Herceg-Mandić , Đorđe Herceg
Jovan Jovanović-Zmaj High School
Zlatne Grede 4, Novi Sad
[email protected]
Department of Mathematics and Informatics
Faculty of Science, University of Novi Sad
[email protected]
Spatial orientation is very important in today's life and business.
Although the basics of orientation are taught in elementary school, not
enough attention is given to this topic. Hence the pupils often find it
difficult to solve more complex problems which stem from real-world
situations. We developed interactive examples in GeoGebra, which
demonstrate solving of several spatial orientation problems. These
examples were tested in schools, during a larger research experiment
which was conducted during the school year 2010-2011. The examples,
as well as poll results, are presented here.
In classroom, as well as in real life, pupils are often required to
determine where they are and which direction they are facing. Finding
and determining spatial relations between locations of interest on maps is
GeoGebra in Novi Sad
equally important. Despite basic geographical orientation being taught in
lower elementary school, this topic is not examined further in higher
years and in secondary school. By our experience, pupils are proficient
in determining cardinal directions on maps which are oriented in the
usual way (i.e. north is "up" on the map). In reality, however, north is not
always "up" or directly in front of the observer. In such cases the mental
compass must be rotated in order to adjust one's reference system with
real world. Practicing this skill in classroom can be difficult, and field
work may not always be feasible. For that reason we decided to develop
interactive GeoGebra drawings and incorporate them in our classes in
order to facilitate adoption of the skill of spatial orientation for our
pupils. During the 2010-2011 school year, we taught elementary and
middle school students, as well as one group of students of geographyinformatics, using the aforementioned interactive teaching materials. A
poll was also conducted after classes. This was conducted as a part of a
larger experiment. In this paper our interactive teaching materials,
developed in GeoGebra, are presented together with the students'
opinions about our teaching methods.
The topic that this paper belong to is a wide one, and is extensively
discussed and studied from many aspects. Development of navigational
skills are examined in detail in [1]. The notion of geographic knowledge
and its changing role in the modern world is examined in [2]. Serbian
teachers and universities have also studied the use of computers in the
teaching of geography [3], [4].
The paper is organized as follows: the first section describes the problem
we address; the second section explains our interactive GeoGebra
drawings; the third section contains poll results and the conclusion.
The need for spatial orientation
In today's modern society, administration, economy, science as well as
private sector rely on educated workforce. In order to achieve high levels
of knowledge acquisition and retention during formal education,
didactical tools must be modernized and brought to level with demands
GeoGebra in Novi Sad
placed before the pupils and students. Practical application of knowledge
is strongly emphasized. In regard to spatial orientation, two problems are
most prominent: 1) geographic map reading in order to determine one's
own position as well as positions and spatial relations of other points of
interest; 2) spatial orientation in urban areas and on the road. We sought
to investigate pupil's proficiency in spatial orientation. They were
requested to solve the following problems:
1) Show cardinal directions on a map.
2) Determine directional relations of pairs of cities.
3) Find your street on the city map and express its direction in
terms of cardinal directions.
4) Rotate the city map until the observed street runs directly away
from you (i.e. is vertical on the map). Find out the cardinal
direction you are looking at.
5) If you turned left/right from the observed street, towards which
compass points you would be looking?
6) Which side of the street is lit by the Sun at noon?
7) You are driving on the Novi Sad-Belgrade highway. The Sun is
in front of you most of the time. Towards which of the two cities
are you driving?
8) You turn towards west and see a building straight ahead of you.
Show northern and southern sides of the building.
Problems 1-4 were easily solved by the majority of the pupils. However,
more than half of the pupils could not solve problems 5-8 correctly. This
GeoGebra in Novi Sad
difficulty stems from the fact that almost all textbook maps have the
usual "north up" orientation and the pupils were not prepared to rotate
the mental compass, which was necessary in order to solve problems 5-8.
Interactive teaching materials in GeoGebra
Interactive examples and exercises were developed in GeoGebra 4. They
demonstrate real-life situations and can be applied both for teaching and
individual study.
Figure 1. Motion of the Sun in the sky
GeoGebra in Novi Sad
Motion of the Sun
This GeoGebra drawing illustrates the motion of the Sun accross the sky
during a day. If the latitude, season and time are known, cardinal
directions can be deduced from the position of the Sun in the sky. By
moving a slider that controls time of day, pupils can observe the motion
of the Sun and changes in the length and direction of the shadow cast by
the observer. Our example is simplified in that the latitude of 45 degrees
north and autumn season of the year are assumed.
Orientation in an urban area
The first example shows a traveler, represented by the diamond symbol,
and her destination (a triangle) on a city map. The problem which is
posed before the pupils is the one of determining the correct azimuth on
the map, relative to the direction the traveler is facing. When the traveler
is facing north, then "left" on the map corresponds to "left" in reality.
However this is not true if she is facing some other directions. From the
pupils' perspective, south-facing traveler’s "left" is "right" on the map.
The solid-line arrow denotes the direction the traveler is facing on the
map. A smaller diamond symbol, to the right of the map, represents the
traveler’s point of view: she is always facing forward, and the direction
towards which she has to turn can be expressed as in degrees relative to
"straight ahead". Pupils are requested to guess the angle the traveler must
turn in order to be looking directly towards her destination. They control
the angle by moving the "+" symbol on the circle around the smaller
diamond symbol. Dashed-line arrow denotes the new direction. A
checkbox is provided, that shows the solution to this exercise.
This simple exercise, based on angle addition, is meant to develop the
pupils' sense of direction given as an angle relative to the direction they
are facing. This is a fundamental skill necessary for map reading.
Figure 2. Assuming the correct orientation towards the destination
The second example demonstrates correct use of a map and compass. A
traveller and her destination are shown on the map, which can be freely
GeoGebra in Novi Sad
rotated. Pupils are required to orient the map so that directions on the
map correspond to the directions on the compass. As the compass can
also be moved freely, it can be placed on the traveller, in order to
determine direction of travel (bearing) the traveller must assume in order
to reach some point of interest on the map. Spatial relations can also be
read from the compass in this way. For example: "there is a pet store to
the west of the elementary school".
GeoGebra in Novi Sad
Figure 3. Orienting a map using a compass
Celestial navigation
We have provided an example that demonstrates latitude measuring
using Polaris (the north star) as a reference. This technique only works
on the northern hemisphere and it is based on the fact that Polaris always
stays within a 1 degree of the celestial north pole. Therefore, by
measuring the angle of Polaris above the horizon, the angle of the
observer above the equator is obtained. By moving the point A around
the globe (Figure 4), the pupils can observe how the angles change.
GeoGebra in Novi Sad
Figure 4. Using Polaris to measure latitude
Measuring of Earth's circumference
The GeoGebra drawing illustrates Eratosthenes' measurement of Earth's
circumference. His calculations were based on a fact that on the summer
solstice the Sun at the zenith appears directly overhead in the city of
Syene, while at the same time in Alexandria, a vertical pole casts a
shadow at an angle. From that, and knowing the distance between the
GeoGebra in Novi Sad
two cities, he was able to calculate the circumference of the Earth with
an error margin of around 16%. The error margin may be even smaller,
depending on the exact length of the stadion Eratosthenes was using.
Figure 5. Eratosthenes' measurement of the Earth's circumference
Marking points of interest
The last example shows the rivers Danube and Tisa on the map of
Serbia. The marks "x" and "+" can be moved along the rivers, while
GeoGebra calculates and displays the distance in kilometers from the
country border to the mark. Certain points of interest are placed along
GeoGebra in Novi Sad
the rivers, and corresponding pictures are revealed when the marks are
placed near them. This interactive drawing teaches spatial relations and
distances between places on the map, measured along rivers.
Figure 6. Interactive map of the Danube and Tisa rivers in Serbia
GeoGebra in Novi Sad
Vera Herceg Mandić
I1 and I3
Did you like this
Did the class meet
your expectations?
Was your group's
Was your group's
assignment too
Were the additional
study materials
GeoGebra in Novi Sad
Was the teacher
active enough?
Should the teacher
be less active?
Did you understand
the instructions you
were given?
Was your group
leader good?
Would you use the
Internet in a class
like this one?
Grade all groups
from 1-worst to 5best
Your group
1. group
2. group
3. group
4. group
5. group
6. group
GeoGebra in Novi Sad
7. group
What did you like most in the teacher?
Најчешће је писало „то што нам помаже“.
What did you dislike most in the teacher?
Неколико замерки да наставник нема довољно времена да
Write your suggestions for improvement of t he quality of this
There were almost no answers to this question.
Poll results
The teaching materials presented in this paper were developed as a part
of a research which was conducted in 10 schools during the school year
2010-2011. The pupils were taught using these materials. Afterwards
they were asked to solve a set of problems, while working in groups.
Finally they were polled for their opinions. A representative subset of
poll results from two classes is presented above.
Spatial orientation is very important in today's life and business.
Although the basics are taught in elementary school, not enough
attention is given to this topic. Hence the pupils often find it difficult to
solve more complex problems which stem from real-world situations.
We developed interactive examples in GeoGebra, which demonstrate
solving of several spatial orientation problems using compass and map
or celestial navigation. These examples were included into our teaching.
The pupils' response was positive. GeoGebra was used both as a
platform for material development and as a presentation tool.
GeoGebra in Novi Sad
[1] Gugerty, L., Rodes, W., A Cognitive Model of Strategies for Cardinal
Direction Judgments, Spatial cognition and computation, 7(2), 179-212,
[2] Golledge, R., G., The Nature of Geographic Knowledge, Presidential
Address, University of California, Santa Barbara, 2002.
[3] Đukić, М.: Didaktičke inovacije kao izazov i izbor, Novi Sad: Savez
pedagoških društava Vojvodine, 2003.
[4] Ivkov-Džigurski, A., Ivanović, Lj., Pašić, M.: Mogućnosti primene
računara u modernoj nastavi geografije. Glasnik Srpskog geografskog
društva, LXXXIX, pp. 139-152, 2009
GeoGebra in Novi Sad
On the role of GeoGebra in examining
Djurdjica Takači , Ruzica Vukobratović
Department of Mathematics and Informatics
Faculty of Science, University of Novi Sad
Grammar School Isidora Sekulić, Novi Sad
In this paper the package GeoGebra, is used for the visualization of the
properties of functions, based on the different algebraic transformations
of functions. The connections between the different expressions of
functions, as numerical and graphical, are pointed out.
The most important role of computers in mathematical education is the
visualization of functions. The last version of the package Geogebra,
enables besides excellent graphical and dynamical properties, very good
numerical calculations, and the connections between the graph of
function and the properties of function, as the most important didactical
The student are working on examining the properties of function,
through their whole secondary school education, and they always have
GeoGebra in Novi Sad
problems with understanding such contents, in particular to connect the
properties of functions with their graphical representations. In the papers
[2], [3], [4], [5], and [6] the students problems with examining functions
and computer role, are considered and in the book [1] the procedure of
the analysis of function without computer is presented.
The dynamic properties combined with numerical and graphical ones in
package GeoGebra contributes in teaching and learning process.
In this paper we analyzed the properties of functions, and their algebraic
transformations, by using the package GeoGebra 4, in which for the first
time the CAS and dynamic geometry is connected. The accent on our
considerations are polynomials, because they have best software support.
Also, in the last example we show the possibility of package GeoGebra ,
to determine the locus of points, by using the combinations of its
graphical and dynamical properties (also applied to the polynomials).
On the visualization of the quadratic function with GeoGebra
The quadratic function can be visualized by using parameters and
sliders, but in this part we start from the common function f ( x ) = x .
Then we considered the following functions:
g (x ) = ( x − k ) 2 , h( x ) = x 2 − k 2 , p (x ) = kx 2 , q (x ) = (kx) 2 ,
representing different addition and multiplication of variable
x, and the
parameter k , expressed with the corresponding slider in package
The graphs and the analytical expressions of the functions, f , g , h, p,
q, are given on same Figure 1. In order to differ their graphs, the
different styles, as line, dash, dots, and different colors are used.
The excellent combination of dynamical, graphical and numerical
properties of package GeoGebra is used for the examining
corresponding functions.
GeoGebra in Novi Sad
By using the slider k , and changing parameter k , in the analytic
expressions of functions one can follow the change of the properties of
parabolas and the properties of functions.
The properties these four functions for the same value k , can be
compared looking on their graphs, in Graphics view, and the
corresponding numerical expressions in Algebra view, simultaneously,
and the difference between them can be pointed out.
Figure 5
For example, in Figure 2. the following properties of given functions are
examined by using the package GeoGebra.
GeoGebra in Novi Sad
g , p, and g , are determined (the
points A, B, C , D, corresponds to the zeroes of f , g , p ).
• Extremes are determined (the point E , corresponds to the
minimum of p ).
The roots of polynomials f ,
Further, the monotonicity of functions can be examined, considering
their extremes, analytically and graphically. Let us remark that, in Figure
2, besides the Algebra and Graphic view, the input help is also shown,
helping in examining functions.
Figure 6
In the further analysis, with the students, one can consider different,
similar, algebraic transformations and absolute values of the same or
different functions.
GeoGebra in Novi Sad
On the visualization of the polynomial function with GeoGebra
Let us consider the polynomial
f ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx + d ,
where the coefficients a, b, c, d , e are given by corresponding sliders,
in Figure 3.
Figure 3
The points A, B, C , D, are obtained as the “Roots of
points E , F , G , are obtained as the “Extremum of
g. ”
g , ” while the
GeoGebra in Novi Sad
The coefficient of the given polynomial can be changed with the
moving of corresponding sliders, and the upper mentioned properties of
functions can be examined and followed in Algebraic and Graphic view
simultaneously in GeoGebra. In Figure 3 one can visually conclude
about the dependence of other properties of the given polynomial, as
domain, motonotonicity, on the coefficients.
The locus of points in GeoGebra
In the following example the dynamic propery of GeoGebra is used for
obtaining the locus of points satisfying certain properties. Namely, it is
known that the students have problems with such kind of examples,
because they cannot imagine what they are asking for. We can formulate
the example as follows.
Example: The function f ( x) = x 2 + ax + 1, is given. Determine
the function ordered with the minimum of f , for a ∈ R.
This example is often formulate, geometrically, as:
Determine the locus of the minimum points of parabola given by
the function f .
In Figure 4, the graph of the function f ( x) = x 2 + ax + 1, is drawn,
by using the parameter a , determined by slider. Then by using
Input “Extremum”, in GeoGebra, the point A is determined and its
trace is included.
By changing the slider a , it can be seen that the point A “moves”
along the parabola, also.
In this example, it is shown, graphically, only in Graphics view, that the
graph of given function, parabola is drawn with line, while minimum
of parabola, i.e., the point A , determined another parabola drawn
by points.
It can be easily shown this “new” parabola is the graph of function
g ( x) = x 2 − 1.
GeoGebra in Novi Sad
Figure 4
Further let us remark that the considered example can be given in the
Show that locus of the minimum points of parabola given by the
function f , is parabola, the graph of function f ( x) = x 2 − 1.
In this case as in the paper “On the role of GeoGebra in the proof of
theorems“ in this journal, the package Geogebra can be used in the
proof theorems or statements.
GeoGebra in Novi Sad
[1] Schmeelk, J., Takači, Dj., Takači, A., Elementary Analysis
through Examples and Exercises, Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht/Boston/London, 1995.
[2] Elia, Ij, Panaoura, A , Eracleus, A.(2007) Relations between
secondary pupils’ conceptions about functions and problems
solving in different representations International Journal of
Science and Mathematics Education
[3] Gagatsis, A. & Shiakalli, M. (2004). Ability to translate from
one representation of the concept of function to another and
mathematical problem solving. Educational Psychology, 24(5),
[4] Taylor, R (1980) The Computer in the School - Tutor, Tool,
Tutee. New York: Teachers College Press 215-230.
[5] Vukobratović, R. (2009.). Interpretacija matematičkih sadržaja
i njihov ishod. Novi Sad. Pedagoška stvarnost (7-8)
[6] Vukobratović, R. (2010.) Od uvođenja pojma funkcije do
njenog formiranja, Novi Sad
GeoGebra in Novi Sad
Polynomial approximation in GeoGebra
Zlatko Udovičić
Faculty of Sciences, Department of Mathematics
Bosnia and Herzegovina
Abstract:One of the unavoidable topics in standard courses of
numerical mathematics is an approximation theory. Therein, as a rule,
the focus is on polynomial approximation.
Very simple, but at the same time very power tool for visualization of the
process of polynomial approximation is dynamical mathematical
software GeoGebra. By using just a couple of GeoGebra commands we
developed two GeoGebra applets for construction the polynomial
approximation of the given function.
1 Introduction
Let N , ⋅
) be linear normed space and let
X be its finite dimensional
subspace. We say that f ∈ X is the element of the best approximation
for f ∈ N if
f − f = inf f − Φ
It can be proved (see for example [1]) that in finite dimensional linear
normed space the element of the best approximation always exists, but it
doesn’t have to be unique. If the space N is strictly normed, i.e. if
GeoGebra in Novi Sad
(∀x, y ∈ N ) x + y
= x + y ⇒ y = αx for some positive scalar α ,
than the element of the best approximation is unique. Determination of
the element of the best approximation in linear normed space can be very
difficult and it depends on concrete situation.
However, determination of the element of the best approximation in
Hilbert spaces is much more simpler. Hence, let H be Hilbert space,
with norm induced by the corresponding scalar product, x =
e1 , e2 ,K, en ∈ H be linearly independent vectors and let the subspace
be generated by the vectors e1 , e2 ,K, en , i.e. let
X = L(e1 , e2 ,K, en ) . In accordance with the previous, for any f ∈ H
the element of the best approximation exists and since each Hilbert space
is strictly normed, this element is unique. Central role in the process of
determination of the element of the best approximation in Hilbert space
plays the following
Theorem 1 Let H be a Hilbert space embedded with scalar product
(⋅,⋅) , let the vectos e1 , e2 ,K, en ∈ H be linearly independent and let
X = L(e1 , e2 ,K, en ) . Element f ∈ X is the element of the best
approximation for f ∈ H if and only if the difference f − f is
orthogonal on the subspace X , i.e. if and only if
(∀x ∈ X ) f − ~f , x = 0
Geometric interpretation of this theorem, in the case of two dimensional
Euclidian space, is given on the figure.
GeoGebra in Novi Sad
Since f ∈ X , we have that
f = ∑ α i ei .
i =1
So, the problem of determination of the element of the best
approximation reduces to the problem of determination of the
coefficients α i ,1 ≤ i ≤ n . From the previous theorem follows that
(∀j ∈ {1,2,K n})( ~f − f , e j ) = 0
which gives the system of linear equations
∑ α (e , e ) = ( f , e ),1 ≤
i =1
j ≤ n.
