Paralel Işın İzdüşümleri Yöntemiyle Bilgisayarlı Tomografi
Benzetimi
Simulation of Computerized Tomographic Imaging Using
Parallel Beam Projections
Hasan Hüseyin EROĞLU
TSK Rehabilitasyon ve Bakım Merkezi,
Gülhane Askeri Tıp Akademisi
[email protected]
Özetçe
Bilgisayarlı tomografi (BT) görüntülenen bir nesnenin
kesitlerindeki X ışını zayıflatma özelliğininin uzamsal
dağılımını gösteren bir tıbbi görüntüleme yöntemidir. BT
yöntemi bir uzamsal X ışını zayıflatma katsayısı dağılımının
bir çok X ışını kaynak açısından izdüşümlerinin
oluşturulmasına ve ölçülen bu izdüşümlerden bir görüntü
oluşturmaya dayanmaktadır. BT yönteminde, bilinen bir X
ışını zayıflatma katsayısı dağılımından bir izdüşüm kümesi
oluşturulması ileri problem, ölçülen izdüşümlerin kullanılarak
görüntünün oluşturulması ise tersine problem olarak
bilinmektedir. Bu çalışmada BT’nin ileri ve tersine
problemlerinin çözümüne yönelik olarak nümerik hesaplama
yöntemleri sunulmaktadır. Sunulan yöntemler yardımıyla
MATLAB ortamında bir benzetimci oluşturulmuştur.
Oluşturulan benzetimcinin başarımı farklı giriş görüntüleri
göz önünde bulundurularak değerlendirilmiştir.
Abstract
Computed tomography (CT) is a medical imaging method that
provides spatial distribution of X ray attenuation property of
cross sections of an object being imaged. The principle of CT
method lies in the generation of projections of a spatial
distribution of X ray attenuation property at many X ray
source angles, and reconstructing an image by utilizing the
measured projection values. In CT method, obtaining a
projection set from a known attenuation coefficient
distribution is known as the forward problem, whereas
obtaining a reconstructed image from measured projections is
known as the inverse problem. In this paper, numerical
calculation approaches for forward and inverse problems of
CT are presented. By utilizing the presented procedures, a
simulator is built in MATLAB. The success of the built-up
simulator is evaluated by considering different input images.
1. Giriş
Bilgisayarlı tomografi (BT) görüntülenen bir nesnenin
kesitlerindeki X ışını zayıflatma özelliğininin uzamsal
dağılımını gösteren bir tıbbi görüntüleme yöntemidir [1].
Temelde bir BT tarayıcısı; döner X ışın kaynağı, sezici sistem,
veri edinme sistemi ve bilgisayar sisteminden oluşur.
Elektromekanik bir sistem vasıtasıyla X ışın kaynağı,
görüntülenen nesne üzerinde döner ve sezici sistem vasıtasıyla
farklı kaynak açılarından X ışını zayıflatma ölçümleri yapılır.
Ölçülen veri, görüntülenen nesne kesitinin izdüşümüdür [2].
Paralel ışın izdüşüm sistemi BT’de kullanılan en temel
izdüşüm oluşturma yöntemidir. Paralel ışın izdüşüm
sisteminde belirli bir kaynak açısında nesneden geçen X
ışınlarının şiddeti eşit aralıklı sezici dizi tarafından ölçülür ve
böylece belirli bir kaynak açısındaki izdüşüm oluşturulmuş
olur. Farklı kaynak açılarından bir izdüşüm kümesi
oluşturulması BT’nin ileri problemi olarak bilinir. İleri
problemde, uzamsal X ışın zayıflatma katsayısı dağılımı ve
nesne geometrisi bilinen değerlerdir. Diğer taraftan izdüşüm
kümesi ise ileri problemin bilinmeyenidir. Pratik bir BT
sisteminde izdüşüm kümesi sezici dizi tarafından ölçüldüğü
için bilinen bir değerdir. Diğer taraftan, uzamsal X ışın
zayıflatma katsayısı dağılımı ise bilinmeyen bir değerdir.
Dolayısıyla BT, temelde ölçülen izdüşümler yardımıyla
uzamsal zayıflatma katsayısı dağılımını bulmayı amaçlar ve bu
problem BT’nin tersine problemi olarak bilinir [3].
