Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
GRAVITÁCIA
A) gravitačné pole, Newtonov gravitačný zákon
(Hajko, II/78 - skrátené)
1. Vypočítajte potenciál φ gravitačného poľa kruhovej dosky (zanedbateľnej hrúbky) hmotnosti m a polomeru R
v bode P ležiacom na osi kolmej na dosku a prechádzajúcej jej stredom. Vzdialenosť bodu P od stredu dosky je a.
2m

ϕ = −κ R 2
(
)

R2 + a2 − a 

(MMF, s. 28, modifikované podľa Hajko, II/77)
2. Určite potenciál φ gravitačného poľa homogénnej tyče dĺžky l a hmotnosti m v bode P, ležiacom v predĺžení
tyče vo vzdialenosti a od jej konca.
m l + a

ϕ = −κ l ln a 
(FKS 1997/1998, B-6.4)
3. Akú výšku h nad povrchom Zeme a akú veľkosť (obežnej) rýchlosti majú geostacionárne družice? Polomer
Zeme je R, veľkosť uhlovej rýchlosti jej rotácie Ω.


κM
−1
3
h = 3 2 − R ≈ 35850km; v = κMΩ ≈ 3,08km.s 
Ω


(N 2002/2003, 25)
4. Vo výške 450 km nad povrchom planétky je veľkosť gravitačného zrýchlenia 100-krát menšie než na jej
povrchu. Aký je polomer neznámej planétky?
[50 km]
(N 2002/2003, 36)
5. V planéte tvaru gule s homogénnou hustotou ρ a polomerom R je guľová dutina s polomerom R/2. Hmotnosť
planéty je M. Aké je gravitačné zrýchlenie v bode A na povrchu planéty ?
4 M 
 7 κ R 2 
verzia ZS 2012
1/8
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
GRAVITÁCIA
(N 2007/2008, 15)
6. V istej guľovej planéte z homogénneho materiálu našli dutinu tvaru gule, dotýkajúcu sa povrchu planéty v bode
A i jej stredu. Veľkosť gravitačného zrýchlenia v bode A je a. Aká je veľkosť gravitačného zrýchlenia
v protiľahlom bode B?
17 
 9 a 
(N 2009/2010, 27)
7. V inej galaxii sa nachádza planetárna sústava podobná tej našej. Rozdiel je v tom, že všetky rozmery sú tam
tretinové a všetky hustoty polovičné. Koľko trvá na tamojšej „Zemi“ rok?
[
2roka
]
(FKS 1994/1995, A-6.4)
8. Jeden z najväčších projektov minulého storočia bol projekt gravitačného vlaku z Moskvy do Vladivostoku.
Krížom cez Zem (najkratšou cestou; Zem má polomer R) by sa vykopal tunel, v ktorom by sa pohyboval vlak len
pôsobením gravitačných síl. Aký pohyb by vykonával takýto vlak? Ako dlho by trvala cesta z Moskvy do
Vladivostoku takýmto vlakom?
[kmity s periódou 2π
R
]
g
(FYKOS XVII-III.1)
9. (*) Tri rovnaké družice obiehajú po kružnici okolo malej planétky veľkosťou rýchlosti v tak, že sú neustále vo
vrcholoch rovnostranného trojuholníka. Určite hmotnosti družíc (nemožno ich považovať za zanedbateľne malé
voči hmotnosti planétky!)
[hmotnosti troch družíc budú rovnaké, rovné
v 2 R − κM
]
3
κ
(FKS 1997/1998, A-6.3)
10. (*) Predstavte si, že by sme prevŕtali Zem (s polomerom R) až do jej stredu, niečo sme tam hodili a teraz to
odtiaľ ťaháme von. Na to budeme potrebovať nejakú energiu E1. Následne si predstavte situáciu, že Zem je dutá
a celá jej hmotnosť je sústredená v škrupine na povrchu Zeme hrubej 1 meter. Ak by sme teraz vyťahovali to isté
„niečo“ zo stredu Zeme, vykonáme prácu E2. Porovnajte veľkosti E1 a E2.
d

