T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1072
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 591
MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ
Matematik Öğretimi
Yazar:
Prof.Dr. Hüseyin ALKAN
Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN
Editör:
Prof.Dr. Aynur ÖZDAŞ
Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları
Anadolu Üniversitesine aittir.
"Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın
bütün hakları saklıdır.
İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya da
bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt
veya başka şekillerde çoğaltılamaz,
basılamaz ve dağıtılamaz.
Copyright © 1998 by Anadolu University
All rights reserved
No part of this book may be reproduced
or stored in a retrieval system, or transmitted
in any form or by any means mechanical, electronic,
photocopy, magnetic tape or otherwise, without
permission in writing from the University.
Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN
ISBN 975 - 492 - 825 - 8
Başlarken
Matematik, birçok bilim dalının kullandığı bir araç olup, ayrıca modern insanın objektif ve özgür düşünmesine, özgüveninin artmasına, karşılaştığı problemlerdeki
sebep-sonuç ilişkilerini açıklamasına yardımcı olacak yetenek ve becerilerinin gelişmesine yardımcı olmaktadır.
Çağımızda bilim ve teknolojideki hızlı ilerleme, her alanda yeni bilgi, beceri, teknik
ve teknolojik araçları gündeme getirmektedir. Bu nedenle matematiği bilen, anlayan ve yorumlayan insanlara gereksinim duyulmaktadır.
Çağın getirdiği değişmeler ve gelişmelerin yanı sıra, matematiğin toplum içinde
karmaşık bir etkinlik olarak yer alması nedeniyle, matematik öğretiminin karşı karşıya olduğu sorunlar toplumun sorunları ile paralellik göstermektedir. Bu nedenle
matematik öğretim ve eğitiminde de hızlı değişikler ve gelişmeler gözlenmektedir.
On üniteden oluşan bu kitapta, ilköğretim matematik öğretmenlerinin, matematik
öğretimi alanındaki bilgi ve becerilerinin yenileştirilmesi ve zenginleştirilmesi
amaçlanmaktadır. İlk altı ünite matematik öğretimi ile ilgili kuramsal bilgilerden
oluşmakta olup, son dört ünite, bazı matematik konularının öğretimi ile matematik
öğretiminde çağdaş yaklaşımı esas alan, sınıf içinde doğrudan kullanılabilecek etkinlikleri ve önerileri içermektedir.
Bu kitabı oluşturan üniteleri çalışırken, ünitelerdeki çalışma önerilerine uymanızın
başarınızı doğrudan etkileyeceği gerçeğini unutmamalısınız.
Çalışmalarınızda başarılar dilerim.
Editör
Prof. Dr. Aynur ÖZDAŞ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
Matematik Öğretiminin Amaç
ve İlkeleri
ÜNİTE
1
Yazar
Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
• Matematiğin ne olduğu hakkında bilgi verebilecek ve bilim
dalları içindeki yeri ve önemini açıklayabilecek,
• Matematiğin günlük yaşamdaki yerini açıklayabilecek,
• Matematiği konu alanlarına ve uygulama alanlarına göre ögelerine ayırabilecek,
• Matematiğin doğuşu ile ilgili yaklaşımları açıklayabilecek,
• Matematiğin genel amacını ve ilköğretim matematiğinin amaçlarını sıralayabilecek,
• Matematik öğretiminin temel ilkelerini tanıyabileceksiniz.
İçindekiler
• Giriş
3
• Matematik Nedir?
3
• Matematiğin Ögeleri
4
• Matematik Nasıl Doğmuştur?
5
• Matematik Öğretiminin Amaçları
7
• Matematik Öğretiminin Temel İlkeleri
9
• Özet
14
• Değerlendirme Soruları
14
• Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
17
Çalışma Önerileri
• Bu üniteyi çalışmadan önce, İlköğretim Matematik Programını
inceleyiniz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
1. Giriş
İlköğretimin ilk sınıflarından başlayarak, öğretim programlarında matematiğe geniş bir yer ayrılır. Sınıflar ilerledikçe öğrencilerin ilgi alanları ve meslek seçimlerine
göre matematiğe ayrılan zaman bir kısım programlarda daha da çoğalır, diğer programlarda kısmen azalsa da, dersler arasında, matematik dersine hemen her zaman
yer verilir.
Bu durum, matematiğin ne olduğuna, niçin bu kadar önemli bulunduğuna dikkat
çekmektedir. Bu noktaların açıklığa kavuşturulması, bu kitapta yer alan diğer ünitelerin anlaşılmasına da yardımcı olacaktır.
Bu ünitede matematiğin ne olduğuna, diğer bilim dalları ile olan ilişkisine, konu
alanları itibariyle nasıl sınıflandırılabileceğine ve ilköğretimde matematik öğretiminin amaçlarının neler olduğuna yer verilecektir.
2. Matematik Nedir?
"Matematik nedir?" sorusuna bazı kaynaklar "aritmetik, cebir, geometri gibi sayı ve
ölçü temeline dayanarak niceliklerin özelliklerini inceleyen bilimlerin ortak adı"
şeklinde bir tanım vermektedir. Bu tanım matematiğe sadece ilköğretim düzeyinde
bakınca yeterli görünse de, daha geniş bir açıdan bakıldığında yetersiz kalmaktadır.
Çünkü sayı ve ölçüyü temel almayan matematik de vardır. Ayrıca matematik yalnızca niceliklerin özelliklerini değil sistemlerin özelliklerini de inceler. Ayrıca matematiğin diğer bilimlerden destek almamak, kendi kendini üretmek gibi özellikleri
vardır. Matematiği bir tanım cümlesinin içine sığdırmak zor görünmektedir. Bu
noktadan hareketle aşağıda matematikle ilgili bazı açıklamalara yer verilmektedir.
Matematiğin konusu, sayılar, şekiller, kümeler, fonksiyonlar ve uzaylar gibi soyut
kavramlar ve bunların arasındaki ilişkilerdir. Matematikçi bu varlıkların yapılarını
ve özelliklerini inceler ve bunlarla ilgili genellemeleri ortaya çıkarır.
Matematik bilginin üretilmesinde izlenen yol matematiğe hastır ve ispatlama
olarak adlandırılır. Bir matematikçi örneklerden yola çıkmaz, geneli ilgilendiren
düşünceyi kanıtlamaya çalışır ve bu düşünce tüm örnekler için geçerli olur. Bunu
basit bir örnekle açıklayacak olursak, "iki tek sayının toplam bir çift sayıdır", düşüncesinin ispatlanması; tek sayı formuna uygun iki değişkenin seçilmesi (k ve k' birer
doğal sayı olmak üzere S1 = 2k + 1, S2 = 2k' + 1) ve bunların toplanması, elde edilen sonucun çift olduğu (2 çarpanını içermesi) gösterilmek suretiyle yapılır. Elde
edilen sonucun herhangi iki tek sayıya uygulanması sadece bir doğrulamadır. Matematik düşüncenin geliştirilmesine hakim olan bu yaklaşımın adı tümdengelimdir. Tümevarım ile yapılan matematik ispatlar da vardır. Bunlar ya elemanlarının tamamı incelenebilecek kadar az olan sonlu kümelerle ilgilidir veya tümdengelimle ispatın mümkün olmadığı durumlardır. "n tane ardışık tek sayının toplamı
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
3
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
4
n2'dir". Bu ispat yönteminde de elde edilen sonuç genel için doğrudur. ispatlama
yaklaşımlarındaki bu durum "Matematik bilgi, deneye dayanmayan ama deneyle doğrulanabilen bir bilgidir" şeklinde ifade edilebilir. Fizik, kimya, biyoloji ve diğer bilimlerden yöntem olarak ayrılışı buradadır. Ayrıca matematik, diğer tüm bilimlerin gelişmesine katkı verir, ancak kendi gelişmesinde diğer bilimlerden yararlanmaz, yani matematik bilgi yine matematik bilgi yardımıyla üretilir.
?
Matematikçiler, elde ettikleri bir kuralın tüm örnekler için geçerli olduğundan
nasıl emin oluyorlar?
Aslında yukarıda matematiği, onun bir takım özellikleriyle açıklamaya çalıştık. Bu
özellikleri; matematiğin; bir bilgi alanı olması; kendine has dili olan bir iletişim aracı
olması, ardışık ve yığılmalı bir bilim olması, varlıkların kendileri ile değil, aralarındaki ilişkilerle ilgilenmesi, insan beyninin yarattığı bir soyutlama olması, birçok bilim dalının kullandığı bir araç olması ve bir düşünce biçimi olması olarak ifade edebiliriz.
3. Matematiğin Ögeleri
Matematiği somut ve soyut oluşuna göre ikiye ayırmak mümkündür. Somut matematik, pratik hesaplamalar, problem çözme ve ölçme yaparken kullandığımız matematiktir. Buna faydacıl ya da sosyal değer taşıyan matematik diyebiliriz. İkincisi,
matematiğin kendi iç tartışmalarının yer aldığı matematiktir. Teoremlerin ispatı, sayı sistemlerinin kurulması, yeni matematik yapıların yaratılması ve bunların iç dinamiğinin açıklanması bu kapsamdadır. Bu tür matematik pür matematik diye bilinir ve soyuttur. Pür matematiğin hayatla ilişkisi zaman içinde oluşmaktadır. Gelişmesi sadece insan zihninin merakını giderme ve gerçeği bulma uğraşına bağlıdır.
Matematiğe değişik cephelerden bakıldığında bazı sınıflamalar yapmak mümkün olur. Matematiği değişik cephelerden gösteren yandaki prizmadan, kapsamındaki alanlar itibariyle matematiğin, sayılar, cebir, ölçüler, şekiller ve cisimler ve veri işleme (istatistik) olmak
üzere beş temel alana ayrıldığı görülür.
Matematiğe uygulama alanları cephesinden baktığımızda üç ayrı uygulama
alanı görebiliriz. Bunlar (1) Pratik etkinlikler, (2) Gerçek hayat etkinlikleri ve (3)
Matematiğin kendi iç tartışmalarıdır.
Şekil 1.1: Değişik Açılardan Metamatik
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
Matematiği; bilgi ve beceri kazanma amacıyla, günlük işleri yürütmede kullanma,
pratik etkinlikler kapsamında, bir köprü yapımında ya da bir direğin boyunu hesaplama amacıyla kullanma gerçek hayat problemleri kapsamında, teoremlerin isbatı, cebirsel yapılar oluşturma ve matematik problemlerinin çözümü için kullanma
matematiğin kendi iç tartışmaları kapsamında düşünülen etkinliklere örnek olarak
gösterilebilir.
Matematiksel yollarla çalışma (Matematiğin hayatı etkileyiş biçimi) cephesinden
baktığımızda da matematiği üç ana bölüm halinde ele alabiliriz. Bunlar (1) Genel
kullanım, (2) Matematik ile iletişim, (3) Muhakeme etmedir.
Genel kullanım kapsamında; bir işi yaparken ihtiyaç duyulan matematiği kullanma, matematiği kullanarak bir işi planlama, elde edilen sonuçların gerçeğe uygunluğunu test etme, problemlere değişik çözümler sunmayı düşünebiliriz. İletişim
kurma kapsamında; matematik bilgiyi anlama ve yorumlama, bir işle ilgili mantık
yürütme, bir soru üstüne konuşurken matematikten yararlanma, bir çözümün sonuçlarını anlamlı biçimde sunma. Son olarak muhakeme etme kapsamında da; hipotez kurma ve genelleme yapma, tahmin etme, ispat yapma, ispatı reddetme, tanım yapma, verilere bakarak sezgide bulunma gibi etkinlikleri sayabiliriz.
Bu açıklamalar çerçevesinde matematiğin öğelerini; mantık, sezgi, çözümleme, yapı kurma, genellik, bireysellik ve estetik olarak sıralayabiliriz.
4. Matematik Nasıl Doğmuştur?
Matematiğin doğuşuyla ilgili iki temel yaklaşım vardır. Bunlardan birincisi, matematiği insanın kendisinin icat ettiği, ikincisi ise, matematiğin evrende var olduğu insanın onu zaman içinde farkettiğidir. İkinci görüşü destekleyen doğal kanıtlar oldukça fazladır. Doğada herşey kararlı davranmaktadır. Bir filize dizili yaprakların
fizile yapışma noktaları arasında eşit açılar vardır. Fasulye filizi; çubuğa tırmanırken tam bir helis çizmektedir. Bir helis bir noktadan belli yüksekliğe dolanarak çıkmak için en kısa yoldur. Arı peteği düzgün altıgendir. Düzgün altıgen düzlemi homojen örtebilen çokgensel bölgeler arasında bir köşeden en az sayıda ayrıt çıkarmak
suretiyle yapılanıdır. Böylece en az malzeme ile düzlemi parsellemek mümkün olmaktadır. Gök cisimleri konik yollar üzerinde koşarlar. Ayçiçeğinin tohumları, biri
sağa diğeri sola dönen ve birbirini kesen iki grup logaritmik sarmal şekline dizilmişlerdir. Işık düzleme deyince, dik doğrultuyla eşit açı yaparak yansır. Doğada ve evrendeki kararlılığın matematikle iç içeliği apaçıktır. Bundan ötürüdür ki, matematik
yapmakla evreni ve evren içindeki olayları açıklayacak bilgi üretilir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
5
6
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
Şekil 1.2: Ayçiçeği Tohumları İki Logaritmik Sarmal Şeklinde Dizilir
Sonuç olarak matematik, insan zihninin çevreden aldığı esin ve ilk hareketle, soyutlama yapmak suretiyle ürettiği bir bilgidir. Bu bilgi evrendeki diğer olayları (sistemleri) açıklamak için bir model oluşturmaktadır. İleri düzeyde matematik yapmak
için çevrenin etkisine ihtiyaç kalmamakta mevcut matematik materyal ve düşüncenin kendisi yeterli bir çevre oluşturmaktadır. Yani bir yerden sonra matematik kendi sorularını, buna bağlı olarak da araştırmalarını ortaya koymaktadır. Bu duruma
matematiğin her alanından örnekler bulmak kolaydır.
Örneğin "üçgen; doğrusal olmayan üç noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçaların kümesidir" tanımını biz yapmaktayız ve muhtemelen bu tanımlamanın
çevreyi tanıma ve açıklamayla kısmen bir ilgisi vardır. Ne var ki üçgende yüksekliklerin, açıortayların, kenarortayların bir noktada kesişmesi, dokuz nokta çemberinin
varlığı vs. çevreden ilgisiz, mevcut matematik bilgi üzerindeki araştırma ile ortaya
çıkan gerçeklerdir.
Matematiğin nasıl doğduğu, matematikçilerin matematikle uğraşma biçimlerine
bakılarak da açıklanabilir. Matematikçilerin, matematiği kullanma ya da matematik
çalışma biçimleri iki başlık altında düşünülebilir.
4.1. Araç Olarak Matematik
Matematik, bir takım bilgilerle insan hayatına destek veren bir bilimdir, bu nedenle
gereksinimler doğrultusunda oluşmuştur. Ölçüler, dört işlem tekniği buna örnek
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
olarak gösterilebilir. Uygulamalı matematik olarak bilinen tüm matematik konuları, araç olarak üretilen matematik kapsamında ele alınabilir.
4.2. Amaç Olarak Matematik
Matematik bu anlamda bir araç değil amaçtır ve yalnızca "Bilme ihtiyacının ürünüdür, bir düşünme ve doğruyu arama uğraşıdır." Matematik bu uğraşın sonucunda
ortaya çıkmıştır.
Teorik matematikçilerin benimsedikleri bu anlayışı haklı gösterecek pek çok örnek
vardır. Örneğin; "x2 - 1 = 0 denkleminin çözümü vardır ve çözüm x = ±1 dir. Öyleyse x2 + 1 = 0 denkleminin de bir çözümü olmalıdır"; sezgisi sanal sayıların tanımlanmasını ve buna bağlı olarak karmaşık sayılar kümesinin kurulmasını beraberinde getirmiştir. Karmaşık sayılarda, analitik fonksiyonlar teorisini doğurmuştur.
Daha basit bir örnek olarak "Bir üçgende üç yüksekliğin bir noktada kesişmesi"ni
göz önüne alalım. Bu sonucun her üçgen için doğru olup olmadığının araştırılması,
bu düşünceyi ilginç bulan, "Acaba tüm üçgenlerde böyle mi?" diye kafa yoran insanın işidir ve matematik bu tür yaklaşımlarla üretilmiştir. Üretilen matematiğin herhangi bir ihtiyacı karşılamasının ya da kullanılıp kullanılmamasının önemi yoktur.
Yani, matematik uygun zihinsel ortamlarda, zihnin kendine bir soru sorması ile başlamaktadır. Bu soru "bilme ve anlama" diyebileceğimiz entellektüel bir duygudan
kaynaklanır. Bu duygu da bir ihtiyacın sonucudur.
Sonuç olarak matematik, matematiğe karşı duyarlı kişilerin düşünme gücü sayesinde oluşmakta ve kendi iç devinimi ile gelişmektedir. Pratik ihtiyaçların ürettiği matematik de vardır. Matematiğin ilk gelişmeye başladığı yer olarak kabul edilen Mezopotamya, Mısır ve Çin'de nehir taşmaları sonucu kaybolan arazi sınırlarını belirleme ihtiyacı ölçmeyi ve düzlemsel şekillerin tanınmasını, nehirin ne zaman taşacağı ise takvimle ilgili ilk bilgilerin ortaya çıkmasını sağlamıştır. Harplerde üstün gelebilmek, doğal afetlere karşı koyabilmek gibi ihtiyaçlar matematiksel temellere dayanan birçok yeni buluşun yapılmasına yol açmıştır.
Özetle matematik alanında yapılan araştırmaların az bir kısmı pratik ihtiyaçlardan,
çoğu "bilme ve anlama" tutkusundan ileri gelmiştir ve soyuttur. 17. yy.'da Galileo,
top mermilerinin parabolik bir yol izlediğini, Kepler, gezegenlerin güneş çevresinde elips yörüngeler çizdiklerini ortaya koymuştur. Bunlar ve daha önce verdiğimiz
örnekler göz önüne alınınca, evrenin en ince ayrıntısından tümüne kadar bir yapılar
kompleksi olduğu, matematiğin de bu yapıların (sistemlerin) açıklanmasında başvurulan bir bilim olduğu görülüyor.
5. Matematik Öğretiminin Amaçları
Matematiğin insan hayatındaki önemi ve bilimsel hayatın gelişmesine olan katkısından ötürü, matematik öğretimi önem kazanmakta ve matematik öğretimine okul
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
7
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
8
öncesinden başlayarak, ilköğretim ve sonrasında geniş bir zaman ayrılmaktadır.
Matematik öğretiminin amacı genel olarak şöyle ifade edilebilir. Kişiye günlük hayatın gerektirdiği matematik bilgi ve becerileri kazandırmak, ona problem çözmeyi öğretmek ve olayları problem çözme atmosferi içinde ele alan bir düşünme
biçimi kazandırmaktır.
İnsanın çevresi geometrik eşya ve yapılarla kuşatılmıştır. Kullanılan eşyaların tamamı çok çeşitli geometrik cisimlerin yalın ya da bileşik halleridir. Bunları tanımak,
insan hayatının her anında sıkça yer alan ölçü aletlerini kullanmak ve elde edilen sonuçları yorumlamak temel matematik beceriler gerektirir. Televizyon ya da gazete
haberlerindeki sayısal verileri ya da grafikleri anlamak yine bazı temel matematik
bilgi ve beceriler sayesinde olur. İnsan, hayatında sıkça birşeyleri karşılaştırma daha
iyi ve daha uygun olanı seçme durumunda kalır. Karşılaştırma varlıkların nitel ve
nicel özellikleri üzerinde yapıldığı için karşılaştırmada da temel matematik bilgilerden yararlanılır.
?
Lisede veya ortaokulda öğrendiğiniz herhangi bir matematik bilgiyi günlük bir
işte kulandığınız oldu mu? Örneğin hayatınızda hiç ikinci derce denklem çözme
ya da benzerlik bağıntılarını kullanma durumunda kaldınız mı? Eğer kullanmadıysanız bunların öğretiminin gerekliliği sizce nasıl açıklanabilir?
Problem çözmeyi öğrenme ve olayları problem çözme yaklaşımı içinde ele alma
amacı da şöyle açıklanabilir. Bu yaklaşım, insanın çevresinde olup bitenleri anlaması, olayların nedenleri ve sonuçları arasındaki ilişkileri görmesi, bunlardan faydalanmasını sağlayacak bir düşünme biçimi geliştirmesini sağlar. Bu durum yaygın
bir deyimle muhakeme etme olarak ta bilinir. Burada sözü edilen problem çözme
yaklaşımının dört temel aşaması vardır. Bunlar;
•
•
•
Kişinin bir güçlükle karşılaşması halinde, bu güçlüğün kaynaklarını görme
ve güçlüğü yalın olarak ortaya koyma,
Güçlüğü ortadan kaldırabilmek için kullanılacak olan stratejileri seçme ve
planlama,
Bu stratejileri kullanarak güçlüğü giderme ve çözümü değerlendirmedir.
(Nasıl çözüldü? Başka çözüm yolu var mı? Çözüm bekleneni tam olarak vermekte midir? Güçlüğün değişik koşullar altında ortaya çıkması halinde çözüm
nasıl yapılır?)
Matematiğin burada açıklanan genel amacına ulaşması, bilgi, ve beceriler bakımından bir birikim gerektirir. Bu bakımdan her düzeydeki matematik öğretiminin amacı, öğrencilerin yaş ve sınıf düzelerine uygun olarak çeşitlenme gösterir. Bu nedenle,
sınıflara göre matematik öğretiminin amacı, öğrencilerin düzeylerine uygun gerekli
matematik bilgi ve becerileri kazandırmak, bunların kullanıldığı yer ve durumları
tanıtmak, kazanılan bilgi ve becerileri uygulayabileceği ortamlar hazırlamaktır.
Böylece kişinin gerekli durumlarda bu birikimini kullanabilmesi mümkün olur.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
5.1. İlköğretim Matematiğinin Amaçları
İlköğretim sonrasında öğrencilerin bir kısmı öğrenimi bırakıp hayata atıldığı için, ilköğretim programları günlük hayatın gerektirdiği hemen her türden bilgi ve beceriyi kazandırmayı amaçlarlar. Bunun yanısıra öğrencilerin eğitimlerini sürdürmeleri
durumunda da, eğitimleri için gerekli olacak temel matematik bilgi ve becerilerin
kazandırılması da amaçlanmıştır.
İlköğretim Matematik Programı, ilköğretim Matematik Dersinin Amaçlarını 23
madde olarak vermiştir. Bunlar bazı maddeleri birleşik ifade etmek suretiyle şöyle
özetlenebilir:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Matematiğin hayattaki yerini ve önemini kavrayabilme, matematiğe karşı
olumlu tutum geliştirebilme,
Günlük hayatta gerekli olan yazılı ve zihinden hesap yapma becerisini kazanabilme,
Problem çözme ve problem kurma yeteneğini geliştirebilme,
Günlük hayatta kullanılan ölçü, grafik, plan ve çizelgelerden yararlanabilme,
Yüzde, faiz, kâr, zarar, indirim gibi günlük hayatta sık karşılaşılan hesaplamaları yapabilme,
Geometrik şekil ve cisimleri tanıma, bunların arasındaki ilişkileri kavrayabilme, alan ve hacimlerini hesaplayabilme,
Sayı sistemini kavrayabilme,
Cebirsel işlemler becerisi edinebilme, denklem ve denklem sistemlerini kavrayabilme ve bunları günlük hayattaki problemlere uygulayabilme,
Basit trigonometri bilgisine sahip olabilme,
Olasılık ve istatistiğin temel kavramlarını anlayabilme, bilgi ve düşüncelerini anlatmada bunlardan yararlanabilme,
Tümevarım ve tümdengelim ile düşünebilme, yaratıcı ve eleştirici düşünme
yeteneğini geliştirebilme,
Karşılaştığı problemleri tanıma, sınırlama, çözme ve bu çözümleri değerlendirebilme.
6. Matematik Öğretiminin Temel İlkeleri
Hiçbir ilke ya da kuram'a bağlı olmadan öğretim yapmak mümkündür ve muhtemelen ilkel toplumlarda öğretim böyle olmaktaydı. Belli bir plan ve ilkeler doğrultusunda yapılan eğitimin emek, zaman ve etkililik bakımından daha iyi olacağı
açıktır. Matematik öğretiminde amaca ulaşılabilmesi için uyulması gerekli başlıca
ilkeler aşağıda tanıtılmıştır.
•
Kavramsal temellerin oluşturulması
Matematik, kendisi başlı başına bir dil olduğu için birçok temel kavrama sahiptir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
9
10
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
Kavram, sözcük olarak "belirli ortak özellikleri taşıyan nesne ve olayların adı" dır.
Açı, üçgen, yüzey, işlem, benzerlik, limit, dizi, türev vs. birer matematik kavramdır.
Bir matematik konusunun öğretimi yapılırken, o konuya ilişkin temel kavramları
tam olarak kazandırmadan alıştırma ya da uygulama çalışmalarına geçmek ezbere
öğrenmeye yol açar.
Paralelkenar konusu incelenirken "paralelkenar nedir? diğer dörtgenlerden farkı
nedir?"
Çokgensel bölgelerin alanları incelenirken "çokgen nedir? alan nedir? alanı ölçmek
nedir?" sorularına verilen cevaplar kavram bilgisi ile ilgilidir. Bu sorulara tam cevap
veremeden de öğrencilere, alan hesaplama formüllerini ezberlemek suretiyle, çokgensel bölgelerin alanları hesaplattırılabilir, ancak bu etkili ve kalıcı bir öğrenme olmaz.
Kavram bilgisini tam olarak verebilmek için öğretmenin dikkat edeceği nokta, konu
ile ilgili tanımları tam olarak kazandırmaktır. Kavramın ne olduğunu vermenin yanısıra ne olmadığının da verilmesi gerekir. Kavram kazandırılmadan alıştırmalara
nadiren yer verildiği olur. Bu da kavrama karşı bir ilgi ve sempati yaratmak için yapılır. İlköğretimde kavram bilgisi verilirken fazlaca sembolik ve matematiksel dilden kaçınılmalı, öğrencilerin anlayabileceği bir dil kullanılmalıdır.
Yamuk tanımını bildiğiniz şekliyle bir kenara not ediniz. Daha sonra bir kaynağa bakarak eksik ya da fazla ifadeleriniz varsa düzeltiniz.
Bir kavramın özellikleri, örnekleri değiştiği halde hep aynı kalan unsurlarıdır. Kavramın kazandırılmasında bunların öne çıkarılması önemlidir. Yamuk için "iki kenarı paralel olan düzlemsel dörtgendir" ifadesi gerekli ve yeterlidir. Bu tanımın verilmesi sırasında karenin, dikdörtgenin, paralelkenarın, eşkenardörtgenin de birer yamuk oldukları ortaya konmalıdır. Bunlar yapılmadığı taktirde kavramla ilgili bilgi
öğrencinin zihninde soyutlanmamış, netleşmemiş olur. Kavramların oluşturulması, kavramla ilgili detaylı bilgiye daha sonra yer verileceği durumlar (sözgelimi yamuğun çizimi, çevresi, alanı vs.) için çok önemlidir.
•
Önşartlılık ilişkisi
Matematik konuları diğer derslere göre daha güçlü bir sıralı yapıya sahiptir. Bunun
temel nedeni matematiğin hiç bir dış katkı almadan kendisini üretmesidir, yani ardışık ve yığılmalı bir bilim olmasıdır. Herhangi bir kavram onun önşartı durumundaki diğer kavramlar kazandırılmadan tam olarak verilemez.
Önşartlılık ilişkisi bazı konular için doğrusal bir yapıdadır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
11
B
●
●
●
A
B
C
A
D
C
Şekil 1.3: Konular Arasındaki Önşartlılığın Biçimleri
A kavranmadan B ye, B kavranmadan C ye geçme şansı yoktur. Sayıların öğretimi
bu modele uygundur. Tek basamaklı sayılar öğrenilmeden iki basamaklılar, iki basamaklılar öğrenilmeden üç basamaklılar öğrenilemez.
Bu durum tüm konularda ortaya çıkmaz. Bazı konularda temel alınacak konu çeşitlilik gösterebilir. Bunu şöyle örnekleyebiliriz. Üçgenin alanını kavratmak için dikdörtgenin alanından yararlanılabileceği gibi paralelkenarın alanından da yararlanılabilir. Bu modele ağ modeli denilebilir. Ağ modelinin uygun düştüğü konularda
öğretmen, temel alınacak konulardan hangisi sınıf tarafından daha iyi biliniyorsa
konuyu onun üzerine kurmalı ve ondan yararlanmalıdır. Önşartlılık ilişkisi olan konuların herbirinin bilinmesi halinde, bunlardan birine öğretim sırasında yer vermek, diğerini uygulama sırasında kullanmak ve böylece öğrencilere seçenek sunmak en idealidir.
•
Anahtar kavramlara önem verme
Bazı matematik kavramlar, diğer konuları işlerken bir araç gibi kullanılır. Bunlara
bilgiyi hatırlama veya üretme için sıkça başvurulur. Birim çember, kenarları 2 birim
olan eşkenar üçgen, dikkenarları 1'er birim olan ikizkenar dik üçgen, açıların trigonometrik değerlerini bulmada birer araçtırlar. Sayı doğrusu, işlem tekniğinin ve sayı sisteminin kavratılmasında, sık kullanılan bir araçtır.
İşlemlerin özellikleri, zihinden hesap yapmanın anahtarıdır. Bu yüzden öğrenildiği
gibi kalmamalı, gerek günlük hayatımızda, gerekse derslerin kapsamındaki hesaplamada kullanılmalıdır.
Burada öğretmene düşen görev, araç niteliğindeki bu kavramları kendisinin kullanması ve yeri geldiğinde de öğrencilere kullandırtmasıdır.
•
Öğretimde öğretmen ve öğrencinin görevlerinin iyi belirlenmesi
Matematik derslerinde öğretmen, yeri geldikçe konuyu açıklayarak anlatan, yeri
geldikçe öğrencilerle tartışan, yeri geldikçe sadece öğrenci çalışmalarını izleyen konumlardadır. Mutlaka öğretmen tarafından anlatılması ve açıklanması gereken "örneğin; iki kesrin birbiriyle çarpılması, trigonometrik denklem, eşitsizlik, vb." soyut
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
12
kavramların verildiği durumlarda öğretmene büyük görev düşer. Eğer öğretmen,
öğretimi amaçları doğrultusunda gerçekleştiremezse, öğrencilerde ezberleme eğilimi artar veya onarılması güç hatalı öğrenmeler ortaya çıkar. Bunun yanısıra matematik derslerinin büyük bir çoğunluğunda öğretmen sınıfta araç ve materyal hazırlığı yapan, öğrencilerin grup şeklinde mi yoksa bireysel olarak mı çalışacağına karar
veren, onların bilgiyi üretmeleri ve kullanmaları için ortam hazırlayan bir kişidir.
Bu ortamı hazırladıktan sonraki görevi, öğrencilerin bilgiyi üretme ve uygulama sırasında çektikleri güçlükleri gözlemek ve onlara yardımcı olmaktır. Çalışma sonunda ise, sınıf tartışması açıp konu ile ilgili ortak sonucu öğrencilerle paylaşmak ve öğrencilerin birbirleriyle paylaşmasını sağlamaktır.
•
?
Öğretimde çevreden yararlanma
Matematik dersi işlerken sınıfa getirdiğiniz herhangi bir market malzemesi oldu
mu? Olduysa ne için getirdiniz?
Matematik öğrenmenin temel amacı çevreden ve olaylardan anlam çıkarma, onları
daha iyi yorumlayabilme olup, bu amaca en iyi şekilde ulaşabilmek için, bazen çevre
sınıfa, bazen de ders çevreye taşınmalıdır. Böylece öğrenilen bilgi, daha kolay uygulamaya geçirilebilir. Bu durum özellikle ilköğretim matematiği için çok önemlidir
ve ilköğretim matematiğinin her konusu için uygun örnekler vardır.
Çokgensel bölgelerin alanlarının hesaplanmasında "evimizin ya da sınıfımızın pencere camı tutarının, boya-badana tutarının hesaplanması",
Yüzde (%) hesaplarının öğretiminde bir banka hesap defterindeki işlemlerin analizi,
Hacim hesaplarında bir marketten alınan farklı boylardaki kutu ambalajlar üzerinde çalışma,
Grafiklerin öğretimi için, altın ve döviz fiyatlarındaki değişimi gösteren gazete sayfaları,
Alışveriş hesapları için bir lokantanın yemek fiyat listesi veya marketlerin fiyat cetvelleri uygun araçlardır.
•
Araştırma çalışmalarına yer verme
İlköğretim matematiği öğretim etkinliklerinde, öğrencilerin düzeylerine uygun
olarak, rutin olmayan problemler ve araştırma çalışmalarına yer verilmeli, onların
bu konular üzerinde bireysel ya da grupça çalışmaları sağlanmalıdır. Bu tür çalışmalar onların öğrendiklerini uygulamalarına olanak sağladığı gibi bağımsız çalışma, özgün düşünme ve açıklama yapma yeteneklerini geliştirir. Örneğin;
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
13
"Kenar uzunlukları 60 cm. ve 100 cm. olan dikdörtgen şeklindeki bir kartondan en
büyük hacimli üstü açık kutu yapabilmek için köşelerden kesilmesi gereken karelerin boyutu ne olmalıdır?"
Böyle bir çalışma öğrencilerin yürütebileceği bir araştırmadır. (Bu problemin kesin
cevabı, üst düzey bir kavram olan türev kavramını gerektirir). Bu düzeyde beklenen
ise, öğrencilerin köşelerden kesilen karenin boyutunun değişimi ile oluşan kutunun
hacminin değişiminin paralellik göstermediği, ancak en büyük olan bir hacim değerin varlığını farketmeleri ve bunu bulmaya çalışmalarıdır. Bu amaçla öğrencilerin
aşağıdaki tabloyu doldurmaları ve bu tablonun satırlarını ihtiyaca göre artırmaları
gerekli ve yeterlidir.
Kesilen
(cm)
60 cm
Hacim
3
5 cm
50 x 90 x 5 = 22500 cm
10 cm
40 x 80 x 10 = 32000 cm3
15 cm
–
–
–
17 cm
–
–
–
20 cm
–
–
–
25 cm
–
–
–
100 cm
•
Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirme
Öğrencilerin birçoğu hata yapma korkusuyla matematik etkinliklerinden uzak durmakta ve başarısız olmaktadır. Matematik korkusu ve kaygısı üzerine yapılmış
araştırmalar öğrencilerin matematikle ilgili yaşantıları arttıkça, matematiğe karşı
olumlu tutumlarında azalmalar gözlendiğini ortaya koymuştur. Öğrencinin matematiğe karşı tutumunda, öğretmenin rolü büyüktür. Bu nedenle öğretmen, öğrencilerin matematiğe karşı olumlu tutum geliştirmelerini sağlayacak önlemler almalıdır. Önerilen bazı önlemler şunlardır:
•
•
•
•
•
İlkokulun ilk yıllarından itibaren öğrenciler gelişmişlik düzeylerine uygun
matematik etkinliklerle karşı karşıya getirilmeli, onların kapasitelerini zorlayacak etkinliklerden kaçınılmalıdır.
Matematik derslerinde uzun ve can sıkıcı ödevlerden kaçınılmalı, alışılmış
rutin alıştırmaların yanısıra öğrencilerin ölçme yapmalarını gerektiren, onları
araştırmalara yönelten ödevler de verilmelidir.
İşlem kavramları ve bu işlemlerin teknikleri öğretilirken ezberleme yerine
bunların anlamları üzerinde durulmalı, işlemlerin tekniklerini açıklayıcı ders
materyali, kavram ve algoritmalar pekişinceye kadar öğrencilerin görebilecekleri mekanlarda bulundurulmalıdır.
Öğretmen, matematikte aynı sonuca ulaşan yöntemlerin çokluğunu sezdirmeli ve öğrencilerin bulduğu farklı çözümleri önemsemelidir.
Çocuklar gerek işlem ve çizim yaparken, gerek problem çözerken yeterli zaman kullanabilmeli, yetiştirememe kaygısı içinde bırakılmamalıdırlar. Ayrıca
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
14
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
•
•
öğrencilerin problem çözme ve işlem yapma sırasında düştükleri hatalar hoşgörü ile karşılanmalı, bu hataları giderici, onarıcı ve yol gösterici çalışmalar yapılmalıdır.
Matematiğin eğlendirici, dinlendirici yanı öğrencilere tanıtılmalı, matematik
öğretiminde oyunlaştırılmış etkinliklere yer verilmelidir.
Matematik etkinlikler sırasında öğrencilerin kendi düşüncelerini açıklamaları
için fırsatlar verilmeli, başarılı öğrencilerin hızlı çözümlerinin, yavaş olan öğrencileri bloke etmesi önlenmelidir.
Özet
Matematik için, üzerinde herkesin birleştiği bir tanım henüz verilememiştir. Bunun nedeni
kapsamının geniş olması ve felsefi temellerinin çeşitlilik göstermesidir. Matematiğin konusu; sayılar, şekiller, cisimler, uzaylar fonksiyonlar ve bunların birbirleriyle olan ilişkileridir.
Matematik, matematiğe karşı duyarlı kişilerin düşünme gücü sayesinde çevresinden aldığı
ilham sonucunda oluşmuş ve kendi iç devirimi ile gelişmektedir. Matematik alanında yapılan çalışmaların bir kısmı, çeşitli alanlarda duyulan gereksinimler nedeni ile yapılan uygulamalı çalışmalar, çoğu ise "bilme ve anlama" tutkusundan kaynaklı soyut çalışmalardır.
Matematik öğretimiyle; bireylerde bir takım yetenekler, değerler ve tutumlar geliştirilmek
amaçlanır. Bu genel amaç içerisinde ilköğretim matematik öğretiminin amacı; bireyin, içinde
yaşadığı topluma ekonomik, sosyal, kültürel ve bilimsel yönden uyum sağlamasına olanak
sağlayacak matematik bilgi ve becerileri kazandırmaktır.
İlköğretim matematik öğretiminin, amaçları doğrultusunda gerçekleşebilmesi için uyulması
gerekli bir takım ilkeler vardır. Bunların başlıcaları; konu ile ilgili temel kavramların kazandırılması, yeni bir konuya girerken önkoşul konumundaki ön öğrenmelerin belirlenmesi, öğretimde çevreden yararlanılması ve öğrencinin matematiğe karşı olumlu tutum geliştirmesine yardımcı olunmasıdır.
Değerlendirme Soruları
1.
Matematik bilgi için verilen aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A. Matematik bilgi mutlaka bir işe yaramalıdır. Yaramaz ise matematik olmaktan çıkar.
B. Matematik bilginin çoğu harplerin ve doğal afetlere karşı verilen savaşların sonucunda ortaya çıkmıştır.
C. Matematik bilgilerin çoğu tümevarım yöntemiyle elde edilmiştir.
D. Matematik bilgilerin çoğu deneysel yöntemle elde edilmiştir.
E. Matematik bilgilerin çoğu doğruyu bilme ve anlama uğraşının sonucunda
elde edilmiştir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
2.
Aşağıdakilerden hangisi bir gerçek hayat problemine örnek olarak verilebilir?
A. Boğaziçi köprüsünü taşıyan halatların yükünün hesabı
B. Bir pencere camının eninin ve boyunun ölçülmesi
C. Bir üçgende üç iç açı ortayın bir noktada kesiştiğinin gösterilmesi
D. Bir doğruya paralel olan iki doğrunun paralel olduğunun gösterilmesi
E. Seçim sonuçlarının dairesel grafikle anlatılması
3.
Aşağıdakilerden hangisi matematikle ilgili bir pratik etkinliktir?
A. Pazar alışverişinde harcanan paranın hesabı
B. Kenarları verilen bir üçgenin çizimi
C. Bir dairenin 1/100 ölçekli planının çizilmesi
D. Bir bataklığın genişliğinin üçgenlerde benzerlik yardımıyla hesaplanması
E. Bir sınıftaki öğrencilerin notlarının standart kaymasının hesabı
4.
Aşağıdakilerden kaç tanesi matematiğin birer iç tartışmasıdır?
• İki açısı verilen üçgenin üçüncü açısının hesabı
• Bir çift zar atıldığında toplam 7 gelme olasılığının hesabı
• x+a = b denkleminin bir çözümünün varlığının ispatı
• Bazı bitkilerin davranışlarının matematikle açıklanabildiğini gösterme
• Asal sayıların sonsuzluğunun ispatı
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
5.
Matematiğin konu alanları kaç ana başlık altında ele alınabilir?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
6.
Aşağıdakilerden hangisi matematiğin ilköğretim düzeyindeki amaçlarından
biri değildir?
A. Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirebilme
B. Basit trigonometri bilgisine sahip olabilme
C. Olasılık ve istatistiğin temel kavramlarını anlayabilme
D. Tümevarım ve tümdengelim ile düşünebilme
E. Eşitsizlik sistemlerini kavrayabilme ve günlük hayattaki problemlere uygulayabilme
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
15
16
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
7.
Aşağıdakilerden hangisi matematik öğretiminin temel ilkelerinden biri değildir?
A. Önşartlılık ilişkisi
B. Anahtar kavramlara önem verme
C. Buluş yoluyla öğrenme
D. Öğretimde çevreden yararlanma
E. Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirme
8.
Matematik öğretiminde kazandırılacak bilgilerin öğretiminde "başka bir bilginin temele alınmak zorunda olmasını" aşağıdaki ifadelerden hangisi dile getirir?
A. Konuya hazırlık yapılması
B. Araştırma çalışmalarına yer verme
C. Olumlu tutum geliştirme
D. Ön şartlılık ilişkisi
E. Kavramsal temellerin oluşturulması
9.
Öğrencilerin örneğin dikdörtgenin alanını formül kullanarak yapması, ancak
alan formülü yerine zaman zaman çevre formülüne başvurması öğrenmede
hangi ilkenin gözardı edildiğini ortaya koyar?
A. Ön şartlılık ilkesi
B. Kavramsal temellerin oluşturulması
C. Anahtar kavramlara önem verme
D. Öğretmen ve öğrencinin rollerinin iyi belirlenmesi
E. Öğretimde çevreden yararlanma
10. Matematik öğretiminin en genel amacı "bireylere, olayları problem çözme atmosferi içinde ele alan bir düşünme biçimi kazandırmaktır" ifadesi ile aşağıdakilerden hangisi anlatılmak istenmektedir?
A. Matematik öğretimi dört işlem problemlerini çözebilme yeteneğini geliştirmelidir.
B. Geometri konularını da problem çözme kapsamında ele almalıdır.
C. Matematik öğretimi ile, güçlüğü sezen ve onu ortadan kaldırmak için
strateji geliştiren, yaptığı çözümü değerlendiren bireylerin yetişmesi amaçlanır.
D. Matematik öğretimi ile günlük hayatın gerektirdiği hesaplamaları iyi yapabilen bir insan yetiştirmek amaçlanır.
E. Matematik, insanın çevresindeki olaylarla ilgili olmalıdır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ
17
Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
Altun, Murat. Matematik Öğretimi. Bursa: 1998.
Busbridge, John ve D. Ali Özçelik. İlköğretim Matematik Öğretimi, Ankara: 1997.
MEB, İlköğretim Matematik Dersi Programı, İstanbul: 1991.
Aksu, M., Özdaş, A. ve diğerleri. Matematik Öğretimi. Eskişehir: 1991.
Değerlendirme Sorularının Yanıtları
1. E
2. A
3. A
4. B
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
5. C
6. E
7. C
8. D
9. B
10. C
Matematik Öğrenme ve
Öğretme Süreci
ÜNİTE
2
Yazar
Y. Doç.Dr. Murat ALTUN
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
• Öğrenme ve öğretim kavramlarını tanımlayabilir,
• Matematik öğretimini etkileyen başlıca öğrenme kuramlarını
bilir, Piaget, Bruner, Vygotsky, Van Hiele, Freudenthal'in öğrenme yaklaşımlarını açıklayabilir.
• Matematik bilgilerin çeşitlerini tanır ve bunlara örnekler verilebilir,
• Bir dersin hedeflerinin yazılmasında, Bloom Taksonomisinin
yerini ve önemini bilir, bu taksonominin bilgi, kavrama, uygulama düzeylerine uygun örnekler verebilir,
• İlköğretim Matematik Programını tanır, değerlendirelebilir ve
programla ilgili değişiklik önerilerinde bulunabilirler.
İçindekiler
• Giriş
21
• Matematik Öğretimini Etkileyen Bazı Öğrenme Kuramları 21
• Matematik Bilgilerin Sınıflandırılması, Hedef-Davranışların
Yazılması ve Öğretimi
26
• İlköğretim Matematik Programının Tanıtılması ve
Değerlendirilmesi
31
• Özet
36
• Değerlendirme Soruları
37
• Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
39
Çalışma Önerileri
• Yanınızda bir kâlem, kâğıt bulundurunuz ve metinleri çalışırken, içindeki hesaplama ve çizimleri yapınız,
• Yanınızda bir İlköğretim Matematik programı bulundurunuz
ve metinlerin içindeki sayfa numaralarını dikkate alarak programın ilgili sayfalarını inceleyiniz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
1. Giriş
Öğrenme, "bir takım yaşantılar sonucunda kalıcı izli davranış değişikliğinin oluşması" şeklinde tanımlanabilir. Bu tanıma göre zihinden çarpma yapmasını bilmeyen bir insanın çarpma işlemini yapar hale gelmesi, çember çizmesini bilmeyen birinin çemberi çizer hale gelmesi bir davranış değişikliğidir ve öğrenme olayının sonucudur.
Öğretme ise, "bireye belli bir davranışı kazandırmak (öğretmek) için uygun ortamın
hazırlanması, yönlendirilmesi ve öğrenmenin gerçekleştirilmesi etkinlikleri" olarak
tanımlanabilir. Yukarıda verilen örneklere devam edecek olursak, öğrencilerin, zihinden çarpma yapabilir ya da pergel yardımıyla çember çizebilir hale gelmesi için,
öğretmenin hazırlayıp uyguladığı etkinlikler, öğretimdir.
İnsanın ya da hayvanın nasıl öğrendiği, insanın öğrenmesine nasıl katkıda bulunulabileceği bilim adamlarını sürekli meşgul etmiştir ve etmektedir. Öğrenme olayının iyi tanınması ve öğretme modellerinin kullanılması, öğrenmeyi hem daha etkili
ve ekonomik kılmakta hem de geleneksel yöntemlerle tam öğrenilemeyen bazı kavram ve becerilerin öğrenilmesini sağlamaktadır.
Bu ünitede matematik öğretimini etkileyen psikologlardan ve bunların öğrenme
kuramlarından sözedilmektedir.
2. Matematik Öğretimini Etkileyen Bazı Öğrenme
Kuramları
Öğrenme Kuramları "Davranış Kuramları" ve "Biliş Kuramları" olmak üzere iki ana
başlık altında ele alınabilir. Matematik öğretimi, daha çok biliş kuramlarından etkilendiği için burada sadece biliş kuramlarına, kuramcılar esas alınarak yer verilecektir.
2.1. Jean Piaget (1896-1980)
Piaget zihinsel gelişim üzerinde çalışmış ve çocukların zihinsel gelişmelerinin sıralı
dört basamakta gerçekleştiğini bildirmiştir. Bu basamakların, nesneleri tasarlama
ve organize etme, nesneleri sembollerle gösterme ve diğer zihinsel beceriler bakımından karakteristik özellikleri vardır.
•
•
•
•
Duyusal Devinim Dönemi (Doğumdan 1 veya 1,5 yaşa kadar)
İşlem Öncesi Dönem (1 veya 1,5 yaştan yaklaşık 7 yaşa kadar)
Somut İşlemler Dönemi (7 yaştan ergenliğe kadar)
Soyut işlemled Dönemi (Ergenlikten itibaren)
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
21
22
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
Her çocuk bu dönemlerden sırasıyla geçer ancak çocuktan çocuğa, dönemlerle ilgili
yaşlar değişebilir. İlköğretim yaşı somut ve soyut işlemler dönemine rastlamaktadır. Piget, çocuğun matematik aktivitileri başarabilmesi için belirli bir olğunluğa
gelmiş olmasının gerektiğini ve bu olgunluğa gelmemiş çocukların, öğrenme yerine
ezberleyeceğini belirtmiştir. Somut işlemler dönemindeki bir çocuk, matematik işlemleri öğrenebilir ve yapabilir. Piaget'e göre somut işlemler dönemine gelmemiş
bir çocuk sayı sayabilir, hatta ikişer, üçer de sayabilir, ancak bütün bunlar onun matematik yapabileceği anlamına gelmez. Çocuğun matematik aktivitelere katılabilmesi için sayıyı koruma adı verilen "denk iki küme kurabilme, kümelerden birinin
elemanlarının seyreltilmesi halinde, kümelerdeki çokluğun değişmediğinin farkında olma" özellikleri ile açıklanan yeterliğin tamamlanmış olması gerekir. Bu dönemdeki öğrenmeler öğrencilerin yaşantılarına doğrudan bağlı olmalıdır. Ayrıca yine
Piaget'e göre soyut işlemler dönemine (12 yaş) gelmemiş çocuklar sembollerle düşünme, hipotezlerden yola çıkarak sonuca ulaşmayı başaramazlar.
Piaget'e göre öğrenme, çocuğun içinde bulunduğu gelişim basamağına uygun olarak, çevre ile etkileşim aracılığıyla gerçekleşir. Bu durum, çevrenin zihinsel olarak
yeniden oluşturulması, çevreyle uyum içinde olma şeklinde de ifade edilebilir.
Piaget'e karşı yaklaşımlar da vardır. özellikle belli öğretim faaliyetlerine getirdiği
yaş sınırlamaları bazı eleştireler almıştır. Bütün bunların yanında zihinsel gelişmeyi
detaylı olarak incelemesi ve matematik öğrenmelerin çoğunlukla bilişsel alanla ilgili olması, onun matematik öğretimini etkilemesine yol açmıştır.
2.2. Jerome Bruner
Bruner, öğrencilere kazandırılması düşünülen yeni bir kavramın sunulmasında üç
aşamanın yer alması gerektiğini savunmuştur.
Koni kavramının öğretimini yaparken yer verdiğiniz etkinlikleri üç-dört madde
halinde bir kenara not ediniz.
Bunlar somut metaryel kullanma, grafikle gösterme ve sembollerle göstermedir.
Bunun için hazırlanacak eğitim ortamında ve kullanılacak materyal seçiminde somut materyaller, grafik ve şemalar ve son olarak sembollerin kullanımına yer verilmelidir.
Bruner "buluş yoluyla öğrenme" üzerinde durmuş ve buluşla öğrenmenin zihinde
tutmayı ve transferi kolaylaştırdığını, öğrenmeyi güdülediğini savunmuştur. Buluş
yolunun matematikte geniş uygulama alanı vardır. bu yol kullanıldığında öğretmenin görevi; öğrencilere bilgiyi sunmaktan ziyade öğrencilerin bilgiye ulaşabilmeleri
için ortam hazırlamaktır. Böylece öğrenciler kavram ve ilkeleri kendi etkinlikleri ile
öğreneceklerdir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
23
Aşağıdake etkinlik üçgende içaçılar toplamının buluş yoluyla kazandırılması ile ilgilidir.
Etkinlik: Üçgenin İç Açıları Toplamı
Materyal: Üçgen şemaları, açıölçer
Grup: 2-3 kişi
İşlemler:
• Herbir gruba farklı bir üçgenin verilmesi ve öğrencinin bu üçgenlerin açılarını ölçüp toplamaları.
A
59°
B
65°
56° C
A
A
59°
65°
+ 56°
180°
27°
110°
+ 43°
27° 180°
B
46°
B
110°
46°
88°
+ 46°
180°
88°
43°
C
46°
C
•
•
Yapılan ölçümlerin öğretmen tarafından kontrolu.
Üçgenin iç açıları toplamının 180° olduğunun bulunması.
Buluş yoluyla öğretim için, öğrenme konusuna ilgi şarttır ve öğrencilerin, problem
çözme becerilerin geliştirilmiş olmaları gerekir.
Bir üçgende dış açılar toplamının 360° olduğunu ve bir dörtgende iç açılar toplamının 360° olduğunu yukarıdaki etkinliğe benzer şekilde öğrencilere nasıl buldurursunuz?
2.3. Lev Vygotsky
Bir Sovyet psikolog olan Lev Vygotsky (1896-1934), çocuğun bilişsel gelişmesinde
çevrenin çok önemli bir faktör olduğunu ortaya koymuştur. Çocukta zihinsel işlem
yapmanın kendi akranları ve yetişkinlerle olan etkileşimi ile geliştiğini belirten
Vygotsky, dil gelişiminin erken yaşlarda olmasını da kendiliğinden gerçekleşen ve
çocuğun isteyerek kurduğu etkileşime bağlamış, etkili öğrenmenin, uygun ortamlarda, birlikte yapılan etkinlikler, problem çözme faaliyetleri ile gerçekleşeceğini ileri sürmüştür.
Piaget'in, öğrenmede gelişmeyi ön plana çıkarması yanında, Vygotsky sosyal çevreyle etkileşimi öne çıkarmıştır. Vygotsky'nin düşüncelerinden, Matematik eğitiminde yararlanmak için iyi organize edilmiş öğretim ortamları hazırlamak ve öğAÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
24
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
rencileri etkileşim içinde olacakları, birlikte gerçekleştirecekleri etkinliklerle, birlikte çözebilecekleri problemlerle yüzyüze getirmek gerekir. Böylece öğrenme olayına
karşı çocukta, bir içselleşme (içten isteme) oluşacak ve öğrenme kendiliğinden gerçekleşecektir.
2.4. Pierre Van Hiele
Van Hiele, çocukta matematik, özellikle geometrik düşünmenin nasıl geliştiğine
ilişkin çalışmalar yapmıştır. Hiele'ye göre çocuğun geometrik kavramları geliştirmesi 5 aşamada olmaktadır. Bunlar 0, 1, 2, 3, 4 düzeyleri olarak bilinir. 0, 1, 2 düzeyleri ilkokul yaşlarına, 3 ve 4 düzeyleri ortaokul ve sonrasına tekabül eder.
•
0. Düzey (Gözönünde Canlandırma)
Bu basamaktaki çocuklar şekil ve cisimleri bir bütün olarak algılarlar. Çocuk için
"kare karedir." Karenin tanımını ve özelliklerini, tanıma bağlı olarak kavrayamazlar. Çocuk bu safhada özellik ve ayrıtları bütüne yapışık olarak algılamaktadır.
Bu evredeki çocuklara, geometri öğretiminde fiziksel gereçlerin sunulması, çocukların bunlarla oynamaları ve kullanmaları gerekir. Bunun için;
-
Üzerinde çalışılan şekillerin rastlanabilen çeşitlerine yer verilmelidir.
Çocuklara, geometrik eşya ve şekilleri yapmaları, çizmeleri için fırsatlar verilmelidir.
Geometrik eşya ve şekillerle ilgili gözlem ve düşüncelerini anlatmaları için
ortamlar hazırlanmalıdır.
Formal tanımlardan kaçınılmalı, çocukların şekil ve cisme örnek göstermeleri önemsenmelidir.
0 düzeyi aşamasındaki etkinlikler, ilkokulun 1., 2. ve 3. sınıfları için uygun etkinliklerdir. diğer sınıflarda da yeni tanıtılan kavramlar içir (Örneğin 5. sınıfta koni) benzer etkinliklere başvurulabilir.
•
1. Düzey (Analiz)
Bu evredeki çocuklar şekillerin özelliklerini analiz etmeye başlarlar ve şekillerin
özelliklerini tümüyle açıklayabilirler. "Yamuğun dört kenarı vardır. Dört açısı vardır. İki kenarı birbirine paraleldir. Kapalı bir şekildir" gibi. Bir kavramın (örneğin
kare) bir takım özellikler demeti, bu özelliklerin bir araya gelmesi hali olduğunu anlarlar.
Bu evredeki çocuklar şekillerle ilgili bazı genellemelere ulaşabilirler. Örneğin "eşkenar dörtgenin dört eş kenarı vardır veya parelelkenarın karşılıklı ikişer kenarı paraleldir" gibi. Bunun yanında şekil sınıfları arasındaki ilişkileri göremezler. "Dikdörtgen aynı zamanda bir parelelkenardır" gibi.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
Eğitim-öğretimde bu evrede, bir önceki düzeyin çalışmalarının bir devamı olarak;
-
Yararlanılan eşya ve şekillerin değişik özellikleri üzerinde konuşma, anlatma, bunların listesini çıkarma çalışmaları yapılmalıdır.
Kullanılan geometrik eşya ve şekilleri ölçme, tanımlama, şekli bozarak başka
bir şekle çevirme çalışmaları yapılmalıdır.
Eşya ve şekilleri göz önünde tutarak sınıflandırma ve adlandırma, bunun yanısıra bu şekiller üstüne problem çözme çalışmaları yapılmalıdır.
İlköğretim 3. ve 4. sınıfları bu devreye rastlar.
