9. NİVELMAN.doc
9. YÜKSEKLİK ÖLÇMELERİ
Yükseklik ya da kot, yeryüzündeki bir noktanın, çekül doğrultusunda başlangıç yüzeyine (jeoide) olan
uzaklığı olarak tanımlanmaktadır. Yükseklikler genel olarak geometrik, trigonometrik ya da barometrik
olarak belirlenir. Uygulamada çoğunlukla noktaların yükseklikleri ölçülmeyip, noktalar arasındaki
yükseklik farkları ölçülür. Belirlenen yükseklik farkları, yüksekliği önceden belli olan noktaların
yüksekliklerine eklenerek yeni noktaların yükseklikleri bulunur. Yöntemine uygun olarak tesis edilmiş,
yapılan ölçme ve hesaplamalarla, yükseklikleri belirlenmiş olan noktalara nivelman noktası denilir.
Geometrik yükseklik ölçümünde, noktalar arasındaki yükseklik farkları bu noktaların yatay bir düzleme
olan düşey uzaklıkları ölçülerek, bunların farkı alınmak suretiyle bulunur. Geometrik nivelmanda
incelik, 1 km lik nivelman yolunda 1mm ile birkaç cm arasındadır.
Trigonometrik yükseklik ölçümünde, noktalar arasındaki uzunluklar ile düşey açı ölçülür ve yükseklik
farkı, bu değerler yardımıyla trigonometrik olarak hesaplanır. İnceliği, 1 km lik nivelman yolunda 1 cm
ile 1 dm arasındadır.
Barometrik yükseklik ölçümünde ise, yükseğe çıkıldıkça hava basıncının düşmesi özelliğinden
yararlanılır. Ölçülecek noktalar arasındaki hava basıncı farkından yükseklik farkı hesaplanır. İnceliği 13 metre arasındadır.
9.1. GEOMETRİK NİVELMAN
Geometrik nivelmanda kullanılan aletler, nivo ve miradır. Nivo, yatay gözleme düzlemi sağlayan optik
bir alettir. Nivoda yataylığı sağlamak için düzeç ve miradaki okumaları kolaylaştırmak için de dürbün
kullanılır. Aleti istenilen yöne çevirmeye yarayan bir düşey ekseni ve yataylanması için de bir üç ayak
ile donatılmıştır. Bir de aleti taşımaya yarayan sehpası vardır.
Genel olarak bir nivoda 4 eksen bulunur:
Şekil 9.1 Eğim vidalı bir nivo ve eksenleri
94
1.
DD : Düzeç ekseni
2.
OO : Optik (gözlem, nişan) ekseni
3.
VV : Düşey (asal) eksen
4.
KK : Küresel düzeç ekseni
TOPOGRAFYA
Nivonun eksenleri arasında şu koşullar sağlanmalıdır:
1. Sabit dürbünlü nivolarda, silindirsel düzeç ekseni, düşey eksene dik olmalıdır ( DD ⊥ VV ).
2. Tüm nivolarda, küresel düzeç ekseni, düşey eksene paralel olmalıdır ( KK // VV ).
3. Nivolarda temel koşul, gözlem ekseninin yatay olmasıdır. Bu koşul, sabit dürbünlü ve eğim
vidalı nivolarda; gözlem ekseni, düzeç eksenine paralel olmalıdır (OO // DD) biçiminde ifade
edilirken otomatik (kompensatörlü) nivolarda; gözlem ekseni, kompensatörün çalışma alanı
içinde yatay olmalıdır biçiminde ifade edilir.
Mira, noktaların nivelman düzleminden olan uzaklığını ölçmek için kullanılan, fırınlanmış ahşaptan ya
da metalden yapılmış cetvellerdir. Miralar, genellikle 4 m uzunluğunda ve cm bölümlü olup, dörde
katlanabilir ya da metalden (alüminyumdan) olup iç içe geçmelidir. 2 adet tutamağı olan miraların
düşeyliğini sağlayabilmek için, bir küresel düzeçle donatılmışlardır. Hassas nivelmanda kullanılan
miralar ise, 3 m boyunda tek parçalı olup 1 cm ya da yarım cm aralıklarla bölümlendirilmiştir. Bu
miralar ahşaptan olup, bölümlendirmeler ahşap üzerine yerleştirilen invar şerit üzerine yapılmıştır ve
tam düşey tutulabilmeleri için de payandalarla desteklenmiştir.
Mira altlığı (mira pabucu, mira çarığı), sağlam olmayan zeminlerde ve hassasiyet aranan nivelman
işlerinde, miraların çökmesini önlemek ve mira yön değiştirirken aynı yere tutulmasını sağlamak
amacıyla kullanılır. Mira altlığı, ortasında miranın üzerine tutulduğu küresel başlıklı bir çıkıntısı bulunan
ve toprağa gömülmesini sağlamak amacıyla üç sivri ayağı bulunan pik demirden yapılmış bir araçtır.
Taşınmasını kolaylaştırmak amacıyla bir kulpu vardır.