Aimed coefficients are the solution of this system.
GeoGebra in Novi Sad
Error of approximation (in percents) is given by
100 ⋅
f −f
where the norm is induced by the corresponding scalar product.
1.1 The space L2 (a, b )
Let H = L2 (a, b ) embedded with usual scalar product
( f , g ) = ∫ f (x )g (x )dx
and let X = Π n be the subspace of all algebraic
polynomials of degree not greater than n . In this case the element of the
best approximation is called polynomial of the mean square
approximation. Hence, for f (⋅) ∈ L2 (a, b ) we have f ( x ) =
∑α x
i =1
Coefficients of the polynomial f (⋅) are solution of the system of linear
equations (1) which in this case becomes
∑α i
i =0
b i + j +1 − a i + j +1
= ∫ f ( x )x j dx,0 ≤ j ≤ n
i + j +1
1.2 The space of functions given on the discrete set of data
Let ∆ = {− ∞ < a = x0 < x1 < K < x n = b < ∞} be a given partition of
the interval [a, b] , let H be a space of all real functions defined at the
points of the partition ∆ , let for f (⋅), g (⋅) ∈ H scalar product be defined
GeoGebra in Novi Sad
( f , g ) = ∑ f (x k )g (x k )
k =1
and let, as like as in the previous case, X be the subspace of all
algebraic polynomials of degree not greater than n (in this space any
two functions which coincidence at the points of partition ∆ are equal,
while the zero in this space is any function whose set of zeroes includes
the points of the partition ∆ ). For f (⋅) ∈ H the element of the best
approximation has the same form as in the previous case, i.e.
f ( x ) = ∑ α i x i . Again, coefficients of the polynomial f (⋅) are
i =1
solution of the system of linear equations (1), which in this case becomes
i =0
k =1
k =1
∑ α i ∑ xki + j = ∑ f (xk )xkj ,0 ≤ j ≤ n .
It is usual to say that f (⋅) is the polynomial of the least square
2 Applet MeanSquareApproximation.ggb
Input objects in this applet are:
1. mF(x) - function to be approximated;
2. mDeg - degree of approximating polynomial;
3. mLeft - left side of the interval of approximation;
4. mRight - right side of the interval of approximation.
Objects mDeg, mLeft and mRight are given as sliders which enables
visualization of the approximating process. Slider mDeg is supposed to
vary between 0 and 10 with step size one, while the sliders mLeft and
mRight are supposed to vary between −5 and 5 with step size 0.25. It is
GeoGebra in Novi Sad
very easy for slightly experienced GeoGebra users to change those
The following objects were constructed in applet:
• mA - matrix of the system of linear equations (3);
mb - right hand side of the system of linear equations (3);
mCoefficients - coefficients of the approximating
polynomial, i.e. the solution of the system of linear equations (3);
mApprox - approximating polynomial;
mPE - error of approximation (2), given in percents;
mL - line x=mLeft;
mR - line x=mRight.
All those objects, except approximating polynomial mApprox, are set to
be auxiliary. Users which are interested in numerical calculations can
show them by including corresponding option.
The function which is approximated in applet is
 x 2 − 3x + 2 
x + 1 
By moving sliders mDeg, mLeft and mRight one can see the
changes of the approximation error. It is interesting to note that in this
example the error of approximation does not have to be smaller if
interval of approximation is smaller. Note also that, in the case
mLeft≤−1, approximating polynomial is not defined. We also
recommend to experiment with some other interesting examples (but not
just them):
• (x-1)*(x-2)*exp(x);
GeoGebra in Novi Sad
2.1 Applet LeastSquareApproximation.ggb
Input objects in this applet are:
• mInput - sequence of points, i.e. values of the function to be
mDeg - degree of approximating polynomial.
Object mDeg is given as a slider and supposed to vary between 0 and 10
with step size one (it is easy to change this settings).
The following objects were constructed:
• mData - sorted (by the first coordinate) sequence mInput;
mA - matrix of the system of linear equations (4);
mb - right hand side of the system of linear equations (4);
mCoefficients - coefficients of the approximating
polynomial, i.e. the solution of the system of linear equations (4);
mApprox - approximating polynomial;
mPE - error of approximation (2), given in percents;
All constructed objects, except approximating polynomial mApprox,
are set to be auxiliary and users which are interested in numerical
calculations can show them by including corresponding option.
Moving slider mDeg enables one to follow the changes of the
approximation error.
This applet, in some sense, generalizes two GeoGebra commands
FitPoly and FitLine. Namely, the same approximation as
mApproximation will be obtained by using the command
FitPoly[mInput,mDeg], while mApproximation, in the case
mDeg=1, coincidences with the line FitLine[mInput]. But this
applet has some important improvements of the mentioned commands.
GeoGebra in Novi Sad
The first one is that it calculates the error of approximation, while the
second one is that approximating polynomial exists even in the case
when mDeg is greater or equal to the length of sequence mInput (this
does not happen with FitPoly command).
It also should be noted that in some cases, when the number of input data
ir relatively large, due to numerical instability different results (between
constructed and built in approximation) could be obtained. Finally, let us
mention that in the case when mDeg is less by one, than the length of
sequence mInput, approximating polynomial becomes interpolating
Described applets can be ordered (for free) directly by the author.
[1] Mastroianni, G., Milovanović, G., Interpolation processes basic
theory and applications, Springer Berlin Heidelberg, 2009.
GeoGebra in Novi Sad
Rihterova skala kao logaritamski model u
Natalija Budinski
Osnovna i srednja škola sa domom učenika “Petro Kuzmjak”, Ruski
Krstur, Srbija
Rezime: Rad opisuje primenu GeoGebre za eksperimentisanje,
vizuelizaciju i povezivanje matematičkog znanja. GeoGebra omogućava
da se u nastavi matematike jednostavno modelira i istražuje. U radu je
prikazan logaritamski model Rihterove skale za određivanje magnitude
zemljotresa. Ovim modelom i jednostavnim modeliranjem se uz pomoć
GeoGebre ilustruje primena logaritama u realnim situacijama.
Ključne reči: GeoGebra, modeliranje, logaritam, Rihterova skala
U tradicionalnoj nastavi matematike pojmovi vezani za funkcije se
obrađuju preko definicija i teorema i većina vremena se odvaja za
usvajanje i analizu osobina funkcija. Ostaje veoma malo vremena da bi
se na časovima matematike ilustrovala njihova primena i veza sa realnim
životom. Upotrebom GeoGebre, učenici sa nastavnicima mogu dublje da
istražuju razne matematičke pojmove. Computer Algebra Sistem-i ili
GeoGebra in Novi Sad
CAS kao što je edukativni paket GeoGebra omogućava da se nastavni
process fokusira na modeliranje i primenu matematike dok su
komplikovana izračunavanja “ostavljena” GeoGebri. Pre upotrebe
računara i edukativnog softvera, neophodno je da učenici razumeju
osnovne definicije koje će koristiti kao ugrađene funkcije u GeoGebri.
Prilikom upotrebe GeoGebre učenici koji nisu savladali određene
matematičke pojmove imaju priliku da razjasne sebi pojmove koji su im
predstavljali problem.
GeoGebra u nastavi matematike
U ovom radu predtavljena je upotreba logaritama u realnim situacijama.
Za ilustrovanje primene logaritama sugeriše se GeoGebra radi lakše
vizuelizacije, mogućnosti eksperimentisanja i provere rezultata. Predlaže
se upotreba GeoGebra u računskim operacijama kao i u grafičkom
prikazivanju podataka i funkcija.
Za uspešnu primenu računara na času matematike osim specifičnog
metodičko-didaktičkog pristupa, neophodna je i tehnička opremljenost i
poznavanje softvera od strane nastavnika i učenika. GeoGebra je jedan
od vodećih softverskih edukativnih paketa koji je naišao na veliku
prihvaćenost od strane nastavnika matematike ali i drugih prirodnih
nauka. To je posledica toga da je to edukativni softver koji je veoma
intuitivan i jednostavan za upotrebu. GeoGebra pruža dobre vizuelne
prezentacije matematičkih pojmova, što motiviše učenike da istražuju a
časove matematike čini interesantnijim i dinamičnijim (Hohenwarter,
Hohenwarter, Kreis i Lavicza, 2008).
GeoGebra kao matematički edukativni softver spaja geometriju i
algebru, kao višu matematiku (kalkulus). Postoji veliki broj materijala
koji mogu da pomognu u pripremanju časova sa GeoGebrom. Oni se
mogu naći na sledećim internet adresama: ili
GeoGebra in Novi Sad
Modeliranje u nastavi matematike
Upotreba računara u nastavi matematike, kao što je već naglašeno,
zahteva i nove metodičko-didaktičke pristupe. Savremeni trendovi u
nastavi matematike stavljaju akcenat na rešavanje matematičkih
problema preko modela iz realnog života (Stilman i Galbraith, 2003). Na
taj način matematika postaje sredstvo da se naprave proračuni i predvide
mogući ishodi realnih situacija. Matematički pojmovi se uče aktivnom
komunikacijom učenika i nastavnika ali i samih učenika međusobom. Na
taj način se matematike predstavlja u novom svetlu kao primenjiva i
korisna disciplina. Uključivanje računara u nastavu matematike stimuliše
učenike a sam proces modeliranja čini efikasnijim i bržim. Učenici se
fokusiraju na problem i na njegovo rešenje a GeoGebru koriste za
analizu uslova problema.
Ističu se sedam faza kroz koje treba provesti učenike da bi modeliranjem
na času matematike stigli od realne situacije do njenog rešenja (Blum,
Galbraith, Niss i Henn, 2007). Prva faza u modeliranju je izlaganje teme
gde nastavnik daje kratka pojašnjenja o temi na koju se odnosi
modeliranje. Odabrana tema treba da je povezana sa svakodnevnim
životom učenika. Druga faza u modeliranju je problem iz realnog života
koji se formuliše kasnije kao matematički problem. Natavnik u ovom
delu treba da usmeri učenike na matematičke pojmove koje su
predhodno radili a koje će koristiti u procesu modeliranja. U ovom delu
treba da se povežu predhodno naučeni pojmovi sa problemom iz realnog
života. U trećoj fazi modeliranja nastaje matematički model koji se
rešava u četvrtoj fazi modeliranja. Peta faza modeliranja podrazumeva
matematičko rešenje. Kada se problem formuliše, potrebno je da učenici
razrade model koji će biti po mogućstvu širi i opštiji. Radi lakšeg rešenja
problema učenicima treba sugerisati da koriste računar. Provera,
poređenje, procena i kritička analiza rezultata je šesta faza modeliranja.
GeoGebra in Novi Sad
U ovoj fazi učenici prolaze kroz revidiranje, popravku modela ili
njegovo prihvaćanje. Rezultat sedme faze modeliranja je izveštaj u
slučaju da je model bio prihvaćen. U ovom delu dobro je insistirati na
tome da učenici prezentuju svoje rezultate a u cilju dubljeg razumevanja
dobijenih rezultata. Učenicima se na taj način omogućava da razviju
svoje kreativne potencijale i da razmišljaju kritički i nezavisno.
Učenici često postavljaju pitanje: “Zašto ovo učimo, gde nam to treba?”,
jer apstraktna i šablonska izračunavanja ne uveravaju savremenog
učenika u neophodnost i primenjivost matematike. Prednost primene
modeliranja u nastavi matematike je u tome što se teorijsko znanje
povezuje sa realnim kontekstom a to omogućava njegovo bolje usvajanje
i razumevanje. U prilog tome ide i povezivanje matematike sa drugim
naučnim disciplinama kao i primena matematike u svakodnevnim
Logaritam i model iz realnog života
Uvođenje logaritama u 17. veku je bio veliki naučni doprinos jer je
logaritmima moguće izvoditi operacije sa velikim brojevima. Ono što
učenici znaju o logaritmima, pored njihove definicije su i svojstva
Logaritam se definiše kao y = log b x ako i samo ako je
by = x
logaritamska funkcija kao
f ( x ) = log b x , gde je b > 0 i b ≠ 1 .
Svojstva logaritama koja su poznata učenicima i koja se najćešće
dokazuju na časovima su sledeća:
log b 1 = 0 , log b b = 1 , log b b x = x i b log b x = x
log( x ⋅ w) = log x + log w
x, w > 0
GeoGebra in Novi Sad
log  = log x − log w
 w
log b x r = r log b x
x, w > 0
Da bi se učenicima približila upotreba logaritama u realnim situacijama
u ovom radu je prikazana upotreba logaritama i logaritamske skale u
realnoj sitaciji kao što je merenje jačine zemljotresa.
Logaritmima se uglavnom modeliraju realne situacije u kojima se nagli
rast usporava ali ne i ograničava.
Primer gotovog logaritamskog modela je magnituda zemljotresa koja se
meri Rihterovom skalom. Magnituda zemljotresa se računa pomoću
 x
M ( x) = log
 x0
gde se sa x predstavlja jačinu zemljotresa (mereno prema amplitudi
seizmičkih aparata na udaljenosti 100 kilometara od epicentra
zemljotresa) a x0 je jačina “standardnog zemljotresa”, čija je amplituda 1
To znači da 100km udaljen zemljotres sa amplitudom od 1mm ima
magnitude 3, jer zamenom vrednosti x=1mm=0.1cm u (1) dobijamo da
 0,1 
M ( x) = log
 0,0001 
Iz realne situacije zemljotresa formuliše se realni problem vezan za neki
određeni zemljotres.
Realni problem koji se može postaviti učenicima je na primer:
“Kolika je bila amplituda merena na 100km udaljenosti od epicentra
zemljotresa u Japanu ako je njegova magnituda bila 8.9?”
Rešenje se može jednostavno prikazati u GeoGebri (Slika 1).
GeoGebra in Novi Sad
Postupak kojim učenici dolaze do rešenja je veoma jednostavan. Unese
se funkcija (1) a zatim se unese konkretna vrednost za zemljotres u
Japanu kao konstatna funkcija
Opcijom Presek dva objekta i obeležavanjem (1) i (3) dobijamo tačku
A, čija prva koordinata predstavlja amplitudu zemljotresa u Japanu. Na
ovom modelu takođe, moguće je proveriti i ispravnost (2). Unosom
kontstantne funkcije
i opcijom Presek dva objekta dobijamo koordinate tačke B.
Slika 1 Amplituda zemljotresa u Japanu merena na 100km udaljenosti
od epicentra
GeoGebra in Novi Sad
Druga koordinata predstavlja magnitudu zemljostresa amplitude 0.1 i
iznosi 3.Takođe, problem se može uopštiti tako što će se napraviti model
koji će izračunavati amlitudu zemljotresa bilo koje jačine. Model je
ustvari poboljšanje modela sa Slike 1 i prikazan je na Slici 3. Poboljšanje
ovog modela u odnosu na predhodni (Slika 1) se sastoji u tome da se
pomoću opcije Klizač unese vrednost za moguću magnitudu zemljotresa
(Slika 2). Interval u kom se nalazi magnituda je od 1 do 10 sa koracima
Slika 2 Klizač “magnituda”
Presek grafika funkcije definisane uz pomoć klizača označenog sa
“magnituda” i funkcije (1) daje tačku čija je prva koordinata vrednost
amplitude (Slika 3).
GeoGebra in Novi Sad
Slika 3 GeoGebra model za izračunavanje amplitude bilo kog
Učenici modeliranjem otkrivaju smisao i vezu između apstraktnih
matematičkih pojmova i njihovu primenu u realnom kontekstu. Do tog
saznanja oni dolaze otkrivanjem i povezivanjem a uz pomoć nastavnika.
Matematičko modeliranje u nastavi matematike je veoma korisno iz
razloga što se u sam proces mogu uključiti i spojiti učenici sa slabijim
predznanjem i interesovanjem za matematiku kao i nadareni učenici koji
mogu iskazati svoj potencijal. Prikazani modeli su veoma jednostavni i
mogu se napraviti i sa učenicima nižeg nivoa znanja radi motivacije za
dalje proučavanje logaritama i njihovih osobina. GeoGebra je u tom
postupku veoma koristan alat, jer se brzo i efikasno, kao i estetski i
vizuelno mogu ilustrovati složeni matematički pojmovi. Prikazivanjem
jednostavnih primera podstiče se učenje razumevanjem što predstavlja
odličan temelj za proučavanje složenih matematičkih ideja.
GeoGebra in Novi Sad
Blum W., Galbraith P., Henn H. W., & Niss M. (eds), (2007). Modeling
and applications in Mathematics Education. New York: Springer.
Hohenwarter M., Hohenwarter J., Kreis Y., i Lavicza Z. (2008).
Teaching and Learning Calculus with Free Dynamic Mathematics
Software GeoGebra. Research and development in the teaching and
learning of calculus, ICME 11, Monterrey, Mexico.
Hohenwarter M., Hohenwarter J., Kreis Y., I Lavicza Z. (2008).
Introducing Dynamic Mathematics Software to Secondary School
Teachers: The Case of GeoGebra. Journal of Computers in Mathematics
and Science Teaching, 28(2), 135-146.
Mason, J. (2001). Modelling modelling: Where is the centre of gravity
of-for-when teaching modelling?, In J.Matos, W. Blum,K. Houston, i S.
Carreira (eds), Modelling and mathematics education. Chichester, UK:
Stillman, G., i Brown, J. (2007). Challenges in formulating an extended
modelling task at Year 9, In H. Reeves, K. Milton, & T. Spencer (Eds.),
Proc. 21. Conf. Austr. Assoc. Math. Teachers. Adelaide: AAMT.
Stillman, G., I Galbraith, P. (2003). Towards constructing a measure of
the complexity of applications tasks. In S.J. Lamon, W. A. Parker, & S.
K. Houston (eds), Mathematical modelling: A way of life (pp. 317-327).
Chichester, UK: Horwood.
Tall D. (2003). Advanced Mathematical Thinking, Mathematics
Education Library, Kluwer Academic Publisher, New York, Boston,
Dordrecht, London, Moscow.
Tall, D. (1991). Recent Developments in the Use of Computer to
Visualize and Symbolize Calculus Concepts. The Laboratory Approach
to Teaching Calculus, M.A.A. Notes, 20, 15-25.
