Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
17.05.2014
Sayfa 1
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Yaygın bağlantı vektörü belirlemesi kullanan yükseltilmiş B spline yüzey iç
değerlendirmesindeki kontrol noktalarının azaltılması
Özet
Veri noktaları sıralarına karşı yükseltilmiş yüzey iç değerlendirmesindeki kontrol
noktalarını azaltma doğrultusunda yeni bir algoritma bu makalede sunulur. Yüzey
yükseltmenin anahtar aşaması her bir sırayı değerlendiren uyumlu B spline eğrinin bir setini
elde etmektir. Noktaların ve onların parametreleştirmesinin bir seti belirlenmiş olarak, gerekli
ve önemli bir durum, belirlenmiş bir bağlantı vektörü üzerinde tanımlanmış B spline eğriler
değerlendirmesinin mevcudiyetini belirlemek için ileri sürülür. Bu duruma bağlı olarak, biz
ilk önce düzgün bir şekilde noktaların her bir sırasına karşı B spline eğrileri iç
değerlendirmesinin mevcudiyetini garanti eden yaygın bir bağlantı vektörü yapılandırırız.
Sonra gücü en aza indirgeme yoluyla yaygın bağlantı vektörü üzerinde tanımlanmış B spline
eğrileri iç değerlendirmesinin bir setini hesaplarız. Bu yöntemi kullanarak, yükseltilmiş
yüzeyin görsel olarak hoş bir şeklini sürdürürken, bir kaç kontrol noktası kullanılır. Bir çok
deneysel sonuçlar ileri sürülmüş yöntemin kullanılabilirliğini ve kalitesini göstererek tanıtır.
1.Sunuş
B spline yüzeyleri Bilgisayar Destekli Geometrik Tasarım (CAGD)’da [1, 2] önemli
bir rol oynar. Noktaların bir setini ayarlamak için bir B spline yüzeyi kullanma tersine
mühendislikte çok faydalıdır [3]. Bazı veri edinim cihazları örneklenmiş noktaların sıralarını
tekrar ele geçirmek için kullanılabilir ve her bir sıra noktaların farklı sayısını içerebilir. Bizim
amacımız edinilmiş noktaları değerlendirmek için bir B spline yüzeyi oluşturmaktır.
Veri noktalarının sıraları belirlenmiş olarak, yüzey, özellikle aşağıdaki iki aşama
yoluyla yapılandırılır: birincisi, noktaların her bir sırasına uyan B spline eğrinin bir seti
hesaplanır; sonra bir yüzey B spline eğriyi ayarlayarak hesaplanır. Yapılandırılmış yüzeyin
belirlenmiş noktaların içinden geçip geçmediğini göz önünde bulundurarak, temel olarak iki
tür yaklaşım vardır: Tahmin etme ve iç değerlendirme. İlk yaklaşım[1,4-7] veri noktalarının
veya parazitli veri noktalarının geniş bir sayısına uygulanır. Bununla birlikte, bu yaklaşım
zaman harcayan yinelemeli bir işlemi içerir. Diğer durumlarda veri noktalarının sayısı büyük
olmadığı ve noktaların parazitleri olmadığı zaman, iç değerlendirme yaklaşımı tercih edilir.
Bir iç değerlendirme yüzeyi geleneksel yaklaşım yoluyla etkili bir şekilde hesaplanabilir.[1,
8]; Bununla birlikte, yükseltilmiş yüzeyde kontrol noktalarının geniş bir sayısını tanıtmaya
meyillidirler. Yüzeyin kontrol noktalarını azaltabilmek için, Piegl ve Tiler [9], her bir sıranın
mümkün olduğunca yeni eklenmiş birkaç bağlantısı ile iç değerlendirme yapılabilsin diye
17.05.2014
Sayfa 2
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
biraz esnek bir şekilde bağlantıları vermeyi ileri sürdüler. Kontrol noktalarını daha ileri
azaltmak için, Park [10], yaygın bir bağlantı vektörü üzerinde tanımlanmış B spline eğrilerini
değerlendiren uyumun bir setini hesaplamak için gücü kısıtlamış doğrusallığı kullanmayı
teklif etti. Bununla birlikte, Park’ın yaklaşımı yoluyla elde edilmiş yüzey, hatalı bir şekilde
belirlenmiş yaygın bağlantı vektörü nedeniyle bazı durumlarda kıpırdanmalar taşıyabilir.
Bu makale, yükseltilmiş yüzey iç değerlendirmesinde kontrol noktalarını azaltmak için
yeni bir yaklaşımı ileri sürer. Bu makalede, gerekli ve önemli bir durum, noktaların bir seti ve
onların parametreleştirmesi doğrultusunda belirlenmiş bir bağlantı vektörü üzerinde
tanımlanmış B spline eğrilerin değerlendirmesinin varlığını belirlemek için verilir. Bu duruma
bağlı olarak, bizim yaklaşımımız ilkin, noktaların her bir sırasını değerlendiren B spline
eğrilerinin mevcudiyetini garanti eden yaygın bir bağlantı vektörü yapılandırır. Bağlantı
vektörü bazı sıralar doğrultusunda biraz serbestlik derecelerini taşıyabilirler. Sonra, yaklaşım
eğrileri değerlendirilen uygun düzgünlüğe dair bir seti hesaplamak için her bir eğri
değerlendirmesinde kısıtlanmış gücü yürürlüğe koyar. Son olarak, bir B spline yüzeyi bu
kavisleri yükselterek inşa edilir. Daha önce belirtilen işlemler arasında, sadece doğrusal
denklem sistemlerinin bir seti hesaplamanı geçerliliğini garanti eden çözülmeye gerek duyar.
Önceki yaklaşımları kıyaslamış olarak (Park’ın yaklaşımı ile Piegl ve Tiller’in yaklaşımı),
bizim yaklaşımımız bazı deneysel sonuçlar yoluyla gösterilmiş olan yükseltilmiş yüzeyin
kalitesini kaybetmeksizin daha fazla kontrol noktalarını azaltabilir. Bizim çalışmamızın temel
katkıları aşağıda gösterildiği gibi özetlenebilir:
(1)Noktaların bir seti ve onların parametreleştirmesi belirlenmiş olarak, gerekli ve
önemli bir durum, belirlenmiş bir bağlantı vektöründe tanımlanmış B spline eğrileri iç
değerlendirmesinin varlığını belirlemek için verilir.
(2)Görsel olarak hoş bir yükseltilmiş yüzeyi sürdürürken, kendi algoritmamızın,
önceki algoritmadan daha fazla kontrol noktasını azaltabileceğini deneysel sonuçlar gösterdi.
