9 DUTINOVÉ REZONÁTORY
Rezonančné systémy sa v rôznych formách používajú prakticky v celom pásme
elektromagnetického spektra. Pri nízkych frekvenciách možno rezonančný systém vytvoriť
jednoducho, vhodným spojením indukčnosti L, kapacity C, prípadne odporu R, teda
prvkov so sústredenými parametrami. V mikrovlnovej oblasti elektromagnetického spektra
takýto obvod so sústredenými parametrami realizovať nemožno z dôvodov ktoré boli
uvedené v úvode.
V mikrovlnovej oblasti slúžia ako rezonančné systémy dutinové rezonátory. Dutinovým
rezonátorom nazývame objem dielektrika (často vzduchu, alebo vákua) ľubovoľného
tvaru úplne uzavretého dobre vodivým kovovým plášťom s výnimkou jedného, prípadne
viacerých väzobných otvorov. Ak takýto dutinový rezonátor s dvoma otvormi napájame
signálom premennej frekvencie zistíme, že v okolí istých rezonančných frekvencií
interakcia medzi otvormi rapídne vzrastá.
Obr. 9.1
Vo všeobecnosti existuje nekonečný počet týchto rezonančných frekvencií, obyčajne
je však predmetom záujmu najnižšia rezonančná frekvencia, ktorej zodpovedajúca
vlnová dĺžka je porovnateľná s lineárnymi rozmermi dutinového rezonátora. Na obr. 9.1
je závislosť preneseného výkonu cez dutinový rezonátor od pomerného rozladenia
δω/ ω0, kde ω0 je rezonančná frekvencia dutinového rezonátora. Závislosť je typická
rezonančná krivka Lorentzovho typu, podobná rezonančnej krivke RLC obvodu.
182
Vlastnosti rezonančného obvodu pri nízkych frekvenciách sa dané parametrami R, L,
C, čím je súčasne daná rezonančná frekvencia a kvalita obvodu, prípadne jeho rezonančný
odpor. V prípade dutinového rezonátora podobné parametre ako indukčnosť a kapacita
nemožno zaviesť a to nielen preto, že by ich bolo obtiažne merať, ale hlavne preto, že tie
pojmy v limitných prípadoch strácajú fyzikálny zmysel. Vlastnosti dutinových
rezonátorov treba preto charakterizovať takými parametrami, ktoré sú v mikrovlnovej
technike merateľné. Takými parametrami sú:
a) rezonančná frekvencia ω0, prípadne rezonančná vlnová dĺžka λ0,
b) rezonančná vodivosť, prípadne rezonančný odpor, ktoré sú mierou strát v rezonátore
c) vlastná, alebo nezaťažená kvalita rezonátora Q0, ktorá súvisí s činným odporom,
alebo vodivosťou pri rezonancii.
Dutinové rezonátory môžu byť vo všeobecnosti ľubovoľného tvaru, v praxi sa však
uprednostňujú rezonátory jednoduchých geometrických foriem (pravouhlé, cylindrické
toroidálne rezonátory a pod.). Ich výroba je jednoduchá a jednoduchá je aj analýza
elektromagnetických polí v takých rezonátoroch.
Pri analýze elektromagnetických polí v dutinových rezonátoroch možno vychádzať
z analýzy polí vo vlnovodoch alebo dlhých vedení. Základný rozdiel medzi vlnovodom
s postupujúcou elektromagnetickou vlnou a dutinovým rezonátorom (na oboch koncoch
skratovaným vlnovodom) spočíva v charaktere hraničných podmienok. Elektromagnetické
pole v dutinovom rezonátore je uzavreté zo všetkých strán vodivými plochami, takže
odraz od stien rezonátora vytvára v ňom stojatú vlnu.
9.1 Kvalita dutinového rezonátora
Najdôležitejším parametrom dutinového rezonátora je popri jeho rezonancii parameter
nazývaný kvalita. Kvalita rezonančného systému je mierou strát energie za jednu periódu
a je daná všeobecným výrazom
Q0 = ω 0
Wrez
P
(9.1)
kde ω0 je rezonančná frekvencia systému, Wrez je energia nahromadená v systéme a P sú
výkonové straty v systéme. V prípade dutinového rezonátora je energia nahromadená
v systéme energiou elektromagnetického poľa
ε E 2 µ H 2 
 dV
W= 
+
 2

