algebra a matematická analýza - 3. ročník ra
pracovní list číslo 4
strana 1/2
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC A JEJICH ŘEŠENÍ
MATICE, hodnost matice
Řešení úloh (z pracovního listu 3): 3f) P={[-3;2;1]} 3g) P={[2;0;-2;1]}
Př. 4.1: Vyřešte následující soustavy rovnic:
a)
x + 2y
= 1
x− y+z = −2
y − 2z
= −4
y− z +u = 2
− z + 2u = − 2
b)
z −u +v
= −2
− u − 2v
= 2
u−v+ x
= 1
v + 2x
= 1
v−x+ y
= 1
Řešení úloh: 1a) P={[1;0;2;0;-1]} 1b) P={[-1;1;0;1;-1]}
Př. 4.2: Zjistěte, kolik má daná soustava řešení a jakým způsobem lze pomocí rozšířené matice soustavy a jejích ekvivalentních úprav
o tom rozhodnout, aniž bychom řešení soustavy hledali. Řešení soustav nalezněte:
a)
d)
x + 2y
= 4
b)
2x + 4 y = 8
x+ y−z
= −1
4 x − 3 y + 2 z = 16
2 x − 2 y − 3z = 5
e)
2x − 3 y
= −1
c)
10 x + 10 y = 5
x− y−z
= 1
2x + 3y + z = 2
3x + 2 y
= 0
f)
2x + y
= 1
4x + 2 y = 6
x− y−z
= 1
− x + 2 y − 3z = − 4
3x − 2 y − 7 z = 0
Než obdržíte druhou stranu pracovního listu, můžete se zatím zamyslet nad slovními úlohami:
Slovní zásoba:
Exercise 3: A swimmer requires 3 hours to swim 15 miles downstream. The return trip upstream takes 5 hours. Find the average speed
of the swimmer in still water. How fast is the current of the stream? (Assume the speed of the swimmer is the same in each direction.)
Exercise 4: The length of fence required to enclose a rectangular field is 3000 meters. What are the dimensions of the field if it is
known that the difference between its length and widths is 50 meters?
Slovní zásoba:
parabola
function
point
coordinate
x coordinate
point coordinates
system of coordinates
.
Slovní zásoba:
Exercise 5: Find the parabola y = ax2+bx+c that passes through the points A[1;2] B[-2;-7] a C[2;-3].
Exercise 6: Find the function y = ax3+bx2+cx+d that passes through the points A[-3;-112] B[-1;-2] C[1;4] a D[2;13].
Řešení úloh: Exercise 5: a=-2, b=1, c=3
Exercise 6: a=3, b=-4, c=0, d=5
algebra a matematická analýza - 3. ročník ra
pracovní list číslo 4
strana 2/2
Řešení úloh: 2a) nekonečně mnoho 2b) jedno řešení 2c) žádné 2d) jedno řešení 2e) žádné 2f) nekonečně mnoho řešení
Počet řešení poznáte podle počtu lineárně závislých řádků (doposud jsme jim říkali ekvivalentní řádky, pojem lineární závislost a nezávislost bude přesně definován později) matice soustavy a podle počtu lineárně závislých řádků rozšířené matice soustavy. Při ekvivalentních úpravách matice se takový řádek dá upravit na řádek obsahující samé nuly. Ten podle pravidel pro řádkové operace můžeme z matice dále vypustit.
D: Lineární rovnice L je lineární kombinací lineárních rovnic L1, L2, L3, … , Lk s koeficienty c1, c2, c3, … , ck (c1 ≠ 0 ∧ c2 ≠ 0 ∧ c3 ≠ 0
∧ … ∧ ck ≠ 0) když platí:
L = c1 L1 + c2 L2 + c3 L3 + … + ck Lk
D: Soustavu m rovnic nazveme lineárně závislou soustavou, jestliže libovolná z rovnic soustavy je lineární kombinací rovnic ostatních. V případě , že soustava m rovnic není lineárně závislá, nazveme ji lineárně nezávislou soustavou.
Velmi praktické se jeví zavedení pojmu hodnosti matice. Hodnost matice je celé nezáporné číslo, které lze přiřadit každé matici takto:
D: Matice má hodnost h, právě když mezi jejími řádky lze nalézt h řádků lineárně nezávislých a když každá skupina h+1 řádků je lineárně závislá.
Hodnost matice A ( značíme hod(A) ) lze snadno nalézt pomocí ekvivalentních úprav matice do diagonálního tvaru:
1

2
hod 
−1

3

4
1 4 
 1 4
1






1
0 7 
 0 1
0
=
hod
=
hod
=
hod
0 4 
 0 1
0
0






 0 10 
 0 1
0
2 





4

1
 1 4

 = 2
=
hod
0
0
1



0 
Př. 4.3: Určete hodnosti matic:
a)
 2 − 5


3
1


1
1
2


 1 − 2 − 1
b) 
−1 0
2


−1 1
1 

0
1

1
2
c) 
1
2

−1 − 2

1 1

2 2
0 3

1 2 
2
3 
1


 0 −1 2 
d)  − 1 1
0 


1 − 3
0
2
3
1 

V: (Frobeniova věta): soustava m lineárních rovnic o n neznámých má alespoň jedno řešení tehdy, když hodnost matice této
soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.
Při řešení úlohy 2f) by šlo postupovat tedy například takhle:
 1 −1 −1 1  1 −1 −1 1  1 −1 −1 1 

 
 
 1 −1 −1 1 

 − 1 2 − 3 − 4  ∼  0 1 − 4 − 3 ∼  0 1 − 4 − 3 ∼ 
0
1
−
4
−
3


 3 − 2 − 7 0   0 1 − 4 − 3  0 0
0
0 

 
 
Hodnost matice soustavy je 2, hodnost rozšířené matice soustavy je 2, soustava má alespoň jedno řešení.
Př. 4.4: Rozhodněte pomocí Frobeniovy věty o řešitelnosti soustav:
0
1 
1 − 4 2


 2 − 3 −1 5 − 7
a) 
3 − 7 1 − 5 − 6


 0 1 −1 −1 −1


Řešení úloh: 3a) 2 3b) 3 3c) 4 3d) 3
4a) ??? 5b) ???
0
1 
1 − 3 2


 0 − 3 − 1 2 − 1
b) 
3 0
1 −5 2 


 0 1 − 1 − 1 − 2


Download

MATICE, hodnost matice