Bu makalenin kalanı aşağıda olduğu gibi organize edilir. Bölüm 2’de B spline yüzey
yükseltme üzerindeki ilgili çalışma kısaca tanımlanır. Bölüm 3’de gerekli ve önemli durum
belirlenir. Bölüm 4’de, yükseltilmiş B spline yüzeyi yapılandırması için ileri sürülmüş
algoritma ayrıntılı bir şekilde tanımlanır. Bölüm 5’de, bazı deneysel sonuçlar onun
kullanılabilirliği ve kalitesini göstermek için verilirler. Bölüm 6’da makale sona erer.
17.05.2014
Sayfa 3
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
2.İlgili çalışma
Notasyon kolaylığı için, biz ilk önce B spline eğri ve yüzeylerin tanımlarını tanıştırırız.
P dereceli bir B spline eğrisi aşağıdaki formülde olduğu gibi tanımlanır:
’nin
kontrol
{
noktaları
olduğu
ve
’nun
bağlantı
vektörü
}. Benzer bir şekilde, p x q dereceli bir B spline yüzeyi aşağıdaki
gibi tanımlanır:
∑
[1]
’nin kontrol noktaları olduğu ve
{
} ve
ile
{
temel fonksiyonlarının sırasıyla
} üzerinde tanımlandığı durumlarda şu
formüldür:
∑
∑
[2]
Veri noktaları
sıraları belirlenmiş olarak,
makalemizin amacı bu noktaları iç değerlendirme yapmak için bir B spline yüzeyi inşa
etmektir. Bu probleme geleneksel bir yaklaşım [1, 8]’de bulunabilir. Bu aşağıda gösterildiği
gibi özetlenebilir:
(1)Aşağıdaki üç aşamada aynı p derecesi ile noktaların her bir sırası doğrultusunda B
spline eğrilerinin iç değerlendirmesini yapılandır:
(1.1)Noktaların uyuşan sırasının
(1.2)
’den
(1.3)
ve
parametreleştirmesini hesap et
bağlantı vektörünü hesapla
kullanarak, B spline eğri ayarlamanın kontrol noktalarını elde etmek
için doğrusal bir denklem sistemi çöz
(2)Bağlantı ekleme yoluyla her bir eğrinin bağlantı vektörünü birleştirerek uygun bir B
spline eğrisi hazırla, yani, aynı bağlantı vektörü U’da tanımlanmış B spline eğrilerin hepsini
hazırla
(3)Yükseltilmiş bir yüzey oluşturmak için bu uygun B spline eğrilerini değerlendir.
Veri noktalarının bir seti belirlenmiş olarak, parametreleştirme
doğrultusunda en sık bir şekilde kullanılmış yöntemlerden bir tanesi akorda ait
parametreleştirmedir [1]. T parametreleştirmeyi kullanarak, U bağlantı vektörü, ortalama
almanın [ 1, 11] aşağıda ki tekniği yoluyla hesaplanır:
∑
17.05.2014
Sayfa 4
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Sekil 1.Uygun B spline eğrisi yapma(a)orijinal B spline eğrisi;(b)uygun B spline eğrisi
Parametreleştirme ve bağlantı vektörüyle birlikte, iç değerlendirme eğrinin kontrol
noktaları aşağıdaki doğrusal denklem sistemi çözme yoluyla hesaplanabilir:
( )
∑
( )
[3]
Denklem 3 tam anlamıyla bir çözüme sahiptir sadece ve sadece
örneğin
≠ 0 olursa,
(Schoenberg-Whitnet durumu [11]).
Geleneksel yaklaşım yerine getirmek için verimli ve kolay olmasına rağmen, işlemi
birleştiren bağlantı (aşama 2) kontrol noktalarının geniş bir sayısını tanıştırır. Bu problemi
örneklerle açıklamak için şekil 1’de bir örnek verilir. Şekil 1’deki noktalar B spline eğrilerinin
kontrol noktalarını belirtirler. Uygun hazırlanan B spline kavislerinin kontrol noktalarının,
orijinal eğrininkinden daha fazla uzakta olduklarını görebiliriz.
Yükseltilmiş yüzey iç değerlendirmesindeki kontrol noktalarını azaltabilmek için,
Piegl ve Tiler [9], her bir sıranın mümkün olduğunca birkaç yeni bağlantıyla
değerlendirilebilsin diye denklem (3) çözülürken sayısal problemlere sebep olmaksızın bazı
esnek bağlantıları verdi. Onların yaklaşımı, aşağıda izleyen işlem yoluyla belirlenmiş bağlantı
vektöründen seçilir. İlk önce, çengel bir bağlantı vektörü ortalama alma parametreleri yoluyla
hesaplanır. Sonra, çengel bağlantı vektöründe, her bir dahili bağlantı vektörü doğrultusunda
tanımlanır. Son olarak, çengel bağlantı vektöründeki her bir dahili bağlantı için, algoritma,
belirlenen bağlantı vektöründe ona en yakın olan bağlantıyı bulur. Eğer en yakın bağlantı
uyuşan boşlukta ise, bu bağlantı seçilir; aksi takdirde, çengel bağlantı vektöründeki bağlantı
seçilir. Açık bir şekilde, her bir sıra değerlendirildiği zaman, bu işlem mümkün olduğunca
birkaç yeni bağlantıları eklemeye çalışır.
17.05.2014
Sayfa 5
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Son zamanlarda, Park [10], kontrol noktalarını azaltmak için bize yeni bir yol sunar.
Onun yaklaşımı ilk önce, noktaların bazı sıralarını değerlendiren bir eğriden daha fazla
bulunabilsin diye serbestliğin bazı derecelerini ihtiva edebilen yaygın bir bağlantı vektörü
belirler. Sonra yaklaşım her bir sıraya bir B spline değerlendirme eğrisini hesaplamak için
kısıtlanmış gücü asgariye indirerek kullanmayı ileri sürer. Son olarak, bir B spline yüzeyi
uygun B spline eğrilerine dair bir set yükselterek inşa edilir. Uygulamalı deneyim, Park’ın
algoritması, Piegl ve Tiller’in algoritmalarından daha fazla kontrol noktalarını azaltır.
Bununla birlikte, onun yaklaşımı, düzgün olmayan bir şekilde belirlenmiş yaygın bağlantı
vektörü nedeniyle bazı durumlarda kımıldanmalarla yükseltilmiş bir yüzey üretebilir.
