Teoria względności
Czym zajmuje się teoria względności
Głównym przedmiotem zainteresowania teorii względności są pomiary zdarzeń (czegoś, co
się dzieje) — ustalenia, gdzie i kiedy one zachodzą, a także jaka odległość dzieli je w czasie i
przestrzeni. Teoria względności zajmuje się transformacjami wyników pomiarów tego typu
między poruszającymi się względem siebie układami odniesienia - nazwa teoria
względności.
Teoria stworzona przez Alberta Einstein w 1905 roku.
Zmieniła ona podstawy postrzegania czasu i przestrzeni opisane wcześnie newtonowskiej
mechanice klasycznej tak aby można było usunąć trudności
interpretacyjne i sprzeczności pojawiające się na styku mechaniki
(zwanej obecnie klasyczną) i elektromagnetyzmu po ogłoszeniu
przez Jamesa Clerka Maxwella teorii elektromagnetyzmu.
W 1916 roku Albert Einstein opublikował ogólną teorię względności,
będącą rozszerzeniem teorii szczególnej o opis zjawisk zachodzących
w obecności pola grawitacyjnego.
Czym zajmuje się teoria względności
W wagonie drzwi otwierają się na fotokomórkę
obserwator w środku wagonu stwierdza że drzwi
otwierają się jednoczenie. Obserwator stojący na
zewnątrz wagonu stwierdza, że szybciej otwierają się
jedne z drzwi
Dwa zderzenia równoczesne poruszającym się
układzie odniesienia nie musza być równoczesne
w układzie spoczywającym.
Względność jednoczesności — dwa zdarzenia określone przez jednego obserwatora
jako jednoczesne, mogą nie być jednoczesne dla innego obserwatora.”
Szczególna teoria względności nie jest trudna. Nie wynika to
że skomplikowanego aparatu matematycznego.
Trudność bierze się stąd, że trzeba zwracać baczną uwagę na
to, kto dokonuje pomiaru, co mierzy i w jaki sposób —
właśnie to sprawia problemy, gdyż często stoi w sprzeczności
z naszym zdrowym rozsądkiem.
Podobno zapytany kiedyś: „(...) czy to prawda,
że teorię względności rozumie tylko dwóch
ludzi?” odpowiedział pytaniem „A kto jest
drugi?”.
POSTULATY
Albert Einstein oparł swe rozumowanie na dwóch postulatach:
Postulat względności: Dla wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach odniesienia
prawa fizyki są takie same. Żaden z układów nie jest wyróżniony.
Galileusz założył, że prawa mechaniki są takie same we wszystkich inercjalnych układach
odniesienia. Einstein rozszerzył to założenie na wszystkie prawa fizyki, w tym także
elektromagnetyzmu i optyki.
Postulat stałej prędkości światła: We wszystkich inercjalnych układach odniesienia i we
wszystkich kierunkach światło rozchodzi się w próżni z tą samą prędkością c.
Ten sam postulat sformułowany inaczej oznacza, że w przyrodzie istnieje pewna
nieprzekraczalna prędkość c, która ma taką samą wartość we wszystkich kierunkach i
wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Okazuje się, że właśnie światło porusza się
z tą graniczną prędkością, podobnie jak wszystkie cząstki pozbawione masy . Prędkość
żadnego ciała przenoszącego energię lub informacje nie może przekroczyć prędkości
granicznej.
Prędkość graniczna
Istnienie ograniczenia prędkości przyspieszanych elektronów
wykazał eksperyment przeprowadzony w roku 1964 przez
W. Bertozziego. Przyspieszał on elektrony, nadając im różne
możliwe do zmierzenia prędkości.
Wniosek
wzrost siły działającej na poruszający się z dużą prędkością elektron
powoduje zwiększenie jego energii kinetycznej do bardzo
dużych wartości, chociaż prędkość nie zmienia się w sposób
znaczący.
Prędkość graniczna c jest zdefiniowana jako równa dokładnie
c = 299 792 458 m/s
Jak „zmierzyć” zdarzenie
Zdarzenie to coś, co się dokonuje i co obserwator może wskazać, podając trzy
współrzędne przestrzenne i jedną współrzędną czasową.
W teorii względności przestrzeń i czas są wzajemnie powiązane, dlatego też
współrzędne te będziemy nazywać współrzędnymi czasoprzestrzennymi.
Układ współrzędnych jest częścią układu odniesienia związanego
z obserwatorem.
