Ćwiczenia nr 10 z “Robotyki 1” (do wykładu prof. I. Dulęby)
1. Wyliczyć równania dynamiki dla manipulatora typu podwójne wahadło planarne z punktowymi masami opisującymi ogniwa manipulatora położonymi na końcach ogniw. Długości ogniw: a1 , a2 . Wektor grawitacji przyjąć wzdłuż osi OY (zwrot w kierunku malejących
wartości y).
2. Powtórzyć ćwiczenie 1 dla własnego (ale różnego od poprzedniego) manipulatora o dwóch
stopniach swobody.
3. Wyliczyć macierz pseudoinercji jednorodnego pręta o długości a i masie m:
a) względem wybranego układu o początku w środku masy,
b) względem wybranego układu o początku na jednym z krańców pręta.
4. Dla danych z zadania poprzedniego, sprawdzić przydatne twierdzenie mówiące o transformacji macierzy pseudoinercji:
J = A J0 AT ,
gdzie J0 – macierz pseudoinercji względem układu środka masy, J – macierz pseudoinercji
względem wybranego układu, A ∈ SE(3) macierz transformująca współrzędne od układu
środka masy do wybranego układu.
5. Mechanicy (fizycy) częściej własności bezwładnościowe bryły opisują przy pomocy macierzy momentów bezwładności względem środka masy bryły zdefiniowanej jako
+ z 2 )dm R − m xydm
− Rm xzdm


2
2
I0 =  − Rm xydm
m (xR + z )dm R − m yzdm 
2
2
− m xzdm
− m yzdm
m (x + y )dm
R
2
m (yR
R
R

Czy na podstawie I0 można określić J0 ? Jeśli tak, to jak. A w drugą stronę? (dane J0
policzyć I0 ).
Uwaga: dla typowych (jednorodnych) obiektów można znaleźć macierz I0 w google (szukając np. inertia tensors, moments of inertia).
6. Zadanie, gdy będzie dużo czasu: wyliczyć równania dynamiki dla wózka.
Przyjąć założenia: prostopadłościenna platforma położona na dwóch identycznych kołach;
środek masy platformy nad punktem środkowym między kołami, wszystko jednorodne,
koło Castora podpierające wózek od przodu uznać za nieważkie, wózek porusza się po
płaszczyźnie prostopadłej do wektora grawitacji – co to oznacza dla energii potencjalnej?
Układ lokalny wózka przyjąć w środku masy platformy, globalny (bazowy) gdziekolwiek
(ale sensownie). Jaka macierz transformuje współrzędne z układu lokalnego do globalnego?
Ile będzie zmiennych konfiguracji (co musimu podać, by jednoznacznie określić położenie
i orientację wózka – łącznie z jego kołami – wyobrazić sobie kropkę na obręczy koła), ile
sterowań (co jest napędzane)? Jak wyglądają macierze transformujące z układu kół do
układu lokalnego?
7. Hipotetyczny manipulator ma energię kinetyczną i potencjalną równe:
K(q1 , q˙1 ) = q˙12 ,
V (q1 ) = q12
Wyliczyć równanie dynamiki tego manipulatora.
1
8. Hipotetyczny manipulator ma energię kinetyczną i potencjalną równe:
K(q1 , q2 , q˙1 , q˙2 ) = q˙12 (q22 + 1) + 5q˙22 ,
V (q1 , q2 ) = sin(q1 ) + q2
Wyliczyć równania dynamiki tego manipulatora.
9. Sprawdzić, czy otrzymane w poprzednich ćwiczeniach macierze inercji są dodatniookreślone.
10. Wymień maksymalnie wiele argumentów, dlaczego macierz
1
0


0
0
0
2
3
0

0
4
3
1
0
0


1
1

nie może być macierzą pseudoinecji rzeczywistego ogniwa manipulatora. Czy liczba argumentów by się zmieniła, gdyby chodziło o macierz pseudoinercji względem układu środka
masy tego ogniwa?
11. Niech będą dane dwie masy punktowe m1 , m2 połączone nieważkim prętem o długości d.
Udowodnić, że moment bezwładności względem osi prostopadłej do pręta osiąga swe
minimum, gdy oś ta przechodzi przez środek masy dwupunktowego układu.
12. (*) Udowodnić twierdzenie Steinera (gdy nieznane – skorzystać z google) korzystając z
macierzy pseudoinercji. Uwaga sformułować twierdzenie Steinera w kategoriach macierzy pseudoinercji (jaki jest związek macierzy inercji I ((3 × 3)) z lewą-górną ((3 × 3))
podmacierzą macierzy pseudoinercji J).
13. (*) Powtórzyć ćwiczenie 3 dla pręta niejednorodnego o liniowo zmiennej gęstości osiągającej wartość zero na końcu pręta. Gdzie jest środek masy pręta?
2
Download

pobierz - Home page of Ignacy Duleba