Gerçekte, Park’ın yöntemi tarafından belirlenmiş yaygın bağlantı vektörü B spline eğri
değerlendirmesinin mevcudiyetini garanti edemezler. Belirlenen noktaların ve onların
katsayısına dair bir set için verilmiş bir bağlantı vektörü üzerinde tanımlanmış B spline
eğrisinin değerlendirmesi olup olmadığını anlamak için, gerekli ve önemli bir durum diğer
bölümde tanıştırılır.
3.Gerekli ve önemli şart (durum)
Yükseltilmiş bir yüzey inşa edebilmek için, B cetveli kavisleri yaygın bir bağlantı
vektörü üzerinde tanımlanmalıdır. Bu yüzden, en az kontrol noktalarıyla birlikte yükseltilmiş
bir yüzey oluşturmak için anahtar mümkün olduğunca bir bağlantıyı içeren yaygın bir bağlantı
vektörünü hesaplamaktır. Bununla birlikte, tüm kavis iç değerlendirmeleri doğrultusunda
yaygın bir bağlantı vektörü benzerini seçmek kolay değildir. Eğer yaygın bağlantı vektörü
düzgün bir şekilde seçilmezse, hiç iç değerlendirme kavisleri olmayacak.
noktalarının ve onların
parametreleştirmelerin bir seti belirlenmiş olarak,
aşağıdaki denklem sistemini çözmeyle
{
} verilmiş bir bağlantı vektörü
üzerinde belirlenmiş B spline eğri değerlendirmesi oluşturabiliriz:
Qj’nin belirttiği noktalarını gösterdiği durumda denkle:
( )
∑
( )
[4]
Denklem 4, denklem 3’e benzerdir, bununla birlikte, burada m = s kısıtlamayız.
Herhangi belirlenen noktalar için bir çözüm varsa eğer, o m> s. bellidir. Eğer m= s ise, tam
anlamıyla Schoenberg-Whitney şartını sağlayan sadece ve sadece T ve U bir B spline
eğrisinin iç değerlendirmesi olur [11]. Yüzey yükseltmedeyken, yaygın bağlantı vektörü sık
sık bir eğrinin iç değerlendirmesi için kullanılan bağlantı vektöründen daha büyüktür, örneğin
m>s. Bu durumda, T ve U’nun denklem (4)’ün çözümüne dair varlığının garantisini
karşılaması gerektiği şartı görülemez.
17.05.2014
Sayfa 6
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Notasyon elverişlilik için, denklem sistemi (4), X’in kontrol noktaları ve
’in belirlenen noktaları olduğu durumlarda, AX = Q olarak belirtilir.
A, aşağıdaki form ile bir
matrisi (iç değerlendirme
matrisi)’dir.
[
]=[
]
[6]
Denklem 5’in sadece ve sadece bir çözüm taşıdığı bilinir. A’nın sırası artırılmış matris
A’ = [A Q]’nın sırasına eşitse eğer [12]. Eğer A tam diziyse, dizi (A) = dizi (A‘) = s + 1’dir.
Bundan dolayı denklem 5’in bir çözümü mevcuttur. Eğer dizi (A) = k < s+1 ise, tabi özelliğini
kaybetmeksizin, A’ya dair ilk k sıralarının bağımsız doğrular olduğunu ve A’ya dair son s + 1
k sıralarının ilk k sırlarının doğrusal bileşimi olarak açıklanabileceğini varsayarız:
[7]
Bu durumda, Eğer denklem 5’in bir çözümü varsa, dizi (A’) = k.’dir. Bu varsayıma
göre, A’ ya dair ilk k sıraları doğrusal bağımsızlardır. Bu yüzden, A’ya dair son s + 1 –k
sıraları ilk k sıralarının doğrusal bileşimi olarak açıklanabilir:
[
]
[
]
[
]
[8]
[
]
[
]
[
]
Denklem (8) eksi denklem (7) aşağıdaki formülleri sağlar.
[
]
[
]
[
[
]
]
[
[
]
]
A’ya dair ilk k sıralarının doğrusal bağımsız olduğunu anımsama, şu denklemi
(i=0,…..k-1;j=k,….s). bir sonuç yazabiliriz.
17.05.2014
Sayfa 7
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Bundan dolayı, Qk,…..Qs aşağıda olduğu gibi açıklanmalıdır.
Genelde, bu açıklamalar, belirlenen noktaların gelişigüzelliği nedeniyle muhafaza
edilmez. Bu yüzde, denklem (5), eğer A iç değerlendirme matrisi yetersiz dizideyse hiç
çözüme sahip olmayabilirler. Denklem (5)’e dair çözümün varlığını garanti edebilmek için,
tam dizi bir matris A elde etmeye gerek duyarız.
Bilgimize göre, A‘nın tam dizi olduğunu garanti etmek için bir şart sağlayan böyle bir
kuram yoktur. Piegl ve Tiller’in makalesi [9]’da, aşağıdaki şartlar tam bir dizi elde etmek için
tanıştırılır:

İlk ve son bağlantı zincirleri boş değildir;

P-2 ardışık boş bağlantı zincirleri mevcudiyetinden daha fazla değil ve

Hiçbir bağlantı zinciri p-1 parametrelerinden daha fazlasını içermez.
Bununla birlikte, bu şartlar, iç değerlendirme matrisinin tam dizi olduğunu garanti
edemez. Açık bir örnek T = {0, 0,1, 0,2, 0,3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1}. T ve U = {0, 0, 0, 0.15,
0.35, 0.55, 0.75,0.8,0.85,0.95, 1, 1, 1, 1}’dir. T ve U yukarıdaki şartları karşılar, yan, sonuç
veren iç değerlendirme matrisi eksik sıralıdır. Bununla birlikte, bu şartlar bağlantı vektörü
belirlemesi doğrultusunda kullanılmaz. Piegl ve Tiller’in yöntemi yoluyla belirlenmiş bağlantı
vektörü hem onların şartlarını hem de Schoenberg-Whitney şartını karşılar.
Bu makalede, kuram 1’de tanımlanan tam sıra bir iç değerlendirme matrisini garanti
etmek için gerekli ve önemli bir durum sağlarız. Aynı zamanda Schoenberg-Whitney şartının
bir eklemesi olarak göz önünde bulundurulabilir.
Kuram1. Denklem (6)’da iç değerlendirme matriksi tam sıradır sadece ve sadece bir
̅
{̅
̅
} ̅
vektör bağlantısı varsa,T ve ̅ gibi Schoenberg-Whitney
durumunu karşılar.
