Trigonometria
1. Dĺžky strán trojuholníka sú v pomere 7:6:4. Najkratšia strana má 36 cm. Aký obvod
má tento trojuholník?
2. Aký najväčší obsah môže mať trojuholník ABC, v ktorom má strana a dĺžku 7 cm
a ťažnica ta dĺžku 16 cm?
3. V pravouhlom trojuholníku ABC je AB = 6, α = 35° . Vypočítajte dĺžku strany AC.
Výsledok uveďte s presnosťou na jedno d.m.
4. V pravouhlom trojuholníku má prepona dĺžku 20 cm. Päta výšky na preponu ju delí na
dve časti v pomere 1:4. Akú veľkosť má výška na preponu?
5. Osem metrov dlhý rebrík je opretý v telocvični o stenu, s ktorou zviera uhol 11°.
Zistite, do akej výšky steny rebrík dosiahne. Odpoveď uveďte v metroch s presnosťou
na dve d.m.
6. V trojuholníku ABC je AB = 4 , uhol CAB má veľkosť 80° a uhol CBA má veľkosť
40°. Aká je (s presnosťou na dve d.m.) dĺžka strany AC?
7. Označme P obsah rovnostranného trojuholníka a O jeho obvod. Aké je vyjadrenie
obvodu O ako funkcie premennej P?
P
2P
6 P
6P
8P
a) O = 6 ⋅ 4
c) O =
d) O =
e) O = 2 ⋅
b) O = 4
3
3
3
3
3
8. Opíšte konštrukciu trojuholníka ABC, ak sú dané a, b, vc.
9. Aký najmenší obvod môže mať trojuholník s celočíselnými stranami a, b, c, pre ktoré
platí nerovnosť a < b < c , pričom vieme, že strana b = 20 cm?
10. Určte prirodzené číslo n tak, aby 2n(2n + 1) bola dĺžka prepony pravouhlého
trojuholníka, ktorého odvesny majú dĺžky 2n + 27 a n.
11. V pravouhlom trojuholníku ABC sa |AB| = 3, |BC| = 1,8. Akú dĺžku má strana AC?
12. V pravouhlom trojuholníku má jedna odvesna dĺžku 6 cm. Dĺžka druhej odvesny je
aritmetickým priemerom dĺžky prvej odvesny a prepony. Vypočítajte dĺžku prepony.
13. V pravouhlom trojuholníku má prepona dĺžku 20 cm. Päta výšky na preponu ju delí na
dve časti v pomere 1:4. Akú veľkosť (v cm) má výška na preponu?
14. V trojuholníku ABC sa |AB| = 4, uhol α = ∠CAB má veľkosť 80º a uhol β = ∠CBA
veľkosť 40º. Aká je (s presnosťou na dve desatinné miesta) dĺžka strany AC?
15. Rovnostrannému trojuholníku sme vpísali aj opísali kružnicu. Ak r je polomer
vpísanej kružnice, potom pre obsah S medzikružia platí
5
3
(A) S = 3πr² (B) S = πr² (C) S = 2πr². (D) S = πr². (E) S = πr².
2
2
16. V pravouhlom trojuholníku ABC sa |AB| =3, |BC| = 1,8. Akú dĺžku má strana AC?
17. Označte γ veľkosť najväčšieho uhla trojuholníka ABC, ktorého strany majú dĺžku a =
4, b = 5, c = 7. Potom platí
(B) γ ∈ (90º ; 135º ).
(C) γ ∈ (60º ; 90º ).
(A) γ ∈ (135º ; 180º ).
(D) γ ∈ (30º ; 60º ).
(E) γ ∈ (0º ; 30º ).
18. Tupouhlý trojuholník má obsah 2 cm² a strany určujúce tupý uhol sú dlhé 2 cm a 4 cm.
Určte veľkosť tohto tupého uhla v stupňoch.
19. V trojuholníku ABC ležia oproti stranám a, b, c uhly α, β, γ (v tomto poradí).
Usporiadajte vzostupne veľkosti strán trojuholníka, ak α = 35º a β = 75º.
20. V trojuholníku ABC sú body K, L, v tomto poradí, stredmi strán AB a BC. Bod M leží
na strane AC. Vypočítajte (v cm²) obsah trojuholníka KLM, ak poznáte obsahy SKBL =
10 cm², SAKM = 7 cm² a SMLC = 13 cm².
21. Do rovnostranného trojuholníka ABC s dĺžkou strany a je vpísaný obdĺžnik, ktorého
strany sú v pomere 2:1. Vypočítajte rozmery obdĺžnika.
22. V trojuholníku ABC na obrázku platí: |<CAB| = 40º, |<ABC| = 85º. Nech D je taký bod
strany AC,
pre ktorý platí |BD| = |CD|. Akú veľkosť má uhol BDA?
