Önsöz
Değerli Öğrenciler,
Bu fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza
yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak şekilde hücrelere ayrılarak işlenmiştir.
Öğrenci ve öğretmenlere kolaylık olması için konu sırası ve kapsamı Milli Eğitim Bakanlığı müfredatı ile tam uyumludur. Fasikül baştan sona kazanım temelli hazırlanmıştır. Her hücre bir kazanımla ilişkilendirilmiştir.
Fasikül aşağıdaki bölümlerden oluşmaktadır,
Bilgi Kavrama Kutusu: Anlamlı en küçük hücredir. Önce kısa, temel bir bilgi verilir daha sonra da bu
bilginin kavranması için örnek çözümler yapılır.
Uygulama Kutusu: Bilgi kavrama kutusundaki bilginin uygulaması niteliğindedir. Bilgi dikkatle okunup,
çözümlü örnekler incelenirse bu bölümdeki sorular kolaylıkla çözülür.
Kontrol Testi: Birkaç hücrenin birleştirilerek anlamlı bir bütün oluşturduğu bölümdür. Birkaç bilgi kavrama kutusundan sonra verilen ve bu hücrelerdeki bilgilerin birleştirilmesi ile çözülebilecek sorulardan
oluşur.
Karma Test: Fasikülün sonundaki bölümdür. Sorular ilk 2-3 testte konu sırasına göre gelir. Diğer testlerde karma sorular vardır. Sorular giderek zorlaşır. Tüm bilgi- kavrama kutularını birleştiren bölümdür.
Fasikül Programlı Öğretim yöntemine ve Bloom ‘un “Eğitsel Hedeflerin Taksonomisi” ne göre hazırlanmıştır. Bireysel öğrenmeyi kolaylaştıran “Küçük Adımlar İlkesi”, “Bireysel Hız İlkesi”, “Aşamalı İlerleme
İlkesi” gibi ilkeler gözetilmiştir.
Programlı öğretim kendi kendine ve bir sınıf içinde aşamalı öğrenme yöntemidir. Bilginin özel parçalara veya temel öğelere ayrılarak belirli bir sıraya göre düzenlenip bireysel esasa göre öğrenilebileceği
varsayımına dayanmaktadır. Öğretimin bireyselleşmesi ve tam öğrenme ilkeleri temele alınmaktadır.
Programlı öğretim öğrencinin öğrenme sürecine etkin katılımını, bireysel öğrenme hızına göre
ilerleme kaydetmesini ve öğrenme sonucunun anında kontrol edilmesini sağlayan bir öğretim tekniğidir.
Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda
başarılar dilerim.
Üveys AKKAYA
[email protected]
5
Neden Öğreneceğiz?
Permütasyon ve kombinasyon nesnelerin sıralanışları ve seçilmeleri ile ilgili güçlü yöntemler sunan iki kavramdır. Bu sıralama veya seçme alt küme oluşturma, gidilebilecek yol sayısını
hesaplama, sayıların rakamlarını sıralama, nokta, üçgen, çember seçme, pozitif bölen sayılarını
hesaplama gibi matematiğin birçok alanını ilgilendirir. Ayrıca permütasyon ve kombinasyon,
binom ve olasılık konularında da çok sık kullanılmaktadır. Yani günlük hayatta veya matematik
kavramlarında sıralama ve seçme nerede varsa orada kullanılan güçlü yöntemleri permütasyon
ve kombinasyon konusunda işlenecektir.
Günlük hayatta karşılaşılan olaylar çoğunlukla kesin değildir. Hava durumu tahmini, sigortacılık, trafik gibi. Sadece insan hayatında değil devletler için de birçok şeyin tahmini, analizi söz
konusudur. Makro ekonomik dengele, faiz oranları, döviz kur bilgileri gibi. Ayrıca özel sektörün
de yaptığı bazı araştırmalar vardır. Parti oy oranları, reklamların etkisi, markalaşma gibi. Tüm
bunlar çoğunlukla kesin sonuçlar vermezler. Kişiler de devletler de özel sektör de ilerisi için tahminde bulunur ve bununla ilgili strateji geliştirir. Bundan dolayı olasılık, ilerisi için güçlü tahmin
araçları sunar.
Ne Öğreneceğiz? (Kazanımlar)
1. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma kullanarak hesaplar.
2. Sınırsız sayıda tekrarlanan nesnelerin dizilişleri (permütasyonlarını) örneklerle açıklar.
3. n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç değişik şekilde seçilip sıralanabileceğini
hesaplar.
4. n elemanlı bir kümenin n tane elemanının kaç değişik şekilde seçilebileceğini hesaplar.
(kombinasyon)
