Faik Sultanmuradoflu Sadrxov
Kvant mexanikasl kursu
II cild
(Relyativistik kvant mexanikasr)
l(,
\
\
Bakr D0vlat Universitetinin Fizika fakultasinin
Elmi $urasrnrn taqdimatl ila gap olunur'
Bakr 2003
Kitaba ray veranlar: l. Akademik F. M. Hegimzade
2.
lxtisas
redaktoru:
AzMi Universitetinin Fizika kafedrsr
f.-r. e. d. $. M. Nalryev
FAiK SULTANMT,RADOdLU SADIXOV. Kvant mexani(II clld) - <Ktin> neqriyyatr, Bakr, 2003,246 seh.
kasr kursu
Dersliyin bu cildinde qrup nezeriyyasinin asas anlayrglal,
relyativistik fizikanrn tenlikleri, matris cabrinden yiiksak
enerjilar fizikasrnda istifade olunma qaydalan, sapilma
hadiselarinden fotonlann elektronlardan sepilmesi, elektron pozitron cutuntin yaranmasl va foton - elektron sahasinin
kvant mexanikasr
baxrmrndan atrafl r tefsilatr verilmigdir.
Kitab talebalar va elmi amakdaglar iigiin yararhdr.
kvantlanmasr, elementar zarreciklarin
430602
lI00-045
061- 2003
(Ki.iD) nasriyyatl
Lisenziya AB 022062
@ Faik Suttanmuradoglu
On siiz
ikinci cildda "Kvant mexanikasr kursunun tinamli sahalarindan biri relyativistik kvant mexanikastdu. Relyativistik kvant
mexanikasr kitabrn ikinci cildinin mdvzulartnt tagkil edir'
ikinci cild VI-VIII fasitden ibaratdir. VI fasilda
qrup
istifada
mexanikasrnda
onlartn
kvant
anlayrglarr,
nezariyyasi
olunmasr, matris mexanikslna gdra ba'zi kvant kamiyyatlarinin
qrymati mtjalyan edilmiqdir. Burada ytiksak enerjilar fizikasrnda
genig tatbiq olunan ba'zi saxlanan kamiyyatlerin xassalari
aragdrrrlmrgdrr. Hamginin Lorentz va Puankare qruplarrna giriq
verilmigdir va bu foslin gahqmalarr da daxil edilmigdir.
VII feslin mdvzulart Kleyn - Gerdon, Dirak tanliklarinin
asaslal, burada istifada olunan matrislar, onlaln xasseleri, tam
haraket miqdan momenti, onlartn maxsusi funksiyall
incilenmigdir. Burada Dirak tanliyinin sarbast zarracik i.igi..in
halli, bu hellin ddrd hala uygun galmasi gdstarilmig, spinin va
energinin iki qiymatini - manfi va musbat halda olmasr
gdstaritmiqdir. Eyni zamanda hidrogenabanzor atomlarda
relyativistik effektlar aragdrrrlmrgdrr.
GiiclU maqnit sahasinin atomun enerjisinin tasir gdstarmosi
VII fasilda dyranilmigdir. Spin orbital tasirin maqnit momentlari
ila baflrhlr alda edilmiqdir, S - saviyryasinin pargalanmastntn
tac-rUbadaki qiymata uygun galmasi mtiayyan olunmugdur.
Burada hamginin Dirak matrislarinin cabri, fermionlarrn stxltq
matrislari dz garhini tapmrgdrr.
Bu fasilde neytrino adh, siikunat kiitlasi stfira yaxtn olan,
polyariza olunmug zarreciyin srxhq matrisi aragdrnlmtgdt. Burada
hamginin sapihna matrisi va sapilme amplitudu, Born yaxrnlagmasrnda amplitudun araqdtrtlmast, heyacanlagma nezariyyasinda Feynman diaqramlanndan istifada edarak Kompton
effektinin kasiyi incelanmigdir.
Elektronlartn xarici sahada sepilmasi va onlartn hadronlardan
elastiki, hamginin, darin qeyri-elastiki sapilma prosesinin effektiv
kesiyi mileyyan edilmigdi, proton-neyfionlann xassalari taprlmtq
va onlann maqnit momentlari elde edilmigdir'
Hamginin elementar zorraciklar fizikasrnrn m0asir anlaytglart,
kvarklann, hadron fizikastnda rolu va rengdinamikastntn esas
miiayyanlaqdirilmigdir. Ozal funksiyatardan 6 funksiya, Ermit, Lejandr, Laqerr polinomlartntn xassalari, VII
faslin sonunda ise ikinci kvantlanma nazarilyasinin esas
mUddaalarr verilmigdir.
Kitabrn yazrlmastnda samarali amek sarf etmig hamkarlartma
samimi teEakki.irum0 dnceden bildirmayi 6zume borc santram
anlayrqlarr
-
prof, Faik Sultanmurado*lu Sadrxov
Bakr, 2003 il.
4
vI
FASiL
NozaRrrYosiNo GiRi$
Umumiyyatla, fiziki sistemlarin davranrgt
QRUP
simmetriya
prinsiplerina asaslantr. Feza va zamanln bircinsliyi, onun izotopiyi
va bir gox ba$qa simmetriya xassalari, kvant mexanikaslnda
istifada olunur. Simmetriya qanunauylunluklan riyaziyyatda qrup
nazariyyesinde aragdtrrltr. Ona girra qrup nazariyyasini va kvant
mexanikasrnda onlann rolunu m0eyyenla;dirmak ugun qrup
nezariyryesinin bazi anlayrglarrnr incaliyak.
$56. Qrup nazarilyasinin anlaylslarr
Oger B elementlar goxlufunda
a) ixtiyari ig a,b va c elemanlafl iigi.in
(aa\ = a(uc)
olarsa,
b) ixtiyari a elemant iigtin sag va sol e elemant varsa ki,
a.e=e,a=a
olsun ve
I
c) ixtiyari a elemant tigtin aks a elemant mdvcuddursa,
4-t A=e
onda Q goxluluna qrup deyilir.
Q goxlulu sonlu sayda
goxlu
!u
elemanlardan taqkil olunubsa, Q
sonlu qrup adlanrr.
Ogar ixtiyari
c va b
elemanlan ugun
a'b=b'a
mdvcuddursa,
Masalan,
N
va ya abel qrupu deyilir.
dane tam adadlar goxlu[u 1,2,3,.... N,n dafe
Q
qrupuna komutativ
yerdayigmeya g6ra qrup tagkil edir.
Diger 6mak, olarak iigdlgiilu fazada frrlanma qrupuna
baxaq. U96l90lu fezada OX,OY,OZ oxla:r otrafinda firlanmaya
maruz qaldrkda koordinatlar uylun olarak
Uzra
OX',OY',OZ' oxlarr
x'=x+o.y+o.z
y'= ox+cos?t y+sin9r.z
z' = ox
- sin?t . y + coset. j
z
x'= xcos?z+o.y+zsin?,
Y'=o x+y+o'z
z' = -xsin?z + o. y + zcos?r,
x' = xcos 0r + ysin?, + o. z
y' = -xsir.93 + y. cos?. - oz
(vI.l.l
)
z'=o.x+oy+z
gevirmalerina uylun galir. Bu gevirmalar
(t 0
0t
[co€r 0
sinOr'\
1 0
8(or)=l o coso, .ine, l, [email protected])=lo
sino,
coso,
I o - ,in e, .o, a,
[("os0, singr 0)
.,
.tt
(VI.l.2)
S(0:)=l -sin6., cos0, 0 |
o
,]
,I
l0
0
[
.J
t,
matrislari ile xarakterze editmalidi.
0,,0, va d,
bucaklarr uylun
olarak OX,OY ve OZ oxlat etrafinda dOnme buca[lan adlanrr.
ixtiyari ox atrafrnda firlanma matrisini tapmak tigUn
[email protected]),[email protected]) va g(0r) matrislarini bir-birina vurmak lazrmdrr.
U96l9illU fezada btitiin firlanmalan tapmaqdan Otari:
a) iki ardrcrl flrlanmaya yene firlanma uy[un olur, frrlanmalarrn
hasili, matrislarin hasili ila mi.iayyan edilir;
6
.
b) firlanmalar igerisinde ele ftrlanma var ki, fazant dzi.i-iiztina
gevirir, yani vahid matris mdvcud olur:
c) her bir firlanmaya qargr, aks frrlanma qoymak olur,
yani g
'
matrisida m6vcuddursa, onda bu gertlari
ddayan frrlanmalar mocmui firlanma qrupu tegkil edirler ve onlar
firlanma matrisleri olaraq qrup oluqdururlar.
matrisinin aks g'
$ayet, qrupun elemanlarm sayr sonludursa, qrup sonlu qrup
adlanrr. Frrlanma qrupunun elemanlarrnln sayr sonsuz olduguna
gdra bu qrup sonsuz qrup olur.
Ogar qrupun elemanlan disket qiymatlar olarsa, bela qrup
diskret qrup adlanr. Frrlanma qrupu, elemanlarr kasilmez
qiymatler aldrgr iigUn kesilmaz qrup adlanrr. Qrupu teyin edan
asrh olmayan parametrlerin sayl qrupun tarlibi adlanlr. Ugolgulu
firlanma qrupu ug tartibli qrupdur. Burada astlt
olmayan
paranretrlarin sayr 0r, 0;.,ta d., oldufuna gdro, o, iig tortibli qrup
olur. Qevirme matrislerinin tartibi qrupun dlgiisiinii miieyyan edir.
Frrlanma qrupunun iilqtsii iigdiir.
Qrupun tartibi va iilgiisii mUxtalif sayda ola bilir. Mesalan,
Loruz qrupunun tartibi alhdrr, onun iilgUsii ise dOrddiir. Qrupun
itlgtisii gevirma matrislarinin iilgiisii ila (satr ve sutunlu olmasr ila)
tayin olunur. Qrup matrislarindan dioqonal matrislarin saytna
qrupun ranqr deyilir. Omek olarak, kompleks vektor fazasrnda
biitiin'xotti gevirmalara baxak. Kompleks fazada x,,- t xlo
geviren
xa
A,
-)
(vr.l.3)
xr\ = A,t,rt,.
gevirmasi xatti qrup tagkil edar va bu qrupa GL(n)
qrupu deyilir. Ogar
A,
gevirmesi eyni zamanda
(vI.l.4)
detA=1
$artini odayarsa, A,oe Qrupuna. unimodulyar xatti qrup deyilir ve
SL(n) ila giistorilir.
Minkovski fezastnda
hasilin
llril =
J;t
normasr olan skalyar
x
Y = SaFxdY A
It a=P=o
(vr.l.5)
I
8"p=l-t
[o
-)
a.B=1.2.3
d+
P
1\apx0 gevirmasinin qrup taqkil etmasi demekdi Ru
gevirmaya bircins Lorents qrupu deyilir. Ogar gevirma
xd -) xd = ad + Lcllxp
(vr.r.6)
xd
xot =
gaklinda olarsa, onda bu cUra gevirmaye bircins olmayan lorex's
va ya Puankare qruPu deYilir '
iki qrupun bir-birina izomorf olmast anlayrgrndan da kvant
mexanikasr kursunda genig istifade olunur.
elemanrna qary, Q2
Ogar Q1 qrupunda her hanst bir
-
x'
qrupundan yalnrz
bir x2
elemant uyfun. galarse, onda
Q,
qrupu
va Qz qruplan birQ2 Qrupuna homomorfdur deyilir. $ayet, Qr
birilarina birqiymetti homomorfdursa, QtYa Qz qruplan izomorf
qruplar adlanrrlar. Masalan, 09d[90lii frrlanma qrupu
R(3) = s(01)g(d2 )g(03 )
va spin qrupu SU(2)
lJ =
e'q
"'=[l ;i "'=[: ;] "'=(; l,)''*,'
ma'1risrari va
bir4 =lp r,,p,or|- spin oxlarr iizro diinma bucallardrrsa''
birlarina izomorfdurlar.
Sonlu tertibli kasilmez qruptara Lee qrupu da deyilir'
U96l9ulu firtanma qrupu lre qrupuna uylundur'
Qrup nazeriyyasinde sonsuz kigik ftrlanmalar va onlara
uylun olan matrisler mtihtlm rol kasb edirlar. Sonsuz kgik
firl-anmalara uylun olan matrislari taPmak ugtln qrupun har
elemanrnt Teylor strastna aytrak. Frlanma qrupunun elemantnt
'
8
0r,0, va 03 bucallanna
gdre Teylor strastna aytrsak va slranrn
birinci haddila kifayatleneriksa:
s(0,) = I * i rfster,l,,. *
s(or)=l
+ifrster,lr..* (vll7)
8(0, ) = l+
i;fster,lr,
.,
yazmaq olar.
Bu srralarda agar
e, =
ifis,r,,1,,=.
(vr'r8)
=ii-sto.ll
d0. - lr,,
al
A1 =i
a,'
a018,ur,lr,=o
qabul etsak,
/000\
r0 0l)
o,=loo,l, o,=]o ool
lo-ro,J [-r oo]
alarrk
(o l0)
A.=,.|-rool
[o ooJ
ve onlara infinitezimal operatorlar vo ya
qrupun
generatorlarrr deyilir.
Gdstarmak olar ki, bu generatorlar
Ar,A2va A.
9.-
fe, erl= A1A2 -
= iA,
ArA, = i/.,
A2A,
l,r]= A2A3 [e. .a, ]= A3A1 - ArA, = iA,
[1,,
.
(vr.l.9)
kommutasiya mtinasibatlerini tidayir.
iki generatorun cami va generatorun ixtiyari a edadine
hasili da hamin qrupun generatoru ila ifada olunur. Generatorlarrn
sayr, qrupun tortibina uygun gali. A1,A2 va 43 generatorlann
macmui Lee cabri taEkil edir.Ogar
a) N goxlulunun X vo y elemanidirsa, onlann comi X + f
va a edadine hasili a X - de, /V goxluluna daxil olana.
6) goxlulun X ve I elemanlann kommutaloruda ,{ goxlulun
daxil olarsa,
9) goxlulun elemenlarr
[,,
r]=
[y,
x]= o; h,(y
[r[y.n= [y[r.n* [.t
*.)]= [*,y]* [,,.]
(vI
yn=o
kommutasiya mtlnasibatlarini aidoyarso, onda
cabri tagkil edacekdir.
N
1'ro)
goxlulu
Lee
Ogar
qrupun generatorlan kommutasiya eden
g.€neratordlrsa, onlann maksimal sayl qrupun ranqrna uylun gelir.
Ugolgulu frrlanma qrupunda kommutasiya
glll."ioit.
"aL,
yoxdur. Ilamginin SU(2) qrupunun da kommutasiya
edan
generatorlanda yoxdur. Bu generatorlardan ela operator ta$kil
etmak olar kr, o, bUtiin generatorlarla kommutasiya etsin, Bela
operatorlar Kazimir operatoru adlanrr. Frrlanma ve spin qrupunun
Kazimir operatoru
L2=Ct=fi+el+el
.e2
=cs"4=!(oi*ol*o!)
(vr'rrr)
olar. Kazimir operatorlann sayr qrupun ranqlna baraberdi. Kazimir
operatorlan sistemin Hamilton operatoru ila (onlar generatorlan
ozunda aks etdirirlar) kommutasiya etdiyi tigUn, onlara uygun
l0
gatan fiziki dayiganlar, masalan, harakat miqdan momenlinin
kvadratr, saxlanan kamiyyet olurlar.
i vektorunu i' vektoruna geviran R amaliyyatrna
i'
= Ri,
x'a
=
RaAxA
(vr. l.l2)
Q qrupunun tasviri deyilir.
-r-dal .r'-a kegid zamanr ddrdolgulU dalfa fimksiyasr
V' = R.ty kegidina maruz qalar ve onun komponentlari
da
WiG')= Atlttt?) + At2?r2(r) + AByr:JG)+ Atatl, aG)
ut;$') -- Azlyt(x)+ A22ty 2G) + Az3tlr{x) + A2ayt oQ) _-_ ,
(VI' l'
W\G1= \ t{x)+ A32\,2G) + errry rtrl * n-V,<rl
Vr;G') = A4 t t(r) + A42\t zG) + A13ttt3?) + A44V 4G)
13)
,
dayigar. Yani, koordinatlarrn gevirmasi zamanr dalla funtsiyasrnrn
komponentlari dayigarken, operator va ya matrisa R, qruputr
tasviri olarva
o, Arr,Arr--...
(
A,
va s. ila miiayyanlagir:
Ar,
/r:
-4t:,i:i:
A,, )
?,1
(vLl.14)
lAo, tn., An, A*)
Demali, R, -ya ry -+ ry' kegidinin tasviri deyilir. yeni, uylun olan
iki, 61 ve 6, gevirma matislarina m[vafiq olarak, dalf,a
fiuksiyasrm diger furksiyaya geviren iki marisda
Rop, = RorRo,
(vL
l.l5)
qruFm fasviri olur.
Ra tasviri gatiribn ve gatirilmayan tasvir ola bilar.
Fiziki kamiyyatin bu va ya baSka qiyrnet alma ehtimat
getirilan Esvfuda miimkiin olau b0tiin qiynedain almrsl i1s
xarakteriza ohmur. lakin gatirilmeyan tasvira uylrm olan
kemiyya-tin qiymeti yalnrz scailmig bir qiymab mitafaq galir.
ll
R,ve R, tesvirlari C(,t,) va C(tr) fazasrnda teyin
olunmuqsa. Q qrupundan, C(kt)@C(kz) fazasrnda har operator
tigiln Rr va R2 tasvirlarin qrup hasillari
Rr(U) A R2(U)
olar. Yani,
R,(QG)@ R,(0G) =
=
(n tOl)o (n,tOl)
(n,
tct)e (n;rcl)
(vr.l.l6)
hasili C(kt)@C(k2) fezasrnda
R, va r?r tasvirlarinin tenzor
getirilmayan
olur.
hasiti
iki
tasvirin tenzor hasili bir komponentli
tasviri birdan artr[ ola bilmez. Birolgulil tesvirin mdvcudlugu
(vL l. r7)
R(,s) = R(l)@ R(L)'
tasvirin olmasrna ekvivalentdir. Burada R(.1) -birijlgUlU tasviri
gdstarir. Ogar R, tesviri Q qrupunun C(k) fazasrnda
tamsilidirsa R(Q) = Q' qrupuna g6ra C(i) azdlEulii invariant
altfazadrrsa, onda Ro(Q)-ya gatirilmoyon tesvir deyilir. Bagka
sdzla (VI.Ll5) -da Ro, tamsilinda iilgiisii az olan matris varsa,
R.-ya getirilan tosvir deyilir. Ogar tasvirin btitiln matrislarinr
(R. )
( R,1s
tt
|
0
lo
I-l
t)
I o
0....
R2(s) 0....
o
Rr(s).....
)
I
I
matris kimi yazmaq mi.imktindilrsa, Rd tasviri getirilmayan tasvir
adlanrr. Yani, tesvir
Ro
-nr diaqonal matris gaklinde yazmaq olursa
tasvir getirilmeyen olur.
(VI. L l4) tasvirini gatirilmayan tasvirlarin cemi kimi yazmaq olar.
Tasvirlar gotilmoyen tesvirlarin miqdarrndan, onlann nege defe
har hansr tasvirde igtirak etmasindan asrhdrr.
12
Kazimir operatorlannrn mexpusi qiymatinin gatirilmeyan
tasvirda muoyyan qiymet almasr, zeruri va yeterli gartdir. Yani
generatorlann dioqonal olanlannm sayr va komutasiya edanlerin
sayr qrupun rankrnr mualyanlegdirir. Gatirilmayan tasvirda
mexsusi qiymeti mi.ieyyanlagmiq olur.
operatorlann
't\
Har bir unitar tasvir (RR'
= R'R =
lJ gatirilan va
ya
gatirilmayen ola bilir.
Elementlerin qrup hasili @ ila iqara olunduqda (elementlar
komutativdirsa), qrup hasilinda
(VI.1.18)
gphl @ g,,,h1 = sks..h.hl
hasili anlaqrlrr. Qrup hasilinda
B(0)s1o)-- s(e)
faza inhikasr zamanr parametrler dz-6z0na kegir:
f (e.@=E
Burada
/
-funksiyasr
f (0,e)= f (e,0)
f (0.f (E,iD= f U(0,0,E)
f @,e) = a. (a(9))'t = a(0')
ryr.r.re)
gertlarini iidayan funksiyadrr va / -funksiyasr analitik (ve ya
kasilmaz differensiyalanan) funtsiyadrrsa, onda bu qrupa Lee
qrupu deyilir.
Kvant mexanikasrnda Hilbert fazasmda unitar operatorlardan istifada olundugu ugun Lee qrupu
B@)=ei
= g(0)+
,,.
A, =-l-l
.
i0rX
)s(oll
oor le,
1 +...
(vr.1.20)
=o
tasviri ila ifada olunur. BuradaXl generatorlannrn izi srfir olan
tesvir gatirilmayan tasvir olur. Lakin her bir gatirilmayen tesvirin
generatorlarinin izi hamiqa srfir olmaya da bilar.
l3
$ 57.
Dorddlgulu vel,.1or
Lorena gevirmasi
I
iki fiziki kemiyyar olarak skalyar s
va vektor 17 -dan ibaratdir. I vehoru iki inenial
sistemin biri
7 suratini xarakterize edir. Farz edak ki, K
sistemlari iimumi koordinat U"9t-!,",oi"o''
n
istiqametinda d surati ile haraket edir. X
k, _irr".f..,no.
",
.r va r' vektorlan, uylun olarak
digarina g6re sabit
va K'
(ro.;), (r;,;,)
komlbnentlarina malik olar. Onda Lorentz gevirmasi
d_
ro--r-n
_
[E
Jo=
C
'll'
c'
t
r
r.n__Io
'n =
{,-
yaalar.
hyazhg
lo'
7
,
,=E
X-&
y =y
t'
t=
o
c'
o2
- -----;c'
t4
(vr.2.l)
Lorentz gevirmasina ekvivalentdir. tg -suratin qiymatidir.
iki ve vekrorunun skalyar hasili
butun inersiyal
sistemlarda eyni olar. Onu
i
i.!,
!
x.'
j
(vr.2.2)
= 8,rvx,ryv
kimi yazank. Merik tenzor g,,,, lr *v olanda g,,,
1t,v = O.O;ll;22;33 olanda
=
0
vo
8tt=-l
olur.
8oo =1, 8rr = 8zz=
Umumi gakilde Lorentz gevirmasi ddrddlg l[ veklor .rt -nil
.r! -a geviran
x, -) x', = /\rvXv
Ar,
gevirmasidir, Bu gevirmeda istenilen
i.!
(vr.2. 3)
hasili invariant
qah.
x'y =x'y
(VI.2. 2) -ya gdro
Ar,
(vr.2.4)
-matrisi
8P'A*A'" = g$artini odayir. Yani
h *1r
yazmak Iaztmdr
u; = Bpo
va
x px
va
ya
AAr = I
(VI.2.5)
tt = _r1., xi kvaaratik formam invariant
saxlayan gevirme, bircins Lorentz gevirmesi adlanr. Ar -matrisi
banspora olunmuq A -matrisidir, / -isa vahid matisdir. (VI.2.5) _
dan
laetnl'? = 1 va ya detA =
ft
olar.
Bir inersiyal
sistemden, bagka ineniyal sistema kegdikda igrk
stlratindan biiy0k siiret olmadr!r 090n (VI.2.5)-den
l5
r^..r=l-+
h/,
-=
(vr.2.6)
olar. Ogar sonsuz kigik gevirmaya baxartksa, onda
x'u=x,i-Ervxv, ltr" l .. ,
(Yr.2.7)
,' -- A-
yazlar.
.t=f+6
(vr.2.8)
yazarrk. Yeni
olanda
( Eu,
-antisimmetrik tenzordur) yaza bilarik
Lorentz gevirmesinin altr generatoru olur' Onlardan iigu
(x,y), (x,z) ve (y,z) milstavilarin ddnma buca[r (01,02,03)
iigu ise (x,-16),(y,-ro) va (z,xo) mustavilarinin
ddnma
ki, bu da bir koordinat sisteminin, diger koordinat
gOre
nisbi herakatinin siiratinin komponentlarina
sistemina
(8, , d, , r9. ) uylun galar.
Uylun olarak koordinat sistenninin dOnme bucaflannr
o,o(,, or ila iqara etsak, 7 sUretinin komponentlarini d,,8,.
bucaglan olar
ve t9- giistersak, Lorentz gevirmalerini
xt+iPxl
^t
ln'
''lI-,I
/------'--'=
C
xl, = x,
r6
xi
=
''
, xo-iPx,
(vr 2 e)
lo'
ll
1/' c'
yazmakla,
x,
koordinattntn
x, = 1'ax
burada
!
c
lo.
I a:
i'-:
!'-;
v
\,
I
c
ri
Le'
li,
\
{,- .,
l/J-il-\l c'
0
0
0
0
l0
0l
drrsa, inifentizal operatorlar
-l 0
00
00 ll= -,,.
00 0.1
Il
i6,o
(vr.2.l0)
lz=-i5oz-i6zo
1r = -i6or
-
-i6ro
olar. Ddnmaya g6ra isa 0-r oxunun ddnmasini
SUMOAVIT
n
DOt,'l ar ttNn'rner
KITABXA\IA
t1
ti=t'
x'a
= x2coso,t+ xrsin(J't
= -x, "incr+ trcoso,
ti
xi=r'
(VI-2'l l)
ro -^o
gevirmsi ila yazank. Bu zaman gevirma generatorlan uylun
olarak
j, =i94'=;6,,-,5,,
'&,
i,' =ill.=5r, -5,,
&.2
{vI-2.12)
i,'&,
=;4*=r5o -5',,
aftnr.
i,,i, *" i, operatortan
flJ
^ I
,1=
''t
-;2n1'
mltnasibetini (deyir. Ogar
I t-
\
tit,=;pttiJt)
L
opcratoru daxil esak,
li;'t,l'tl- ie^tft
alank. Bu ifadelarden gorsmn ki, I , ve J
I
ryr.2.r3)
operatorlan, impuls
nromenti operatmlanam Odadiyi komutasiya mthasibatlarini
ddayeo operatorlar kimi olurlar.
Iorentz qrupu dish,et qup ohn D aruprn, yeni faza
clltllly0nii P qupmu (i --+ -i,, J ,) , zaman c0tltyuu0 I -
IE
(rJ i,t-->-t) va yuk cuttE5dirnii olan C Arupunu
(i --> i , t -> t,e --+ -e) ozunda bL dlqrup kimi saxlayr'
qrupunu
Tabiyyatda
baE veren hadisalarda
ffT
elmi zamanda
= sabit
ryI.2.r4)
olarak ba; verir \ro I.orcnu gevirmelai (VI.2.14) gartini qabul
edarak, bttiin tanliklerin bu gevirmenin 6danmasini rami" edir.
(VI.2. la) qartina Pauli-Luders teoremi deyilir.
Haqiqi dayiganlarden asth olan kompleks fimksiya ila tasvir
olunao arraciyin bagka sistema etgisi, zarracikdan uzaklagdtkca'
azalmrg olur va ona gorada sonsudutda ry -funksiya srfira
yaxmlaS-mahdr. Yani, sonsu.dukda
f lvc\'av.ur Jrlu
olur. ty -funksiyamn
istanilan L kompleks adada vurulmasr, sistemin halrnr
dayignadiyr iigih, ly va ly = I fimlsiyalan eyni bir halt
inteqrah mliayya,
dayar-a malik
xarakteri.a edar. Ogar
.=lTur'-1.
qahrl etsak, re
IV
(vI.2.15)
= Vo evedamasin&,
+e
IlYol'a' =r
(vr.2.16)
gartini Odayan frmksiyada eyni sistemi byin edar- Normallafn
dal!;a fimbiyasrna gora V heninda, fg amda olma ehtimah
IVI'ar-w
l9
berabar
olar onun
normasr
"" firil = I I
pl'avl'
-ao. oureu
funksiyalann toplanmast va adada lurulmast amaliyyatlarrda:
lv,
*v,
< l,rr,l*
l,rrl,
1l.r4ll
- lrllwl'
normallama garti
l€
)lvtl' dv < 0
pozulmur. ,y,
," y, -furklyalann
(,r,lr,)=
skalyar hasili
T,;G\v,(rVv
(vr'2 t7)
dal$a funksiyasrn,n kornpt.ks Lruda bir vektor olmastnt gdstarir'
Ogar sonsuz sayda Vr,V2....V,... mexsusi
ardrcrlhlr varsa, onda her hanst
ty(r)
funksiyalarrn
dalga funksiyasrnt, bu
funksiyalarrn superpozisiyasr kimi
tlt = atvt + azt[
'
+....+ a,][,t
+...
(v1.2-18)
giistermak olur. Bu srra ytfrlan srra o vaxt olar ki,
,,,=la*Utt
olanda, (VI.38) srraslnda n
ll,r-v,,,ll'
-+
=
NI.2.l9)
co -da
ll,y -v,,1'av
-o
olsun. Bu ciira yrgrlma, orta yrlrlmak anlamtnda ba$a duiiilur'
(VI.2.18) stra ayrtlmastnda amsallar, V,, oxuna ty-nin
proyeksiyasr kimi taPrlrr:
o,
=
Sonlu 0lgUlti fazada
20
+€
/,\
,lv)= Iut:,(i)!/(i)dv
(w
(vr'2 20)
ll,,ll' =
ilrr;l'
av --i1"5'
vektorun uzunlu[unun kvadratl,4t kvadratlan cemina baraber
(istanilan
olmaslnl gdstarir' Onda (Vl 2 l8) srrastntn ytltlmasl
dal[a funksiYasrnrn)
Sr
'1
)1,-,,1
<-
^=l
4a Vt-lar (ortvektorlar)
t mexsusi
normalasan mexsusi funksiya olarsa, larlrehtimaltn'
(VI 28)
Sartrna ekvivalent olar'
qiymatin V = ) r,V^ haLnda verilmasi demakdir'
Kompleks Evktid fazastnda vektorlar 'r va ) iigun
l-x = x
(x+ y)+ z =.r+() + z)
(yLz.zt)
x+y=y+x
a(;r+
Y)
=d'x+@
@+A)x=ar+Px
(aP)x = a(fu)
yazartksa,
(cr va p-kompleks adaddir)
C(")
fezada seqilmiq
bazis vektorlartna
at,a.....?,,....
g6ra bu
vektorlar,
*
1=l,xrZr
srrasr
N1'222)
kimi tamsil edarik. Bu zantan srantn camlanmasi olarak
t,l
limlx-
!xre*l=0
r=l
(vI
2.23)
I
2l
ifadEi
ba{a
d[illnllle. Limitda
ela :1 vektoru varsan, -r, vekton
tgl!._nl=o
(vt.2.u)
yr$lan olu.
C( * ) taastHilbert fazasl adlanr.
Har bir dalta fimksiyasrnr ba$ka bir dalf,a frmksiyesrna
geviran operaor U,
Il ,v(
x)--v( s-'t )
ur.2.25)
olar. Onda
lJ
,,..VrG) =tlt(grt g;t
g -ye uytrm olan
F,rl' =i
U,
t)
--U ,,It ,.yr(x)
oper-atonrnrm tamsilini
Pv,1' v'
r"\' av
=
eyin edir.
iku1'
y-fimtsiyasmm
it f * =vl'
ncunsr
U,
tamsilhda saxlaulr. Bu'ada
NL2.26)
Y#Jaroviandr.
Bu operatorun, Hamilton operatoru ila komulasiya edib va ya
etmamasi kvant mexanikasmda mttllm rol oynayr.
(nu, =u ra).
idi
isa yutsak ercrjilar fizikasmda ;"61"6"
marislqin xassalaini aaSduaE n
2:2
61'-"" tnd
5t. Direk metrisleri
Relyarivistik kvant m€xrrikasmda *asan ddrd satr-sutmlu
$
.
matrislerdan istifada oluour. Bu matislerin taprlmasl ll90n Dirak
matrislarin qrup hasilinden, 1rili @ itarcindan istifada emi$ir'
Yani, qruP hasili olarak, marisin hor bir elemanr, digar maEisin
triitlin elemenlanna vurulur va bu hasilda matrislarin sa$dan va
soldan vurulmasrnrn rolu var' iki sats-sutunlu Pauli ostrislari
o
=[l;]
"
=[:
;] " =[l -',i .,I3
r)
saldan va sold'n vahid nutrisa
ry'.
""=[l:)
2)
vurulw. Belaki, qrup basilinda /(2) ile o -matrislerinin saldan
va soldan qup hasillari dord satir va suim matislari vermoini
taPm'so,:
x, =,(2)Eo,
roloo'l
=[::)"[: :t=l: : ::l=",,
|l.o
/lo\ /o
z'z=t(2)@oz=t,,|"t,'
,.,
oroJ
l.:
(v1.3..3)
;:;l
,l=|, .
o
-il="'to
): .'J ,1',
/r o\ /l or lo-, ool
E, =r(2)@o, =t,
,j"[, _,,|=1, , _r o l=o'6r
lo
o
o,
I
23
Pr=or@
: i :l
f:
oJ@[o ,J-1, o o o
ro r.\-rr
trzt=[r
,.,
lo r 0 0J
I
:;il
.1-fl
li o o
/o-i)-,,
o.=o"@l(2t=l
l8l
Pz-"2-..-,
o,J-lorJ
li
tt
p'=o\@t(2)=lo
;:'J
ll
o, rror Io r o o
_,,J.[o ,j=fo
lo
o
o
_,
o
(vr.3.1)
ol
,
I
o
I
-t.J
o, , o1,91 , Pu vo ' pr matrislarini alarrk. Bu
matrislar ermit va izlari srftr olan matrrslardi. Onlar agalrdakl
dOrd setr-sutunlu o,
,
komutasiya miinasibatlarini ddaldrlar.
oi 1+y = oi1+1 = 6l g1
OtOl=-O.Ot=iO1
O.O1= -O1O. = iOt
=v
T,Oo = 176,
=g
olot=-oto1=ioz,o-oi
(Trake ve ya iz dioqonal elementlarinin camidir)
pi = pi = p: =t, p, = pi,r,Q* -- Izpr =s
PtPt=-PzPt-tQl
(vr.3..s)
Pt?:=-PtPz=i?t
gtPt=-PtPt=i?z
Yani
oiok+o*oi=2ie,go1
pip* + ptpi =2ieigp 1
24
(\,r.3.6)
olur. t,*, -antisimmetrik 09 rankll tenzordur.
lerindan
= p3 va a = pt. d(t4 =
(h
A. or
dz. =
A
oz,
ot
dt= q
vo pt
-matris-
or)
(VI.3.7)
.
ap -matrislari tasir etmak olar:
[:::l
t: ;tit
r
-r
ol'o' =lo
'o=lo o
o
o-r,J l,o o
[oo
(o
o o -,\
/o o I o \
(vr.3.8)
;
:1,,=l:o':il
0 0 0J 1,0-l 0
",=l; -:
l.,
ol'
o]
0]
Bu matrisler
d,
ud,
r,
+d
4a,
o', =l
= 26 u,,
lt.lt'=0,1,2,3
(VI'3 9)
komutasiya mUnasibetini tideyan maEislerdir. Onlan kovariant
matrisler olan /o matrislar kimida yaza bilerik.
y
Jz
/
= O 4,1),
-marislerin agkar gakli
fooo-r)
y
n = yo.
/ooo-l\
i =y n. d
/oo-t o\
ioo, ol loo, ol looo,l
r=10,,
olr,=10,0 ol.n=,l, o o nl
l.,oo oJ l-,oooj [o-'o r]
ii
t:
'=t: :;:J.=t; r; ;J
:;:l
(vr.3.10)
(vr.3.l t)
:::l
25
olur. (M.3.9) va (V1.3.10)-dan
! pTv +TvT p
yazmak olar.
a
(\rI 3'12)
=28pv
va d,o matrislann ermitliyindan
yi =yn,yi =-yr $+ =-l)
ahnrr ve bunu kompakt olamk
f'[,=Tafpft
kimi yazarrk.
Psevdoskalyar (sakayarabenzar) matris olan (VI.3.ll)-a gitra
Ts=l,7;yzTtoldu[u09iin
TsTp+Tu!5=o
1yL3.13)
p = -T pTs
od"oitit. Yani yr -matrisi /, -ila antikommutasiya eden
TsT
g"ii
matris olur.
/p -matrislarin izini tapmak $gnn lzy p-ya saldan ve soldan y,
ile antikommutasiya edan 7, matrisini vurub, izin alhnda
yerlerini deyigsak,
IzY
,
= -lzY ,Y ,Y s = -lzY
5Y
j'/ t, = -lzY t, = o
alank.
Yani
'lzYu=g
.,I
314)
|25 matrisinin izida srfir olar( 1z7r = 0 )
(VI.3.14)-a asasan ve yf, =
l
oldulu iigtln
lkyuy,
4
alnar. 6,
p
Tak sayda
T
dOrd qiymet
-lara va ya
,
(vl.3.ls)
-lara Dirak matrisleri deyilir.
-lefin izi da srfrr olar. Belaki
11,
yalnrz m0xtalif
aldrlr zaman n>l olanda p,-nin orta qiymati iki
eyni qiymat alrr.
26
/
=6u,
TpTu+TuTy=26pv
miinasibotindan
y
p, 'y !2...y p2.*'
7u va ya y pyvyx(tt * v * L)
matrislarin hasili
matrislarin
hasili olur. Ona gdre
Izy
=O
A-y rz...y,r2.u
(vI.3.16)
olar.
CUt sayda ]z -matrislarin izlarini tapmak
T
^f
f
rT
T
tf
rT *T
*T
n =26^tT *T n -TrT
xT n = 26
^T
^T
UgUn
n = 26
*T tf n - T tf *f
^nT
tT
*T
^T
tL*T
,
= 26 o,tT *T n
^T
yaza bilarik va
Izy
^'l
-26 *f
ty
*y,
=
n
^T
* - T t! *T nf
m0nasibatlerindan istifada esak
T
n
^
In+25nny
Izy
ky ny
k-TtTr,TnT^
n
olduiunu nazara alsak,
l_
Tlzy^y1
=
6a
milnasibatina esasen 47 -matisin izini
I
ilzT
^y
tapank.