•
2. Düzey (Yaşantıya bağlı çıkarım)
Bu evre, şekil sınıfları arasında bağ kurabilmenin geliştiği evredir. Örneğin "yamuk
iki kenarı paralel olan dörtgendir", "Dikdörtgen açıları 90° olan paralelkenardır" gibi. Çocuklar bir şekli, onun karekteristik özelliklerini kullanarak sınıflayabilirler, fakat aksiyomatik sistemi kullanamaz ve usule uygun çıkarım yapamazlar. Geometrik bir ispatı izleyebilir ama kendi kendilerine ispat yapamazlar. Bu evrede çocuklar
özelliği veya ayrıtı bütünden ayrı olarak düşünebilmektedirler.
İlkokulun 5. sınıfı için önerilen etkinliklerin bir kısmı bu evreye uygundur. 2. Düzey
basamak ortaokul sınıflarında da devam etmektedir. Bu evrede çocuklar;
-
•
Kullandıkları geometrik eşya ve şekillerin neden faydalı oldukları, hangi
özelliklerinin ne işe yaradığı, üstüne konuşturulmalı,
Şekiller ve eşyalar ile ilgili, gözleme dayalı konuşmalar yapabilmeleri için ortam hazırlanmalı,
Şekil ve modellerle ilgili çizim yapma, şekil sınıflarının ortak özelliklerini
söyleme, genellemeye varma, hipotez kurma, hipotezi test etme gibi etkinliklere yer verilmelidir.
3. Düzey (Çıkarım)
Çocuklar bu dönemde bir aksiyomatik yapıyı kullanabilirler ve bu sistem içinde
kendi kendilerine ispat yapabilirler. Bir teoremin farklı uygulamalarını görebilirler.
Bu düzeyde çocuk için, şekillerin özellikleri, şekil ve cisimden bağımsız bir obje haline gelir. Bu dönem lise yıllarına tekabül eder.
•
4. Düzey
Bu düzeydeki öğrenciler farklı iki aksiyomatik sistem arasındaki ilişkileri ve ayrılıkları görebilirler. Öğrenciler bu düzeyde geometriyi bir bilim olarak ele alıp çalışabilirler.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
25
26
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
2.5. Hans Freudenthal
Hollandalı bir eğitimci olan Freudenthal (1905-1991), matematik öğretiminde "Realistik Matematik Eğitim" (RME) diye bilinen bir eğitim yaklaşımının kurucusudur.
RME'ye göre matematik, tümüyle bir insan aktivitesidir, gerçek hayattan yani doğal
çevreden, çevredeki eylem ve olguları açıklama amacıyla üretilmiştir. Öğretimi de
çevre merkezli olmalıdır. Yani her matematik konusunun öğretimine, uygun bir
çevresel olayla başlanmalıdır. Bu durum öğrenilen matematiği hem daha anlamlı
kılar ve hem de öğrenmeye karşı motivasyonu artırır.
RME'ye göre çocuğun matematiği öğrenmesi matematik yapma (matematiği keşfetme) şeklinde olmalıdır. Çocuk hedeflenen bilgiyi, bir problem çözme etkinliği sonucunda elde etmelidir. Bu problem çözme çalışmalarında çocukların grup olarak
çalışmalarının ve kendi stratejilerini ortaya koymalarının büyük bir önemi vardır.
RME'nin hareket noktası, zihnin nesneyi sezgi yoluyla kavradığı düşüncesidir. Bu
düşünceyle, herhangi bir matematik kavramının kazandırılmasında, çocuğun okul
öncesindeki gözlemlerinden ve izlenimlerinden hareket etmek gerekir. Bu bilgiler,
özel bir öğretim olmaksızın oluşmuş, informal kazanımlardır. RME yaklaşımı, matematik bilgilerin kazanılması ve kavranmasının arkasından uygulamalara geçilmesi şeklinde şekillenen formal matematik eğitiminden farklıdır. Freudenthal'e göre eğitime uygulamalarla başlanmalıdır. Bu uygulamalar, çocukların okul öncesindeyken yapmakta olduğu uygulamalardır. İnsan zihni, nesneleri sezgi yoluyla kavradığı için, nesneyle ilgili bilgi olmaksızın doğru kullanım, yani uygulama başlar.
Örneğin, çocuk açının ne olduğunu bilmeden, kendisine daha yakın mesafede bulunan, sözgelimi 10 m. yüksekliğindeki binanın, kendisine daha uzak mesafede bulunan sözgelimi 30 m. yüksekliğindeki binayı göstermeyeceğini bilir ve bu durum bir
realitedir. Öyleyse açı öğretimi için böyle bir izlenimden yararlanılabilir.
3. Matematik Bilgilerin Sınıflandırılması, HedefDavranışların Yazılması ve Öğretimi
Bir derste nelerin öğrenileceğini, konuların ne derinlikte öğrenileceğini o dersin
amaç ve davranışları belirler. Bu bakımdan öğretmenin, öğretim faaliyetlerine geçmeden önce, öğrencilere kazandıracağı amaç ve davranışları ayrıntılı olarak belirlemesi gerekir.
Mevcut ilköğretim sistemimizde bu hedef- davranışlar, Milli Eğitim Bakanlığınca
hazırlanan İlköğretim Matematik Programı ile öğretmenin hizmetine sunulmuştur.
Bu nedenle, Öğretmene düşen görev, bir derste bunların hangilerinin kazandırılacağına karar vermek ve işleniş ya da eğitim durumu olarak adlandırılan bölümde
bunları öğrenciye kazandırmaktır. Amaç ve davranışları öğretmenin kendisinin de
yazması mümkündür, ancak bu konuda özel bir bilgi ve deneyiminin olması gerekir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
İlköğretim sınıfları için geçerli olan ve birçok derse uygulanabilen aşamalı bir amaç
davranış sınıflaması B.S. Bloom tarafından verilmiştir ve Bloom Taksonomisi olarak
bilinmektedir.
Bu sınıflama genel alanlar itibariyle üç bölüme ayrılır.
•
Bilişsel alan
Bu alanın davranışları bilgilerle ve zihin yetenekleri ile ilgilidir. Kendi içerisinde altı ana basamağa ayrılmaktadır.
•
Duyuşsal alan
Bu alanın davranışları insanın geliştirdiği duygu ve değerlerle ilgilidir. Kendi içeresinde beşa ana basamağa ayrılmaktadır.
•
Devinişsel alan
Bu alan kas ve zihin koordinasyonu gerektiren becerilerle ilgilidir. Kendi içerisinde yedi basamağa ayrılmaktadır.
Bilişsel, duyuşsal ve devinişsel alanların ana basamaklarının da muhtelif sayıda alt basamakları vardır.
Bloom Taksonomisinin ana ve alt basamakları her ders için farklı öneme sahiptirler.
Kazanılması hedeflenen davranışlar matematik dersinde çoğunlukla Bilişsel Alana,
Müzik Dersinde çoğunlukla Duyuşsal Alana, Beden Eğitimi Dersinde çoğunlukla
Devinişsel Alana girer. İlköğretim Matematik Derslerindeki davranışların büyük
bir çoğunluğu Bilişsel Alanın altı ana basamağından Bilgi, Kavrama, Uygulama
basamaklarında yer alır. Diğerleri analiz, sentez, değerlendirmedir. Bu basamakların alt başlıklarından matematik dersini ilgilendirenler örneklerle şöyle açıklanabilir:
3.1. Bilgi Basamağı
Bilgi basamağının alt başlıklarından matematik derslerinde yer verilenler şunlardır:
•
Terimler bilgisi
Bu madde ile tanımlar anlatılmak istenir. Tanımlar matematik biliminin kuruluşunda yer alan ana öğelerden biri olduğu için çok önemlidir. Terim bilgisinin davranış
olarak ifade şekli;
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
27
28
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
-
Asal sayı tanımını söyleme veya yazma,
Eşkenar dörtgen tanımını söyleme veya yazma
Tamkare sayı tanımını söyleme veya yazma
Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o dar açının sinüsü dendiğini söyleme veya yazma şeklinde gösterilebilir.
•
Alışılar bilgisi (kabuller bilgisi)
Bu madde kapsamında kendi koyduğumuz ya da bizden önce konmuş hem iletişimi hem öğrenimi sürdürmek bakımından yararlı olan, keyfi adlandırmalar yer alır.
Matematik bir dil olduğu için matekatikte çokça kabul (veya alışı) bilgisi vardır.
Her matematik kitabı yazarının kitabındaki şekil ve elemanlarını farklı sembollerle gösterdiğini düşününüz. Ne tür zorluklarla karşılaşılırdı?
Alışı veya kabul bilgisinin tam öğrenilmesi matematik etkinliklerde öğrencilerin,
arkadaşlarıyla, öğretmenleriyle ve yazılı kaynaklarla iletişimini kolaylaştırır. Alışı
bilgsiyle ilgili birkaç davranış şöyle olabilir:
-
Üçgenin köşelerinin A, B, C kenarlarının a, b, c ile gösterildiğni söyleme veya yazma.
İki doğrunun paralel olduğunu d//d' örneğindeki gibi gösterme.
Bir doğru parçasının uzunluğunu |AB| örneğindeki gibi gösterme.
Bir denklemde bilinmeyenlerin x, y, z ile gösterildiğini söyleme.
İlköğretim Matematik Programında yukarıda örneklenen alışı bilgilerinin büyük
bir bölümü davranış listelerinde yer almamış, her sınıfla ilgili bölümün arkasında
"işaretler" başlığı altında verilmiştir.
•
Sınıflamalar bilgisi
Bir ders ya da konunun öğrenilmesi, bütün olarak anlaşılmasını kolaylaştıran herhangi bir özelliğe göre sınıflama yapma bilgisini kapsar. Sistematiği güçlü derslerde
oldukça çok sınıflama bilgisi vardır. Matematik konuları birçok sınıflama bilgisi içerir. Sınıflama bilgisil ile ilgili birkaç davranış örneği şöyledir:
-
Açılarına göre üçgen çeşitlerini söyleme veya yazma.
Sayı kümelerinin birbirleri ile ilişkisini çizerek göstreme.
Düzlemde doğruları konumlarına göre sınıflandırıp, bunların adlarını söyleme.
•
Yöntemler bilgisi
Her konu alanındaki bilgi edinme, yöntem ve teknikleri ile ilgilidir. Matematik
derslerinde de ispat yöntemleri, çizim yöntemleri vs. gibi birçok yöntem bilgisi varANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
dır. Öğrencilerin bunları bilmesi ve yerinde kullanması öğrenmeyi kolaylaştırır.
Aşağıdaki davranışlar yöntem bilgisine ilişkindir:
-
•
Bir teoremin doğrudan ispatının nasıl yapıldığını söyleme veya yazma.
Bir teoremin olmayana ergi yöntemi ile ispatının nasıl yapıldığını söyleme
veya yazma.
Bir teoremin çelişme ile ispatının nasıl yapıldığını söyleme veya yazma.
Bir doğruya dışındaki bir noktadan bir dikmenin nasıl çizildiğini söyleme
veya yazma.
Bir alandaki evrensel öğelerin ve soyutlamaların bilgisi
Bu basamak, somut bilgilerden hareketle varılan soyut genellemeler ve kuramlarla
ilgili olup, matematik dersi için büyük önem taşır. Çünkü matematiğin kendisi soyutlama yapmadır ve genellemelere varılarak gelişir.
•
İlke ve genellemeler bilgisi
Matematik bilgiler içinde ilke ve genellemeler çokça yer tutar. Hemen her matematik dersi içinde genel bir yargıya varılır. Buradaki genellemeler genel doğrular olup,
istisna kabul etmeyen düşüncelerdir. Her türden eşitlik bir genellemedir. "Üçgende
iç açılar toplamı 180°'dir. (A +B+C = 180°) " "Bir dik üçgende a2+b2 = c2 'dir" gibi.
Formüle indirgenmeyen genellemeler de vardır. Düzlemde aynı bir doğruya dik
olan iki doğru birbirine paraleldir" örneğindeki gibi. Matematik bilgiler arasında
genelleme bilgisine benzerlik gösteren bir de kurallar bilgisi vardır. Kurallar bizim
koyduğumuz davranış esaslarıdır. "Üçgen çizimine taslak ile başlanır" sonuçlarıdır.
Bu maddeye ilişkin davranış örnekleri şöyle verilebilir:
-
Üçgende iki kenar uzunlukları toplamının üçüncü kenar uzunluğundan büyük olduğunu söyleme veya yazma.
Bir sayının 9'a bölümünden kalanın, onun basamak değerleri toplamının 9'a
bölümünden kalana eşit olduğunu söyleme veya yazma.
3.2.Kavrama Basamağı
Bir bilginin hatırlanması onun bilindiği anlamına gelir. Ancak bu hatırlama ezberlemek suretiyle de olabilir, kavramak suretiyle de. İşte kavrama basamağı, kavrayan
bir kimseyi ezberlemiş olan bir kimseden ayıran davranışlardan oluşur. Kavrama
basamağında, öğrencinin bilgi basamağında elde ettiği bilgileri, anlamını bozmadan başka bir biçimde ifade etmesi, anlamını açıklaması, yorumlaması, bu yoruma
dayanarak gelecekteki durumları kestirmesi gereklidir. Matematik dersinde kavrama basamağı çok önem taşımaktadır. Çağdaş eğitim sistemini geleneksel eğitimden
ayıran hususlardan biri de "kavrama" ya önem vermesidir. Kavrama basamağının,
çevirme, yorumlama ve öteleme olmak üzere üç alt basamağı vardır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
29
30
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
•
Çevirme
Çevirme alt başlığı ile elde edilen bilginin bir iletişim biçiminden diğer bir iletişim
biçimine çevrilmesi anlaşılır. Grafikle verilen bir bilginin sayıya ve söze dökülmesi,
sözel olarak anlatılan bilginin formüle edilmesi ya da grafikle gösterilmesi, sözel bilginin simgelerle anlatılması gibi.
Öğrencinin ezberlediği bilgiyi çevrime şansı yoktur, çevirebilmesi için anlaması
(kavraması) gereklidir. Üslü sayılarla ilgili çevrimeye ilişkin davranışlar şöyle ifade
edilebilir:
-
5.5.5.5.5.5 biçiminde verilen bir çarpımı üslü olarak 56 şeklinde yazma ve
söyleme.
34 biçiminde verilen bir terimi 3.3.3.3 olarak yazma.
•
Yorumlama
-
Yorumlama alt başlığı ile bilgideki anlamın daha anlaşılır duruma getirebilmesi yani açıklanması kastedilmektedir. Yorumlama ile, genellemelerin neden ve niçinleri
ortaya konulur. Bu basamağa ait örnek davranış yazılımı şu şekilde olabilir:
-
Üçgenin iç açıları toplamının neden 180° olduğunu söyleme ve yazma.
Üçgende iki kenar uzunlukları toplamının niçin üçüncü kenar uzunluğundan fazla olduğunu söyleme ve yazma.
3.3.Uygulama Basamağı
Uygulama; öğrenilen bilginin, elde edilen becerilerin karşılaşılan yeni bir problemi
çözmede kullanılmasıdır. Bu durum bilginin kavranmış olmasını da gerektirir. Bu
yüzden uygulama düzeyindeki bir davranış, bilgi ve kavrama düzeyleri hakkında
da bir fikir verir.
Dairenin alanını hesaplamayı öğrenmiş bulunan bir öğrencinin, yarıçapı verilen bir
dairenin alanı hesaplaması bir uygulamadır, ancak bu tür uygulamalar alıştırma karekterindedir. Gerçek uygulama öğrenilen bilginin hayati olaylara uygulanmasıdır.
Hesaplama becerileri olan ve düzlemsel şekillerin alanlarını hesaplamasını bilen bir
kişinin sınıfın badana tutarını hasaplaması bir uygulamadır. Uygulama düzeyindeki davranış yazmaya örnek olarak;
-
Verilen bir probleme uygun denklemi kurma, bu denklemi çözme, sonucu
söyleme veya yazma.
Kesilmemiş bir ağacın çevresini ölçerek kaç m3 kereste üretebileceğini söyleme veya yazma gösterilebilir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
Yukarıda tanıtılan bilgi türlerinin herbirinin öğretimi, bunların kavranması ve uygulamaya geçirilmesi öğretmenin öğrenme ortamını hazırlaması ve bu ortamda
yaptıracağı etkinliklerle gerçekleşir. Derslerin planlanması, hangi aşamalarda ne
tür etkinliklere yer verileceği, hangi yöntemlerin kullanılacağı tümüyle öğretmene
düşen bir iştir. Bu bakımdan öğretmenin, bir bilginin nasıl kazandırılacağı, nasıl
kavratılacağı ve nasıl uygulamaya sokulacağına ilişkin bilgiye ihtiyacı vardır. Yöntem bilgisi ve planlama bilgisi olarak adlandırabileceğimiz bu iki konu, kapsamlarının genişliğinden ötürü ayrı ünitelerde ele alınacaktır.
Öğretim faaliyetlerinin planlanmasında öğretmenin en temel yardımcısı İlköğretim Matematik Programıdır. Öğretmenin bir matematik dersini planlaması, programdan uygun amaç ve davranışları seçmesi ile başlar. Bu noktada planlamaya olan
katkısından ötürü İlköğretim Matematik Programının kısaca tanıtılmasında ve değerlendirilmesine yer verilmiştir.
4. İlköğretim Matematik Programının Tanıtılması ve
Değerlendirilmesi
İlköğretim Matematik Programından herhangi bir konuyla ilgili amaç, davranışlar, işleniş ve değerlendirme metinlerini inceleyiniz. Davranışlarla işleniş maddeleri, işlenişlerle değerlendirme maddelerinin birbirleriyle ilgili olanlarını işaretleyiniz.
Mevcut İlköğretim Matematik Programı (mavi kitap) daha önce uygulamada olan
İlkokul Matematik Programının (pembe kitap) 6., 7. ve 8. sınıfları da kapsayacak şekilde genişletilmesi ve içerikte yapılan kısmi değişikliklerle 19.11.1990 tarihinde uygulamaya konmasıyla elde edilmiş bir programdır. İlköğretim Matematik Programı
(İ.M.P) bir programda bulunması gereken dört öğenin,
-
amaç ve davranışlar
konular
eğitim durumları
değerlendirme
öğelerinin dördüne de sahiptir. Bu bakımdan çağdaş bir programdır. 441 sayfa olarak düzenlenmiş olan mavi kitapta ayrıca 32 sayfa genel açıklamalara ayrılmıştır.
Genel açıklamalarda, programda yer alan konuların öğretiminde, öğretmenin nasıl
davranması gerektiği açıklanmıştır. Bu kısım, programın dört ögesine de özellikle
eğitim durumları kısmına destek vermek üzere hazırlanmıştır. Madde başlıklarıyla
programın durumu şöyle özetlenebilir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
31
32
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
4.1.Genel Açıklamalar
Programın ilk 32 sayfasını inceleyiniz ve bu kısmın ne amaçla yazıldığını düşününüz.
Genel açıklamalar bütün olarak ele alındığında bu kısmın işlenişlerle ilgili bir takım
tavsiyelerden oluştuğu gözlenir. "Kümeler arasındaki ilişkilerden denklik, eşitlik kavramları üzerinde durulucak ve sembolle gösterilecektir. (s:5)", "Sayı ve kesirlerin kavratılmasında, sayı doğrusundan yararlanılmalıdır. (s:12)" , gibi 32 sayfada elverdiği ölçüde yer alan bu açıklamaların, tüm konuları kapsaması imkansızdır. Aslında buna gerek de yoktur. Çünkü burada söylenenler, davranış listelerinde
zaten vardır. Bu bölümde, matematiğin ne olduğunu tanıtılıp, matematik öğretimin amaç ve davranış yazımında kullanılan sistematik, içeriğin (konuların) seçiminde göz önüne alınan kriterler, işleniş ve değerlendirmede kısımlarının yazılmasında göz önüne alınan ilkeler verilip açıklansaydı daha iyi olurdu. Bu ilkelere
birkaç örnek vermek gerekirse şunlar söylenebilir.
-
-
Matematikle kazanılan bilgiler, çoğunlukla uygulama düzeyine çıkarılmalıdır.
Çevreden yararlanma matematiğe karşı ilgi ve motivasyonu artırır. Bundan
ötürü her matematiksel etkinliğe çevreden bir model ya da problemle başlanmalıdır.
Öğrencinin matematiği bir başkasından öğrenmek yerine, kendisinin yaratmasına imkan hazırlanmalıdır.
Grupla çalışma, matematik bilgiyi keşfetme için en etkin yoldur. Bunun için
imkan oldukça grup çalışmalarına yer verilmelidir.
Matematik derslerinde önşartlılık ilişkisi büyük önem taşır, v.s. gibi.
Ayrıca bu bölümde matematik öğretiminde kullanılabilecek yöntemlere yer verilmeli ve bu yöntemlerin etkili kullanım şekilleri tanıtılmalıydı.
Genel açıklamalarla ilgili başka birkaç önemli nokta da şunlardır:
İşlemler (s.9) başlığı altında sıkça zihinden işlem yapma ve tahmin etmenin öneminden söz edilmiştir. Ne varki zihinden işlem yapma nedir? Yazılı işlem yapmadan
farkı nedir? bu açıklamanmamış, zihinden işlem yapmanın, işlemlerin özellikleri ile
olan ilişkisi belirtilmemiştir. Zihinden işlem yapma, işlemlerin özelliklerinin kaynaklık ettiği kolaylıkları kullanarak işlem yapmaktır. Böylece çoğu kez kâğıt-kalem kullanmadan, bazen de yazılı işlem yaparken daha çabuk işlem yapmak mümkün olur. Bu düşünceyle işlemlerin özellikleri tanıtılırken, özelliğin yukarıda belirtilen faydacıl yanı öne çıkarılmalıdır. Programın 15 ve 16. sayfasında çarpmanın birleşme özelliği 4 x 5 x 3=? işlemi üzerinde tanıtılmış
(4 x 5) x 3 = 4 x (5 x 3)
20 x 3 = 4 x 15
60 = 60
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
eşitliği elde edildikten sonra "üç sayının çarpımında değişik gruplamalar, sonucu
değiştirmez ve bu özelliğe çarpmanın birleşme özelliği denir" ifadesine yer verilmiştir. Örnek olarak 4 x 5 x 3 =? veya 32 x 4 x 25 =? seçilseydi, birleşme özelliğinin zihinden işlem yapmayı nasıl kolaylaştırdığı kolayca görülürdü. Benzer eksiklikler
diğer işlem örneklerde de vardır.
46 + 75 =? işlemini 40 + 70 =110 , 6 + 5 = 11, 110 + 11 = 121 şeklinde, 7 x 99 =? işlemini 7 x
100 = 700, 7 x 1 =7, 700 - 7 = 693 şeklinde yapmak zihinden yapmaktır ve burada sırasıyla birleşme, değişme, dağılma özellikleri kullanılmaktadır. Program zihinden
hesap ile işlemlerin özellikleri arasındaki bu bağlantıyı öne çıkarmakla öğretmene
daha iyi yol gösterici olabilir.
4.2.Amaç ve Davranışlar
Programda "İlköğretim Matimatik Dersinin Genel Amaçları" başlığı altında 23
madde, daha sonra sekiz sınıfın herbiri ile ilgili sınıf amaçları yazılmıştır. Daha sonra da sınıf amaçlarının her biri tek tek ele alınarak bunların davranış listeleri verilmiştir.
Genel olarak bakıldığında amaç ve davranış yazılımında, yapılması gereken etkinliklerin ardı sıra ifade edilmesi gibi bir yol izlendiği anlaşılmaktadır. Bu yazılım biçimi bazı davranışların gözden kaçmasına yol açmıştır. Örneğin, İ.M.P. sayfa 394'te
yedinci sınıflar için düzenlenen "Rasyonel Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi Becerisi" amacı ile ilgili olarak verilen, 12 davranıştan hiç biri kavrama düzeyi ile ilgili değildir. Bu davranış yazılımı öğretmeni bilgiyi ezberletmeye itmekte, matematikteki
genellemelerin nerden geldiğini araştırmayı engellemektedir. Bu davranışların arasına, davranış olarak "iki kesir birbirine bölünürken neden ikincinin ters çevrilip birinciyle çarpıldığını söyleme veya yazma" ifadesine yer verilmesi gerekirdi.
İkinci bir örnek olarak yine yedinci sınıf programındaki, (s. 427) "Dairenin çevresini
ve alanını hesaplama becerisi" amacı ile ilgili verilen 9 davranıştan, dairenin çevresi
ve dairenin alanı gibi çok önemli iki genellemenin nerden geldiğini araştırmaya dönük, kavrama basamağı ile ilgili davranışlara yer verilmemiştir. Bu durum öğretmende, konuyu alıştırmalarla öğretme, yani ezberletme eğilimini artıracaktır. Bu
davranışların arasına, davranış olarak;
-
"Dairenin çevresinin neden 2πr olduğunu, sebebiyle birlikte söyleme ve yazma",
"Dairenin alanının neden πr2 olduğunu sebebiyle birlikte söyleme veya yazma.
ifadeleri yerleştirilseydi sözü edilen eksikler ortadan kalkardı.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
33
34
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
Bloom Taksonomisi ya da matematik dersi için düzenlenebilecek yeni bir hedefdavranış yazım sistemi benimsenmediği takdirde, mevcut programdaki davranış
metinlerdeki bu tür eksikliklerin giderilmesi mümkün değildir.
İlköretim Matematik Programının davranış listelerinde gözlenen bir başka eksik
de, aşırı derecedeki binişik (tekrar) yazılımdır. "çemberi, verilen düzlemsel şekiller arasında seçip işaretleme" ifadesi ikinci, üçüncü, dördüncü ve beşinci sınıflarda
yer almaktadır. Bunun iki ve üçüncü sınıfların programlarında yer almasından sonra, dört ve beşinci sınıfların programında tekrar yer almasına gerek yoktur.
Burada örneklenen tekrar durumuna çok sık rastlanmaktadır. Bunların azaltılması,
programı daha sade duruma getirebilecektir.
4.3.Kapsam
İlköğretim Matematik Programı'nda konular, matematiğin doğasına ve ön şartlılık
ilişkisine göre iyi sıralanmıştır. Program şeritler halindedir. Matematik dersinde konuların ne derinlikte ele alınacağı sınıflara göre değiştiğinden ünite yerine şerit şeklinde ele almak daha uygundur.
Şekil 2.1: Matematik Programında Şerit Yapısı
Konuların sınıflara düşen payları incelendiğinde 5., 7. ve 8. sınıfların yükünün ağır
6. sınıfın hafif olduğu gözlenmektedir.
4.4.Eğitim Durumları (işlenişler)
İ.M.P. de öğretmenin düzenleyeceği sınıf içi öğretim çalışmalarına örnek oluşturmak üzere her şerit için birer örnek işleniş verilmiştir. İşleniş örnekleri sadece bir hedef ve onun tüm davranışlarıyla ilgilidir. İşlenişler davranışlara parelel olarak sırayla yapılması gereken etkinlikler şeklinde düzenlenmiştir (s: 58, 94..... 454, 478).
Bir işleniş metninde her şeyden önce, konunun, sürenin, kullanılacak yöntemin,
kullanılacak araç-gerezçlerin belli olması gerekir. İ.M.P. deki işleniş metinlerinde
bunların hiçbiri yoktur. İşlenişlerin içeriği incelendiğinde de öğrencilerin konuya
geçmeden önce gerekli önşart davranışlarının sorgulanmadığı, dikkatlerini topANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
lamak için herhangi bir etkinliğe yer verilmediği anlaşılmaktardır. Ayrıca öğrencilerin gruplamı yoksa bireyselmi çalıştırılacağı, hangi sorulara çevap verecekleri
belirtilmemiştir.
Bütün işleniş metinleri birbirine benzemektedir, yani kavram bilgisi, kural bilgisi ya
da herhangi bir becerinin kazandırılması hep aynı yaklaşımla verilmiştir. özetle işlenişler son derece mekanik etkinlikler olup öğretmene örnek oluşturacak nitelikten yoksundur.
Amaçlar ve Davranışlar maddesindeki örneklere tekrar dönülecek olursa, yedinci
sınıf programındaki "Rasyonel Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi Becerisi" ile ilgili işleniş metninde (s: 398), ilk madde olarak bölmeyle ilgili kural verilmiş, öğrencilerin
bu kuralı elde etmeleri için herhangi bir etkinlik önerilmemiştir. İşlenişin buradan
sonraki maddelerinde, çokça alıştırmaya yer verilmiştir. Bölmenin kullanıldığı gerçek bir uygulamaya (probleme) da yer verilmemiştir.
İkinci örnek olarak yukarıda değinilen ve yedinci sınıf programında yer alan "Dairenin çevresini ve alanını hesaplama becerisi" (s: 429) amacı ile ilgili işlenişte dairenin alanı ile ilgili kısım, dersin içinde "Dairenin alanının π sayısı ile yarı çapın karesinin çarpımına eşit olduğunun söylenmesi" şeklinde bir ifadeyle verilmiş, daha sonra bununla ilgili alıştırma örnekleri verilmiştir. Oysaki bu işleniş sonuç olarak bir genellemeye ulaştığı için öğrencilerin bu bilgiye buluş yoluyla ulaşması gerekirdi.
Ayrıca bu işleniş metninde de bu bilginin ne işe yarayacağını işaret eden bir uygulama yoktur.
Sonuç olarak gerek ilk 5 sınıf, gerek son 3 sınıf için verilen işlenişlere bir hayati durumla destek verilmelidir. Bunun için işleniş metni hazırlanırken, bu bilgi niçin
var? Nerede işe yarar? sorularının düşünülmesi yeterlidir.
4.5.Değerlendirme
İ.M.P. de değerlendirme metinleri her işlenişe bağlı olarak, onun bir eki gibi sunulmuştur. Kullanılan sorular her öğretmenin kolayca aklına gelebilecek oldukça basit
sorulardır. Daha çok alıştırma sorularına yer verilmiştir ve bunların öğretmene pek
bir katkısının olacağı beklenemez.
Değerlendirme metinleri, öğrencileri izleme, eksikliklerini belirleyip eğitim faaliyetlerini buna göre çeşitlendirme amacıyla ya da öğrence başarısını belirleme amacıyla hazırlanır. Bu esas göz önüne alınarak değerlendirmede kullanılan sorular çeşitlendirilmelidir. Ayrıca matematik derslerinde kazanılan bilgilerin çoğunun uygulama düzeyine çıkması halinde ancak kullanılabileceği düşünülerek öğrenciler
gerçek hayat problemleri ile karşılaştırılmalıdır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
35
36
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
Matematik programının, ders kitapları ve yardımcı kaynakların hazırlanmasındaki
etkisi de gözönüne alınarak, değerlendirme metinlerindeki sorular yeniden düzenlenmelidir. İlköğretim ders kitaplarında ve kaynaklarda, problemler genel olarak
tekbir doğru cevabı olan sorular şeklinde düzenlenmiştir. Oysaki, soruların çözümü bazen olmayabilir, bazen de bir den çok olabilir. Bu durumu programda örneklendirmek, öğretmene rehberlik bakımından önemlidir. Örneğin, "iki basamaklı bir
sayının düz ve ters yazılışı arasındaki fark 45 ise bu sayı kaçtır?" sorusunun dört
doğru cevabı vardır. "Kareleri toplamı 48 olan iki tamsayı bulunuz" sorusunun ise
cevabı yoktur.
Mevcut İlköğretim Programı, çağdaş öğrenme kuramlarından kısmen nasibini almış, ancak net ilkeleri ve sistematiği olmayan, öğretmene beklendiği ölçüde yol göstermeyen, konu ve yazılım şişkinliğine sahip bir programdır.
Çocukta zihin gelişimi, çağdaş öğrenme kuram ve ilkeleri, dikkate alınarak yeniden
gözden geçirilmesi gerekmektedir.
Özet
Matematik öğretimini etkileyen öğrenme kuramcılarının başında Piaget, Bruner, Vygotsky,
Van Hiele ve Freudenthal gelmektedir.
Piaget çocuk zihin gelişimini incelemiş, zihinsel gelişimi belli safhalara ayırmış ve öğrenmenin, zihinsel gelişme düzeyi ile çok yakından ilgili olduğunu ortaya koymuştur. Öğrenmede
çevre ve çevre ile etkileşimin önemine de değinmiş ve öğrenmeyi çevre ile uyum içinde olma
olayı olarak açıklamıştır.
Bruner, öğrenmede buluş yolunun üzerinde durmuş ve öğrencilerin kavram ve bilgileri kendilerinin bulması halinde daha kolay transfer edebildiğini ortaya koymuştur.
Vygotsky, çocuğun öğrenmesinde çevre ile olan iletişimin önemine değinmiş ve bu iletişim
kurma isteğinin çocuktan gelmesi halinde öğrenmenin çok çabuk ve tam olduğunu ileri sürmüştür.
Van Hiele, çocukta geometrik düşünmenin nasıl geliştiği üzerinde çalışmış ve geometrik düşünmenin gelişiminin beş ana basamağa ayrılabileceğini ortaya koymuştur. İlköğretim çağındaki çocukların geometri etkinliklerinde, şekilleri ve cisimleri tanıyıp bunların özelliklerini kavrayabileceklerini, bunları özelliklerine göre sınıflayabileceklerini, ancak aksiyomatik
yapıyı kullanamayacaklarını ileri sürmüştür.
Freudenthal, matematiğin bir insan aktivitesi olduğunu ve matematik öğrenmenin problem
çözme yaklaşımı ile matematik yapmak şeklinde olması gerektiğini ortaya koymuştur.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
Bloom bilgileri bir sınıflamaya tabi tutmuş ve bilişsel alanla ilgili bilgilerin kazanılmasında
aşamalı altı ana basamak önermiştir. Bu basamaklardan üç tanesi bilgi, kavrama, uygulama
ilköğretim çağı için uygundur.
Öğretim faaliyetlerinde öğretmenin en büyük yardımcısı programdır. İ.M.P. çağdaş bir
programın özelliklerini taşımaktadır ve matematik derslerini işlemede öğretmenlere yardımcı olacak niteliktedir.
Programın en büyük eksiği, her konu ile ilgili olarak verilen işleniş ve değerlendirme metinlerinde her tür bilginin aynı yaklaşımla kazandırılmaya çalışılmasıdır. Ayrıca davranış yazılımlarında kavrama basamağı ile ilgili davranışlar genelde gözardı edilmiş bulunmaktadır.
Değerlendirme Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1.
Piaget insan zihninin gelişiminin dört ana basamakta incelenebileceğini göstermiştir. Bu dört basamaktan hangi ikisi ilköğretimde görevli bir öğretmeni
daha çok ilgilendirir?
A. Duyusal devinim ve soyut işlemler dönemleri
B. İşlem öncesi ve somut işlemler dönemleri
C. Somut işlemler ve soyut işlemler dönemleri
D. İşlem öncesi ve soyut işlemler dönemleri
E. Duyusal devinim ve somut işlemler dönemleri
2.
Çocuğun zihin gelişimi ile ilgili "sayı korunumu" kavramının anlamını aşağıdakilerden hangisi vermektedir?
A. Söylenen bir sayıyı hafızasında tutma
B. Bir kümedeki nesneleri işaret ederek sayma ve elde edilen son sayıyı söyleme
C. Denk iki küme kurma ve her birindeki elaman sayısını söyleme
D. Denk iki küme kurma ve bunlardan birindeki eşyalar seyreltildiğinde
denkliğin bozulmadığını anlama
E. Sayıları öğrenme ve bunları dört işlem yapmada kullanabilme
3.
Bir Rus psikolog olan Lev Vygotsky öğrenmede etkili olan en önemli faktör
olarak aşağıdakilerden hangisinin üzerinde durmuştur?
A. Çocuğun öğrenmeye istekli oluşu
B. Çocuğun çevresi
C. Öğrenmenin buluş yoluyla yapılması
D. Öğretmenin etkisi
E. Çocuğun içinde bulunduğu koşullar
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
37
38
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
4.
Pierre Van Hiele'ye göre çocuğun geometri öğrenmesi kaç ana basamakta ele
alınabilir?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 10
5.
Çocukların bazı kavramlarla ilgili bilgisi olmadığı halde, uygulama yaptıklarını ve bundan ötürü öğretime uygulamalardan başlanması gerektiğini savunan
eğitimci hangisidir?
A. Piaget
B. Freudenthal
C. Vygotsky
D. Bruner
E. Geldhof
6.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir hedef ifadesidir?
A. Üçgen çeşitleri bilgisi
B. İki kenarı eşit uzunlukta olan üçgene ikizkenar üçgen dendiğini söyleme
C. İki kenarı paralel olan dörtgene yamuk dendiğini söyleme
D. İki işlemli bir problemi çözüp sonucunu yazma
E. Denklem tanıtımını yazma
7.
İlköğretim Matematik Programı (İ.M.P.) ile ilgili olarak aşağıda verilen bilgilerden kaç tanesi yanlıştır?
- İMP 5 yıllık bir eğitimle ilgilidir.
- İMP'de amaç ve davranış yazılımı bakımından zaman zaman tekrar yazılıma yer verilmiştir.
- İMP de her amacın ayrıca işlenişine yer verilmiştir.
- İMP de verilen her işlenişle ilgili bir değerlendirmeye yer verilmiştir.
- İMP de "genel açıklamalar" diye bir bölüm vardır.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
8.
Kavrama basamağında daha çok hangi tür bilginin neden ve niçinlerine cevap verilir?
A. Terim bilgisi
B. Yöntem bilgisi
C. Alışı bilgisi
D. Genelleme bilgisi
E. Sınıflama bilgisi
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
9.
39
"Üzerinde tırmanmanın yasak olduğu bir ağacın boyunu, gölgesinin boyundan yararlanarak hesaplamak" mümkündür. Matematik dersinde yer verilen
böyle bir çalışma aşağıdaki basamaklardan hangisine uygundur?
A. Kavrama
B. Uygulama
C. Analiz
D. Sentez
E. Değerlendirme
10. İlköğretim Matematik Programından, aşağıda verilen bilgi türlerinden hangisi elde edilemez?
A. Amaçlar
B. Davranışlar
C. İşlenişler
D. Yöntemler
E. Konular
Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
Altun, Murat. Matematik Öğretimi. Bursa: 1998.
Baykul, Yaşar. Matematik Öğretimi. Ankara: 1995.
Busbridge, Tohn ve D. Ali Özçelik. İlköğretim Matematik Öğretimi, Ankara: 1997.
MEB, İlköğretim Matematik Programı, İstanbul: 1990.
MEB, İlköğretim Matematik Dersi Programı, İstanbul: 1991.
YÖK, İlköğretim Matematik Öğretimi, Ankara: 1997.
YÖK, Ortaöğretim Matematik Öğretimi, Ankara: 1997.
Değerlendirme Sorularının Yanıtları
1. C
2. D
3. A
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
4. C
5. B
6. A
7. B
8. D
9. B
10. D
Matematik Öğretim
Yöntemleri
ÜNİTE
3
Yazar
Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
• Matematik derslerini işlemede kullanılan yöntemleri tanıyabilecek,
• Bir öğretim yönteminin uygun düştüğü bilgi türüne örnek verebilecek,
• Bir matematik bilginin öğretimine uygun yöntemi seçebilecek
ve bu seçimin gerekçelerini açıklayabilecek,
• Öğretimde farklı yöntemleri etkili bir biçimde kullanabileceksiniz.
İçindekiler
• Giriş
43
• Yöntemlerin Sınıflandırılması ve Seçimi
43
• Matematik Derslerini İşlemede Kullanılan Yöntemler
44
• Özet
53
• Değerlendirme Soruları
54
• Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
56
Çalışma Önerileri
• Bu üniteyi çalışırken yanınızda, makas, cetvel, yapıştırıcı, renkli
kağıtlar vs. bulundurunuz. Metinlerin içerisinde önerilen etkinlikleri yapınız.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
1. Giriş
Öğretim yöntemi, öğretim etkinliklerinde amaca ulaşmak için izlenen yol olarak tanımlanabilir. Bilgi edinmede zaman ve kalitenin önem kazanmasıyla, öğretimde
kullanılan yöntemler de önem kazanmıştır. Yöntemden beklenen, sonuca götürücü
olması, tam öğrenmeye yol açması, az maliyetli olması gibi özelliklerdir.
Bu ünitede matematik derslerini işlemede kullanılan yöntemler tanıtılacak ve her
birinin kullanımına ilişkin örnekler verilecektir.
2. Yöntemlerin Sınıflandırılması ve Seçimi
Öğretim yöntemlerinin neler olduğu ve nasıl sınıflandırılacağı konusunda bu güne
kadar tam bir birlik sağlanmış değildir. Bunun nedeni öğretimde kullanılan yollar
için yöntem sözcüğünün yanısıra teknik ve strateji sözcüklerinin de kullanılmasıdır. Bazı sınıflama biçimleri aşağıda tanıtılmaktadır.
Öğretim yöntemleri, öğretmen veya öğrenciyi eksen alması durumuna göre öğretmen merkezli ve öğrenci merkezli olmak üzere iki sınıfa ayrılır. Öğretmen merkezli yöntemde aktif olan öğretmendir. Öğretmen bilgiyi aktarır, öğrenci dinler ve
öğrenmeye çalışır. Öğrenci pasiftir ve alıcı durumdadır. Öğretmenin derste çok soru
sorması ve öğrencilerin derse katılımını sağlaması onlardan aldığı cevapları toparlayıp özetleyerek sonuca gitmesi dersi öğrenci merkezli hale getirmez. Bu durumda
ders yine öğretmen merkezli bir derstir. Düzanlatım yöntemi, soru cevap yöntemi
öğretmen merkezli yöntemlerdir.
Öğrenci merkezli yöntemlerde ise öğrenciler hazırlanmış bulunan öğretim ortamlarında bilgiyi kendileri üretirler. Öğretmene sorular sorar ondan yardım alırlar ancak bu sorular öğrencilerin kendi ihtiyaçlarından doğan sorulardır. Öğretmenin konumu sorulan sorulara cevap vermek, öğrencilerin bir güçlükle karşılaşmaları halinde onlara yol göstermektir. Aşağıda tanıtılacak olan buluş yolu, senaryo ile öğretim, deneysel yöntem, oyunlarla öğretim öğrenci merkezli yöntemlerdir.
Matematik derslerinde öğretilen bir bilginin işe yaraması, çoğu kez onun kavranması ve uygulamaya geçirilmesi ile mümkün olur. Örneğin orantının özelliklerini
bilmek, öğrenciye birşey kazandırmaz; çünkü hayatta, yazılı sınavların dışında
kimseye orantının özellikleri sorulmaz. Bunun yanısıra insan herhangi bir gününü
planlarken "Geçen gün 85 m2 duvarı badana etmek için 7 saat harcadım. Bu gün
200 m2 badana yapmam gerekiyor. Bu iş ne kadar zamanımı alır? Bir günde bitirebilir miyim?" gibi bir soruyla yüzyüze kalabilir. Bu örneğin de gösterdiği gibi matematik bilgilerin kazandırılmasının yanı sıra, bunların kavrama ve uygulama düzeyleri çok önem kazanmaktadır. Bundan ötürü matematik derslerinde kullanılan
yöntemler çeşitlilik göstermektedir. Hatta bazen bir konunun verilmesinde bile bir
kaç yönteme başvurmak gerekebilir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
43
44
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
Matematik derslerinde kullanılan başlıca yöntemler,
•
•
•
•
•
•
•
•
•
düzanlatım,
tanımlar yardımıyla,
buluş yoluyla,
senaryo ile,
analizle,
gösterip yaptırma ile,
kurallar yardımıyla,
deneysel etkinliklerle,
oyunlarla öğretim'dir.
Bu yöntemlerin her birinin belli üstünlükleri ve sınırlılıkları vardır. Onun için yöntem seçiminde dikkatli olmak gerekir. Bu yöntem türleri birbirinin alternatifi olmayıp, herbirinin uygun düştüğü durumlar farklıdır. Bazen aynı duruma birden fazla
yöntem uygun düşebilir. Böyle durumlarda öğretmen, öğrenme ortamını ve öğrencilerini tanıyan biri olarak bir tercih yapabilmelidir. Kullanılacak yöntemden beklenen, çocukların matematiğe karşı olumlu tutumlar geliştirmelerine yol açması, öğrenci katılımına olabildiğince yol vermesi ve başarıyı artırmaya katkıda bulunmasıdır.
3. Matematik Derslerini İşlemede Kullanılan
Yöntemler
Yukarıda sıralanan dokuz yöntem ve bunların kullanılacağı yerler aşağıda açıklanmaktadır.
3.1. Düzanlatım Yöntemi
Öğretmen veya öğrencilerin birinin konu ile ilgili bilgiyi diğerlerine anlatması şeklinde işleyen, öğretmen merkezli bir yöntemdir. Öğrenciler dinleyici konumdadır
ve pasiftir. her derste olduğu gibi matematik derslerinde de bu yönteme başvurmanın zorunlu olduğu durumlar vardır. Konuya dikkat çekme, ders sonunda konuyu
toparlama ve özetleme ancak düzanlatım ile olur. Bunlar ve benzeri durumların dışında kullanılması pek önerilmez, daha çok diğer yöntemlerin (buluş yolu vs.) tamamlayıcısı olarak kullanılması önerilir.
Düzanlatıma başvurulurken,
•
•
•
•
Anlatıma araç-gereçten yararlanarak ilgi toplamaya,
Anlatımın öğrencilerin soru sormasına fırsat verecek şekilde düzenlenmesine,
Öğrencilerin anlayacağı bir dilin kullanılması ve cümlelerin kısa olmasına,
Devamlı anlatma süresinin 10 dakikayı geçmemesine özen gösterilmelidir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
45
Alışı bilgisi olarak adlandırılan bilgilerin (sözgelimi bir üçgende köşelerin A, B,
C ile gösterildiğinin, bir denklemde x, y'nin bilinmeyenleri, a, b, c'nin katsayıları
gösterdiği, bir koordinat sisteminde yatay ve düşey eksenlerin çizimi, işaretlenmesi, yönlendirilmesi vs.) düzanlatım ile aktarılması gerekir. Neden?
3.2. Tanımlar Yardımıyla Öğretim
Tanımlar, matematiğin kuruluşunda yer alan ve her konuda çokça rastlanan bir bilgi türüdür. Örneğin, "bir rasyonel sayıyı gösteren kesirlerden paydası 10 veya 10'un
kuvvetlerinden biri olan kesirlere ondalık kesir denir", "bilinmeyen içeren ve bu bilinmeyenlerin alabileceği her değer için sağlanan eşitliklere özdeşlik denir" birer tanım bilgisidir. Bunlardan birincisi ondalık kesir, diğeri özdeşlik kavramlarının tanımlarıdır. Tanımlar yardımı ile öğretimde, kazandırılacak olan kavramın tanımı,
bu tanıma uyan ve uymayan örneklerle birlikte verilir. Öğrencilere düşen görev, tanımı dikkatli bir şekilde incelemek, uyan ve uymayan örnekleri birbirinden ayırmaktır. Böylece kavram kelime kelime ezberlenmemiş ama anlaşılmış olur. Yöntemin bir örnek üzerinde açıklaması aşağıda verilmiştir.
Konu: Deltoid
Amaç: Deltoid'i ve deltoidin diğer dörtgenlerle ilişkilerini kavrayabilme (İ.M.P
s:419).
İşleniş:
• Öğretmenin "iki komşu kenarı birbirine, diğer iki komşu kenarı birbirine eşit
olan dörtgenlere deltoid denir. Aşağıdaki şekillerden hangilerinin deltoid olduğunu, hangilerinin olmadığını bulunuz ve açıklayınız" demesi.
5
8
5
5
5
5
5
8
a
b
2
7
6
7
3
3
3
3
3
3
6
3
c
3
d
e
2
3
1
3
3
1
3
2
1
8
4
8
4
9
9
2
4
f
g
4
1
h
6
4
i
j
Şekil 3.1: Düzlemsel Şekiller
•
Öğrencilerin bu şekilleri tek tek inceleyerek a, c, e, f, g'nin tanıma göre deltoid olduğunu, diğerlerinin olmadığını açıklamaları.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
46
•
•
Deltoid olan örneklere bakarak deltoidin, bir dörtgen olduğunun ve taban
tabana yapışmış ama tabanları çizilmemiş iki ikizkenar üçgenden meydana geldiğinin açıklanması.
Kare ve eşkenar dörtgenin aynı zamanda birer deltoid olduğunun, bunların
özelliklerinin deltoid tanımına uyduğunun açıklanması.
Tanımlar yardımıyla öğretim yapılırken,
•
•
?
Her bir seçeneğin bir öğrenciye sorularak, öğrencinin fikrinin alınması ve
böylece derse yüksek oranda katılımın sağlanması,
Tanıma uyan ve uymayan örneklerin iyi seçilmesi halinde kavramla ilgili soyutlamanın tam gerçekleşmesi mümkündür.
Asal sayı kavramını kazandırmak için tanımlar yardımıyla öğretimin bir uygulamasını yapınız.
3.3. Buluş Yoluyla Öğretim
Buluş yoluyla öğrenme, öğrencinin kendisinin üretmesi veya bilgiye ulaşması esasına dayanır. Öğretmenin görevi, gerekli öğrenme ortamını sağlamak suretiyle öğrenciye yardım etmek, öğrenme etkinlikleri sırasında öğrencileri yönlendirmek, ihtiyaç duydukları taktirde onlara yardım etmektir. Bu yöntem en çok kavram bilgisinin ve genelleme bilgisinin kazandırılmasında kullanılır.
Buluş yöntemiyle ilgili ayrıntıya girmeden aşağıdaki etkinliği yapınız.
Etkinlik: Dik üçgenle ilgili bir çalışma
Materyal: Kareli kağıt, makas, yapıştırıcı
İşlemler:
• Kareli kağıda dik kenarları 6 ve 8 birimden oluşan bir dik üçgen çiziniz.
• Üçgenin dik kenarları üzerine bir
kenarı bu dik kenar kadar olan kareler çiziniz.
• Bu kareleri şekilde gösterildiği yerlerden keserek hipotenüs üzerinde
bir kare oluşturunuz (5 nolu parçayı
ortaya alınız).
• Bu eşitliği daha önce gördünüz
mü. Bunu cebirsel olarak nasıl ifade
edersiniz?
• Şekil dik kenarları 6 ve 8 br olan
bir üçgendir. Eğer 5 ve 12 br olan üçgeni çizseydiniz bağıntıyı göstermek için kareyi nasıl kesmek gerekirdi?
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
5
1
4
2
3
Şekil 3.2: Pisagor Bağıntısı
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
47
Yukarıda bulduğunuz sonuç Pisagor bağıntısı olarak bilinen "bir dik üçgende dik
kenar uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir".
Yani; bir dik üçgende dik kenar uzunlukları b, c ve hipotenüsün uzunluğu a ise
(a2 = b2 + c2) genellemesidir.
Buluş yolunun iki tür uygulaması vardır. Bunlardan biri yukarıda örneklendiği gibi
uygun materyalin kullanılması ile genellemeye ulaşma şeklindedir.
Kareli kağıt kullanarak bir paralel kenarın alanının, bir kenarı ile o kenara ait
yüksekliğin çarpımı olduğunu gösteriniz.
Buluş yolunun ikinci bir uygulaması örneklerden yararlanarak genellemeye ulaşma şeklindedir. İ.M.P. yedinci sınıf programında yer alan (s:421) "üçgenin kenar ve
açıları arasındaki bağıntıları kavrayabilme" hedefi kapsamında kazandırılması gereken bağıntılardan (genellemelerden) biri, "bir üçgende iki kenarın uzunlukları
toplamının üçüncü kenardan büyük olduğu"dur. bu genellemeye buluş yolu ile varmak için yapılacak öğretim aşağıdaki şekilde tasarlanabilir:
•
•
•
•
Her öğrencinin kağıdına rastgele bir üçgen çizmesi,
Üçgenin kenarlarını ölçmesi,
Uzun kenarı bir yere, kısa kenarların toplamını bir yere not etmesi,
Sonuçların arasına ">", "< " veya "=" olma durumunu gösteren işaretlerin
konması,
2
4
3,6
2
5
4
7,8
1
5
2+4>5
2
2 + 2 > 3,6
3
3+4>5
7
1 + 7 > 7,8
Şekil 3.3.
•
Tüm sınıfta elde edilen sonuçların karşılaştırılması ve kenar uzunlukları a, b,
c olan bir üçgende a+b > c sonucunun sınıfça paylaşılması.
Buluş yoluyla öğrenmenin etkin kullanıldığı yerlerden biri de kavram bilgisinin kazandırılmasıdır.
Kavram bilgisinin buluş yolu ile kazandırılmasında, kavramın tanımı verilmeden
kavrama uyan ve uymayan örnekler birlikte verilir ve öğrencilerin örnekleri inceleyerek kavramın özelliklerine, en sonunda tanımına ulaşmaları beklenir.
Yukarıda "Tanımlar Yardımıyla Öğretim" maddesine konu edilen deltoid kavramının, buluş yoluyla öğretiminde izlenen yol aşağıdaki gibidir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
48
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
•
•
•
Şekil 3.1'deki düzlemsel şekillerin, 2-3 kişilik öğrenci gruplarına dağıtılması.
Bu şekillerden a, c, e, f, g'nin deltoid, diğerlerinin deltoid olmadığının söylenmesi.
Grupların deltoidin özelliklerini (bir dörtgen olduğunu, komşu iki kenarının
birbirine, diğer komşu iki kenarının da birbirine eşit olduğunu) bulmaları.
Yamuk kavramının buluş yolu ile öğretimine uygun bir işleyiş yazınız.
3.4. Senaryo ile Öğretim
Herhangi bir şeyi akılda tutamadıkları için yaşlarını gerekçe gösteren babaannelerin pembe dizileri nasıl bir zevkle izledikleri ve oradaki olayları nasıl sırasıyla
anlatabildiklerini düşününüz.
Senaryo ile öğretim, kazandırılacak bilgi ve becerilerin bir olaylar zinciri içinde örtülü olarak sunulması, bu olayları yaşayanların bunları öğrenmesi esasına dayanır.
Her matematik bilgiyi içeren senaryoların yazılması kuşkusuz ki imkansızdır, ancak senaryo ile öğretime uygun matematik konuları vardır.
Sınıf, hayat içinde öğrenmemiz gereken şeyleri öğrenmek için düzenlenmiş suni bir
ortamdır. Onun için sınıfta gerçek bir senaryo uygulaması yapmak zordur. Yani öğrenci sınıfın içinde, hayat dışındadır. Sınıfı çevreye taşımak da örgün eğitimde pek
kolay olmamaktadır. Bundan ötürü senaryo için, suni ortamlar yaratma, hayalinde
canlandırla ve oyuncu ile duygusal beraberlik içinde olmadan yararlanılır.
Seyirci izlediği bir filmde çoğu kez olayın akışına kendini kaptırır ve oyunculardan
birinin tarafına geçerek, onun isteklerinin gerçekleşmesini, onun başarılı olmasını
ister. İşte öğretimi senaryolaştırma, öğrencinin kendini oyuncu yerine koymasını
sağlamak suretiyle olur. Senaryolaştırmak için gerçek bir olay bulunmadığı takdirde olması muhtemel bir hikayeden de faydalanılabilinir. Önce roller belirlenir ve
olayın sonucu çocukların oyunu oynamaları ile aydınlanır. Öğretilecek kavram ve
beceriler oyunun içine adeta emdirilmiş bir biçimde, örtülü olarak verilir. öğrenci
neyi öğrendiğini en sonunda anlar. kısmen buluş yolunun kullanılmasına benzeyen
bu yöntemde bilginin kazanımı ve kullanımı senaryo gereği hayati bir duruma karşılık gelmektedir. Bir tehlikeyi önlemekte veya başka bir kazancı olmaktadır. Aşağıda geometrik dizi kavramını öğretmeyi amaçlayan bir senaryo örneği verilmiştir.
Örnek:
•
Öğretmenin aşağıdaki hikayeyi anlatması.
"Dört öğrenci bir gün pikniğe giderler. herşey çok iyi gitmekte iken, yiyecek
sepetinin altına giren bir yılan çocuklardan birinin ayağını sokar. Çocuklar yılanı öldürürler, ama yaralanan arkadaşın ayağı şişer ve keyfi kaçar. Çocuklar çareyi dönüp doktora başvurmakta görürler. Doktor çocuklardan olayı ve yılanı
anlatmalarını ister.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
•
•
49
Çocuklar yılanı yanlarında getirdiklerini söyler ve sepetteki yılanı doktora
gösterirler. Doktor yılanı görür görmez "sarı kırmızı halkaları var, bu bir yosun
yılanı!" der ve sonra "bu yılan türü 6 aylık oluncaya kadar zehirsizdir. Yılan 1 aylık olunca kuyruğu ile gövdesinin birleştiği yerde bir sarı halka oluşur. İkinci ay
sarı halkanın tam ortasında bir kırmızı halka oluşur ve 2 aylık yılanın iki sarı bir
kırmızı halkası olur. Takibeden her ay sarı halkaların her birinin ortasında bir
kırmızı halka meydana gelerek, yılanın halkaları çoğalır. Kullanacağımız ilaçlardan biri unutkanlığa yol açar. Yılanın yaşını bilseniz, duruma göre gereksiz
ilaç kullanmayız" der.