GeoGebra in Novi Sad
The Right Way to Look at a Complicated
Albena Vassileva
Institute of Mathematics and Informatics,
Bulgarian Academy of Sciences
“There is no problem so complicated that you can't find a very simple
answer to it if you look at it right”, says Douglas Adams in his book The
Salmon of Doubt, and continues: “…or put it another way, “The future
of computer power is in pure simplicity”. Further we will use more
quoted and hidden references to some works of fiction and we hope this
would be a nice side effect to this article whose aim is to represent a
method of solving some classic problems with the help of a dynamic
computer geometry environment. The title was born in the process of
assimilating such concepts as inquiry-based education and problem
situation, the leading idea of the European project Fibonacci [1, 2].
Probably every math teacher at some point had to answer the question of
why do we have to study math or why do we have to study one or
another mathematical fact. For the ones yielded to math temptation such
a question is ridiculous and yet for many students struggling with what
seems to be strange concepts, monotonous and meaningless exercises,
the answer is not quite apparent. We offer you an opportunity to prove
them wrong and to show them that mathematics was not invented to fill
up the curriculum but was a result of people’s necessity to find solutions
of actual problems.
GeoGebra in Novi Sad
The Pole - Corner Problem – first version
We first came upon the problem to be discussed here as an illustration of
the inquiry-based approach in math education years ago when we were
looking for appropriate problems to be solved with graphing calculators
[3]. The original problem reads as follows:
A ten-foot-wide hallway meets a five-foot-wide hallway in the corner of a
building. Find the maximum length pole that can be moved around the
corner without tilting the pole.
The authors of the guidebook of the graphing calculators propose a
solution of this problem in the algebra environment of the calculator, by
introducing an analytical expression for the pole length derived with the
help of an illustrative drawing created in the graphic environment of the
calculator [4]. The idea behind this is that the maximum length of the
pole will be the shortest pole whose ends touch the interior corner and
the opposite walls of the two hallways. We will open a parenthesis here:
if we want to apply the inquiry-based approach, it would not be difficult
to recreate this situation virtually in order to come to the above
conclusion. When we say virtually, we do not mean students carrying
around poles in the school hallways but students making a model of the
situation and experimenting, for example with a box and pencils of
various lengths. Parenthesis closed.
Here is the drawing created in the calculator’s graphing environment
(fig. 1). For the sake of generalization, the widths of the hallways are
taken as a and b:
The segment АВ represents the pole whose length we are searching for.
From the drawing we could calculate the length of the pole AB as
follows: AC = b + x , where x = AM , OM ⊥ AC . From the congruence
a (b + x )
⇒ BC =
of the triangles ВСА and ОМА we have
From the Pythagorean theorem for the right triangle АВС we express
AB =
AC 2 + BC 2 and by replacing the segments АС and ВС, we get:
GeoGebra in Novi Sad
AB =
a2 
x2 
Figure 1
Nothing too complicated so far, but the problem is still not solved. We
actually have to find the minimum value of this expression when x
changes, for fixed numbers a, b > 0 . The differentiation of this
expression (or its exploration in any other way), in order to find the
minimum value, is quite a tricky task even when a and b are not
parameters but specific numbers. That is why the authors of the
guidebook use the algebraic environment of the calculator to find the
zeroes of the first derivative and the minimum length of the pole with
certain accuracy. Of course, this is not wrong or bad if the purpose is to
study concepts as extremum, derivative, zeroes of a derivative,
dependence between derivative zeroes and extrema. However, there will
be some students who will doubt if they really have to differentiate and
solve complex equations in order to carry out poles around corners.
Even if we, for some reason, prefer the algebraic approach, it would be
more natural to visualize the solution through the graph of the function
a2 
 for certain values of the parameters а and b and
x2 
for x > 0 (x is the length of the segment АМ), and to find the minimum
GeoGebra in Novi Sad
using the graph. In GeoGebra this could be done by entering the
following expression in the command line:
y=Function[sqrt((1 + x)² (1 + 1 / x²)), 0, 10]
We have to use the command Function in order to restrict the argument x
of the function in the interval ( 0,+∞ ) . In fact, we let x change from 0 to
10 as this turns out to be sufficient to “fill out” the visual part of the
In Search of a Motivating Formulation of the Problem
Our goal back then was to introduce the calculator graphing environment
to the students as a powerful exploration tool and it was natural that we
came to the idea to solve this problem graphically. Then again Douglas
Adams came to help with his novel Dirk Gently’s Holistic Detective
Agency mentioning a sofa stuck into a hallway and the vain efforts of a
genius programmer to understand how in the first place it got there. We
found the following remarkable quote:
„Odd,“ agreed Reg. „I've certainly never come across any irreversible
mathematics involving sofas. Could be a new field. Have you spoken to
any spatial geometricians?”
“I did better than that. I called in a neighbour's kid who used to be able
to solve Rubik's cube in seventeen seconds. He sat on a step and stared
at it for over an hour before pronouncing it irrevocably stuck." [6].
Now it is much easier to reformulate our problem so as to describe a real
situation: everyone at some point has bought or will buy a sofa and had
to carry it or will have to carry it around hallways. Here is the new
formulation of the problem:
A nice but yet extremely heavy sofa has to be moved around a rightangled corner where two hallways meet. The sofa is 2&nbsp;m long and
80 cm wide. The hallways are 1 m wide. Will two lazy movers agree to
move the sofa? (They would agree if they do not have to lift or tilt the
The Pole – Corner Problem – second version
First, let us explore the problem a little. In fact, we have to decide
whether this 2-meter long sofa will be able to pass along the hallways
without getting stuck. Taking into that this problem is not very trivial, let
simplify it by considering first a simpler and already known case – the
case with the pole. We would like to create the following model of the
hallways (fig. 2):
Figure 2
The construction of a dynamic drawing to be used to solve graphically
this problem is not difficult for those familiar with the basic tools of
GeoGebra. We will outline the construction process and will consider in
more details only some technical issues.
From an arbitrary point С, which will be our “external” angle, we
construct a ray. We construct a line through C perpendicular to the ray.
We select a point on this line and construct another ray starting at C and
passing through the selected point, and finally we hide the line. Point О
representing the “inner” angle of the hallway is located at a distance of
1 m from the two rays (the external walls of the hallway). Of course, we
use the measuring units of GeoGebra, not meters. We find point O as
follows (fig. 3):
Figure 3
We construct a circle with center С and radius 1, using the tool Circle
with Center and Radius
. We use Intersect Two Objects
find the intersection points of this circle and the two perpendicular rays.
These are the points D and E in the figure, which in the language of
GeoGebra are dependent objects, i.e. they depend on other objects (in
this case, the circle and the perpendicular rays). In the same way we
construct two circles with centers D and E and radii 1 and we find their
intersection. It consists of two points – О and G, which coincides with С,
but we are interested only on point О. The figure ODGE is a square (you
GeoGebra in Novi Sad
could ask the students why). Again, we hide the unnecessary objects –
the auxiliary circles and the points D, E and G. We construct two lines
through О, parallel to the rays (
), we select one arbitrary point on
each line, hide the lines and construct a new pair of rays from О through
these two points. Finally, we will hide the auxiliary points.
Figure 4
Now we have to make a model of the pole whose length we are looking
for. Its ends have to lie on the rays starting from С and the pole has to
pass through the point О. We construct an arbitrary point В on the first
ray (
) and then a line through В and О (
). We find the
intersection point А of this line and the other ray starting from С (
GeoGebra in Novi Sad
Figure 5
We hide the line (
) and finally construct the segment ВА. It should
be pointed out that with this construction it is certain that the segment ВА
passes through the point О (fig. 4). We remind you that the names
GeoGebra gives automatically to new objects can be changed right at the
time of constructing such objects by using the keyboard or later, for
example from the menu Edit > Object Properties....
GeoGebra in Novi Sad
When we move point В on the ray it lies on (remember how we
constructed this point and that it is dependent on the ray), point А will
move along the other ray starting from С, and the pole will touch the
“corner” О. For the sake of convenience, we have shown the pole length
in the graphic view through the tool Insert Text
When we move point В, the length of the segment ВА changes and this
change can be observed. From a practical point of view, it is not
necessary to have accuracy greater than two digits after the decimal
point. Once we move point В several times back and forth along the ray,
we notice that if we start the movement from the “far right” position on
the screen and move point В towards С, the pole length gradually
decreases, then reaches its minimum and then starts increasing. Fig. 5
shows several positions of the pole and the second one displays the
minimum length of 2.83 m.
A New Version – the Pole Becomes a Sofa
Now it should be clear how to proceed and we will get back to our
problem and think about what to do so as to turn the pole into a sofa.
Obviously, we will need a line parallel to the segment АВ and at a
distance from it, equal to the sofa width (in this case this distance is 0.8).
Moreover, this line has to be “below” the segment АВ, i.e. in the semiplane containing the point C. Then we will need the intersection points
of this line and the two perpendicular rays starting from the point С.
Before we move on, we should remind that in order to prepare the
ground for exploration in a geometric dynamic configuration, it would
be a good idea to use parameters (sliders) when constructing objects with
variable values. Therefore, in our new drawing we will foresightedly
represent the hallway widths with sliders to obtain a model that will
work for all such hallways in the world. You probably realize that there
are hallways turning at other angles than right but we will leave the
realization of this model to your more daring and skilful students.
GeoGebra in Novi Sad
We shape our sofa with a few more constructions, hidings and
decorations and we are now ready to explore (fig. 6):
We can change the widths of the hallways with the sliders а and b, and
the width of the sofa with the slider с. When we use sliders, it is good to
consider the ranges they are going to change in. In our case it is obvious
that the sofa cannot be wider than the narrower hallway, otherwise it will
be impossible for it to enter this hallway. This gives us a restriction for
the values of с. Fortunately, in the relatively new release 4 of GeoGebra,
it is now possible the parameter с to be dependent on other variables.
Again, when we move the point B along the ray towards the point С, we
can observe how the sofa length changes (this is no longer the length of
the segment АВ but the base of the colored rectangle) – at first it
decreases, reaches its minimum and then increases again. For the most
impatient readers we will answer right away: no, it is not possible to
move a sofa 2 m long and 0.8 m wide along the 1 m long hallway
without lifting or tilting it. Actually, the longest such sofa is around 1.23
m, which makes it more of a stool or armchair.
We could encourage our students to define other interesting situations to
be explored, for example, to ask themselves how wide the hallways
should be for the given sofa to move freely, or what would happen if
those hallways were in the Pentagon building, etc. Another good
generalization, although not trivial, is to try to find the sofa with
maximum area instead of a length.
The goal of these examples was to demonstrate that some
complicated problems, requiring calculus skills, could be attacked
successfully even by fifth-graders with the right tools. We also
showed that well-known, classical problems could be formulated
less formally in order to attract students’ attention and why not the
attention of teachers in other subjects using mathematical tools.
The reason to try this was a comment by a computer science
GeoGebra in Novi Sad
teacher attending one of our teacher training courses under the
Fibonacci project about the famous problem of the falling ladder
and the thief [7]: If this problem was formulated like Find the
locus of …, I would not pay much attention. It is nice that you give
beautiful formulations to standard problems.
Fig. 6
A nice side effect of the dynamic geometry is the opportunity for
immediate graphical solving of “practical” problems, which
otherwise require more sophisticated mathematical tools. We
would like to emphasize that the inquiry-based approach, which is
encouraged and disseminated by the Fibonacci project, does not
mean that we have to use GeoGebra or another dynamic geometry
GeoGebra in Novi Sad
software, or any software at all; a situation could be modeled with
whatever materials you have at hand or with no materials at all, it
is all a matter of imagination and experience. The next time when
students ask “Why do we have to study mathematics?” let us try
not to shut them up but to wake up their natural curiosity that has
been fallen asleep during the boring solving of monotonous
examples and practices. And let try to open their eyes for the
beauty and usefulness of mathematics.
[1] European Project Fibonacci
[2] Kenderov, P. Innovations in Mathematics Education: the European
Projects InnoMathEd and Fibonacci. Mathematics and
Mathematical Education. Proc. of the 39th Spring Conference of the
Union of Bulgarian Mathematicians, Albena, Bulgaria, 2010. pp 6372
[3] TI-92 Guidebook, Texas Instruments, 2001,
[4] Kuyumdzhieva, B., E. Sendova, M. Spiridonova. How to Use
Graphing Calculators in Match Classes. Mathematics and
Mathematical Education, Proc. of the 36th Spring Conference of the
Union of Bulgarian Mathematicians, 2007. (in Bulgarian)
[5] Adams, D. Probably the Most Complete Hitch Hiker’s Guide to the
Galaxy, Bard Publishing House, 2002, ISBN 954-585-336-5. (in
[6] Adams, D. Dirk Jently’s Holistic Detective Agency, Electronic
edition published 2009 by Pan Books, ISBN 978-0-330-51419-4.
[7] Chehlarova, T., D. Dimkova, E. Sendova. Air trackers with
GeoGebra (Mathematical fairytale about the falling ladder),
Mathematics and Informatics, vol. 6, 2010, p. 3. (in Bulgarian).
GeoGebra in Novi Sad
GeoGebra – a very effective tool for teaching
mathematical concepts and properties
Pellumb Kllogjeri , Qamil Kllogjeri ,
University "Aleksander Xhuvani", Elbasan, ALBANIA
University of Gjovik, Norway
In this paper we are presenting some examples of how Geogebra is used
in: a) explaining concepts of the first derivative, monotony, extremums;
b) studying the properties of the function (strictly increasing/decreasing)
c) demonstrating the Mean Value Theorem. The results and the
conclusions are based on the experiment carried out in the teaching
process in the chapter of Derivatives in a third year class of a secondary
school in Albania. Also, there are some encouraging facts got by the use
of GeoGebra: the double representation and the dynamic feature of
GeoGebra allows the students to quickly grasp the mathematical
concepts and properties and be actively involved in further explorations.
Using GeoGebra, it is easier for the teachers to explain mathematical
concepts, the properties of algebraic objects and to methodically reason
the results got.
GeoGebra in Novi Sad
Key Words: Dynamic demonstration, Visualization of the concept
or property, False demonstration
The double representation and the dynamic feature of GeoGebra are the
best means that math teachers can now effectively use to teach
mathematical concepts and properties. Using GeoGebra it is possible to
perform dynamic changes of the graphics or figures accompanied by the
changes in their respective algebraic representations (equations),
allowing this way the students to make observations and explorations.
These are the main features of GeoGebra meeting the demands of many
didactics and educators to provide as many representations forms as
possible for the students. Taking advantage of this double representation
and dynamic feature of GeoGebra it is easier for the teachers to explain
the mathematical concepts, the properties of algebraic objects and to
methodically reason the result got; on the other hand the students have
the possibility to grasp faster and correctly a common model that is
taught and to add more to their knowledge through their experience
while they use GeoGebra.
Quick and correct grasping of the concept
Because of the double representation feature it is possible to perform
dynamic calculus like functions in x, derivatives and integrals and draw
conclusions about the properties of the algebraic objects within a short
interval of time because there is e dependency between the algebraic
object and its respective geometric object in the way that, a change done
in the algebraic object is accompanied with the respective change in the
geometric object. So, we can enter any function and show a visualization
of generating the first derivative. Change f(x) in the algebra window and
have other functions. The fine thing is that the construction is so easy to
do that it can be done together with the students. The double
representation and dynamic feature allows the students to quickly grasp
GeoGebra in Novi Sad
mathematical concept. Here are several demonstrations with GeoGebra
tools performed during the teaching process on the chapter of
Derivatives in the experiment carried out in a third year class of a
secondary school in Albania.
Demonstration 1
GeoGebra serves as a testing tool for many
mathematical concepts or properties
The feature of double representation and dynamic one allows us to
perform The First Derivative Test and the respective theorem.
By using GeoGebra applet (see Fig.1.1) was so easily demonstrated that
on the interval (x(D), x(E)), where the function is strictly decreasing, its
first derivative represented by the ordinates of the points of the part of
the graph of the first derivative of f(x) corresponding to the mentioned
interval, also the ordinates represented by the sign length of the segment
A’H, is negative.
Fig 1.1 The relation between the first derivative of a function and
its monotony
GeoGebra in Novi Sad
The students could observe how the values of the first derivative change
from positive to negative when point A is moving from the increasing
interval to the decreasing one.
The demonstration was extended to the intervals (by moving the slider a)
where the function is strictly increasing and accompanied with teacher–
students discussion.
By applying the command of anti-derivative (which was to be learned in
the next chapter) the students could observe that on the interval where
the function (seen as derivative) was positive its anti-derivative was
strictly increasing and so on. This observation done by using GeoGebra
is very helpful in teaching and learning mathematics. It can be used
before proving the above theorem: the students observe the relation
under discussion for specific functions and later was jumped to
generalization of this relation by proving the theorem for any function.
We used it before proving the theorem and the result in regard with
grasping the theorem and using it in applications was very successful.
Using the example of the Fig.1.1 was demonstrated also the meaning of
extremums at the points F and G, also at the points A and D(Fig.1.2).
Demonstration 2 The Extreme Value Theorem says that there is a
maximum (respectively minimum), and that there is at least one way of
achieving that maximum (respectively minimum) within the interval [a’,
d’]. The demonstration of the result of the important lemma that if xE
from (a,b) is abscissa of an extremum point E then f’(xE) = 0, was
performed by using the applet of Fig.1.1. The discussion was linked
with the geometrical meaning of the first derivative.
GeoGebra in Novi Sad
Fig 1.2 Illustration of the concept of local extremums
Using applet in Fig.1.3 and leading the discussion with the students, the
students were convinced that there is maximum at point M but the
respective lemma is not satisfied (they could observe that the tangent at
this point is undefined). The observation was accompanied by the
discussion about the left and right limits of the derivatives. The left limit
is 6, while the right one is -3.5 (both of them are very far from 0, so
cannot equal). By moving the slider they could see in algebra window
that on the left side and close to M the values of derivative are positive
and much greater than 0 and, on the right side and close to M the values
of the first derivative are negative and much less than 0.
At point N there is minimum (observation showed that tangent at N is
parallel to x-axis) and was given for the students the task of testing the
sided limits at that point. Additional exercises were given to bring other
examples of this type.
GeoGebra in Novi Sad
Fig 1.3 Tangent undefined at the local extremum(maximum)
After the proof of Max-Min theorem it is important that the teacher
emphasize its practical use in many problems, that the second result,
known as the Extreme Value Theorem (or the Max-Min Theorem), is
linked with important application: "optimization problems".
Demonstration 3 In Fig.1.4 is a GeoGebra Applet allowing the students
to explore the conclusion of the MVT for Derivatives. Our purpose is to
demonstrate the employing of the common trick in proving this Calculus
result which is achieved by taking the general function, and subtracting
off the secant line by considering the assistant function: g(x) = f(x) secant line. The GeoGebra applet demonstrates the "lifting" of the graph
of f(x) up or down or twisting it.