 E 2 = E1 . R 
verzia ZS 2012
2/8
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
GRAVITÁCIA
(FYKOS XIII-I.4)
11. (*) Planéta s polomerom R = 6 400 km je obklopená H = 10 km hlbokým morom s hustotou ρ = 1 000 kg.m-3.
Meraním bolo zistené, že pri ponáraní sa telesa do mora sa nemení gravitačná sila na neho pôsobiaca. Vypočítajte
veľkosť gravitačného zrýchlenia g na povrchu planéty.
[g ≈ 2,68 m.s-2; zadanie je však chybné, nemožno dosiahnuť g = konšt. po celú dobu ponárania sa telesa]
(FYKOS XI-IV.4; kvalitatívne FKS 1994/1995, A-1.4)
12. (*) Kedy ukážu pružinové váhy na rovníku väčšiu hmotnosť telesa: napoludnie alebo o polnoci? O koľko
percent sa budú údaje líšiť? Uvažujte len sústavu Zem – Slnko (Mesiac „niekam odletel“).
[o polnoci; prakticky nerozlíšiteľný rozdiel ≈ 10-9 %]
(FX, D3)
13. (**) V rámci ekonomických opatrení pred oslavou jubilejného roka 3000 sa byrokracia rozhodla skrátiť
výdavky tým, že odstránia polovicu Zeme (s hmotnosťou M, polomerom R a hustotou ρ). Výkonná čata najprv
rozrezala Zem na dve polgule, a potom jednu z nich vymazala (príkazom delete, samozrejme).
a) Akou veľkosťou sily sa tieto dve polgule priťahovali?
 κπ 2 ρ 2 R 4 


3


b) Po vymazaní druhej polgule, aké bolo gravitačné zrýchlenie v mieste, kde sa kedysi nachádzal
stred Zeme?
 3 κM 3
−2 
 4 R 2 = 4 g 0 ≈ 7,36m.s 
(FX, D1)
14. (**) Je všeobecne známe, že Zem je guľa s polomerom R. Kedysi si však ľudia mysleli, že Zem je nekonečná
homogénna platňa s hrúbkou h. Zistite, aká by musela byť hrúbka h, aby bolo na „plochej Zemi“ rovnaké
gravitačné zrýchlenie, ako je teraz. Predpokladajte, že hustota „plochej Zeme“ by bola rovnaká, ako je priemerná
hustota Zeme teraz.
2 

h
=
R

3 
verzia ZS 2012
3/8
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
GRAVITÁCIA
B) pohyb telies v gravitačnom poli, Keplerove zákony
(Hajko, II/79)
15. Akú veľkosť rýchlosti v vo vodorovnom smere treba udeliť nejakému telesu vo výške h = 500 km nad
zemským povrchom, aby sa pohybovalo ako umelá družica Zeme po kruhovej dráhe? (Uvažujte polomer Zeme
R = 6 371 km)


R2
= 7,6km.s −1 
v = g
R+h


(Hajko, II/81)

16. Teleso bolo vrhnuté z povrchu Zeme zvislo nahor rýchlosťou v 0 . Do akej výšky teleso h vystúpi a aká by
musela byť minimálna počiatočná veľkosť rýchlosti v0 min, aby teleso nespadlo späť na Zem?
2


v0
h
=
R; v 0 min = 2 gR = 11,2km.s −1 

2
2 gR − v0


(N 1999/2000, 3)
17. Z povrchu planéty s polomerom R štartuje zvislo nahor raketa prvou kozmickou rýchlosťou. Do akej výšky h
meranej od povrchu planéty sa dostane raketa? Trenie v atmosfére neuvažujte.
[ h = R]
(N 2008/2009, 11)
18. Kozmická loď krúži vo vzdialenosti R okolo hviezdy s hmotnosťou M a chystá sa vypustiť malú sondu za
účelom preskúmania hviezdy. Aká je minimálna veľkosť rýchlosti, ktorú musí kozmická loď udeliť prieskumnej
sonde, aby táto spadla na hviezdu? Predpokladajte, že vzdialenosť R je oveľa väčšia než rozmery hviezdy.
 κM 