Eyni qayda
ty *y n = 6 a6 *n
ila lzy
iro *,, rr,r rr,
^y
=
1y py
- d,*6rn
ny
pf
*
+
6^P2,5
+6^n6tk
(VI.3.1?)
o ugtn
6,,-6n6* + 6^P*6 * +
+6^fi*6*+6,o6,06r+6*pp6* +6^,fiip
+6,,p4n6*o -6,-,qn6kp -6,,"6b6tl
-6^lw6*
+
6vt.:. tay
-
- 6 ,/4"6 p6 - 6 il6b6,0' 6a.6,16,n - 4,eEo,6 k,
'r1
alank. Yani ciit sayda 7 -matrislarin tzl
I
f,lzll o,T t,...T *,.1
yazrlar. n,m,k,l indekslari
'
I,1-r)il 6,,,6a
=
(vI 3 l9)
kt, k2'...k2, indekslarinin kombina-
indekslerinin ciit
siyasrdrr, cemlame n,m,k'l ,. "
kombinasiyalandrr, N = I,3,5,...(n - l) '
G0starmak olar ki,
I
= e*,,,
rY
)tzYtY ^Y ^Y,
(VI 3 20)
olur va ya
Ts=
I
*f
J'Tt
altnar'
olar ki,
Eyni yotla hemginin g6starmek'E*^il
I
I4 lz'l ,y,T ^f ^T oT oT s =
T
€.^po6 t-
-
e p-a6 no r
€
t
"^n6
po + E ,nn66 np
E
^npa6
pu +
E
-
p,po6wn
plvT p =-y p6up+y p6uu -yu6uo+ ervooToTs ryI
I
li py -T
sf v = je uoroT of oTs
3 21)
olar.
Dordolgulii antisimmetrik E ruro tenzorun dilrdolgulu vektorlara
uqun
a p(a,ia i, b, (6, ibs), c, (Z,ic s) va d n {i, id $ hasili
€
pupo a p b u c p d
o = - i a ouli l+ i o oeldal- i r
@a)@b\ = ab +
iolabl
miinasibetinin odanmasini gostarmak olar.
28
rilao l*
i
a oafie )
Gell-Mann va Okubo matrisleri
Sistemin hah unitar va unimodulyar gevirma zamant
$ 59.
davismadiYina g6ra
v'
= uvr
olar. Bu zaman U - gevirmasi unitarlt!, va unimodulyarh!'
(vI.4
UUt =1, detU =
gartina tabe olur. Sonsuz kigik gevirmaye baxartksa,
1
U =l+e'E,', , Uyazrtar va (II.59
u Gk)Lt*
l)
=l-iE*xi,Il =l+i\*xt
ryI.4.2)
qartlarina gdra
(Ek) = 0 + i (ox )Q
- i(ox[)
= r + iE *@ *
-
l)
xt) =
t
(rr o. r)
+
x*=x*
generatorlar
r^ ermit matrislar olurlar
detU = det eitr't
-
va
,iEltzq = I olduEu ugtin generatorlann izi
srflr olur.
(vr.4.3) va (v1.4.4) eartlarir-
in3*,nl"t"sl"'u"'.YJnlii
fizikairnda genig gakilda istifade olunanlan Gell-Mann va
inerjiler
Okubo matrislaridir.
Gelt Mann matrislarinin a5kar gakillari
ro1o'l ro-,0) (, ool [o:')
::J'1: l:J'1: ;:J
'11
/oo-,\ /ooo) rooo) .rloo)
I 0[vr4s)
r]o
-|., o olu]o o rlu]o o-i[q{lo
n'lo
o-2,)
o d lo r o.J lo i o,)
::i'i;
.
Onlann izi
Iz7".L, =
26*
(g1,0 = 1,2,...E)
drr. Onlar arasrnda
W,,x pl--x,t'B
-x
BLo
=2i> fatuxy
(vl4.6)
b,,x
ul=L,i, p +L
pLvo
=tu*
komutasiya mUnasibetlari var. Burada
*zdofit[,.y
f.p1 va
d*
antisimetrik
ve Simetrik qurlug sabitleridir, onlann srfirdan farqli olanlan a5a!rdakrlardr:
l,f,o, = .fuo = fx, = rr, =
f,
f,u
=
f,ru
=
fru,
u
=
| n6,h,x,l, a* = I uQ',f."r,
d,*
*o*
= -1, f,r, =
= d,r,
=t
f*c =
=-d^., =dzss=dt*=-dtso
d,,c
= ro
*,>,r*
=d.x= a,., =-ao,
=
))
-r", =;
=ft
(vI.47)
dn*--drr,=ar =dr,=*Ji
z'"(T),,(+). =:3,
/loo\
tt
I 0 liden baska i.o1o=t,2...S)
[o o tJ
l1f; =l
O
matrislari
kompleks amsalh ermit, izlari srfrr olan matrislar olub, SU(3)
qrupunun generatorlandr.
Generator olarak Okubo matrislari adlanan matrislardan de
istifade olunur:
(o 0 t)
(o I o\
ol,Ai=lo o ol, ai=lo o ol'
-r
^J=l;
'|.o o-,,J lo o o,J lo o o,)
(-r o o\ (o o o)
(o o o\
o 2 ol,A;=lo o rl,
al=lr
-[o oo ol,o;=|l
o,j 'l o o-t,l lo o o,l
(o oo) (o oo)
.(-r ool
ol, e;=|lo -r ol
Ai=lo
^'-[; ;o ;]ol, a;=lo oI oJ
1.o
to o ,)
ryI48)
4*4*tl=uq=o
(z o o'\
Onlartn
izi stftrdr va
aralannda a5alrdakr komutasiya
miinasibetlari mdvcuddur:
le:,et)= o,lel, il..l= o ti * m,t + k)
lo;,,o!l= eto 1t * D.lAi, A!l= - ol (, *
lol,,o!)= o;,o: - A!A'r = AI 'A:
/) (\4.4.e)
istanilan uq tartibli matrisi Okubo matrislarin vasitasi ila yaza
bilerik. Bele ki, A matrisini
ipl e) +
A - et (3) + ctAl * AeZ + yAl + (L + iple? +
+
-
(o + i 11
ttel + 6 - it1l, + Ol + i$ A) + @ - i0 4 9I.4. l0)
qeklinda yazarrk. Burada A= A- ,IzA=0 oldu[u
e, a, p, y, )t, p, o, t, q ve ( parametrlari haqiqidirlar:
ugiin
o+P+1=0' e=0'
3l
(VI.4.10) ila h -larin agkar toklini muqayisa etsak:
t,
= A? + A),xz=
lrei I
eD,
x, = ei - ej
in = Ai + Al, i.s =lto; -el),,ru = Ai - A? (vI4 rr)
I
x.,
tl).x,=-Jlel
=l<4I
alarrk.
D6rd sah-stittlnlu Gell-Mann matris olan 15 dana
(0, =
1,...,1,
matrislarindan
/oloo)
/o-ioo\
(t 0 0 0\
n nl
o o ol
-=l:: : :l',=l; : ;;l',=l: ,
lrroo.J lorooJ lo o o
/o o l o\
,.=l:
fo o -i o)
(o
: : : I^"=l:
[rror,J looorj lo
.o no oo
lr,=l:
0 0 0 0l
rl 0 0 0
0 0 0 ol^ rl0 l 0 o
i? =l
I,i, =+
Jll o o-z o
o o o -i1""'
0 0 , 0l
l0 0 0 0
ioo oo
0000
l, o -, o i,,=
00 r0
ir=
i,o =
lo , o o
0100
0000
[,, oo
32
i,o
o.J
0 0 0\
n n nl
o o rl
o r oJ
000r
00 00
0000
1000
/0 0 0 0)
o o)
ro o o-i) ro o
lo 0 0 0l
l0 0 0 ll I =tlooo-,1
L,, =
oo ol
ln o o o l^'=lo o o ol '"t4 lo
tt
[, o o oJ [0, o o,) l.0 ,0 0./
I o o o)
I
. rlor ool
^'==[:
(vr.4. l2)
:; iJ
istifada olunur.
Bu matrislara uy[un olarak, Okubo matrislari
300
110-t 0
0
0
4lo o-t o
0 0 00 ]'
,ri
=
0001
0000
0000
0000
(oo
0
o
I
' l0
0
0
[o
o
0
lo
A;'=l
0100
0 0 00
0 0 00
0 0 00
0 0 00
l0 00
4-- 0 000
000 0
0\
r0000\
0
0
l,
0
0
0 r0
0 00
0 00
0 00
-t 0 00
.l
-4
0
0
0
3 00
0 -l 0
0 00
(o 000\
tl^,=l: : : tl^,=l:
; ;;I
o) loooo] looooJ
33
(-r ooo\
foooo)
/oooo)
o
ooL^,=rlo
-, o olo:-lo o ool
c=lo
'10 t00l
0 0 3 0l lo o orl
loo oo.J lo o o-',J loooo]
41
0l
(0 000.]
(0 000)
lro00
, l0 0 0 0l
l0 0 0 0l l0 -l 0 0
a)=lo
o o ol'A;=lo o o ol'oj=lo, ; ;
|
I'
l,oooJ lo,oo,J loo,oJ
f-l o o o\
ool
,r=llo-r
" 4l o o-lol
[o o o :.J
(u.4.r3)
qebul olunur va onlann dioqonal elemanlarrnrn cami srfrr olur:
4' +,ql
+
el + e! =s
YUksak enerjilar fizikasrnda hamginin (bottom) (g0zellik) va
<top> (tabiilik) adlanan zerraciklari xarakterize edan 24 va 35
dana Gell Mann matrislarindan istifade olunur; onlann diaqonal
olanlarr
I 0 0 0 00
0-l 0 0 00
h:=
0 0 0 0 00 -I ll00-2 0001
0 0 0 0 00 "'u=-l.610 o o o ool'
I
0 0 0 0 00
0 0 0 0 00
34
100000
010000
000000
0 0 0 0 00
100000
0r 0 0 0
ll0 0l 0 0
100000
0
0100 00
0
I l0 0l 0 0 0
^
r
=-t
'-24
' ./610 00-30 0
Jrolo oo o o o
0 00 0 0 0
0 0 0 0 -3 0
0 0 0 0 00
0 0 0 0 00
I
E
100000
0l 0 0 0 0
001000
0 001 0 0
000010
0 0 0 0 0 -5
(vr.4.14)
drr. Burada, Okubo matrislarinden diaqonal el,a|,el,el
matrislarinden alava iki diaqonal matrislardan da
c=l)
-l 0 0 0
0 -1 0 0
0 0-l 0
0
0
0
0 0 0-r
0 0004
-l 00000
0 -l 0 0 0
.6 ll0 0-l o 0
a=olo
o o-r o
0
0
0
o
(vr.4.15)
0 000-l
0
0 0 0 0 05
35
istifada olunur va onlar ii90n
e! + el
e,t + Al
+
Al
+
-s
A! +
e|.
e!
fi + At =o
+ A: +
+
0'r416)
gartlari 6denilir.
Yiiksak enerjilarda, bezan daha yUkek simetriya malik olan
SU (3)x SU (2) qrup simetriyasrndan istifade olunur. Bu qrupdaki
matrislerin
Aro = i* @o6 (k = 1,...8)
Ao,=Io @o, (n=1,2,3)
L*n = L r
@
o,
(vr.4.17)
(k = 1,...8;n = 1,2,3)
35 danasi A matrislerdan tegkil olunmug matrislardi. Onlardan
begi dioqonal matrislardi (A.,0, A*, Ao,, A,.,, Ar, ) :
10 0 000
010 000
0 0-I 0 0 0
000-l 00
000000
000000
I
Jr
36
l0 0
010
001
00 0
00 0
00 0
00 0
00 0
00 0
100
0-2 0
0 0-2
100000
0-l 0000
001000
000-1 00
0 0 0 0l 0
00000-l
100
0-l 0
0 0 -l
0 00
0 00
0 00
000
000
000
100
000
000
(tooooo
lo -, o o o o
0 I 0o
^" _J3ll0l0 0 0-l
0
-l
0
(vL4.l8)
0
l0 0 0 o-2o
l.000002
SU(n)
qrupu
tigiln
asrholmayan nratrislarin
-I
(t
danesi dioqonal matrislar
olur. Onlardan n
sayr n2
-l
qadar
lr
-t
,l 2
Jll
-I
0
0
o
( vr.4.r9)
o
lo
0
0
lo
-(n-l)
olur. Sonra n(n-l)12 dena dioqonal 0st{tnda I olmakla,
transponiza olunmugunda da I va yerde qalanlannda srflr olmakla
matrislor yazmak, eyni zamanda n(n-l)12 dana dioqonal
tistUnde -i olmakla, traniponiza olunmugunda i olmakla, yerde
qalanlarrnda srfrr yazmakla ahnan matrisler olur. Kvant
mexanikasrnda istifada olunan elverigli qruplardan
SU(2),SU(3),SU (4),SU(5) va SU(6) qrupudur. Bu qruplara
uylun olarak zarrecikleri V!
\t,o^ tesvirleri ila xaraklerze
etmak olur.
SU(2)
yf
"a
qrupunda
=1zxll=(l)+(3)
V apry
=
l2x2x2l
(vr.4.20)
= @) + (2) + (2)
yazrlrr. Analoji olarak SU(3) qruprnda
ryf, = 1rx51 = 1ty+ 18)
37
Vap/t =
l3x3x3l
= (l) + (10) + (8) +
(8)
(VI.4.21)
SU (4) qrupunda
;-:i
UtE
=l4x4l=(I)+(15)
Ll
'
\t
+ (2O) M +
r1y = [4x4x4J =(4),r,+(20)s
QO)
(W.4.22)
SU(5) qrupunda
A
ty
\r
apy =
l5x5x
__
ls\ -sl,-
E=
tl)
!
(24)
GO)r,t (3!).s,t,QQ) u + @O) u
5J+
(Y1.4.23\
SU(6) qrupunda
V! =t6x6)=(l)+(3s)
tlrdfry
=l6x6x6l
= (20),r +(56)s +OO)M
+Q0)M
(W.4.24)
yazrla bilar.
(VI.4.19)-( Vl4.24)-deki multipletlar (l), (3), (8)... va s. uyfun
qruplarrn gatirilmayan iasvirlere miivafiq olan realiza olunan
tesvirlardi ve real hadronla xarukterzo edirler. Bu qruplarla
uylun saxlanma qanunlannt alde etmak olur. Saxlanma qanunlannl mtiayyan etmak ttqiin qrupun G -generatorunu
: ,1. .:.,r.
:
,
t,or,lenlNlh;r,Noq^l
,,4., i,.n,,,
1vr.4.2s)
.
"iii i" ' III-'
. , , ,.:t.q^:4Eto=\,1,1--rq^.
yazmakla, laqranjiBflt:trr: t' I:rrir,
:
'
::
:
.
i., u.',T'"
,,. i&r\i .,.!eilu"qn
.: .,
,,.'.,
2"',
(V1.4.26)
.rl
E^ =;E^4o
gevirmelarine gOre invarii4t qalmzisrnt qabul etmak lazrmdlr. C -
Seneratorunu
:-l'
!,'-'!
, , ,, ''..
kimi de segmak olar,Ondq,l
38
:'
"
-&l6s..,,[t$,61av
I
'i;:
'
l
.= 1;.
,.
.
(v7.4.27)
o.
=[ti6av
(vr.4.28)
e'Q. = 0 qertini ddayir. Oni gdra
olar ve bu operator
to"d=-|x"a^ [a. ai=lo.x,.
mUnasiboti ddelinir. Onda
Q
(v1.4.2s>
y,iikleri
(vr.4.30)
lo.,o.)= d.,.o,
komutasiya mi.tlasibellara uylun olur.
(VI.4.29) ve (W.4.30)-a gore
[t.,a;,)=f,xi";
li.,t;,)= _l*ru;,
(vr.4.3t)
olar.
Ogar Q -mn yerina hiperyrik operatoru
)
f= --;Q.
(v[.4.32)
{J
ve maftunluk operatoru
frooo)
e=+(r-J-6i,,)-loooo
*
daxil etsak
I
looPol
, SU(4)
(vr'433)
Ioooo./
qrupunda
yvt,
"l^r=aV",yVo
=iu/,
az
yvt,
=
=0W,
3V,,yW,.
eV, = eV o = eUt, = Ay,. eW, =tV,
39
u,d,s va c
hallan 09iin alda ederik. Yani
u,d,s va c -kvarktn
1l 233 3-,0
I t)
hiperyuklari uy[un olarak :,:,(antikvarklarrn hiperyiiku
-;,-;,;,0-O,r).
barabar olur
Onda
adronun
hiperyUht
Y=s+n-LC
(vr.4..34)
3
olub, u,d,s-rvark ugun srfrr, S kvark 09iln isa -l-dir. Meftunluk isa a,d,s-kvark iigtln slfir. ckvark Ug0n isa +l-dir. Qaki diaqranrnda u,d,s va c -kvarklar
pakil A-dakr kimi gostarila bilar.
kimi tayin olunur.
S -ecayiblik
$€kil A
Kvarklarrn elektrik ytlkil
o=Y
'2'3 +t,+?c
dtlsturu
ila teyin
2 | - L2
l'- l' l'l
40
olunabilir
qrymatlantx alar'
vo
z,d,s,c-kvaklar
tigtln
$ 60.
Yiiksak enerjilar fizikasrnda istifade edilan
fiziki kamiyyatlarin operatorlarl
Yuksak enerjilar fizikasrnda ma'lum saxlanma qanunlarr ile
yanagr, miihi.im rola malik olan alave saxlanma qanunlartntn
ddanmasinde vacibdir. Bu saxlanma qanunlartna izotopik spin,
hiperyiirk, maftunluq, girzalliyi va tabiitik kvant edadlerina daxil
etmak olar. Bu fiziki kemilryatlerin operatorlart uylun olarak
,,=7,, =fr,e=|(-rur,,)
;
=
f
(J-rol
"
- r) t = |( -
rttr.,
ryr5,)
)
segile biler. Buradakr l, -matrislari (II.59,14)-dan teyin olunan
matrislerdir. Bu operatorlaln maxsusi qiymatlarini tapmak iigUn
irV =IrV,iW = yV,CV =rV,
oV = aW,iW =rW
(VI.5..2)
tanliklerinda tY -ni
Vr
Vz
vr=
Vt
Ve
Vs
Vs
matris ila tamsil etdikde, normallama gartina gOra
lrr,l'
olar va t4,
=l
*V,l'
qiymetinda
MUvafik olarak ty,
=l
+'+lrYul'? =
l
Vz--Vt=...=Vo =0 qiymati
olanda
a1nar.
Vr=Vt-...-Vs =0 va s.
4t
olmahdrr. Demali, kvark adlanan
funksiyalalnr
v@) =
fiziki obyektlarin
mexsusi
I
0
0
0
0
0
I
0
0
0
0
I
= n
v(c)= I
0
ol.v'@)
=
o I'tzt'l
0
0
\r (b) =
0
0
0
0
0
I
0
0
0
0
0
0
0
va
vrG)=
0
(vr.5.3)
0
0
I
matris ile tamsil olunar. Onda (VI.5.l) ve (VI.5.2) tanliklerinden
\r(u) va rlr(d)
Trr,
= I3ur(u),
100000
0-1 0 0 0
0 00000
0 00000
0 00000
0 00000
42
0
\rro, - Iy(d)
(vl.s
4)
I
I
0
0
0
0
I
I
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
- I,
-
I1
0
0
rl
=-l
alank.Yerda
=tt/G)=tY(b) =t/(r)
=0 qiymatlari
r-kvark ilciin t. =1- d
-kvark i.lciin
qalan kvarklar
Vr(s)
22
UgUn
isa
isa /,
ahnar. Yene de (VI.5.2) -den
iv=vv
tanliyina gdre
(rooo 00
t0r 0 0 00
o o 00
fialoo
loo o o 00
1t loo-z o 00
I
Y,=1'Ya=
(vI.s.s)
il{il
[oo o o 00
t2
qiymati va
JJ
!,=yr,=
y,
=0
ahnar.
Hamin qayda ile
t_
)il.-Jex,,1,v
=ra,
tanliyindon
I
rl,-;a
'l
I
T6
I
l0
I'l
0 -3
(vr.s.6)
0
[:]
I
c = 1 alda edirik. Demali, C -kvark UgUn c = va ba$ka kvarklar
c -nin qiymeti u -- d = s = b - t
olur ( c=0).
-0
Yene da
(VI.5.l) tanliklerindan
43
(o
/0\
I,
i,.*"-,11 =J't0 . jr,-f,st.,l!
l:l
(o
t3
t,
Io
I,
ln
lo
t,
'l'l
(vI.5.7)
yaziar.
(VI.4.14) ve (VI.5.l)-a g6ra
B=-1
T =+l
(vI.s.8)
alank. Belelikle, izotopik spin, hiperyuk, maftunluk (charm),
giizallik (ve ya alt) (beanty) ve tabiilik (ve ya ust) (top)
operatorlannrn uylun olarak z ve d -zenacik iigiin
Ir=
1l
I, =2,
2qiymati
olar s,c,b ve I
srfir, hiperytlk isa kasir qitmatini alrr:
r - _l
Y,=;,,0-;,
JJ
(elektrik vokti
? u" -1-0,r,
JJ
s -kvark ugtin hiper
yiik
0
0
I
Vs =
0
0
0
M
Y,
=-1J
kvarklar iiqiin
olur. Lakin hiper ynk
u,d,c,b
Ya , -kYark iigun
(vI.s.e)
Y, =Yo =Y, =Yb =Yt =O
qiymatlarini alacakdrr.
Charm, beauty va top kvant adadlari
uylun olarak
c, b va I
kvarklar Ugiin
/0)
l:l
|
l't'
'
=1,c,=ca=C,=Cu=C,=0
i:l
Vo=
tll =-1, B" =
l:1.
Ba = B, -- B, = B,
=0
[.,l
0
0
V,=
0
0
,7, =1,T, =Ta =T, =T, =Tb
=0
(u.5.10)
0
I
maxsusi funksiyalan va maxsusi qiymetlari elda edarik.
45
VI FASILA AiD CALI$MALAR
Qahgma VI.1.
taprn.
Hall:
d
ve
p
d
va
p
matrislarinin komutasiya mitnasibetlarini
matislarinin aqkar sakillari
(oroo) r0-,oo) r' ooo)
Iroool li 0001 l0-lo0l
=lnoool'o,=lo oooi ",=lo ooof
o,
[roooJ [ooooJ
[ooooJ
/oolo\ roo-io) rlo oo)
lnro,l
looo,l
lo, ool
=l
'' ;; ool'''=loo oo l'''=loo-r of
[ooooJ [oooo,J [too-rJ
r0
o'|oz-o2o'|
r00Y0-i 0o.] [o-,ooYor0o)
llooo
=loooo
l, oool l, ooollooo
lo
loooolo
/r ooo\ 1l ooo\
ln-,ool lo-,ool
ooo
l-lo ooo
loooo l=
ooo,J Io oooloooo,/
='l; ;ool-io oool=2io'
[o oooJ lo ooo,)
Uyfiun olarak
o20j-oloz=ziol
o3ot-.ogi=2ioz
Buradan
okok --okok=2Eu',o,
alarrk.
46
I
Eyni yolla
P,Pz
-
QzP, =
ll0 Y o o -i
lo, o,
0I
[::
o\
I
0 0
t:: 0
/00-i0Y0 010
lnn n,ln 0 0l
_tt
loo oo lo 0 00
[oo
0
l::::l
r,o
lor o o
,j
loo-r o
r0 0 0
0l 0 0
00-r 0
o o -,
00 0-r
o
orlo 0 00
lo
o
=2ipt
olar.
Uy[un olarak
- PtPz = 2i9,
gt?t-?tPr=2iPz
PrPt
yazzrtk.
Buradan
gtPr - ,t.Pt =28u9,
alank.
Sonda
otP* = Ptot
olmasl a$kar gortllniir.
.
Qa}9ma Yl,2,lv, va 1,, matrislerinin kommutasiya munasibot-
'
lerinin va ,f"p, 9urlug sabitini tapro.
Hall: i = l,/ = 2 qebul edak. Onda
\ lt ,
-7,.
rL, = )i7,,
frr., =
|
4't
alalk
/or0Y0 -, o) fo -,0Y010)
lri', -'Lri, =l ,ool,
ool-1, ool,ool=
;;l [, .oi.ooJ
l;;;l;
/i 0 0\ /-i 0 0\ (t 0
=1.-,rl-l , ,o l=,,10-, ol=r,r,
0)
l..
. .,l [ , , . J l.. o oJ
f,r. =l
Ogeri=3,j= 4 olarsa
h .,ri n
-
,[ 4fi'.
t: ;:lr;;l
lr
lll:1:l
(o o -i)
=,lo o o l=2ih.
[, o o
,i
I
ftos =
1
alank.
Yani
1,,7,,1=zi\*x*
frn, =
frou
-- fzs, =
r -rJ267 --l
- 2
Jts6dolrudu.
48
I
,
.
Calr$ma VI3. Okubo matrislari
asrlhIr taprn.
Hall:
Ai va i, ile i-,
/0r0\
arasrndakt
r000\
a,'=loool,al=lrool
loooJ
looo.J
/000) r0 l0
/0 l0)
a,'+al=lo o o l*l r o o l=l r o o
lo o oJ [o o o,) lo o o
Yani
= 1.,
7''=el+l!
olur. Hamin qayda ila
\.2=!6i
I
- el)
7"'=Ai-ei
fr'' = -"f3A;
oldu!unu alank.
Qalgrma VI.4. Okubo matristeri uqun
Af + Ar' + Af = g olrrrut,n,
gosterin.
Hall: Diaqonal Okubo matrislaridir.
/-l 00\
/-l 00)
.Ic=il o 2 oIa'=jl , -' ,l
/200\
4=11.
"[o
-,
o-t] -[o o-t,) l o o 2)
49
(_too)/ -l 0 0\l
4*n!*4=*]i, -, ,l.l ,., ol.l ,-rrll=
'[lo,-,Jl,,-,JI o o2))
[1zoo1
;[: r :1.*l:' i ;l *[;;']
fo o-,) (o o r,
Bunagora
ei + ei
+
el
=O
'
alda edarik.
tigUn
(k*t)
3 olan hala baxak. Bu zaman
o r'l
fo o r.)[o o o)
o ol-lo o olll o ol
ooJ loooJ[o ooJ
/ooo\
=[;;;J='
luetl=t
olar.hamin yolla digar A -lar UgUnda bu gttra mUnasibotler alank
ve llmumi gakilda
t4
yaza bilerik.
e!l= e', <r*o
Qahqma VI.6. Matrislardan
IEJ'
-1
llT
A=
tn
{lo{;
J,
3
2
3
ttl
I
t_
3
B=
tt-
t_
1/3
r
!6
I
3^12
llo
3J,
3t
2
2J3
I
ll
2$6
matrislarini dioqnallaqdrran matrisi taprn.
Hall: A ty = trUr tanliyindan A -nrn mexsusi qiymati taprhr:
l-r
ld
tanliyindan
l+
-t
l, =l,ir=-1, lr=-I
5l
kOklari altnar.
i.r
=l
kiiku uqun
-!,, * fr,,*E*', ='
E'' - ',* f''
=o
*',.{tr,-i', =o
tenlikler sisremini Y azatrk.
-rr : x' : xr =
,Et' ,[
olduPundan x, -i matris geklinda
E
{,
x,=
I
IT
t1l+
yaza bilerik.
?'r=L, = -l
helleri ilgUn tanliklar sistemi
1,,.
&,*E*,
f*,
*
r.*
r[',
=o
*''-,,fl'' *l''
52
=o
=o
olar. Bu sistemda
rz
=
0
olanda
rr = I ve x,
='Ji
olar. Faqot
I
x, = 0 olanda x. = --F,.r., = -l olar. Onda
J3
.,
yaztlar.
.T|,
[i,). [fl
J, va xj -a gfira
F
1l:
tT
,lz
n
t-
1/o
tt
,, fi +[,"]
!r
0
!tE
Ir
-L
X"
r' =F;r=
1r
E
1lz
II
llo
53
matrislarini yazank.
L, =7t, =2,1,.,
=
I
l,i
= l,
i,
=
uylun olan
ir
^A
=
-l
va
6
va
matrislarin mexsusi
funksiyalarr Y,,Y, vo Y,
AY' =
1Y'
BY, =2v,
AY' = -1Y' BY, = 2y,
AY' = -1Y' BY, =v,
tanliklerindan taprl rr.
Y,Y, va I, -a g6re U -matrisini
Ett/r
{; ,1, r/a
,1,8 ' -,8
trttlt
-th l,
segmekla,
A va B matrislarini diaqonal
Belalikla
UAU. =
54
-{a
gakla salaq.
tt
F
1t
\z
-{ttl
tt
\z
lt
t_
t-
Io
I1t OE
,-
-
tt
t_
1lo
_1
3
t'6
1l:
J'
J
_t
I
lll
I
t,
J'
ll
1lr
3
1ls
0
IT
t-
tr
1t
J'
J
-+
r/:
0
F
J'
t,
t1
t_
tJo
I
I
F
Nz
Jo
13
I
N2
t1
0
I1e
3
J
1l
t;
_?
J1
,_
- '\ls
1l
tr
1g
lr
/t
1
I
N6
I
--7
\z
46
.16
I
ll
JI
JI
0+
trE
tJo
,12
- t-
t_
- tJo
t:; l]
almar.
Yani
UAU- =
olar. Hamin yolla
Ii:]
55
h
tr
1r
trz
I
UBU- =
IT
1r
1r
F
/1
1
1/o
2
I
tJz
ahnar.
F
1z
tre
E
,E
,E
(2 o
tr
I
I
F
tra
t-
I
3J2
!6
3
1o
0-
i_
F
t_
5
r
F
l/:
!l
n
\z
0
I
E
2
llo
./6
I
I
6
/'r
-t'Vr
IT
l_
\z
-!aI1
o\
l:;:l
Yani
f2oo\
uBU'=lo 2
BOyleca,
o
tt
l.0 0 rJ
U -matrisi A va B matrislarini diaqonlagdrran
I
matrislar olacak.
Qahqma VL7. Ohet gaklinda tasvir olunan mezonlar U90n k0tle
dtlsturunu tapln.
56
Hall: Mezonlann tacrubedon tapllan qiymatlari
m" =o'OZ(MeV)2
=0,24(MeV)'
mi
(u)
mi' =O'3}(Mev)'
drr. Kvark modelina giira mezonlar oltet sekkizlikle tasir edirlar'
w"
o
M:
--
+
ur"
-;Vt,-
,.
4t'
-i*-" v"Ju'r
Vr"
V2
vt
2rlt
va onlaln kiitlasi
W
{o
;
n
Je
=*32u'"u;
tayin olunmahdr. Onda mezonlartn kUtlasinin kva&ah
; =^:{ilv"l'*lr.
.
)lr.,,l'
Ik,l'
l=+lrr,.
l'+
*|P,l'
*1v,. l' * l,r- l'
* lr-"1' -
lr.l'
^:fu."1'
nlw..l'
*
-.-1P,l')
*lv.l'
*l*-.1'
lr, l' *k-"1' *l.l,-.l' *lv,,l')
5'l
olar. Ba$qa siizlo, btittin mezonlann ktitlesi eyni olub, m?o _ya
beraber olmahdrr. Faqat, tacr0ba (a) qiymetlerini verir. (a)
dayerlarini almak ugttn ferz edek ki, a = 3 va b 3 qiymatlari
=
alanda alave 1&n)2 kuttasi yaramr. yani mezonlann ktitlasi
*
=^;[email protected],Duiu;
+
[email protected])'z>M!M;1
yazrla bilar.
Onda
---;
m'
,l
= n6\v
t2 t
+lw
".1
i
^.1
t
+lw
t2
"
l-
+
t
t2 t
t2 t
I
t2 r ,zl
+lw,,l
+lt{t | +ltr-"1tZ+lvr.l
+lrr,l"}+
* ra,l,
*lw
{l.l,,.1'
r
l',
+lw
r"l' .lr-"1'
.1lrl,}
alrnar.
Buradan
*i =-i
mi
=
nl [email protected])'
*i =^i +:@o,
J
alda edarik. Yani
^i
-*i [email protected] -^:)
alank. Bu ifadaya Okubo Gell -Maon dUsoru deyilir.
(a)-ya g0re
58
m]-m'z"=g'29
m!
- ml --o'zz
olur va Okubo -Gell-Mann diisturundan
O,28 = O'29
alrnar. Yani taxminan 2Yo daqiqliyi ila Okubo-Gell-Mann dtistura
tecriibi qiymeti tayin edir.
Qahgma
^;
-
VI.E. Ogar S. = S-
elektronun spininin
r
proyeksiyasrdtrsa, onun
T::
I
a
S.
va
boyunca
r1l l=,nllrsl
Lss']=Ltr'.1 rL
olmasrnr g0starin
i
.l
-in tam momentlo
komunitasiyastnt
isbatlayrn.
Hall: Spin operatoru
j. =1o -air.
i=4a.
=1o.,
- 2-'-'S =Lo..j.
''
2
2'
2
Onda
r^^,
. .,1 .,,.l
[s,s,l=s.s.-s;s,=Llssl'l*lsSr'l*
L
.
[r.r. ;]
= [s.s,
=inS
"-z 1-iai
r
]i.
[r.s,
P.
l=;/23. -r3.
r')
'r
[r
[r,s. ]g =
)
olur.
A.ualoji olarak
59
1s,s.J=
1s
*[is. _ Is,
r
s.l=*[]s, _rs,
r
Bunlarrn cami
[3i]=,,
3l
l
olacak.
Asanhqla
[a tl=
L r)
-*4r
[a 1l=
rl
-*+r"
L
[etl=-*4r'
L r)
olmasrnr gtistara bilarik va bunlardan istifada etsak
i, z*
[.,s.]=[re - :r,i, l*
r
r
\
=
-
1,1,
[.q
alank. Yani
60
3)=
,.
:]-
r)
s,
;].
,.
;]- [.r, ,, +]- [.", ,. ;] =
[,,1
=,r,[lS, -u 3 ]
r
\r
,.
i
)
i].1,..
t ,s.1= ,,lis, - |s )
ti,s.l=,,[;s, _is,)
.
'
[i,s,l= ,,[1s, _ is. )
alda edarik.
Betalikla
ormasrnr
rapa.k
rii l=-*[is]
L-' l- "'L' " I
'"r
ro*"T
=s
=
[i3. ] [3i,
=
orar.
*
i
ordupu
]. [;3.]
rlrsl-,rlrsl=
L, I L' l
Yeni [rs,]=,
u9'n
=
o
orur'
6t
VII FASIL
RELyATMsrlx raxr,ixr,an
Bu fesilda qey,rirelyativistik kvant mexanikasrndan farqli
olaraq stireti igrk siiretina yaxrn olan zerreciklarin herakatinin
kvant mexanikasr gahr olunur. Qeyri relyativistik kvant
mexanikasrnrn asas tenliyi olan $rodinger tanliyi ealiley
gevirmalarina giira
x'= x-Ot,y'= y,z'= z,t'= r
(ULl.l)
invariant qalrr. Lakin Lorentz gevirmalarina gdra ise
,
x-ot
f- ^, ' y = y' z
i,-:
t
(\1r. r,2)
t- r9,x
c'
E
(D -sabit sUratlo harekat edan koordinat sisteminin stiretidi)
va ya
x' = xchy - ct shy
ct' = ct chy - xshy
gevirmelerina ( shy va
,hy
=
! p,
- et ), chy
Lorentz gevirmalarinda
sny
62
chy -hiperbolik
=
Lk,t
sinus va cosinusdur:
+ et ) )invariant qalmr.
shy va chy
=-!,
,rl,-5
chy
(vrr.r.3)
kimi tayin olunur. $rddinger tenliyindan
in?L= nw
dr
Hamilton operatoru
'
-
H=b
=
t-
+u
oldulu iigiin
fi = -Lv2
+U
(r)
I
')
.la
ihl,+!-s2
2m +UO|lY =g
(\'II l.4)
(uI.l.s)
I
Ld,
yuarrk va (\U.1.2) gevirmasinde zamana gora tdrama birinci
tartibdan, faza koordinatrna gora isa torema ikinci tartibdan
oldulu ugtin invarianth[ pozular. Yani, $riidinger tanliyi Lorentz
gevirmalarine giira invariant qalmu.
Diger tarafdan zarraciklarin maxsusi momenta (spina)
malik olmasr $riidinger tenliyinda yoxdur. Lakin tacriibi faktlar
bunun
akini g6starir.
Nisbilik nazeriyyasinin esaslartnt va spinin varhfrnt
relyatvistik kvant mexanikasmda nezara ala bilerik.
$ 61.
Ma' lumdur
enerjisi,
KleYn-Qordon tanliYi
ki, nisbilik nazeriyyasinde
sarbest zarraciyin
impulsla
E2 =
c2
p2 + m'co
(VII.2.I)
elaqada olur. Burada tam enerji E-ye m2ca stlkunat
daxildir. (VII.2.l)-da enerji va impuls operatorlartnt
E=ih
'
qebul
etsek,
.r"rii.i d"
i'=-,n! =-inv
!,
o,
dr
12
-h2! - =-c2h2v2 +m2c4
0t'
63
olar va tanliyi
(czh2v2 -tr, d', - *r rn 1yt =o
'
dt"
ai,
\y =s
1v,
',
nc'dl'
(vr.2.2)
-^l{
-
va ya
tv'-1*-to'tvr=o
c'dt'
yaza bilarik. Burada kn =
-n
(vrr.2.3)
mc
-.
(VIL2.3) tanliyi Kteyn-Qordon tanliyi adlanrr, bu tanlik
relyawistik invarianthp $artiDi ijdayan tanlikdir' Yani, Lorentz
gevirmalarina g0ra invariantdrr. Ogar koordinat va zamanl
dordolgulu koordinat vektorunun komponentlari kimi
xt, = ch
- r, b, -- nin9OX,
tesvir olunarsa,
(b,b, -^'c'1tY(i,r1
=g
(vrr.z.4)
va ya
@ pa t,
+ ki)\t (i ,t) = o
y azzrll.. (Y11.2.4\ Kley-Qordon tanliyinin kovariant qaklidir'
(vII.2.3) tanliyinin kompleks qogmastnt yaztb
=o
I
(r, _IL_o;Jr.
'"
l.'
(VII.2.3)
(vrr2s)
-ni ry'(i,r)-a, (VII.2.5) 'i ty(i,t)'va wrub,
tarafe gtxak:
64
'2
at2
taraf-
i6 *u, - r,iv.v =o
*'r'-lr#v. -kivv'=o
v-y'v - vN'vr. - \ rr- ff -, Y,
,.o',
-
(vrl2.6)
=o
alarrk. Burada
Ur"?'rlr
-\N'tlt. =v(V-v
V
-Un
V'l
,'#, -r#r. =**'*-,Y)
(vrt
2 7)
oldufunu nezara alsak va
ih - 0v
P=;{vt
a,-u' a,'
au/'
j
" =J-w.vv
Zim
iqaralarini qabul etsak, (II
6l
.
