1
UZAY VE DÜZLEMDE BİLİNMESİ GEREKEN ÖNEMLİ BİLGİ KONU ANLATIMI
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ÖMER SENCAR TARAFINDAN YAPILMIŞTIR.
Uzay : R3 , Düzlem : R2 sembolü ile gösterilir.
Uzay 3 boyutlu, düzlem ise 2 boyutludur.Uzay modeli prizma,düzlemin modeli ise
paralelkenardır.Uzay tüm noktaların kümesidir. Bu nedenle;
R2  R3 olacağı aşikardır.
DOĞRU AKSİYOMU: İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer. Örneğin P ve Q
noktasından n doğrusu geçeceği aşikârdır.Ama W noktasından sonsuz doğru
geçer.Doğru demeti oluşturur.
PARALELLİK AKSİYOMU: Bir doğru aynı anda iki doğruya dik bu doğru diğer
doğruları kesiyorsa diğer iki doğru birbirlerine paraleldir.
k  d  k  m   k//m bu durumda,
d  P , m  P  d  m=
AYKIRI DOĞRULAR: Farklı düzlemdeki doğrulara aykırı doğrular denir.
n doğrusu ile m doğrusu aykırı doğrulardır. Aykırı doğrular kesişmez.
n  E , m  P  n  m=
Aynı düzlemde iki doğrunun bir ortak noktası varsa bu doğrular o noktada kesişir.Hiç
bir ortak noktası yoksa bu doğrular paraleldir.Tüm noktaları ortak ise bu doğrular
çakışıktır.Paralel doğrular ile çakışık doğruların doğrultuları aynı olmasına
karşılık,Kesişen doğruların doğrultuları farklıdır.Doğrultuları aynı olan iki farklı doğru
paraleldir.Doğrultuları farklı iki doğru her zaman kesişmeyebilir.(Çünkü bu doğrular
aykırı doğrular olabilir.Eğimleri eşit olan doğrular paralel doğrulardır.Doğru demetini
oluşturan doğruların doğrultuları farklıdır.
Doğrularda; Eşlik bağıntısında doğruların uzunluğu,denklik bağıntısında doğrultuları
aynıdır.
-1-
2
UZAY VE DÜZLEMDE BİLİNMESİ GEREKEN ÖNEMLİ BİLGİ KONU ANLATIMI
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ÖMER SENCAR TARAFINDAN YAPILMIŞTIR.
Bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer. Bu noktadan geçen doğruların bütünlüğüne doğru
demeti denir.Geometride boyut kavramı 3 aşamalı düşünülmesi gereken kavramdır.
1) En
2) Boy
3) Yükseklik
Buna göre ; Nokta boyutsuzdur.Doğru bir boyutludur.Düzlem iki boyutludur. Uzay üç boyutludur.
Bir ucu sınırlı doğruya ışın denir.İspatlanan önermelere teorem,ispatlanmayıp doğruluğu kabul
edilen önermelere aksiyom adı verilir.Geometrik bir kavram olarak düzlemde nokta gibi tanımsızdır.
Akisyoma iki tane örnek:
Doğrusal olmayan üç noktadan bir ve yalnız bir düzlem geçer.Farklı iki noktadan bir ve yalnız
bir doğru geçer.
Aynı düzlemde bulunan noktaya düzlemsel nokta denir.Uzunlukları eşit olan iki doğru parçasına
eşit doğru parçaları denir.
A(a) ile B(b) arasındaki uzaklığa,  AB  'nın uzunluğu denir ve d  A,B  =|AB|=|b-a|=|a-b|
biçiminde gösterilir.Bir doğrunun birbirinden farklı A,B ve C noktaları için ;
|AB| + |BC| = |AC| eşitliği var ise "B noktası A ile C noktalarının arasındadır.
 AB üzerinde A  a 
noktaya
 AB ' nın
ile B  b  arasında |AB| = |CB| olacak bir şekilde bir C  c  noktası varsa bu
orta noktası denir. C noktasının koordinatı c=
a+b
şeklinde bulunur.
2
AB doğrusu üzerinde bir C noktası doğruyu üç kümeye ayırır.
CD  EB
 |CD| = |EB
'dir.
Reel sayılarla eşlenmiş d doğrusuna koordinat doğrusu veya sayı doğrusu denir.
Sayı doğrusu üzerinde bir A  a  noktası
a  R 
alalım. a'ya A noktasının koordinatı denir.
Örneğin, A  0  için A noktası üzerinde bulunduğu doğrunun orijin(başlangıç) noktasıdır.