With this applet it was demonstrated that by geometrical transformation
of the graph of f(x) the students could be convinced that there is a point
N on the graph of f(x) and between the points A and B, at which the
tangent of the graph is parallel to the secant AB.
GeoGebra in Novi Sad
Fig 1.4 Picture of GeoGebra applet illustrating the transformation
in MVT
The transformation was performed in such a way that the tangent of g(x)
could touch the graph of f(x) where was done possible to plot the
intersection point (N). It is clear that during the transformation the
tangent remains always parallel to the respective secant. This is provided
by one of the most important features of GeoGebra, by that of preserving
the relative relationship between two objects where, one is dependent on
the other. Was needed the construction of a parallel to secant AB, a
parallel passing through the point F on the graph of f(x) and close to
point A. Then, the movement of the graph was done carefully until the
secant CD rested on that parallel. (look at Fig 1.4 ).
Geogebra provides the tools and the conditions for research activity
GeoGebra is mainly used as a tool for teaching and researching. It is
used as a checking tool to test and verify thinking, it is used as a
GeoGebra in Novi Sad
demonstration tool to emphasize their impression. GeoGebra offers a
very good place for practice and research work.
Fig 2.1 Picture of GeoGebra applet illustrating the non-existence
of the tangent
The teacher must draw the attention of the students to investigate
different cases by using GeoGebra software if the tangent is defined at
any point of the graph. During the teaching we brought examples when
in different parts of the domain the functional dependence is different
and after plotting the graph it looks quite clear that at the junction point
there is tangent and so it is. Also, there are examples when in different
parts of the domain the functional dependence is different and after
plotting the graph it looks quite clear that at the junction point there is
tangent(false demonstration), but in reality it is not so (Look at Fig 2.1).
There is maximum at point T, moving the points A and B of the secants
TA and TB towards the point T by the GeoGebra program is produced
GeoGebra in Novi Sad
one single position at point T (the red line b), however the tangent
doesn’t exist at this point (the existence of the tangent
is proved by testing the left and right side limits of the derivative).
GeoGebra allows the teachers to easily and fast explain the mathematical
concepts, the properties of algebraic objects and to methodically reason
the results got; on the other hand the students have the possibility to
grasp faster and correctly a common model that is taught and to add
more to their knowledge through their experience while they use
GeoGebra; it helps them to do research work and explorations. The
result is: the students continually add more to their mathematical fund
and they get a deeper understanding for the concepts and the methods of
1. Böhm Josef (2008), Linking Geometry, Algebra and Calculus
with GeoGebra, ACDCA, DUG and Technical University of
2. Giaquinto M., Visual Thinking in Mathematics(An
Epistemological Study), Published in the United States by
Oxford University, Press Inc., New York, 2007)Pg. 163 – 185)
3. Grotzer, T.A. (2002, March-April). Expanding our vision for
educational technology: Procedural, conceptual, and structural
knowledge. Educational Technology, (Pg.52-59).
4. Hohenwarter Judith, Hohenwarter Markus(2008), Introduction to
GeoGebra (Pg. 37-42)
5. Zsolt Lavicza, Markus Hohenwarter,.., Establishing a
Professional Development Network…., National Center for
Excellence in the Teaching of Mathematics, Pg. 16-18.
GeoGebra in Novi Sad
Primena obrazovnog softvera GeoGebra u
dodatnoj nastavi matematike
Milanović Ivana
gimnazija „ Isidora Sekulić “ Novi Sad
Rezime - Rad sa darovitim učenicima zahteva odgovarajuće nastavne
metode i oblike rada koje na najbolji način mogu da utiču na razvoj
matematičkih kompetencija učenika. Primena računara u dodatnoj
nastavi matematike u tom smislu zauzima važno mesto i predstavlja
jednu od osnovnih komponenti savremenog didaktičko – metodičkog
pristupa u nastavi. U ovom radu opisana je i objašnjena primena
softverskog paketa GeoGebra u dodatnoj nastavi matematike, a odnosi
se na rešavanje različitih problemskih zadataka.
Ključne reči : GeoGebra, dodatna nastava matematike, problemski
Planiranje, priprema i realizacija dodatne nastave matematike zahteva od
nastavnika dodatno angažovanje, vreme i raznovrsne resurse, sa ciljem
razvoja logičkog i kritičkog mišljenja učenika, kreativnosti i
motivisanosti. Daroviti učenici uporedo sa usvajanjem i produbljivanjem
GeoGebra in Novi Sad
znanja iz matematike treba da se uče kako, kada i na koji način da
primenjuju obrazovnu tehnologiju.
GeoGebra je računarski alat koji obuhvata pojmove geometrije, algebre,
i kalkulusa, a povezivanjem ikoničkog i simboličkog predstavljanja
donosi brojne mogućnosti. Ikonička prezentacija je predstavljanje ili
predočavanje na stepenu koji je prelaz između doslovne, realističke
prezentacije, i simboličke, potpuno apstraktne prezentacije. Ikonička
prezentacija zadržava osnovne elemente ili konture stvarnosti, dok je u
simboličkoj veza sa stvarnošću samo konvencionalna. GeoGebra nudi
ikoničko i simboličko predstavljnje objekata paralelno u geometrijskom i
algebarskom prozoru. Ovo paralelno predstavljanje sreće se u teoriji
elektronskog učenja, a često i u didaktikama prirodnih nauka.
Stečeno znanje se ovde pojavljuje kao aktivno – kroz aktivnost, obradu i
rad; kao ikoničko – kroz slike; simboličko – kroz simbole i jezik.
Mogućnost interaktivne manipulacije objektima je glavna i najveća
prednost novih medija u odnosu na tradicionalno učenje. Učenici mogu
da otkrivaju nove osobine samostalno, mogu naslućene osobine da
provere, dokažu ih, ako je potrebno i da ih koriguju. Kroz aktivnu
komponentu učenja dolazi do izražaja i princip aktivnog učenja.
Znanje koje se stiče kroz različita predstavljanja lakše se zadržava.
Sposobnost da se znanje transponuje u drugi oblik povećava fleksibilnost
i uspeh kod rešavanja problema. Ovo je i osnovna didaktička ideja
GeoGebre. Učenik koji povezuje različita predstavljanja iste stvari,
pojma, lakše će moći da prepozna više situacija u kojima se ta stvar,
pojam pojavljuje.[1]
Vizualizacija u GeoGebri koja je posebno istaknuta u narednim
problemskim zadacima podrazumeva : grafičku interpretaciju zadatka,
eventualna alternativna rešenja, pomoć učenicima u pronalaženju
adekvatnih ideja za rešavanje problema, proveru dobijenih rešenja, alat
za realizaciju odgovarajućih matematičkih radnji i operacija..
Problemski zadaci
Zadatak 1.
GeoGebra in Novi Sad
Neka je =
− 2 − 5| ∈
(skup parabola).
a) Dokazati da sve parabole iz X seku x-osu.
b) Odrediti jednačinu geometrijskog mesta temena svih ovih
c) Za koju vrednost parametra a je zbir kvadrata korena jednačine
f(x) = 0 najmanji? [2]
Rešenje :
a) U prvoj fazi rešavanja zadatka učenici polaze od analize date
funkcije f u GeoGebra okruženju. Parametar ∈ se uvodi pomoću
naredbe Klizač a, kome se zadaje interval vrednosti [-20,20] i on se
može proizvoljno menjati. Zatim se u polju za Unos definiše funkcija
− 2 − 5, koja je za svako ∈ kvadratna. Pomoću
naredbe Presek[f, x-osa] dobijaju se tačke A i B koje predstavljaju nule
funkcije f. Animacijom Klizača učenici prate promene tačaka A i B i
izvode zaključak da za proizvoljne vrednosti parametra a nule funkcije
uvek postoje, što im sugeriše da su rešenja jednačine f(x) = 0 uvek
realna, pa funkcija f(x) uvek ima presek sa x-osom. Formalni dokaz sledi
iz činjenice da je :
− 4 −2 − 5 =
+ 8 + 20 = + 4 + 4 > 0,
∀ ∈ .
b) Ovde je najpre potrebno da učenici imaju ideju kako da za datu
parabolu odrede njeno teme. Konstrukcija je izvedena na sledeći način :
pomoću naredbe Središte[A,B] dobija se tačka D koja predstavlja
središte duži AB. Normala na x-osu u tački D se dobija pomoću naredbe
Normala[D, x-osa], neka je to prava b. Pomoću naredbe Presek[f, b] se
dobija presečna tačka parabole i prave b, tačka T, a to je tačka
minimuma za datu parabolu, odnosno njeno teme. Zatim je potrebno
utvrditi geometrijsko mesto tačke T za razne vrednosti parametra a.
Učenici aktiviraju opciju Uključi trag za tačku T, i animaciju za Klizač
a. Zaključuju da je trag tačke T parabola, ali je to potrebno proveriti.
Različiti položaji tačke T pri animaciji se označe kao tačke M, N, O, P i
Q. Pomoću naredbe Konusni presek kroz pet tačaka[M,N,O,P,Q] dobija
se kriva koju opisuje tačka T pri animaciji. U algebarskom prozoru
GeoGebra in Novi Sad
dobija se i njena jednačina
+ 4 − 5, što predstavlja jednačinu
Slika 1 : Interfejs programa GeoGebra ( rešenje zadatka 1 )
Dokaz u klasičnom smislu izvode na sledeći način :
Teme parabole
funkciju f, to je tačka %
+ je tačka
− 2 − 5& =
, − %
"!# $
. Za datu
& + 4%
5 . Funkcija → je bijekcija iz R u R, pa je traženo geometrijsko
mesto temena parabola iz skupa X nova parabola koja predstavlja
kvadratnu funkciju ℎ
= − + 4 − 5.
rešenja jednačine
= 0. Prema Vietovim
Neka su ) i
pravilima je :
GeoGebra in Novi Sad
+ = − , ) · = −2 − 5 i
= )+
−2 )∙
) +
+ 4 + 10. U polju za Unos učenici definišu funkciju =
+ 4 + 10.
Minimum ove funkcije konstruišu kao pod b). Dobija se tačka (-2,6),
odavde sledi da se minimalan zbir ) +
postiže za a = -2.
Zadatak 2.
Naći maksimalnu vrednost izraza . =
+ + +/ +0 ,
ako su ≥ ≥ ≥ / ≥ 0 ≥ 0 realni brojevi za koje važi
+ ≤ 5, + / + 0 ≤ 5. Kada se postiže ta vrednost ? [2]
Rešenje :
Kako je ≥ ≥ 0 i + ≤ 5, sledi da je ≤ .
1.Ako je ≤ 4 , vrednost izraza I se povećava ako se uzme = 5 − ,
= / = 0 = . Tada je
+ + +/ +0 = 5−
+4 =
. Pristupa se rešavanju zadatka u GeoGebra okruženju. Učenici u
polju za Unos definišu funkciju
= 5−
+ 4 i analiziraju je
na intervalu 50, 46 . U polju za Unos definišu pravu x = 4, to je prava a.
Tačke A i B dobijaju pomoću naredbi Presek[a,f] i Presek[f,y-osa].
Pomoću naredbe Izvod[f] dobija se funkcija ′, što predstavlja funkciju
prvog izvoda funkcije f. Pomoću naredbe Izvod[ ′] dobija se funkcija ′′ ,
što predstavlja funkciju drugog izvoda funkcije f. Kako je ′′
= 10,
sledi da je na datom intervalu funkcija f konveksna, pa je njena
maksimalna vrednost 7 8 0 , 4 9 = 25, što se vidi u Algebarskom
prozoru, ukoliko se uporede ordinate tačaka A i B. Ova vrednost se
dostiže za = = / = 0 = 0, = 5.
Učenici su predložili i drugi način za utvrđivanje konveksnosti funkcije f
na datom intervalu : Prvo su definisali funkciju f, pravu a i tačke A i B,
kao što je prethodno opisano. Zatim su uveli Klizač b u intervalu [x(B),
x(A)] i u polju za Unos definisali tačku M(b, f(b)). Pomoću naredbe
Tangenta[f, M] dobili su pravu t, koja predstavlja tangentu od f u tački
M. Kada su aktivirali opciju Animiraj za Klizač b pratili su položaj
GeoGebra in Novi Sad
tangente u odnosu na grafik funkcije u intervalu 50, 6. Uočili su da su na
datom intervalu sve tačke grafika iznad tangente, pa je sledio zaključak
da je na datom intervalu funkcija konveksna.
2.Ako je ≤ ≤ , vrednost izraza I se povećava ako se uzme = 5 −
= / = , 0 = 5 − 2 . Tada je
+ + +/ +0 =
+3 + 5−2
= - .Funkcija je na intervalu
3 3
54 , 6 konveksna , pa je njena maksimalna vrednost 7 8- %4& , - 9 =
25 . Ova vrednost se dostiže za = =
GeoGebri je isti kao i u prvom slučaju)
= / = , 0 = 0. (Postupak u
Slika 2 : Interfejs programa GeoGebra ( rešenje zadatka 2 )
Zadatak 3.
Neka su V,S i T različite tačke ravni. Konstruisati trougao ABC, tako da
su tačke V, S i T presečne tačke opisane kružnice ovog trouglasa
GeoGebra in Novi Sad
pravama kojima pripadaju visina, simetrala ugla i težišna linija koje
odgovaraju temenu C, redom. [2]
Rešenje :
Neka je O centar opisanog kruga oko ∆ABC, i C1 središte stranice AB.
Tada je OS ⊥ AB, i tačka C1 pripada pravama p(O,S) i p(C,T).
U Geometrijskom prozoru učenici proizvoljno zadaju tačke V, S i T.
Pomoću naredbe Kružnica kroz tri tačke[V, S, T] konstruišu krug k
opisan oko ∆VST, a sa naredbom Centar[k] je određena tačka O koja je
centar kruga k. Zatim se pomoću naredbe Prava kroz dve tačke[O, S]
konstruiše prava a ≡ p(O,S). Prava b, koja sadrži tačku V i paralelna je sa
p(O,S) se dobija primenom naredbe Paralela[V,a]. U preseku prave b i
kruga nastaje tačka C, koju su učenici odredili pomoću naredbe Presek
dva objekta[k,b]. Dalje, neka je data prava c ≡ p(C,T). Ona se dobija
primenom već navedene naredbe Prava kroz dve tačke[C, T]. U preseku
pravih p(O,S) i p(C,T) nastaje tačka C1, primenom Presek dva objekta[a,
c]. Na kraju se konstruiše prava n, primenjujući naredbu Normala[C1,a].
Tačke A i B su učenici konstruisali primenom nerdebe Presek dva
objekta[k,n]. [3]
Po konstrukciji je CV ⊥ AB, pa CV sadrži visinu iz C u ∆ABC. Po
konstrukciji je AB tetiva koja je simetrična u odnosu na pravu p(O,S), a
odavde sledi AS = BS, a odatle je ∢BCS=∢ACS (periferijski uglovi nad
jednakim tetivama su jednaki). To znači da je p(C,S) simetrala ugla kod
temena C u ∆ABC. Po konstrukciji, prava p(C,T) sadrži središte duži
AB, pa ova prava sadrži težišnu duž iz temena C u ∆ABC.
Primena GeoGebre je u fazi diskusije konstruktivnog zadatka veoma
značajna, zato što učenici mogu proizvoljno da manipulišu sa tačkama
V, S i T, pomoću opcije Pomeri, i da na taj način provere svoje intuitivne
pretpostavke o broju rešenja, ili da uoče karakteristične položaje tačaka u
GeoGebra in Novi Sad
kojima se taj broj menja. Različiti slučajevi koji mogu nastati i koje treba
diskutovati postaju znatno očigledniji.
Slika 3 : Interfejs programa GeoGebra (rešenje zadatka 3 - konstrukcija)
Izbor tačaka A i B (koje su nastale u preseku prave n i kruga) daje
rešenja koja su ista do na simetriju.
Ako su tačke V, S i T kolinearne, nema rešenja, ne postoji ∆VST,
učenici u Algebarskom prozoru dobijaju sledeći rezultat :
Ako je ∢VTS=45° nema rešenja. Kako je ∢VTS periferijski nad tetivom
VS, njegov odgovarajući centralni je ∢VOS, i on bi u ovom slučaju bio
GeoGebra in Novi Sad
90°, što bi značilo da je prava b tangenta kruga, pa ne nastaje presek b i
kruga, tj. tačka C. Ovo učenici proveravaju pomoću opcije Odnos dva
objekta[k,B] :
Nema rešenja ako je ∢VST=90°, tada tačka O pripada pravoj p(V,T), pa
je VT prečnik kruga i ∢VCT=90°. Tada prava n koja sadrži C1 i
normalna je na p(O,S) u preseku sa krugom daje tačke C i T, a treba da
nastanu tačke A i B, što je prikazano nasledećoj slici :
GeoGebra in Novi Sad
Slika 4 : Interfejs programa GeoGebra (rešenje zadatka 3 – diskusija)
Nema rešenja ako su V i T sa iste strane tačke S, tada se prave p(O,S) i
p(C,T) seku izvan kruga, a nemoguće je da tačka C1 bude izvan opisanog
kruga, što je prikazano na sledećoj slici :
Slika 5 : Interfejs programa GeoGebra
( rešenje zadatka 3 - diskusija )
Moderna tehnologija uvela je računare u svakodnevnu upotrebu i u
dodatnoj nastavi matematike, i time joj značajno proširila mogućnosti.
Učenik je sada u mogućnosti da mnoge matematičke probleme predstavi
GeoGebra in Novi Sad
i reši pomoću računara, a koristeći gotove programske pakete. Mogu se
lako dobiti odgovarajući dinamički crteži, uočavaju se uzročnoposledične veze među datim objektima, kombinuju se odgovarajući
grafici, rešavaju se matematički testovi, olakšani su prikazi putem tabela,
grafova..[4] Sve ovo podstiče proces aktivnog učenja matematike, a pri
tom se razvijaju i dodatne veštine učenika, istovremeno se stiču i
proširuju učenička znanja kako iz matematike, tako i računarstva.
[1] Herceg, D. / Herceg, Đ. (2007), GeoGebra-dinamička geometrija
i algebra. Novi Sad: Prirodno-matematički fakultet u Novom
[2] Društvo matematičara Srbije : Matematička takmičenja
srednjoškolaca, izdanja od 2003. do 2011. godine.
[3] Šuljić, Š. (2005), GeoGebra (4). Matematika i škola, godina VII,
br.31. Zagreb : Element.
[4] Milanović, I. / Vukobratović, R. (2010), Položaj matematike u
gimnazijalskom obrazovanju učenika. Zbornik radova Prve
međunarodne konferencije gimnazija.
