APOLLONIOVY ÚLOHY
Apolloniova úloha má své jméno podle řeckého geometra Apollonia z Pergy (262 – 200 př. n. l.), který se
touto úlohou zabýval a řešil ji v díle "O dotycích". Jedná se o dvousvazkovou práci, která se bohužel
nedochovala. Nemůžeme tudíž s určitostí říci, jakým způsobem Apollonius úlohu řešil. Podle francouzského
matematika Vièta podal Apollonius obecné řešení dilatací (poměr přírůstku délky úsečky k původní délce
úsečky), to Vièt uvedl ve svém díle „Apollonius Gallus..." z roku 1600 n. l..
Apollonius formuloval úlohu nejprve pro tři zadané kružnice, později byly tyto kružnice postupně
nahrazeny bodem (kružnice o nulovém poloměru) a přímkou (kružnice o nekonečně velkém poloměru).
Originální znění se nezachovalo. Je však známa reprodukce úlohy v díle "Mathématikai synagogai" (důležitý
pramen historie matematiky obsahující výňatky ze ztracených matematických spisů) řeckého matematika
Pappose Alexandrijského (3. stol. n. l.).
Paposs uvádí úlohu v následujícím znění:
"Nechť jsou dány tři předměty, z nichž každý může být bodem, přímkou nebo kruhem; má se narýsovat kruh,
který prochází každým z daných bodů (jsou-li dány jen body) a dotýká se daných přímek či kruhů.".
Z výše uvedeného zadání je možno vypozorovat počet možných variant úlohy. Hledáme vždy skupiny tří
objektů ze třech druhů (Bodů, přímek, kružnic), přičemž pořadí daných objektů není podstatné. Tvoříme
kombinace s opakováním třetí třídy z podmínek K′(k,n)= K′(3,3)=(n+k−1, k)=(3+3−1, 3)=(5, 3)=10 . Je tedy 10
různých případů (BBB (bod-bod-bod), BBp (bod-bod-přímka), BBk (bod-bod-kružnice), Bpp, Bpk, Bkk, ppp,
ppk, pkk a kkk), přičemž obecná úloha má nejvýše 8 řešení.
Apolloniova úloha se těšila velkému zájmu v celé své historii. Zabývali se jí význační matematici jako
například již zmiňovaný Vièt, dále také Fermat, Newton, Euler a další. Již Eukleides se ve své 4. knize
Základů věnuje vyšetřování dvou typů Apolloniových úloh. Kniha pojednává o kružnicích opsaných a
vepsaných trojúhelníku, tj. nalezení kružnice procházející třemi body nebo dotýkající se třech přímek.
My se budeme zabývat řešením Apolloniovy úlohy pouze eukleidovskými prostředky. I Paposs ve
svém díle uvádí požadavek Apollonia – řešení Apolloniovy úlohy pomocí kružítka a pravítka, přičemž již
Apollonius znal stejnolehlost a kruhovou inverzi. Jsou známé také jiné metody, např. užitím kuželoseček,
cyklografie, deskriptivní geometrií, geometrií projektivní (kolineací) apod., avšak těmito metodami se
zabývat nebudeme. Budeme využívat k řešení úloh metody množin všech bodů dané vlastnosti a konstrukci
metodou geometrických zobrazení (konkrétně stejnolehlosti).
1.
Apolloniova úloha typu BBB: Sestrojte kružnici l, která prochází body A, B, C.
Vzájemná poloha vstupních prvků:
1. body A, B, C leží na jedné přímce
0 řešení
2. body A, B, C neleží na jedné přímce
řešíme metodou MBDV
1 řešení
Rozbor:
Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti.
Jelikož jsou body A, B, C nekolineární, jedná se o konstrukci kružnice opsané danému trojúhelníku,
určeného třemi zadanými body. K řešení použijeme metodu množin bodů dané vlastnosti. Hledaný střed
kružnice je bodem průniku os úseček AB, BC a AC (množina středů všech kružnic, které procházejí dvěma
různými body).