2
V

∫
kde V je objem dutiny, E a H sú amplitúdy elektrického a magnetického poľa v dutine,
ε a µ sú permitivita a permeabilita dielektrika vyplňujúceho dutinu rezonátora. Pri rezonancie
sa energia elektrického poľa mení periodicky na energiu magnetického poľa s periódou
kmitov rezonátora, pričom maximálne hodnoty energie sú rovnaké, teda
183
Wrez =
∫
ε Em
V
2
dV =
2
∫
µ Hm
2
dV
2
V
(9.2)
kde Em a Hm sú amplitúdy elektrického a magnetického poľa v dutine pri rezonancii.
Straty v dutinovom rezonátore sú dvojakého druhu. Predovšetkým sú to straty v stenách
rezonátora Ps a na druhom mieste sú to straty v dielektriku rezonátora Pd. Výsledný
stratový výkon je potom
P = Ps + Pd
Dutinové rezonátory sú obyčajne plnené vzduchom, v špeciálnych prípadoch
nízkostratovými dielektrikami, prípadne je v nich vákuum, takže dielektrické straty často
možno zanedbať. V prvom priblížení sa obmedzíme na straty v stenách rezonátora.
Stratový výkon v stenách dutinového rezonátora možno vypočítať integráciou plošných
strát (1.72)
1
2
ps = Rvf H t
2
po uzavretej vnútornej plocha plášťa dutiny S, teda
Ps =
Rvf
2
∫H
2
t
1
2σδ
dS =
S
∫H
2
t
dS
(9.3)
S
kde σ je vodivosť stien rezonátora a δ = 2 / (ω 0 µ ′σ ) je hĺbka vniku poľa do stien. µ′ je
permeabilita materiálu stien rezonátora. Kvalitu dutinového rezonátora možno teda
vyjadriť výrazom
∫H
2
m
W
2 µ V
Q0 = ω 0 rez =
Ps
δ µ′ H
t
∫
2
dV
(9.4)
dS
S
Ak je materiál stien rezonátora neferomagnetický, potom µ′ ≈ µ takže výraz (9.4) prejde
do tvaru
Q0 =
∫H
2
δ
2
m
dV
V
∫H
2
t
(9.5)
dS
S
Výraz udáva vlastnú kvalitu, alebo kvalitu nezaťaženého rezonátora. Ak uvážime,
že rezonátor je súčasťou mikrovlnovej aparatúry, potom straty vo väzbe vedú k zníženiu
kvality. Takúto kvalitu nazývame kvalitou zaťaženého rezonátora.
Výraz (9.5) umožňuje vypočítať vlastnú kvalitu rezonátora za predpokladu, že
poznáme konfigurácie elektromagnetického poľa v rezonátore. V mnohých prípadoch
pomer objemového integrálu k plošnému integrálu vo výraze (9.5) sa približne rovná
184
pomeru objemu k ploche (V/S) rezonátora, takže kvalita v takých prípadoch má približnú
hodnotu
2V
(9.6)
Q0 ≈
δ S
Pre isté konfigurácie elektromagnetických polí v cylindrických rezonátoroch (módy
Emn0) výraz (9.6) platí presne.
Výraz (9.6) umožňuje – aj keď iba rádovo – posúdiť očakávané hodnoty kvalít dutinových
rezonátorov. Ak uvážime, že objem V ~ λ30 a S ~ λ20 , potom
Q0 ≈
λ0
δ
V oblasti centimetrových vĺn sú hĺbky preniku 10–7 až 10–6 m a vlnová dĺžka je rádu 10–2 m,
takže kvality dutinových rezonátorov v tejto oblasti sú rádu 104 až 105.
Ak je rezonátor naplnený stratovým dielektrikom s permitivitou εd a vodivosťou σd,
prítomnosť dielektrika predovšetkým vedie k zmene rezonančnej frekvencie rezonátora.
Ak ω0 je rezonančná frekvencia rezonátora s vákuom, potom rezonančná frekvencia
rezonátora s dielektrikom je
ω 0′ =
ω0
ε rd
kde εrd = εd/ε0 je relatívna permitivita uvažovaného dielektrika. Tento vzťah mimochodom
umožňuje určiť relatívnu permitivitu dielektrika meraním rezonančnej frekvencie
rezonátora s dielektrikom a bez neho zo vzťahu
ε rd =
ω 02
f 02
=
ω 0′ 2
f 0′ 2
Celková energia nahromadená v dielektriku rezonátora pri rezonancii sa dá vyjadriť
v tvare
∫
Wrez =
V
ε d Em
2
dV
2
a ohmické straty v dielektriku sú
Pd =
∫
V
σ d Em
2
2
dV
Ak εd a σd sú konštanty (homogénne, izotropné dielektrikum), potom kvalita rezonátora
súvisiaca so stratami v dielektriku je
Qd = ω 0′
Wrez ω 0′ ε d
1
=
=
Pd
σd
tg δ
(9.7)
185
kde δ je stratový uhol dielektrika. Z výrazu vidieť, že Qd nezávisí od rozmerov rezonátora, až
na to, že tieto rozmery určujú ω 0′ .Vzťah platí iba vtedy, ak dutina je celkom vyplnená
homogénnym izotropným dielektrikom. V opačnom prípade výrazy pre kvalitu Qd sú
veľmi zložité. Výsledná kvalita rezonátora so stratami v stenách a v dielektriku je daná
výrazom
1
1
1
1
=
+
=
+ tg δ
Q0 Qm′ Qd Qm′
(9.8)
kde Qm′ je kvalita rezonátora viazaná na straty v stenách pri rezonančnej frekvencii ω 0′ .
9.2 Elektromagnetické polia v dutinových rezonátoroch
Uvažujme trubicový vlnovod ľubovoľného profilu, ktorý je na jednom konci ukončený