Şekil 9.2
a) Nivo
b) Mira
c) Mira altlığı
Nivelman Noktalarının Tesisi :
Yerleşim alanları dışında (kırsal kesimde) ve sağlam bina, köprü gibi yapıların bulunmadığı
durumlarda nivelman noktaları, şekil 3a) daki biçim ve özelliklerde zemin tesisi olarak yapılır. Yerleşim
alanlarında ise, binaların sağlam temel duvarlarına ya da kolonlarına, sağlam duvar ve yapıların uygun
yerlerine şekil 3.b) deki biçim ve özelliklerde duvar tesisi olarak yapılır.
95
9. NİVELMAN.doc
Şekil 9.3 a) Kırsal alanda nivelman zemin tesisi, b) Yerleşim alanında nivelman duvar tesisi
9.1.1 Boyuna Nivelman ( Hat Nivelmanı )
Bir geçki (güzergâh) boyunca iki ya da daha fazla nokta arasındaki yükseklik farklarını belirlemeye
yönelik olarak yapılan nivelmana boyuna nivelman ya da hat nivelmanı denilir. Yükseklik farkı
belirlenecek A ve B noktaları birbirlerine yakın ve aralarında fazla yükseklik farkı yoksa, yaklaşık her iki
noktaya da eşit uzaklıkta ortada bir yere, alet bir kere kurularak bu iki nokta arasındaki yükseklik farkı
belirlenir. A ve B noktalarındaki düşey olarak tutulan miralara bakılarak, nivonun gözlem çizgilerinden
ortadaki yatay çizginin hizasına rastlayan mira bölüm değerleri okunur. İşlem yönüne göre gerideki
mirada yapılan okuma değerine, geri okuma (g); ilerideki mirada yapılan okuma değerine de ileri
okuma (i),adı verilir. Alet kurulduktan sonra kaldırılmadan ikiden fazla mira okuması yapılmışsa, ilk
okuma geri, son okuma ileri, aradaki tüm okumalar da orta okuma olarak adlandırılır.
∆h = geri - ileri = g - i
Şekil 9.4 Boyuna nivelman
∆hA1 = ga - i1
∆h12 = g1 - o2
∆h23 = o2 –o3
∆h34 = o3 – o4
∆h4B = g4 - iB
[∆h]=[g]+[o]-[i]-[o]=[g]-[i]
Şekil 9.5 Orta okumalı boyuna nivelman
96
TOPOGRAFYA
9.1.1.1. AÇIK NİVELMAN
Yüksekliği bilinen bir noktadan nivelman işlemine başlanır, fakat yüksekliği bilinen başka bir noktaya
bağlanılmazsa bu tür nivelmana açık nivelman diyoruz. Açık nivelmanda yapılan ölçümün kontrolü
olmadığı için nivelman ve poligon noktalarının yüksekliklerinin belirlenmesinde kullanılmaz.
ÖRNEK:
Ara
Nokta Uzunluk
(m)
A
1
30 m
2
25
3
14
4
26
[g]=
[i]=
[g] - [i]=
Mira Okumaları
Yükseklik Farkları
(m)
∆h
Geri
Orta
İleri
+ (m ) 1.815
0.817
2.372
0.557
1.783
1.561
0.744
2.468
0.685
1.210 1.258
[i]=
5.143 1.258
1.986
4.415
-1.986
5.143
-0.728
[∆h] = -0.728 m
Yükseklik
H
(m)
66.780
66.223
65.479
64.794
66.052
-0.728
Kroki
ve
Açıklama
Şekil 9.6 Nivelman yolunun kesiti
Eğim = m = tanα =(Yükseklik farkı / yatay uzaklık) = ∆h/s
α
s
∆h
mA1 = (H1-HA)/s =(66.223-66.780)/30= -0.557/30 = -0.01856 = -%1.9
m34 = (H4-H3)/s =(66.052-64.794)/26= 1.258/26 = 0.04838 = %4.8
97
9. NİVELMAN.doc
9.1.1.2. Dayalı Nivelman
Yüksekliği bilinen bir noktadan nivelman işlemine başlanır, yine yüksekliği bilinen başka bir noktaya
bağlanılır. Dayalı nivelmanda yapılan ölçümün kontrolü yapılabilir. Noktalar arasındaki yükseklik
farklarının ölçülmesinde ve hesaplanmasında en çok kullanılan yöntemdir.
ÖRNEK :
Ara
Mira Okumaları
Yükseklik Farkları
(m)
Nokta Uzunluk
∆h
(m)
Geri
Orta
İleri
+ (m ) +4
A
1.375
1
18.00m
2.934
1.555
2
13.50
1.861
1.073
+4
3
21.00
2.238
2.747
0.886
+4
4
5.00
1.657
0.327
5
10.00
2.545
0.884
B
25.00
0.995 1.550
[g] = 5.270
[i] = 5.657 2.950
3.325
[i] = 5.657
-3.325
[g] - [i] = -0.387
[∆h] = -0.375 m
HB -HA = - 0.375
Kapanma hatası = - 0.012 m = -12 mm
Yükseklik
H
(m)
203.125
201.570
202.643
201.757
202.084
201.200
202.750
-0.375
Kroki
ve
Açıklama
m12 = (H2-H1)/s12 =(202.643-201.570)/13.50 = -1.073/13.50 = 0.079 = %7.9
m23 = (H3-H2)/s23 =(201.757-202.643)/21.00 = -0.886/21.00 =-0.042 = -%4.2
9.1.1.3. Kapalı Nivelman
Bir noktadan nivelman işlemine başlanır ve bir halka oluşturularak yine aynı noktaya bağlanılır.
