ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově
Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia
Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve
vyučování matematiky na gymnáziu
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Prostějov 2009
2
Analytická geometrie
Úvod
Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách
a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny
střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické
vybavení a zázemí.
Cílová skupina:
Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových
materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se
nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů
částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového
studia.
Analytická geometrie
3
Obsah
Analytická geometrie ................................................................................................................. 8
Souřadnice .............................................................................................................................. 8
Souřadnice ........................................................................................................................ 12
Varianta A ........................................................................................................................ 12
Souřadnice ........................................................................................................................ 13
Varianta B ........................................................................................................................ 13
Souřadnice ........................................................................................................................ 15
Varianta C ........................................................................................................................ 15
Vektory ................................................................................................................................. 16
Vektory ............................................................................................................................. 23
Varianta A ........................................................................................................................ 23
Vektory ............................................................................................................................. 24
Varianta B ........................................................................................................................ 24
Vektory ............................................................................................................................. 26
Varianta C ........................................................................................................................ 26
Přímka .................................................................................................................................. 28
Přímka .............................................................................................................................. 31
Přímka .............................................................................................................................. 32
Varianta A ........................................................................................................................ 32
Přímka .............................................................................................................................. 33
Varianta B ........................................................................................................................ 33
Přímka .............................................................................................................................. 34
Varianta C ........................................................................................................................ 34
Polohové úlohy v rovině ...................................................................................................... 35
Polohové úlohy v rovině .................................................................................................. 36
Varianta A ........................................................................................................................ 36
4
Analytická geometrie
Polohové úlohy v rovině .................................................................................................. 37
Varianta B ........................................................................................................................ 37
Polohové úlohy v rovině .................................................................................................. 38
Varianta C ........................................................................................................................ 38
Metrické úlohy v rovině ....................................................................................................... 40
Metrické úlohy v rovině ................................................................................................... 42
Varianta A ........................................................................................................................ 42
Metrické úlohy v rovině ................................................................................................... 43
Varianta B ........................................................................................................................ 43
Metrické úlohy v rovině ................................................................................................... 44
Varianta C ........................................................................................................................ 44
Přímka, rovina ...................................................................................................................... 45
Přímka a rovina ................................................................................................................ 47
Varianta A ........................................................................................................................ 47
Přímka a rovina ................................................................................................................ 49
Varianta B ........................................................................................................................ 49
Přímka a rovina ................................................................................................................ 51
Varianta C ........................................................................................................................ 51
Polohové úlohy v prostoru ................................................................................................... 52
Polohové úlohy v prostoru ............................................................................................... 53
Varianta A ........................................................................................................................ 53
Polohové úlohy v prostoru ............................................................................................... 55
Varianta B ........................................................................................................................ 55
Polohové úlohy v prostoru ............................................................................................... 57
Varianta C ........................................................................................................................ 57
Metrické úlohy ..................................................................................................................... 59
Metrické úlohy ................................................................................................................. 61
Analytická geometrie
5
Varianta A ........................................................................................................................ 61
Metrické úlohy ................................................................................................................. 63
Varianta B ........................................................................................................................ 63
Metrické úlohy ................................................................................................................. 65
Varianta C ........................................................................................................................ 65
Kuželosečky a kulová plocha ................................................................................................... 67
Kružnice ............................................................................................................................... 67
Kružnice ........................................................................................................................... 69
Varianta A ........................................................................................................................ 69
Kružnice ........................................................................................................................... 71
Varianta B ........................................................................................................................ 71
Kružnice ........................................................................................................................... 73
Varianta C ........................................................................................................................ 73
Tečna kružnice ..................................................................................................................... 75
Tečna kružnice ................................................................................................................. 76
Varianta A ........................................................................................................................ 76
Tečna kružnice ................................................................................................................. 78
Varianta B ........................................................................................................................ 78
Tečna kružnice ................................................................................................................. 80
Varianta C ........................................................................................................................ 80
Parabola ................................................................................................................................ 82
Parabola ............................................................................................................................ 87
Varianta A ........................................................................................................................ 87
Parabola ............................................................................................................................ 89
Varianta B ........................................................................................................................ 89
Parabola ............................................................................................................................ 90
Varianta C ........................................................................................................................ 90
6
Analytická geometrie
Tečna paraboly ..................................................................................................................... 92
Tečna paraboly ................................................................................................................. 93
Varianta A ........................................................................................................................ 93
Tečna paraboly ................................................................................................................. 94
Varianta B ........................................................................................................................ 94
Tečna paraboly ................................................................................................................. 96
Varianta C ........................................................................................................................ 96
Elipsa .................................................................................................................................... 98
Elipsa .............................................................................................................................. 101
Varianta A ...................................................................................................................... 101
Elipsa .............................................................................................................................. 102
Varianta B ...................................................................................................................... 102
Elipsa .............................................................................................................................. 104
Varianta C ...................................................................................................................... 104
Hyperbola ........................................................................................................................... 106
Hyperbola ....................................................................................................................... 111
Varianta A ...................................................................................................................... 111
Hyperbola ....................................................................................................................... 113
Varianta B ...................................................................................................................... 113
Hyperbola ....................................................................................................................... 114
Varianta C ...................................................................................................................... 114
Elipsa, hyperbola, přímka, tečny ........................................................................................ 116
Elipsa, hyperbola, přímka, tečny .................................................................................... 118
Varianta A ...................................................................................................................... 118
Elipsa, hyperbola, přímka, tečny .................................................................................... 120
Varianta B ...................................................................................................................... 120
Elipsa, hyperbola, přímka, tečny .................................................................................... 122
Analytická geometrie
7
Varianta C ...................................................................................................................... 122
Kulová plocha .................................................................................................................... 124
Kulová plocha ................................................................................................................ 127
Varianta A ...................................................................................................................... 127
Kulová plocha ................................................................................................................ 129
Varianta B ...................................................................................................................... 129
Kulová plocha ................................................................................................................ 131
Varianta C ...................................................................................................................... 131
Analytická geometrie
8
Analytická geometrie
Souřadnice
Soustava souřadnic na přímce
Na libovolné přímce p zvolíme bod O a bod I tak, aby |OI|=1. Pak každému bodu X této
přímky přiřadíme reálné číslo x = |OX|, pokud bod X leží na polopřímce OI, nebo číslo
|
|, pokud bod X leží na polopřímce opačné. Tuto přímku nazýváme ČÍSELNOU
OSOU, bod
se nazývá počátek soustavy souřadnic na přímce p.
Soustava souřadnic v rovině
Dvojice číselných os x, y v rovině, pro které platí
– obě osy jsou navzájem kolmé
– jejich průsečíku
odpovídá na obou osách číslo 0,
se nazývá KARTÉZSKÁ SOUSTAVA souřadnic v rovině a označuje se Oxy. Bod O je
počátek kartézské soustavy souřadnic, přímky x, y se nazývají souřadnicové osy.
[
]
dvojice je uspořádaná  souřadnice nelze zaměnit!
Analytická geometrie
Soustava souřadnic v prostoru
Trojice číselných os x, y, z v prostoru takových, že
– každé dvě osy jsou navzájem kolmé
– všechny procházejí jedním bodem
– na všech osách je bodu O přiřazeno číslo 0,
se nazývá kartézská soustava souřadnic Oxyz. Bod
nazýváme počátek, přímky x; y; z se
nazývají souřadnicové osy. Roviny určené dvojicemi souřadnicových os se nazývají
souřadnicové roviny.
Pravotočivá soustava souřadnic:
9
Analytická geometrie
10
Levotočivá soustava souřadnic:
Vzdálenost bodů v rovině
[
]
[
]
Podle Pythagorovy věty: |
⇒ |
|
)
√(
|
(
(
)
(
)
Vzdálenost bodů v prostoru
[
⇒ |
]
|
√(
[
]
)
(
)
(
)
)
Analytická geometrie
Střed úsečky
dělí úsečku na 2 stejné části
v rovině: [
]
v prostoru:
[
]
11
12
Analytická geometrie
Souřadnice
Varianta A
Vypočítejte souřadnice středu úsečky AB: [
]
[
]
Příklad:
Řešení:
[
]
[
[
]
]
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení: [
Varianta B
]
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Vypočítejte vzdálenost bodů C; D: [
Řešení: |
|
]
]
√
2.) Vypočítejte vzdálenost bodů A, B: [
Řešení: |
[
]
[
]
|
3.) Vypočítejte délky stran trojúhelníku ABC a rozhodněte, zda je pravoúhlý.
[
]
Řešení: |
[
|
]
|
|
[
]
|
√
|
⇒ trojúhelník není pravoúhlý
√
(neplatí Pythagorova věta).
4.) Určete, který z bodů A; B; C má nejmenší vzdálenost od bodu K.
[
]
[
Řešení: Bod A.
]
[
]
[
]
Analytická geometrie
13
Souřadnice
Varianta B
Sestrojte pravidelný šestiúhelník KLMNOP tak, aby střed kružnice byl v počátku O kartézské
soustavy souřadnic, aby první vrchol byl bod K[4;0] a aby pro bod L [l1; l2]
platilo l2>O. Určete souřadnice všech vrcholů šestiúhelníku.
Řešení:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√|
|
|
|
|
√
√
√
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
[
√ ]
[
√ ]
[
]
[
√ ]
[
√ ]
14
Analytická geometrie
Příklady k procvičení:
1.)Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte krychli ABCDEFGH;
[
]
[
]
Řešení: [
]
] . Zapište souřadnice ostatních vrcholů krychle.
[
[
]
[
]
[
]
[
]
2.) Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte kvádr ABCDEFGH;
[
]
[
Řešení: [
]
[
] , jeho výška je 6. Určete souřadnice zbývajících vrcholů.
]
[
]
[
]
[
]
[
]
3.) Určete obraz bodu K ve středové souměrnosti se středem S; [
Řešení:
[
[
]
[
]
]
4.) Vypočítejte délku těžnice tc trojúhelníku ABC. [
Řešení: | |
]
√
√
]
[
]
Analytická geometrie
15
Souřadnice
Varianta C
Určete číslo r tak, aby vzdálenost bodů
[
]
[
] byla √
.
Příklad:
)
√(
(
)
(
)
√
⇒
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Na ose y určete bod Y tak, aby jeho vzdálenost od bodu
Řešení:
[
]
[
[
] byla √
.
]
2.) Na ose x najděte bod X tak, aby měl od bodu A dvakrát větší vzdálenost než od bodu B.
[
Řešení:
]
[
].
[
]
[
]
3.) V kartézské soustavě souřadnic Oxyz zakreslete pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož
výška je 6 a zapište souřadnice bodu V. [
Řešení: [
]
[
]
[
]
]
4.) Jsou dány body S1; S2. K libovolnému bodu A určete jeho obraz A1 ve středové
souměrnosti se středem S1. Pak najděte obraz bodu A1 ve středové souměrnosti se středem S2
a tento obraz označte A2. Určete vzdálenost bodů A; A2.
[
Řešení:
]
[
[
]
[
]
]
[
]⇒ |
|
√
√
16
Analytická geometrie
Vektory
Orientovaná úsečka ⃗⃗⃗⃗⃗ je úsečka AB, jejíž krajní body mají určené pořadí. Bod A je
počáteční bod, bod B je koncový bod orientované úsečky. Velikost orientované úsečky je
vzdálenost bodů A, B. Nulová orientovaná úsečka má počáteční bod totožný s koncovým
bodem. Její velikost je nula.
Nenulový vektor je množina všech nenulových orientovaných úseček, které mají stejnou
velikost a stejný směr.
Dva vektory ⃗
mají stejný směr, jestliže
a) polopřímky ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ jsou rovnoběžné a obě leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou
AC.
b) přímky ⃡⃗⃗⃗⃗ ⃡⃗⃗⃗⃗ jsou totožné a průnikem polopřímek ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ je opět polopřímka.
Nulový vektor je množina všech nulových orientovaných úseček, značíme ho .
Každou orientovanou úsečku ⃗⃗⃗⃗⃗ , která představuje vektor ⃗ , nazýváme umístěním vektoru
⃗.