5. Pascal özdeşliğini gösterir ve Pascal üçgenini üçgenin oluşturur.
6. Binom teoremini açıklar ve açılımdaki katsayıları Pascal üçgeni ile ilişkilendirir.
7. Koşullu olasılığı örneklerle açıklar.
8. Bağımlı ve bağımsız olayları örneklerle açıklar, gerçekleşme olasılıklarını hesaplar.
9. Bileşik olayların olasılıklarını hesaplar.
6
İçindekiler
Önsöz........................................................................................................................................................... 5
Ne Öğreneceğiz? (Kazanımlar)..................................................................................................................... 6
İçindekiler..................................................................................................................................................... 7
Bilgi Kutusu 1 (Kazanım No 1) ..................................................................................................................... 8
Uygulama Kutusu 1...................................................................................................................................... 9
Bilgi Kutusu 2 (Kazanım No 2).................................................................................................................... 10
Uygulama Kutusu 2.................................................................................................................................... 11
Bilgi Kutusu 3 (Kazanım No 2).................................................................................................................... 12
Uygulama Kutusu 3.................................................................................................................................... 13
Bilgi Kutusu 4 (Kazanım No 3).................................................................................................................... 14
Uygulama Kutusu 4.................................................................................................................................... 15
Bilgi Kutusu 5 (Kazanım No 3).................................................................................................................... 16
Uygulama Kutusu 5.................................................................................................................................... 17
Kontrol Testi 1......................................................................................................................................18-19
Kontrol Testi 2......................................................................................................................................20-21
Kontrol Testi 3......................................................................................................................................22-23
Bilgi Kutusu 6 (Kazanım No 4).................................................................................................................... 24
Uygulama Kutusu 6.................................................................................................................................... 25
Bilgi Kutusu 7 (Kazanım No 4)................................................................................................................... 26
Uygulama Kutusu 7.................................................................................................................................... 27
Bilgi Kutusu 8 (Kazanım No 4).................................................................................................................... 28
Uygulama Kutusu 8.................................................................................................................................... 29
Bilgi Kutusu 9 (Kazanım No 4).................................................................................................................... 30
Uygulama Kutusu 9.................................................................................................................................... 31
Bilgi Kutusu 10 (Kazanım No 4).................................................................................................................. 32
Uygulama Kutusu 10.................................................................................................................................. 33
Kontrol Testi 4......................................................................................................................................34-35
Kontrol Testi 5......................................................................................................................................36-37
Bilgi Kutusu 11 (Kazanım No 5)................................................................................................................. 38
Uygulama Kutusu 11.................................................................................................................................. 39
Bilgi Kutusu 12 (Kazanım No 6).................................................................................................................. 40
Uygulama Kutusu 12.................................................................................................................................. 41
Kontrol Testi 6......................................................................................................................................42-43
Bilgi Kutusu 13 (Hatırlatma)........................................................................................................................ 44
Bilgi Kutusu 14 (Hatırlatma)........................................................................................................................ 45
Bilgi Kutusu 15 (Kazanım No 7).................................................................................................................. 46
Uygulama Kutusu 15.................................................................................................................................. 47
Bilgi Kutusu 16 (Kazanım No 8).................................................................................................................. 48
Uygulama Kutusu 16.................................................................................................................................. 49
Kontrol Testi 7......................................................................................................................................50-51
Kontrol Testi 8......................................................................................................................................52-53
Kontrol Testi 9......................................................................................................................................54-55
Karma Test 1.........................................................................................................................................56-57
Karma Test 2.........................................................................................................................................58-59
Karma Test 3.........................................................................................................................................60-61
Karma Test 4.........................................................................................................................................62-63
2014-2015 Ünitelendirilmiş Yıllık Plan Örneği........................................................................................64
7
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 1: Sayma Yöntemleri
• Eşleme Yoluyla Sayma: Bir kümenin eleman sayısını sayma sayılar kümesinin N+ = {1, 2, 3, ...}
elemanları ile birebir eşleyerek bulmaya "eşleme yoluyla sayma" denir.
Birinci nesneyi seçmenin a1 yolu
İkinci nesneyi seçmenin a2 yolu
Üçüncü nesneyi seçmenin a3 yolu
........................................
n inci nesneyi seçmenin an yolu olsun.
• Toplama Yoluyla Sayma: Bu n nesneden 1. sini veya 2. sini veya 3. sünü veya n. sini seçmenin
a1 + a2 + a3 + ... an yolu vardır.
• Çarpma Yoluyla Sayma: Bu n tane nesneden 1. sini ve 2. sini ve 3. sünü ..... ve n. sini seçmenin a1 . a2 . a3 . ... an yolu vardır.
Örnek 1:
Örnek 3:
Bir lokantada 6 çeşit tatlı ve 5 çeşit içecek
A = { 0, 1, 2, 3, 4, }
vardır. Bu lokantaya gelen bir müşteri;
kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı
a) Bir tatlı veya bir içeceği,
b) Bir tatlı ve bir içeceği
kaç farklı şekilde seçebilir?
Çözüm:
a) Tatlı veya içeceği: 6 + 5 = 11 farklı şekilde
a) Kaç farklı sayı,
b) Rakamları farklı kaç sayı,
c) Çift sayı
d) Rakamları farklı tek sayı
yazılabilir?
seçebilir.
b) Tatlı ve içeceği: 6 . 5 = 30 farklı şekilde seçebilir.
Çözüm:
Örnek 2:
12 kişilik bir sınıfta bir başkan ve bir başkan
yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm:
Başkan → 12
B. Yardımcısı → 11
8
12 . 11 = 132
a)
Yüzler
4
.
Onlar
5
.
Birler = 100
5
b)
Yüzler
4
.
Onlar
4
.
Birler = 48
3
c)
Yüzler
4
.
Onlar
5
.
Birler = 60
3
d)
Yüzler
3
.
Onlar
3
.
Birler = 18
2
UYGULAMA KUTUSU 1
1.Birbirinden farklı 6 gömleği ve 7 pantolonu
olan birisi bir gömlek ve bir pantolonu kaç
farklı şekilde seçebilir?
A) 13
B) 21
C) 35
D) 42
4.
E) 49
A = {3, 4, 5, 6, 7}
kümesinin elemanları kullanılarak dört basmaklı rakamları farklı kaç tane çift sayı yazılabilir?