Mira Okumaları
Yükseklik Farkları Yükseklik
Nokta Uzunluk
(m)
H
∆h
(m)
Geri
Orta
İleri
(m)
+ (m ) 100.000 m
A
1.371+3
1
1.864
0.490
99.510
2
1.615+3
2.718
0.854
98.656
3
1.399+2
0.985 0.633
99.289
4
2.078
0.677
98.612
100.000 m
A
0.690 1.388
[g] = 4.385
[i] = 4.393 2.021
2.021
0.000
[i] = 4.393
2.021
[g] - [i] = -0.008
[∆h] = 0.000
HB -HA = 0.000
Kapanma hatası = - 0.008 m = -8 mm
98
Kroki
ve
Açıklama
TOPOGRAFYA
Poligon noktalarının yükseklikleri, genellikle iki nivelman noktasına dayalı olarak yapılan gidiş - dönüş
ölçülüleriyle belirlenir. Aşağıda böyle bir örnek görülmektedir.
GİDİŞ NİVELMANI
Nokta
Uzaklık
(m)
Rs.285
12 15 - 16
P.1
13 - 17
20 - 16
8 - 21
P.2
7 - 10
15 - 12
20 - 18
P.3
16 - 25
18 - 20
15 - 16
P.4
17 - 13
21 - 24
22 - 25
P.5
26 - 30
25 - 34
Rs.3446
- 20
[L]=587
[g]-[i]=
Mira Okumaları
(m)
Geri
Orta
İleri
Yükseklik
Farkları
∆h
+ (m ) -
-2
0.524
0.460
-2
0.520
0.646
0.455
-2
0.559
0.459
0.789
-2
0.504
0.218
0.840
-1
2.898
0.820
0.945
1.184-1
0.951
12.772
42.794
-32.022
3.06-2
2.844
2.968
2.972
2.263
3.313
3.089
2.589
3.622
2.780
1.912
2.389
3.386
2.645
1.882
2.334
44.794
3.284
2.384
2.450
2.326
1.808
2.756
2.630
1.800
3.120
2.562
1.072
Yükseklik Ortalama
H
Yükseklik
(m)
(m)
72.568
72.568
66.900
66.900
60.316
60.310
53.130
53.124
46.376
46.370
Kroki
ve
Açıklama
0.508
2.566
1.700
42.618
42.618
0.699
40.536
40.536
1.383
+0.508 -32.540 -32.032m
-32.540 m
-32.022m
[∆h] = -32.032 m
[|h|]=33.048 m
Düzeltme Miktarı : -0.010 m =-10 mm
Hoşgörü sınırı : d=0.02√ [L] +0.0003∗[|h|] =0.02√ 0.587 +0.0003 ∗ 33.048 =0.0251 m ≈25 mm
Düzeltme miktarı < Hoşgörü sınırı (10 mm < 25 mm ) olduğu için hata dağıtımı yapılır.
DÖNÜŞ NİVELMANI
Nokta
Rs.3446
P.5
P.4
P.3
P.2
P.1
Rs.285
Mira Okumaları
(m)
Geri
Orta
İleri
+2
2.492
1.900
1.102
1.576+2
1.211
3.211
1.840
2.209
0.751
2.224+3
0.660
3.527
0.420
2.832
0.655
+3
2.482
0.757
3.274
0.572
3.032
0.441
3.253+3
0.592
2.662
0.465
2.262
0.633
+3
2.435
0.487
2.775
0.788
2.693
0.492
44.839
0.957
[g]= 12.823
[i]= 12.823
[g] - [i]=32.016 m
Uzaklık
(m)
-
Yükseklik Farkları
(m)
+
1.392
0.689
Yükseklik
H
(m)
40.536
Ortalama
Yükseklik
(m)
42.617
0.262
2.460
1.549
1.807
2.872
2.075
1.913
2.833
2.440
2.791
2.029
1.775
1.650
2.283
1.736
32.294
-0.262
32.032
99
46.364
53.118
60.304
66.899
0.262
72.568
32.032m
32.016
+0.016 m =+16 mm
Kroki
ve
Açıklama
9. NİVELMAN.doc
9.1.1.4. Gözleme Düzlemi Kotuna Göre Yükseklik Hesabı
Gözleme düzlemi kotuna göre nivelman hesabı, orta okuma sayısı fazla olduğunda hesap kolaylığı
sağlar.