Novi Sad : Savez pedagoških društava Vojvodine.
GeoGebra in Novi Sad
Изучавање векторских функција и
Игор Димовски
Универзитет за Информационе науке и технологије
Information Science and Technology "St. Paul the Apostle",
Ohrid, Macedonia
Резиме: У практичном делу овог рада, биће приказани могућности
примене GeoGebra-e приликом изучавања векторских фуннкција у
2D и биће елаборирано због чега је аналогни 3D приступ јако
неопходан у настави математике, нарочито у високом образовању.
Поставља се питање како да учитељи математике сами израде
једноставне копјутерске програме или аплете. Једно од могућих
ефикасних решења, је употреба GeoGebrе-Dynamic Mathematics for
Everyone, развијен од Маркуса Хохенвартера (M.Hohenwarter) у
2001 години. Geogebra је бесплатни софтвер отвореним кодом, који
претставља динамички математички софтвер који спаја геометрију,
алгебру, статистику и математичку анализу1. Пројекти израђени у
GeoGebra in Novi Sad
GeoGebra-и, на изванредно једноставан начин, се могу
експортирати као анимације, html датотеке и као аплете које се могу
интегрирати на вебу. Велики број едукативних материјала о
GeoGebra-и се могу наћи на веб локацији GeoGebraWiki2. GeoGebra
је прерасла у социолошки феномен, тако да обединује огроман број
едукатора и студената у једну социјалну мрежу којој је главни циљ
раѕвијање колаборативног учења. На Сл. 1. приказан је демо аплет
израђен у GeoGebra-и. Њиме се веома интуитивно, на динамичан
начин приказује да је извод кубне фунције - квадратна функција.
График реалне функције
Курсеви математике на универзитете на које тренутно
радимо,укључују векторске функције и кретање у равни и простору.
Коришћењем Geogebra-е процес учења оваквих концепта се може
знатно олакшати. Цртање графа реалне функције y = f(x) у
GeoGebra-и је екстремно лако.
Динамички приступ
Дали је могуће приказати граф реалне функције другачије, на неки
начин који је више генерички.
Због важности функционалног мишњења у настави математике, ово
питање је искључиво важно. Веома често је потребно приказати
динамичан процес. Динамички процеси се морају објаснити
динамичким средствима, презентацијама у којима су приказане
Пример 1. Граф реалне функције
f(x) = x4 – 4x2.
може бити параметризиран користећи параметар a на следећи
начин: a→(a, a4 – 4a2).
GeoGebra in Novi Sad
Алатка клизач (slider) се може употребити да би се добила ефектна
анимација којом се приказује кретање тачке А проузроковано од
примена параметра а.
Слика 1.
Предности овог приступа:
Студенти могу видети везу између координата тачке графа.
Студенти могу видети кретање тачке, и исцртавање криве –
GeoGebra in Novi Sad
Студенти постају способни осетити зависност између
променљивих, што је најважније приликом изучавања
Параметарске 2D криве
Изучавање параметарских крива и векторских функција је важно са
неколико тачке гледишта.
Интерпретација векторске функције као модел кретања честице,
њеног извода као тангентни вектор криве која је трајекторија која
та честица описује приликом кретања и вектор брзине тог кретања,
татим другог извода векторске функције као вектор убрзања истог
кретања, итд... је веома тешко објаснити статичком графиком и
готово немогуће употребом традиционалних наставних метода.
Овде, динамичност постаје круцијална. Анимација је дефинитивно
За приказивање 2D параметарске криве, клизач GeoGebra-е може се
употребити да би се одредили 2 координате тачке која се креће.
Подесујући опцију "trace on" тачке, и такође опцију "animation on"
клизача, може се добити ефективан начин објашњивања кретања
честице у равни.
Није тешко приказати тангентни вектор криве, као ефективан начин
визуелизације значења извода векторских функција и вектора
брзине честице.
Пример 2.a
x(t) = 2cost
y(t) = 2sint,
t ∈ [0, 2π]
Овим једначинама је параметризирана кружница.
Векторска форма је:
GeoGebra in Novi Sad
r(t) = 2cost⋅i + 2sint⋅j
Вектор r ( t ) = OA од координатног почетка до позиције честице
A(2cost,2sint) у времену t је позициони вектор честице.
Слика 2.
Слика 3.
Пример 2.b
GeoGebra in Novi Sad
x’(t) = − 2sint
y’(t) = 2cost.
v (t ) =
= −2sin ti + 2 cos tj
је вектор брзине, тангентни вектор криве.
У сваком времену t, смер вектора v је у смеру кретања.
Пример 3. Кардиоида.
Позиција честице:
r(t) = (2cost – cos2t)i + (2sint – sin2t)j
x(t) = 2cost – cos2t
y(t) = 2sint – sin2t
t ∈ [0, 2π]
x’(t) = − 2sint + 2sin2t
y’(t) = 2cost – 2cos2t.
v (t ) =
= −2sin ti + 2 cos tj
је вектор брзине кретања честице, тангентни вектор криве.
Kоманде LOGO-a превдене су на језику програмера, тако да и
млађи ученици могу програмирати на
GeoGebra in Novi Sad
Слика 4.
Слика 5
GeoGebra in Novi Sad
Пример 4. Лептир
 t 
x = x ( t ) = sin t  ecos t − 2sin 4t − sin 5    ,
 12  
 t 
y = y ( t ) = cos t  ecos t − 2sin 4t − sin 5    ,
 12  
t ∈ [0, 2π ]
Слика 6.
1. (НЦ) Целакоски, Н. Дидактика на математиката, Нумерус Скопје, 1993
2. (РМ) Малчески, Р. Методика на наставата по математика
(Општ дел) - Скопје, 2001
GeoGebra in Novi Sad
3. (LPSNJM) Philips, L. Noris, S. Macnab, J. Visualization in
Mathematics, Reading and Science Education - Springer
Dordrecht Heidelberg London New York, 2010
4. (KSEWJH) Scheiter, K Wiebe, E Holsanova, J Theoretical and
Instructional Aspects of Learning with Visualizations, Cognitive
Effects of Multimedia Learning – Information Science Reference IGI
Global, Hershey 2009 (p.67-88)
5. (ВМБ) Брадис, В.М. Методика преподаванија математики в
среднеј школе, Государственное учебно-педагогическое
министерства просвешченија РСФСР - Москва, 1954
6. (ПИ) Иванов, П. Методика на обучението по математика за
горнија курс на средните училишта, Наука и изкуство Софија, 1965
7. (JIDC) Campbell, J. I.D. Handbook of mathematical cognition,
Psychology Press - New York 2005
8. (RNGL) Nunez, R. Lakoff, G. The cognitive foundations of
mathematics - the role of conceptual metaphor, Handbook of
mathematical cognition, Psychology Press - New York 2005 (p. 109124)
GeoGebra in Novi Sad
How to present /construct some famous
with GeoGebra: The Astroid
Emiliya Velikova, Magdalena Metodieva Petkova,
“Angel Kanchev” University of Rousse, Bulgaria
The aim of this paper is to show how we can present some curve as
astroid through the use of specific type of software. Education
GeoGebra can be (and is) a good helper, both for teachers and for
learners. It presented one way to draw the astroid, as I believe is
suitable for use in training classes in mathematics. It is an only
theoretical section without results.
Keywords and phrases: GeoGebra, asteroid, method teaching.
Increasingly encountered in their daily lives new, interesting,
innovative ideas to life. We often read about computer
developments that carry out activities for which it was believed
that only man is capable. The method of teaching mathematics
presented the ways that support the adoption of new material,
GeoGebra in Novi Sad
reinforcing its continued retention, proper visualization tasks. All
this is done not with a blackboard, and using specialized software
like GeoGebra. In Bulgaria, it is hardly used. The aim of this work
is to promote the idea of using GeoGebra in Teaching
Mathematics. Undoubtedly occur and opponents of this idea,
thinking the computer for сомеthing complicated, but exposing
this sample idea, I believe that the support for easy learning and
application of GeoGebra. The program is suitable for different age
groups for independent work and teamwork, the creation of tests
and interesting tasks without restriction in their complexity.
GeoGebra is a free software, multi-platform dynamic mathematics
software for all levels of education that joins geometry, algebra,
tables, graphing, statistics and calculus in one easy-to-use package.
It has received several educational software awards in Europe and
the USA.
• Graphics, algebra and tables are connected and fully
• Easy-to-use interface, yet many powerful features.
• Available in many languages for millions of users
around the world.
• Free and open source software. [1]
In view of the topic have been developed an example how
to use dynamic software (GeoGebra) and to draw the astroid. I
presentedthe steps of drawing as a convenient datasheet form
through software and through .html document. There is an option
to animate the images, which is sufficient for comprehensive
GeoGebra in Novi Sad
presentation of the theoretical part. GeoGebra is easy to use,
translated into many languages, with various options suitable for
different age groups as small classes, and for greater students in
universities and scientific research on teachers. In difficulty can
use online wizard software, where options are presented using
( Of course, this
development is not for beginners. It must know the main options
of the software.
Little History for the Astroid
The cycloidal curves, including the astroid, were discovered by
Roemer (1674) in his search for the best form for gear teeth.
Double generation was first noticed by Daniel Bernoulli in 1725.
The astroid seems to have acquired its present name only in 1838,
in a book published in Vienna; it went, even after that time, under
various other names, such as cubocycloid, paracycle, four-cusp23
curve, and so on. The equation x + y = a can, however, be
found in Leibniz’s correspondence as early as 1715. [3]
An Astroid is a curve traced out by a point on the circumference of
one circle (of radius r ) as that circle rolls without slipping on the
inside of a second circle having four times or four-thirds times the
radius of the first ( 4r or 4 3r ). The latter is known as double
The Astroid is thus a special kind of a hypocycloid—the family of
analogous curves one gets if one allows the ratios of the radii to be
arbitrary. [4]
GeoGebra in Novi Sad
Parametric: cos3 (t ), sin 3 (t ), 0 < t £ 2p . This formula gives an
astroid centered on the origin with one cusp at (1, 0).
Cartesian equation:
x + y = 1 or (x 2 + y 2 - 1)3 + 27x 2y 2 = 0 .
To derive the Cartesian equation, let
x = cos 3 (t )
y = sin 3 (t )
Raise both sides to the power of 2 / 3 , we have
= cos2 (t )
= sin 2 (t )
(note that we do not have to worry about the sign in squaring both
sides, because x := cos3 (t ) is a definition. It is not an equation
with an unknown).[2]
Add the two equations together we have
= cos2 (t ) + sin 2 (t ) = 1
It turns out that we can get rid of the fractional power.
Raise both sides by powers of 3:
x 2 + y 2 + 3x 4 / 3y 2 / 3 + 3x 2 / 3y 4 / 3 = 1
3(x 4 / 3y 2 / 3 + x 2 / 3y 4 / 3 ) = 1 - x 2 - y 2
replace x 2/ 3 by 1 - y 2 / 3 and y 2/ 3 by 1 - x 2 / 3 to obtain
GeoGebra in Novi Sad
3(x 4 / 3 (1 - x 2 / 3 ) + (1 - y 2 / 3 )y 4 / 3 ) = 1 - x 2 - y 2
3(x 4 / 3 + y 4 / 3 ) = 1 + 2(x 2 + y 2 )
Now since x
= 1 , square both sides and simplify, we
have x 4 / 3 + y 4 / 3 = 1 - 2x 2/ 3y 2/ 3 . We now replace x 4 / 3 + y 4 / 3 in
the above equation to get
3(1 - 2x 2 / 3y 2 / 3 ) = 1 + 2(x 2 + y 2 )
- 6x 2 / 3y 2 / 3 = 1 + 2(x 2 + y 2 ) - 3
- 6x 2 / 3y 2 / 3 = 2(x 2 + y 2 - 1)
- 3x 2 / 3y 2 / 3 = x 2 + y 2 - 1
Now raise both sides by 3 and we arrive:
- 33 x 2y 2 = (x 2 + y 2 - 1)3
(x 2 + y 2 - 1)3 - 27x 2y 2 = 0
Curve Construction
The astroid is rich in properties that one can construct the curve, its
tangent, and center of osculating circle, and device other
mechanical ways to generate the curve.
Let there be a circle centered on B passing K . We will construct
an astroid centered on B with one cusp at K . Let B be the
origin, and K be the point (1, 0) . Let L be a point on circle c .
Drop a line from L perpendicular to the x-axis, let M be their
intersection. Similarly drop a line from L perpendicular to the yaxis, call the intersection N . Let P be a point on MN such that
LP and MN are perpendicular ( LP ^ MN ). Now, P is a point
GeoGebra in Novi Sad
on the astroid, and MN is its tangent, LP is its normal. Let D1 be
the intersection of LP and circle c . Let D2 be the reflection of
D1 thru MN . Now, D2 is the center of osculating circle at P .[4]
Now how to do this with GeoGebra?
Note: Most of the steps are created by typing the command and the
others are by using the buttons.
Construction Protocol (The Steps) from GeoGebra:
1 Number r
2 Point A
3 Circle c
Intersection point of
xAxis, yAxis
Circle with center A
and radius r
A = (0, 0)
c: x² + y² = 9
GeoGebra in Novi Sad
4 Point L
5 Line a
6 Line b
7 Point N
8 Point M
9 Line d
10 Line e
11 Point P
12 Point B
12 Point D1
Point on c
Line through L
perpendicular to xAxis
Line through L
perpendicular to yAxis
Intersection point of b,
Intersection point of a,
Line through N, M
a: x = 2.61
b: y = 1.48
N = (0, 1.48)
M = (2.61, 0)
d: 1.48x + 2.61y =
e: -2.61x + 1.48y = 4.61
Line through L
perpendicular to d
Intersection point of e,
P = (1.97, 0.36)
Intersection point of c,
B = (2.61, 1.48)
Intersection point of c,
D1 = (0.07, -3)
Distance of D1 and P
"\overline{" +
(Name[D1]) +
(Name[P]) + "} \, = \, "
+ distanceD1P
15 Segment f
Segment [D1, P]
L = (2.61, 1.48)
distanceD1P = 3.86
TextD1P =
"\overline{D_1P} \, =
\, 3.86"
f = 3.86
GeoGebra in Novi Sad
16 Point D2
17 Point P'
18 Segment f'
19 Circle g
D1 mirrored at P
P mirrored at P
Segment [D2, P']
Circle through P' with
center D2
20 Text text1
D2 = (3.88, 3.72)
P' = (1.97, 0.36)
f' = 3.86
g: (x - 3.88)² + (y 3.72)² = 14.93
text1 = "Select length
of the radius form the
scroll line. Move
point L on the line of
the circle to see the
astroid and its
evolute. "
Conclusions ( Future )
Strong influence of computers will soon have a standard in
mathematics, but also in other disciplines. Using specialized
software is preferable because it increases the best results in
training. Visualization, ease of use of the software, the possibility
of active work independently contributes to the work with
I propose that the stable introduction of the use of GeoGebra as a
method of training in Bulgaria and consolidation of positions in
other countries. I suggest making an experiment with groups of
students through training with type lesson and compare the results.
I believe that the use of GeoGebra in the world is a sufficient basis
for widespread use in Bulgaria.
GeoGebra in Novi Sad
[2] The MacTutor History of Mathematics archive
[5] Papers from the conference HM&TM, 2010, Szeged,
GeoGebra in Novi Sad
Примена рачунара у млађим разредима
основне школе
Војислав Андрић , Mилена Марић ,
Мегатренд универзитет, Београд,
Архитектонска-техничка школа Београд,
Садржаји наставе математике који припадају области геометрије у
млађим разредима основне школе код нас, имају неколико
заједничких карактеристика које се огледају у следећим
Геометријски појмови на овом нивоу су опажајни.3
Почетна настава геометрије мора бити експеримен-тална, тј.
најпростије геометријске фигуре, нека њихова својства и међусобни
односи упознају се практичним радом, преко разноврсних модела
фигура у току посматрања, додиривања, цртања, резања, пресавијања, мерења, процењивања, упоређивања, поклапања итд.1
Ученици уочавају важна и општа својства одређених фигура
која не зависе од времена, материјала, боје, тежине ... , тако да
Видети дидактичко-методичко упутство за реализацију наставног
програма математике у млађим
разредима основне школе у Србији.
GeoGebra in Novi Sad
елементарне геометријске представе стичу, апстрахујући небитна
конкретна својства материјалних ствари.1
Опажање, експериментисање, одбацивање небитних и прихватање
битних својстава геометријских фигура у класичној, и у настави
преовлађујућој, дидактичкој трансформацији геометријских
садржаја одвијало се у складу са дидактичким принципом
очигледности на моделима који су били предмет истраживања,
анализе и закључивања ученика.
Поставља се питање да ли се поменута очигледност може, у
појединим ситуацијама постићи и опажањем, експериментисањем и
закључивањем коришћењем рачунара, тј. да ли се преко одговарајућих, пажљиво одабраних, примера демонстрираних уз помоћ
савремене рачунарске технологије стечене менталне слике могу
успешно трансформисати у основне геометријске појмове?4 Циљ
овога рада управо је да прикаже неке могућности реализације
основних идеја дидактичко-методичке трансформације геометријских садржаја у млађим разредима основне школе уз помоћ
рачунара. Наставник користи рачунар као наставно и експериментално средство у припреми и реализацији наставе. Ученик уз
помоћ рачунара опажа, експериментише и стиче одговарајуће
представе о облицима, релацијама, фигурама, њиховим битним и
небитним својствима, њиховим сличностима и разликама и на тај
начин учи.
Реализација почетне наставе геометрије коришћењем
У овом делу рада биће предстaвљен конструисани наставни
материјал наме-њен наставницима разредне наставе и ученицима
Примери → Менталне слике → Појмови је процес који код увођења
појмова препоручује
Милосав Марјановић: Методика математике 1, Учитељски факултет,
Београд 1996.
GeoGebra in Novi Sad
млађих разреда основне школе. Детаљним проучавањем градива
математике у млађим разредима основне школе, као и ослањајући
се на досадашња искуства аутора, направљен је материјал који је
интерактиван, хипертекстуалан и јавно доступан. Сматрамо да
ова три својства наставног материјала који представљамо могу
позитивно да утичу на мисаону активност код ученика. Овај
дидактички материјал обрађује садржај почетне наставе геометрије
на динамичан, сликовит, експерименталан, визуелно јасан и
другачији начин.
Интерактивност наставног садржаја
се огледа у додавању
динамичких про-мена у неким деловима наставног материјала у
кратком времену. Ова карактеристика наставног материјала
допушта ученику активну улогу и интервенције у самом садржају.