Bu çalışmada, paralel izdüşüm sistemi esas alınarak BT’nin
ileri ve tersine problemlerine yönelik nümerik çözüm
yaklaşımlarının aktarılması amaçlanmıştır. Bildirinin ikinci
bölümünde ileri ve tersine problemler ana hatlarıyla
tanımlanmış ve bu problemlere nümerik çözüm yaklaşımları
ortaya konmuştur. Üçüncü bölümde önerilen nümerik çözüm
yaklaşımlarını kullanarak oluşturulmuş bir BT benzeticisi
sunulmaktadır. Dördüncü bölümde benzetim sonuçları ortaya
konmakta ve değerlendirilmektedir. Son bölümde çalışma
sonuçlandırılmıştır.
2. Nümerik Hesaplama Yöntemleri
2.1. İleri Problem
İleri problem Şekil 1’de gösterilen paralel izdüşüm sistemi göz
önünde bulundurularak tanımlanabilir. Şekil 1’de görüldüğü
gibi görüntülenen nesne (μ (x,y)) xy düzleminde, sezici ise t
ekseninde tanımlanmıştır. Bu geometride, belirli bir kaynak
açısındaki (θ) ve sezici dizi noktasındaki (t) izdüşüm değeri
(pθ(t)), belirtilen θ-t doğrusu boyunca x ışınının çizgi
tümlevine bağlıdır. X ışınlarının enerji düzeyi dikkate
alındığında düz çizgi yaklaşımın doğru sonuç vereceği
görülmektedir. Bu bilgiler ışında belirli bir θ-t ikilisi için pθ(t)
değeri (1)’de gösterilmektedir.
∞ ∞
pθ (t ) = ∫ ∫ µ ( x, y ) × δ ( x cosθ + y sin θ − t ) × dx × dy
−∞ −∞
(1)
Fourier dönüşümü, nesnenin iki boyutlu Fourier dönüşüm
düzlemindeki aynı açıdaki bir doğruyu ifade eder.
Dolayısıyla, bütün izdüşümlerin bir boyutlu Fourier
dönüşümü alınarak, nesnenin iki boyutlu Fourier düzlemi
doldurulabilir. Doldurma işleminden sonra ise iki boyutlu ters
Fourier dönüşümü kullanılarak görüntü oluşturulabilir. Fakat,
bu yaklaşım nümerik olarak verimli değildir. Bundan dolayı,
tersine problemin çözümü için süzülmüş geri izdüşüm
yöntemi yaygın olarak kullanılır [3]. Geri izdüşüm,
oluşturulacak görüntünün bir imgeciğine farklı kaynak
açılarındaki tüm izdüşümlerin etkilerinin toplamıdır. Geri
izdüşüm görüntüsü (fb(x,y)) ile izdüşümler arasındaki ilişki
(5)’te gösterilmektedir.
π ∞
Şekil 1: Paralel İzdüşüm Sistemi
f b ( x, y ) = ∫ ∫ pθ (t ) × δ ( x cosθ + y sin θ − t ) × dt × dθ
(1)’de ifade edilen çizgi tümlevi, görüntülenen nesnenin NxN
boyutunda bir matris olduğu göz önünde bulundurularak
nümerik olarak hesaplanabilir. Çizgi tümlevi hesabında, nesne
boyutu (N) ve θ-t ikilisi girdilerdir. İlk basamakta, Şekil 1 göz
önünde bulundurularak; (2)’de gösterildiği gibi tamsayı x
değerleri (x1) için y değerleri (y1) ve tam sayı y değerleri (y2)
için x değerleri (x2) oluşturulur.
N
N
 −N −N
 −N −N
x1 = 
,
+ 1,..., , y 2 = 
,
+ 1,..., 
2
2
2
2
 2
 2
y1 = t − x cot θ ,
(2)
Geri izdüşüm görüntüsü asıl görüntünün bulanık bir
uyarlamasıdır. Çünkü, bu yöntemde düşük sıklıklı bileşenler
yüksek sıklıklı bileşenlere göre daha fazla örneklenir. Geri
izdüşüm görüntüsü ile asıl görüntü (f(x,y)) arasındaki ilişki
(6)’da gösterilmektedir. “**” iki boyutlu evrişimi ifade
etmektedir.