Analytická geometrie
Souřadnice vektoru
Je-li vektor ⃗ určen orientovanou úsečkou ⃗⃗⃗⃗⃗ , pak ⃗
[
]
[
] ⃗(
)
(
)
⃗
Operace s vektory
Součet vektorů
⃗
;
; ⃗
.
⃗⃗
17
Analytická geometrie
18
Pro každé dva vektory v rovině nebo prostoru platí:
⃗
⃗
⃗
⃗
Pro každé tři vektory v rovině nebo prostoru platí:
(⃗
)
⃗⃗
⃗
(
⃗⃗ )
Sčítání vektorů ke komutativní a asociativní.
Je-li ⃗
, pak vektor
⃗
⃗
⃗
( ⃗)
Rozdíl vektorů
( ⃗)
⃗
⃗
(
)
je opačný k ⃗ a značíme ho
⃗.
Analytická geometrie
19
Násobení vektoru číslem
Násobek nenulového vektoru ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ reálným číslem
je vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ , kde C je bod, pro který
platí:
a) |
|
|
|
, leží bod C na polopřímce AB
b) je-li
, leží bod C na polopřímce opačné k polopřímce AB
Je-li
(
⃗
)
Platí: pro každé dva vektory ⃗
a každé
R
⃗
(
) ⃗
⃗
(
( ) ⃗
⃗)
(⃗
(
)
asociativnost násobení vektoru číslem
distributivnost násobení součtu vektorů číslem
⃗
) ⃗
⃗
distributivnost násobení vektoru součtem čísel
⃗
Lineární kombinace vektorů
Lineární kombinací vektorů ⃗
⃗⃗ je vektor
⃗
⃗⃗ , kde
. Lze
vytvořit lineární kombinaci libovolného počtu vektorů. Lineární kombinace jednoho vektoru
je jeho reálný násobek.
Vektory se nazývají lineárně závislé právě tehdy, když lze jeden z nich vyjádřit jako lineární
kombinaci ostatních. Nejsou-li vektory lineárně závislé, nazývají se lineárně nezávislé.
Skalární součin vektorů
Velikost vektoru ⃗ je velikost kterékoliv orientované úsečky ⃗⃗⃗⃗⃗ , která je jeho umístěním.
Platí:
|⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
|
| . Jednotkový vektor má velikost 1, nulový vektor má velikost 0.
Pro každý vektor ⃗
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) v rovině platí:| ⃗ |
Pro každý vektor ⃗
(
Skalární součin ⃗
dvou nenulových vektorů je reálné číslo, které je rovno součinu
√
) v prostoru platí: | ⃗ |
.
√
.
velikostí těchto vektorů a kosinu velikosti úhlu φ, který tyto vektory svírají.
Analytická geometrie
20
|⃗ | | |
⃗
Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ⃗
(⃗⃗⃗⃗
)
) v rovině:
(
⃗
Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ⃗
(
)
(
)
v prostoru:
⃗
Vlastnosti skalárního součinu
⃗
komutativnost skalárního součinu vektorů
⃗
( ⃗)
(⃗
asociativnost skalárního součinu vzhledem k násobení
)
číslem
(⃗
) ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
distributivnost skalárního součinu vzhledem ke sčítání
⃗⃗
vektorů
⃗ ⃗
|⃗ |
⃗
Velikost úhlu dvou vektorů ⃗
lze určit použitím skalárního součinu:
⃗ ⃗
| ⃗ | |⃗ |
⃗ ⃗

√
| ⃗ | |⃗ |
√
√
√
Vektorový součin
Vektorový součin dvou vektorů ⃗
, které neleží v jedné přímce, je vektor ⃗⃗ , pro který platí:
a) vektor ⃗⃗ je kolmý k oběma vektorům ⃗
b) vektor ⃗⃗ je orientován vůči vektorů ⃗
c) | ⃗⃗ |
|⃗ | | |
, kde
pravotočivě, tedy podle pravidla pravé ruky
je úhel vektorů ⃗
.
Analytická geometrie
Vektorový součin dvou vektorů, které leží v jedné přímce, je nulový vektor.
Vektorový součin ⃗
Příklad: ⃗ (
⃗
(
)
(
⃗⃗
(
)
)
(
)
(
)
)
(
Užití vektorového součinu:
1. při určení vektoru kolmého ke dvěma daným vektorům
2. při výpočtu obsahu rovnoběžníku ABCD, popř. trojúhelníku ABC
Obsah rovnoběžníku ABCD je
Obsah trojúhelníku ABC je
|⃗
|⃗
|
|
) (
)
21
22
Analytická geometrie
Smíšený součin
Smíšený součin vektorů ⃗
⃗⃗ v tomto pořadí je číslo, které vypočteme ( ⃗
Užití smíšeného součinu:
Pro objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH platí:
|( ⃗
) ⃗⃗ | , kde ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
Objem trojbokého hranolu je roven polovině objemu rovnoběžnostěnu.
Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu rovnoběžnostěnu.
Objem čtyřstěnu je roven šestině objemu rovnoběžnostěnu.
) ⃗⃗ .
Analytická geometrie
23
Vektory
Varianta A
Jsou dány body [
]
[
]
[
].
a) Rozhodněte, zda body A, B, C leží na přímce
b) Určete číslo
] ležel na přímce AB.
tak, aby bod [
Příklad:
a) Leží-li body A, B, C na jedné přímce, musí platit, že ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(
) ⃗⃗⃗⃗⃗
(
) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ body A; B; C leží v jedné přímce
b) Má-li bod D ležet na přímce AB, musí platit ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(
) ⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗⃗ .
)⇒
⃗⃗⃗⃗⃗
⇒
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení: ) body A; B; C leží v jedné přímce
Varianta B
b)
Varianta C
Příklady k procvičení:
(
1.) Vektor
Řešení:
) zapište jako lineární kombinaci vektorů ⃗
(
)
(
).
⃗
2.) Určete číslo
tak, aby velikost vektoru
(
) byla 10.
Řešení:
3.) V trojúhelníku ABC označte vektory ⃗
vektorů ⃗
. Jako lineární kombinaci
zapište následující vektory:
a) ⃗⃗⃗⃗
b)⃗⃗⃗⃗⃗
Řešení: a) ⃗⃗⃗⃗
4.) Je dán vektor
k vektoru .
Řešení:
je střed strany BC.
, kde
⃗
; b) ⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗
). Určete
tak, aby vektor
(
) byl kolmý
Analytická geometrie
24
Vektory
Varianta B
Je dán vektor ⃗
). Určete souřadnice vektoru , který svírá s vektorem ⃗ úhel
(√
a jehož velikost je 4.
Příklad:
⃗ ⃗
| ⃗ | |⃗ |
√
√
∧ √
√
√
⇒
√
Dosadíme do vztahu pro velikost vektoru
√
(√
|2
)
√
√
(
⃗⃗⃗⃗
) ⇒
√
(
) ⃗⃗⃗⃗
√
( √
)
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení: ⃗⃗⃗⃗
Varianta B
(
) ⃗⃗⃗⃗
( √
)
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Je dán vektor
(
tak, aby pro vektor ⃗
). Určete
) platilo | ⃗
(
|
Řešení:
2.)Určete vektor
Řešení: ⃗⃗⃗
∧ | |
tak, aby platilo
(
) ⃗⃗⃗
3.) Jsou dány body [
(
]
[
[
).
] Určete souřadnice bodů B, C, D tak, aby čtyřúhelník
] [
]
(
)
ABCD byl čtverec. Bod S je střed čtverce.
Řešení: [
√ , kde
]
.
Analytická geometrie
4.) Jsou dány body [
]
]. Určete bod C tak, aby platilo:
[
a) bod C leží na ose x a |
|
b) bod C leží na ose y a |
|
Řešení: a)
[
]
[
]; b)
[
]
25
26
Analytická geometrie
Vektory
Varianta C
Jsou dány body [
]
[
]
[
].
a) Dokažte, že body A, B, C tvoří trojúhelník.
b) Určete reálná čísla
tak, aby body [
] [
] ležely na přímce AB.
Příklad:
a) Body A, B, C tvoří trojúhelník, jestliže vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ není násobkem vektoru ⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ (
) ⃗⃗⃗⃗⃗ (
). Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ není násobkem vektoru ⃗⃗⃗⃗⃗ , proto body A, B, C
tvoří trojúhelník.
b) ⃗⃗⃗⃗⃗ musí být násobek vektoru ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ (
) ⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
⇒
⃗⃗⃗⃗⃗ musí být násobek vektoru ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
⇒
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
;
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Jsou dány vektory ⃗ (
platilo | ⃗
|
)
(
). Určete hodnotu parametru
√ .
Řešení:
určete bod V tak, aby objem čtyřstěnu ABCDV, kde
2.) Na ose
[
Řešení:
]
[
[
]
]
[
[
] byl 14.
]
tak, aby
Analytická geometrie
3.) Na ose y určete bod C tak, aby obsah trojúhelníku ABC byl 10. [
Řešení:
[
√
4.) Je dán vektor (
Řešení:
]
[
) Určete
√
]
[
27
].
]
tak, aby pro vektor ⃗ (
) platilo |
⃗|
.
Analytická geometrie
28
Přímka
Přímka je dána dvěma různými body A, B.
se nazývá směrový vektor přímky AB.
Vektor ⃗
Přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů, lze ji totiž určit pomocí nekonečného počtu
dvojic bodů.
1.) Parametrická rovnice přímky
Parametrická rovnice přímky AB je rovnice
⃗
Proměnná se nazývá parametr. Každé hodnotě parametru odpovídá jeden bod přímky
AB.
Je-li z množiny všech nezáporných čísel, jde o vyjádření polopřímky AB, je-li
〈
〉, jde o vyjádření úsečky AB, je-li z množiny všech nekladných čísel,
jde o polopřímku opačnou k polopřímce AB.
Mějme v rovině body [
⃗
]
[
] a vektor ⃗
(
). Rovnici přímky
lze rozepsat do soustavy rovnic s parametrem :
Analytická geometrie
29
2.) Obecná rovnice přímky
Obecná rovnice přímky má tvar
) je normálový vektor = je kolmý na směrový vektor přímky ⇒ skalární součin ⃗ a ⃗ je
nula.
⇒ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(
a alespoň jedna
je nenulová.
z konstant
⃗(
, kde
)
(
)
⇒
kde
30
Analytická geometrie
3.) Směrnicový tvar rovnice přímky
se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo
Rovnice
je směrnice
přímky.
Směrnice přímky je rovna
Přímka rovnoběžná s osou
je odchylka přímky od kladné poloosy .
, kde
nemá žádnou směrnici, směrnicový tvar neexistuje.
Přímka se směrovým vektorem ⃗
Přímka kolmá na přímku
) má směrnici
(
.
má směrnici .
Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, jsou-li buď obě rovnoběžné s osou , nebo jsou
obě různoběžné s osou
a mají stejnou směrnici.
4.) Úsekový tvar rovnice přímky
Získáme z obecné rovnice přímky tak, že ji vydělíme číslem
∧
souřadnic.
, kde [
]
[
.
] jsou průsečíky s osami soustavy
Analytická geometrie
31
Přímka
Je dána přímka
. Sestavte její parametrické rovnice, obecnou rovnici, zapište ji ve
směrnicovém a úsekovém tvaru, pokud existují.
a) Přímka
je daná bodem [
] a směrovým vektorem ⃗
b) Přímka
je daná bodem [
] a normálovým vektorem ⃗
(
).
(
).
Příklad:
Řešení:
a) parametrické rovnice:
obecná rovnice: normálový vektor ⃗
dosadíme za
a
(
souřadnice bodu A ⇒
směrnicový tvar:
, pro výpočet
)⇒
⇒
, pro výpočet
⇒
dosadíme do rovnice bod A ⇒
⇒
úsekový tvar: průsečík s osou : [
s osou y:
b) parametrické rovnice: ⃗
obecná rovnice:
směrnicový tvar:
úsekový tvar:
(
[
]
]
)⇒
, po dosazení bodu B ⇒
, po dosazení bodu B ⇒
⇒
⇒
.
Analytická geometrie
32
Přímka
Varianta A
Napište obecnou rovnici přímky , která prochází bodem [
:
] a je rovnoběžná s přímkou
.