Хипертекстуални наставни садржај представља структу-рирани
наставни садржај који је лако претраживати, а постојање линкова
(веза) на одговарајућим местима у многоме смањује време претраге.
Материјал је јавно доступан5 и могуће га је наћи путем Интернета
и кори-стити у настави.
У циљу лакшег сналажења корисника материјал је подељен у
четири целине. Целине прате наставни план и програм прописан за
ученике по разредима, од првог до четвртог разреда. Свака од
четири целине пројектована је тако да има део наме-њен за
наставнике и део за ученике. Ова два дела и визуелно су подељена.
Велики број интерактивних веб страница на којима се нала-зе
сликовити, динамички аплети који демонстрирају садржаје почетне
наставе геометрије садрже:
1. Први разред - Материјал за наставнике: Различити
геометријски облици око нас, облик правоугаоника и
квадрата, особине страница правоугаоника, особине
GeoGebra in Novi Sad
та. Материјал за ученике: Препознавање облика, обим
правоугаоника (вежба – дужина рама за слику), разликовање
право-угаоника и квадрата (вежба – направимо
правоугаоник и квадрат).
2. Други разред - Материјал за наставнике: Правоугаоник,
квадрат. Материјал за ученике: Правоугаоник – вежбање,
квадрат – вежбање, прављење фигуре спајањем тачака.
3. Трећи разред - Материјал за наставнике: Угао, врсте
углова, четвороугао, правоугаоник, квадрат, правоугаоник –
обим, квадрта – обим. Материјал за ученике: Обим
правоугаоника – вежбање, обим квадрата – вежбање.
4. Четврти разред: Материјал за наставнике: Површина
правоугаоника, повр-шина квадрата, коцка (теме, ивица,
страна), мрежа коцке, површина коцке. Материјал за
ученике: Вежба за обим правоугаоника, квадрата, вежбање
за површину квадрата, површине сложених фигура.
GeoGebra in Novi Sad
На првој страни, у главном менију, могу се видети линкови који
воде до садржаја намењеног за сваки разред. На следећој слици се
могу видети те целине.
Свака целина подељена је на два дела. Први део представља
наставни материјал намењен наставницима, а други део је наставни
материјал намењен ученицима за самостални рад и вежбање.
Почетна страна интерактивног наставног материјала
Једна од четири целине
У циљу ближег представљања функционалности и интерактивности
направљеног наставног материјала детаљно ћемо анализирати
Пример 1 : Направимо правоугаоник и квадрат.
GeoGebra in Novi Sad
Детаљ наставног материјала за ученике
На овом аплету је приказан један четвороугао чија су темена
слободне тачке. Под термином слободне тачке сматрају се тачке
које је могуће померати мишем. Задатак за ученике је да померањем
ових тачака по квадратној мрежи направе правоугаоник и квадрат.
Померајући тачке ученик ће правити различите четво-роуглове,
онога тренутка када распоред тачака A, B, C и D буде такав да
предста-вљају темена правоугаоника, односно квадрата, на аплету
ће бити исписана порука: “Ово је правоугаоник”, односно: “Ово је
Ову вежбу ученик ради после упознавања својстава правоугаоника
и квад-рата. У позадини аплета налази се квадратна мрежа која је
ту да ученику помогне у процени дужине страница четвороугла
приликом постављања темена на одређена места. Поруке које
ученик добија у тренутку када је направио правоугаоник или
квадрат су оно у чему се огледа интерактивност овог наставног
материјала. Овај аплет пружа могућност да ученик експериментише
GeoGebra in Novi Sad
и на квадратној мрежи ''конструише'' квадрате и правоугаонике
разних димензија. Како се при таквом експериментисању увек
добија одговарајућа добра порука, ученик може самостално да уочи
сличности и разлике између квадрата и правоугаоника, јер у сваком
тренутку има поуздану информацију какав четвороугао је направио.
Овакав материјал подржава
и подстиче самосталан рад и
експериментисање ученика. Дакле, могуће га је користити и
самостално како у учионици, тако и ван учионице.
Порука да је ученик направио правоугаоник
Порука да је ученик направио квадрат
Коришћење апликација од стране наставника
Коришћење овог наставног материјала је једноставно. За примену
наставног материјала намењеног наставницима чак није неопходно
да се процес наставе одвија у рачунарском кабинету. Наставник би
GeoGebra in Novi Sad
требало да има на распо-лагању један рачунар, један видео
пројектор, платно за пројектовање и приступ Интернету. Осим
основних вештина за руковање рачунаром, наставнику нису
потребна никаква додатна рачунарска предзнања.
Наставник демонстрира одговарајући аплет целом одељењу,
пратећи упутства која се налазе на свакој апликацији. Поједине
апликације су само демонстративне, а поједине захтевају да
ученици дају одговор како би се попунила одговарајућа поља и
прешло на виши ниво апликације. Учитељ полако прелази
апликацију и у сваком тренутку води рачуна о одзиву ученика.
Апликације су прављене тако да се у сваком тренутку можемо
вратити уназад и посветити додатну пажњу сваком недовољно
јасном детаљу. Правовремена педагошка интервенција је кључна за
сазнајни процес, а овај материјал је пројектован са основном идејом
да учитељ има ту могућност да се у сваком тренутку заустави, врати
корак или два уназад.
Апликације су само основа излагања и никако не би требало
избегавати да се понешто запише или скицира на класичној
школској табли. Саветује се коришћење пројектора за време
демонстрације материјала, а не да сваки ученик на свом рачу-нару
прати излагање наставника јер се на тај начин наставник обраћа
свим учени-цима истовремено.
Коришћење апликација од стране ученика
Апликација коју ће ученик самостално (или уз незнатну
асистенцију) кори-стити може бити изабрана од стране учитеља или
од стране самог детета. У сваком тренутку ученик може да види
списак понуђених вежби и да пређе на нову. Уколико му је нејасно
изложено градиво, постоји могућност да погледа материјал који је
наставник излагао. Ова могућност “шетања” по тексту могућа је
захваљујући постојању линкова којима су странице “увезане”.
Ученицима су на располагању различите вежбе, од оних где је
потребно у одговарајућа поља унети одговор, преко оних где је
GeoGebra in Novi Sad
потребно помоћу миша преме-стити неки објекат са једне стране на
другу, до оних где се коришћењем опција из менија за дати аплет,
тачке спајају дужима. Већина апликација ученику шаље повр-атну
поруку о његовој успешности, односно неуспешности у траженој
Препоручује се да се часови практичне наставе изводе у
рачунарској учио-ници. Најоптималније би било да свако дете има
рачунар за себе.
Припрема наставника за коришћење апликација
За коришћење ових апликација наставницима није потребно
никакво велико предзнање из области модерних Интернет и Веб
технологија. Од наставника се очекује да је упознат са основама
рачунарске писмености. Било би добро, зарад усмеравања ученика,
и да зна најелементарније наребде програмског пакета – Geo Gebra,
као што су: цртање тачке, цртање дужи, цртање троугла,
четвороугла... .
Наглашавамо да се све ово може научити кроз примену овог
наставног материјала, тако да наставници не би требало у старту да
имају било какве страхове. Како је сама употреба прилично јасна,
довољно је да материјал пажљиво прегледају, одаберу садржаје који
би могли да им користе као интерактивно наставно средство и
демонстрирају их у учионици.
Припрема ученика за коришћење апликација
За коришћење овог материјала ученик би требало да је упознат са
математичким појмовима, терминима и правилима области из које
је добио материјал за вежбу. Наставник би требало да да детаљно
упутство за коришћење апликације која је задата ученику. За
почетне апликације (апликације нижег нивоа) није потребно
познавање програмског пакета GeoGebra. Сложеније апликације
захтевају основно знање цртања тачке и дужи, што не би требало да
пред-ставља велики проблем будући да су нове генерације ученика
GeoGebra in Novi Sad
прилично блиске са рачуна-рима. Јасно, учитељ је тај који би
требало да пренесе ученицима ова основна знања. Такође, потребно
је ученицима обезбедити рачунаре за индивидуални рад.
Коришћени софтвер
Приликом израде овог едукативног електронског материјала
комбиновано је више различитих модерних Интернет и Веб
технологија са програмским пакетом за динамичку математику –
HTML и Php
За постављање хипертекстуалног наставног материјала на Интернет
кори-шћен је језик за обележавање – HTML. Овај језик је почео да
се развија још 1989. године за интерне пројекте ЦЕРН-а, Центра за
високоенергетску физику у Швајца-рској. Првобитни циљ његовог
творца Тим Бернерс – Лиа био је да обезбеди медијум који ће
омогућити научницима да публикују и претражују 24 часа на дан.
Из свега овога 90-тих је HTML изашао као водећи језик у креирању
изгледа Интернет стра-ница. У исто време оформљена је и
непрофитна организација Word Wide Web Consortium (W3C), која
окупља неколико стотина, пре свега, академских стручњака и која
преузима контролу над веб технологијама.
Квалитетни документи се могу креирати искључиво уколико се
аутори придржавају стандарда. Аутори би све време требало да
имају на уму да ће њихови документи бити тумачени коришћењем
различитих алата у различитим окружењима и на различитим
уређајима. Зато, контролу написаног документа не би требало
вршити само на провереном и омиљеном Интернет браузеру већ се
препоручује да се за сваки написани документ провери сагласност
са стандардом путем валидације.
Језик Php коришћен је за писање динамичких Интернет страница
овог наста-вног садржаја.
GeoGebra in Novi Sad
1. Вилотијевић, М. (1999) Дидактика – организација наставе,
Учитељски факултет, Београд 2000.
2. Марјановић, М: Методика математике 1,
Учитељски факултет, Београд 1996.
3. Мрочек, В., Филиповић. Ф, (1910), Педагогија математике,
Чачански глас, Чачак, 1981. (стр. 146.)
4. Пијаже Ж, Инхелдер Б; (1982) Интелектуални развој детета,
Завод за уџбенике Београд, Београд, 1982.
5. Правилници о наставним плановима и програмима од 1. до
4. разреда основне школе
6. Спасојевић, П. (2011) Наставна средства у функцији
7. Уџбеници и радне свеске за математику од 1. до 4. разреда
основне школе, Завод за уџбенике, Београд 2007, 2008, 2009,
GeoGebra in Novi Sad
Visoka tehnička škola strukovnih studija u Zrenjaninu,
Rezime: Na primeru poznatog kviza „Želite li da postanete milioner?“
je napravljena prezentacija na temu „Želite li da analizirate funkciju?“,
koja u svim aspektima prati poznati kviz. Namera je da se ovakvom
prezentacijom studentima/učenicima približi, kako teoretski tako i
vizuelno, tok i postupak analize grafika funkcije. Pri rešavanju su
dostupne dve vrste pomoći, klasična teoretska, ali i vizuelna pomoć koja
je realizovana primenom programskog paketa GeoGebra. Primena
ovakvog načina analize toka funkcije sa jedne strane nudi podsticaj
studentima da reše kompletan zadatak, a sa druge strane, kroz pomoći,
nudi potpuni pregled prateće teorije i njene direktne primene koja se
lako uočava kroz primere realizovane u GeoGebri.
Ključne reči: Analiza grafika funkcije, novi metodski pristupi,
Posmatrajući reakcije studenata/učenika pri rešavanju zadatka koji se
odnosi na analizu grafika funkcije i razmatrajući rezultate koje oni pri
tome postižu, došlo se do zaključka da ovaj zadatak za studente
GeoGebra in Novi Sad
predstavlja nešto što je vrlo kompleksno i komplikovano za rešavanje.
Iako ovom zadatku prilaze studenti/učenici koji su u velikom procentu
savladali teoretsku podlogu zadatka, ostaje i dalje blokada koja se tiče
direktne primene teorije u ovom zadatku.
U cilju prevazilaženja gore navedenih problema nastala je prezen-tacija
„Želite li da analizirate funkciju?“ koja je prikazana u ovom radu.
Prezentacija je zasnovana na poznatom kvizu „Želite li da postanete
milioner?“ i bazirana je na savremenim metodskim pristupima koji
kombinuju nove metode učenja.
Realizacija prezentacije je omogućena primenom programskog paketa
GeoGebra koja je korišćena za dinamički prikaz pojmova. Time je
omogućena primena vizualizacije i matematičkog modelovanja u delu
nastavnog procesa koji se odnosio na obradu grafika funkcije.
Analiza grafika funkcije
Analiza grafika funkcije je oduvek predstavljao jedan vrlo kompleksan
zadatak, i izazov, kako za studente, odnosno učenike, tako i za
Posmatrajući ovaj problem iz aspekta studenata/učenika, može se
primetiti da uspešno rešavanje ovakvog zadatka zahteva znanje i
razumevanje više različitih oblasti matematike. Takođe, samo znanje u
ovom slučaju mora biti i aktivno, tj. student/učenik mora biti osposobljen
da ranije stečena znanja direktno i primeni.
Kako se analiza grafika funkcije sastoji iz nekoliko tačaka, za svaku od
njih je potrebno određeno teoretsko predznanje. Tako, za ispitivanje
osnovnih osobina funkcije potrebno je razumevanje pojmova kao što su:
oblast definisanosti funkcije, nule funkcije, parnost funkcije,
periodičnost. Da bi se uspešno analizirale asimptote funkcije,
studenti/učenici moraju poznavati i razumevati granične vrednosti
(limese), što je jedna vrlo kompleksna oblast. Diferencijalni račun je od
ključne važnosti za analizu grafika funkcije, jer njegovom primenom se
dolazi do saznanja o osobinama funkcije kao što su: monotonost
funkcije, ekstremne vrednosti, konveksnost i konkavnost, prevojne tačke
GeoGebra in Novi Sad
funkcije. Ove navedene osobine su možda i ključne kod analize grafika
funkcije i bez njih se nikako ne bi mogla kompletirati analiza funkcije.
Sa druge strane, diferencijalni račun je jedna vrlo apstraktna oblast, koja
se uspešno može primeniti samo kada je studenti/učenici potpuno
Studenti/učenici kao opravdanje za negativne stavove i loše ostvarene
rezultate pri rešavanju ovog zadatka navode pre svega, obim zadatka i
njegovu zahtevnost koja se odnosi na primenu različitih oblasti
matematike. Takođe, primećuje se da i oni malobrojni, koji privedu
analizu grafika funkcije kraju, imaju problema sa skiciranjem samog
grafika funkcije.Razlog za to, studenti/učenici nalaze u nemogućnosti da
vizualizuju funkciju na osnovu dobijenih formalnih rezultata.
Metodski pristupi analizi grafika funkcije
Uspešno predstavljanje studentima/učenicima problema analize grafika
funkcije zahteva kombinovanje više različitih metodskih pristupa.
Prisutnost metodskih pristupa u nastavi koji podstiču vizualizaciju i
aktivno učenje bi u značajnoj meri doprineli poboljšanju rezultata koje
studenti/učenici ostvaruju pri rešavanju zadatka vezanog za analizu
grafika funkcije. Takođe, neophodno je i studente/učenike animirati da
se dublje posvete rešavanju ovog zadatka, jer je primećeno da lako
odustaju od rešavanja zbog kompleksnosti i obimnosti samog zadatka.
U cilju da se studentima/učenicima što više približi pojam grafi-čkog
predstavljanja funkcije i da što lakše i sa više razumevanja prođu i
usvoje proces analize grafika funkcije, osmišljena je prezentacija „Želite
li da analizirate funkciju?“ koja integriše više metodskih pristupa kroz
prezentovanje teorijskih pojmova, vizualizaciju, matematičko
modelovanje i aktivno učenje koje se manifestuje kroz primere i animacije koji su urađeni uz pomoć programskog paketa GeoGebra.
GeoGebra i analiza funkcije
GeoGebra je programski paket koji se pokazao kao jedan od idealnih za
korišćenje u nastavnoj praksi. Njene glavne pozitivne odlike se ogledaju
GeoGebra in Novi Sad
u jednostavnosti korišćenja, ali zato u izvanrednoj moći predstavljanja
matematičkih pojmova, a posebno u njenoj dinamičkoj prirodi.
Upravo dinamički modeli koji se mogu napraviti u GeoGebri pružaju
nastavnicima neverovatno širok aplet mogućnosti za uvođenje
inovativnih metodskih pristupa koji se odlikuju kreativnošću.
Prezentacija „Želite li da analizirate funkciju?“
Prezentacija „Želite li da analizirate funkciju?“ je bazirana na poznatom
kvizu „Želite li da postanete milioner?“, čija je popularnost potvrđena
širom sveta u više mahova. Ideja da se napravi analogija analize grafika
funkcije i poznatog kviza leži zapravo u principu samog kviza, a to je
stići što dalje i otvoriti i poslednje pitanje za milionera. Prevedeno na
jezik analize grafika funkcije, taj princip bi glasio: stići sa analizom
grafika funkcije što dalje i doći do poslednjeg koraka – skice grafika
funkcije. Ovakvom prezentacijom zadatka bi se studenti/učenici
animirali da zadatak privedu kraju, a da pri tome nemaju utisak da
rešavaju obiman i zahtevan zadatak, već da kroz interesantne animacije i
uz vođstvo i pomoć teorije rade nešto zanimljivo, na način koji je njima
Koncepcija prezentacije je sledeća: analiza grafika funkcije je podeljena
po oblastima u petnaest pitanja kao i u originalnom kvizu. Za svako
pitanje su ponuđena četiri odgovora, od kojih je samo jedan tačan. Pri
tome sve vreme, uz svako pitanje su dostupne dve vrste pomoći: Pomoć
teorije i Pomoć GeoGebre. Osnovni elementi prezentacije mogu se
videti na slici 1.
Klikom na tasterPomoć teorije otvara se stranica sa sadržajem
vezanim za osobinu funkcije koja se analizira u tom pitanju.
Korisniku su dostupne definicije i teoreme koje se odnose na
osobinu funkcije koja je aktuelna u tom pitanju i mogu služiti kao
podsetnik za prethodno savladane pojmove.
GeoGebra in Novi Sad
Taster zaPomoć
Slika 1. Osnovni elementi prezentacije „Želite li da analizirate
lizirate funkciju?“
Pomoć GeoGebre aktivira link ka GeoGebra fajlovima, i to za
svako pitanje posebno. Ova pomoć se sastoji u dinamičkim
modelima koji uz svako pitanje ponaosob predstavljaju
predstavlja neku od
osobina funkcije. Кao što Pomoć teorije predstavlja podsetnik za
definicije i teoreme potrebne
ebne za analizu funkcije, tako Pomoć
GeoGebre predstavlja način
in za prikazivanje direktne primene tih
definicija i teorema što ima dvojaku korist. Sa jedne strane
omogućava studentima/učenicima
enicima da stvore dobar koncept slike
pojma koji je vezan za datu osobinu
nu funkcije, a sa druge strane, što
je još bitnije, omogućuje
uje da se vidi konkretna primena definicija i
teorema u praksi, što po svim principima matematičkog
modelovanja i aktivnog učenja
enja vodi do pravog razumevanja pojma
i kasnije mogućnosti za njegovo korišćenje
enje u radnoj praksi i
realnom svetu.