Zdarzenie może zostać zarejestrowane przez wielu obserwatorów, każdy
w innym inercjalnym układzie odniesienia. Na ogół różni obserwatorzy
przypiszą temu samemu zdarzeniu różne współrzędne czasoprzestrzenne.
Zdarzenie nie „należy" do konkretnego inercjalnego układu odniesienia.
Zdarzenie to coś, co dokonuje się, i każdy w dowolnym układzie odniesienia
może je zaobserwować i przypisać mu współrzędne czasoprzestrzenne.
Jak „zmierzyć” zdarzenie
1. Współrzędne przestrzenne.
Układ współrzędnych związany z obserwatorem wypełnia
gęsta trójwymiarowa sieć prętów mierniczych ułożonych tak,
że każdy z trzech jej podzbiorów jest równoległy do
jednej z osi układu. Pręty te pozwalają odczytać współrzędną
na każdej z osi.
2. Współrzędna czasowa.
W każdym punkcie, gdzie przecinają się pręty miernicze,
znajduje się malutki zegar, którego wskazanie obserwator
może odczytać dzięki światłu, które powstało w wyniku
zdarzenia. Sieć zegarów musi być prawidłowo
zsynchronizowana.
3. Współrzędne czasoprzestrzenne. Obserwator może teraz przypisać dowolnemu zdarzeniu współrzędne
czasoprzestrzenne, patrząc, jaki czas wskazuje zegar najbliższy miejsca zdarzenia, i odczytując położenie z
najbliższych prętów mierniczych. Jeżeli zachodzą dwa zdarzenia, to obserwator oblicza ich odstęp w czasie,
odejmując wskazania najbliższych im zegarów, a odległość w przestrzeni oblicza, biorąc różnicę odczytów
najbliższych prętów mierniczych. W ten sposób można uniknąć trudności z obliczaniem czasu podróży
sygnału, który musi dotrzeć do obserwatora z miejsca każdego zdarzenia.
Względność jednoczesności
Dwaj obserwatorzy poruszający się względem siebie na ogół nie będą zgodni co do jednoczesności
zdarzeń. Jeżeli jeden z obserwatorów stwierdzi, że zdarzenia były jednoczesne, to drugi na ogół będzie
innego zdania.
Jednoczesność nie jest pojęciem absolutnym, lecz względnym i zależy od ruchu
obserwatora.
Jednoznaczność zdarzenia –
teoria względności
Jacek: Światło związane ze zdarzeniami czerwonym i niebieskim dotarło do mnie w tym samym
czasie. Na podstawie śladów na moim statku stwierdziłem, że w chwili, w której ujrzałem obydwa
światła, znajdowałem się dokładnie w połowie drogi między ich źródłami. Oznacza to, że zdarzenia
czerwone i niebieskie nastąpiły jednocześnie.
Agata: Światło związane ze zdarzeniem czerwonym dotarło do mnie wcześniej niż światło związane ze
zdarzeniem niebieskim. Na postawie śladów na moim statku stwierdziłam, że ja także znajdowałam się
dokładnie w połowie drogi między obydwoma źródłami światła. Oznacza to, że zdarzenia nie były
jednoczesne; zdarzenie czerwone nastąpiło wcześniej, a niebieskie — później.
Względność czasu
Jacek
odstęp czasu pomiędzy dwoma zdarzeniami
Placek
Względność czasu
Odstęp czasu Δt zmierzony przez Placka jest dłuższy od czasu Δt0, który uzyskał Jacek. Widzimy więc, że
zależność pomiędzy czasem a przestrzenią jest różna dla obserwatorów poruszających się względem siebie
oraz, że względny ruch (a więc prędkość z jaką się poruszamy) wpływa na szybkość upływu czasu pomiędzy
zachodzącymi zdarzeniami (dlatego też odstęp czasu zmierzony przez Jacka - poruszającego się szybciej niż
Placek - jest krótszy w porównaniu z czasem zmierzonym przez Placka).
Dylatacja czasu
Odstęp czasu Δt0, który jest czasem upływającym pomiędzy dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym
samym punkcie układu odniesienia związanym z Jackiem, jest nazywany czasem własnym. Z kolei różnicę
pomiędzy czasem Δt a Δt0 nazywamy dylatacją czasu.
Słowo dylatacja oznacza wydłużenie, rozciągnięcie, dlatego też zjawisko to często funkcjonuje pod nazwą:
wydłużenie (rozciągnięcie) czasu.