Şekil 9.7 Gözleme düzlemi kotuna yükseklik hesabı
Gözleme
Yükseklik
Nokta No
Geri
Orta
İleri
Düzlemi Kotu
H
+2
102.148 m
100.000 m
A
2.146
1
2.062
100.086
2
1.854
100.294
3
1.250
100.898
+2
-2
103.862
4
2.695
0.985
101.165
5
2.443
101.419
6
2.321
101.541
7
2.056
101.806
8
1.875
101.987
-2
102.210 m
B
1.654
[g] = 4.841
[i] = 2.639
HB –HA = 2.210 m
[i] = 2.639
[g]-[i] = 2.202
HB -HA = 2.210
-0.008 m = - 8 mm kapanma hatası
9.1.2. Yüzey Nivelmanı
İnşaat işleri, arazi tesviyesi, spor alanları gibi projelerin uygulanmasında, özellikle kazılacak ve
doldurulacak toprak miktarlarının hesaplanması için arazinin eşyükseklik eğrili planına ihtiyaç duyulur.
Bu ihtiyacı gidermek için, arazinin topografik yapısı çok engebeli değilse yüzey nivelmanı yapılır.
Yüzey nivelmanı genellikle ya kareler ağı yöntemiyle ya da ışınsal (kutupsal) yöntemle yapılır.
Ayrıca, bir plan üzerinde konumu bilinen noktalar varsa, arazide önce nivelmanla yüksekliği bilinen
noktalar oluşturulur. Bu arada konumu bilinen noktalara da nivelmanla kot verilir. Bu noktalar
yardımıyla da eşyükseklik eğrileri çizilir.
9.1.2.1. Kareler Ağı Yöntemiyle Yüzey Nivelmanı
Yüzey nivelmanı yapılacak arazide bir ölçü doğrusu belirlenir ve bu doğru üzerinde belirli aralıklarla,
takeometre, nivo ya da prizmalarla dikler çıkılır. Bu dikler üzerinde kare kenar uzunluğu kadar
ölçülerek işaretleme yapılır. Bu şekilde arazi karelere bölünmüş olur. Kareler ağı yönteminde karelerin
kenar uzunluğu, arazinin topografik yapısı ve ihtiyaca göre 5-30 m arasında seçilebilir.
Kare
köşelerine ve kare kenarlarının arazi detaylarını kestiği noktalara kot verilir. Karelere bölme işlemi
prizma ile gerçekleştirilen bir alanda, kareler ağına göre yüzey nivelmanında işlem sırası şöyledir:
100
TOPOGRAFYA
• Arazinin uzun ve düzgün kenarlarından biri başlangıç doğrusu olarak seçilir. (Bu kenar üzerinde
duvar varsa, başlangıç doğrusu duvara paralel olarak kare kenar uzunluğunun yarısı kadar
kaydırılarak arazi içinde alınır.)
• Seçilen bu doğrunun uç noktalarına jalonlar düşey olarak dikilir ve bu doğrunun bir ucunun, arazi
sınırını kestiği noktadan başlanarak kare kenar uzunluğu kadar aralıklarla doğru üzerinde
işaretleme yapılır.
• Başlangıç doğrusu üzerinde işaretlenen noktalardan prizma ile dikler çıkılır.
• Çıkılan bu dikler üzerinde, kare kenar uzunluğu kadar aralıklarla işaretleme yapılır.
• Karelerin kesim noktaları ile kare kenarlarının uzantılarının, arazi sınırını kestiği yerler bir kroki
üzerinde işaretlenir.
• Arazinin çizimini yapabilmek için, kare uzantılarının arazi sınırını kestiği noktaya olan mesafelerden
gerekli olanları çelik şerit metre ile ölçülür.
• Karelerin kesim noktaları ile bu karelerin uzantılarının arazi sınırını kestiği noktalar numaralanır.
• Arazinin yakınındaki yüksekliği bilinen bir noktaya dayalı olarak nivelman ölçümü ve hesabı yapılır.
• Yüzey nivelmanı yapılan alanın yükseklik eğrili planının çizimi için, önce çizim altlığı A4 aydınger
üzerinde 2H gibi sert bir kurşun kalemle uygun biçimde başlangıç doğrultusu işaretlenir. Bundan
sonrası ölçümlere paralel olarak, önce kareler oluşturulur; sonra da parselin şekli çizilir. Karelerin
kesim noktasına, ölçülen yükseklik değerleri yazılır. Yükseklik değerlerinin metre ve alt birimlerini
ayıran “.” işareti, aynı zamanda karelerin kesim noktası olacaktır.
• Arazinin sınırları da mürekkeplendikten sonra, belirli aralıklarla eşyükseklik eğrileri çizilir.