(vrr.2.8)
-wv't
6) -dan
9L+aiv;=Dp.*Vi=o
-"'
dt
(vrr,2.e)
0r
vazank.
j.ql relyativistik halda kasilmazlik tanliyi adlamr' Gdrtindiiyii
ivii.
kimi Kleyn-Qordon tanliyine gora caryanrn ehtimal srxhgr J
caryantn ehtimal srxhfrna uygun
$riidinger tanliyindan alman
gatir, lakin ehtimat srxhlr p qeyrirelyatvistik ehtimal
ferqli otub, p >= 6 ola bilir' Cerayamn ehtimal srxhlr
srxtrlrndan
(VII.2.8) ile tavin olduf,u tlgiin onunla mtielyanleqan maqnit
il;;rli, lt" Sioaing.t ianliyinden altnan yalntz orbital maqnit
meydana gtxmaz
monrenti'olar va burada da spin maqnit momenti
(VII.2.8)-da
19
<< c hahnda
65
),, lv2
E=ihL= tmc2r =mc'(l+-r+ ')=mc'
0t
v
2
lr
1l'- .,
yazank va
E
9=mc'
.\r v=w v
(vrr.2. r 0)
olar.
Ehrimal srxhlr
ih ,dw dw..
p = _________;Ut _= _t{ _:_)
dt
2mc' dt
p=0,p<0 ve p>0
olduluna gora
olacak. onda p-dan
zerreciyin sayr anlaygr kegarli olmamahdr. Lakin v - c hahnda
kvant nazariyyasinde zarraciklarin sayr deyiqan olur va srx.h[rn
manfi olmasr m0mkllndtlr.
Kasilmazlik tanliyini kovariant gaklinda
o'Ju=o
yazank. Burada
J,
t
carayan srxhlr
(vrr.2.ll)
u=fiW'Orv-\fi,,vr')
drr.
Kleyn-Qordon tanliyi xarici elektomaqnit sahasinde
t"
-
l
+nzr!lv
1l2,@u-it)'
|.p"'c'
=o
Nr1.2.t2)
)
yazank. KleynQordan tanliyinda olan
tg
-fimksiya bir
komponentli funlsiya olub, spini srfrr olan zerreciyi xarakteriza
edir. Ona g0ro t1/ -yo skalyar funlsiya deyilir. Bu funlsiya va
vektor potensiyal
6
A,
gradient gevirmalarina giiro
"i'
.a
A'r=Ar-<-t
Y'' ='Y
oxp
'
(
/
-ixtiyari funksiyadrr) invariantdr:
i2I
'
(
er-9e;v
='i
(Pu-:ft)w'
Kleyn-Qordon tenliyi spini srfir olan zerreciyi xaraktcriza edan
retyativistik tanlikdir. Bu tonlik ila z- mezonlar, K -mezonlar
xarakterza olunwlar.
$ 62.
KleynQordon tanliyinin hidrogenebanzar
atomlara fetbiqi
Kleyn-Qordon tanliyinin xarici elekromaqnit sahasinda
yazrhqt
{<tn!,-",t1'
-1-ihi -!A12c'
-^'"olv =o
(vII.3.r)
olur.
(VII.3.l) tanliYini
(
- n'
I'=l
zinrr! - in )*
L
dt
or'-
)dt
* r',p' tv =
,'yr'g' +2ihe. ,i + ihec(ilA) + e2 A2 + ^'rnly
qeklinda da yaza bilarik'
Atom elektronu ntlvenin elektrostatik (Kulon) sahasinda
harakat edarsa, vektor potensiyal srfu olar ve potensiyal
eQ =
geklinda yazrlar. Onda
7' l=s
-4-'
(VII.3.l) tenliyi
67
+hzc2v2'^"*\v.'t't=0
W*.+)'
kimi olar. Stasionar hal uqun
rY(i
t4(i,t)
I
3 2)
(vII
3 3)
funksiyasr
rY171
't) =
qeklinda segilarse, (VII.3..2) tanliyini
e-iE'
(vn
..:l
u *4\ lu,t;l=o (vrr
l-l-o, .!!--L(
, ))
.l.
2
l2^
3 4)
alde edarik. (VII.3.4)tenliyini a9afrdakr gekilda
h' -, +--------E 2zez E
I--V^r'
2 mc' mc'r
2*
l
{
Z'ro
*
mc'r'
1...,-, - n
ll//(r)=U
I
yazalk. Bu tanlikdan
[-Lo,
I z*
*'f^v,,(i) (vr.]
='
-Z+-41*rr,
2mc'
rz mc' , l'
s)
2mcz
tanliyini alank. (VIL3.5) tanliyi hidrogenabanzar atomlar ugun
sferik-simmetrik sahade yazrlan $rOdinger tanliyina benzeyir, ona
gdre de tenliyin hellini dayigenlara ayrrarak, halli
(i)
= R,,rt)Yi" @ 'E)
kimi axtarak. Bu hatli (VIL3.5) -de yerina yazsak
tY
|
-
l_
L1 - Z4- - 41*.,u,r;",r.r,
,^'
2mc2r2
*r', )
=Lff*^,tr)yi,,@.tp)
tanliyini alarrk. Laplas va
68
f
operatorlarr
=
(vI1.3.6)
t
vl*
-Lv'=-h=
2m' 2m' ' ' 2mr'
'.
(vll
3 7)
ilY,"'{e ,q1= n't(t +l)Yi' @,a)
oldulu iigiin (VIL3.6)tenliYi
Z2e! z?l^
.
I n'z t a(I r-2d\.hzlll+\
l---l*.
-.-.
I,(r(t)=
-..(VII.3.8)
| 2mrz d4 dr) 2ml ?mCr' ntc'r)
-2
,
Z1
=!-\-4,,t,\
?Lnc'
tanliyina gevrilir. Bu
tanlikda l(l + l) -in avazina
t(t+tt=(,*!l'-I
2) 4
\
ifadasini yazsak
_
hz I d "(t.
-l+
dr
2m r: dr
---(r-
R,;
(r) =
u' ^1-'o o..,rr,
(vu.J.9)
2mc'
alank. Me'lumdur ki, Kulon sahesinda herakat edan zerraciyin
tanliyi
=
[ok,.r f
_h2 t. d(rzdq,ft\).I
2ntd\
Ll
-t]
ol
l
'1 -d
*,l znf
'l
14,,1,1=r,,4,,tt
69
olur vo enerji
-
mZ2ea mZ2ea
2hzn2 2h2(n,+l+l)2
(vrr.3.r0)
qiymatini alrr. (V[I.3.9) ila (VII.3.l0)-nu mtlqayisa etsak,
,--r(,*!\'
' '\" z) -'l"lc2h2
^
L-_----
E2
-
m2ca
2mc'
avazlamasi aparmak laztmdr. Onda isa
-m2c4 ^ Z'ro E'l I
--;T-=-fr
^%' l^'*r*
E2
p:y-s)'
yazrlar ki, buradan da
22a2
z,o,
*l^,*!* t*!\2)
- zzaz
alank. Bu ifadani Z2a2 -ya girro sraya ayrsak va bu
birinci iki heddi saxlasak, enerji 09tin
.t
E __R'hzll'_d'z'
LnI
r
l''
n'ln'
L
ifadasini tapank.
70
,
,'ll
4'))
(vrr.3.l
l)
-OO'
a inca qurlus sabrri olub' * =l -- r),
(VII.3.ll) ifadesinde birinci hedd qeyri relyawistik lrvant
Burada
qurulug
.*".ii*.a"f., ifadanin eyni ohu ikinci hadd isa inca(vtr'3
11)
;;;t,t;i; kvadratr ila miltanasiMir' Enerjinin hallart
ii"J".ira., gorunur ki, Z =l olmda hidrogen atomunun
l -dan asrh olur. yani, hidrigen va onabanzer atomlann hallarr
qalxmast
bdvttk suratlar hahnda, I -a g6re culaSmantn aradan
bir-birine
n
saviyyasi
iuir".in, uvgu" galir. Bagka sdzla, verilmig
yaxrn olao(i = 0,1,2,...n - I) alseviyyelare pargalanrr' Stasionar
gbre
hallarr xaralterza edan dalla funksiyasr (MI 3 3)
+L,,[F;77
ry(i,t) =Yt(i)e h
(vrr.3.l2)
olar. Elektrik yuk stxh[r stasionar halda bOytlk stlretlerda
e(e - ea\ .
v
P,=-iv
mc
(vrr.3 l3)
olarsa' yuk srxhlr
geklinda tayin olunur. ogar E p. , yukun ( e -nin) igarasini qebul edar' takin potensiyal enerjinin
"'[p'; 'i "
boyuk dayarinda
e
eceq
olur,onda (VII
313)-eg0ra p" i;aresi
-nin igaresinin tarsina o[ar. p.-nin igaresinin dayigilmasini
zarreciyin sayinin dayigilmasi anlamrnda baqa dugllltir'
-fi, baxrmdan- Kleyn-Qordon tanliyinden baqka tanliya
kegeJ- zarraciyin spinini va digar gat$mayan elamatlerini
nazare
'---- almak olur.
(VII.3.I l)-dan taprlan hidrogen atoglunu^n'.*9 eytugu
tacrubien altnan inca qurluqun qiymatindan farqlanir' Bunun
nuvaslnln
sababi elektronun maxsusi maqnit momentinin, atomun
Kulon sahasi ila tesirda olunasrdr'
7l
-i o or
l, n n n
o'=lo
o o ol'
/o r o o\
/o
l, nnnl
"'=lo
[0
I
o ool'
0 00J
o)
lo/oooor or
ol
I 0l
o -r.i
P'=lr o ooi
[oroo.J
(t oo
lo o
o, =l -,
' l0 0
[o o
o,J
lo oo,l
I
(oo-i o)
(ro o ol
l0 0 0 -,1
l0 l 0 0l
Pr=|, o o ol.p,=loo_, nl
tttt
[0, 0 0)
(vll48)
l.00 0-t)
dalla funksiyasrnr d0rd sutun matrisi geklinde segmak
uyfundur. o ve p* -matrislari UgUn (d = p,d )
qanuna
o*Pr=Prot
OkOk,
+O(Ott
prg*,
+
=Zieop,
(vrr.4.e)
p*,9* =2iepp1
milnasi betlari mdvcuddur.
Belalikla, o va p -matrislari komutativ matrislardir ve
onlar dz aralannda komutasiya etmoyan matrislerdir. Dirak
tenliyinda Hamilton operatoru
i
-A
-a
H
= cpp p+ p3mc'
(vIL4. r0)
yazrlrr ve Dirak tanliyini
,\
.-0w I -: pflc')tt
ihfi=\cofi
F+
(vII.4.ll)
saklinda ifada ederik. (VII.4.l I )-in ifadasini
l-
-a
\E + cp,o p +
74
prmc''\)y
=g
(VIL4.l2)
va ya
/l\
I
in!-inrp,Av
+ p.,mc2
ld,
ly
=g
(vII.4.l3)
)
yazmak olar. Ogar (VIL4.I3) sarbast zarrociyi tasvir edarsa
Hamilton operatorunda o va p -lar (\'II.4.10) koordinat va
zamandan asrh olmaz, gtinki onlann, enerjidan astlt olmast
meydana grxar, o da 0z ndvbasinda qtlwanin yaranmastna sabab
olar. or va po -lara koordinat va zamana gdra tdrama da daxil
olmur. Yani,
ok va
(VII.4.l3)-u (E
- ca'
p
pk
-
-larda
i,i,p va E ola
bilmaz
prmc2 )-ya soldan vursak ve
=t
a.tdr +a\d, =dyG- *d-(It =d,-d.+dd- =0
a', =a'" =a1 = Ol
a\h
+ pJq,x = dr93 +
= dzPt +
P{tv
(VII.a.la)
Ptd. =0
mUnasibatlarini nezera alsak,
{t' -tb4\,, d,bj+Q\l
+
i,,p,1q,,q,y+dra)+ byp,(a,a,+
\.1
+
d..d,)+ b,P,(d a^ + ap)J-
+ 1a,
p,
m2ca
pl - mll@,p, + pra,)it,
+
+ prar) 0, + @,P-,+ Pta,) P,l1Y = 0
va ya
("' - rt b' ^'co\y
ahnrr. (VIL4.l4) mtinasibatlarindan
=
g
d ila
p3 -matrislari
komutasiya etmadiklari ugiiLn (antikommutasiya edirlar) onlar adad
ola bilmezlar. Bu matrislarin agkar gekillarini
r 00
000
0 I 0 0l
001
ao= Pr= B o o -r ol'o'= 010
10
0 0 0-,,J
jl
0"1
0l
0
O,J
't5
a,
=
o -,)
(0
i 0t
t0
0 0l'G.=lr
00
00
0-i
i0
0J
0
0
0
0
[o -1
flooo\
r--lln n ol
'
I 0)
0-1
0 0l
|
o
o.J
l0 0 l 0l
I
lo o o ,,J
yazarrk.
po=mc,pr= P*,P,=
Pt,h= Pr,d= prd va
ao =
P3
Qabut
etsek
E2
=c'p2
+
-'ro =r'Lprpu
ifadesini alarrk.
ao = To, | =ao'd
igarelerini gdtUrsak, (ML4. l2) tenliyini
. dw
--:
[email protected]
=(yopo-fn)W =f uruyr
alde edarek , Dirak tenliyini
0
(Vn.4.15)
ui''mc)tY =0
geklinda da yaza bilerik. Burada
TPTu+!'fu=26u'
olur. Stasionar hal iigiiLn halli yazmakla
-!a
V = Q(i,s,e)e
(VII.4. l5)-dan
76
h
_ihcp,(o,y,+o,v)
+
o.v-)
+
(vIL4.t6)
+ (Prmc2 + eV)Q = E@
alank. O -ni
p3 -i.in maxsusi funksiyalannrn superpozisiyasr
kimi
goilrmak olar.
'
'
O(i,s,e)=qr*17,t)7r+Q-(i,s)72
(VIL4.l7)-ni (VII 4 16)-da yerina yazsak va (Vll
O,II 4lT)
4
3)-i nazara
alsak
c@(@
J,,+
x (A -Xt + @
@
_x,) + (p3mc' + evlx
Jh)
(vII.4. 18)
= E(@ - X'' + @ -X2)
olar. 7, -a vo /2 -Ya vursak
c
oplo,17, 7,1 -
o
+ ev (Q * (7, 7r) + A
(N,
rN,)f+ *r2
-Q,7))
Q * (x I x
= E(O
) - mc2 Q - (x fi 2)
*(N,i()
+
@
-(X,
X))
(d;la-ll,xr)-a-1vrvr))+*iloru.,xr)-*to-(xrxr)l
(x,, x ))
* t\a - 1'y,) S * a - Q,, x )) = llo* x, x, r) + Q
(
"
alda ederik. Spin funksiyalarr
Xfa va X2 ortonormalltgtna
(N'''x)=lxix'av =t
.xix'av
=o
Q','x)--
gOra
(vII4le)
(xz'x)=lxix'av =r
oldu[u Ugiin
.\^t -e +evF' =o|
c(@)o. -6r'*r+evP =01
.t@ro-
.'(vrr4zo)
tanliklarini atank. ikinci tenlikden
7'7
Ft *_
o =mc',c(d
+ E+eV
(vrr.4.2 r )
yaza bilarik. Qeyrirelyatvistik halda, kinetik enerji
E = mc2 + eV , zanaciyin mc2 sukunat enerjisindan az oldulu
Ugiin
P= poV olar ve buradan
o.
_:l = _o
O_
(yll.4.z2\
2c
alarrk. Demali, O* helli bdyuk, O- halli ise kigik enerji
qiymetina uyf,un galir. <D* helli Pauli tanliyinin halli ila eyni
olan funksiyadr.
$64. Tam hereket miqdarl momenti
Relyawistik halda orbital momentin
z
-oxu
ilzro
proyeksiyasr
Lr=xPy-!P,
saxlanmrr.
c
Qttnki
!!.=+(fi
dt i'
L,_i,u)*o
(vtr.s.r)
olur. Yani
dL. ic /-:V^
^\
^\/^
pl* py - w,
-,1
)-V p, - W, )x.
arn=; P,V
"f, o,(a i) * ^clp,G t,, - to,) - (, i,, - tb,)p,l= rytr. 5.2)
=cp,(o,b, -o,b,)*O
78
srfrrdan farqlidir. Demali n = ,(d i) + p.*"
operatom i, op.tuto* ila kommutasiya etmir.
Spin momenti operatorunun
z
hamilton
^h
komponentinin tS =
;o)
zamana gdrc toramasi
ds, _
dt
,(as. -s.r)=
ir,bi
""-o,a fil*o
aIrnar.
d
= r?, =
4
= l- o yo, =
-n,o y --io,; o zo,
=
-o zo z = io y
oxoy=-oy6r=ioz
ifadalarini nazera alanda
dS.
t ^
\
(\'IIs3)
T=-'r,\",iv-ovi,)+o
munasiboti yaranrr. Yani, spin momenti da ayrlhkda saxlanmr.
Lakin (MI.5.2) ila (IL5.3) camlasek,
(vrr.s.4)
J- = L. +S.
dl it^- ^ ^\
*,="lHJ,-J,H)
(ur.s.s)
dt h'
alar'rk. Yani, tam momentin z proyeksiyasr markezi sahada
saxlanu. Belalikla, Dirak tanliyindan bilavasita tam momentin
I =L+S
saxlanmasr alrnr. ogar i2 = i] + 3' +2ii
V i.l=(t. 1V, - i,li;
*
i) = 1i * i ;,i, -i,i:
"
(VIr.s.6)
yazs*,
-
-ii,i"+7j,+i,i,i,-i,\'i,i,i,=
=-w j,
(Vlls
T)
-w,i r +nt ), +w ) " =s
alrnar.
79
Orbital moment vo spin operatorlafl iigiin komutasiya mtinasibatla-
rind€n istifado etsak
t^ ^
lL,,L^l=it,o,L,, L,S, -S,L, =0
1
t'^ -
t
sr l= i6jils/ I s,ry
i,i
y
-
i,i,
elda edarik. Buradan da
'
ahnar. Evni oavda
ila
L:
,,i
i,,i ,,i,
- L]s, =0
-- L,Lr - L,L,+S-s, - srs,
[s,,
''
t- Lr,,.r
,)= iw
I
")=
ihr,
,: li,.i,l=
ini
,
Mr.s
8)
operatorlarr bir-birlari ile komutasiya etmirlar, ona
giira da daqiq 0lgUlan kemiyyetler olmazlar.
Eyni qayda ila
l;'i,l=[r'i,]=o
olur. Demeli,
J2 ila J,,J ,,J, kamiyyatlari
ryrr.s.e)
eyni zamanda daqiq
0[90le bilan kemiyyatlardi.
Tam momentin kvadratrnm saxlanan kamiyyet olmasr, onlann
(VII.4. l0) ile komutasiya etmasi ila agkar olunur. Yani,
[r-,Bl= [.- +S,.f
= icher^a,p^
J=
h,+].[r^Bl=
+ ichea^d,^pt
(vrr.s.r0)
=O
olar. Qunki antisimmetrik ern -nin (a,p^+a^pr) simmetrik
vurula hasiIi srfrr olar. Me'lumdur ki,
t^^ ^ I
^ t^ ^ I t^ ^ t^
lJiH)= tiH -Hri = JklJk,H)+LJr.HFr
t^ ^ I
yaziar va buradan da ll o,n1=g oldulu tt90n
''
l;z
lJ; 'H )=0
alrnar.
80
(vil s l l)
$ 65.
ikikomponentli Dirak tanliyi (Veyel tanliyi)
Sarbast zarrocik ilgun Dirak tanliyi stasionar halda
(e
yazrlr
-,6i)-ao^,'b
=o
(vrr.6. l )
. Burada
(t o\
fod)
"=[u o,J' ", =lo -'.J
(vrr.6.2)
iki satir-siitilnlu matrisler olduluna gdra ty -ni (VII.6.2) uyfun
.
(vrr.6.3)
=(i,:,1
gaklinda segek. (VIL6.l)-de (\{L6,2) ve (VII.6.3)-tl yerina yazsak
,(;:) .l: ;.),[;lJ--.'(: :l;:)=t:)
ryrr64,
alarrk. Burada iki tenlik var. Yeni
/
(e*
\E
,\
mc' lp, - cd
io, =0
^r,:\p,-ru' i,r,
=o
ryIl6's)
tenliklerini yazarrk, Yaxud
(r - *r'\p,
= cd brg,
(, * **'\0,, =
ru'
o,rr,
(vII'6'6)
olur. Bu tenliklar ikikomponentli Dirak tanliyi va ya Veyel tanliyi
adlamr. (MI.6.6)-nin ikincisinden
cdi
9t==-':-(Pr
t + mc8l
alarrk. Ogar E = mc2 olarca,
,0,
=!Aq,
zmc
(vII.6.7)
yazrlar. Normalama satrina gora
=r
!(qiq,*qi,p,hv
(vII68)
olduguna gdra, (VII.6.7)-ni nezera alsak
!(r,r;
.ffr; f^,r,1'='
(vrr.6.9)
<afi><efri)v = t
!(r,r; . fio,oi
y&atq.
(OXO)-i
hesablamak 09tn
spin vektoru ile hasili
/
(e
-\
fi
veltoru ila va
b-
vektorunun
I -l
-
a\a u )-- au + i6lab l
ifadasinden istifada edek. Bunu
!(r,r: .
Z
inteqral (VIL65.9)
qi q,Q'
.
nli; fllv
nazera alsak,
=r
(vrr.6.l0)
!('.#\'lp'dv=t
yazarrk. Belalikla, ddrd komponentli
kom-ponentli
82
p
tg dalla
dalta funksiyasr arasrnda
funksiyasr
ile iki
(vIL6.l l)
alaqa yaranlr.
iki
komponentli Dirak tanliyi elementar zarraciklarden
neytrino adlanan zarreciyi xaraherza eden tanlik olur. (VII 6.6)
spiralhk operatoru olur, onun qiymati
tanliyinde @flll
I
"p.r^to
I -dir va neytrino bu xasseni dagryan zarrecikdir.
Dirak tenliyinden ahnan kasilmazlik tenliyi
$ 66,
Serbast zaneciyin ixtiyari hah ugiin Dirak tanliyinda
ih+=
"b i * oo^, =\,
dr
d-lar d0rd
(vrr.7.r)
satir-sUtunlu matrisler olduiuna giira funksiyasr
/vr,)
tt
,' =lV, I matrisle temsil olar. (VII.7.I) tanliyindan kompleks
Itr'r
I
tt
l'ro
.l
qo$ma
(**).
[email protected])*^,'o"lv.
gottirmaklo
Qa
=
fi * ^i'o,l w' = -ri(aq-
-s:p V
-
a + mc'y'
inff
a[ = -$yt.
= -<oi1Yr* +
+ nrcz
d,
(do\t)' =
+ mczry
*
o.o
mczaoY'
(vII'7 2)
83
V. =(ViWiViVi) ki-i t
alank. Burada yr-funksiyasr
olunur. (VII.7.l)-i Vr*
-"
rn.it
(VII.7.2)-ni i/ -ya vurub, taraf-tarafe
grxsak
ihvl.
'0t+ = -ihcr{*Y ar{
+ mc2ry* d,ory
incv ut *d,yr + mc=va ovr'
-,ov' aY=
0t
*(v. !. v#) = -ihcyr ri
dry
- ihcv
yr
* dry
alank. Buradan
in(w.Y*.,Y\=-in.vw.aw
d,
I
dt)
yazrlar. Ogar
P
=v*v, j = rrlrtdw
(vll.7.3)
qabul etsek
|$(r.r)-v(,
.d.,)=o;
l*.ul
=n
kasilmazlik tanliyini alank. Burada ehtimal srxhlr
mUsbat olur, caryanln ehtimal
srxLlr
1nrl ? 4)
p
her zaman
relyawistik hala uy[un
gelen d -matrisleri ile teyin olunur. (VII.7.3)-dan ehtimal srxh!r
84
7=
(v,\
p =ur'\,
=l"lfu,rrrrr,
)=
I V/r l'
(vrr.7.5)
Ir..1
lv',l' *lT'l' *1rr'l' +lv"l'
'
olur va caryanrn ehtimal srxhgr
fooo
ol
i'=\,'a,w=('
'
'
'{o
V,WrVrV.lO
t
,
[t o o
O
= V iry
n
+V
'
iv r - iv
= fu ;
rvt
:l;:l
+ U/;V, + \t,V ;',
(0
!:- =,y.a rv
= iv
iV,
jll,1
*
;r; r;) |
0
_0,
o -tl(ry,
,
o
l; ; o
)
oll*,1
oll ry.,
I
oJ[,r,, j
i + v ittr t - iv iut o:
!:_ = ry. a.yr =
c
IiiII,I
I: o o o l*, l=
@iviviw,l,
lo -, o o lr.,J
ryn.7.6)
= ry i\t t + v,v i - v iv, - v,ut i
olar. (MI.7.3)-a gbre cd matrisi sllrat oPeratoru olar ve dOrd
hahn superpozisiyasr gaklinda tasvir olunur.
85
$ 67. Sarbast
zarracik iigiin Dirak tanliyinin halli
Sadolik UgUn sarbost zanaciyin Dirak tanliyini
ybn[ndaki harekatina baxak. Bu zaman Dirak tanliyi
..0w [ -.
,l
[email protected]+domc'V
n
tn
olar va bu halda operator
-\
/
p,
= py =O,pz =
\W l= a,P, +d,zP, +d.jPz
geklina dUgUr. Tanlik bu hatda
, inW=(_ia"o,o
" t
dt l.
a
*+
p
oxu
(VI1.7.7)
olduEu UgUn
=-rrtqp\
.\
aomc'
OZ
Y
a
az
(vII
7 8)
kimi sadeleqer, Spin funksiyasr S -ni va enerji ifadesini gdstaran
funksiya 7 -ni iki funksiya geklinda g6ttirek
',
=',,[])', =',{-;)
..,rrTe)
x$)= x,, x?t)= x,
Yeni, S -ler o -matrislerin va 7 -lar isa p -matrislarin maxsusi
funksiyalandrr:
",'(i)={})'",{-r)=
9rZr = Xz' PzX,z = lt, dolr =
{Iri ;)
dolz
(vrr7,o)
= -Zz
(VII.7.8) tanliyinde tg -funksiyam
W
+
va
/
=tlt17,t)Si(t+yrr(i,t)5,7r*,rr.r.,r,,
Ut
r<i, t)S 2Xt + V 4(7, t)S 2)h
-funksiyalann superpozisiyasr kimi olaralg gtittirmak olar.
Stasionar hahn dalfa funlsiyasrnr
.S
86
-!p,
y(i1,s.e)=y(i,".€)e r
(MI.7 8) tenliYi ilgtln
),azanksa,
.h
ia\
| - ichp,os.-'t d,smc2 p(;'s,e)= Evl(i'i,€) (vII.7.l2)
'dz
l.
)
alda edarik.
1= 5, olan zarraciya
Spin S, =
baxak. Bu halda
ML7'l l)
-da iki hedd qalar.
I h \ r,)(rio' sr(c,x, +"r)hYio" (vII'7'13)
z,=,e
=
l.2 )l=
vtl
(VIL7.l3)-ni (VIL7.l2)-
-
ichp,o,
a,
da yerina yazsak
+
fts,(c,1,
ri(rYio" + mtaos,(c,7, + cr6,\;o' =
= Eq(c,x,+,rxrY;"
cpg3st(cJ(t
=
+ crTr) +
mt qSr(cr6,
+ cSxr)
=
E\(c,1, + crTr)
1)
I s,(c,1, - c 1r) = E q(c,1, + c
ffII.
^
l1^t - q r,r, *, p qc,fu, +l p qS,- (^t + E1S,c, +lX, = 0
alarrk. s,,/, va 72 srfrrdan farqli olduf,una g6ra
cp
q(r, 7u +
r Sr)
+
1mc2
-
Elcr+ cPc, = Ql
l
7' I 4 )
(vll.7.ls)
cpcr-\mc2 +E)cr=o)
tenliklar sistemini alda edarik. (W.7.1 5)-dan
87
:
l^,'-e-1mczcp+ l=n
l"p
E1l
ryn,7.l6)
hallinin olmasr ilgtln bu determinant srfir olmalldrr. (\{II.7. l6)-dan
-
1mc2
-
E11mc2 + E)
E'-"'p'-m2ca
-
c2
p2 = g
(\,'rr.7.17)
=o
milnasibetini alank. Buradan
Er.z =
ifadasi ahnrr.
e
llcz
- 24
+m
c
P2 + m2 c4
€ = +l
iki deyar € =
I
va
r
=
-l
almr$ olar (VII.?.15)-
dan
c.- =___:!_c, va
mc'+E,
taprlar. Yani, spini
S, = |
2
',=___:!_c,
mc'+Er'
olanaa enerji ikr deyara sahib olur:
E, =.rlcz p2 + mzca >0
n,=-,ftji^'/.0
Belalikla, spini S, =
Er
(r
=
l)
ve Er(e =
s.
h
I ot* halda enerjinin igaresi iki qiymat
2
-l)
ola:
Er =,1c2 p2 +mzco
2' Er=-W*^'/
Onda bu hal 090n dal[a funksiyasr
88
(vrr.7.l8)
(vrr.7. t 9)
vr,,r.,,e
=
rp5'
5(
i\i'1
\t)
\
o
*
-,y^',
-:tmc+Etrr\,
)
r,.mc+\-)
? r)\=*,(u"'''"'
l\il
\z)
\
ut.t.,.e=-1piE' {
:nerjisinin iki qiymatina uylun galan dalla fi.rnksiyalan ahnar.
Eyni qayda ifa spini
yri,t.,, e = 11 =, !0"
-t
olan halda
{ )Y'fu *,
r,)=
yfi.t. =-r\= ii" { - :V( n ;Y
2)
s. e
c
\
\'"
o\
mt+9"')
r
=*,'-"'"'
dalla funksiyalannr almrg oluruk.
I)emeli, sarbest zarrecik iigtin Dirak tonliyinin (VII.7.l5) va
(VIL7..20)-a gOra dtird helli otur:
w:rt = rr*'0"t"{;1, ,y;-t
ur\,,
y;-t
Spini
-
r"i""t"{;{, - #i
=,,i'o'*''tr[-;1,
=
t!
ffi
rrito"e"r(-
jl
,r)
O
rr)
.ffi,,,)
r, -
(vtt7
22)
;fi ,rr)
olan halli (MI.7.22)-ya gtira
89
v!\,=rri,,,-','drl[
_ rr)
( Z)\'r,*__?
mc'+E,
(\,rr.7.23)
)
vL.l
=,"i"'*'"
t(ri\r,.ffir,)
(vri
24\
gaklinda yazmak olar. Oger s{tkunetda olan zarracik hahna
baxrrrksa, (VIL7.23)-den ( P = 0,8 = mcz )
-,,,1 ,
,,'.,,
=,"-' ^
sltl)t,
i \
(vrr.7.25)
alank. Yani, siikunatda olan m0sbat enerjiti ( E > 0 ) zarreciyin
dalla funksiyasr p3 matrisinin mexsusi funksiyast olar.
p,wl\'
Ogar
=,"'* s(rl)r,r, =,,'* t(.XYIi'
P=mv-drsa,(W.7.17)-da
=
*,rlt'
=9 ol*r"
l' E,
= 2c
mc' +
)(,+-|!
- )(,=)(,+!x,
zc
mc' + Et
oldulu ilgtin /2-in emsah 7, -in emsalmdan
! d"f"
^,
ol^r.
Kigik siiratlarde mUsbat enerjili halr p3 -in mexsusi funksiyasr
li,vi:')' =l'l'9"
olar ki, bu da 7,
(II.7.24) hallinda isa E2
cz=c,P <0
90
"t
-e nisbetan gox kigik olar.
gOflfrsek
<0
oldu$una g6re, (VIL7.l5)-da agar
.lpl
cr = _____:_= c
mc + 172
:,azarrk. Ez <
0
w,r.] =
hah ugtin
r/l-l
(VII.zts)-aan
t(*11 ,, - -#- xr)
mc +L2 )
""*'o't'"' \ t^
va ikinci hadd Xz > Xt-dan olur. Onda
..' / r\
wl-.l =ce' ^ slt']^lx,
\ t)
',n,2
,-(
.
p3tlti.; = prce h Sl
llani E,
<
0
olanda
7,
altnar.
t;h\lOtXz = -Vi-.i
hedlitoplanan
9
lc
defe 7, -den goxdur.
lleni, biiyuk stuatlerda zanacrk
y\)
(Ez < 0)
Z2 maxsusi hatrndan a dafa
zc
lt-il
Xt
maxsusi hah
hahnda olar. Bu hatda
azdr.
/
Demali, spini
l,p--r'p'+^'ro)
t
+\
-=tll2)
IS-
.arbest zarracik tam enerjinin
iki qiymetine
E>0
va
E<0
uylun olan
h.alda olur. Elektron hamiqa enerjisi az olan hah tutmala gahgrr,
c,na gora miisbet enerjili ( E > 0 ) elektron qrsa m0ddata manfi
enerjili saviyyeda ola biler. Normal qaraitda btlttln manfi enerjili
seviyyeler dolu olur. Ona gOra Pauli prinsipina asasan mtisbet
enerjili elektron dolmug seviyyeye kege bilmaz. Amma manfi
enerjili elekson kifayat qadar enerjiya sahib olarsa, mtisbat
saviyyaya kega bilar. Onda da manfi saviyyadaki elektronun yeri
b,oq qalrr. Bu boq yer mtlsbet yilklii, mtlsbot kudoli va miisbot
9t
enerjili zanacik kimi iiziinU aparar. Bu ctiLra zarracik mUsbat
enerjili elektrona rast golana qedar miivcud olur. Bela zerreciya
pozitron adr verilmigdi.
Birylaca, Dirak tenliyinden kutlosi elektronun kittlesino
berabar olan zarraciyin varhfr maydana grxrr ve onunda tacriibada
1932-ci ilda mUgahide olunmasr almmrgdr. Bu zarrecik elektronun
antizerreciyi olur va pozitronun varhlr meydana gelmi$di.
Sonralar bagka zarraciklarinde antizarreciklari taprlmrgdrr.
Bdylace antizerreciklar fizikasr meydana grxmigdi.
$68. Stasionar Dirak tenliyinin diird tantik
$aklinda yaz ryr
(\'II.7.l) tanliyinde
olan Dirak marrislari o va p -lar
ddrd setir-sutunlu matrisler olduluna g6re ry -funksiyasrnrnda
d0rd satrli matris geklinde sega bilerik:
(\t t\i'tt
t_t
u.t
1t
(i . t ) =lv
(r
\
't )
|
rvlr.a. r I
'')
ll(rrot;.r).1
I
W
(VII.8.l)-i (VII.7.l)-de yerina
3(r
I
yazsak
ve (VII.7.l)-dan istifada
etsak
(u-,
n = rpr(o,fr,
+o
rfi ,
+ o. fr .)+
prmc,
[,,]"
E-mt
0
-c&
0
E-mt
-cpz -{p,-ipr)
-4p,-ipr)
92
c&
-<p,-ipr)\w
-4p,-ipr)
cp lr,
=0 ryrr.8.2)
E-m? o
o E-mt jr,
1,r,,
alank. Buradan a$agldakr tanliklari
(L - mc'
)Vt
| - c( i, - ii,,W
n
- ci.rlr,
(E - mc')U/, - c( p, + ip
,\ry t + cO.yt
(E + mc2 )yr.
-
c(p
(E + mc2
-
c(fi , + iit
,-
ifi
")ry ,
cf, ,yr
t:l
1
=lo
,
+ cit -ry.
")yr,
alda ederik. Sutun matrislerin baraberliyindan
)yr o
I,J
(E - mcz)r1r, - c(b, - ii )ty , - ci,Vt -- O
(E - mcl )ry - c(fi , + tfi
+ cfi .ry, = g
"
")ty,
(E + mc'? )ty. - c(b, - ii )\/, - rb.ttr, = O
(E +
mc'z )tl/ 4
- c(ft,
+ ifi
- ci,V,
=
(vrr.8.3)
I
ryn.8 4)
O
")ty,
te,nliklar sistemini yazmrS oluruk. Bu tanlikler sistemi hom spini,
hamde enerji igarasini giistaran funksiyanr tapmaq UgUn ;lan
tanlikdir.
Dalla funksiyasrnrn dOrd komponentli gakilda olmasrna
gtire ikisinin enerjinin igaresine (miisbat ve manfi), ikisininda
spinin istiqamatine uylun olmasrm giistarir. Klassik anlamda
enerji va impuls arasrndakr elaqani
r-1"p1-.F)*,
(vn.E.5)
=o
geklinda yazmak olar. Burada
/,-d'
1l'
du'.Bu anlamda
d
*O
mc'
E=
d
--
c
c'
sifat,
/,_8'
1'
c'
[----];
I t)"
',11--;
I
c-
isa skalyar olub,
Lc,renz qrsalmasrdrr.
93
$69. Dirak tenliyinin taqribi gekili
Dirak tanliyinin bir gox masalelar Ugiin hallinda bir qayda
, ..2
d
olarak I I t".tiUti qatqlarla kifayatlanilir, ona giira Dirak
[".i
ql
\cJ
tanliyini f
tertibli hadleri saxlamakla, yazmak daha meqsede
uy[undur. Bele yazrhgda relyawistik, spin ve spin-orbital qarqrhkh
tasirleri daha aydrn giiza garprr.
Bu maqsedla elektronun m0sbet enerji saviyyesinde
olmasrnr farz edak. Farz edek ki, bela elektron sabit elektrik va
maqnit sahesindadir. Bela elektronun enerji operatoru evazine,
onun maxsusi qiy matin mc2 ayrrmakla yazmak olar:
E-+mc2+E
Onda Dirak tenliyini
@
-,E{v'
\tY,
l=,tro/''l
)
\v/r )
va ya
lzmc' + c yazank. Burada
xarici sahada
d
iki
etp{r'l=.tai,/u' ) ryr r.,r
\tY, )
\V, )
satr-sUtunlu Pauli matrisleridir ve impuls
P=
olar. Dirak tanliyine g6re
94
F-:A
c
- ii,)y, - ri,,y, =o
(E-ee)v,-.(n.+;i)y,-.&,/. =o
(E- ee)v.-.(p, -,P,)r, -.i,lr, =o
*
(E - ee)v o)r, + cr.ry' = 6
"(P, 4
(E
-
eq\y,
- r(F,
grr.e.z)
yaztrrk.
(VIL9.2)-de t[r va
\t
tyo funlsiyalarr isa
:d
zfunksiyalan
{
!c
tartib funksiyalar olan
tartiUli \r t va
V
(r,)=--1-[,_
\w, ) 2mc\
[[
=
)
y,
yaza
bilarik:
!::t\v,],r,ur,,
2mc'
)yVz )
P-+ P daYigsek
-,a#IY;,)
#a
--r[,*
."rl
e 4)
.
P)=,',(r' I otauEu
---""'|.,r,)
- ueun N = t--4
8m'c'
arda edarik.