Çocuklar doktora, yılanı getirdiklerini hatırlatırlar ancak doktor "bana yılan
değil yaşı gerek" der. Çocuklar işin kendilerine düştüğünü anlarlar. Yılanın
üzerinde toplam 31 halka sayarlar ancak hemen yaşını kestiremezler.
Öğretmenin "çocuklar bu durumda ne yapabiliriz? her masada oturan arkadaşlarınızla pikniğe gittiğinizi varsayarsak, bu işe bir çözüm getirebilir misiniz?" demesi ve süre vermesi.
Grupların düşünme biçimlerini izlemesi, gerektiğinde herbir grupla temas
kurarak ve aşağıdaki şemaları çizerek onlara yardımcı olmaya çalışması.
S , SKS , SKSKSKS ,...
S
SK S
Çocukların, çizdikleri yılan şemalarından yararlanarak buldukları halkaları
aşağıdaki şekilde tablolaştırmaları.
1. ay
2. ay
3. ay
•
•
•
•
sarı
1
2
4
kırmızı
1
3
Yılanın halkalarının 5. ay 16 sarı 15 kırmızı olmak üzere 31 olduğunun bulunması.
Unutkanlığa yol açan ilaca gerek olmadığının anlaşılması.
Öğretmenin "yılanın üzerindeki sarı halkaların artma biçimine dikkat çekerek, bu diziyi tanıtması ve terimleri sürekli aynı bir sayı ile çarpılarak türeyen
diziye geometrik dizi dendiğini söylemesi.
Geometrik dizi için başka örneklerin verilmesi.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
50
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
3.5. Analizle Öğretim
Analizle öğretim, bir genellemeyi, genellemenin elde edilişindeki basamakları tek
tek ve sırayla incelemek suretiyle anlamayı esas alan öğretim yöntemidir. Her adımda genellemeye ulaşmak için, yapılan işlemin gerekçesi, dayandığı matematik temelle açıklanır. Teoremlerin ispatına bu yöntemin bir uygulaması olarak bakılabilir. İlköğretim Matematik konuları içinde bazı bağıntıların (genellemelerin) ispatına
yer verilir. Bu yöntem kavrama düzeyini yükseltmeyi amaçlar ve özellikle ispatı birkaç adım gerektiren bağıntıların çıkarılmasında kullanılır.
Bu yöntemde kural ya da genelleme öğrencilere önceden duyurulur ve arkasından
adım adım işlemler yapılır, her basamakta öğrencilere sorular sorulur, alınan cevaplar düzeltilir ve böyle devam ederek genel sonuca ulaşılır. Yöntemin uygulanmasındaki bu büyük sıkıntı, analizle ilgili adımların gerektirdiği ön bilgilerin tam olarak
bilinmemesi durumunda doğar.
Örnek:
Konu: Dik üçgende yükseklik bağıntısı
İşleniş:
• Öğretmenin, "sizinle daha önce Pisagor bağıntısı ve benzerlik kurallarını tanıdık ve tartıştık. Bugün dik üçgenlerde yükseklik bağıntısı olarak bilinen bir
başka bağıntı ile ilgileneceğiz. Bir dik üçgende h2 = p.k bağıntısının olduğunu göstereceğiz" demesi.
• Aşağıdaki üçgen şeklini tepegözde göstermesi ve "A BH ile C AH lerin
benzer olduklarını görebiliyor musunuz?" diye sorması.
A
• Öğrencilerin,
●
"s(B HA) = s(CHA) = 90° ,
c
b
s(B AH) = s(ACH) (Her iki-
h
si de HAC tarafından 90°
●
B
p
H
k
C
tamamlanan açılar)" sonucuna ulaşmaları.
a
•
Öğretmenin, "bu üçgenlerin ikişer açıları eşit olduğuna göre üçüncü açıları
da eşittir. Bu iki üçgen karşılıklı üçer açısı eşit olduğu için A.A.A. benzerlik kuralına göre benzerdirler. Bu durumda benzerlik tanımına göre karşılıklı kenarları orantılıdır" demesi ve
ABH ~ CAH ⇒
|AB| |BH| |AH|
=
=
olduğunu belirtmesidir
|CA| |AH| |CH|
c = p =h
b h k
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
•
•
51
Öğretmenin, "elde edilen son eşitlikte, yanlar çarpımının ortalar çarpımına
eşit olduğu gözönüne alınırsa h2 = p.k sonucuna ulaşılır" demesi ve bunun
sözlü ifadesini öğrencilerden istemesi.
Sonucun, "bir dik üçgende, hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğunun karesi,
bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunluklarının
çarpımına eşittir" şeklinde açıklanması.
3.6. Gösterip Yaptırma Yöntemi
Gösterip yaptırma yöntemi daha çok fiziksel becerilerin kazandırılmasında kullanılan bir yöntemdir. bu yöntemin işleyişi, bilen birinin eylemi adım adım göstermesi,
açıklaması, öğrencinin bunları dikkatle izlemesi ve yapması, yeterli düzeye gelinceye kadar tekrar etmesi şeklindedir. Özellikle geometri derslerinde uygulaması vardır.
•
•
•
•
•
Bir açının iletki yardımıyla ölçülmesi,
Bir çemberin pergel yardımıyla çizimi,
Elemanları verilen üçgenlerin, dörtgenlerin çizilmesi,
Katı cisimlerin karton veya kilden yapılması,
Geometrik şekil ve cisimlerden yararlanarak çeşitli desenlerin üretilmesi vs.
zihinsel faaliyet yanında fiziksel faaliyet gerektiren etkinliklerdir. Bunların öğretiminde gösterip yaptırma yöntemi kullanılır.
Örnek: Üç kenarı verilen üçgenin çizimi.
A
a
b
c
B
a (1)
c
Adımlar
(1) a kenarının taşınması
(2) B merkezli c yarıçaplı yayın
çizilmesi
(3) C merkezli b yarıçaplı yayın
çizilmesi. Yayların kesim noktasının B ve C'ye birleştirilmesi.
3.7. Kurallar Yardımıyla Öğretim
Kurallar yardımıyla öğretim bir işin yapılmasında yer alan işlem basamaklarının
ezberletilmesidir. Matematik öğretimindeki çağdaş yaklaşımlarla pek bağdaşmayan bu yöntemin kullanılması, kazandırılacak becerinin gerektirdiği zihinsel işlemlerin karmaşık olması durumunda zorunludur.
İ.M.P. sekizinci sınıf programında (s:446) yer alan "karekök alma becerisi" kurallar
yardımı ile öğretim yöntemi kullanılarak öğretilir. Çünkü karekök alma işleminde
kullanılan düşüncenin kavranması ilköğretim çağı çocukları için zordur. Benzer bir
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
52
örnek ilkokulda çarpmanın sağlanmasını 9 atarak yapmadır. Çarpmanın sağlanmasını 9 atarak yapmanın mantıksal temeli bölünebilme kurallarına dayanır. Çocuklar
bu yaşta bölünebilme kurallarını kavrayacak olgunluğa gelmedikleri için 9 atarak
sağlamayla ilgili kuralı ancak ezberleyerek öğrenebilirler. Bu yöntemin uygulanmasında öğrencilerden gelecek olan "Neden 9 atıyoruz da 8 atmıyoruz?" biçimindeki bir soruyu öğretmen "vakti gelince onu da öğreneceksiniz" diyerek cevaplamalıdır.
3.8. Deneysel Etkinliklerle Öğretim
Matematik öğretimi sırasında bazen "deneyle doğrulama veya gösterme"ye başvurulur. Deneysel yöntemle, buluş yoluyla öğrenme maddesinde olduğu gibi bir genellemeye ulaşılır. Kullanılan yöntem aslında buluş yoludur ancak bazı buluşları
yapabilmek için bir takım deney materyalinin kullanımına ihtiyaç olmaktadır. özellikle geometri ile ilgili genellemelerin kazandırılmasında deneysel etkinliklere başvurulur. Yöntemin iyi çalışması için materyal hazırlığının tam olması ve işlem basamaklarının iyi sıralanması gerekir.
?
Kağıda rastgele bir üçgen çiziniz ve açılarını kesiniz. Bunları başka bir kağıt üzerinde köşeleri aynı noktaya ve birinin başlangıç kolu diğerinin bitiş koluna gelecek şekilde yapıştırınız. Ne görüyorsunuz? Burada hangi yöntem kullanılmış
oluyor?
1 litre = 1 dm3 olduğu, bir prizmanın hacminin aynı taban ve yükseklikli piramidin hacminin 3 katı, bir kürenin hacminin, taban çapı ve yüksekliği kürenin çapı kadar olan silindirden yararlanılarak 4/3π r3 olduğu deneysel yöntemle gösterilebilir.
3.9. Oyunlarla Öğretim
Oyunlarla öğretim özellikle küçük sınıflarda kullanılan bir yöntemdir. Oyunlar çoğunlukla öğrenilenin pekiştirilmesi aşamasında kullanılır. en makbul oyun, matematiksel etkinliğin yapılmasını açıkça istemeyen, ancak oyunu kazanmak için bu
matematiksel etkinliklerin kesinlikle yapılmasını gerektiren oyundur.
Oyunun içinde soru veya sorular vardır. Soru sınıfa sorulur. Bir yarışma havası estirilir. Bilen öğrenci veya grup cevabını öğretmene gösterir, doğru ise bir kazanma sırası (sıra numarası) alır, değilse yeniden düşünmeye döner. Bireysel ve grup olarak
yarışılabilir. Öğretmenin her bir sınıf için oyunlar bilmesi ya da düzenleyebilmesi
önemlidir.
Aşağıda bingo oyunu ve bunun ondalık kesirlerde çarpma için kullanımı tanıtılmaktadır. Diğer oyunlar için ek okuma kaynaklarına başvurulabilir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
Bingo 3x3, 4x4, 5x5 şeklinde düzenlenmiş kartlarla
oynanan bir oyundur. Öğrencilere verilecek soruların doğru cevapları bu kartların hücrelerine bir satır, bir sütun veya bir köşegen tamamen doğru cevaplarla dolmak şartıyla yazılır.
Öğrencinin işi soruları çözmek ve bulduğu cevapları elindeki karta işaretlemektir. Bir satır, bir sütun
veya köşegenin tamamını işaretleyen bir öğrenci
bingo yaptığını bildirir ve ödül kazanır.
53
0.6
5.6
9
18
2
7.2
20
0.1
4
6
6.8
4.1
2.5
8
36
0.15
Dolu Bingo Kartı
Örneğimizde 10 soru olduğunu ve bunların doğru cevaplarının sırayla 0.6, 20, 2, 4.1,
18, 6.8, 0.15, 4, 8 ve 7.2 olduğunu varsayalım. Soruları doğru cevaplayan bir öğrenci
birinci köşegeni kapatabileceği için bingo yapabilecektir. Bu oyunun hazırlanmasında dikkat edilecek önemli nokta herkesin kartının farklı olmasıdır. Bunun için
kart hazırlanırken bingo yapılmasına imkan verecek satır öncelikle yazılır, geriye
kalan kısım restgele doldurulur. Soru sayısından fazla olan hücreler çeldiricilerle
doldurulur.
1. 4 x 0.8 = ?
2. 6.4 x 0.5 = ?
3. 0.25 x 4 = ?
4. 12 x 0.1 = ?
5. 0.5 x 0.5 = ?
6. 40 x 0.04 = ?
işlemlerinin oyunla yapılmasını sağlamak için bir 3x3 lük bingo oyunu hazırlayınız. İkköğretimde kullanılan oyun çeşitlerini tanımak için ek okuma kaynaklarına başvurunuz.
Bingo oyununda sonuncu soru bingo yapılacak olan satır, sütun veya köşegene
yazılmalıdır? Niçin?
Özet
Matematik öğretiminde kullanılan yöntemleri öğretmen merkezli ve öğrenci merkezli olmak
üzere iki sınıfa ayırmak mümkündür. Öğretmen merkezli öğretimde öğrenci pasif, öğretmen
aktiftir. Öğrenci merkezli öğretimde ise öğrenci aktiftir. Öğrenci bilgiyi araştıran, üreten ya
da bulan, öğretmen ise eğitim ortamını hazırlayan, öğrencilerin öğrenme sırasında güçlükle
karşılaşmaları halinde onlara yardım eden kimsedir. çağdaş eğitim öğrenci merkezli öğretim
yöntemlerini benimsemekte, bunlara daha çok yer vermektedir.
Öğretim yöntemlerini, uygun düştükleri bilgi türleri ve ilgili bulundukları öğrenme düzeylerine göre de sınıflamak mümkündür. İlköğretim matematik öğretiminde kullanılan başlıca
yöntemler dokuz tür olup bunların en önemlileri; tanımlar yardımıyla, buluş yoluyla, gösterip yaptırmayla ve deneysel yöntemle öğretimdir.
Tanımlar yardımı ile öğretim, terim bilgisi kazandırmada kullanılır; kazandırılan terimin
soyutlanmasını böylece kavranmasını sağlar.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
54
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
Buluş yoluyla öğretim, terim bilgisi yanında kural ve genelleme bilgisinin kazandırılmasında kullanılır. Bunların bilgi ve kavrama düzeylerinde öğrenilmesi gerçekleşir.
Gösterip yaptırma yöntemi daha çok geometriyle ilgilidir ve fiziksel etkinlik gerektiren becerilerin kazandırılmasında kullanılır. Şekillerin araç, gereç yardımıyla çizimi, cisimlerin yapımı, gösterip yaptırma ile olur.
Deneysel yöntem deney yapma esasına dayanır. Matematik derslerindeki genellemelere deneysel çalışmalarla ulaşmak mümkündür. Özellikle üç boyutlu uzayla ilgili olan genellemelerin gösterilmesinde kullanılır. 1 lt = 1 dm3 gibi.
Değerlendirme Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1.
Aşağıdaki yöntemlerden hangisi öğrenci merkezli öğretimde daha çok kullanılır?
A. Deneysel etkinliklerle öğretim
B. Oyunlarla öğretim
C. Tanımlar yardımıyla öğretim
D. Kurallar yardımıyla öğretim
E. Düzanlatım
2.
Bir dersin sonunda konunun öğretmen tarafından özetlenmesi hangi yöntemin kullanıldığını gösterir?
A. Kurallar yardımıyla öğretim
B. Analizle öğretim
C. Düzanlatım
D. Tanımlar yardımıyla öğretim
E. Gösterip yaptırma ile öğretim
3.
"İki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir" şeklinde başlatılıp, verilen çeşitli şekiller arasından hangilerinin yamuk olduğunun, hangilerinin olmadığının sebepleriyle birlikte açıklanması, hangi yöntemin kullanıldığını gösterir?
A. Düzanlatım
B. Deneysel yöntem
C. Tanımlar yardımıyla öğretim
D. Buluş yolu
E. Analizle öğretim
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
4.
"Bir üçgende iki kenar uzunlukları toplamın her zaman üçüncü kenar uzunluğundan büyüktür" genellemesinin kavratılmasına en uygun yöntem hangisidir?
A. Kurallar yardımıyla öğretim
B. Buluş yoluyla öğretim
C. Oyunlarla öğretim
D. Tanımlar yardımıyla öğretim
E. Düzanlatım
5.
Aşağıdaki yöntem çiftlerinden hangileri birbirinin yerine kullanılamaz?
A. Analizle öğretim ve buluş yolu
B. Tanımlar yardımıyla öğretim ve buluş yolu
C. Buluş yolu ve analizle öğretim
D. Senaryo ile öğretim ve buluş yolu
E. Gözterip yaptırma ve düzanlatım
6.
Çarpma işleminin doğru yapılıp yapılmadığnı kontrol etmek için "9 atarak
sağlama" diye bilinen yöntemin öğretimine en uygun yöntem hangisidir?
A. Senaryo ile öğretim
B. Deneysel yöntem
C. Kurallar yardımıyla öğretim
D. Buluş yolu
E. Tanımlar yardımıyla öğretim
7.
Buluş yoluyla öğrenmeyle ilgili olarak aşağıda verilen ifadelerden hangisi
yanlıştır?
A. Tanımların öğretiminde kullanılır
B. Kuralların öğretiminde kullanılır
C. Genellemelerin öğretiminde kullanılır
D. Alışı bilgilerinin öğretiminde kullanılır
E. Kavrama düzeyini yükseltir
8.
"Bir piramidin hacminin aynı taban ve yükseklikli prizmanın hacminin 1/3'ü
olduğunun gösterilmesi"ne aşağıdaki yöntemlerden hangisi en uygundur?
A. Deneysel yöntem
B. Oyunlarla öğretim
C. Gösterip yaptırma
D. Düzanlatım
E. Kurallar yardımıyla öğretim
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
55
56
MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ
9.
Öğrencilerin bir konu ile ilgili alıştırmaları çözmesindeki isteği arttırmak için
başvurulması gereken yöntem hangisidir?
A. Gösterip yaptırma
B. Oyunlarla öğretim
C. Kurallar yardımıyla öğretim
D. Buluş yolu
E. Analizle öğretim
10. Bir genellemeye ulaşmaya uygun düşmeyen yöntem hangisidir?
A. Senaryo ile öğretim
B. Buluş yolu
C. Deneysel yöntem
D. Gösterip yaptırma
E. Analizle öğretim
Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
Altun, Murat. Matematik Öğretimi. Bursa: 1998.
Baykul, Yaşar. Matematik Öğretimi. Ankara: 1995.
Busbridge, John ve D. Ali Özçelik. İlköğretim Matematik Öğretimi, Ankara: 1997.
Değerlendirme Sorularının Yanıtları
1. A
2. C
3. C
4. B
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
5. E
6. C
7. D
8. A
9. B
10. D
Öğretim Hizmetinin Ögeleri
ÜNİTE
4
Yazar
Yrd.Doç.Dr.Murat ALTUN
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
• Öğretim hizmetinin öğelerini tanıyacak, bunların anlamlarını
açıklayabilecek,
• İpucu ve pekiştirecin bir ders içinde hangi durumlarda kullanılacağını anlayabilecek,
• Derse öğrenci katılımının nasıl sağlanabileceğini, dönüt ve düzeltmenin ne zaman yapılacağını açıklayabilecek,
• Bir eğitim durumunun basamaklarını ve bunların bir ders içindeki yerlerini tanıyabilecek,
• Bir konu verildiğinde bu konuyla ilgili ders planını yapabileceksiniz.
İçindekiler
• Giriş
59
• Öğretim Hizmetinin Ögeleri
59
• Bir Eğitim Durumunun Basamakları
61
• Özet
72
• Değerlendirme Soruları
73
• Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
75
Çalışma Önerileri
• Bu üniteyi çalışırken, daha önce kullandığınız bir ders planını
yanınızda bulundurunuz ve planınızı burada önerilenlerle karşılaştırınız.
• İlköğretim Matematik Programından bir işleniş metnini inceleyiniz ve benzer karşılaştırmayı bu plana da yapınız.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
1. Giriş
Bir öğretim etkinliğinin başarıya ulaşması yani hedeflenen davranış değişikliklerini gerçekleştirmesi birçok faktöre bağlıdır. Bunların başlıcaları program, öğretmen,
öğrenme ortamı ve planlamadır. Çok iyi programa rağmen kötü bir planlama ve yetersiz öğretmen; çok iyi öğretmene ve planlama becerilerine rağmen kötü bir program öğretimden beklenenin elde edilmesini engeller. Bu ünitede tartışılacak olan
planlama daha önce hazırlanmış olan bir programa bağlı kalınarak yapılır. Program
çoğu kez öğretmenin dışında, bu işte uzmanlaşmış ekiplerce hazırlanır ve öğretmenin hizmetine sunulur. Öğretmen bu programa kendi düşüncelerini katabilir ancak
bu değişiklikler programın bütünü içinde önemli bir yer tutmaz.
Bir dersin planlanması ve öğretimin yapılması tümüyle öğretmenin işidir. Bu bakımdan öğretmenin, sınıfa ve konuya göre iyi plan hazırlayabilen, uygun öğretim
yöntemlerini seçebilen ve kullanabilen, sonunda da öğretimi ve öğrenci başarısını
değerlendirebilen bir kişi olması gerekir. Bu noktadan hareketle bu ünitede önce,
öğretim hizmetinin ögeleri daha sonra bir dersin planlanması ve planın uygulanması üzerinde durulacaktır.
2. Öğretim Hizmetinin Ögeleri
Öğretim hizmetinin ögeleri; ipuçları, pekiştireç, öğrenci katılımı, dönüt ve düzeltmedir. Her eğitim durumunda bu ögelerin tamamı bulunmalıdır. Bunların her biri
aşağıda açıklanmıştır.
2.1. İpuçları
İpucu'nun konuşma dilindeki anlamı; bir kişinin bir problemi çözebilmesi, birşeyi
anlaması veya sezebilmesi için ona yapılan yol göstermedir ve problemin çözümünü öğretmekten farklıdır. Eğitim literatüründeki ipucu yukarıda verilen anlamı da
kapsayan daha geniş bir anlama sahiptir ve öğretim sırasında öğrencilerin dikkatini
konuya toplamak, ne yapacaklarını, nasıl yapacaklarını açıklamak, yeri geldikçe onlara sorular yöneltmek vs. gibi öğretici etkinliklerinin herbiridir.
Bir derste kullanılan ipuçları iyi seçilmeli ve öğrencileri yönlendirici olmalıdır. Gereğinden fazla ipucu dersi anlatıma boğar ve öğrencileri pasifleştirir. Ayrıca ipucu
verirken kullanılan dil açık ve anlaşılır olmalıdır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
59
60
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
2.2. Pekiştireç
Pekiştirme, bir davranışı daha iyi ya da bir beceriyi daha ustaca gösterme demektir.
Pekiştireç, ise kazanılan bir davranışın ileride tekrarlanmasını sağlayan uyarıcılara
denir. Öğretim sırasında kazanılan davranışların kalıcı olması onların tekrar edilmesi ve ihtiyaç duyulduğunda kullanılması ile mümkündür. Öğretimde kazandırılan davranışların kalıcı olması için yeri ve zamanı geldikçe pekiştireç verilmelidir.
Öğretmenin vereceği pekiştireç; bazan el ve yüz hareketleriyle, bazan sözlü olarak
onaylama, başarıyı notlandırma, davranış için ödül koyma vs. şeklinde olabilir. Pekiştireç öğrencilere bireysel olarak verildiği gibi gruba veya sınıfa da verilebilir.
Pekiştireç verirken öğrencilerin kişilikleri, kültürleri ve cinsiyetleri gözönünde tutulmalı ve isabetli seçilmeli, birini onarırken diğerine zarar vermemelidir. Sözgelimi, 36 x 250 = ? işleminin zihinden yapılmasını istediğinizde, 250 yerine 1000/4'ü işleme sokup, 36 000'in yarısının yarısı diyerek 9000 doğru cevabını bulan bir öğrenciye "Bunu ancak bir Galatasaray'lı böyle yapar." demek yanlıştır, diğer bir kısım öğrenciyi yaralayabilir. Pekiştireç verirken dikkat edilmesi gereken bir başka önemli
nokta sürekli "aferin, oldu, doğru" gibi çok sık tekrarlanan sözlerden kaçınmak, bunun yerine "harikasın, mükemmel, daha iyisi olamazdı, yapacağını biliyordum,
senden de bu beklenirdi" gibi seçici sıfatlar kullanmak daha etkilidir. Bir pekiştirecin çok sık kullanılması da etkisini azaltır. Bu bakımdan aralıklı ve yeri geldikçe verilmelidir.
Derste kendi kullandığınız pekiştireçlerin bir listesini yapınız. Sizce değiştirilmesi gerekenler var mıdır?
2.3. Öğrenci Katılımı
Katılım öğretim sırasında öğrencilerin öğretici ve öğrenme ortamı ile etkileşim içinde olmasıdır. Bu etkileşim; öğretmeni dinleme, çalışma grubunda yer alma, işin bir
kısmını yapma, söz hakkı isteme, soru sorma, cevap verme, fikrini söyleme, vs. şeklinde olabilir. Derse katılmama ise, sınıfa gelmeme veya geldiği halde dersle ilgili olmayan işlerle ilgilenme, dinler görünüp başka şeyler düşünme veya uyuma şeklinde gerçekleşir.
Öğrenci katılımı, öğretimin, olmazsa olmaz koşullarındandır. Çünkü dinlemeyen
bir öğrenciye sunulan ders boşunadır. Katılımın öğrenme üzerinde bu denli etkili
olması, katılımı etkileyen etkenleri tanıma ve katılımı artırmanın yolları üzerinde
önemle durulmasını gerektirmektedir. Katılım üzerindeki etkenlerin başlıcaları;
öğretmeni sevme, konuya ilgi duyma, sınıfı ve arkadaşlarını sevme, öğretimde kullanılan yöntem, araç-gereç ve öğrencinin o gün içinde bulunduğu durumdur. Bu etkenlerin çoğu, kontrol altına alınabilir türden oldukları için katılımı sağlama büyük
ölçüde öğretmene bağlıdır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
Dersi coşku ile anlatan bir öğretmenin ders anlatırken sesini alçaltması durumunda
öğrencilerin, onu duymak için nefeslerini tutmaları katılımın iyi bir göstergesidir.
Sert ve katı tutumuyla dinlettiğini zanneden öğretmenler katılım konusunda çoğunlukla yanılgıya düşerler. Katılımı sağlama, katılımın kalitesini yükseltme (dersi
can kulağıyla dinleme, söz alma, soru sorma v.s) için öğretmene düşen iş öncelikle
kendini sevdirmektir. Bunun yanısıra matematik derslerindeki katılımı yükseltmek
için alınacak diğer tedbirler şöyle sıralanabilir. Bilginin günlük yaşamdaki uygulamalarına yer vermek, konuya uygun öğretim yöntemleri kullanmak, öğretim materyalinden ve teknolojilerinden yararlanmak, öğrencilerin matematik korkusunu
yenmek, oyun ve bilmecelerden yararlanmak, öğrencilere seviyelerine uygun sorular sormak ve yeri geldikçe pekiştireç vermektir.
2.4. Dönüt ve Düzeltme
Eğitimde dönüt bir öğrenme etkinliği sonunda kişiye hedef-davranışı kazanıp kazanmadığının bildirilmesidir. Buna geri bildirim de denmektedir.
Dönüt vermenin öğretimin tamamlanmasında önemli iki işlevi vardır. Birincisi; öğrencinin eksikliklerini ve yanlışlarını anlamasıdır. Bu durumda öğrenci bunları giderme yoluna gidebileceği gibi asıl iş öğretmene ve onun alacağı tedbirlere düşmektedir. Öğrencinin eksikliklerinin ve yanlışlarının belirlenmesinden sonra sıra o eksikliklerin tamamlanmasına, yanlışların düzeltilmesine gelir. Bu işleme düzeltme
denmektedir. İkincisi; öğretmenin yaptığı eğitimin eksiğini anlaması ve tam öğrenmeyi sağlamak için tedbirler almasıdır.
Öğretmenin dönüt verebilmesi için öğrencilerde davranış değişikliklerinin gerçekleşip gerçekleşmediğini görmesi gerekir. Bunu anlamanın en doğal yolu öğrencilere
sorular yöneltmektir. İyi hazırlanmış bir test, eksiğin hangi konularda ve hangi öğrenme düzeylerinde (bilgi, kavrama, uygulama) olduğunu ortaya koyar. Bu durumda öğretmen, öğretimi değerlendirmekte, dönütü kendisi vermektedir. Bunun
dışında öğretmen ders işlerken öğrencilerin tutum ve davranışlarını izleyerek de
dönüt alabilir. Öğrencilerin konuya ilişkin soruları, tartışmalara katılmaları o konuyu öğrendiklerini gösterir. Sınıftan hiçbir tepkinin gelmemesi veya sınırlı sayıda öğrenciden gelmesi etkili bir öğrenme olmadığını gösterir.
Matematik önşartlılık ilkesi yüksek bir ders olduğu için öğrenme eksiği gelecekteki
öğrenmeyi diğer derslere nazaran daha fazla olumsuz etkiler, bazan imkansız kılar.
Bu bakımdan dönüt alma, düzeltme yapma çok önemlidir.
3. Bir Eğitim Durumunun Basamakları
Eğitim durumu, hedef-davranışların kazandırılması için yapılan öğrenme ve öğretme etkinliklerinin tümüne verilen addır. Eğitim durumuna geleneksel eğitim
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
61
62
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
sistemimizde biraz daraltılmış anlamıyla işleniş denmektedir. Eğitim durumu düzenlemek öğretmene düşen bir iştir. Eğitim durumu düzenlemenin üç önemli aşaması vardır. Bunlardan ilki yapılacak eğitimi planlama, ikincisi sunma, üçüncüsü değerlendirmedir. Bu bölümde dersin planlanması ve sunulması üzerinde durulmaktadır. Eğitimde öğretmenin önemi bu noktada ortaya çıkmaktadır. Her öğretmen kendine göre bir ders planlayabilir ve sunabilir ancak günümüzde bir dersin
nasıl olması gerektiği hususunda kabul gören bazı yaklaşımlar vardır. Bunların başında programlı eğitim gelmektedir. Programlı eğitim, her ders için, okul ve sınıf
düzeyine göre hedef ve davranışların belirlendiği, bu davranışların ne kadar zamanda ve ne şekilde kazandırılacağının saptandığı, davranışların kazanılıp kazanılmadığının test edildiği ve eksiklerin giderildiği bir eğitimdir. Öğretmenin görevi
bu basamaklardaki etkinlikleri verimli olarak yürütmek, konuya en uygun düşen
yöntemleri seçmek ve kullanmaktır. Yani eğitim, gelişi güzel bir öğrenci-öğretmen
oturumu değildir. Programlı eğitim yapabilmek için planlama aşamasında dikkat
edilmesi gereken birkaç önemli nokta şöyle sıralanabilir:
•
•
•
•
Konunun hedefleri ve öğrencilere kazandırılacak davranışlar yazılmalı, eğer
bu davranışlar daha önce yazılmış ise o derste hangilerinin kazandırılacağı seçilmeli,
Davranışların sıralanmasında, aralarındaki hiyerarşik sıraya (bilgi, kavrama,
uygulama v.s) dikkat edilmeli,
Konular arasındaki önşartlılık ilişkisine, sunumu yapılacak konuyla ilgili ön
bilgilerin öğrenciler tarafından alınmış olup olmadığına bakılmalı,
Öğretim sırasında, ipucu, pekiştireç, dönüt ve düzeltmenin nerelerde ve ne
zaman kullanılacağı, katılımın nasıl sağlanacağı belirtilmelidir.
Yukarıda sıralanan maddelerden dersin planlanması ve bu plana bağlı olarak yapılacak sunumda, hedef ve davranışların seçiminin anahtar rolü üstlendiği anlaşılmaktadır. Çoğu kez davranış listesi öğretmenin eline hazır olarak verildiğinden, öğretmenin işi gerekli olanları seçmeye dönüşmektedir.
Yaptığınız bir ders planına en çok kaç hedef (amaç) yazmaktasınız? Bunların sayısını neye göre belirlemektesiniz?
Bir ders planındaki davranışlar tek bir amaçla ilgili olabileceği gibi birkaç hedefle de
ilgili olabilir. İ.M.P.'de yer alan işleniş örneklerinin tamamı bir hedef ve o hedefin
tüm davranışları ile ilgilidir. Matematik derslerinde kazanılan bilgi ve beceriler yalın olmaktan ziyade birbirleriyle iç içe kullanıldığından özellikle uygulama düzeyindeki hedeflerin bazıları birlikte kazandırılmalıdır. Yani ders planına bu hedefler
ve o hedeflerin ilgili davranışları birlikte yazılmalı işleniş de buna göre yapılmalıdır.
Örneğin altıncı sınıf programında ölçüler şeridinde yer alan, "Kare, dikdörtgen ve
diküçgenin alanlarını hesaplama becerisi" (s: 371) amacının altı davranışından 2, 3, 4
ve 6. davranışları ile aynı sınıfın oran ve orantı ile ilgili kısmında yer alan "Oran ve
orantıyı günlük hayattaki problemlere uygulayabilme" (s: 377) hedefinin 4. davra-
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
63
nışları birlikte planlanabilir ve en ideali de bu şekilde olanıdır. Bu davranışlar şöyledir:
Hedef
1 : Kare, dikdörtgen ve diküçgenlerin alanlarını hesaplama becerisi.
Davranış 1 : Kenarlarının uzunlukları verilen bir kare ve dikdörtgenin alanının
ölçüsünü hesaplayıp sonucu söyleme ve yazma.
2 : Alanı verilen bir karenin kenar uzunluğunu hesaplayıp sonucu
söyleme ve yazma.
3 : Alanı ve bir kenar uzunluğu verilen bir dikdörtgenin diğer kenarının uzunluğunu hesaplayıp yazma.
4 : Dik kenarların uzunluğu verilen diküçgenin alanını hesaplayıp
sonucu söyleme ve yazma.
Hedef
2 : Oran ve orantıyı günlük hayattaki problemlere uygulayabilme.
Davranış : Bir orantı problemini çözüp sonucu söyleme, yazma.
Bu hedeflerle ilgili dersin işleniş kısmında kullanılan problemlerin bazıları şöyle
düzenlenebilir:
•
•
•
Kenarlarının uzunlukları 2 ve 3 ile orantılı olan bir dikdörtgenin alanı 24 cm2
'dir. Kenarlarının uzunlukları kaç cm.'dir?
Alanı 64 cm2 olan karenin kenarları 3 oranında arttırılırsa, meydana gelen
2
karenin alanı kaç cm2 olur?
1
Kenarları 6 ve 18 sayıları ile orantılı olan bir dik üçgenin kenarları 2
oranında kısaltılırsa, ilk üçgenle son üçgenin alanları arasındaki oran ne olur?
Bu şekilde düzenlenen derslerin, bilgiyi kullanıma sokmada daha etkili olacağı beklenir.
İ.M.P. (s: 185)'de yer alan dördüncü sınıf amaçlarından "Aritmetik ortalama hesaplama becerisi" ile "En çok altı basamaklı doğal sayıların kullanılmasını gerektirecek çizgi grafiklerini kavrayabilme" nin hangi davranışları bir ders olarak
planlanabilir ve işlenebilir?
Davranış yazma veya seçme işlemi tamamlandıktan sonra sıra işleniş kısmının yazılmasına gelir. Bir dersin işleniş biçimi hedeflere ulaşma düzeyini kuvvetle etkiler.
Bunun yanısıra sınıftaki oturma düzeni, öğrenci sayısı, sınıf donanımı, kullanılan
materyal, öğretmen tecrübesi, öğretmenin kullandığı dil, v.s.'nin hepsi dersin verimliliği üzerindeki önemli etkenlerdir. Bunların bazıları kolay, bazıları zor değiştirilebilen durumlardır. Dersin işleniş biçimi tümüyle öğretmenin elinde bir durum
olduğundan burada işlenişin planlanması üzerinde durulacaktır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
64
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
Bir dersin planlanması ile ilgili olarak kabul gören yaklaşımlardan biri, bir dersi;
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Dikkati çekme,
Güdüleme-istekli kılma,
Gözden geçirme,
Geçiş,
Geliştirme,
Özet,
Tekrar güdüleme,
Kapanış
olmak üzere sekiz basamakta ele alan yaklaşımdır. Bu sekiz basamağın herbirinin
anlamı ve kapsamı şöyledir:
3.1. Dikkati Çekme
Dersin ilk basamağıdır. Öğrencilerin dikkatlerini konuya toplamak için anlatılan
bir gözlem, sorulan bir problem veya kazandırılacak bilginin kullanıldığı bir uygulamadan sözetme öğrencilerin dikkatini konuya çeker. Süresi çoğunlukla 5 dakikadan azdır. Matematik derslerinde dikkati çekmek için "konuya ilişkin bir problem
sorma" çok kullanılan bir etkinliktir. Bu problem, öğrencilerin bilgiyi kazandıktan
sonra ancak çözebilecekleri türden bir problem olmalı ve öğrencilerin soruya verdikleri cevaplar dinlenmeli ancak doğru veya yanlış olduğu belirtilmeden "Doğru
veya yanlış söylediğiniz dersin sonunda ortaya çıkacak" denmelidir. Böylece dikkatin sürekliliği sağlanır. Eğer ders uygulama düzeyinde ise böyle bir sorunun bulunması kolaydır. Uygun bir soru bulunamadığı taktirde bu basamakta soru sormaktan
vazgeçilebilir. Bu çalışmada en riskli durum, bazı öğrencilerin probleme takılıp, ondan kopamamalarıdır.
3.2. Güdüleme - İstekli Kılma
Bu basamakta öğrenilen bilginin, çocuğun öğrenim hayatında ya da sosyal yaşamda ne tür işlerine yarayacağı söylenir ve tartışılır.
"Üçgen ve dikdörtgenin alanını öğrenmekle, sadece bunları hesaplamakla kalmayacak, aynı zamanda daha karışık gibi görünen alan problemlerini kolaylaştırıp çözebileceksiniz.", veya "% hesaplarını öğrenmekle zamları, indirimleri daha kolay
anlayacaksınız, bunun yanısıra yazılıdan da iyi not alırsınız" denebilir. Söylenenlerin tümünün öğrencilerde aynı etkiyi göstermesi beklenmemelidir.
Bazı öğrenciler matematiğe karşı doğal bir ilgi duyarlar. Ancak bu yeterli değildir.
Önemli olan sınıfın genelinde bir istek uyandırabilmektir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
3.3. Gözden Geçirme
Bu basamakta öğrencilere hedef davranışların ya da konunun alt başlıklarının neler
olduğu söylenir. Böylece öğrenciler yönlendirilmiş olur ve dersi kolay takip ederler.
"Bugün üçgen kavramını tanıyacak, üçgenin temel elemanlarını öğrenecek, elemanları verilen üçgeni çizebileceksiniz" gibi.
Bu basamak istekli kılmaya da hizmet ettiği için ikinci basamakla birlikte ele alınabilir.
3.4. Geçiş
Derse geçiş değişik türlerde yapılabilir. Konuya ilişkin bir tablonun tahtaya asılması, dersle ilgili araç-gereçlerin masalara konması ve arkasından "Şimdi beni dikkatlice dinleyin, konuyu anlatacağım, sıra size gelecek, siz anlatacaksınız. Elinizdekileri
masaya bırakın ve geriye yaslanın, anlayamadığınız yerleri sorun, tekrarlarım" demesi ile geçiş yapılabilir. Bu çok genel bir geçiş tarzıdır ve her derste uygulanabilir.
Matematik derslerinde sık kullanılan bir geçiş biçimi önkoşul niteliğindeki davranışların hatırlatılması ile yapılır. Bu tür geçiş dersin geliştirme bölümünü kolaylaştırır. Öğretmen önkoşul durumundaki davranışlarla ilgili hazırladığı soruları sınıfın dağılımına uygun olarak yeter sayıda öğrenciye sorar, alınan cevaplar yetersiz
ise tamamlar. Derse geçiş ile dersin geliştirme bölümü bütün olarak ele alınabilir.
Bunların arasında kesin bir sınır yoktur. Geçiş safhasında sorulan sorulara verilen
cevaplar bir tartışma ortamında tutulur ve bunun sonucunda kavram bilgisi ortaya
çıkarılabilir. Böylece geliştirme bölümüne geçilmiş olur. Bu tür geçişler 5-15 dakika
zaman alabilir.
3.5. Geliştirme
Geliştirme, hedef davranışların ortaya çıkarıldığı bölümdür. Bu bölüm dersin en
çok zaman alan, etkinlik bakımından en çok çeşitlilik gösteren bölümüdür.
Matematik derslerinin geliştirme safhasında üç tür ana etkinlik yer alır. Bunlar; kavram, ilke ya da becerinin:
•
•
•
Kazandırılması,
Pekiştirilmesi ve soyutlanması,
Uygulamalarının yapılmasıdır.
Bunlar kullanılan yönteme bağlı olarak bazen sırayla, bazen üçü birlikte gerçekleşir. Bunların hepsi bir ders saatine sığmayabilir. Bu durumda birbirini izleyen
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
65
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
66
derslerde bu etkinlikler tamamlanır. Özellikle öğrencilerin yeni tanıştıkları bir kavrama geçişte kavramın uygulamalarına yer vermeksizin sadece kavram bilgisi ve
kavramın soyutlanması ile yetinilir.
Kavram bilgisi verilirken en uygun yöntem seçilmelidir. Örneğin "üçgen" kavramının verildiği bir derste "tanımlar yardımı ile öğretim" veya "kavramın keşfedilmesi"
yöntemlerinden biri kullanılabilir.
?
Öğretmen kavram bilgisinin oluşup oluşmadığına nasıl karar verebilir?
Üçgen kavramının özelliklerinin yani üçgenin; kapalı bir şekil olduğu, doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarından oluştuğu, üç köşesinin, üç açısının, üç kenarının bulunduğu açıklanmalıdır. Kavramı kazanmış bir öğrenci şu davranışları ile bunu ortaya koyabilir.
•
•
•
Üçgen çiz, dendiğinde kalem ve cetvel yardımı ile üçgen çizebilir, elemanlarını gösterebilir.
İçinde üçgenler bulunan birçok şekil verildiğinde üçgen olanları seçebilir.
Üçgeni tanımla dendiğinde bunu tam olarak yapabilir.
Kavramın pekiştirilmesi ve soyutlanması safhasında alıştırmalara yer verilir. Hemen hemen her öğrenme sürecinde alıştırmanın yeri vardır. Alıştırma yaparken göz
önünde tutulması gereken en önemli husus alıştırma yapmadan önce ilgili bulunduğu kavramın tam olarak anlaşılmış olmasıdır.
Konu kavranmadan yapılan alıştırmalardan yarar yerine zarar gelir. Bu durumda
öğrenciler alıştırmayı anlamak ve kavramakta güçlük çekerler ve ezberleme eğilimi
gösterirler.
Alıştırmaların bekleneni verebilmesi için hazırlanması veya seçilmesinde şu hususlara dikkat etmek gerekir:
•
•
•
•
•
•
•
Alıştırmalar doğru yapılmalıdır. Çabuk yapma amacı ile doğruluktan ödün
verilmemelidir.
Alıştırmalar ilgi çekici olmalıdır. Alıştırma yaparken öğrencilerin istekle çalışmalarına önem verilmelidir.
Alıştırmalar günlük yaşayışta karşılaşılır cinsten olmalıdır, yani hayata uygun seçilmelidir.
Alıştırmalar yeter sayıda olmalıdır. Aynı cinsten çok sayıda alıştırma verilmemelidir.
Alıştırmalar aralıklı yapılmalıdır. Sürekli ve sık yapılan alıştırmalar öğrencileri yoracağı gibi ilgisini de azaltır. İyi seçilmiş ya da düzenlenmiş az sayıda, kısa sürelerle yapılan alıştırmalar amaçlarına daha iyi hizmet ederler.
Alıştırmalar mutlaka bir amaca dönük olarak verilmelidir. Öğrenciyi meşgul
etmesi için alıştırma verilmemelidir.
Alıştırmalar çeşitli olmalıdır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
Tekdüze alıştırmalarla kavramı soyutlamak çoğu kez mümkün olmaz. Buradaki soyutlamadan kavramın kısmen benzeştiği kavramlarla karıştırılmaması, onlarla ilişkilerinin netleştirilmesi, tereddüte yer vermeyecek bir öğrenmenin oluşturulması
kastedilmektedir. O halde öğretmen öncelikle, bir kural ya da kavram elde edilince
öğrencilerin bunu ne ile karıştırabileceğini, hangi noktalara açıklık getirmek gerektiğini bilmelidir.
Sadece kenar uzunlukları birbirine yakın olan üçgenlerle meşgul edilen çocuklar
aşağıdaki şekillerden birincisine üçgendir, ikincisine değildir, diyebilir. Oysaki gerçek bunun tersidir.
Kavramın uygulanması safhasında öğrenilen bilgilerle problemler çözülür, araştırmalar yapılır ya da projeler çalışılır. Burada uygulama öğrenilen bilgiyi bir problemin çözümünde, bir çizimde veya günlük hayatta herhangi bir durumda kullanmadır. Buna transfer etme de denmektedir.
Uygulama yapmanın alıştırmadan ileri giden bir yanı vardır. Alıştırmada öğrencinin ne yapacağı bellidir veya öğretmen tarafından söylenir. Uygulamada başka bir
deyişle problem çözmede ise öğrencinin kararlaştıracağı yeni bir durum vardır.
Üçgen çizimleri kullanarak desenler yapmak, kâğıttan üçgenler keserek yapıştırma
ile süs eşyaları yapmak basit uygulama örnekleridir.
Üçgenle ilgili çevre ve alan veya trigonometrik oranlar öğrenildikten sonra yapılabilecek uygulamalar oldukça çoktur.
3.6. Özet
Özet ya da özetlere dersin değişik yerlerinde gerekli görüldükçe yer verilir. Kavrama düzeyinde bilgi verildikten sonra tanım cümleyi içeren bir özetleme yapılabileceği gibi kavramın özelliklerini içeren bir iki cümlelik bir özet de yapılabilir.
"Üçgen kapalı bir şekildir. Üç kenarı, üç köşesi, üç açısı vardır. Köşeler A, B, C gibi
büyük harflerle, kenarlar a, b, c, gibi küçük harflerle gösterilir." gibi. Konu ile ilgili
uygulamaların arkasından da kullanım alanlarını içeren bir özet yapılmalıdır.
Ara özetlere yer verilen derslerde kapanıştan önce son özet yapılmalıdır. Bu son
özet diğer özetlerin bir kısaltılmış toplamıdır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
67
68
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
"Bugün üçgeni, temel elemanlarını, nasıl çizileceğini öğrendik, uygulama alanlarını
tanıdık" gibi.
3.7. Tekrar Güdüleme
Dersin başında öğrenilen bilginin nerelerde kullanılacağını, öğrencinin ne tür işlerine yarıyacağı vaatleriyle uyandırılan istek, öğrencinin bilgilenmesini takibeden bu
aşamada da yapılmalıdır. Yapıldığı taktirde öğrencide öğrenilen bilgiden ötürü bir
özgüven gelişir. Öğrenci konuyu bildiği için vadedilenleri daha kıymetli bulur, öğrendiklerinin değerini anlar.
Kazanılan davranışlar daha sonra kazandırılacak olanların ön şartı durumunda ise
bu durum belirtilmelidir. Çocukların konuyu önemli bulmalarına, ders dışında sürdürülecek çalışmaları istekle yapmalarına yol açar.
Dikkati çekme basamağında öğrencilere soru yöneltilmiş ve dersin sonunda cevabın bulunacağı belirtilmiş ise bu soru sınıfa tekrar sorulmalıdır. Başta verilen cevaplarla bağlantı kurularak doğru çözüm açıklanmalıdır.
3.8. Kapanış
Kapanışta öğrencilere birkaç soru yöneltilerek dersin amacına ulaşıp ulaşmadığı
kontrol edilir. Ayrıca dersle ilgili öğrencilerin yapacağı uygulamalar ve ödevler belirtilir, gelecek ders için öğrencilerin yapması gereken hazırlıklar söylenir.
Bir dersin sekiz basamakta verilmesini esas alan bu yaklaşım, kendi yaptığınız
derslerdeki sıralamanız ile ne kadar örtüşüyor. Bu basamaklardan hiç yer vermediğiniz var mı?
"Yukarıda tanıtılan basamaklandırma her konu için veya her yöntemin kullanılması için uygun mudur?" sorusunun tartışılması bazı noktalara açıklık getirmek bakımından önemlidir.
Bu sekiz basamak ders işlemede değişmez bir kural olarak ele alınmamalı, konunun
ve kullanılacak yöntemin durumuna göre değişiklikler yapılmalıdır. Bazen bu değişiklik zorunlu olur. Örneğin üçüncü basamakta yani "gözden geçirme" maddesinde
öğrencilerin amaçlardan ve konu başlığından haberdar edilmesi söylenmektedir.
Oysaki semaryo ile öğretimin uygulandığı durumlarda, konunun ne olduğu söylenmemekte, davranışlar senaryo içine emdirilmiş olarak sunulmaktadır. Aynı şekilde buluş yolunun kullanılması durumunda da çoğu kez amaç net olarak belirtilmemekte, çocuk amacı bilgiye ulaştığında farketmektedir. Yani öğretmen bazan zorunlu olarak bazan isteyerek bu şablonun dışına çıkabilir. En dikkate değer husus
şudur: Öğretmen ders planı hazırlarken planın geliştirme bölümünde "Nasıl yaparsam öğrenciler bilgiye kendileri ulaşabilir veya bilgiyi kendileri üretebilirler?"
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
sorusunu hiç aklından çıkarmamalıdır. Bu durum işleniş metinlerinde her an gözlenebilmelidir. Artık matematik öğretimine problem çözme yaklaşımı hakim olmalıdır. Yani öğrenciler matematik bilgiye bir sorunu ortadan kaldırmak için, bu amaçla
hazırlanmış ortamlarda çalışarak, birbirleriyle tartışarak ulaşmalılar. Öğrenme biçimi, bir çeşit o bilgiyi ilk icadeden matematikçinin uğraşına benzemelidir. Öğretmene düşen iş, onları bu havaya sokmak ve çalışabilmeleri için uygun ortam hazırlamaktır.
Aşağıda sütun grafiklerin öğretimine ilişkin bir ders planı örneği verilmektedir. Sütun grafikler ve onların uygulamaları ilköğretimin 4, 5 ve 7. sınıf matematik programlarında yer alan bir konudur. Aşağıda verilen plan sınıfların gerektirdiği sayı sınırları ve öğrencilerin yaşlarının gerektirdiği çevresel olaylar dikkate alınarak her
üç sınıfa uyarlanabilir.
Ders Planı Örneği:
Ders
Konu
Sınıf
Süre
Araç-gereçler
Yöntem
:
:
:
:
:
:
Matematik
Sütun grafikler ve uygulamaları
7
40 dk.
Her grup için bir çift zar, kareli kâğıt, cetvel
Buluş yolu, gösterip yaptırma.
Amaçlar ve Davranışlar :
1.
Sütun grafiklerle ilgili temel ilkeleri açıklayabilme
D1: Sütun grafiklerin iki veya daha fazla durumun birbiriyle karşılaştırılmasında kullanıldığını söyleme veya yazma.
D2: Grafiklerin muğlak görünen veya sayı karmaşıklığına bürünmüş olayları görünür hale getirdiğini söyleme veya yazma.
2.
Sütun grafiklerle ilgili bilgileri uygulayabilme
D1: Bir olayla ilgili verileri düzenleyip, uygun grafiği seçme ve çizme.
D2: Verilen sütun grafikten istenilen bilgiyi çıkarma.
1.
Dikkati Çekme:
Öğretmenin sınıfı 2-3 kişilik gruplara bölmesi ve "şimdi size bir soru yönelteceğim,
hepiniz dikkatle dinleyin ve cevabınızı hazırlayın, az sonra hepinizi dinleyeceğim"
demesi ve aşağıdaki soruyu sınıfa yöneltmesi.
"Toto, loto benzeri bir oyunda, katılımcılar bir çift zar atıldığında, üste gelen yüzlerdeki sayıların toplamını bildikleri takdirde ikramiye kazanacaklardır. Siz olsaydınız hangi sayıya oynardınız, yani oyun kuponunuza hangi sayıyı yazardınız?"
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
69
70
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
Grupların fikirlerinin dinlenmesi. Tercih ettikleri sayıların bir yere not edilmesi. Cevapların doğru ya da isabetli olup olmadığı hakkında yorum yapılmaksızın öğretmenin "Bu günkü çalışmaları iyi izleyin, seçiminizin ne derece doğru olduğu dersin
sonunda anlaşılacak" demesi.
2 ve 3: Güdüleme ve Gözden Geçirme.
"Bugün sütun grafikleri üzerinde çalışacağız. Sütun grafiklerin ne işe yaradığını,
nasıl çizildiğini öğrenecek, yeri geldikçe bunları kullanabileceksiniz. Ayrıca en güzel çizimleri sınıf panosunda sergileyeceğim" demesi.
4.
Geçiş:
Öğretmenin her gruba bir çift zar, bir kareli kâğıt ve cetvel vermesi. Bu araçların dersi işlemede kullanılacağını söylemesi. Grupların kendilerine bir ad vermelerini istemesi ve bu adların çalışma kâğıtlarına yazılması.
5.
Geliştirme:
Öğretmenin "Size üç maddelik işlemlerden oluşan bir etkinlik veriyorum, hepiniz
yani her grup bu işlemleri yapacak" demesi ve aşağıdaki yönergeyi vermesi.
•
•
•
Bir çift zarın 50 defa atılması
Gelen toplamların bir yere kaydedilmesi
Verilerle ilgili grafiğin çizilmesi
(Bu çalışmanın sınıfta yapılması sırasında öğrenciler zarları atıp sonuçları yazarken
çok uzun listeler yapabilirler. Öğretmen grupların çalışmalarına müdahale etmeden izlemeli ve eğer varsa, sonuçları aşağıdaki şekilde kaydeden bir grubun çalışmasına dikkat çekmelidir.
2
X
3
X
X
4
X
X
/
5
X
X
X
6
X
X
X
X
7
X
X
X
/
8
X
X
/
9
X
X
X
10
X
X
11
/
12
X
Böylece öğrenciler bir çift zar kaç kere atılırsa atılsın sonuç 2 ile 12 arasında olacağından bu tür bir kayıt tutmanın üstün olduğuna karar verirler. Bu işin adının çetele tutma olduğu öğretmen tarafından söylenir. Bu bir "ara özet" tir.
Verilerle ilgili grafiğin çizilmesine gelince, her grup bunu farklı şekilde yapabilir.
Koordinat eksenlerinin yerlerini değiştirebilirler, sütunları yukarıdan aşağıya veya
soldan sağa çizebilirler. Elde edilen grafik türleri uygun bir yerde sergilenmeli ve
her biri üzerinde sınıf tartışması açılmalıdır. Bunlardan bilgiyi sunabilenlerin hepsi
doğru kabul edilmelidir. Aşağıda öğrencilerin başvurabileceği muhtemel çizimlerden iki tanesi verilmiştir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
•
Çizimlerin herbirinin sınıf panosuna asılması. Üzerinde sınıf tartışması açılması. Yukarıda örneklenen türde olanların doğru kabul edilmesi, ancak herkesçe kabul edilen gösterim biçiminin aşağıdakiler gibi olduğunun sınıfa açıklanması.
•
Tüm grupların gelme sıklığı (frekans) listelerinin birleştirilmesi ve örneğin
10 grup çalışmış ise 50 x 10 = 500 atış sonuçları ile ilgili grafiğin çizilmesi.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
71
72
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
7.
Tekrar Güdüleme:
Öğrencilerin veya grupların herbirinin tercih ettikleri sayının kendi grafiklerinde
ve sınıfın toplam atış sayısı ile ilgili grafikte en yüksek sütuna tekabül edip etmediğinin sorulması. Tercihlerini değiştirip değiştirmeyeceklerinin ve sütun grafiklerin
yararlarının tartışılması.
8.
Kapanış:
Öğrencilerin iki para atmada, YY, YT veya TT gelmesi, bir çift zar atıldığında ikisininde tek, ikisininde çift veya birinin çift birinin tek olması hali için aynı çalışmayı
evde yapmalarının söylenmesi.
Bu çalışmayla sütun grafiği bilgisinin öğrenciler tarafından üretilmiş ve kullanılmış
(uygulaması yapılmış) olması sağlanır.
Sütun grafiğinin öğretimini yukarıda açıklanan şekliyle sınıfınızda deneyiniz.
Eğer sınıfınıza ağır geleceğini düşünüyorsanız, gelen zarların farkları için aynı
çalışmayı yapabilirsiniz.
Özet
Öğretim hizmetinin dört temel ögesi vardır ve bunlar ipuçları, pekiştireç, öğrenci katılımı,
dönüt ve düzeltmedir.
İpucu ile öğretim sırasında öğrencilere ne öğreneceklerini ve nasıl öğreneceklerini sezdirmek
amacıyla soru sorma, yönerge verme, açıklama gibi onları çalışmaya yöneltecek her türlü etki
kastedilmektedir. Yerinde ve zamanında verilen ipucunun öğrenmeye katkısı büyüktür.
Pekiştireç bir davranışın tekrarlanmasını sağlayan uyarıcılara denir. Başarıya konmuş bir
ödül pekiştireç olabildiği gibi, bazen bir söz, bazen bir mimik pekiştireç olarak kullanılır. Pekiştireç verirken klasik tutumdan ziyade ayırıcı özelliği olan ödül ve sözlü uyarıcılar kullanılmalıdır. "Bu gidişle daha iyi şeyler yapacağını umuyorum; yapacağını biliyordum" gibi.
Öğrenci katılımı ile, öğrencinin ders içinde yapılan etkinliklere, dinleyerek, tartışarak, soru
sorarak, fikrini açıklayarak veya grup içinde üzerine düşeni yaparak katılması kastedilmektedir. Öğretimin olmazsa olmaz ögesidir. Derste bulunmakla derse katılmak ayrı şeylerdir.