Şekil 9.8 Kareler ağı yöntemine göre yüzey nivelmanı krokisi
101
9. NİVELMAN.doc
Mira
Nokta
Geri
P1
1.415+2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1.671+2
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
+2
34
1.714
P2
[g]= 4.800
[i]= 7.396
—————
[g]-[i]= -2.596
Okumaları
Orta
İleri
Gözleme Düzlemi
Yüksekliği
74.320
1.618
1.871
1.999
2.365
2.583
2.612
2.649
2.670
2.720
2.656
2.343
2.019
1.871
1.637
1.592
1.817
1.968
2.045
2.375
2.789
1.813
1.941
1.716
1.584
1.532
1.497
1.385
1.290
1.365
1.444
1.615
1.743
1.861
1.957
2.650
[i]= 7.396
Yükseklik
H
72.903
72.702
72.449
72.321
71.955
71.737
71.708
71.671
71.650
71.600
71.664
71.977
72.301
72.449
72.683
72.728
72.503
72.352
72.275
71.945
73.204
71.531
71.391
71.263
71.488
71.620
71.672
71.707
71.819
71.914
71.839
71.760
71.589
71.461
71.343
72.963
71.247
70.313
HP2-HP1 = -2.590
[g]-[i] = -2.596
———————
Düzeltme Miktarı = +0.006 m = +6 mm
9.1.2.2 Işınsal (Kutupsal) Nivelman
Yatay açı bölüm dairesi bulunan nivelman aletleri ile yapılır. Nivelman aleti, ölçme alanındaki poligon
noktası gibi konumu ve yüksekliği bilinen bir noktaya kurularak, konumu ve yüksekliği bilinen başka 2
noktaya bakılarak mirada alt, orta, üst çizgi okumaları ile yatay açı okumaları yapılır. Ayrıca alet
yüksekliği ölçülür. Işınsal nivelmanda mira okumaları cm biriminde yapılır. Yüzey nivelmanı yapılacak
alanın
kırık noktalarına, arazinin karakteristik noktalarına ve belli aralıklarla arazi taranarak mira
tutulur. Bakılan tüm noktalarda miradaki alt, orta, üst çizgi okumaları ile yatay açı değerleri okunur.
Üst-orta çizgi okuması farkı ile orta-alt çizgi okuması farkının birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca, bu iki
farkın toplamı ile üst çizgi-alt çizgi okumaları farkının eşit olması gerekir. Üst-alt çizgi okumalarının cm
102
TOPOGRAFYA
birimindeki farkı, 100 ile çarpılarak alet ile mira arasındaki uzunluklar cm biriminde bulunur. Ya da
başka bir deyişle, cm birimindeki üst çizgi-alt çizgi okumaları farkı, m biriminde aletle mira arasındaki
uzunluğu verir. Yatay açı ve uzunluklarla, bakılan noktaların konumları kutupsal olarak belirlenir. Alet
kurulan noktanın yüksekliğine, alet yüksekliği eklenince aletin gözleme düzleminin yüksekliği elde
edilir. Aletin gözleme düzleminin yüksekliğinden, orta çizgi okumaları (m biriminde) çıkartılırsa, bakılan
noktanın yüksekliği m biriminde bulunur.
2
5
3
1
P2
P3
P1
Şekil 9.9 Işınsal nivelman
DN
BN
Yatay Açı
P2
P1
0g.00
i = 1.55 m
HP1=135.43 m
136.98 m
P3
248,50
1
46,75
2
85,60
3
112,40
Mira
Okumaları
144
181
218
198
243.4
288.8
316.8
338.3
359.8
90
115.5
141
205.2
221.0
236.8
Mira
Farkları
Yatay
Uzaklık
Yükseklik
H
37
37
74.0 m
135.17 m
45.4
45.4
90.8
134.55
21.5
21.5
43.0
133.60
25.5
25.5
51.0
135.82
15.8
15.8
31.6
134.77
9.1.2.3. Hacim Hesabı
Yüzey nivelmanı yapılan yerde çoğunlukla bir kazı ya da dolgu işlemi vardır. Kazı veya dolgu
miktarının (kazılacak ya da doldurulacak toprağın hacminin) bulunması kareler ağı yönteminde daha
kolay olmaktadır.
Oluşturulan her bir kare için, kare köşelerindeki kazı ya da dolgu yüksekliği
hesaplanır; hacim hesabında ise bu kare köşelerindeki kazı ve dolgu yüksekliklerinin ortalaması
alınmak suretiyle her kare için bir ortalama kazı ya da dolgu yüksekliği bulunur. Problem, tabanı ve
tavanı kare, yüksekliği ortalama kazı ya da dolgu yüksekliği olan bir kare prizmanın hacminin
bulunmasına
dönüşür. Bu kare prizmanın
hacmi, karenin alanı ile ortalama kazı veya dolgu
yüksekliğinin çarpılması ile bulunur.
103
9. NİVELMAN.doc
Halbuki ışınsal nivelmanda ölçüm yapılan noktalar, kare veya dikdörtgen gibi alanı kolay
hesaplanabilir bir geometrik şekil oluşturmadıkları için alan hesabında temel şekil olarak üçgen alınır.
Halbuki bu üçgenlerin hiç bir elemanı doğrudan ölçülmemiştir. Dolayısıyla alan ve hacim hesabı direkt
yapılamaz. Alan ve hacim hesabı için dolaylı yollara başvurulur. Örneğin, ölçülen tüm noktaların önce
koordinatları, sonra da bu koordinatlardan üçgenlerin alanı bulunur; veya yapılan ölçümlere göre
ölçekli bir çizim yapılır ve oluşturulacak üçgenlerin kenarları grafik olarak ölçülerek alan hesabı
yapılabilir. Daha sonra bu üçgenlerin ortalama kazı yüksekliği bulunarak üçgen prizmaların hacmi
hesaplanır. Fakat burada işlemler oldukça uzun olmaktadır. Hesaplama işlemi bilgisayar yardımıyla bir
programa dayalı olarak yapılmayacaksa yüzey nivelmanı için ışınsal nivelman tercih edilmemelidir.