vodivým skratom. V takom vlnovode sa postupujúca vlna od skratu odráža a výsledné
pole je superpozíciou postupujúcej a odrazenej vlny. Pre priečne zložky takého poľa
možno písať
ET = ET′+ e j(ωt – βz ) + ET′ – e j(ωt + βz )
(9.9a)
H T = H T′+ e j(ωt – βz ) + H T′ – e j(ωt + βz )
(9.9b)
kde znamienkami „+“ a „–„ sú označené priečne konfigurácie postupujúcej a odrazenej
vlny. Ak je skrat ideálne vodivý, potom na ňom nastáva totálny odraz a priečna zložka
elektrického poľa je v rovine skratu nulová. Nech skrat je v rovine z = 0. Pre priečnu
zložku elektrického poľa v tejto rovine platí
ET = ( ET′+ + ET′ – )e jωt = 0
z čoho plynie, že
E T′ – = – ET′ + = – E T′
(9.10a)
Priečne magnetické pole má v rovine skratu maximum a teda tam platí
H T = ( H T′ + + H T′ – )e jωt = 2 H T′+ e jωt
z čoho
H T′ – = H T′+ = H T′
(9.10b)
Využitím výrazov (9.10) možno výrazy (9.9) pre priečne zložky poľa v skratovanom
vlnovode napísať v tvare
186
ET = ET′ (e – jβz − e + jβz )e jωt = –2 jET′ sin βz e jωt
(9.11a)
H T = H T′ (e – jβz + e + jβz )e jωt = 2 H T′ cos βz e jωt
(9.11b)
Pozdĺžne zložky poľa sa dajú určiť využitím Maxwellových rovníc. Platí totiž
rotTET = –j ωµHz
a
rotTHT = j ωεEz
takže
Ez =
1
jωε
Hz =
j
ωµ
–2 j
rot T H T =
rot T ET =
cos βz e jωt rot T H T′
(9.11c)
sin βz e jωt rot T ET′
(9.11d)
ωε
2
ωµ
Z výrazov (9.11) vidieť, že pole v skratovanom vlnovode predstavuje stojatú vlnu
podobnú ako na obr. 8.9. Také pole môže teoreticky existovať aj vo vlnovode uzavretom
na obidvoch koncoch za predpokladu, že v uzavretom úseku vlnovodu sa uloží celistvý
počet polvĺn, tak, aby hraničné podmienky boli splnené na obidvoch koncoch. Z uvedeného
plynie, že dĺžka l uzavretého úseku vlnovodu musí byť taká, aby platilo
l=p
kde p = 1, 2, 3, ..., alebo
λv
(9.12)
2
βl= pπ
pričom
β=
2π
λv
=
pπ
l
Na druhej strane platí (pozri odsek 2.4)
β2 = ω2εµ – k2
z čoho plynie, že v uzavretom úseku vlnovodu môže elektromagnetické pole existovať
iba pri rezonančnej uhlovej frekvencii
ω = ω rez =
1
εµ
β2 + k2 =
2π
1
εµ
λ2v
+
1
λ2kr
alebo frekvencii
f rez =
1
1
εµ
λv2
+
1
(9.13)
λ2kr
Jej zodpovedá rezonančná vlnová dĺžka
λrez =
1
f rez εµ
=
1
1
λ2v
+
1
(9.14)
λ2kr
187
Ak vezmeme do úvahy vzťah (9.12) potom výraz (9.14) možno napísať v tvare
1
λ rez =
1
λ2kr
(9.15)
 p
+ 
 2l 
2
Z uvedenej analýzy vidieť, že v uzavretom úseku vlnovodu môže existovať elektromagnetické
pole iba pri istej rezonančnej frekvencii frez danej výrazom (9.13) a jej zodpovedajúcej
rezonančnej vlnovej dĺžke λrez podľa výrazu (9.14). Uzavretý úsek vlnovodu je teda
dutinovým rezonátorom. Pretože hodnoty λkr a λv závisia od hodnôt čísel m, n a p,
v danom rezonátore teoreticky môže existovať nekonečné množstvo kmitov s rezonančnými
vlnovými dĺžkami λrez = λmnp.
9.3 Konfigurácie elektromagnetických polí v pravouhlých
dutinových rezonátoroch
Najjednoduchším typom dutinového rezonátora je pravouhlý dutinový rezonátor –
úsek pravouhlého vlnovodu dĺžky c, uzavretý na obidvoch koncoch vodivými plochami
(obr. 9.2). Zložky elektromagnetického poľa v takom rezonátore dostaneme použitím
výrazov (9.11), kde za
ET′ = E x′ i + E ′y j
a
H T = H x′ i + H ′y j
Obr. 9.2
dosadíme výrazy získané pri analýze elektromagnetických polí v pravouhlom vlnovode
Keďže vo vlnovode môžu existovať dva typy vĺn – E-vlny a H-vlny, potom aj v rezonátore
vzniklé elektromagnetické konfigurácie majú charakter E- a H-vĺn. Dosadením výrazov
(3.22) do (9.11) dostaneme pre E-vlny v pravouhlom rezonátore výrazy
188
Ex =
Ey =
–2 β
k2
–2 β
k
2
A
mπ
mπ
nπ
pπ
cos
x sin
y sin
z e jω rez t
a
a
b
l
A
nπ
mπ
nπ
pπ
sin
x cos
y sin
z e jω rez t
b
a
b
l
E z = 2 A sin
Hx =
Hy =
2 jω rez ε
k
2
–2 jω rez ε
k
2
mπ
nπ
pπ
z e jω rez t
x sin
y cos
a
b
l
(9.16)
A
nπ
mπ
nπ
pπ
sin
x cos
y cos
z e jω rez t
b
a
b
l
A
mπ
mπ
nπ
pπ
cos
x sin
y cos
z e jω rez t
a
a
b
l
Hz = 0
Rezonančné vlnové dĺžky λrez = λmnp dostaneme použitím výrazu (9.15), kde λkr je
dané výrazom (3.24), teda
2
λ rez = λ mnp =
(9.17)
2
2
2
m n  p
  +  + 
 a  b  l 
alebo rezonančná frekvencia
f rez = f mnp =
1
λ rez εµ
=
1
2 εµ
2
2
m
n
 p
  +  + 
a
b
 