23. Dĺžka jednej odvesny pravouhlého trojuholníka je 6, polomer kružnice opísanej
tomuto trojuholníku je 5. Aký obvod má tento trojuholník?
24. V pravouhlom trojuholníku ABC je |AB| = 6, α = 35º. Vypočítajte dĺžku strany AC,
výsledok uveďte zaokrúhlený na 1 desatinné miesto.
25. V pravouhlom trojuholníku ABC s odvesnou |AC| = 13 má výška na preponu dĺžku
|CD| = 5. Vypočítajte veľkosť uhla CAB. Výsledok uveďte v stupňoch s prestnosťou
na dve desatinné miesta.
26. Označte P obsah rovnostranného trojuholníka a O jeho obvod. Aké je vyjadrenie
obvodu O ako funkcie premennej P?
27. Obvodový uhol patriaci k oblúku AB kružnice s polomerom 4 cm má veľkosť 50º. Aká
je vzdialenosť tetivy AB od stredu S tejto kružnice? Výsledok uveďte v centimetroch
s presnosťou na dve desatinné miesta.
28. Veľkosti uhlov v pravouhlom trojuholníku sú v pomere α : β : γ = 1 : 2 : 3. Pomer
3
ktorých dvoch strán sa rovná číslu
?
3
29. Ostrouhlý trojuholník ABC so stranou |AB| = 6 je vpísaný do kružnice s polomerom
r = 5. Akú veľkosť s presnosťou na dve d. m. má uhol pri vrchole C?
30. Určte výšku medzi dvoma poschodiami, ak viete, že počet schodov medzi dvoma
poschodiami je 18, sklon stúpania je 30º a dĺžka schodu je 28,6 cm. Výsledok uveďte
v cm s presnosťou na celé cm.
31. V rovnoramennom trojuholníku ABC je úsečka XY rovnobežná so základňou
trojuholníka. Úsečka XY rozdelí trojuholník ABC na menší trojuholník a lichobežník.
Obsah menšieho trojuholníka a obsah lichobežníka sú v pomere 1:8. Určte dĺžku
úsečky XY, ak AB = 9 a AC = BC = 6 .
C
X
A
Y
B
32. Máme tri úsečky rôznych dĺžok, z ktorých sme vytvorili trojuholník. Po sčítaní dĺžok
každých dvoch úsečiek dostaneme postupne hodnoty 21 cm, 19 cm a 16 cm. Určte
obvod trojuholníka v cm.
33. Vnútorné uhly trojuholníka majú veľkosti 30º, 45º, 105º, jeho najdlhšia strana meria
10 cm. Vypočítajte dĺžku najkratšej strany. Výsledok uveďte v centimetroch
s presnosťou na dve desatinné miesta.
34. Je daný trojuholník ABC so strednou priečkou EF rovnobežnou so stranou AB. Aký je
obsah trojuholníka EFC, ak obsah trojuholníka ABFE je 24 cm2?
35. Trojuholník ABC má dĺžky strán 6, 7, 8. Potom kosínus najväčšieho uhla v tomto
trojuholníku má hodnotu:
17
17
1
1
77
b)
c) −
d)
e)
a) −
32
32
4
4
112
36. Prepona pravouhlého trojuholníka má dĺžku 17 cm. Jedna jeho odvesna je o 7 cm
kratšia ako druhá odvesna. Vypočítajte v cm obvod tohto pravouhlého trojuholníka.
37. Lietadlo, ktoré malo pôvodne letieť priamočiaro z Bratislavy do Paríža vzdialeného
800 km, sa pri štarte muselo kvôli zlému počasiu odchýliť od priameho kurzu o 60º.
Až po 300 km mohol pilot lietadlo nasmerovať priamo na Paríž. O koľko kilometrov
sa predĺžila dráha letu?
38. Študent geodetickej školy meria z Bratislavského hradu šírku Dunaja. Keď zameriava
v rovine kolmej na rieku, vidí brehy Dunaja v hĺbkových uhloch 61° a 9°. Výška
stanovišťa študenta nad hladinou Dunaja je 51 metrov. Určte šírku Dunaja podľa
nameraných hodnôt. Výsledok zapíšte zaokrúhlený na celé metre.
hrad
9°
61°
51 m
šírka Dunaja
39. V trojuholníku ABC sú dané strany a = 2 cm, b = 3 cm a uhol γ = 60°. Vypočítajte
dĺžku strany c.
40. V trojuholníku ABC je pomer dĺžok strán a:b = 1:2 a uhol α = 30°. Určte v stupňoch
veľkosť najväčšieho vnútorného uhla trojuholníka ABC.
41. Bod D na okraji strechy výškovej budovy stojacej na rovine vidíme z miesta A pod
výškovým uhlom 30º. Ak prídeme k budove o 50 m bližšie, vidíme tento bod D
z miesta B pod výškovým uhlom 45º. Vypočítajte výšku budovy. Výsledok uveďte
zaokrúhlený na metre.