'
(O'
va
ve V2 qaltr. Bu halda
t<kigik> komponentlarini
L
(VII.9.3)-da
,oo(b6vtlb), l;/3
g6ra <kiqib) funksiyalardr' Ona g0re
,p2
tanlikda
*
) fuorrir"t*'n,
l,pr)
ap,b,
odadiyi ifadani
lq, )
95
p'V
6mg@ - "a) lle: )=
t ", }r)
Ir
E
{
=
a'
u-
1*raarraar
ltm
-6p',!-!4wr---z-|f
4m-c. rc-.r. )\x= I'
)
z
(
Vr I.9.5
)
Eaklinda yazmak olar. (\4L9.5)-i (VII.9.l)_in birincisinde verina
yazsak va
@
fl'
;
OG
tartibli haddleri atsak va
h = at + iafaoJ
!(dF)(dF) ='p,
Ap + pA =
-4(dFn)
CC
=p,
inie
-46g
(vx
e 6)
(vII
e 7)
tapank. Oger
.
E
=_gradtp=_ytp
miinasibatini nezare alsak
(e)@ - uil(e1
[email protected]+
= (E
-
erp)
p,
eh(6[fi]
-
elda ederik. Burada hemginin
D,
J_
= p' (E _ e(p) = (E _ ee) p, +
zm
.+:::-(EF) + eh2vrtp
2eh
(vII 9'8)
I
yazank. Bu ditshtlarda e- ua E elektrik va maqnit sahesinin
intensivlik vektorlandr. Naticade (VII.9. l) tanliyiniieqribi olarak
96
(,
-
"
-*,\Y,;,)=l
# *,",
-
(vrI.9.9)
(alo1* :!-r'rt'')
-,'4.,
6m c
4m-cJV:
)
o
-matrisi Pauti matrisleridir'
(Vtl.S.q) ifadasinin sol tarafi zamana gdra sabit elektrik va
nraqnit sahasinda qeyriretyawistik harakati tasvir edir' Sa[ taraf
-
gr:kilde yazarrk.
ielyatvistik ve-spin effekttari hesabrna olan alava qarqrhkh
tosir enerjisini gdsterir. (VII.9 9)-u sa[ terafindeki birinci hadd
i:;a
4
l/,.,
'''
=- SmtP.c'.
nezera
zarraciyin relyawistik siiratina olan elavani
alr. Bu
elava Kleyin-Qordon tanliyindaki alavanin
eynidir:
z
p4
^ 72
6mc
4
P
H=*r2+P 2m 6m c'
(\,rr.9 r0)
(VII.69.9)-un ikinci heddi
v..=-(pB)
qaklinda yazrlar. Buradan altntr
(\,II.9, I I )
ki, lt
o2
=
lmc
-ni
elektronun
-6
l:inematik va ya Dirak maqnit momentini gostorir' Bu da kigik
stiretlar hahna kegdikda tizliLnu gostarir. Qeyd edak ki, enerjinin
tru dayari
rnomenti
9
tartibde olur.
cL
ogar
S=
ld
gotutt"k maqnit
i..lgiin
p.=
3-S
(vrr.9. r 2)
mc
'97
atarrk.
(vlle.ep. vro
qargrhk-h
E
=-#(a[e7]
r,"aai spin-orbiral
tesiri xarakterza edir. Nilvanin Kulon sahasinda
g
vo
-lari
Ze t- Zei
(p=--,
rr- =---1
(vrr.9.l3)
yazarrksa, harakat edan maqnit momenti, niiva ila qargrhkh tasirda
olanda, bu tesir
v," :-?"(Y)1a1dF11
(vrr,9. t4)
zmcr
baraber olar. Burada
S=ld
2
,pir,
L--Ffi
isa
orbital
momentdir. Ma'lumdur ki, spin-orbital qargrhkh tesiri orbital
momenti srfrr olan s -hah Ugltn olmur. (VIL9.9)-da sonuncu hedd
nilvenin kulon sahasi UgUn
vr,,^=Lt-v2r=4!aa
6mc
zmc
grr.er5)
olur ve kontakt qargrhkh tasir adlamr. Bu tosira uygun gelan alava
enerj
i
Mr", = ty*vr,tydV
mtltanasib olur
(vII.9.l6)
va s -hah ugun [rg(01'? olduluna gOra s-hah
srfrrdan farqlidir.
lirfOl'
hallan 090n dalla funksiyasr r = 0
oUnaa |rf(0)1'z srfrra yaxrnlagr. Ona gdre kontakt qargrhkh tasira
da, spin-orbital tasiri kimi baxmak olar.
98
atomlar
$70. Dirak spinoru va hidrogenebenzer
iigiin relYativistik effektlar
Relyatvistik kvant mexanikastnda saxlanan kamiyyat tam
rnoment olur ve tam momentinin kvadrattntn va onun z
birlaqeninin maxsusi qiYmati
j,f
,..*,f
- *, )= r,11;
y,
)
\u,,)
*,1Y,,)
[vr,.l
,.[l:)=
(vrr. r0.1)
tanl iklerinden taPrlr. Burada
;=ttL. t =0,r,2,...n-l
'2
(VIr.10.2)
mt =- j....+ j
qiymatterini alr. (ILl0.l) tanliklar sisteminin hellarini
rlrr= clf-t (0,t?), Vrz =czYt' (0,Q) 01I.103)
g
akl inda axtarak.
I,'
-sferik funksiyalardr' Onda
t,(Y,,,)=r,,(,.,U:)
trrnliyini nazara alsak, L2 --h2l(l+l)
va
S2
."r.o4)
=ft2s(s+l)
mtinasibatlorino g0ro
i,"{l;)=[i(i+,)-r(r.'-il;:)
y,aza
."r
los)
bilerik ve Yaxud:
!l(t, - it,\y, * L,w,\= ov,
'
Lol|-,
lvlt.to.ol
*,L,b, - L,v rf= qv t
99
taprlrr. Burada
q=
j(j+l)-1(1 +l)-f
-air.
4
L,vi'' @,tp) = hmYi'@,q)
milnasibatlarindan istifado etsak, (VIl.l0.3)-i gdz iiniina almakla
(ur.l0
8)
(VIL I 0.6)-dan taparrk. Omsallardan qurulan determinantrn
(l+l-mS(I+m
q+m
=0
srfrr oldulunu nezara almakla
q=t.
t
ti -^q1^
j=t+-,Cr=-l-i;r,
^ ll+^ 't'=-t/t-.nrc'
2
(ur.r0.e)
I
q=_(r+t),
elda edarik.
Spin momenti ila orbital momentin toplanmasrnda sferik
funksiyalar arasrnda yaranan miinasibeti C, ve C, emsallarr
mtiayyenlagdirir. Onlara Klebsa-Jordan emsallan dayilir.
Normallama gartina gdre
cl +cl =r
oldugu uqun
100
j
=l*
I
;,1
=0,1,... hahnda
It *
^..,,,-,
lrurrt
,6 =r+))=
i =, - ;,
(\il.10. l o)
t = 1,2,... hatnda isa
(\1r.10.l
l)
otar. (VILl0.l0) va (VII.l0.1l) ifadalerinde Y,if) funksiyalan
sferik spinorlar adlanlr va onlar ortonormalhk gertini ddeyir'
(v[.
i0,12)
[r,l1tv,:,1't --6 jj,6u.5^ '
Sferik spinorlar I,[/)-ter, spini kasir olan zerraciyin merkazi
sahede herakatini xarakterza edan funksiyantn bucala ba[lt
qismidir. Bu sPunor
vi.rY,l,t
--
-t(I +DYll)
(ur.r0.l3)
tanliyini ddayan spinordur ve relyatvistik halda dalla funksiyast
(v[. r0. r4)
v(it = naYl;!'
olur. (VII.9.9)-un har bir heddine uylun galan alaveleri,
istifada edarak, tapa bilarik:
y(i)
4
L8,",=-!v'ti\fuv'j'au
LE*' = - -!'
zmc'
*-,,
lry""(5s)y"'au
.2, .
ryIl.lo.ls)
(vtl.l0.l6)
/- -\
=--+ly'titV!)rri'au
(vll.l0.r7)
101
*r^ =#lr+tDszrY(i\4'
Bu ifadalardan (Ml.l0.l6)-cr
Z,eeymzn
enerjisini
haddir. Atomun kinetik
(ral
effeltine sebab olan
=(p'' *2"\ri'
\
/
**')
fu,,\
{=rnr(u,0,
'
2m
?' *''
2mlrl
I
10 18)
(uI lo lg)
'/
yazmah olsak,
(ur.lo.20)
Ivili'w*taa=t
$artini nozaro almakla, (VII.l0.l5)-e giira
*,,,=-#ll!.'f .,*'l!Y-,'ra:))=
(ur.l0.2r)
nrnz'o'( , t)
=-,-[4'J
alank. Burada
zhzR, ( t-\ . 2^Z'n,
e2
-ar
17 ;[J' " a=,t
l; )=
f
I
\
=
=
l
I
I
2)
MI.l0.2l) ifadesi Keyin-Qordon tanliyinda alman enerji
qiymatinin tlsttlno dtt$ur.
Eyni qayda ile (VILl0.l7)-dan
drr.
*,.=-#(sr{-+J
elda edarik. Bura&
102
r,Iro22)
(-ll
t;i
*r{l *})'
,'rtr
ao= h2
.,
me'
(vII.10.2z)-da
6
Z)=*U<i.r)-/(/
+r) - s(s + r)l
oldugu ugun
6il=l+''
t*ootdukda
[o, l=0
otanda
olar. (VII.10.22)-dan enerjiya olan alava
(VIr.10.23)
olar. (VII.10.23)-da
q=
ju
+ l)
-(,
+ l)
l i=,*!
ohnda
-s(s +l) = 1
[-C-UU='-j
/Lt
ohnda (v7r'to'24)
0,1+o
[t, t=o
qiymetlarini altr.
Eyni yolla (VII. 10. l8)-dan
rc**=offiV<oll'
l,irtol' =
n'1*
P1Yi|
(vrr.r0.2s)
itYll'
yazank. Ogar
103
ln^,rcl'=4r,[L
'-'r n, ^'\oo
r"xr
oldu[unu qabul etsak.
i-,
Vll,'l'= o,t"=o'
1zror;' =
\t
)
f+(L\'
rn'
| "o )
olar va enerjiye olan alavo tigun
LE*"'=hR,44''
n
(\1llo26)
alde ederik. Ogar (VILl0.2l), (VILl0.23) va (VII.10.26)
ifadalerini camlasek
LE = LE,"t + LE,
=-* ^Z.o:l
''
"
+ L,Eh,, =
' -to- ,ntt-x,t . -nr,)
2t(t*,,[r. j)
l,.j
]
alank. (V[.10.24)- den q -nin qiymatini burada yerina yazsak
r)
M.i=_R,hzt{l+ ; l,'"0,,,
l'",
)
elda edarik. Belalikla, hidrogenebenzar atomun esas haltntn
R -hz2
oldufunu nazere altb, (\{I,10.27) ile
enerjisinin E"=--! .
E" = E^+LE,,
IM
z2az
,
=--t,
^"*'l
ll+
,LN
, -1ll
t a ll
,*a
l]
(vlr.r0.28)
atomun enerjisinin inca qurlu$ sabiti ita mOtanasib olarak, taplnk.
Relyatvistik halda hidrogen atomunun enerjisi daxili kvant
adadrn-denda asrh olur va her bir Ugiin iki
qiymati uypun
galir. Misal
j
/
Ugun, I = l-da 2p saviyyasi 2Pr1, valpr1,
seviyyelerine pargalanmrq otur (qak.Il.l). Baqka seviyyetarda
U,3f
ve s.
kimi 3dyr,2dr1,
saviyyalara pargalanma verar.
3dsa
3p1r2, 3dy2
3512,3Pr2
2Po
zs,r.,2Pn
lSra
$akil
II.l.
Hidrogen atomunun inca qurlugu
Hidrogen atomunun spekhinin tacfllboda miiLgahida olunmasr
(Lemb, 1947) giistordi ki, bu saviyyalarin st1z, prlz ve s. ijzlari
de pargalanmaya meruz qalr. (gakil II.2)
Zptn
Zpy
.---x-
zsv,
ll) tosz mt
s
2s1p,2p12
-------------!-zptn
a)
b)
$ekil II.2. Hidrogen atomunun enerji saviyyalarinin
pargalanmasr: a) tacrilbi natica, b) Dirak
nazariyyasinin naticasi.
Ilelelikla, tecriibada <Lemb sliLritgmesi> adlanan relyatvistik effetc
'.Zsy2, 2pyz va 2pr1, saviyyalarinin yeri
ila mueyyenlaqir. 2s
r05
saviyyasi
2s112
ila
saviyyasina nisbatan bir qadar yuxartda yerlaqtr'
2pr1, seviyyasi arastndakt masafe, 2pr1, ila 2pr1,
2p
saviyyatari arastndakt masafanin
1l0
barabar olur'
Bu naticenin dilrust izahml tofsilatl ila kvant elektrodinamikastna gdra taPmak olur.
I
Dipol-dipoI rabitasinin incequrluga tesiri
p maqnit momentina malik otan nuva (p(r) elektrostatik
$ 71.
potensialla elektrona tesir edir. Maqnit momenti, dipol olarak
= I r- -r ,{ L)
e=1wrl=tu,1
r
(ur.l l.r)
)
alsak'
sahasi yaradtr. Ogar p -a giira yalnrz xatti haddlari nazaro
iki alava hedd meYdana gtxtr:
D
v,,, =
l-
-
-;\P
- -\
A+ AP)
(\u.l
r.2)
v..=-*-(aE)=-nE
"' 2hcm'
p
dipolun hesabtna ortaya glxan sahadir' V.,, haddi ntlvenin
spini ite elektronun orbital hareketinin tasiridir' div'i =
0
Sertina
gajra
?
-v,. = -:-AP
m
oldufu iigun va
L=V
P]oldufundan
v.,, =
e-
-_mr ,(yL)
spin-orbital tasirini alarrk
106
(ur.11.3)
(\1r.1 l .4)
V,, = -
jr(ai)
eargrtrttr tesiri spin-spin va ya dipol-dipol
qargrhkh tesirini gdstarir.
y
=
-rlvil=
(VII.l
I.t
)-e gdra
-rlvlvllll
,J)=b t
L
L
h'( !\-
\./
(vrrrr.s)
- tfirvlnrv[1)
'\ r i
yazznk. r
I
0
olan halda bu ifadadeki differensiyal
tl;ufir)-,'zfuu
(ur.ll.6)
?
ifadasini verar. (UI.l 1.5)-e giira V,
olaraq koordinat baqlan[rcrnda
V,.
,,,
ifadasi r -in funkiyasr
{I ki*i ,"*.u.iyyata
operatorunu tapmak tigtin
r = 0 atrafrnda inteqrahnr
,
/(r)
malik olur.
-in requlyar funksiya olarak
yazarsak
=!t*)',[i)(vu.l1.7)
-
{l,,; F '
[t,v Xuv )- i
][i)
alank. (VII.ll.7)-de ikinci hadd r-in funksiyasr olan fazada 2-ci
tartibdan tenzor operatorudur. (VII.l 1.7)-nin birinci haddini
-[T)oo>,',
r;eklinda yazank. Onda istanilan
r
tl90n
r07
,,,
=-\0*b<,t-
il{tr\,;)
(ur.lr.8)
b,))
alde ederik.
ryn.I 1.4)
, .2
ve
(VII.I
I
.8) ifadelari | - | deqiqlikle
lcl
atomun
saviyyalerina olan elavelardir. Xiisusi halda s -elekhonun
incaqurulugu, kontakt hadd
-Tbrbro
NII,
e)
olan ifade ila tayin olunur.
Demeli, elektron ve n0venin maqnit momentlarinin qargrhkL
tesiri, atomun saviyyalerinin crlagmastnt aradan qaldmr.
Nuvanin maqnit momenti 103 dafa elektonun orbital
maqnit momentinden kigik oldulu Ugiln, nUvanin maqnit momenti
hesibrna olan pargalanma ifratince pargalanma adlanr. ifratince
qurlugun dlgillmesi, nttvanin spinini ve maqnit momentinin
0lgulmasi metodlanna banzayir.
Elektronun maqnit momenti lt = - ltod , n0venin maqnit
momenti isa it o =
u.
^
= uo
=
-b
1t
od
E)=
u,((&)@
gaklinde yaza bilarik.
108
, (p,
=
u,u,(a
ovl
oldulu Ugttn qarqrhkh tesir
+)
*, -,!,)=
- 1aa, ;v, )1
r
Burada
(uLll.10)
(dxdpV) =!<aaolv,
v2
.
!
=an6G)
r
rrldufund"n, V^.^.-ni
v..^.=\[email protected])6(i) (ul.ll.ll)
.'j
alank.
,dd,
ifadasini tapmak ugun elektronun va protonun (Z =
spinle-rinin cami olarak
!n'(a*arYw
4'
=h2s(s+t)v
tanliyindan istifada etsak,
l(o'
4'
+
o' o+ 2dd, )= s1511;
a.[arrk. Buradan
6do=2s1t*11-3
c,lar.
(VII.l l.l2)-ni (VII.l l.l
)-de yerina yazsak
8n
..
V^. =tt
otto(2s(s+l)-3)6(i)
elde edarik. (VII.7 l.
'
I
I
3) ifadasini
inteqrallasak,
t (zn"2\'
,t
=*,1
lv(t"
o,
)
oldulundan
I
vt
\t6 (i)dv = ful,.r1' =
hidrogen atomu Ugtln
(ul.lt.l2)
*(#)
(VILl l.13)
l)
te......
'
=Y t ot,(zsrs + rl -:)*
(
r+\'
alank. Yeni:
rc.,.'
/
'\
Bn
=\uounlF)7t
r,t.,,-,f
(vrlrr'14)
alda ederik. (VII.ILl3) gdra elektron va protonun spini antiparaleldirsa, s = s? + sp =0 olarve
M,,,., (s =o)
=."r,;(#)'
tvII rr
taparrk. Elektron ve protonun spini paraleldirse, S =
15)
S, + Sp = I
olar va
A8,.,.(S = It -ahnar.
(VII.l
L
I
l(-o'\t
ittou,;l;)
rvtl rr
16)
(,I ll
lT)
l4) ve (VII.l l.l5) ifadalarindan
a... _M-^(S=l)-AE^.(S=0) _
u--r_32 ttopr(
_------i--l_.:-|
'',r
h
^"r
3 hn'lh'
)
yazalk. Bu ifadedan n = I ( s -hah) hah uqun
Aat"", = 1417 rt1',.
alde edarik. Tacrilbi olarak, radiospektroskopik metodlarla
seviy-yesinin pargalanmast iigtln
Aal*. = 1426 n.,rlrt
s-
qiymati taprlmrgdrr. GiiriiLnd[y1i kimi elekhonun anomal maqnit
momentine malik olmasr taqdirda p. =po(l+d) yazlar va
6 = 0,00116 qiymetini alrr. Onda
da
L,ot
*,
ugitn
alman
qiymetla Aal o"-nin qiymeti kifayat qadar yaxgt uzlagma verir.
ll0
$ 72.
Dirak matrislerin cebri
Umumi halda Dtrak tanliyinda
lil
-funksiyanrn
komponenti
(vrr.r2.l)
Pt!ilVr=mVt,
gaktinda yazmak olar. Burada P, ve 4t datrd olgulil impuls ve
datla funksiyasrdrr., / -lar Dirak matrislari, m -zerlaciyin
kijtlasidir. Simvolik olarak Dirak tanliyini
(W-m)V =0;
yazak. Onda (VII.l2.2)
0
alarrk.
u
Tp =T
-ni
rtpp
ffII.12.2)
7 p -ya vursak
p ult p,fu = *(o
"
prpu
=fr -ToPo
uT
rb = ^"Y
simetrik tenzor otdugu uqiim
(vrr.r2.3)
(PrJar
komutasiya
edirlar) (\rIL12.3)-U yaza bilerik ve buradan
ytyv+y,yr=26uu
.
elda edarik. Onda
! uf , = 4
ffII'124)
oldugu 09un
,=(2.6uu-l"T)Tr=
y y =2f
=2y
tvtlttl
-tv -y
f ,Tuf
(VIl.r2.5)
"-4y,=1y,
yazarrk. Eyni qaYda ile
fpTpTvTy=6pv
f pTxf pTvY p
='2l plvTx
! pTxTvT p! of p
=
(Vll
12'6)
4TofxTrT p + T pTvTx! o)
alarrk. Belalikle,
lll
[email protected]); 6=apTp
,,
a4=a'
T
pbiy u =
41o61
(ytr.tz.,)
tp66eYu=-26$6
r uaieiy
etail
u = z<aa6e +
ab=d6-aobo
mtlnasibetleri taprlar.
Hesablamalarda gox vaxh
T* n ""*" =
I
=
iT,(Y
I
ilz(Y P,'Y p""'Y t',) =
n,Y n'...T ,^\
=
I
(vrr.l2,8)
osp{Y n,Y *,,...Y,,.)
7 -matrislarinin izi va ya dioqonal elemanlannrn camindan istifadr
olunur.
y -mahislarin agrk gekildan
IzYu=g
ahnr. (Vtr.12.4)-m her iki tarafinden iz alanksa
Iz(loTu
t
+l,l ,)=2lz6pu
(vII.l2.9)
= 6 ru; Tu, = 6 uu
orry uy" =Tuu
Eyni qayda ila
l_
=
il'YuY"YoY, =Tuu*
=6r,6oo - 6 *6,o +6,,o6,p
tt2
(w.lz.lo)
yazank. Bu ifadade (VII.l2.4)-a asasan 7,, -ii sa! tarafa kegirmak
olur va har yerdayigmoda (VIl.12.lO)-nun bir haddi altnar. Yani
T uuoo = 26 uuTro
-Tuwo = 25
uu6 po
-Tuppo
va s. Onda bi.itiln yerdayigmani nazare alanda sag tarafda
(vrr.r2.
-Troo, = -T pupo
r
l)
qalrr, onuda sola kegirmak olar. Belalikle, (VII.l2.l0) formulu
alda edilir. Giistarmak olar ki, tak sayda y -larrn izi stfir olar.
Lakin citt y -larn izi srfirdan farqli olur, altr dena y matrisin izi
Trro6, = 6
+6
pJta
pu6
uo6,p6xa
+
+6
rr6ur5 6;
+6
u,6rr6* +
6 ur6,n6 oo + 6 ur6,x6- + 6 ro6,n6
n + (vII.t2.t2)
6,'6a6 pa - 6 r,6 616.,
- 6 rr6,"6a - 6 *6.$a, - 6 tn6"e6"4 - 6 ir6,,P e"
+6
t^6,o6 pn - 6 t PuS p, -
-
ifadasi ila verilir.
(\{I.12.9) va (VII.l2.l0)-a gora
liS
=l*,,y,hyv
=
atA,tq ttv
= a,P,,6 ry =
ab
(vrr.l2.l3)
)r,iS="t=zE-6
lnaieA
I
:
4
=
a,b,crdo(6""6* -6 *6," +6,"6,0
(vII.l2.l4)
^^
Iz.abid = (ab)(cd) - (ac)(bd) + (ad)(bc)
7 -matrislarinden xtlsusi xassesi
olan 7r -matrislarindanda isti-
fada olunur:
'ls =TqYlzTt
(vrr.l2.ls)
113
Burada y ,,y
, 'l t,T q-in a$kar $akili
00 0
0 0 -i
,r=f 0,0
t i0
y3=
0
00-,
00
i0
0 -,
0
0
0
00 0 -l
ol
00 I 0
y2=
0l'
0l 0 0
,l
-I 0 0 0
10 0 0'
01 0 0
t4 00 -l 0
:l
,0 0 -l
-l
I
:l
oldulu rgrn, y5 -in agkar gektini
Ts
olur. Balli olur ki,
olar, yani
p,
'Is,
/,
foolo\
lo o o,l
-lr
ooo
l,
(vrr.l2.l6)
I
o
o.J
f sT p = -T pTs; 0)2 =l
mahislari ile antikommutativdir. Feqat
d
ve
matrislari ile
dy, -yrd, =0 pt =fc
fuf 5 +f 5P1 =0
(vrr.l2.l7)
mtlnasibetini odayir va (y s)t =Ts ermit matisdir. Bu matrisin
izi srfirdrr.
IzYt =g
|4
Elamginin
Izy uyu, s = Iz! pTuTxTs
-larin sayl tak olanda) beraber srftr olur' Eyni yolla
f,
(
t
+l,Y ulvY
pY6ls =€ pvpo
I
ZIry uTvY
pToTtf4Ys =6tr
- 6 u7t"6r, -
6
-p pu&
+6
re rroo+
pf
pd,t
66+e
+
pvpa- (Yll.l2.l8)
ilf uA
i;rlari alde edilir. (MI.l2.l8)-a E pvpd-lar 4 rankh antisimmetrik
tenzordur:
t'tzlt = Ettzl = €lqtz = Ezltr = -€ztlc = -Ett3z = -E3qzt = -€lztt
t llU4 : c t2 -.-,ctZ44 - cl23l --...--nw
Eiu tenzorlar vasitasila
matrislari va 4-6l9ulU veklorlart
- 6 *y, 't € rupof oT s
1'tyuy p = -6ury
,
+ 6 uuT,
u" - r ur,)=
e
ppuoy oT pT
:L\6
a
c
od
- codGED
+
t-.
,,"0o
,,bu
c
t
= ico
5
o = [email protected] dD + b|Gval)
-
ryII.t2.19)
d Gt|el)
yaanak olar. Burada
"
7
ar, bn, cnva d n-lar ao=iao, bo=ibo,
va da = ido kimi tayin olunur.
u5
$
73. Supersimmetriya va supergevirmenin
generatorlarlnrn cabri.
nezariyyasinda (SUSY) spinlari
l1
fermionlan ve bozonlart (spinler fi , lh , ... ve
Supersimmetriya
mUxtelif olan
22
0h,lh ,2h,...\ bir-biri ita alaqalandirilir va bu simmetriya stxt
sUratda faza-zamal simmetriyast ita balhdrr' SUSY
nazeriyyasinde supersimmetriya gevirmasinda generatorlar
bozonlarr fermionlara va ya fermionlar bozonlara Eevirir. Bu
operatorlar
iki kompleks operatordan ibaretdir.
Supersimmelriya
neca tasiri kegirir?
lf2 olan fermiona
hhva
+kegdikda, spini +ft va -fi olan bozon, spini
-- olan
'22
Ktitlesi srfrr, spini 1 olan bozon spini
fermiona gevrilir.
Fermion
Bozon
A
A
+
+
s,=r <_>
(+l
I
s,= 1
2
A
A
s,--r
1r s.--;
e *t)
Fotino
Foton
Demali, supersimmetriya iki kvant hahnda, zarraciyin spini
r
or- [s, =tl]r,ar
' 2)
t
ila, iki spin halt
arastnda alaqa yaradrr.
Belalikle, her bir zorracik ozilniin supersimmetrik teref muqabilini
yaradrr. Yani, supersimmetrik fezada d0nme, spininin qiymatin
deyiqir. Supersimmetrik gevrirma zamaru fiziki obyekt, feza ve
ll6
zamlr..da vazilyatini dayigir. Belalikla, supersimmetriya ila fazazamanrn arasrnda alaqa yaranrr. BaEka s6zla, zarraciyin qargrhkh
feza-zamantn aynliyinin meydana gelmesini, yani,
umumi nisbilik prinsipini nezera almak lazrmdrr. Supersimmetriya
naticasinde bozonun fermiona gevrilmasinde ve fermionun bozona
qevrilmesinda faza-zaman avvelki feza-zaman rolunu oynayrr.
tasirinda
Supersimmetrik invarianthlr temin etmak tlgiin superfazadan istifada
edak.
r.
Supersimmetriya abstrak geniglanma feza-zaman fazasrnda,
superfazada meydana galan simmettriyadlr. Bu fazzda faza-zaman
koordinatr
0o
ru
(bir zaman va ug faza koordinatr) ila yanagr alave
koordinatrnda miivciiddur. Supersimmetriyanrn generatoru
Q, ,0-, koordinatrna tesir edir va 0okoordinatr
r
p"0-lp ]=0"0
(VII.13.1)
p +0 O0o -- -Pu!
qertini Odayir. Supersimmetriyanrn riyazi ifadasi olarak supersaha
u)op
qabul olunur.
Supersimmetriya qlobal
va lokal ola bilar. Qlobal
simmetriyaya I I ktitlasiz zarracik uylun galir. Bunlardan biri
I
r=1, diirdti 7=-,
altlsl ise
t =2
va spini
2
olan qraviton
r=0
3f2
olur. Lokal simmetriya isa
olan qravitino adh zarreciyi
:<araklerize edir. Supersaha
@'(x) -+ @'(;'),
x
! -)
x'tt = x t + e p + e ux uu
(Yn.13.2)
r;evirmalarine gOra invariant olur va bu saha
O'(r) = 661';
invariant qalrr. Burada
G=
it upu -
l,
(vtr.r3.3)
u,Lu"
drr. Super gevirmenin generatorlarr
Pu = id
u, Lru =2r"
+
i(ruA - ,"a r)
"
(ou"
, zr" =l
o
ol
ou"
| -dir.
)
117
Onda
b'ou\=2"6e,
{0. t* }= !z(o,,\ou
i/
opv =i\otov
-o"ot)
(vll
134)
\
ahnrr.
Supersimmetriyada malum zarraciklar superpartyonl arrnr
supertarefmUqabilini amala getirirler.
Fermionlar:
Qutyon spini
foton
lV
a
spini
I - qulyonino spini !
2
I-
fotino
spini I
2
bozonspini [, -vino, zino spini
,Z
spini 2 - qravitino spini
qraviton
-
1
!
2
olur va
2
bozonlar:
.t
neyhino
' - cneytrino spini 0
spini
2
I
a - celektron
)
elektron
spini
m0yon
.1
spini ^ -
spini 0
cmuyon spini 0
2
tay
.t '
,-
spini
ctay spi-ni 0
2
kvark spini 1
-
ckvark spini
0
qabul olunur.
Supersimmetrik nazariyyada umumi nisbilik nazeriyyasi
mUhiim rol oynaylr va qravitasiya qargthkh tasirini aragdrrmala
imkan yaranrr.
lt8
Hal-haztrda kvant nezariyyasinda qrassman adh
dayiganlarden istifade olunur. Onlann yardrmr ila bozon
sahasindan fermion sahesina va tarsino kegidin olmasr qebul
edilir. Yani ela gevirmalar tapmak miinrktiLndiir ki, bozon ve
ferrnion sahalari qangrrlar. Onlar, yeni bir supersahanin iki
muxtalif tazahUrudtu.
Sonsuz kigik Lorentz gevirmesinda
at" = 6t., + e,,,,
M
(a)
(\1I.13.5)
matrisi
M
kimi yaxak,
(
o,
1a1
=
1
- L,
.,..
.,..o Pv
2-Nv-
(VX. I3.6)
antisimmetrik spin tenzorudt) Izo
,,
=0
oldu[u tigUn
O
ii = --E ilo t, O o, = -iO t
o
i..
,, = - (o)o,
olmasr sabebindan, bispinin
- ojo
,)
(o,, o )
>,,=1,,
" "' lo ";')
l
alda eda bilarik. Supersimmetriya generatorlanm
P, = id o'Lu,
=zr, + i(xr0, - x"0 r)
(\1I.13.7)
gOttlrulur.
X'(x) = 6y1r1
Puankare qrup gevirmesinde
G
= ie,P,
-i.r,,t*
(VlI.l3.8)
yazartk. Onda Q1 va 9n generatorlart
119
ae =
-ifr+€oo'*a,
(vrr.13.9)
a,
y"r,l,..
'
$a€"," -9?tt"
=ifi-ofinua1"ru-rurana gdro torama, spin dayigmalari
E" n" ,1, ila tayin olunur.
E" u. tl,
spin dayiqmeleri olarak, qrassman dayigenleri adlamr.
Qrassman dayiganlari
(,
va
t;,-ya
gora
tdromolar
t.
*
*
a E"E
"-pn""' = aL-pn " "' - E"-aE^ "' *
6y
i{5
i{n"
,rro4o
ata91
*.
kimi olur. Burada
#=u",,W=u."
(ur13
ro)
dr. Analoji olarak
=ffl,Ea..-n,ff1,..
fre"en"
*rrEU# -
'
u"r"rrk.
t20
0
a€"
fr
'*
n'r,,"t
uldrfrna gore
*
E,E
a.q,€o, E"€ p.E"n" 'E"Ep4..4Jt pE,,E,E ptlfl o
hasillari srfirdan farqli olur' Ona gdra
EJB
=-f,ea{E0
(vr'13 rI)
yazsak. Onda
GEt=E"E"=E"t.oEo
olar. Eyni ila
rora
| .,-.
- 2-"0, ,
(VII.13.12)
q =qn" =4"€a5o
e
ahnar. Buradan
I
4,1ano =
--€.iGE)n,,
4,4p8, = [email protected],
4 ol,E,E p =
yazmak olar. Ona ggre
G1,(E E
)'E
(,4
:I
e
rne
(vtt
13 13)
(vrr.l3.r4)
4 GE)(nq)
ve ontann kombinasiyasr olan
"4i'GOE;'GE
)1",$l)(r14)
-ta'..
spinorlann bazis elemanlan olarak l6-tilgulil xetti fazada qrassman
cabri taEkil edir.
$ 74. Supersahanin
laqranjianr va harakat tanliyi
tenliyi teal A,ty va F sahalerin
xarakteri ilo miiayyan edilir. Laqranjianda A,yr,F -in koordinata
gtira birinci tartib toramasi va 0 oV isa xatti daxil olur' Bu
Supersahanin harakat
t2l
sahalordan,
A va F iki
64(x1= 4'111
-
6161= 7111-
orr)
6ry(x) = yr' (x) -yt
lovoG)
--
p1x'S
skalyar, t4 isa spinor sahadir:
=
(x'1 --
(Vn.14.1)
J.o ud rvG)
D({- o r)sd pA(x) -
\oF (x)
(Vtr.14.1) gevirmalari supersahenin gevirmalarinin naticasinda
qrassman dayifanlari ile tayin olunur:
I
rE,o€,r <8.€' t =
fif;
!
as,aE,aqiag11
r,
=
=p?rq,E't
Burada
r <e,r, = P? r
c'8.
*** f; r,e.e'
a a
2 d1" 08"
d a a
.ral_t
-P
)
t
=
(vtr
14 2)
P!2)=-1
P
-iaE, aq"6
a
W
(vr.r4.3)
d.l1ag = lre op a(odlp = dz E
dr7i4,
Oger do( =
I
!gayTqodnp =,121'
=
d'Ed'q
qabul etsak, qrassman dayiganlarina g0re
laqranjanr
,."n,
=
I
oo
e{i
cnt
*
a,
Et
-
i
<eo
i2 t',€t (vtr.14.4)
-f, x*{,.$"-o'o,'ri"'o'-thor?<,,e><EElx'}a,€tll
t22
yazmak olar. Burada
)(G,E.n)
X,
di
=
--
e'""'
s+ie"rca,
(vII.l4.5)
71x,$,r..)
va 7r@,() , eyni zamanda X,-G'E) kiral skalyar
supersahe
adlanrrlar.
e"S<eet=28,e,
(vtr.14.6)
e
(
o
uEE,o,rtr" --f,<EEn",a,v
g -sonsuz kigik qrassman parametridir) segsak
x,
+G,€) -- A+(x)
bGG,€)
+ Eav
*oG)
= 6A(x)+ Eo6w,G)
+
(Ea€o)Fr(x)
(vtr.14.7)
+Gt)6F(x)
alarrk. (V[.14.4) ifadasinda ilk iki hadd sarbest supersahanin
tosirini, sonuncu Ug0ncii hadd ise A,y,F sahaleri arasmdakr
qargrhkh tasiri tesvir edir.
Supersahenin haraket tenliyi A, ty, F -sahelar Ugiin
idu\r'ou-mVt =4gAUt
4CAF
,O uA* = mF +
f* = -ml -2se2
d
' 8(W)
rytr.14.8)
olar. Buradan gtirsenir ki, superinvarianthk nainkr spinor saha ile
skalyar saha birlagarek, supersaha yaradrr, hatta skalyar sahenin
spinor sahe ile qargrhqh tasiri, bir iilg0siiz sabitla xarakterze edilir' .'
[iu -*"o skalyar va iermion sahasinda eyni ktltte qiymati realizeP'
olunur.
t23
$75. Unitar SU(n) qrupunun generatorlarr cami
Unitar spin qrupunda ,
^
=+
operatorunun izi
IrI"Io =!6,u @b)=1,2,...r2 -,
(Vil.15.1)
olur va komutatorun
"'t ul=;7'o'1'
ifadasini isrifade etsak, lr, iigun
(vII ls
It
=-zitzlt,,'t)t.
f.u,.
alarrk,
Yani
f .u, -- -f0*
olur. ixtiyari izi olmayan (n x
F
yazsak,
(VII.l5.l)
I5-3)
(vn.15.4)
= .f u,"
n) matrisini
=CJ,
(vrr.ts.s)
--e gdra
C,, = 2lzFI
F = zt
alrnar. Ogar
(vr
2)
F = i(Fn)
.,
(vll'ls
"r r;r.
6)
ctlra gtitiirsak
I
(
F,,),n = 6,,6,,
- :6n6,,
n
t(t\
6,-6,, - 1 6,*6,. = z(t,,),r( 1,,\,,1 6,,6, - 16,,6,,
n\n)
yazarrk,
Izl.
=
0
I
sertine gora
tl
(l^)tku")h=16,.6,rni elda edirik. m =
j
*U*U,^
(vII.l5.8)
gdtiirsek ve i -ya giira camlama aparsak
11,.
alarrk. (VIL l5.8)-e g0ra
t24
:VII. 15.7)
.l
=".-7
2n
(v[.15.9)
Izl ,,l bl
olar. Ma'lumdur
ki,
're (VII.l5.9)-e gdre
Izl
irlar
,,t, = -
16,
(vn.ls l0)
4n^
Izl ,,1bI,,1,.=I7l ,,1,,1bl,. + IzI,.1,,lIoI,,)ollr.
n'-1
^
,Ibl"l.=;U.
+ifb,,rlzl
(vtr.l5.ll)
,l.l,t
rk. f o.n -nir. b, a -y a gora antisimmetrikliyinden istifade etsak,
nz -l ^
I
Izl ,,1,,1 ,,1 ,=':'6*-)fu"af.tlzl
,l .=
4n
L
(VII.I5. t2)
l
,'-l^
=-;ou'-7tuai*r
otar.
(VII.l5.l2)-ni
(VII.15.10) ila miiqayisa etsak
f*of.a,
=
fu*f*" =n5*.
(vtr.15.13)
alde edarik. Metrik tenzorun 8n
I
8a,=-J*alar,,
(vtr.15. r4)
n
rrldu[unu nazare alsak
va
8.t, =
6
r:tsak
f.o,I*,f,,,
(V[.
15.