Příklad:
Každá rovnoběžná přímka s přímkou
(
⃗
má stejný normálový vektor jako přímka
⇒
)
, dosadíme bod K ⇒
:
⇒
⇒
.
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
) Napište obecnou rovnici přímky
přímku :
která prochází bodem
[
] a je kolmá na
.
Řešení: :
2.) Body [
] [
] určují přímku
. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází
středem úsečky KL a je kolmá na přímku AB, [
]
[
].
Řešení:
) Jsou dány dva body
[
]
[
]. Napište rovnici osy úsečky MN; polopřímky
MN; polopřímky NM.
Řešení: Osa:
Polopřímka
; polopřímka MN:
v bodě A.
Řešení:
〈
:
4.) Jsou dány body [
〈
]
[
)
).
]. Napište obecnou rovnici kolmice k úsečce AB
Analytická geometrie
33
Přímka
Varianta B
Body [
] [
]
] jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Vypočítejte souřadnice
[
průsečíku os jeho stran.
Příklad:
] ⃗⃗⃗⃗⃗
[
(
] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
[
(
] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
[
)⇒
:
)⇒
(
:
)⇒
:
Z první osy plyne pro průsečík, že jeho y-ová souřadnice je 1,5; z druhé osy, že x-ová
souřadnice je 1,5 ⇒ [
].
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení: [
Varianta B
]
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky , která prochází bodem
[
] a je kolmá k přímce :
Řešení: :
:
2.) Určete souřadnici
[
.
] [
bodu [
.
] tak, aby bod A ležel na přímce KL, kde
].
Řešení:
.
3.) Body [
] [
]
] jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Napište obecné rovnice
[
přímek, na nichž leží těžnice trojúhelníku JKLM a určete souřadnice těžiště.
Řešení:
:
:
4.) Je dána polopřímka
{[
bodu A dané polopřímky. Určete
Řešení:
[
]
.
:
]
(
tak, aby bod [
[
]
〉}. Určete souřadnice počátečního
] ležel na dané polopřímce.
34
Analytická geometrie
Přímka
Varianta C
Určete hodnotu parametru
tak, aby přímka
procházela
počátkem soustavy souřadnic.
Příklad:
Má-li přímka procházet počátkem soustavy souřadnic, musí bod [
přímky. Dosadíme proto do rovnice přímky za
)
√(
(
)
nulu a dostaneme:
] vyhovovat rovnici
.
⇒
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Je dán trojúhelník EFG, [
]
[
]
[
]. Určete v parametrickém tvaru
rovnici přímky, na které leží střední příčka rovnoběžná s FG.
Řešení:
.
2.) Je dán trojúhelník KLM, [
Řešení:
[
]
[
]. Vypočítejte souřadnice těžiště T.
].
a přímka AB, kde [
3.) Osy
] [
]
[
], určují trojúhelník. Vypočítejte jeho obsah.
Řešení:
4.) Určete reálné číslo
[
Řešení:
]
[
]
.
tak, aby bod K ležel na přímce MN, je-li:
[
].
Analytická geometrie
35
Polohové úlohy v rovině
Vzájemnou polohu dvou přímek lze vyšetřit dvěma způsoby:
1.) řešíme soustavu složenou z obou rovnic, o vzájemné poloze rozhodne počet řešení
1 řešení
různoběžné, 1 průsečík
0 řešení
rovnoběžné různé
řešení
totožné
2.) určíme směrové (normálové) vektory obou přímek
Přímky
jsou rovnoběžné, jestliže: ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ , kde
{ }; (⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
{ }).
Dvě přímky (
Přímky
⃗)a (
) jsou totožné, jsou-li rovnoběžné a leží-li bod Q na přímce .
jsou k sobě kolmé, jsou-li jejich směrové (normálové) vektory navzájem kolmé,
tj. platí-li ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
).
Analytická geometrie
36
Polohové úlohy v rovině
Varianta A
Vyšetřete vzájemnou polohu přímek KL a MN, znáte-li souřadnice bodů, kterými dané přímky
procházejí; [
] [
]
[
)⇒
:
]
[
].
Příklad:
⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)⇒
:
Přímky jsou různoběžné, protože ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Průsečík má x-ovou souřadnici
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(plyne z rovnice přímky KL), y-ovou souřadnici
dopočítáme z rovnice přímky MN ⇒ [
].
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení: Přímky jsou různoběžné; [
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek
{[
]}
;
{[
]}.
Řešení: Rovnoběžné různé
2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek
{[
]}
Řešení: Různoběžné; [
{[
]}
]
3.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek
{[
.
]}
.
{[
]} .
Řešení: totožné
4.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek
:
:
Řešení: Různoběžné, [
.
]
.
]
Analytická geometrie
37
Polohové úlohy v rovině
Varianta B
Určete hodnotu parametru
tak, aby přímka
průsečíkem přímek :
procházela
:
.
Příklad:
|
po sečtení obou rovnic dostaneme:
⇒ [
⇒
].
Nyní bod X dosadíme do rovnice přímky s parametrem ⇒
⇒
.
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Vyšetřete vzájemnou polohu úseček.
{[
〈
〉]}
{[
〈
〉]}.
Řešení:
2.) Průsečíkem přímek
k přímce
{[
]}
{[
]} veďte kolmici
{[
]}.
Řešení:
3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů trojúhelníku KLM tak, aby jeho strany ležely na přímkách
:
:
Řešení: [
] [
:
] [
4.) Je dána úsečka KL, kde [
.
]
] [
]. Určete hodnotu parametru
úsečka AB protínala úsečku KL v jejím středu. Souřadnice bodů A, B jsou
[
]
Řešení:
[
].
tak, aby
Analytická geometrie
38
Polohové úlohy v rovině
Varianta C
Zjistěte, zda bod [
[
]
[
]
] je vnitřním bodem trojúhelníku ABC,
[
].
Příklad:
Má-li bod K ležet uvnitř trojúhelníku ABC, musí ležet ve stejné polorovině s hraniční přímkou
AB jako bod C, ve stejné polorovině s hraniční přímkou BC jako bod A a ve stejné polorovině
s hraniční přímkou AC jako bod B.
Přímka AB má rovnici
, polorovina s bodem C má rovnici
.
Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, bod K proto leží ve
stejné polorovině jako bod C.
Přímka AC má rovnici
, polorovina s bodem B má rovnici
.
Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, proto bod K leží ve
stejné polorovině jako bod B.
Přímka BC má rovnici
, polorovina s bodem A má vyjádření
. Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí.
Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC.
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení: Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC.
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Jsou dány body [
poloroviny
Řešení:
, je-li (
] [
).
] a vektor
(
). Napište analytické vyjádření
Analytická geometrie
2.) Určete reálné číslo
tak, aby přímka s parametrickým vyjádřením
procházela průsečíkem přímek
{[
39
{[
]}
]}.
Řešení:
3.) Určete hodnoty parametrů
{[
]}
tak, aby přímky
{[
byly totožné.
]}.
Řešení:
4.) Určete všechny hodnoty parametru
.
Řešení:
〈
)
tak, aby bod
[
] ležel v polorovině
Analytická geometrie
40
Metrické úlohy v rovině
Patří sem úlohy, ve kterých je použito měření – vzdálenosti bodů, velikosti úhlů apod.
Vzdálenost bodu od přímky
Postup vidíme z obrázku:
1.) bodem X vedeme kolmici k přímce
2.) najdeme průsečík P kolmice vedené bodem X a přímky
3.) Určíme vzdálenost
[
]
|
|
:
. Pak kolmice
má rovnici:
.
Hledáme průsečík [
(
)
] přímek
(
.
)
, kde je vypočítaná hodnota parametru.
Pak
√(
)
(
)
√
| | √
Jestliže dosadíme za , dostaneme:
|
|
√
∧
Analytická geometrie
41
Odchylka dvou přímek
Odchylka přímek
je ta velikost úhlu, která leží v intervalu 〈
〉.
Odchylku přímek určíme pomocí úhlu směrových vektorů (případně normálových vektorů).
|⃗
|
|⃗ | | |
Analytická geometrie
42
Metrické úlohy v rovině
Varianta A
Na přímce :
určete bod P tak, aby jeho vzdálenost od přímky :
byla 3.
Příklad:
Má-li bod P ležet na přímce , musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici přímky ⇒
[
].
| (
Dosadíme do vzorce pro vzdálenost:
Po úpravě dostaneme:
|
)
|
√
|
Řešíme rovnici s absolutní hodnotou:
Dostáváme řešení:
[
]
a
[
].
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
[
]
[
]
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Vypočítejte vzdálenost rovnoběžek
:
:
a
.
Řešení:
2.) Na přímce :
najděte bod A tak, aby trojúhelník ABC byl rovnoramenný se
základnou BC, kde [
Řešení:
[
[
].
]
najděte bod P, který má od bodu [
3.) Na ose
Řešení:
]
[
]
√
[
√
].
4.) Vypočítejte obvod trojúhelníku KLM, kde [
Řešení:
√
√
.
] vzdálenost 7.
] [
]
[
].
Analytická geometrie
43
Metrické úlohy v rovině
Varianta B
Vypočítejte odchylku přímek :
:
.
Příklad:
Určíme normálové vektory obou přímek: ⃗⃗⃗⃗
(
) ⃗⃗⃗⃗ (
(
|
Úhel přímek vypočteme dosazením do vzorce:
√
)
(
)(
) √
)|
(
)
⇒
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Výsledek řešení:
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Jsou dány dvě přímky :
tak, aby přímky svíraly úhel
. Určete hodnotu parametru
:
.
Řešení:
2.) Vypočítejte odchylku přímek
{[
]
}
{[
]
Řešení:
3.) Vypočítejte odchylku přímek :
:
.
Řešení:
4.) Vypočítejte odchylku přímek :
Řešení:
:
.
}.
44
Analytická geometrie
Metrické úlohy v rovině
Varianta C
Body
[
]
[
]
souřadnice vrcholů
] jsou středy stran trojúhelníku KLM. Vypočítejte
[
.
Příklad:
Na přímce, spojující středy dvou stran, leží střední příčka v trojúhelníku, proto má tato přímka
stejný směrový (normálový) vektor jako přímka, na které leží třetí strana.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
Přímka KM má tedy rovnici:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
.
) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
Přímka LM má tedy rovnici:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
.
) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
Přímka KL má tedy rovnici:
.
Řešíme vzájemnou polohu těchto přímek jako soustavy rovnic.
{ }
[
]
{ } [
]
[
].
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení: [
Varianta B
] [
]
[
]
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Určete bod R tak, aby trojúhelník PQR byl pravoúhlý a rovnoramenný s přeponou PQ, kde
[
]
Řešení:
[
[
].
]
[
]
2.) Určete souřadnice vrcholů čtverce ABCD, jestliže
Řešení: [
]
[
]
[
]
[
[
[
]
[
]
[
]
[
Řešení: [
. Určete souřadnice vrcholu G.
]
].
] [
].
].
4.) V rovnoramenném trojúhelníku EFG se základnou EF, [
přímce
[
].
3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů čtverce KLMN, je-li [
Řešení:
]
]
[
] leží vrchol G na
Analytická geometrie
45
Přímka, rovina
1.) Parametrická rovnice roviny
Rovina je dána třemi body, které neleží v jedné přímce. Proto lze sestavit dva vektory
⃗
ležící v této rovině. Rovinu značíme malými písmeny řecké abecedy.
⃗
Rovinu, která je dána bodem A a směrovými vektory ⃗ ⃗ , zapisujeme (
⃗
).
se nazývá parametrická rovnice roviny ABC.
Rovnice
Můžeme opět rozepsat:
2.) Obecná rovnice roviny
Užívá se častěji než parametrická. Rovinu určíme bodem P a vektorem ⃗ , který je k ní kolmý.
Tento vektor se nazývá normálový. Bod X leží v rovině právě tehdy, jestliže vektor
kolmý k vektoru ⃗ ⇒
(
(
)
) Pak můžeme psát:
(
(
Po úpravě dostaneme
.