A) 48
A
5.
B
C
Yukarıda A, B, C, D kentleri arasındaki yollar
gösterilmiştir. A'dan hareket eden birisi D'ye
kaç farklı yoldan gidebilir?
A) 6
B) 18
C) 24
D
D) 30
E) 42
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2.
A) 72
B) 60
C) 48
D) 32
E) 15
D) 24
E) 18
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A) 196
C) 36
kümesinin elemanları kullanılarak dört basmaklı rakamları farklı kaç tane çift sayı yazılabilir?
6.
3. Yanyana duran 5 sandalyeye 3 kişi kaç farklı
şekilde oturabilir?
B) 42
B) 240 C) 280
D) 360 E) 420
A = {A, K, D, E, N, İ, Z}
kümesinindeki harfler birer kez kullanılarak
anlamlı yada anlamsız, N ile başlayan, D ile
biten kaç kelime yazılabilir?
A) 64
B) 90
C) 120
D) 480 E) 720
1. D 2. C 3. B 4. A 5. E 6. C
9
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 2: Permütasyon
• r # n olmak üzere n elemanlı A kümesinin birbirinden farklı r elemanın her bir sıralanışına
"A kümesinin r'li permütasyonu" denir.
dir.
P ^n , rh = n!
^n - rh !
• n! = n . (n – 1). .... 2 . 1
• 0! = 1 ,
P ^n , nh = n! , P ^n , 1h = n dir.
1! = 1 dir.
Örnek 1:
Örnek 3:
0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 20! sayısının birler ve
P(n , 1) + P(n , 2) = 3 . P(4 , 2)
onlar basamağındaki rakamları bulalım.
olduğuna göre n kaçtır?
Çözüm:
Çözüm:
0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 20! = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 + 20
= 34 + 20!
20! in son iki basamağı sıfırdır.
34 + 20! in sondan iki basamağı 34'tür.
P (n , 1) =
n! = n
(n 1) !
P (n , 2) =
n! = n . ^ n 1 h
(n 2) !
P (4 , 2) = 4! = 12
2!
→ n + n (n – 1) = 3 . 12
→ n + n2 – n = 36
→ n2 = 36 ⇒ n = 6 dır.
Örnek 2:
12! 11!
işleminin sonucu kaçtır?
9! + 10!
Çözüm:
12! 11! 12 . 11! 11! 11! ^12 1h
=
=
9! + 10!
9! + 10 . 9!
9! ^1 + 10h
= 11. 11! = 11. 10 . 9! = 11. 10
11. 9!
9!
= 110
Örnek 4:
P ^10 , 4h
işleminin sonucu kaçtır?
P ^9 , 3h
Çözüm:
10!
P^10 . 4h
= 6! = 10! . 3!
6! 9!
9!
P^ 9 . 3h
3!
= 10 . 9! . 3! = 10 . 3 . 2 . 1
6 . 5 . 4 . 3 .2
6! . 9!
= 1 dir.
12
10
UYGULAMA KUTUSU 2
1.
toplamının 4'e bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
2. C) 2
D) 3
E) 4
11! + 12!
13! 12!
13
A) 144 1
B) 12 13
C) 12 D) 12
E) 24
C) 7
D) 8
E) 9
C) 6
D) 7
E) 8
D) 15
E) 21
5! + 7!
43 . 4!
A) 5
B) 5
işleminin sonucu kaçtır?
6.
olduğuna göre n kaçtır?
B) 6
olduğuna göre n kaçtır?
5.
P(n , 2) + 3n = 80
A) 5
P(n , n) + P(n , 1) = 125
A) 4
işleminin sonucu kaçtır?
3.
B) 1
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
4.
0! + 1! + 2! + ... + 100!
B) 8
C) 12
P(n + 1 , 3) = 4 . P (n , 3)
olduğuna göre P(n , n) kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 6
D) 9
E) 12
1. C 2. A 3. D 4. B 5. A 6. C
11
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 3: Permütasyon
• A = {a, b, c} kümesini gözönüne alalım.
A'nın tüm permütasyonları PA = {abc, acb, bac, bca, cab, cba} dır.
s(PA ) = 6 dır. Yani P(3, 3) = 6 dır.
PA kümesinde görüldüğü gibi abc ile acb farklı elemanlardır.
A'nın iki elemanlı permütasyonları {ab, ba, ac, ca, bc, cb}
• Yukarıdaki açıklamada olduğu gibi sıralanması isteyen a, b, c gibi elemanlar olabileceği gibi
öğrenciler, kitaplar ... olabilir. Burada unutulmaması gereken şey P(n, r) ifadesi n elemanlı bir
kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde sıralanabileceğini verir.
Örnek 1:
Örnek 2:
A = {a, b, c, d, e} kümesinin
Herbiri birbirinden farklı 4 matematik 3 kimya
ve 2 fizik kitabı bir rafa dizilecektir.
a) Üçlü permütasyonlarının sayısı kaçtır?
a) Kaç farklı şekilde dizilebilir?
b) Üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde b) Matematik kitapları yan yana olmak koşulu
b bulunur.
ile,
c) Kimya kitapları yan yana olmamak koşulu ile
kaç farklı şekilde dizilebilir?
Çözüm:
Çözüm:
a) s(A) = 5
a) Toplam 9 kitap bir rafa 9! farklı şekilde dizi-
P(5 . 3) = 5! = 5.4.3.2.1 = 60 dır.
