1
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
001
Ali ve Aliye aynı zamanda bir şirkette işe başlaması ile ilgili aşağıdaki 3 veri
verilmektedir.
1)Ali’nin başlangıç maaşı 2500 TL dir.
2) Ali’nin maaşı her 4 ayda bir 50 TL artmaktadır.
3)Aliye’nin maaşı 6 ayda bir 100 TL artmaktadır.
Ali ile Aliye’nin 6 yıl sonraki maaşları birbirine eşit olacağına göre, Aliye’nin başlangıç
maaşının 200 lira eksiği kaç liradır?
Ali'nin başlangıç maaşı = 2500 TL
Aliye'nin başlangıç maaşı= x TL olsun.
6 yıl = 6.12=72 ay
Buna göre sorudaki verilerden yola çıkarak aşağıdaki gibi bir denklem
elde edebiliriz.
72
72
.50 = x +
.100
4
6
2500+900=x+1200
2500=x+300
2500+
x=2200
İSTENEN=2200-200=2000 TL
002
Bir kamyon fuarında A, B ve C marka yerli kamyonlar ile X, Y ve Z marka yabancı
kamyonlar tek bir sırada yan yana sıralanacaktır.
1)Yerli ve yabancı kamyonlar kendi arasında art arda sıralanacaktır.
2)A kamyonu, tüm kamyonlar arasında en başta veya en sonda olacaktır.
3)X kamyonu, yabancı kamyonlar arasında en başta veya en sonda olacaktır.
Buna göre; kamyonlar kaç farklı durumda sıralanabilirler?
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
2
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
003
Bir koşuda yarışacak adayların her birine bir numara verilmiştir.
1)Koşuda yarışacak erkek atletlere 1 den başlanarak tek sayılar numara olarak
verilmiştir.
2)Koşuda yarışacak bayan atletlere 2 den başlanarak çift sayılar numara olarak
verilmiştir.
3)Koşuda erkek atletlere verilen en son numara 83 dür.
4)Koşuda yarışan erkek atlet sayısı bayan atlet sayısının 3 katıdır.
Buna göre; koşuda yarışan bayan atletlere verilen en son numaradan bir önceki
bayan atletin numarası kaçtır?
bayanların sayısı =x , Erkeklerin sayısı=3x olsun. (soruda veriliyor...)
83-1
E={1,3,5,...,83} buradan 3x=
+1  3x=42  x=14 tane bayan yarışmacı
3-1
olacağı aşikardır.
y-2
B={2,4,6,...,y} 
+1=14  y=28 en son bayan yarışmacının numarasıdır.
4-2
Ancak bize soruda bu yarışmacıdan bir önceki yarışmacının yarışma numarası
sorulduğundan;
28-2=26 olacağı aşikardır.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
3
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
004
Ayşe, Bora ve Can’ın toplam 72 topu vardır.
1) Ayşe toplarının yarısını Bora’ya
2) Bora toplarının üçte birini Can’a
3) Can toplarının dörtte birini Ayşe’ye
Aynı anda verdiğinde üçünün de başlangıçtaki top sayısı değişmediğine göre, Ayşe’nin
top sayısı kaçtır?
Soruda başlangıçtaki top sayısı değişmediğine göre;
x z
x= +

2 4
2y x
y= +

3 2
3z y
z= +

4 3
x+y+z=72 
x z
=
 z=2x
2 4
y x
=
 2y=3x  y=3a ve x=2a
3 2
z y
=
 3z=4y  3z=12a  z=4a
4 3
2a+3a+4a=72  9a=72  a=8
z 4a
Bizden sorulan; x= = =2a yani x=2a=2.8  x=16 tane başlangıçta topu vardır.
2 2
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
4
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
005
İki hatalı ölçü aracından birincisi bir ölçüyü gerçeğinden %3 fazla, ikincisi bir ölçüyü
gerçeğinden %5 eksik olarak ölçüyor. 72 birim uzunluğundaki bir tahta iki parçaya
ayrıldıktan sonra uzun parça birinci ölçüm aracı ile kısa parça ise ikinci ölçüm aracı ile
ölçüldüğünde toplam uzunluk 72 birim olduğuna göre, kısa parçanın uzunluğunun 72
birim fazlası kaç birimdir?
(72-x).3 
5x 


(72-x)+
+
x

 =72  kısa parçanın uzunluğu x=27 birim

100 
 100 
ama soruda,
Kısa parçanın uzunluğunun 72 birim fazlası 72+27=99 birimdir.
006
%36 sı su olan 23 kg yaş üzüm bir süre bekletildikten sonra % 8 inin su olduğu
belirleniyor. Buna göre; son durumda elde edilen üzüm kaç gramdır?
x buharlaşan su miktarı olsun
36
8
23.36-100x 23.8-8x
23.
-x = (23-x).