Dönüt, bireye öğrendiği birşey hakkında bilgi vermedir. Eğer öğrenme yeterli düzeyde değilse bu bildirmenin arkasından eksiğin giderilmesi gerekir ki buna da düzeltme denir. Dönüt
verme, öğrencinin öğrenme düzeyi hakkında bilgi verdiği gibi öğretimin kalitesi hakkında da
bilgi verir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
Yukarıda açıklanan bu temel ögeler her ders içinde yer almalıdır. En az biri yoksa veya yetersiz ise derste yetersizdir demektir. Bir eğitim durumu, dikkati çekme, güdüleme-istekli kılma,
gözden geçirme, geçiş, geliştirme, özet, tekrar güdüleme ve kapanış olmak üzere sekiz sıralı
basamakta yapılan işlemler olarak ele alınabilir. Bunların içinde en önemli olanı geliştirmedir. Bu basamak hem ders içinde en uzun zaman alan ve hem de kavramların kazandırıldığı,
soyutlandığı ve uygulamaların yapıldığı basamaktır. Bu üç işlem birbirinden ayrı görünsede
çoğu kez yapılan bir etkinlikle üçü birlikte kazandırılır.
Değerlendirme Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1. "Pekiştireç" kavramı ile ilgili olarak aşağıda verilen ifadelerden kaç tanesi
doğrudur?
• Pekiştireç öğretici tarafından öğretim sonunda verilir.
• Öğrencilerin bir dersten aldıkları notların herbiri bir pekiştireçtir.
• Problem çözerken takıldığında, öğrenciye verilen ipucu bir pekiştireçtir.
• Pekiştireç sözlü olarak verilmez, bir ödül veya not olarak verilir.
• Pekiştirecin amacı bir davranışın tekrarlanma sıklığını arttırmaktır.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
2.
Matematik derslerinde kullanılan oyun ve bilmeceler daha çok hangi amaçla
kullanılır?
A. Pekiştireç vermek
B. Öğrencilerin öğretmeni sevmesini sağlama
C. Derse öğrenci katılımını yükseltmek
D. Öğrencilerin yüksek not almasını sağlamak
E. Dönüt ve düzeltme vermek
3.
Dikdörtgenin alanı konulu bir dersin başında "100 m. ip ile dikdörtgen şeklinde çevrelenebilecek bahçelerden hangisinin alanı en büyüktür?" sorusunun
sorulması ve öğrencilerin cevaplarının dinlenmesi aşağıdaki basamaklardan
hangisinde yapılır?
A. Gözden geçirme
B. Güdüleme
C. Dikkati çekme
D. Geçiş
E. Uygulama
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
73
74
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
4.
Bir derste öğrenilecek konunun öğrencinin ne tür işlerine yarayacağının söylenmesi hangi aşamada olur?
A. Dikkati çekme
B. Güdüleme-istekli kılma
C. Gözden geçirme
D. Geçiş
E. Özet
5.
Bir matematik dersinde, ön koşul niteliğindeki davranışların hatırlatılmasına
hangi aşamada yer verilir?
A. Dikkati çekme
B. Güdüleme-istekli kılma
C. Gözden geçirme
D. Geçiş
E. Geliştirme
6.
Kavram bilgisinin kazandırıldığı bir dersin geliştirme bölümünde yer alan
etkinliklerden kavramın soyutlanması deyimi ile aşağıdakilerden hangisi anlatılmak istenmektedir?
A. Kavramın ayırıcı özelliklerinin ortaya konması.
B. Kavramın pekiştirilmesi.
C. Kavramın karıştırılabileceği şekillerden ayrılması.
D. Kavramın somut veya soyut olduğunun açıklanması.
E. Kavramın uygulamaları.
7.
Alıştırma verirken dikkat edilmesi gereken en önemli husus hangisidir?
A. Alıştırmaların aralıklı yapılması.
B. Alıştırmaların çeşitli olması.
C. Alıştırmaların doğru yapılması.
D. Alıştırmaların ilgili bulunduğu konunun tam olarak anlaşılmış olması.
E. Alıştırmaların yeter sayıda olması, aynı cinsten çok alıştırma verilmemesi.
8.
Genelleme bilgisinin kazandırıldığı bir dersin geliştirme bölümünde yer alan
uygulamaların yapılması ile aşağıdakilerden hangisi anlatılmak istenir?
A. Genellemenin kullanımını gerektiren problemlerin çözülmesi.
B. Genelleme ile ilgili alıştırmaların çözülmesi.
C. Genellemenin ilgili bulunduğu konuların ve kullanılacağı yerlerin açıklanması.
D. Genellemenin ilgili bulunduğu temel kavramların açıklanması.
E. Genellemenin soyutlanması.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖĞRETİM HİZMETİNİN ÖGELERİ
9.
75
Bir dersin işlenişinde sıralanan sekiz basamak en çok hangi yöntemin kullanıldığı durumda değişikliğe uğrar?
A. Düz anlatım
B. Buluş yolu
C. Senaryo ile öğretim
D. Analizle öğretim
E. Tanımlar yardımıyla öğretim
10. Sınıf içinde öğrenci grupları tarafından yapılması planlanan aşağıdaki çalışmalardan hangisi bu metin içinde tanıtılan etkinlik kavramına uygun değildir?
A. Koninin hacminin 1 p r2 h olduğunun araştırılması.
3
B. Kenarlarına göre üçgen çeşitlerinin grup üyelerince paylaşılarak anlatıl
ması.
C. Üçgende iç açılar toplamının bir doğru açı olduğunun gösterilmesi.
D. Bir eşkenar dörtgenin alanının köşegenlerinin çarpımının yarısı olduğunun gösterilmesi.
E. Bir çift zar atıldığında en az hangi toplam sayı veya sayıların geldiğinin
araştırılması.
Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
Altun, Murat. Matematik Öğretimi, Bursa, 1998.
Busbridge, John ve D.Ali Özçelik, İlköğretim Matematik Öğretimi, Ankara, 1997.
MEB, İlköğretim Matematik Dersi Programı, İstanbul, 1991.
Değerlendirme Sorularının Yanıtları
1. B
2. C
3. C
4. B
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
5. D
6. C
7. D
8. A
9. C
10. B
Problem Çözme
ÜNİTE
5
Yazar
Prof.Dr. Hüseyin ALKAN
Amaçlar
Ünitenin işlenişi sonunda, özel olarak,
• İşlem yapma becerisinin geliştirilmesi,
• Her konumda matematik dilinin kullanılabilmesi,
• Veri toplanması ve sınıflandırılması,
gibi alışkanlıkların edinilmesi ve genel olarak,
• Matematikte problem deyiminin ne anlama geldiği,
• Ne tür problemler olabileceği,
• Problem çözmenin ne denli önemli olduğu,
• Problem çözmenin hangi basamakları içerdiği,
• Problem çözerken ne gibi güçlüklerle karşılandığı ve bunların
nasıl giderilebileceği,
• Bulunan sonuçların nasıl yorumlanabileceği
gibi soruların yanıtlanabilmesi amaçlanmaktadır.
İçindekiler
• Giriş
79
• Problem Nedir Ne Değildir?
79
• Özet
90
• Değerlendirme Soruları
91
• Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
92
Çalışma Önerileri
• Üniteyi işlemeden önce yaşamın özde bir matematik olduğunu
düşlemeye çalışınız. Problem çözmenin çok zevkli bir iş olduğuna inanınız. Çözdüğünüz her problemin sizi yaşama daha çok
bağlayacağını ve yeni problemleri çözmeğe yönelteceğini düşününüz. Problem çözmenin, tıpkı resim ya da müzik yapma gibi,
dinlendirici olabileceğini gönülden benimseyiniz.
• Eğer bulabilirseniz G. Polya'nın "Nasıl Çözmeli?" ve A. Nesin'in "Matematik ve Korku" adlı eserlerini okuyunuz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
PROBLEM ÇÖZME
1. Giriş
En büyük mutluluk insanlara yardımcı olmak, onların varolan bir sıkıntısını giderebilmektir. Bir başka deyimle içinde bulunulan bir açmazı ortadan kaldırmaktır. Çözüm üreterek sıkıntıları ya tamamen yok etmek ya da minimuma indirgemektir. Yani bir sorunu ortadan kaldırmaktır. Sanırız her insan yaşamı boyunca böylesine
mutlulukları pek çok kez yaşamıştır ve yaşamaya devam etmektedir.
Bir sıkıntıyı gidermek için uygun bir yol izlemek ve sonunda başarılı olmak. Bir şeyler üreterek insanlara yardımcı olmak. Bir konser salonundan gülümseyerek ayrılan
kimselere o konseri sunmak ya da bir galeriden ayrılan insanların yüzünde gülümseme oluşturan serginin yaratıcısı olmak. Hep aynı şeyler.
Eğer matematikte de bir problemi çözdüğümüzde bu duyguları yaşayabiliyor isek
önemlidir ve anlamlıdır. Aksi durumda matematik, sıkıntılı ve korkulan bir uğraşı
olur. Bunun doğal sonucu olarak da matematiği sevimsiz bir bilim dalı olarak tanımlayanlar haklı çıkar.
2. Problem Nedir Ne Değildir?
Yürüyemeyen biri için, odasından bahçeye çıkmak bir sorundur. Hem de çok önemli bir sorundur. Ona yardım etmek sorununu çözmeğe ya da kolaylaştırmağa çalışmak, o kimse için büyük önem taşır. Buna karşın rahat yürüyebilen biri için bahçeye
çıkmak çok basit ve alışılagelmiş günlük bir oluşum olarak algılanır. Dolayısıyla çözüme muhtaç bir yönü yoktur. Çünkü ona göre ortada sorun yoktur. Kısaca biri için
sorun olan, bir başkası için sorun olmayabilmektedir. Bunu doğal karşılamak gerekir. Bundan da ötesi zorluk ile sorunun ayırt edilmesinin gerekliliğidir. Ağır bir yükü kaldırmak, sarp bir dağa tırmanmak ya da sırtımızda yük taşımak zordur. Ancak
bu üç konumda da bireyin ne yapması gerektiği bilinmektedir. Dolayısıyla, matematiksel deyimle, çözüm yolları aramak gerekmemektedir. Çünkü ortada çözümü
gereken bir sorun yoktur. Ya belli oranda fazladan bir güç harcamak ya da birinden
yardım alarak içinde bulunulan zorluk aşılabilir.
Öte yandan sarp bir dağdan uygun yol geçirmek, belli zeminli ve değişik zamanlarda suyu değişen ırmak üzerinde köprü kurmak ya da farklı topraklarda yetişebilecek en uygun ürünü belirleyebilmek ayrı bir yapı oluşturmaktadır. Böyle bir yapıyı
anlamlı kılabilmek için belli sayıda araştırmaya ve denemeye gerek vardır. Yukarıdaki yaklaşımları, öğeleri "zorluklar " ve "araştırmalar" dan oluşan iki ayrı kümeye
benzetebiliriz.
İki küme öğeleri arasında görebildiğiniz ayrımları sıralamaya çalışınız.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
79
80
PROBLEM ÇÖZME
Ortaya koyabildiğiniz ayraçlarla birlikte, aşağıdaki eylemleri de düşününüz.
•
•
•
Normal bir zamanda evden çıkıp belli bir fırından ekmek alıp dönmek.
Geç bir saatte evden çıkıp, açık bulabileceğiniz bir fırından ekmek alıp
dönmek.
Ekmek satın alamayacağınız bir ortamda, var olan un, tuz ve sudan yararlanarak ekmek yapmağa çalışmak
Tüm bu açıklamaların sonunda belki şunu söylemek doğru olabilir. Sorunların çözümünde zorluklarla karşılaşılır. Ama her zorluk bir sorun değildir.
2.1. Matematik Öğretiminde Problem
Matematik öğretiminde amaca uygun olarak herhangi bir kavramı tartışırken, oluşumun son aşamasında örnekleme yapılması yeğlenir. Sözgelimi genel anlamda
kök ve karekök kavramını tartıştıktan sonra öğrencilerimizle,
25 , 16 , 20
karekök gösterimlerinin, varsa kareköksüz karşılıklarını araştırabiliriz. Bunun yanında köklü kavramlarla işlem yapmayı tartışmış isek,
16 - 9 + 25
20 = ?
eşitliğinin ne olduğunu bulmağa çalışabiliriz. Yahut soyut olarak,
x
3
x6 = ?
eşitliğinin ne olabileceğini tartışabiliriz. Tüm bunlar kök kavramını ve köklü terimlerle işlem yapmayı pekiştiriciler olarak düşünülmelidir. Hepsinin ortak yanı, yalnızca belli sayıda matematiksel işlem içermeleri ve sonuca ulaşmak için, işlem kavramının dışında, ön bilgiye gereksinim duyulmamasıdır.
Öte yandan, örneğin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kavramını ve gerçel
değerli çözümlerinin varlığını tartıştıktan sonra, öğrencilerden,
x2 + 2 x - 3 = 0 ;
eşitliğinin çözülebilirliğinin araştırılmasını ve varsa denklemi sağlayan değerlerin
bulunması istenebilir. Bunun yanında, değişik bir yaklaşımla,
a x2 + 2 x - 3 = 0 ; a ∈ R
eşitliğinin çözülebilir olması için a sayısının ne olabileceği ya da ne olamayacağının
tartışılmasını istemek akla gelebilir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
PROBLEM ÇÖZME
81
Son iki örnekte yalnızca işlem yapmak yetmez. Kimi ön bilgilere daha gereksinim
duyulur. Sözgelimi gerçel sayı ile gerçel olmayan sayının ayırt edilmesi bunlardan
birisidir. Aynı zamanda köklü gösterimlerin sonucunun ne zaman gerçel ne zaman
gerçel olmayan sayı olacağını bilmek gerekir. Son olarak, bunu denetlemek için varolan bağıntıyı anımsamamız zorunluluğu vardır. Özetlersek biraz önce ve kök kavramı ile ilgili olarak sunulan örneklerle, şimdi söz konusu edilenler arasında belli
farklılıklar olduğu söylenebilir.
Daha değişik düşünce ile konuya yaklaşıldığında,
•
•
•
Toplamları 5 ve çarpımları 6 olan iki sayı neler olabilir?
Anne ile kızı arasında 22 yaş fark vardır. Üç yıl sonra annenin yaşının kızının yaşının 3 katı olacağını düşünerek, bügünkü yaşlarını belirleyebilirmisiniz?
İki kürenin hacimleri oranı ile yarıçapları oranı arasında bir ilişki kurabilir misiniz?
?
gibi sorular da öğrencilere yöneltilebilir. Bu durumda kullanabilecek hazır bir eşitlik söz konusu olmaz. Yani neyin üzerinde işlem yaparak işe başlanacağı belli değil.
Dolayısıyla önceki yaklaşımların ikisinden de değişik bir durumla karşı karşıya kalınıyor demektir.
Tüm bunlardan az da olsa farklı bir yaklaşım olarak,
•
•
•
Dik bir üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir,
Aritmetik ortalama geometrik ortalamadan büyük ya da ona eşittir,
Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür,
gibi önermeler düşünülebilir. Burada, öncekilerin tümünden değişik olan, bulunması gereken bir bağıntı ya da bir sonucun verilmekte oluşudur. İstenen ise bu bağıntı ya da sonucun doğruluğunun gerçeklenmesidir. Yani ulaşılacak nokta somut
olarak bellidir. Buna karşılık o noktaya nasıl ulaşılacağı aranmaktadır.
Sıralanan örneklerde dört değişik küme ortaya konmuştur. Birinci kümenin öğeleri
yalnızca işlemden oluşmaktadır. İkinci kümenin öğeleri ise, işlemin yanında kimi
ön bilgilerin anımsanmasını da gerektirmektedir. Üçüncü kümenin öğelerini oluşturan örnekler biraz daha değişik, ikinci küme örneklerinin özelliklerine ek olarak
bir de matematiksel yapı oluşturmayı içerirler. Son kümenin öğelerinde doğrulama
için bir yol bulunması söz konusudur.
Eğer somut bir ayırım yapılmak istenir ise belki şunu söylemek mümkün olabilir.
Kimi soruların sonuçlandırılmasında yalnızca belli ön bilgilerin anımsanması ve
matematiksel işlem yapabilme yetmektedir. Bu önemlidir ama bireyin özel bir katkısını gerektirmemektedir. Öte yandan üçüncü ve dördüncü kümenin öğeleri olan
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
Problem çözme insan beyninin bir ürünüdür.
82
PROBLEM ÇÖZME
soruların aydınlanması için, bireylerin yaklaşımları ön plana çıkmaktadır. Değişik
matematiksel eşitlikler kurabilme ve doğrulama için değişik yollar deneme olasılıkları vardır. Daha da önemlisi birey, kendi oluşturduğu bir eşitliği yine kendisi yorumlayabilme şansını yakalamaktadır. Gerektiğinde de değiştirebilmektedir. Eğer
uygun bir sonuca ulaşabilmişse büyük bir mutluluk duymaktadır. Bizce bu başarmanın mutluluğudur. Kurduğu bir sistemin çalıştığını görebilmenin mutluluğudur. Böyle bir hazı duyan birey problem çözmüş demektir. Ya da eğer bir sorunun
ortadan kaldırılması bizi bu noktaya ulaştırabiliyor ise o soru bir PROBLEM'dir diyebiliriz.
2.2. Problemlerin Sınıflandırılması
Sunulan yaklaşıma göre tek tür bir problem tanımlaması yapmak doğru gözükmemektedir. Çünkü bireyin katkı koyarak çözümleyebileceği soru türü tek değildir. En
azından çok açık olarak görülen bir sonucu doğrulama ve matematiksel model oluşturarak çözümleme ayrımları vardır. Bunun yanında da kolaylıkla, yalnızca işlem
yaparak, çözülebilecek türden olanlar vardır. Belki problemler sınıflanmağa çalışılırken bu özellikler göz önüne alınabilir.
Matematikte problem çözme konusunda yazılmış kaynak sayısı oldukça sınırlıdır.
Ancak var olanların hemen hemen tümünde, değişik ad altında sunulsa da, "ALIŞILMIŞ PROBLEMLER" den söz edilir. Bunlar genellikle;
•
•
İşlem becerisine,
Daha önceden denenmiş yolların tekrarına
dayandırılır. İkinci tür sorular kümesinde sunulan,
x2 + 2x - 3 = 0
denkleminin çözüm varlığının aranması ve çözümlerinin bulunması ile,
a x2 + 2x - 3 = 0 ;
a∈R
eşitliğinin çözülebilir olması için a'nın ne olabileceğinin belirlenmesi bu tür problemlere örnek oluşturabilir. Eğer uygun bir bilgisayar proğramı yapılabilirse, bu
problemler makineler yardımıyla da çözülebilir. Ama makine matematikçi değildir.
Alışılmış problem olmayan ve bir sonuca ulaştırılması istenen kimi sorular vardır.
Bunlara " SONUÇ PROBLEMLERİ" ya da "GERÇEK PROBLEMLER" denmektedir.
Bu tür problemlerin çözümünde yalnızca "işlem becerisi" ve "ön bilgilerin anımsanması " yetmez. Bunlara ek olarak,
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
PROBLEM ÇÖZME
•
•
83
Verilenlerin ve arananların düzenlenmesi,
Matematiksek bir model oluşturulması ve bu modelin tartışılması
da aranır. Başka bir deyimle bu tür problemler değişik etkinlikleri ve becerileri de
gerekli kılar. İlk öğesi " Toplamları 5 ve çarpımları 6 olan iki sayı neler olabilir " sorular kümesi bu tür problemlere örnek oluşturabilir.
Kimilerinin söz etmekten kaçındığı ama kimilerinin net olarak vurgulayabildiği bir
başka problem ailesi " DOĞRULAMA PROBLEMLERİ " olarak anılanlardır. Kimi
kaynaklar bunlara kanıt problemleri demektedir. Gerçekte, önermelerden oluşurlar. Söz konusu problemler bir sonucun bulunmasını değil,
Sonucu belli olan bir önermenin doğrulanmasını
gerektirirler. Yukarıda sunulan ve " Dik bir üçgende dik kenarların uzunluklarının
kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir " öğesi ile başlayan
önermeler kümesi bu tür problemleri örneklemektedir.
2.3. Problem Çözme Basamakları
Problem çözmenin içerdiği basamaklar dendiğinde, gerçek problemler ve onların
çözüm basamaklarından söz edildiği akla gelmelidir. Bir işlemi sonuçlandırma ya
da sıradan bir problemin çözümü, doğal olarak bu basamakların tümünü içermez.
Buna ek olarak, doğrulama problemlerinin çözümü, daha değişik yaklaşımları da
gerekli kılabilir. Sonuç olarak, burada sunulacakların problem çözmede bir kalıp
olarak düşünülmemesi gerekir.
G.Polya problem çözmeyi, "Nasıl Çözmeli" adlı 256 sayfalık bir eseriyle ortaya koymağa çalışmıştır. Her yaklaşımına, tam olarak, katılmasak bile, eserde biri biriyle örtüşen yinelemelerin olmadığını belirtmek zorundayız. Önemli bir çalışma olduğu
hakkını da teslim etmeliyiz. Bu demektir ki problem çözme, öyle üç dört satırla ortaya konamıyor. Uzun uzun tartışılması gerekir. Burada kitabın içeriğinin geniş olması nedeniyle, bir özet sunmak zorunluluğu vardır. Yani satır aralarının okuyucu tarafından doldurulması gerekir. İste o zaman bütünlük sağlanabilecektir. Aksi düşünülür ise aynı noktada buluşmak zor olur.
Eğer ortada bir problem varsa, tanımı gerekir. Değişik söyleyişle, problemin oluşumunda yer alan öğelerin sıralanması gerekir. Yani,
•
•
•
•
•
Nelerin verildiği,
Ne ya da nelerin istendiği,
Varsa, öne sürülen koşulların ne olduğu,
Çelişkili bir durumun olup olmadığı,
Verilerin bir şekil ile ortaya konup, konamayacağı,
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
Problem çözmenin sihirli
bir yolu yoktur.
84
PROBLEM ÇÖZME
gibi soruların karşılıkları ve bu karşılıkların uygun biçimde düzenlenmesi sağlanmalıdır. Tüm bunlar bir hastanın tanı öncesi verileri biçiminde düşünülebilir. Ne kadar çok ve uygun sıralanmış veri olursa, tanıyı doğru koyma olasılığı o denli artar.
Bu tür hazırlıklar, problem çözmenin ilk aşaması olarak düşünülür.
Burada örnek olarak üçüncü küme sorularıyla sunulan "Toplamları 5 ve çarpımları
6 olan iki sayı neler olabilir?" problemi alınabilir. Problemde
•
İki sayı
düşünülmüş. Sayıların sağladığı koşul ise,
•
Toplamları 5 ve çarpımları 6
olarak belirlenmiş. Görünen bir çelişki yok. Bu verilere karşılık,
•
Sayıların ne olabileceğinin
belirlenmesi isteniyor. Yapılan düzenleme problemin verilerini ayrıştırmıştır.
İkinci aşamada verilenler, istenenler ve koşullarla birlikte, çizilebilen şekillerin bir
araya getirilerek ve ön bilgilerden de yararlanılarak, aralarında kimi,
•
•
İlişkiler
Bağıntılar
oluşturulabilir. Gözlenebilen alt ilişkiler ve bağıntıların tümünü birlikte düşünerek,
çözümü istenen problem için genel bir düzenlemeye gitmek doğru olur. Yani bu
aşama, tanısı konan hastanın iyileştirme planını yapmak gibi düşünülebilir. Bu
amaçla,
•
•
Önceden oluşturulmuş ve tartışılmış problemlerden,
Kurulan alt eşitliklerden
yararlanılarak, problemin yapısına uygun bir çatı kurulabilir. Bu çatı kimi zaman
bir bağıntı, kimi zaman bir kaç bağıntıdan oluşabilir. Genel olarak bu tür çatılara
matematiksel MODEL denir. Bizim problememizde alt ilintiler, sayıların biri x ve diğeri y olmak kaydıyla,
x+y=a
} a, b ∈ R+
x.y=b
biçiminde verilmiş. Toplamları ve çarpımları pozitif olan iki sayının kendilerinin de
pozitif olacağını görmek gerekir. Alt bağıntıların birinden yararlanılarak sayılardan
biri diğeri türünden yazılıp, iki eşitlik,
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
PROBLEM ÇÖZME
x2 - ax + b = 0
denklemiyle birleştirilir. Böylece verilen problemi tanımlayan matematiksel model
ortaya çıkarılır.
Çözümün üçüncü aşamasında, oluşturulan modelin çalışması ve istenen sonucu
verip veremeyeceği denenir. Bunu sağlayabilmek için modelin irdelenmesi, daha
doğrusu didik didik edilmesi zorunluluğu vardır. Tıpkı hastaya uygulanacak iyileştirmenin, yan etkilerinin aranması ve hastanın bünyesine uygun olup olmadığının belirlenmesi gibi. Böyle bir modelden, umulan sonucun bulunabileceğine inanılmalıdır. Modelin öne sürülen koşulları içerdiğinden emin olunmalıdır. Oluşturulan modelde ön bilgilerimize ters düşen yapısal görüntü olmamalıdır. Belki en basit ama bizce en önemlisi, model olabildiğince sade olmalıdır. Modelin her aşaması,
modeli oluşturan birey tarafından açıklanabilmeli, yorumlanabilmelidir. Örneğe
dönüldüğünde şunlar görülebilir. Oluşturulan matematiksel model,
•
•
•
İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir,
Denklemi sağlayan iki sayı söz konusudur,
Bu sayılar pozitif olmalıdır
özelliklerini taşımaktadır. Ancak yukarıda söylenenlerin ön koşulu,
a2 - 4b > 0
biçiminde belirlenmiştir.
Sıralanan her soruya uygun bir yorum getirilebiliyorsa, dördüncü aşamaya geçilebilir. Yani, hastayı iyileştirme uygulamasına. Bunun matematiksel anlamı model
üzerinde sayısal işlem yapımına geçiştir. İşlem yaparak bir yere ulaşmaktır. Değişik
deyimle,
•
•
Bir ya da bir kaç sonuç,
Bir ya da bir kaç denklem
bulmaktır. Belirlenen sonucun, mutlaka,
•
•
Denenmesi,
İstenen sonuç olup olmadığının tartışılması
gerekir. Bundan da önemlisi, sonuç güvenilir olsa bile, aynı sonuca başka yoldan
ulaşabilme kapısının sürekli açık tutulma zorunluluğu vardır.
Örneğimiz için oluşturulmuş denklemin çözümünden x'in 3 ya da 2 olabileceği sonucuna ulaşılmaktadır. Buna bağlı olarak da, y'ler 2 ya da 3 olabilir görüntüsü doğmaktadır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
85
86
PROBLEM ÇÖZME
Kısaca çözüm kümesi, kümelerde öğelerin sırası önemli olmadığından,
ÇK = {3, 2}
biçiminde verilebilmektedir. Belirlenen sonuç, öne sürülen koşulları sağlamaktadır.
İlk dört basamaktaki güçlüklerini aşabilme tutum, davranış ve becerisini gösterebilenlerin, son aşamada benzeri yeni problemleri kurabilmeleri beklenir. Günlük yaşamdan eşdeğer örneklemeler yapabilmeleri istenir. Bu nedenle örnekleme aşaması
denen son aşama, yapılmış olanların bireye maledilmesi yönüyle büyük önem taşır.
Çözülen örnek için,
•
•
Bir ailenin yaşları toplamı 5 ve yaşları çarpımı 6 olan iki çocuğu vardır. Bu
çocuklar kaç yaşlarındadır?
Bir çiftçinin toplamları 5 dönüm olan iki tarlası vardır. Tarlaların Dönümleri çarpımı 6 dır. Her bir tarlası kaçar dönümdür.
vb. yaşam problemleri oluşturmak zor değildir.
Yukarıda sunulan yaklaşımlar ışığında problem çözme basamaklarını sırasıyla,
•
•
•
•
•
Problemin anlaşılması,
Probleme uygun bir matematiksel yapı kurulması,
Oluşturulan yapının irdelenmesi,
İşlem yapımı ve sonucun denenmesi,
Yeni örnekler üretilmesi
biçiminde özetlemek doğru olabilir.
Problem çözmede kimi zaman bir şekil ya da bir grafik tek başına büyük bir anlam
taşır. Örneğin, "Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenusun uzunluğunun karesine eşittir" önermesi için, M.Hardy"nın verdiği
b
c
c
a
Şekil 5.1
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
●
c-a
PROBLEM ÇÖZME
87
Şekil önermeyi tek başına gerçekler bir görüntü sergilemektedir. Benzer biçimde
J.A.Garfield'in oluşturduğu,
a
c
b
●
c
a
●
b
Şekil 5.2
Şekilde, tüm çözüm aşamalarını içermektedir ve büyük kolaylık sağlamaktadır,
2.4. Problem Çözmenin Öğretilmesi
Problem çözme, yukarıda sıralanmış basamakları rahatça tırmanabilme ile eş anlamlıdır. Problem çözmenin öğretilmesi de bireyleri bu basamakları sırasıyla tırmanabilecek, beceri ve davranışlarla donatma olarak algılanır. Böyle bir başarı için öncelikle bireyin,
•
Okuduğunu anlayabilmesi
zorunluluğu vardır. Eğer okunanın anlaşılmasında sıkıntı çekiliyorsa, ilk olarak bu
sıkıntının giderilmesine çalışılmalıdır. Problemleri basit ve anlaşılır bir dille sunmak, bu aşamayı kolaylaştırabilir. Değişik yorumlanacak sunumlardan kaçınılmalıdır.
Matematik öğretiminde düzenli olma büyük önem taşır. Öncelikle matematik öğretmenlerinin bu alışkanlığı edinmiş olmaları gerekir. Örnek çözümlerinde ve çalışmaların değerlendirilmesinde, matematiksel düzene bağlı kalmaları önemlidir. Öğretmenlerin bu tutumu, öğrencileri olumlu yönde etkiler. Eğer öğrenciler bu davranışı edinebilmiş ise,
•
Verileri düzenleme
aşamasını, kolaylıkla gerçekleştirebilirler. Pek çok öğrencide, verilenleri, istenenleri ve koşulları sistematik biçimde sıralayabilme iyi bilinen bir oyun kadar kolay olmaktadır. Böyle bir düzenleme sonunda problemi,
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
88
PROBLEM ÇÖZME
•
Kendi sözcükleri ile
yeniden yazma da zor olmaz. Bireyin sözcükleriyle şekillendirdiği problemi çözümlemesi daha kolay olur. Öğreticilerin buna önem vermeleri gerekir.
Matematiğin yığma bir bilim dalı olduğu bilinmektedir. Bunun için konuları ve
kavramları algılamadan geçmemek zorunluluğu vardır. Çünkü yeni bir kavrama
ulaşmak için, eski kavramları kullanmak gerekir. O nedenle ve mutlaka matematik
öğretiminde ezberden kaçınmak zorunludur. Verileri şekil üzerinde yerleştirmek,
problemin bütün olarak görülmesinde önemli yer tutar. Dolayısıyla genelleme yapma alışkanlığını kazanmaya yardımcı olur. Yani şekil yardımıyla olay bir matematiksel modele daha kolay bağlanabilir.
Eğer öğretimin başlangıcından başlayarak sınıfta,
•
•
•
Konuşma
Tartışma
Kritik yapma
gibi davranışları geliştirme yönüne gidilmişse, öğrencilerin kurduğu matematiksel
modeli, tartışmaları ve değişik yaklaşımları üretmeleri zor olmaz. Tersine normal
bir davranış olarak algılanır. O nedenle Matematik öğretiminde mutlaka öğrencilerin düşüncesine baş vurulmalıdır.
Tartışılan modelin üzerinde doğru işlem yapabilmek için, bireyin işlem yapma becerisine sahip olması gerekir. İşlem yapma becerisini kazanabilmek için ise bol örnek çözme zorunlu gözükmektedir.
Eğer bir problemi çözerken çok büyük zorluk çekilmemişse, benzer problemler
oluşturmakta da zorluk çekilmez. Problemi günlük yaşamla özdeş kılmak da kolay
olur.
2.5. Problem Çözmede Karşılaşılan Güçlükler
Matematik öğretiminde karşılaşılan güçlükleri, genel olarak eğitim sisteminden çekip ayırmak kolay değildir. Pek çok sıkıntı, sistemin kendi yapısından gelmektedir.
Öncelikle ve yapay olarak oluşturulan matematik korkusunun ortadan kaldırılması gerekir. Çünkü ilk ve en büyük güçlük buradadır. Herkesin matematiğin yaşamın
bir parçası olduğuna, ama içtenlikle inanması zorunlu gözükmektedir. Matematik
öğrenmenin, müzik ve resim öğrenme gibi bir özel yetenek gerektirmediğinin görülmesi gerekir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
PROBLEM ÇÖZME
89
Ailelerin çocuklarının zekiliğini sayı sayma ile özdeşleştirmesi, okul öncesinde matematiğe karşı tutumu ortaya koymaktadır. Aileye göre matematik zordur ve çocuk
sayı sayıyorsa zekidir. Bu kadar basit. Yani okul matematiği ile daha karşılaşmamış
olan çocuğa matematiğin zor olduğu düşüncesi aşılanmaktadır. Öğrenciler bu düşünce ve onun oluşturduğu korku ile okula başlamaktadırlar.
Okulda matematik öğretimi öncesinde, okuma-yazma öğretimi yapılmaktadır.
Gözlenen o ki, hızlı okuma bir maharet sayılmaktadır. Belkide doğrudur, Ancak sanırız maharet sayılan hızlı okuma, okuduğunu aynı zamanda anlamayı gerektiren
okumadır. Eğer okunan bir kaç satırlık paragrafla ilgili bir soruyu yanıtlamak için,
tekrar okumak zorunda kalınıyorsa, o hızlı okuma maharet sayılmamalıdır. Yani,
çocuklarımıza, okuduklarını anlayabilmeleri için gerekli ne varsa öğretilmelidir.
Anlayarak hızlı okuma öğretimi matematikçilerin bir dileğidir. Çünkü, bir matematik problemini anlamanın kaynağı buradadır.
Matematik öğretmenleri, öğretimin her aşamasında ama özellikle başlangıçta sıkıcı
işlemleri içeren alıştırma ve problemlerden kaçınmalıdırlar. Matematiksel oyunlarla öğrenci ile matematik arasında bir dostluk, bir sıcak ilişki kurmağa çalışmalıdırlar. Matematik öğretiminde kimi yardımcı aletleri kullanarak, öğrencilerin dikkati
çekilebilmelidir (Başer ve Alkan). Öğretimin ileri aşamalarında, çağın teknolojisine
uygun cihazlarla, matematiğin uzun işlemlerinin yapımı ve zor şekillerinin çizimi
yönüne gidilmelidir. Böylelikle alışılmış sıkıcılık ve zorunlukların enazından bir kesimi ortadan kaldırılabilir (Alkan ve Ertem).
Özellikle Matematik Öğretiminde, öğrenciye karşın öğretim yapmaktan kaçınılmalıdır. Her aşamada, olmazsa en azından örnek çözme konumunda ve kavramların
pekişmesinde öğrencinin düşünce üretmesine önem verilmelidir. Değişik düşünceler artı olarak değerlendirilmeli ve ödüllendirilmelidir. Düşüncelerinin önemsendiğini gören öğrenciler, yeni düşünce üretme yönünde daha istekli olurlar. Bu da öğrencinin problem çözmede etkin olmasına neden olabilir.
Özelden genele geçme ve geneli özele indirgeyebilme alışkanlığının oluşması için
basit ama çok sayıda örnekleme yapılmalıdır. Bunun için belli kalıplara sığınmak
yerine, basit örneklemeleri öne çıkarmak yararlı olabilir.
En son ama bizce en önemlisi sınıfın tam anlamıyla bir tartışma ortamı biçiminde
düşünülmesidir. Öğrenci sınıfta tartışmayı, düşüncelerini savunabilmeyi başarabilirse, problem çözmede kurduğu matematiksel modeli didik didik edebilir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
Öğrenci, salona yerleştirilmiş süs bitkisi değildir.
90
PROBLEM ÇÖZME
Özet
Birey, mevcut sıkıntısını gidermekten, başka bir deyişle sorununu ortadan kaldıracak çözümü bulmaktan büyük mutluluk duyar. Duyduğu mutluluğun kaynağı, sorununu (problemini) ortadan kaldırmak için uygun bir yol izlemek ve sonunda başarılı olmaktır. Kısaca
problemini çözmektir.
Eğer matematikte de bir problemi çözdüğümüzde benzer duyguları yaşayabiliyorsak, bu
önemli ve anlamlıdır. Aksi durumda matematik korkulu ve sıkıntılı bir uğraş olur.
Problem çözme insan beyninin bir ürünüdür. Matematik problemlerinin çözümleri, bireyin
kazanılmış bilgilerini ve işlem becerilerini kullanmasının yanısıra bir takım yetenekleri de
geliştirmiş olmasını gerektirmektedir.
Matematik problemleri, alışılmış problemler; işlem becerisine ve daha önce denenmiş yolların tekrarına dayalı olarak çözülebilenler, sonuç problemleri (gerçek problemler); ön bilgiler ve işlem becerilerine ek olarak verilenlerin ve arananların düzenlenmesi, matematiksel
model oluşturma ve bu modelin tartışılması ile çözülebilenler, doğrulama problemleri;
sonucu belli olan bir önermenin doğrulanmasını gerektirenler olmak üzere üç sınıfta toplanabilir.
Problem çözme basamaklarını;
•
•
•
•
•
Problemin anlaşılması
Probleme uygun bir matematiksel yapı kurulması
Oluşturulan yapının incelenmesi
İşlem yapımı ve sonucun denenmesi
Yeni örnekler verilmesi
olarak sıralayabiliriz. Birey tüm bu basamakları rahatça tırmanabiliyorsa problem çözebilir.
Problem çözmede karşılaşılan güçlüklerin başında öğrencilerin matematik korkusu gelmektedir. Bu korkunun ortadan kaldırılması gerekir. Diğer bir güçlük öğrencinin okuduğunu
anlayamaması ve kavrayamamasıdır.
Matematik öğretmenleri öğretimin her aşamasında, özellikle başlangıçta, sıkıcı işlemler içeren alıştırma ve problemlerden kaçınmalı, matematiksel oyunlarla öğrenci ile matematik arasında bir dostluk, bir sıcak ilişki kurmaya çalışmalıdır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
PROBLEM ÇÖZME
Değerlendirme Soruları
1.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir sorun (problem) olarak düşünülür?
A. Yürüyemeyen birinin odasından bahçeye çıkması
B. Bireyin normal bir zamanda evden çıkıp belli bir fırından ekmek alarak
eve dönmesi
C. Çiftçinin tarlayı sürmesi
D. Bireyin sırtında yük taşıması
E. Ev hanımının günlük temizliğini yapması
2.
"Bir üçgende iki kenerın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür." Önermesinin doğruluğunun gösterilmesi için gerekli ögeler
aşağıdaki seçeneklerden hangisinde yer almaktadır?
A. Yalnızca işlem
B. İşlem ve önbilgi
C. İşlem, önbilgi ve matematiksel yapı oluşturma
D. Doğrulama için bir yol bulma
E. Hiçbiri
3.
İşlem becerisine ve daha önceden denenmiş yolların tekrarına dayandırılarak çözülen problemler hangi sınıf problemlerdir?
A. Sonuç problemleri
B. Doğrulama problemleri
C. Alışılmış problemler
D. Gerçek problemler
E. Hiçbiri
4.
Bireyin matematikte sonuç problemleri çözebilmesi aşağıdakilerden hangisi
ile gerçekleşir?
A. Ön bilgileri hatırlayabilmesi
B. İşlem yapabilmesi
C. Verileri ve arananları düzenleyebilmesi
D. Matematiksel bir model oluşturması ve modeli tartışması
E. Hepsi
5.
Doğrulama problemleri için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A. Bu sınıf problemler gerçekte önermedirler.
B. Bu sınıf problemlerde sonucun bulunması istenir.
C. Bu sınıf problemler, sonucu belli olan bir önermenin doğrulanmasını gerektirir.
D. Bu sınıf problemlere kanıt probleri de denir.
E. Hiçbiri
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
91
92
PROBLEM ÇÖZME
6.
Aşağıdakilerden hangisi problem çözme basamaklarından değildir?
A. Problemin anlaşılması
B. Probleme uygun bir matematiksel yapı kurulması
C. Probleme uygun matematiksel yapının irdelenmesi
D. İşlem yapımı ve sonucun denenmesi
E. Çözüm için tüm çalışmaların düzenli olarak yeniden yazılması
Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
Aksu, M., "Problem Çözme Süreci", Matematik Öğretimi, Editör: Bekir Özer, A.Ü.
Açıköğretim Fakültesi, Eskişehir, 1991.
Alkan, H. Ve Ertem, S., "Matematik Öğretiminde Teknoloji ve Bilgisayar Kullanımına Yönelik Tutumlar", III.Ulusal Fen Bilimleri Eğitimi Sempozyumu, Trabzon, 1998.
Altun, M., "Matematik Öğretimi", ISBN:975-96523-0-7- Bursa, 1998
Baki, A. Ve Bell,A. " Ortaöğretim Matematik Öğretimi, Cilt I", YÖK/Dünya Bankası MEGP, Öğretmen eğitimi Dizisi, Ankara, 1997
Başer, N. Ve Alkan, H., "Temel Eğitimde Matematik Öğretiminde Değişik Teknolojilerin Kullanımı", III. Fen Bilimleri Eğitimi Sempozyumu, Trabzon, 1998.
Busbridge, J. Ve Ozçelik, D.A., "İlköğretim Matematik Öğretimi", YÖK/Dünya
Bankası MEGP, Öğretmen Eğitimi Dizisi, Ankara, 1997.
Nelsen, R.B., "Proffs Without Words", The Mathematical Association of America,
1993
Değerlendirme Sorularının Yanıtları
1. A
2. D
3. C
4. E
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
5. B
6. E
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI
Matematik Öğretimi
6. 7. 8.
9. 10
Ünite
T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1072
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 591
MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ
Matematik Öğretimi
Yazar:
Prof.Dr. Hüseyin ALKAN
Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN
Editör:
Prof.Dr. Aynur ÖZDAŞ
Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları
Anadolu Üniversitesine aittir.
"Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın
bütün hakları saklıdır.
İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya da
bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt
veya başka şekillerde çoğaltılamaz,
basılamaz ve dağıtılamaz.
Copyright © 1999 by Anadolu University
All rights reserved
No part of this book may be reproduced
or stored in a retrieval system, or transmitted
in any form or by any means mechanical, electronic,
photocopy, magnetic tape or otherwise, without
permission in writing from the University.
Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN
ISBN 975 - 492 - 825 - 8
Matematikte Ölçme ve
Değerlendirme
ÜNİTE
6
Yazar
Prof.Dr. Hüseyin ALKAN
Amaçlar
Matematikte Ölçme ve Değerlendirme başlığı altında sıralananlartartışıldığında, genel olarak,
• Matematik öğretiminin şekillendirilmesinde ölçme ve değerlendirmenin yeri,
• Matematik öğretiminin diğer öğeleri ile ölçme ve değerlendirme arasındaki ilişki,
• Matematikte ölçme ve değerlendirme ölçülerin gerekliliği,
• Matematikte ölçme ve değerlendirme için ilkeler oluşturma
zorunluluğu,
• Matematik öğretimine dayalı bilişsel, devinsel ve duyuşsal süreçleri ölçmenin önemliliği,
gibi soruların yanıtlanması amaçlanmaktadır. Özel olarak ise
• Matematiksel gücün ölçme ve değerlendirme ile olan ilişkisinin
kavranması,
• Bireyin kendi kendini değerlendirmede gelişme göstermesi düşünülmektedir.
İçindekiler
• Giriş
95
• Matematikte Ölçme
96
• Matematiksel Ölçmede Ölçü ve İlkeler
99
• Matematikte Değerlendirme
102
• Özet
107
• Değerlendirme Soruları
108
• Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
109
Çalışma Önerileri
Bu üniteyi çalışırken;
• Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri ile ilgili genel kavramları
edininiz. Ancak o zaman sizi değerlendirmeğe çalışanların ne
yapmak istediğini kavrayabilirsiniz.
• Ölçme ve değerlendirmenin , bireyleri yönlendirmede çok
önemli olduğuna inanınız.
• Özellikle insanların değerlendirilmesinde, pek çok yönün birlikte ele alınması gerektiğini unutmayınız.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
1. Giriş
Tüm bilim dallarında ve öğretimin her aşamasında, o alanda belirlenmiş öğretimin
amaçlarına ne denli yaklaşıldığını ortayakoyabilmek amacıyla, ölçme ve değerlendirme yapılır. Farklı alanlarda yapılan ölçme ve değerlendirmelerin belli ortak
amaçları, ilkeleri ve ölçüleri vardır. Söz konusu genel kavramlar, uygulanan öğretim proğramlarına bağlı olarak verilmektedir. Ancak ortak genel kavramların yanında, bilim dallarına bağlı ayrıklıkların da olabileceği gözden ırak tutulmamalıdır.
Her bilim dalında, o dalın yapısına, öğretimin amaçlarına ve uygulanan öğretim
yöntemlerine bağlı olarak, ölçme ve değerlendirme yapmanın doğru olacağı düşünülmelidir. Öğrencilerin o alanda gösterdiği gelişmeyi, ulaştığı aşamayı ortaya koyabilmek için her bilim dalına uygun ölçme biçimleri geliştirilmelidir. Bu yapılırken
ortaya çıkabilecek değişik yaklaşımlardan ürkülmemelidir. Olayın özünde farklılıkların bulunduğu gerçeğinden yola çıkılmalıdır. Örneğin, yığma bir bilim dalı
olan matematik için uygulanacak ölçme biçimleri ile müzik ya da resim için uygulanacak ölçme biçimlerinin değişiklik göstermesi doğal karşılanmalıdır.
Önemli olan ve boşlanmaması gereken nokta, biçimi ne olursa olsun, ölçme ve
değerlendirmenin bireyi gelişme yönünde güdüleme zorunluluğudur. Bu sağlanamıyorsa, seçilen ölçme biçiminin uygunluğundan kuşkulanılmalıdır.
Anlamlı ölçme yapabilmek için, uygun teknik ve uygun yollar kullanmak gerekir.
Aynı zamanda, alana uygun olarak, ölçme ölçüleri geliştirmek ve ölçmeyi bu ölçülere göre yapmak doğru olur.
Sıkıntı yaratan bir başka nokta da, çoğu zaman ölçme ile değerlendirmenin eş kavramlarmış gibi düşünülmeleridir. Bu kavram karışımının mutlaka giderilmesi gerekir. Gerçekte değerlendirme, basamaklarından biri ölçme olan, dört basamaklı bir
yapıdır. Eğer ikisi arasında bir ilişki ya da bir bağıntı kurmak gerekiyorsa şu söylenebilir. Ölçme değerlendirmenin bir öğesidir. Ama hiçbir zaman ölçme ile değerlendirme aynı olarak düşünülmemelidir.
Başta gelişmiş ülkeler olmak üzere, tüm dünyada matematik öğretimi için ölçme ölçülerinin oluşturulması yönüne gidilmektedir. Belirlenen ölçülere uygun ölçümlere dayandırılacak değerlendirmenin daha anlamlı sonuçlar vereceğine inanılmaktadır.
Araştırmalar, pek çok ülkede düne kadar, ülkemizde ise hala matematik öğretim
proğramlarının ezbere dayalı, belli işlemleri içeren ve pasıf durumdaki öğrencilere beceri kazandırmayı ön plana çıkardığını göstermektedir. Oysa günümüz
dünyasında, daha kapsamlı, öğrenci merkezli, öğrenci etkinliklerini daha çok
önemseyen ve daha katılımcı proğramlara geçilmektedir. Bu dönüşüm, toplumun eğitimin niteliğine olan güvenini de artırıcı yapıdadır. Olumlu olarak varsaAÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
95
96
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
yılan bu süreçte, ölçme ve değerlendirme ilkeleri, yöntemleri ve ölçüleri de yeni
şekilleri ile yerlerini almalıdırlar.
Öte yandan, alana bağlı olarak, kimi özel ölçme yolları seçilerek, proğram hedeflerine olabildiğince eksiksiz ulaşılabilme amaçlanmaktadır. Bir başka deyimle, öğretime başlandığından belli bir dönem sonra, uygulanan etkinliklere bağlı olarak, edinilen bilgi, kazanılan anlayış, geliştirilen yetenek, beceri ve benzeri kavramlarda
ulaşılan düzeyin belirlenmesi amaç olmaktadır. Ölçme ve değerlendirmenin bu
doğrultuda yapılması gerekir.
2. Matematikte Ölçme
Ölçme:
Yalnız
öğrencilerin sınıf geçmesindekullanılan bir araç
değil, uygun öğretim için
teknik olmalıdır.
Bilindiği gibi Matematik Öğretimi, amaca ulaşabilmek için bir dizi basamağın sürekli çıkılmasını gerektirmektedir. Bu nedenle geniş bir alana yayılma zorunluluğu
vardır. Her basamak kendinden önceki basamaklara dayandırıldığı için, bütünlüğü
bozmamak amacıyla, birlikte düşünülürler. Yani ilk basamak ile son basamak, aynı
kümenin öğelerini oluştururlar. Aradan bir öğenin çıkarılması söz konusu olamaz.
Bu yapı bizi önemli bir sonuca götürür. Hangi aşamada olursa olsun, belli bir kitlenin matematik öğretimini üstlenenler, diğer bilim dallarından daha zorunlu olarak,
öğretimin başlangıcında bir ön değerlendirme yapmak durumundadırlar. Böylelikle hem öğrencilerinin ön bilgi düzeyi ve varsa eksikliği ortaya çıkarılır ve hem de öğretim süresince sağlanabilen gelişmenin gerçek anlamda ölçülmesine zemin oluşturulur.
Ölçmenin değişik boyutlar kazanma yönünde sürekli gelişme gösterdiği günümüzde, öğreticilerin ödevleri de artmaktadır. Öğreticiler öncelikle, kendileri ya da
başkalarınca üretilmiş ölçme tekniklerini uygulayabilme, değerlendirebilme ve yorumlayabilme becerisine sahip olmalıdır. Aynı şekilde öğreticiler, ölçme sonuçlarını, öğrencilerle ilgili bireysel kararlar alırken, eğitimi planlarken, proğram geliştirirken kullanabilme becerisini de gösterebilmelidir. Ayrıca öğrenciler için uygun olmayan ölçme yöntemlerini ayırt edebilmelidir. Belki bunlardan da önemlisi, uygun
ölçme yöntemlerini geliştirebilmek için çaba harcamalıdırlar.
Matematikte ölçmede amaç öğrencinin,
•
•
•
•
•
Verimliliğini geliştirmek,
Anlayışında sürekli gelişmeye katkı sağlamak,
Proğram hedeflerine yönelmesine yardımcı olmak,
Öğrenmedeki kararlılığını güçlendirmek,
Belledicilik yönlerinin gelişmesini sağlamak,
biçiminde ortaya konmaktadır.
Bu noktada neyin ve nasıl ölçüleceği çok büyük önem taşır.Eğer ölçmede öğrencinin,
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
•
•
•
•
•
97
Anlama oranı,
Başarısının güvenilir görüntüsü ve düzeyi
Matematiksel gücü,
Matematiksel düşüncesi
Teknik ve teknolojiyi kullanabilmesi
gerçeğe yakın, anlamda belirlenmek isteniyorsa, değişik kaynaklar kullanılmalıdır.
Bunların arasında, örneğin,
•
•
•
•
•
Sözlü sunum,
Yazılı çalışmalar,
Gözlemler,
Teknolojik aletleri kullanmada gösterilen ustalık ve maharet,
Matematiksel çalışmalara katılma
ile bunların değişik birleşimleri sayılan,
•
•
•
•
Ev ödevleri,
Projeler,
Günlük çalışmalar,
Sınavlar
yer alabilir.
Matematik öğretiminde yapılacak ölçme öğrencinin, kendine olan güvenini artırıcı ve matematiğe karşı olan tutumunu olumlu yönde etkileyici olmalıdır. Bireysel farklılıkları, mutlaka göz önüne almalı, buna ulaşabilmek için de tek tip ölçüm kullanılmamalıdır.
Gerçekte, matematik öğretiminde ölçüm, öncelikle öğrencinin,
•
•
•
•
•
•
•
Problem çözme yeteneğini,
Matematik dilini kullanma becerisini,
Tartışabilmesini ve analizleyebilmesini,
Kavramlarda ve işlem basamaklarındaki anahtar sözcükleri keşfetmesini,
Olumlu yönde düşünebilmesini ve hareket etmesini
İletişim kurabilmesini,
Grup çalışmalarına katılımını
ortaya koyabilmelidir. İkinci olarak, öğrencinin,
•
•
•
Matematiksel kavramlarla işlemleri birleştirebilme,
Konuyu genişletebilme,
Kritik yapabilme
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
Öğrenciler, hangi işlemi
ne zaman ve neden
yapması gerektiğinİ açıklayabilmelidir.
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
98
gibi değişik yönlerini test edebilmelidir.
Görüldüğü gibi, matematik öğretiminde, problem çözme, öğrencinin gelişmesi yönünde çok önemli bir gösterge sayılmaktadır. Öte yandan bireylerin problem çözmede başarılı sayılabilmeleri ise,
•
•
•
Sistematik olma,
Bilinçli olma,
Süreklilik gösterme
Özelliklerini edinmiş olmalarını gerektirmektedir. Bireyin tüm bu özelliklere sahip
olduğunu anlayabilmek için,
•
•
•
Tek başına,
Belli bir grup içinde,
Sınıfta
ortaya koyduğu etkinlikler ve tartışmalar göz önüne alınmalıdır. Problem çözme
yeteneğinin belirlenmesinde bir çetelenin kullanılması yararlı olur. Sözü edilen çetelede,
•
•
•
•
•
Öğrencinin istekli oluşu,
Problem çözmeye kendini verebilmesi,
Değişik yolları deneyişi,
Olayları basit biçimde ortaya koyabilmesi,
Çözümün sağlanmasındaki tutarlılığı
ve benzeri kavramların bulunması gerekir. Çünkü matematik, bir problemin yanıtını bulmaktan çok,
?
•
•
•
Çözümünde kullanılan basamaklar,
Çözüm için belirlenen uygun yollar,
Çözüm sürecinde sergilenen bilgi ve beceriler
ile ilgilenir.
Diğer basamaklar için de benzeri çeteleler oluşturulabilir. Bu çetelelerde bulunması
gerekenleri, öğreticilerin belirlemesi doğru bir yaklaşımdır. Ancak ikinci örnek olarak matematiksel iletişim için, çetelede,
•
•
•
•
Matematiksel işlem yapma,
Matematiksel kavramları kullanma,
Matematiksel düşünebilme,
Matematiksel yazma
yeteneklerinin gözönüne alınabileceği önerilebilir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
Buraya değin sıralamanlara bakıldığında, açık olarak görülen en önemli şey şudur.
Matematikte ölçülmek istenen, salt bilgiden çok ötedir. Kimi yetenekler, davranışlar ve tutumlar da matematiksel ölçümün kapsamında düşünülmelidir. Yani bireyin matematik alanında sağladığı gelişmeleri ortaya koyabilmek için, bilişsel, devinsel ve duyuşsal davranışlarını birlikte ölçmek zorunluluğu vardır. Çünkü günümüzdeki matematik öğretiminde geçişmeler ve grup içi etkinlikler büyük önem taşır duruma gelmiştir.
Bireylerin matematiksel yeteneğinin ölçümünde
•
•
•
•
•
•
Bir matematiksel kavramı değişik biçimde sunma ve yorumlama
Kavramla ilişkili olan ve olmayanları ayırt etme,
Etkinliklerle kavramı sunma,
Yoğunlaşma,
Kesin olma,
Matematik dilini kendine maletme
gibi yönleri gözönüne alınır.
3. Matematiksel Ölçmede Ölçü ve İlkeler
Mademki matematikte ölçme bu denli önemlidir, öyleyse belli ölçü ve ilkelere dayandırılması gerekir. Bu ölçü ve ilkeler, ülke çapında genel hatlarıyla ortaya konmalıdır. Aradaki boşluklar ise öğreticiler tarafından, bulunulan ortama göre doldurulabilir.
Genel anlamda ölçü ve ilkelerin oluşturulmasında öğrencinin,
•
•
•
•
•
Bilgiyi sunabilmesi,
Problemi çözebilmesi,
Keşfederek öğrenmesi,
İstekli davranışı,
Merak etmesi
gibi davranış ve tutumlarının gelişmesi öne çıkarılmalıdır.
Bu genel çerçevede matematikte ölçmenin ilkeleri, özet olarak,
•
•
•
•
•
Öğretimi ve öğrenmeyi geliştirici olmak,
Bireylerin yeteneklerini geliştirmeye yöneltmek,
İçerik olarak ölçülen alanı kapsamak,
Bireylerin matematiksel gücünü geliştirici yönde olmak,
Öğrencilerin bilmeleri ve edinmeleri gereken matematiksel bilgi, beceri, yetenek ve yöntemlere dayanmak,
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
99
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
100
•
•
•
•
•
?