Zápis konstrukce:
1. o1 ; osa úsečky AB
2. o2 ; osa úsečky BC
3. O; O= o1∩o2
4. l; l(O;|AO|)
1
Konstrukce:
C
l
o2
O
B
A
o1
Diskuse:
Každá z úseček AB, BC, AC má právě jednu osu. Tyto osy jsou různoběžné přímky, které se protnou právě v
jednom bodě O → úloha má právě jedno řešení.
2.
Apolloniova úloha typu BBp: Sestrojte kružnici l, která prochází body A, B a dotýká se přímky p.
Vzájemná poloha vstupních prvků:
1.
body A, B leží na přímce p
2.
právě jeden z bodů A, B leží na přímce p
3.
žádný z bodů A, B neleží na přímce p
0 řešení
Pappova úloha typu BpT
a) body A, B leží v opačných polorovinách určených
přímkou p
1 řešení
0 řešení
b) body A, B leží ve stejné polorovině určené přímkou p
-
přímka AB je rovnoběžná s přímkou p
řešíme metodou MBDV
1 řešení
přímka AB je různoběžná s přímkou p
řešíme využitím mocnosti bodu
ke kružnici
nebo kruhové inverze
2 řešení
-
2 řešení
Rozbor:
Řešíme využitím mocnosti bodu ke kružnici.
Přímka AB protne přímku p v bodě M. Přímka p je tečnou hledané kružnice l, má s ní tedy právě
jeden společný bod T. Bod T nalezneme s využitím mocnosti bodu ke kružnici. Jelikož body A, B leží na
kružnici l, platí m =|MA|⋅|MB|. Pro dotykový bod T přímky p a kružnice l potom platí |MT|2 =|MA|⋅|MB|.
Vzdálenost MT určíme pomocí Eukleidovy věty o odvěsně, tj. |MT|=|MA|⋅|MB|. Bod T získáme
jako průnik přímky p s kružnicí se středem v bodě M a poloměrem MT. Úlohu tak převedeme na nalezení
kružnice opsané trojúhelníku ABT (viz úloha BBB).
Zápis konstrukce:
1. M; M∈( AB∩p )
2. T 1 , T 2 ; T∈ p ∧ | MT |= | MA |⋅| MB |
3. l 1 , l 2 ; l kružnice opsaná bodům ABT
2
Konstrukce:
l1
O1
M
B
A
B
T
O2
A
T1
M
T2
l2
p
Diskuse:
Kružnice se středem v bodě M a poloměrem MT protne přímku p ve dvou bodech → úloha má dvě řešení.
3.
Apolloniova úloha typu BBk: Sestrojte kružnici l, která prochází body A, B a dotýká se kružnice
k(S,r).
Vzájemná poloha vstupních prvků:
1.
body A, B leží na kružnici k
2.
právě jeden z bodů A, B leží na kružnici k
3.
žádný z bodů A, B neleží na kružnici k
a)
b)
0 řešení
Pappova úloha typu BkT
jeden z bodů leží vně a druhý uvnitř kružnice k
0 řešení
řešíme s využitím potenčního
středu
nebo kruhovou inverzí
oba body leží vně nebo uvnitř kružnice k
1 řešení
2 řešení
2 řešení
Rozbor:
Řešíme s využitím potenčního středu a metodou množin bodů dané vlastnosti.
Hledaná kružnice l prochází body A, B, proto její střed leží na ose o úsečky AB. Kružnice l se dotýká
zadané kružnice k v neznámém bodě T. Tečna kružnice k, která prochází bodem T, je společnou tečnou
kružnic l, k a zároveň i jejich chordálou. Zvolme kružnici l', která prochází body A, B a protíná kružnici k ve
dvou bodech, pak přímka AB je chordálou kružnice l a l'.
Najdeme-li potenční střed P kružnic l, l' a k, potom chordála kružnic l a k, která prochází potenčním
středem, je tečnou z bodu P ke kružnici k. Dotykový bod této tečny a kružnice k je bod T. Střed hledané
kružnice l patří do množiny středů všech kružnic, které se dotýkají kružnice k v bodě T, tj. přímka ST bez
bodů S, T.
Zápis konstrukce:
1. o; osa úsečky AB
2. l ′ ; libovolně tak, aby procházela body AB a protínala kružnici k
3. X,Y; l ′ ∩k
4. P; AB∩XY
3
5.