=
100
100
100
100
 23.36-100x =23.8-8x
 23.28 = 92x
 x=7 kg buharlaşan su miktarıdır.
İSTENEN=23-7=16 kg=16000 gr
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
5
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
007
İki araç A noktasından B noktasına doğru aynı anda hareket ediyor. Hızlı olan araç
yolun yarısını aldığında yavaş olan 40 km yol alıyor. Yavaş olan araç yolun yarısını
aldığında hızlı olan 90 km yol alıyor.
Buna göre, A ve B noktalarının arası uzaklığın yarısı kaç km‘dir?
V1  V2 varsayarak problemin verilerini analiz edelim
BİRİNCİ DURUM
V2.t1 =40 ve V1.t1 =x
İKİNCİ DURUM
V1.t2 =90 ve
İSTENEN=x=?
V2.t2 =x
40
90
V2.t1 =40 ile V1.t2 =90 buradan t1 =
ile t2 =
V2
V1
40
90
V1.t1 =x= V2.t2  V1.t1 = V2.t2  V1. = V2.
V2
V1

2V1 = 3V2
Buradan, V1 = 3V ile V2 = 2V olacağı aşikardır.
V1.t1 = V2.t2  3V.t1 = 2V.t2  3.t1 = 2.t2
Buradan, t1 = 2t ile t2 = 3t olacağı aşikardır.
V2.t1 =40  2V.2t=40  Vt=10 km olacaktır.Buradan,
x=V1.t1 =3V.2t=6Vt  x=60 km
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
6
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
008
Yukarıdaki venn şemasında gösterilen kümelerle ilgili aşağıdaki açıklamalardan
yararlanarak küme problemlerinin (çeşitli sonuçlar yardımıyla) çözümüne ulaşabiliriz.
E: Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir.
Üzerinde işlem yapılan kümeler değişeceğinden küme değişir.
A,B: Evrensel küme üzerinde işlem yaptığımız kümelerdir. A ve B kümeleri evrensel
kümenin alt kümeleridir.
Yukarıdaki şekle göre A ile B ayrık olmayan kümelerdir. Yani, kesişimleri boş küme
olmayandır.
s(A)=x+y , s(B)=y+z ve s(E)=x+y+z+m olsun.
BİRLEŞİM İŞLEMİ
A veya B kümelerine ait tüm elemanların oluşturduğu kümeye A ile B kümesinin
birleşimi denir.
A  B={x|x  A  x B}
s(A  B)=x+y+z
KESİŞİM İŞLEMİ
A ve B kümelerine ait ortak elemanların oluşturduğu kümeye A ile B kümesinin
kesişimi denir.
A  B={x|x  A  x B}
s(A  B)=y
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
7
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
BİRLEŞİM VE KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1) A  A  A (Tek kuvvet özelliği)
2) A  B  B  A (Değişme özelliği)
3) A   B  C    A  B   C (Birleşme özelliği)
4) A  B  A , A  B  B
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------5) A  A  A (Tek kuvvet özelliği)
6) A  B  B  A (Değişme özelliği)
7) A   B  C    A  B   C (Birleşme özelliği)
8) A  A  B , B  A  B
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------9) A   B  C    A  B    A  C  (  işleminin  işlemi üzerine Dağılma özelliği )
10) A   B  C    A  B    A  C  (  işleminin  işlemi üzerine Dağılma özelliği )
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------11) A    A (  işleminin  etkisiz eleman özelliği)
12) A     (  işleminin  yutan eleman özelliği)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------13) A  B  A  B  A
14) A  B  A  A  B
15) s(A  B)  s(A)+s(B)-s(A  B)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------UYARI:
A,B ve C ayrık olmayan kümeler olmak üzere;
s(A  B  C)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A  B)-s(A  C)-s(B  C)+s(A  B  C)
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
8
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
TÜMLEME
A  E olsun.
E kümesinin A 'da bulunmayan elemanlarının oluşturduğu kümeye A kümesinin
tümleyeni denir.
A' , A T veya A sembollerinden biri ile gösterilir.
A' = {x|x  A  x E}
TÜMLEME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1)  '=E
2) E'=
3) (A')'=A
4) A  A'=E
5) A  A'=
6) A  E=A
7) A  E=E
8) A'  E=A'
9) A'  E=E
10)  A  B  '=A' B'
11)  A  B  '=A' B'
Örneğin;
s(A’)=z+m
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
9
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
İKİ KÜME FARKI
Aynı evrensel kümenin iki alt kümesi A ve B olsun.
A'da olup B'de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A fark B kümesi denir.
A -B , A / B
veya
A \ B sembollerinden biri ile gösterilir.
A-B={x|x  A  x B}
İKİ KÜMENİN FARK İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1) A-B=A-(A  B)
2) A-B=A  B'
3) A-B  A
4) (A  B)  (A-B)=A
5) A  B  A-B=
6) A-E=
7) E-A=A'
8) A-(B  C)=(A-B)  (A-C)
9) A-(B  C)=(A-B)  (A-C)