 R 
(N 2005/2006, 22)
19. Vo vzdialenosti 3R od planéty s polomerom R a hmotnosťou M je kruhová rýchlosť rovnako veľká ako úniková
rýchlosť z povrchu planéty s polomerom r a hmotnosťou m. Aký je pomer r : R polomerov týchto planét, ak majú
rovnakú hustotu?
verzia ZS 2012
[r : R = 1 :
]
6 ≈ 0,408
4/8
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
GRAVITÁCIA
(N 2010/2011, 28)
20. Je známe, že pri kolmom štarte je potrebné vyhodiť teleso veľkosťou rýchlosti v 2 k =
2κM
, ak má opustiť
R
gravitačné pole Zeme. Akou veľkosťou rýchlosti je teleso potrebné vyhodiť v smere rovnobežnom so zemským
povrchom, aby opustilo gravitačné pole Zeme? Rotáciu Zeme zanedbajte.
 2κM 

☺
 R 
(N 2010/2011, 41)
21. Veľmi dávno sa ľudia prostredníctvom hviezdnej brány dostali do veľmi vzdialenej galaxie, v ktorej neplatia
fyzikálne zákony tak, ako ich poznáme my. Napríklad pre veľkosť (príťažlivej) gravitačnej sily medzi telesami
s hmotnosťami m1 a m2 vo vzdialenosti r platí vzťah
Fg = A
m1 m2
mm
+ B 13 2 ,
2
r
r
kde A a B sú konštanty. V snahe zistiť ich hodnoty vyslali ľudia sondu a pomocou nej odmerali veľkosť kruhovej
rýchlosti vk a veľkosť únikovej rýchlosti vu na úrovni povrchu planéty. Vypočítajte hodnoty konštánt A a B.
Hmotnosť M aj polomer R skúmanej planéty poznáte.

A =

B =

(
)
R
2
2
vu − v k
M
R2
2
2
2v k − vu
M
(
)





(N 2004/2005, 28)
22. Najmenšia vzdialenosť Halleyho kométy od Slnka je rmin = 0,6 AU. Perióda jej obehu je T = 76 rokov. Určite
jej afélium (t.j. ako najďalej v jednotkách AU sa dostane kométa od Slnka).
[35,3 AU]
(N 2010/2011, 33)
23. Dve družice sa pohybujú okolo Zeme po tej istej elipse s veľkými polosami a a b. V čase ich najväčšieho
priblíženia k Zemi sa nachádzajú v malej vzdialenosti d za sebou. Aká bude ich vzdialenosť v čase ich najväčšieho
oddialenia od Zeme?
 a − a2 − b2
d
 a + a 2 − b 2
verzia ZS 2012



5/8
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
GRAVITÁCIA
(N 2007/2008, 13)
24. Nová družica obieha okolo Slnka po kruhovej dráhe v tej istej rovine ako Zem. Dlhodobým pozorovaním
môžeme zistiť, že na oblohe sa vzďaľuje od Slnka najviac na 60°. Aká je jej doba obehu Slnka?
3




 3  2 roka ≈ 0,806roka 
 2 




(N 2003/2004, 23)
25. Ak by sme zastavili Zem pri jej obehu okolo Slnka, ako dlho by trvalo, kým by naň Zem dopadla? (Rozmery
Slnka „zanedbajte“, pohyb Zeme uvažujte po kružnici s polomerom R a periódou obehu T).
 T

≈ 129dni 

2 2

(FYKOS XII-III.4)

26. (*) Z „nekonečnej“ vzdialenosti sa k Zemi (s polomerom R) blíži asteroid s počiatočnou rýchlosťou v 0 .

Vzdialenosť asteroidu od priamky, ktorá je rovnobežná s vektorom rýchlosti v 0 a prechádza stredom Zeme, je na
začiatku rovná a. Určite, aký vzťah musí platiť medzi veľkosťou rýchlosti v0 a a, aby asteroid nezasiahol Zem.