 
l 
2
(9.18)
Pre H-vlny podobným spôsobom – využitím výrazov (9.11),(3.28) a (3.30) –
dostaneme
2ω rez µ nπ
mπ
nπ
pπ
Ex =
B
cos
x sin
y sin
z e jω rez t
2
b
a
b
l
k
–2ω rez µ
mπ
mπ
nπ
pπ
sin
x cos
y sin
z e jω rez t
a
a
b
l
k
Ez = 0
2 jβ mπ
mπ
nπ
pπ
Hx = 2 B
sin
x cos
y cos
z e jω rez t
a
a
b
l
k
Ey =
Hy =
2
2 jβ
k
2
B
B
(9.19)
nπ
mπ
nπ
pπ
cos
x sin
y cos
z e jω rez t
b
a
b
l
H z = –2 jB cos
mπ
nπ
pπ
x cos
y sin
z e jω rez t
a
b
l
Rezonančné vlnové dĺžky a frekvencie sú dané výrazmi totožnými s (9.17) a (9.18).
189
9.4 Konfigurácie elektromagnetických polí
v cylindrických rezonátoroch
Cylindricky rezonátor vznikne z úseku cylindrického vlnovodu polomeru a a dĺžky h,
ak sa na obidvoch koncoch uzavrie vodivými plochami (obr. 9.3). Zložky elektromagnetického
poľa možno dostať využitím výrazov (9.11), v ktorých sa funkcie priečnych
súradníc ET′ a H T′ dosadia do výrazov získaných pri analýze cylindrických vlnovodov.
Použitím výrazov (4.29) a (4.30) dostaneme zložky elektromagnetických polí pre E-vlny
v tvare
Obr. 9.3
Er =
–2 β
pπ jω rez t
ze
BJ m′ (kr ) cos mϕ sin
k
h
Eϕ =
2 βm J m (kr )
pπ jω rez t
B
sin mϕ sin
ze
k
kr
h
E z = –2 BJ m (kr ) cos mϕ cos
Hr =
pπ jω rez t
ze
h
(9.20)
– 2 jω rezεm J m (kr )
pπ jω rez t
B
sin mϕ cos
ze
k
kr
h
Hϕ =
–2 jω rezε
pπ jω rez t
ze
BJ m′ (kr ) cos mϕ cos
k
h
Hz = 0
Rezonančné vlnové dĺžky plynú s výrazu (9.15), pričom λkr je dané výrazom (4.31),
teda
λ rez = λ mnp =
2
2
 u mn 
 p

 + 
h
 πa 
190
(9.21)
2
a rezonančné frekvencie výrazom
f rez = f mnp =
1
λ mnp εµ
=
2
1
2 εµ
 u mn 
 p

 + 
h
 πa 
2
(9.22)
H-vlny v cylindrickom rezonátore dostaneme využitím výrazov (4.32) a 4.33)
v zložkách
2ω rez µm J m (kr )
pπ jω rez t
Er =
A
sin mϕ sin
ze
k
kr
h
2ω rez µ
pπ jω rez t
AJ m′ (kr ) cos mϕ sin
ze
k
h
Eϕ =
Ez = 0
Hr =
–2 β
pπ jω rez t
AJ m′ (kr ) cos mϕ cos
ze
k
h
Hϕ =
2 jβm J m (kr )
pπ jω rez t
A
sin mϕ cos
ze
k
kr
h
H z = 2 jAJ m (kr ) cos mϕ sin
(9.23)
pπ jω rez t
ze
h
Rezonančné vlnové dĺžky H-vĺn sú dané výrazom
2
λ rez = λ mnp =
(9.24)
′ 
 u mn
 p