ÖRNEK:
Şekildeki alan, 95.000 m yüksekliğine kadar kazılacaktır. Verilenler, P noktasının yüksekliği ve mira
okumaları olduğuna göre kazı miktarını bulunuz.
Mira Okumaları
Nokta Geri
Orta
İleri
P
2.345
1
1.954
2
2.312
3
2.564
4
1.988
5
1.999
1.492
6
2.550
7
2.300
8
1.640
Gözleme
Düzlemi Kotu
102.345
102.852
Kazı
Yükseklik
Yüksekliği (h)
H
100.000
100.391
5.391 m
100.033
5.033
99.781
4.781
100.357
5.357
100.853
5.853
100.302
5.302
100.552
5.552
101.212
6.212
h +h +h +h
2
7
8 = 5.391 + 5.033 + 5.552 + 6.212 = 22.188 = 5.547m
hI = 1
4
4
4
h + h3 + h 4 + h7 5.033 + 4.781 + 5.357 + 5.552 20.723
hII = 2
=
=
= 5.18075m
4
4
4
h + h5 + h 6 + h 7 5.357 + 5.853 + 5.302 + 5.552 22.064
hIII = 4
=
=
= 5.516m
4
4
4
h + h7 + h 8 5.302 + 5.552 + 6.212 17.066
hIV = 6
=
=
= 5.68867m
3
3
3
FI = FII = FIII = 10 ∗ 10 = 100m 2
FIV = 10 ∗ 10 / 2 = 50m 2
VI = FI ∗ hI = 5.547 ∗ 100 = 554.700m 3
VII = FII ∗ hII = 5.18075 ∗ 100 = 518 .075m 3
VIII = FIII ∗ hIII = 5.516 ∗ 100 = 551.600m 3
VIV = FIV ∗ hIV = 5.68867 ∗ 50 = 284 .433m 3
V = VToplam = VI + VII + VIII + VIV = 1908.808m 3
104
TOPOGRAFYA
9.2 TRİGONOMETRİK YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ
9.2.1. Kısa Mesafede (S<250 M) Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Z
D
Z
h
Yatay
i
B
s
A
t
i
D
∆h
∆h
h
t
A
s
B
Şekil 9.10 Trigonometrik nivelman
g
g
Z < 100
Z > 100
HB = HA + i + h – t = HA + i - h - t
HB = HA + i + h – t
HB = HA + i - | S cotZ | - t
HB = HA + i + S cotZ – t
HB = HA + i - | D cosZ | - t
HB = HA + i + D cosZ – t
Burada, S yatay, D eğik uzunluğu, i alet yüksekliğini, t ise işaret yüksekliğini ifade eder.
Yukarıdaki formüllerde h nın işareti, Z<100 olduğu zaman “+”, Z>100 olduğu zaman ise “-“ olduğu
g
g
görülmektedir. h nın yerine karşılığı olan “S cotZ” ya da “D cosZ” yazılırsa; Z>100 durumunda
g
hesaplama yapılırsa h nın işareti “-“ çıkar. Halbuki bir “-“ işareti de h’nın önünde olduğundan, sonuç “+”
çıkar ki, bu da yanıltıcı olur. Bu yanılgıdan kurtulmak için Z>100 durumunda h’nın mutlak değer olarak
g
alınmasını gerektirir. Bu karışık gibi görünen durumdan kurtulmak için; Z<100 ya da Z>100 olup
g
g
olmadığına bakılmadan, her durumda Z<100 için verilen ;
g
HB = HA + i + S cotZ – t
(Yatay uzunluk verilirse)
HB = HA + i + D cosZ – t
(Eğik uzunluk verilirse)
Formülleri kullanılır. Burada h’nın işaretini cotZ ya da cosZ ifadeleri belirler.
İki nokta arasındaki yükseklik farkının trigonometrik olarak hesaplanabilmesi için, bu noktalardan birine
teodolit kurularak, diğer noktadaki işarete bakılır ve düşey açı ile birlikte yatay ya da eğik uzunluk
ölçülür. Ayrıca durulan noktada alet yüksekliği (yatay eksene kadar), bakılan noktada da işaret
yüksekliği ölçülür. Yerin küreselliğinin ve refraksiyonun (ışığın kırılmasının) etkisi 250 metreye kadar
uzunluklarda 1 cm nin altında kaldığı için bu iki faktörün etkisi, 250 metreye kadar olan uzunluklarda
dikkate alınmaz. Trigonometrik yükseklik hesabında 250 metreye kadar olan uzunluklar, kısa mesafe
olarak adlandırılır.
105
9. NİVELMAN.doc
9.2.2. Kule Yüksekliği Belirlemesi
Kule Yüksekliği belirlemesi, alet kurulan nokta ile kule arasındaki S uzunluğunun doğrudan ölçülüp
ölçülmemesine bağlı olarak iki şekilde alınır.
