BAZI ELEKTROMAGNETİZMA DENKLEMLERİNDEKİ
TUTARSIZLIKLAR VE BUNLARIN GİDERİLMESİ
Prof. Haldun GÜRMEN
Yakın Doğu Üniversitesi, Elektrik ve Elektronik Bölümü
ÖZET
vektör alınarak skaler çarpım elde edilmesi yani (1)
ifadesinin
Elektromagnetizmanın anlatım ve denklemlerinin
düzenlenmesini ele alan birçok yayınlar vardır.
Ancak bu yayınlar incelendiği zaman içeriklerinde
birçok belirsizlikler ve tutarsızlıklar olduğu göze
çarpacaktır. Bu yazı, bu tür tutarsızlık ve belirsizleri
açıklamakta, örneklerini vermekte ve bir seri öneriler
getirmektedir.
r v
r
r
D • dA = σ • dA
olarak yazılması gerekir. Bu ise, yüzeysel yük
r
yoğunluğu σ nin bütün literatürde skaler olarak
alınmasına karşın vektörel bir büyüklük olduğunu
r
gerektirir. Aceba σ hakikaten vektörel bir büyüklük
müdür? Fiziksel büyüklüklerin karaktersel analizi
r
metodu σ nın vektörel bir büyüklük olduğunu
göstermektedir. Hakikaten σ nın tanımlama
denklemi
1. GİRİŞ
Genellikle yazarlar bir kitap yazarken o konuda
evvelce yayınlanmış eserler var ise onlardan
yararlanırlar. Bu nedenle bazı tutarsız denklemler her
kitapta tekrarlanır. Tutarsızlıkların farkına varılması
için denklemlere irdeleyici bir göz ile bakmak
icabeder. Örneğin yüklü iletken bir cismin yüzündeki
deplasman alan şiddeti vektörü
aranırken bütün kitaplarda
r
r
D • dA = σ dA
r ∆Q
σ= r
∆A
r
D nin ifadesi
v
r
S
olduğuna göre σ nın vektörel bir
V
yani σ = r
büyüklük olduğu sonucuna varılır.
(1)
2. DENKLEMLERİN ANALİZİ
denklemi kullanılır. Bu ifadede dA yüzey elemanını
gösterir. Bu ifadede tutarsızlık var mıdır? Akla ilk
gelen düşünce, şayet tutarsızlık olsa bütün kitaplar
bu denklemi alır mı şeklinde olmaktadır. Bu pek tabii
görülebilir; netekim bu makalenin yazarı da elli yedi
senedir verdiği Elektromagnetizma dersinin ilk on
sekiz senesi, bu düşünce ile, bu denklemi
kullanmıştır. On sekizinci sene, ders kitabını
yazarken bu denklemde kalemi durmuştur.
Durmuştur çünkü dA yüzey elemanı denklemin sol
tarafında vektör olarak alındığı halde sağ tarafında
skaler olarak alınmıştır. Bu değişik alınışın kuralı
nedir? Bir büyüklük ne zaman vektör ne zaman
skalar olarak alınır? Bu soruyu etrafınızdakilere
sorsanız gayet ilginç, fakat, maalesef dayanaksız,
bazı açıklamalar ile karşılaşırsınız. Oysa ki Oliver
Heuviside yüz küsur sene evvel yazdığı
“Electromagnetic Theory” kitabında “Once a vector,
always a vector” yani “Bir kez vektör, daima vektör”
aksiyomunu koymuş fakat kimse buna uymamış.
Gelelim (1) ifadesindeki tutarsızlığa. Bu tutarsızlığın
ortadan kalkması için yüzey elemanı dA nın sağ
tarafta da vektör alınması ve skaler bir sonuç elde
edilmesi için yüzeysel yük yoğunluğu σ nın da
Gelelim Karaktersel Analiz metoduna. Metod
kitaplardaki tutasızlıkları ortadan kaldıracak kadar
güçlü ve önemli olmasına rağmen son derece basittir.