], bod P má souřadnice [
Bod X má souřadnice [
má souřadnice ⃗
)
)
(
je
)
] a normálový vektor
46
Analytická geometrie
Označíme výraz
a máme obecnou rovnici roviny:
Poznámka: známe-li dva směrové vektory roviny, normálový vektor určíme jako vektorový
součin těchto dvou vektorů.
3.) Úsekový tvar rovnice roviny
Rovina určená body [
]
[
]
[
] má rovnici
Analytická geometrie
47
Přímka a rovina
Varianta A
Jsou dány body [
]. Rozhodněte, zda body [
] [
leží na přímce KL, a určete
]
[ √
√ ]
] ležel na přímce KL.
tak, aby bod [
Příklad:
Napíšeme rovnice přímky KL: ⃗⃗⃗⃗⃗
(
Dosadíme postupně souřadnice bodů
∧
) ⇒
.
do rovnice přímky KL.
⇒ bod A neleží na přímce KL.
∧
Totéž provedeme s bodem B: √
∧
platí vždy, z první i třetí rovnice plyne, že
√
∧
√
. Prostřední rovnice
, proto bod B leží na přímce KL.
Do rovnice přímky KL nyní dosadíme souřadnice bodu C:
∧
∧
.
Z prostřední rovnice určíme, že
třetí rovnice zjistíme, že
; dosadíme do první rovnice ⇒
a po dosazení do
.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení: bod A neleží na přímce KL; bod B leží na přímce KL;
;
48
Analytická geometrie
Příklady k procvičení:
1.) Je dána přímka
[
{[
]
] leží na přímce a určete
] [
}. Rozhodněte, zda body
[
tak, aby bod
] ležel na
přímce .
Řešení: 
2.) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka
{[
]
} protíná
souřadnicové roviny.
Řešení:
[
]
[
]
neexistuje
3.) Napište parametrické rovnice přímky , která prochází bodem [
s přímkou
{[
]
] a je rovnoběžná
}.
Řešení:
4.) Napište parametrické rovnice přímky , která prochází bodem [
osou .
Řešení:
] a je rovnoběžná s
Analytická geometrie
49
Přímka a rovina
Varianta B
Dokažte, že body [
] [
]
] určují rovinu a napište její
[
parametrické rovnice, určete její obecnou rovnici a vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých
rovina KLM protíná souřadnicové osy.
Příklad:
3 body určují rovinu, pokud neleží v jedné přímce, čili vektor ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
) ⇒ body určují rovinu.
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
) ⇒
.
Průsečíky se souřadnicovými osami mají vždy dvě souřadnice nulové ⇒
[
]
[
]
[
]
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení: body určují rovinu;
Varianta B
[
Varianta C
]
[
]
[
]
Příklady k procvičení:
1.) Je dána rovina
roviny
{[
}. Vypočítejte průsečíky
]
se souřadnicovými osami.
Řešení: [
]
[
2.) Zjistěte, zda body [
Řešení: neleží
]
[
] [
]
]
[
]
[
] leží v jedné rovině.
50
Analytická geometrie
3.) V soustavě souřadnic v prostoru je umístěn pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV tak, že
[
]
[
]
[
]
[
]. Napište parametrické vyjádření roviny BCV.
Řešení:
4.) Jsou dány body [
] [
]
]. Napište parametrické vyjádření
[
těžnice trojúhelníku KLM, která prochází bodem K.
Řešení:
〈
〉
Analytická geometrie
51
Přímka a rovina
Varianta C
Dokažte, že přímky
{[
]
}
{[
]
}
určují rovinu a napište její obecnou rovnici.
Příklad:
Přímky určují rovinu, pokud bod jedné přímky neleží na přímce druhé, což ověříme
dosazením bodu [
∧
] z přímky
do rovnic přímky .
⇒ bod neleží na přímce
∧
Vypíšeme si směrový vektor přímky : ⃗⃗⃗⃗
přímkách
(
)
(
,kde člen
) a určíme vektor daná body v obou
). Vektorový součin těchto směrových
(
vektorů určí normálový vektor hledané roviny ⇒ ⃗
hledané roviny je
⇒ přímky určují rovinu.
(
)
(
). Proto rovnice
vypočítáme dosazením některého bodu
kterékoliv ze zadaných přímek do této rovnice ⇒
.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Výsledek řešení:
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Dokažte, že přímka
{[
]
} a bod
[
] určují rovinu a
]
}. Napište její
napište její obecnou rovnici.
Řešení:
2.) Je dána rovina
{[
obecnou rovnici.
Řešení:
3.) Napište obecnou rovnici roviny , ve které leží body [
kolmá k rovině :
]
[
.
Řešení: :
4.) Kolmicemi sestrojenými z bodu [
:
Řešení: :
] na roviny :
proložte rovinu . Určete její obecnou rovnici.
] a rovina
je
52
Analytická geometrie
Polohové úlohy v prostoru
1.) Vzájemná poloha přímek
Dvě přímky v prostoru mohou být totožné, rovnoběžné různé, různoběžné nebo mimoběžné.
Základním kritériem jsou směrové vektory obou přímek.
Je-li ⃗
⃗ , jsou přímky totožné nebo rovnoběžné různé. Která z možností to bude,
rozhodneme podle toho, zda bod jedné přímky leží na přímce druhé – pokud ano, jsou přímky
totožné, pokud ne, jsou rovnoběžné různé.
Je-li ⃗
⃗ , jsou přímky různoběžné nebo mimoběžné. Řešíme vzájemnou polohu těchto
přímek, v případě společného bodu jsou přímky různoběžné a určujeme průsečík, v případě,
že společný bod neexistuje, jsou přímky mimoběžné.
2.) Vzájemná poloha přímky a roviny
Přímka buď leží v rovině (pak je
mnoho společných bodů), je rovnoběžná různá s rovinou
(žádný společný bod) nebo je různoběžná a pak určujeme 1 společný bod. Řešíme nejsnadněji
dosazením parametrických rovnic přímky do obecné rovnice roviny a podle počtu řešení
rozhodneme o vzájemné poloze.
3.) Vzájemná poloha 2 rovin
Dvě roviny mohou být totožné, rovnoběžné různé nebo různoběžné. Která z možností nastane,
závisí na rovnicích obou rovin. V nejjednodušším případě máme obecné rovnice obou rovin a
sledujeme normálové vektory obou rovin. Pokud platí, že ⃗⃗⃗⃗
roviny totožné. Pokud platí, že ⃗⃗⃗⃗
Pokud platí, že ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ∧
⃗⃗⃗⃗ ∧
, pak jsou
, pak jsou roviny rovnoběžné různé.
⃗⃗⃗⃗ , pak jsou roviny různoběžné a pak určujeme průsečnici. Při
hledání průsečnice dvou různoběžných rovin hledáme dva body, které leží zároveň v první i
druhé rovině. To zajistíme tak, že zvolíme dvě ze tří souřadnic a třetí souřadnici dopočítáme
pří řešení soustavy dvou rovnic, které získáme dosazením zvolených souřadnic do obou
rovnic rovin.
Analytická geometrie
Polohové úlohy v prostoru
Varianta A
Vyšetřete vzájemnou polohu přímek:
{[
]
}
{[
Vypíšeme si směrové vektory obou přímek: ⃗⃗⃗⃗
přímky
]
(
) ⃗⃗⃗⃗
není násobkem směrového vektoru přímky
}
(
). Vektor
⇒ přímky jsou různoběžné nebo
mimoběžné. Budeme řešit jako soustavu, pokud bude mít řešení, jsou přímky různoběžné,
pokud ne, jsou mimoběžné.
Příklad:
Po sečtení prvních dvou rovnic zjistíme, že
Dosazením do 1. Rovnice vypočteme
.
Nyní obě hodnoty dosadíme do třetí rovnice.
(
)
, což je výrok pravdivý.
Přímky jsou proto různoběžné. Musíme tedy určit průsečík (dosazením např. hodnoty
do rovnice přímky ).
Průsečík má tedy souřadnice [
].
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení: přímky jsou různoběžné, [
].
53
Analytická geometrie
54
Příklady k procvičení:
1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek:
{[
]
}
{[
]
}
Řešení: přímky jsou rovnoběžné různé
2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek:
{[
]
}
{[
]
}
Řešení: přímky jsou totožné
3.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek:
{[
]
}
{[
]
}
Řešení: přímky jsou mimoběžné
4.) Určete hodnotu parametru
tak, aby přímky
byly různoběžné. Pak vypočítejte
souřadnice průsečíku přímek
{[
Řešení:
]
⇒ [
}
]
{[
]
}
Analytická geometrie
55
Polohové úlohy v prostoru
Varianta B
Vyšetřete vzájemnou polohu přímky a roviny:
a)
{[
b)
{[
c)
{[
]
}
:
]
]
}
}
:
:
Příklad:
Vzájemnou polohu přímky a roviny vyšetřujeme dosazením přímky do rovnice roviny.
(
a)
)
⇒
⇒ přímka je různoběžná
⇒
s rovinou, mají společný 1 bod, jehož souřadnice zjistíme dosazením
přímky ⇒ [
b)
(
do rovnice
].
)
(
)
(
)
(
)
)
⇒ přímka je rovnoběžná
⇒
různá s rovinou
(
c)
⇒
⇒ přímka leží v rovině
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení: a) [
]; b) přímka je rovnoběžná různá
s rovinou; c) přímka leží v rovině
Příklady k procvičení:
1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky
[
dána body [
].
] [
]
[
Řešení: přímka je různoběžná s rovinou,
2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky
{[
]
]
[
] a roviny , která je
[
].
{[
]
}.
} a roviny
56
Analytická geometrie
Řešení: přímka je rovnoběžná různá s rovinou
3.) Jsou dány body [
] [
]
[
]
[
]
[
]. Určete, pokud
existuje, průsečík úsečky KL a přímky MN.
Řešení: [
].
4.) Ukažte, že přímka
, kde [
. Potom najděte jejich průsečík.
Řešení: [
].
] je různoběžná s rovinou
o rovnici
Analytická geometrie
57
Polohové úlohy v prostoru
Varianta C
Vyšetřete vzájemnou polohu rovin :
:
.
Podle souřadnic normálových vektorů vidíme, že roviny jsou různoběžné, budeme proto
hledat rovnici přímky, která je průsečnicí rovin. Hledáme tedy dva body, které leží současně
v obou rovinách.
Příklad:
Zvolíme si jednu souřadnici každého bodu libovolně, zbylé dvě souřadnice vypočteme ze
soustavy rovnic.
[
⇒
] ⇒ dosadíme souřadnice bodu A do rovnic obou rovin
⇒
⇒ [
].
Totéž provedeme pro bod B: [
⇒
⇒
⇒ [
]
]
Nyní určíme směrový vektor přímky AB, ⃗⃗⃗⃗⃗
Průsečnice má tedy rovnici:
{(
(
)
)
}.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení: roviny jsou různoběžné,
)
}.
{(
58
Analytická geometrie
Příklady k procvičení:
1.) Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají roviny
]
}
{[
{[
]
}.
Řešení:roviny jsou rovnoběžné různé
2.) Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají roviny
]
}
{[
{[
]
}.
Řešení: roviny jsou totožné
3.) Určete hodnoty parametrů
tak, aby roviny :
:
byly a) rovnoběžné; b) různoběžné; c) navzájem kolmé
Řešení: a)
∧
; b)
; c)
4.) Vyšetřete vzájemnou polohu rovin
{[
Řešení: roviny jsou totožné
]
{[
]
}.
}
Analytická geometrie
59
Metrické úlohy
1.) Vzdálenost bodu od přímky
Postup:
a.) Určíme parametrické vyjádření přímky :
b.) Z podmínky (
⃗
určíme tu hodnotu parametru , pro kterou platí
) ⃗
(viz
obr.).
c.) Určíme vzdálenost
|
|
2.) Vzdálenost bodu od roviny
Bodem P vedeme přímku
kolmou k rovině , určíme průsečík R přímky p a roviny
určíme vzdálenost
|.
|
; [
:
];
Hledáme průsečík přímky p s rovinou
(
)
(
)
{[
]
a
}.
tak, že rovnice přímky dosadíme do rovnice roviny.