f b ( x , y ) = f ( x, y ) * *
x 2 = t − y tan θ
(2)’de ifade edilen işlem sonucunda (x1, y1) ve (x2, y2) olmak
üzere iki veri kümesi oluşturulur. Bir sonraki aşamada bu iki
veri kümesindeki nesne boyutu dışındaki noktalar kümelerden
çıkarılır ve iki veri kümesi birleştirilir. Birleştirme işleminden
sonra, veri kümesi içerisindeki noktaların birbirini sıralı bir
biçimde takip etmesi için bir sıralama algoritmasından
geçirilir. Veri kümesi sıralandıktan sonra bir döngü içerisinde
veri kümesinden iki nokta ( (a1,b1); (a2,b2) ) alınır. Bu iki nokta
arasındaki uzaklık (d) ve zayıflatma katsayısı (µ) göz önünde
bulundurularak tümlevin değeri (p) (3-4)’te gösterildiği gibi
hesaplanır. Zayıflatma katsayısı seçilmiş iki nokta arasındaki
imgecik değeridir. Tümlev, döngü içerisinde veri kümesindeki
tüm noktalar göz önünde bulundurularak güncellenir.
d = (a1 − a 2 ) 2 + (b1 − b2 ) 2
(3)
p = p+d×µ
(4)
Çizgi tümlevi hesabı paralel ışın izdüşüm sisteminde
tanımlanan ileri problem çözümünün temel işlevidir. İzdüşüm
kümesinin bütününü hesaplamak için çizgi tümlevi işlevinden
faydalanır. İleri problemin çözümü için Nd x Nth boyutunda bir
izdüşüm matrisi (P) tanımlanır. Nd değeri sezici sayısını, Nth
değeri ise kaynak açısı sayısını ifade eder. P matrisi ise her
kaynak açısı (θ) için tüm sezici noktalarında (t) çizgi tümlevi
hesaplanarak oluşturulur. Elde edilen izdüşüm matrisinin her
sütunu farklı bir kaynak açısındaki bir izdüşümü ifade eder.
2.2. Tersine Problem
Tersine problemin amacı bilinen bir izdüşüm matrisini
kullanarak bir görüntü oluşturmaktır. Merkezi kesit teoremine
göre, belirli bir kaynak açısındaki izdüşümün bir boyutlu
(5)
0 −∞
1
r
(6)
(6)’da gösterilen “1/r” fonksiyonu geri izdüşüm
görüntüsündeki bulanıklaşmanın sebebidir. Bu durumu
önlemek için izdüşümler sıklık uzayında bir yüksek geçiren
süzgeç olan rampa süzgeci (ρ) ile çarpılır ve değiştirilmiş
izdüşümler üzerinden uzamsal düzlemde geri izdüşüm
algoritması uygulanır. Süzülmüş geri izdüşüm algoritmasının
nümerik uygulamasının ilk aşamasında izdüşüm matrisi (P),
sezici sayısı (Nd), kaynak açısı sayısı (Nth) ve oluşturulacak
görüntü boyutu (Nr) girdi olarak alınır, Nr x Nr boyutunda
oluşturulacak görüntü için bir sıfır matrisi oluşturulur. Bir
sonraki aşamada, oluşturulacak görüntünün tüm imgeciklerinin
merkezleri (7)’de gösterildiği gibi hesaplanır.
Nr 1
N
N
3
1
− ), −( r − ), ..., ( r − )
2 2
2 2
2 2
N
N
N
1
3
1
= ( r − ), ( r − ), ...,−( r − )
2 2
2 2
2 2
xmerkez = −(
y merkez
(7)
İmgecik merkezlerinin hesabından sonra ise süzgeç tepkisi (H)
oluşturulur. 512 nokta hızlı Fourier dönüşümü (HFD) durumu
için hazırlanmış bir rampa süzgeç tepkisi Şekil 2’de
gösterilmektedir. Rampa süzgeci yerine, Shepp-Logan, cosine,
Hamming, Hann süzgeçleri de kullanılabilir. P matrisinin her
sütununa HFD uygulanır ve elde edilen sıklık uzayı matrisinin
her elemanı Şekil 2’de gösterilen süzgeçin her elemanı ile
çarpılır. Çarpımdan sonra oluşan sıklık uzayı matrisine ters
hızlı Fourier dönüşümü (THFD) uygulanır ve uzamsal uzayda
oluşan matrisin gerçek kısımları alınır. Elde edilen matris
süzülmüş izdüşümleri içerir. Elde edilen süzülmüş
izdüşümlerin oluşturulacak görüntünün imgeciklerine etkisi
geri izdüşüm algoritması kullanılarak hesaplanır.