6.
7.
8.
t 1 , t 2 ; tečny z bodu P ke kružnici k
T 1 , T 2 - tečné body
O; O=ST∩o
l; l(O;|OT |)
Konstrukce:
P
t2
t
1
T2
A
X
S
o
T
1
k
O1
l
O2
Y
B
1
l´
l2
Diskuse:
Jestliže osa o úsečky AB neprochází středem S zadané kružnice k, jsou chordály kružnic l, l', k navzájem
různoběžné přímky, které se protínají právě v jednom bodě P. Z bodu P lze k dané kružnici k vést právě dvě
tečny, čímž získáme dva body T → úloha má dvě řešení.
Jestliže osa o úsečky AB prochází středem S zadané kružnice k, jsou chordály kružnic l, l', k navzájem
rovnoběžné přímky, kolmé k ose o. Osa o je střednou kružnic k, l. Potenční střed P neexistuje. Společná
tečna t kružnic k, l je kolmá na střednou těchto kružnic a hledaný dotykový bod T je průsečíkem osy o a
kružnice k. Získáme tak opět dva průsečíky → úloha má dvě řešení.
4.
Apolloniova úloha typu Bpp: Sestrojte kružnici l, která prochází bodem B a dotýká se přímek p1,
p2.
Vzájemná poloha vstupních prvků:
1.
přímky p1, p2 jsou rovnoběžné
a) bod B neleží na žádné ze zadaných přímek, leží vně
pásu určeného přímkami p1, p2
2.
0 řešení
b) bod B leží na jedné ze zadaných přímek
Pappova úloha typu ppT
1 řešení
c) bod B neleží na žádné ze zadaných přímek, leží uvnitř
pásu určeného přímkami p1, p2
řešíme metodou MBDV
2 řešení
přímky p1, p2 jsou různoběžné
a) bod B je průsečíkem přímek p1, p2
0 řešení
4
b) bod B leží na jedné ze zadaných přímek
Pappova úloha typu ppT
2 řešení
c) bod B neleží na žádné ze zadaných přímek
řešíme pomocí stejnolehlosti
nebo kruhové inverze
2 řešení
2 řešení
Rozbor:
Řešíme s využitím stejnolehlosti.
Hledaná kružnice se dotýká přímek p1 a p2, proto střed O leží na ose o úhlu určeného přímkami p1 a
p2, jemuž náleží bod B.
Nyní musíme zajistit, aby kružnice splňovala i podmínku třetí – procházela bodem B. Podle vět o
stejnolehlosti dvou kružnic víme, že jsou každé dvě kružnice stejnolehlé. Speciálně v tomto případě jsou
stejnolehlé hledaná kružnice l a zvolená kružnice l', a to ve stejnolehlosti se středem P (P∈( p 1 ∩ p 2 ) ).
Bod B leží na kružnici l(O; r), a proto s ním stejnolehlý bod B' musí ležet na kružnici l'(O'; r'). Navíc vzhledem
k definici stejnolehlosti jsou vzor, obraz a střed stejnolehlosti kolineární, a proto bod B' náleží přímce PB. Ve
stejnolehlosti je každý směr samodružný, a proto jsou přímky OB a O'B' rovnoběžné. Střed hledané kružnice
O získáme jako průnik osy úhlu určeného přímkami p1, p2 a přímky vedené bodem B rovnoběžně s přímkou
O'B'.
Zápis konstrukce:
1. P; P = p1∩p2
2. o; osa úhlu určeného přímkami p1, p2
3. l ′ ; libovolně tak, aby se dotýkala p1, p2
4. B ′; B ′ = PB∩ l ′
5. q; q∥O ′ B ′
6. O; O = q∩o
7. l; l(O;|O p1|)
Konstrukce:
p1
q
P
o
B´
B´´
l´ O´
B
O
O2
1
l1
l2
p2
Diskuse:
Přímka PB protne kružnici l' ve dvou bodech B', které určují dvě stejnolehlosti. Tyto stejnolehlosti převedou
kružnici l' na dvě kružnice l → úloha má dvě řešení.