2κM 
a > R 1 + 2 
v 0 R 

(FYKOS XII-III.4)
27. (**) Jupiterova kometárna rodina vzniká nasledujúcim spôsobom (viď obrázok vľavo). Kométa prilieta
k Jupiteru z veľkej vzdialenosti s takmer nulovou počiatočnou rýchlosťou. Po opustení Jupiterovho gravitačného
poľa (sféry gravitačného vplyvu Jupitera) má jej rýchlosť vzhľadom (vzhľadom k Slnku) presne opačný smer ako
rýchlosť Jupitera. Potom sa kométa pohybuje opäť v gravitačnom poli Slnka.
V akej vzdialenosti od Slnka sa bude nachádzať perihélium dráhy kométy a aká je jej obežná doba (aká je veľkosť
veľkej polosi dráhy kométy)? Uvažujte, že Jupiter obieha okolo Slnka po kružnici s polomerom R = 5,2 AU.
[3,55 AU; 6,7 roka]
verzia ZS 2012
6/8
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
GRAVITÁCIA
(N 2005/2006, 18)
28. (**) Predstavte si, že chcete vyslať zo Zeme sondu na Mars. Výpočty múdrych astrofyzikov ukázali, že
energeticky najvýhodnejšia je tzv. Hohmanovská trajektória (na obrázku: A, B sú polohy Zeme a Marsu v okamihu
štartu sondy, C miesto stretnutia sondy s Marsom). Predpokladajte, že Zem a Mars na sondu gravitačne nepôsobia,
po štarte sa teda sonda pohybuje po elipse, ktorej perihélium je v bode A a afélium v bode C. Aký veľký je uhol α
medzi Zemou, Slnkom a Marsom v čase štartu rakety? Predpokladajte tiež, že obe planéty obiehajú okolo Slnka
v tej istej rovine po kružniciach a polomer obežnej dráhy Marsu je 1,52 – násobok polomeru obežnej dráhy Zeme.
[44,15°]
(FX, D2)
29. (**) Roman sa hral so svojím novým ďalekohľadom, keď zrazu spozoroval pohybujúci sa asteroid. Roman
zistil, že tento asteroid sa práve nachádza vo vzdialenosti d od Slnka, jeho veľkosť okamžitej rýchlosti je v a smer
jeho rýchlosti zviera uhol α so spojnicou asteroid – Slnko. Aká je jeho perióda obehu okolo Slnka?

d
2πκ ( M + m ) 


2κ ( M + m ) − dv 2


3

2 

 

(FX, E5)
30. (**) Pán Rutherford znova vytiahol zo špajze zlatú fóliu a delo α častíc. Vystrelil α časticu s hmotnosťou m a
veľkosťou rýchlosti w smerom na jadro zlata (atómové číslo Z = 79) a ona sa mu odchýlila o uhol β (od pôvodného
smeru letu). Zistite, o koľko pán Rutherford netrafil toto jadro zlata (t.j. ako ďaleko od pôvodnej priamky letu sa
toto jadro nachádzalo).
 Ze 2
β
cot g 

2
2
 2πε 0 mw
C) odhadovačky
(FYKOS XVI-V.2)
31. Odhadnite, ako dlho potrvá vesmírnej lodi Apollo, aby sa dostala na orbitu Mesiaca (ak zbytočne neplytvá
palivom).
[☺, využitím 3. Keplerovho zákona ≈ 4,8 dňa]
verzia ZS 2012
7/8
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
GRAVITÁCIA
(FKS 2000/2001, A-3.1)
32. Na rovníku a na severnom póle boli postavené dve dokonalé (a klimatizované) športové haly. Majstrovstvá
sveta v ľahkej atletike sa uskutočnili v tej „polárnej“. Rekord v hode guľou do diaľky mužov bol na súťaži
zlepšený o jeden centimeter. Odhadnite, či a o koľko by bol tento (už vylepšený) svetový rekord prekonaný, keby
sa majstrovstvá sveta uskutočnili v „rovníkovej“ hale. Predpokladajte, že v oboch halách by športovci podávali
rovnaké fyzické (a psychické) výkony.
[bol by prekonaný o cca štvrť metra]
D) príklady na zamyslenie
(FYKOS X-I.4)
33. Predstavte si, že idete večer pokojne spať a do rána sa všetky vzdialenosti a rozmery všetkých predmetov
zväčšia desaťkrát, pričom ich hmotnosti sa nezmenia. Zanechá táto udalosť nejaké stopy na vašej existencii? Ak
áno, aké?
[☺]
(FKS 1993/1994, B-4.1)
34. Majme kvapalinu s rovnakou hustotou, ako je priemerná hustota istého človeka. Keď do nej tohto človeka
ponoríme, bude sa v nej vznášať. Bude pociťovať beztiažový stav (t.j. stav, ktorý pociťujú kozmonauti vo
vesmíre)?
[☺]
verzia ZS 2012
8/8
Download

Ť A Ž I S K O