4. Benzetim Sonuçları ve Tartışma
1
0.9
Oluşturulan paralel izdüşüm sisteminin başarımı kare ve daire
giriş görüntüleri kullanılarak gözlenmiştir. Kare ve daire giriş
görüntüleri için farklı kaynak açılarındaki izdüşümler Şekil
4’te gösterilmektedir.
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Şekil 2: 512 noktalı HFD durumu için rampa süzgeci tepkisi
Geri izdüşüm algoritmasında ilk olarak imgeciklerin (7)’de
belirtilen merkez değerleri ve izdüşüm açıları (θ) göz önünde
bulundurularak Şekil 1’de gösterilen izdüşüm ekseni değeri (t)
hesaplanır. “t” değeri ondalıklı bir değerdir. Buradaki ondalıklı
“t” değerinin iki tamsayı komşusu olan ön nokta (ÖN) ve arka
nokta (AN) bulunur. Her izdüşümün etkisi doğrusal
aradeğerleme ile (8)’deki gibi hesaplanır. (8)’de izdüşüm
ekseninin orta noktası (ON) göz önünde bulundurulmuştur.
(8)’deki ifade her izdüşüm için hesaplanır ve bir döngü
içerisinde toplanır. Tüm izdüşümler göz önünde
bulundurulduğunda ise genel toplam izdüşüm sayısına
bölünerek ortalama etki bulunur.
Etki = (t − AN ) × p (ÖN + ON ) + (ÖN − t ) × p ( AN + MP )
(8)
3. BT Benzetimcisi
Bir önceki bölümde ifade edilen nümerik yöntemleri
kullanarak BT benzetimini gerçekleştirmek için MATLAB
ortamında bir grafik kullanıcı arayüzü (GKA) tasarlanmıştır.
Oluşturulan GKA Şekil 3’te gösterilmektedir.
Şekil 4: Kare ve daire giriş görüntüleri için oluşturulan
izdüşümler.
Şekil 3: BT benzetimi için tasarlanmış GKA
Şekil 3’te görüldüğü gibi, BT benzetimcisi üç bölümden
oluşmaktadır. Sol taraftaki bölümde, benzetimciye görüntüler
yüklenebilmekte ve izdüşüm oluşturma algoritmasının
değişkenleri olan kaynak açısı adım aralığı ve sezici sayısı
girilmektedir. Ortadaki bölümde ise oluşturulan izdüşümler
görüntülenebilmektedir. Sağdaki bölümde, oluşturulan
izdüşümler kullanılarak kullanıcı tarafından girilen boyuta
sahip bir görüntü oluşturulmaktadır. Benzetimcinin bu
bölümünde süzülmüş geri izdüşüm algoritması rampa, SheppLogan, cosine, Hamming ve Hann süzgeçleri ile
kullanılabilmektedir.
Şekil 4’te gösterilen kare görüntü için benzetim sonuçları
incelendiğinde 45o ve 135o’deki izdüşümlerin üçgen şekle, 0o,
90o, ve 180o’deki izdüşümlerin ise dikdörtgen şekle sahip
olduğu görülmektedir. Bu sonuçlar ikinci bölümde aktarılan
bilgiler ile uyumludur. Çünkü, 45o ve 135o’deki çizgi
tümlevleri köşegen bir yol izlemekte; diğer taraftan, 0o, 90o, ve
180o’deki çizgi tümlevleri ise bir örnek yollar izlemektedir.
Paralel izdüşüm sisteminin bir örnek yapısını doğrulamak için
daire görüntü kullanılmıştır. Şekil 4’te de görüldüğü gibi daire
görüntü için oluşturulan tüm izdüşümler birbiriyle aynıdır.
Süzülmüş geri izdüşüm sisteminin başarımı incelemek için
100x100 imgecik boyutundaki Shepp-Logan fantomunun
farklı kaynak adım açısı değerleri (∆θ) ve sezici sayısı (Nd) ile
oluşturulmuş izdüşümleri kullanılmıştır. Tüm süzülmüş
geri
izdüşüm
benzetimlerinde
rampa
süzgecinden
faydalanılmıştır.
Benzetim
sonuçları
Şekil
5’te
gösterilmektedir.
bulanıklığın yok edildiğini göstermektedir. Ancak süzgeç
başarımları arasında büyük bir farklılık gözlenmemektedir.