5
5.
Apolloniova úloha typu Bpk: Sestrojte kružnici l, která prochází bodem B a dotýká se přímky p a
kružnice k(S,r).
Vzájemná poloha vstupních prvků:
1.
bod B je společným bodem přímky p a kružnice k
a)
přímka p je sečnou kružnice k
b)
přímka p je tečnou kružnice k
0 řešení
nekonečně mnoho řešení
2.
bod B náleží přímce p a nenáleží kružnici k
Pappova úloha typu kpT
2 řešení
3.
bod B náleží kružnici k a nenáleží přímce p
Pappova úloha typu pkT
2 řešení
4.
bod B nenáleží přímce p ani kružnici k
a)
přímka p je vnější přímkou kružnice k
-
bod B leží uvnitř kružnice k
0 řešení
-
bod B a kružnice k leží v opačných polorovinách
určených přímkou p
0 řešení
-
bod B a kružnice k leží v téže polorovině určené
řešíme kruhovou inverzí
přímkou p, bod B leží vně kružnice k
4 řešení
b)
přímka p je tečnou kružnice k
-
bod B leží uvnitř kružnice k
Pappova úloha typu kkT
1 řešení
-
bod B a kružnice k leží v opačných polorovinách
Pappova úloha typu kkT
určených přímkou p
1 řešení
-
bod B a kružnice k leží v téže polorovině určené
řešíme kruhovou inverzí
přímkou p, bod B leží vně kružnice k
3 řešení
c)
2 řešení
6.
přímka p je sečnou kružnice k
řešíme kruhovou inverzí
Apolloniova úloha typu Bkk: Sestrojte kružnici l, která se dotýká kružnic k1(S1,r1), k2(S2,r2) a
prochází bodem B.
Vzájemná poloha vstupních prvků:
1.
2.
kružnice k1, k2 jsou soustředné, r1 < r2
a)
bod leží uvnitř kružnice k1
0 řešení
b)
bod leží vně kružnice k2
0 řešení
c)
bod leží na jedné ze zadaných kružnic
d)
bod leží v mezikruží
Pappova úloha typu
kkT
2 řešení
řešíme metodou
MBDV
4 řešení
kružnice k1, k2 jsou nesoustředné, r1 < r2, kružnice k1 leží uvnitř kružnice k2
a)
bod B leží uvnitř kružnice k1
0 řešení
b)
bod B leží vně kružnice k2
0 řešení
c)
bod B leží na jedné ze zadaných kružnic
Pappova úloha typu
kkT
6
2 řešení
d)
3.
4.
5.
6.
7.
bod B leží vně kružnice k1 a uvnitř kružnice k2
řešíme kruhovou
inverzí
4 řešení
kružnice k1, k2 mají vnitřní dotyk
nekonečně mnoho
řešení
a)
bod B je bodem dotyku zadaných kružnic
b)
bod B leží na jedné ze zadaných kružnic
c)
bod B nenáleží žádné ze zadaných kružnic
Pappova úloha typu
kkT
1 řešení
řešíme kruhovou
inverzí
3 řešení
kružnice k1, k2 mají vnější dotyk
a)
bod B je bodem dotyku zadaných kružnic
b)
bod B leží na jedné ze zadaných kružnic
c)
bod B leží vně obou zadaných kružnic
nekonečně mnoho
řešení
Pappova úloha typu
kkT
1 řešení
řešíme kruhovou
inverzí
3 řešení
kružnice k1, k2 se protínají
a)
bod B je jedním z bodů průniku zadaných
kružnic
b)
bod B leží na jedné ze zadaných kružnic
c)
bod B leží vně obou kružnic
0 řešení
Pappova úloha typu
kkT
2 řešení
řešíme kruhovou
inverzí
2 řešení
kružnice k1, k2 leží vně sebe
a)
bod B leží uvnitř jedné ze zadaných kružnic
b)
bod B leží na jedné ze zadaných kružnic
c)
bod B leží vně obou zadaných kružnic
0 řešení
Pappova úloha typu
kkT
2 řešení
řešíme kruhovou
inverzí
4 řešení
Apolloniova úloha typu ppp: Sestrojte kružnici l, která se dotýká tří přímek p1, p2, p3.