=lf*
(vtr 15'ls)
f *,f ,,fu, =f,f,0,{foo,f,,, - fo,,f ,,)
olar. Ona gOra
yazrlar.
berabarliyinden istifada
"t
l0)-a asason
I
ahnrr.
(vn l5'16)
f*,rIrrf,,, =)1,,,, 1,f,,,, =\f,*
sabitlorina , f ,-run matris elemanl kimi
Ogar f
baxsak
"0,.
U")0, = f"o,
Iz[. fu = n6.o
I'VII.l5. l5)-a gOra
r<f ,,f
,f ,
--
"
alde edilir.
if ,,*
r25
Giiclu maqnit sahasinde atomun
enerji saviyyalari. Pagen-Bak olayi
$ 76.
Xarici maqnit sahasi orbital momentla, spin momenti araslnda rabiteni qrra bilmirsa, maqnit sahasindo enerji saviyyelarinin
pargalanmasrnda anomal Zeeyman effekti ahnrr. Bu halda spinorbital tasira gdra enerji, maqnit sahesindaki enerjidan gox-gox
bdyUk olarsa, zayif maqnit sahesinda
LE
_.,,.
>>
LE,,,q
(VILl6.l)
olur. G0clti maqnit sahasinda qargrhqh tasir spin-orbital tasira
gdra bdy0k olar
LE,,oq
(vrr.l6.2)
>> LE"'
va bu zaman maqnit sahasi spin-orbital rabitani qrra bilir va onlar
ayrr-ayrrhkda maqnit sahasi ila tesirda olur. Maqnit sahasi olanda
(VIL9.l4)-e goro maqnit qar$rhkh tasirin operatoru
"(a\eh
=
v,,,,0
uorl-i
*+or), tto=*
o3
dioqonal matris olub,
yazrlar. Burada
(vll.16.3)
(t
o\
"' =lo -,J-0"
(VII.l6,3) -ii nazare alsak, enerjiya olan elava
LE,,,n =
I
fu; v :f-, ]U.
",\Y,',),
(vrr.l6.4)
olar. Spinorlann
ur(i) = R,,r0)y(it (0,rp)
ifadasindan istifada edarak
re.*,= 4;illntr' t rir[Wl- !**
",fu,
i
t26
a ryrr,
6 s)
yazank. Burada
--r
f1n''l'"a'
0
oldufunu nezara alsak,
,;=,*1,
I E+*u^_, l
lr/"*1a"
1-w".,1
[-{ z.r '' ]
I
I lt-^*r..,,-,)
ri=r-lr ltl ,u, 'r
1@,,.
I
t
[{-'''
]
Y,"' funksiyasr normalanan funksiya olduluna ugun
1I
;
=
-
i)t#,
1
hahnda enerjiya olan alaveni
M,-n =
*
ffil<t ^t*
+ (t
-
m + t)(m
-
t)l =
-
rn= ,r(^
"(^
alda ederik.
j
=I
-,
I
hahnda ise
M,,u
M,,.n = !!El{t ^
alnar. m., = m -,
I
alavasi iiqiin
+ r)m + (t + m)(m
-;)*
olmasrnl g0z oniino alsaq,
LE,no, = ttoqm
iB
-- hSl rgm
t
(VII.l6.6)
t2'7
maqnit sahasinda enerji deyiqimini verar' (V[
16 6)-da
;*1
"B -Larmor tezliyid o.. g=" ? -Lande vurufiudur'
' = 2mc
I +'.
tL,
2
Lande vurufunu bagka qakilde yaza bilerik
"
i+v2
I+
(vrr.r6.7)
lf2
= 1, otdu[unda normal Zeeyman effekti ahnar kr, bu da
tacriibade Pagen va Bak terefinden miigahide olunmuqdur' Bu
hadiseye (guctu maqnit sahesinde spekhal xattarin iig xatta
pnrgalaomas,l Pagen-Bak effekti adr verilmigdi. Alman xatterin
tezliyi
va I
, = *n
=
ro+ o.(g'o'rlo' -
srr)
(u1.16.8)
ila teyin olunur. Paqen-Bak effektinda g = 1 oldufu ugiin
La = {t LLm
Lm--0,!l
olur ve bu effektde ahnan kegid tezliyi
U9
ryfi.
16.9)
tezliya uylun olan
ar=@'-a=O; a'=0)
az=@'-a=Ctt=eBllruc
@t =
qiymatleri alar.
t28
a'
+
co'
-dt L -- -eBf 2mc
(vII
16
l0)
$77.
Enerjisi
Fermionlar iigiin srxhk matrisi
E,
impulsu p olan sarbast zarreciyin datla
funksiyasrnr miistavi dalga olarak
Iu"
lrEr-iit
|
=:u-e
(vn.
n
JzE
17. r )
"
gakitinde gdstara bilerik. Burada ll
va
o spinordur onu dord sutun
rnatrisi olarak
(vrr. r7.2)
' lU]l
',=l;:l
l"'J
vermak olar. Onlar normalhk gartini 0dayirlar.
Zoxu boyunca harekat eden zerracik ugun (VII.17.l) va
(VII. 17.2)-ni (VII.8.4)-da yerina yazsak:
(E-mc2)ur-cpuj=O
(E+mc2)u.-cp\=O
(E
- mcz)u,
(vrr.17.3)
+ cpu4 = o
(E+mc2)uo+cpu2=O
rllank. Burada t,t,,u, spinoru
s=
-I
olan ur,
qiymatlarini xarakterze edir. e =
r,
tmc
{'*
u,
e=*l
=AI
u
0
I
{'* ^,'u
0
l,[
*l
ao spinorlarr
ise
hahnda spinor tigiin
(vrr.17 4)
l2
tmc
_
]'""[
-.ll\i +
E
129
€=
-l
ilgun ise spinorlan
l+*"
E
l+^"
I
u3=
E
ryn.17.5)
F+
alda edarik. Relyawistik halda spin vektoru saxlanan kemiyyar
olmadrlrna g6re fazada ela bir istiqamet yoxdur ki, spinin
proyeksiyasr mUayyan qiymat alsrn. Bu hatda spin, zarraciyin
sukunatda oldulu sistema gora muayyan qiymat almasr garakdir.
Ballidir ki, elektonun srxhk matrisini
^el I
(vrr.l7.6)
n.=_(z_rp)
2m
olur. Lakin elekbonun polyarizasiyasrnr nazara alanda isa srxhk
matrisini
Nt
= u pi p =
segmak garakdir. Burada
ihO*t sT pS y)
fi<^ S, =(S,rSr)
spin momenti
i'Gp)
5'=6*
' m(E + m), s.=Q
m
dir ve
{
(vrr.r7.8)
polyarizasiya vektorudur.
Poziton
UgUn isa srxhk matrisi olarak
n*t = -J-6+ii,11t+y5y
istifada olunur.
130
(vrr.l7.7)
us
u)
(vrl.t7,9)
$ 78.
Neytirino tenliyi ve stxhk matrisi
Suktinat kutlasi stfir olan
,e spini !
Z
qiymati alan zerreciya
neytirino deyilir. Bu zarracik zeyif qargrhktr tasirde igtirak edan
zarracikdir ve igik siireti ila harakat edir' Dirak tenliyina gdra
nevtirinonun kutlasi slfir olduEu uQun
(\1r.18.1)
'
(r-cdp)y =o
tanliyini odayen zarracik olacakdrr' Neytirino ugun
- "-*')=0
\noNp=-vp
otduguna gdra mustavi aafga
-D
olar. Burada fr
=|
(r/
f
=
clll
hatrnda
(vrr.l8.2)
impuls vektoru istiqamatinda orwektordur.
lpl
[,
ugiim ise
otar.
l--
7fr6
/- -\VoMp=Vp
(vrr.l8.3)
.. -
operatorunun qiymati, zarraciyin herekatina gdra tt
istiqametinda proekiyasrdr. Bu operatora spiralhk operatoru
deyilir. Bagka sdzla, nel'tirino spiraltrla sahib olan zerracikdir'
Yani, spiralhk, spinin harakat ytiniinda va ya harakot istiqamatina
aks yonunda olmasr demakdir. Ogar spin, zarreciyin impulsunun
akine yonalibsa, onda spiralhk - I , impulsunun
istiqamatindedrse spiralhk *
zarreciya neytirino, spiralhk
deyilir.
Neytrinonun dalla funksiYasr
Vp=
I
^l2E
u
oe-iPx,v
1 olar' Yani, spiralhk -
tI
I
olan
olan zarreciya antineytirino
-, = ;fiVr-or'o'
(vII.l8.4)
saklinda g6titrsak, spinor amplitudunu
131
ulou,o =Z(n,p)
normalamrg oluruk. Bu zaman zarraciyin ehtimal
carayanrn ehtimal srxhgr
j =L
E
srxlrlr W = 1 va
otu,. Neytirino har zaman tam
polyariza olunmug zenacik oldufu tigiin srxhk matrisi
Prp
segile bilar.
yaztlar va
n
--
uru.U
(\1I. 18.5)
= 0 olanda Dirak tanliyindan
pry -- o
I
=ur eldaedarik. Yani,
-(l+v.V
2'
1+y.
1-y.
t!
+--:-!V.
2.2
V
--+--*V
(vil.t8.6)
avazlemasini etmek lazrmdr. Onda carayanrn ehtimaI
i, = )vQ - n)r,(r * v,lu = )v,0 n v,\a
sxhfr
rvII I8.7)
yazrlar. Bununla elaqadar olarak, neytrino ugun srxhk matrisi
-y,\y
'uu =!(t+r,)p0
4.
pXo
=lQ*y)i,
Z.
(\'rr.r8
8)
antineytrino Ugiin isa
',
pXB
,l
l,=;(1-y)b
(vrr.r8.e)
yaza bilarik.
Neytrino y
(7)
elektrik ytiktina malik olmayan, lakin srrf
neytral zerracik deyildir. Onun varh[r ve 0ztinii biruza vermasi.
onun polyarizasiya iizeltikleri ile mUelyanlegir. Bu dzelliklar
ni.lva reaksiyalarinda, niivalerin pargalanmasrnda mtigahide olunur.
Bdylace, neytrino sol polyarizasiyaya (spin ila impuls bir-birlerine
ziddir) spiralhlr -1, antineytrino sag polyarizasiyaya (spin ile
impulsa dolru yOnalib) spiralh!r +l malik olan zarracikdir.
r32
vII FaSiLa AiD 9ALI$MALAR
eahena
vII.l.
@ A)@
b
=G
B)
+ ioLA El
munasibatini gos-
tarin.
Hall: Skalyar hasil tigiin ma'lum qaydaya gdra
@
h@
x(o,8,
il
= (o.,A, + o
"A,
+
d-A-)x
+ 6.8.) = o: A,B, + 02"ArB, +
"8,
+ o,o.A,B, + o p,4B- +
+ o? A.B. + o,6
"A,B .+o,o-AJ.B.+o o ,A.8, + o.o tA.B
+o
,-
yaza bilerik. 6
-
matrislarin xassasina gdre
"i
O
=
rO,
"',
--
o'. =1, o,o
='o,o,
| -- -o ).o, = io.,
= io ,. o
-o,
=
-o
,o z = io
y
,:lduBu iigiin
O AIO b = e,n, + A"B, + A,B. + io.A,B, -io "A,8,-io-A"B,+io /rB. +io,A-8, - io,A. B, = A E + io,@,n, - A-B y) + io,-(A.8, - A,B,) +
r--l
r- -]'l
r r.-]
+ io- (A,8" - A,B.\ = A B + ib. la al + o, [a8], +o [A BI J=
=
i- -r.
AB+i6IAB)
alrnar.
Demali
t-
-t
(dA)@B)=AB+i6lABl
olur.
t33
qah$ma VII.2. Kleyn-Qordon tenliya gOra yukun paylanmast
srxhltnr taptn.
Hall: Miisbat va manfi ytikUn miqdan stxlt gr
p(t)
ila
g@ =t po{i,t-)dv
tayin olunur.
p(t)1r,/) -tar
P"' (''t)
=
yazrb.
'Y"t , 't'
Ut"'(r.tI = Ia'-'tf W',-'tr,rtdi
. ri)
! ll,
- lrtr
ry (r.t)=)a G)VI lr.t)dk
tasvir etsek,
o'-'
=
#
I{','l''t'''l lw "'
r .(i)
?v
'dt
- wt'' (r,D
r. 'tt -
l
Q,t)ldv
l
Vft) {r,t) = ,-i(r'tt+i;1
Vl-) {i ,t) = ,i(ar+i;1
va A
tezliyi ,f -nrn funksiyasr
yiik
ugun
olmasrnr nazere almakla, m0sbot
ifadalarini istifada etmeklo
134
n,-,=
- -,^r,
'h (('""
tlJ" (k)e"''-titdkx
"
i
!
1u
r,n
"ut-i'itdi' - !
r 'l')
a"'{i \e-"'"-*"ai
,,r.,-,-l rr6i,l7y
<i'x
"*1"
j
*/mc 'If l;;'
o'.,",,,.',,,
x
=
",,,,-,@,
i tr',; di
di, -
-Jo'.'o ia 1i'12"'u -'' " "-"1'- t 't OiOtr'lO'
)
alank. Ogar
l-
__, _1r_itr_t,)tdV _6(E _k)
(Ztt)"
oldufunu nazere alsaq
)[)"' "1i1o,-,qt,1y
f
t''
i
"
x (- i(k' ))ei
a G - i' vi*' .(+)
O\r)
- -ih(2n)3
2mc,
-
!
'
at.)
)'
_ _l
(i')ia(i)r'"n-',''
6G
bdidi'
1i1,
J
olar.
Bu ifadani ft-'-a gora inteqrallasak
.
135
ih12vl
u =-lla
2mc'
x<-ir:ri ttai
l
'"'' '
&)a",(k)x
1t
.|
- la"'(i\ a,.'(i)iatL lat
=
)
- tz - -:
)1 tl ,,,
='#)la"'(k)la(k)dk
h(2n
o,,,
-
(r!*::,
pE
!lo,., <i tl,,<i
taparrk. Eyni Yolla
gt-,
(2n\rh et
::::.t.
fit
{t)la{*
)]|a,,
12
=
alank,
edan zerreciyin
Qahqma VII.3' Retyatvistik siiretle heraket
taprn.
qiymatini
ixtiyari halda enerjisinin orta
Hail, eoyuk stiratlor zamanl zarreciyin enerjisi ile impulsu
arasrnda elaqa
E( p)
olur. E >
0
- ',lr' p' + ^'rn
hah ugun orta qiymat
* (+)
E --
I"
Q1)E(p)aG'(p,t)dP
olar. Burada
aG'(p,t) -- a"t ( p)e-;''
f+)
A'-nr
aF
-1Pr
oG) = ,l " 1)yr\t'(r,t)e
lmc
h
t36
Pt'
dr
dV
@
l<imi qabul etsak
it -= Itl
r dv
E(P)
lr/;fl ffi"
i2;
rr.ne'i'
Et pt
tfft#ry.e,,)e'rl*=
(2trh) mc'
-f,------
"
''ll t:1p1ty'G.rrr),0" ,
x\r- (i,t)dpdvdv'
,fi;p
ttt
=
(nJ ca + P'
c'
ltY.
1i't
YY.
(i'l)
x
lFo-r't
xeh
dpdV'dV
-
I
- ,*\zosrS: llftu't1.111-s2h272+m'co7x
I l'
'
x
\r.
(7,t) e;F
G
-'.'',
dp
dvdv'
1,azrlar. Enerjinin orta qiymati
E=
1!r.
MC
<i,t11-c2rt2y2 + m'cn14r.li,tydv
tapanq. Burada
=]_
(27th)"
1riF,r-r', dv, _a1p,1
),azmak laztmdtr.
137
Qahqma VII.4. Relyatvistik kvant mexanikastnda tam momentln
saxlanmasrnr gtistarin.
Hall: Boyiik stl'atlar hahnda hamilton, orbital moment va spin
operatorlarr
fr
- cA(6 p) + pmcz
' '
L--ihvv
'I
)
. h_
=-o
2
J
dr.
^aa^
L,-dydx
--ih(xl-
y.
) = xP"
-
YP,
t, -xo,
oldulu
Ugun
- L,H = cpJo,F, + o rP, + o,F,11rF, - yF) +
+ mc2 prGF, - yF,) - cprlxF, - yF')x
x (o,i + o ,F, + o ,F; - mc2 pr(xF, - yF) =
HL,
)e
= 3!-1pro ,P"
l'l
= -2chp r(o ,Y y
alank.
Belalikla
138
)r
- p,o ,p,) =:l
- o ,V, )
pr{o
^P,
-
o yP,) =
l't,)=
LryEun olarak,
HL,
+
fi U
-2chP'(o'Y
h^
-mct
- o-'v'
)
Lr-in kommutatoru
- L,H - lcpt(o,P,
h"h^pro.,
u
rP,)o, +
+ o yPy + o
- lcPro.(o rP, + o yPy + o rPr) -
h,2cptot --l
=
Pt(o ,P, - o,Pr)
- -mc'
zt
=
- -2chqlo yY , - o,Y ,)
olar.
C,nda
40.
i-
+
"2
oo"ru,oru
t^ ^ h
n,L, +
L
-2chPr(orY,
r^^ r
.
lttJ
;;,u,;; ;
edar va
1
io,
2') l- -Zchpr(o,V, - orv*) -
I
olur. Yani
I? il" ko*ru,asiya
-o,Vr)=0
,1-
g oldu[u ttgi.ln J^, = L, +
;;
,no,n.nl,.*,"oo
*
h
=o,
orbitar va
"r,,-"r.'r,*0,
spin momenti retyaNistik halda saxlanmaz , onlarrn cami
isa
saxlantltr.
139
VIII FOSIL
SAPiLMO HADiSALARi
amplitudu
$79. Sapilme matrisi va sepilmanin
Sepilme hadisalarinda verilmig baqlanlrc haltnda sistemin
mumkiin olan son hallara keqma ehtimahnr tapmak talab olunur'
Ogor baqlangrc halrn datga funksiyasr yr(" -dirsa, sapilma
naticasinde altnan hallann toplamt garti olarak
\'l'u's
f
1'v")
sakilinda yazrlar. Burada t/u) muxtelif mumkUn olan son hallarl
girsterir. Ona gilra de son hallar iizra camlama aparmak laztmdtr'
S,, emsalt sapilma matrisi va ya .S -matrisi adlanrr' Onun kvadratt
sistemin miiayyan / hahna kecma ehtimahnl gOstarar' Ogar
qarqrhkh tasir olmazsa, sapilme baq vermaz va S -matrisi, vahid
matris olar. Onda S -matrisi vahid matris 6tr -la ila
S,,
/\
=6r +(2/r)',61 EP,
\r
-ZP,V,
,
(vrl.l.l)
)
olar. (Vm.l.l) -de ?,,
Yeni matrisdir' Burada 6 funksiyada I -igarasi baglanlrc va son impulslartn ceminin
ferqidir. Dioqonal olmayan matris elemanelerindan birinci hadd
srfir olur ve
yazmak
,\AJ
s ,,
/\
= i2n6lr,P,
-LP,V,,
(vlrr'r'2)
elaqasi mdvcuddur. Burada 11-Ye sapilme amplitudu deyilir'
lsr,l'
-au 6 -funksivanrn biri
'[?n
140
?-J=
hk''i"-t''r
do'
(vu I3)
o'r'az olunar. Onda inteqrallamanr sonlu
zrrmanrnda aparsak.
alarrk. Ona
ls,,l'
=
sin: aE
ti2---
--
biiyiik
V
n6 "
istifada edib.
hecmi uzra va I
Vl
-27t
gtira (VIII.1.2)-dan lSrlt-ni
(2,)'al
Le,
-)a)r,l'v,
(vIL
r 4)
a.da edarik. Buradan, vahid zamanda kegid ehtimaltnt
wtf -+ir = rzzr'5[)r,
-lf
).,1',
(vril rs,
yza brlarik. Har bir baglangrc va son haltn dalga
funksiyasr u
spinorlan ile ifada olunur. Bu sababdan sapilrna amplitudu
T,, =
ui,ui....l
u
r,u
r,...
(vrr. 1.6)
qaklinda verilar, rym. I -6) ifadesinda sag tarafde baglangtc
zrrrreciklarin, sol tarafda ise sonuncu haldakr zarreciklarin
spinorlardt, I isa matrisdir.
Son halda mijmktin olan hallarrn
lazrmdtr. Yani
o*
hasilina (VIII.l 5)-i vurmak
=,rrall, -+1)r,,1'r,;jfu
orar. Burada
\'i
(vru ,7,
d':'
ot! ot!! ... hasirin
=
t2n)'2E, (2ft\'28, (Zft1'28.
ir;arasidir, indi
, 'r'
M"
(2E,v ")U2
ir;aresi qabul etsak, ehtimal ugiin
14t
(_ _)
[email protected]).|>r,
,2r de
tu^,,\uffi
-YI,;4
(vm r 8)
alank. Burada
lui,u)....tu,,u,.. l' =1,
nl'
drr.
Oger iki zerreciya pargalanmaya baxalksa
aw=l
.1u,,1' ! -]-.-61pi+6,yx
(2it)',
"' 2m
48,
x6(8, + t, olar.
(VUI.I.9)
m)d3 pid3 pl,
Bu ifadada pi, pi-son zarraciyin impuls vektorlardrr.
= -n; =
enerjisidir.
Gi
d3
E,
p'r-ye
a3
p'), €i va e! pargalanmadan
gOra
inteqrallama aparmak
pi= p"ap'xz=lpldsl
yazrb (ri' -
^' =
o* =
e'zz
-
mz =
,!rn*lr
ahnan zarreciklarin
iici.iLn
trE-d(tr + tr-l
T
p'2)
(vmllo)
uygun olarak
rl'lo'l*
or.r.u)
yazarrq. Bu ifade ila pargalanmanrn ehtimahm hesablaya bilarik.
ve enerjisi p1, E, olan
zeneciklar, impulsu p, enerjisi E, olan zerrecikla tokkugur)
impulsu pi olan istanilan sayda zarracik yaranrrsa, kegid ehtimah
indi
tokkuqma zamanr (impulsu
aw=rz,>,
{E,
1
-L,n)ru,1
-t-ry#
ryr,,
2)
ifada edila biler. Onda tokkuqmanrn effektiv kesiyi:
do
t42
dw
=- J
(vm.l.l3)
ifadasini taparrk. Burada
(p, p r)'
'r'a
-
^',
^?
(vn.I.l4)
ya
r
*l)=lFl(r,*r,r
",=lFl=f
u [8, r,) v E,E,
(Vil.
l. l3)-dan (Vm. l. l4)-U nezare almakla
/\
o"
0,,
=
<rt
\E,
n
->:)r,l=
*flffi
('III I t s)
effektiv kasiYi Yazank.
Ogar eralet mariazinda lokkuqmaya baxartksa,
ao
=
)6+nrt-lu ,,t"f =li'\. on
_
(vm. r
16)
lplE,
alank. Elastiki sePilma tigUn
g, p' = p" al p'lna' = lplan' n' xt)
do
effektiv kasik
lM
---!
l6n' t ''"l'da'
(vilr.l.l7)
t
vo ya
*=fi1"5'f,ff
yazrlar. Burada
I = {p, rt - nx''fr '
at = zlflll|,la cos e
diistti,ru ila ifada olunur.
143
$80 . Born yaxrnlagmasl
Bazan bir gox masalelarda sapilma amplitudunu mtiayyan
yaxrnlafmada tapmak liiziimi ortaya glxrr. (VIIL I.6) amplituduna
baxaq:
.,
J2tr,,, Itkk't=
YJe-'\'Vtrtryitrrtlr
(VIIL2.l)
.
2mr
i trl =r,tr)+ -,' lGrr - r'1V1rryitr)dr
(VIIL2.2)
T,, =
Burada
tlt
funksiyasr
Vt;
t
r) = qttrl +
*a!':t
1c1, -
h'J
21,!
l5r r - r'tv tr'ttp, r r'tdr'
+
(vrrr.2
l)
r'lv|r'tctr - r'tvIr'tq*Ir'frr'dr'
yanhr. G(r) - funksiyasr
c<,t=l-f
,{_
4nir J_k_
uaq
QGreen funksiyasrdrr. (Vm.2.3)-u nezara alsak,
-tll. . | 7' i-"'v s1dr f (k.k') = - )fthJ
(vu.2.4)
.l
-
ll + l I e'r, e''*'v
lt \h- ) "
ll +I |
n\h- )' "'i'
t
r )G
"r' v qr'tc,,
t
r - r')v ( r' )drd r'
- r'\v \r'tctr'.
r')V
(r')dnlr'.tr'
geklinde yaza bilerik. Burada l-ci hadd Born yaxrnlaqmasrnda
*Jztr
f"'(k.k'\=-"'ii" vtt-r'l
f
at
t44
(vIIL2.5)olar
Uy[un olarak f (k,k') -nin digar haddlarind a 7G)1k,k'1,
&,k') va s. ile giistere bilarik. Bom yaxrnlaqmasrnr qrahk
olarak gakil II.3-daki kimi gdstara bilarik:
't\.{ a-
zy'*_ //,{
,i,
./
$akil II.3. Bom yaxtnlagmastnrn qrafiklart
l'uksak enerjilar haltnda Bom yaxtnlagmast
-ilLp*^
2h'k'I
-2iak-Ll<<l
(vrrr.2.6)
mahdudiyyati tatbiq oluna bilar. (VlL2.6)-tnt
, ", << I
"lv^l
h8
crjrede yaza
bilerik (tl
hk
=-j-).
(vrtr.80.7)
Bu Bom yaxrnlagmasrnrn kiteri-
y,lsrdrr.
Fotonlann elektronlardan elastiki sapilmasi
Fotonlann sarbost elektronlardan elastiki sapilmesi
(y + e -+ /'+e') hadisasina Kompton effekti deyilir. Kompton
$ 81.
effekti relyativistik kvant mexanikasrnda dUritst izah olunan bir
hadisadir. Bu hadisa iigiin impuls va enerjinin saxlanmast
qanunundan
k+p-+k'+p'
istifade edak.
Kompton effekti iigun Feynman diaqramlart ilkin
yaxmlagmada qakil Il.4-deki kimi olar (dal[avari xettar fotonu,
bjitov xattlar isa elektronu gosterir).
145
$akil II.,t. Kompton effektin diaqramlan.
$ekil II.4-da k,p baglanlrcdak foton ve elektronun d6rddlgtilU
impulsu, t',p' isa sondakr foton ve elektronun dordotgulu
impulsu-dur, p + k, p - k' -impulsu arahk haldakr elektronun
impulsudur.
a) -diaqramrnda Dft- impulslu foton udulub, sonru
ftt-'
impulslu
foton $tlalanr,
b) -de isa hE' foton tince $iialanlr sonra isa ftk- impulslu foron
udulur. Bu diaqramlara uylun olarak matris elemanr
S,r
=S,f'+S,f'
rym.3.1)
olar. Burada
t
:;, = -(f)'
xil.l'r't't
=
U;;
d
o,,a n,,, u,.
P
r. 2
e
-
i
(,' + P',,,
x
.i
r,
"ro
ffi;ti',
YrQA--
:-
^)*
q- +m-
eq(,,_,r) elr) (y
u,,"tJ lo,J =
<*:r.t,,*#**
xut!)60<o+k-p'-k')
146
li
e e,r
o),a*
1vrr.a.z;
,:;'
=
r*ffi;';" rn,r,),,*F*
xuf)6n 1*+ p-tc'
-
Qei'r'),ax
s.ut.3.3)
p'7
drr. Spin hallanna gora comlama aparmak ijgiin
L;Y,',,t' -
ft1ir,
e" -
d
(vrrr.3.4)
uu
ifadasindan istifade olunw.
S,f) ita S,f)-nin kvadratrndan Sn ugun
lr,,l' =
+
a#,rl;v t {,,,:, "'',,+#*,ie
(ie.y,),5h:, - i,].- ^\ ,,"'"y"61,,x,,f'
tP-K) +m
J l
yazank. Sadelik iigiin
aortt + p
n
ot
o) "p
-
*'-
+
p'fi
(vrrr.3. s)
hr e
- *) r* or o) * {i" or o),tr,e,*'rt . r) piy. t
i=1ieir,t!#
:
lut +m
"Y,))#(iei
\ll-K ) +m
\p+K)
(vnr.3.6)
igarasi qebul etsek,
lt,l'
=
lSn l'z-nr
;fur6';:'4"'i'b'
(k + p
- r' -
(vltr.81.
yaza bilarik.
Bazan kompton effektini kinematik invariantlar adlanan
dayiganlari ila ifada edirler. Onda sepilme amplitudu
5,, =4ree'ueui
qaklinde verilir. Btrada
Qrru
fil
7)
s,t ve I
(vtrt.i.8)
Q*
r47
mty,tP-i' + m1Y, (vlll3 e)
Kinematik invariantlar s,, va L enerjini va impulsu
Q,, =
y^zrlfi.
fir,rt'+i+
gostorir:
t=1k+P)2=m2+ZkP
t=(P-P')2=-Zkk'
u=(p-k')'=m'-Zk'P
(vrrr.3. l0)
y.k,,i'
= Y,ki
=
Oger elektron qeyrimualyan spin hahhda olarsa, onda baqlanlrc
spln hallanna gora orta qiymat, son haldakr spinlare gdra isa
i,
= y op
o.t
cemlama aparmak lazrmdrr. Yani
(V[l'3' 7)-de lS,
l,,T=|p>1,,1'
I
Verina
(vlrr.3 l1)
gtittirmak garakdir' Laboratoriya sisteminda (p = 0)
p = (0,O,0,im) oldufiu ugiin
(p + k)2 + m2 = (pp) + (kk) + 2(kp) + m2 = Z(zkp) = -2mto
(p - k')' a fi = (pp) + (kk') -2(k'p) + m = -2(k'p) = 2ma
(vrrr.3. l2)
g6ra
fotonun
yazrlar va foton sahesi enine saha oldufuna
polyarizasiYa vektoru
(eP)=(e'P)=A
qartini iideyer. Aunki p vektorunun yalnrz zaman qismi ile Z,Z'
veklorlanntn faza komponentlari iStirak olunurlar' Onda
\
t-,...- -V t- ^ 't"
Lu,s,l
tvlt.:. t:l
V'!]l1"fr"'i'l [email protected]''Lu o,lui,s
t/
yaza bilerik. Yani
148
1t
)
J
rl
I ra-
t2
=l2 2\l'*'L*'*"1 =-()
"ll
I
5=l
S'=l
u pP'u
s=r
!p'i
:
Luar.'Lapx
(vlII.3. l4)
r/"\
t
il
"'
,J,,
yanlar.
t-
^
(-
t
t
\
V,,L"0.1=|ur.rur,,J
(\'Irr 3. rs)
olmastndan istifada edarak
ii*,u
S=l
#f
u.o,= t''-O
iv
u
p, + m)uo
larti daxilinda (VIll.3. l3) ifadasi
nl o' - *tA\
r = ---)--------.^tOt'p
32EE (mau) t
3 16)
A = -ia'eierkry"T rT, - iax'k"e'ry,y,y, rym
I
1
yanlar.
A
-ia'e,k,e'rf ,y,y t, - iav:k:e,Y tY.Y,
va A)'fotonun baqlanfrc ve son haldakt enerjisidir'
Buradan
iz-i
hesablasak
Q=
*1Q\ = t^' a' r"[ 4"or' u .
n)c,' ^lAG -
't'
-l
l.
*.
(,, *(')-'\
)
alank. Onda Kompton effektinin effektiv kesiyini
do=
en
ot'dl
|
_(
4"or, g *
g- * 9- z\ (vIrI.3.
- ")
e,h',,aEEF ;{ll*""'"' ,' ,
I
7)
lr,/l
at El
elda edarik. "-L!]t ; hpmak tigiin )
f;
-aan istifade edak
t49
Jiii6;1i.i=*elir
E; = a'*
,I
a'-acos0
=l +.
J;t;rn -r;,n""e."1
E'+a'-acos0
E,
atank. (tk')
-
a'-acoso
r--;;-':--!P +m
_ (a + rn Xl-cos0)
E,
dordofgtlo skalyar hasiti
\kk') = ii''
m + a(L
=
a@' = @a' ll
cos0) =
-
cos e \
gaklinde yazmrq olarsak',
!9
(t)
dl'Ei
0
to,
^'
- @'E'
olar. Eyni zamanda laboratoriya sisteminda
(vm.3.
s va z dayiganlarini
s-m2 =2ma
u-m2 =-2ma'
yazrlar. Onda Kompton effektinin (VIII.3. 17) kasiyi
o"
-: /
/\24
=!i(!\'l4cos,
qla)t
0+
18)
++{-z)da
a'ot I
do
ugUn
(\ru.3
re)
alde edarik.
2
e
r = --l-
cnm
- elektronun klassik radiusudur.
rym.3.l9) ifadasi fotonun sarbast elektronlardan elastiki
sapilmasinin (Kompton effekti) xarakterza edan Kleyin-Nigin
formulu adlarur. Bu formula giira dilgan fotonun tezliyi m0ayyan
olanda, baglanlrc fotonun polyarizasiya ila son fotonun
polyarizasiyasr arasrndakr buca! 0 oldukda
150
fotonun elektrondan elastik sapilmasinin effektiv kasiyini
polyarizasiya
hesabtamak imkant yarantr, Ogar sondakr fotonun
vekloru A' baglanprc fotonun polyarizasiya vektoruna
,
perpendikulyar (Z'
I
d) otarsa (cos9 =dZ'=O)
,,' =El,gr)'(9.{-r\a"
aIar.] \o' o
(vrtr.3.20)
)
olar. Ogar e va
e'
eyni m0stavidadirsa
I
cos' o = 1- sin o cosz
olur ( g, (k7') miistevisi ila (ef ) -mustavisi arastndakt bucafldrr)'
Onda effektiv kesik
,".." =\L( {\'(,
*,' tr-q,in,gcos,E do
4[a)\(t)',a
yaziar. do . ila do,, camlasak
do
do, + d6,,
=
/ al')"
=+t*l l#. *
f^2
r
- r"^'
alarrk. Baqtanlrcda olan polyarizala$maml$sa'
aparsak (VItr.3. 22)-dan
I
rym.3.21)
\
o cos' o
)aa
(vltr.3.22)
-ya gura ortolama
o
ryItr.3.23)
tapank.
oldulundan effektiv kasik
@=
I 1 !L11 _ cos o)
m
d,
=r:' =
t-'o"'o
[
;ilr
{,*9tr-*",]' [
*
[eT(,-.",rv
--1t]-----(r+'oJa[r+90-cose).]
42 (vm.a
l5l
2a)
yaza bilarik. Bu kesiyin
paylanmasr gokil
naticasidir)
0
bucalrndan astlt olarak (vrrr.3.24)
tacriibanin
0,75
0,50
n
r5
0
$akil. II.
5. Kompton effektinin buca[a g6re paylanmast
$akil II. s-dan ddrihdilyii kimi tacrtibi qiymatlar nezari
asrhhkla yaxqr uzlagtr. Tam kasiyin fotonun enerjisindan asrhhlr
gekil tr. 6-da verilmigdi. Gorundijyii kimi fotonun enerjisi artdrkca
tam effektiv kesik azalrr va bdyiik enerjilarda stftra yaxmlagtr.
gakil II.6. Tam kasiyin enerji paylanmasr.
r52
$ 82.
Elektron-pozitron ciitiiniin yaranmasl
Fotonlarln, elektron-pozitron cutunun yaratmasr tigtin enerji
va impulsun saxlanmastna gbra alave bir zerreciyin olmast da
lazrmirr. Bu zenacik atomun nuv€si ola biler' Niivenin
elektrostatik sahasi fotonu eleklron-pozitron cUttina cevirir' Yani,
nijvanin xarici kulon sahasinde olan foton elektron-pozitron ciitii
yaradar ve bu Kulon prosses ikinci tartib prossesdir :
y+Ze--+Ze+e- +et
Bu prossesin Feynman diaqramlan gakil II.7-deki kimi olar'
p
ab
$ekil II.?. Elektron-poziron cuninun Feynman diaqramlan
Sapitmanin amptituda iimumi qaydaya
xattina(p'-xatti)
gdra xarici
elektron
1-ftur,,e-'p'.
tlQtr)'
vuruEu, xarici pozitron xattina ( p -xatti)
I
__t_-_:u
_ pre_,P\
'lQo)'
vuru[u, daxili elektron xettine ( / -xatti) uylun
-
- f) r,",-','
4 oQY'-q'
-)'
q"+m'
Qfi)'J
1
vurufu, xarici foton xattine
(&
-xetti) isa uylun
153
i
@.^,
^ -,u,
.1;'rr'r'
4Qzt)"
T,,Ar=--,-
vuru[u ile veritir. Nuvonin elektrostatik potensiyah
4o177=u
(
2
=-?r
nuvanin yukudiir).oldu[u tl9un, onun Fouer komponenti
A["\
1E'1
-
I
@
Idt r A[41x1e-'Ir
(vm.4.1)
olar va buradan
d,,<qt=-ffilr',;=
4ru2
,lzo'
1
q'
NIJJ.4.2)
alank. Ona gOre
4., rrr =
ftV
!
o'
n
u,, (q)e'ii = -
ffi *, fi
t
va ya
A,,
"
=-l!?.,1a^n99!,'"
(21t)" '
(vm.4.3)
lql'
olar. Bu (VIII.4.3)-a gOre xarici elektrostatik n0va sahasine
mtlvafiq olan tapeye
iYoA|," =YoA)"
4nieZ
=- (ZrqrY nla,n!3!",,'
lSl
wrulu uyfiun galir.
geteliHa,lakil tr.5.-da a) ve b)
matris elemanlart
t54
(vrtr.4.4)
diaqramlanna m0vafiq olarak
s',-, --lty
te!)u
2ze3 EiGb + it - m
<atlrn?l;ui''lo C;+b, +^r"
p,,
(vrr.4.5)
6o-e-tr)
-;-_--:A2
lk-p-pl
itb'-it-m
--*l4u-o.rx
'!2,=-#ffi,',,<;tu"ut (p'-k)'+m'
6(a-E-E')
x=V -F-
a
p1
OItr
s,1) ila
s,.g)/ kvadrata yukseldib,
l', 'rl'
=
,
= ls,'1', +
camlesak
s,!'rl'
=
z'e' lutr-r-E')1 ,
NItr'4'7)
ti;';7F17-;{J'
=lr,,l,'@#
pr,,,1 *
4 6)
or
{;r,,,)@ffn
o
},-,.1'
(- p + k)' + m2 = -Z(pk), (p'
- k)'
+ m2 =
-2(p'k)
olmasrm nezare almtb.
Ogar
11
=,
b+
^i(-
i) - m iy
pR
"e,
+
iy,e,U|9ar,
pk
155
rr
N
+
=iv,e,'t#-r"*
.