9.2.2.1. S Uzunluğu Ölçülüyor
Bilinenler
: HA
Ölçülenler
: Z1, Z2, S
İstenen
Z1
Z2
:h=?
h
i
B
A
S
Şekil 9.11 S uzunluğunun ölçülmesi durumunda kule yüksekliği hesabı
h kule yüksekliği, şekilden de görüldüğü üzere h = HT - HT’ bağıntısı ile hesaplanır. Öncelikle
verilenlere göre HT ve HT’ nün hesaplanması gerekir.
HT = HA + S cotZ1
HT’ = HA + S cotZ2
h = HT – HT’ = S (cotZ1 – cotZ2)
Eğer kulenin tabanı olan T’ noktasının yüksekliği önceden biliniyorsa ya da geometrik nivelmanla
belirlenmişse, trigonometrik olarak yalnızca kulenin tepesinin yüksekliğinin (HT) hesaplanması
yeterlidir. Yine h = HT- HT’ bağıntısı kullanılarak h hesaplanır. Bu durumda Z2 nin ölçülmesine ihtiyaç
yoktur; fakat i alet yüksekliğinin ölçülmesi gerekir.
ÖRNEK 1:
g
Z1 = 95 .3674
g
Z2 = 102 .1826
S = 75.14 m
h=?
h = S (cotZ1 – cotZ2) = 75.14 * (cot95.3674 – coot102.1826) = 8.0546 m
h = 8.05 m
ÖRNEK 2:
g
Z = 93 .7853
S = 86.55 m
HA = 125.82 m
i = 1.50 m
HT’ = 127.39 m
h=?
HT = HA + i + S cotZ = 125.82 + 1.50 + 86.55 * cot93.7853 = 125.82 + 1.50 + 8.48 = 135.80 m
h = HT – HT’ = 135.80 – 127.39 = 8.41 m
106
TOPOGRAFYA
9.2.2.2. S Uzunluğu Ölçülemiyor
1)
Yatayda Oluşturulan iki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesaplanması
Bilinenler
Ölçülenler
İstenen. : h = ?
: HA, HT’ yükseklikleri
: Z düşey açısı
α, β, γ, δ yatay açıları
a ve b kenarları
Şekil 9.12 Yatayda oluşturulan iki üçgen yardımıyla kule yüksekliği hesabı
sinα
sin(α + β)
sinδ
ATC → S = a ∗
sin(γ + δ)
ABT → S = a ∗
Buradan ortalama S bulunur ve bu değerle de HT yüksekliği hesaplanır.
HT = HA + i + S ∗ cotZ
h = HT – HT’
ÖRNEK :
a = 28.15 m
b = 23.90 m
g
Z = 95 .1686
i = 1.50 m
α = 75g.1428
β = 67.3920
γ = 71.2675
δ = 80.4750
HA = 101.00 m
HT’=101.95 m
h=?
sinα
= 33.162 m
sin(α + β)
sinδ
S= b∗
= 33.142 m
sin(γ + δ )
S=a∗
Sort = 33.152 m
g
HT = HA + 1.50 + S * cotZ = 101.00 + 1.50 + 33.152 * cot95 .1686 =101.00 + 1.50 + 2.52 = 105.02 m
h = HT –HT’ = 105.02 -101.95 = 3.07 m
107
9. NİVELMAN.doc
2) Düşey Düzlemde Oluşturulan İki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesaplanması
Bu yöntemde A, C ve B noktaları, aynı düşey düzlem içinde olacak şekilde seçilir.
Bilinenler : HA, HB, HT’
İstenen : h = ?
Ölçülenler :
ZA , ZB düşey açıları
d uzaklığı
ia, ib alet yükseklikleri
HT = HA + ia + (d + e) cotZA
HT = HB + ib + e cotZB
HA +ia + + (d+e) cotZA = HB + ib + e cotZB
e cotZA - e cotZB = HB + ib - HA - ia - d cotZA
e=
H B − H A + i b − i a − d ⋅ cotZ A
cotZ A − cotZ B
Şekil 9.13 Düşeyde oluşturulan iki üçgen yardımıyla kule yüksekliği hesabı
T noktasının yüksekliğinin incelikli olarak hesaplanabilmesi için şu noktalara dikkat edilmelidir:
1. B noktası, ZB açısı yaklaşık 50 olacak şekilde seçilmelidir.
g
2. d uzunluğu, kule yüksekliğinin yaklaşık iki katı olmalıdır. Bunun için de ZA, 80 civarında olur.
g
3. A noktasındaki zenit açısı ZA, ZB ye göre daha hassas ölçülmelidir.
4. d uzunluğu hassas bir şekilde ölçülmelidir.
5. Kulenin yüksekliği, A noktasındaki ölçümlere göre hesaplanmalıdır. B noktasındaki hesap
kontrol için yapılmalıdır.
Hesap : HT = HA + ia + (d+e) * cotZA
Kontrol : HT = HB + ib + e * cotZB
6. A ve B noktalarının en uygun konumu, kulenin ayrı ayrı tarafında seçilmeleridir.
ÖRNEK :
HA = 100.00 m
HB = 102.15 m
HD = 105.24 m
h=?