Vzájemná poloha vstupních prvků:
1.
přímky p1, p2, p3 jsou rovnoběžné
2.
přímky p1, p2, p3 jsou různoběžné
3.
a)
protínají se v jednom bodě
b)
protínají se ve třech různých bodech
0 řešení
0 řešení
dvě ze zadaných přímek jsou rovnoběžné, třetí je s nimi různoběžná
7
řešíme metodou
MBDV
4 řešení
řešíme metodou
MBDV
2 řešení
Rozbor:
Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti.
Přímky p1, p2, p3 se protínají ve třech růných bodech. Jedná se o konstrukci kružnice vepsané a
kružnic připsaných trojúhleníku, určeného třemi zadanými přímkami. K řešení použijeme metodu množin
bodů dané vlastnosti. Hledané středy kružnic jsou body průniku os úhlů určených přímkami p1, p2, p3
(množina středů všech kružnic, které se dotýkají dvou různoběžných přímek).
Zápis konstrukce:
1. o; osy všech úhlů určených přímkami p1 , p2 , p3
2. O; průsečíky os o
3. l; l( O;|Op|)
Konstrukce:
O4
o2
o1
p3
o3
l4
o5
O1
l1
l2
O3
o4
o6
l3
O2
p1
p2
Diskuse:
Každé dvě různoběžky vytínají v rovině čtyři úhly, přičemž každý z těchto úhlů má jednu osu. Osy se protnou
vždy po třech ve čtyřech bodech O → úloha má čtyři řešení.
8.
Apolloniova úloha typu ppk: Sestrojte kružnici l, která se dotýká přímek p1, p2 a kružnice k(S,r).
Vzájemná poloha vstupních prvků:
1.
přímky p1, p2 jsou rovnoběžné
a)
kružnice k leží vně pásu určeného přímkami p1,
p2
b)
přímka p1 nebo p2 je tečnou kružnice k
0 řešení
-
střed kružnice k leží vně pásu určeného přímkami p1,
p2
řešíme metodou MBDV
1 řešení
-
střed kružnice k leží uvnitř pásu určeného přímkami
p1, p2
řešíme metodou MBDV
3 řešení
řešíme metodou MBDV
2 řešení
c)
jedna z přímek p1, p2 je sečnou kružnice k nebo
jsou přímky p1, p2 tečnami kružnice k
8
2.
d)
přímky p1, p2 jsou sečnami kružnice k
řešíme metodou MBDV
4 řešení
e)
kružnice k leží uvnitř pásu určeného přímkami
p1, p2
řešíme metodou MBDV
4 řešení
přímky p1, p2 jsou různoběžné
a)
kružnice k nemá s přímkami p1, p2 žádný
společný bod
b)
kružnice k se dotýká přímky p1 a/nebo přímky p2
právě v jednom bodě
c)
řešíme pomocí stejnolehlosti
4 řešení
Pappova úloha typu ppT
4 řešení
kružnice k protíná jednu z přímek p1, p2
řešíme pomocí stejnolehlosti
4 řešení
d)
kružnice k se dotýká přímky p1 a protíná přímku
p2
řešíme pomocí stejnolehlosti
6 řešení
e)
kružnice k protíná přímky p1, p2
řešíme pomocí stejnolehlosti
8 řešení
Rozbor:
Řešíme s využitím stejnolehlosti.
Střed hledané kružnice l leží na ose úhlu určeného přímkami p1, p2, tj. množina středů všech kružnic,
které se dotýkají dvou různoběžných přímek. Dále víme, že kružnice k a hledaná kružnice l mají společný
jeden bod dotyku T. Tento bod T je zároveň středem stejnolehlosti kružnic l a k. K přímkám p1 a p2 existují
stejnolehlé přímky p'1 a p'2, rovnoběžné s přímkami p1, p2. Protože jsou přímky p1 a p2 tečnami kružnice l,
musí být přímky p'1 a p'2 tečnami kružnice k.