(
)
Odtud
Tuto hodnotu dosadíme do parametrického vyjádření přímky a dostaneme souřadnice bodu R.
Platí
Proto
), kde je vypočítaná hodnota.
(
|
|
| | √
.
60
Analytická geometrie
Vzdálenost bodu [
je vyjádřena
] od roviny :
|
|
√
3.) Odchylka dvou přímek
Odchylka přímek (
⃗) (
) je číslo
〈
〉, pro které platí:
|⃗
|
|⃗ | | |
4.) Odchylka přímky a roviny
Je-li přímka p kolmá k rovině , je odchylka přímky p a roviny
není kolmá k rovině , vedeme jí rovinu
v přímce p´. Odchylka
rovna
kolmou k rovině . Rovina
přímky p a roviny
Pokud přímka p
protne rovinu
je pak odchylka přímek p, p´.
Výhodnější je sestrojit přímku q kolmou k rovině . Jestliže odchylka přímek p a q je
5.) Odchylka dvou rovin
Odchylku
rovin
a
snadno určíme pomocí normálových vektorů těchto rovin.
Platí:
|⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗ |
, pak
Analytická geometrie
61
Metrické úlohy
Varianta A
V trojúhelníku ABC vypočítejte výšku
, víte-li, že [
]
[
]
[
].
Příklad:
Počítáme vzdálenost bodu A od přímky BC.
Směrový vektor přímky BC je ⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
⃗
). Rovnice přímky BC
(
je:
Kterýkoliv bod X přímky BC má souřadnice
Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗
(
[
].
).
Hledáme takovou hodnotu
, aby platilo, že přímka AX je kolmá na přímku BC.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
(
)
(
)
Bod X má tedy souřadnice [
|
|
√(
Velikost výšky
)
(
)
⇒
⇒
] a vzdálenost bodů A, X je
(
)
√
√
√
trojúhelníku ABC je √ .
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení: Velikost výšky
trojúhelníku ABC je √ .
62
Analytická geometrie
Příklady k procvičení:
1.) Vypočítejte vzdálenost bodu [
Řešení: |
|
] od přímky
]
}.
√
2.) Vypočítejte vzdálenost bodu [
Řešení: |
{[
] od roviny :
.
|
3.) Vypočítejte vzdálenost dvou rovnoběžných rovin :
:
.
Řešení: |
|
4.) Na přímce
přímky
Řešení:
.
{[
{[
[
} určete bod P tak, aby vzdálenost bodu P od
]
]
]
[
} byla 4.
].
Analytická geometrie
63
Metrické úlohy
Varianta B
Vypočítejte odchylku průsečnice rovin :
:
od osy z.
Příklad:
Hledáme dva body, které leží v obou rovinách – určíme od každého bodu libovolně jednu
souřadnici a zbylé dvě dopočítáme ze soustav rovnic, které dostaneme po dosazení bodů do
rovnic rovin.
[
]
⃗⃗⃗⃗⃗
] u obou bodů byla zvolena x-ová souřadnice.
[
(
)
(
)
Dosadíme do vzorce pro velikost odchylky dvou přímek:
(
|
√
)
(
|
)
√
⇒
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Vypočítejte odchylku přímky
{[
]
} od roviny
:
Řešení:
.
2.) Vypočítejte odchylku rovin :
Řešení:
.
:
.
64
Analytická geometrie
3.) Je dána přímka
{[
]
Určete hodnotu parametru
tak, aby platilo
Řešení:
.
.
.
4.) Je dán bod [
] a přímka
tak, aby odchylka přímek
Řešení:
} a rovina :
[
].
a p byla
{[
]
.
}. Na přímce p určete bod
Analytická geometrie
65
Metrické úlohy
Varianta C
Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany AE. Vypočítejte odchylku přímek BK
a AG.
Příklad:
[
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
]
[
]
[
]
) ⃗⃗⃗⃗⃗
(
|(
√(
)
)(
(
) (
)
[
(
)
√(
]
)
|
)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
√
√
√
√
⇒
66
Analytická geometrie
Příklady k procvičení:
1.) Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany AE, bod L je střed hrany BC.
Vypočítejte odchylku přímky BK od roviny ALG.
Řešení:
.
2.) Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany EH, bod L je střed hrany BC.
Vypočítejte odchylku rovin BCK a ALH.
Řešení:
.
3.) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má výšku
postupně
Řešení:
Řešení:
|
. Označte
středy hran AB, AD, CV. Vypočítejte vzdálenost bodu V od roviny KLM.
√
.
4.) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má výšku
postupně
, délku hrany |
, délku hrany |
|
. Označte
středy hran AB, AD, CV. Vypočítejte odchylku přímek KM a CV.
.
Analytická geometrie
67
Kuželosečky a kulová plocha
Kružnice
Patří mezi kuželosečky, které můžeme získat jako průnik rotační kuželové plochy a roviny.
Kružnici získáme jako průnik rotační kuželové plochy a roviny, která je kolmá na její osu. Je
to středová kuželosečka, protože má střed souměrnosti.
Kružnice
je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S
(středu kružnice) v rovině danou vzdálenost r (poloměr kružnice),|
|
|
⇒ √(
)
(
)
Odtud dostáváme středovou rovnici kružnice
(
)
(
)
|
68
Analytická geometrie
Rovnici můžeme upravit na obecnou rovnici kružnice
, kde
je rovnicí kružnice pouze tehdy, jestliže platí:
Pozor! Rovnice
Vnitřní oblast kružnice
je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) vzdálenost
menší než r (poloměr kružnice).
(
)
(
)
Vnější oblast kružnice
je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) vzdálenost
větší než r (poloměr kružnice).
(
)
(
)
Kruh
je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) vzdálenost
menší nebo rovnu r (poloměr kružnice).
(
)
(
)
Kružnice a přímka
Přímka buď s kružnicí nemá žádný společný bod, pak je vnější přímkou kružnice, nebo má
s přímkou jeden společný bod, pak je tečnou kružnice, nebo má s kružnicí dva společné body,
pak je sečnou kružnice. Řešíme tedy vzájemnou polohu přímky a kružnice dosazením z
rovnice přímky do rovnice kružnice.
Analytická geometrie
69
Kružnice
Varianta A
Napište rovnici kružnice, která má střed [
] a prochází bodem [
]. Potom
vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých kružnice protíná osy x a .
Při hledání rovnice kružnice použijeme středový tvar rovnice kružnice, do kterého dosadíme
souřadnice středu.
Příklad:
(
)
(
)
Pro výpočet poloměru můžeme dosadit do rovnice kružnice za x a y souřadnice bodu K nebo
můžeme spočítat vzdálenost bodů S, K. Při dosazení bodu K do rovnice kružnice: (
(
⇒
)
)
√
(
)
√
Hledaná rovnice kružnice tedy je (
)
(
)
.
Průsečíky s osami mají vždy jednu souřadnici nulovou.
⇒ (
)
⇒
⇒ (
)
⇒
Průsečíky s osami jsou
[
⇒
√
√
√
]
√
⇒
[
√
]
√
√
[
]
√
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
[
[
√
√
]
[
√
]
]
[
√
]
[
√
]
Analytická geometrie
70
Příklady k procvičení:
[
) Napište rovnici kružnice jestliže úsečka
Řešení: (
)
(
]
[
] je jejím průměrem
)
2.) Napište rovnici kružnice, která prochází body [
]
[
] a má střed na přímce
.
Řešení: (
)
(
)
.
3.) Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
[
].
Řešení:
.
4.) Najděte souřadnice středu a poloměr kružnice, jejíž rovnice je:
.
Řešení: (
)
(
)
⇒ [
]
.
Analytická geometrie
71
Kružnice
Varianta B
Určete vzájemnou polohu kružnice dané rovnicí
a přímky o
v závislosti na hodnotě parametru .
rovnici
Vzájemnou polohu přímky a kružnice řešíme vyjádřením jedné neznámé (x nebo y) z rovnice
přímky a jejím dosazením do rovnice kružnice. Má-li být přímka tečnou, musí být jedno
řešení kvadratické rovnice (
), má-li být přímka sečnou, musí vyjít dvě řešení
), má-li být přímka vnější přímkou, kvadratická rovnice nemá řešení (
(
Příklad:
Z rovnice přímky vyjádříme:
(
)
(
(
(
a dosadíme do rovnice kružnice.
)
)
)
(
Tečna:
⇒
Sečna:
⇒
Vnější přímka:
)
⇒ (
(
⇒
)
(
(
) (
)
⇒
)
)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení: Tečna:
Sečna:
(
Vnější přímka:
)
(
(
)
)
).
Analytická geometrie
72
Příklady k procvičení:
1.) Určete vzájemnou polohu přímky :
:
a kružnice
.
Řešení: Přímka je sečna kružnice.
2.) Určete vzájemnou polohu přímky :
(
)
a kružnice : (
)
.
Řešení: přímka je tečnou kružnice.
3.) Určete vzájemnou polohu přímky :
a kružnice :
.
Řešení: Přímka je vnější přímkou kružnice.
4.) Určete souřadnice společných bodů os x, y s kružnicí
Řešení: [
] [
].
.
Analytická geometrie
Kružnice
Varianta C
Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky :
přímce :
, její střed leží na
a poloměr je 5.
Příklad:
Mají-li být splněny všechny podmínky ze zadání, musí platit, že (
)
∧
, kde m, n jsou souřadnice středu kružnice.
|
|
√
∧
První rovnici upravíme:
|
(
|
)
|
a z druhé rovnice dosadíme
|
|
|
|
| ⇒
⇒
Dopočítáme souřadnici středu ⇒
Hledané kružnice jsou dvě o rovnicích: (
(
)
)
(
)
a (
)
)
(
)
a (
)
.
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení: (
Varianta B
(
Varianta C
)
.
Příklady k procvičení:
1.) Napište rovnici kružnice, která má střed v bodě [
:
.
] a dotýká se přímky
73
74
Analytická geometrie
Řešení: (
)
(
)
.
2.) Napište rovnici kružnice, která prochází body [
Řešení: (
)
(
)
(
)
(
] [
)
] a dotýká se osy .
.
3.) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy x i osy . Její střed leží na přímce
:
Řešení: (
.
)
(
)
.
4.) Určete rovnice všech kružnic, které se dotýkají osy x, procházejí bodem [
střed na přímce, která prochází středy kružnic o rovnicích
.
Řešení: kružnice neexistuje.
] a mají
Analytická geometrie
75
Tečna kružnice
Jestliže bod
] je bodem kružnice se středem [
[
] a poloměrem r, je bod
bodem dotyku kružnice a její tečny t v tomto bodě.
Tečna má obecnou rovnici
, kde a, b jsou souřadnice normálového vektoru
tečny, tedy vektoru ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
Tečna má tedy rovnici (
)
(
)
Hodnotu c určíme z podmínky, že tečna t prochází bodem
Tedy (
)
(
)
⇒
(
(
)
.
)
(
)
Dosadíme do rovnice tečny a dostaneme:
(
Bod
)
(
)
(
)
(1)
] leží na kružnici, musí proto jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice,
[
takže je dosadíme za x a .
(
)
(
)
(2)
Pokud rovnice (1) a (2) sečteme, dostaneme rovnici tečny ve tvaru
(
) (
)
(
) (
)
Analytická geometrie
76
Tečna kružnice
Varianta A
Ověřte, že bod [
] leží na kružnici :
. Potom napište rovnici
tečny v bodě A ke kružnici k.
Příklad:
Leží-li bod A na kružnici k, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice.
(
)
(
)
Rovnost platí, bod A proto leží na kružnici k.
Rovnici kružnice si upravíme na středový tvar: (
Tečna kružnice v libovolném bodě dotyku [
(
) (
)
(
) (
)
(
)
] má rovnici:
)
Tečnu v bodě A najdeme tak, že do rovnice tečny dosadíme za souřadnice
bodu A.
(
) (
)
(
) (
)
Po úpravě dostaneme:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Výsledek řešení:
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Najděte rovnici tečny kružnice :
v bodě [
].
Řešení:
2.) Najděte rovnici tečny kružnice :
Řešení:
v bodě [
].
souřadnice
Analytická geometrie
3.) Určete všechna reálná čísla m, pro něž je přímka
kružnice :
Řešení:
Řešení:
]
} tečnou
.