\-y 4)
.tlD -kl-m
-:!----:-
(vm.4.9)
iy ,e
\p k )
,
iqarasi qabul etsek,
t =1i,.,.fir_o,l'
yazank. (V[I.4.9)-dan N
..
N
I r
=,p.K l- y
lr
-;;;1p.K
^T,k"y
k"erT
-
t e t,
ry"y. -
(vrn.4.ro)
ni hesablasak
+ iy 4y
t
e
y(iy, p" - m\ + 2( ply
iy uy4euQy,pi
+.1+2;Ey
a6
=-'p K p'k
''
I
4]-
uer]=
(vltr4'll)
alank. Burada
A=
_y
4k"e t,y
,y t,
_ 2(p . e)y
i
b -- -k,e yy py ,y o + 2iE'e
uT
o
,
Eyni yolla
1X
tr
=_L_+
p'k p"
ryrr.4,rz)
k
alank. Burada da
d.
= _y t y,k,e ty
o
_ 2(p .e)y
o
L
b = -y
py"y , + 2iE'e rT ,
drr. (V1I.82.8) formulunda elektron va pozitron spinina gdra
camlema aparsak,
156
4k,e
I/=XE,',
o.-o.,uuo,l
=#oe
ryu413)
ifadasini alank. Burada
'
C =(ip'uf u-m1fr1iy"p,+m1N (VIII.4.l4)
iqarasi qebul olunmugdur. (C)-dan istifada etsek,
2^
C,
c=(p k)',* (p'k)'
l, ,* (P'k)(P'k)
-jl ,.
'
(vnr.4.r5)
yazarrk. Bu ifadadeki C-lar
Q = {,t,f , -
p,
+
^14iY,
m)i
q=(,plr-*YIY"P,**1i
Q - 1rp,l, - *)dry p, + *1i "
1ry'rf u -
^14iy "
g
+
*1 A
(p
k) +
tayin olunwlar.
Me'lum
iy t e t, 'iy t e r, = -1, Y' = l, (ek) = o
qiymatlari nazare alsak va matrislerin izini hesablasak,
t
i,
--
+ 2r,E
-t1p
(
p
*111p' k) +
4) + | 4
p 4'?
tuEl - t q p' e)(@' k)(p'
[email protected]' ) +
2et)-
rfinz
(
e)
-
(ep'
)
p e)2
= -t1r1r11,.0'o)+tuEl-Wp^((p'k)(pe) - (p'e)(pk) +
+ tutr 1p )) + tQ [email protected]') + zEE)- t6n2 (pe)'
IzC=
.
.
he3=-tQpe)(p')(-(p'k)+(pk)-zrn'z -aEE-z(pfi)+
+ t4- o(Py' ) + E(p' b - f @ D)- Qk)(p' k) - n2 az -(pe1'z1p't<1-1p'e1'?1pt<1
(vtrr.4.16)
alank. Oger foton polyarizasiya olunmamtgsa, onda
altnan
l5't
ifadani fotonun iki istiqamatde polyarizasiyasrna g610 ortalamaq
oldu[una gil,:a, IzC -i tjnce h = 1 (igiin'
lazrmdn.
e
sorua isa
i
*(X
-- 1,2)
= 2 uqiin hesablamak lazrmdr' Yani
f,<rd''f,o'er)'
ve
f,kril{'*v)
cemlerini tapmak
garekdir.
e, = (1,0,0,0) va er(0,1,0,0) oldufunu nazare alsak
.1
'i.@r^\'
= pi +
l-r
tapank. Burada ,l
dikulyar
f
pi,i{n'"^)'
=
pi'
+
p',',
(a)
l=l
pi * pi kamiyyeti P
vektorunun' perpen-
vehoru istiqamatinde proyeksiyadrr' (;akil tr'8)
$akil II.8
z
Itw)'
t,t2
.
^
=pi+p; =lpl srn-u
= ..lP'l' sin' o'
f,@',,)'
i.=t
Bu ifadelerde
vektoru
158
0 va0',
ile x,x,
(vrII.4.17)
(vrII.4.1e)
I it" p u" p'arasrndakr
bucafidr' p
p
bucalr (fp)
m0stavisinda yerlaqdiyine gore
ila (k-p) mustavisinin
arasrndakr bucag olarsa, onda
4 =lil'ine
r,'=lPls;a9'
Pz
(vtrI 4 le)
=O
olar. Buradan da
prpi+
[email protected]')=
l=l
z
+
p,p; -lillp'lsin
rym.4.20)
q
o sin o'cos
ahnar. (a)-nr nezara alsak
o
*V4!
t? r.i = 8r"ll-'
(pk\" 1+8, - r,
\PK)
-
(4E'z
1
-
ffi{AoW'l
sin'e + F''
q2
1
+
(vrrr.4.2l)
-
sino sino'cose( 4 EE + q2 )
ar'71z]plp'lsine sing'cosq + p2
-
-
";n'
0')l
yaztlar ve onda
A=
i - n - n', (I'pl = arlpl"oso'
(rr')
olar. Ogar LzC,
= lPllrl@'s 0 cos 0' + sin 0 sin 0'cos
ve lzCr-de
.
J
-
-tg'ep!'1
lkP)'
9)
(eP)-ya mutanasib olan haddlari
aytrsak, altnan heddtrrin birincilarini
(Pt)'(P't) -Ya bolsek
-
<ip'l = alp'lcose'
(P'k)"ikinci
haddlari
EE'+to,n' +1pit-arl (Y:ltl4'22)
l(e'k)+08'-Gi')''
alar*. Enerji va impulsun saxlaomaslna gdra
4=i-p-i'
(vtrr.4.23)
a = E'E' =0
159
J
-ni
, = -S:tlko,q)+2E'2
olduEunu nazaro alsak,
*
@p1-rzf
uilt.4
:,4)
yazarrk.
impuls va enerjinin saxlanmasmdan
q,=G - p -
/)' =i' + p' + F'' -Ziq)+ld)
t')-D'z-lpl'z-n? =E +oi -hE-/'?-mz
@)' - n''
(vilr.4.2s)
=o'
+mz =o
va -p'-
E2 +
2(iD')
(VIIL4.26)
(ii')-at = -l+
i" -ri1'l+(pi')
2
Ntlt.4.27l
alda edarik. Bunlan bir-birinden gtxsak
m' =O,
i"
- az = o oldulunu nazara alsak,
A' = -z(il) + 2aE + 2p''1 - 2Gp')
+
yaza bilarik va buradan
-2
(kp) =
taparrk.
Bu ifadeni ,I -da yerina
yazsak,
impulsun
saxlanmasmdan istifada edib
t = -r1"P)' [zt'
Gpf l
-t2+ il,t" -i + + ')at| =
a
(vrrr.4.28)
=-W-:sE'-Q')
(kP)'
alarrk. Belalikle, fotonun polyarizasiya istiqamatina gdra
ortalama, poziton ve elektronun spinine g6re isa camlame
aparsak
jixxl",l'=
#*Ei
matris elemanmm kvadratr tigiim tapank.
Elekuon-pozitron ciltilnUn yaranmasrnrn effektiv kasiyi
r60
*,
do = \2,4'?
E'lt'l{;iI2l'ra,l'}aoao' (vrl 42e)
vaYa
76 = q2n)'2e
, r
,l
e'tptlpllplle'lllI ? )1",l'laaaa'ae
do -nin ifadasi q'-dan
yazrlar.
oldu-lundan
tp'
-a
asrh otmur dS)' =
gorc inteqrallama 27t verat'
;
shl'd?'drp'
=
" =#
incaqurlus sabitinin olmasrnr qcbul etsak' eleltron-pozitron
koslylnln
ciitiinUn yaranmasr hadisasinin differensial eflektlv
ifadesi
z
do=--(137)',,
zna'lsl
(E'
- lP'lcos0 )'
lrE-lFlcosot''
(EE'tri,)*' (E 2lFIlPlsin 0 sln0'cosrP
-lPltote'l
-lplcos0XE'
zllllp'lsin
,
-Zt'@
0 sin
a'.ot,, * lPl' t'n'
0
t]4-l'
ti{g
Yazlar.
b, Jtrt** Bete-Qaytler dusruru deyitir' Bu ifadeni bucallara ve
f -f" go." int"qraUasak, ciittin yaranmastntn tam effektiv
tam
kasryinialarrk. Elektron-pozitron cuttinun yaranmaslnln
elfeltiv teslyini, Kompton effektin tam kasiyi ila muqayisa
f".pa, cffekti;kieik enerjiierda usttinlijk dairdlgr a$kar
"ir.t,
olur. Bdyuk enerjilarda isa elektron-pozitron
prossesi daha mi.ihiim
rol oynaylr'
ctitilnun yaranmasl
or
miinasibatinin
=t
verir'
tacrubada dlgtilmasi nezariyye ila uzlaqan natica
161
$t3. Elektronun xarici sahadan sepilmasi
Sabit xarici sahade elektronlann elastiki sapilma hadisasi
bmek olarak hayacanlaqma nazariyyasinin birinci. yaxlaqmasr kimi
(Born yaxrnlaimasr) qabul olunur' Bu hadisenin sapilma
amplirudu
M
dr. Burada
i
(vltr.s l)
t =-ei(p')Au@)
=you- , A=Y uAu ve
_. I
Ato)=
a;fIAu(4)e'i'dd
(vlr'52)
olur. (V[I.9.I6)-ye gdra effektiv kasik
ao
- l6ttrrlu nl'aa'
yazrtrr. (V1l.5.3)-den elektrostatik saho
olanda M
,,-ni
M .n = eu.
yazmak olar va stxh[ matrisi ila
l>1,,f
=
f,l+<01'
uqiin
A = 4T t
(P')u(P),\(q)
=zkptip,h=
n <^
*
ifi')Y o@
+
iit)Y
rym s 3)
(vtrI s'4)
,rr.r.r)
o
ifade edarik. Ogar izi hesablasak,
!u{m+ii)to@+iilro=
=
!
4
P1rn + iit'11m +
= E'+m2
ararrk.onda o,
t62
fi)
= m'
-
PP'
=
(Vm 5'6)
-nF'=28'-T
="'l1l!l'
e(t-#y"
rym.s.7)
yazartk.
Ytik srxhlr
p(r)
olan sahanin potensiyaltm
.
4rLP(r)
(v1r.5.8)
q'
i;ara etsak, onun Furye PaYlanmast
I
-. =;)'
eG)
l
eG)e-'it67
(vlfl
s e)
olar.
Ogar Zz niivesinin Kulon sahasina baxartksa, effektiv kasik iigiin
do,"' =
E:
I\
/
r-*V"'
q' \ 4E')
4z2en
(vm.5.ro)
alank. Bu ifada niivenin Kulon sahesindan elastiki sepilme
diisturudur va Mott diistilru adlantr. Bwada q2 -tapma
-l
impulsunun kvadratldtr va
q' =(p'- P)'
kimi tayin olunur. q? -m
q, = 4E, stn= 1
(vtlt.s. t I)
2
yaza bitarik. 0 -elektronun sepilma buca[rdrr.
(VIII.5. l0)-da Yerine Yazsak
dor=
E2 |
4p, . ,o
72 en
(VII
5ll) - nt
(vlr.5.l2)
(vlu.J.lz,
2
deyilir.
dusturu
Rezerford
bunada
Qeyri - relyawistik halki,
alarrk
. E2 I
"-o Sora
da
o",rL..t)(V[.5.10)-dan
--= --;--; Otduluna
"* ----=
'ho
p2 mzv!
,,\
/
- =d6rll-v'sin'a
"l
2)I
dou
ahnar. 0 -+
z
yaxlagdrkda,
Wm.s.tr)
Mott ve Rezerford sapilmesinin
r63
nisbati
dou
doo -*lE'
yaxlagr. Buradan aydrn olur ki, Mott effektiv kasiyinin, Rezerford
kesiyina nisbeti , elektronun enerjisi arttkca, stfira yaxrnlagu.
Ultraretyatvistik halda (VII.5. 10) (E >> mc2 ) -dan
4o ,, =82=r"tro
-
E'e"
"in
(vm.s.14)
odo
alrnar.
Yiiksak enerjiter hahnda effektiv kasik daha tirnumi xarakter
va elektrik yUkUniin, maqnit momentinin fazada
paylanmastnt ve zaneciyin spina gdra paylanmastnt da ijziinda aks
etdirir.
dagryrr
Elektronlartn hadronlardan sopilmasi
Elektronlartn hadronlardan (giiclU qarqrhkh tasirda
$ 84.
olan
zarraciklara hadron deyilir) elastiki ve elastiki olmayan sepilmasi
bag vera bilir. Bu prosseslari qerti olarak (eN -+ e'N',eN -+ eX)
Eakil II.9-da gdstarak:
b)
a)
$akil
II.9.
Elektronlann hadronlardan sapilmasi:
a) elastiki sepilma, b) qeyrielastiki sapilma
$akilda cizgilanmiq sahe giiclU tasiri gdstoran hissadir. Bu
prosseslarin sapilma amplitudu a) iigiin
t64
..f
s"' = tz"l'i"'
x
"]M
lffi(;(k')v t'u(k\tx (vru.6. I
fl\
\f4p1r,te'
q-
o'lu(
(p' + *'
)
- p - k)
va b) iiqiin isa
=a'!
"id
,',"
figr'y,r{fr r)< xl7,,o,lN> 6(p
+
(-r
-Y)
ry[I.6.2)
kimi yazrlar. (VIII.6. I )-dan elastiki sapilmanin tape funksiyasr
,l
lp(p.p')=yrF,(q'l-fiou"o"FrG't
olur. Burada
F,(q') u" Fr(q')
(vm6'3)
h"dtonun Dirak ve Pauli
formfaktorlandr. F, (q2 ) -"t"ttrit yuktinun paylanmastnr
gostaran formfaktor, Fr(q') ise maqnit momentinin
paylanmastna
renzordur. @
uy[un galan formfaktordu.
isa antisimmetrik
i
t, = r(Y yY" -Y,Y u))
Dirak tenliyindan u(p) va
i1p'1o *q"u(il =
yaza
ou,
u(p')
-ir
spinorlarr tigiin
p'lhtp'
*
il,
+
zuY ul1r7
bilarik va buradan da
-T;l
itp tt,(p.i tutil=i@)rJr,+ F)"
*
P=p+p,Gu=4+FIGE =r-*o,
q(i
+ p\"
1(P)
rym.6.4)
F^a
;i=A;TM'1tuM-uE)
16s
iqaralari qabul etsak, (Vm.s.l)-a gairo eN -+
kasiyi:
??'-in
effektiv
e'li'lar'
1""' aa6(r'.. + t' - u - e \-)-x
,"'l
"2m"M'
'
E:E;
,l
c,.,t, tq, - z^, t *
I
!t94t-!!! | sl) e<rpyrl p1 - ! q, m, 1)
q'+
(vru.6.5)
olar.
rym.6.5) ifadasini Ej-ye gdra inteqrallasak
l.r.q'.,
I
L
l
f"1f).1#.#o:"r'11
,,4
o'
(do\ _* """
"o"'2,
1vul.o.o;
n="' = |
41t 137
laoJ. qolsi,,9(t+zE,
sIe\'"
-'-"' 2l'' u'"'
z)
alarrk. (V[I.6.6) ifadesinda olan G, ve G, funksiyalarr Saks
formfaktorlarr adlanrrlar.
(VIII.6.2)-dan qey,rielastiki sapilmani tayin edan hadron tenzoru
wN=eD'zDet -p-s)<4j"@\N ><Nlr,(of >
T
gakilindedir. (VItr.6.7)-den bu tenzoru
r66
ryrr.6.7)
, I
wp =wtG'.v)\- s*
*
;!r,
<r'.,{*,
-
yaza bilnlk. Bvada qz =
* s,q, l*
s- ).
(vnt.6.8)
; r,\,' - ; r')
-l)e'"in'Lr'v
= E'
-
E --
!!
(VIII.6. 8) -a gaira qeyrietastiki sapitmanin differensiyal effektiv
kasiyi
a
", "
=
1q2 v
ffi(zw,
)
sin2 ? +
w,
"
yaztlu. Wr(q',v) vo
funksiyalandrr va F,,
W,(qz
(o','l
F,
Wr(q'
o"l)4
,v)
ry III 6 e)
hadronlann
qurluq
formfaktorlarr ile alaqadardtr:
,v1= F,(qz 'x\' Fr{q' 'x\ = !W/l'
M'
,=-
'v\
(Vm.6.10)
2vM
"
(Vltr.6.9)-un nazari va tecrubi tadqiqi g0stardi ki'
(VIII.6.6) va
elementar
hadronlar elementar zarraciklar olmayib' daha
taqkil
;;;;;fl"t olan kvark va qlilyon adlanan zerraciklerdan
oirornug.. Kvark-ql0yon qargrhkh tasiri daha mtirakkeb xarakter
(Kvant
iri,^v".' ooi*," dztttitt"ti renkdinamikasr adlanan
araSdrrrlrr'
xromodinamitas,) yiiksak enerjilar fizikasrnda
3h
Spini i1 olan zarraciyin tabe oldulu tanlik Rarita
$ivinger tanliYi adlanarak
(ib, + m,)U
P'ru
,(p')=01I
p(P')
-
olur.
,|
t67
Spin hallarr tizra cemlame aparsaq
\u,1p'10 ,tt')
=
(vlll 6tt)
z
i
t
,
m'-ib'l^
1
+ -,ry,p't,-ytp;)+,--_,r I
="' -'i 16* -)y,y"
rm
3m
JZm't'
I
atda edarik. Burada m', spini
v+
11
olan zarraciyin ktitlasidir'
Nrlt *' N'tlrl1) kecidinin matris elemanrnt
L
\'./
MnN-N')=t+t1r,,(P')x
' Lqm '
,bq, (q' p, - ( pda
uT
rG,''
(VIII.6.I2)
4G' rf ,Rz p' +
1*' - m)' R u,f
yaza bilarik. Burada
Rr, = €,uxppex
Lq = (p" - Pi)'
Rt u,
(VIII 613)
= RurR*
Gc, Grva G,, funksiyalarr oktupol, elektrik kvadrupol va maqnit
dipol kegidlarinin formfaktorlarrdrr. Xiisusi halda
ci@\=c',(q'l=o
(vrrr.6.l4)
G) 1q'zy* o
olwlar. G'u (q2
)
formfaktorlannt
G;(s')
i.(o)
r68
6 ,,
=./:4,
YJ m"
.)
_
p=iJzp,
(Vlll.6.ls)
5
- pionun kiitlasidir).
N' ] N + y kegid ehtimahnr hesablamaq olar'
gaklinda segmek olar (rz,
Bu ifadelerdan
= F(q'z)N.(o)
kvant mexanikaslna
giire davrantql
$ 85. Neytron Ya protonun
Bellidir ki, Dirak tantiyi spin /2 olan elektronlart tasvir
edir. Spini 1,/2 otan bagka zerraciklari, elacada neytron va
protonlarrda bu tanlikla xarakterzo etmak mtimkUndiir'
Elektromaqnit sahasi oldukda elekhik yukU ila yana$t proton
va neytronlann anomal maqnit momentinin olmastnt nazara altb,
bu qargrhkh tasiri da g6zbniinda saxlamak laztmdrr.
Yuklii Dirak zarraciklarin elektromaqnit sahasi ila qarqrhkL
tasiri
(vm.7.l)
v,[email protected])
olur. Burada d -Dirak matrisidir' Maqrut momentl
zanaciyin siiratinin artmasr ila
nl kiitlasi
m=
-en_
=
zmc
-o
11
.
lv'
-a siira
-g
i,-e
artlr va v = c olanda Dirak maqnit momenti stflra yaxtnlaqr'
(VIII.7.l) ifadasini
3
w"^ =
-r),a,A,
rym.7.2)
P=o
qakilinda da yaza bilarik.
dr-ler
(Vltr.6.5)-dan tayin olunan
matrislardi. Ar-elektromaqnit sahasinin diirdolgiiltl vektoryal
potensiyahdr. Elekhomaqnit sahesinin antisimetrik tenzoru
Hu'
a4
OA,
a--
l--
(vm.7.3)
olur. Burada
H, -- H\tfl y =H,,,H-=H',
iE,=HopiE" = Hoz,iE- = Hot
t69
Ona gdra anomal maqnit momentinin elektromaqnit sahasi ila
qarqrhkh tesiri
w^ = p\a,,H,,
(vm.7. s)
I.v =(
qaklinda yazrlar. B:urada
dr, -lar Dirak malrislerindan olugan iki
ranqh tenzordur va (VII.4.8) --a g610
%, =
Pt\ = PPt, dzz= Pt\
t\, = -i pz\ = l
p2o t
d<)2
=
= P3o2, d12=
Pt\ = 9ro,
1 p2L, = 4proz,
(vrrr.7.6)
%t=jPz\:iPzoz
yazrla bilar. Belalikle anomal maqnit momentinin elekhomaqnit
sahasi ila qar$lltkl r tasiri
*, = ,!p.il+ p,ae)
Nm.1.'7)
H va E elektromaqnit sahasinin
intensivliyidir. Neytron elektrik y0ktina malik olmadrfr sebebi ila,
onun anomal maqnit momenti elektromaqnit sahesi ila tasirda olur.
Proton isa ham yiika, ham da Dirak va anomal maqnit momentina
sahib oldutu ligtin, onlarrn hamrsr birlikda elektromaqnit sahasi ila
qargrlrkl tasir daxiI olur.
(VIII.7.7) -dan maqnit sahasinin istiqameti neytroiun
herakat istiqametina perpendikulyar olarsa,
W_ = ltprorH, H, = H, --0, H _ =
rym.7.8)
yazrla bilar. Burada
H
yazartk. Neytronun maqnit momenti, maqnit
sahasina
antiparaleldirse, ahnan alava enerji
tr1lt1=
1t,n
(vrtr.7.9)
qiymetini alar.
Neytronun maqnit momenti, sahanin istiqametinde
y0nalmi$so, onda elava enerji
ds(Il = -tr,n
(VIIL7.l0)
olar.
Xarici maqnit sahesi neytronun spinini 9ox gevik dtinderer
va donma tezliyi
170
.. u(tJt-nrt11l =zp^a
_
."=--n_n\'rrr.,.ll,
(vutT lt)
tezlik (Vm.7.9) ile (VIII.7.l0) ferqina uyfun galen
tezlikdir. Buradan (H = lOaersted) neytronun maqnit momenti
ahnar. Bu
Ugtln
It^ -- -l,9L3tt
alda edarik.
(
eh
m
=J,
I "w.=:tm pc m ullo
Fo
"w"
(vrrr.7. r2)
|
= 1836,r 'u^' =0.50610-2m.
protonun k0tlasi, po -Bohr maqnitonudur)
Protonun maqnit momenti m0sbat olub, mexaliki momenta
paralleldir va
pp = +2,7928P
"r""
(vIrr.7.l3)
n0va maqnitonu vahiddinda qiymetin alrr'
Protonun maqnit momentinin iki dayara sahib olmasr aqkar olur'
onun bir qismi ;r, = I Dirak momenti, o biri qismi isa
tt^ = l,'1928 anomal maqnit momentidi. Eyni yolla delton
niivosi ugiinda
= +1,85'73tt "o'"
qiymetini alrnk. Bu qiymotlor tocruboda tasdiklenmiqdi'
Ito
Hal-hazrrda elementar zarraciklerdan olan hiperon adh
zarraciklarin maqnit momentleri (biperonlann spinlari
I
oldu[u
tigtln onlara fermionlar da deyilir).
1tn
= 4,73p. r,
px, = 2,'t \t
1t,
p' l1z
=
-l,05pP' lt= = 4,66UP
(vtrr.7.14)
= -l19ltu ' lt,.- = 1,l9t1p
qiymatleri alda edilmigdi.
Fermionlarm maqnit momenti nazari olarah kvark modelina g6ra
t7l
p=k>Q,6,
(vlrr.7. r 5)
-kvarklarrn elektrik yilkiidu) gaklinde yazrlrr. BUttin hadronlar 6
kvark va 6 antikvarkdan tagkil olunmuqdu. Hadronlann fermion
qrsmi u9 nijv kvarkdan, antifermion qismi isa il9 antikvarkdan va
bozon qismi ise kvark-antikvarklardan tegkil olunmugdu. Kvarklar
(Q
elektrik vo hiperyUkti elektron yUkU vahidinda kesir qiymatlera
malikolan (onlar reng adh ti9 dena yiika sahib olan obyekt kimida
qebul olunurlar) zarraciklardi va onlarrn qiymatlari:
Kvarklar
O(0\ ri\ t,0) ck\
22llll
' ')
u(it
' 1e(-1e\ (-
3 3
-
(- - ) 0(0) 0(0)
2 2' 2'
0(0)
0(0)
0(0) 0(0) 0(0) 0(0)
-1a111";
33
0(0)
c(e)
_ll
)')
1e
-1
(-1e)
0(0)
J
0(0)
+
b(b) - -e (-e) 0(0) 0(0)
55
t(t
0(0)
2
drdt -!et+!er -1r*1r -1,*1, 0(0)
3 3 22 22
s1s)
B(E) rd)
l(-l) 0(0)
0(0)
-l(+l)
0(0)
0(0)
))
0(0) 0(0) 0(0) 0(0) + l(-l)
) 1e(-1e)
33
drr. Yani, masalan, proton uud -kvarklardan, neyton ddu kvarklardan, A -hiperon uds -kvarklardan, S) -hiperon sss kvarklardan va s. teqkil olmuq zerraciklardi. Kvarklarrn elektrik
yUku u, d va s - kvarklar tigtin
112
o. =1,
,,
Qo =
,
gdra iisiin
",orurra
yuku UqUn
o
-1"
,r","';.;t""un
(v[r.7.16)
ve A -hiperonun elektrik
=(?*?-LV
3 3) =k
=uud
13
e,=duu=[-i-i.1)"="
[ 3 3 3)
(vm.7.r7)
e,=uds=[?-i-i]"=*
[3 3 3)
alank. Onda (VlI.7. l5)-i proton ve neytron ilgun yazsak,
l.r, = k(Q,o,
+
Q,o,
+ Qoo o) = k
tt^ = k(Qoo , + Qdo ,t + Q,o,'
=
-10
(vm 7 l8)
alank. Buradan
I
!-l=
It',
)
-!
(vrl7.le)
3
alde edarik. Bu qiymat, tacrtibeden miigahida olunan qiymatle
'
'
/\
Ial
\P')'*
=-o,68so4to,oooo3
rym.7.20)
krfayat daraceda yaxqr uzlaqan qiymatdir.
173
Miyonun Pargalanmasr
$86.
+ v p(k)
Miyonun pargalanmast hadisasi p- ( ; e- ( p') + v
"(k')
zayif qargrhqh tasir hesabma olan proseslaro an yax$l misaldl.
Onun invariant amplitudu
"'''
u = 9+b
<*y,<t - y stu(p)lb ( p' ty
"lz'
u1t
- y,)u(k)]
(vrrr.8.l)
ile tayin olunur. Bu
prosesin eni (parqalanma ehtimaltmn tars
qiymeti)
ar= jlr,rf aa
ifade olunur. Burada
dQ
(vrrr.8.2)
-invariant faza hecmidir. Bu hecm
d3!' a3! d3t'
a6=
- Qn)rzf Qn)'2DQtt)'2a ,*,aY,
x(
-a')x
o- o'-k'--k'\=-)-tz4!NE- E
(2ril5
2f
ful)
(v1tr.8.3)
,d(1p- p'-r'>')
yazrla bilar. E -- Po,a = t0 -miyonun
ve
p Deytrinosunun
enerjisidir, onu faza hecmi olaraq
1d3k =1anra1k2)6(a)
J
J%D
(vm.8.4)
yaza bilerik. Miyonun siikunet merkezinde pargalanmastnln eni
G2. o k'
* =#+#1fr^o'tm2
-zma'\x
d3
d3
, 6(^2 - z^e' - zma'
174
+ 2a'E' (l
-
fi)
cos
ryr.8.s)
olur.
rym.8.5) ifadesini
Qeyd edak ki,
t
.(y, i,y,
b
)=
+1p,,
p
alarkan
r, + pn pr, -
(p,
p,
-6pv
l
t,(v,o- v )i,v"(1-v )i,)= il,(v,it,v, fi,)+sie ypuo p,ppzo
r,(v, i,v
r,Q
"
kly
"
i,,\,0,
t,v i
"
i,\,0,
i,r "r,
) = zzlr., p,)( p, p )
b,v "v,
i,)
= t2f(p, p )( p,
+ ( p, p )( p, p
p
)
-
(
p, p
)(
)l
p,
p
ug'v,1i,,v,(t-v,\i,hzlv,$- v )i,v"(t -v )i,f=
= 256(p,pr)(p2l
t)
izlerin hesablanmastndan istifada edilmiqdir. 6 -funksiyasrnrn
xassesina g6ra
6(... + 2a'E'cos01=
yazarrq ve (VIII.S .5)-i
67 =
^2
u!-
0
-..I-61
20'E'
-.or61
-ya gdre inteqrallamrg eni
dE aa'a'm(m
2nr
-2to')
(vltr.8.6)
alanq. E' va cr' -l<cosO<l oldufuna gdra enerjilar
aldrlr dayerlari mUayyen edilir.
!*22
UgUn
o'<r'<L^
(VIII.8.6)-nr a' -a gfio inteqrallasaq
I
dl -nczr
'l
dE' a' lj-,
2
or,r,,.^
-^,r= 9i-^r r,r( ,-+e'l
t2xt \ ^ )
1vm.8.7)
175
)f
elda ederik. Bu ifada p -pargalanmastnda elektronun spektrinln
mUgahida olunan qiymetila yaxgt uzlagtr. Belaca, ;l -mezonun
pargalanmasrmn eni
,^12^dL,dE'=ur^.
^) s
n=1= tnf
dE,
r
(vm.8.8)
lg2x,
taprlrr. Ogar yagam miiddatinin qiymatini r =2,2 lOa
san
oldulunu qabul etsak,
cr=to5 L
(v[l
8e)
frP
alanq.
Zayif qargrhqh ta'sir sabitinin Gp, leptonlar va nuklonlar
Ugun eyni oldugunu gdtiire bilarik. Belelikle, Gp -sabitinin
universal oldu[u agkar olur. Bu da niiva va p -mezon
pargalanmasrnrn eyni tabiatli olmasr demekdir. Ogar e -elektron
va p -miyonun spinini nazara alsaq, onlann spinorlarl ilgiin
polyarizasiya operatorlart
.t\, = u.i, =
]I
D:*
t.
Zm,
tr *
r,S.l
(vltr.8.10)
t b.. +
tr,=u,i,=)ff{r*r's,l
m..
yazmak lazrmdr. Burada
Srrr, -dir' /5 matrisi
S. u" S, uylun olarak, S,tf u
7r2 =
va
1
rs(l-7s)=-61'-Ys)
(-y)2 =2(r-y)
fsYp=-TpTs
l'76
(vrtr.8.ll)
miinasibatlariniD 6dayon matrislardir.
(VIII.86. l0) ifadasini nazara alsaq,
pargalanma ehtimah
(V[I.8.2) dtsturundan
-",'" d1 p- lp, -m,s.),(pr, -mrs)p(k26rp
,tl="r G2.
3 1Y715 E,E u '
+ZkokB)
(vlu.8 l2)
olar. Miyonun siikunatda olmast hahnda
k =rto.k-).ko =mu
- E,,.i =-P,
ve spinorlar 09iin
s, =(0.ir).s.e
nt ,=F*
=-;, t"=E"*
,r.(L +^")
p(pe")
({" -elektronun stikunatdaki polyarizasiya vektorudur) oltnastna
gora, (V[I.8. l2)-da yerina yazdrqda, ehtimal (p - ,,
u)
"u
6
=-Ei
3(2n15 m,
aa,ll"ldE"{^',
+
o! -zmro"
- pj)x
- '1
t
_
/
,lte,-p"{t,,,,*,,,,1
i,--"1 -JL)p,"
lp. Ix (vnl.8.l3)
'
-\
'
m!+L(
) J
L
xluzu-rruo, -^u{i"€ul
olar. Miyonun kiltlesi mu = 1964" oldulu iigiin
i"
= E"fi
i
miyon siikunetde olanda elektronun harakati
istiqamatindeki vahid vektordur. Onda pargalanma ehtimah
yazartq.
t77
* =#
xlgm, -
*
*,lp.Ve,o - nh e,,4, *
+o,1 + 1m,
- qo ">aEl
ddl. =
(vtrr.8.14)
sinl
"d0 "tttp,,
taprlar. Oger neyniontar bir istiqamatda gtxarsa, elektron onlann
eksina amale galar, yani (9okil II l0)
T"
p'
-}
elspini
gOsterila biler
$akil.
[.10 p-
-pargalanmasmda
eyni istiqamatda yaranan
neytrinolar va onun aks isliqamatda olan elektron yaranar'
Yaranan elektronlarrn enerji ve impulsunun maksimum qiymati
E" (max) =
(m;, + m; )
-::-Lm,,
(mi, - mi)
P
olar.
178
"\maxl
=
-;-!
t,,
(vrn.8.rs)
$87. Ikinci kvantlanma nazariyyasi
ikinci kvanttanma nezariyyesinde eyni zarraciklar sistemini
miia)ryon edan tam sayda fiziki kamiyyetlarden har biri ferdi hatt
xarakterza etdikde, asth olmayan dayigan olarak bu haldakr
zarraciklarin sayr qabul olunur. Her bir fardi hal Uq alrrltk
markazinin harakarina uy$:n I.,Lr,\ deyiganlari va S spin
dayigani ila xarakterze olunur. Disket spektr hahnda bu
dayrqanlari {t,,tr,tr,S} n ile srralamak olar.
Ogar koordinat tasvirinda N eyni zarraciyin sisteminin
t-
\
dalla funksiyasr til(f'fr,..,I.rv,rJ olarsa, onun tabe
oldugu
$riidinger tantiyi
n!
yazrlr. Burada
=
{2n
r;rr *
i
(vrrr.9.l)
wr'^, ;, i},r
^h:
ft1ir1=-i_Vi+U(i*)
k -zaneciyin kinetik
lm
enerji operatorudur, U (ir) , t -zarraciyin xarici
potensiyal enerjisidir, W(7L,it) ise t va j -zenaciyin
tasir enerjisidir. L tesvirinda (VIII.9.l) tenliyini
sahadaki
qargrhkh
._d
ih:
c(m,m,...mr... m,..mn,t) =
=
ll
n
^,",c1^tm,,..
r1,.. m j.. rn N,t) +
(vrrr.9.2)
+>>>w.,,",",", (4, i j) C (ry,.. t t,.. n,...m *t)
yazmak olar. Burada
t't9
n
w.,,,,,
,,,,(io.i,)
,,,,,, =
=
(vu
lv.-,1t,)a 1;^1tY,,,grYt,
lvi,,G)w),G1)w
(7k,r jM,r(i^,1tr\rv
^
e 3)
(i,)tltit,
emsallart sistemin m,m2," nt o haltnda olma ehtimaltm
xarakterze edir. m, -lar evezina bu hallarda otan N, ' N" ' N,,,
C
zerreciklarin saytndan istifada etmak olar' C(N,
amsah c(m,m2,...,m N...t) amsaL ila
1c1ru,
1u,...1u,,..., tll)
=llc@,n"...*
*
,
Nr, ' N, '')
J)l'
rym
e 4)
c(m,m,,"',mr " t) -larin
iigiin mr = 2, N. uqun mr = 3 ve s
geklinde ifada olunar . Camlama biitiin
N, tigiin mr = l, N "
qiymetlar almastna uylun galir' Yani
1cirv,,v....w,,...,,1= =
;;*fr.,_
lc1m,m, m,
t
)12
va ya
N!
c(m,mr..mn,t) rym.9.5)
lci,v,lrr..-rv....,41' = N,lNr!...19.!...
olar. Zerreciyin saymdan astlt olan funksiyant
.hilc(N
,N ,,...N
dt
...r)
=
tanliyindan taPmak milmhindiir.
r80
nC(N,N,,...,V...r) (VlI.9,6)
Zarreciklarin sayr N, , N, ... N,, -den asllt olan funksryaya
tesir edan oPerator olarak, udma operatoru A, va yarunma
operatoru
2i
-dan istifade olunur:
A v(N.N....N-...N-...) =
Ai,W (
N, N,...N
I
_-Vt(NIN
JN, +I
r...N,*, ')
I
^...N ^...\
-+ (N, N,...N,-r...N,,...)
(VIII.9.7)
{1v,
=
Vt
,i,ry(N,Nr...0...N-...) = 0
Operatorlar
i,
ve 6i
h'6 =N
tt'ai=11
"*1
6^hi-ala-=6^,
(vnr.9.8)
mUnasibetlarini Odayen operatorlardt.
Oger N sayda fermiondan ta$kil olmug sistem iigiin
udma va yaranma operatorunun (Mtr.9.8) miinasibetlarini
yazanksa
a;4"=N'
A,a:=FN^
ryIIIee)
6.di+616^=6^,
olar- Belelikla, bozon va fermion sistemleri Ugiin udma
va
yaranma operatorlart uylun olarak
l8l
aty(N 1...N,...N.. I =
N
"..
N
(vrrr.9.l0)
)=ffirt"r'N,r,...N,,...)
a'v(N,...N^...NAv,(N t..
]f,,rf
u,...N,-,...1v,...)
^.
)=
t#,/(N,..x,-,..fl....)
(vrrr.9.l
d' ty (N,..
N
N
^..
^...)
1)
...N,,l.. )
=1
JN=,/(N,...N*,
yazrlrr. Onda (VIII.9.6) tanliyinda hamilton operatoru iigiin
a
=
| ru*a;," * )22":"."io.,w,,..,. rynr.e.
tapank. Yani sistemin hamilton operatoru udma
ai
a,
12)
va yaranma
ifada olunar. (VlL9.l2) ifadasine ikinci
kvantlanma deyilir. Bu ifada (VItr.9.1) tanliyine eyni tanlikdir va
N sayda zarraciklar sisteminin, zarreciklarin sayr tasvirindeki
tenlikdir. Bozonlar va fermionlar sistemi iigtin udma va yaranma
operatoru uy[un olarak
operatorlarr
ile
a,,ai-aia.=6^,
(vrrr.9.I3)
a^ai+aia^=6*
mtlnasibatlarini Odayan operatorlardt.
Harmonik osilyator ilgun 4' ve a operatorlarrnt
r82
, =ml[rc-,
r-,,HrJ
(vrrr.9.l4)
segariksa,
'=hle'.'Ei)
a.a=;\ff; ,[#\ff,,[#)=
=
;rl+
r . jo'
.'ffF'
- u')] =
)-n
ha2 -lr
alaflk. ( 1 -vahid matrisdir). Eyni qayda ila
I
I
...
au =-H +:-l
ha2
tapank.