Průsečík P přímek p1, p2 a průsečík P' přímek p'1, p'2 jsou stejnolehlé v uvažované stejnolehlosti. Z
vlastností stejnolehlosti vyplývá, že body T, P, P' jsou kolineární, stejně tak i body T, O, S musí být kolineární.
Střed hledané kružnice nalezneme jako průsečík osy o s přímkou TS.
Zápis konstrukce:
1. P; P= p1 ∩ p2
2. o; osa úhlu určeného přímkami p1, p2
3. p′1 ; p′1∥ p1 ∧ p′1 je tečnou kružnice k
4. p′2 ; p′2∥p2 ∧ p′2 je tečnou kružnice k
5. P′ ; P′ = p′1 ∩ p′2
6. T; T= PP′ ∩k
7. O; O= o∩ST
8. l; l( O;| OT |)
Konstrukce:
p´
1
p1
l
o
P
O
p
2
S
T
P´
k
p´2
9
Všechna možná řešení:
p1
o
P
p2
S
k
Diskuse:
Ke kružnici k existují pro každou z přímek p1, p2 dvě rovnoběžné tečny. Tyto tečny se protínají ve čtyřech
bodech P'. Přímky PP' protnou kružnici k v osmi bodech T a každá z přímek ST má s osou o vždy jeden
společný bod → úloha má osm řešení.
9.
Apolloniova úloha typu pkk: Sestrojte kružnici l, která se dotýká kružnic k1(S1,r1), k2(S2,r2) a přímky p.
Vzájemná poloha vstupních prvků:
1.
kružnice k1, k2 jsou soustředné
2.
a)
přímka p je tětivou alespoň jedné ze zadaných
kružnic
b)
přímka p neprotíná ani jednu ze zadaných
kružnic
řešíme metodou
MBDV
4 řešení
0 řešení
kružnice k1, k2 jsou nesoustředné
a)
přímka p má se zadanými kružnicemi jeden
společný bod
nekonečně mnoho
řešení
b)
přímka p má se zadanými kružnicemi dva
společné body
0 řešení
c)
přímka p má se zadanými kružnicemi tři
společné body
0 řešení
d)
přímka p nemá se zadanými kružnicemi žádný společný bod
-
kružnice leží ve stejné polorovině
-
kružnice leží v opačných polorovinách
řešíme kruhovou
inverzí
8 řešení
0 řešení
10
10.
Apolloniova úloha typu kkk: Sestrojte kružnici l, která se dotýká kružnic k1(S1,r1), k2(S2,r2), k3(S3,r3).
Vzájemná poloha vstupních prvků:
1.
kružnice k1, k2, k3 jsou soustředné, r1 < r2 < r3
2.
kružnice k1, k2 jsou soustředné, r1 < r2
a)
3.
0 řešení
kružnice k3 nemá s kružnicemi k1, k2 žádný dotyk
-
kružnice k3 neleží v mezikruží určeném kružnicemi k1, k2
-
kružnice k3 leží v mezikruží určeném kružnicemi k1, k2
0 řešení
řešíme metodou
MBDV
8 řešení
b)
kružnice k3 se dotýká kružnice k1 nebo k2 právě v jednom
bodě
řešíme metodou
MBDV
6 řešení
c)
kružnice k3 protíná kružnici k2
řešíme metodou
MBDV
4 řešení
d)
kružnice k3 protíná kružnice k1, k2
řešíme metodou
MBDV
4 řešení
kružnice k1, k2, k3 jsou nesoustředné
a)
kružnice k1, k2, k3 nemají žádný společný bod
řešíme kruhovou
inverzí
8 řešení
b)
kružnice k1, k2, k3 se protínají v jednom bodě
řešíme kruhovou
inverzí
4 řešení
c)
kružnice k1, k2 se protínají ve dvou bodech
řešíme kruhovou
inverzí
4 řešení
11
PAPPOVY ÚLOHY
Pappos Alexandrijský (3. stol. n. l.) se zabýval Apolloniovými úlohami v díle "Mathématikai synagogai", což
je významné historické dílo obsahující výňatky ze starých ztracených matematických spisů a poznámky o
dřívějších matematicích. Při hledání řešení obecné Apolloniovy úlohy vznikly tzv. úlohy Pappovy, které jsou
jejími speciálními případy.
