KARTOGRAFYA ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Yeryüzü ve Harita (Bölüm 2) konusu ile ilgili çözümlü örnekler aşağıda yer almaktadır.
Soru 1: Aşağıda iki kenarı bir açısı verilen küresel üçgenin diğer elemanlarını ve üçgenin
alanını bulunuz (R=6371km).
Verilenler:
α
c
b
a=350 km
b=250 km
γ = 75°
β
γ
İstenenler:
c, α, β, F
a
Kenarların açı değerleri
a 180
= 3.14762562°
R π
b 180
b° =
= 2.24830401°
R π
a° =
Küresel kenar kosinüs teoreminden
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
c = 3.36072038° = 373.695km
Küresel sinüs teoreminden
sin b
sin a
sin β =
sin γ
sin γ
sin c
sin c
α = 64.78864271 = 64° 47' 19.114' ' β = 40.27102421 = 40° 16' 15.687' '
sin α =
Küresel ekses
ε = α + β + γ − 180° = 0.00104138rd = 0.05966692°
Üçgen alanı
F = εR 2 = 42269.409km 2
İrdeleme
Küre yarıçapına göre üçgen kenarları oldukça küçük olduğundan düzlem üçgenmiş gibi
hesaplanacak alan değerinin küresel üçgen alanından biran küçük olması gerekir.
F=
1
ab sin γ = 42259.255km 2
2
Görüldüğü gibi düzlem üçgen alanı ile küresel üçgen alanından yaklaşık %0.2 daha küçüktür.
03.11.2014
1
Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ
Soru 2: Aşağıda bir kenarı iki açısı verilen küresel üçgenin diğer elemanlarını ve üçgenin
alanını bulunuz (R=6371km).
Verilenler:
α
c
b
a=350 km
β = 50°
γ = 65°
β
İstenenler:
γ
a
b,c, α, F
Kenarın açı değeri
a° =
a 180
= 3.14762562°
R π
Açı kosinüs teoreminden
cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
α = 65.06619747° = 65° 3' 58.311' '
Sinüs teoreminden
sin β
sin γ
sin a
sin c =
sin a
sin α
sin α
b = 2.6586740° = 295.631km c = 3.1459311° = 349.812km
sin b =
Küresel ekses
ε = α + β + γ − 180° = 0.06619747° = 0.0011554rd
Üçgen alanı
F = εR 2 = 46895.801km 2
Soru 3: Güney kenarı 39° kuzey enlemi üzerinde, boyutları ∆ϕ = 1° ∆λ = 1°30' olan bir
paftanın alanı ne kadardır? (R=6371km)
ϕ1 = 39°
ϕ 2 = 40°
F = R 2 (sin ϕ 2 − sin ϕ1 )∆λ = 14310.729km 2
∆λ = 0.02617994 rd
Bu paftanın güney ve kuzey kenar uzunlukları da hesaplanabilir.
S1 = R cos ϕ1∆λ = 129.622km
S 2 = R cos ϕ2 ∆λ = 127.770km
03.11.2014
2
Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ
Soru 4: Küre yüzeyinde A ve B noktalarını birleştiren ortodrom eğri uzunluğunu, A
noktasındaki azimutu, A noktasından ortodrom üzerinde 350km uzaklıkta bulunan C
noktasının coğrafi koordinatlarını bulunuz (R=6371km).
NN
A
B
Enlem
36°15'0''
39°30'0''
Boylam
25°15'0''
43°45'0''
K
B
αA
δAB
A
C
ϕ A = 36.25°λ A = 25.25°ϕB = 39 .5°λB = 43 .7 5°
Kürede ikinci temel ödev çözümü:
ϕ A , λ A , ϕ B , λB ⇒ α AB , δ AB
sin (λB − λ A )
cos δ AB = sin ϕ A sin ϕ B + cos ϕ A cos ϕ B cos(λB − λ A ) tan α A =
cos ϕ A tan ϕ B − sin ϕ A cos(λB − λ A )
δ AB = 14.93142527° = 0.260602533rd
α A = 71.84820883° = 71° 50' 53.552''
δ AB km = Rδ rd = 1660.299km
α AB = α AC , δ AC = 350km = 0.054936431rd = 3.147625621° olduğundan C noktasının
koordinatları birinci temel ödev çözümü ile bulunur.
ϕ A , λ A ,α AC , δ AC ⇒ ϕC , λC
sin ϕC = sin ϕ A cos δ AC + cos ϕ A sin δ AC cos α AC
ϕC = 37.17220657° = 37° 10' 19.944' '
sin α AC
tan (λB − λ A ) =
cos ϕ A
− sin ϕ A cos α AC
tan δ AC
λB = 29.00443268° = 29° 0' 15.958' '
03.11.2014
3
Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ
Soru 5: Küre yüzeyinde A ve B noktalarını birleştiren loksodrom eğrisinin uzunluğunu,
azimutunu, A noktasından loksodrom üzerinde 350km uzaklıkta bulunan C noktasının coğrafi
koordinatlarını bulunuz (R=6371km).
NN
A
B
Enlem
36°15'0''
39°30'0''
Boylam
25°15'0''
43°45'0''
K
B
lAB
α
A
C
ϕ A = 36.25°λ A = 25.25°ϕB = 39 .5°λB = 43 .7 5°
Azimut bağıntısı derece birimine göre düzenlenerek,
tan α =
(λB − λA ) π
(
ln tan 45° +
ϕB
2
)
180°
ϕ
− ln tan 45° + 2A
(
)
l AB =
R
(ϕ B − ϕ A ) π = 1663.039km
cos α
180
α = 77.44932354° = 77° 26' 57.565' '
l AC = 350km olarak verildiğine göre,
ϕC = ϕ A +
l AC cos α 180
= 36.9339886° = 36° 56' 2.359' '
R
π
[
(
)
(
λC = λ A + tan α ln tan 45° + ϕ2 − ln tan 45° + ϕ2
C
A
)]180
π
λC = 29.0766857° = 29° 4' 36.069' '
Not:
•
Sınavlarda dağıtılan formül özetleri radyan biriminde düzenlenmiştir.
•
Soru 4 ve 5 noktaların konumlarını da görerek web tabanlı olarak çözülebilir.
http://atlas.selcuk.edu.tr/maps
Soru 6: Yarıçapı 6371km olan kürenin ekvator çevresi ne kadardır?
2πR = 40030.174km
Soru 7: 36° paralel dairesinin yarıçapı ve çevresi ne kadardır?
r = R cos ϕ = 5154.247km
2πr = 32385.091km
Soru 8: Ekvatordan 30º enlemine kadar meridyen yay uzunluğu ne kadardır?
Rϕ rd = 3335.848km
03.11.2014
4
Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ
Download

Dünyada ve Türkiye`de Tüberküloz Sempozyumu