10) A  B=(A-B)  (B-A)=(A  B)-(A  B) (Simetrik fark)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------UYARI:
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
10
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
Kümeler cebirini sentezleyebilmemiz için aşağıdaki basit örneği inceleyelim.
İngilizce, Almanca bilen veya hiçbir dil bilmeyen bir turist kafilesini Venn şemasıyla
yukarıdaki şekilde gösterirsek;
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SADECE İNGİLİZCE BİLENLERİN SAYISI = x
SADECE ALMANCA BİLENLERİN SAYISI = y
HER İKİ DİLİ BİLENLERİN SAYISI (İngilizce ve Almanca bilenler) = z
İNGİLİZCE VEYA ALMANCA BİLENLERİN SAYISI = x+y+z
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------EN AZ BİR DİL BİLENLERİN SAYISI = x+y+z
EN ÇOK BİR DİL BİLENLERİN SAYISI = x+y+t
HİÇBİR DİL BİLMEYENLERİN SAYISI = t
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------İNGİLİZCE BİLMEYENLERİN SAYISI = y+t
ALMANCA BİLMEYENLERİN SAYISI = x+t
SADECE BİR DİL BİLENLERİN SAYISI = x+y
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
11
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
s(A)=8 , s(B)=4 , s(A  B)=3s(A  B) olduğuna göre;
s(A ∩ B) kaçtır?
009
y=?
s(A)=x+y=8 ,
s(B)=y+z=4 ,
x+y+z=s(A  B)=3s(A  B)=3y
x+y+z=3y
x+z=2y
Yukarıdaki verileri göz önünde bulundurursak,
x+y=8
y+z=4
Tarafa toplarsak,x+y+y+z=12  3y+y=12  y=4
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
12
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
s(A)=15 , s(B)=14 , s(C)=13 , s(A  B)=5 , s(A  C)=4 , s(B  C)=3
ve s(A  B  C)=2 olduğuna göre ; s(A  B  C) kaçtır?
010
s(A  B  C) = 8+3+2+2+8+1+8=32
A  B  {a,d}
B  C  {d}
011
Kümeleri veriliyor.Buna göre; s(A  C)'nin alabileceği değerler
toplamı kaçtır ?
1.ÇÖZÜM YOLU
BİRİNCİ DURUM:
A  B  {a, d}  A={a}
B  C  {d}
 C={ }
Dolayısıyla ; s(A  C)=1
İKİNCİ DURUM:
A  B  {a, d}
B  C  {d}
 d 'nin özalt küme sayısı =s(A)=21 -1=1
 d 'nin özalt küme sayısı =s(C)=21 -1=1
Dolayısıyla ; s(A  C)=1+1=2
s(A  C)'nin alabileceği değerler toplamı=1+2=3
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
13
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
2.ÇÖZÜM YOLU
A  B  {a, d}
B  C  {d}
 A={a} veya A={a,d}
 C={ } veya C={d}
A  C  {a,d}
 s(A  C)=2
veya A  C  {a}
 s(A  C)=1
İSTENEN=1+2=3
A  B  {a,b,c,d,e,f,g}
B  C  {d,e,f,g,h,k}
012
Kümeleri veriliyor.Buna göre; s(A  C)'nin alabileceği değerler
toplamı kaçtır ?
1.ÇÖZÜM YOLU
BİRİNCİ DURUM :
A  B={a,b,c, d, e, f , g}
 A={a,b,c}
B  C={d, e, f , g ,h,k}
 C={h,k }
Dolayısıyla ; s(A  C)=5
İKİNCİ DURUM:
A  B={a,b,c, d, e, f , g}
B  C={d, e, f , g ,h,k}
 d 'nin özalt küme sayısı =s(A)=24 -1=15
 d 'nin özalt küme sayısı =s(C)=24 -1=15
Dolayısıyla ; s(A  C)=15+15=30
s(A  C)'nin alabileceği değerler toplamı=5+30=35
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
14
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
A={n  Z  | n  80 , n sayısı 4 ile tam bölünür.}
B={n  Z  | n  60 , n sayısı 6 ile tam bölünür.}
013
Kümeleri veriliyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) s(A)+s(B-A)=?
s(A  C)
=?
s(B)
c) A kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
d) B kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
A={n  Z  | n  80 , n sayısı 4 ile tam bölünür.}={4,8,12,...,80}
b)
B={n  Z  | n  60 , n sayısı 6 ile tam bölünür.}={6,12,18,...,60}
EKOK(4;6)=12 ayrıca A  B={12,24,36,...60}
80-4
76
s(A)=
+1  s(A)= +1=19+1=20
8-4
4
60-6
54
s(B)=
+1  s(B)= +1=9+1=10
12-6
6
60-12
48
s(A  B)=
+1= +1=4+1=5
24-12
12
a) s(A)+s(B-A)=20+5=25
s(A  C) 5 1
b)
= = =0,5
s(B)
10 2
80+4
84
c) 4+8+12+...+80=
.s(A)= .20=84.10=840
2
2
60+6
66
d) 6+12+18+...+60=
.s(B)= .10=33.10=330
2
2
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
15
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
A,B ve C ; E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
s(A)+s(B)=12
s(A')+s(B')=18
014
s(C')=8
olduğuna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır?
b) C kümesinin tüm alt kümesinin bulunuz.
c) C kümesinin özalt küme sayısını bulunuz.
d) C kümesinin en çok 3 elemanlı alt küme sayısını bulunuz.
e) C kümesinin en az 4 elemanlı alt küme sayısını bulunuz.
f) C kümesinin eleman sayısı n olsun.
n  n 
 4  +  2  işleminin sonucu kaçtır?
   