Pappova úloha má následující znění:
"Jsou dány tři různé prvky (kružnice, přímky, body), z nichž alespoň jeden je kruhová křivka a alespoň jeden
je bod, přičemž tento bod leží na dané kruhové křivce. Sestrojte kružnici, která se dotýká zadané kruhové
křivky v daném bodě a dále se dotýká další kruhové křivky nebo prochází dalším zadaným bodem.".
Obecná úloha se dělí na 6 podúloh. Jednoduchou konstrukcí můžeme počet variant snížit na
polovinu. Máme-li v zadání bod ležící na kružnici, sestrojíme v tomto bodě tečnu a úlohu převedeme na
hledání kružnice, která se dotýká přímky v tečném bodě.
Pro označení Pappovy úlohy se používá dolního indexu B vždy u křivky, na které bod leží. Např.
symbol BkB znamená, že je daná kružnice k a dva body, z nichž právě jeden leží na kružnici k.
1.
Úloha typu BpT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dané přímky p v daném bodě T a prochází
dalším daným bodem B.
Rozbor:
Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti.
Hledaný střed O nalezneme jako průnik dvou množin. První je množina středů všech kružnic, které
procházejí body B, T, což je osa úsečky BT (BT je tětiva hledané kružnice l). Druhá je množina středů všech
kružnic, které se dotýkají přímky p v bodě T bez bodu T.
Zápis konstrukce:
1. a; a⊥p ∧ T  a
2. o; osa úsečky TB
3. O; O= a∩o
4. l; l (O;|OT|)
Konstrukce:
l
a
o
B
O
p
T
Diskuse:
Náleží-li bod B přímce p, úloha nemá řešení. V ostatních případech má úloha právě jedno řešení.
12
2.
Úloha typu ppT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dvou daných přímek p, q a prochází daným
bodem T, který leží na jedné z přímek.
Vzájemná poloha vstupních prvků:
1. bod B leží na téže přímce jako bod T
2. přímky p, q jsou rovnoběžné
3. přímky p, q jsou různoběžné
Rozbor:
Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti.
Hledaný střed O nalezneme jako průnik dvou množin. První množinou je přímka a bez bodu T, která
je kolmá na přímku p a prochází bodem T.
Druhá hledaná množina musí splňovat podmínku, aby střed měl stejnou vzdálenost od obou
přímek. V případě rovnoběžných přímek je takovou množinou osa pásu určeném přímkami p, q. Jsou li
přímky p, q různoběžné jedná se o osy čtyřech úhlů vymezených danými přímkami.
Zápis konstrukce 1:
1. a; a  p  T  a
2. o; osa pásu určeného přímkami p,q
3. O; O= a∩o
4. l; l (O;| OT |)
Konstrukce 1:
a
q
l
O
o
T
p
Zápis konstrukce 2:
1. a; a  p  T  a
2. o 1 , o 2 ; osy 4 úhlů určených přímkami p,q
3. O 1 , O 2 ; O= a∩o
4. l 1 , l 2 ; l(O;|OT|)
Konstrukce 2:
o1
p
O2
o2
T
O1
13
q
Diskuse:
Náleží-li bod B téže přímce jako bod T, úloha nemá řešení.
Jsou-li přímky p, q rovnoběžné jsou přímky a a o navzájem kolmé, průsečíkem je právě jeden bod,
úloha má tedy právě jedno řešení.
Jsou-li přímky p, q různoběžné přímka a protíná osy ve dvou bodech, úloha má právě dvě řešení.
3.
Úloha typu kpT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dané kružnice k(S,r)
daném bodě T.
a dané přímky p v
Rozbor:
Řešíme metodou geometrických zobrazení, stejnolehlost.
Střed hledané kružnice leží na přímce a kolmé na přímku p procházející bodem T, bez bodu T
(množina středů všech kružnic, které se dotýkají přímky p v bodě T bez bodu T).
