10.HAFTA
3.5. KOLLEKTİF MODEL
3.5.1. DEFORME ÇEKİRDEKLERDE ROTASYONEL HAREKET
N ve Z sayıları nadir toprak elementler ve aktinit çekirdeklerde olduğu gibi sihirli sayılardan
uzaklaştıklarında küresel kabuk modeli kullanılarak hesaplanan kuadrapol momentler
deneysel değerlerden farklı bulunmaktadır. Bu büyük kuadrapol momentler nasıl
açıklanabilir?
Bölüm 9 da elektrik kuadrapol momenteleri anlatmıştık. bir sistemin kuadrapol moment yükü
onun yük dağılımının küresel şekilden uzaklaşma ölçüsüdür. Eğer çekirdek büyük kuadrapol
momente sahipse çekirdeğin şekli küresel şekilden belirgin bir şekilde uzaklaşmaktadır. J.rain
water 1950 yılında eğer çekirdek büyük kuadrapol momente sahipse onun kapalı koru asla
küresel değildir şeklinde bir açıklama yapmıştır. Buna göre çekirdek valans nükleonlar
tarafından deformasyona uğramış denilebilir. Çekirdek içerisinde bulunan birçok nükleon
çekirdeğin korunda bulunduğundan çekirdeğin koru çok daha fazla yüke sahiptir. Dolayısıyla
çok küçük bir deformasyon büyük kuadrapol momentlere sebebiyet verebilir. Örneğin 17O ele
alacak olursak bu çekirdeğin uzun ekseni ile kısa ekseni arasında ki fark sadece %7
oranındadır. Hesaplanan kuadrapol momenet deneylerle uyum içinde bulunmuştur.
Çekirdek deformasyonları yalnızca kuadrapol momentlere değil aynı zamanda yeni çekirdek
hareket serbestîsine de sebep olur. Bu yeni hareketler çekirdek enerji düzeylerini etiketler.
Örneğin kuantum mekaniğinde küresel çekirdeklerde rotasyonel hareket yoktur fakat deforme
çekirdeklerde vardır. Neden deforme çekirdeklerde rotasyonel hareket oluşur? Küresel
çekirdeklerde herhangi bir eksen simetri ekseni boyuncadır. Küresel bir cisim fi açısı kadar
döndüğünde dalga fonksiyonu değişmez. Yani eğer bu ekseni z-ekseni olarak kabul edersek
açısal momentumun z bileşeni 0 olur. Rotasyoneli ölçebilmek için simetri bozunması
olmadığından çekirdeğin rotasyonel hareketi belirlenemez dolayısıyla kuantum mekaniğinde
küresel sistemler için kollektif rotasyonel hareketi yoktur.
∂Ψ
=0
∂φ
Eğer çekirdek simetrik bir elipsoid deformasyona sahipse (ragbi topları gibi) z-ekseni
boyunca rotasyonel pozisyonunu ayırt edecek bir yol yoktur.
∂
LZ = −ih
=0
∂φ
Bunu gözlemleme durumuda yoktur. Bu eksen boyunca kolektif rotasyonel gözlemlenemez.
İçsel ya da tek parçacık açısal momentum simetri ekseni boyunca bir nokta işaretleyebilir
fakat rotasyonel açısal momentum gözlemlenemez. Bununla birlikte kolektif rotasyonel
hareket x ve y – eksenleri boyunca izinlidir. Çünkü simetri ekseni yönelimine göre tek bir
rotasyonel ölçülebilir. Genellikle söylenen bir durum şudur ki çekirdek uzun ekseni boyunca
rotasyonel hareket yapmaz. Fakat Amerikan futbol topunun sivri uçları boyunca uzama ve
kısalma hareketi yaparlar. Dolayısıyla çift çift çekirdeklerde toplam açısal momentum sıfır
olur. X-ekseni boyunca rotasyonel hareket düşünelim R çekirdek rotasyonel açısal
momentumuna karşılık gelsin rotasyonel enerji
E rot =
R2
2ℑ
11.25
ℑ , x ekseni boyunca rotasyonel eylemsizlik momenti kuantum mekaniğinden schrödinger
denmklemini yazacak olursak
R2
ψ = Eψ
2ℑ
R 2YI , M = I ( I + 1),
I=0,1,2,…
11.26
11.27
0 spin bir çekirdek x-y düzlemine göre invaryantdır ve harmonik paritesi YlM burada izinli
olan l lar yalnızca çiftlerdedi.
h2
EI =
I ( I + 1),
I=0,2,4,…
11.28
2ℑ
Bohr ve motelson un 1953 yılında ortaya koyduğu çekirdek rotasyonel formülüdür. Şekil
11.12a bohr motelsonun önerileriyle çizilmiş bir enerji düzeyleri grafiğidir.
E I (rotasyon) = AI ( I + 1) + BI 2 ( I + 1) 2 + CI 3 ( I + 1) 3 + ...
11.29
Burada A içsel matris elemanı ve yüksek dereceden düzeltme B,C….. parametreleridir.
180
Hf nin deneysel ilk uyarılma enerjisi kullanılarak h 2 2ℑ : hesaplanabilir.
h2
h2
x 2 x3
= 15.5keV
2ℑ
2ℑ
Hesaplanan enerji düzeyleri 11.2a da verilmiştir.
Şekil11.2b iyi deforme olmuş çift çift çekirdekler için verilen enerji düzeyleridir. Şekil 11.12c
tek çekirdekler için enerji düzeylerini göstermektedir. Şekil11.12b,c de yeni bir K kuantum
sayısı görülmektedir. Bu deforme çekirdeklerdeki düzeyleri tanımlamada oldukça faydalıdır.
K kuantum sayısı o düzeyin simetri ekseni boyunca içsel açısal momentumudur. İçsel düzey
spini I=K durumunda rotasyonel bant düzeyleri oluşur. Burada rotasyonel açısal momentum
simetri eksenine dik olmalıdır. Şekil 11.13 te görüldüğü gibi tek bir paraçacığın içsel açısal
momentumu j görülmektedir. İçsel açısal momentum (K) ile rotasyonel açısal momentum R
birleştiğinde o düzeyin toplam açısal momentumunu verir. Burada toplam açısal momentum
=0+,2+,4+,…. Yada 1-,3-,5-,….( K=0 için ). K.o dan dan farklı olduğunda I=K,K+1,K+2
… Şeklindedir. Rotasyonel bantın enerji düzeyleri aşağıda ki ifadeyle verilir.
h2 
1