e) C kümesinin eleman sayısı n olsun.
n  n n  n  n   n   n  n 
 0  +  1  +  2    3    4  +  5    6    7  işleminin sonucu kaçtır?
               
s(A)+s(B)=12
s(A')+s(B')=18
Yukarıdaki eşitlikleri taraf tarafa toplarsak;
s(A)+s(A')+s(B)+s(B')=12+18
s(E)+s(E)=30
s(E)=15
Bu durumda, s(C)+s(C')=s(E)  s(C)+8=15

s(C)=7
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
16
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
a) Evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır?
s(E)=15
b) C kümesinin tüm alt kümesinin bulunuz.
s(C)=7  2s(C) =27 =128
c) C kümesinin özalt küme sayısını bulunuz.
2s(C) -1=27 -1=128-1=127
d) C kümesinin en çok 3 elemanlı alt küme sayısını bulunuz.
 7   7   7   7  7!
7!
7!
7!
+
+
+
 0 + 1 + 2  +  3  =
        7!.0! 6!.1! 5!.2! 4!.3!
7! 7! 5!.6.7 4!.5.6.7
= + +
+
7! 6! 5!.2!
4!.3!
=1+7+21+35
=8+56
=64
e) C kümesinin en az 4 elemanlı alt küme sayısını bulunuz.
 7   7   7   7  7!
7!
7!
7!
+
+
+
=
+
+
+
 4   5  6   7
        3!.4! 2!.5! 1!.6! 0!.7!
4!.5.6.7 5!.6.7 6!.7 7!
=
+
+
+
4!.3!
2.5! 1!.6! 0!.7!
=35+21+7+1
=56+8
=64
 7   7  7!
7! 4!.5.6.7 5!.6.7
f)   +   =
+
=
+
=35+21=56
4
2
3!.4!
5!.2!
6.4!
5!.2
   