2
2!
lebilir.
b) A'nın üçlü permütasyonlarının sayısı 60'dır.
matematik kitaplarını bir eleman olarak alırsak 6! . 4! farklı şekilde dizilebilir.
A = {a, c, d, e}
kümesinin üçlü permütasyonlarının sayısı
P ^4 . 3h = 4! = 24
1!
b'nin bulunduğu = Tüm – b'nin bulunmadığı
durumlar
durumlar
durumlar
= 60 – 24 = 36'dır.
12
m1 m2 m3 m4 K1 K2 K3 F1 F2
b)
matematik
tüm kitaplar
c) Tüm diziliş 9! idi.
Kimya kitaplarının yanyana olduğu
7! . 3! dir.
Yanyana olmadıkları 9! – 7! . 3! olur.
UYGULAMA KUTUSU 3
1.
kümesinin iki elemanlı permütasyonlarının
sayısı kaçtır?
A) 24
2. 4.Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile
yanyana duran beş sandalyeye oturacaklardır. Herhangi iki çocuğun yanyana olmadığı
kaç farklı durum vardır?
B) 30
C) 35
D) 42
E) 48
A = {a, 1, b, 2, c, 3}
kümesinin üç elemanlı permütasyonlarının
kaç tanesinde 2 bulunur?
A) 24
B) 30
C) 45
D) 60
E) 72
3. 7 erkek ve 5 bayan bir bankta erkekler bir
arada, bayanlar bir arada olmak üzere kaç
değişik şekilde oturabilirler?
A) 5! . 9!
A) 6
B) 5 . 2! . 7!
D) 7 . 5! . 4!
C) 2! . 5! . 7!
E) 7! . 7!
B) 12
C) 18
D) 42
E) 66
5.Beş kişi bir taksiye binecektir. İkisinin önde,
üçünün arkada olma zorunluluğu varsa kaç
farklı şekilde binebilirler?
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A) 24
6.
B) 48
C) 96
D) 120 E) 240
ÖZGÜN
Kelimesinin harflerinin yerlerini değiştirerek
beş harfli anlamlı ya da anlamsız, sesli harf
ile başlayan kaç farklı kelime yazılabilir?
A) 24
B) 30
C) 48
D) 60
E) 75
1. B 2. D 3. C 4. B 5. D 6. C
13
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 4: Fonksiyon Sayısı
•
A
f
•k
•y
•m
•n
•a
•b
•c
a elemanı B'den 4 tane elemanla,
B
b elemanı B'den 4 tane elemanla,
c elemanı B'den 4 tane elemanla eşleşebilir.
A'dan B'ye 4.4.4 = 43 tane fonksiyon tanımlanır.
• Bir A kümesinden B kümesine s(B)s(A) tane fonksiyon tanımlanabilir.
Örnek 1:
Örnek 2:
s(A) = 4 ve s(B) = 4 olduğuna göre,
A = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5, 7, 9}
A'dan B'ye kaç tane,
olmak üzere A'dan B'ye f(1) = 1 koşulunu sağ-
a) Fonksiyon tanımlanabilir.
layan kaç tane f fonksiyonu tanımlanabilir.
b) Birebir fonksiyon tanımlanabilir.
c) Sabit fonksiyon tanımlanabilir.
d) İçine fonksiyon tanımlanabilir.
Çözüm:
Çözüm:
a) s(A) = 4 ve s(B) = 4 olduğundan A'dan B'ye
44 tane fonksiyon tanımlanabilir.
b) Bir fonksiyonun birebir olması için farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması gerekir. A'nın birinci elemanı B'nin 4. elemanı,
A'nın ikinci elemanı B'nin 3. elemanı ile eşle
•1
•3
•5
•7
•9
1 elemanı 1 elemanı ile eşleştirilmiştir.
4 . 3 . 2 . 1 = 24 olur
2 elemanı 5 tane elemanla eşleşebilir.
leşirse sabit fonksiyon olur. Bu durumda
A'dan B'ye 4 tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
d) Fonksiyonun içine olması için B kümesinde eşleşmeyen en az bir elemanın kalması
gerekir. Bu durumda 4 eleman 4'ten az elemanla eşleşeceği için fonksiyon birebir olmaz.
İçine fonk. = Tüm fonk. – Birebir fonk.
sayısı
sayısı
sayısı
14
•1
•2
•3
B
şebilir.
c) A'nın her elemanı B'nin bir elemanı ile eş-
f
A
= 44 – 24 = 256 – 24 = 232
3 elemanı 5 tane elemanla eşleşebilir.
Bu durumda 5 . 5 =25 olur
UYGULAMA KUTUSU 4
1. s(A) = 3 olmak üzere A'dan B'ye 9 tane fonksiyon tanımlanabilirse s(B) kaçtır?
A) 1
B) 2
2.A = {a, b, c}
C) 3
D) 4
4. A boştan farklı bir küme ve s(B) = 2 dir. Buna
göre A'dan B'ye tanımlanabilen fonksiyon
sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
E) 5
A) 16
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
5.A = {1, 2, 3, 4, 5}
olmak üzere A'dan B'ye kaç tane birebir
fonksiyon tanımlanabilir?
B) 81
C) 94
3.
A = { x I x çift rakam}
B = { x I x rakam}
D) 120 E) 216
A) 210
B) 330
D) 720
A) 25
B) 20
6.A = {1, 2, 3, 4}
olmak üzere A'dan B'ye f(2) = 2 ve f(4) = 4
şartını sağlayan kaç tane f fonksiyonu tanımlanabilir?