WI = W0 ( K ) +
I ( I + 1) + a (−1) ı+1 2 (ı + δ K ,1 2 
11.30

2ℑ 
2

Deforme çekirdeklerin şekli orjinden yüzeye kadar uzanan yarı çap vektörünün uzunluğu ile
tanımlanabilir. Buna göre küresel harmonik terimleri cinsinden bir ifade yazacak olursak
93keV =
∞
λ


R(θ ' ,φ ' ) = R0 1 + ∑ ∑α λµ Yλµ (θ ' ,φ ' )
 λ =0 µ = − λ

11.31
Burada Ro kürenin yarıçapı teta ve fi kutup açılarına karşılık gelmektedir. Alfa00 sabiti
çekirdek hacmi değişimine karşılık gelmektedir. Euler açısı
λ
aλµ = ∑α λµ ' Dµµ
'
11. 32
µ'
Şeklindedir.
Kuadrapol deformasyon için yüzey yarıçapı teta ve fi ile belirlenecek olursa


R(θ ,φ ) = R0 1 + ∑ a 2 µ Y2 µ (θ ,φ )
µ


11.33
Sistemin fiziksel tanımlarını daha uygun ifade edebilmek için beta ve gama değişkenlerini
yazabiliriz
a20 = β 2 cos γ
11.34
1
a22 =
β 2 sin γ
2
∑µ a µ
2
2
= β 22
11.35
Burada beta2 çekirdeğin toplam deformasyonuna karşılık gelir
1


R(θ ,φ ) = R0 1 + β 2 cos γY20 (θ ,φ ) +
β 2 sin γ {Y22 (θ ,φ ) + Y2−2 (θ ,φ )}
2


11.36
Gama=0 derece ve 120 derece prolate elipsoidine karşılık gelmektedir. Gama=60ve 180
derece oblate elipsodine karşılık gelecektir. Bu ikisinin arasında ki bölge treaxiel bölgeye
karşılık gelmektedir.
δRκ = R0
5
2π 