Şekil 6: Farklı süzgeç çeşitleri için süzülmüş geri izdüşüm
sistemi benzetim sonuçları
5. Sonuçlar
Şekil 5: Farklı kaynak açı adım aralığı ve sezici sayısı için
süzülmüş geri izdüşüm sistemi benzetim sonuçları
Şekil 5’teki benzetim sonuçları incelendiğinde yüksek kaynak
açı aralık değerlerinin düşük izdüşüm sayısına sebep olduğu
ve bu nedenle de süzülmüş geri izdüşüm sistemi tarafından
oluşturulan görüntü kalitesinin düşük olduğu gözlenmiştir.
Diğer taraftan kaynak açısı adım değeri küçüldükçe görüntü
kalitesi ise artmaktadır. Şekil 5’teki benzetim sonuçlarında
sezici sayısının görüntü kalitesine etkisi de incelenmektedir.
Benzetim sonuçları, yüksek sezici sayısının görüntü kalitesini
artırdığını göstermektedir. Sonuç olarak, düşük kaynak açı
adım değeri ve yüksek sezici sayısının süzülmüş geri izdüşüm
sisteminin uzamsal çözünürlüğünü artırdığını göstermektedir.
Bu durum geri izdüşümde kullanılan izdüşüm matrisinin
boyutunun artmasından ve asıl görüntüyü daha uygun şekilde
betimlemesinden kaynaklanmaktadır. Fakat diğer taraftan çok
küçük kaynak açısı adım değerleri ve çok yüksek sezici sayısı
benzetim süresini artırmaktadır. Dolayısıyla, benzetimcinin
toplam benzetim süresi ve uzamsal çözünürlük arasında bir
ödünleşim olduğu söylenebilir.
Son benzetimde farklı yüksek geçiren süzgeçlerin görüntü
kalitesine etkisi incelenmiştir. Giriş görüntüsü olarak SheppLogan fantomu kullanılmıştır. Benzetim sonuçları Şekil 6’da
gösterilmektedir. Şekil 6 incelendiğinde, süzgeçsiz durumda
oluşturulan görüntünün bulanık olduğu görülmektedir. Bu
durum, ikinci bölümde ifade edilen geri izdüşüm sistemin
birim darbe tepkisinin bulanıklığa sebep verdiği gerçeğiyle
örtüşmektedir. Benzetim sonuçları, farklı süzgeçlerin
kullanıldığı
durumlarda
oluşturulan
görüntülerdeki
Bu çalışmada BT’nin ileri ve tersine problemleri incelenmiş ve
bu problemlere nümerik çözüm yöntemleri önerilmiştir.
Önerilen çözüm yöntemleri farklı yazılım ortamlarında
gerçekleştirilebilecek genelliktedir. Çalışmada aktarılan
nümerik yöntemleri uygulamak maksadıyla MATLAB
yazılımında bir benzetici tasarlanmış ve bu benzetici
kullanılarak farklı durumlar için BT benzetimleri
gerçekleştirilmiştir. Gerçekleştirilen benzeticinin ve kullanılan
yöntemlerin tıbbi görüntüleme sistemleri eğitimi verilen
kurumlarda yardımcı materyal olarak kullanılabileceği
değerlendirilmektedir.
Benzetici kullanarak farklı boyutlarda izdüşüm matrisleri
oluşturulmuş ve bilgisayar ortamında oluşturulmuş paralel
izdüşüm sisteminin birörnek özellikte olduğu gözlenmiştir.
Benzetim sonuçları, yüksek sezici sayısı ve küçük kaynak
açısı adım değerleri için benzeticinin uzamsal çözünürlüğünün
yüksek olduğunu göstermektedir. Ancak çok yüksek sezici
sayısı ve çok küçük kaynak açısı adım değerlerinin ise
benzetim süresini artırdığı gözlenmiştir. Dolayısıyla benzetim
süresi ile sistemin uzamsal çözünürlüğü arasında bir
ödünleşim olduğu söylenebilir. Süzgeç kullanımının
oluşturulan görüntülerdeki bulanıklığı yok ettiği gözlenmiştir.
6. Kaynakça
[1] P. Suetens, “Fundementals of Medical Imaging”,
Cambridge University Press, New York, 2009.
[2] K. Iniewski, “Medical Imaging, Principles, Detectors,
and Electronics”, John Wiley and Sons, New Jersey,
2009.
[3] A.C. Kak, M. Slaney, “Principles of Computerized
Tomographic Imaging”, IEEE Press, 1988.
Download

Paralel Işın İzdüşümleri Yöntemiyle Bilgisayarlı