Bu kanıt, ek bölümde belirlenecek. Şimdi aşağıdaki problemi göz öünde bulundururuz:
belirlenmiş bir T parametreleştirmesi ve U vektör bağlantısı, iç değerlendirme matrisinin tam
sıra olmadığını nasıl değerlendirebiliriz? Diğer ifadelerle, T ve ̅’nün Schoenberg-Whitney
durumunu karşıladığı U karşılamasından unsurları seçilen bir bağlantı vektörü yapılandırabilir
miyiz? m+p+2 elementlerinden s+p+2 elementlerini seçme bir bileşim formülüdür. Aşağıda
17.05.2014
Sayfa 8
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
T ve U’nun Kuram 1’in şartını karşılayıp karşılamadığını değerlendirmek için doğrusal bir
algoritma veririz.
Listeleme 1: T ve U’nun Kuram 1’i karşılayıp karşılamadığını değerlendirme için
algoritma.
İşlem 1 JudgeCondition(DeğerlendirmeŞartı) (T,U,p)
INPUT:
} belirlenmiş parametreleştirme
T={
}belirlenmiş bağlantı vektörü
U={
P, kavis iç değerlendirmesi için derece
OUTPUT:
Doğru: eğer T ve U Kuram 1’in şartını karşılarsa
Yanlış: karşılamazsa (aksi takdirde)
ALGORİTMA:
̅
{̅
̅
} = {0,….0} yeni yapılandırılmış bağlantı vektörü
For i = 0’dan p’ye kadar
̅ =
interval = 0
for i = 0’dan s‘ye kadar
{
If (
̅ )
Return false
İf (s > m-interval)
Return false
While (
++ interval
̅
}
Return true
Bu işlemde, parametre
(1)
, ith’nin üstesinden geliyorken, iki problemle karşılaşabiliriz.
̅ olduğunu görebiliriz.Bununla birlikte, ̅ seçilir çünkü
̅
’dir.
Bundan dolayı U ve T, Schoenberg-Whitney şartını karşılamaz. Biz bu problemi problem 1
olarak belirtiriz.
17.05.2014
Sayfa 9
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
(2) s > m- boşluğu bulabiliriz. Vektör ith’nin üstesinden geldiğimiz zaman, bir
bağlantı vektörü yapılandırmak için daha fazla s-i + 1 bağlantılara gerek duyarız. Bununla
birlikte, U’da toplam m-interval-i+1 < s-i + 1 geriye kalan bağlantılar vardır. Bu yüzden, ith
parametresinden yeni bir bağlantı vektörü yapılandırma doğrultusunda belirlenen bağlantı
vektöründe yeterince bağlantılar yoktur. Biz bu problemi, problem 2 olarak belirtiriz.
İşlem 1 Lemma 1 olarak tanımlanan aşağıdaki özelliği taşır.
Lemma 1. T ve U Kuram 1’rin şartını karşılar yani T ve ̅’nin Schoenberg-Whitney
şartını karşıladığı gibi ̅, ̅
U bir bağlantı vektörü vardır, sadece ve sadece Problem 1 ve
2, İşlem 1 işlediği zaman karşılanmazlar.
Kanıt (1) Eğer problem 1 ve 2 karşılanmazsalar, ̅
vektörü İşlem 1’den elde edilir. ̅
{̅
̅
} bağlantı
U, T ve U’nun Schoenberg-Whitney şartını karşıladığı
bellidir. Bundan dolayı T ve U Kuram 1’rin şartını karşılar.
(2)Eğer T ve U Kuram 1’rin şartını karşılarsa, T ve W’nin Schoenberg_Whitney
{
şartını karşıladığı
olacaktır. ̅
{̅
̅
}
bir karşılayan bağlatı vektörü
} İşlem 1 yoluyla elde edilen bağlantı vektörünü belirtsin. İlk
olarak biz bağlantıların indeksi üzerinde indüksiyon yoluyla
̅
kanıtlarız.
(a) for i < p için, kanıt önemsizdir.
(b)Şimdi ̅
olduğunu varsayın
(c) Sonra i = k + 1olduğu durumu göz önünde bulundururuz. Eğer işlem 1 ̅ ̅̅̅ =
0
hesaplamadan önce hataya döner. Aksi halde, U’daki ̅̅̅ ve
sırasıyla f(i) ve g(i) olarak belirtilirler. Eğer f(i) > f(i-1) + 1, ̅ ,
U’da en küçük bağlantı olursa, bundan dolayı ̅ <
’nin göstergeleri
’den daha büyük olan
’dir; aksi halde ̅ <
’yi ifade eden
Sonra biz kanıtı tamamlamak için karşı delil kullanırız. Problem 1 veya 2’nin, işlem 1
işlerken karşılandığını varsayın ve probleme neden olan ilk ti parametresini göz önünde
bulundurun. Eğer problem 1 karşılanırsa, örneğin
̅
T ve W’nin Schoenberg-
Whitney şartını karşıladığı varsayımla bağdaşmaz. Eğer problem 2 karşılanırsa, U’da
daha büyük s-i + 1’den daha az olacaktır. Diğer taraftan, U’da
’den
’den daha büyük en az s-i+1
bağlantıları olduğunu belirten W’de ’den daha büyük en az s-i+1 bağlantıları vardır. Önceki
sonuçla bağdaşmaz. Bu yüzden, eğer T ve U Kuram 1’in şartını karşılarsa, problem 1 ve 2
karşılanmazlar.
Kuram 1 gerekli ve önemli bir durum sağladığı için, İşlem 1’de Problem 1 ve 2
karşılandığı zaman mümkün olduğunca birkaç bağlantı eklersek, neredeyse en az kontrol
17.05.2014
Sayfa 10
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
noktaları ile birlikte bir yüzey inşa ederiz. Bununla birlikte, bunun, bir eğri iç değerlendirmesi
doğrultusunda doğrusal denklem sistemi çözüldüğü zaman sayısal sabit problemlere neden
olabildiğini görürüz. Sonuç olarak, yükseltilmiş bir yüzey elde etmede başarısızlığa
düşebiliriz. Diğer bölümde, ayrıntılı bir şekilde, yaygın bağlantı vektörünün nasıl tespit
edileceğini ve yükseltilmiş yüzeyin nasıl yapılandırılacağını tanımlayacağız.
4.Yükseltilmiş bir B spline yüzeyinin yapılandırılması
Yaklaşımımızın aşamaları aşağıda gösterildiği şekliyle özetlenebilir:
(1)B spline eğri iç değerlendirmesi doğrultusunda bir p derecesi seçin ve Kuram 1’e
göre noktaların her bir sırasına karşı B spline eğrilerin iç değerlendirmesinin varlığını garanti
etmek için yaygın bir bağlantı vektörü belirleyin.