{
}
4.) Napište rovnice tečen kružnice :
s přímkou :
{[
77
v jejích průsečících
.
.
Analytická geometrie
78
Tečna kružnice
Varianta B
Napište rovnice tečen kružnice :
, které jsou kolmé k přímce
:
Jakákoliv přímka kolmá k přímce p, má rovnici
.
Přímka má být tečnou, to znamená, že při řešení vzájemné polohy kružnice a přímky musí
vyjít jedno řešení.
Řešíme tedy vzájemnou polohu přímky a kružnice tak, že vyjádříme z rovnice přímky x nebo
y a dosadíme do rovnice kružnice.
Příklad:
(
)
(
)
Kvadratická rovnice má právě jedno řešení, jestliže platí:
(
)
(
.
)
Po úpravě dostaneme
⇒
⇒
(
)
Odtud
Hledané tečny jsou:
:
:
.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
:
:
.
Analytická geometrie
79
Příklady k procvičení:
1.) Napište rovnice tečen kružnice :
s přímkou :
, které jsou rovnoběžné
.
Řešení:
2.) Napište rovnice tečen kružnice : (
s přímkou :
)
(
)
, které jsou rovnoběžné
.
Řešení:
.
3.) Napište rovnice tečen kružnice
, víte-li, že směrnice tečny je
.
Řešení:
4.) Napište rovnici tečny kružnice :
x byla
Řešení:
.
tak, aby odchylka tečny a osy
80
Analytická geometrie
Tečna kružnice
Varianta C
Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu
] ke kružnici :
[
.
Příklad:
Kružnici upravíme na středový tvar: (
)
Tečna této kružnice v libovolném bodě dotyku [
(
) (
] má rovnici:
)
Bod M je vnější bod kružnice, musí ležet na tečně, takže jeho souřadnice musí rovnici tečny
vyhovovat.
(
) (
)
⇒
Protože bod [
] leží na kružnici musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice
dosadíme tedy souřadnici
(
⇒
)
a vypočítáme souřadnici
⇒
⇒
√
Tečny mají tedy rovnice:
√
:
√
:
Odchylku tečen vypočítáme podle vzorce pro odchylku přímek:
√
|
√
(
√
)|
|
|
√
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
⇒
.
Analytická geometrie
81
Příklady k procvičení:
1.) Vypočítejte velikost úhlu, pod kterým je vidět kružnici :
z bodu
Řešení:
[
]
̇
2.) Určete odchylky tečen kružnic
:
:
ve
společných bodech těchto kružnic.
Řešení:
3.) Najděte průsečíky kružnic
:
:
. V každém průsečíku určete tečny obou kružnic a úhel, který tyto tečny svírají.
Řešení: [
] [
]
.
4.) Určete m tak, aby přímka :
byla tečnou kružnice
a určete bod dotyku.
Řešení:
√
[
√
√
[
√
√ ]]
82
Analytická geometrie
Parabola
Parabolu získáme jako průnik rotační kuželové plochy rovinou, která neprochází vrcholem
kuželové plochy a je rovnoběžná právě s jednou přímkou kuželové plochy.
Parabola je množina všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od daného bodu F
jako od dané přímky d, která bodem F neprochází.
Bod F se nazývá ohnisko paraboly, přímka d se nazývá řídící přímka paraboly. Osa o
paraboly je kolmá na řídící přímku a prochází ohniskem F paraboly a vrcholem V paraboly.
Vzdálenost ohniska F od řídící přímky d se nazývá parametr paraboly a značíme ho
(
)
.
Analytické vyjádření paraboly ve vrcholovém tvaru:
1.) [
], osa o paraboly splývá s osou y, ohnisko leží nad vrcholem V:
; rovnice řídící přímky: :
; ohnisko
[
]
Analytická geometrie
], osa o paraboly je rovnoběžná s osou y, ohnisko F leží nad vrcholem V:
2.) [
(
3.) [
)
(
) ; rovnice řídící přímky: :
; ohnisko
[
], osa o paraboly splývá s osou y, ohnisko F leží pod vrcholem V:
; rovnice řídící přímky :
; ohnisko
[
]
]
83
84
Analytická geometrie
], osa o paraboly je rovnoběžná s osou y, ohnisko F leží pod vrcholem V:
4.) [
(
5.) [
)
(
) ; rovnice řídící přímky :
; ohnisko
[
], osa o paraboly splývá s osou x, ohnisko F leží napravo od vrcholu V:
; rovnice řídící přímky :
; ohnisko
[
]
]
Analytická geometrie
], osa o paraboly je rovnoběžná s osou x, ohnisko F leží napravo od vrcholu V:
6.) [
(
7.) [
)
(
) ; rovnice řídící přímky :
; ohnisko
[
], osa o paraboly splývá s osou x, ohnisko F leží nalevo od vrcholu V:
; rovnice řídící přímky :
; ohnisko
[
]
]
85
86
Analytická geometrie
], osa o paraboly je rovnoběžná s osou x, ohnisko F leží nalevo od vrcholu V:
8.) [
(
)
(
) ; rovnice řídící přímky :
; ohnisko
[
]
Vnitřní oblastí paraboly s ohniskem F a řídící přímkou d nazýváme množinu všech bodů X
roviny, pro které platí: |
|
(
).
Analytická geometrie
Parabola
Varianta A
Napište rovnici paraboly, která má vrchol [
] a řídící přímku :
.
Příklad:
Z obrázku je patrné, že parabola má osu rovnoběžnou s osou x, její ohnisko leží nalevo od
vrcholu.
Pracujeme tedy s rovnicí:
(
)
(
)
Vzdálenost vrcholu V od řídící přímky d je rovna
⇒
Dosadíme do rovnice paraboly souřadnice vrcholu a parametr a dostaneme:
(
)
(
)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení: (
)
(
)
87
88
Analytická geometrie
Příklady k procvičení:
1.) Napište rovnici paraboly, která má vrchol [
Řešení: (
)
(
)
(
)
(
] a řídící přímku :
] a řídící přímku :
)
4.) Určete ohnisko a řídící přímku paraboly o rovnici (
Řešení: [
]
:
.
)
3.) Napište rovnici paraboly, která má ohnisko [
Řešení: (
.
)
2.) Napište rovnici paraboly, která má ohnisko [
Řešení: (
] a řídící přímku :
.
)
.
.
Analytická geometrie
89
Parabola
Varianta B
Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku, osa paraboly je shodná s osou y a
parabola prochází bodem [
].
Příklad:
Parabola s vrcholem v počátku a osou shodnou s osou y má rovnici:
Jestliže bod K leží na parabole, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici paraboly, proto je
dosadíme.
⇒
Parabola má tedy rovnici
.
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku, osa paraboly je shodná s osou x a
parabola prochází bodem [
].
Řešení:
2.) Napište rovnici paraboly, znáte-li vrchol [
[
] a víte-li, že prochází bodem
] a zároveň platí, že osa je rovnoběžná s osou .
Řešení: (
)
(
)
3.) Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly dané rovnicí
Řešení: [
]
[
]
:
.
4.) Určete rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y, má vrchol [
prochází bodem [
Řešení:
(
)
].
(
)
.
]a
90
Analytická geometrie
Parabola
Varianta C
Napište rovnici paraboly, která prochází body [
] [
]
[
]
[
].
Příklad:
Vidíme, že parabola má osu rovnoběžnou s osou y a ohnisko nad vrcholem, pracujeme tedy
s rovnicí (
)
(
)
Máme tři neznámé – x, y, z, které vypočítáme dosazením tří bodů do rovnice paraboly.
:(
)
(
)
:(
)
(
)
:(
)
(
)
Po umocnění:
Od druhé rovnice odečteme první a dostaneme:
⇒
Od druhé rovnice odečteme třetí a dostaneme:
Pokud dosadíme
.
⇒
dostaneme
Dopočítáme poslední neznámou dosazením za m a p do kterékoliv ze tří rovnic ⇒
Hledaná parabola je (
)
(
).
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení: (
)
(
)
.
Analytická geometrie
91
Příklady k procvičení:
1.) Napište rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou x a prochází body
[
]
Řešení: (
[
]. Ohnisko je [
)
(
].
)
2.) Napište rovnici paraboly, která prochází body [
] [
]
]. Její osa je
[
rovnoběžná s osou .
Řešení: (
)
(
)
3.) Napište rovnici paraboly, která prochází body [
]
[
je rovnoběžná s osou .
(
)
(
)
4.) Určete souřadnice společných bodů přímky a paraboly, jestliže
:
Řešení: [
:
]
.
]
[
]. Její osa
92
Analytická geometrie
Tečna paraboly
[
] je libovolný bod tečny. Pak tečna paraboly má rovnici:
] je bod dotyku, [
1.) parabola: (
tečna: (
)
)(
2.) parabola: (
tečna: (
(
)
)
)(
)
)
)(
)
)
(
)(
4.) parabola: (
tečna: (
)
)
3.) parabola: (
tečna: (
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
(
)
)
)
(
)
(
)
Poznámka: Osa paraboly a každá přímka s ní rovnoběžná má s parabolou pouze jediný
společný bod, tyto přímky však nepovažujeme za tečny paraboly.
Analytická geometrie
93
Tečna paraboly
Varianta A
Napište rovnici tečny k parabole
v jejím bodě [
].
Příklad:
Rovnici paraboly přepíšeme do vrcholového tvaru: (
Tečna této paraboly v bodě dotyku [
(
)(
)
(
)
(
)
(
] má rovnici:
)
Bod K je bodem dotyku, proto jeho souřadnice dosadíme za
(
)(
)
.
⇒ tečna má rovnici
)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Výsledek řešení:
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Určete rovnici tečny paraboly
v jejím bodě [
].
Řešení:
2.) Určete rovnici tečny paraboly
v jejím bodě [
].
Řešení:
3.) Napište rovnici tečny k parabole
v jejím bodě [
]
Řešení:
4.) Ověřte, že bod [
tečny v tomto bodě.
Řešení:
] leží na parabole
a potom napište rovnici
94
Analytická geometrie
Tečna paraboly
Varianta B
Napište rovnici tečny paraboly
:
rovnoběžné s přímkou
.
Příklad:
Jakákoliv rovnoběžka s přímkou p má rovnici
. Pokud to má být tečna, musí
při řešení vzájemné polohy paraboly a přímky vyjít jedno řešení.
Vyjádříme jednu neznámou z rovnice přímky:
(
a dosadíme do rovnice paraboly:
)
Po úpravě
Musí platit:
⇒
(
)
⇒
Tečna má rovnici:
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Napište rovnice tečen paraboly
:
, které jsou rovnoběžné s přímkou
.
Řešení:
2.) Napište rovnice tečen paraboly
Řešení:
, které jsou kolmé k přímce :
.
Analytická geometrie
3.) Parabola je dána rovnicí
kolmé k přímce
. Určete rovnice všech tečen paraboly, které jsou
.
Řešení:
4.) Parabola je dána rovnicí
obsahují bod [
Řešení:
].
95
. Určete rovnice všech tečen paraboly, které
96
Analytická geometrie
Tečna paraboly
Varianta C
Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu
[
] k parabole
.
Příklad:
Tečna této paraboly v bodě dotyku [
] má rovnici
Bod M leží na této tečně, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat rovnici tečny:
(
)
⇒
Bod dotyku leží na tečně a současně na parabole, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat
rovnici paraboly:
⇒
Máme tedy dva body dotyku
[
]
[
].
Můžeme tedy napsat rovnice obou tečen:
:
⇒
:
⇒
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Výsledek řešení:
:
Varianta C
:
⇒
⇒
Příklady k procvičení:
1.) Rozhodněte, zda lze z bodu
[
] sestrojit tečny k parabole
.
Řešení: nelze
2.) Napište rovnici tečny paraboly
Řešení:
procházející bodem
[
].
Analytická geometrie
3.) Vypočítejte odchylku tečen kružnice
a paraboly
v jejich
společných bodech.
Řešení:
4.) Určete rovnici každé tečny paraboly o rovnici
odchylku
Řešení:
.