42. V rovnoramennom trojuholníku ABC so základňou AB platí ∠BAC = 20°, AB = 4 .
Os vnútorného uhla pri vrchole B pretína stranu AC v bode P. Vypočítajte dĺžku
úsečky AP. Výsledok uveďte s presnosťou na dve d.m.
43. Daný je trojuholník ABC s ťažnicami t c = 9, t a = 6 . Bod T je ťažisko trojuholníka
a bod S je stred strany BC. Veľkosť uhla CTS je 60°. Určte veľkosť strany BC.
Výsledok uveďte s presnosťou na dve d.m.
44. Prepona pravouhlého trojuholníka má dĺžku 17 cm. Jedna odvesna je o 7 cm kratšia
ako druhá odvesna. Vypočítajte v cm obvod tohto pravouhlého trojuholníka.
45. Do rovnostranného trojuholníka so stranou dlhou 6 cm je vpísaný štvorec. Vypočítajte
dĺžku strany tohto štvorca.
46. Existuje pre každý trojuholník ABC bod, ktorý má rovnakú vzdialenosť od všetkých
troch jeho vrcholov A, B, C?
a) Áno, je to priesečník výšok trojuholníka ABC.
b) Áno, je to priesečník osí uhlov trojuholníka ABC.
c) Áno, je to priesečník ťažníc trojuholníka ABC.
d) Áno, je to priesečník osí strán trojuholníka ABC.
e) Nie, taký bod nemusí existovať.
47. Je daný trojuholník ABC, v ktorom B[0; 0], C[-10; 0], ∠ ABC = 45° a výška na
stranu BC má dĺžku 7. Zistite súradnice vrchola A[x A ; y A ] .
48. Obvodový uhol patriaci k oblúku AB kružnice s polomerom 4 cm má veľkosť 50°.
Aká je vzdialenosť tetivy AB od stredu S tejto kružnice? Výsledok uveďte
s presnosťou na dve d.m.
49. Z vrcholku pahorku, ktorý leží 75 m nad vodnou hladinou, vidieť presne za sebou dve
lode pod hĺbkovými uhlami = 64 a = 48 . Určte ich vzdialenosť.
50. Daný je trojuholník ABC. Body C1, A1, B1 sú postupne stredy jeho strán. Obrazom
trojuholníka ABC v istej rovnoľahlosti je trojuholník A1B1C1. Určte koeficient tejto
rovnoľahlosti.
51. Ktorý z uvedených vzťahov správne vyjadruje závislosť povrchu S kocky od dĺžky
u jej telesovej uhlopriečky?
2u 2
c) S = 3u 2 d) S = 3u 2 e) S = 2u 2
a) S = 6u 2
b) S =
2
52. V trojuholníku ABC pre veľkosti strán a, b, c platí: a ≤ b ≤ c . Dva z jeho vnútorných
uhlov majú veľkosti 80° a 40°. Ktoré z nasledujúcich tvrdení o trojuholníku je
pravdivé?
a) Uhol veľkosti 80° leží oproti strane a.
b) Uhol veľkosti 40° leží oproti strane b.
c) Tretí vnútorný uhol leží oproti strane a.
d) Tretí vnútorný uhol leží oproti strane b.
e) Tretí vnútorný uhol leží oproti strane c.
Planimetria
1. Koľko strán má pravidelný n-uholník, ktorého každý vnútorný uhol meria 150º?
2. V pravidelnom 18-uholníku A1A2A3...A18 určte v stupňoch veľkosť uhla A1A9A2.
3. V pravidelnom n-uholníku má vnútorný uhol veľkosť 144º. Koľko strán má tento
mnohouholník?
4. Nech S je priesečník uhlopriečok lichobežníka ABCD, ktorého základne majú dĺžky
|CD| = 3 cm. Vypočítajte obsah trojuholníka ABS, ak viete, že obsah
|AB| = 6 cm,
trojuholníka CDS je 13 cm2.
5. Do uhla veľkosti 60º chceme vpísať kružnicu s polomerom 5 cm. Ako ďaleko od
vrcholu uhla musí byť stred kružnice?
6. V pravidelnom n-uholníku má vnútorný uhol veľkosť 144°. Určte číslo n udávajúce
počet strán tohto mnohouholníka.
7. Daná je kružnica k(S, 4 cm) a bod A ∈ k . Opíšte konštrukciu deltoidu ABCD
vpísaného do kružnice k tak, že jedna uhlopriečka deltoidu má dĺžku 3 cm.
8. V obdĺžniku ABCD je K stred strany CD, S je priesečník úsečiek AK a BD. Vypočítajte
veľkosť úsečky AS, ak viete, že AK = 9 .