(2)Eğer bağlantı vektörü serbestliğe dair dereceler içermezse, denklem (3)’ün çözümü
yoluyla bir B spline eğri iç değerlendirmesi hesaplarız; aksi takdirde bir B spline eğri iç
değerlendirmesi hesap etmek için arzu edilmiş eğri üzerinde belirlenmiş gücü en aza indiririz.
(3)Bir B spline yüzeyi inşa etmek için uygun B spline eğrilerini yükseltin
Aşağıda iki alt bölümde, ayrıntılı bir şekilde, yaygın bir bağlantı vektörünü nasıl
belirleyeceğimizi ve gücü en aza indirgeyerek bir B spline eğrisini nasıl hesaplayacağımızı
tanımlarız.
4.1.Yaygın bağlantı vektörü belirlemesi
Uygulamalı deneyim, İşlem 1’in olası sayısal sabit problemler nedeniyle direk bir
şekilde yaygın bağlantı vektörü yapılandırmak için kullanılabileceğini gösterdi. Yaygın
bağlantı vektörü belirlemenin algoritmasını vermeden önce, ilkin,
parametreleştirme ile birlikte noktaların bir sırasına karşı eğri iç değerlendirmesini göz
önünde bulunduralım. İşlem 1’den elde edilen bağlantı vektörü ̅
belirlenir. U ve T Schoenberg-Whitney şartını karşılar, yani,
deneyimimizler de, eğer
, Ni( )0, anlamına gelen ̅
̅
{̅
̅
̅
} olarak
’i. Kendi
veya ̅ ‘e karşı çok kapalıysa,
iç değerlendirme matrisi hemen hemen tekildir ve sayısal sabit problemler karşılanabilir.
İşlem 1’de biz sadece
̅
’yi kısıtlarız, bağlantının çok fazla esnekliği vardır. Bu
makalede, deneyimsel sonuçlar yoluyla etkili olduğu kanıtlanmış olan sayısal sabit
paroblemlerden kaçınmak için seçilmiş bağlantı vektörü düzgün esnekliğinde her bir
bağlantıyı veririz. Up derecesi ile birlikte ortalama parametreler yoluyla hesaplanmış bağlantı
vektörünü belirtsin. Sonra Up’de her bir dahili bağlantı ̂ ’yi belirtsin, ̂ için bir boşluğu
aşağıda olduğu gibi tanımlarız.
17.05.2014
Sayfa 11
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Ti’nin, ith noktasının parametresi olduğu durumda
[
]
[̂
(̂
̂
) ̂
̂
̂
]
[9]
ve
Seçilmiş bağlantı vekörü U’daki ith bağlantısı [a, b] boşluğunda olmalıdır.Şu denklem:
̂
(̂
̂
̂
(̂
)
̂
̂ )
(̂
̂
̂
(̂
)
̂ )
∑
̂
̂
ve
∑
,
olduğu için, seçilmiş bağlantı vektörü Kuram 1’re göre tam sıra bir iç değerlendirme
matrisini garanti edemez. T parametreleştirme ve U bağlantı vektörü belirlenmiş olarak, ̅
aşağıdaki işlem yoluyla yapılandırılabilir. Piegly ve Tiller’rin yaklaşımına benzer, bir faktör
yüzdesi işlemde boşluk kullanımının yüzdesini temsil etmek için hazırlanır.
Listeleme 2 Bağlantı vektörü sınırlaması için algoritma.
İşlem 2 ConstructKnot (T, U, p, yüzde)
INPUT:
belirlenmiş parametreleştirme
T=
} belirlenmiş bağlantı vektörü
U={
P, eğri iç değerlendirmesinin derecesi
Per, boşluk kullanımının yüzdesi
OUTPUT:
̅ ={ ̂
̂
} p derecesi ile birlikte, T ortalaması yoluyla bağlantı
vektörü
̅= { ̅
̅
} = {0,…….0}
For i =0 p’e kadar
̅
̂
İnterval=0
For i=p+1 s’e kadar
{
̂
17.05.2014
̂
Sayfa 12
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
̂
̂
While(ui+interval<a)
{
++interval
İf
break
for
}
İf
̅
i+interval
Else
̅
̂
ve --interval
}
For k=1
̅
s+p++1
̂
Return ̅
Yaygın bağlantı vektörü aşağıdaki iki aşamada belirlenebilir: Birincisi, yaygın bri U
başlangıç vektörü hesaplanır; sonra, her sıra için, işlem 2’den bir ̅ bağlantı vektörü elde
edilir ve U, ̅ ile birlikte bizzat kendisi birleşerek güncellenir. Algoritma aşağıda gösterildiği
gibi tanımlanır.
Listeleme 3. Yaygın bağlantı vektörü kısıtlaması için algoritma.
İşlem 3 ConstructCommonKnot(Q, p, yüzde)
GİRDİ:
Q={
}
,noktaların sıraları
P, kavis iç değerlendirmesi için derece
Per, boşluk kullanım yüzdesi
OUTPUT:
U, yaygın bağlantı vektörü
ALGORİTMA:
arasında noktaların sıralarına dair en yüksek indeksi bulun ve bu sıraların her biri
için parametreleştirmeleri hesaplayın
T
bu parametreleştirmenin ortalaması
{
}
p derecesi ile T ortalama bulma yoluyla bağlantı vektörü
For i=0’dan n’e kadar
17.05.2014
Sayfa 13
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
{
ith sırasının parametreleştirmesini elde edin
̅
ConstructKnot (Ti, U , p, yüzde}
U
Merge (U;Ü)
}
Return U
İşlem 3’de, [0,1]’de kısıtlanan yüzde, bir bağlantının esnekliğini temsil eder. Daha
büyük bir yüzde esnekliği artırmaya ve yaygın bağlantıların sayısını azaltmaya eğilim
gösterir. Diğer taraftan, yüzde = 0 olduğu zaman, algoritma geleneksel algoritma olur [1, 8].
Bu yüzden, düzgün bir yüzde hazırlayarak her zaman yüksek kalitede yükseltilmiş yüzeyler
oluşturabiliriz. Bununla birlikte, kendi tecrübemizde, diğer bölümde bazı deneysel sonuçlar
yoluyla gösterilmiş olan yüzde = 1.0 ile bile görsel olarak hoş bir yükseltilmiş yüzeyi
kısıtlayabiliriz.
Piegly ve Tiller’in yöntemine benzer, bir boşluk kendi yöntemimizde her dahili
bağlantı için tanımlanır. Yine de, kendi algoritmamızdaki boşluğun Piegl ve Tiller’inkinden
daha büyük olduğunu kanıtlayabiliriz.