C) 512
E) 1000
C) 36
D) 144 E) 264
B = {a, b}
olmak üzere A'dan B'ye kaç tane içine fonksiyon tanımlanabilir?
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 36
B) 25
C) 10
D) 2
E) 1
B = {1, 2, 3, 4, ....., 20} olsun.
A'dan B'ye her n ∈ A için m ∈ B:
f (n)=m ve f(n+1)= m+1
koşulunu sağlayan kaç tane f fonksiyonu tanımlanabilir?
A) 15
B) 17
C) 20
D) 72
E) 110
1. B 2. D 3. E 4. A 5. D 6. B
15
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 5: Bölen Sayısı Bulma
• 200 sayısını gözönüne alalım 200 = 23 . 52 şeklinde yazılmasına 200'ün asal çarpanlarına ayrılması denir. 200'ün asal çarpanları (bölenleri) 2 ve 5'tir.
A = {1, 2, 22, 23} ve B = {1, 5, 52} kümelerini gözönüne alalım. Bir eleman A'dan ve bir
eleman B'den alıp çarpılırsa, bulunan sayı 200'ü tam böler ve bu çarpımla elde edilen sayıların
dışında hiçbir doğal sayı 200'ü tam bölmez. O halde;
A kümesinden 4 eleman
B kümesinden 3 eleman
Genel olarak A = an . bm . ck (a, b, c asal, n, m, k doğal sayı) olmak üzere
A'nın (n+1) . (m+k) . (k+1) tne pozitif böleni vardır.
seçilebileceğinden 200'ün 4.3 = 12 tane pozitif böleni vardır.
Örnek 1:
300 sayısının kaç tane,
a) Pozitif böleni,
b) Negatif böleni,
c) Böleni,
d) Asal böleni,
e) Tek sayı böleni,
f) Çift sayı böleni
vardır?
e) A = {1, 2, 4}
B = {1, 3}
C = {1, 5, 25}
kümelerini gözönüne alalım. B ve C'den birer
tane eleman alınıp çarpılırsa 300'ün tek sayı
böleni olur.
2.3 = 6 (negatif)
+
6 (negatif)
12 tane tek sayı böleni vardır.
f) Toplam 36 tane bölenden 12 tanesi tek ise
36 – 12 = 24 tanesi çifttir.
300'ün 24 tane çift sayı böleni vardır.
Çözüm:
a) 300 = 22 . 3 . 52 olduğundan
(2+1) . (1+1) . (2 +1) = 18 tane pozitif böleni
vardır.
b) 18 tane de negatif böleni vardır.
c) 18+18 = 36 tane böleni vardır.
d) 2, 3, 5 sayıları asal bölenleridir. 300'ün üç
tane asal böleni vardır.
16
UYGULAMA KUTUSU 5
1. 144 sayısının kaç tane pozitif böleni (çarpanı) vardır?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 15
4.
A = 24 . 3m . 57
sayısının 56 tane tek doğal sayı böleni varsa
m kaçtır?
E) 18
A) 4
5.
2. A = 2 . 10n sayısının 72 tane pozitif böleni varsa n kaçtır?
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
C) 6
D) 7
E) 8
K = 25 . 37 . 53
sayısının bölenlerinden kaç tanesi tam karedir?
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 6
B) 5
A) 6
B) 12
C) 16
D) 24
E) 36
6.x sayısının bölen sayısı dörttür.
3.
Buna göre x sayısı,
100 100 100
100
A = & 1 , 2 , 3 , ...., 100 0
I. Tek sayıdır.
kümesinin elemanlarından kaç tanesi tamsayıdır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 18
II. 10'un katıdır.
III.Asal sayıdır.
ifadelerinden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) I
B) II
C) III
D) I, II
E) I, III
1. D 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C
17
KONTROL TESTİ - 1
1.Bir lokantada 3 çeşit çorba ve 5 çeşit yemek
vardır. Bir çorba ve bir yemek almak isteyen
bir müşteri kaç farklı sipariş verebilir?
A) 3
B) 5
C) 12
D) 15
4.Beş şıklı 6 tane test sorusuna cevap anahtarı hazırlanacaktır. Ard arda gelen soruların
aynı cevap olmaması koşulu ile kaç değişik
cevap anahtarı hazırlanabilir?
E) 30
A) 55
2. A
B
A) 18
B) 24
C) 32
D) 120 E) 240
3. 8 kişinin katıldığı bir sınav başarılı olma bakımından kaç değişik şekilde sonuçlanabilir?
A) 256
C
Şekilde A, B, C kentleri arasındaki yollar
çizilmiştir. A'dan harekete başlayan bir hareketli C'ye gidip A'ya geri dönecektir. Giderken gittiği yolu dönerken kullanmamak
koşulu ile kaç farklı şekilde C'ye gidip A'ya
geri döner?
18
C) 5 . 64 D) 4 . 55 E) 5 . 45
5.
B) 128 C) 96
D) 45
E) 48
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
B) 56
16 birim kareden oluşan yukarıdaki şeklin
bazı kareleri boyanarak desenler elde edilecektir. Her satır ve her sütunda yalnız bir
kare boyalı olmak koşulu ile kaç farklı desen
oluşturulabilir?
A) 12
B) 24
C) 30
D) 48
E) 60
6.İçinde 4 rakamı bulunmayan üç basamaklı
kaç tane doğal sayı vardır?
