Stereometrie 03
(povrch a objem těles)
Geometrické těleso je prostorový omezený souvislý geometrický útvar. Jeho hranicí
nazývanou také povrchem je uzavřená plocha.
1. Pravidelný n-boký kolmý hranol
Povrch je tvořen dvěma shodnými podstavami (pravidelnými n-úhelníky) a pláštěm, který je
tvořen n shodnými obdélníky. Přitom boční hrany hranolu jsou kolmé k oběma podstavám.
2. Kvádr
3. Krychle
4. Pravidelný n-boký jehlan
Povrch je tvořen podstavou (pravidelným n-úhelníkem) a pláštěm, který je tvořen n shodnými
rovnoramennými trojúhelníky. Přitom přímka určená vrcholem jehlanu a středem podstavy je
kolmá na podstavu.
5. Pravidelný n-boký komolý jehlan
Rozřízneme-li pravidelný n-boký jehlan rovinou rovnoběžnou s podstavou, vzniknou 2 tělesa –
pravidelný n-boký jehlan (vrchní část) a pravidelný n-boký komolý jehlan (spodní část).
Povrch pravidelného n-bokého komolého jehlanu je tvořen dvěma podstavami (pravidelnými
n-úhelníky) a pláštěm, který je tvořen n shodnými rovnoramennými lichoběžníky. Přitom
přímka určená středy podstav je kolmá k oběma podstavám.
Hranol, jehlan i komolý jehlan jsou tělesa ohraničená jen mnohoúhelníky. Patří mezi tzv.
mnohostěny neboli polyedry. Zvláštním případem mnohostěnů jsou pravidelné mnohostěny,
jejichž povrch tvoří pravidelné n-úhelníky. O těchto tělesech pojednává samostatná kapitola
s názvem Platónská tělesa.
Cvičení
1. Jímka má tvar pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu. Horní podstava má stranu délky 5 m,
dolní podstava má stranu délky 3,6 m, odchylka bočních stěn a roviny podstavy je 75°. Jakou má
jímka hloubku?
2. Vypočtěte délku tělesové úhlopříčky ut pravidelného čtyřbokého hranolu výšky 6 cm s podstavnou
hranou a = 4 cm.
3. Pravidelný čtyřboký jehlan má podstavnou hranu délky a = 20 cm a boční hranu délky b = 26 cm.
Vypočtěte jeho výšku, odchylku boční hrany od roviny podstavy a odchylku boční stěny od roviny
podstavy.
Rotační tělesa
6. Rotační válec vznikne rotací obdélníku popř. čtverce kolem přímky obsahující jednu jeho
stranu.
7. Rotační kužel vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem přímky obsahující jednu jeho
odvěsnu.
8. Komolý rotační kužel vznikne rotací pravoúhlého lichoběžníku kolem přímky, v níž leží
jeho kratší rameno.
9. Koule vznikne rotací půlkruhu kolem přímky, která obsahuje jeho průměr.
Cvičení
4. Je dána výška komolého rotačního kužele v = 15 cm, poloměr větší podstavy je r1 = 32 cm, délka
strany komolého kužele s = 25 cm. Vypočtěte: a) poloměr r2 druhé podstavy, b) odchylku strany
komolého kužele od roviny podstavy, c) výšku v´ kužele, z něhož komolý kužel vznikl.
5. Osovým řezem rotačního kužele je rovnoramenný trojúhelník obsahu 1600 cm2 s úhlem při
hlavním vrcholu o velikosti 30°. Vypočtěte výšku, délku strany a poloměr podstavy kužele.
Povrch a objem těles
Objem tělesa je kladné reálné číslo přiřazené tělesu tak, že platí:
1)
2)
3)
Shodná tělesa mají objemy sobě rovné.
Jestliže je těleso složeno z několika nepronikajících se těles, je jeho objem roven
součtu objemů těchto těles.
Objem krychle o hraně 1 je roven 1.
Přehled značení:
V ... objem tělesa
Spl ... obsah pláště
ut ... tělesová úhlopříčka
s ... stěnová výška
S ... povrch tělesa
v ... výška tělesa
r ... poloměr podstavy
Sp ... obsah podstavy
us ... stěnová úhlopříčka
d ... průměr podstavy
nerotační tělesa
1.
2.