P derecesi ile ortalama alarak U bağlantı vektörünü belirtsin ve p-1 derecesiyle
ortalama alarak ̅ bağlantı vektörünü belirtsin. Bu makalede şu formül olurken:
̂
∑
(
∑
(
∑
(
∑
)
)
[
∑
)
∑
∑
∑
∑
]
Piegl ve Tiller’in makalesinde üi’nin boşluğu
[
Sonra
]
[̂
< ̂
(̂
̂
) ̂
(̂
elde ederiz. Benzer şekilde,
̂ )]’dir.
> ̂
kanıtlayabiliriz. Bu yüzden
buradaki boşluk Pegly ve Tiller’in makalesinde olanınkinden daha büyüktür. Bağlantıların
kendi algoritmamızda daha esnek olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak, kendi algoritmamız
17.05.2014
Sayfa 14
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
yoluyla elde edilmiş yükseltilmiş yüzeyin kontrol noktaları, diğer bölümdeki deneysel
sonuçlar tarafından gösterilen Piegly ve Tiller’in algoritması yoluyla elde edilmiş olandan
daha azdır.
Şekil 2. Eğri interpolasyonu(a)parametre ve ortak düğüm vektörü;(b)eğri düğüm vektörü
2.yöntem kullanılarak elde edildi
Şekil 3.Eğri enerjisinin en aza indirilmesi
4.2.Güç
asgariye
indirilmesi
üzerine
kurulmuş
B
spline
eğrinin
iç
değerlendirmesi
Yaygın bağlantı vektörü serbestliğin bazı derecelerini içerebildiği için, belirlenen
noktaları değerlendiren bir eğriden daha fazla olabilir. Bir eğrinin iç değerlendirmesini hesap
etmek için olası yol belirlenmiş bağlantı vektöründen bir bağlantı vektörü seçmektir. İşlem
2’de, bir ̅ bağlantı vektörü her bir eğri iç değerlendirmesi için belirlenir. Yine de, direk bir
şekilde belirlenmiş noktaları iç değerlendirme yapmak için ̅
kullanamayız. Şekil 2, böyle
bir örneği gösterir. Şekil 2(a) parametreleştirmeyi ve yaygın bağlantı vektörünü gösterir. 12
parametre ve 24 bağlantı vardır (ilk dört bağlantı 0’dır ve son dört bağlantı 1’dir). Kübik B
spline eğrilerinin iç değerlendirmesi için kullanılırlar. Noktaları iç değerlendirmek için İşlem
2 tarafından elde edilmiş bağlantı vektörünü kullandığımız zaman, serbestlik derecesi yoktur
ve iç değerlendirme eğrisi denklem (3)’ü çözerek hesaplanabilir. Şekil 2(b)’de gösterilen
sonuç veren eğri istenmemiş bir oynama gösterir.
Park, aşağıda gösterildiği gibi [13] tanımlanan eğrinin gücünü en aza indirgeyerek bir
iç değerlendirme eğrisi hesaplamayı ileri sürdü.
∫
17.05.2014
‖
‖
‖
‖
[10]
Sayfa 15
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
ve
değerleri sırasıyla, esneme ve bükülme katsayıları olarak adlandırılır. Bu
makalede, Park’ın makalesindekilerle aynı olan
= 1.0 ve
= 0.2 hazırlarız. Yukarıdaki
işlevi en aza indirme, bir eğrinin esneme ve bükülmesine karşı koymaya teşebbüs eder. B
spline iç değerlendirme eğrisi, Park’ın makalesinde gösterilmiş olduğu şekliyle, doğrusal bir
denklem sistemini çözerek hesaplanabilir [10]. Şekil 3, şekil 2(a)’de gösterilmiş olan bağlantı
vektörü ve parametreleştirme ile birlikte güç aza indirme yoluyla elde edilmiş iç
değerlendirme eğrisini gösterir. Güçü en aza indirme üzerine kurulmuş olarak, bağlantı
vektöründeki serbestliğin hakkından gelebilir ve düzgün bir iç değerlendirme eğrisi
oluşturabiliriz.
5.Deneysel sonuçlar
Bu bölümde, bazı deneysel sonuçlar kendi algoritmamızın kullanılabilirliği ve
kalitesini örneklerle açıklamak için gösterilir. Takip eden deneylerde, çift kubik (p = q = 3) B
spline yüzeyleri kullandılar ve akort parametreleştirme ve her bir sıra değerlendirmesi için
uygulandı. Her deney, sıraların beş farklı sayısıyla ve dört farklı ölçü ile gerçekleştirildi. Bu
makaledeki ölçü yüzdesi, Piegl ve Tiller’in makalesinde olduğu gibi aynı anlamı taşıyan
boşluk kullanıma dair yüzdedir. Daha geniş yüzde bağlantının esnekliğini artıracak ve yaygın
bağlantıların sayısını azaltacaktır. Bununla birlikte, Park’ın makalesindeki
ölçü faktörü,
yüzdeye kıyasla işler. Daha geniş p, yaygın bağlantıların sayısını artırmaya eğilimlidir.
Park’ın yaklaşımına kıyas edebilmek için, kendi deneylerimizdeki ölçü değerlerinin
hazırlanması Parkı’ın makalesinde olanla aynıydı [10]. Yüzde = 1.0 ve
küçük esneklik iken, yüzde = 0.25 ve
= 0.3 olduğunda en
= 0.9 en geniş esneklik elde edilebilir.