A) 412
B) 448 C) 576
D) 648 E) 712
7.Bir otomobil galerisinde A aracında 8 adet, B
aracından 6 adet ve C aracında 3 adet araç
bulunmaktadır. Bir araç almak isteyen birisi
kaç farklı yolla seçim yapabilir?
8. C) 17
D) 12
kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı doğal sayılar yazılıyor.
Bu yazılan sayılardan kaç tanesi çifttir?
9.
B) 36
C) 42
D) 52
E) 64
A = {A, B, C, D, E}
kümesinin üç elemanlı permütasyonlarının
kaç tanesinde E bulunmaz?
A) 4
B) 6
C) 12
2. E
3. A
D) 24
4. E
D) 4 . 73 E) 74
C) 73
11. Nedim ve Arda'nın aralarında bulunduğu 5
kişi yanyana duran beş tane sandalyeye, Nedim, Arda'nın sağında olmak koşulu ile kaç
farklı şekilde oturabilirler?
A) 30
E) 48
5. B
6. D
B) 60
C) 90
D) 120 E) 240
12.Büşra ve Ebru'nun aralarında bulunduğu
toplam 7 kişi yanyana oturacaklardır. Büşra
ile Ebru'nun arasında 1 kişi olmak koşulu ile
kaç farklı şekilde oturabilirler?
A) 10 . 5!
7. C
B) 7! – 5!
D) 2 . 5! . 7!
1. D
B) 49
E) 8
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
A) 28
B) 72
A) 28
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 144
10. Bir binanın zemin katından 4 kişi asansöre
binmiştir ve asansör 7 kat çıkacaktır. Bu dört
kişi asansörden kaç farklı şekilde inebilir?
8. D
9. D
10. E
11. B
C) 7 . 5!
E) 6! . 2!
12. A
19
KONTROL TESTİ - 2
1.Her gün kravat takan birisi iki gün üst üste
aynı kravatı takmadan giyinmektedir. Buna
göre bu kişi ard arda 3 gün kaç farklı şekilde
kravat takabilir?
B) 80
C) 95
A) 512
3.
B) 210
A
C) 212
D) 216
E) 224
B
•1
•2
•3
•4
•5
•a
•b
•c
Yukarıda A ve B kümeleri verilmiştir. Buna
göre A'dan B'ye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?
A) 60
20
B) 80
C) 90
A) 44
D) 125 E) 144
2. 12 kişinin girdiği bir sınav başarı (başarılı başarısız) yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanır?
D) 125 E) 144
A = {0, 9, 8, 7, 6, 5}
kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı rakamları farklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?
B) 52
C) 66
D) 84
E) 96
5. abc üç basamaklı doğal sayıdır.
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 60
4.
a . b . c = 18 koşulunu sağlayan kaç farklı abc
sayısı vardır?
A) 15
B) 18
C) 24
D) 30
E) 42
6.7 katlı bir bina 5 farklı renge boyanacaktır.
Üst üste bulunan dairelerin farklı renkte olması koşulu ile kaç farklı boyama yapılabilir?
A) 44 . 25
D) 214
B) 25 . 210
C) 26 . 5
E) 5 . 212
7.Büşra ve Ebru'nun da içinde bulunduğu 5
kişi ikisi önde üçü arkada olmak koşulu ile
yanyana sıralanacaklardır. Büşra ile Ebru'nun yanyana olduğu kaç değişik sıralama
vardır?
A) 18
C) 36
D) 42
A = {a, b, c, 1, 2, 3}
A) 180
D) 60
E) 40
9.
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {(a, b, c)| a < b ve a < c, a, b, c ! A}
B) 96
1. B
C) 112
2. C
3. D
D) 135 E) 150
kümesinin elemanları ile yazılabilecek 4 basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Buna göre baştan 129. sayı kaçtır?
A) 2111
B) 2444 C) 2433 D) 3111 E)3123
12.3'ü önde 4'ü arkada olmak koşulu ile 7 kişi
kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir?
7!
B) 4! A) 7!
olduğuna göre B kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
A) 82
C) 120
A = {1, 2, 3, 4}
11. B) 120 C) 90
B) 105
E) 48
kümesinin elemanları yanyana sıralanacaktır. Harflerin alfabetik sırada olduğu kaç
farklı sıralama yapılabilir?
A) 90
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
8. B) 24
10.3 farklı mektup 6 posta kutusuna kaç farklı
şekilde atılabilir?
D) 3 . 4 . 7!
7!
C) 4! 3! E) 3! 4!
D) 140 E) 146
4. B
5. A
6. E
7. C
8. B
9. D
10. C
11. D
12. A
21
KONTROL TESTİ - 3
1.
4.
7 . P(n, 2) = P (n, 3)
olduğuna göre n kaçtır?
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
2. 11 kişilik bir grupta herkes birbirine hediye verirse toplam kaç tane hediye verilmiş
olur?
A) 180
3.
B) 140 C) 110
D) 90
E) 70
kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde 1 bulunur?
B) 9
A) 72
5.
C) 132
D) 144 E) 192
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları kullanılarak rakamları
farklı 350'den büyük kaç tane üç basamaklı
sayı yazılabilir?
A) 24
C) 12
D) 15
E) 18
B) 30
C) 42
D) 43
E) 72
s(A) = 3 ve s(B) = 6
olduğuna göre A'dan B'ye kaç tane birebir
fonksiyon tanımlanabilir?