Zadanie
Jednym z testów dylatacji czasu wynikającego ze szczególnej teorii względności
Einsteina są pomiary czasów życia cząstek przyspieszanych w akceleratorach do
prędkości bliskich prędkości światła. Wiedząc, że czas życia spoczywającego mionu
wynosi 2,2 μs, oblicz o ile razy czas życia mionu ulegnie wydłużeniu jeżeli będzie
poruszał się z prędkością 0,995 c względem układu odniesienia związanym z
nieruchomym obserwatorem.
Paradoks bliźniąt
Względność długości
Długość obiektu L0 mierzoną w jego układzie spoczynkowym nazywamy długością własną lub
długością spoczynkową. Pomiary długości przeprowadzone w innym układzie odniesienia, który
porusza się względem obiektu równolegle do mierzonej długości, dają zawsze wynik mniejszy
niż długość własna.
Względność długości
Jacek podróżujący pociągiem stwierdzi, że pomiary
długości wiaty dokonywane przez Placka zachodzą w
tym samym miejscu w przestrzeni, dlatego też czas
upływający pomiędzy tymi zdarzeniami, który
zmierzy Jacek wyniesie Δt0 i będzie to czas własny.
Placek
Jacek
Jacek
Placek
Skrócenie długości - konsekwencja dylatacji czasu
Zadanie- skrócenie długości
Statek kosmiczny porusza się z prędkością V = 0,75 c względem układu
odniesienia związanego z nieruchomym obserwatorem. Jaką długość
statku kosmicznego zmierzy obserwator, jeżeli długość spoczynkowa
statku wynosi 40 metrów?
Transformacje Galileusza
S
S’
Powyższe równania są prawdziwe, gdy w chwili t' = t = 0 początki obydwu układów
odniesienia się pokrywają. Pierwsze z równań otrzymamy opierając się na powyższym
rysunku. Czwarte równanie t' = t oznacza, że czas w obydwu układach odniesienia płynie w
jednakowym tempie
Transformacje Lorentza
Poprawny opis dla wszystkich fizycznie dozwolonych prędkości uzyskamy stosując
transformację Lorentza, nazwaną tak na cześć holenderskiego fizyka H.A. Lorentza,
który jako pierwszy wyprowadził równania
W pierwszym i ostatnim równaniu współrzędnej
przestrzennej x oraz współrzędnej czasowej t
będących przejawem wzajemnego powiązania
czasu i przestrzeni, co stanowi główne przesłanie
szczególnej teorii względności Einsteina.
Transformacje Lorentza dla pary
zdarzeń
Dla jednego zdarzenia
Różnica współrzędnych dla pary zdarzeń zapisanych dla przypadku, w którym szukamy
zarówno współrzędnych x i t, jak i współrzędnych x' i t':
Transformacje Lorentza dla pary
zdarzeń
Układ S’ porusza się z prędkością V względem układu S
Wnioski z równań Lorentza
Jednoznaczność
Jeśli Dt’ = 0
Dylatacja czasu
Skrócenie długości
Względność prędkości
S
S’
Układ S' porusza się ze stałą prędkością V
względem układu S. Według obserwatora
związanego z układem S badany obiekt porusza
się z prędkością u. Zdaniem obserwatora w
układzie S', obiekt porusza się z prędkością u'.
Załóżmy, że cząstka porusza się wzdłuż osi x i x' związanych z układem odniesienia S i S'
Względność prędkości
Relatywistyczna transformacja prędkości
Zjawisko Dopplera dla światła
Pęd w ujęciu relatywistycznym
Dwaj obserwatorzy związani z różnymi układami odniesienia badają sprężyste
zderzenie dwóch cząstek
Ujęcie klasyczne
Ujęcie relatywistyczne
Energia w ujęciu relatywistycznym
Energia spoczynkowa
Jednostka masy i energii
Energia całkowita
g - współczynnik Lorentza
Całkowita energia układu izolowanego nie ulega zmianie
Zmiana masy
w wyniku reakcji
Energia kinetyczna w ujęciu
relatywistycznym
Energia kinetyczna dla każdej
dozwolonej prędkości
Energia kinetyczna elektronu w ujęciu fizyki
nierelatywistycznej (czerwona linia) i fizyki
relatywistycznej (niebieska linia)
Energia kinetyczna i pęd
W ujęciu nierelatywistycznym
W ujęciu relatywistycznym
Download

Teoria względności