 + 
π
a
h


2
2
a rezonančné frekvencie
f rez = f mnp =
1
2 εµ
′ 
 u mn
 p

 + 
π
a
h


2
2
(9.25)
9.5 Štruktúry základných módov
v pravouhlých a cylindrických rezonátoroch a ich kvality
Najjednoduchšou štruktúrou E-vĺn v pravouhlom rezonátore je E110-mód (m = 1, n = 1,
p = 0) s rezonančnou vlnovou dĺžkou a frekvenciou
λ110 =
2
1
1
+ 2
2
a
b
f110 =
1
2 εµ
1
a
2
+
1
b2
191
Obr. 9.4
Štruktúra módu E110 v pravouhlom vlnovode je znázornená na obr. 9.4. Ak p = 0,
potom ani jedno z čísel m a n nemôže sa rovnať nule pretože v opačnom prípade by bolo
Ez = 0, čo charakter E-vlny nepripúšťa. Ako vidno, rezonančná vlnová dĺžka nezávisí od
rozmeru l. Takáto štruktúra sa nazýva degenerovanou, pretože ak v rezonátore urobíme
zámenu súradnicových osí
x → –z
y→y
z→x
potom štruktúra predstavuje vlnu H011. Zámena osi
x→x
z→y
–y → z
vedie na vlnu H101.
Najnižšou nedegenerovanou štruktúrou E-vĺn v pravouhlom rezonátore je mód E111,
ktorý je znázornený na obr .9.5. Jeho rezonančná vlnová dĺžka a frekvencia
λ111 =
2
1
a2
+
1
b2
+
1
f111 =
1
2 εµ
l2
zhodné s rezonančnou vlnovou dĺžkou a frekvenciou módu H111.
192
1
a
2
+
1
b
2
+
1
l2
Obr.9.5
Výpočet kvality pravouhlého rezonátora pre mód E110 vedie k výrazu
Q110 =
(
abl b 2 + l 2
1
)
δ b 3 (2a + l ) + a 3 (2a + b )
(pozri tiež riešenie úlohy 101). Pre rezonátor tvaru kocky (a = b = l) je rezonančná
vlnová dĺžka a frekvencia
λ110 = 2 a
f110 =
1
2 a εµ
a kvalita
Q110 =
a
3δ
Ako príklad možno analyzovať rezonátor vyrobený z medi (konduktivita σ =
= 5,8.107 S/m) vyplnený vzduchom (ε = ε0, µ = µ0) s módom E110 pri frekvencii f110 =
= 9000 MHz. Hrana kocky rezonátora
a=
1
2 f110 ε 0 µ 0
= 2,357 cm
Rezonančná vlnová dĺžka
λ110 = 2 a = 3,333 cm
193
a kvalita
Q110 =
a
a
=
πf110 µ 0σ = 11279
3δ 3
Obr. 9.6
Najjednoduchším typom E-vĺn v cylindrickom rezonátore je mód E010 (m = 0, n = 1,
p = 0). Jeho štruktúra je zrejmá z obr. 9.6. Elektrické pole má iba zložku Ez a magnetické
iba zložku Hϕ. Rezonančná vlnová dĺžka a frekvencia
λ 010 =
2πa
= 2,613 a
u 01
f 010 =
u 01
2πa εµ
=
0,3828
a εµ
Rezonančná vlnová dĺžka je zhodná s kritickou vlnovou dĺžkou módu E01
v cylindrickom vlnovode rovnakého polomeru a teda nezávisí od dĺžky rezonátora h.
Z praktického hľadiska má táto skutočnosť značný význam, pretože ako sa neskôr ukáže,
so zväčšovaním h rastie kvalita rezonátora.
Na obr. 9.7 je znázornená štruktúra módu E011.
Z H-vĺn najjednoduchšiu štruktúru má mód H011, znázornený na obr. 9.8. Jeho
rezonančná vlnová dĺžka a frekvencia
λ 011 =
2
′ 
1
 u 01

 + 2
h
 πa 
2
f 011 =
1
2 εµ
′ 
1
 u 01

 + 2
h
 πa 
2
závisí od polomeru a a dĺžky cylindrického rezonátora h. Táto vlastnosť sa často využíva
pre ladenie cylindrických rezonátorov skracovaním dĺžky rezonátora dobre priliehajúcim
piestom k stene valca. Takýto ladený a kalibrovaný rezonátor s vlnou H011 sa používa
ako dutinový vlnomer.
194
Obr. 9.7
V závere tohto odseku bez odvodenia uvádzame výrazy pre vlastné kvality cylindrických
dutinových rezonátorov. Pre E-módy je kvalita daná výrazom
Qmnp =
1
ah
δ 2a + h
a ak p = 0, potom
Qmn0 =
1 ah
δ a+h
a možno si všimnúť, že pomer ah/[2(a + h)] sa rovná pomeru objemu valca V k ploche
jeho povrchu S, takže kvalita cylindrických rezonátorov pracujúcich s módmi Emn0 je
presne vyjadrená výrazom (9.6).
Obr. 9.8
Výpočet vlastnej kvality cylindrických rezonátorov pracujúcich s H-vlnami vedie
k zložitému výrazu
Qmnp =
1
 u ′  2  πp  2    m  2 
 