BC doğrusu üzerinde bir A  0  noktası alalım.A noktası BC arasında olsun.
BC doğrusu üzerindeki noktalar negatif reel sayılarla eşlenir.
Doğrusu yatay durumda ; B noktası A noktasının solunda
Doğrusu düşey durumda ; B noktası A noktasının aşağısında...
BC doğrusu üzerindeki noktalar pozitif reel sayılarla eşlenir.
Doğrusu yatay durumda ; B noktası A noktasının sağında
Doğrusu düşey durumda ; B noktası A noktasının yukarısında...
Konveks Küme demek , DIŞ Bükey Küme , konkav , İÇ Bükey Küme demektir.
-2-
3
UZAY VE DÜZLEMDE BİLİNMESİ GEREKEN ÖNEMLİ BİLGİ KONU ANLATIMI
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ÖMER SENCAR TARAFINDAN YAPILMIŞTIR.
Nokta konveks bir kümedir. Doğru , Doğru parçası , ışın ve yarı doğru konveks birer kümedir.
Düzlem ve Uzay konveks bir kümedir.Daire Konveks bir kümedir.Çember Konkav bir kümedir.
Doğru , Düzlem ve Uzayın birer noktaları çıkarılıp atmakla elde edilen kümeler Konkav olur.
Konveks iki kümenin kesişimi Konveks bir kümedir.Konveks iki kümenin birleşimi Konveks
veya Konkav olur.Konveks olmayan iki kümenin birleşimi konveks olabilir.Bir kümenin Konkav
olduğu gösterilemiyorsa o küme Konveks olur.Bu nedenle Boş küme
Konvekstir.Doğru noktalar kümesidir.Doğru iki yönde sınırsızdır.
d doğrusu P düzlemsel bölgeyi;
1) d doğrusunun kendisi
2) I.yarı düzlem
3) II.yarı düzlem
olmak üzere 3 bölgeye ayırır.
Düzlemdeki bir doğru düzlemi iki parçada oluşturabilir.Ayrılan parçalardan her birine yarı düzlem
adı verilir.Düzlem parçalarına doğru dahilse kapalı yarı düzlem, dahil değilse açık yarı düzlem denir.
Bir düzlemin içinde bulunan n tane doğru düzlemi bölgelere ayırır.
n2  n  2
en çok:
2
en az : n+1
A noktası P düzleminin içinde ise bu nokta düzlemsel nokta denir.  A  P 
Düzlemde doğrusal n tane noktadan geçen doğru sayısı ; "n elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt
kümelerinin sayısı kadardır."
Düzlemde doğrusal n tane noktadan geçen düzlem sayısı ; "n elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt
kümelerinin sayısı kadardır."
Her doğru bir düzlemin , her düzlem uzayın bir alt kümesidir. Uzay,bütün noktaların kümesidir.
Bir noktadan çok sayıda düzlem geçer.İki noktadan çok sayıda düzlem geçer.
Kesişen iki doğru en az bir düzlem belirtir.
Paralel iki doğru en az bir düzlem belirtir.
d doğrusu ve bu doğrunun dışında bir A noktası en az bir düzlem belirtir.
Nokta konveks bir kümedir. Doğru , Doğru parçası , ışın ve yarı doğru konveks birer kümedir
-3-
4
UZAY VE DÜZLEMDE BİLİNMESİ GEREKEN ÖNEMLİ BİLGİ KONU ANLATIMI
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ÖMER SENCAR TARAFINDAN YAPILMIŞTIR.
Her doğru bir düzlemin , her düzlem uzayın bir alt kümesidir. Uzay,bütün noktaların kümesidir.
Bir noktadan çok sayıda düzlem geçer.İki noktadan çok sayıda düzlem geçer.
Kesişen iki doğru en az bir düzlem belirtir.
Paralel iki doğru en az bir düzlem belirtir.
d doğrusu ve bu doğrunun dışında bir A noktası en az bir düzlem belirtir.
Nokta konveks bir kümedir. Doğru , Doğru parçası , ışın ve yarı doğru konveks birer kümedir.
İki düzlemin arakesiti boş küme ise bu iki düzlem birbirine paraleldir.(Akside doğrudur.)
Yani;
E ve F düzlemler olmak üzere;
E  F=  E // F
İki düzlemin arakesiti boş küme değilse,düzlemlerin kesişim kümesi arakesit doğrusur.
(Akside doğrudur.)
Yani;
E  F=  d  F ve d  E
d , m aynı E düzlemi içinde birer doğru olsunlar.
d  E ve m  E ;
d  m=
 d // m
;
d  m={A}
 iki doğru A noktasında kesişir.
