Fakultet za proizvodnju i menadˇzment Trebinje
Matematika II
Graniˇ
cne vrijednosti nizova
06. 03. 2014. god.
n+2
1. Koriste´ci definiciju graniˇcne vrijednosti niza, dokazati da je limn→∞ 2n+1
= 12 .
Rjeˇsenje:
n+2
2n+1
Oznaˇcimo sa an =
opˇsti ˇclan niza.
Potrebno je da nad¯emo n0 (ε) u definiciji graniˇcne vrijednosti niza:
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) |an − a| < ε.
n+2
3
Odredimo koliko je an − a = 2n+1
− 12 = (2n+4)−(2n+1)
= 4n+2
. Iz uslova |an − a| < ε dobijamo
4n+2
3
3
3
3
no 4ε
− 12 < n. Kako je n ≥ n0
4n+2 < ε, odakle nalazimo da je ε < 4n + 2, tj. ε − 2 < 4n i konaˇ
3
moˇzemo uzeti da je n0 = [ 4ε
− 12 ].
3
Time smo pokazali da za svaki pozitivan broj ϵ postoji prirodan broj n0 = [ 4ε
− 21 ], koji zavisi od ε,
n+2
= 21 .
takav da za svako n ≥ n0 vaˇzi |an − 21 | < ε, pa smo po definiciji pokazali da je limn→∞ 2n+1
Graniˇcne vrijednosti ´cemo uglavnom raˇcunati na jedan od sljede´cih naˇcina:
n · (1 + n2 )
1+
n+2
= lim
= lim
1
n→∞ 2n + 1
n→∞ n · (2 + )
n→∞ 2 +
n
lim
n+2
n + 2 n1
= lim
· = lim
n→∞ 2n + 1
n→∞ 2n + 1 1
n→∞
n
√
2. Izraˇcunati graniˇcnu vrijednost limn→∞ ( 3 n2 − n3 + n).
lim
2
n
1
n
n
2
n + n
1
2n
n + n
=
1+0
1
= , ili
2+0
2
1+
n→∞ 2 +
= lim
2
n
1
n
1
= .
2
Rjeˇsenje:
√
limn→∞ ( 3 n2 − n3 + n) =
√
√
3
√
(n2 −n3 )2 − 3 n2 −n3 n+n2
3
2
3
√
= limn→∞ ( n − n + n) · √
=
3 2
3
2
3 2
3
2
(n −n ) −
= limn→∞ √
3
= limn→∞
n2
n2 −n3 +n3
√
(n2 −n3 )2 − 3 n2 −n3 n+n2
(√
3
2
n √
)
3
1
(n
−1)2 − 3 n
−1+1
n −n n+n
=
= 31 .
3. Izraˇcunati graniˇcnu vrijednost niza (an ) datog formulom opˇsteg ˇclana an =
(
2n+1
3n−5
)3
.
Rjeˇsenje:
(
lim
n→∞
2n + 1
3n − 5
)3
( (
(
) )3
n 2 + n1
2+
)
(
= lim
= lim
5
n→∞ n 3 −
n→∞ 3 −
n
4. Izraˇcunati graniˇcnu vrijednost niza (an ) datog sa an =
(−2)n + 3n
(−2)n + 3n
= lim
·
n+1
n+1
n→∞ (−2)
n→∞ (−2)n+1 + 3n+1
+3
lim
1
3
·
1
3n
1
3n+1
1
n
5
n
)3
=
( )3
8
2
= .
3
27
(−2)n +3n
.
(−2)n+1 +3n+1
1 −2 n
1
n
3( 3 ) + 3 · 1
n→∞ ( −2 )n+1 + 1n+1
3
= lim
=
1
3
· 0 + 13 · 1
1
= .
0+1
3
Izraˇcunati
2
5. limn→∞ 3n3−2n
2 +2n−2 ,
Rjeˇsenje: − 23
6. limn→∞ nn2−2n
,
−1
3
Rjeˇsenje: ∞
7. limn→∞ 3n−2
,
n2 +1
Rjeˇsenje: 0
√
√
8. limn→∞ n + 1 − n,
Rjeˇsenje: 0
9. limn→∞ n!+(n−1)!
n!−(n−1)! ,
Rjeˇsenje: 1
n−2
10. limn→∞ √2n
,
2 +3
Rjeˇsenje: − 12
Predmetni nastavnik
Doc. dr Duˇsan Jokanovi´c.
Download

Matematika II