β 2 cos γ − κ  = Rκ − R0
4π
3 

 1
R1 = R2 = R0 1 −
 2

5
β 2 
4π 


5
R3 = R0 1 +
β 2 
4π 

şu şekilde gösterilebilir
β2 ≈
R3 − R1
( R3 + R1 ) / 2
11.37
11.38
11.39
β 2 > 0 prolate elipsoide (γ = 0 0 ) ve β 2 < 0 oblate elipsoide (γ = 60 0 ) karşılık gelir. Nadir
toprak elementleri ve aktinitlerde β 2 değeri 0.22 ile 0.26 arasında değişir.
Z si ve N si verilen çekirdeğin potansiyel enerji yüzeyleri çizilmek istenirse β − γ
düzleminde şekil 11.14 te görüldüğü gibi elde edilir. Burada β kürenin merkezinden
uzaklaşma ölçütüne karşılk gelirken γ = 0 ile 60 derece arasında değişir. Potansiyelde ki
minimum yerleşim bu düzlemde çekirdeğin şeklini gösterir. Potansiyel enerji minimum
olduğun da çekirdeğin temel düzeyi oluşur. Birden fazla minmumun bulunması bu düzlemde
farklı deformasyonlara karşılık gelecektir.
Bohr ve nutelson kolektif modeli ortaya koyduktan kısa bi süre sonra S.G.Nilson pve n ların
tek parçacık enerjilerinin deforme çekirdekler için açıkladı. Küresel tek parçacık enerji
düzeyleri β 2 deformasyon parameteresinin değişmesiyle ani olarak değişmektedri. Şekil 11.23
Tek paraçacık enerji düzeyleri asimtotik yeni kuantum sayılarıyla belirlenebilir. [ NnZ Λ]Ωπ
burada N temel kuantum sayısı nZ simetri ekseni boyunca titreşim yapan düğümlerin sayısı
delta yörünge açısal momentum bileşeni Ω tek parçacık açısal momentumun simetri eksenine
izdüşümü ve π paritedir. Düşük Ω yörüngeleri prolate deformasyona yüksek Ω yörüngeleri
oblate deformasyona karşılık gelir şekil11.23b
Tek A çekirdekleri için rotasyonel bant örnekleri şekil 11.12c de görülmektedir.
3.6. KÜRESEL VE DEFORME ÇEKİRDEKLERDE VİBRASYONEL HAREKET
Kolektif hareket yalnızca deforme çekirdeklerde değil küresel çekirdeklerdede gözlenir. 1877
yılında Rayleigh elektrik yüküyle birlikte bir sıvının titreşimini çalıştı.1936 yılında N.Bohr
çekici kuvvetlerle bir araya getirilecek parçacık sisteminin kolektif titreşim yapacağını ortaya
koydu. 1953 yıllarında A.Bohr ve B.Motelson hem küresele hem de deforme çekirdeklerin
kolektif titreşimlerini çalıştı. Şekil 11.15 te görüleceği üzere küresel çift-çift çekirdeklerin
yalın küresel harmonik titreşim spektrumlarını teorik tahmini görülmektedir. Yalın küresel
harmonik titreşiminde enerji düzeyleri bir-fonon titreşimi (hw) , iki-fonon titreşimi (2hw) ,
üç-fonon titreşimi (3hw) ,……. Tarafından üretilirler.
Çift-çift çekirdeklerin kuantum
+
mekaniği tarafından izinli spin ve parite enerji düzeyleri 2 (bir kuadrapol fonon) , dejenere
üçlü durum 0+,2+,4+ (iki kuadrapol fonon) ve dejenere beşli durum 0+,2+,3+,4+,6+ (üç
kuadrapol fonon ) şeklindedir. Küresel ve yaklaşık küresel çekirdeklerde bir-fonon
enerjilerinin aralığı 0.6-1 MeV civarıdır. Bu enerji çiftlenmiş bir parçacığı kopararak bir üst
enerji düzeye çıkarmak için gerekli enerjiden oldukça düşüktür. Elbetteki hiçbir çekirdek
yalın harmonik titreşim yapmamaktadır. Gerçek durumlarda çakirdek nükleer potansiyel
içerisinde ilave terimleride içermektedir. Böyle durumlarda titreşim tabiî ki anharmonik
titreşimlerdir. Anharmonik terimleri yalın harmonik titreşim hareketi yapan iki -fonon üçlü