 7   7  7  7  7   7  7  7
e)   +   +         +         =27 =128
 0 1   2  3  4   5  6  7
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
17
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
n N olmak üzere;
(n+2)! - (n+1)! 2
- n ifadesinin en sade şeklini bulunuz .
n! + (n-1)!
015
(n+2)! - (n+1)! 2 (n+1)!.(n+2) - (n+1)! 2
-n =
-n
n! + (n-1)!
n-1 !.n + (n-1)!
=
(n+1)!.(n+2-1) 2
-n
n-1!.(n+1)
=
(n+1)!.(n+1) 2
-n
n-1!.(n+1)
=
(n+1)! 2
-n
n-1!
(n-1)!n(n+1) 2
-n
n-1!
=n2 +n - n2
=
=n
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
18
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
n N olmak üzere;
(n+2)!
- 1-3-5- ... -2n-1 ifadesinin en sade şeklini bulunuz .
n!
016
(n+2)! n!(n+1)(n+2) 2
=
=n +3n+2
n!
n!
2n+1 - 1
2n
s  {1,3,5, ... , 2n+1}  =
+1 =
+1 =n+1
3-1
2
2n+1+1
2n+2
1+3+5+ ... +2n+1=
.s  {1,3,5, ... , 2n+1}  =
. n+1 =n2 +2n+1
3-1
2
(n+2)!
(n+2)!
- 1-3-5- ... -2n-1=
- 1+3+5+ ... +2n+1
n!
n!
=n2 +3n+2 - n2 +2n+1


=n2 +3n+2-n2 -2n-1
=n + 1
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
19
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
n N olmak üzere;
017
n! + (n+1)!
= 8 eşitliği verildiğine göre; n2 - 6n ifadesinin sayısal
n! - (n-1)!
değeri kaçtır ?
n! + (n+1)!
=8
n! - (n-1)!

n! + n!(n+1)
=8
(n-1)!.n - (n-1)!
n!.(n+2)
=8
(n-1)!.(n-1)
(n-1)!.n.(n+2)
=8
(n-1)!.(n-1)
n.(n+2)
=8
(n-1)
n2 +2n = 8n-8

n2 -6n = - 8




İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
20
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
n = 2014 olmak üzere;
(n+3)! - (n+2)! (n+2)!
:
(n+1)! + n! (n+1)!
018
ifadenin sayısal değeri kaçtır ?
(n+3)! - (n+2)! (n+2)! (n+2)!(n+3) - (n+2)! (n+2)!
:
=
:
(n+1)! + n! (n+1)!
n!.(n+1) + n!
(n+1)!
(n+2)!(n+3-1) (n+2)!
=
:
n!.(n+1+1) (n+1)!
(n+2)!(n+2) (n+1)!
=
.
n!.(n+2) (n+2)!
(n+2)!(n+2) n!(n+1)
=
.
n!.(n+2) (n+2)!
= n+1
= 2014+1
= 2015
019
AŞAĞIDA VERİLEN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİ VEYA
ÇÖZÜM KÜMELERİNİ BULUNUZ.
19.1.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
21
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.2.
19.3.
19.4.
19.5.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
22
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.6.
19.7.
19.8.
19.9.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
23
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.10.
19.11.
19.12.
19.13.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
24
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.14.
19.15.
19.16.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
25
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.17.
19.18.
19.19.
19.20.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
26
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.21.
19.22.
19.23.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
27
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.24.
19.25.
19.26.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
28
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.27.
19.28.
19.29.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
29
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.30.
19.31.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
30
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.32.
19.33.
19.34.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
31
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.35.
19.36.
19.37.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
32
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.38.
19.39.
19.40.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
33
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.41.
19.42.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
34
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.43.
19.44.
19.45.
19.46.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
35
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.47.
19.48.
19.49.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
36
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.50.
19.51.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
37
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.52.
19.53.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
38
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.54.
19.55.
19.56.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
39
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.57.
19.58.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
40
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
19.59.
19.60.
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
41
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
A={1,2,3,4,5,6,7,8}
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az üç çift rakam bulunur ?
020
A={1,2,3,4 ,5,6 ,7,8} ; s(A)=8 , s(T)=4 ve s(Ç)=4
A kümesinin tüm alt küme sayısı= 28 =256
Hiç çift rakam bulunmayan alt küme sayısı=24 =16 ; s(T)=4
Bir tane çift rakam bulunan alt küme sayısı=4.16=64
En az iki çift rakam bulunan alt küme sayısı=256-(16+64)=176
En az üç çift rakam bulunan alt küme sayısı=256-176=80
En az dört çift rakam bulunan alt küme sayısı=256-80=176
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
42
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
A ve B iki küme;
A  B kümesinin alt küme sayısı A kümesinin alt küme sayısı 8 katına,
B kümesinin alt küme sayısının 16 katına eşit olduğuna göre;
021
s(A  B) - s(A  B) = x kaçtır ?
alt küme sayısı 2n
s(B)=m alt küme sayısı 2m
s(A  B)=x
s(A)=n
s(A  B)=m+n-x alt küme sayısı 2m+n-x
2m+n-x =8.2n =16.2m
2m+n-x =2n+3 =2m+4
m+n-x=n+3
n-x=3
ayrıca,
m+n-x=m+4
n-x=4
o halde; yukarıdaki iki eşitliği taraf tarafa toplarsak,
m+n-2x=7
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
43
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
A={a,b,c,d,e,1,2,3} kümesi veriliyor.
Buna göre; A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde en az
2 tane rakam bulunur ?
022
A={a,b,c,d,e,1,2,3}
 3  5
    .  =3.10=30
2 2
 3  5
    .  =1.5=5
 3 1 
   böyle bir durum yoktur!
İSTENEN=30+5+0=35
A={0,1,2,3,4,5,6,7} kümesi veriliyor.
Buna göre; A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde en az
2 tane asal sayı bulunur ?
023
A={0,1,2,3,4,5,6,7}
4 4
     .  =6.6=36
2  2 
4 4
     .  =4.4=16
 3  1 
4 4
     .  =1.1=1
4 0
İSTENEN=36+16+1=53
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
44
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
A={x|10  x  221,x=12k,k  Z}
B={y|25  y  270,x=16k,k  Z}
olduğuna göre ; A  B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
024
216-12
+1=18
24-12
256-32
s(B)=
+1=15
48-32
EKOK(12;16)=48 
A  B={48,96,144,192}
s(A  B)=18+15-4=33-4=29
s(A)=