A) 120
22
B) 96
6. A ve B kümeler olmak üzere
A = {1, 2, 3, 4}
A) 6
kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaç tanesinde f ve a yanyana bulunur?
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 6
A = {a, b, c, d, e, f}
B) 90
C) 70
D) 60
E) 45
7. 3 doktorun her birinin ikişer asistanı vardır.
Doktorlar kendi asistanları arasında olmak
koşuluyla yan yana durup fotoğraf çektireceklerdir. Kaç değişik şekilde fotoğraf çektirebilirler?
B) 48
C) 56
D) 70
B) 4
C) 9
D) 36
B) 48
E) 45
11.
A = {1, 2, 3} 9.A = {1, 2, 3} ve B = {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere
A'dan B'ye tanımlanan fonksiyonlardan kaç
tanesi birebir değildir?
B) 45
1. D
C) 55
2. C
3. E
D) 65
4. A
D) 72
E) 80
E) 75
5. C
6. A
B = {a, b, c}
A kümesinin ve B kümesinin elemanları birer
kez kullanılarak altı haneli şifreler oluşturuluyor. Bu şifrelerden kaç tanesinde rakamlar
küçükten büyüğe doğru ve harfler alfabetik
sıradadır?
A) 12
A) 35
C) 60
E) 96
8. A ve B boştan farklı kümeler ve s(A) > s(B)
dir. Buna göre A'dan B'ye tanımlanabilen
fonksiyon sayısı aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A) 1
A) 36
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 30
10.Bir çember üzerine eşit aralıklarla 12 nokta yerleştirilmiştir. Bu noktaları köşe kabul
eden en çok kaç tane dik üçgen çizilebilir?
B) 20
C) 24
D) 30
E) 42
12.A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {1, 2} olmak üzere
A'dan B'ye kaç tane örten fonksiyon tanımlanabilir?
A) 32
7. B
8. A
B) 30
9. D
10. C
C) 28
11. B
D) 26
E) 24
12. B
23
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 6: Kombinasyonun Tanımı
• n ve r doğal sayılar ve n ≥ r olmak üzere, n tane eleman arasından r'li grupları seçme sayısına
n
"n'nin r'li kombinasyonları" denir ve C (n, r) veya ` r j ile gösterilir.
n
n!
C ^ n, r h = ` r j =
^n–r h !. r!
dır.
Örnek 1:
Örnek 2:
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin ikili permütasyonlarını
ve ikili kombinasyonlarını yazalım.
a7
k a3k
0 + 2 =?
Çözüm:
7!
3!
a7
k a3k
0 + 2 = 7!. 0! + 2! 1!
=1 + 3 = 4
Çözüm:
Permütasyonda sıralama önemli iken kombinasyonda değildir.
Yani ab ve ba permütasyonda farklı elemanlar
iken kombinasyonda aynı elemanlardır. Buna
göre A kümesinin kombinasyonları aşağıdaki
gibidir.
Permütasyonları
24
Kombinasyonları
12, 21
12
13, 31
13
14, 41
14
23, 32
23
24, 42
24
34, 43
12 tane
34
6 tane
Örnek 3:
10 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı kombinasyonlarının sayısı kaçtır?
Çözüm:
10.9.8.7!
a 10
k 10!
3 = 7! 3! = 7!. 3.2 = 120
UYGULAMA KUTUSU 6
1.
aj aa+2k
`a
+ a+1
4
= 3
a
`
j
a –1
4.
A = {a, b, c, d}
kümesinin 3 elemanlı permütasyonlarını ve
kombinasyonlarını yazınız.
olduğuna göre C(a, 2) kaçtır?
A) 9
B) 18
C) 24
D) 36
E) 48
A) 12
B) 18
C) 28
D) 36
E) 42
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2. 8 elemanlı bir kümenin elemanlarından kaç
tane 2 elemanlı gruplar oluşturulabilir?
5. A gerçek sayısı
n
r
A = ` r j+` n j
olarak tanımlanıyor. Buna göre A kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 9
3.
a 10
k a 11 k
4 + 2
işleminin sonucu kaçtır?
A) 144
B) 175 C) 195
D) 215 E) 265
1. 2. C 3. E 4. D 5. B
25
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 7: Kombinasyonun Özellikleri
n
n
n
• ` n j = ` n j = 1
• ` 0 j + ` 1 j + ...... + ` n j = 2 n dır
n
0
` n j = ` n j = n dır.
1
n–1
n
n
n+1
• ` r j + ` r + 1 j + = + a r + 1 k dır
n
n
n
n
• ` r j = ` n–r j dır. • ` a j = ` b j ise a = b veya n = a+b dır.
Örnek 1:
Örnek 3:
a6
k a6k a7k a8k
3 + 4 + 5 + 6
a5
k a6k a7k a8k
1 + 1 + 0 + 0
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Çözüm:
` n j = 1 ve ` n j = n olduğundan
0
1
a5
k a6k a7k a8k
1 + 1 + 0 + 0 = 5+6+1+1
= 13
` nr j + ` n j = a n + 1 k olduğundan
r+1
r+1
a6
k a6k a7k
3 + 4 = 4 dır.
a7
k a7k a8k
4 + 5 + 6
8
8
9
= a 5 k+a 6 k = a 6 k
9!
9876!
= 6! 3! = 6! 2.3 = 84
Örnek 2:
a6
k a6k a6k a6k a6k
2 + 3 + 4 + 5 + 6
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
6
a6
k a6k a6k
a6k
0 + 1 + 2 + ..... + 6 = 2
1
6
?