GeoGebra in Novi Sad
Pitanja u prezentaciji prate redosled koji je uobičajen za analizu
funkcije, ali su ipak gradacijski poređana kao i u originalnom
kvizu. Poslednje, petnaesto pitanje je po važnosti ekvivalentno
petnaestom pitanju u kvizu – ko na njega da tačan odgovor
dostigao je maksimum, u ovom slučaju analizirao je kompletnu
funkciju i nacrtao je njen grafik.
Pregled i analiza prezentacije
Prezentacija „Želite li da analizirate funkciju?“ sadrži ukupno
petnaest pitanja koja se odnose na oblasti i pojmove koji se javljaju
pri analizi funkcije, kao što su domen, nule, znak, monotonost...Svako pitanje je realizovano na sledeći način: Na jednoj
stranici se nalazi pitanje i četiri ponuđena odgovora (Slika 2. A).
Na istoj stranici su i linkovi Pomoć teorije i Pomoć GeoGebre.
Klikom na Pomoć teorije stiže se do strane na kojoj se nalaze
definicije i teoreme potrebne za rešavanje datog pitanja (Slika
2.C). Sa te stranice se pomoću linka Home ( u donjem desnom
uglu stranice) vraća na početnu stranu sa pitanjem.
Pomoć GeoGebre otvara GeoGebra fajl sa dinamičkim modelom
koji se odnosi na postavljeno pitanje (Slika 2. D). Pomoć
GeoGebre je kod svakog pitanja realizovana kao dinamički model,
dakle moguće je menjati zadate parametre, posmatrati promene
funkcije korak po korak, posmatrati animaciju. Time je direktno
omogućeno da studenti/učenici vide konkretnu primenu i
realizaciju prateće teorije vezane za datu osobinu funkcije.
Zatvaranjem GeoGebra fajla vraća se takođe na početnu stranu sa
postavljenim pitanjem. Kada se reši pitanje, klikom na bilo koje
mesto na stranici, prelazi se na sledeću stranicu koja sadrži
GeoGebra in Novi Sad
nkovikasvimpitanjima, slika 3.1.1.
Taster Homekojivodinazadkastranicinakojoj je
Slika 2. Primer realizacije desetog pitanja
GeoGebra in Novi Sad
postavljeno pitanje i ponuđene odgovore, s tim što je tačan
odgovor obeležen drugom bojom (Slika 2.B). Na stranici sa tačnim
odgovorom takođe je postavljen link Home (donji desni ugao
stranice) koji vodi na početak prezentacije gde su dati linkovi ka
svim pitanjima. Na slici 3 je predstavljena kompletna realizacija
desetog pitanjakoje je vezano za monotonost funkcije.
Svako od petnaest pitanja u prezentaciji je realizovano na isti
način, koji je opisan u prethodnom primeru. Poslednje, petnaesto
pitanje koje inače predstavlja finale kviza, odnosno analize grafika
funkcije, kao ponuđene odgovore ima već gotove grafike funkcija,
međutim, sva četiri ponuđena grafika funkcije se mogu
„pokrenuti“, na taj način što je svaki od njih zapravo link ka
GeoGebra fajlu koji sadrži dinamički model funkcije, koji se može
pokrenuti i samim tim posmatrati i analizirati, uporediti sa
osobinama funkcije koje su analizirane kroz prethodna pitanja
(Slika 4.).
GeoGebra in Novi Sad
Slika 3Prikaz petnaestog pitanja i linkova ka ponuđenim graficima funkcija
Takođe, u petnaestom pitanju je Pomoć GeoGebre nešto drugačije
realizovana. Naime, taster Pomoć GeoGebre aktivira otvaranje
praznog GeoGebra fajla, kao izazov studentima/učenicima da sami
iskoriste GeoGebru i nacrtaju grafik funkcije. Time se
studenti/učenici animiraju ne samo da analiziraju grafik funkcije,
već i da nauče da koriste programski paket GeoGebra, čije su
mogućnosti i način njihove realizacije mogli da prate analizirajući
grafik funkcije putem prezentacije „Želite li da analizirate
GeoGebra in Novi Sad
Slika 4 Pomoć GeoGebre kod petnaestog pitanja
Kada studenti/učenici
enici završe analizu grafika funkcije i odgovore
na poslednje pitanje, taster Home ih vodi na poslednju stranicu
prezentacije, Slika 5.
Taster Homevodina
Slika 5. Poslednji slajd prezentacije
GeoGebra in Novi Sad
Prezentacija „Želite li da analizirate funkciju?“ predstavlja rezultat
kombinovanja savremenih metodskih pristupa koji su zasnovani na
principima vizualizacije, aktivnog učenja i matematičkog modelovanja.
Pomoć teorije i Pomoć GeoGebre koje su dostupne kod svakog pitanja
vode studente/učenike kroz kompletan postupak analize grafika funkcije
kako sa teoretske, tako i sa strane primene teorije u praksi putem
GeoGebra dinamičkih modela.
Ovakvim pristupom obradi pojma grafika funkcije studentima-učenicima
je omogućeno da sve pojmove koji se javljaju čuju, vide i sami urade, što
su osnovni preduslovi za stvaranje dobrog koncepta definicije i koncepta
slike, čime im se pruža mogućnost za pravilno usvajanje pojmova koje
će moći da primene u praksi i realnom svetu, što je zapravo i glavni cilj
kome teži savremena nastava matematike.
[1] D. Tall (ed.): Advanced mathematical thinking, Kluwer
Academic Publishers, New York, Boston, Dordrecht, London,
Moscow, 2002.
[2] Đ.Takači, M. Samardžijević: Vizualn ipristup definiciji izvoda
funkcije, Nastava matematike, LI_1-2, str. 19-28, Beograd, 2006.
[3] G. Kaiser: Modelling and modelling competencies in school,
Math. Modeл. (ICTMA12) Education, Engineering and Econ,
ISBN 987-1-904275-20-6 Chichester: Horwood (2007) 510 pp.
[4] Sekulić, T., Takači, Đ., GeoGebra i matematičko modelovanje u
nastavi matematike, Prezentovano na Međunarodnoj konferenciji
o GeoGebra-i zajugoistočnu Evropu, Novi Sad, 2011.
[5] Sekulić, T., Takači, Đ., Obrada izvoda funkcije pomoću računara – matematičko modelovanje, Prezentovano u okviru IPA
Projekat „Nastava matematike i statistike u prirodnim naukama:
Pristup preko modeliranja i pomoću računara” , HUSRB/0901/221/088 TEAMATHMODSCI, 27. -29. maj, 2011.,
Novi Sad, Srbija
GeoGebra in Novi Sad
Dragana Nedić
Saobraćajni fakultet Doboj,
Univerzitet u Istočnom Sarajevu
Rezime: Ispitivanje znaka, a i monotonosti funkcije predstavlja problem
učenicima, počev od kvadratne funkcije pa dalje. GeoGebra je
matematički paket koji nam omogućava da učenicima približimo te
pojmove, tako da oni na jednostavan i zanimljiv način dosta lako nauče
da sa grafika funkcije prepoznaju i pročitaju intervale na kojima je
funkcija pozitivna, odnosno negativna, intervale gdje funkcija raste,
odnosno opada.
Vrijeme u kome živimo obilježeno je informatičkom i komunikacionom
revolucijom. Sve je u znaku računara i informacija, sve se radikalno
mijenja zahvaljujući kompjuterima i njihovoj moći. Savremena nastava
matematike oslanja se sve više na upotrebu računara i obrazovnih
Unapređenje nastave i učenja može se ostvariti uvođenjem novih
organizacionih formi nastave, masovnom primjenom nastavnih sredstava
kao i uvođenjem novih metoda nastavnog rada. Svrha novih oblika
organizacije nastave je da se prevaziđu ograničenosti klasične nastave,
da se smjelije uvodi nova obrazovna tehnologija, da se sadržaji više
GeoGebra in Novi Sad
prilagode prethodnim znanjima, interesovanjima i sposobnostima
učenika u procesu nastave.
Na svim tehničkim fakultetima u okviru predmeta matematika izučava se
diferencijalni račun kao i njegova primjena na ispitivanje funkcija.
Ispitivanje toka funkcije učenicima, odnosno studentima je vrlo teško
razumjeti, pogotovo onima sa slabijim predznanjem.
Da bi studenti na lakši i jednostavniji način shvatili ispitivanje toka
funkcije može nam pomoći matematički softver GeoGebra.
Uopšte, efikasna upotreba novih nastavnih tehnologija može biti veoma
korisna za napredak i podsticanje učenika u učenju.
Tall [1] smatra da je od velikog značaja povezivanje slika sa određenim
uslovima, kako bi studenti razvijali dodatno znanje. Neophodno je da se
kombinuje slika i način definisanja metoda da bi se poboljšalo postojeće
Cilj ovog istraživanja je da se utvrdi koliko upotreba novih tehnologija
može biti korisna za napredak u učenju, i kolika je zainteresovanost
studenata za upotrebu novih tehnologija.
Obrada znaka i monotonosti funkcije pomoću softvera GeoGebra rađena
je sa studentima Saobraćajnog fakulteta u Doboju školske 2009/2010
godine u okviru predmeta matematika 2.
Slika 1. Znak funkcije
GeoGebra in Novi Sad
Ispitivanje znaka i monotonosti funkcije pomoću softvera GeoGebra
Da bi na jednostavan ali interesantan način ispitali znak i monotonost
funkcije korišten je matematički softver GeoGebra.
Lekcija je obrađena interaktivnom metodom. Prilikom ispitivanja znaka,
a i monotonosti funkcije, naravno poslije objašnjenog teoretskog dijela
koje prethodi, studentima su prikazivani slajdovi sa kojih su oni sami
morali da zaključe šta se dešava na grafiku.
Primjeri animacije u programu GeoGebra:
a) Ispitivanje znaka funkcije, gdje studenti sa grafika treba da pročitaju
intervale na kojima je funkcija pozitivna, odnosno negativna. (slika 1.)
b) Prikaz monotonosti funkcije sa kojeg se jasno može vidjeti gdje
funkcija raste, odnosno opada. Uporedo sa tačkom koja se kreće po
funkciji vozić se kreće po x osi. (slika 2.)
Slika 2. Monotonost funkcije
c) Vozić koji ispituje znak i olovka koja ispituje monotonost funkcije
(slika 3.)
GeoGebra in Novi Sad
Slika 3. Monotonost i znak funkcije
3. Istraživanje
Istraživanje koje je provedeno na Saobraćajnom fakultetu u Doboju
imalo je za cilj da se studenti zainteresuju, aktiviraju i da usvoje
nastavno gradivo. Ispitivanje toka funkcije posebno predstavlja problem
studentima sa slabijim predznanjem, kao i onima koji se u srednjoj školi
nisu uopšte susretali sa diferencijalnim računom, kao i sa funkcijama.
Studenti su podijeljeni u dvije grupe od 25. U grupama se nalazio isti
broj studenata koji su u srednjoj školi imali matematiku četiri godine,
kao i onih koji su u srednjoj školi imali matematiku dvije ili tri godine.
Svi su položili test koji je prethodio ispitivanju funkcija. Grupe su
ujednačene što se tiče predznanja.
Sa prvom grupom je funkcija obrađivana klasično,tradicionalnom
metodom , koristeći kredu i tablu, dok je sa drugom grupom rađeno
interaktivno, koristeći matematički softver GeoGebru. Gradivo koje su
GeoGebra in Novi Sad
studenti slušali potpuno je isto, samo izloženo na drugačiji način, takođe
je i predavač isti.
Nakon toga je izvršeno testiranje.
Studenti kod kojih je korišten računar pri obradi nastavne jedinice nakon
testiranja radili su anketu čiji je cilj da istraži kolika je zainteresovanost
za ovakav način predavanja.
4. Rezultati
Istraživanje je provedeno školske 2009/2010 godine.
Rezultati istraživanja su sljedeći:
U prvoj grupi od 25 studenata sa uspjehom je prošlo testiranje 16
studenata ili 64%, dok je u drugoj grupi sa uspjehom prošao testiranje 21
student ili 84%.
Na osnovu priloženih podataka može se primijetiti da je bolje rezultate
postigla grupa kod koje je korišten računar u nastavnom procesu.
Rezultati ankete koju je radilo 25 studenata (grupa kod koje je korišten
računar prilikom obrade nastavnog sadržaja) dala je sljedeće: od 25
studenata njih 22 (88%) smatra da je nastava uz pomoć računara bolja od
klasičnog oblika nastave, dok su 3 (12%) studenta odgovorila da nastava
pomoću računara nije poboljšala njihove rezultate učenja.
5. Zaključak
Istraživanje pokazuje da je neophodno uvoditi promjene u sistem
obrazovanja i prilagođavati se novim, savremenim standardima.
Matamatički paket GeoGebra omogućava kreativniji pristup nastavi
matematike i bolju vizuelizaciju pojmova koje uvodimo. Uz pomoć
matematičkih programa učenici se moraju prilagoditi novim okolnostima, gdje matematičke pojmove i pravila izgrađuju uz pomoć
nastavnika ali i sami otkrivaju odgovarajuće osobine.
GeoGebra in Novi Sad
[1] D. Tall, A graphical to integration and fundamental theorem,
Math. Teach. 113 (1986), pp. 48–51.
[2] Dušan Adnađević, dr Zoran Kadelburg, Matematička analiza I,
Nauka, Studentski trg, Beograd 1994.
[3] Hohenwarter, М., Hohenwarter Ј., „GeoGebra помоћ- званично
упуство 3.2“ , Prevod na srpski jezik Herceg D., Herceg Đ.,
[4] Svetozar Kurepa , Matematička analiza, diferenciranje i
integriranje, Tehnička knjiga, Zagreb
[5] Đurđica Takači, dr Arpad Takači , Zbirka zadataka iz analize I,
prvi deo, Univerzitet u Novom Sadu, Novi Sad 1997.
[6] M.P. Ušćumlić, dr P.M.Miličić, Zbirka zadataka iz više
matematike I, Nauka, Beograd 1996.
GeoGebra in Novi Sad
(1868 – 1943)
Војислав Андрић
Геоекономски факултет,
Мегатренд универзитета у Београду
’’Само неуки и неразумни људи могу да сматрају да је прошлост
мртва и непролазним зидом заувек одвојена од садашњости.
Истина је напротив да је све што је човек некад мислио, осећао и
радио, нераскидиво уткано у оно што ми данас мислимо, осећамо и
радимо. Уносити светлост научне истине у догађаје прошлости,
значи служити садашњости’’.
Иво Андрић
Ове године навршава се 140 година од рођења Михаила Петровића
Аласа, вероватно једне од стотинак најзанимљивијих и
најсвестранијих личности у историји нашег народа и сигурно једне
од најзначајнихих личности у српској науци и култури на крају 19.
GeoGebra in Novi Sad
и у првој половини 20. века, али и једног од најинтересантнијих и
најпроду-ктивнихих стваралаца у математичкој науци код Срба
Циљ овога текста је да се осврне на стваралаштво Михаила
Петровића у области математике и посебно анализира допринос
Михаила Петровића настави математике, као и утицај његових
педагошких идеја на развој математике у Србији све до наших дана.
У тексту ће бити речи о животу и раду Михаила Петровића,
Београдској матема-тичкој школи, докторантима Михаила
Петровића и његовим многобројним активно-стима које се односе
на унапређивање школске и универзитетске наставе математике у
Летопис Михајла Петровића
Михаило Петровић је рођен у Београду 24. априла (8. маја по новом
календару) 1868. године од оца Никодима (професор богословије) и
мајке Милице. Пошто је рано остао без оца, на васпитавање и
образовање Михаила Петровића снажно је утицао, његов деда по
мајци – прота Новица Лазаревић, захваљујући коме је Михаило
Петровић заволео књигу и постао радознао младић усмерен ка
знању и науци. У својој шестој години, 1874. године Михаило
Петровић, је пошао у основну школу, а 1878. године у Прву
београдску гимназију, која је тада радила у дворишту Капетан
Мишиног здања – згради у којој је Михајло Петровић провео пуних
55 година (са прекидом само за време студија у Паризу).
Васпитаван у духу свестраности Михаило Петровић је 1880. године
започео да свира виолину, да би касније постао прави мајстор у
извођењу народне и староградске музике. 1892. године оснива
свирачко друштво ''Суз'' с којим је музицирао до пред крај живота и
с којим је тридесетих година снимио читаве серије старих и
заборављених народних мелодија за Радио Београд. Нешто
касније, 1882. године Михаило Петровић код дунавског аласа Ђуре
Пупе почиње да као шегрт учи рибарски занат, да би касније постао
GeoGebra in Novi Sad
калфа и рибарски мајстор. Због тога је и добио познати надимак
Мика – Алас.
Прву београдску гимназију завршава 1884. године и полаже испит
зрелости са одличним успехом
Исте године се уписује на
природно-математички одсек Филозо-фског факултета Велике
школе у Београду, а 1886. године ради свој први математички рад –
семинарски рад ''О једној модификацији Грефеова метода за
решавање једначина вишег степена''. За темат из области рачунских
машина, на тему мерења површина, 1889. године добија другу
Светосавску награду на Техничком факултету Велике школе.
Јула 1889. године Михаило Петровић завршава студије на
природно-математи-чком одсеку Филозофског факултета Велике
школе у Београду. Исте године одлази у Париз и годину дана
припрема пријемни испит за Еcole Normale Superieure. Наредне
1990. године добија још једну светосавску награду за урађен темат
из аналитичке геометрије, а потом полаже најпре писмени, а у јулу
и усмени део пријемног испита и бива примљен на Еcole Normale
Superieure као један од ретких странаца. У Паризу Михаило
Петровић вредно ради, а 1892. године добија државну стипендију и
постаје питомац Краљевине Србије. Исте године стиче диплому
лисанса математичких наука, а 1893. и диплому лисанса физичких
наука. У тим годинама Михаило Петровић у Паризу слуша више
курсева код чувених француских математичара тог времена професора Poincare-a, Picard-a, Painleve-a и Darboux-a.