Açıklanması kolay bir ölçüm sistemini içermek,
Ölçme sistemi konusunda topluma bilgi sunmak,
Öğrencilerin, öğretmenlerin ve velilerin kullanılan ölçme sisteminin, bireyleri geleceğe hazırlamada ve mesleki başarıda bir gösterge olduğuna inanmalarını sağlamak,
Ölçüm sisteminin, tüm öğrencileri üst düzeyde verimliliğe taşıyacak biçimde
düzenlenmek,
Matematik öğretmenleri ve okul yöneticilerinin, matematikte eğitim ve öğretimin niteliğinin geliştirilmesi için, değişik ölçüm yöntemlerinin kullanılmasına yatkın olmalarını sağlamak,
biçiminde sıralanabilir. Görüldüğü gibi bu ilkeler genel anlamlıdır. Aynı biçimde ve genel olarak, matematikte ölçme sistemlerinin niteliği konusunda karar verebilecek bir rehberlik kurumu da geliştirilebilir. Aksi halde ülke genelinde bir
ölçü oluşturmak mümkün olmaz.
Bir ölçü oluşturulması, yani bir çıta konulması gerekir. Bu ölçü bir en azlar düzeyini
belirler olmalıdır. Üzerine konabilecek artılar ise, ilgili birimin program uygulamadaki başarısı, öğrenci güdülemedeki gücü, grup çalışmalarındaki tutarlılığı ve benzeri üstünlüklerini simgeler. Burada önemli olan çıta düzeyinin belirlenmesinde
yüksekliği iyi ayarlamaktır. Yani ölçüleri doğru koymaktır. Yapılan çalışmalar, ölçülerin oluşturulmasında,
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Öğrencilerin kapasitelerini artırma ve öğrendiklerini okul dışı ortama uygulamaya yönlendirmenin öne çıkarılmasını,
Ülke gerçekleri ve kurum dışı sektörlerin gereksinimlerinin gözönüne alınmasını,
Toplumun ilgisi olan tüm kesimlerinin düşüncelerini kapsamasını önemli ve
başlanamaz ana öğeler olarak belirlemektedir. Bu öğelere ulaşmada, öğrencinin,
Problem çözmede kullanacağı değişik yaklaşımları seçme ve oluşturması,
Grafik çizmesi, matematik dilini kullanması, matematiksel iletişime yatkınlığı,
Kavram ve bağıntıları irdelemek için kullandığı matematiksel muhakemesi,
Matematiksel kavramlarla gerçek yaşam arasında bağıntı kurması,
Çözüme ulaşabilmek için yeteneğini kullanması ve uygun stratejiler geliştirmesi,
Geometrik becerilerini kullanması,
Matematiksel tahmin, tartışma ve sonucu yorumlaması,
Matematiksel düşüncesinin berraklaşması ve bunu yansıtabilmesi
istenmelidir. Tüm bunlara bakıldığında şu noktaya yaklaşılır. Belki her ünite için ya
da en azından her ortak kökenli üniteler için bir ölçü oluşturulmalıdır.
Örnek olacağı düşünülerek sayı ve sayılar kuramı için bir ölçü sunulabilir. Bu ölçü,
ilkokuldan başlayarak üniversiteye kadar olan ünitelere ilişkindir. Dolayısıyla basamaklarını irdelerken, bu yaklaşımı unutmamak iyi olur.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
İlk basamağın ölçü içeriği, öğrencinin,
•
•
•
•
•
•
Gerçek hayattan seçilen fiziksel maddeleri kullanarak ve deneyerek sayı anlamını oluşturması,
Sayma, gruplama ve onluk taban sistemi arasındaki bağıntıları anlaması,
Sezgi yoluyla tam sayı kavramını genişletebilmesi,
Sayıları gerçek hayatta, çok değişik kullanım biçimleri ile görebilmesi,
Tam sayılardan başka sayılara da gereksinim olduğunu anlaması,
Negatif ve kesirli sayılar kavramını araştırması
ile ortaya konmaktadır.
İkinci basamağın ölçüsünde ise,
•
•
•
•
•
Gerçek hayattan değişik yollar ve aletler kullanarak sayı anlamını açıklaması,
Değer verme kavramını anlama ve uygulaması,
Temel aritmetik işlemlerin nasıl gerçekleştirileceğini anlaması,
Sayma sayıları, tamsayılar, kesirli sayılar, ondalık sayılar ve yüzdeler arasında varolan ilişkileri algılaması,
Bir ve iki boyutlu grafikler üzerinde sayıları göstermesi
gibi ölçüler yer almaktadır.
Üçüncü basamak, öncekilere ek olarak,
•
•
•
•
Gerçek hayatta ve matematiksel problem çözümünde sayıların değişik şekilde (tamsayı, kesirli sayı, ondalık sayı, oran, orantı, üstel ve benzeri) kullanılması, sunulması ve anlaşılması,
Tamsayılar, kesirli sayılar, ondalık sayılar ve rasyonel sayılar arasında karşılaştırma ve araştırma bağıntıları kurması,
Bir ve iki boyutlu grafik üzerinde sayısal ilişkileri tanımlaması,
Sayı kuramı kavramlarını (asal sayıları, faktoriyeller ve üslü sayılar) matematik problemlerinin çözümü ve gerçek hayata uygulaması
gibi kavramlar yer alır.
Kuşkusuz bu bir örnektir. Sınırlayıcı ve kesin bir ölçü olarak düşünülmemelidir.
Öğreticiler tarafından genişletilmesi, her zaman mümkündür.
Tüm bu ölçüler ve ilkelere karşın, sayısal ölçümü nota dönüştürmeyi de, genel hatlarıyla, kurallara bağlamak gerekir. Ya da en azından öğreticilere nota dönüşme konusunda ipuçları sunmak gerekir. Bunun için belki şu yol izlenebilir. Öğrencinin
ödevinde, sözlü ya da yazılı sunumunda,
•
•
Ulaştığı sonuç doğru,
Yaptığı açıklamalar net ve tam,
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
101
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
102
•
•
Problemin alt kesimlerinde küçük eksikliklere karşın, uygun matematiksel
yaklaşımlar kullanılmış,
Problemle ilgisi olan grafik ve şekiller doğru biçimde ortaya konmuş
ise, yanıt ÖRNEK YANIT olarak düşünülmeli ve 100 tam not üzerinden iyi bir not ile
ölçülmelidir. Başka bir deyimle, alt eksikliklerin durumuna göre, 75-100 arası bir ölçüm kullanılmalıdır. Öte yandan,
•
•
•
•
Ulaşılan sonuç doğru,
Açıklamalar net değil,
Açıklamalar tam değil,
Problemle ilgili olan grafik ve şekiller yok
ise, yanıta İYİCE YANIT adı verilir ve 100 tam not üzerinden 50-75 arası bir ölçüm
alabilir. Biraz daha değişik olarak,
•
•
•
Ulaşılan sonuç doğru değil,
Açıklamalar net ve tam değil ama konuya ilişkin kimi doğru ve mantıklı düşünceleri içeriyor,
Problemle ilgili grafik ve şekil yok.
ise, yanıta YETERSİZ YANIT denir ve 100 tam not üzerinden 25-50 arası bir ölçümle
eşlenebilir. Karşılaşılabilecek bir başka durum,
•
•
•
•
Ulaşılmış bir sonuç yok,
Açıklamalarda, konu ile ilgi kurulamamış,
Çözüm için bir çaba gösterilmemiş, verilenler kullanılmamış,
Problemle ilgili grafik ve şekil yok
olabilir. Buna ZAYIF YANIT adı verilir. Böyle bir yanıtın karşılığı 0-25 arası bir ölçüm olur.
Bu denli kısa bir özetlemeden de görüleceği gibi, matematikte ölçme yalnız sonuca
dayandırılamaz. Dolayısıyla, matematikte ölçme yapmağa çalışanların yalnız testlere dayanmaları doğru olamaz ve olmamalıdır.
3. Matematikte Değerlendirme
?
Ölçme kavramı tartışılırken, ölçmenin değerlendirmenin bir ögesi olduğu vurgulanmıştı. Ama aynı şeyler olmadıkları da, özellikle ortaya konmuştu. "Değerlendirme nedir?" sorusuna, somut bir karşılık vermek doğru mu? Yoksa tartışılması mı gerek? Özellikle eğitime ilişkin değerlendirmede, akla bir bütünün parçaları gibi gözüken üç öğe gelebiliyor. Bunlar,
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
•
•
•
103
Öğrencinin değerlendirilmesi,
Proğramın değerlendirilmesi,
Eğiticilerin değerlendirilmesi
biçiminde sıralanmaktadır. Eğer gerçekçi bir değerlendirme yaklaşımında bulunmak isteniyorsa, üç öğenin birlikte düşünülmesi gerekir.
Çok genel ve biraz da dış hatlarıyla söylemek gerekiyorsa, değerlendirme, "derlenen verilere dayanarak karar verme" olarak düşünülebilir. Kuşkusuz bu veriler, yukarıda sözü edilmiş ölçümlere denk gelmektedir. Dolayısıyla matematik öğretiminde değerlendirme de derlenen matematiksel ölçümlere dayandırılmak durumundadır.
Ne zaman ve ne amaçla değerlendirme yapılabilir? Sorusuna da yanıt bulunmalıdır. Özellikle matematik öğretiminde değerlendirme zamanı ve amacı çok önemlidir. Örneğin öğrencilere uygulanacak programın planlanması amacıyla ve öğretimin başında yapılacak "ÖN DEĞERLENDİRME"de,
•
•
•
Öğrenciyi tanımak,
Kimi ön bilgilerdeki, becerilerdeki ya da anlama eksikliğindeki durumunu
belirlemek,
İlgi alanları konusunda bilgi edinmek
hedef olarak seçilir. Böyle bir değerlendirme sonucunda öğretici, öğrencilerini tanıyabilme ve proğramı uygun şekilde sürdürebilme şansını yakalayabilir. Proğramın
tamamlanması durumunda da kendinin ne denli yararlı olduğu konusunda bilgi
edinme ve dolayısıyla varsa eksiklerini giderme fırsatını elde edebilir.
Öğrencilerin proğram hedefleri doğrultusunda sağladığı gelişmelerin belirlenmesi
amaçlı SÜREKLİ SINIF İÇİ DEĞERLENDİRME yapılabilir. Bu tür değerlendirmede, öğrencinin sınıf içinde,
•
•
•
Çalışma analizleri,
Davranışları ve öğretime katılışı,
Sınavlardaki durumu
göz önüne alınır.
Yararlı görülen bir değerlendirme, BELLİ ARALIKLARLA YAPILAN DEĞERLENDİRME’dir. Bu tür değerlendirmede, belli üniteler işlendikten sonra, öğrencinin,
•
•
•
Edinebildiği bilgi,
Gösterdiği gelişme,
Edinebildiği beceri
ile hedeflere ne denli yaklaştığının belirlenmesi amaçlanır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
104
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
Öğrenci, kendi kendini değerlendirmeye çalışmalıdır.
Ayrık gibi gözüken bu değerlendirmelerin, gerçekte bir bütünü oluşturdukları gözden ırak tutulmamalıdır. Üçünü birlikte düşünerek ulaşılan düzeyin anlamını açıklamak gerektiğine inanılmalıdır.
Bu denli önemli sayılan değerlendirmeyi kimi ilkelere dayandırmak zorunluluğu
vardı. Genel anlamıyla bu ilkeler şöyle sıralanabilir.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Değerlendirme, öğrenmenin öğretilmesi basamaklarının ana ögesidir. O nedenle iyi planlanmalı ve sürekli etkin tutulmalıdır.
Değerlendirme proğramın öğrenilmesinde rehber olmalıdır.
Değerlendirmenin planlaması gelecekle bağlantılı olmalıdır.
Değerlendirme herkes için aynı ve yansız olmalıdır.
Değerlendirmede bireyin içinde bulunduğu ortam göz önüne alınmalıdır.
Değerlendirme ön yargısız yapılmalıdır.
Değerlendirmede bildiklerini, anladıklarını, yeteneklerini ve becerilerini ortaya koyma fırsatı verilmelidir.
Değerlendirme öğrencilere yardımcı olmalıdır. Öğrencileri, becerilerini etkin
biçimde kullanmağa yüreklendirmelidir.
Değerlendirme, öğrencilerin kendi aralarında, kendi kendilerini değerlendirmelerine izin vermelidir.
Değerlendirmede öğrencinin, matematiksel yeteneği, ilişki kurabilme yeteneği, değişik alanlara uygulama yeteneği dikkate alınmalıdır.
Öğrencilerin bir değerlendirme dosyası tutulmalıdır.
Değerlendirmenin dört evreli bir bütün olduğu vurgulanmıştı. Bu evreleri Şekil
6.1’deki gibi özetlemek doğru bir yaklaşım olur.
Hazırlık evresi
Dönüt evresi
Ölçüm evresi
Değerlendirme
evresi
fi ekil 6.1: De€erlendirme Evreleri
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
Değerlendirmenin ilk evresi olan HAZIRLIK EVRESİ, sonraki evrelerin anlamlı kılınması için çok önemli sayılmaktadır. Bu evrede,
•
•
•
•
•
Neyin değerlendirileceği,
Ne tür değerlendirme yapılacağı,
Neye göre hüküm verileceği,
Öğrencinin bilmesi ve yapabilmesi gereken şeylerin ne olduğu,
Değerlendirme tekniği
gibi konu ve kavramlar açık biçimde belirlenir. Böylece değerlendirme yapmak için
yola çıkarken sağlam bir zemin oluşturulur.
İkinci evre olan ÖLÇÜM EVRESİ, olabildiğince içerikli olarak yukarıda sunuldu.
Burada evreye ilişkin yeni açıklama yapmağa gerek duyulmamaktadır.
Üçüncü basamak olan DEĞERLENDİRME EVRESİ, bu basamakların önemli bir
parçasını oluşturmaktadır. Bu kesimde genel hatlarıyla,
•
•
•
•
Ölçülen verilerin anlamlarını ortaya koymak,
Öğrencilerin gelişimi konusunda karar vermek,
Öğretim proğramı konusunda karar vermek,
Öğrenci gelişimi konusunda, öğrencilere, öğrenci ailelerine ve yönetime bilgi
sunmak.
gibi bir süreç uygulanır ya da uygulanmalıdır. Söz konusu sürecin her bir basamağı
aynı ölçüde önemlidir. Yani hiç biri boşlanamaz.
Değerlendirmenin son evresi DÖNÜT EVRESİ’dir. Bu evrede, bir yerde uygulanan
değerlendirme sisteminin yararlılığı test edilmektedir. Bağlı olarak evrenin aşamalarında;
•
•
•
Önceki evrelerde nedenli uygun yol izlendiği konusunda bilgi edinme,
Uygulanan değerlendirmenin yararlılığı ve kullanılan ölçme türlerinin uygunluğunu açıklığa kavuşturma,
Sonraki öğretim süreçlerinde ve değerlendirmelerde ne tür davranılacağı konusunda düşünce üretme.
gibi eylemler gerçekleştirilir. Bir başka deyimle, bu evrede sistem kendi kendini tartışma ve yenileme işlevini yüklenmektedir.
Tüm bu açıklamalara ışık tutması amacıyla aşağıdaki çetele oluşturulabilir. Ancak
bu çeteleye öğreticilerin ekleyeceği kimi yönlerin olabileceğini unutmamak gerekir.
Yani bir kalıp söz konusu değildir. Yalnızca bir örnekleme amaçlanmaktadır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
105
106
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
Çizelge 6.1: Değerlendirme Nasıl Yapılır
Çözümleme ve
Etkinlikler
Problem Çözme
• Çözümün sunumu
• Basamakların açıklanması
• Gerçek hayata uyarlama
İLETİŞİM
• Basitleştirebilme
• Ne yapmağa çalıştığını açıklayabilme
Mantıklı düşünme
ve muhakeme
• Gerçek hayat problemlerini açıklayabilme
• İlgili alanda yeni
problemler kurabilme
Verimlilik
• Açık uçlu problemlerdeki tutumu
• Problemi genişletibilmesi
Gözlem
• Problem çözmede
gösterdiği yeteneklerin sıralanması
• Sunum biçimi
• Kullanılan teknolojik
aletlerin kontrolü
• Problem çözme
• Çözümü doğrulama
• Sorgulama
• Denetleme
• Görüşme
Görüldüğü gibi değerlendirmeyi yaparken bireyin pek çok yönünü ölçmek ve bu
ölçümlerin sonunda karar vermek gerekmektedir. Matematiksel bir deyimle bireyin değerlendirilmesi çok değişkenli bir fonksiyon olarak düşünülmelidir. O nedenle Çizelge 6.1’de başka alt başlıklar da yer alabilir. Bu öğreticinin ölçme ve değerlendirmedeki yaklaşımına bağlıdır.
Öte yandan burada sözü edilen,
•
•
•
•
Ölçme ölçüleri,
Ölçülerin nasıl nota dönüşeceği,
Değerlendirmede hangi yönlerin öne çıkacağı,
Değerlendirmede hangi ölçümlerin kullanılacağı
günümüzdeki yaklaşımlara dayandırılmıştır. Yarın ortaya çıkacak olan yeni gereksinimler ve yeni dönüşümlerle, bu yaklaşımların pek çoğu değişebilir. Bunu unutmamak gerekir.
Örnek:
Ahmet sorulan problemin,
•
•
•
•
•
Matematiksel yapısını oluşturmuş,
Çözüm basamaklarını irdelemiş,
Çözüm ile ilgili açıklamalarını tam ve net olarak ortaya koymuş,
Gerekli grafik çizimini yapmış,
Problemi genişletebilmiş
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
ise, problem çözme ölçüsünü 100 alabiliriz. Ancak,
•
•
•
Olayı basitleştirememiş,
İyi sunamamış,
Teknik ve teknolojiyi kullanmamış
olabilir. Yani iletişimde sıkıntıya düşmüş olabilir. Öyleyse iletişim ölçümünü daha
düşük almamız gerekir. Diyelim ki 50 gibi bir ölçüm olabilir. Öte yandan,
•
•
•
Benzer yeni problemler kurabilmiş,
Problem çözümünü doğrulamış,
Günlük yaşam problemlerini açıklayabilmiş
ise uygun mantıklı düşünce ve muhakeme ölçüsü yüksek olmalıdır. Yani 90 ölçüsü
düşünülebilir. Sonuç olarak Ahmet hem ortalama olarak ve hem de tek tek iyi ölçümlere sahiptir diyebiliriz. Ama aynı problemin sorulduğu Ayşe’nin, problemin
çözümünü daha uygun, daha anlaşılır ve daha basit yollarla ortaya koyması olasıdır. Sunumu da daha etkin olabilir. Bu durumda Ayşe, Ahmet’ten daha iyi olarak
değerlendirilir. Benzer olarak bireyleri çoğaltırsak, değişik üstünlükleri olan ya da
tersi deyimiyle değişik eksiklikleri olan bireyler kümesi oluşturabiliriz. Değerlendirmede bu kümenin öğeleri bir bütün olarak düşünülmelidir.
Özet
Tüm bilim dallarında ve öğretimin her aşamasında, o alanda belirlenmiş öğretimin amaçlarına ne kadar ulaşılabildiğini ortayakoyabilmek amacıyla, ölçme ve değerlendirme yapılır.
Farklı alanlarda yapılan ölçme ve değerlendirmenin belli ortak amaçları, ilkeleri ve ölçüleri
vardır. Önemli olan ölçme ve değerlendirmenin bireyi gelişme yönünde güdüleme zorunluluğudur. Bu sağlanamıyorsa, seçilen ölçme biçiminin uygunluğundan kuşkulanılmalıdır.
Anlamlı ölçme yapabilmek için uygun teknik ve yollar kullanmak, alana uygun olarak ölçme
ölçüleri geliştirmek doğru olur.
Matematik ardaşık ve yapılmak bir bilim olduğundan, belli bir kitlenin matematik öğretimi
için, öğretimin başlangıcında ön değerlendirme yapılması gerekir. Böylelikle hem öğrencilerin ön bilgi düzeyi ve varsa eksikliği ortaya çıkartılır, hem de öğretim süresince sağlanabilen
gelişmenin gerçek anlamda ölçülmesine zemin oluşturulur.
Matematik öğretiminde ölçüm, yapılırken öncelikle öğrencinin,
•
•
•
•
•
Problem çözme yeteneğini
Matematik dilini kullanma becerisini,
Tartışabilmesini ve analizleyebilmesini.,
Kavramlarda ve işlem basamaklarındaki anahtar sözcükleri keşfetmesini,
Olumlu yönde düşünebilmesini ve hareket etmesini,
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
107
108
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
•
•
Matematiksel iletişim kurabilmesini,
Grup çalışmalarına katılımını
dikkate alınmalıdır. İkinci olarak öğrencinin,
•
•
•
Matematiksel kavramlarda işlemleri birleştirebilme,
Konuyu genişletebilme
Kritik yapabilme
yönlerini test edebilmelidir.
Ölçme, değerlendirmenin bir öğesi olup aynı şeyler değildir. Genel olarak değerlendirme;
derlenen verilere dayanarak karar verme olarak düşünülebilir. Değerlendirme, yapılacağı
zaman ve amaçlar ile ilgili olarak,
•
•
•
Ön değerlendirme
Sürekli sınıf içi değerlendirme
Belli aralıklarla yapılan değerlendirme
olarak guruplandırılabilir. Değerlendirme dört evreli bir bütündür. Bu evreler sırasıyla;
•
•
•
•
Hazırlık evresi
Ölçüm evresi
Değerlendirme evresi
Dönüt evresi
Değerlendirme Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1.
Matematikte ölçme yapılırken aşağıdaki amaçlardan hangisi dikkate alınmaz?
A. Bireyin verimliliğini geliştirmek
B. Bireyin program hedeflerine yönelmesine yardımcı olmak
C. Bireyin öğrenmedeki kararlılığını güçlendirmek
D. Bireyin belledicilik yönünün gelişmesine yardımcı olmak
E. Değerlendirme yapmak için veri toplamak
2.
Matematik öğretiminde ölçme yapılırken, öğrencilerin hangi yönünün öne
çıkarılması gerekmez?
A. Anlama oranları
B. Matematiksel güçleri
C. İstekli davranışı
D. Matematiksel düşünceler
E. Teknik ve teknolojiyi kullanabilmeleri
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
3.
Aşağıdakilerden hangisi matematiksel gelişmenin ölçümde kullanılan kaynaklarından değildir?
A. Sistematik olma
B. Sözlü sunum
C. Yazılı çalışmalar
D. Gözlemler
E. Matematiksel çalışmalara katılma
4.
Matematik öğretiminde ölçüm yapılırken hangi davranış dikkate alınmaz?
A. Problem çözme yeteneği
B. Matematik dilini kullanma becerisi
C. Olumlu yönde düşünebilmesi ve hareket edebilmesi
D. Günlük çalışma alışkanlığı
E. Matematiksel iletişim kurabilmesi
5.
Aşağıdakilerden hangisi ölçmenin ilkesi değildir?
A. Öğretimi ve öğrenmeyi geliştirici olmak
B. Açıklanması kolay bir sisteme dayanmak
C. Ölçme sistemi konusunda topluma bilgi vermek
D. Öğretmenin kişiliğini yansıtmak
E. İçerik olarak ölçülen alanı kapsamak
6.
Ölçme ile değerlendirme arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir?
A. Ölçme ile değerlendirme aynı şeylerdir
B. Ölçme, değerlendirmenin bir öğesidir
C. Ölçme, değerlendirmeyi kapsar
D. Ölçme ayrı, değerlendirme ayrı olarak düşünülmelidir.
E. Aralarında ilişki yoktur.
Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
Alkan, H., Sezer, M., Özçelik, A.Z., Köroğlu, H., "Matematik Öğretiminde Ölçme
ve Değerlendirmenin Etkisi" II.Ulusal Eğitim Sempozyumu Bildirileri, Atatürk Eğitim Fakültesi, İstanbul, 1996.
Hopkins, M.H., "Assessment for Instruction in Mathematics", The Painter, Vol.3,
No.2, Winter 1986.
Lester, F.K., and Drama, L.K., "Evaluation: a new vision", Mathematics Teacher 91,
April 1991, 276-84.
Owings, C.A., and Follo, E., Effects of portfolio assessment on students’ attitudes
and goal setting abilities in mathematics, 1992, Michigan.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
109
110
MATEMATİKTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
Romberg, T.A., "Reform in School Mathematics and Authentic Assessment" State
University of New York Press, 1995.
Sadler, D.Royce., "Formative assesment and the design of instructional sxstems",
Instructional Science 18:119-144,1989.
Turgut, M.F., "Eğitimde Ölçme ve Değerlendirme Metodları", Yargıcı Matbaası,
1995-Ankara.
Webb, N, "Collaborative group versus individual assessment in mathematics:
Group processes and autcomes. Review of group assessment issues. Los Angeles, C.A: National Center for Research on Evaluation, standards and Students Testing", Nowember 1992.
Değerlendirme Sorularının Yanıtları
1. E
2. C
3. A
4. D
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
5. D
6. B
Sayı Kavramı ve Öğretimi
ÜNİTE
7
Yazar
Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
• Sayıların ve sayı sisteminin ne işe yaradığını açıklayabilir,
• Sayı sisteminin kuruluşunun dayandığı temel ilkeyi söyleyebilir sayı sisteminin öğretimi ile ilgili etkinlikleri düzenleyebilir,
• Doğal sayıların nasıl icat edildiğini, doğal sayıların yazılışındaki basamak ve bölük kavramlarını açıklayabilir, bunların öğretimi ile ilgili etkinlik düzenleyebilir,
• Tamsayıları tanır ve tamsayılar kümesinde yapılan işlemlerin
kurallarını gerekçeleriyle açıklayabilir ve tamsayıların öğretimi
ile ilgili etkinlikler düzenleyebilir,
• Rasyonel sayıları tanır ve rasyonel sayılarla yapılan işlemlerin
kurallarını gerekçeleriyle açıklayabilir ve kesirlerin tanıtılması ile
ilgili etkinlikleri düzenleyebilir,
• Ondalık kesirlerin, rasyonel sayıların bir gösterim şekli olduğunu söyleyebilir ve ondalık kesirlerle yapılan işlemlerin kurallarını açıklayabilir ve öğrencilerin ondalık kesirleri kavrayabilmeleriyle ilgili öğretim etkinlikleri düzenleyebilirsiniz.
İçindekiler
• Giriş
113
• Sayı Kavramı ve Doğal Sayılar
113
• Tamsayılar ve Tamsayılarda İşlemler
119
• Rasyonel Sayılar ve Rasyonel Sayılarda İşlemler
123
• Özet
131
• Değerlendirme Soruları
132
• Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
134
Çalışma Önerileri
Bu üniteyi çalışırken;
• 150-200 kadar fasulye bulundurunuz ve gruplamayla ilgili etkinliklerin yürütülmesinde söz edilen gruplamaları aynen yapınız.
• Metinleri okurken, basamak bloklarını, bulunamaz ise yeter sayıda çıta kullanarak basamak kavramıyla ilgili etkinlekleri yapınız.
• Sürgü toplama cetveli ve diğer araçları karton ve makas kullanarak yapınız ve kullanınız.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
1. Giriş
İnsanlar ihtiyaçlarını daha iyi karşılımak için ilk çağlardan beri karşılaştırma
adını verdiğimiz bir eylemde bulunurlar. Karşılaştırma ile daha iyiyi, daha güzeli,
daha kuvvetliyi, yeterliyi, uygunu seçmek mümkün olur. Karşılaştırma yapabilmek miktarı ya da özelliği anlamak, miktarı anlama da sayıları kullanmakla gerçekleşir. Bu yüzden ilkçağlardan beri bugün kullanmakta olduğmuz onluk sayı sistemine kadar çok değişik sayı sistemleri icad edilmiş ve kullanılmıştır. Günümüzde
onluk sistem dünyanın büyük çoğunluğu tarafından kullanılmaktadır. Bunun yanısıra halen kullanılan başka sayı sistemleri de vardır.
Sayıların çekirdeğini doğal sayılar teşkil eder. Daha sonra herbiri bir öncekini kapsayacak şekilde Tam Sayılar, Rasyonel sayılar, Reel Sayılar ve Karmaşık Sayılar kümeleri kurulur.
Bu ünitede doğal sayılar, tamsayılar ve rasyonel sayılar kümelerinin kuruluşu, bu
kümelerde yapılan bazı işlemler ve bu işlemlerin kuralları üzerinde durulmaktadır.
Açıklamalarda daha çok 6., 7. ve 8. sınıf düzeyleri esas alınmıştır. Bu konularla ilgili
daha küçük sınıf düzeyleri için ayrıntılı bilgi ek okuma kaynaklarında vardır.
2. Sayı Kavramı ve Doğal Sayılar
Doğal sayı tanımı küme kavramına dayalı olarak verilir. Küme elemanlarının sertlik, yumuşaklık, berraklık, renkli olmak vs. gibi özelliklerinin yanısıra bir de çokluk
özelliği vardır. Bu çokluk özelliğine doğal sayı denmektedir. Daha formal bir anlatımla "bir doğal sayı denk kümelerin ortak özelliğidir" denilebilir. Bu düşünceyi öğrencilere sezdirmek için aşağıdaki etkinlik düzenlenebilir.
Etkinlik: Doğal Sayı Kavramı
Materyal: 3, 4, 5, 6 elemanlı kümeler veya küme şemaları
Grup: 2-3 kişi
İşlemler:
• {is, gece, zeytin}, {kuzgun, kömür} kümelerinin ortak özelliğinin araştırılması,
• Bu kümelerin elemanlarının "siyah" kavramını düşündürdüğünün sınıfça
paylaşılması. Öğrencilerin "sertlik" kavramını düşündüren küme örnekleri
söylemeleri,
• Her gruba eleman sayıları 3, 4, 5, ve 6 olan 10 kadar küme şemasının dağıtılması, bu kümelerin arasında bir ilişkinin olup olmadığının araştırılması, eğer
varsa bu ilişkiye göre bunların bir araya getirilmesi,
• Eleman sayıları aynı olan (aralarında birebir işleme kurulabilen) kümeleri bir
araya getiren bir grubun çalışmasının sınıfça tartışmaya açılması.
• Bir sayının "kümelerin bir ortak özelliği olduğunun ve çokluğu belirttiğinin"
farkına varılması. Yukarıdaki örneklerde yer alan siyahlık, sertlik sıfatlarının
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
113
114
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
nitelikle, sayının çokluk özelliği ile ilgili olduğunun anlaşılması.
Yukarıdaki etkinliğin de gösterdiği gibi, örneğin 4 sayısı, elemanları 4'er tane olan
kümelerin elemanlarının çokluğunu anlatmak için kullanılan bir sıfattır. Diğer sayılarda aynı düşünceyle başka kümelerin çokluğunu anlatmak için kullanılmaktadırlar. Daha sonra sıfır (0) sayısının boş kümelerin ortak özelliği olduğu, doğada var olmanın yanısıra var olmamanın anlatılması ihtiyacını karşıladığı, küme elemanlarının belli bir sınırı olmadığı için doğal sayıların da sonsuz olduğu sonucuna ulaşılır.
2.1 Basamak Kavramı
Doğal Sayılar sisteminin kuruluşundaki temel esas nesnelern belli bir sayıda sürekli
olarak gruplanmasıdır. Bu gruplamada, bir gruptaki eleman sayısına taban, ardışık gruplamaların herbirine basamak adı verilir. Basamak kavramının öğrenilmesi
doğal sayılarla yapılan işlemlerin öğretiminin de ön şartıdır. Çünkü sayılarla yapılan tüm işlemler basamak kavramına dayanır.
Nesneleri gruplama ve gruplamaya olan ihtiyacı ortaya koymak için aşağıdaki etkinlik, kullanılan materyal sayısı sınıf seviyesine göre seçlilerek çok değişik sınıflarda yapılabilir.
Etkinlik: Doğal Sayı Kavramı
Materyal: Çok sayıda sayılacak nesne (kuru fasulye, nohut vs.), altlık karton, keçeli kalem.
Grup: 4-5 kişi
İşlemler:
• Her kümeye sınıf seviyesine göre 200-300 kadar nesne verilmesi.
• Grup üyelerinin masalarında kaç nesne olduğunu tahmin etmeleri ve tahminlerini not almaları.
• Öğretmenin öğrencilerden, saymayı kolaylaştırmak için nesneleri gruplamalarını ve masada kaç nesne olduğunun bir bakışta anlaşılmasını sağlamalarını
istemesi.
• Öğrencilerin nesneleri gruplamaya başlamaları ve öğretmenin çalışmaları izlemesi.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
● ●
● ● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
● ●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Şekil 7.1: Nesnelerin Gruplanışı
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
● ● ●
237
veya
732
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
•
•
•
•
•
•
•
Şekil 1'dekine benzer bir çalışmanın esas alınarak, örneğin burada nesnelerin
10'ar 10'ar gruplandığı 2 büyük grup, 3 küçük grup olduğu, 7 nesnenin grup yapamadığının belirtilmesi. Sonucun 237 şeklinde yazılması.
Aynı nesneleri anlamak içn 732 yazılımının kullanılıp kullanılmayacağının
tartışılması.
Her iki yazım biçiminin kullanılabileceği, ancak alışılmış düzende büyük
gruptan küçük gruba doğru sıralayarak yazıldığının belirtilmesi.
Nesneleri saymanın, yukarıdaki gibi gruplanmış haliyle mi, yoksa birer birer
mi daha kolay olduğnun sorulması.
İki grubun nesnelerinin hangisinin çok olduğunu anlamak için yazılmış sayıya
bakmadan, yalnız gruplara bakılarak karar verilmesi.
Bu gruplara uygun adlarındırmaların sınıfça yapılması. (Birler, onlar, yüzler
gibi)
Onluk sistemde sayıları yazmak için 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ve 9 olmak üzere 10 işaretin neden gerekli ve yeterli olduğunun tartışılması.
2.2. Değişik Tabanlı Sayı Sistemleri
Yukarıdaki etkinlikte, öğrenciler sayıları 10'ar 10'ar gruplamak yerine, başka sayıda gruplasalardı ne olurdu?
Doğal sayılarla ilgili önemli bir başka konu, değişik tabanlara bağlı sayma sistemlerinin tanıtılmasıdır. İkilik, beşlik, altılık, sayma sistemleri vs. Değişik sayma sistemlerinin tanıtılmasının temel amacı sayı sistemi fikrini geliştirmek, basamak değerlerinin ve bunların sayı sistemi içinde nasıl bir işlevi yerine getirdiğini kavratmak, onluk sistemin tek seçenek olmadığını, bunun dışında da sistemlerin kurulup kullanılabileceğini sezdirmektir. Bu bakımdan bu sistemlerin öğretiminde işlem alıştırmaları yapmadan ziyade sistemin kuruluşu üzerinde durulmalıdır. Bu sistemlerin her
birinde bulunan rakam sayısı, bunların tabanla ilişkisi açıklığa kavuşturulmalıdır.
Bilgisayar makine dillerinin ikilik sistemi kullanıyor olması değişik tabanların uygulamadaki bir örneğidir ve bu durum ikilik sisteme ayrı bir önem yüklemektedir.
Değişik sayma sistemlerini kavratmak için uygun bir etkinlik yukarıdaki etkinliğe
benzer olarak aşağıdaki şekilde düzenlenebilir.
Etkinlik: Başka Tabanlar ve Başka Sayma Sistemleri
Materyal: Çok sayıda sayılacak nesne, altlık karton, keçeli kalem.
Grup: 4-5 kişi
İşlemler:
• Her kümeye 30-150 kadar nesne verilmesi.
• Öğretmenin öğrencilerden, saymayı kolaylaştırmak için nesneleri, bir grubun eleman sayısı 5'i geçmeyecek şekilde gruplamları ve bu şekilde masalarında bulunan nesnelerin kaç tane olduğunun bir bakışta anlaşılacak şekle sokmalarını istemesi.
• Öğrencilerin nesneleri gruplamaya başlamaları ve çalışmaların öğretmen taAÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
115
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
116
•
rafından kontrolü.
Aşağıdaki örnekte gösterilen çalışmaya benzer bir çalışmanın sınıfça tartışılması.
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
243
Befl
●
●
Şekil 7.2: Nesnelerin 5'erli Gruplanışı
•
•
•
•
Burada nesnelerin (fasulyelerin) 5'er 5'er gruplandığının, 2 büyük beşlik, 4 beşlik ve 3 tane de birlik olduğunun farkına varılması.
Bu sayının 243Beş mi yoksa 342Beş şeklinde mi gösterileceğinin tartışılması,
Bu sisteme bir ad verilmesi (beşlik sistem) ve burada 6'ya neden ihtiyaç olmadığının açıklanması. Bu sistemdeki rakamların 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 5 tane
olduğunun belirtilmesi.
Beşlik sistemden masaya konabilecek nesnelerin miktarının ne kadar çok
olursa olsun yazılabileceğinin kararlaştırılması.
İkişer ikişer gruplama yapan bir kümenin çalışmasının sınıfça tartışılması.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
= 1111
‹ki
●
Şekil 7.3: Nesnelerin 2'şerli Gruplanışı
•
•
?
Bu sistemde 15 fasülyenin 1111iki şekilde gösterilebileceği, sistemin rakamlarının 0,1 olduğunun farkına varılması.
Sınıfta değişik kümelerin yaptığı gruplama şekillerinin incelenmesi ve kaç
sayma sisteminin kurulduğunun açıklanması. Kaç değişik sayma sisteminin
olabileceği hususunda sınıf tartışması açılması.
Onluk gruplamanın insan ellerinin parmak sayısından kaynaklanmış olabileceğinin belirtilmesi.
Hiç gruplama yapılmasaydı tüm sayılara birer ad vermek mümkün olur muydu?
Bunları yazmada ne tür güçlüklerle karşılaşılırdı?
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
117
2.3. Elde ve Onluk Bozma Kavramları
Onluk sistemde işlem yapmada öğrencilerin en çok güçlük çektikleri ya da ezbere
yaptıkları noktalardan biri elde ve onluk bozma kavramlarıdır. Bu iki kavramın gelişmesi için önerilen bir etkinlik aşağıda verilmiştir.
Bu etkinliğin yürütülmesinde kullanılan sayı blokları şekil 7.4'de verilmiştir.
Şekil 7. 4: Sayı Blokları
Etkinlik: Elde ve Onluk Bozma
Materyal: Sayı blokları, bir çift zar, düzgün dört yüzlü, üzerinde birlik, onluk,
yüzlük, binlik yazılı karton.
Grup: 2 kişi
İşlem: Her gruba yeter miktarda sayı blokları (1 binlik, en az 20'şer tane olmak üzere
yüzlük, onluk ve birlik) verilmesi.
• Oyuncuların sırasıyla bir çift zar atmaları. Zarlardan birinde gelen sayı (sözgelimi beyaz zar) kadar birlik, diğerinde (sözgelimi kırmızı zar) gelen sayı kadar onluk alıp kartondaki yerlerine koymaları ve böylece birler ve onlar basamaklarını oluşturmaları.
• İkinci oyuncunun zarları atması ve aynı işlemi yapması. Basamaklardan herhangi birindeki materyal sayısı, örneğin birler basağındakiler 10'u geçince bunların 10 tanesinin ele alınıp (elde) geri çekilmesi, bunların yerine bir onluğun onlar basamağına konması.
• İşleme binlik (büyük küp) kendi hanesine konuncaya kadar devam edilmesi.
Binliği koyan çocuğun oyunu kazanması.
• Aynı oyunun bir düzgün dört yüzlü atılıp üste gelen sayıların en küçüğü kadar
yüzlük, ortancası kadar onluk, en büyüğü kadar birlik alınıp, kartondaki yerlerine konarak oynanması.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
118
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
Onluk bozma düşüncesi bunun tersi olan bir çalışmayla (oyunla) kazandırılır. Onluk bozmayı kavratmak için önce büyük küp (binlik), binler hanesine konur ve öğrencilere biri onluk, diğeri birlikleri gösteren iki zar atarak bnun harcanması istenir.
Bu durumda oyunu sürdürmek için binliğin oyun başlamadan önce 9 yüzlük, 9 onluk ve 10 birlik şeklinde bozdrulup elde edilen materyalin ilgili hanelere konması
gerekir. Gelen zarlara göre birler ve onlar basamaklarından harcama yapılacağı için
bu basamaklarda yeterli materyal bulunmaması halalinde bir üst basamaktan 1 tane
alıp bir alt basamağa 10 tane konması (10'luk bozma) gerekir. Oyunun sürdürülmesi
için, düzgün dörtyüzlü kullanılmayor ise üç basamaktan birlikte harcama yapılacaktır. Materyallerin tümü hangi oyuncnun zar atması ile biterse oyunu o kazanacaktır.
2.4. Bölük Kavramı
Doğal sayılarda basamak kavramının üzerinde bir de bölük kavramı vardır. Her üç
basamak bir bölük oluşturur ve çok basamaklı sayıların okunup yazılmasını kolaylaştırmak için bölükler birbirinden mesafeli yazılır. Bu mesafeli yazmada alışılmış
sınır 5 basamaktır. Öğrenciler çok basamaklı sayılarla, nüfus ve bütçe rakamlarında,
fen, fizik, kimya gibi derslerin içinde yer alan bazı konuları incelerken karşılaşırlar.
Aşağıda verilen etkinlik 10-15 basamaklı sayıların yazılıp, okunması ve bülöklerin
tanıtılması için uygundur.
Etkinlik: Bölük Kavramı
Materyal: Hesap makinası, 6 x 6 = 36 kare bölmeli, boş bingo kartları.
Grup: 2 kişi
İşlemler:
• Gruplara her bir karesi 2 cm x 2 cm ebatlarında olan bingo kartına benzer
boş kartların verilmesi.
• Bu kartın birinci satırına sırayla 1, 2, 4, 8, 16, 32 yazılması ve ikinci satırın nasıl
doldurulacağının (64, 128, ....) öğrencilere tahmin ettirilmesi sonra, böyle devam edince 36. kareye gelecek sayının kaç basamaklı olacağının öğrencilere tahmin ettirilmesi ve grupların tahminlerini bir yere not etmeleri.
• En doğru tahmin eden grubun bulunması. En doğru tahmin edeni bulmak
için yapılacak çalışma tüm karelere ilgili sayıları yazmaktır.
Gruplar bu işlemi yaparken rakam sayısı hızla artacağından okuma ve yazma güçleşecektir. Öğretmen "bu sayıları kolay okuyup yaza için üçerli gruplara ayırsak
olur mu?" diye bir soru ortaya atar ve sayılar öbek öbek ayrılarak yazılır ve okunur.
Son olarak tahminlerle elde edilen sonuç karşılaştırılır ve bölüklerin adları (birler,
binler, milyonlar, miyarlar, trilyonlar, ...) ve bu bölüklerin herbirinde yer alan basamaklar öğrencilere tanıtılır.
Doğal sayılarla ilgili bir başka önemli kavram ardaşıklık kavramıdır. Çünkü her sayı kümesinde ardışıklık tanımlı değildir. Ardışıklığın arka arkaya gelmek olduğunun söylenmesi ve sayı doğrusu üzerinde sayıların yazılması bu kavramın kazandı-
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
119
rılması için yeterlidir. Ardışıklıkta önemli bir nokta 0 (sıfır) sayısının hiç bir sayının
ardışığı olmadığının belirtilmesidir.
Ardışıklıktan yararlanarak doğal sayıların sonsuz olduğunu nasıl gösterirsiniz?
Belli bir aralıkta söz gelimi [5, 19] aralığındaki doğal sayılar sonlu sayıdadır. Bunu
göstermek için 5'ten başlayarak ardışık gelen sayıları 19'a kadar saymak yeterlidir.
3. Tam Sayılar ve Tam Sayılarda İşlemler
İlköğretimin ilk beş yılında öğrenciler doğal sayılarla ve rasyonel sayılar kümesinin
pozitif kısmıyla kesirler adı altında meşgul edilirler. Tamsayıların tanıtılmasına 7.
sınıfta başlanmaktadır. Tamsayıların öğretiminde kullanılacak materyal bulmak,
doğal sayılardaki kadar kolay değildir.
Tamsayıların öğretiminden önce, pozitif sayıların yanısıra, negatif sayılara da ihtiyacımız olduğu sezdirilmelidir.
Sayılar çoklukları anlatmak için kullanılırlar. Çoklukların bir kısmının doğal bir
başlangıcı vardır, bir kısmının yoktur. Uzunluk, ağırlık, alan, hacim vs. gibi çokluklar doğal başlangıcı olan çokluklardır ve bunların sıfırı yokluk anlamındadır. Yani
bir uzunluk 0 m dendiğinde uzunluk yok anlamına gelir. Oysaki zaman ve sıcaklık
doğal sırıfı olmayan çokluklarlardır. Hava sıcaklığının 0 derece olması, sıcaklığın olmadığı anlamına gelmez, sıcaklık olduğu gibi 0 derecenin altında da sıcaklıklar vardır. Negatif sayıların tanıtılması için, sıcaklıkla ilgili bir durumdan yola çıkılabilir.
Aşağıdaki bu yaklaşımla düzenlenmiş bir etkinlik sunulmaktadır.
Etkinlik: Negatif Sayılar
Materyal: Termometre, negatif sayılar içeren hava durumu haritası veya raporu.
Grup: 2-3 kişi
İşlemler:
• O günkü hava sıcaklığının ölçülmesi ve yazılması.
• Öğrencilere termometre gösterilmesi ve üzerindeki rakamların incelenmesi
ve sıfırın altındaki rakmlardan nasıl faydalandıklarının sorulması.
• Haritanın incelenmesi ve harita üzerinde aşağıdaki sorulara cevap verilmesi.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
120
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
Gündüz haritasında,
- En soğuk il hangisi?
- En sıcak il hangisi?
- İlleri soğuktan sıcağa doğru sıralayınız ve bir çizgi üzerinde gösteriniz?
- Bu çizgi daha önce tanıdığımız sayı doğrusuna benziyor mu?
- Aynı gün, gündüz sıcaklğın -20 derece olan bir ilimiz olsaydı bunun yerini
çizgi üzerinde nerede gösterirdiniz?
- Aynı soruları gece haritası için cevaplandırınız.
• Bu sorunların tartışılmasının arkasından sayı doğrusunun tamsayılar'ı da
içerecek şekilde çizilmesi ve tanıtılması, her iki taraftan sonsuza gettiğiğinin anlaşılması.
• Sınıfta bulunan tarih şeridine dikkat çekilerek aşağıdaki soruların cevaplandırılması.
- Bu şeritte 0 yılını gösteriniz.
- 0'dan önce yaşanmış mıdır? Yaşanan bir olay söyleyiniz. (Ateşin icadı vs.
gibi)
- Tamsayılar doğrusundaki gibi işaretleme yapsaydınız, hangi sayıları eksi (-) ile işaretlemeniz gerekirdi?
- İstersek İsa'nın doğumundan başka bir yıla sıfır (0) diyebilir miyiz?
- Eğer Cumhuriyet'in ilan edildiği 1923 yılına 0 (sıfır) deseydiniz, bu yılın
tarihi kaç olurdu?
- Ömrünün yarısını sıfır yılından önce, diğer yarısını sıfır yılından sonra
yaşayıp, 60 yaşında ölen bir adamın doğum ve ölüm yıllarını bu şerit üstünde gösteriniz.
Tamsayılarla yapılan toplama ve çıkarma işlemleri öğrenciler için ilk safhalarda zor
gelir. Onlar "iki tamsayı toplanırken..." diye başlayarak kuralları ezberlemeye yönelirler. Bunun önüne geçmek ve tamsayılarla yapılan işlemleri anlamlandırmak için
yukarıdaki etkinlikte kullanılan haritalar üzerinde anlaşılır ve basit sorular sormak
yeterlidir.
Etkinlik: Tamsayılarda Toplama ve Çıkarma
Materyal: Hava durumu haritaları.
Grup: 2 kişi
İşlemler:
• Gündüz haritası kullanılarak, aşağdaki sorulara cevap verilmesi.
• Hava sıcaklıkları her ilde 7'şer derece artsaydı, kaçar derece olurdu? Harita
üzerine yazılması.
• Hava sıcaklıkları her ilde 7'şer derece azalsaydı kaçar derece olurdu? Harita
üzerine yazılması.
• Gece ve gündüz sıcaklıkları arasındaki farkın aşağıda verilen sırayla sayı
doğrusunda gösterilmesi, en büyük değişimin hangi ilde olduğunun işlemle
bulunması.
- Adana, İzmir, İstanbul
- Erzurum, Sivas
- Ankara, Bursa
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
(10 - 2 = 8, ....)
(-1 - (-9) = 8, ....)
(2 - (-3) = 4, ....)
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
121
Tamsayılar zaman ve sıcaklık yanısıra parası ya da borcu olma durumunu açıklama
için de kullanılabilir. Öğrenciler para kazanmak, para harcamak, alacağı olmak,
kavramlarını bildikleri için öğretimde bundan yararlanılabilir. Alacağı olanın durumu (+), borcu olanın drumu (-), ne borcu ne alacağı olanın durumu 0 ile gösterilebilir. Aşağıda tamsayılarda toplama ve çıkarmayı kavratabilmek için alacağı veya
borcu olma durumundan nasıl faydalanılabileceğini göseren bir etkinlik verilmiştir.
Etkinlik: Tamsayılarda Toplama ve Çıkarma
Materyal: 8-10 tane banknot resmi (1 liralık)
Grup: 2 -3kişi (Öğrencilerden bir tanesi postacı rolünde)
İşlemler:
• Postacı size 2 ve 4 lira alacağınız (+) olduğunu bildiren iki çek getiriyor. Bunu işlemle gösteriniz. (+2 + (+4) = 6). Banknotlarla canlandırınız.
• Postacı size 7 lira alacağınız oldunu bildiren bir çek, 5 lira harcamanız olduğunu bildiren bir ödeme emri getiriyor. Bunu işlemle gösteriniz. (+7 + (-5) = +2)
• Postacı size biri 5, diğeri 3 lira olan iki ödeme emri getiriyor. Bunu banknotlarla canlandırınız ve işlemle gösteriniz. (-5 + (-3) = -8)
• Grupların yukarıdaki işlemleri postacı rollerini değiştirerek yapması. Değişik sayılar kullanılarak işlemlerin yapılması.
• İki negatifin, bir negatif ile bir pozitifin toplamını gösteren işlemlerin kartlara
yazılarak panoda sergilenmesi.
Tamsayılarda toplama ve çıkarmayı kavratmak için başka bir etkinlik "sürgülü hesap cetveli yapma ve kullanma"dır. Sürgülü hesap cetveli iki sayı doğrusu parçasından oluşan ilkel bir hesap makinasıdır. Doğal sayılarla işlem yapmak için kullanılır,
tamsayılara kolayca uyarlabilir.
Etkinlik: Sürgülü Toplama Cetveli
Materyal: Kareli kağıt, cetvel, makas, yapıştırıcı
Grup: 2 kişi
İşlemler:
• Kareli kağıt üzirende iki paralel doğru çizilmesi ve her ikinde de 0, 1, 2, ..., 10 sayılarının işaretlenmesi.
• Cetvellerin kesilip çıkarılması ve gergin durması için arkalarına karton yapıştırılması.
0 1 2
•
3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7
8 9 10
4 + 5 toplamının bu cetvellerle nasıl gösterilebileceğinin gruplarca tartışılması. Aşağıdaki gösterim biçiminin uygun olduna karar verilmesi.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
122
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2
•
•
•
•
8 9 10
3 4 5 6 7 8 9 10
Bu cetvellerle 2 + 6, 0 + 5, 4 + 3 toplamlarının yapılması. Bu cetvelle hangi sayıların toplamının bulunabileceğinin tartışılması.
Şimdi sayı cetvellerinin -10 dan +10'a kadar kadar sayıları içerecek şekilde
hazırlanması.
Bu cetvellerle yukarıdaki toplamaların hepsinin yapılıp yapılamacağının tartışılması.
Bu cetvellerle -5 + +7 işleminin nasıl yapılacağının araştırılması.-5 + +7 = 2
sonucuna ulaşılması.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
•
•
•
8 9 10
Bu cetvellerle -2 + +7, -4 + +1, -9 + +2 işlemlerinin yapılması. Bu cetvelle
toplama yapmanın kuralının açıklanması. (Birinci terim alttaki cetvelden seçilir, üstteki cetvelin "0" ı bu terime gelecek şekilde cetvel kaydırılır. Üstteki cetvelden ikinci terim seçilir, alttaki cetveldeki karşılığı okunur. Bu sayı toplamanın sonucudur)
Bu cetvellerle -5 + -3 işleminin yapılması. Daha solda bir sonuç çıktığının farkedilmesi. Bu işlemde üstteki ok hangi tarafa yönelmiştir?
+7 + -9 işleminin yapılması. Benzer bazı işlemleri grup elemanlarının birbirine sormaları.
Öğrenciler tarafından zor kavranan bir işlem de tamsayıların çarpılması ve bölünmesi sonucu elde edilen sayının işaretinin anlaşılmasıdır. İki negatif sayının çarpımının pozitif etmesi, bir negatif sayı ile bir pozitif sayının çarpımının negatif etmesi
pek kolay anlaşılmamaktadır. Yukarıda sunulan etkinliklerden borç ve alacakla ilgili olanı, çarpmayı da içine alacak şekilde geliştirilebilir. Çarpma öğretimi için postacının getirmesi (+), götürmesi (-), alacak (+), borç (-) ile gösterilerek aşağıdaki etkinlik düzenlenebilir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
Etkinlik: Tamsayılarda Çarpma
Materyal: Hazırlanmış temsili banknot demetleri (1'er liralık)
Grup: 2 -3kişi (Öğrencilerden bir tanesi postacı rolünde)
İşlemler:
• Postacı size herbirinde 4'er lira olan 3 banknot demetini veriyor. Bu durumda
kaç liranız olur? Bunun işlemle gösterilmesi. (+3 x +4 = 12)
• Postacı size 2 tane herbiri 3'er lira borcunuz oldunu gösteren iki ödeme kağıdı
getiriyor. Bu durumda zenginleşir mi yoksa fakirleşir misiniz? Bunun işlemle
gösterilmesi (+2 x -3 = -6)
• Postacı size daha önce bir yanlışlık olduğunu söyleyerek, elinizdeki her biri
5'er lira olan ödeme evrakının 2 tanesini alıyor. Dumunuzu düşünün. Harika bir
şey! Zengin mi yoksa fakir mi oldunuz? Durumun işlemle gösterilmesi
(-2 x -5 = +10)
• Postacı elinizde alacağınız olduğunu gösteren her biri 4 liralık 3 çeki, yanlışlık
olduğunu söyleyerek geri alıp gidiyor. (+4 x -3 = -12) Ne can sıkıcı bir durum!
Çarpma öğretimi böylemle ilgi genellemelerin de kavranmasına yol açar. Çünkü a
x b = c eşitliğinden c : a = b veya c : b = a elde edilebilir, veya yukarıda verilen problem durumları bölme için düzenlenebilir.
4. Rasyonel Sayılar ve Rasyonel Sayılarda İşlemler
Çocuklar Rasyonel Sayılarla ilkokulun birinci sınıfından itibaren, kesirler adı altında karşılaşmaya başlarlar. Sınıflar ilerledikçe öğrendikleri kesirlerin çeşitleri, büyüklük ve küçüklük sınırları değişir. Kesirlerle yapılan işlemlerin tamamı ilk beş sınıftayken öğretilir. Tamsayılara göre, rasyonel sayılarla daha erken karşılaşılmasının nedeni, öğrencinin çevresindeki olaylar ve günlük hayatında bunların pozitif
olanları ile çok sık karşılaşıyor olmasıdır. Yarım ekmek, çeyrek saat, 0,7 kg peynir,
1.2 kg. yağ vs. gibi.
Bu ünite içinde sözedilecek olan ondalık sayılar ayrı bir sayı kümesi olmayıp, rasyonel sayıların bir gösterim şeklidir.
4.1. Kesir Kavramı
Bir kesir, bir bütün ile onun bir parçası arasındaki ilişkiyi belirten bir ifadedir. Örne2
ğin
kesrinde 5 bütünle ilgilidir ve bütünün 5 eşit parçaya bölündüğünü gös5
terir. 2 sayısı parçalarla ilgilidir, 5 parçadan 2 tanesi ile ilgilendiğimizi göstermektedir.
Sonuç olarak bir kesir bir tamsayı gibi bir miktar anlatır. Ancak bütünlerin değil,
parçaların kaç tane olduğu gösterir.
Bir kesir değişik şemalarla gösterilebilir. Eğitim-öğretimde kesirleri anlatmak için
çok kullanılan şemaları dört grupta ele alabiliriz. Bunlar (1) Uzunluk özelliğini esas
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
123
124
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
alan şekiller, (2) Alan özelliğini esas alan şekiller, (3) Hacim özelliğini esas alan şekiller ve (4) Sayılabilme özelliğni esas alan şekillerdir. Şekil 7.5'te her madde için ikişer
örnek çizilmiştir.
Şekil 7. 5: Bir Kesre Uygun Değişik Şekiller
Bunların içinde en çok kullanılanı da alanla ilgili olanıdır. Genellikle daire ya da dikdörtgen şeklinde bir alan bütünü, bunun bir parçası kesirleri göstermede bir model
olarak kullanılır.
Kesirlerle ilgili temel kavramlar arasında kesirlerin denkliğinin önemli bir yeri vardır. Çünkü bir rasyonel sayıyı gösteren sonsuz kesir olduğunu sezdirmek ve kesirleri birbirleriyle toplamada payda eşitlemeye anlam kazandırmak ancak kesirlerin
denkliğinden yararlanılarak yapılabilir. Kesirlerin denkliğini kavratmada kullanılan bir etkinlik şöyle düzenlenebilir.