 mn  +    1 − 
a   h     u ′mn  



δ  u′mn  2

 +
 a 
2π 2 p 2 a π 2 m 2 p 2  2a 
+
1 –

h 
h3
u ′mn h 2 
195
Ako príklad uvedieme výpočet rozmerov a kvalít dvoch cylindrických rezonátorov
vyrobených z medi (σ = 5,8.107 S/m) vyplnených vzduchom (ε = ε0, µ = µ0) pracujúcich
s módmi E010 a H111 pri frekvencii f = 9000 GHz. Budeme predpokladať, že h = 2a.
Potom pre mód E010
f 010 =
u 01
2πa ε 0 µ 0
=
1,1476 ⋅ 10 8
a
λ 010 =
2πa
= 2,613 a
u 01
z čoho a = 1,276 cm, λ010 = 3,334 cm a kvalita
Q010 =
2a a 4 πf 010 µ 0σ
=
≈ 12 212 ;
3δ
3
pre mód H111
f111 =
1
λ111 ε 0 µ 0
=
1,1548 ⋅ 10 8
a
2
λ111 =
′   1 
 u11

 + 
π
 a   2a 
2
2
= 2,596a
z čoho a = 1,284 cm, λ111 = 3,333 cm a kvalita
Q111 =
a 
1 
1 – 2  = 0,498a 2πf111 µ 0σ ≈ 13 000

δ  u11
′ 
Vidíme, že hodnoty kvalít cylindrických rezonátorov sú pri rovnakých rezonančných
frekvenciach o niečo vyššie ako kvality pravouhlých rezonátorov. Vyššie kvality cylindrických
rezonátoroch možno vysvetliť aj nižším útlmom cylindrických rezonátorov oproti útlmu
pravouhlých vlnovodov.
Skutočné vlastné kvality sú obyčajne nižšie ako teoretické. Príčinou je skutočnosť,
že reálne straty rezonátorov sú vyššie ako vypočítané, a to v dôsledku neideálneho opracovania
vnútorných plôch rezonátora, čo vedie k vyšším hodnotám vysokofrekvenčného odporu
Rvf. Okrem toho rezonátory sú obyčajne skladané z dielov, ktoré ak nie sú dobre spojené,
môžu viesť k ďalším stratám a teda k zníženiu kvality. Bežné dutinové rezonátory majú
zriedka kvality podstatne vyššie ako 10 000. Výnimkou sú špeciálne rezonátorové
vlnomery typu „echo-box“, ktorých kvality dosahuje hodnôt až 100 000. Veľmi vysoké
kvality dosahujú olovené supravodivé rezonátory – až hodnôt rádu 107.
Dutinové rezonátory sa v mikrovlnovej technike používajú ako selektívne filtre
a veľmi často na meranie vlnovej dĺžky, prípadne frekvencie, vo funkcii vlnomerov. Pri
konštrukcii vlnomerov treba vybrať vhodné rozmery vlnomerov a to tak, aby sa v pásme
ladenia vlnomera mohol v ňom vybudiť iba jeden vybraný mód, pretože v opačnom
prípade by dochádzalo k interferencii rôznych módov v rezonátore. K určeniu rozmerov
vlnomera slúži diagram módov, znázornený na obr. 9.9, ktorý predstavuje závislosti
( fD )2 =  cumn 
2
2
 cp   D 
+   
π