Krychle (o hraně a)
V = a3
S  6  a2
Kvádr (o hranách a, b, c)
V  a bc
S  2  a  b  a  c  b  c 
3.
Hranol (pravidelný n-boký, kolmý)
V  Sp v
S  2  S p  S pl
4.
Jehlan (pravidelný n-boký)
1
V  Sp v
3
5.
S = Sp + Spl
Komolý jehlan (pravidelný n-boký)
1
V   v  S p1  S p1 S p 2  S p 2
S  S p1  S p 2  S pl
3


rotační tělesa
6.
Válec (poloměr podstavy = r; výška = v)
V  Sp v   r2 v
S  2  S p  S pl  2    r 2  2    r  v
7.
Kužel (poloměr podstavy = r; výška = v; stěnová výška = s)
1
1
V   S p  v    r 2  v
S  S p  S pl    r 2    r  s
3
3
8.
Komolý kužel (poloměry podstav = r1, r2; výška = v; stěnová výška = s)
1
V   v  r12  r1  r2  r22 
3
2
2
S  S p1  S p 2  S pl    r1    r2    s  r1  r2 
9.
Koule (o poloměru r)
4
V    r3
3
S  4   r 2
Cvičení
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
kvádr, krychle, hranol
Učebna má rozměry 7 m, 6 m a 3,6 m. Kolik žáků by mohlo být do učebny umístěno, mají-li podle
předpisů připadnout na jednoho žáka minimálně 3 m3 vzduchu?
Úhlopříčný řez kvádru kolmý k rovině podstavy je čtverec s obsahem 4225 cm2. Jedna podstavná
hrana je o 23 cm delší než druhá. Vypočtěte objem a povrch tělesa.
Obsahy tří stěn kvádru, které mají společný vrchol, jsou 72 cm2, 96 cm2, 108 cm2. Vypočtěte objem
kvádru.
Kolik pytlů cementu se spotřebuje na vybetonování sloupu 3,5 m vysokého, který má průřez tvaru
pravidelného šestiúhelníku o délce hrany 18 cm? Poměr mísení je 350 kg cementu na 1 m3 betonu.
Vypočtěte objem a povrch pravidelného šestibokého hranolu, jsou-li dány délky jeho dvou
tělesových úhlopříček u1 = 12 cm, u2 = 13 cm, vycházejících z téhož vrcholu.
Vypočtěte hmotnost krychle o hraně a = 15 cm vyrobené z betonu o hustotě 2 200 kg/m3.
Výška pravidelného čtyřbokého hranolu je v = 10 cm, odchylka tělesové úhlopříčky od roviny
podstavy je 60°. Určete délku podstavných hran.
K postavení 80 m dlouhého náspu, jehož průřezem je rovnoramenný lichoběžník o základnách
7 m a 5 m a ramenech délky 2,6 m, je třeba dovézt zeminu. Kolik jízd vykonají nákladní auta,
odveze-li jedno 2 m3 zeminy.
Vypočtěte objem kolmého hranolu, je-li výška 60,8 cm a podstava pravoúhlý trojúhelník
s odvěsnami 40,4 cm a 43 cm.
V bazénu tvaru kvádru je 150 m3 vody. Určete rozměry dna, je-li hloubka vody 250 cm a jeden
rozměr dna je o 4 m větší než druhý.
Podstava kolmého hranolu je obdélník, jehož dvě sousední strany jsou v poměru 4:5. Tělesová
úhlopříčka má od roviny podstavy odchylku 45°, výška je o 16 cm větší než delší strana obdélníku.
Určete velikost hran hranolu.
Cvičení
jehlan, komolý jehlan
17. Pravidelný čtyřboký komolý jehlan má objem V = 1510 cm3, podstavné hrany mají délky
a1 = 18 cm, a2 = 0,1 m. Určete S.
18. Je dán kolmý pravidelný trojboký jehlan.
a) a = 5 cm, v = 8 cm; vypočtěte V, S.
b) V = 173,2 cm3, v = 12 cm; vypočtěte a, s.
19. Je dán kolmý pravidelný šestiboký jehlan, a = 1,8 m, v = 2,4 m. Vypočtěte objem a povrch
jehlanu.
20. Vypočtěte povrch betonového podstavce ve tvaru pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu,
jehož výška má délku 0,12 m a podstavy mají délky hran 0,24 m a 0,16 m.