İlk önce, veri noktalarının 81 sırası bir pikten örneklenmişlerdi. Her bir sıranın
noktalarına dair sayısı 21’den 54’e kadar sıralandı. Görüntünün elverişliliği için, Şekil 4(a) 41
adet sırayı gösterir. Bu örnekte, yüzde = 1.0 hazırladık ve şekil 4(b)’de gösterilmiş olan b
spline eğrileri değerlendirmesinin bir setini hesapladık. Şekil 4(c) kendi yaklaşımımız yoluyla
sınırlandırılmış yükseltilmiş yüzeyin kontrol ağını gösterir. B spline yüzeyi Şekil 4(d)’de
gösterilir. Tablo 1 kendi yaklaşımımız ile diğerlerinin yaklaşımı (geleneksel yaklaşım, Park’ın
yaklaşımı ve Piegl ile Tiller’in yaklaşımı).arasında kaliteli bir kıyaslama sunar. Esneklik
küçük olduğu zaman, yani, ölçü yüzdesi küçük ve p büyük olduğu zaman, Park’ın algoritması
bizimkilerden daha fazla kontrol noktalarını azaltabilir. Ne kadar büyük esneklik olursa,
kontrol noktalarının sayısı o kadar küçük olur. Bununla birlikte, kendi yaklaşımımızda kontrol
noktalarının azalmasındaki hız Park’ın hızından daha hızlıdır. Kendi yaklaşımımız, en büyük
esneklik doğrultusunda Park’ınkinden daha az kontrol noktalarıyla yükseltilmiş bir yüzeyi
17.05.2014
Sayfa 16
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
oluşturur. Örnek olarak n = 40 alınarak, park’ın yaklaşımı en geniş esneklik için
ufak esneklik için
= 0,3 ve en
= 0,9, 91 adet kontrol noktasıyla uygun B spline eğrileri tutabilir, sayı
57’dir. Kendi yaklaşımımızda, en küçük esneklik yüzdesi = 0.25 kullandığımız zaman, sayı
145’dir ki Park’ınkinden daha büyüktür; en büyük esneklik yüzde = 1.0 kullandığımız zaman,
sayı 56’dır ki Park’ınkinden biraz daha ufaktır. En büyük esneklik doğrultusunda, kendi
yaklaşımımız, Park’ın yaklaşımından daha az kontrol noktasıyla yükseltilmiş bir yüzey
oluşturabilir. Dahası, Park’ın yaklaşımı en büyük esneklik doğrultusundaki oynamalarla
yüzeyler üretebilir. Şekil 5, böyle bir örneği gösteriri ki yüzey noktaların 41 adet sırasını ( =
0,3) yükselterek inşa edildi. Yükseltilmiş yüzey bazı istenmeyen oynamalar taşır. Temel
olarak, düzgün olmayan bir şekilde belirlenmiş bağlantı vektörü nedeniyledir. Bu durumda, iç
değerlendirme matrisi neredeyse eksik sıradır. Her bir iç değerlendirme eğrisinde kısıtlanmış
gücü yürürlüğe koymamıza rağmen, iç değerlendirme matrisi yüksek bir sayı durumu taşıdığı
zaman (bu örnekte, en yüksek sayı şartı 5.8 x 10 üzeri 25), iyi bir şekil bekleyemeyiz.
Yüzeyin kalitesini geliştirebilmek için, p’ yi artırmalıyız.
= 0,4 hazırladığımız zaman
(kontrol noktalarının uyuşan sayısı Tablo 1’de verilir), iyi kalitede yükseltilmiş bir yüzey elde
edilecekti. Bununla birlikte, daha geniş bir
yüzeyin kontrol noktalarını artırır. Diğer
taraftan, Park’ın yöntemi yoluyla mümkün olduğunca birkaç kontrol noktasıyla yüksek
kalitede bir yüzey elde edebilmek için, çoklu testler, kullanıcı etkileşimi ve daha fazla zaman
gerektiğinde düzgün bir
bulmak için yapılmalıdırlar. Piegl ve Tiller’in yaklaşımı
kıyaslanmış olarak, kendi yaklaşımımızın aynı esneklik doğrultusunda olanlarınkinden daha
fazla kontrol noktaları azaltabileceği açıktır.
Sonra, veri noktalarının 81 adet sırası bir oyuncak arabadan örneklendi. Şekil.6,
41 adet sıraya karşı kendi algoritmamızın uygulamasını gösterir ( yüzde = 1,0). Nitelikli
kıyaslama tablo 2’de verilir. Bu örnekte, kendi yaklaşımımız yoluyla kısıtlanmış yüzeyler az
veya çok en büyük esneklik doğrultusunda Park’ın ki gibi kontrol noktalarının aynı sayısını
taşırlar. Bununla birlikte, Park’ın yöntemi yoluyla oluşturulmuş yüzeyin kalitesi, en büyük
esneklik doğrultusunda kendimizinki kadar iyi değildir. Şekil 7, 41 adet ( = 0.3) sıraya karşı
yükseltilmiş olan Park’ın yöntemi yoluyla inşa edilmiş bir yüzeyi gösterir. Yüzeyin kalitesini
düşüren bazı oynamalara sahiptir. Daha iyi bir şekil elde etmek için p’yi yükseltmeliyiz. İyi
şekilli yükseltilmiş bir yüzey,
= 0,4 hazırlanarak elde edilebilir (uyuşan kontrol noktalarının
sayısı Tablo 2’de verilir). Bununla birlikte, bizimkinden daha fazla kontrol noktasına Park’ın
yöntemini gerektiren daha büyük bir p, kontrol noktalarının sayısını artırır. Benzer şekilde,
yaklaşımımız, aynı esneklik doğrultusunda Piegl ve Tiller’inkinden daha az kontrol noktasıyla
bir yüzey düzenleyebilir.
17.05.2014
Sayfa 17
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Şekil 4.
17.05.2014
Sayfa 18
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Şekil 5.
Yukarıdaki iki örnekte, yaklaşımımız en büyük esneklik doğrultusunda bile iyi şekilli
yükseltilmiş bir yüzey sağlayabilir. Gerçekte, deneylerimizin tümünde, 1.0’dan daha az bir
yüzde faktörü gerektiren veri noktalarını karşılamadık.
Şekil 6.
17.05.2014
Sayfa 19
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Aynı yüzde faktörü için, yaklaşımımız Piegl ve Tiller’inkinden daha fazla kontrol
noktası azaltabilir. Park’ın yaklaşımına kıyasla, bizimki, en büyük esneklik için Park’ınkinden
daha az kontrol noktasını veya neredeyse aynısını elde edebilir. Bununla birlikte, Park’ın
yöntemi yoluyla kısıtlanmış yüzeyin kalitesi aynı durumlarda en büyük esneklik
doğrultusunda bizimkine dair olan kadar iyi değildir. Daha iyi bir şekil elde etmek için,
yükseltilmiş yüzeyde daha fazla kontrol noktalarını azaltacak olan büyük
gerektirir. Sonuç
olarak, bizim yaklaşımımız, yüksek kalitede bir yüzey inşa etmek için Park’ınkinden daha az
kontrol noktaları gerektirir. Dahası, iyi şekilli bir yüzey oluşturabilmek için, Park’ın yöntemi
daha düzgün bir
seçmek için kullanıcı etkileşimini gerektirir; bununla birlikte, özel
deneyim, kendi algoritmamızdan kaçınılabileceğini gösterdi.
Şekil 7.
6.Sonuçlar
Bu makale, veri noktalarının sıralarına karşı yükseltilmiş B splıne yüzey iç
değerlendirmesinde kontrol noktalarını azaltmak için yeni bir algoritmayı teklif etti. Bu
makalede, biz ilkin, tam sıra bir iç değerlendirme matrisini garanti etmek için gerekli ve
önemli bir şart veririz. Bu şarta bağlı olarak, yaygın bir düğüm vektörü, her bir sıra iç
değerlendirmesi doğrultusunda B spline eğrilerinin varlığını garanti etmek için kısıtlanır.