Etkinlik: Kesirlerin Denkliği
Materyal: Kare köşeleri noktalı kağıt, kalem, cetvel.
Grup: 2 -3kişi
İşlemler:
• Her grubun elindeki kartta 1 , 2 ve 4 'ini işaretlemeleri. Çizimlerin aşağı2 4
8
daki örneğe uygun olup olmadığının kontrolü.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1
2
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
2
4
4
8
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
•
•
•
125
Bu kesirlerin neden aynı miktarı anlattıklarının açıklanması.
Aynı noktalı kağıt üzerine bu kesirlere denk başka hangi kesrin çizimle gösterilebileceğinin 8 tartışılması.
16
Bunların birinden diğerine nasıl geçilebileceğinin araştırılması (genişletme
ve sadeleştirme).
Kesirlerin denkliğinden yararlanarak iki rasyonel sayı arasında sonsuz rasyonel sa
yı olduğu ve rasyonel sayılar arasında ardışıklık kavramının tanımlı olmadığı gös3
4
terilebilir. Öğrenciler örneğin 5 ile 5 sayılarının ardışık olduğunu bunların
arasında başka sayı olmadığını zannederler. Bu iki sayı arasında son
suz sayı olduğunu göstermek için bunları sayı doğrusunda göstermek yeterlidir.
0
3
5
4
5
1
0
30
50
40
50
1
310
500
0
300
500
400
500
1
31 , 32 , 33 , ..... , 39
50 50 50
50
301 , 302 , 303 , ..... , 309
500 500 500
500
Sonuç olarak iki rasyonel sayı ne kadar yakın olursa olsun bunların arasında yine
sonsuz rasyonel sayı vardır.
4.2. Kesirlerde Toplama ve Çıkarma
Kesirlerde toplama öğretiminde, kesirlerin paydaları aynı ise, bunun modellenmesi
ve genellemeye ulaşılması oldukça kolaydır. Aşağıda paydaları farklı iki kesrin toplamının kavratılmasında kullanılabilecek bir etkinlik sunulmaktadır.
Etkinlik: Kesirlerde Toplama ve Çıkarma
Materyal: Kare köşeleri noktalı kağıt, kalem, cetvel.
Grup: 2 -3kişi
İşlemler:
•
Noktalı kağıdın birim bölge olarak kabul edilmesi ve toplamaya konu olan
1 1
kesirlerin örneğin + = ? bu bölge üzerinde gösterilmesi.
2 4
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
126
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1 +1 =3
2
4
4
•
3 -1 =1
4 4
2
Toplama üzerinde 1 'nin 8 'ya , 1 'ün 4 'ya denk olduğu incelenerek payda
2
16
4
16
eşitlemenin mantığının tartışılması.
4.3. Kesirlerde Çarpma ve Bölme
Öğrenciler rasyonel sayıları çarpmayı öğrenmeden önce doğal sayıları çarpmayı
öğrendiklerinden "iki sayının çarpımı sayıların herbirinden daha büyüktür" düşüncesini benimserler. Bu durum tamsayılı iki kesrin çarpımında da geçerlidir. Oysaki
"1" den küçük iki sayının çarpımı (yarım x yarım = çeyrek) çarpanların herbirinden
küçüktür.
Kesirlerde çarpmanın kavratılmasında çoğunlukla "diktörtgenin alanının hesaplanması "model olarak seçilir ve kullanılır. Bu konunun açıklanması "bir tamsayı ile
bir kesrin çarpımı" ve "bir kesirle diğer bir kesrin çarpımı" gibi iki başlık altında ele
alınabilir ancak aşağıda sadece iki kesrin birbiriyle çarpımına ilişkin bir açıklama
verilmektedir. Bu bilgi bir tamsayı ve bir kesrin çarpımı için de kolayca uyarlanabilir.
5 x 2 = ? örneği üzirende iki kesrin çarpımı şöyle açıklanabilir.
6 3
Şekil 7.6'da 3 x 2 = 6 işlemi görülüyor. Çarpım, kenarları 3 ve 2 birim olan dikdötgenin alanıdır. 5 ve 2 kesirlerinin herbiri 1'den küçük olduğu için bunların çarpımı
6
3
aynı şekil üzerinde 1 birimlik bölgenin bir kısmına eşlenmektedir.
5 ile 2 sayılarının belirlediği bölgede (koyulaştırılmış kısım) 10 dikdörtgen var.
6
3
Birim karenin 10 'dur. O halde; 5 x 2 = 10 eder.
18
6 3 18
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
127
2
5
6
2
3
bütün
3
Şekil 7. 6: İki Basit Kesrin Çarpımı
Şimdi sadece birim kareyi kullanarak
tanesi koyulaştırılmıştır. O halde,
4 ile 3
7
5
'i çarpalım, 35 diktörtgenden 12
4 x 3 = 12 eder.
7 5 35
bütün
4
7
3
5
Şekil 7. 7: İki Basit Kesrin Çarpımı
Bu çalışmalar öğrencilerin "iki basit kesir çarpılırken paylar birbiriyle, paydalar biriyle çarpılır" düşüncesine ulaşması için yeterlidir.
Burada 4 ile 3 'in çarpımı ile, bir bütünün 3 ünün4 ünü bulunmaktayız.
7
5
5
7
Bu düşüncenin öğrenciler tarafından kavranması ile kesirlerde çarpma öğrenilmiş
olur. Şekil 7.6 ve 7.7'de verilen yaklaşım iki tamsayılı kesirin çarpımı, bir tamsayı ile
bir kesrin çarpımı içinde kullanılabilir.
Kesirlerde bölme öğretiminin hemen herkesin kolayca hatırladığı bir kuralı vardır
ve bu kural "Birinci kesir aynen alınır, ikincisi ters çevrilir, birincisiyle çarpılır" şekAÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
128
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
lindedir. Böyle bir kurala öğretimin başında yer vermek ezbere öğrenmeye yol açacağından kesirlerde bölme öğretimi aşağıdaki gibi yapılmalıdır.
İşlem öğretiminde o işlemin gerektirdiği uygun, basit bir problemden yola çıkmak öğrenmeyi kolaylaştırır. Bu bakımdan iki kesrin birbirine bölümüne " 1 metre
2
kumaş 1 metrelik parçalara ayrılmak isteniyor. Kaç tane 1 metrelik parça elde
4
4
edilir?" gibi bir problemle başlamak uygun olur. Çünkü bu problem 1 sayısının
2
1 sayısına bölümünü gerektirir.
4
Burada cevabın 2 olduğu aşağıdaki şekilden kolayca görülmektedir. Bölme işlemi,
1 metre kumaş, 2 metre şeklinde düşünülmekte, sonra "
4
2
'ler kaç tane" sorusuna cevap aranmaktadır. Yani
2 içinde 1
4
4
1 : 1 =2 : 1 =2 : 1 =2 = 2
2 4 4 4 4:4 1
işlemleri ardısıra yapılmaktadır. Bu etkinlik iki kesir bölünürken" paydalar eşitle
nir, paylar birbirine, paydalar birbirine bölünür", şeklinde özetlenebilir. Bu yaklaşım kesrin bütüne, bütünün kesre bölümüne de (bütüne 1 payda verilmek suretiyle)
uygulanabilir. Kesirlerde bölme ile ilgili "birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters
çevrilir birinci ile çarpılır" kuralı bu açıklamanın sonucu ile örtüşen daha kestirme
bir yol olarak sunulabilir.
1 m.
4
1 m.
4
1m
2
4.4. Ondalık Kesir Kavramı ve Ondalık Kesirlerde İşlemler
"Ondalık kesirler" yerine ondalık sayılar deyimini kullanmak alışılagelmiştir. On
dalık sayı diye bir sayı yoktur. Rasyonel sayıların ondalık gösterimi vardır. Örneğin
kesri 1 veya 5 0,5 şeklinde yazılabilir. Son iki yazılışa ondalık kesir, bazen dil
2
10
alışkanlığıyla ondalık sayı denir. Öğretimde bu noktanın açıklığa kavuşturulması
gerekir. Bunun için düzenlenecek etkinlik her rasyonel sayısının bir ondalık gösteriminin olduğunu ortaya koymalıdır. Aşağıda böyle bir etkinlik sunulmaktadır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
129
Etkinlik: Rasyonel Sayıların Ondalık Yazılışı
Materyal: Denk kesirleri gösteren listeler.
Grup: 2 kişi
İşlemler:
• Aşağdaki kesir kümesinde yuvarlak içine alınanların ortak özelliklerinin belirlenmesi.
1 =2 = 5
2
4
10
•
= 6 = 50
12
100
= 51 = 500
102
1000
= 501
1002
Aşağıdaki kesir kümelerinde aynı özelliği taşıyan kesirlerin yuvarlak içine
alınması.
1 = 2 = 3 = 5 = 20 = 25 = 200 = 201
5
10
15
25
100
125
1000
1005
1 = 2 = 3 = 10 = 25 = 50 = 250 = 300
4
8
12
40
100
200
1000
1200
•
Kesirlerin virgülle yazılmasının, a/b şeklinde yazılmasından farklı olarak ne
tür faydalar sağladığının gruplarca tartışılması.
Rasyonel sayıların ondalık gösterimleri basamak kavramı temeline dayanmakta,
ondalık gösterimler işlem yapmadaki tüm teknikleri kullanma ve işlem kolaylıklarından yararlanma imkanı sağlamaktadır. Örneğin 1 ve 2 kesirlerini hesap
4
5
makinasında çarpma imkanı yoktur. Fakat 0,25 ile 0,4 sayılarını çarpma imkanı var
dır. İlköğretim ve yetişkin hayatı için önemi buradan ileri gelmektedir. İşlem teknikleri doğal sayılardaki işlemlerle tamamen aynı olduğu için burada tartışılmayacaktır. Bununla ilgili detaylı bilgi ek okuma kaynaklarında mevcuttur.
Kesirlerin ondalık gösterimlerini yazmak için yukarıda izlenen, denk kesirleri ya
zıp içinden ondalık olanları seçme yönteminin yanısıra daha kestirme bir yol vardı
5 = 0,5 yazılımıda bunun bir
10
sonucudur. Kesirlerin bu yazılışını ilk veren ünlü matematikçi Napier (15501617) dir.
ve bu yol "kesrin payını paydasına bölmek"tir.
Bu yaklaşım bir kesrin ondalık karşılığını bulmak için, onu paydası 10 veya 10'nun
bir kuvveti şeklinde ifade etme zahmetinden kurtarmaktadır. Kesrin payı ve paydası ne olursa olsun ondalık yazılışını bulmak için payını paydasına bölmek yeterli olmaktadır. Aşağıdaki etkinlik kesirlerin ondalık açılımları ile ilgili olup yedinci sınıf
programında yer alan bir çalışmayla ilgilidir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
130
Etkinlik: Sonlu ve Sonsuz (Devirsiz ve Devirli) Ondalık Açılımlar
Materyal: Hesap makinası
Grup: 2 -3kişi
İşlemler:
•
1 ,1 ,1 ,1
kesirlerinin ondalık açılımlarının yazılması.
2 4 5 8
•
1 , 1 , 1 , 1 sayılarının ondalık açılımlarının yazılması.
3 6 7 9
•
Bu iki grup ondalık açılımdan birinci gruptakilerin, 0.5, 0.125 örneklerinde
olduğu gibi sonlu olduğu, ikinci gruptakilerin 0.3, 0.142857 şeklinde belli bir
grup sayısının sürekli tekrar ettiğinin ortaya çıkması (sayı veya sayı grubu üzerindeki çizgi o sayının veya sayı grubunun tekrar ettiğini gösteriyor).
•
1 , 1 , 1 kesirlerinden hangilerinin sonlu (devirsiz), hangilerinin son12 16 17
suz (devirli) ondalık açılıma sahip olduklarının bölme işlemi yapılmadan açık-
•
•
?
lanması, sonra bölme yapılarak kontrol edilmesi.
Paydanın asal çarpanları incelenerek devirli ve devirsiz açılımların nasıl teşekkül ettiğinin araştırılması.
Paydanın asal çarpanlarının 2 ve 5 olması halinde ondalık açılımın sonlu, olmaması halinde devirli ve sonsuz olduğunun sınıfça kararlaştırılması.
Sonsuz ondalık açılıma sahip her sayının rasyonel sayı olduğu söylenebilir mi?
2, 1023456789777510001094....... örneğindeki gibi düzensiz ondalık açılıma sahip
olan sayılara ne ad verilir?
Etkinlik: Tekrarlayan Ondalık Açılımlar
Materyal: Hesap makinası.
Grup: 2-3 kişi
İşlemler:
• Paydası 7 olan 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 kesirlerinin ondalık açılımlarının
yazılması ve birbirleriyle ilişkilerinin araştırılması.
• Bu açılımların içinde payların yer aldığı aşağıdaki çarkta, payın bulunduğu
rakamın doğrultusundan, sıfır tam diye başlayıp saat yönünde okuyunca elde
edildiğinin farkedilmesi.
5/7 = 0,714285
gibi.
1
7
1
5
4
5
4
7
6
8
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
3
2
2
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
•
•
Şimdi paydası 11 olan ve değeri 1'den küçük olan kesirlerin ondalık açılımlarını
veren bir çarkın hazırlanması.
Aynı çalışmanın paydanın 13,17 gibi asal sayılar olması halinde elde edilmesi.
Özet
İlkçağlardan beri insanlar ihtiyaçlarını daha iyi karşılamak için karşılaştırma adını verdiğimiz eylemlerde bulunurlar. Karşılaştırma, miktarı ya da özelliği anlamak için yapılmakta
olan eylemlerdir. Bu eylemlerden miktarı anlamaya yönelik olanlar sayı kavramını doğurmuştur.
En temel sayı kümesi Doğal Sayılardır. Doğal sayılar doğadaki nesne kümelerinin bir ortak
özelliği olarak belirmiş olup, sıfırdan başlar ve sonsuza gider. Sayı, kümelerle ilgili bir sıfattır.
Sayı sisteminin temeli gruplamaya dayanır. Gruplamada esas alınan sayıya, sistemin tabanı
denir. Taban ve basamak kavramlarını kazandırmanın en etkin yolu, öğrencileri, çok sayıda
nesneyi saymakla yüzyüze bırakmak ve gruplama ihtiyacını ortaya koymaktır.
Tamsayılar doğal sıfırı olmayan çoklukları göstermede kullanılan sayılardır. Seçilen bir keyfi sıfır noktasının sağında yer alan doğal sayılara, bu sıfırın solunda yer alan ve negatif işaretli doğal sayıların katılmaı ile elde edilmiş bir kümedir. Her iki yönden sonsuza giderler. En
çok kullanıldıkları yer, zaman ve sıcaklık düzeylerini anlatmadır. Tamsayılarla yapılan işlemleri anlatırken de somut örnek olarak sıcaklıktan yararlanılabilir.
Rasyonel sayılar, tamsayıları da içeren daha geniş bir kümedir. Rasyonel sayıların pozitf
olanlarına ve bunlarla işlemlere uygun fiziksel çevreden modeller bulmak oldukça kolaydır.
Öğretimde bu kolaylıktan yararlanmak temel ilke olmalıdır. Bir kesir bir bütün ile bütünün
parçaları arasındaki ilişkiyi gösterir. Her rasyonel sayı sonsuz kesirle ifade edilebilir. Doğal
sayılar bütünleri saymaya, kesirler bütünün eşit parçalarını saymaya yararlar. Kesirlerde işlemlerin öğretiminde öğrenciler çokça kuralla karşı karşıya kalmaktadır. Bu kurraların her
birinin uygun etkinlikler düzenlenmesi halinde öğrenciler tarafından elde edilmesi mümkündür.
Ondalık kesirler rasyonel sayıların bir başka yazım biçimidir ve her rasyonel sayısının ondalık kesirle gösterimi mevcuttur. Kesirlerin ondalık yazılımları bazen sonlu (devirsiz), bazen
devirli ve sonsuzdur. Yani bir grup sayının periyodik olarak sonsuza kadar devretmesiyle
oluşur.
Rasyonel sayıların ondalık gösterimleri kesirlerle işlem yapmayı kolaylaştırır. Basamak kavramının sağladığı tüm işlem teknikleri ve kolaylıkları kesirlere de uyarlanmış olur. Günlük
hayatta rasyonel sayıların daha çok ondalık gösterimleri kullanılır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
131
132
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
Değerlendirme Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1.
Sayı sistemi kurmanın temel ilkesi hangisidir?
A. Ardaşık kavramı
B. Gruplama kavramı
C. Nesneleri 10'ar 10'ar gruplama
D. Tek ve çift kavramı
E. Çokluk kavramı
2.
Kaç çeşit sayı sistemi kurulabilir?
A. 1
B. 4
C. 10
D. 12
E. Sonsuz
3.
Bir santranç tahtasının bütün karelerinin, birinci karesine 1, ikinci karesine 2
ve sırayla 4, 8, 16 şeklinde yazmakla doldurulmasını konu olan bir oyun tasarlayalım. Bu oyundan, aşağıdaki kavramlardan hangisini kazandırmada yararlanılabilir?
A. İkilik sistem
B. Onluk sistem
C. Bölük kavramı
D. Doğal sayıların sonsuzluğu
E. Aritmetik dizi
4.
Yukarıdaki grafik 5 yabancı paranın (dövizin) bir gün önceki durumuna göre alçalma ve yükselmelerini gösteriyor. Bu grafik, matematik öğretiminde aşağıda verilen amaçlardan hangisine ulaşmak için bir materyal olarak kullanılabilir?
A. Tamsayıları kavrayabilme
B. Rasyonel sayıları kavrayabilme
C. Doğal sayıları kavrayabilme
D. Toplama işlemini kavrayabilme
E. Çıkarma işlemini kavrayabilme
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
5.
Tamsayıların kavratılmasında sıcaklıkla ilgili problemlerin seçilmesi, sıcaklık
değişkeninin hangi özelliğine bağlanabilir?
A. Sıcalığı ölçen termometrelerin farklı türlerinin olmasına,
B. Sıcaklığın insan hayatı için önemine
C. Sıcaklığın bir doğal başlangıcının olmamasına
D. Televizyonda hava raporlarının her gün verilmesine
E. Yukarıdakilerin hepsine
6.
İki rasyonel (kesir) sayı arasında sonsuz rasyonel sayı olduğunu göstermek
için aşağıdaki kavramlardan hangisinin daha önce öğretilmesi gerekir.
A. Kesirlerde toplama
B. Kesirlerde çıkarma
C. Kesirlerde denklik
D. Kesirlerin ondalık gösterimi
E. Kesirlerin çeşitleri
7.
Kesirlerde payda eşitlemeyle ilgili aşağıdaki maddelerden kaç tanesi doğrudur.
●
Payda eşitleme, toplama ve çıkarma işlemlerinde birim kesirleri aynı
yapmak için yapılır.
●
Payda eşitleme, çıkarmada hangi terimin büyük olduğuna karar vermek
için yapılır.
●
Kesirlerde payda eşitlemek bir zorunluluk değildir, istenirse öyle de kalabilir.
●
Kesirlerde payda eşitleme ondalık karşılıklarını yazmak için yapılır.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
8.
Onluk sistemde basamakları soldan sağa doğru yazmayla ilgili aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
●
Bu bir alışı (teamül) bilgisidir. Sağdan sola doğru da yazılabilirdi.
●
Bu bir genellemedir. Başka bir yazım şekli düşünülemez.
●
Yazı soldan sağa doğru yazıldığı için sayılar da soldan sağa doğru yazılmalıdır.
●
Soldan sağa doğru yazılmasaydı, basamak tutucu olarak adlandırılan 0
(sıfır) sayısını kullanmak mümkün olmazdı.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
133
134
SAYI KAVRAMI VE ÖĞRETİMİ
9.
Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
●
Her rasyonel sayının ondalık gösterimi vardır.
●
Ondalık sayılar, rasyonel sayılar içinde bir küme (öz alt küme) dir.
●
Ondalık yazılım basamak kavramı esasına dayanır.
a
●
biçimindeki kesirlere göre ondalık kesirler işlem yapmaya daha el
b
verişlidir.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
10. Tamsayılarda çarpma işlemini kavratmak için kullanılabilecek bir etkinlikte,
aşağıdaki kağıtlar ve eylemler sırasıyla hangi işaretlere denk tutulmalıdır?
Alacak çeki kağıdı, Borç çeki kağıdı, Postacının götürmesinin eylemi, Postacının getirmesi eylemi
A. + - - +
B. - + - +
C. - - + +
D. + + - E. - + + -
Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
Altun, Murat., Matematik Öğretinmi, Bursa, 1998.
Baykul, Yaşar, Matematik Öğretimi, Ankara, 1995.
Busbridge, John ve D. Ali Özcelik., İlköğretim Matematik Öğretimi, Ankara, 1997.
MEB, İlköğretim Matematik Dersi Programı, İstanbul, 1991.
Değerlendirme Sorularının Yanıtları
1. B
2. E
3. C
4. A
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
5. C
6. C
7. B
8. B
9. D
10.A
Ölçüler ve Öğretimi
ÜNİTE
8
Yazar
Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
• Ölçme kavramını tanımlayabilir,
• Ölçmenin insan hayatı için önemini kavrayabilir,
• Metrik sistemi ve işlevini açıklayabilir,
• Uzunluk, alan, hacim, ağırlık, zaman ve sıcaklık ölçmeyle ilgili
hayati örnekler verebilir,
• Bir ölçünün öğretimi ile ilgili çalışmaları safhalara ayırıp, açıklayabilir.
• Ölçme öğretimine ilişkin etkinlik örnekleri verebilirsiniz.
İçindekiler
• Giriş
137
• Ölçme Öğretiminde Safhalar
137
• Uzunluk Ölçülerinin Öğretimi
140
• Alan Ölçülerinin Öğretimi
143
• Hacim Ölçülerinin Öğretimi
146
• Sıvı Ölçülerinin öğretimi
148
• Ağırlık Ölçülerinin Öğretimi
148
• Zaman Ölçülerinin Öğretimi
150
• Sıcaklık Ölçülerinin Öğretimi
153
• Özet
154
• Değerlendirme Soruları
155
• Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
157
Çalışma Önerileri
Bu üniteyi çalışırken,
• Metin içinde önerilen etkinlikleri yapınız.
• İMP.'den ölçüler şeridini gözden geçiriniz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
1. Giriş
Günümüzde insan yaşamının birçok cephesinde yoğun bir şekilde kullanılan ölçme, iletişim kurmada hayati öneme sahiptir. Ölçme, bilimin ve çoğu mesleklerin gelişmesine önemli katkılar sağlar.
Ölçme sonuçları sayılarla, kodlarla vs. işaretlenerek gösterilir. Boyumuzun uzunluğundan, bir kayanın sertliği, depremin şiddeti, satın aldığımız altının saflık derecesine kadar hemen her şey ölçme konusudur. Ölçebildiğimiz taktirde ancak güven
duyar ve kendimizi rahat hissederiz. Bu öneminden ötürü ölçülerin tanıtılmasına ilköğretimin birinci sınıfından başlayarak altıncı sınıfa kadar olan programlarda geniş bir biçimde yer verilmiştir.
Ölçmenin birçok türü vardır. Bunların başlıcaları uzunluk, alan, hacim, ağırlık, sıcaklık, değer ve zaman ölçüleridir. Bunların dışındaki ölçüler bu ölçülerin birleşik
halleridir. Örneğin, basınç ölçüleri alan ve ağırlık ölçülerinin, hız ölçüleri zaman ve
uzunluk ölçülerinin birleşik bir halidir.
Ölçmeye konu olan çoklukları sürekli (devamlı) süreksiz (kesikli) çokluklar olmak
üzere ikiye ayırmak mümkündür. Süreksiz çokluklar sayılabilen çokluklardır. "Kaç
öğrenci?" sorusuna sayarak cevap veririz, 5 cevabını verdiğimizi varsayalım. 6 olabilir, 4 olabilir ama 5, 7 olamaz. Yani cevap bir sayma sayısıdır. Cevabı (kaç tane olduğunu) bulma işine sayma denir. Demek ki; süreksiz çoklukların ölçülmesi onları
saymaktan ibarettir.
Uzunluk bir sürekli çokluktur. Sınıfın boyu 4 m., 5 m. olabildiği gibi 4,2 m., 8.98 m.
de olabilir. Ağırlık, zaman, değer, alan, hacim türünden çokluklar da uzunluk gibi
süreklidirler. Sürekli çoklukların tümü standart birimler yardımıyla ölçülmektedir.
Bir çokluğu ölçmek; aynı türden geliştirilmiş standart birimin, bu çokluk içinde
kaç tane olduğunu saymaktır. Bu işe ölçme denir. Gerek sayma, gerekse ölçme işlerinin sonucunda elde edilen sayıya da ölçü adı verilir. "28 kişi" şeklinde elde edilen
sonuçta, 28 sayısı "17.60 cm." şeklinde elde edilen sonuçta, 17.60 sayısı ölçüdür. Ölçülerin öğretiminde öğretmen, herhangi bir ölçü türünün ayrıntısı yerine bunların
sistematiğini ve nasıl ortaya çıktıkları (gelişim evreleri) ve çocukta ölçme becerisinin
nasıl geliştiği ile ilgilenmelidir.
2. Ölçme Öğretiminde Safhalar
Her ölçünün öğretimi birbirine benzer. Genel olarak bir ölçünün öğretiminde dört
temel safha vardır. Bunlar (1) Karşılaştırma, (2) Standart olmayan birimlerle ölçme,
(3) Standart birimlerle ölçme ve (4) Dolaylı ölçme'dir. Bu safhaların bazıları, öğretimi yapılan ölçü türüne göre diğerlerinden daha fazla önem arzeder. Aşağıda bu safhaların herbiri açıklanmıştır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
137
138
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
Karşılaştırma
Sayma gibi ölçme de karşılaştırma ihtiyacından doğmuştur.
Hangi çubuk uzun?
Hangi kartonun alanı büyük?
Bu tür sorulara verilen cevaplar birinin diğerinden az, çok ya da birbirlerine eşit olduklarına karar vermekle sonuçlanır.
Şekil 8.1: Ölçme Karşılaştırma Yapmak İçindir.
Karşılaştırmanın iki türü vardır. Bunlar doğrudan ve dolaylı karşılaştırmadır. Doğrudan karşılaştırma, karşılaştırılacak olan nesneleri, ölçülecek özellik bakımından
örtüştürmek suretiyle olur. İki insanın boylarını karşılaştırmak için ayakta yan yana
durması veya Şekil 8.1'deki iki çubuğu bir uçlarını aynı zemine dayıyarak yan yana
uzatmak birer doğrudan karşılaştırma örneğidir. Doğrudan karşılaştırma yapmak
her zaman mümkün olmaz veya yapılması çok zahmetli olabilir. Sözgelemi kırık bir
pencere camını takmak için mevcut cam parçaları tek tek çerçeve ile karşılaştırılabilir ama bu çok emek ister, zaman ve ekonomi kaybına yol açar. Böyle durumlarda
dolaylı karşılaştırma yapılır. Dolaylı karşılaştırma, karşılaştırma yapabilmek için
araya bir vasıta koymak suratiyle yapılan karşılaştırmadır. Karşılaştırılacak çoklukların her biri bu vasıta ile doğrudan karşılaştırılır ve böylece sonuç elde edilir. Kırılan pencere camının kenar uzunluklarını bir çıta üzerinde işaretleyip, camı bu ölçülerle karşılaştırmak, araya çıta girdiği için dolaylı bir karşılaştırmadır. Karşılaştırma
ile iki çokluğun eşit ya da birinin diğerinden fazla olduğunu anlamak mümkündür,
ancak bu sonuçta bazen yeterli olmaz, "ne kadar fazla?" sorusunun bizi ilgilendirdiği durumlar olur. Bundan ötürü ölçme araçları geliştirilmiştir ve bu araçlarla ayrıntılı ölçmeler yapmak mümkün olmaktadır. Ölçme aracı, üzerinde birim tanımlı olan
bir karşılaştırma aracıdır. Bu birimin standart olup olmamasına göre bunlar da iki
grupta ele alınabilir.
2.1.Standart Olmayan Birimlerle Ölçme
Evimiz için satın aldığımız bir dolabı konacağı yerle doğrudan karşılaştırmak çoğunlukla mümkün olmaz. Böyle durumlarda karşılaştırma yapmak için genellikle
bir model seçerz. Bununla dolabın genişliğinin duvarın genişliğinden az olup olmadığını anlayabiliriz. Bu model, bir çıta, bir ip bir çubuk olabilir. Satın almaya karar
vermek için bu model aracılığıyla yaptığımız karşılaştırma yeterli olur. Çıta, ip gibi
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
yapay bir model oluşturmak yerine bazen aynı amaçla karış, kulaç, adım gibi standart olmayan (kişiden kişiye değişen) birimler kullanırız.
Ağırlıkları karşılaştırırken yumurta, sabun, tuğla, zamanı karşılaştırmak için mum
yanma süresi, kum saati, ağaç gölgelerinin uzaması ya da kısalması gibi standart olmayan ölçüler kullanılmaktadır.
Bu tür ölçmeler, standart birimlere ragmen insan hayatında halen de vardır. Bunun
başlıca nedeni, bu ölçümlerde kullandığımız araçların çoğunun organlarımız olması ve beraberimizde bulunması, ölçme aracı taşıma ihtiyacını ortadan kaldırmasıdır.
Yani kullanışlı olmalarıdır.
Standart olmayan araçların kullanımının öğretiminden şu yararlar beklenir:
•
1. ve 2. sınıfta standart araç kullanımı yeterince tanınmadığından, ölçme bilgi
ve becerisini geliştirmeyi bu araçlarla sağlama.
•
Standart ölçme araçlarına olan ihtiyacı belirginleştirme ve öğrencilerin standart araçların değerini takdir duygularını geliştirme.
•
Yetişkin hayatında da standart olmayan araçların yeri ve önemi olduğunu
bunların çok kullanıldıklarını sezdirme
Standart olmayan ölçü araçları standart olanlardan önce tanıtılmaktadır. Bununla
birlikte zaman zaman iç içe öğretilmesi gerektiği durumlar da vardır.
2.2.Standart Birimlerle Ölçme
Standart ölçme aracı birimleri harkesçe aynı olan, kişiden kişiye değişmeyen ve geniş toplum kitleleri tarafından bilinen ve kullanılan araçlardır. En yaygın standart
ölçü sistemi metrik sistemdir.
Hemen hemen her tür ölçme artık standart birimlerle yapılmaktaır. Bunların bir listesi bu konu içinde verilmiştir. Standart birimler bir ulus ve hatta uluslararası düzeyde bilindikleri için iletişimi oldukça kolaylaştırmıştır. Bu sayede telefonla istediğimiz miktarda eşya, istediğimiz ölçüde araç gereç isteyebiliriz. Bir kitabı ya da gazeteyi okuduğumuzda orada rastladığımız standart ölçülerden okuduğumuz şey
hakkında çok net ve belirli bilgiler elde edebiliriz.
Standart birimlerde kendi türü içinde alt ve üst birimlere ayrılmış ve bunların birkaçını bir arada taşıyan ölçü araçları yapılmıştır. 1 m.'lik çetvelin dm. cm. ve mm. leri
ayrıntılı göstermesi gibi.
Böylece biz bir insanın boyunun 1 m.'den fazla, 2 m.'den az olduğunu söylemekle
yetinmiyor, onun 1 m. 7 dm. 5 cm. oldğnu söyleyebiliriz.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
139
140
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
2.3. Dolaylı Ölçmeler
Son derece iyi görünen bu standart ölçü araçları da bugün aşılmış, doğrudan ölçme
yerine dolaylı ölçmeler kullanılmaya başlanmıştır.
Hızın radarla tespit edilmesi, arazi alanlarının havadan çekilen fotoğraflarla tespiti,
kantarlarda sıvı üzerine yapılan basıncın ibreyi oynatması ile ağırlığı ölçme, para
yerine kredi kartı kullanma hep birer dolaylı ölçmedir.
Bunların birçoğu doğrudan ölçme imkanı olmadığı için, bir çoğuda doğrudan ölçmeye göre daha kolay oldukları için üretilmişlerdir.
Örneğin uzaydan gelip yeryüzüne düşen bir göktaşının yaşını doğrudan ölçmek
imkansızdır. Bir kaya parçasının hacmini ölçmek için aşağıdaki şekilde olduğu gibi
dereceli kaptaki sıvının yer değiştirmesini izlemekten başka çare yoktr. Bunlar birer
dolaylı ölçmedirler.
Tafl›n hacmi 8 dm3
Şekil 8.2: Geometrik Olmayan Maddelerin Hacminin Ölçülmesi
3. Uzunluk Ölçülerinin Öğretimi
İMP'de uzunluk ölçüleri ile ilgili amaç ve konulara ilk altı sınıfta yer verilmiştir.
Uzunluk ölçülerinin öğretimi, bir ölçünün öğretimi ile ilgili olarak yukarıda önerilen dört aşamalı çalışma esas alınarak şöyle düzenlenebilir.
Çocuklar okula uzunluk ölçüleriyle ilgili bir takım bilgileri kazanmış ve bazı izlenimler edinmiş olarak gelirler. Okulda bunlar düzenlenir, uzunlukla ilgili olarak
uzun, kısa yüksek, derin, uzak, yakın alçak, kalın, ince, geniş, dar, ... kavramlarını
doğru olarak kullanmayla ilgili etkinlikler yapılır. Bu amaçla öğrencilere hangisi
uzun, hangisi dar vs. gibi sorular sorarak onların bir karşılaştırma yapıp sonucu söylemeleri sağlanır.
Uzunluk ölçülerinin öğretiminde karşılaştırma ve standart olmayan ölçme araçları ile ölçme safhalarıyla ilgili bir etkinlik aşağıda verilmiştir.
Etkinlik: Uzunluk ölçüleri (doğrudan ve dolaylı karşılaştırma, standart olmayan
ölçme araçları)
Materyal: Kalemler, çubuklar, ipler (4-5 tane)
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
141
Grup: 3-4 kişi
İşlem 1:
• Çubukların boy sırasına konması.
• Gruptaki çocukların boy sırasına konması, bu sıraya göre adlarının yazılması.
• İplerin karşılaştırılması ve boy sırasına konması
İşlem 2:
• Bir insanın boyu mu yoksa kulacı mı uzundur? Grup üyeleri üzerinde incelenmesi. "Bu karşılaştırmayı neden doğrudan yapamayız?" sorusunun tartışılması.
• "Sınıfta kulacı uzun olan mı, boyu uzun olan mı çok?" araştırılması.
İşlem 3:
• "Tek başınıza iseniz ve hiçbir ölçme aracınız yoksa bir tahtanın boyunu nasıl ölçersiniz? (Karış, ayak, adım, çubuk vs.)" sorusunun gruplara yöneltilmesi.
• Sınıftaki yazı tahtasının ve masanın boyunun karış ile, sınıfın boyunun adım ile
ölçülmesi ve ölçülerin aşağıdaki gibi tablo haline getirilmesi.
•
•
•
Öğrencinin Adı
Yazı Tahtası
Masa
Sınıf
Utku Taştan
18 karış
7 karış
30 adım
Caner Gül
21 karış
8 karış
33 adım
Ölçülerin farklı çıkmasının nedeninin grupta tartışılması.
"Doğal ölçü araçları olarak adlandırdığımız karış, kulaç, ayak adımı, nerelerde
kullanmaktayız? Bunların sonuçlarına güvenebilir misiniz?" sorularının sınıfça
tartışılması.
Her grubun bir uzunluk birimi (çıta) belirleyip, aynı ölçümleri yapması. Elde
edilen sonuçlara güvenilip güvenilmeyeceğinin tartışılması.
Çıta ve bunun gibi ölçü araçları karış ve adıma göre güvenilir araçlardır, ancak bu
durumda da her grubun kendine göre bir aracı olacağı için karışıklık doğar. Bu tartışmalar standart birimlere ihtiyaç olduğu açıklanarak sonlanır.
Öğretimdeki üçüncü safha standart araçların tartışılmasıdır. Standart ölçme araçlarının tanıtılmasına metre ile başlanır. Metrenin tanınmasının arkasından, metre ile
nasıl ölçme yapıldığı gösterilir ve öğrencilere metre ile çeşitli ölçmeler yaptırılır. Öğrencilerin bir uzunluğun yaklaşık kaç m. olduğunu sağlıklı olarak tahmin edebilmeleri sağlanıncaya kadar bu çalışmalar sürdürülür. Uzunluk ölçmek için hazırlanmış
bulunan çelik metre, tahta metre, mezur kırma metrenin kullanım alanlarından söz
edilerek yapılış biçimlerine anlam yüklenir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
142
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
Metrenin kavranması için yapılabilecek en etkin çalışmalardan biri öğrencilere gazeteden bir metre yaptırmak ve onu kullandırmaktır. Gazete metre esnek olacağı
için bel, boyun, baş çevresi gibi uzunlukları ölçmede de kullanılabilir.
Standart birimlerin alt ve üst katları da standarttır. Alt katların tanıtılması için çok
küçük uzunlukları (dosya kağıdının kenarları, kurşun kalemin boyu vb.) ölçmede
metrenin yetersiz kalacağından, üst katların tanıtılması için çok uzun mesafelerin
ölçülmesini gündemde tutarak metrenin kullanımının çok zaman alacağından ve
yorucu olacağından yola çıkmak gerekir. Bu kısımdaki açıklamalara örnek olarak
dekametre kavramının kazandırılması ile ilgili aşağıdaki etkinliği inceleyiniz.
Etkinlik: dam kavramı (dekametre)
Materyal: En az 10 m. boyunda ip, 1 metrelik cetvel, keçeli kalem.
Grup: 4 kişi
İşlem:
• Her gruba okul bahçesinde veya koridorda uygun bir yer gösterilmesi ve öğrencilerin bu mesafeyi 1 metrelik cetvel ile ölçüp sonucu yazmaları.
• 10 metrelik bir ipin ölçülüp bunun her bir metresinin keçeli kalemle işaretlenmesi veya düğüm atılması.
• Aynı mesafenin elde edilen bu dekametre ile ölçülmesi.
• Metre ile mi, dekametre ile mi kolay olduğunun tartışılması.
• Dekametreyle yeni bir ölçünün yapılması.
• Sınıf veya koridorda 1 dam. uzunluğunda bir yer belirlenerek, öğrencilerin
bu mesafeyi yürümeleri ve her öğrencinin, kendi adımı ile 10 m.'yi kaç adımda,
ikinci olarak kendi ayağı ile kaç ayakta yürüdüğünü tesbit etmesi.
Uzunluk ölçüleriyle ilgili olarak hemen hemen her sınıf düzeyinde yapılan bir çalışma da çevirme çalışmalarıdır. Ondalık ya da tam sayı olarak verilmiş bir ölçünün
birler basamağındaki sayı, ölçü içindeki birimin kaç tane olduğunu gösterir.
43 cm
78.7 cm
634.9 m
:
:
:
Burada cm'ler 3 tanedir.
Burada cm'ler 8 tanedir.
Burada m'ler 4 tanedir.
Bu düşüncenin bilinmesi öğrencilere bir ölçünün içinde bulunan değişik birimleri
yazma ve çevirme çalışmalarında kolaylık sağlar.
236 cm = ? m ? dm ? cm
biçimindeki bir soruya cevap ararken, öğrencinin bu ölçü içinde cm.'lerin 6 tane olduğnu bilmesi ve önce 2 m. 3 dm. 6 cm sıralamasını yapması gerekir.
Uzunluk ölçüleri ile ilgili çevirme çalışmalarının iyi bir uygulaması ölçek üzerinde
çalışmadır. Bunun için öğrencilere bir harita veya plan verilebilir ve ölçekten yararlanarak gerçek uzunlukların bulunması istenebilir. Bunun için gösterilen bir harita
da "Bursa-İstanbul arasının kaç km. olduğunu bulunuz?" gibi sorular yöneltilebilir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
Uzunlukların dolaylı ölçülmesi doğrudan ölçmeye göre daha azdır ve çok büyük
uzunluklar söz konusu olduğunda gündeme gelir. Bu safhayı tartışmak için öğrencilere, şu sorular sorulabilir:
•
•
•
•
Su dolu bir kuyunun derinliği nasıl ölçeriz?
Bir uçağın yerden ne kadar yüksekte olduğunu nasıl anlayabiliriz?
İki şehir arasındaki mesafeyi nasıl ölçebiliriz?
Güneşin dünyaya uzaklığı nasıl ölçülmüş olabilir?
Bu sorulara verilen cevaplardan uzunlukların dolaylı olarak, sesin hızından, otomobil km. sayacından veya daha ileri düzeyde hesaplardan yararlanarak ölçülebildiği sonucuna varılır.
4. Alan Ölçülerinin Öğretimi
İlköğretim Matematik Programında alan ölçülerine dört, beş ve altıncı sınıflarda yer
verilmiş, yedinci ve sekizinci sınıf programlarında geometrik cisimlerin alanlarının
hesaplanmasını konu edinen uygulamalarla devam edilmiştir.
Alan ölçülerine olan ihtiyacı ortaya koymak için aşağıdaki soruların veya bunların
benzerlerinin sınıf ortamında tartışılması uygundur.
•
•
Bu kaplık şu kitabı kaplamak için yeterli midir?
Bir duvarı kağıtla kaplamak için ne kadar kağıt alacağınıza nasıl karar verirsiniz?
Alan ölçülerinde karşılaştırma ve standart olmayan birimlerle ölçme safhaları için
aşağıdaki etkinlik düzenlenebilir.
Etkinlik: Alan ölçme (karşılaştırma ve standart olmayan birimler)
Materyal: Her gruba düşecek kadar aşağıdaki şekillerde alanlar.
Grup: Sınıf çalışması
İşlem 1:
• Öğrencilere aşağıdaki şekiller gösterilerek bunların "hangisi büyük?" diye sorulması.
• Ölçmeye karar verdikten sonra, nasıl ölçüleceğinin öğrencilere sorulması.
Önerilen birimlerin tesbit edilmesi.
• Öğrencilerden gelen cevaplara göre "seçilen birim, şekil üstüne defalarca yatırılacak ve kaç birim sığdığı sayılacaktır", sonucuna ulaşılması.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
143
144
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
•
•
Ölçmek için para mı, kartpostal mı daha uygundur.
Para ile ölçerken boşlukların kaldığı, diktörtgenin daha uygun olduğunun
açıklanması. Karenin herkesçe kabul edilen birim alan olduğunun söylenmesi.
İşlem 2:
• Kenarları 10 veya 1 cm. olan kare kullanılarak yukarıdaki şekillerin yeniden
ölçülmesi ve karşılaştırılmsı.
İşlem 3:
• Aşağıdaki iki şekilden hangisinin büyük olduğunun öğrencilere sorulması.
Öğrencilerin sayarak cevap vermeleri halinde alan ölçme "verilen çokluk içinde
seçilen birim alanların kaç tane olduğunu saymaktır" düşüncesine yer verilmesi.
Bu etkinlikle alanları doğrudan ölçmenin (içine kaç birim kare sığdığının sayılarak
bulunması) çok zahmetli olduğu, büyük alanlar söz konusu olduğunda bunun imkansız olacağı düşüncesine varılarak dolaylı yollardan alan ölçme'nin nasıl yapılacağını kavratmak için dikdörtgenin alan formülünün buluş yoluyla kazandırılmasına yer verilir. Bu amaçla yukarıdaki etkinliğin bir devamı olarak, yukarıda sağda
yer alan dikdörtgenin alanını bulmak için saymadan daha kestirme bir yol bulup
bulamayacakları sorulur. Öğrencilerin ellerindeki çalışma kağıtlarında yer alan
dikdörtgenlerin alanlarını bulmak için "içindeki birim kareleri saymak eyrine kenar
uzunluklarını birbiriyle çarparız" sonucuna ulaşmaları sağlandıktan sonra bu sonucun uygulamalarına yer verilir. Tüm diğer şekillerin alanlarının öğrentimi diktörtgenin alanından yararlanılarak öğretileceği için dikdörtgenin alanı ayrı bir önem taşır.
Alan ölçülerinin temel birimi m2 'dir. Sınıf ortamında kenarları 1 metre olan bir gazete sayfası üretilerek, bu dm2 'lere ayrılır ve aralarında 100 kat ilişkisi olduğu,
bu araç üzerinden kolayca elde edilir. Daha küçük birimlere olan ihtiyacı ortaya
koymanın tek yolu, m2 'den küçük alanları ve dm2 'den küçük alanları nasıl ölçebileceğimizin tartışılmasıdır. Örneğin bir posta kartının alanının ölçülmesi cm2 'ye
olan ihtiyacı ortaya koyar. cm2 'nin tanıtılması ile daha önce üretilmiş olan üzerindeki dm2 'lerden biri renkli cm2 'lerle doldurulur.
m2 'nin üst katlarına olan ihtiyacı ortaya koymak için ülke arazisinin, kıta arazisinin, büyük çiftliklerin arazilerinin alanını ifade ederek yola çıkılabilir ve dam2,
hm2, km2 tanıtılır. Bunların sırasıyla birbirinin 100 katı olduğu şekiller üzerinden
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
145
elde edilebilir. Alan ölçülerinin birbirine çevrilmesini gerektiren etkili bir çalışma,
plan ve krokiden faydalanarak gerçek büyüklükleri hesaplamadır. Aşağıdaki krokide her bir bölümün alanının bulunması gibi.
Oda
Oda
WC
Hol
1/50
Arazi ölçüleri, alan ölçülerinin arazi ölçmede kullanılanlarına denir.
Çok kullanılanları ar, dekar, hektar ve km2'dir. Özellikle bağ, bahçe, arsa, tarla
alanı ölçmede kullanılırlar.
1 a (ar) = 1 dam2 = 100 m2
1 da (dekar) = 1000 m2 (dönüm)
1 ha (hektar) = 1 hm2 = 10. 000 m2
Bunlar alan ölçülerindeki genel sistematikten uzak değil ancak onların ara basamaklarına verilmiş adlar olup aralarında 10 ar kat ilişkisi vardır.
1 km2 = 10 hektar
1 hektar = 10 dekar
1 dekar = 10 ar 'dır.
Bunların arazi ölçüleri diye adlandırılmaları kullanışlı olmalarından ötürüdür. Bu
yüzden ayrıca bir ölçü birimi olarak verilmeleri yerine alan ölçüleri içinde ele alınmaları uygundur.
Arazi ölçülerinin tanımlanması hangi ihtiyaçtan veya alan ölçülerinin hangi yetersizliğinden doğmuş olabilir?
Ölçülerin öğretimini pekiştirmek için, öğrenilenin bir araştırma problemi içinde
kullanılması çok değerlidir. Aşağıdaki problemi (dikdörtgenlerin kenarlarında birim uzunlukları 1 'er metre alarak) çözünüz.
Problem: Bir yarışmada üç kişiye 100 m. uzunluğunda birer ip verilerek bir gölün kenarında dikdörtgen şeklindeki en büyük alanı çevirmeleri istenmiş. Siz olsaydınız nasıl çevirirdiniz? Çevrilen kısmın kenar uzunlukları kaçar m. olmalıdır?
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
146
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
5. Hacim Ölçülerinin Öğretimi
Hacim ölçülerine beşinci sınıfta başlanmaktadır. Hacim ölçüleri ile ilgili hedefler İlköğretim Matematik Programında: 5. ve 6. sınıf programlarında "hacim ölçüleri birimlerini kavrayabilme" amacı, 7., 8. sınıf programlarında geometrik cisimlerin hacimlerinin hesaplanması ile ilgili amaç ifadeleri yer almıştır.
Hacim ölçülerinin öğretimine başlarken "hacim nedir?" sorusunun cevaplanması
ve "hacmin, maddenin uzayda kapladığı yer" olduğunun sezdirilmesi önemlidir.
Bunun için şekil 2'dekine benzer bir deneysel çalışma yapmak yeterlidir. bu çalışmayla ilgili etkinlik şöyle düzenlenebilir.
Etkinlik : Hacim kavramı
Materyal : İki taş parçası (büyüklükleri birbirine yakın), su, petşişe
Grup : Sınıf çalışması
İşlemler :
• Öğretmenin "bu iki taştan hangisi büyük?" diye sınıfa sorması ve öğrencilerin
tahminlerini not ettirmesi.
• Hangi tahminin doğru olduğunun nasıl anlaşılacağı hususunda tartışma
açılması. Taşları pet şişedeki suya sırayla daldırmanın ve yükselen su miktarını
işaretlemenin bir çözüm olacağına karar verilmesi.
• Taşların sırayla pet şişedeki suya atılması ve su yüksekliklerinin işaretlenmesi. Doğru tahmin edenlerin alkışlanması.
Hacim ölçüleri öğretiminde, ölçülerin öğretimindeki dört temel safhaya paralel olarak önce karşılaştırma, sonra standart olmayan birimlerle ölçme yapılır. Daha sonra
standart birimlerle ölçme en sonunda da dolaylı ölçmeye yer verilir.
Karşılaştırma safhasında yukarıdaki etkinliğin katkısı büyüktür ve buna ek olarak
benzer bir etkinlik kutalarla yapılabilir. Sınıfa, öğrencileri karar vermede tereddüte
düşürecek iki kutu getirilerek hangisinin büyük olduğu sorulur. Daha sonra bunların birine doldurulan taneli madde, diğerine boşaltılarak doğru sonuç bulunur.
Standart olmayan birimlerle ölçme için farklı biçimde imal edilmiş iki şeker kutusu
alınır ve bunların hacmini ölçmek için birim ölçü olarak küp şeker taneleri kullanılabilir. Farklı kutular için kibrit, kibrit kutuları ve bunlara benzer küçük paketler biANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
147
rim hacim olarak kullanılır. Bunlar karşılaştırılan kutulara doldurularak hacımlarının ne kadar olduğu, hangisinin büyük olduğu anlaşılır.
İki kutunun hacmini karşılaştırmada bilyeler de kullanılabilir. Hangisi daha çok bilye alırsa onun büyük olduğuna karar verilir. İki tuğla duvarın hangisinin büyük olduğu içerdiği tuğlalar sayılarak anlaşılabilir. Bilye ve tuğla bu örneklerde standart
olmayan hacim ölçme birimi işlevindedirler.
Standart birim için bir cm3 lerle doldurulmuş dm3 uygun bir araçtır. Buradaki
cm3 'ün herkesçe kabul edilen birim olduğu söylenir. Bir dm3 içindeki bu cm3 ler
saydırılır. İlk örneklerde kenarları tamsayı alınarak muhtelif prizmaların hacimlerini sayarak buldurma doğru bir adımdır. Bu çalışma hacmin doğrudan ölçülmesine
bir örnektir.
Alan öğretiminde dikdörtgenin temel alınması gibi hacim öğretiminde de dikdörtgenler prizması temel alınır. Şekil 3'teki prizmanın hacmi, içindeki birim küpler sayılarak bulunabileceği gibi hacim formülü kullanılarakta bulunabilir. Formülle hacim bulma, hacmi dolaylı yoldan ölçmedir. Formülün öğrenciler tarafından bulunabilmesi için sınıfa getirilen iki veya üç dikdörtgenler prizması şeklindeki kutulardan aşağıdaki verilerin elde edildiğini varsayalım.
a
b
c
Hacim (V)
I. Kutu
3
2
2
12
II. Kutu
2
4
1
8
III. Kutu
4
3
2
24
Bu tablo üzerinde ayrıtlarla hacimler birlikte incelenmek suretiyle öğrencilerin pizmanın hacmiyle ilgili bağıntıyı bulmaları mümkündür.
Şekil 8.3: Prizmanın Hacmi a x b x c'dir
Hacim = a x b x c 'dir. Ayrıtları büyük sayılar olan prizmalar da birim küpleri saymanın zor olacağı göz önüne alınmak suretiyle bu bağıntının yeri ve önemi ortaya konur.
Hacim ölçülerinin temel birimi m3 tür. Üst katları pek kullanılmaz, ast katları çok kullanılır. Katlar arasında 1000 kat ilişkisi vardır. Bu ilişkiyi ortaya koymak için basamak
blokları çok uygundur. Oradaki birlik cm3 'e, binlik dm3 'e eşlendiğinden hacim ölçülerinin 1000'er 1000'er büyüdüğü anlaşılır. Sınıf ortamında çıtadan bir m3 yapıp yüzleri
kağıtla örtülebilir, böylece cm3, dm3, m3 üçlüsü birarada görülebilir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
148
6. Sıvı Ölçülerinin Öğretimi
Sıvı ölçüleri esas itibariyle ayrı bir ölçü türü olmayıp, akışkanların miktarı veya
akışkanların hacmi olarak ele alınabilir. İlköğretimde sıvı ölçülerine hacim ölçülerinden daha önce yer verilmektedir. Bunun nedeni insan hayatında miktarı ile ilgilenilen maddelerin çoğunun sıvı (akışkan) olmasıdır. Süt, yağ, kolonya vs. gibi.
Temel sıvı ölçüsü birimi litre'dir. Litre 1 dm3 hacime eşittir. Bunu göstermek için
su ile doldurulan litreyi dm3 'e boşaltmak ve sonucu göstermek yeterlidir. Şekil 4.
Şekil 8.4: 1 litre = dm3
?
Sibirya'da marketlerde süt sıvı yerine hacim ölçüsü birimleriyle ölçülmektedir.
Neden?
Aşağıdaki tablo hacim ölçüleri ile sıvı ölçüleri arasındaki ilişkiyi gösteriyor. Tablodaki YOB sembolleri yüzler, onlar, birler demektir ve hacim ölçülerinin 1000'er
1000'er büyüdüğünü göstermektedir. Yine bu tablo sıvı ölçülerinin 10'ar 10'ar büyüdüğünü göstermektedir.
Hacim ölçüleri
Sıvı ölçüleri
m3
dm
Y O B
Y O B
Y O B
kl
h dal l
dl cl ml
3
cm 3
mm 3
Y O B
Şekil 8.5: Hacim Ölçüleri ile Sıvı Ölçüleri Arasındaki İlişki
Bir öğrenciniz, elinizdeki makasın yapımında kullanılan çeliğin hacmini sorarsa, bunun bulunuşunu nasıl açıklarsınız?
7. Ağırlık Ölçülerinin Öğretimi
İlköğretim Matematik Programında ağırlık ölçülerinin tanıtılmasına ikinci sınıfta
başlanmaktadır. Bu sınıfta kilogram ve yarım kilogram, üçüncü sınıfta buna ek olarak gram, 50, 100, 200, ve 250 gram bilgisi, dördüncü sınıfta ton ve kental kavramları
verilmektedir. Beşinci sınıfta ağırlık ölçüleri ile ilgili olarak brüt, net, dara kavramlaANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
149
rı tanıtılmaktadır. Altıncı sınıfta ağırlık ölçülerinden gram, katları ve askatları tanıtılmaktadır.
Ağırlık ölçüsü çocukların hayatına diğer ölçülere göre daha önce girmektedir. Çünkü onlar bakkaldan veya manavdan birşey satın alırken tartıldığını görmüş veya
bizzat kendileri bir şeyleri tartmışlardır.
Öğretime, onların pazar alış-verişlerinde neler gözledikleri sorularak başlanır. Elma alırken niçin tartıyoruz? Tartmasak ne olur? gibi sorularla tartmaya olan ihtiyaç
açıklanır.
Halkın kullandığı, standart olmayan ağırlık birimlerini tartışma konusu yapmak
için, terazi ya da baskülün bulunmadığı yerlerde veya yeterli gramlıkların olmadığı
durumlarda insanlar ne yapmaktadır? "sorularak, yumurta, 1 kg. olduğu bilinen bir
taş vs. 'nin ağırlık ölçmede kullanıldığında dikkat çekilir.
Terazi, baskül, el kantarı sınıfa getirilerek öğrencilere tanıtılır ve kullandırılır. Ağırlık ölçülerinin öğretiminde aşağıdaki etkinlik küçük değişikliklerle her sınıfta gerçekleştirilebilir.
Etkinlik : Ağırlık ölçüleri
Grup : 4-5 kişi
Materyal : Baskül, terazi ve ağırlık takımı
Sınıfta dört ayrı masa (istasyon) hazırlanır. Bunlar (1) Baskül, (2) Terazi ve ağırlık takımı, alış-veriş malzemesi, (3) Terazi ve ağırlık takımı ile birlikte üç farklı madde
(taş, odun, defter v.s.) (4) Terazi ve küçük ağırlıklar 1 kutu raptiye, 1 kutu ilaç vs.
İşlem 1:
• Her grubun sırayla birinci istasyona gelmeleri birbirlerinin ağırlıklarını tahmin etmeleri ve sonra birbirlerini tartmaları sonuçları aşağıdaki gibi bir tabloya
not etmeleri.
Ali
Gül
Nil
•
•
Tahmin edilen
ağırlık
ağırlık
fark
46
45
49
43
3
2
En az hatayla tahmin eden grup üyesinin alkışlanması
Grubun ağırlık ortalamasının bulunması, diğer gruplarla karşılaştırılması
İşlem 2:
• Grubun ikinci masaya gelmesi. Tartılacak olan malzemelerin ağırlıklarını
tahmin etmeleri ve sonra tartmaları.