108
TOPOGRAFYA
H C = H A + i a + (d + e) ⋅ cotZ A
H C = H B + i b + e ⋅ cotZ B
H A + i a + (d + e) ⋅ cotZ A = H B + i b + e ⋅ cotZ B
e=
H B − H A + i b − i a − d ⋅ cotZ A
cotZ A − cotZ B
=
102.15 − 100.00 + 1.42 − 1.55 − 42.76 ⋅ cot82.1694 − 10.27963822
=
cot82.1694 − cot53.4961
− 0.6081415692
e = 19.903 m
Hesap → H C = 100.00 + 1.55 + (42.76 + 16.90) ⋅ cot82.1694 = 118.712 m
Kontrol → H C = 102.15 + 1.42 + 16.90 ⋅ cot53.4961 = 118.709 m
h = H C − H D = 118.71 − 105.24 = 13.47 m
9.2.3.
Trigonometrik Nivelman
Bilinen
: HA
İstenen
: HB = ?
Ölçülenler : ZA, ZB, sa, sb, ℓA, ℓB
Şekil 9.14 Trigonometrik nivelman
Trigonometrik
nivelmanla
iki
nokta
arasındaki
nivelmandaki geri - ileri bağıntısından yararlanılır.
yükseklik farkının
bulunmasında,
geometrik
∆H AB = H B − H A = geri − ileri = (l A − h A ) − (l B − h B )
H B − H A = l A − s a ⋅ cotZ A − l B + s b ⋅ cotZ B
H B = H A + s b ⋅ cotZ B − s a ⋅ cotZ A + l A − l B
Not: Bu bağıntı çıkartılırken ZA ve ZB nin değerleri ne olursa olsun, ZA ve ZB nin 100 dan küçük, yani
g
hA ve hB nin pozitif olduğu şekil (yukarıdaki şekil) esas alınır. ZA ve ZB nin tüm değerleri için yukarıdaki
eşitlik geçerlidir.
Yukarıdaki bağıntı, şu şekilde de elde edilebilir: Alet kurulan P noktasına göre, A ve B noktalarının
yüksekliklerini veren bağıntılar yazılır ve sonra bu bağıntılardan HB - HA oluşturulur.
H B = H P + i + s b ⋅ cot Z B − l B
H A = H P + i + s a ⋅ cot Z A − l A
H B − H A = sb ⋅ cot Z B − s a ⋅ cot Z A − l A + l B
→ H B = H A + sb ⋅ cot Z A + l A − l B
109
9. NİVELMAN.doc
ÖRNEK :
HB = 1000.00 m
HA = ?
∆H AB = H B − H A = (l A − s a cot Z A ) − (l B − s b cot Z A ) − l B + sb cot Z B
H A = H B + s a cot Z A − s b cot Z B − l A + l B
H A = 1000.00 + 141.72 cot 106.1871 − 121.17 cot 95.3943 − 1.20 + 3.46
H A = 1000.00 − 13.817 − 8.782 − 1.20 + 3.46 = 1000.00 − 20.339 = 979.661 m
HA = 979.66 m
9.2.4.
Uzun Mesafede (S > 250 m) Trigonometrik Nivelman
Noktalar arasındaki uzaklık 250 metreden fazla ise, yerin küreselliğinin ve refraksiyonun (ışığın
kırılmasının) etkisini hesaba katmak gerekir. Şekilden de görüleceği gibi, küreselliğin etkisi (+),
refraksiyonun etkisi ise eksi (-) dir. Refraksiyon (kırılma) katsayısı verilmezse ya da bilinmiyorsa,
ülkemizde k=0.13 ortalama değeri kullanılır.
R = 6373394 m (Dünyanın yarıçapı),
(Işın yayının yarıçapı),
R’ = R/k
k = Kırılma (refraksiyon) katsayısı,
hk = Yerin küreselliğinin etkisi,
hr = Refraksiyonun (ışığın kırılmasının) etkisi,
∆H = A ve B noktaları arasındaki yükseklik farkı,
Z = 100 – α
g
hi = s * tan α = s * cot Z
hk =
2
s
2R
h
s
s ⋅k
=
=
R
2R'
2R
2
k
∆H = h i + h k − h r
hr =
2
2
∆H = s ⋅ cot Z +
∆H = s ⋅ cot Z +
2
s
s ⋅k
−
2R
2R
2
2
(1 − k) ⋅ s 2
2R
Alet ve işaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,
Şekil 9.15 Uzun mesafede trigonometrik nivelman
110
TOPOGRAFYA
∆H = s ⋅ cot Z +
(1 − k) 2
⋅s + i − t
2R
olarak elde edilir. Alet kurulan noktanın yüksekliği biliniyorsa, bakılan noktanın yüksekliği,
H B = H A + ∆H = H A + s ⋅ cot Z +
(1 − k ) 2
⋅s +i −t
2R
eşitliği ile bulunur.
ÖRNEK :
HA = 2000.00 m
HB = ?
H B = H A + s ⋅ cot Z +
(1 − k ) 2
⋅s +i −t
2R
(1 − 0.13)
2
⋅ ( 2462.36) + 1.50 − 3.10
2 ⋅ 6373394
H B = 2000.00 + 204.634 + 0.414 + 1.50 − 3.10 = 2203.45 m
H B = 2000.00 + 2462.36 ⋅ cot 94.7215 +
111
Download

9_ NİVELMAN