Dále víme, že kružnice k a hledaná kružnice l mají společný jeden bod dotyku R. Tento bod R je
zároveň středem stejnolehlosti kružnic l a k. Ve stejnolehlosti se středem R se zobrazí kružnice l na kružnici
k, přímka a na přímku a' a přímka p na přímku p', která má dotyk s hledanou kružnicí. Bod T se zobrazí do
bodu P.
Vycházíme z toho, že střed, vzor a obraz jsou ve stejnolehlosti kolineární, bod R tedy nalezneme
jako průsečík kružnice l a přímky TP. Průnikem přímky a a přímky SR (množiny středů všech kružnic
stejnolehlých ke kružnici k podle středu stejnolehlosti R) dostaneme bod S (střed hledané kružnice).
Zápis konstrukce:
1. a; a  p  T  a
2. a ′ ; a´  p  S  a´
3. P 1 , P 2 ; P= a ′ ∩k
4. R 1 , R 2 ; R = PT∩k
5. O 1 , O 2 ; O= SR∩a
6. l 1 , l 2 ; l(O;|OT|)
Konstrukce:
O1
a
P2
S
k
R2
O2
R1
P1
p
T
Diskuse:
Ke kružnici k lze vést dvě tečny, vzniknou dva body dotyku. Sestrojíme dvě přímky TP. Každá přímka TP
protne kružnici k v jednom bodě, vzniknou dva středy stejnolehlosti úloha má dvě řešení.
14
4.
Úloha typu BkT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dané kružnice k(S,r) v daném bodě T a
prochází dalším daným bodem B.
Rozbor:
Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti. Sestrojíme tečnu kružnice k v bodě T a úlohu převedeme na
úlohu typu BpT.
Zápis konstrukce:
1. t; tečna kružnice k v bodě T
2. o; osa úsečky TB
3. O; O = ST∩o
4. l; l(O;| OT |)
Konstrukce:
t
k
l
o
O
S
T
B
Diskuse:
Hledaný střed je průsečíkem dvou přímek -> úloha má právě jedno řešení.
5.
Úloha typu pkT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dané kružnice k(S,r) v daném bodě T a dané
přímky p.
Rozbor:
Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti.
Sestrojíme tečnu kružnice k v bodě T a úlohu převedeme na úlohu typu ppT.
Zápis konstrukce:
1. t; tečna kružnice k v bodě T
2. o; osa 4 úhlů určených přímkami p,t
3. O 1 , O 2 ; O = ST∩o
4. l 1 , l 2 ; l(O;| OT |)
Konstrukce:
l2
O2
t
S
l1
T
o1
O1
k
o2
p
15
Diskuse:
Osy o1, o2, o3, o4 jsou dvojice navzájem kolmých přímek a T je různoběžná, protne osy ve dvou bodech ->
úloha má dvě řešení.
6.
Úloha typu kkT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dvou daných kružnic k1(S1,r1), k2(S2,r2) a
prochází bodem T, který leží na jedné z kružnic.
Rozbor:
Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti.
Sestrojíme tečnu kružnice k v bodě T a úlohu převedeme na úlohu typu kpT.
Zápis konstrukce:
1. a; a=ST
2. t; tečna kružnice k v bodě T
3. a ′ ; a ′ a, S 2  a ′
4.
5.
6.
7.
P 1 P 2 ; P= a ′ ∩ k 2
R 1 , R 2 ; R= PT∩ k 2
O 1 , O 2 ; O= SR∩a
l 1 , l 2 ; l(O;| OT |)
Konstrukce:
a´
a
P1
k2
S2
l1
R
1
O
1
l2
P2
R2
t
T
S1
k1
Diskuse:
Ke kružnici k2 lze vést dvě tečny, vzniknou dva body dotyku, sestrojíme dvě přímky TP, každá přímka TP
protne kružnici k2 v jednom bodě, vzniknou dva středy stejnolehlosti. Úloha má dvě řešení.
POUŽITÁ LITERATURA:
Polák, J.: Přehled středoškolské matematiky, SPN, Praha, 1972
Fabiánová, H.; Ocmanová, B.: Opakování geometrie, skripta TUL, 1999
Lávička, M.: Syntetická geometrie, ZČU, Plzeň, 2007
16
Download

APOLLONIOVY ÚLOHY