  2  h
196
2
Obr. 9.9
kde D = 2a a umn sú korene Besselových funkcií v prípade E-vĺn a korene derivácií
Besselových funkcií v prípade H-vĺn, c = 1/√(ε0µ0), p = 1, 2, 3, …. Ako príklad sú
v diagrame módov zakreslené obdĺžnikmi oblasti, v ktorých vlnomery pracujú na móde
H011 a H111 bez prítomnosti iných módov.
9.6 Koaxiálne rezonátory
Koaxiálny rezonátor vznikne z úseku koaxiálneho vedenia, ktoré je na jednom, alebo
na obidvoch koncoch skratované. Tieto rezonátory obyčajne pracujú s dominantnou
TEM vlnou. Rezonátor na jednom konci otvorený (pozri obr. 9.10) je štvrťvlnovým
rezonátorom. Na jeho vstupnom, otvorenom konci musí byť amplitúda elektrického poľa
maximálna a teda impedancia tam musí byť nekonečná, zatiaľ čo na opačnom, skratovanom
197
konci je nulová. Vstupná impedancia bezstratového skratovaného vedenia s vlnovou
impedanciou Zv, dĺžky d je
Zvst = jZvtg βd
a je nekonečná iba pre také uhly βd, pre ktoré platí
βd = (2n − 1)
π
2
(9.26)
Obr. 9.10
kde n = 1, 2, 3, ... Ak uvážime, že β = 2π/λ0, potom vzťah medzi rezonančnou vlnovou
dĺžkou a dĺžkou rezonátora má tvar
λ0 =
4d
2n − 1
(9.27)
Najmenšou rezonančnou vlnovou dĺžkou rezonátora je dĺžka
d=
λ0
4
pre n = 1 a v rezonátore je rozložená jedna štvrťvlna. Zo vzťahu (9.27) vidieť, že pre
danú dĺžku d rezonátora existuje teoreticky nekonečný počet rezonančných vlnových
dĺžok, pri ktorých sa v rezonátore ukladá nepárny počet štvrťvĺn. Priečne rozmery
koaxiálneho rezonátora nevplývajú na rezonančnú vlnovú dĺžku. Ak sa však v rezonátore
198
nemajú vybudiť vyššie typy vĺn (E- a H-vlny) potom rozmery a a b sú obmedzené
podmienkou [pozri vzťah (5.10)]
π(a + b) < λ0
(9.28)
Obr. 9.11
Obr. 9.12
ktorej splnenie zaručí, že sa v rezonátore nevybudia vyššie módy. Nevýhodou štvrťvlnového
rezonátora podľa obr. 9.10 sú jeho vysoké straty vyžarovaním na otvorenom konci.
Vyžarovaniu sa však dá ľahko zamedziť, ak sa vonkajší valec rezonátora urobí dlhším
ako je vnútorný vodič (pozri obr. 9.11). Časť rezonátora bez vnútorného vodiča je vlastne
cylindrickým trubicovým vlnovodom, ktorý pre vlnové dĺžky prichádzajúce do úvahy je
nadkritickým vlnovodom s rýchlym zánikom poľa pozdĺž jeho osi. Rezonátor sa ladí
pohybom vnútorného vodiča v smere jeho osi.
Druhý typ koaxiálneho rezonátora je polvlnový rezonátor, ktorý vznikne uzatvorením
koaxiálneho vlnovodu na jeho obidvoch koncoch podľa obr. 9.12. Je zrejmé, že v takom
rezonátore môže existovať TEM-vlna iba v tom prípade, ak sa pozdĺž rezonátora uloží
199
celistvý počet polvĺn, pretože impedancia v rovinách skratov je nulová a sú tam teda
uzly stojatej vlny. Pre dĺžku rezonátora teda platí
d=
λ0
2
n
Ak sa v rezonátore nemajú vybudiť vlny vyšších typov, potom priečne rozmery
rezonátora musia vyhovovať podmienke (9.28). Rezonátor možno ladiť zmenou jeho
dĺžky d pomocou koaxiálneho piesta.
Obr. 9.13
Vlastná kvalita koaxiálnych rezonátorov je daná výrazom
Q0 = 2πa
Zv
ln ρ
Rvf (1 + ρ )λ0 + κa ln ρ
(9.29)
kde ρ = a/b, κ = 1 pre štvrťvlnový rezonátor a κ = 2 pre polvlnový rezonátor. Ako vidieť
závislosť kvality od pomeru ρ má ploché maximum pri ρ = 3,61 (pozri obr. 9.13). Pre
tento pomer má rezonátor z medi so vzduchovým dielektrikom na vlnovej dĺžke λ = 9 cm
(a = 1 cm) kvalita okolo 4 500. Je to hodnota značne nižšia ako kvality zodpovedajúce
dutinovým rezonátorom. Pomer ρ = 3,61 zodpovedá káblu so vzduchovým dielektrikom,
ktorého vlnová impedancia je 77 Ω [pozri tiež odsek (5.6)].
200
9.7 Iné typy rezonátorov
Medzi najčastejšie používané nevlnovodové rezonátory patrí toroidálny rezonátor
a rezonátor typu koaxiálneho vedenia s kapacitnou záťažou.V týchto rezonátoroch
podobne ako vo vlnovodových sa môže vybudiť rad typov kmitov s rôznymi konfiguráciami
elektromagnetického poľa. Pre najnižší typ kmitov má toroidálny rezonátor dôležitú
vlastnosť. Z jeho geometrie plynie skutočnosť (pozri obr. 9.14), že sa na neho možno
dívať ako na rezonátor s takmer sústredenými parametrami. Jeho indukčnosť tvorí hlavne
toroid s jedným závitom, v ktorom je sústredené prakticky celé magnetické pole a
paralelné kruhové plochy predstavujú kapacitu kondenzátora, v ktorom je zase sústredené
prakticky celé elektrické pole. Kapacita je daná výrazom