Двадесет деветог јуна 1984. године Михаило Петровић брани
докторску тезу на Париском универзитету. Теза носи наслов ''О
нулама и бесконачностима интеграла алгебарских диференцијалних
једначина'', а комисију за одбрану докторске тезе су чинили: Ермит
(председник) и Пикар и Пенлеве (испитивачи). Одбраном докторске
тезе Михаило Петровић је стекао звање доктора математичких
наука. Само неколико месеци касније, указом П. Бр. 863, од 22.
октобра 1894. Михаило Петровић је поста-вљен за редовног
професора математике на Филозофском факултету Велике школе у
GeoGebra in Novi Sad
Београду. На Великој школи, од 1905. године Универзитету у
Београду6, остаће пуне 44 године, све до пензионисања, 1938.
Научни опус Михајла Петровића
Научни рад Михаила Петровића везан је углавном за две институције: Београ-дски универзитет и Српску краљевску академију
(касније Српска академија наука и уметности), чији је дописни члан
постао 1897, а редовни члан 1899. године. Приступну беседу за
Српску краљевску академију одржао је 1900. године, а у том раду7
На слици су први професори Београдског универзитета. Десно седе
Јован Цвијић и
Михаило Петровић
Видети: Михаило Петровић: О математичкој теорији активности
узорка, Сабрана дела
Михаила Петровића, књига 6, стр. 222-265
GeoGebra in Novi Sad
је говорио о математичкој феноменологији8, тј. о аналогијама
разних процеса у природи.
Научни опус Михаила Петровића обухвата проблеме теорије
функција, дифере-нцијалних једначина. проблеме алгебре, теорије
бројева, теорије вероватноће и других подобласти математике.
Објавио је преко 400 математичких радова (из математике 328 и
примењене математике 74) и близу 100 нематематичких радова.
Имао је добре идеје и квалитетна решења проблема. Његови радови
су били резултат снажне математичке интуиције, оригинални и
обилују великим бројем отворених питања. Није се бавио даљом
трансформацијом својих идеја, уопштавањима и сличним
Своје радове Михаило Петровић је објављивао у 30 иностраних
часописа и преко 30 домаћих часописа и листова. Волео је путовања
и био је чест учесник међународних конгреса и скупова
математичара. Од Париза 1900, преко Торонта (1924), Цириха
(1932), Прага (1934), Букурешта (1937) ... Учествовао је на око 40
конгреса математи-чара у свету, а на многима председавао
секцијама и био потпредседник конгреса. Био је члан многих
европских удружења математичара и дописни члан многих
европских академија наука.
Био је годинама сам на Филозофском факултету у Београду (18941921) и то може бити нека врста правдања за ове пропусте. Из
Париза је у своју отаџбину понео многе манире и ставове
француских математичара који су, очигледно, имали своје
специфичности. Тако, код Петровића нема геометријâ, нема у то
време новог језика вектора и тензора, а о линеарној алгебри, о
матрицама ни трага.
Видети: Сабрана дела Михаила Петровића, књига 6 Математичка
GeoGebra in Novi Sad
Данас се о математичком делу
Михаила Петровића9 могу чути
разна мишљења, од одушевљења до
оспоравања. Крити-чки однос ни у
ком случају не умањује значај
великог научног рада и доприноса
Михаила Петровића, о чему говори
и осврт др Драгана Трифуновића,
вероватно најбољег познаваоца
живота и дела Михаила Петровића:
''Наша истраживања Петро-вићевог
дела, поред очигледних успеха и
признатих резултата, забележила су
и пропусте које је научник имао.
Установили смо да је наш професор од једног задатка или мањег,
олаког проблема састављао читаву "научну расправу", што се
математичарима европског формата није могло десити.
Методологија и само излагање расправе у потпуности су у маниру
француских текстова друге половине 19. века. Тако је Петро-вић
писао до краја живота. Савремених проблема код њега нема. Није се
никада мењао! Иако је радио и стварао до средине нашег столећа,
није се одвајао од садржаја 19. века. Код Петровића не налазимо
личне ставове према хипотези континуума, студије о својствима
разних простора, теорији скупова и другим радовима Кантора,
"опасног" Кронекера, Дедекинда и многих других значајнијих
стваралаца. Теорија мере и интеграције потпуно је изостала.
Граничних процеса скоро и да нема. О Римановим
многострукостима ни речи; Хилбертова учења и отворени проблеми
не постоје у делу Михаила Петровића''.
На слици је Михаило Петровић 1905. године
GeoGebra in Novi Sad
Педагошко дело Михајла Петровића
Међутим, незаобилазни део плодног и занимљивог стваралаштва
Михаила Петровића био је и његов педагошки рад, који је оставио
значајне трагове у времену у коме је научник живео, али који преко
настављача његовог дела досеже и до наших дана.
Одмах по доласку из Париза 1894. године Михаило Петровић је
почео организо-ван рад на популаризацији математике,
унапређивању наставе математике, уздизању научног кадра и
оспособљавању наставног кадра који реализује наставу математике
у гимназијама и стручним школама тадашње Србије. Та настојања
се данас помињу под јединственим именом – Београдска математичка школа.
Сигурно најважнији допринос Михаила Петровића у овој сфери су
његови мно-гобројни ученици и сарадници који су врло брзо
прихватали научни метод свог професора и оплемењивали га новим
идејама и резултатима.
Михаило Петровић је у првих неколико деценија 20. века на
Београдском универзитету био ментор десеторици доктора
математичких наука. У наредној табели дајемо преглед свих
његових доктораната и њихових резултата:
Име и презиме
Младен Берић
Сима Марковић
Тадија Пејовић
Радивој Кашанин
Јован Карамата
GeoGebra in Novi Sad
Милош Радојчић
Данило Михњевић
Константин Орлов
Department of Mathematics North Dakota State University у сарадњи
са Америчким математичким друштвом покренуо је јединствен
Маthematics Genealogy Project.10 Oвај отворени пројекат, доступан
путем Интернета, прати научне наследнике најчувенијих светских
математичара. Михаило Петровић тренутно има 424 научна
наследника, од којих су 10 његови докторанти, 73 докторанти
његових доктораната ...
Оно што је важније од ових статистичких података је чињеница да
са научни наследници Михаила Петровића (и његовог менторског
колеге Јасques Hadamard-a11 чији је један од научних наследника
Ђуро Курепа), кao и њихових ученика, имали и данас имају значајан
утицај на развој научне мисли и наставе математике у Србији.
О томе шта су за развој математике у Србији значили докторанти
Михаила Петровића и њихови научни наследници могао би се
написати посебан рад. Чињеница је да су Тадија Пејовић, Радивоје
Кашанин, Милош Радојчић, Драгослав Митриновић, Константин
Орлов и Драгољуб Марковић оставили неизбрисив траг у српској
матема-тици 20. века и да су већина универзитетских наставника у
Србији данас управо њихови ученици. Посебан допринос не само
нашој, него и светској математичкој науч-ној мисли дао је Јован
Обојица су докторирали код Emila Picard-a: Ј. Hadamard 1892, а М.
Петровић 1894. године
GeoGebra in Novi Sad
Карамата (1903-1967) вероватно најцитиранији наш математичар
свих времена. Аутор је теорије правилно променљивих функција,
која игра крупну улогу у савременој теорији вероватноће. Аутор је
и низа радова који и данас, после неколико деценија од њиховог
објављивања служе као полазишта у математичким истраживањима,
што у овој науци није правило већ редак и частан изузетак.
У монографији ''Летопис живота и рада Михаила Петровића'' др
Драган Трифуновић као почетак ''рада'' Београдске математичке
школе наводи 19. мај 1912. године, тј. датум када Михаило
Петровић упутио молбу Савету Филозофског факул-тета за пријем
свог првог докторанта Младена Берића на место доцента за предмет
Теориска Математика.12 Касније су истим и сличним путем ишли и
остали ученици Михаила Петровића, а Београдска математичка
школа траје и до наших дана, али је проблем њеног идентитета и
посебно ауторитета, веома присутан.
Међутим, Михаило Петровић је значајно утицао не само на развој
научног, него и наставног кадра у области математике. У овој сфери
од 1897. године био је повре-мени надзорник за наставу математике
у средњим школама и изасланик на полагању матурских испита у
београдским гимназијама и гимназијама у унутрашњости Србије.
Скоро целог свог радног века био је председник комисије за
полагање професорских испита. Једно време је био члан, а 1912.
године и председник Просветног савета Министарства просвете
Србије. Рецензирао је средњошколске уџбенике и увек био у току
средњошколске наставе и квалитета уџбеника који се у њој користе.
''Михаило Петровић је огромно време посветио настави. Дуго
година био је једини професор математике на Филозофском
факултету, а студије математике трајале су четири године; све
курсеве математике држао је искључиво он. Разуме се, да у тим
околностима све математичке дисциплине нису могле бити
Видети: др Драган Трифуновић: Летопис живота и рада Михаила
Петровића, стр. 241.
GeoGebra in Novi Sad
заступљене, нити равно-ћмерно обрађиване. За осам курсева које је
предавао издао је ауторизована скрипта, а сами студенти су издали
неколико неауторизованих скрипти по његовим предавањима.
Објављена су му и три уџбеника. Сам је држао вежбе, сам
руководио израдом семи-нарских радова студената. Снабдевао је
библиотеку књигама и часописима и покренуо два научна часописа
за публиковање научних радова из математике''.13
Наш велики математичар озбиљно се бавио и конкретним
проблемима наставе математике. Наиме на Конгресу математичара
у Риму (6-11.април 1908. године) име-нован је трочлани одбор који
је добио задатак да формира Међународну комисију за наставу
математике. Комисија је формирана у Келну, септембра исте године
и имала је 43 члана из 25 земаља Европе, Америке и Аустралије, а
делегат Србије у овој комисији је био Михаило Петровић. У свом
извештају14 који јавно публикује 1913. године Миха-ило Петровић
говори о два скупа Међународне комисије за наставу математике: у
Милану (18-21.09.1911.) и Кембриџу (август 1912.). На скупу у
Кембриџу Михаило Петровић је учествовао са рефератом Fonctions
implicites oscillantes. Закључци ова два скупа којима је председавао
Феликс Клајн су били да се настава математике реализује по
реформисаном програму који је 1905. године усвојен у Мерану у
Италији (тзв. Мерански програм ) и заснује на интуицији и
очигледности, али да се стално врши прикупљање и размена
наставних искустава из разних земаља.
Михаило Петровић је био аутор веома занимљивих текстова за
средњошколце. У тим текстовима се говори о интересантним
проблемима (варљивости ока, погрешним закључцима и лоше
нацртаних скица ...), али и веома популарно и разумљиво објашња13
Видети: Раде Дацић: Матеаматичка Легенда – Михаило Петровић
Видети: Михаило Петровић: Сабрана дела, књига 10: Чланци, Студије,
стр. 84-92
GeoGebra in Novi Sad
вају доста сложени проблеми (неодређени, немогући, непотпуно
одређени задаци, стереометријске неједнакости, квадратура круга,
трисекција угла ...) 15
Иначе Михаило Петровић је у неколико наврта био продекан, а од
1908-1910. године и декан Филозофског факултета у Београду.
Године 1927. изабран је и за ректора Београдског универзитета, али
је одбио да се прихвати ове значајне функције, јер је претходно два
пута од стране академика предлаган за председника САНУ, али му
је због дугогодишњег искреног пријатељства са принцом Ђорђем
Карађорђевићем, утицајем тадашњих власти ускраћиван и избор.
Михаило Петровић је био занимљива личност јер се поред
математике и њених примена бавио и многим другим областима. Он
се јавља се као писац закона, реферата и извештаја с многих
научних скупова; изумитељ је неколико успешних патената16; писац
педагошких радова из математике за основне и средње школе;
посебан је представник механичког схватања у природној
филозофији; астроном, сарадник дневних листова; запажен изумеђу
два рата као писац путописа у нашој књижевности, историчар,
есејиста, творац веома успешних система у криптографији за
потребе војске и дипло-матије; сакупљач народног мелоса и
фолклора; писац стручних текстова из рибарства и економије,
океанограф и морепловац, итд.
Видети: Михаило Петровић: Сабрана дела, књига 10: Чланци, Студије,
стр. 15-63
На слици је хидроинтегратор Михаила Петровића за чији проналазак је
добио златну
медаљу на Светској изложби у Паризу 1900. године
GeoGebra in Novi Sad
Остали доприноси Михајла Петровића
дисциплинованом човеку
велике енергије без обзира
да ли се ради о математици
или неким другим научним
областима. Најбољи доказ
његове научне радозналости, свестраности и широког образовања сигурно су
његови филозофски, књижевни и други радови.
Књиге ''Математичка феноменологија'' и ''Метафоре
и алегорије'', које повезују
математику са другим
областима, као и роман
''Јегуља'' и путописни романи говоре о човеку који је све што је радио, радио максимално
пажљиво, стручно и професионално.
Као човек био је омиљен међу људима са којима се дружио, а
дружио се са свима, од обичних људи и дунавских аласа, својих
пријатеља из свирачког друштва ''Суз'' до професора Београдског
универзитета, академика и највећих математичара света у времену у
којем је живео.
Сабрана дела Михаила Петровића17 - капитално дело које је у 15
књига крајем прошле деценије објавио Завод за уџбенике су
Видети: Михаило Петровић: Сабрана дела, књига 1-15
GeoGebra in Novi Sad
најбољи доказ свеобухватности инте-ресовања и несвакидашњег
научног талента Михаила Петровића. Зато проучавање летописа
Михаила Петровића и његових сабраних дела може за сваког
грађанина у Србији бити поучно јер представља веома занимљив
пример домета човека који је ценио знање, током целог свог живота
учио и стварао, делујући у корист своје породице и својих
пријатеља, своје професије и своје Србије, трудећи се да личним
примером и доприносом учини живот у њој лепшим, лакшим и
Закључна разматрања
У нашој математичкој свакодневици не ретко се могу чути
минимизирања, па чак и оспоравања, математичког и животног
дела Михаила Петровића. Наравно и сами истраживачи дела
Михаила Петровића имају и критички осврт на његов математички
опус, што смо и цитирали у једном од претходних поглавља.
Међутим, сигурно је да је Михаило Петровић својим научним и
педагошким радом значајно обогатио научни и педагошки живот у
области математике у Србији свог времена и пресудно утицао на
развој математичких наука и наставе математике у Србији при крају
19. и у првој половини 20. века.
Истински допринос Михаила Петровића нашој и светској науци
тражи додатна и детаљна истраживања идеја које је он покренуо,
као и проучавање импликација радова Михаила Петровића на
достигнућа и развој математичких и других наука од оног времена,
па све до данашњих дана.
За резиме научног и педагошког доприноса Михаила Петровића
нашој и светској науци послужићемо се цитатом академика
Миодрага Томића:
''Михаило Петровић је значајна личност не само наше научне већ и
културне историје с краја 19. и прве половине 20. века. Његов живот
GeoGebra in Novi Sad
и његово дело оставили су видног трага на београдском
универзитету, на нараштаје наших математичара. Његов дар, напор
и успех учинили су да је наша математичка наука прешла границе
наше земље. Ако су ти први кораци у науци најтежи, они су и
најзначајнији. Он је запалио онај пламен који ни ратови нису могли
да угасе. Његов пример следили су и многи његови ученици, а то је
оно што чини напредак науке, и та невидљива заслуга Петровићева
исто је тако значајна као и његово дело”.
[1.] Драган Трифуновић: Летопис живота и рада Михаила
Петровића. САНУ,
Београд 1969.
[2.] Михаило Петровић: Сабрана дела, књиге 1-15, Завод за
уџбенике, Београд 1999.
[3.] Споменица ''Михаило Петровић 1868-1943'', САНУ, Београд
[4.] Воја Марић: Јован Карамата (1902-1967), Математички весник,
Vol. 54, No. 1-2,
pp. 45-51 (2002)
[5.] Раде Дацић:
Ненадана експлозија – Јован
[6.] Раде Дацић:
Математичка легенда Михаило Петровић
GeoGebra in Novi Sad
Mihailo Petrović as a Pedagogue
On the occassion of the 140th anniversary of the birth of Mihailo
The celebration of the 140th anniversary of the birth of our great
mathematician Mihailo Petrović is a good occasion to say something
more about his work.
Therefore, it is the aim of this work to analyze his contribution to the
teaching of mathematics in Serbia at the end of the 19th and the
beginning of the 20th century, as well as the influence of his teaching
ideas on the development of mathematics in Serbia so far.
This work presents Belgrade School of Mathematics, those who were
tutored by Mihailo Petrović while doing their Doctor’s Thesis, and his
numerous activities dealing with the improvement of teaching
Mathematics at Serbian schools and universities.
GeoGebra in Novi Sad
Table of Contents
D., Păunescu, Đ. Takači, ........................................................................ 7
On the Role of GeoGebra in the Proof of Theorems
Đ. Takači, G. Stankov, M. Rakić, …………………………………..18
On the Role of GeoGebra in Examining Functions
P. Körtesi, ............. …………………………………………………….27
Computer Aided Teaching of Mathematics and the
Pilot-courses in Ecadl
V. Herceg-mandić, Đ. Herceg, .............................................................. 39
Spatial Orientation with GeoGebra
Đ. Takači, R. Vukobratović, .................................................................. 53
On the Role of GeoGebra in Examining Functions
Z, Udovičić, .. ........................................................................................ 61
Polynomial Approximation in GeoGebra
N., Budinski, ...………………………………………………………....69
Rihterova Skala kao Logaritamski Model u GeoGebri
A., Vassileva, ………………………………………………………......78
The Right Way to Look at a Complicated Problem
P. Kllogjeri, Q. Kllogjeri, ……………………..…………………...…90
GeoGebra – a Very Effective tool for Teaching Mathematical
Concepts and Properties
GeoGebra in Novi Sad
I. Milanović,...........................................................................................99
Primena obrazovnog softvera GeoGebra u dodatnoj
nastavi matematike
И., Димовски, …………………………………………………… .. 110
Изучавање векторских функција и визуелиза-ција
E., Velikova, M., Metodieva Petkova, ………..……………………...119
How to Present /construct some Famous Curve with GeoGebra:
The Astroid
В. Андрић, M. Maрић, ……………………………………….............128
Примена рачунара у млађим разредима основне школе
T. Sekulić, ………………………………………...............................139
Želite li da Analizirate Funkciju?
D. Nedić, ……………………………………..……………………. . .150
Znak i Nonotonost Funkcije
В. Андрић, …..………………………………………………………..156
Педагошки рад Михаила Петровића-Аласа

GCSE2011 Conference Proceedings - GeoGebra Institute of Novi Sad