Demeli
,
a'a=)-,
ha2 -!,
aa'=r H+LI
ha2
olur. (V[I.87. l5)-dan Hamilton operatoru
n
alarrk. Ogar
a'A= N
(vrtr.e.15)
tlgUD
=)(ra*aa')
2
(vrtr.9,16)
qebul etsak,
183
fia-a* =l*al=-a
Na =
a(N- r) n'a. = a.(lt * r)
yazank. Buradan koordinat ve impuls operatorlart yaranma va
udma operatorlarl ila
.ln l---;+ a)
x = -l-{a
\2ma'
(vrrr.9.I7)
. 6,* ^ ^, )
P=_il_@-a
elaqade olur. (v[I.9.17)-nin ikincisindan (VIII9'15)-i nazara
alsak
*
yazrb
=
^r. =or^("-r)
/ r\
e,=n'.11ln+=l
"
2)
(vlll.g.18)
1-citideki
(20 14) diisturunun
l
enerji qiymatini taparrk. Buda
i.izarina dli$iir.
Belelikla, ikinci kvantlanma nezariyyesinde eyni
zarraciklar sistemi otarak, qr sahasi gdtiiriiliir va bu sahe operator
ry kimi qebul olunur. Operator t/ , zenaciklarin yaranmasl ve
mahv olmastnt xarakterze edir. Ogar igrlrn kvantlarr (fotonlar)
yaranma ve udma prossesini eks etdirarsa, onda igtitn udulmasr va
buraxrlmasr prossesini izah ede bilarik. Ona g0re elektronpozitron ciitthtln meydana galmesi ve mahv olmast, nilvalerin
pargalanmast, mezonlarm pargalanmasl va yiranmasr ve s' bu yolla
araqdrnla bilar. Bu nezariyya esastnda sahenin kvant nazeriyyasi
va kvant statistikast yaranmtqdt.
184
$88. Elektron -pozitron sahasinin kvanflanmast.
ikingi kvantlanma nazariyyesine g6ra ortonormal
funksiyalar olan hal vektoru
,1,
=Lb,i,v,it *6<rtr.<*t)
(vrr.ro r)
l<
tasvir olunar. Onda hamilton operatoru
ru
ifada olunur
=l\eftaf\af\
jk
". af),a(l)
(vrr.ro.2)
operatorlarrnr e,(t) enerjili hallarrn
srxlrfr-nr muo]yon eden operatorlar olarlar. Operator 6*(k) 6(r) -
mn mexsusi qlymeti
nll)
tam vo ya srfrr ola bilar. Boze
-
Eyniqteyn statistikasrna tabe olan sistemlar Llgun
6l{*)6tr(t
-
aqt'\ar(k,
=
6u,6
ii
-O
6l,t6rrit _a+'ta,(k\
(VIII.10.3)
*(l') ^'(l') ^*(t)
^*(t) aj;
aj
-a j; ai =v
^
Fermi-Dirak statistikasrna tabe olan sistemlar ttgUn ise
Ar,ot
A.,u, + 6.,!k't 6a = 6 u.6 ,i,
A\kt6t*'t *U'otUtu
A,0t A.a't +
6.,1k't
-O
6.txt
(Vm.10.4)
-,
miinasibetleri 6danilir.
hal vektoruna uylun olan va Dirak tanliyina giire
f;
elektron-pozitron sahesinin enerji operatoru
u = !l-
i
rn,O.
fr1fr g' 1x1 + mc\i
r
(r) p,,0 (lohu
om.
r
0.
5)
185
olar. Elektron va pozitronlartn tam sayml ve tam ytikunii
miiayyanlo$diran operatorlar
N=
!w'{it<ia,
(vm.10.6)
A="lv.G\yov,
tayin olunur.
Elektron-pozitronlartn saytnln va
dayigmesi herakat inteqrah oldugu tlgUn
yiiliintln
operatorlarln
th#= fifr -r* = ftal=o
(vu.10.7)
th#=OH -nO=lOnl=o
tenliklarindan, onlann saxlanmasl ortaya
qr*r. H,N ," 0
operatorlann mexsusi qiymetini tapmak ugiln r/ va t/
operalorlannr Dirak tanliyinin sarbast elektronun hellarinin strasr
kimi g6starek:
+
0, {t,t1 =
,,i.,
burada ay va
u|
a
r,{t)",.r.,(i
G,t) = La;.1r;u;r.
)
trl
rym.10.8)
rnustavi dalladrr
u
i,r,t
*
u j,t.t
186
\
=
c
i.t,t
I
-6e ii,
JN
I -ii;
=c j.*,tVe
(vrrr.l0.e)
i =L-a*.u
h"
hallin s =
vektoru, c;-lar isa dallanrn amplituddur. Burada
t- I
spin qiymatinde milsbat enerji saviyyasina
2
r,u=*r[1nTt'*r]/1
uyfun olanr, hallin
s=tt I
(vm.l0.l0)
spin qiymalinda manfi enerji
saviyyasina
uy[un olanr
Eo = -r!1h2c2k2 +m 'ro
gelir. Dtird komponenti spinor uj
x,.0.,
)
(vm.l0.lr)
(r)
ur,*.,(x)
ur.,(x) =
ur,r.,G)
(vrrl. t0. r 2)
ur,o,,G)
matris ta$krl edir. Onlanu har biri ortonormal gartini ddeyan
l[
u)r,(x)u,.,a,'(x)dv =
5u,6,.. (vI[.10,13)
J
sistem olugdurular. Onda hamilton operatoru
n = lal,{t)o
r,,,
kk
ss'
yazlar. u
r,
l,i, afi* A - ^r' prl i,,,dv (vr.
r
0.
I
4)
spinoru Dirak tenliyina tabe oldugu tigiin
-\{irna,,v
- *c2 4)(J *,,,(x)
= Ep,,,u,7,,,(x) rym.10.15)
I
(V[.10. l3)-den
t8'7
r = Iv'
n vav =
6
Jrlr* t;)oot,, i.,v
L
t,s
(7)E
pdv
(vlr' l0 l6)
alarrk. Burada enerji E menfi qiymatda ala bilar' Eyni yolta
(V[.10.7)-den zerracbklerin sayt N va yukii O ugundo
ru =
O -olar. Oger
0
,(i,t)0
LJrllo'
(.)a 1,6i,VQ)dv
(vm.lo
"2ts lv- ti>hr,ai,\r(i)dv
0 ,. 0*
operatorlal iigiin
,(7' ,t) +0(i',t)t0 t(i ,t) =
=0;(i,t)0i(i"t)+0i(iJ\i;(r,t)=o
,i
17)
j(i,t)0; (i' ,t) +rii
(i',t)yr ,(i ,t) = 6
(vru'r018)
ii(i -7')
qartlarinden istifado etsak, (VU.10.8)-dan
^* ^1..+h!.,a!
.,it'vks
ais(li,s, + alsak's' -- airoi'{'(
=o
-v
(Vm.l0.l9)
6orhi,r, + A!r,r,hi, = 6ru,6rr'
taparrk. Buradan kl,tt1, =0 ve ya bir olar' onda
operatorlartnln maxsusi qiymatlari
E
n ut Q
=\Er,ni,
ts
Q='Lni,
(vu.lo.2o)
ts
olur. Burada
rtl, = 0
va Ya I -dir.
Manfi enerji seviyyalari ila ortaya grxan gatinliklardan
yaxa qutarmak ilgiin mllsbat enerjili saviyyelerin bog olmastnt va
manfi enerjili saviyyelarin hamrstntn isa elektronlarla tutulmaslnl
188
n )' =n?t r =g.'91 ='!a) r =l
* .-,
k -k.-.,
qabul edirik. Yuni
olut u'
k
manfi seviyyada olan elektronlar mllgahide olunmurlar' Mu$ahida
olunan vahiumdan (mtlsbet saviyyelarin bo9, manfi seviyyalarin
dolu) olan farqlenmalardi. Ona g0ra da (VI['I0 20) ifadesinden
enerjinin ve ytikiln vakuumdakr qiymatini
tl
Erak
Ei.,ieuo*=>1,"
J
r ,=-;
I ,=_l
=>
(vm.l0.2l)
grxmak lazmdtr. Onda m0qahida olunan haltn enerjisi ve yUkU
E
^u,
f.t
*I
ryIn.r0.22)
I
e^,,=,>l t,^u,-f";,1
i
drr. Burada nli,
l,=-l
,=-l
L22)
=l-nir-di,,
menfi saviyyaler doludur
ni-',,
va n'i, =l
I
=0
olut, s =
*-I
hahnda
2
olu' menfi saviyyelar boq
'
<deqito> (pozitron) . yaramr' .Demeli'
alnrr
ki, miisbet saviyyadekr elektronla
(Vil.10,22) ifadasinden
birtikda, manfi saviyyadaki musbat yiiklu <degik>, yani pozitron
meydana grxtr. (V[.10.22) ifadesi g0starir ki, pozitronun sukunet
ktitiesi elektronun kiitlesine baraberdi. Pozitron, sistemin enerjisi
olur, yani vakuumda
2mc2 = lMeV olan fotonlan uddukda yarana bilir. Betatikla,
(VI[.10,22)-a g0ra mu$ahido olunan enerjinin qiymati milsbat
olar va bu enerJi qiymeti btitiin elektron va pozitronun enerjileri
camina barabardir.
189
$89. Serbast elektromaqnit sahasinin kvantlanmasr
Elektromaqnit sahasi iki xusisiyyati olan sahadir. Onga bu
sahanin kvantr olan foton, srfir, sukunat kutlaya malikdi ve bu
sahe enina saha oldulu iigiiLn fotonlar muxtolif spin hahnda ola
bilerler. Elekhomaqnit sahasinin vektor-potensiah Ap
dOrdkomponentli oldugu ugun, iki halda real fotonlann olmasr ile
yanagr ikr halda da alava dinamik deyigena uylun olan hahn
olmasr lazrmdrr. Ona giira elektromaqnit sahesinin enina olmast
vacibdir. Eninalik qerti
(vr[.u.t)
kuA, =o
dir.
Elektromaqnit sahesinin tasir inteqrah
r
=-fi!r,r,uao,
ile
Fvy =
lAu a4
lru
rym.lr.2)
0*,
xarakterize olunur. Bu saheya uylun olan iimumila$mig impuls
=-+[9-P]
Stricl}xa
e"P
a*y
(v,.r3)
)
olar. (V[.11.2)-dan tasir inteqrahnm minimumluk gartine gOra
serbast elektromaqnit sahesinin tanliyini
ar'....
'Y
o*u
=0
(v
alank. Bu tanlik Maksvell tanliyidir.
(Vltr.]
190
1.4)
tenliyini
=1,2,3,4) rym.ll4)
0F,l
0,i=o
aF4r
l
L,., =r.r.r,
aF-r
(vm.ll.5)
0ro 0,^=olI
yazarak,
(V[I.l L2)-ni
+
nezara alsak,
(VnI l l 5)-i
#[#,-#^)=,
vo ya
"
yazank.
(V
'"\=
aa
vltr.1r.6)
a+arr"o
.I 1.6) tanliyinin helli
laa
il" =---4,
vt dxr 0x, "
I
arr.
-iv"
Buradan
(vltr.11.7)
inteqral operator otub, Gree funksiyasrna uy[un galtr'
(VItr.l L3)-a g6ra
F*
aa^a
-ilo' = K*ilo^
=tAr
(vln.rl
8)
haradakr
k*^=6*''-la-L
vz }xp dx^
alarrk. ip, operatoru A = (#'rA2A) vektorun elektromaqnit
dal[asrnrn perpendikulyar istiqametdeki miistaviya proyekiya
operatorudur. Bu gOstarir ki, A -nrn ilg funksiyasrndan
asrholmayan ikisi qalrr. Demati, 4-0l9ulii A, vektoru iki,
asrholmayan funksiyalarla teyin olunan
i1
-a
gewilir'
l9l
t^
l-dxt
ile Ko-
kommutasiya etdiyine giira, (VIII. I
K
4k =
a^
a
1.8
ai
K
;dxa
dxt b^A* = i,
)-i
(vm. l 1.9)
yazmak olar. Burada
tf = k^oto
(V[.
] 1.8)-a gdre 3-6l9UlU vektor-potensiyalt
(vI[ Il
l0)
i
A= AL+ At
ryIfl.ll.ll)
tesvir edarik. Burada
AI
=k-4
(VIII.tl.l2)
, tr I
^t
drr. Onda
F*
=+
=
Fi
*r"A^
+
Fl],
rym'll
,, =ol[
- ar,-a4'
drr
13)
''o
(vm.u.14)
r, aAI' aAJ'
""= an- o*r
ahnrr.
(VItr.ll.l3) ve (VItr.ll.l4)-a
asason sarbest elektromaqnit
sahesinin laqranjianr
l,-
.2
' 'l
yL]
+zrva?r-z}ggl
L = -J-l{
' 7*dxp dx1
tor
[axr J
J
r92
ryn r u5)
olar va burada da
e[ la l!
Af
va A2r funksiyalan qalrr, gtinki Arr haddi
tayin olunur. vektor-potensialt
i
-nr
mtlstavi
dallalarrn srrast kimi tasvir etsak
l, =lll; ,r''i--t * 7;-1" ttit'"tl U =1,2,3)
yazarrq.
Burada
e!"'
Kn
=(A ,,
k jku
l.'
k2
)a!"
o"
)
(vIL r l.l7)
(a-'r'r)=o
olur.
(VilI.l
l.l6) ve
(VIII.l 1.17)
Io]
enine qtittibla$on mustavi
elektromaqnit dal[asrnr xarakterza edir.
Yani
irJ
vektoru ila
I
vektoru bir-birilerina perpendikulyardr.
Vektor potensiahn amPlitudun
a,,,jt
''k.
segarek,
(
el,
kt
\
-PolYmizasiYa
[email protected]=i,ict)
(kr,rp
- @7v,j,ot,,
,*V o,
I =r,2
(vn.u.l8)
vektorudu)
qiymati
va
aldrlrndan
=if -n,)
r93
2 E*,]
el' =I.1,.|"'nl e'.!.)latl'"ik'
o)kv LI \
Kt
77=r\
+
o'o;'"
ik'
\
)
(vrrr.I Lts)
olar. Farz edak ki,
ufi,
=
d,
dilarsa, x1 , -r2 k-ya perpendikulyardrrsa va onlarda bir-birlerine
perpendikulyardrrsa, / = 3 hah uzununa polyarzasiyaya uylun
galir. I = I,2 isa enine polyarzasiyaya uy[un olar. Onda uzununa
va enina polyarzasiya
lo
t =r,z
kt t'[|kl /=3
"U)tk,t=),-,
(vn.l
r.20)
olanda, polyarzasiya vektorunun ortonormalhk garti Ugiin
"ff'"ff' =6u" "ff\"*)
=5',
rynI
ll2l)
yazrlar. Hamilton operatoru isa
, =|Ei,rG',;,
277 ^' r al, + al;)afi)t Yrr t
zz)
olur.
Elektromaqnit sahasinda kommutasiya mtinasibatlari
lA;,0 o,l= inou,,
h*,.*']=
kt, o[ )= o
o
drr,Burada
;'o --Eii
at
gartini iidayir.
Onda sahanin operatorlarl ligiln
194
(vu
ll.23)
h pai.,.l=
6
;1,d ,,'
(,III rr 24)
li,,u,;,)=h;ri., ]= o
aItnar.
-
(VIII.l1.24)-a gtlra elektromaqnit sahasinin enerji va impuls
operatoplal
l>,f,
2?,=,
H=
orur,i
=n2irr(a;a*,
k
; =tr
t=t \
i,
+ hf,a 7,) =
*ll
')
h
s.'2
-,
Lianhi, + di,ki,) =
27i=,
--h>iattait
k
(vm.1r.25)
olar. Operatorlar 67, va hlor-uzununa fotonlann udma va dofma
operatorlan adlantr.
(VIII.l1.25)-den
2 t
i\
E=rllai,,,*1I
L,t L,t | \t
^
z)
t t=t \
I
(vm.
.26)
2
G=h>>En,
'
alarrk. (VItr.11.26) di.isturunda
hal
ni,
t ni, impulsu
ftt- va enerjisi
olan enina fotonlarrn sayr olar. Bu zaman sahanin enerjisi
nit = 0 olanda minimum olar. Yeni, enina foton
enerj
olmayanda
i minimal qiymet alrr.
195
$ 90. Yang
- Mills tanliYi
Dal[a funksiyasrnr lokal ayar nazerilyesinda (lokal-kaliba
olunmug nazeriyyade)
vr --+vr' = sid'(')T' v'
1a1
(vtrr.12. r )
dr, faza a(x) ntiqtadon-ntiqtoya deyigir va
tlr'G\ = a(x\VtG.)
yazmak olar.
a(x)
o(x)
gevimresi
{,,
(Ytrl.12.2)
izotopik spin operatoru va
ila tayin olunur. Onda laqranjianda @ ppt)*@ ty/)
haddi ortaya gtxr ve laqranjianln invarianthlr pozular. Bu zaman
o(x)= eia"(x)r. oldulu iigiin
fazast
0,ur -+0,rtt + iTada?)a pvt + iToa Lq(/(x)ur (VIII l2,3)
g6re alava ayar (kalibina)
olunmug Afi(:) sahasi yarantr va bu sahe dd(-r) parametrino
yazrlmahdr. Burada sonuncu hedda
g6ra sekkiz komponentli sahe olur. Onda invariantllEa gOra
DuwG)= D'uvG)
(vlr.l2.4)
olar, haradakr
D'r=0r-is,Ar=0,
- is,lo)@e,o)'' tr) n _Lrtr)a,r'tr)]
(vrr.l2.s)
drr. Burada ayar sahasi
A'p(r\ = Aft?)ro
drr ve To
I
=:la
olduEuna gora
F,'ruj=,Iou,T,
t96
(vIIr.l2.6)
rynr.12.7)
qurluq
mi.inasibati ddanir' /o6. -har iig indeksa Bdra antisimmetrik
sabitidir.
Faza deYigmasi
a(x)=l-ioa?)Ta
'
ryru.12.8)
olduguna gdra
'
A'r(x)=
AuG)-id,(iA?)V.'tul-f,r.a ua,(x) (vltr 129)
va ya
A';
=
Ai' -
I
obcAid c(x\
-
T*J;
yazarrk. Yani
A'; =A'u-6Ait
olur. Burada
6Afi
dir.
=-fo6"Af;a,1x1'J-'O,ao{x) (vm l2 l0)
ogar
(Tt) = tf otc
olarsa
olar.
Drao(x)=d uaolx)+ g,f o6, Abra,(x) (vm 12 ll)
izotopik fazada U96l9tilu gevirma ederiksa (a'b'c)=l'2'3 va
qwlug sabiti fabc = €abc antisimmetrik tenzor olarsa
G,"
'
-
G;'
=Gi,T"
=a
'4
-a'Al
ryll.r2.12)
+
g";'*'AXN
elda edarik
Bu sahanin laqranjianr
t97
r=-lafi'cfi'
4
invariant olar. Oeer
1 =16.
2"
(vu.l2
13)
olu.ru,
Afi = tzAuo
ahnr ve
'
Izo oo 6 -- 26 o6
$artina gora
I
L=':GvvGpv
(vm l2 14)
olur. Bu sahanin tanliyini tapmak iigtin
ALAAL
aAf,
Laqranj
-
dxv dAfiv
Eyler tanliyinden istifade edarak
duGfiu = s ,e,6,Gbp,
Ai
rym.12. t 5)
alank. Bu ifadani
D,Gfi, =0
kimi yaza bilarik. Yani
(V[.l2.ll)
ifadesine gdra
DuGfiu =ouGfiu + g,eoi"afGfiu
--0
rym.12.16)
tenliyini alarrk. Bu tenliya Yang - Mills tenliyi deyilir. O,
qeyrixattli tanlik olub, ayar qillyon sahasini xarakterza edir, Bu
tanliyin Odediyi qiilyon sahasi Oziinti, foton sahasinden farqli
olarak digar qlllyonlann menbai kimi biruza verir. Qillyon sahasi,
qulyon sahasinin va hemginin kvark-antikvark sa\asinin manbei
ola bilir. (VtrI.12.16) tanliyinin hadron fizikasrnda rolu
bOyiikdUr.
t!8
gox
$91. Elementar zarracikler va kvant mexanikasr
Qa[dag fizikanrn gox miihiim sahalardan biri elementar
zeneciklar fizikasrdrr vo onun asaslnl kvant mexanikasr tagkil
edir. Elementar zarreciklar fizikasrnrn (ona bezan yiiksak enerjilar
fizikasr da deyilir) butun xassalari, onlarm davramgr, yaranmasr
kvant mexanikasr qanunauylunlulu ile tayin olunur. Tabiyyotdo
hal-hazrrda 200-dan 9ox elementar zarracik m0gahide olunmugdur
va onlar arasrnda dtird nOv qargrhkh tasir mijvcuddur:
(intensivliyi - l0-r8)
l. qravitasiya tasiri
(intensivliyi - l0-i3)
2. zaiftasir
3. elektromaqnitiktesiri (intensivliyi- l0''?)
(intensivliyi - I )
4. giiclil tasiri
MUqahida olunan zarraciklari ii9 qrupa biilmek olar:
a) Leptonlar
b) Hadronlar
c) arahk bozonlarr
Adi
geraitde
zenaciklar
arasrnda qravitasiya
tasiri
yox
darecasindadir va onu ilkin olarak, nazera almamak olar.
Aral*
I
bozonlar
-kvant (foton)
mt <3.10-33 MeV
IUt -bozon mw = SlGeV
Zo -bozot mz = 92GeV
g
-qtilyon
mt <5.10-14 MeV (tebiyyetda helelik
taprlmayrb)
elementar zerraciklar arasrnda elektromaqnit, zayif va giiclil
qargrlrklr tasiri Otiiran zarreciklardir . Zayif va elektromaqnit
qargrhkh tasira maruz qalan zarraciklara leptonlar deyilir va onlar
Dirak tenliyina tabe olan zarraciklardir. Leptonlara
r99
elektron e-, m, = O.SMeV
mtiyon
tau
P-, mu = lO6MeV
r- , mt = l784MeV
fru, <O.ONISMeV
",
miiyon neltrinosu m," < 0-5MeV
tau Deltrinosu m,, <1OMeV
elektron neytrinosv
v
aiddir. Hemcinin onlartn anti zarraciklari
e*,1t*,t',i",iu
va
7, -larda m6vcuddur.
Giiclii qargrtrkh tesirda olan zarreciklera hadronlar deyilir
ve onlartn sayt goxdur. Maselen, proton m p = 938MeV ,
netfion m, =940MeV,
N-
hipe.on mt
=lll\MeV,2-
hiperon nx = llg3MeV , E=l3l'lMeV,Q
ma=l672MeV,Ai -hiperon mn, =2285MeV,E]
m=: = 246OMeV va
-hiperon
-hiperon
s. hadronlara aiddir'
saxlanma qanunlarl
iidenilir va yUksak enerjitar halnda elave saxlanma qanunlan da
Zarracikler fizikasrnda balli olan
meydana grxtr.
basit
Hal-hazrrda b0ttln hadronlarrn 6 nOv kvark adlanan daha
qeyri adi zanaciklerdan tagkil olunmast taprlmrEdr.
Zarreciklerin elektrik ytikunu miiayyan eden izotopik spin (I)
hiperyukunu tayin edan acayiblik va ya hiperyiik (S va ya Y ),
maftunluk (C), gozallik(b) ve tebiilik (t) hallanm m0eyyan edan
kvant edadterinin saxlanmast milqahida olunmuqdur' Bu kvant
adadlerina uy[un olarak up-kvark (u), down-kvark (d), strangekvark (s), charm-kvark (C), beauty (boftom)-kvark (b) va
top(truth)-kvark (t) hadrontarrn tarkib hissaciklari kimi milqahida
olunurlar.
Yeni, hadronlar yuxan-kvark(u) , aqafr-kvark (d), acayib kvark (S), meftun-kvark (c), iist-kvark (b) ve alt-kvark (t)-dan
tagkil olunmug sistemler olarak miigahide olunurlar.
200
Hadronlann kvark qurluglart apa[tdak kimi gbsterilmiqdi.
Hadronlarrn mezon qismi kvark-antikvarklardan, baryon qismi isa
lig kvarkrn muxtalif kombinasiyalarr kimi miiqahida olunurlar
Mezonlar
r =ri, n'=id,
=I<ru-a|l.
tro
K- =ui. Ko =di
^t2
K-
= us. Fo
=
rts,
t-_l
n'=frtuu+dd
rl =
+ si).
* di
+fun
J6
-2si).
q,. = cc
e. =ud, p" =fi{un-dd)
.0
p- =nd,K =us,K =ds,K =ys,X'=is
t-
[email protected]+dd),tp=
ss,
D-(D-) =cd. D- =cd
Do = c,, Do = du, D,- = .S,
p = uud, n = udd,
lt
D, = cs, B.
=
ub, B- = nb
Baryonlar
= uds, 2* =uus,2- = dds, 20 =uds
3- = ssd, E0 = uss, >? = dac, Ei = udc, l:'*, = udc
2i* = uu", ?2 = dt", Ao = dsc, Ql = ssc, 3 irsc
=?.
= drr, OL =
"r.,
Lt* = uud, L* = uud
L0 = ud.d ,
L'
= ddd, 2o = uds,
E-
()-
= sss, E0 = zsc, 22 = dd",
= dss,
2- = dds, 2* = uus
El
=
dt"
Ql = rt., El =rtr, 2i =uac, >: =udc
2i, = urr, OL = t.., Ei, = dcc, E'i = u6
Qi., =
rrr, hi
= udU,
?oo
= utb,
3i
= dsO
20r
Kvarklartn maxsusi funksiYalarr
I
0
0
o)
0
0
0
I
0
o
0
0
0
I
ol
0l
0
0
0
0
0
lt
0
0
0
0
0
I
0
0
0
0
0
I
s=
l,b=
0l
ol
(vIIl. r3.1)
matrislaridir va onlartn
,,
=
i*,,
o=
[r],,
u
=
iu-"*,,,,ur,r,
1-
6=
lrJtol,,-' - I).i =;(l - Jl s,t.5)
O
5
operatorlarmtn (VItr.13. t)-e tasiri kvant edadlarini mtiolyan
edn. (VIII.13.2)-da olan I -[ar matrislerinin aqkar gakillari
r 0 0000
01 0000
-r o o o o
0 0-2 0 0 0
.l
000001 L"=73
f,, =
0 0 0000
ooooof
o d oooo
lo0 000001
00000)
l
lo0 o o o o
I
0
f,,, =
1
0
Jo 0
0
0
202
o,l
o0 oo0)
r0 00ol
0l
0001
00-3 00i
00 0001
oo ooo,l
0 0 0000
(r o0 o oo)
1010 0 001
lo or o ool
Jto lo oo, ool'
lo oo o-ool
[o oo o ooJ
1
-l
''
100
010
0 0l
0 00
0 00
0 00
Jts
00 0
00 0
00 0
100
0l 0
0 0 -5
gaklinda segila bilarik.
l,
-Getl-Mann rnatrislarinin bu yaztltgtna
asasan
(VIII.13.2) operatorlartnrn maxsusi qiymati ve maxsusi funksiyasr
Av =qw
tanliyine gdra
I
!/
= I.,V . Yyt = yyr .Cry = cty
,
but=av.iw=r,y,
(vm134)
tanliklarinden taprlar. Onda
-r^l
i,u
= !u, i,a = -la,i,s
'22
i.,o=0.b, i,t=o
l.rl
/1(u) =
1l(d1 =
2Z
Eyni yolla da
Y(u) =
Y
-1,
o.s. f,c = o
c,
t
I,1s1 =
t',
33
(dl = :. /(s) = -
c(u1 = 9111 --
=
s1"=
I,(c) = I,(b) = 1.,(rl = 0 (VIII. 13,5)
-.
Y (c)
C(D) = C(r)
= Y(b) = YQI = 0
=0, C(c) =
b(u)= bld)--b\s't = Uc) = Ut) =0, t\B)
t(u) = t(d) = t(s) = t(c) = (b)
=Q (Q
=
=
I
(vltr.
13.6)
-r
I
203
alank.
Elementar zorraciklarin elektrik yukii Q=Ir+
tayin olunur. Burada B va
s barion
!
I
(B+s+c+b+r) ita
adedi va ecayiblikdir.
Cadval A
Ayar bozonlar
x
E
,:l
o
E
foton
I
E
0
e I
c x
e
N
I
0
0
t
+l
0
6l
la
v
w-
8
t.000
>0.6. l02a
8
r.000
>0.6.1021
I
I
0
0.5 .1024
I
0
0
++
bozon
wbozon
w-
Zbozon
Z
2M
93.000
e-+
e ,u- p +
Cadval B
Leptonlar
6
ql
o
.t(
:l
o
a
.ll
elektron
tql
u
0.5 r I
E
U2
+
I
o
e
106
2 .10-6
v2
+
I
Taulepton
t784
3.
v2
+
-l
Neytrino
0
y2
0
yox
mUyon
lt-
lv
10-'e
.:l
A
o
e vv
o
o
0
,tI
hadronlar
.
{,
"
[,.
cadval C
Mezonrar
Adr Kiitle
-
pron lf
pion z t
kaion
eE
Kl
11
6mrii
Spin Yiik lzospin Pargalanma
2y
135 8,3.10-'70 - 01yox
140 2,6.10-8 0 - +I I yox !'V,
vt
494 1,2.10+ 0 - 1l lf 2 acalblik]-l P
fi'no
549 4,7.10-180
D-mezon
D'
1869 9,2.10-'3 O
- 0 0 yox
- il
y2
meftunluk
2y,3n
t
I
eiv.+rr
D-mezon
D0
fro
1869 4,4.I0-r3 o
- o ll2 meftunlukt I
Kt
-pion
D-mezon
205
DrA
1971 1,9.I0-r3
B-mezon
B!
527
|
1,4.10
0 -+t 0
ecaibtik
''? 0 - +1 lfz
+1 K(0-pion
gozallik+
|
Do +pion
B-mezon
B,Eo
5274
l,4.lo)2 o - o 12
gttzellik+
I eti +ha uu"
BarYonlar
lolzll lfz + +l 12
Neytron ,?o 93813 898s. Il2 + 0
12
Proton
P
pe-i,
93813 >
A-hiperon
N ttto
2,6.10-10
Pz
V2 + o 0 ecaib-l
nno
E - hiperon
Et
I -hiperon
I
1189 8,0
I0-'r y2 + +l
I
acaib
-l
plto ,nlt*
-hiperon
E -hiperon
E0
1375
2,g.lo-to
lfz + 0 lf2
ecaibltk-Z Nno
E -hiperon
l32l 1,6.10J0 12 + -l
3C)
lf
2
ecaibltk-Z /\ott'
-hiperon
O-
1672 8,2.10-'t
312 +
-l o
acaiblik-3 N k- ,=on-Z-
n0
A, -hiperon
A'.
2282 2,3.1013
12 + +l 0 meftuntuk +l
A +pionlar
pklt
206
:
enerjitarda hadronlann kUtla dusturunu tapmak
m0mkiln olur. Kvark modelina esasan skalyar mezonlar
Yuksak
m;,l=:gm? - ml)
vektoryal mezonlar
lmi 4,
=
(vrtr
*';{^l - m'01 =
]t^i
*
nj - zni.11nl.
13.7)
rym.13.8)
'm'z,t
kutla dusturu kimi baryon sakkizliyi
3M
va baryon onlufu
^+
Mz=2(M u +M=) rym 139)
MnrM=.+M,.+m6
rym.13l0)
kutla dushrlart ila tayin olunurlar'
Hadronlartn Nm 13 7)- (VItr.13 lO)-dan taprlan kiltlalari,
tacrtibadan miiayyan edilan qiymetlerina uylun galir'
Elementar zeneciklarin xassalari cedval A, B va C-da
verilmigdir.
Elementar zanaciklor fi zikaslnda hadronlar rankdinamikastna
(QCD) gOra dyranilir va guclti tasirin nazeriyyasi olarak, kvant
rengainimlkasindan istifada olunur. Bu nazeriyyaye gdra kvarklar
-rang
yukiina malik olurlar. Onlar arastnda tesiri ijtiiran
ii9
z"o""iit"i qulyon adlanrrlar. QUtyon sakkiz rang yukti daqtyrrlar
va hadron daiilinde bu yuktiLn m0baditasi olur' Qtilyon mUbadilesi
hesabtna hadronlar miirakkab qurluqa malik olwlar'
Rang yukuntin dinamikaslna gOra kigik masafalarda
(< 10-rosm) perturbativ rengdinamikasr (PQCD), bdyuk
masafalarda
(
-
l0-'3
sm
) isa perrurbativolmayan
(NPQCD)
nazeriyryelari meydana gtxmrgdur.
Rangdinamikasrnrn laqranjianr
La
*
=-
|
o;9' o;9' + ilv1,Di"v;
-
1,,
m,v]\t',
201
yazrh. Burada 41;) t"ng dinamikasmtn sahenin antisimmetrik
tenzordu, a indeksi rang yiikiinu gaistorir, kvarklar Ugtiul a= I , 2, 3,
qulyonlar ugtln a=1,...8 - dir. mq va t1/; ise kvarkrn ktitlasi ve hal
vehorlandr.
D'l
burada 3..
'
=a,a',*A'L*e:
- gilclu tasir sabitidir, o,
= =0 , g,
d', -
= -S-L
4na
.
Zarraciklerin zayrf elektromaqnit tasirin
laqrani-
jianr
pm.M,,\
L"r = -L al,o,r,
- ^, -f
)r,
;fu\ v-r,(r - r, Xr'w ;- r
+
w
;fu , -
"l
a,v,t,v,a,
T#T;)r'Y '(si - s'^'t'\ 'z'
yazrlrr. Burada 0w
=0,23 - Vaynberq bucafr, Mg - higs bozonun
kiitlas idir.
Ma=
ll1Gev
A=Bcos0,+Wrsin0,
w*
=Y,+!z
Z = -Bsin0w + W, sin
g', = tl, -2q,
sinz
0*
8'^=t;r, trr=t:
dir.
208
0,
$ 92.
6z-iiziina qararlagmrg sahanin Xartri-Fok metodu
Mtlrakkab atomlarm enerjisini ve mexsusi funksiyastnt
hesablamaq ugun Xartri va Fok tarafindan 6z-bztlna qerarlagmrp
saha metodundan istifada olunmugdur. Bu menoda gtira asrh
olmayan zarracik-ler sisteminda har bir elekfron, bir-birindan asrh
olmayarak ntive terairndan cazibe qiivasinin va elektronlar
tarafindan daf q0vvasinin tasiri altrnda olur. Spin-orbital tesiri
nazara almayarak sistemin da[!,a funksiyasr alnt-ayn elektronlarrn
maxsusi funksiyalanmn hasili kimi qabul olunur.
Y
(it,i2,...,i N) = Y(ir )Y(i2 ) "' Y(I )' " Y(i,, ) (vm. 14. I )
Sistemin Hamilton oper:uroru
H
=tui
r^')
H,t *1yV.
1Ll ^t =
Lkrt
yazrlar. Burada
'z
f, i-.i
Hamilton operatoru,
IH, +1I91u _
(\1rr.14.2)
Lkri'li
t
"l"kt
orun k
Vr=!-- i
ntlva
sahasindaki
elektronun qar$rllkh tasir
ra
operatorudur
(t + i)
.
Variasiya metoduna gdre
6t
=6lv'HWdv
=o
(vll.l4.3)
olmakla dalla funksiyasr, IV'VaV = I normala5ma $artina
asasan taprlu. t =laf fiVdV inteqrahnda ll,-nin yalnrz delektronun koordinatrna tasirini
va Vr,-nin k va
koordinatlanna tesir etmasini nazara alsak,
r
I
i:
elektronlarm
-nr dayigarak
-\vi n,v dv +)E*wiwYrv,v rd?dY ffrrr.
r
4.4)
yazank
t7, -lerin normalanmasr gartina asasan
209
tviw'av =r
(VIII. 14.3) ifadasindan (VIII. 14.2)-ya giira
I
& = >i6y;
1 + \rivliur JV*jv,av =
(^
.
t,
alar*.
6yi
o
(\rll.r4,s)
- variasiyasr
l6yiyr,dv,
--0
(Vlr.14.6)
$artina tabe olw.
(WII.l4.5)-in har heddini qeyri - mllayyan ti vuruguna wrcak va
(MII. 14.4) ile toplasak
(^
I
6yi ] n' + l\riv p\r fiv* - e, ltv dv, = 0 MII. 14 7)
6t =
\[
T'[**)
alda ederik.
(UlI. 14.6)-da dyi varyasiyasr astltolmayan inteqrallardan ibaret
oldulu tigun, (VlI.14.6) ifadasi
lr,
* 2ry,,r,or, - r,y, = 0 (i = t,23,..., z) (uII. I 4.8)
olanda ddanilir.
(Vt[.14.8) tsnliyi
Vr,V2,...,\t
r'lara 80ra
qeyrixatti
intoqrodifferensial tenliklar sistemini ifade edir'
Ilk dafe Xartri ve Fok ardrcrl
yaxtnlagma metodundan
istifada edarek, birelektonlu dalla funksiyasrnr va e, enerjisini
tayin etmigter. Stfrnncr yaxrnlagma olarak hidrogenabanzer dalla
funksiyasr
yi
istifada olunur ve onun vasitesi ila / -'ci elektronun
yerda qalan elektronlarla ryfl -hahndak qargrlrkh tasir enerjisinin
orta
qiymatini tapmak olar:
V,"(r,7=lyi'Vo4ritlvr
lrt
2to
UIII.l4.9)
Bu qiymati (VIII.la.8)-de yerine yazsak, birinci
yaxrnlaqmada
dalEa funk sivasrnrn tavin edan tanliklar sistemi
ln,+v;"' -tl'',Jzl"
=o
61lII
14
lo)
olar.
Bu tanlikler sistemini hall edarek,
y,tt'(,i)=
Llll,'\'vrvrl"avo
(vIIL14.ll)
taprb, ry[2)- iugiin
[8,
*4"' -tl",h!"
=o
gln.l4.l2)
tanliklar sistemini alank. Bu qayda ila potensiyal enerji
Y(i)
-->Vr;v|tt/ kdvk
(urr.l4.l3)
kxI
oivmetini aldrqda
ln , +v,{t,) -
,,,b,Gl =o
(urr.r4.l4)
tanlikler sisteminda tprl funksiyasr (\4II.14.1 I ) ila toyin olunw.
(VI[.14.13) ifadasi kimi teyin olunan potensiyal enerji Oz-iizilna
qararlaqmrg Xartri sahasi adlanrr.
Srnaq funksiyasr olarak biittin deyiganlarden asth olan
elektronlann yerdeyigmasina gore antisimmetrik olan
[email protected],42
lv,lq,) \r,(qr) ... Vr@)l
r l,rrtc,l 4t2(q2l .'. vz@), gIII.l4.l5)
,...,at)=
... Ur,(q,\
lvr,@,\ v,@r)
a.l: : : :l
determinant gaklinda qabul olunur.