21. Pobočné hrany h = 1 dm čtyřbokého jehlanu mají od roviny obdélníkové podstavy odchylku
58°30´; obsah podstavy S = 20 cm2. Jak velká je tělesová výška a jak velké jsou hrany podstavy?
Vypočtěte objem a povrch tělesa.
22. Vypočtěte objem pravidelného šestibokého komolého jehlanu, je-li délka hrany dolní podstavy
30 cm, horní podstavy 12 cm a délka boční hrany 41 cm.
23. Betonový základ pro elektrický stožár se skládá ze dvou pravidelných čtyřbokých hranolů,
pravidelného čtyřbokého jehlanu a pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu (na obr. rozměry
v cm). Vypočtěte jeho hmotnost, je-li hustota betonu 2,2 kg/dm3.
Cvičení
válec
24. Je dán rotační válec.
a) r = 5 cm, v = 10 cm; vypočítejte Spl, S, V.
b) Spl = 400 cm2, v = 8 cm; vypočítejte r, V.
c) V = 0,12 l, v = 4 cm; vypočítejte r, Spl.
25. Délka poloměru podstavy rotačního válce je 5 m. Vypočtěte poloměr stejně vysokého válce, jehož
objem je stonásobný.
26. Malý motocykl má vrtání válce 38 mm, zdvih pístu 44 mm. Vypočtěte objem válce v litrech.
27. Jaký je průměr měděného drátu o hustotě 8 900 kg/m3, jestliže kus 25 m dlouhý má hmotnost
0,275 kg?
28. Jaké množství vody proteče za hodinu potrubím kruhového průřezu o poloměru 8 cm, teče-li voda
rychlostí 2,5 m.s-1?
Cvičení
kužel, komolý kužel
29. Je dán rotační kužel.
a) r = 2,4 m, v = 5,5 m; vypočítejte s, Spl, V.
b) V= 3 l, r = 0,15 m; vypočítejte v, s, S.
30. Vyjádřete stranu s kužele ze vzorce pro výpočet jeho povrchu.
31. Kryt na lampičku má tvar pláště kužele o průměru d = 12 cm a výšce v = d.
a) Kolik materiálu potřebujeme na jeho výrobu, počítáme-li s 10% na spoje a odpad?
b) Jakou velikost má úhel při vrcholu krytu v řezu kolmém k rovině podstavy vedeném průměrem
podstavy?
32. Vypočtěte objem kužele, jehož Spl = 816 cm2 a délka s = 2,6 dm.
33. Střecha věžičky má tvar pláště kužele o průměru podstavy 4 m. Velikost odchylky strany s od
roviny podstavy je 60°. Vypočtěte spotřebu barvy na její natření, spotřebuje-li se na 6 m2 1 kg
barvy a střecha se bude natírat dvakrát.
34. Vypočtěte objem a povrch rotačního komolého kužele (rkk), je-li d1 = 20 cm, d2 = 14 cm, v = 4 cm.
35. Komín tvaru rkk má výšku 32 m, průměry dolní podstavy 3,2 m a 2 m, průměry horní podstavy
1,7 m a 1,2 m. Jaká je jeho celková hmotnost, je-li hustota zdiva 1 600 kg.m-3?
36. Jakou výšku má těleso tvaru rkk, jsou-li poloměry podstav 4 m a 3 m, objem 465 m3?
37. Vypočtěte objem a povrch rkk, jehož podstavy jsou kruh opsaný a kruh vepsaný protějším stěnám
krychle s hranou délky a = 1 m.
Cvičení
38.
39.
40.
41.
koule
Jakou hmotnost má Země, je-li její průměrná hustota 5,52 g/cm ? Poloměr Země je 6 378 km.
Železná koule má hmotnost 100 kg, hustota je 7 600 kg/m3. Vypočtěte objem, povrch a průměr
koule.
Kouli je vepsána krychle o hraně délky 16 cm. Vypočtěte poloměr koule. Kolik procent z objemu
koule tvoří objem krychle? O kolik se liší povrch obou těles?
Jakou hmotnost má kovové těleso ve tvaru činky složené ze dvou koulí o průměru 6 cm a příčky
tvaru válce o průměru 1,5 cm a výšce 13 cm? Hustota tělesa je 8 100 kg/m3.
3
Download

Stereometrie 03 - Povrchy a objemy těles