, která má od osy paraboly
97
98
Analytická geometrie
Elipsa
Elipsu získáme jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou, která není kolmá na osu této
plochy a neprochází jejím vrcholem. Lze ji také získat jako průnik rotační válcové plochy a
roviny, která není s osou válcové plochy rovnoběžná.
Elipsa je množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou pevně daných bodů E, F
konstantní součet vzdáleností; toto číslo značíme 2a.
|
|
|
|
] je střed elipsy; body E, F se nazývají ohniska elipsy, přičemž platí |
Bod [
|
|
, kde číslo e se nazývá excentricita ( výstřednost ) elipsy. Přímka EF se nazývá
hlavní osa elipsy, body A, B jsou hlavní vrcholy elipsy a platí |
|
|
|
,|
Číslo a je délka hlavní poloosy. Body C, D jsou vedlejší vrcholy elipsy a platí |
|
|
|
|
|
|
|
, číslo b je délka vedlejší poloosy. Přímka CD se nazývá vedlejší osa
elipsy.
Z pravoúhlého trojúhelníku SCF platí podle Pythagorovy věty:
.
.
Analytická geometrie
Analytické vyjádření elipsy:
[
[
[
]; hlavní osa leží na ose x:
]; hlavní osa je rovnoběžná s osou x:
]; hlavní osa leží na ose y:
(
)
(
)
99
100
[
Analytická geometrie
]; hlavní osa je rovnoběžná s osou y:
(
)
(
)
Vnitřní oblast elipsy s ohnisky E, F a s hlavní osou délky
všech bodů X roviny, pro které platí:|
|
|
|
|
| nazýváme množinu
.
Elipsa a přímka
Přímka, která leží v rovině elipsy a má s elipsou jeden společný bod, je tečnou elipsy. Má-li
přímka s elipsou dva společné body, nazývá se sečna. Vzájemnou polohu řešíme dosazením
z rovnice přímky do rovnice elipsy.
Analytická geometrie
101
Elipsa
Varianta A
Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [
]
] a hlavní poloosu 5.
[
Příklad:
Střed elipsy je střed úsečky EF ⇒ [
] podle polohy ohnisek vidíme že elipsa má osu
rovnoběžnou s osou .
|
|
;
U elipsy platí:
√
⇒
√
√
√
Rovnice elipsy tedy je:
(
)
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
(
)
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [
Řešení:
(
)
(
(
)
(
]
[
] a hlavní vrchol [
]
[
] a hlavní vrchol
].
Řešení:
(
)
(
)
4.) Napište rovnici elipsy, znáte-li jedno ohnisko [
[
] a vedlejší poloosu 3.
)
3.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [
[
[
)
2.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [
Řešení:
]
]
Řešení:
[
(
].
)
(
)
] a vedlejší vrcholy
].
Analytická geometrie
102
Elipsa
Varianta B
Určete, pro které hodnoty parametru
má přímka :
s elipsou
a) právě jeden společný bod; b) dva společné body; c) žádný společný bod
Vzájemnou polohu přímky a elipsy řešíme dosazením z rovnice přímky do rovnice elipsy.
Podle diskriminantu rozhodujeme o počtu řešení.
Příklad:
Vzájemnou polohu přímky a elipsy řešíme dosazením z rovnice přímky do rovnice elipsy.
Podle diskriminantu rozhodujeme o počtu řešení.
(
)
(
)
(
a)
⇒
b)
⇒
(
c)
⇒
( √
)
√ )
⇒
⇒
(√
⇒
√
)
√ )
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Výsledek řešení: a)
√ ; b)
( √
c)
Varianta C
(
√ )
(√
)
√ )
Příklady k procvičení:
1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky :
Řešení: p je sečna elipsy;
[
]
[
]
a elipsy o rovnici
.
Analytická geometrie
2.) Určete, pro které hodnoty parametru
má přímka
s elipsou o rovnici
právě jeden společný bod, dva společné body, žádný společný bod.
Řešení:
(
)
(
3.) Určete délku tětivy, kterou vytíná elipsa
)
(
)
na přímce
.
Řešení: √
4.) Vypočítejte délku tětivy elipsy o rovnici
kvadrantu.
Řešení: √
, která leží na ose I. A III.
103
104
Analytická geometrie
Elipsa
Varianta C
Napište rovnici elipsy, která má osy rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, střed [
prochází body [
] [
].
Příklad:
Rovnice elipsy se středem [
(
] je:
)
(
)
V rovnici máme dvě neznámé (a, b), které vypočítáme dosazením obou zadaných bodů do
rovnice elipsy za x a .
(
)
(
)
∧
(
)
(
)
Řešíme tedy soustavu dvou rovnic
∧
Z první rovnice vyjádříme výraz
a dosadíme do rovnice druhé
Po úpravě dostaneme
Hledaná elipsa má tedy rovnici
(
)
(
)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
(
)
(
)
]a
Analytická geometrie
105
Příklady k procvičení:
1.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu totožnou s osou x, její střed je v počátku
soustavy souřadnic, hlavní poloosa má délku 4 a elipsa prochází bodem
[
√
].
Řešení:
2.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou x, střed [
], hlavní
poloosa je dvakrát delší než vedlejší poloosa a elipsa prochází počátkem soustavy souřadnic.
Řešení:
(
)
(
)
3.) Napište rovnici elipsy, která má osy shodné s osami soustavy souřadnic a prochází body
[ √
] [
√ ].
Řešení:
4.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu totožnou s osou y, střed má v počátku soustavy
souřadnic, hlavní poloosa má délku √ a elipsa prochází bodem
Řešení:
[
√
].
Analytická geometrie
106
Hyperbola
Hyperbolu získáme jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou, která neprochází vrcholem
kuželové plochy. Úhel, který svírá rovina s osou kužele, je menší než úhel, který svírají osa
kužele a strana kužele.
Hyperbola je množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou daných bodů E, F roviny
konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností; toto číslo značíme 2a.
] je střed hyperboly, body
Bod [
Platí: |
|
Přímka
Platí: |
|
|
je excentricita (výstřednost) hyperboly.
,
se nazývá hlavní osa hyperboly, body
|
|
|
|
hyperbola nemá, body
|
jsou ohniska hyperboly.
|
, číslo
|
; číslo
jsou hlavní vrcholy hyperboly.
je délka hlavní poloosy. Vedlejší vrcholy
vnímáme jako pomocné body, pro které platí: |
je délka vedlejší poloosy, přímka
|
|
|
se nazývá vedlejší osa
hyperboly.
Mezi čísly
platí vztah odvozený na základě Pythagorovy věty:
√
Hyperbola má dvě asymptoty, které procházejí středem hyperboly.
, takže
Analytická geometrie
Analytické vyjádření hyperboly a jejích asymptot:
1.)
[
]; hlavní osa leží na ose x
; rovnice asymptot:
:
:
107
Analytická geometrie
108
]; hlavní osa je rovnoběžná s osou x
2.) [
(
)
(
)
rovnice asymptot:
:
(
)
:
(
)
Analytická geometrie
3.) S[
]; hlavní osa leží na ose y
; rovnice asymptot:
:
:
109
110
Analytická geometrie
]; hlavní osa je rovnoběžná s osou y
4.) S[
(
)
(
)
;
:
rovnice asymptot:
(
)
:
(
Speciálním případem je rovnoosá hyperbola. Platí:
Vnitřní oblastí jedné větve hyperboly s ohnisky
nazýváme množinu všech bodů
)
⇒
a hlavní osou délky
roviny, pro které platí |
druhé větve téže hyperboly nazýváme množinu všech bodů
|
|
|
|
.
√
√
|
|
|
(
√ .
|
|)
; vnitřní oblastí
roviny, pro které platí
Analytická geometrie
Hyperbola
Varianta A
Najděte střed, ohniska, vrcholy a rovnice asymptot hyperboly:
Příklad:
Rovnici hyperboly upravíme na středový tvar
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Z rovnice hyperboly nyní určíme velikost hlavní poloosy, vedlejší poloosy a excentricity:
⇒
√
⇒
√
Souřadnice vrcholů a ohnisek tedy jsou:
[
]
[
] [
]
[
(
Asymptoty:
√
]
[
].
√
)
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení: [
Varianta B
[
] [
(
]. Asymptoty:
√
Varianta C
]
(
Asymptoty:
Příklady k procvičení:
]
[
]
√
[
)
)
1.) Najděte střed, ohniska, vrcholy a rovnice asymptot hyperboly:
Řešení:
[
]
Asymptoty:
[
]
[
(
]
)
[
] [
]
[
√
]
[
√
].
111
Analytická geometrie
112
2.) Najděte střed, ohniska, délku obou poloos, excentricitu a rovnice asymptot hyperboly:
(
)
(
)
Řešení:
[
]
√
[
]
√
[
(
]
√
3.) Najděte střed, ohniska, délku obou poloos, excentricitu a rovnice asymptot hyperboly:
(
Řešení: [
)
]
√
√
[
√
]
[
√
]
√
4.) Najděte střed, ohniska, délku obou poloos, excentricitu a rovnice asymptot hyperboly:
Řešení: [
]
√
[
√
]
[
√
]
)
Analytická geometrie
113
Hyperbola
Varianta B
Napište rovnici hyperboly, která má ohniska [
]
] a hlavní vrchol [
[
].
Příklad:
Určíme souřadnice středu hyperboly, jde o střed úsečky
Vzdálenost bodů
je velikost hlavní poloosy
excentricity ⇒
, takže délka vedlejší poloosy je
[
⇒
].
, vzdálenost bodů
√
je délka
.
Rovnice hyperboly tedy je:
(
)
(
)
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
(
)
(
)
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Napište rovnici hyperboly, která má ohniska v bodech [
]
[
] a hlavní poloosu
o délce 8.
Řešení:
(
)
2.) Napište rovnici hyperboly s ohnisky [
Řešení:
(
)
(
]
)
3.) Napište rovnici rovnoosé hyperboly s ohnisky
Řešení:
(
)
(
Řešení:
].
(
)
(
[
]
[
].
)
4.) Napište rovnici hyperboly, která má vrcholy [
[
] a vedlejší poloosou o délce 4.
[
)
]
[
] a jedno ohnisko
114
Analytická geometrie
Hyperbola
Varianta C
Napište rovnici hyperboly, která má osy rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, střed
] a prochází body
[
[
]
[
].
Příklad:
Dosadíme do středové rovnice hyperboly souřadnice středu:
(
)
(
)
, proto jeho souřadnice musí vyhovovat rovnici hyperboly:
(
)
(
)
⇒
, proto jeho souřadnice musí také vyhovovat rovnici hyperboly:
Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Z druhé rovnice vyjádříme
A dosadíme do rovnice první
(
)
Po roznásobení závorky
⇒
⇒
Rovnice hledané hyperboly tedy je
(
)
(
)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
(
)
(
)
⇒
Analytická geometrie
115
Příklady k procvičení:
1.) Napište rovnici hyperboly, která prochází bodem
[
√ ]
[
[
] a má ohniska v bodech
√ ].
Řešení:
2.) Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty
:
a jeden vrchol je [
:
mají rovnice
].
Řešení:
3.) Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty
Řešení:
) a jedno její ohnisko je [
(
:
(
mají rovnice
]
)
4.) Napište rovnici hyperboly, která prochází počátkem soustavy souřadnic a její asymptoty
jsou
:
Řešení:
(
:
)
(
)
.
116
Analytická geometrie
Elipsa, hyperbola, přímka, tečny
Elipsa a přímka
Přímka, která leží v rovině elipsy, je tečnou elipsy, má-li s elipsou jeden společný bod. Má-li
přímka s elipsou dva společné body, je sečnou elipsy.
Tečna elipsy
Tečna elipsy
v jejím bodě [
(
)
(
)
(
] má rovnici
v jejím bodě [
)(
)
] má rovnici
(
)(
)
Hyperbola a přímka
Asymptota nemá s hyperbolou žádný společný bod, přímka od ní různá, ale s ní rovnoběžná,
protíná hyperbolu právě v jednom bodě. Každá další přímka buď protíná hyperbolu ve dvou
různých bodech, pak je sečna, nebo má s hyperbolou společný právě jeden bod, pak jde o
tečnu, nebo nemá s hyperbolou žádný společný bod.