;
d  m=d=m  iki doğru çakışıktır.
E ve F düzlem , d ve m doğrular olmak üzere:
d  E , d  F ; m  E , m  F ve
d  m=
 d ile m doğruları aykırı doğrulardır.
d doğru , E düzlemi olmak üzere ; d  E={A}  d doğrusu E düzlemini A noktasında keser(deler).
d doğru , E düzlemi olmak üzere ; d  E=
 d doğrusu E düzlemini paraleldir.
2  n  N olmak üzere;
Bir düzlem içindeki n farklı doğru en fazla C  n,2  farklı nokta kesişir.
Eğer n farklı doğrular hepsi birbirine pararlel olduğu bir an için düşünülürse,
en az 0 (sıfır) noktada kesişeceği aşikardır.Yani doğruların ortak noktaları yoktur.
-4-
5
UZAY VE DÜZLEMDE BİLİNMESİ GEREKEN ÖNEMLİ BİLGİ KONU ANLATIMI
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ÖMER SENCAR TARAFINDAN YAPILMIŞTIR.
DOĞRULAR KÜMESİNDE TANIMLI PARALELLİK BAĞINTISI
1)
Her doğru kendisine paralel olduğundan doğrular kümesinde paralellik bağıntısının
yansıma özelliği vardır.  d//d
2)
d//m  m//d olduğundan doğrular kümesinde paralellik bağıntısının simetri özelliği
vardır.  d//m  m//d
3)
d//m iken m//n olduğundan doğrular kümesinde paralellik bağıntısı geçişkenlik özel-
liği vardır.  d//m//n 
Doğrular kümesinde parallelik bağıntısının yansıma,simetri ve geçişme özellikleri olduğundan
paralellik bağıntısının bir denklik bağıntısı olması aşikardır.
Doğrular kümesi üzerindeki paralellik bağıntısının her denklik sınıfının bir doğrultusu vardır.
Doğrultuları farklı olan iki doğrunun arakesiti bir noktadır.
Doğruların arakesit kümesi boş küme ise doğrular paraleldir.
Doğruların arakesit kümesi kendilerine eşit ise doğrular çakışıktır.
Bir doğru parçasının doğrultusu üzerinde bulunduğu doğrunun doğrultusu aynıdır.
İki doğru parçası üzerinde bulunduğu doğrular kesişiyorsa bu doğru parçaları farklı doğrultuda,
kesişmiyorsa aynı doğrultudadır.
Uç noktaları çakışık olan doğru parçaları nokta belirtir.Dolayısıyla tüm noktaların doğrultuları
aynıdır ve tüm noktalar aynı denklik sınıfındadır.İki düzlemin arakesiti doğrudur.
Bir doğru parçasının doğrultusu üzerinde bulunduğu doğrunun doğrultusuna paraleldir.
Düzlemde doğru parçaları kullanarak desen oluşturulurken eksenler üzerinde alınan nokta sayıları
eşittir.Doğru parçaları ile desen oluşturulurken eksenler üzerindeki aynı isimli noktalar birleştirilir.
FİLOGRAFİ : Filografi ahşap bir zemin üzerine çakılmış çiviler arasından teller geçirilerek belli örgü
teknikleri kullanarak çeşitli desenler meydana getirilmesi sanatıdır.Bu sanat orta doğuda doğmuş,
Batıya ve Uzak doğuya yayılmıştır.Ülkemizde pek tanınmayan bu sanat zorluğu,sabır gerektirmesi
nedeni ile az uygulanmaktadır.Günümüzde bu sanat ustalarından biri Saim DEVRİLMEZ'dir.
-5-
6
UZAY VE DÜZLEMDE BİLİNMESİ GEREKEN ÖNEMLİ BİLGİ KONU ANLATIMI
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ÖMER SENCAR TARAFINDAN YAPILMIŞTIR.
UYARI :
Farklı iki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.
Doğrusal olmayan en az üç nokta bir düzlem belirtir.
Doğrusal olmayan dört nokta bir uzay belirtir.
ÖRNEK :
Yukarıdaki şekillerden yararlanarak aşağıdaki önermelerde
"......" şeklinde boş bırakılan yerlere  ,  ,  ,  simgelerden
doğru olanı yazınız.
a) A...... BC doğrusu 
b)
c)
d)
e)
f)
g)
r)
CD......d
FN doğrusu  ...... P 
p...... P 
M...... P 
B......KL
CD...... P 
EF...... P 
s) E......d
t) E......p
-6-
Download

1 - www.omersencar.com