C=
ε 0 πα 2
d
Obr. 9.14
a indukčnosť toroidu sa dá určiť z celkového indukčného toku. Magnetická indukcia
v toroidálnej cievke (s jedným závitom) je
B=
µ0 I
2πr
kde I je prúd v toroide. Integráciou B cez plochu prierezu toroidu dostaneme indukčný
tok
∫
Φ = BdS =
S
µ 0 Ih dr
b
2π
∫
a
r
=I
µ0h
2π
ln
b
= LI
a
201
z čoho indukčnosť toroidu je
L=
µ0h
2π
ln
b
a
Rezonančná frekvencia toroidálnej dutiny je daná výrazom
ω0 =
1
LC
=
1
a
2d
b
ε 0 µ 0 h ln
a
c
a
=
2d
h ln
b
a
kde c je rýchlosť svetla vo vákuu. Výrazy pre kapacitu a indukčnosť platia iba približne
a preto aj výraz pre ω0 je približný.
Toroidálny rezonátor sa ladí zmenou vzdialenosti d (zmenou kapacity C), alebo
zaskrutkovávaním kovových kolíkov do toroidu, čo vedie k zmene indukčnosti L. Toroidálne
rezonátory sa využívajú pri konštrukcii generátorov elektromagnetických kmitov
v mikrovlnovej oblasti.
Obr. 9.15
Druhým najdôležitejším typom nevlnovodového rezonátora je koaxiálne vedenie na
jednom konci zkratované a na druhom zakončené kapacitnou záťažou C podľa obr. 9.15.
Reaktancia kapacity je
XC =
λ ε 0 µ0
λ
1
=
=
jωC j2πcC
j2πC
a vstupná impedancia vedenia v rovine kapacity (iba reaktančná) je
Z vst = jZ v tgβd = jZ v tg
2π
λ
d
Za rezonancie Zvst + XC = 0, teda
Z v tg
2π
λ0
d–
λ
2πcC
=0
Riešenie tejto transcendentnej rovnice dáva nekonečnú postupnosť rezonančných vlnových
dĺžok alebo frekvencií. Ak reaktancia kapacity je oveľa väčšia (malé C) ako Zv, potom
príslušný tangens je veľké číslo, čo vyžaduje splnenie podmienky
202
2π
λ0
d≈
π
(2n – 1)
2
kde n = 1, 2, 3, … Rezonančné vlnové dĺžky potom sú
λ0 ≈
4d
2n – 1
takže uvažovaný rezonátor prechádza na štvrťvlnový rezonátor zakončený nadkritickým
vlnovodom.
Úlohy
101. Z medeného pravouhlého vlnovodu (a = 1,016 cm, b = 2,286 cm) treba vyrobiť
pravouhlý rezonátor pracujúci s módom H011, v druhom prípade s módom H012, pri frekvencii f0 =
= 11 GHz. Vypočítajte: a) dĺžku rezonátora, b) jeho kvalitu.
102. Treba navrhnúť cylindricky dutinový rezonátor pre rezonančnú frekvenciu f0 = 10 GHz
s módom H011. Rezonátor má byť zo striebra a jeho vnútorný polomer má byť o 25 % väčší ako
minimálny kritický polomer vlnovodu s módom H01 pri danej frekvencii. Vypočítajte jeho rozmery
a kvalitu.
103. Pravouhlý rezonátor kmitá na móde E111 pri frekvencii frez = 5000 MHz. Dané sú
rozmery a = 6 cm a b = 8 cm. Vypočítajte rezonančné frekvencie módov H011, H012 a H111.
Rezonátor je vyplnený vzduchom.
104. Cylindrický rezonátor vyplnený teflonom (εr = 2,1) kmitá na móde H013 pri frekvencii
frez = 8000 MHz. Určite rozmery rezonátora, ak jeho priemer D = 2a sa rovná jeho dĺžke h.
105. Pravouhlý rezonátor v tvare kocky má pracovať v móde H011 pri frekvencii f0 =
= 7500 MHz. Vypočítajte jeho rozmery a kvalitu, ak je vyrobený z medi.
106. Cylindrický rezonátor, ktorého dĺžka h = D (D je priemer valca) kmitá pri frekvencii
f0 = 6 GHz v móde H011.
a) Vypočítajte jeho kvalitu Q, ak je vyplnený vzduchom a je vyrobený z medi.
b) Porovnajte túto kvalitu s kvalitou kubického rezonátora kmitajúceho v móde H011 pri tej
istej frekvencii.
107. Pravouhlý rezonátor tvaru kocky má v móde H101 rezonovať pri frekvencii
f101 = 7500 MHz. Rezonátor je vyrobený z medi (σ = 5,8.107 S/m). Vypočítajte jeho rozmery
a kvalitu Q, ak:
a) rezonátor je naplnený vzduchom (εr = µr = 1),
b) rezonátor je naplnený bezstratovým dielektrikom s relatívnou permitivitou εr = 5,
c) rezonátor je naplnený stratovým dielektrikom s relatívnou permitivitou εr = 5 a tg δ = 4.10–4.
108. Paralelný rezonančný LC obvod s indukčnosťou L = 125 µH kmitá pri frekvencii f0 =
= 2 MHz. Pre účely merania je k LC obvodu paralelne pripojený jeden koniec koaxiálneho kábla,
ktorého druhý koniec je pripojený k meraciemu prístroju s nekonečnou vnútornou impedanciou.
Podľa údajov výrobcu má kábel vlnovú impedanciu Zv = 52 Ω a kapacitu C = 93,5 pF/m. Kábel
má dĺžku l = 76 cm. Ako sa zmení rezonančná frekvencia obvodu po pripojení kábla?
109. Vedenie s vlnovou impedanciou Zv = 70 Ω je na jednom konci skratované a na druhom
konci premostené kapacitou C = 10 pF. Vedenie má predstavovať rezonátor pri frekvencii f0 =
= 100 MHz. Aká musí byť jeho dĺžka?
203
Download

9. kapitola