Bu funksiya hallan ry, ,V2,...V/, funksiyalarla xaraheriza
olunan elektronun hahDr g0starir. Yani, ayl-ayn elektonlar sfenksimmetrik nUva va elektronlar sahesinda harakat edir. Oz-0ztna
qerarlaqmrg Xarti-Fok metodu mtlrakkab atomlann maxsusi
funkiyalannr va enerjisini tapmala imkan yaradrr.
2tt
VIII FASILA AID qALI$MALAR
CALI$MA
VIII.I
Elastiki sapilmanin effektiv kesiyini
hesablayrn,
Helli: Kvant mexanikasrna g6ra sepilmanin ehtimah
w
va ya
=+>l"rl'
otr
*=|Dlu),##
ila tayin olunur. Burada
v, =!ei4iv{r)av
F-i'
s=
dir. Hecma uylun olan elementi
, ^ .3
I
yazsak,
4l
Iv]
= p,2dp,da= mp,dE,de
o
^,- vt -'
'"'
vt;
P
olar.
Ehtimal srxhlr
* =2=l,lrrl,
6
hcV -
d<r,- et
yazrlar va effekriv kasik
o =y=$o@,tfida
NJ
tayin olunar. Burada
dQ = sin9d0 dr|
cisim bucafrdr. Onda
212
"r.,,=(;)1,,1,
olur.
Sepilma markazi xiisusi halda
,t 2,t
-
v, = tv {r)r'art ["'a' aa
0
00
tayin olunan markazdi ve
v,
=girsinqrvlrldr
q'"
qabul olunur.
oger
o@) =lf (o)lz
gdttiLrsak,
tOt
f (0)
=
qrv(r\dr
4i,rin
h.st
-ya sepilme amplitudu deyilir. Burada
0
l, - i'12 = 4E2 sinz
4-2=u
2
dir.
V(r)
-i Yukava tipli potensiyal kimi segsek
-k^r
2
o)=-s?' rh'.ro=T
:
.
va
I
R=_
(6
qabul etsak
2t3
j r sinq rv(r)dr = - s?j
sinq.,;w a, = - -
o
o
Ag'-. t = r' R'
q'+k'
ahnar. Onda effektiv kasik
or0t=-
+n2 s! na
h4 (q2 R2
olar. Ogar qR <<
I
+t)
olarsa
o(e) =4m'8':Ro
h4
yaurrk.
qR >>
I
olarsa,
y'likak enerjiler hahnda
o@)=#f
A=,t'R'
alda ederik.
CALI$MA VIII.2 lkr nuklontu
.piri S, =
f
sistemin koordinatr
a,,5 , =X.urolanda
a
r=r,=r^va
va toplam spin
h.-
s ---(dt,+o2)
2'
oldukda
_6,6"
[email protected])16,i)
-t-t
'
12
olmasrnr g0starin.
214
=1
h2
4r u'l
Hell:
{Si;'
=
=
3,r* 3,, * 3,, =L{6,i + d2i) =
llru,rr'
+
(d,r)z
+
2(6,r)(d,ll
oldu!undan
ri)' -- (o r,x + o rry + o,,z)' = x' ol, + Y' o r', +
+ z'ol,+ ry(or,orl +orldr,)+ lz(oryor,+o.-oD)+
(d
+ xz(o ko u +
orror,)
yazrlar.
o xo y =
-o yo,
=
ior, o ro,
=
-o ro v =io,,o,oz ='ozo,
=io v
oldugu ugtttr
o: =oi =oi =r
(dri)z = 62a2 +EIY' + o',2' = *' + Y' + z'
(6ti)'z = r'' 16,i1' = 7'
olar va
(di)@2i)=;[tSrr'-"1
7
6'6'=|52
-1
g, =L6+d,611
alank. Yani
,ry=#r9-,
oldutuna gdre
2t5
3@,i!l:,i) - 6,r,
=
fr($
-
-Li
QALI$MA YIII.3. Zerreciyin V = Voe
t,)
potensiallt sahadan
sapilmasinin effektiv kasiyini taprn.
Hall: Ma'lumdur kr, sapilmenin effektiv kasiyi
o (s) =
4m'l*,r) sin qrdrl- l'
;=
nq llft
V
(
I
tayin olunur.
V (r) -i yerina yazsak
i+2qVo-2qVoR3
R sin qrdr
Vo)e
,
dr, *a)'
l.'
R'
)
alarrk.
Onda effekliv kesik
o\q ) =
4m2_ 4q'Ru
ti_
n q' 1l+ q'R'10
olur.
Tam effektiv kasik
?n'[ .
==
' k- )o(q)qdq
.
o'"'
o
olar.
216
1t+qzR212
o,*
32nm2Ruv:'f qds
=-Vk,lr+7F7=
=#"'rl'5=#[,
*;r"J
,,,.=!%#['.#"rJ
olur.
L2t
NK
2
zm
oldufu
ugtim
vbP
alarrk. E
-)
(
- ln'r
lSmnRov]
E->0
)
o" olarsa
o,*(E
va
t
g+8mER2 th')),
64tnn2
-'s*)=---F;
R6v^2
olarsa
SmnRoV^2
o,*(E-+0)=-E;
alda edilar.
.
'
CALI$MA VIII.4. Kvark modelinda proton ve neytronun maqnit
momentini hesablaym.
Hall: Kvark modelinda baryonlann maqnit momentini
tt
=}ft,
=
prEQ,a , = pr(Qd , + Q,6,
+ QoG o)
ii
yaza bilarik.
Burada
2t7
u.=
eh
2cm*
du.
Hadronun maqnit momentinin orta qiymati
fr" = [viu"wrav
yanlar.
Proton va neltronun maqnit momenti
p!
lvib ,<pioi + ltioi * o! )lv rav
tt,(,) = J\y;V,(p!o! + plo! + P:o)b rdv
u
"<nl
=
olar, Kvarklann elektrik Yuku
)l
o'=1''Q' =-1'
oldufu ii90n
I
n@)= r(4u'-u')
I
tt,(n\=1(tta - lt,)
alarrk. Buradan
,,,, = :{,(:.
,,.,
Yani
218
=
i.+).(i 1-i).[-;. i - +)],,
*{{-i -+-3).(-i. i. i ).(i - i. 3)},.
tt(p) = ttr
tt(") = -
2
,lto
olacak.
Bdylece
tt(n)
tt(p)
)
J
alank.
vIII.s'
SU(6) = SU(3)xSU(2) qrupunun
getirimayan tesvirlarini Yazrn.
CALI$MA
Hatl: SU, (3) I SU" (2) qrupunun hal vektorunu
ul
v@)=
dl
sl
ul
dt
,J
yazarrk.
iqaresi spinin yu*o.,, nJ, iqarasi isa spinin a;a[t
ydnelmasini gdstarir. Bu hal vektoru ila tasvir olunan
<t>
multipletlerden
d
--1,....6
ul:(q) va V/,w(q) P =1,.
T
.6
=I'""6
va ya
\,:@)=(Pt+1,IF]';)
219
,v,tu@
=(pl,ri). orr 1;, ( u,. i)
I
yazmak olar. Onda
v!<qt--{a}a[}= r+:s =
= ({t},0)+ (t}o,tt)+ ({a}o)+ ({a}o,tt)
alda ediler.
rr*
tesviri
l5
= {tol
oo}=
(15) + (21)
komponentli antisimmenik kombinasiya
va
21
komponentli simmetrik kombinasiya yazrla bilar. Onda
{tol o tot e tol}= (29 e e)+
(1
e o)
olar va burada
([email protected]) = 56+to
U/op
tesviri
a
([email protected])=20+70
va p -ya simmetrik, y -ya gbrc antisimmetrik olar
ve 56ik simmetrik, 70-hk isa qarrgrk simmetriyaya malik olar.
Uy!,un olarak, 20-lik antisimmetrik va 70-lik ise yene qarrqrk
simmetriya ile xarakterza olunar. Demeli {/o, tasvirini
indekslera gora simmetrik (56)-lik, iki qaflgrk simmetriyahk 70-tik
va antisimmetrik 20-lik kimi tasvir olunur:
{oe o eo}= (20) + (s6) + (70) + (?0)
Bunlann har biri daha kiqik dlqulii multipletlare pargalanr ve
onlar getirilmayen tesvirlerdi.
(20) =
220
(t,}r;,ii).( tt.1;
6.l
=[s]i;).[0.,.i,,i)
oor
=
[u-i).[o'])-[o.1,.i).Ito-1;
RiYazi alavalar
Olava
A. 6 -funksiya ve onun xasselori
Yii,klar sisteminin paylanmasrnda iimumi
moment
meydana grxrr:
M =ef(x)
M =timlef (x + I) -
ef
(x)l=r1l'(r)
(A'1'1)
va ya
(A.1.2)
M =L.fb)(x)
(')
burada / (x) iqarasi funksiyantn (n) +ertib tiiramasidir,
e -elektrik yiikiidilr. Ogar .r ytiniinde yiik ve ya dipol varsa,
momenti
M
=\e,f(x.) +>I1f'O)+...
(A.I.3)
yaza bilarik. Bu cami hesablamak gatin olur va ona giirada
iimumi dalla funksiyasrnr miiayyan hahn maxsusi
funksiyalann cami kimi yazrnakla
yrQ)=laSp.
(A.1.4)
(A.1.3)-i hesablamak asanlagrr. Ogar x = +l arasmda taym
olunursa, (A.1.4)-U 9i vurub, -l<x<+l intervahnda
inteqrallasak
+t
I oi'v
_t
+,
A a' = l\
t,
a,rP)' (x)Yt (x)
dt
--
(A.1.5)
=\a^ldi,[email protected]
yazartk. rp,-lar ontonormal funksiyalar olduffu Ugiin
loi'G)[email protected]=a^'
olar. Onda (A.1.S)-den
221
+l
a"
=
(,{.1.6)
)a:G)v/(x)tu
I
olda edorik va bunu (A. 1 .4)-da yenna yazsak
-+l
,
v@=lld{x')tv(x)vr(x')dx'
(A.1.7)
a=za I
alank.
(A.1.7)-ni
+l
N
y Qt = v ( x' tdx'
!
tillZoi
<*'
tv
t,t
n=no
-l
/v
yazmak olar.
ogar
6, (x
- x') =
LEi
@')ry<*) igaresi qebul
etsak,
+l
rlr(x) = lim lVtx')6,(xu-*J'
x')ar'
(A.1.8)
-l
yazank.
lim 6" (x
N+-'
- 'r') = 6(x - x')
igaresini yazsak, (A. 1.8)-dan
+/
yQ) =
!yQ)6(x-
x')dx'
(A.l.e)
-t
Yani, 6 -funksiya inteqral operator olub, bir
deyigenli
funksiyanr, bagka deyiganli funksiyaya geviran bir
amaliyyatdrr:
l/
(A.l.l0)
lim),tp"tx')rp"(x)
61x-x')
= l/+'
/
Farz edak ki, q,
trl
-n ntsiyasrrn p..iodu
tP
Onda
222
.(x
+ 2l) = rP.(x)
2l
olsun:
+l
+l
)o.lxtto.txfi*=
-l
-
.a^
' ,'
)r
-l
2.1'' -''
?in(n-i1
d:r
=
'n(n-i)-iS
^, sirwln
olur. 2l penodlu funksiya iigiin
\t
lx) =
€+^
La,e
'
n=nn
yazank. Bunu
iLt,
e i -a wrsak
.j,-'i,',y
6
a* --
i,,..i ;+*''' 6, = i
4=n
-t
-l
o
^zt
a...
^=no
alde edarik. Buradan
,-,
o, =
L.i,;'i*,yr*'v*'
yaziar.
+l
,t
lr'
dx=6*'
oldu[una gdre
w<.t=
j
iwuld*'timfe'i""-^'
(A.l.l l)
223
tlnr i'"'l''*'''
6(x-x')= ,-*_,n
tapank. (A.1.12)-de I -r
"'
yaxtnlagdrrs
1'a''t
tzl
ak va 1Ln=p1
igarasi qabul etsak, (A'1'l1) -dan
Lu-- tt
I
n=.!-t*
lt
-t
+l
rYlxl = Iim
Jrr(x')d:t'timl'u'-;t
Belalikla
+t
vrc) = |gJvtr)dx'ttmlertG-|)
't=
I
r*l
(A.l.l3)
=|lmL(wk'ldx'limte'hr{')''
N",'7
7t ^t=
i']::il!:
=
dk
!'ivt-la,'l,*v-\
4'-,
L
-+ [d/< avazlamasi nazara altnmtgdr'
"..'* [mlt
ilJ' z'
atrnk. Burada
7
J
(A.l.l3)-da
6(x-x')= =L r-l"na-;.tdk
Zfi
qabul etsak, bu formulda.-,
Y1$= lv?)6(x- x')dt'
atrnar.
224
(A.l.l4)-u
u9 otqtiiu hat ugiin
(A'1'14)
6(i-i')=
,,fiT"'"'
'o'
va ya
61i-i'l=.t
' (2n)'-leiti-i'idi
'
!-
,
yaza bilarik.
6
-funksiyanrn agafrdakr xassaleri var:
t.
lf
tim6(x,q)=
2. aro
l. I
= f (x)
Gla{,-,')dx'
6(.r) =
sin kx
--i r^
o^
{:' '=
r+0
(A.1.ls)
[0,
oo inteqrahna baxanksa
'ok
!=i"*
dx
'"
olar va J
x
-arctga alank
d
"or,*,
Riyaziyyatdan ballidir kr,
-.4
le*sinfudx=
^1='
d-+Po
'
.
!e*
a-+ 0 yaxrnlagand a
arct11.*1'a=
-!
costudx=A+F
arctga
=L
va
hamcinin
oldufuna gora
225
-, ,r > 0
* l lz'
. ldJ ld arctg -x
= -lt b( n elx
ct
O\x'd) = -yazarcak
!,g
=
jor,,ala,
-I
ltm- arctg
a101t
=
ir,,,-* =!\+.i#"
=
l--
=I
-l
d.l-_
ahnar. Onda
:. Jalxla,
= Jrrm 6(x,a)dx = r
(A.1.16)
Diger xasselerinida yazrnak olar:
e.
Ir.tff<-'-,w'=-+)b-
x,
Jf
6
6(aG))=1#dJ
I d. l,=.,
QG)
7
226
sn
s.
G'\
xpx'
h;6(x' -
=
(-t)' d'f(x\ (A.l.l7)
-tr
=0 tanliyininkokiidiir
. 6(x2
-
a2)-
d(x - a) + 5(x + a)
2a
(A.1.18)
a. a'l
!
'
.
ay..
dA -
Olava B. Lagger
x', y
- y',...)f (x, y,...) = f
(x', y'....) (A.
1.
1
e)
polinomlan
$rddinger tenliyinin radial hissasi niivonin Kulon
sahesinda
_
_z*' Ro)+h'!(t +;t'tRrrl
! )r' 4dr'r, 4!)
dr r
zml
?sn
gaklindadir. p = ar avazlamasi aparsak
=
e
1s.x,,
(B.tr.1)
tanliyi
asimito-tik halda
t _l_/(1r)lR=o
)4,rdx)*f
p'dp" dp' Lp 4 p' l
(B.tr.2)
yazrlar. (B.II.2)-da
- 2mZez
d'
tr = ----------:-.
dt'
amlEl
=
--+:
h'
-dlI.
(B.tr.2)-mn hallini
n@)=
P1p1r-I
@.tr.3)
kimi axtarak. Bunu (B.tr.2)-da yenna yazsak
-,r, l,rl. =o (B.tr.4)
+.(
dp'[pl-,)+*ft
)ap Lp-, p" I
alank. (B.II.4)-tiLn hellini isa
'
F(p) - p'
(ao + a,p +
gaklinda yazak. ao
arp' +...) = p' L(p) (8.tr.5.)
*0,s>0-drr.
227
a(p)
O zaman
,,
iiqun
t!P*
01ff+
olz<,+r)-
@.tr.6.)
[p(i,-, - t) + (r(s + 1) -l(l + l)]up) =0
p =0 olanda, (B.tr.6 )-dan
L(P)=ao+at\t+a2P2 +"'
+
yazank.
s(r+l)-J(l+l)=0
s=/, s=_(/+1)
olar.
s=/
olanda, (B.tr.6.) tanliYi
off *lza o- d#+ $.-t -t)L =o (B tr
7)
olar. (B.tr.5.) sraslnln amsallan
o"" =
(u
v + I +l-7',
*t)(uii-n2\o'
rekkurent diishrru iidayer.
L(r.r) = "
""' ''
l-s
i
=
-
r", r. t
i7a4(I)
dl
n
olanda (B tr 7')-nin
hallini
(B.tr.8.)
haradakt
LoQ)=
-do
e'futx"e-')
(8 tr.9.)
L,(x) -a Lagger polinomu deyilir' Bu polinomlar aqa$dakr
xassaleri ddeYirlar:
228
dL"-,(x)
dL, (x) _
odL.-,(x) = _d
dx
dx
L,uG) = (2x +l- x)L, - a'L,-,{x)
dx
,"!r)
',o' dx2
(B.tr.10.)
* ,, _ *rdL,(x) * or ^1y,1 = o
dx
-in yerina birlagmig Lagger polinomlanndanda istifade
olunur va onun agkar gakili
L,(x)
tj@=2
tlx
ts*1
ol
- [r"-u -o(o- P) r"-r-r 1
Ij(r\=(-t\,
' (d-p)t[
r
d@-t\@-r\@.-0-l) "-r-,
(B.II.t l.)
I
2t)
yazth. Lagger polinomlan ortoqonal deyil.
Lakin
,.
,-1
L,(r)
funksiyasr
(0,.")
intervahnda ortoqonal olur.
Bu polinomlar
)
e-' Lr(x)L,(x)dx = 0, Y +
o
j
0
"-
a
(B.tr.12.)
rP tl,
t*!4(ldx
= o,
v*a
qertlarini Odayirlar. (B.II.12.)-ya gOre
).2e
j
J
J
"-'
e-'
e
-
*B
tl,
1*1t1,
llili
1rr* =
r"t' tS4a, =(-t)' ko * t) t]'
x
B
"
fi
1xy
rj
1o a, =
(B.rr.13.)
w
f*:_;\t:rt'
olarlar. (B.tr.1)-tanliyin hollini Lagger polinomu ile
-.,,n
=-[#)'
ffii;1"
";
r'
L'"1;
1,1
(B
rr'4)
burada
n-l-l
L^*,2t+t(x)=
)t-t)t.'
t=0
(n
f@+\r.l'xk
- I - | - k)l(21 + [
+ l)!ft
I
ifada ederik.
Lagger polinomlannrn 3 halda
t - t!2
L
I
loo./
n=t,r=o,R,"(.)=l
zt
zia
7 _ ,312t
n=2,t=o,R,,1ry=[
?l
Ao
h2
geklinda olar.
230
22
=----;' X=-r
f,do
me-
Jal
l2o" )
Z!
t2-?V
ao
) ^
\ zro J I
/
,3/2
n=2.t=r,R,,(r)
_ \
zr
Zr-,-a
ao.J3
(B.tr. 15)
Olava C. Qamma funksiya
inteqral
t
)e't'''dt=9171
0
va ya
Q0-i=Je-'s-'ds
(c l)
olan QQ) funksiyasrna qamma funksiya deyilir. Qamma
funksiya
Qk+r1=
'91'1
e(deg_r1=_L
stnla
G.z)
I
z"''
Q\z)QQ + +) = JnQQz)
2'
miiLnasibatlarini ddayen funl<siyalardr. Bu funksiyalann
analtik davamr
Qk+ n+l)
_(n+l)<Rez<0
J(z,t=_#
zk+l)...k+n)
olur. (C.2)-nin ikincisini gostarak. Qk) Qk
-l)
(C 3)
hasilina
baxak.
ee)
ek:
t) =
e_r,,,t
[J
s. t-' dsdt
00
Ogar
u= s+t,
X=ts
ile igara etsek
231
Q( z)QQ
= )Jl l,-'
oo
- t't =jj "1 L\"''
oo lx)
dtdu =
a,'-1,'-' at = l t e-' au;' t' dt
'
/L
olar.
f
=
!- -d.n dt = sdL, \a
u = s + t = s + )(s = s(l + X)
s
."=
- ' .t='r:dt='dr"
l+
t+
1(
)(
olur. Ona gbra
:?
))e-"duL't-'dt
00
=
=
0+ X.)'
l+ )(
li
aur,-t
.,, "-,
u
!i'-' a'x'-' # =i'"
udx -
(t+.X )-
#l?:,
-
=
1--2
-!2
=ir''
l+
tr srn,a
t
ahnar. Ona g6re
' QQ)QK-L)
7t
sln
(c.4)
7tr2
elda ederik.
Qg)=t Qb+D=.'
4i)=
=te't-A=zle*'du=G
0
ifadalari Q -funksiyalar
232
tigiiLn
ballidir'
(c.5)
Q.Q)
QQ)=vQ)
funksiyastnr
.
..
I
v(z)=-z+n +P(z+')
(c 6)
(C.6)-da P(z + n) hissasi r/r(z) -in duzgiin hissasidir.
v/$)=Q0)=-Y
drr. Burada y =0,57'12157 -dir.
/r\
wl
)l= -y -zr"z
(c 7)
\2)
y -Eyler sabitidir. ty(2) funksiyast
,rrt=Tlr-'
.,.1 --l
(x+l)'lld'-,Rez>o
x
(c.8)
inteqralada ifada olunur. Eyler sabitini inteqrallada ifada
oluna bilir:
trl-e-'e-l
Onda
'=l-?*
v'd)=#=ll+ *Jar; n""o
(c'e)
(c to)
gekilda inteqralla Yazmak olur.
'
Olave Q. Bescel funksiYalan
Umumi gakilde Bescel tenliyi ballidir:
du , 7 2. ^
,d'u x-+(x'
x'ij+
-n')u=0
(Q.l)
233
drr. ogar
ti
.
d..
xA = Dh
tanliyi
rqara edariksa (Q'1)
ax
o'u +1x'-n'1ll
=o
(Q2)
saklina dUqor. Bu tenliYin halli
(co+c,x+crx2 +..')xk =
It,'*.'
, . olar. Onda
Dzu
+(xz'r'\u =Za,*r.'
(q'3)
s=0
yazank. (Q.3)-de
do =
d.
co(k' - n'), d, = .,rl& *D'
r
'
- n')
-r
(q4)
=c,kk+s)'-n')+c,
rt,-i d" = s(2n+s)c, +c"-,
grkilinde yazarsak,
d- =o (do,d.dz,dt =0)-dan
s(2n+ s)C, + C,-2 = 0
tanliyinden
s=2
olanda
2(2n+2)C.+Co =0
co
=' 2(2n+2)
c.
alank.
s=4
(Q.5)
olanda da
4(2n+ 4)Co + C2 =0
co
Co =
234
2.4(2n+2)(2n+4)
(Q.6) :
ct=ca=c5=0
alaflk.
'.
Belelikla,
ur=(co+cl+c.x? +...)x'=cox' + crx""
+ c.xn*z
=
t2xnl
=."..'lr--l
-----. ...1=
" t 2(2n+2)+:---2 4\2n+2)(2n+4)
-
(q7)
)
(-l)'x"-"
fi
-
o
2l
2. +.
...2t(u
+ 2)(2n + 4)...Qn + 2s\
olur. Eyni qayda ita k =
-nz
olanda
(-t)'.r-"-"
=.^i
' " 7* 2- 4...\2n - 2)\2n - 4)...(2n -2s)
u"
(Q 8)
olar. Onda (Q.1) differensial tanliyinin iimumi halli (Q.7) ve
(c8)-la
Il=AUt+BUz
kimi alda i diler. Ogar U r = J ,(x) igara etsak va (Q.7)-da
c^ =
"
I
2"
-
nl
"r6flirsak
,"L
x'
x'
I
(q.9)
J (r) =--{I--*------------:----...t
2"ntl 2(2n+2) 2'4\2n+2)(2n+4) l
-
alank. (Q.9) ifadesina Besell funksiyasr deyilir. z miisbet
tam olmayan ,; loddirsa nl avezina Qamma funksiy a yazank
I
r)) = 1, Q@) = nt,
QQ) = Qk + t)
ve Bessel funksiyast
235
(-l)'
3
/ x\"*''
J_(x)=) - *l
-l
frQG)Q@+ s)\2 )
vaya
,.r,r=i*ff.e[;)'."
olur. Bunlara
deyilir. Ogar
n
(e10)
tartibdan I-ci cinsdan Bessel funksiyalan
x'xnl
Jo?)lnx--.-,Ur{t+rl+
xu (
(Q 11)
I l\
+rrfi=lr+)+i)+.
olarsa,
No (x)
-funksiyaya
II-ci
=uoat
cinsdan srfinncr tartib
Neyman-Bessel funksiyasr adlantr. Bessel funksiyalan iigiin
x4.^ ='nl ,+xJ,-,
da
(e.12)
^dl "
2-*=J,-t-l*t
dx
1-, = (-l)"
*o
dx
yaza
bilarik. Xiisusi halda
2n = 3 olanda
,
236
Jo
olduluna gbra
--lt
2n=l
(Q.13)
olarda
-[l,l:m
=sinx
(C
ll^lr*
(Q.15)
=
sin.r
-'-'-
-cosx
14)
;
2n = 5 olanda
,"F=(]-'),',,-'"",,
(e16)
ohtr. 2n = -1-da
l
'
2n =
-3
olanda
,
2n =
-5
,l|nx
F-
"
lr*
=
cos
= - sin
x
,r-
r
rrra
cos
(q
17)
(C.
l8)
olanda
a
/a \
T
t^lZ*=j.in,+li-t].o.,
(q're)
olur. Bessel funksiyasr Hankel-Bessel funksiyasl ila
2n
(Q 20)
-J
H - = -:::--ei'" (J
^cosnn
sn Znn
-")
''
alaqadardlr. Ogar
W^--a+i-
i,u
po, = f
1",.."'*
'u wo
olarsa
-r,
tr\
"-\'-=)*
t
H;zt
r
'
olur ve onlara
I
(Q
2l)
^l
--'n{,lru*'* r"l'-')aw
G.22)
va tr silindrik Hankel funksiyalan deyilir'
Ogar
N,<*1=|lnl"1,)-rui"(')]
olursa, buna Neyman funksiyasr deyilir'
237
Olava D.
Lejandr polinomlarr
Riyazi fizikanrn asas tanliklarindan biri Lejandr tanliyidir.
1t-x')4-zxt+r{n+l)p=0
(Dl)
Bu tenliyin halli
r
,
(l-x='1!!12nxll
=O
'
d-x
(D.2) tanliyinin halli ile
u=
tayin olunur va
p
miieyyanlagir.
c(t- x?)'
(D 3)
!Lg- *, ).
(D.4)
=, dx''
(D.3)-da,
p, =
"
(D.Z)
=
*.gdti.irsak
-rt"
J=*o'
nl dx'
2"
'
(D.5)
alarrk ki, bu funksiyaya Lejandr polinomu deyilir (D.5)-ii
hamcinin
,,o=flfu
?t!+,*- .1 1o.o;
"' z'OtL-*-\v'*!^.-l)r'
2\2n-r) 2.a.Qn-L)(h,31
I '- gakilda yazmak olar.
Ogar
frr.at=*#u,-r^
iqara etsak,
P:G)=*$-,,f ffi<,, -r)'
238
(D7)
funksiyasr birlagmig Lejandr polinomu adlantr. Bu
polinomlar bir-birlenne ortoqonaldrr. Onu gdstarmak iigiin
{t- x'z)4!+2ruU
tenlikden faydalarak
P,i
G) va
=
O
P!
(r)
polinomlannr
tanlikde yazrpakla
o
,Lx
1,,
I
-
*'td'i
I* {,r,*,r--l
d-x
l-*']. Ip-'t,t =o
) |.
*lu -,',a:}.
(D.S)-in
{,,,.,,
-
$}r'',,,
(D.8)
=o
binncini P!'(t)-a, ikincini P/(x)-e vurarak teraf-
tarafa glxsak
!_1u-,={ P- dP: - P^4rll.
d"l"^t" dx
+ {n@ + t)
dx)l'
- t(t + 9}r,' 1114' 1x) = s
Bu ifadeni (1.1) inteqratrnda inteqrallasak
'1*{,-u1,,-#-,,T)V.
+l
+
+ t) - tu + D}P: G) Pl G)dx = o
I {n@
-l
,,^ !!-- p14t1li.'.
^'l''
* dx )J-,'
l"
lu-,={
+
h(n + t) - /(/ + rllipl
t,l4't,l
=o
-t
239
yazank va buradanda
+l
t
(D e)
r;'{ir,^ {,)a, =o
-t
alank. Bu ortoqonalhk gartidir'
Eyni yolla bu polinomlann normalltk gortinida tapa bilarik
.,
ilP:ral*=io-'"'##*=
=9:_D.jpr.ai,a,
(n- m)l
-,
otdu[u iigiin (D 5)-dan
.jp,,at)'*=ffi#,#;,=
(nl)'
2za+t
lz'"tf
{zn+r1
alank. Onda
itr..f*=@,ffi#=ffi,,",,
alda edarik. Buradan normalanmtg Lejandr polinomu
2n+I(n-m)lo^rr,
2
(n+m)l ^
"
gakilda olar.
Laplas oPeratorunun
a'
o'=!
' dx,- r ?'
urr* ,*
sferik koordinatlarda ifadasi
i*(,#).#fl*,#).##
240
olur. Lejandr polinomu bu operatorun bucaE hissasina tabe
olan funksiyadtr.
,. d'P,' ^ dP,' . [,,, * r, _
..
(l-x')-. - 2r---:-*
'
dx t
d.x'
^' -i"- = o
l-*')'
Laplas operatorunun buca! qisminin maxsusi funksiyast
sferik funksiya olar.
e,
-lmlt\
,,^ ,,.,
- lzt 2+ t {t(t +lmltt
\
(D.11)
'
Xtisusi hallarda sfenk funksiyalar l, m -ler iigiiLn
I
=m=O
olanda goo
t=t.m=0
I = t,m
=tl
=rE.oro
olanda e,,*,
=
olanda 0r.o =
=tI
olanda er..,
l=2,m=t2
t=3.m=o
otanda
=tt
fisinl
ftf.or'
e''n
e
- fl
=,Erin e coso e''e
erjr=f*sin'e
olanda g,.o
l=3,m=12
t =3,m
e, o
0
I = 2.m =
t = 2,m
otanda
=;f
""''
(D.12)
=.,[t, (;*r'r-r)srne
olanda er.,,
=rErin' 0cos0e'z'e
otanda er,, =
ff{S"os'0
-llsine e'''
241
t = 3,m
--t3
oranda g.,.,., =
1E5;n'
6
",,,,
yaztlr.
Olava E.
Ermit polinomlan
Riyazi fi zikanrn tenliklarindan birisida
d2H_ _ dH
+2nH,=O
; ;' -2r--:',
ltx
ax
(E 1)
Ermit tanliyidir. Bu tanliyin halli
H .(x) = ao + arx + arxz + ...
(E.2)
geklinda axtarak. (E.2)-ni (E.l)-da yerina
amsallan iigiin
(v -2)(v +l)a"*, =
rekkurent diistur alank:
(2n-2v)a" --0
o,.-r=Mq
(v
-2)(v
cut
Y
yazsak,
+t)
(E.3)
"
-lar tigiin
",=+
tLi
\2)
va tak v -lar iigiltr isa a, = 0olar. B0ylace
H,(x)=(2r)" -(nlit) (2x)*, +
. 4n-l)ln-2)(n-3),^
a
,,-.
(E.4)
fkx,n
l4'"
1
yazlar va bu sra
H,,(x)=(-l)'e"
242
{<"-r
dx''
I
(E.5)
$oklinda da segile biler. Bu ifadeya Ermit polinomu deyilir.
(E.5)-a gdra n -nin qiymatleri iigiin
n = 0, Ho(x) = I
n=t, H rG) =2x
n=2, HzG)=4x2 -2
(E 6)
Jx) = 4x(2xz -3)
n=4, HJx)=16x4 - 48xt +12
va s. olurlar ve onlar Ermit polinomlannm harmonikalarrdrr.
n = 3, H
Olava O.
Vektor analizinin bazi formullan
t.V17+s;=V/+is
2. i(fs\ = tV/t+ /tist
r.
i(i+
a. [v1a
El=vA+vE
+;rl= [v;]. lvel
5 (vlAr)=;[v;]-;[v;]
t-
6.
v.[vA]=
?
b A=r[v;]*[rvn;]
I
0
s [v[v;]l= vlve;-v,a
t- t-
I
A(vB) - B(vA) + (BV)A- (Av)B
e [vlA8ll=
ro. V.i = r, [v,J= o
'
(dr
,r
r-vf:g1rl=31|)+r{
I z.ln.76.t)-.o
rl. n [,';]= @+3)r"
I
14.
V(r{7)
=0
243
ODABTYYAT
L
Faik Sultanmurad
I cild. Bak. 2002
2.
Sadtxov Faik, Bagirov Mimamik, Leptonlar va hadronlar
(qrsa malumat) Bakt, 2001
3.
A.J. Axiyezer, V.B.Berestetski, Kvantovaya elektrodinamika, Nauka, Moskva, 1969
4.
N.N.Boqoluyov, D.V.$irkov, Vvedenie vr teoriyu kvantovanntx poleY, Nauka, Moskva, 1973
5.
F.J.Yndurain, Quantum chromodynamics, Springer-Verlag
New York, Berlin, TokYo, 1983
6.
A.J. Axiyezer, S.V.Peletminskiy, Polya i i fundamentalnie
vzaimodeystviya, Naukova Dumka, Kiyev, 1986
7.
J.J.Kokkede, The Quark Model, New York Amsterdan,
ollu Sadxov Kvant mexanikast kursu
1969
i
3.
Harry Hochadt, The functions of matematical Physics,
McGraw-Hill Book Company, New York, 1968
9.
Physical Review D, Particles and Fields, Part
NsI-1,2002
244
l,
vol-66,
KiTABIN iQiNDAKiLOR
FOSi
VI
L.
qrup nazariyyasine giriE.'.-...'.-........'..-.....-....
5
..... .. .. ..
5
$ 56. Qrup nazeriyyesinin anIayrgIarl........... ..
$ 57. Lorentz
.
. .......
geYirmesi.................. ..... . ... . 14
$58.Dirakmatris1ari................... ..............21
j 59. Gell-Mann va Okubo matrisIari....... . . .......... . .............. ..29
g 60.
VI
Yuksak enerjiler fizikasrnda istifada edilan
fiziki kamiyyatlarin operator1ar1.... .. . ...... .. ..
.
FasilaaidEa|qma\ar...................
vII
Fa Si
. ....
..... .41
.. ......... 46
L. Relyativistik tanliklar
62
..
$ 6l, Kleyn-Qordon tanliyi..........:........ ... . . ..,..
$ 62. KIeyn-Qordon tanliyinin hidrogenabanzer
. '- .. ..
atomlara tetbiqi
..
..
Q 63. Diraktenliyi..............'..........
..
. ,.. ..,,.63
.. .. ..... .. 6'7
.. . .. . ..72
. ......,.. .78
$ 64. Tam harakat miqdan momenti.................. ..
81
..
$ 65. ikikomponentti Dirak tenliyi (Veyel tanliyi)....... ..
. .. ......... 83
g 66. Dirak tanliyindan altnan kasilmezlik tanliyi
... ..... 86
$ 67. Sarbest zarrecik tigun Dirak tanliyinin halli .. .... ..
yanlryt..
qeklinda
.92
tanlik
8 68. Stasionar Dirak tenliyinin dbrd
Q 69. Dirak tanliyinin taqribi gakili ... .... . ...... .. .. .. ., ..,,.. .. ... . 94
...
. .
$ 70. Dirak spinoru va hidrogenabenzar atomlar
iigtinrelyatvistikeffektIar...,....,............... . . ........ . ... 99
.. .. 106
$ 7l. Dipol-dipol rabitasinin incequrlu9a tasiri. .,....
.
$ 72.Dirak matrislarin cabri.................. . ....,...,.. . ..,..,.. III
$ T3.Supersimmetriya va supergevirmenin
generatorlarlnln cebri .............. .. .... . . .......... . . .... ll6
.
. ... .. ... I2l
$ 74. Supersahanin laqranjanr ve harakat tanliyi
.
..
..
..
.. .. ..... 124
$ 75. Unitar SU(n) qrupunun generatorlan cami
{ 76. Guclu maqnit sahesinda atomun enerji
..
.. . ... ..176
saviyyalari. Pagen-Bak olayi
.
..
..
---- . . . 129
stxhk
matrisi...........
iigtin
$ 77. Fermionlar
... 13I
vasrxhkmatrisi..................
I 78. Neyirino tanliyi
.............. 133
Vtl Fasila aid qa\t5ma\ar............ ....
245
VIII FoslL.
140
Sapllma hadiselari
$ ?9. Sapilma matrisi ve sapilmanin amPlitudu. .. . ......,..... .....
....-........
$ 80.Bom yaxrntagmasl........... .
sapilmasi
elastiki
elektronlardan
$ 81. Fotontann
... .. .. . . ...........................
.
(Kompton
yaranmasr
.... .. . ..... .. .. .. . ...
ctitilniiLn
$ SZ. itektron-poziton
............
g 83. Elektonun xarici sahedan sapilmasi
84. Elektrontann hadronlardan sapiImasi. . ,.... . ..,.. .. ........
.....
effekti).. .
,..
t
140
144
145
153
191
164
$ 85. Neytron ve Protonun kvant mexanikastna
giire
.... .......... . .......... .. . 169
dawantgt.....
l'74
pargalanmast......
.. .. .. ... .. ..
$ 86. Miyonun
.. .
..
........,.....
..........
nozariyyasi.....
Ikinci
kvantlanma
$ 87.
.. .
.................
kvantlanmasl
sahasinin
$ 88. Elekton -pozikon
.
,.....
....
kvantlanmast
$ 89. Serbast etektromaqnit sahasinin
. .. .. .......
$ 90. Yang - Mills tenliyi
91. Elementar zarreciklar ve kvant mqxanikast ..... ... ............
...............
$
.
179
185
190
196
199
$ 92. Oz-iizune qerarlagmrg sahanin Xartri-Fok
.............'............'."'."'209
metodu.. . .. .... .. . ...
...........-"212
VIII Fasila aid gatrymalar ...........
.
....
221
Riyazi
hfirlmala verilib: l2.l 1.200j. Qapa imzalanfi: l7.l 1.2003.
Format,: 6lxA6
fr.
Ola ntiv ka$rz. Ofset qap iintlu. $arti gap
varaqi t 5,4. Tirajt 500 niisra. SdariS N355
246
-=: --
Download

Kvant mexanikasl kursu - SDU