• Sonuçların yine tablolaştırılması ve yanılma paylarının hesaplanması.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
150
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
İşlem 3:
• Aynı işlemin üçüncü istasyonda tekrarı
İşlem 4:
• 1 kitap yapağının, 1 kibritin, 1 raptiyenin ağırlığının tahmin edilmesi. Sonra
bütün olarak tartılıp, bölme işlemine başvurarak ağırlıkların hesaplanması.
• Küçük ağırlıkları tartmak için neden böyle bir yol seçildiğinin gruplarca
açıklanması.
• İlaç tabletinin ağırlığının bulunması ve tanıtmalığında yazılı ağırlığı ile karşılaştırılması.
İşlem 5:
• Gruların tartılarla ilgili kayıtları toplanarak en az hatayla tahmin yapan grubun belirlenmesi.
Yukarıda tanıtılan etkinlikler sürdürülürken bunların kısa yazılışları tanıtılır ve
aralarındaki (kg.'ın gramın 1000 katı olduğu) ilişkiler söylenir.
Problem : 5, 10, 20, 50 gramlıkları kullanarak 145 gr. ağırlığı kaç değişik şekilde oluşturabilirsiniz. Bu problemi çözmede kullanılan strateji nedir? gr, kg, ton arasında çevirmeler yaptırılır. Ayrıca bazı ağırlıklar üçü birlikte kullanılarak yazdırılır. 1087 kg
= 1 ton 87 kg gibi.
Ton'un, kg'ın 1000 katı olduğu söylenir ve nerelerde kullanıldığı öğrencilere sorulur. Odun, kömür alımlarından gazete pasajlarından söz açarak, büyük ağırlıkların
tartılması için böyle bir ağırlık biriminin olduğu böylenir. Sınıftaki öğrencilerden
ağırlıkları toplamı 1 ton olan grup ortaya çıkarılır.
8. Zaman Ölçülerinin Öğretimi
İlkokulda zaman ölçüleri şeridi ilk dört yılda tamamlanmaktadır.
Çocuklar okula zaman ölçüleriyle ilgili olarak çoğunlukla yanlış kavramlar edinerek gelmektedirler. Aile çevresinde çocuğa "5 dakika bekle geliyorum" denir, çocuk
daha çok bekletilir, "şu işi 10 dakikada yaparız" denir, daha çok uğraşılır. Bundan
ötürü çocuklar zaman kavramlarını doğru olarak geliştiremezler. Öğretmen yanlışları düzeltmek için çok çaba harcamak zorunda kalır.
Zaman ölçüsü birimleri daha çok doğal olaylardan etkilenilerek belirlendiği için tümüyle sistematik bir yapıya sahip değildir. Bu durum zaman ölçülerinin öğrenilmesini zorlaştırmaktadır.
Okula gelen çocukların zaman ölçüleri ile ilgili iki temel güçlüğü vardır. Bunlar (1)
saati okuma ve (2) söylenen bir zaman diliminin büyüklüğünü kavramadır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
151
Saati Okuma
Saatin okunması çalışmalarında öğrenciler akrebi ve yelkovanı bulunan saatle karşılaştırılmalı, kendilerinin de bir saat çizmesi veya kartondan yapması sağlanmalıdır. Kısa kolun (akrep), saati, uzun kolun (yelkovan), dakikayı anlattığı belirtildikten sonra uzun kol çıkarılarak sadece kısa kolu olan tek kollu saatle çalışmalara başlanmalıdır.
0
55
11
12
1
11
50
9
3
8
4
7
6
45
40
1
10
2
10
2
10
5
12
9
3
8
4
7
5
35
6
30
15
20
5
25
Şekil 8.6: Tek Kollu ve İki Kollu Saat
Tek kollu saatle yapılan çalışmalar, öğrencilere;
•
•
•
saati 9 yap,
saati 6 yı geçiyor yap,
saati 11 e geliyor yap, gibi uygulamalarla sürdürülür.
İki farklı öğrencinin saatlerini "6'yı geçiyor" yapmaları karşılaştırılarak, "hangisinin
saati 6'yı daha fazla geçiyor?" sorusu ortaya atılır. Bu durumu göstermeyi saatteki
ikinci kolun üstlendiği belirtilerek şekil 6'daki ikinci saati yapmak üzere saate ikinci
karton ve ikinci kol (yelkovan) takılır. İkinci karton ile yelkovanın aynı renk olması
ve üzerindeki dakikaların öğrencilere yazdırılması tercih edilmelidir. İkinci karton
üzerinden yarım saat, çeyrek saat, 5 dakika, 10 dakika kavramlarının kazandırılması da oldukça kolaydır. İlerleyen zaman içinde, öğrencilere ikinci karton üzerindeki
rakamları akılda tutup tutamadıkları sorulur. İçteki iki rakamın arası 5 dakika olduğu için tutulması kolaydır. Dakikaları gösteren rakamlar kavrandıktan sonra makasla ikinci halka kesilip çıkarılır ve kullanılan saat şekli elde edilir.
Eğer dijital saat kullanılıyorsa saati okuma oldukça kolaydır.
Süreyi Kavrama
Söylenen bir zaman diliminin büyüklüğünü kavramaktan "5 dakika ne kadar bir zamandır? 1 dakika ne kadar bir zamandır?" sorularının cevaplarını anlamaktayız.
Dakika ve saniyeyi kavratmak için aşağıdaki etkinlik düzenlenebilir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
152
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
Etkinlik : Dakika ve saniye'yi kavrama
Grup : 3-4 kişi
İşlemler :
• Grup üyelerinin 1 dakikada kaça kadar sayabileceklerini tahmin etmeleri,
tahminlerini not etmeleri, saymaları ve en az hata ile tahmin edenin seçilmesi.
• Okuma için benzer işlemin yapılması.
• Yürüme için benzer işlemin yapılması.
• Her bir grup üyesinin sırayla gözlerini kapatması, 1 dakika sürenin dolduğunu sandığında açması. Kaç saniye yanıldığının tesbit edilmesi, en az yanılan
grup üyesinin seçilmesi.
• Her bir grup üyesinin sırayla nefesini tutması ve kaç saniye süreyle tutabildiğinin tesbit edilmesi.
Dakika ve saniyenin dışında 5 dakika, 10 dakika, 30 dakika, 40 dakika, 1 saat, 8 saat
gibi zaman peryotlarının da ayrı bir önemi vardır. Bunların herbirine yaşanan hayattan örnekler gösterilebilir. 40 dakika TV dizisinin bir bölümü, 90 dakika futbol
maçı süresi vs. gibi.
Süreyi kavrama ve zamanı ölçme fikrini geliştirebileceği düşünülen bir çalışma da
su saati veya kum saati yapmadır. Su saati yapma etkinliği aşağıdaki verilmiştir.
Etkinlik : Su saati yapma
Grup : 3- 4 kişi
Materyal : Kapaklı pet şişe, bant, çivi, keçe uçlu kalem, geniş bir kap, saat.
İşlemler :
• Pet şişenin tabanından yaklaşık 2 cm. üzerinde çivi
ile bir delik açılması.
• Şişenin içine su doldurulması ve su seviyesinin, su
aşağıdaki delikten boşaldıkça, ağır ağır düştüğünün
gözlenmesi.
• Şişenin yeniden doldurulması, deliğin elle tutulması
ve doluluk seviyesinin keçe uçlu kalemle işaretlenme- 15
- 30
si.
- 45
• Deliğin açılması, saate bakarak 15, 30, 45, 60 ve 120
- 60
sn. 'lerde suyun indiği seviyelirin işaretlenmesi.
• Yapılmış bulunan bu su saatinin nerelerde kullanılabileceğinin ve mevcut saatlerin buna göre üstünlükle-•
rinin tartışılması.
• Öğretmenin kum saatinin nasıl yapıldığını sınıfa
açıklaması.
Daha uzun sürelere karışılık gelen gün, hafta, ay, yıl kavramlarının kazandırılması
için takvimden yararlanılır. Bir haftalık süre içinde okulda yaşanan olaylar bir haftalık bir zaman şeridi üzerinde gösterilir. (Öğrencilerin doğum günleri, sınav günleri,
yarışma, gösteri günleri v.s.)
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
153
Zaman ölçüleri ile ilgili önemli bir başka nokta, sürenin hesaplanması ile ilgili işlemlerdir. Zaman ölçüleri onluk sisteme uymadığı için, ayı güne, günü saate, saati dakikaya, dakikayı saniye ye çevirmede bazı güçlükler vardır. Alışılagelmiş tarih yazma
şekli 26. 03. 1998 örneğinde olduğu gibi gün, ay, yıl şeklindedir. İşlemlerde bunu ters
sırada yazmak uygun bir başlangıçtır. Yaş hesaplama ile ilgili bir örnek aşağıdadır.
Günün tarihi : 1998 yıl 3 ay 7 gün → 1998 yıl 2 ay 37 gün → 1997 yıl 14 ay 37 gün
Doğum tarihi : 1952 yıl 3 ay 26 gün → 1952 yıl 3 ay 26 gün → 1952 yıl 3 ay 26 gün
?
11 gün
45 yıl 11 ay 11 gün
9. Sıcaklık Ölçülerinin Öğretimi
Sıcaklık ölçüsü birimi derece, ölçü aracı termometredir. Askatları veya katları tanımlı değildir, daha doğrusu buna ihtiyaç duyulmamıştır.
Sıcaklığın bir doğal başlangıç noktası olmadığından üretilen termometre türlerinde
herhangi bir olay başlangıç seçilmiştir. Çok kullanılan Celcius termometresinde suyun donma noktası 0°, kaynama noktası 100° seçilmiştir. ABD başta olmak üzere diğer bir kısım ülkelerde kullanılan Celcius termometresindeki suyun donma noktası
Fahrenheit termometresinde 32°'ye, kaynama noktası ise 212° dereceye karşılık gelmektedir.
Öğrencilerin aşağıdaki soruların cevaplarını önce tahmin edip sonra araştırmaları,
termometre göstergesinin anlattığı sıcaklığı anlamaya yardım eder.
Etkinlik : Sıcaklık ölçme
Materyal : Termometre
Grup : 3- 4 kişi
İşlemler:
• Vücut sıcaklığı
• Oda sıcaklığı
• Suyun donma noktası
• Suyun kaynama noktası
• Çeşme suyunun sıcaklığı
• Banyo suyunun sıcaklığı
• İçilen çayın sıcaklığı
Tahmin
?
?
?
?
?
?
?
Ölçülen
?
?
?
?
?
?
?
Sıcaklık ölçüsü birimlerinin birbirine çevrilmesi uzunluk, alan gibi doğal başlangıcı
olan ölçülere göre daha karmaşıktır. Çevirme yapabilmek için ikişer noktanın ölçülerinin karşılıklı olarak bilinmesi gerekir. Fahrenheit ve Celcius termometreleri için,
32°F = 0° C ve 212°F = 100°C bilindiğinden çevirme yapılabilir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
154
Şimdi Bursa'da 28°C olarak ölçülen hava sıcaklığının Fahrenheit ile ölçülmesi halinde kaç derece olacağını hesaplayalım.
212 - 32 = 180°F , 100° - 0° = 100°C
100° C
28° C
180°F a karşılık gelirse
x
x = 28 × 180 = 50,4° F
100
?
x + 32 = 50,4 + 32
= 82,4°F
120° F olarak ölçülen bir sıcaklığın kaç °C karşılık geldiğini bulunuz.
Özet
Günümüzde insan yaşamının birçok cephesinde yoğun bir şekilde kullanılan ölçme, iletişim
kurmada büyük bir öneme sahiptir.
Ölçme karşılaştırma ve ihtiyaçlarımızı daha iyi karşılayabilme duygusunun bir sonucudur. Ölçmeye konu olan çokluklar sürekli ve süreksiz olmak üzere iki başlık altında toplanabilir. Süreksiz çoklukları (öğrenci sayısı gibi) ölçmek onları saymaktan ibarettir. Cevap
her zaman bir tamsayıdır. Sürekli çoklukları (uzunluk, alan gibi) ölçmek için her zaman bir
birim tanımlama ihtiyacı vardır. Birim tanımlandıktan sonra ölçme saymaya dönüşür. Bu
durumda ölçme için "çokluğun içinde aynı türden seçilmiş birimin kaç tane olduğunu bulmaktır" denilebilir. Ölçme sonuçları tamsayı olabildiği gibi, ondalıklı da olabilir. 17 m. veya
17,8 m. gibi.
Ölçme öğretiminin dört temel safhası vardır ve bu safhalar tüm ölçme türlerinin öğretimine
uygulanabilir. Bu saffhalar karşılaştırma, standart olmayan birimlerle ölçme, standart birimlerle ölçme ve dolaylı yollarla ölçmedir. Ölçme öğretiminde bu safhaların
her biri çalışırken düzenlenecek etkinliklerde, ölçülecek çokluğun öğrenciye tahmin ettirilmesinin önemi büyüktür.
Bu tahminin arkasından, öğrencilerin çokluğu bizzat ölçmeleri ve yanılma paylarını görmeleri gerekir.
Öğretim sırasında ölçü ile ilgili basit araçların öğrenciler tarafından yapılması ve kullanılması da etkili öğrenmeye yol açar.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
Değerlendirme Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1. Ölçme ile ilgili aşağıda verilen düşüncelerden kaç tanesi doğrudur?
• Ölçme, insanın karşılaştırma ihtiyacını gidermeye yarayan bir eylemdir.
• Ölçme bir çeşit saymadır.
• Ölçme sürekli çokluklar söz konusu olduğunda vardır.
• Kesikli çoklukları ölçmek onları saymaktan ibarettir.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
2. Ölçme öğretiminde kaç temel safha vardır?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
3. Aşağıda verilen ölçme türlerinden hangisinin doğrudan yapılanı diğerlerine
göre en kolaydır?
A. Hacim
B. Alan
C. Uzunluk
D. Zaman
E. Değer
4. Bir harita üzerinde aşağıdaki etkinliklerden hangisi yürütülebilir?
A. Uzunluk ölçülerinin birimlerinin birbirine çevrilmesiyle ilgili uygulamalar.
B. Alan ölçüleri birimlerinin birbirine çevrilmesiyle ilgili uygulamalar
C. m' nin katları bilgisi
D. m2 'nin katları bilgisi
E. Yukarıdakilerin hepsi
5. Bir dikdörtgen halının alanını kenarlarını ölçüp, bunları çarparak bulmak
hangi tür eylemdir?
A. Standart olmayan birimlerle ölçmedir.
B. Standart birimlerle doğrudan ölçmedir.
C. Standart birimlerle dolaylı ölçmedir.
D. Ölçülerin birbirine çevrilmesidir.
E. Alan ölçülerinin katlarını bulmadır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
155
156
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
6. Sıcaklık ölçülerinin bir doğal başlangıcının olmaması aşağıdaki sonuçlardan
hangilerini zorunlu kılar?
(1) 8° C 'deki suyun sıcaklığı 4°C'deki suyun iki katıdır denemez.
(2) Keyfi bir başlangıç seçilmesini gerektirir.
(3) Onluk sayı sistemine uydurulamazlar
(4) Sıcaklık ölçü araçlarının çeşitlenmesine yol açar.
A. 1 ve 2
B. 2 ve 3
C. 1 ve 3
D. 3 ve 4
E. 2 ve 4
7. "Kareli kağıt (kafes) üzerinde belirlenen iki bölgenin kesilip, çıkarılması ve
öğrencilere çizilmemiş yüzlerinin gösterilerek hangisinin büyük olduğunun
tahmin edilmesinin istenmesi" alan ölçülerinin öğretiminin hangi safhasında
yer alan bir etkinliktir?
A. Alan ölçülerinin as katlarının tanıtılması safhası
B. Alan ölçülerinin üs katlarının tanıtılması safhası
C. Alan Ölçüleri ile ilgili uygulama yapma (problem çözme)
D. Dolaylı yoldan alan ölçme
E. Alan ölçmenin birim kareleri saymak olduğunu farkettirme.
8. Aşağıdaki ölçü çifti türlerinden kaç tanesi öğretim sırasında birlikte ele alınmalıdır?
• Uzunluk ve alan ölçüleri
• Alan ve arazi ölçüleri
• Sıcaklık ve zaman ölçüleri
• Hacim ve sıvı ölçüleri
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
9. "Su saati yapma etkinliği" ile aşağıdaki amaçlardan kaç tanesi gerçekleştirilmek istenir?
• Süreyi kavrama
• Ölçü aracı kavramı
• Kadranlı saatleri okuma
• Dijital saatleri okuma
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖLÇÜLER VE ÖĞRETİMİ
157
10. Aşağıda verilen ölçü türlerinden hangisi bir yönüyle diğerlerinden farklıdır?
A. Uzunluk
B. Ağırlık
C. Alan
D. Hacim
E. Zaman
Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
ALTUN, Murat. Matematik Öğretimi, Bursa: 1998.
BUSBRİDGE, John ve D. Ali ÖZÇELİK. İlköğretim Matematik Öğretimi, Ankara:
1997.
MEB, İlköğretim Matematik Dersi Programı, İstanbul: 1991.
Değerlendirme Sorularının Yanıtları
1. E
2. D
3. C
4. A
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
5. C
6. A
7. E
8. C
9. C
10. E
Geometri Öğretimi
ÜNİTE
9
Yazar
Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra öğrenciler;
• Geometri öğretiminin önemini açıklayabilirler,
• Geometri öğretiminde sık kullanılan materyalleri tanır ve hazırlayabilirler,
• Düzlemsel şekillerin nasıl tanıtılacağını ve bu bilgilerin nasıl
uygulanabileceğini açıklayabilirler,
• Geometrik cisimlerin nasıl tanıtılacağını açıklayabilirler,
• Ölçüsel geometri ile ilgili temel becerilerin nasıl öğretileceğini
bilir ve öğretim yapabilirler.
İçindekiler
• Giriş
161
• Geometri Öğretiminde İki Yaklaşım
161
• Geometrinin Kuruluşu
162
• Düzlemsel Şekillerin Tanıtılması
164
• Cisimlerin Tanıtılması
177
• Özet
183
• Değerlendirme Soruları
184
• Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
186
Çalışma Önerileri
Bu üniteyi çalışırken,
• Yanınızda kağıt, cetvel, makas ve yapıştırıcı başta olmak üzere
gerekli materyali hazır bulundurunuz ve öğretim için önerilen
etkinlikleri yapınız.
• Önerilen etkinliklerin hangi sınıf düzeylerinde kullanılabileceğini ve kendi sınıfınızın seviyesine nasıl uyarlanabileceğini tesbit
ediniz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
1. Giriş
Çocuklar okula başlayıncaya kadar, geometrik kavramlardan en çok uzay geometri
ile ilgili olanlar hakkında informal bilgiler edinirler ve tecrübeler kazanırlar. Okulun görevi bunları çocukların zihinsel gelişmişlik düzeylerine göre düzenlemek ve
formal hale getirmek, edindikleri bilgi ve becerileri taban alarak yeni geometrik kavramları, bu kavramlar arasındaki ilişkileri kazandırmaktır.
Okul programlarında geometrinin yer almasının birçok nedeni vardır. Bunların
başlıcaları şöyle sıralanabilir.
İnsanın çevresini saran eşya ve varlıkların çoğu geometrik şekil ve cisimlerdir. Ayrıca insan işini ya da mesleğini yürütürken geometrik şekil ve cisimler kullanır. Bu
varlıklardan en etkili şekilde yararlanmak, bunları tanımaya, eşyanın şekli ile görevi arasındaki ilişkiyi kavramaya dayanır.
Uzayı tanıma ve uzayla ilgili yeteneklerin (çizim yapma, model üretme, modelde
değişiklik yapma, çevre düzenleme gibi) gelişimi temelde geometrik düşüncelerden beslenir.
Günlük hayatta insanların çözmek zorunda kaldıkları basit problemlerin pek çoğunun (çerçeve yapma, duvar kağıdı kaplama, boya yapma, depo yapma gibi) çözümü
temel geometrik beceriler gerektirir. Bu öneminden ötürü geometri öğretimi ilköğretimin tüm sınıflarında yer verilen geniş bir şerittir., Geometrik bilgiler diğer şeritlerin öğretiminde, problem çözme çalışmalarında da bir materyal olarak kullanılır.
2. Geometri Öğretiminde İki Yaklaşım
Geometri öğretimiyle ilgili iki temel yaklaşım vardır. Bunlardan biri öğretimde geometrinin tanımsız kavramları olarak adlandırılan nokta, doğru, düzlem ve uzay
kavramlarının önce tanıtılması ve bunlar tanındıkça elemanları bu kavramlar olan
şekillerin (ışın, doğru parçası, açı, üçgen ve diğer düzlemsel şekiller...) tanıtılması
şeklinde bir sıra izler. Diğer yaklaşım çocukların eşya ve cisimleri önce kazandıkları
düşüncesinden yola çıkan ve önce öğretime prizmalardan başlanmasını esas alan
yaklaşımdır.
Çocukların geometrik kavramları öğrenmelerine ilişkin Geldhof'lar tarafından verilen aşamalı sınıflama ikinci ünite içinde anlatıldı. Bu sınıflamanın geometri öğretimine katkısı büyüktür. İlköğretim düzeyindeki geometri bu sınıflamanın ilk üç basamağında sözedilen içerik ve etkinliklerle ilgilidir.
Geometri öğretimini yakından ilgilendiren bir başka kavram miktar korunumu'dur. Miktar korunumunun ne olduğu aşağıda açıklanmıştır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
161
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
162
2.1. Miktar Korunumu
Geometri öğretimini yakından ilgilendiren bir başka kavram miktar korunum kavramıdır.
Korunum sayı, uzunluk, alan, kütle gibi miktar bildiren kavramlarla ilgili olup "fiziksel değişimin, sonucu değiştirmediğinin farkına varma" demektir. Örneğin çocukta alan korunumunun gelişip gelişmediği şöyle denenebilir.
Şekil 9.1: Alan Korunumu
Bu iki şeklin alanı aynı mı?
Bu iki şekilden ikincisi birinciden elde edilmiştir. Bundan ötürü alanları birbirine
eşittir. Alan korunumunu henüz geliştirmemiş olan çocuklar parçaların yer değiştirmesiyle alanın azalıp veya çoğalabileceğini düşünebilirler. Bu durumdaki çocuk
şekillerin alanlarıyla ilgili bağıntıların elde edilmesinde başvurulan eylemlerin sonucu değiştirdiğini düşüneceği için bağıntıyı kavrayamazlar.
?
Paralelkenarın alanının öğretimi, alan korunum düzeyinin gelişmiş olmasını gerektirir. Neden?
3. Geometrinin Kuruluşu
Geometri dört temel eleman üzerine kurulur. Bunlar (1) Tanımsız terimler (nokta,
doğru, düzlem, uzay, küme), (2) Tanımlı terimler, (3) Aksiyomlar, (4) Teoremlerdir.
Her şekil ve cisme bir nokta kümesi olarak bakılabilir. Noktanın kendisi geometrinin en temel elemanıdır ve tanımsızdır. Yani noktayı başka bir şeyden yararlanarak
tanımlama imkanı yoktur. Nokta dışındaki tanımsız terimlerden doğru, düzlem ve
uzayı nokta yardımıyla anlatma imkanı vardır.
Tanımsız kavramlar sezgisel yolla kazandırılır. Yani bunlar etkinliklerle öğrencilere sezdirilirler.
Nokta: Kalemin kağıttaki izi, tebeşirin tahtadaki izi, küçük bir kum tanesi, toz şeker
zerreciği gibi birşey olarak anlatılmalıdır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
163
"Cümle sonunda", "bazı harfleri yazarken" nokta kullanırız gibi cümleler çocuk zihninde nokta hakkında bir fikir oluşturur. Noktalar büyük harfler kullanılarak adlandırılır.
●B
A ●
C●
E
●
D
●
Şekil 9.2: Noktanın Tanıtılması
Doğru: Doğru cetvel yardımıyla sıkça koyduğumuz noktalardan oluşan bir nokta
kümesi olarak ve şekildeki aşamalar öğrencilerle birlikte yaşanarak gösterilebilir.
Her iki uçtan sonsuza gittiği belirtilmelidir.
●
●
●
● ● ●
● ●
●
●
●
●
●
● ● ● ● ● ● ● ●
● ●
●
●
●
● ● ● ● ● ●
●● ●● ●● ●●● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●●● ●● ●● ●● ●
Şekil 9.3: Çizgi Bir Nokta Kümesidir
Bir doğru, üzerine konan iki harf ile adlandırılır ve gösterilir. Her iki yönden sonsuza gittiğini göstermek için çoğunlukla iki ucuna da ok konur.
●
●
A
B
Düzlem: Düzlem anlatılırken öğrencilerin dikkati, masanın yüzü, kağıdın yüzü,
cam yüzeyi, durgun su yüzeyi üzerine çekilir ve bunların her taraftan sonsuz olması
hali düşünülür.
Düzlemin bir nokta kümesi olduğunu kavratmak için kağıt veya cam üstüne fırça ile
boya taneleri fırlatmak ve fırlatmaya devam etmek suretiyle kağıt yüzeyinin nokta
şeklindeki boya tanecikleriyle kapandığını göstermek uygun bir çalışmadır. Bu çalışmayı (Şekil 9.4) izleyen çocuklar "Düzlem bir nokta kümesidir" fikrine ulaşırlar.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Şekil 9.4: Düzlem ve Uzay Birer Nokta Kümeleridir
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
●
● ●
●
●
● ●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
164
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
Uzay: Uzayı anlatmak için toz şeker, tuz veya kum dolu bir kavanozdan yararlanılabilir. Her kum taneciği bir nokta gibi düşünülürse noktaların uzayı nasıl doldurduğu anlaşılır. Daha sonra bu kavanoz her taraftan sonsuz olarak düşünülmelidir.
Tanımlı kavramların (doğru parçası, ışın, açı, üçgen, dörtgen vs.) tümü tanıtılırken
bu tanımsız kavramların kullanılması yeterlidir.
Öğretiminde güçlük çekilen kavramların biri de aksiyomlar ve teoremlerdir. İlköğretimde her ne kadar aksiyomatik sistem ve teorem ispatları yoksa da bazı teoremlerin sonuçları (üçgende iç açılar toplamı 180° dir gibi) tecrübeye dayalı olarak kavratılır. Öğrenciler kendileri bu sonuçlara ulaşmadıkça bunları ezberlemeye yönelmektedirler.
4. Düzlemsel Şekillerin Tanıtılması
Düzlemsel şekiller deyince akla üçgen, dörtgen ve çokgenler, çember, elips ve diğer
eğriler gelmektedir. Bunların birçoğu ilköğretim programlarında yer almaktadır.
Bir şekil veya cismi öğretmenin en etkili yolu, onu öğrencilere ürettirmek ve kullandırmaktır. Bu yaklaşımla, aşağıdaki özel dörtgenlerin öğretiminde kullanılabilen
bir etkinlik verilmektedir.
Etkinlik: Kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenardörtgen
Materyal: Kağıt, makas, yapıştırıcı
Grup: 2-3 kişi
İşlem:
• İki kağıt şerit kesilmesi (ortalama 1 cm. eninde boyları farklı) ve bunların
kıvrılarak halka yapılması (Şeritlerin farklı renklerde olması tercih edilir).
• Halkaların aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi dıştan birbirine dik olacak şekilde yapıştırılması.
(a)
(b)
Şekil 9.5: Dörtgenlerin Üretilmesi
•
•
•
Halkalardan birinin makasla ortasından halka boyunca kesilmesi.
İkinci şeridin de aynı şekilde kesilmesi. Şekil 9.5a.
Meydana gelen şekil nedir? Özelliklerinin söylenmesi. Şeritlerin farklı renklerde olması hangi özelliği görsel hale getiriyor?
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
•
•
•
165
Şimdi şerit boylarının farklı seçilerek yukarıdaki çalışmanın yeniden yapılması.
Şimdi şeritlerin birbirlerine dik değil de dar açı yapacak şekilde yeniden yapıştırılması ve aynı çalışmaların tekrarlanması.
Elde edilen dörtgenlerden biri eşkenar dörtgendir. Eşkenar dörtgenin nasıl
elde edildiğinin açıklanması. Karenin üretimi ile olan farkın görülmesi.
Eşkenar dörtgen elde etmenin bir başka yolu daha vardır. Dikdörtgen şeklinde bir
kağıdın A köşesi C köşesine gelecek şekilde kırılır ve kenarlarda taşkınlık yapan üçgenler kesilirse kalan kağıdın bir eşkenar dörtgen modeli olduğu görülür (Şekil 5b).
Elde edilen şekil üzerinde eşkenar dörtgenin özellikleri, köşegenlerinin birbirini dik
olarak oraladığı kolayca görülebilir.
Şekil 9.5'te eşkenar dörtgenin elde edilişi için iki ayrı yöntem gösterilmektedir.
Bunlardan hangisi eşkenar dörtgenin çevresi, hangisi alanı üzerinde çalışmaya
daha uygundur?
Eşkenar dörtgenin elde edilişi ile ilgili bu son şekil, içi dolu bir düzlem parçası olduğundan, eşkenar dörtgenin alanı kazandırılırken de kullanılabilir.
Çokgenlerin kavratılması ile ilgili olarak sınıf içinde düzenlenebilecek bir başka etkinlik pipetlerden çokgen yapmadır.
Etkinlik: Çokgen üretme
Materyal: pipet, makas, ip, üç tane zar (her grup için)
Grup: 2-3 kişi
İşlem1:
• Pipetin farklı boylarda kesilmesi ve içinden ip geçirilerek şekildeki gibi bağlanması.
Şekil 9.6: Pipet Çokgenler
•
•
Elde edilen şekillere, kenar sayılarına göre ad verilmesi.
Kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, ikizkenar, eşkenar ve çeşitkenar üçgen elde etmek için pipetlerin nasıl kesilmesi gerektiğinin tartışılması. Kesilmesi ve
bu şekillerin elde edilmesi.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
166
İşlem 2:
• Üçgenlerle ilgili önemli bir çalışma da, üçgenin var olabilmesi için kenarları
arasındaki a + b > c bağıntısının bulunmasıdır.
• Üç zarın birlikte atılması.
• Gelen sayılar uzunluğunda pipetlerin kesilerek üçgenlerin yapılması.
• Her bir üçgenin özelliğinin bulunması.
Çubuk uzunluğu
Üçgenin özelliği
2, 5, 4
Çeşitkenar
3, 3, 5
İkizkenar
2, 1, 5
Üçgen yok
•
2, 1, 5 örneğindeki gibi iki kenar toplamının üçüncüden küçük olması halinde
üçgenin oluşmadığının görülmesi.
?
Bir dörtgenin varlığı, kenarlarının uzunlukları arasındaki bir bağıntıya bağlı mıdır? Bu özellik yukarıdaki çalışmaya benzer bir çalışmayla elde edilebilir mi?
Düzgün çokgenlerin (kenarları birbirine eşit olan) geometri içinde ayrı bir önemi
vardır. Bunlardan düzgün beşgen ve düzgün altıgenin öğretimine ilişkin bir etkinlik aşağıda verilmektedir.
Etkinlik: Düzgün beşgen, eşkenar üçgen ve düzgün altıgen
Materyal: Makas, gazete, cetvel
Grup: 3-4 kişi
İşlem 1: (Düzgün beşgen)
• Bir gazete sayfasının 6-8 cm. eninde bir cetvel haline getirilmesi.
• Gazeteye bir düğüm atılması ve boşlukların alınarak düğümün bastırılmak
suretiyle yassılaştırılması.
• Gazetenin düğümden taşan parçalarının düzgün bir biçimde kesilmesi.
• Meydana gelen şeklin düzgün beşgen olduğunun görülmesi. Özelliklerinin,
elde edilmiş bulunan bu beşgenden görülmesi.
İşlem 2: (Eşkenar üçgen, düzgün altıgen)
• Bir dosya kağıdına bir daire çizilmesi.
• Bu dairenin merkezinin işaretlenmesi ve dairenin makasla kesilip çıkarılması.
• Dairenin kenar yayı merkezden geçecek şekilde kıvrılarak bastırılması.
• Kıvrımın tam bitiminden başlayarak kalan kısmın, kenar yayı yine merkezden geçecek şekilde kırılması. Aynı işlemin kalan kısma uygulanması (üç kırım)
Bu durumda elde edilen şekil eşkenar üçgendir. Eşkenar üçgenin özellikleri bu şekil
üzerinde tartışılabilir.
Elde edilmiş bulunan bu eşkenar üçgenin köşeleri, merkezden geçecek şekilde kıvrılıp bastırılırsa düzgün altıgen elde edilmiş olur.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
167
Düzgün çokgenlerle uğraşma, öğrencilerde her çokgene yeni ve özel bir ad verme
eğilimi doğurur. Karşılaştıkları herhangi bir çokgenin adını bilememekten ötürü sıkıntı duyarlar. Çokgenlerin adlandırılmasında genel kural kenar sayısına göre adlandırmadır. Aşağıdaki etkinlik çokgenlerle ilgili düşüncenin pekişmesine ve adlandırmadaki kuralı sezmelerine yol açar.
Etkinlik: Çokgen üretme ve adlandırma
Materyal: Yarım dosya kağıdı (bir yüzü yazılı olabilir), cetvel
Grup: 2-3 kişi
İşlemler:
• Kağıdın C köşesinin A'nın üstüne gelecek şekilde katlanması ve katlama çizgisi XY'den kesilerek veya yırtılarak ikiye ayrılması.
• Ortaya çıkan iki yamuğun, eşit olan kenarlarının yan yana getirilmesi yoluyla bunlardan mümkün olduğu kadar çok sayıda, farklı şekiller oluşturulması.
X
A
B
D
C
Y
Şekil 9.7: Çokgen Üretme
•
Ortaya çıkarılan 8 düzlem şeklin kenarlarına göre adlandırılması. bu 8 şekilden biri dikdörtgenin kendisidir. 4 şeklin yüzü aynı, diğer dördünün yarısı beyaz, yarısı yazılıdır.
Yukarıda ABYX yamuğu ile DCYX yamuğu birbirine eşittir. Bu yamukların 4 kenarı da birbirinden farklı olduğu için 8 çokgen üretilmiştir. Birbirinin aynı iki
dik üçgen iki beşgenle aynı çalışma yapılsaydı kaç değişik çokgen üretilmiş olurdu?
Çocuklar geometride gelişme gösterdikçe, onlardan şekillerin birbirleriyle olan ilişkilerini incelemeleri istenmelidir. Şekil 9.8'de dörtgenlerin birbirleriyle olan ilişkileri görülmektedir. bu şemadan yararlanarak "kare bir dikdörtgen, aynı zamanda bir
eşkenar dörtgendir. Paralelkenar bir yamuktur" gibi ifadeler üzerinde öğrenciler
konuşturulmalıdır.
Şekil 9.8: Dörtgenlerin Birbirleri İle İlişkileri
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
168
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
4.1. Eşlik ve Benzerlik
Eşlik ve benzerlik kavramlarının öğretimi için de yukarıda sunulanlara benzer etkinlikler düzenlenebilir.
Verilen birçok şekil arasından eş veya benzer olanların seçilmesi ilk akla gelen çalışmalardan biridir. Eşlik ve benzerliğin bir problem içinde sunulması ise öğrenmedeki etkililiği artırma bakımından daha değerli bir çalışma biçimidir.
Çokgen üretme ve adlandırma yanında eşlik ve benzerlik kavramlarının pekiştirilmesinde kullanılabilecek bir etkinlik Tangram bilmecesidir. hikayeye göre uzun
yıllar önce Çin'de yaşayan Tan adında bir adamın elinde çok kıymetli, kare şeklinde
bir tabağı vardı. Bunu krala sunmak isterken düşürdü ve tabak şekilde görülen çizgilerden kırılarak 7 parçaya ayrıldı. Önce üzüldü, sonra tabağı yapıştırmak suretiyle
eski haline getirebileceğini düşündü. Fakat bu iş çok kolay olmadı ve her denemesinde farklı bir çokgen elde etti. O günden beri şekil 9.9'daki karenin bu 7 parçasından yeni bir şekil elde etmek Tangram bilmecesi olarak bilinir.
Şekil 9.9: Tangram
Etkinlik: Eşlik, benzerlik, çokgen üretme (Tangram bilmecesi)
Materyal: Makas, tangram çizili kağıt
Grup: 2 kişi
İşlem:
• Tangramın 7 parçasının kesilmesi
• Bu parçaların herbirinin adlandırılması
• Bu parçaların hangileri eştir? bulunması
• Bu parçaların hangileri benzerdir? Bulunması
• Bu parçaların hepsinin kullanılarak, kare, dikdörtgen, yamuk, paralelkenar
ve üçgen elde edilmesi.
Benzerlikle ilgili bir başka uygulama içiçe benzer desenler çizmedir. Aşağıdaki etkinlik böyle bir uygulamayla ilgilidir. Şekillerin benzerliği, kenarları ölçülmek ve
orantılı oldukları görülmek suretiyle anlaşılabilir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
169
Etkinlik: Çokgen desenler çizme, benzerlik
Materyal: Düz kağıt, renkli kalemler, cetvel
Grup: 2 kişi
İşlem 1:
• Düz kağıda rastgele bir çokgen çizilmesi. Kenarlarının orta noktalarının işaretlenmesi ve birleştirilmesi.
• Aynı işlemin meydana gelen içteki çokgen için tekrarlanması.
İşlem 2:
• Düz kağıda, kağıdı dolduracak şekilde rastgele bir dörtgen veya beşgen çizilmesi.
• Beşgen içinde keyfi bir noktanın seçilmesi ve bu noktanın şeklin köşelerine
birleştirilmesi.
• Noktalarla gösterilen bu doğru parçalarının orta noktalarının işaretlenmesi
ve birbirleriyle birleştirilmesi.
Şekil 9.10: Çokgenlerde Benzerlik
•
•
•
•
Meydana gelen şekil ile ilk şeklin arasındaki ilişkinin incelenmesi. Kenar
boylarının karşılaştırılması.
Aynı çalışmanın içteki şekil için tekrarlanması.
Şekillerin sıralı olarak farklı renklerle boyanması.
Desenlerin sınıf panosunda sergilenmesi.
Bu etkinlikten bir bahçe içinde herhangi bir yere, bahçeye benzer bir havuz inşa
etme problemini çözmede yararlanılabilir mi? Çözümü bulunuz.
4.2. Geometri Tahtası ve Analitik Düzlem
Geometri tahtası kare köşelerine çiviler çakılmış bir tahtadır. bu tahta üzerinde, lastik band kullanılarak değişik şekiller elde etmek, öğrencileri bunlar üzerinde konuşturmak, söylenen şekillerin öğrenciler tarafından üretilmesini sağlamak mümkündür.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
170
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
Geometri tahtasında yapılan çalışmaların tamamı kare köşeleri noktalı kağıt (dik
ağ) üzerinde cetvel yardımı ile de yapılabilir. Ayrıca dik ağ çevre hesaplamının öğretiminde de kullanılan etkili bir araçtır. Aşağıda noktalı kağıt ile yapılabilecek bir
kaç uygulama verilmiştir.
4.3. Motif Kaplama
Motif kaplama diye, bir yüzeyin aynı desenle hiç boşluk kalmayacak şekilde doldurulmasına denir. Kare parkelerle bir zemini döşemek en basit motif kaplamadır. kaldırımlarda görülen ve görünüm güzelliği veren kaplamalar düz parkeye bir dönüşüm vermek suretiyle elde edilen motif kaplamalardır. Motif kaplama geometrik şekillere uygulanan bir dönüşüm olduğu için bir geometrik uğraştır.
Motif kaplama için önce bir birim bölgenin seçilmesi gerekir. Bu birim bölge kare,
dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen veya düzgün altıgen olabilir. Seçilen birim bölgenin, örneğin karenin bir kenarına nasıl hareket veriliyorsa karşı kenara da
aynı hareket verilmelidir. Şekil 9.11'de (1) ve (2) nolu adımlar bu safhayı göstermektedir. Böylece elde edilen dönüşümle, kareye eş alanlı bir şekil üreyecek ve kareler
yan yana uyumlu oldukları için dönüşüm sonunda elde edilenler de birbirine
uyumlu olacaktır. Diğer kenarlara başka bir dönüşüm verilebilir. Şekil 9.11'deki (3)
ve (4) adımlarda bu hareket görülmektedir. Dört kenara uygulanan bu işlemler sonunda yeni desen (motif) üretilmiş olur. Şekil 9.11'de bir civciv şekli üretilmiştir.
Şeklin içinde yapılan keyfi süslemelerin motifle ilgisi yoktur ve sadece görünümü
güzelleştirmek içindir. Şekle göz konabilir, kanat boyanabilir vs.
(0)
●
(1)
●
●
(2)
●
●
(3)
●
●
(4)
●
●
(5)
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Şekil 9.11: Motif Üretimi
Motif kaplamada kullanılan birim şekil çember, üçgen veya beşgen olamaz. Niçin?
Koordinat sisteminin tanınmasına, analitik düzleme geçişe yardımcı olacak, aynı
zamanda geometrik çalışmaların estetik güzelliğini hissettirecek etkinliklerden biri
de doğru desenleridir. Doğru desenleri paralel veya dik ağ üzerinde keyfi iki eksen
seçmek ve bunların üzerindeki noktaları belli bir düzene göre birbirleriyle birleştirmek (doğru parçaları çizmek) suretiyle elde edilir. Aşağıda dik ve eğik ağlar üzerinde yapılan doğru desenleriyle ilgili bir etkinlik sunulmaktadır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
171
Etkinlik: Doğru desenleri
Materyal: Cetvel, paralel veya dik ağ veya geometri tahtası
Grup: 2-3 kişi
İşlemler:
• Ağ veya geometri tahtasında, doğru parçaları ile eğrisel şekiller elde etmek
mümkündür.
• Kağıtta iki nokta sırasını belirleyerek, bunları çizilecek şeklin eksenleri olarak gözönüne alınız.
• Eksenlerin birindeki 1. noktayı diğerinin 5. noktasına, 2. noktayı 4. noktasına
birleştirerek bu işleme devam ediniz.
●
5 ●
●
●
●
●
●
●
4 ●
●
●
●
●
●
●
3 ●
●
●
●
●
●
●
2 ●
●
●
●
●
●
●
1 ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
●
●
●
●
●
●
●
3 ●
●
●
●
2 ●
1●
●
●
●
4●
●
●
●
5 ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
●
●
●
●
●
Şekil 9.12: Doğru Desenleri
•
•
•
Bu çalışmayı eksenlerin belirlediği dört bölgenin herbirinde yapınız.
Çalışmayı 1 cm. x 1 cm. ağ yerine 0.5 cm. x 0.5 cm. ağ üzerinde yapınız ve
eksenin 1. noktasını, diğer eksenin 10. noktasına birleştiriniz. Hangisinde eğri
daha belirgin olmaktadır.
Yukarıda ağda yapılan çalışmaların geometri tahtası (çivili tahta) üzerinde
renkli iplik gerilerek yapılması, en güzel seçilen beş desenin sınıf sergisine konması.
Bu çalışmalar öğrencileri bir taraftan da analitik düzlemi tanımaya hazırlar.
Öğrencilere dik ağ üzerinde iki eksen seçtirilir ve bunların üzerindeki noktaları yukarıdaki gibi numaralandırmaları istenir. Bu durumda herhangi bir noktayı bu sayılarla belirtip belirtemeyeceğimiz sorularak, bir noktaya bir sayı çiftinin karşılık geldiği sonucuna varılır. (3, 4) noktasının (4, 3) ten farklı olduğu belirtilir. Bunu takiben
dik ağ üzerinde köşeleri noktalara eşlenen üçgen ve dörtgenler, köşeleri A(1, 7), B(4,
1), C(7, 5) olan üçgen örneğindeki gibi tanımlanır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
172
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
8
●
7
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
6
●
●
●
●
●
●
●
●
●
5
●
●
●
●
●
●
●
●
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
3
●
●
●
●
●
●
●
●
●
2
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
A
0
B
C
●
Şekil 9.13: Analitik Düzlem
Analitik düzlemde yapılacak olan eğlenceli ve öğretici çalışmalardan biri, öğrencilerin koordinatları verilen noktaları sırayla birleştirerek ilginç şekiller ortaya çıkarmasıdır. kuş modeli, fare modeli gibi.
Analitik düzlemin şekil 9.13'te verilen birinci bölümü tanıtıldıktan sonra zamanla
eksenler diğer tamsayıları da içerecek şekilde uzatılır ve diğer bölgeler de tanıtılır.
4.4. Simetri Kavramı
Simetri, geometrik şekil ve cisimlerde var olan bir özelliktir. Çocuklar simetri kavramıyla tanışmadan önce insan vücudundan, yaşadıkları çevreden ve kullandıkları
eşyalardan simetri kavramını sezgisel olarak edinirler. Simetrinin ne olduğunu kavratmak için yapılabilecek bir etkinlik şöyle düzenlenebilir.
Etkinlik: Simetri (doğruya göre)
Materyal: Makas, mürekkep, yarım dosya kağıdı, ayna
Grup: 2 kişi
İşlem 1:
• Yarım dosya kağıdının ikiye katlanması ve kat yerinin iyice kırılması.
• Kat yerinin herhangi bir yerinden makasla girilerek rastgele kesilerek yine
kat yerinin bir yerinden çıkılması.
• Elde edilen parçanın (şekilde taralı kısım) açılarak görülmesi. Kırım boyunca
katlandığında iki yüzün birbirini örttüğünün gözlenmesi.
• Elde edilen simetrik şekillerin panoda sergilenmesi.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
173
Şekil 9.14: Simetrik Şekiller
İşlem 2:
• Yarım dosya kağıdına mürekkep damlatılması ve kağıdın mürekkep lekesi
arada kalacak şekilde katlanması.
• kağıdın açılarak meydana gelen şeklin incelenmesi.
İşlem 3:
• Aynanın masa üzerinde dik durumlu olarak tutulması ve aynaya değecek
veya altına sıkışacak şekilde bir materyal (yaprak, silgi, şekil vs.) konması
• Materyalin aynadaki görüntü ile birlikte incelenmesi.
• Bu işlemlerin sonuçlarından yararlanarak simetrinin ne olduğu hakkında sınıf tartışması açılması.
• Öğrencilerin çevrelerinden gördükleri eşya ve şekiller üzerinde simetrik
olanları söylemesi.
Simetrinin iki türü vardır. Doğruya göre simetri veya dönel simetri. Yukarıdaki etkinlikte elde edilen şekiller doğruya göre simetrik olup bu doğruya simetri ekseni
denmektedir.
Dönel simetri, şeklin bir nokta etrafında dönmesi sonucunda kendisini örtmesi durumunda vardır. Bu dönme açısı 360° den farklıdır. Örneğin kare köşegenlerinin kesim noktası etrafında 90°, 180°, 270° lik döndürmelerde kendisini örter. Çember
merkezi etrafındaki her dönüşte kendisini örter.
Bazı şekiller hem eksene göre simetrik hem de dönel simetriktirler. Çemberin sonsuz simetri ekseni ve sonsuz dönel simetri açısı vardır.
Simetri ile ilgili olarak çokgenlerin simetri eksenlerinin ve simetrik dönüşlerinin
bulunması, harfler, kelimeler ve sayıların simetrik olanlarının bulunması ve incelenmesi uygulama olarak yapılabilir.
Dönme açısının 360° olması simetrik olmayı niçin gerektirmez?
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
174
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
4.5. Alan ve Çevre Hesaplama
Çevre ve alan hesaplama, ölçüler şeridi ile geometri şeridinin ortak konusudur.
Onun için burada sadece geometrik şekillerin çevre ve alanlarının hesaplanmasında
ölçüler ünitesinde söylenenlere ek olarak neler yapılabilineceğine değinilecektir.
Şekillerin çevrelerinin hesabında ağ (kare köşeleri noktalı kağıt) çok kullanışlı bir
kavramdır. Ağ üzerinde kenarları hep birbirine dik olarak çizilen çeşitli çokgenlerin
çevrelerinin hesabı, öğrencileri birim uzunlukları saymaya zorlar ve öğrenci böylece çevre ölçmenin bir uzunluk ölçmek olduğu sonucuna ulaşır. İkinci olarak ağ üzerinde çevresi verilen bir sayıda olan şekillerin çizdirilmesi, daha sonra kare, dikdörtgen gibi özel şekillerin çevrelerinin hesaplanmasında saymadan daha kestirme bir
yolun araştırılması ile çevre formülüne ulaşılır. Çevre hesaplama ile ilgili etkinlik
şöyle düzenlenebilir.
Etkinlik: Çevre hesaplama
Materyal: Dik veya paralel ağ, cetvel
Grup: 2 kişi
İşlem:
• Ağ üzerinde verilen birinci şeklin çevresinin hesaplanması.
• Ağ üzerinde çevresi verilen bir sayıda olan bir şekil çizilmesi.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
8 cm
10 cm
Şekil 9.15: Çevre Hesaplamada Ağ Kullanımı
•
•
•
Karenin ve dikdörtgenin çevrelerinin, çevre üzerindeki birimlerin sayılarak
bulunması.
Kare ve dikdörtgenin çevresiyle ilgili bağıntının elde edilmesi. Ç = 4 x a ve
Ç = 2xa + 2xb.
Çevresi verilen bir sayıda olan dikdörtgenlerin çizilmesi. öğrencilerin yaptığı
çizimlerin panoya asılması ve böylece şekilleri farklı, çevreleri aynı olan birçok
dikdörtgenin varlığının anlaşılması.
Diğer şekillerin çevrelerinin hesaplanması, her şekil tanındıkça yapılır. Çevre hesaplamada farklılık arzeden şekil, dairenin çevresidir. Dairenin çevresinin (çemberin uzunluğu) hesaplanabilmesi için π sayısının bilinmesine ihtiyaç vardır. π sayısı
buluş yoluyla aşağıdaki şekilde kazandırılabilir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
175
Etkinlik: π (pi) sayısı
Materyal: Değişik çaplarda dairesel eşyalar, mezur, bant, cetvel
Grup: 3-4 kişi
İşlemler:
• Her gruba bir dairesel eşya verilmesi ve bunun çevresinin ölçülmesi.
• Aynı eşyanın çapının ölçülmesi.
• Her grubun elde ettiği çevre ölçüsünü çap ölçüsüne bölmeleri.
• Grupların elde ettikleri sonuçları karşılaştırmaları ve hepsinin 3.14'e yaklaşık
değerler olduğunun görülmesi.
• Sonuçlar üzerinde sınıf tartışması açılması ve "çember ne kadar büyük olursa olsun çevresinin çapına bölümü 3.14'tür" sonucuna ulaşılması.
• Bu sayıya çevre sayısı anlamına gelen π (pi) sayısı dendiğinin söylenmesi.
Çemberin çevresi ile ilgili bağıntının elde edilmesi artık kolaydır. Çevre = π
Çap
elde edilmiş olduğundan bölmenin tersi olarak Çevre = Çap x π = 2r x π yazılabilir.
Alan Hesabı
Düzlemsel şekillerin alanlarının hesaplanmasında hareket noktası dikdörtgenin
alanıdır. Önce dikdörtgenin alanının nasıl hesaplanacağı öğretilmelidir. Dikdörtgenin alanı, alan ölçme öğretiminin sonuncu basamağıdır ve dikdörtgenin alanını iki
kenarının çarpımı olarak hesaplamak, alanı dolaylı yoldan ölçmek demektir. Aşağıdaki etkinlik alan ölçme ve dikdörtgenin alanı ile ilgilidir.
Etkinlik: Alan ölçme ve dikdörtgenin alanı
Materyal: Kareli kağıt (kafes), makas
Grup: 2-3 kişi
İşlem:
• Sınıfa, hangisinin alanının daha büyük olduğu hususunda tereddüt oluşturacak iki kartonun gösterilmesi ve öğrencilerin hangisinin büyük olduğunu
tahmin etmeleri.
• Kartonların karelere bölünmüş arka yüzlerinin gösterilmesi ve karelerinin
sayılarak alanın bulunması, tahminlerin gözden geçirilmesi (Şekil 9.16a, b).
(a)
(b)
Şekil 9.16: Alan Hesaplama
•
Kareli kağıt üzerine dikdörtgenler çizilmesi ve bunların alanlarının, birim
kareler sayılmak suretiyle hesaplanması.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
176
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
•
Alanı verilen ölçüde, örneğin 12 br2 olan dikdörtgenlerin çizilmesi, çizimlerin panoda sergilenmesi ve alanı aynı, şekli farklı birçok dikdörtgen olduğunun
farkına varılması (Şekil 9.17 a, b).
(a)
(b)
2
2
12 br
12 br
Şekil 9.17: Dikdörtgenin Alanı
•
Dikdörtgenin alanının, birim kareleri saymak yerine, iki kenarının çarpılmasıyla da bulunabileceğinin anlaşılması. Alan = a x b sonucuna ulaşılması.
Buradan sonraki iş dikdörtgenin alanı ile ilgili uygulamaların yapılmasıdır. kare,
dikdörtgenin özel bir halidir. Alan bağıntısının a x a olduğu, öğrenciler tarafından
koyalca farkedilebilir.
Üçgenin alanı dikdörtgenin alanının yarısı olarak Şekil 9.18'deki materyalden, paralelkenarın alanı, dönüştürülebildiği dikdörtgenden yararlanarak gösterilebilir
(Şekil 9.19).
A = axb
2
b
A = axh
2
b
(a)
(b)
Şekil 9.18: Üçgenin Alanı
h
A=a.h
a
Şekil 9.19: Paralelkenarın Alanı
Diğer özel dörtgenlerin (eşkenar dörtgen, deltoid) alanları için yukarıdakine benzer
etkinlikler düzenlenebilir. Düzgün çokgenler üçgenlere parçalanabildikleri için,
alanlarının hesaplanması burada tanıtılanların bir uygulaması olarak ele alınmalıdır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
177
Dairenin alanı, üçgen veya dörtgenlere parçalanamadığı, içine kareler doldurulamadığı için ayrı bir çalışma tarzı gerektirir.
Etkinlik: Dairenin alanı
Materyal: Pergel, cetvel, makas, yapıştırıcı
Grup: 2-3 kişi
İşlem:
• Her grubun kağıdına bir daire çizmesi.
• Dairenin 8 eş dilime ayrılması ve bu dilimlerden yarısının boyanması.
• Dilimlerin kesilip çıkarılması ve Şekil 9.20'deki gibi paralelkenar modelinde
dizilmesi.
• Şimdi dilimlerin tekrar ikiye bölünmesi ve yeniden paralelkenar modelindeki gibi dizilmesi.
Alan = Kısa kenar x uzun kenar
r
π
A = r x πr = πr 2
fi ekil 9.20: Dairenin Alan›
•
•
•
Bu son elde edilen paralelkenarın dikdörtgene benzediğinin ve dilimler küçüldükçe dikdörtgene daha çok benzeyeceğinin farkedilmesi.
Dikdörtgene dönüşeceği düşünülen bu şeklin kenarlarının birinin yarıçap,
diğerinin yarı çevre olduğunun görülmesi (r ve πr).
Dikdörtgenin alanından yararlanarak dairenin alanının r x πr = πr2 olarak
elde edilmesi.
Dairenin alanı ile ilgili etkinliğin kavranabilmesi için çocukta alan korunumunun gelişmiş olması gerekir. Neden?
5. Cisimlerin Tanıtılması
Cisim deyince, ilköğretim düzeyinde akla, küb, dikdörtgenler prizması, silindir,
küre, düzgün dörtyüzlü, koni ve piramit gelir. Bunların tanınması ilköğretimin ilk
yıllarında olur. Cisimlerin tanıtılmasında, bunlara uygun toplanan örnekler içinden
tanıtılan türe uygun olanların seçilmesi, öğrencilerin gözlerini kapatarak el yordamıyla istenilen cismi bulabilmeleri gibi etkinliklere yer verilir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
178
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
Cisim kavramıyla birlikte öğrencinin gündemine yüz ve yüzey kavramları da girer.
Yüzey, cismi dış dünyadan ayıran sınırdır. Bazen eğrisel olmakla birlikte çoğu kez
düzlem parçalarından oluşur. Yüz, bir yüzeyi oluşturan ve birbirinden kenarlarla
ayrılan parçaların her biridir. Örneğin kürenin yüzeyi tek parça, kübün 6 parçadır.
Yüz kavramı ile ilgili etkili bir çalışma "Möbius Şeridi" nin incelenmesidir. Möbius
şeridi ve özelliklerinin incelenmesi bir etkinlik olarak aşağıda verilmiştir.
Etkinlik: Möbius şeridi ve yüz kavramı
Materyal: Kağıt, makas, yapıştırıcı, kalem
Grup: 2-3 kişi
İşlemler:
• Yaklaşık 3 cm. eninde 15 cm. boyunda bir kağıt şerit kesilmesi.
• Bunun kaç yüzünün ve kenarının olduğunun açıklanması.
• Dikdörtgen şeridin kısa kenarları birbirine karşılıklı getirilerek yapıştırılması
ve elde edilen şeklin (halka) yüz ve kenar sayılarının bulunması.
• Aynı ölçülerde bir başka dikdörtgen şeridin kesilmesi ve iki yüzünden birine
A, diğerine B yazılması.
• A'dan B'ye giden bir yolun, kenarların herhangi birinden geçmeden mümkün olup olmadığının tartışılması. Kalem ucuyla çizilerek denenmesi.