s(A  B)=4
A={a,b,c,d,e,...}
kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin 15 tanesinde a
elemanı bulunmakta ve e elemanı bulunmamaktadır.
025
Buna göre; A kümesinin eleman sayısı kaçtır ?
A={ a ,b,c,d, e ,...}  s(A)=n tane için;
a- - - yani;
 n-2  n-2 !
=15
 4 =
n-6
!.4!





n-5 n-4 n-3 n-2  =360

n=8
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
45
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
A={p,q,r,s,t}
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde p ile r 'den en az
biri eleman olarak bulunur ?
026
s(A)=5
Tüm alt küme sayısı=25 =32
A={ p ,q, r ,s,t}
Hiç bulunmayan alt küme sayısı=23 =8
İSTENEN=32-8=24
A={x|x2 <100 ve x  Z}
B kümesinde olmayan küme B kümesi olmak üzere,
027
B={x||x-12| 5 ve x  Z} olduğuna göre;
A  B kümesinin eleman sayısı kaçtır ?
x  Z;
9-(-9)
+1=18+1=19
-8+9
|x-12| 5  x-12  5 veya -x+12  5 yani,
A={-9,-8,-7,...,-3,-2,1,0,1,...8,9}
 s(A)=
B=( ,7]  [17, )
 B=(7,17) olacağı aşikardır.
16-8
B={8,9,...,15,16}  s(B)=
+1=8+1=9
9-8
A  B={8,9}  s(A  B)=2
s(A  B)=s(A)+s(B)-s(A  B)=19+9-2=26
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
46
Bu ders materyali Ömer SENCAR tarafından 10/09/2014 tarihin de hazırlanmıştır.
“başarının sırrı, bilginin ışığı…”
A={1,2,3,4,5} kümesi veriliyor.
028
Buna göre; alt kümelerinin kaç tanesinde en az iki tane asal sayı bulunur?
27 - 23.4+24 .3+23 =128-(32+48+8)=128-88=40


A={a,b,c,1}
B={a,b,c,1,2,3,12,13} kümesi veriliyor.
029
A  T  B olacak şekilde yazılan T kümelerinin kaç tanesinde
en az bir tane rakam bulunur ?
A={a,b,c,1}
B={a,b,c,1,2,3,12,13}
24 =16
A={1,2,3,4,5,6,7}
Kümesi veriliyor.Buna göre; A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde
030
en çok bir tek sayı bulunur?
A={1,2,3,4,5,6,7}
Tüm alt küme sayısı 26 =64
Hiç asal sayı bulundurmayan alt küme sayısı 22 =4
Bir tane asal sayı bulunduran alt küme sayısı 4.4=16
En az iki asal sayı bulunduran alt küme sayısı 64 - (4+16)=44
İŞLEM-DENKLEM-KÜME ÖZELLİKLERİNİN ÇÖZÜMLÜ UYGULAMALARI
Download

işlem-denklem-küme özelliklerinin çözümlü uygulamaları