dejeneresinde, üç-fonon beşli dejeneresinde ve daha yüksek dejenere durumlarda
çıkarılmaktadır. Dolayısıyla iki-fonon üçlü durum ailesi ve bunların yarılmaları çekirdeğin
yalın harmoniklikten uzaklaşma ölçüsüdür. Birçok iki-fonon üçlü durumları çok küçük
yarılmalarla gözlenmekte ve bunlar yüksek fonon üyeleri olarak adlandırılmaktadır. Şekil
11.16a 102Ru çekirdeğinin enerji düzeyleri için güzel bir örnektir. Anharmonikliği içeren bir
çok yaklaşım yalın titreşim modelinde geliştirilmiştir. Bunlardan en başarılısı ayarlanabilir
eylemsizlik momenti modelidir. Burada çekirdeğin enerji düzeyleri çekirdeğin eylemsizlik
momentine göre ayarlanır.
Yaklaşık küresel çekirdeklerde olduğu gibi deforme çekirdeklerde titreşim hareketi yapar
. düşük enerjide ki deforme çekirdeklerde üç farklı titreşim düzeyi gözlemlenir. Bunlar
kuadrapol bir-fonon beta titreşimi , kuadrapol bir-fonon gama titreşimi ve oktopol bir- fonon
titreşimidir. Deforme çekirdeğin şekli beta ve gama değişkenleriyle tanımlanabilir.
Şekil 11.17 de görüldüğü üzere beta titreşiminde çekirdeğin şekli uzun eksen boyunca
titreşmektedir. Dolayısıyla ortalama çekirdek yarıçapı değişmektedir. Gama titreşiminde
çekirdeğin kısa ekseni içe ve dışa hareket ederek küreselliği bozmaktadır. Oktopol
titreşiminde ise çekirdek asimetrik bir titreşim yapmakta dır. Bir-fonon beta, gama ve oktopol
titreşim enerjileri yaklaşık olarak 0.5-1.5 MeV arasındadır.
Bir kez çekirdek titreşim hareketi yapmaya başladığında titreşim bantları üzerine binen
rotasyonel bantlarada sahiptir. Damble molekül titreşim düzeylerine ve bu titreşim düzeyleri
üzerine inşa edilmiş rotasyonel bantlara sahiptir. Bununla birlikte damble molekül yalnızca
beta titreşimine sahiptir. Yani atomlar birbirlarini bağlayan eksen boyunca hareket ederler.
Rotasyonel bantların temel seviye beta,gama ve oktopol titreşim üzerine bina edilmesinin
keşfedilmesi Bohr ve Motterson tarafından tahmin edildi. Deforme çekirdeklerde deney ve
teorini detaylı bi şekilde uyumlu olduğunu gösteren son elde edilen datalar ile birlikte
karşılaştırmaları şekil 11.17 de verilmiştir. Şekil 11.12b de görüldüğü üzere hala iki beta
fonon,iki gama fonon titreşimlerinin olup olmadığı hakkında tartışmalar hala devam
etmektedir. Enerji düzeylerinin duyarlı bir şekilde keşfedilmesi ve bu düzeyler arasında gama
geçişlerinin yoğunlukları ilkinden çok daha komplekstir. Rotasyonel ve vabrasyonel
hareketlerin etkileşimiyle ortaya çıkan perütürbasyon beta ve gama titreşimlei arasında
doğmaktadır. Bunula birlikte bohr ve motelson modelinin başarısı oldukça iyidir. Beta ve
gama bantları Çok daha kompleks veriler için rotasyonel-vabrasyonel model tahminine beta –
gama etkileşiminide dahil edecek şekilde uyuşmamaktadır. Dolayısıyla beta vabrasyonel bant
tanımlamaları için daha çok mikroskobik modellere ihtiyaç vardır. M1 ve E2 karışım oranları
dallanmaları beta banttan temel düzey rotasyonel bant üzerine geçişlerdeki başarısızlık bohr
motelson modelinin ilk eksikliğidir. 1967 yılında nükleer fizik konferansında daha fazla
mikroskopik tanımlamaların yapılması gerektiği ortaya konmuştur.
Download

10.HAFTA