Bağlantı vektörü, serbestliğin bazı derecelerini içerebilir. O zaman biz düzgün B spline
eğrilerinin bir setini hesaplamak için iç değerlendirme eğrileri üzerinde tanımlanmış gücü en
aza indiririz. Son olarak, bir B spile yüzeyi yüzey yükseltme yoluyla hesaplanabilir. Tüm
işlemde, biz sadece hesaplamada algoritmayı verimli kılan doğrusal denklem sistemlerinin bir
setini çözmeye ihtiyaç duyarız. Deneysel sonuçlar , algoritmamızın, görsel olarak bir hoş
yüzey sürdürülürken önceki yaklaşımlardan daha fazla kontrol noktalarını azaltabileceğini
gösterdi.
17.05.2014
Sayfa 20
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Tablo 2.
Onaylar (Teşekkürler)
Yardım dolu yorumları ve tavsiyeleri için tüm isimsiz yorumculara takdirlerimizi
sunmak istiyoruz. Araştırma Çince 973 Program (2004CB719400) Çince863 Programı
(2007AA040401), INRIA/ Tsinghua Üniversitesi Programı (D 4748) ve Çin Milli İlim Vakfı
860625202, 60635020, 90715043) tarafından desteklendi.
Dördüncü yazar, Milli Seçkin Doktorluk PR Çin (200342) ve Fok Ying Tung Eğitim
Vakfı (111070)’e dair yazar için bir vakıf tarafından sponsorluk edilmiş proje tarafından
desteklendi.
Eks
Kuram 1’in kanıtı, kolaylık için, P
Q olarak Kuram 1’i belirtiriz. U’daki ̅ ’nin
olarak belirtilir, o zaman Q şartı aşağıda belirtildiği gibi ifade edilebilir: u’nun
indeksi
tüm
için şu formülü
karşılayan şu formül
f işlevini artıran tam anlamıyla bir tekdüzelik
bulunur. Biz ilk önce, Q şartının R şartına denk olduğunu kanıtlarız: tüm
şu formülü
için
f işlevini artıran tam anlamıyla bir monotonluk bulunur.
(1)QR
, Q’nun şartını karşılayan fonksiyonu belirtsin. g fonksiyonunu aşağıda olduğu gibi
belirtiriz.
{
17.05.2014
[11]
Sayfa 21
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
{
Yukarıdaki denklemde
} olduğu için şu
denklemi
ifade eder. Daha sonra biz
g’nin R’ye dair şartı karşıladığını kanıtlarız.
(1.1)Şu açıktır ki g işlevi artıran tam anlamıyla bir tekdüzeliktir.
(1.2)Biz g’nin
’den
’ye kadar,
’yi kanıtlayarak bir fonksiyon olduğunu kanıtlarız.
(a) Şu formül
doğrultusunda. F, fonksiyonu ve şu formülü artıran tam anlamıyla bir tek düzelik olduğu için,
Bu yüzden,
’dir.
(b) Şimdi,
olduğunu farz edin.
(c)Sonra i’nin durumunu göz önünde bulundururuz. Eğer
olur,
aksi
halde
şu
formül
olur
(1.3)g’nin, i üzerindeki indüksiyonu yoluyla şu formülü
karşıladığını kanıtlarız.
(a)for i=0 için, kanıt geçersizdir
(b)Şimdi şu fomülün olduğunu varsayın
(c)O zaman şu formülün durumunun, şu formül olduğunu göz önünde bulundururuz.
Aksi halde
olur. Şu formüllü değerlerin aşağıdaki silsilesini göz
önünde bulundururuz.
belirtsin.
’yi karşılayan silsiledeki ilk değeri
olduğunu ileri süreriz. Aksi halde şu formül olur
Bu
formül
ile
çakışır. Bu yüzden, şu formüldür.
(2)RQ
Eğer R’nin şartını karşılayan bir g işlevi varsa, biz f işlevini aşağıda olduğu gibi
belirtiriz.
{
17.05.2014
Sayfa 22
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Q’nun şartını f’nin karşıladığını doğrulamak çok kolaydır.
O zaman P
R olduğunu kanıtlamaya gerek duyarız. [14]’deki kanıta benzer, basit
bir şekilde aşağıdaki gibi kanıtlayabiliriz.
İç değerlendirme matrisi A tam sıradır ve sadece tekil olmayan bir yan matris varsa
eğer.
]
B=[
Referans [15]’in kanıtından, B’nin tekil olmadığını biliyoruz ve sadece P R’yi
kasteden şu formüldür.
Referanslar
[1] Piegl L, Tiller W. The NURBS book. New York: Springer; 1997.
[2] Farin G. Curves and surfaces for CAGD. San Francisco: Morgan Kaufmann;2002.
[3] Varady T, Martin RR, Cox J. Reverse engineering of geometric models_anintroduction.
Computer-Aided Design 1997;29(4):255_68.
[4] Park H, Kim K. Smooth surface approximation to serial cross-sections.Computer-Aided
Design 1996;28(12):995_1005.
[5]
Piegl
L,
Tiller
W.
Surface
approximation
to
scanned
data.
The
Visual
Computer2000;16(7):386_95.
[6] Park H, Kim K, Lee SC. A method for approximate NURBS curve compatibility based on
multiple curve refitting. Computer-Aided Design 2000;32(4):237_52.
[7] Piegl L, Tiller W. Surface skinning revisited. The Visual Computer 2002;18(4):273_83.
[8] Woodward C. Skinning techniques for interactive B-spline surface interpolation.
Computer-Aided Design 1988;20(8):441_51.
[9] Piegl L, Tiller W. Reducing control points in surface interpolation. IEEE Computer
Graphics and Applications 2000;20(5):70_4.
[10] Park H. Lofted B-spline surface interpolation by linearly constrained energy
minimization. Computer-Aided Design 2003;35(14):1261_8.
[11] De Boor C. A practical guide to splines. Berlin: Springer; 1978.
[12] Nering ED. Linear algebra and matrix theory. New York: Wiley; 1970.
[13] Vassilev TI. Fair interpolation and approximation of B-splines by energy minimization
and points insertion. Computer-Aided Design 1996;28(9): 753_60.
[14] Jupp DavidLB. Approximation to data by splines with free knots. SIAM Journal on
Numerical Analysis 1978;15(2):328_43.
17.05.2014
Sayfa 23
Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
[15] De Boor C. Total positivity of the spline collocation matrix. Indiana University
Mathematics Journal 1976;25(6):541_51.
17.05.2014
Sayfa 24
Download

2008-Reducing control points in lofted B-spline