O kadar basittir ki öğrenciler hemen kavramakta ve
kitaplardaki tutarsızlıkları, kendi başlarına ortadan
kaldırabilmektedirler.
Karaktersel Analiz metodu, karakteri tayin
edilmek istenen büyüklüğün tanımlama ifadesine
dayanır. Zira tanımlama ifadesi σ büyüklüğünü
skaler mi, vektör mü, vektör ise doğrultusu nedir
sorularını cevaplandırır.
Tanımlama ifadeleri aşağıdaki kalıplardan
birine uyar:
- 14 -
S1
=S
S2
(1)
S1 S2=S
(2)
r r
SV = V1
(3)
r
V r
= V1
S
r r
V1 • V2 = S
(5)
r r
r
V1 xV2 = V⊥ 1,2
(6)
S r
r = V1
V
(7)
sınıfına girdiğinden skaler bir büyüklüktür.
V1 //
=S
V2 //
(8)
Düzlemsel açı elemanı ∆α ya gelince, açı
elemanının tanımlama ifadesi ∆S yay elemanının
yarı çapa oranının limiti olarak tanımlandığından
V1⊥
= V⊥
V2 ⊥
r
∆F⊥ yüzeye dik bir vektörel
r
büyüklüktür. ∆A da yüzeye dik bir vektör
r
olduğundan ∆F vektörüne paraleldir. Yani
r
r
∆F//
V1 //
p= r =
=S
∆A // V2 //
ancak burada
(4)
∆α =
(9)
1, 2
r
V1
r =T
V2
şeklindedir.
Yalnız
r
limitte ∆S yay elemanı,
r
vektör olur ve R yarı
(10)
∆Q
∆A
⇒
∆S
R
çapına dik olduğu
Tanımlamaları
(1)-(6)
kalıbına
uyan
büyüklüklerin
karakterleri
seçilirken
hata
yapılmamıştır. Fakat tanımlamaları (7)-(10) kalıbında
olanların
karakterleri
saptanırken
paydadaki
büyüklüğün vektor karakteri göz önüne alınmadığı
için hata yapılmış ve örneğin, σ için
σ=
∆S
R
r
r
r ∆S ⊥ V1⊥ r
∆α = r = r = V⊥1, 2
R⊥
V2 ⊥
r
birbirine dik iki vektörün oranı olan ∆α nın açı
düzlemine dik vektörel bir büyüklük olduğu görülür.
S1
=S
S2
3. SONUÇ
Bir çok kimseler vektör cebri ile vektörel
analize pek ısınmamışlardır. Bence sebebi, mevcut
literatürdeki
belirsizlik
ve
tutarsızlıklardır.
Karaktersel analiz yaklaşımını benimseyenler bu
tutarsızlıkları ortadan kaldırarak vektörel cebir ve
analizin ne kadar basit kavramlar olduğunun
bilincine varabilirler.
hatası yapılmıştır.
Bu hatanın sebebi de matematikçiler
r
d r d r d r
∇=
j+ k
i+
dz
dy
dx
ifadesinde kullanmalarına rağmen
4. KAYNAK
1 1 r
r = uA
A A
1.
2.
ters veya resiprok vektör’ün varlığının farkında
olmamalarıdır.
3.
4.
İki çarpıcı örnek olarak hidrostatik basınç ve
düzlemsel açı elemanının karakterlerini arayabiliriz.
Hidrostatik basınç, sıvı içine daldırılmış bir cismin
birim yüzeyine etkiyen kuvvet olarak tanımlanır:
p=
∆F
∆A
- 15 -
H. Gürmen: A proposal for type identification of
Physical quantities.
O. Heaviside: Elektromagnetic Theory, Dover
publication, 1890.
A. Coffin: Vector Analysis, John Wiley, 1911.
J. W. Gibbs: Modern Electromagnetics, PrenticeHall, 1976.
Download

Bazı Elektromagnetizma Denklemlerindeki Tutarsızlıklar ve