9.Obsahy rovinných obrazců
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Obecný trojúhelník
součet délek dvou stran trojúhelníku je větší než než délka třetí strany trojúhelníku
Součet všech velikostí vnitřních úhlů:  = 180 °
a∗v a b∗v b c∗v c
Obsah: S =
=
=
2
2
2
Označení poloviny obvodu:
1
s = ( abc )
2
Heronův vzorec:
S =  s( s−a )( s−b)( s−c ) ; S =  s
Poloměr kružnice opsané:
bc
a
abc
r=
; r=
; r=
2v a
2sin 
4S
Poloměr kružnice vepsané:
S
s ( s−a )( s−b )( s−c )
=
; =
s
s
Kosinová věta:
a 2 = b2 c 2−2bc cos 
Sinová věta:
a :b : c = sin : sin : sin  ;
a
b
c
=
=
= 2r
sin  sin  sin 
Tangentová věta:
1
tg 
ab
2
=
a−b
1
tg −
2
Mollweidovy vzorce:
1
1
cos −
sin −
ab
2
a−b
2
=
=
;
c
1
c
1
sin 
cos 
2
2

Pravoúhlý trojúhelník
Pythagorova věta: c 2 = a 2b2
Euklidova věta o výšce: v 2 = c a c b
Euklidova věta o odvěsně:
2
2
a = c∗c a ; b = c∗c b
–
Obdélník
Úhlopříčky: se navzájem půlí ;
2
2
u1 = u 2 =  a b
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Obsah: S = a∗b
Obvod: o = 2(ab )
Čtverec
Úhlopříčky: se navzájem půlí, jsou na sebe kolmé
u1 = u 2 = a  2
Obsah: S = a 2
Obvod: o = 4a
Rovnoběžník
Úhlopříčky: se navzájem půlí
Obsah: S = a∗va = b∗v b
Obvod: o = 2(ab )
Kosočtverec
Úhlopříčky: se navzájem půlí, jsou na sebe kolmé,
půlí vnitřní úhly
1
Obsah: S = av = u 1 u 2
2
Obvod: o = 4a
Lichoběžník
m=
1
( ac )
2
–
Délka střední příčky:
–
Obsah: S = mv
–
–
Konvexní n-úhelník
1
n (n−3 )
Počet úhlopříček:
2
Součet velikostí vnitřních úhlů: ( n−2)∗ 180 °
–
Kružnice, Kruh
Délka kružnice:
–
2
Obsah kruhu: S =  r =
1
d 2
4
–
Čtvrtá geometrická úměrná
Nazývá se tak délka úsečky VX vyjádřená
pomocí délek a, b, c úseček VA, VB, VC.
VX VA
=
;
VB
VC
x
a
ab
=
; x=
b
c
c
Mezikruží
S = ( r 1r 2 ) (r 1−r 2 )
–
Obsah:
–
Kruhová úseč:
Obvod ( l........ délka tětivy) :
Kruhová výseč:
r2
- Obsah: S =

360
–
–
a  r
o = 2 cos( 
)
2 180
o = l
–
–
–
2 arccos( l) r
180



−cos( )∗sin ( ) )
360
2
2
Je-li úhel α < 180 , je obsa úseče roven obsahu výseče mínus obsah rovnostranného trojúhelníka
Je-li úhel α >180 , je obsa úseče roven obsahu výseče plus obsah rovnostranného trojúhelníka
Obsah:
2
S=r (
Pravidelný n-úhelník:
–
Obvod:
–
Obsah:
o = na
o
S=
2
Příklady:
Př. 1
Do čtverce ABCD o straně a je vepsán rovnostranný trojúhelník EFC tak, aby E leželo na AB
a F náleželo straně AD. Určete poměr stran čtverce a trojúhelníku.
[ a : x =   31: 2  2 ]
Př. 2
Vypočtěte délky stran pravoúhlého trojúhelníku ABC s přeponou c, jestliže pro jeho těžnice
platí t a=10 cm , t b=4 10 cm
[ délky stran jsou12 cm , 8 cm , 4  13 cm ]
Př. 3
Vypočtěte obsah rovnoramenného trojúhelníku, jehož základna má délku 10 cm a rameno je
o 3 cm delší než základna.
[ S=60 cm2 výška k základně má délku 12 cm ]
Př. 4
Kruhová výseč je sjednocením rovnoramenného trojúhelníku a kruhové úseče. Kolik procent
obsahu kruhové výseče tvoří obsah kruhové úseče, jestliže středový úhel má velikost 60°.
3 3
) ]
[ 100 (1−
2
Př. 5
Vypočtěte délku odvěsny b a délku přepony c pravoúhlého trojúhelníu ABC, jestliže a = 84 cm
a obvod trojúhelníku je 182 cm.
[ b=13cm , c=85 cm ]
Př. 6
Vypočtěte délku x strany rovnoramenného trojúhelníku, který má stejný obsah jako daný
pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek a, b.
[ x = 2ab  3 ]
3
Př. 7
Je dána kružnice se středem S a ploměrem r a její průměr AB. Nad úsečkami SA a SB jako
nad průměry jsou sestrojeny dvě kružnice. Vypočtěte poloměr x kružnice, která se dotýká
všech tří kružnic.
1
[ x= r ]
3

Př. 8
Do kružnice k je vepsán trojúhelník ABC tak, že jeho vrcholy dělí kružnici na tři oblouky,
jejichž délky jsou v poměru 2 : 3 : 7. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC.
[ 30 ° , 45 ° , 105 ° ]
Př. 9
V rovnoramenném lichoběžníku ABCD je dán úhel α = 60° ( při základně ), ramena c a
střední příčka d. Určete obě základny a, b a úhlopříčku u.
1
1
3 2
2
[ a = c2d  , b = 2d −c , u = c d ]
2
2
4
Př. 10
Zvětšíme-li každou stranu obdélníku o 3 cm, zvětší se jeho úhlopříčka o 4 cm a obsah o 60 cm
čtverečních. Určete rozměry obdélníku.
[ a = 5 cm , b = 12 cm ]
Download

9.Obsahy rovinných obrazců