9. Ak v trojuholníku ABC α = 35°, β = 75°, tak pre veľkosti strán tohto trojuholníka
platí:
a) c < a < b b) b < c < a c) a < c < b d) b < a < c e) a < b < c
10. Bod V je vzdialený 25 cm od stredu kružnice k, ktorá má polomer 10 cm. Bodom
V môžeme viesť dve dotyčnice ku kružnici k. Akú veľkosť (s presnosťou na stotiny
stupňa) má uhol α, ktorý zvierajú tieto dotyčnice?
11. Na obrázku je pozemok v tvare štvoruholníka s rozmermi |AB| = 40 m, |BC| = 30 m,
|CD| = 120 m. Aký obvod má pozemok?
A
D
B
C
12. Na obrázku je prierez zregulovaným korytom rieky. Na jednom brehu je ukazovateľ
výšky hladiny rieky. Ako ďaleko od seba sú nakreslené rysky označujúce výšku
hladiny 2 m a 5 m?
5m
2m
150°
13. V obdĺžniku ABCD je K stred strany CD, S je priesečník úsečiek AK a BD. Vypočítajte
veľkosť |AS|, ak viete, že |AK| = 9.
14. Pomer dĺžok strán obdĺžnika ABCD je 3 : 1 . Určte veľkosť menšieho z uhlov jeho
uhlopriečok.
15. Dané sú kružnice k(K;3 cm) a m(M;8 cm), pričom |KM| = 22 cm. Spoločné vnútorné
dotyčnice týchto kružníc sa pretínajú v bode P. Vypočítajte v cm vzdialenosť |KP|.
16. V rovnoramennom lichobežníku ABCD má uhol DAB veľkosť 60º a os tohto uhla
prechádza stredom S základne CD. Uhlopriečka AC má dĺžku 21 m. S presnosťou na
mm vypočítajte obvod lichobežníka ABCD.V rovnoramennom lichobežníku ABCD
poznáme |AB| = 7, |BC| =|AD| = 4, |<BCD| = 120º. Vypočítajte |DC|.
17. Pravidelný šesťuholník ABCDEF je vpísaný do kruhu s polomerom 6 cm. Vypočítajte
s presnosťou na stotiny dĺžku jeho uhlopriečky AC.
18. Vypočítajte obsah štvoruholníka znázorneného na obrázku.
10
C
D
8
10
10
8
A
B
10
19. Aký musí byť pomer šírky k dĺžke obdĺžnikového listu papiera, aby sme po jeho
preložení na štvrtiny dostali štyri rovnaké obdĺžniky podobné s pôvodným
obdĺžnikom?
dĺžka listu
šírka listu
20. Na obrázku je načrtnutý pravouhlý lichobežník. Vypočítajte v stupňoch súčet jeho
najmenšieho a najväčšieho vnútorného uhla.
4
6
10
12
21. Rozhodnite, ktorá z úsečiek k, l, m, n, o je podľa údajov znázornených na obrázku
najdlhšia.
m
55°
l
60°
o
n
40°
65°
k
22. V obdĺžniku ABCD je vzdialenosť jeho stredu od priamky AB o 3 cm väčšia ako od
priamky BC. Obvod obdĺžnika je 52 cm. Vypočítajte jeho obsah. Výsledok uveďte
v cm2.
23. Vypočítajte veľkosť menšieho z uhlov, ktorý určujú priamky A1A4 a A2A10
v pravidelnom dvanásťuholníku A1A2A3...A12. Výsledok uveďte v stupňoch.
24. Akú veľkosť má uhol φ na obrázku?
30°
70°
φ
25. Bod B[x; y ] je obrazom bodu A[2; 3] v rovnoľahlosti so stredom S [1; 2]
a koeficientom rovnoľahlosti k = 2. Vypočítajte x-ovú súradnicu bodu B.
AB = 7, BC = AD = 4,
26. V rovnoramennom lichobežníku ABCD poznáme
∠BCD = 120° . Vypočítajte DC .
27. Z obdĺžnikového kartónu s rozmermi d cm x 20 cm sme urobili škatuľu s objemom
1 000 cm3 tak, že z každého jeho rohu sme vystrihli štvorec so stranou 5 cm a zvyšné
okraje sme zahli. Vypočítajte číslo d.
28. Vypočítajte obsah pravidelného 15-uholníka vpísaného do kružnice s polomerom
r = 4. Výsledok uveďte s presnosťou na dve d.m.
29. Úsečka AC je priemerom kružnice na obrázku. Pomer dĺžok oblúkov AB a BC je 7:3.
Určte v stupňoch veľkosť uhla AXB.
X
A
C
B
30. Na obrázku je bod K stredom strany štvorca so stranou dĺžky 18. Vypočítajte obsah
vyznačeného trojuholníka.
K
31.
Download

Planimetria