Tečna hyperboly
v jejím bodě [
] má rovnici
Analytická geometrie
Tečna hyperboly
(
)
(
)
(
)(
Tečna hyperboly
Tečna hyperboly
v jejím bodě [
)
(
v jejím bodě [
(
)
(
(
)
] má rovnici
)(
] má rovnici
v jejím bodě [
)(
)
)
(
] má rovnici
)(
)
117
118
Analytická geometrie
Elipsa, hyperbola, přímka, tečny
Varianta A
Určete, pro které hodnoty parametru
má daná přímka s hyperbolou
a) právě jeden společný bod
b) dva společné body
c) žádný společný bod
:
:
Příklad:
O počtu společných bodů rozhoduje diskriminant při řešení kvadratické rovnice, kterou
dostaneme při řešení vzájemné polohy přímky a hyperboly. Z rovnice přímky tedy dosadíme
do rovnice hyperboly.
(
)
Po úpravě
(
⇒
)
Vyjádříme diskriminant
(
)
a) Přímka má s hyperbolou jeden společný bod, pokud je
.
√
b) Přímka má s hyperbolou dva společné body, pokud je
( √
√ )
c) Přímka nemá s hyperbolou společný bod, pokud je
(
Poznámka: pro
.
√ )
(√
jde o asymptotickou přímku.
.
)
Analytická geometrie
119
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Výsledek řešení:a)
Varianta C
c)
(
√ )
( √
√ ; b)
(√
√ )
;
)
Příklady k procvičení:
1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky :
Řešení:
je asymptotická přímka hyperboly,
a hyperboly
[
]
2.) Určete souřadnice všech společných bodů hyperboly
:
Řešení: [
a přímky
:
.
]
3.) Určete souřadnice společných bodů hyperboly
:
a přímky
:
.
Řešení:
4.) Určete souřadnice společných bodů přímky
.
Řešení: [
.
] [
]
a elipsy
Analytická geometrie
120
Elipsa, hyperbola, přímka, tečny
Varianta B
Ověřte, že bod
[
]
leží na elipse a potom napište rovnici tečny v bodě
elipsy.
:
Příklad:
Má-li bod
ležet na elipse, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici elipsy.
Po dosazení dostaneme
Bod
je tedy bodem elipsy.
Rovnici elipsy nyní upravíme na tvar
(
)
Tečna této elipsy v libovolném bodě dotyku o souřadnicích [
(
)(
] má rovnici
)
Dosadíme souřadnice bodu dotyku
(
)(
)
⇒
Hledaná tečna má rovnici
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Ověřte, že bod
[
Řešení:
]
:
leží na hyperbole a potom napište rovnici tečny v bodě
hyperboly.
Analytická geometrie
2.) Napište rovnice tečen elipsy
:
121
, která je rovnoběžná s přímkou
:
.
Řešení:
3.) Napište rovnice tečen hyperboly
, které jsou kolmé k přímce :
:
.
Řešení:
4.) Určete délku tětivy, kterou vytíná hyperbola
Řešení: √
:
na přímce
.
122
Analytická geometrie
Elipsa, hyperbola, přímka, tečny
Varianta C
Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu
[
] k hyperbole
.
Příklad:
Rovnici hyperboly upravíme na tvar
(
)
Libovolná tečna této hyperboly v bodě dotyku
(
Bod
)(
] má rovnici
[
)
má ležet na tečně hyperboly, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat při dosazení za
.
(
)(
Hledaný bod dotyku [
)
⇒
] leží na hyperbole, jeho souřadnice tedy musí vyhovovat
rovnici hyperboly
(
)
⇒
Můžeme tedy napsat rovnice tečen:
:(
:(
)(
)
)(
)
(
)
Po úpravě
:
:
Odchylka tečen je
, protože vidíme podle normálových vektorů obou přímek, že přímky
jsou na sebe kolmé.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
.
Analytická geometrie
123
Příklady k procvičení:
1.) Napište rovnici tečny hyperboly
Řešení:
tak, aby odchylka tečny a osy x byla
.
√
2.) Pro která reálná čísla m přímka o rovnici
a) protíná hyperbolu o rovnici
b) dotýká se jí
c) nemá s ní společné body?
Řešení:
a)
(
√
)
b)
{ √
√
}
c)
( √
√
)
(√
)
3.) Vypočítejte odchylku tečen hyperboly o rovnici
[
, které procházejí bodem
].
Řešení:
4.) Napište rovnici tečny elipsy
Řešení:
√
√
tak, aby odchylka tečny a osy
byla
.
124
Analytická geometrie
Kulová plocha
Kulová plocha (sféra) je množina všech bodů v prostoru, které mají od daného bodu S (středu
kulové plochy) danou vzdálenost r, tzv. poloměr kulové plochy.
Má-li střed kulové plochy souřadnice [
[
] a poloměr kulové plochy je r, pak bod
] je bodem kulové plochy právě tehdy, jestliže platí:
(
)
(
)
(
)
Koule je množina všech bodů v prostoru, které mají od daného bodu S (středu koule)
vzdálenost menší nebo rovnu danému číslu, tzv. poloměru koule.
Má-li střed koule souřadnice [
] a poloměr koule je r, pak bod [
] je bodem
koule právě tehdy, jestliže platí:
(
)
(
)
(
)
Vzájemná poloha roviny a kulové plochy (koule)
Průnikem kulové plochy (koule) a roviny je kružnice (kruh), bod nebo prázdná množina.
Závisí to na vzdálenosti roviny od středu kulové plochy (koule).
Je-li vzdálenost roviny od středu kulové plochy (koule) větší než její poloměr, je průnikem
prázdná množina.
Analytická geometrie
125
Je-li vzdálenost roviny od středu kulové plochy (koule) menší než její poloměr, průnikem je
kružnice (kruh).
Je-li vzdálenost roviny od středu kulové plochy (koule) rovna jejímu poloměru, průnikem je
bod, který nazýváme bod dotyku. Rovinu v tomto případě nazýváme tečná rovina.
Vzájemná poloha přímky a kulové plochy
Přímka má s kulovou plochou nejvýše dva společné body. Vzájemná poloha závisí na
vzdálenosti přímky od středu kulové plochy.
Je-li vzdálenost přímky od kulové plochy menší než její poloměr, má přímka s kulovou
plochou dva společné body.
Je-li vzdálenost přímky od středu kulové plochy větší než její poloměr, je průnikem prázdná
množina.
Je-li vzdálenost přímky od středu kulové plochy rovna jejímu poloměru, je průnikem jediný
bod, který nazýváme bod dotyku. Přímka je tečnou kulové plochy.
126
Analytická geometrie
Vzájemná poloha přímky a koule
Je-li vzdálenost přímky od středu koule menší než její poloměr, je průnikem úsečka.
Je-li vzdálenost přímky od středu koule větší než její poloměr, je průnikem prázdná množina.
Je-li vzdálenost přímky od středu koule rovna poloměru koule, je průnikem jediný bod, který
nazýváme bod dotyku.
Analytická geometrie
127
Kulová plocha
Varianta A
Určete všechny hodnoty parametru
, pro něž rovnice
vyjadřuje kulovou plochu.
Příklad:
Rovnici upravíme na středový tvar
(
)
(
(
)
)
(
)
Rovnice bude rovnicí kulové plochy právě tehdy, jestliže pravá strana rovnice bude
větší než 0 ⇒
⇒
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici
Také určete průsečíky os souřadnic
Řešení: [
[
√
s kulovou plochou.
průsečík s osou x a s osou
]
] [
.
neexistuje
√ ]
2.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici
určete průsečíky souřadnicových os
Řešení: [
]
√
. Také
s kulovou plochou.
[
] [
] [
] [
]
Analytická geometrie
128
3.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici
Také určete průsečíky souřadnicových os
Řešení: [
[
(
]
√
√
) ];[
(
.
s kulovou plochou.
[
√
√
) ] [
] [
]
√
√ ] [
√ ]
4.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici
Také určete průsečíky souřadnicových os
Řešení: [
[
]
√
] [
√
[
√
.
s kulovou plochou.
√
] [
] [
] [
]
√
]
Analytická geometrie
129
Kulová plocha
Varianta B
Napište rovnici kulové plochy, která má střed [
] a prochází bodem [
].
Pak určete průsečíky této plochy s přímkami, které procházejí bodem A a jsou rovnoběžné
s osami soustavy souřadnic.
Příklad:
Určíme poloměr kulové plochy jako vzdálenost bodů A a S.
|
|
)
√(
(
)
(
)
√
√
Rovnice kulové plochy tedy je
(
)
(
)
(
)
Přímka, která prochází bodem A a je rovnoběžná s osou x, má parametrické vyjádření
Vzájemnou polohu kulové plochy a přímky řešíme dosazením parametrických rovnic přímky
do rovnice kulové plochy
(
Průsečíky mají souřadnice:
)
[
(
)
(
)
(
]
[
)
]
Přímka, která prochází bodem A a je rovnoběžná s osou y, má rovnici
Dosadíme do rovnice kulové plochy
(
)
(
)
(
Průsečíky mají souřadnice.
[
]
(
)
)
[
]
130
Analytická geometrie
Přímka, která prochází bodem A a je rovnoběžná s osou z, má rovnici
Dosadíme do rovnice kulové plochy
(
)
Průsečíky mají souřadnice:
(
)
[
(
)
]
[
]
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:(
Varianta B
)
(
)
(
)
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Určete průsečíky kulové plochy dané rovnicí (
která prochází bodem [
Řešení: [
] [
Řešení: [
)
(
a přímky,
)
] a je rovnoběžná se souřadnicovou osou z.
]
2.) Jsou dány body [
rovnicí (
)
(
]
]. Určete společné body kulové plochy dané
[
a polopřímky BA.
)
] [
]
3.) Je dána přímka :
]. Najděte rovnici
a bod [
kulové plochy, která má střed v bodě A a s přímkou p má právě jeden společný bod.
Řešení: (
)
(
)
(
)
4.) Mezi kulovými plochami, které mají rovnice (
určete ty, které mají s přímkou
jeden společný bod.
Řešení:
)
(
)
(
)
právě
Analytická geometrie
131
Kulová plocha
Varianta C
Určete rovnice kulové plochy, která prochází body
[
]
[
]
[
]
]. Určete rovnice tečných rovin kulové
[
plochy v bodech A, B a odchylku těchto tečných rovin.
Příklad:
Do středové rovnice kulové plochy budeme postupně dosazovat jednotlivé body.
(
)
(
)
(
)
)
(1)
(
(
(
)
(
)
(
)
(2)
)
(
(3)
)
(4)
Po umocnění a sečtení
(1)
(2)
(3)
(4)
Od rovnice (1) odečteme rovnici (2)
⇒
Od rovnice (1) odečteme rovnici (3)
⇒
Od rovnice (1) odečteme rovnici (4)
⇒
Dostáváme soustavu tří rovnic o třech neznámých, kterou vyřešíme
Po vyřešení soustavy dostaneme
Dopočítáme poloměr kulové plochy dosazením do některé z rovnic s výrazem
Kulová plocha má tedy rovnici
(
)
Normálový vektor tečné roviny v bodě A je:⃗⃗⃗⃗
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
⇒
Analytická geometrie
132
Tečná rovina má tedy rovnici
Normálový vektor tečné roviny v bodě B je: ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
Tečná rovina má tedy rovnici
Odchylka tečných rovin je odchylka normálových vektorů
√
⇒
√
Příklad:
Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1.) Určete společné body kulové plochy
[
]
Řešení: [
[
a přímky
].
] [
]
2.) Mezi rovinami, které mají rovnice
určete ty, které se
dotýkají kulové plochy o rovnici
. (Využijte střed a poloměr
kulové plochy).
Řešení:
√
3.) Určete tečné roviny kulové plochy o rovnici (
)
v jejích bodech [
].
]
[
]
[
(
)
(
)
Řešení:
4.) Je dána kulová plocha
a bod [
rovnici roviny, která se dotýká dané kulové plochy v bodě A.
Řešení:
.
]. Určete
Download

Analytická geometrie - Student na prahu 21. století