• Halkanın iki yüzünün olduğunun görülmesi, birinden diğerine (A'dan B'ye)
geçişin kenarı aşmaksızın mümkün olmadığının anlaşılması.
• Şimdi kağıt şeridin uçlarını karşılıklı biraraya getirerek bir ucun sabit tutulup diğerinin boyunca ters çevrilip uçların yapıştırılması. Elde edilen şeride
Möbius Şeridi denir.
• Möbius şeridinin kaç yüzünün ve kaç kenarının olduğunun araştırılması.
A'dan çıkarak yüz boyunca giden bir çizgi (yol) ile B'ye varılıp varılamayacağının araştırılması.
Halka
Möbius
Şekil 9.21: Mobius Şeridi
Yüz ve yüzey kavramları ile ilgili bir başka çalışma, cisimlerin yüzlerinin sayılmasıdır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
179
Etkinlik: Yüz kavramı
Materyal: Küb, prizma, koni, silindir, piramit, dörtyüzlü, küre ve çok yüzlü örnekleri
Grup: 2-3 kişi
İşlem:
• Tek yüzlü olan cismin seçilmesi (küre)
• İki yüzlü olan cismin seçilmesi (koni)
• Üç yüzlü olan cismin seçilmesi (silindir)
• Dört yüzlü olan cismin seçilmesi (düzgün dörtyüzlü)
• Beş yüzlü olan cismin seçilmesi (üçgen piramit)
• Altı yüzlü olan cismin seçilmesi (küb)
• Sekiz yüzlü olan cismin seçilmesi (düzgün sekizyüzlü)
İnsan hayatında düzgün düzlem şekiller gibi düzgün çok yüzlülerin de ayrı bir önemi vardır. Öğretmenin düzgün cisimleri ve düzgün çok yüzlüleri kavratmada başvuracağı en önemli etkinliklerden biri bunların kartondan yüzeylerini üretmek ve
çok yüzlü meydana getirmektir. Bunun tersi de, yani yapılmış bir karton çok yüzlüyü makasla kesip açma ve bundan yararlanarak yüzey ölçümleri (alanları) ile ilgili
bağıntıyı bulma ve hesaplamalar yapma etkili öğrenmeye yol açar. Bu tür çalışmaların, öğrencilerin tasarım yeteneklerini geliştireceği beklenir. Küb, dikdörtgenler
prizması, silindir ve koni ile ilgili burada sözü edilen çalışmalar için yararlanılacak
ve başvurulabilecek kaynaklara başvurulabilinir. Aşağıda yalnız düzgün çok yüzlülerin açılımlarının çizilip bu cisimlerin yüzeylerinin nasıl üretildiği üzerinde birkaç örnek verilecektir.
Etkinlik: Düzgün dörtyüzlü
Materyal: Makas, yapıştırıcı, cetvel, kalem, kağıt (paralel çizgilerle çizilmiş paralel
kafes olması tercih edilir).
Grup: 2 kişi
İşlemler:
• Kağıda bir eşkenar üçgen çizilmesi. Şekilde görüldüğü gibi bu üçgene bitişik
üç eşkenar üçgen daha çizilmesi.
Şekil 9.22: Düzgün Dörtyüzlünün Açık Şekli
•
•
Yapıştırma kulağı olarak taralı kısımların çizilmesi.
Şeklin kesilip çıkarılması. Kalem izlerinden kırılması ve yapıştırma kulaklarına yapıştırıcı sürülerek, katlanıp cismin meydana getirilmesi.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
180
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
•
Meydana gelen cisme yüz sayısını esas alarak bir ad verilmesi. Yüzlerinin
eşit olduğunun görülmesi (Düzgün dörtyüzlü)
Etkinlik: Düzgün sekizyüzlü
Materyal: Kağıt (paralel kafes olması tercih edilir), cetvel, makas, yapıştırıcı
Grup: 2 kişi
İşlem:
• Düzgün sekizyüzlü üretmenin yollarından biri yan yüzleri eşkenar üçgen
olan iki kare piramit üretip, bunları taban tabana yapıştırmaktır. kare piramidin
üretilmesi çok basittir. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi önce bir kare, sonra
karenin her bir kenarı üzerine bir eşkenar üçgen çizmek gerekmektedir. Taralı
kısımlar yapıştırma kulaklarıdır.
Şekil 9.23: Kare Piramit
•
Düzgün sekizyüzlü için kağıt üzerine aşağıdaki şeklin çizilmesi ve yapıştırma kulaklarının gösterilmesi.
Şekil 9.24: Düzgün Sekizyüzlü
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
•
•
181
Şeklin kesilip çıkarılması ve çizgilerden kırılması. Yapıştırma kulaklarından
yararlanarak düzgün sekizyüzlünün yapılması.
Meydana gelen cismin yüzlerinin sayılması ve eşit olduklarının anlaşılması.
Etkinlik: Düzgün yirmi yüzlü
Materyal: Kağıt, kalem, cetvel, yapıştırıcı
Grup: 2 kişi
İşlemler:
• Kağıt üzerine aşağıdaki şeklin çizilmesi (Paralel kafes kullanıldığında bu çizim oldukça kolaydır. Şeklin yan yana 10 tane eşkenar üçgen ile bunlara alt ve
üstten eklenmiş 5'er tane eşkenar üçgenden meydana geldiğine dikkat ediniz).
Şekil 9.25: Düzgün Yirmiyüzlü
Düzgün onikiyüzlü, beşgen yüzlerden oluşur. Düzgün oniki yüzlü yapabilmek
için önce bir çemberden yararlanarak düzgün beşgen çizmek (menkezden 72° lik
açılarla görülen kirişler düzgün beşgen oluşturur) sonra beşgenin her kenarının
üzerine aynı beşgeni kurmak gerekir. Böyle elde edilen altışar beşgenden oluşan
iki şablon bir araya getirilirse düzgün oniki yüzlü elde edilir. Deneyiniz.
Çokyüzlülerin alanlarının hesabı düzlemsel şekillerin bir bileşiği olarak ele alınabilir. Alan hesabında yukarıda tanıtılan açık şekillerin kullanılması ve yüzeyin hangi
yüzlerden meydana geldiğinin öğrenciler tarafından bulunması gerekir.
Cisimlerin hacimlerinin hesaplanmasında dikdörtgenler prizmasının hacmi temel
alınır. Aşağıda dikdörtgenler prizmasının hacmi ile ilgili bir etkinlik sunulmuştur.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
182
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
Etkinlik: Dikdörtgenler prizmasının hacmi
Materyal: Saydam kutular, birim küpler
Grup: 2-3 kişi
İşlem:
• Gösterilen iki kutudan hangisinin büyük olduğunun sınıfa sorulması ve öğrenci tahminlerinin tesbit edilmesi.
• Kutuların birim küplerle boşluk kalmayacak şekilde doldurulması, içine sığan birim küplerin sayılması ve büyük olanın seçilmesi.
• Prizmanın hacminin, birim küpleri saymak yerine daha kestirme bir yol olarak taban alanının bulunup yükseklikle çarpılması ile elde edilebileceğinin
farkedilmesi.
• Değişik prizma örneklerinin (kutuların) hacimlerinin hesaplanması.
Küb, dikdörtgenler prizmasının özel bir hali olduğundan hacmi yukarıdaki etkinliğin bir uygulaması olarak verilir.
Silindirin hacmi, prizmanın tabanın bir düzgün çokgen olması, sonra bu düzgün
çokgenin kenar sayısının çok arttırılması halinde tabanın daireye yaklaşacağı düşündürülerek, hacim için daha önce elde edilen "taban alanı ile yüksekliğin çarpılması" düşüncesinin bir uygulaması olarak ele alınır. Taban bir daire olduğu için hacim formülü πr2 x h şekline dönüşür.
Piramidin hacmi; aynı taban ve yükseklikli prizmanın hacminden, koninin hacmi;
aynı taban ve yükseklikli silindirin hacminden yararlanarak buluş yoluyla kazandırılabilir.
Aşağıda piramidin hacmi için bir etkinlik verilmiştir, aynı etkinlik silindir ve koni
için uygulanabilir.
Etkinlik: Piramidin hacmi
Materyal: Aynı taban ve yükseklikli bir prizma ve bir piramit, kuru bakliyat
Grup: 2-3 kişi
İşlemler:
• Prizmanın hacminin piramidin hacminin kaç katı olabileceğinin tahmin edilmesi.
• Piramidin kuru bakliyatla doldurulup prizmaya boşaltılması. tam 3 katı olduğunun görülmesi ve doğru tahmin edenlerin alkışlanması.
• Sonucun piramit için (Taban alanı x yükseklik) / 3 şeklinde ifade edilmesi.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
183
Şekil 9.26: Piramit ve Koninin Hacmi
Hacim hesaplamayla ilgili aşağıdaki gibi rutin olmayan problemlerin çözülmesi, elde edilen sonuçlardan nasıl yararlanılacağının sınıf ortamında tartışılması, öğrenileni uygulamaya geçirmek bakımından çok önemlidir.
Aynı büyüklükte iki dikdörtgen kartondan biri kısa kenar, diğeri uzun kenar boyunca kıvrılırsa (silindir yapılır) hangi silindirin hacmi büyük olur?
Bu çalışma bir etkinlik olarak düzenlenip sonuçlandırılabilir. Dolgu malzemesi olarak kuru bakliyat kullanılabilir. Sonucun ekonomik bir yararının olup olmayacağının tartışılması çalışmanın önemini artrırır.
Özet
İnsanın çevresini saran eşya veya varlıkların çoğunun geometrik olması, bazı mesleklerin
yürütülebilmesi için gerekli materyalin geometrik şekil ve cisimlerden oluşması, geometrik
eşyanın estetik zevk vermesi geometrinin tüm öğretim programlarında geniş olarak yer almasının başlıca nedenidir.
Geometrinin temel kavramlarından nokta, doğru, düzlem ve uzay tanımsız olduğundan
bunların öğretimi sırasında kavramların sezdirilmesi yolu seçilmelidir.
Geometrik kavramların kazandırılmasında çocuğun zihinsel gelişmişlik düzeyinin gelişmiş
olması çok önemlidir. Aksi halde ezberleme eğilimi belirir.
Bir şekil veya cismi tanıtmanın en etkili yolu onu öğrenciye ürettirmek ve kullandırmaktır.
geometrik şekillerin üretilmesi zor olmayıp kullanılan malzeme ucuz ve kolay temin edilebilir
malzemelerdir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
184
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
Geometriyle ilgili olarak kazandırılması gereken diğer başlıca kavramlar "eşlik ve benzerlik,
analitik düzlemin tanıtılması, motif kaplama ve simetri kavramları"dır. Bunların herbirine
uygun sınıf içi etkinlikler düzenlemek ve kavramlara öğrencilerin ulaşmasını sağlatmak
mümkündür.
Düzlemsel şekillerin çevre ve alanlarının, cisimlerin yüzey alan ve hacimlerinin hesaplanması ölçüsel geometri içine girer. öğrenciler çoğu kez çevre, alan ve hacim formüllerini ezberlemekte, bunların kavramsal boyutunu bilmemektedirler. Bunu gidermenin en etkin yolu
öğrencilere öncelikle çevre, alan ve hacim kavramlarının ne olduğunu kavratmaktır.
Alan hesaplamada dikdörtgenin alanı, hacim hesaplamada dikdörtgenler prizmasının hacmi
temel alınır. Diğer bütün şekil ve cisimler bunların bir uygulaması olarak ele alınabilir ve öğretimde bu yaklaşım benimsenebilir.
Değerlendirme Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1.
Geometri öğretiminde kullanılan etkinliklerde aşağıdakilerden hangisi en
önemlidir?
A. Etkinliği yürütmede, kağıt, makas, yapıştırıcı kullanılması
B. Geometrik şekil ya da cismi öğrencinin elde etmesi
C. Etkinliğin ana amacının yanında başka bilgi ve beceriler de kazandırması
D. Etkinliğin öğretmen kontrolünde yapılması
E. Etkinliğin ucuz malzeme kullanılarak yapılması
2.
Üçgen, dörtgen ve çokgenlerle ilgili pipet ve ip kullanılmak suretiyle yapılan
etkinlik, aşağıdakilerden hangisi için uygun değil?
A. Çokgenlerin nasıl adlandırıldığını kavrayabilme
B. Çokgenlerin çevrelerinin nasıl bulunduğunu kavrayabilme
C. Çokgenlerin alanlarının nasıl bulunduğunu kavrayabilme
D. Üçgenlerin hangi koşullarda var olduğunu kavrayabilme
E. Üçgenlerin kenarlarına göre çeşitlerini kavrayabilme
3.
İki kağıdı üst üste koyup çeşitkenar bir dik üçgen şeklinde kestiğimizi göz
önüne alalım. Bu kağıtlar eş kenarları boyunca yan yana getirilerek, "çokgen
üretme ve adlandırma" etkinliği yapılacak olursa bu çalışma aşağıdakilerden
hangisi tanıtmak için yeterli olmaz?
A. Üçgen
B. Dörtgen
C. Beşgen
D. Altıgen
E. Deltoid
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
4.
Tangram aşağıdaki kavramlardan hangisini kazandırmaya uygun bir materyal değildir?
A. Çokgen üretme ve adlandırma
B. Benzerlik
C. Eşlik
D. Simetri
E. Analitik düzlemin tanıtılması
5.
Aşağıdaki cümlelerden hangisi yanlıştır?
A. Çevre hesaplama bir sayma olayıdır
B. Alan hesaplama bir sayma olayıdır
C. Çevreleri aynı olan çeşitli paralelkenarlar vardır
D. Çevreleri aynı olan kareler bir türlüdür
E. Çevreleri aynı olan dikdörtgenler bir türlüdür
6.
Alan hesaplamayla ilgili uygulama yapma sırasında çalışma materyali olarak aşağıdakilerden hangisi en uygundur?
A. Bir pencere camının alanının hesaplanması
B. Bir defter kapağının alanının hesaplanması
C. Bir dosya kağıdının alanının hesaplanması
D. Televizyon ekranının alanının hesaplanması
E. Sınıf kapısının alanının hesaplanması
7.
Öğretim sırasında aynı büyüklükte iki dikdörtgen kartondan birini kısa, diğerini uzun kenarı boyunca kıvırarak yapılan silindirlerin hacimlerinin karşılaştırılması etkinliği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A. Silindirle ilgili temel bilgileri kazandırmaya yarar
B. Silindirin hacim formülünü elde etmeye yarar
C. Silindirin hacmi ile ilgili bir alıştırmadır
D. Silindirin hacmi ile ilgili bir uygulamadır
E. Silindirin yanal düzeyinin alanını bulmaya yarar
8.
π sayısının kullanılmasını gerektiren aşağıdaki sorulardan hangisi sizce daha etkili öğrenmeye yol açar (daha iyi bir uygulamadır)?
A. Bir bisiklet tekerleğinin çapını ölçüp çevresini hesaplama
B. Bir konserve kutusu kapağının çevresini ölçüp çapını hesaplama
C. Pergelle çizilen bir dairenin çevresini hesaplama
D. Beton bir elektrik diğeriğin çevresini ölçüp çapını hesaplama
E. Bir oyun çemberinin sınırladığı alanı hesaplama
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
185
186
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ
9.
Paralelkenarın alanının dikdörtgenin alanından yararlanılarak kavratılabilmesinin gerektirdiği yeterliklerden biri hangisidir?
A. Sayı korunumunun gelişmiş olması
B. Alan korunumunun gelişmiş olması
C. Denklik kavramı
D. Alan ölçmenin birim kareleri saymak olduğunun bilinmesi
E. Paralelkenarın alan formülünün bilinmesi
10. Möbius şeridinin tanıtılması, bu şeridin geometrik tanıtımının yapılması yanında aşağıdaki kavramlardan hangisinin kazanılmasına yardım eder?
A. Köşe kavramı
B. Çevre kavramı
C. Kenar kavramı
D. Yüz kavramı
E. Alan kavramı
Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
Altun, Murat. Matematik Öğretimi. Bursa: 1998.
Busbridge, John ve D. Ali Özçelik. İlköğretim Matematik Öğretimi, Ankara: 1997.
Souviney, Randall J. Learning to Teach Mathematics, New York: 1994.
Değerlendirme Sorularının Yanıtları
1. B
2. C
3. C
4. E
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
5. E
6. A
7. D
8. D
9. B
10. D
Denklem ve Eşitsizlik Öğretimi
ÜNİTE
10
Yazar
Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra öğrenciler;
• Denklem, özdeşlik ve eşitsizlik kavramlarının öğretiminin gerekliliği ile ilgili nedenler ileri sürebilirler,
• Denklem, özdeşlik ve eşitsizlik öğretiminde kullanılan materyali tanır ve üretebilirler,
• Denklem ve eşitsizlikle ilgili bilginin problem çözmede kullanılabilmesi için uygun hayati problem durumlarının nasıl üretilebileceğini anlayabilirler,
• Problemin gerektirdiği denklem, denklem sistemi ve eşitsizlikleri yazma ve çözebilmenin nasıl öğretileceğini kavrayabilirler.
İçindekiler
• Giriş
189
• Denklem Kavramının Öğretimi
189
• Denklemlerin Kullanımlarının Öğretimi
194
• Denklem Sistemi Kavramının Öğretimi
198
• Özdeşlik Kavramının Öğretimi
199
• Eşitsizlik Kavramının Öğretimi
202
• Eşitsizliklerin Kullanımının Öğretimi
203
• Özet
204
• Değerlendirme Soruları
205
• Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
208
Çalışma Önerileri
Bu üniteyi çalışırken;
• İ.M.P.'den denklem ve eşitsizliklerle ilgili konuları ve bunların
sınırlarını inceleyiniz.
• Metin içinde geçen etkinlikleri gerekli materyalleri sağlayarak
yapınız.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
1. Giriş
Günlük hayatta, bilimsel çalışmalarda ve bazı meslek alanlarında karşılaşılabilen
problemlerin bazıları bir denkleme veya bir denklem takımına indirgenebilmektedir. Bazen de bu problemlerin çözümü bir denklem yerine eşitsizlik çözümüne bağlı
kalabilmektedir. Bu bakımdan matematikte denklem ve eşitsizlik kavramlarının
öğretiminin büyük önemi vardır.
Denklem kavramı ilköğretimin altıncı sınıfından itibaren verilmeye başlanır. Bunun nedeni şöyle açıklanabilir. Denklem, bilginin ve bilgilerin arasındaki ilişkilerin
sembollerle gösterilmesini gerektirir. Bu durum ise, Piaget'in insan zihninin gelişmesi ile ilgili olarak verdiği aşamalardan "soyut işlemler dönemi"nde mümkün olabilmektedir. Soyut işlemler döneminin başlangıcı 11-12 civarları olduğundan bu
yaşların tekabül ettiği 6. sınıf programları denklem kavramının verilmesi için uygun bulunmaktadır.
Denklem kavramının nasıl kazandırılacağı ve öğrencilerin denklemle ilgili bilgiyi
kullanıma sokabilmelerinin nasıl sağlanacağı aşağıda açıklanmaktadır.
2. Denklem Kavramının Öğretimi
Denklem bilinmeyen içeren bir eşitliktir. Böyle bir eşitlik bilinmeyenlerinin alabileceği değerler için sağlanabilir veya sağlanamaz. Eğer içerdiği bilinmeyen veya bilinmeyenlerin her değeri için sağlanıyorsa eşitliğe özdeşlik, bir kısmı için sağlanıyor veya hiçbir değer için sağlanmıyorsa denklem denir.
x2-1 = (x-1) (x-1)
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ifadeleri birer özdeşlik
x+1=7
x2 + 6 = 5x
x+y=7
x2 + 5 = 0
x2 + y2 = -15 birer denklemdirler.
Bir denklemde eşitliği sağlayan değere denklemin çözümü denir. Böyle bir değer
bulunamadığı takdirde, denklemin çözümünün olmadığına karar verilir.
Reel sayılar kümesinde, yukarıda verilen denklemlerden birincisinin 1, ikincisinin
2, üçüncüsünün sonsuz çözümü vardır, dördüncüsü ve beşincisinin çözümü yoktur.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
189
190
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
İlköğretimin 4. ve 5. sınıflarında, problem çözme çalışmaları sırasında sık sık eşitlik
yazma ihtiyacı doğar ve bu eşitliklerde öğrencilerin bilinmeyen yerine çoğu kez bir
soru işareti (?) koymaları önerilir. Örneğin;
"Bir karınca dakikada 13m. yol alıyor. 117 m. yolu kaç dakikada alır?" problemi için
yazılan eşitlik 13 x ? = 117 şeklinde olabilir. Bazen öğretmenler bu soru işareti yerine
çocukların alışık olduğu ∆ , ❏ , Ο gibi şekiller de koyarlar. Bunların kullanılması
öğrencileri denklem fikrine hazırlar. Öğretim sırasında üzerinde durulması gereken iki önemli nokta (1) Denklemin kurulması, (2) Denklemin çözülmesidir. Bir
denklemin çözümü, aksiyom olarak bilinen;
"Bir eşitliğin her iki tarafına aynı şeyler eklenir veya çıkarılırsa eşitlik bozulmaz",
"Bir eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı aynı bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitlik bozulmaz".
Şeklindeki iki temel ifadeden yararlanılarak yapılır.
Denklem kavramının ve onun çözümünün kazandırılmasında bu düşüncelerin
önemi büyüktür ve öncelikle bunlar sezdirilmelidir. Aşağıdaki etkinlik bunlarla ilgilidir.
Etkinlik : Eşitlik yazma
Materyal : Değişik boylarda çubuklar (1cm., 2cm. ....... 10cm.)
Grup : 2-3 kişi
İşlemler :
•
2
düzeneğin sayılarla ifade edilmesi.
(2 + 3 = 5)
3
5
•
1+5 = 6 eşitliğine uygun düzeneğin hazırlanması.
p
•
q
düzeneğin harflerle ifade edilmesi.
m
•
s = t + y olacak şekilde y çubuğunun seçilmesi.
s
t
y
Etkinlik : Denklik aksiyomları
Materyal : Terazi, çok sayıda misket, raptiye veya ataç
Grup : 2-3 kişi
İşlemler :
•
Grubun, her iki kefeye bir miktar misket koyması ve teraziyi dengeye getirmesi.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
•
•
•
•
•
191
Her iki kefeye sayarak 5'er misket daha konması halinde sonucun ne olacağının tahmin edilmesi.
Misketlerin konması, sonucun gözlenmesi ve sözle ifade edilmesi.
Her iki taraftan sayarak 7'şer tane misket alınması, sonucun gözlenmesi ve
ifade edilmesi.
Öğretmenin, terazinin bir kefesinden sayarak belli sayıda söz gelimi 7 misket, diğer taraftan saymadan bir avuç misket alması, grup üyelerinin alınan
misketlerin 7'den çok, az veya eşit olduğunu anlamaya çalışmaları.
Terazinin kefelerinden birine belli bir sayıda misket konması, diğer bir kefeye bir avuç misket konması. Terazideki konuma bakarak konan bir avuç misketin diğer kefeye eklenenlerden az mı çok mu olduğunun anlaşılması.
Bu etkinliğin sürdürülmesi sırasında, öğrenciler denk olma, her iki tarafa aynı
miktarı ekleme veya çıkarma eylemleri ve bunların sonuçları üzerinde tartışmalı
ve aksiyomlar öğrencilere sezdirilmelidir. Öğrenciler terazi kullanmadan,
"Her iki tarafa 10'ar misket eklersek ne olur?"
"Her iki taraftan 10'ar misket çıkarsak ne olur?"
sorularına cevap verebilir duruma gelmelidirler.
Denklem kavramını kazandırma ve denklem çözmeyle ilgili yetenekleri geliştirebilmek için düzenlenebilecek bir başka etkinlik, aşağıdaki sorularda piyonların değerlerinin zihinden bulunmasıdır. Bu etkinlik alıştırma karakterindedir ve gittikçe
zorlaşan ve probleme dönüşen maddeler içermekte, denklem çözmede başvurulan
aksiyomların her birinin kullanımını gerektirmektedir. Bu sorularda piyonların bilinmeyenleri, yanlarındaki sayılar onlara eklenenleri, terazinin diğer tarafı eşitliğin
ikinci yanını göstermektedir.
Etkinlik : Bilinmeyen Kavramı
Grup : 2-3 kişi
İşlemler :
•
Aşağıdaki sorularda piyonların değerlerini bulunuz ve bir piyonun değerini
x ile gösteriniz.
1-
2-
3-
4-
▲▲
6
▲ 3
8
10
▲▲ 2
3 ▲ ▲
▲ ▲ ▲
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
x=
5-
x=
6-
x=
7-
x=
8-
▲ 9
▲▲▲▲
▲▲ 2
8
▲▲ 1
▲ 8
▲ 1
▲
3
2
▲ 4
x=
x=
x=
x=
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
192
Bu soruların her birinin çözüldükten sonra açıklanması ve nasıl çözüldüğünün, çözerken hangi düşüncelerden yararlanıldığının sınıfça tartışılması gerekir. Daha
sonra ▲ yerine doğrudan x yazmak ve terazi yerine eşit kullanmak suretiyle, terazideki olay matematik eşitliğe aktarılır. İlk iki sorunun yerine
2x = 6
x+3=8
denklemleri yazılır ve diğer sorularla ilgili denklemlerin yazılması öğrencilere bırakılır. Doğru yapıp yapamadıkları kontrol edilir.
?
Bilinmeyen kavramı ile ilgili ilk çalışmalarda bilinmeyenin değerinin pozitif
tamsayı olması daha uygundur. Neden?
Denklem ve bilinmeyen kavramlarını kazandırmak ve bilinmeyen kullanmaya
olan ihtiyacı ortaya koymak için yine teraziden yararlanılarak yapılabilecek bir başka etkinlik aşağıda verilmiştir. Bu etkinlikte öğrencilerin zihninde "2'ye kaç eklenmelidir ki 7 etsin?" sorusu oluşturulmaya çalışılmaktadır. Bu cümle öğretmen tarafından kullanılmalıdır.
Etkinlik : Denklem ve Bilinmeyen Kavramları
Materyal : Terazi, birim bloklar, ağzı büzgülü torba veya poşetler
Grup : 2-3 kişi
İşlemler :
•
Terazide görülen olayın sembolle yazılması ve sonra uygun problem ifadesini söylemeleri.
Denklemin somut materyalle
gösterimi
Sembolle yaz›m›
Problemin ifadesi
1-
?
?
2-
?
?
3-
?
?
Yukarıdaki ilk deneyde sembolle yazım x+2 = 7 ve problemin ifadesi "2'ye kaç eklenmeli ki 7 etsin" şeklindedir. Benzer çalışmalar terazi ve somut materyal terkedilip
bunların şemaları üzerinde de sürdürülebilir. Burada poşetlerin farklı büyüklükte
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
193
olduğu ve bu farklılıktan ötürü x veya başka bir sembolle göstermenin bir kolaylık
olacağına dikkat çekilir. Aşağıda gösterilen çalışma 2x sembolünü içermektedir.
2x + 3 = 13
Somut materyal kullanarak denklem yazma, 1cm'den 10cm'e kadar olan çubukları
kullanmak suretiyle de mümkündür ve oldukça kolaydır. Çubukların bulunamaması halinde karton kullanılarak aynı çalışma yapılabilir.
Etkinlik : Denklem ve Bilinmeyen Kavramları
Materyal : 1cm'den 10cm'e kadar çubuklar veya karton, makas, kalem.
Grup : 2-3 kişi
İşlemler :
•
•
Kartondan 1cm. eninde ve 1, 2, 3, ... , 10cm. boyunda şeritlerin kesilmesi bir
yüzlerine boylarının yazılması.
İki öğrencinin kartlardan birinin yazısız, diğerlerinin yazılı yüzlerini kullanarak, aşağıda verilen örnektekine benzer eşitlik oluşturmaları. Üçüncü öğrencinin bu eşitliğe uygun denklemi yazması.
10
x + 4 = 10 gibi
x
•
•
•
Uzun olan kartonun kaldırılıp yerine, bilinmeyen ve diğer parçaya denk iki
karton koyması. Sonra her ikisinden aynı miktarları ayırması.
6
4
x
4
= 10
= 6+4
= 6
örneğindeki gibi.
Aynı boy iki veya üç kartonun bilinmeyen olarak (yazısız yüzü kullanılarak)
seçilmesi ve
2x + 2 = 8
•
x=6
x'in diğer yüzünün çevrilmesi ve bulunan değerin yazılı olduğunun görülmesi.
Çözümde izlenen yolun cebirsel yoldan yapılması ve açıklanması.
x+4
x+4
x
•
4
örneğine uygun bir denklem elde edilmesi ve bunun çözülmesi.
Gruptaki öğrencilerin sırayla denklem kurma ve çözme görevini üstlenmeleri.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
194
?
Denklem çözmede başvurulan aksiyomlardan biri de eşitliğin her iki yanını aynı
sayı ile çarpma veya bölme dir. 2x + 2 = 8 denkleminin çözümü bölme gerektirir.
Bu aksiyomu sezdirmek için nasıl bir deneysel çalışma düzenlenebilir?
3. Denklemlerin Kullanımlarının Öğretimi
"Denklem kurma ve çözme" esas itibariyle bir problem çözme stratejisidir. Yani
problem çözme ihtiyacının bir sonucu olarak denklem kavramı ve onun çözülmesi
süreci icadedilmiş ve öğretim programlarına girmiştir. Bu bakımdan denklemlerle
ilgili bilginin uygulama düzeyine yükseltilebilmesi için bilginin problem çözmede
kullanılması gerekir. Burada öğretmene düşen iş, öğrencilere anlamlı gelecek sosyal
değer taşıyan problemler sunmaktır. Problemleri çözerken öğrencilerin birbirleriyle etkileşimine imkan verilmelidir.
Örnek: Yerdeki kanadı kırık kaz, gökte uçan kazları selamlayarak, "Hey! 50 kaz nereye böyle?" demiş. Kazların şefi cevap vermiş. "Biz, 50 kaz değiliz. Biz, bizim iki katımız, iki katımızın da iki katı ve 1 de sen gelebilirsen ancak 50 kaz oluruz" demiş.
Acaba gökte uçan kaç kaz varmış?
Bu problemin çözümünü yaparken gökte uçan kazları x ile göstermek, çözümü kolaylaştırır. Alış-veriş, geometrik şekillerle ilgili problemler de bilinmeyen kullanmanın sağladığı kolaylıkları sezmek bakımından uygun konulardır.
İki simit, bir ekmek, bir pide satın aldım ve kasaya 200.000 lira ödedim. Bana para
üstü olarak 40.000 lira verildi. Fiyatlarını bilmiyorum ama ekmek, simidin; pide ekmeğin 2 katı. Pidenin fiyatı kaç liraydı acaba?
4.5m. uzunluğunda bir çıtadan dikdörtgen şeklinde bir çuha pano yapılmak isteniyor. Bu panonun uzun kenarının, kısa kenarın 2 katı olması isteniyor. Çıta kaç cm.
uzunluğunda parçalara ayrılmalıdır?
Problem konularının hayati olması, öğrencilerin hayalleri, ümitleri ve hobilerini konu alması çözüm sürecinin kavranmasını kolaylaştırır.
Denklem çözümünde ikinci adım iki bilinmeyenli denklemlerin çözümüdür. İki bilinmeyenli denklemlerin kuruluşu bir bilinmeyenli denklemlerde olduğu gibi çubuk ve kartonlardan yararlanarak yapılabilir. Çubuk kullanılması halinde onluk
sistemin tanıtılmasında kullanılan 1'lik modelden (1cm3) çok sayıda olması gerekir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
195
Etkinlik : İki Bilinmeyenli Denklem Kurma
Materyal : Çubuklar (1cm., 2cm., 3cm., ........ uzunluğunda) veya karton, cetvel, makas.
Grup : 2-3 kişi
İşlemler :
•
Kartonlardan farklı boyda iki tanesinin yazılı olmayan, 1cm'liklerin yazılı olan
yüzleri görünecek şekilde aşağıdaki örneğe benzer bir denklik oluşturulması.
x
x+4=y
y
y
•
•
•
•
x
y
y
2+x+1=y+y+y
Böyle bir denklemin kaç çözümünün olduğunun araştırılması.
Seçilen denklemde x = 0 için ve x = 1 için y değerlerinin bulunması.
Öğrencilerin yeni çözümler üretmeleri ve örneğin x+4 = y denklemi için aşağıdaki tablonun doldurulması.
x
y
0
1
2
3
4
5
?
?
İki bilinmeyenli bir denklemin sonsuz çözümünün olduğunun sezilmesi.
Böyle bir denklem kurmayı gerektiren bir problem şöyle seçilebilir.
"Çevresi 40m. olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın kenarları kaçar metredir?"
Birinci kenar : x
İkinci kenar : y
ile gösterilecek olursa
2x + 2y = 40 denklemi elde edilir ve bu denklemin her çözümü arsanın ölçülerini verir. Yani çevresi 40m. olan dikdörtgen şeklinde birçok arsa vardır.
Yukarıdaki şekil de iki bilinmeyenli bir denklem kurmayı gerektirir. Bu denklemi yazınız.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
196
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
İki bilinmeyenli bir denklemin çözümlerini analitik düzlemde göstermek mümkündür ve buna grafikle çözüm denir. Öğrenciler geometri ile ilgili çalışmalarda,
analitik düzlemi ve bu düzlemde her noktanın bir sayı ikilisine eşlendiğini bilirler.
Bu ikilinin birincisi apsis olup x ekseni üzerinde, ikincisi ordinat olup y ekseni üzerinde seçilir.
"Bir çift zar atıldığında toplamı 7 eden sayılar nelerdir?" problemi, x+y = 7 denkleminin çözümünü gerektirir ve grafikle çözümün öğretimi için uygun bir çalışmadır.
y
6
İkinci zar
l
5
l
4
l
3
l
2
l
1
l
x
1
2
3
4
Birinci zar
6
5
fi ekil 10.1: Toplam› 7 Gelen Say›lar
Bu örnekte çözüm kümesi altı elemanlıdır.
Bazen problemin hikayesine uygun olarak çözüm kümesinin eleman sayısı sonsuz
olabilir. Çözümün ne zaman kısıtlandığı ve ne zaman sonsuz olduğu bu tür problemlerin çözümlerinin değerlendirme safhalarında yapılmalıdır.
"20cm. uzunluğunda bir demir telden kaç değişik dikdörtgen çerçeve yapılabilir?"
problemi 2x + 2y = 20 denkleminin çözümünü gerektirir.
x
y
1
2
3
.
.
.
9
8
7
.
.
.
y
10
●
9
●
●
8
●
7
●
6
●
5
●
4
●
3
●
2
1
●
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fi ekil 10.2: Denklemin Grafikle Çözümü
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
197
Tabloda gösterilen (1;9), (2;8), ... değerlerinin yanısıra (1,2 ; 8,8) gibi ondalık değerlerin de çözüm olduğu öğrenciler tarafından kolayca fark edilebilir. Böylece sonsuz
çözümün olduğu anlaşılır.
Bu problemin sonsuz çözümünün olmasına karşın çözüm kümesi sınırlıdır. Grafik yalnız x ve y eksenlerinin birinci bölgesinde kalan doğru parçası üzerindeki
noktalardan oluşur. Niçin?
Bu safhada öğrencilerden yukarıda verilen iki grafiğe benzer problem konuları bulmaları ve sınıfça tartışmaları istenebilir. Son olarak nasıl bir doğal problem seçmeli
ki çözümü sınırlı olmasın? Kuşkusuz ki "toplamları 15 eden iki sayıyı nasıl seçebilirsiniz?" biçimindeki bir sorunun, tüm reel sayılar için çözümü sınırlı değildir, ancak
böyle bir problem, konusu doğal olaylardan seçilen problemler kadar öğretici değildir.
"Bir adanın gece ve gündüz sıcaklıkları ortalaması 2°C dir. Bu adada hangi sıcaklıklar ölçülmüş olabilir?" sorusu çözüm kümesini genişletmeye uygundur.
Gece sıcaklığı
Gündüz sıcaklığı
x
y
-3
0
2
10
15
.
.
.
7
4
2
-6
-11
.
.
.
x+y
=2
2
y
7
6
5
4
●
3
2
-2
-1
1
x
●
-1
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
Şekil 10.3: Denklemin Reel Sayılar Kümesinde Grafikle Çözümü
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
198
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
Denklem kurma ve çözme çalışmaları sırasında her zaman burada örneklenenlere
benzer, konusunu doğal olaylardan alan problemler bulmak güç olabilir. Bu nedenle alıştırma, soyutlama ve pekiştirme çalışmalarında hayali problemlere yer verilebilir. Özellikle; denklem, bilinmeyen, çözüm gibi kavramların kazandırılması sırasında seçilen problemlerin doğal problemler olmasına özen gösterilmelidir.
4. Denklem Sistemi Kavramının Öğretimi
Denklem gibi, denklem sistemi de bir problemi çözmek için geliştirilmiş bir kavramdır ve bir problem çözme stratejisidir. Bilindiği gibi denklem sistemi birden çok
denklemden oluşan kümeye, sistemi çözme diye de bu denklemlerin birlikte çözülmesine veya onların çözüm kümelerinin ortak elemanının bulunmasına denir.
Denklem sistemi fikrini kazandırmada öğretmenin görevi, "bir denklem sistemi
kurmayı ve çözmeyi gerektirecek bir doğal olay bulma ve bunun üzerinde grup tartışması açmak"tır.
Şimdi "20cm. uzunluğunda bir demir telden, kenarlarının uzunlukları arasındaki
fark 4cm. olan bir çerçeve yapılmak isteniyor. Bunu nasıl başarabiliriz?" sorusunu
gözönüne alalım.
Bu problemin çözümü 2x + 2y = 20 denkleminin yanısıra x-y = 4 denklemin çözümünü de gerektirir. Bu iki denklemden oluşan denklem kümesine denklem sistemi denir ve sistemi oluşturan denklemlerin bir olayı açıklığa kavuşturmak üzere bir araya
geldikleri sezdirilir.
Etkinlik : Denklem Sistemi ve Çözümü
Materyal : 20cm. uzunluğunda tel, pipet veya çıta, yapıştırıcı, makas
Grup : 2-3 kişi
İşlemler :
•
•
Grupların 20cm.'lik çıtadan kenarlarının uzunlukları arasındaki fark 4cm.
olacak şekilde dikdörtgen yapmaya çalışmaları. Yanlış kesimlerle elde edilen
dikdörtgenlerin muhafaza edilmesi.
Gruplardan çözüm listelerini yazıp ortak çözüm arayanların uğraşanlarının
üzerinde sınıf tartışması açılması.
Denklem
2x + 2y =
x-y
•
=
Çözüm kümesi
20
{ (1,9) , (2,8) , (3,7) , (4,6) , (5,5) , (6,4) , (7,3) , (8,2) , (9,1) ... }
4
{ (10,6) , (9,5) , (8,4) , (7,3) , (6,2) , (5,1) , (4,0) ... }
(7;3) çözümünün ortak olduğunun görülmesi, uygun dikdörtgen çerçevenin
yapılması ve sergilenmesi. Çözümün doğruluğunun kontrolü.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
•
•
•
199
Gruplardan çözümü analitik düzlemde arayanların uğraşılarının sınıf tartışmasına açılması.
İki doğrunun kesim noktasının (7,3) olduğunun görülmesi ve grafikle çözümün bir yöntem olabileceğinin sezilmesi.
Öğrencilerin benzer başka bir problem kurmaları ve çözmeleri.
y
10
9
8
7
6
5
4
● (7,3)
3
2
1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Şekil 10.4: Denklem Sisteminin Grafikle Çözümü
Denklem sistemlerinin çözümlerinin bunların dışında yöntemleri de vardır. Diğer
yöntemler burada tartışılmayacaktır.
5. Özdeşlik Kavramının Öğretimi
Özdeşlik kavramı cebir öğretimi içinde önemli bir yere sahiptir ve özdeşlikler bilinmeyen içerme, eşitlik içerme bakımından denklemlere benzemektedirler. Öğrenci
zihninde birbirleriyle çok karıştırılırlar. Özdeşlik kavramının soyutlanabilmesi ve
cebirdeki önemi bakımından öğretiminin nasıl yapılacağı aşağıda verilmiştir.
Bir özdeşlik, içerdiği bilinmeyenlerin her değeri için sağlanan bir eşitliktir.
x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2) , x2 - 4 = (x - 2) (x + 2) gibi.
Eşitliğin bir tarafı diğer taraftaki işlemlerin yapılmasi ile elde edilir. Örneklerdeki
işlem çarpma ve toplamadır. Eşitliklerin birinci taraflarından ikinci taraflarını elde
etme ifadeyi çarpanlarına ayırma olarak bilinir ve hemen hemen tüm cebirsel işlemlerde çarpanlara ayırma ile karşılaşılır. Öğrencilerin bir ifadeyi çarpanlarına
ayırma veya çarpanlardan ifadeyi elde etmede yaptıkları hata (x + 2) (x + 3) = ? çarpımını x2 + 5x + 6 yerine x2 + 6 olarak yazmalarıdır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
200
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
Özdeşliklerin öğrenciler tarafından üretilebilmesinde, materyal olarak onların alan
hesaplama ile bilgileri kullanılabilir. Ölçüler ve geometri öğretiminde de değinildiği gibi alan hesaplamada dikdörtgenin alanı, hacim hesaplamada dikdörtgenler
prizmasının hacmi temel alınır.
Örneğin (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 olduğunun öğretimi bir etkinlik olarak şöyle düzenlenebilir.
Etkinlik : Özdeşlik ve Çarpanlara Ayırma
Materyal : Kalem, kağıt, cetvel
Grup : 2-3 kişi
İşlemler :
•
Her grubun, kağıda bir kenarı herhangi bir sayı uzunlukta olan bir kare çizilmesi ve gruplar arasındaki farklılıkları gidermek için karenin bir kenarına x
denmesi.
Karenin alanının hesaplanması (x2) ve içine yazılması.
Karenin bir köşeden çıkan kenarlarının bitim noktasından itibaren birinci
grupta 1 birim, ikinci grupta 2 birim, şeklinde her grup tarafından uzatılması ve
elde edilen kenarların kareye tamamlanması.
•
•
2
1
(x + 1)2 = ?
x2
x
(x + 2)2 = ?
x
1
x
x
Birinci grubun çalışması
•
x2
2
İkinci grubun çalışması
Elde edilen büyük karelerin alanlarının gruplar tarafından hesaplanması.
Grupların eklenen bölgeyi, kare ve dikdörtgenlere ayırıp ayıramadıklarının izlenmesi, gerekli görüldüğü taktirde ipucu verilmesi.
x
x
1
4
2
1
(x + 2)2 = ?
(x + 1)2 = ?
x
1
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
x
x
x
2
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
•
Karelerin alanlarını,
Birinci grubun (x + 1)2 = x2 + x + x + 1 = x2 + 2x + 1
İkinci grubun (x + 2)2 = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 olarak elde etmesi.
Tüm grupların elde ettikleri sonuçları panoda sergilemeleri.
•
Bu çalışmadaki tüm grupların elde ettiği tamkare açılımların tartışmaya açılması ve sonucu (x + p)2 = x 2 + 2px + p2 olacağının kararlaştırılması.
(x+2) (x+3) = ? işleminin sonucunun x2 + 5x + 6 olduğunu etkinlikteki örneklere benzer yolla elde ediniz. Kenarı x olan karenin bir kenarını 2, diğerini 3 birim
uzatmalısınız. Neden?
201
?
Bu etkinliğin kapsamı geniştir ve rastgele iki toplamın çarpımına da uygulanabilir.
Örneğin (x+3) (y+5) çarpımını elde etmek için kenarları x ve y olan dikdörtgen seçilir
ve kenarlarından x olan 3, y olan 5 birim uzatılarak yeni bir dikdörtgen elde edilir ve
bu dikdörtgenin alanı bulunmak suretiyle çarpım elde edilir.
2
x
x-2
3
y-3
y
Yukarıdaki şekil (x-2) (y-3) çarpımının değerini bulmak içindir. İnceleyiniz ve
çarpımın xy - 3x - 2y + 6 olduğunu gösteriniz.
?
x
x+y
y
xy
y
x-y
x
(x+y) (x-y) = ? çarpımını bulmak için xy'den y2'yi çıkarıp x (x-y)'yi eklemek gerekir. Neden? Sonucu elde ediniz.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
202
2
x
x-2
x
?
y
1
Taralı bölge (x + y + 1) (x-2)'nin çarpımına karşılık gelmektedir. Dikdörtgenlerin
alanlarından yararlanarak bu çarpımı elde ediniz.
6. Eşitsizlik Kavramının Öğretimi
Eşitsizliklerin öğrenilmesi büyük ölçüde denklemlerin ve çözümlerinin iyi öğrenilmiş olmasına bağlıdır. Çünkü eşitsizliklerin çözümü önce o eşitsizliğin eşitlik haline
getirilmesiyle elde edilen denklemin çözümünü gerektirir.
Bir insanın asker olabilmesi için 20 yaşına girmiş olması gerekir. Kaç yaşındakiler
asker olamazlar? Asker olamayacak olanların yaşı x ile gösterilecek olursa, x < 20
eşitsizliğine uygun yaştakiler asker olamazlar.
Bu örnekte olduğu gibi insan hayatında, sınır konan her durum bir eşitsizlik problemi olarak ele alınabilir.
Eşitsizliklerin çözüm kümeleri çok ve bazen sonsuz elemanlı oldukları için grafikle
gösterim gerekir. Çünkü çözümleri liste şeklinde yazmak zor veya imkansız olabilir.
Yukarıdaki problemin çözüm kümesinin grafikle gösterimi.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Eşitsizlik çözümleri, denklem çözümlerinde olduğu gibi eşitsizliğin her iki tarafına
aynı miktarların eklenip çıkarılmasını gerektirebilir. Öğrencilerin, bu aksiyomları
kavramaları farklı boylarda çubuklar veya dengede olmayan bir terazi üzerinde yapılacak denemelerle gösterilebilir.
Etkinlik : Eşitsizlik Aksiyomları
Materyal : Çubuklar veya kartonlar, terazi, değişik ağırlıklar
Grup : 2-3 kişi
İşlemler :
•
•
Farklı boyda iki çubuğun seçilmesi ve üzerine x ve y yazılması. Hangisinin
uzun olduğunun tesbit edilmesi ve sonucun x < y şeklinde yazılması.
Her iki çubuğa aynı miktarların eklenmesi ve eşitsizliğin bozulmadığının görülmesi. Sonucun
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
203
x+3<y+3
şeklinde ifade edilmesi.
x
y
•
Terazinin her iki kefesine çok miktarda malzeme konması ve bir taraf daha
ağır olacak şekilde bırakılması.
•
Her iki taraftan sayarak aynı miktar malzemenin (örneğin 6 şar bilye) alınması, eşitsizliğin bozulmadığının görülmesi.
Her iki tarafa aynı miktar malzemenin (örneğin 6 şar bilye) konması ve eşitsizliğin bozulmadığının görülmesi.
Sonucun sınıfça tartışılması ve "bir eşitliğin her iki tarafına aynı miktarların
eklenip çıkarılmasıyla eşitsizliğin bozulmayacağı" sonucuna ulaşılması.
•
•
Bazı eşitsizlikleri çözmek için eşitsizliğin her iki yanını aynı sayı ile çarpmak veya
bölmek gerekebilir. Bir eşitsizliğin her iki yanını aynı pozitif sayı ile çarpma veya
bölme halinde sonucun değişmeyeceğini sezdirmek için, yukarıdaki etkinlikte şu
maddelere yer verilebilir.
•
İki öğrenciden birinin sağ kefedeki bilyeleri sayması ve arkadaşlarına bildirmeden bir o kadar daha bilye koyması. Yani bilyeleri iki katına çıkarması. Diğer
öğrencinin sol kefe için aynı işlemi yapması ve sonucun gözlenmesi.
"Bir eşitsizliğin her iki tarafının aynı pozitif sayı ile bölünmesi halinde de eşitsizlik bozulmaz" sonucuna ulaşmak için nasıl bir etkinlik düzenlenebilir.
7. Eşitsizliklerin Kullanımının Öğretilmesi
Eşitsizliklerin uygulamaları onların problem çözmede kullanılmasıdır. Eşitsizliklerin uygulamalarının öğretimi de aynı denklem çözmenin uygulamalarının öğretimi
gibidir. Öncelikle öğretime uygun bir problem durumla başlamak gerekir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
204
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
Aşağıdaki problem bir bilinmeyenli bir eşitsizlik yazmayı gerektirir ve bu aksiyomların kullanımı ile çözülebilir.
Bir mağaza elindeki bir kısım mala kampanya fiyatı uyguluyor. Satış fiyatlarını, alış
fiyatından az olmamak koşuluyla, alış fiyatının 3 katından 15 milyon lira eksik olarak belirliyor. Bu mağazadaki hangi mallar kampanyaya dahil değildir.
Bu problemde alış fiyatı x ile gösterilecek olursa, satış fiyatı 3x - 15 olur.
x > 3x - 15
x + 15 > 3x - 15 + 15
x + 15 > 3x
-x + x +15 > 3x - x
15 > 2x
7,5 > x
Sonuç olarak, alış fiyatı 7,5 milyon liranın altında olan mallara kampanya fiyatının
uygulanamıyacağı anlaşılır.
İki bilinmeyenli eşitsizliklerin tanıtılması için yine çocuğa anlamlı gelecek, sosyal
değer taşıyan bir problem seçilmelidir.
"İki zar birlikte atıldığında kaç durumda toplanan sayı, en az 10 olur?"
Bu problemin çözülebilmesi için birinci sayıya x, ikinci sayıya y denmesi ve x+y ≥ 10
eşitsizliğinin çözümünü gerektirir. Böyle bir eşitsizliği çözmek için muhtemel tüm
durumların listesi yapılıp bunların içinden eşitsizliğe uygun olanların seçilmesi gerekir. Tüm durumların listesi;
{ (1,1) , (1,2) , ...... (4,6) , (5,5) , (5,6) , (6,6) , (6,5) , (6,4) } tür.
Bunların içinden { (4,6) , (5,5) , (5,6) , (6,6) , (6,5) , (6,4) } çözüm kümesidir.
Bu eşitsizliğin çözümünü grafikle göstermek için elde edilen bu noktaların analitik
düzlemde işaretlenmesi gerekir.
Özet
Denklem ve eşitsizlik kurma ve çözme önemli bir problem çözme stratejisidir. Hayatta bazı
meslek alanlarında ve bilimsel çalışmalarda karşılaşılan problemlerin bir çoğu bir denklem,
denklem sistemi, eşitsizlik veya eşitsizlik sistemine indirgenebilir.
Denklem bilinmeyen içeren bir eşitliktir ve bu eşitlik bilinmeyenlerin aldığı bazı özel değerler
için sağlanır veya hiç sağlanamaz. Böyle bir eşitlik bilinmeyenlerin her değeri için sağlanıyorsa bu eşitliğe özdeşlik denir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
Bir denklemi çözmek , bilinmeyen veya bilinmeyenlerin eşitliği sağlayan değerlerini bulmaktır. Denklem çözmenin dayandığı temel prensipler vardır. Bunlar matematikte aksiyom olarak bilinirler. Aksiyomlar doğruluğu herkesçe kabul edilen önermeler olsa da doğrulukları
çocuklar için apaçık olmayabilir ve bundan ötürü öğretimleri gerekir. Bunlarla ilgili olarak
terazi ve küçük ağırlıklar veya farklı boylarda çubuklar kullanılarak öğretici etkinlikler düzenlenebilir.
Öğretmenin asıl sorumluluğu, denklemlerin problem çözmede nasıl kullanılacağının öğretimidir. Bunun için öğretmen denklem kurmayı öğretmeli ve öğrencilere anlamlı gelecek, sosyal değer taşıyan problemler seçmeli ve öğretimde bunları kullanmalıdır.
Eşitsizlik yazma ve eşitsizlik çözmenin öğretimi de biçim olarak denklem kurma ve çözmenin
öğretimine benzer. Çözüm kümeleri çoğu kez çok elemanlı veya sonsuz olduğu için çözümlerin grafikle gösterilmesi uygundur.
Değerlendirme Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1.
Denklem çözmenin öğretimi ile ilgili olarak yapılacak çalışmalardan kaç tanesi yanlıştır?
• Denklemin bir tarafındaki + işaretli sayının diğer tarafa - olarak geçeceğinin söylenmesi
• Bir eşitliğin her iki tarafına aynı miktarların eklenmesi halinde eşitliğin
bozulmayacağının sezdirilmesi
• Bir eşitliğin her iki yanının aynı sayı ile çarpılması halinde eşitliğin bozulmayacağının sezdirilmesi
• Her denklemin en az bir tamsayı çözümünün olduğunun söylenmesi
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
2.
Denklik aksiyomlarını kazandırmak için aşağıdaki materyalden kaç tanesi
gereksizdir?
• Kefeli terazi
• Küçük ağırlıklar (raptiye, misket vs.)
• Keçe uçlu kalem
• Gram takımı
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
205
206
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
3.
•
•
•
•
•
A.
B.
C.
D.
E.
4.
7
▲ 2
Yanda şeması verilen terazi deneyinde aşağıdaki amaçlardan kaç tanesi gerçekleştirilmeye
çalışılmaktadır?
Piyonun denklem öğretimindeki yeri ve önemini kavratmak
Bilinmeyen kavramını ve denklem çözme fikrini kavratmak
Bilinmeyenin x ile gösterildiğini kavratmak
Denklem çözmede kullanılan aksiyomları kavratmak
Denklemin yalnız bir tarafında bilinmeyen olabileceğini sezdirmek
1
2
3
4
5
x=
"Bir eşitliğin her iki yanını aynı sayı ile bölmek eşitliği bozmaz" aksiyomunun altıncı sınıfta sezdirilmesi için aşağıdaki deney desenlerinden hangisi en
uygundur?
7 ▲
A.
▲▲ 4
B.
▲▲ ▲
C.
▲▲ 2
D.
▲▲ ▲
▲ 6
E.
▲▲
▲ 5
5
8 ▲
x
5.
y
.
5 ▲▲
.
.
.
.
.
Çubuklarla oluşturulan yandaki deney hangi kavramın pekiştirilmesi amacıyla kullanılabilir?
A. İki bilinmeyenli denklemin çözümü
B. İki bilinmeyenli denklem sistemini çözme
C. Bir eşitliğin her iki yanından aynı miktar çıkarsa sonuç değişmez aksiyomunun kavratılması
D. Bir eşitliğin her iki yanına aynı miktar eklenirse sonuç değişmez aksiyomunun kavratılması
E. İki bilinmeyenli denklem kurma
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
207
6.
Bir denklem sisteminin grafikle çözümü aşağıda verilen amaçlardan hangisine dönüktür?
A. Denklem sisteminin bir başka çözüm yöntemi olduğunu sezdirmektir.
B. Analitik düzlemi tanıtmak
C. Çözüm kümesini göstermek
D. İki bilinmeyenli bir denklemin sonsuz çözümü olabileceğini göstermek
E. Yukarıdakilerin hepsi
7.
Bir denklemin çözüm kümesinin negatif sayıları da içerebileceğini örneklemek için seçilecek problemin konusu aşağıdakilerden hangisidir?
A. Yol
B. Zaman
C. Alış-veriş
D. Sıcaklık
E. Paylaşma
8.
İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemin çözümünü, çözüm listelerini yazıp bunların ortak elemanını bulmak suretiyle elde etmenin amacı hangisidir?
A. Sistemin çözümü fikrine anlam kazandırmak
B. Pratik bir çözüm yöntemi tanıtmak
C. Denklemlerin her birinin sonsuz çözümü olduğunu sezdirmek
D. Grafikle çözüme açıklama getirmek
E. Yukarıdakilerin hepsi
9.
Yandaki çizim aşağıdaki eşitliklerden hangisinin gösterilmesinde kullanılabilir?
A. (x+3) (x+2) = x2 + 5x + 6
B. (x+3) (y+2) = x2 + 3y + 2x + 6
C. (x-3) (x-2) = x2 - 5x + 6
D. (2-x) (3-x) = 6 - 5x + x2
E. (x-3) (y-2) = x2 + 3y + 2x + 6
10.
x
2
x
Yandaki deney deseninin tartışılması aşağıdakilerden hangisinin kazandırılmasına katkıda
bulunur?
Bir bilinmeyenli denklemin çözümü
Özdeşlik kavramı
Eşitsizlik kavramı
Denklem sistemi
Eşitsizlik sistemi
▲▲ 3
A.
B.
C.
D.
E.
3
▲ ▲▲ 1
1
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
1
208
DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÖĞRETİMİ
Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
Altun, Murat. Matematik Öğretimi, Bursa: 1998.
Baykul, Yaşar. Matematik Öğretimi, Ankara: 1995.
Busbridge, John ve D. Ali Özçelik. İlköğretim Matematik Öğretimi, Ankara: 1997.
MEB, İlköğretim Matematik Dersi Programı, İstanbul: 1991.
Değerlendirme
1. C
2. C
Sorularının Yanıtları
3. C
4. D
5. E
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
6. A
7. D
8. A
9. C
10. C
Download

Öğretimi Matematik - Açıköğretim e-Öğrenme Portalı