6
6
( 1 + 6 + a 2 k + ..... + a 6 k = 64
6k
6
a2
(
+ ..... + a 6 k = 57
Örnek 4:
a6
k a 6 k
2 = m+1
olduğuna göre m'nin alabileceği değerleri
bulalım.
Çözüm:
a6
k a 6 k
2 = m + 1 ise
2 = m + 1 veya 2 + m + 1 = 6 dır.
1=m
26
veya m = 3 dır.
UYGULAMA KUTUSU 7
1.
4
4
5
6
7
50
4.a 2 k + a 3 k + a 4 k + a 5 k + a 6 k + ..... + a 49 k
a1
k a2k
a 100 k
0 + 0 + ..... + 0
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0
B) 1
D) 100
işleminin sonucu kaçtır?
C) 50
A) 250
E) 5050
işleminin sonucu kaçtır?
A) 40
40
B) a 2 k C) 84
D) 670 E) 820
E) 2715
2m
olduğuna göre a m k kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 12
D) 30
E) 56
3.
50
C) a 2 k 3m
2m
5.a 1 k = a 2 k
a1
k a2k a3k
a 40 k
1 + 1 + 1 + ..... + 1
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2.
D) 1275
52
B) a 49 k C (7, 2) + C (7, 3) + C (7, 4) + ..... + C (7, 7)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 248
B) 120 C) 90
D) 72
20
20
6.a 2m k = a m + 8 k
olduğuna göre m'nin alabileceği değerler
toplamı kaçtır?
E) 56
A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
E) 20
1. D 2. E 3. B 4. D 5. B 6. C
27
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 8: Alt Küme Sayısını Bulma
n
n!
• n elemanlı bir kümenin r elemanlı (r ≤ n) alt küme sayısı ` r j = C ^n, rh =
dır.
r! ^n–r h !
n
n
n
n
• n elemanlı bir kümenin en az r elemanlı alt küme sayısı; ` r j + ` r + 1 j + ` r + 2 j + .... + ` n j dır.
n
n
n
• n nelemanlı bir kümenin en çok r elemanlı alt küme sayısı ` 0 j + ` 1 j + .... + ` r j dır.
n
n
n
n
• ` 0 j + ` 1 j + ` 2 j + .... + ` n j = 2 n dır.
Örnek 1:
A = {a, b, c, d, e} kümesinin,
a) Alt küme sayısı: 25 = 32 dir.
Örnek 2:
2 elemanlı alt küme sayısı 6 elemanlı alt küme
sayısına eşit olan kümenin 3 elemanlı alt küme
sayısını bulalım.
b) 3 elemanlı alt küme sayısı:
5!
a5
k
3 = 3! 2! = 10 dır.
c) En çok üç elemanlı alt küme sayısı
a5
k a5k a5k a5k
0 + 1 + 2 + 3 = 1 + 5 + 10 + 10 = 26
d) 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a
Çözüm:
` n j = ` n j ise n = 6 + 2 = 8 dir.
2
6
8!
a8
k
3 = 3! 5! = 56
bulunmaz?
a elemanı A'dan çıkarılırsa;
a4
k
3 = 4 olur.
e) 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde e
bulunur?
..................e
a4
k 4.3
2 = 2 = 6 bulunur.
Örnek 3:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin dört elemanlı alt
kümelerinin kaç tanesinin elemanları çarpımı
sıfırdır?
Çözüm:
İçinde sıfırın olması gerekir.
..................0
28
5!
a5
k
3 = 3! 2! = 10 dır.
UYGULAMA KUTUSU 8
1. s(A) = 6 olan bir kümenin en çok iki elemanlı
alt küme sayısı kaçtır?
A) 7
B) 12
C) 17
D) 22
4. s(A) = 8 dir. A'nın en çok üç elemanlı alt küme
sayısı x, en az üç elemanlı alt küme sayısı
y'dir. Buna göre x+y toplamı kaçtır?
E) 28
A) 192
B) 216 C) 264
D) 312 E) 376
2.
A = {a, b, c}
5.
B = {a, b, c, d, e, f, k}
A x A nın 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
3.
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç
tanesinin elemanları çarpımı negatif bir tamsayıdır?
B) 6
C) 8
B) 24
C) 48
D) 72
E) 120
6.
A = {1, 2, 3} olmak üzere
fA ➞
A
kümesi A'dan A'ya tanımlanabilen bütün
fonksiyonların kümesi olsun.
A = {–1, 0, 1, 2, 3, 4}
A) 4
A) 6
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
olmak üzere B'nin beş elemanlı alt kümelerinden kaç tanesi A'yı kapsar?
A = {a, b, c, d} olmak üzere
D) 10
Buna göre f A ➞ A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde birim fonksiyon vardır?
E) 12
A) 8
B) 17
C) 26
D) 34
E) 42
1. D 2. B 3. B 4. D 5. E 6. C
29
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 9: Kombinasyon Problemleri
n
• n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı ` r j dır.
5
5
5
• 5 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt küme sayısı a 3 k + a 4 k + a 5 k dır.
n
• n nesneden oluşturulabilen r'li grupların sayısı ` r j dır.
• 5 tane nesneden oluşturulabilecek en çok 3'lü grupların sayısı
a5
k a5k a5k a5k
0 + 1 + 2 + 3 dır.
Örnek 1:
Örnek 2:
A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin,
a) Üç elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
5 kız, 3 erkek öğrenci arasından 4 kişilik ekip
oluşturulacaktır.
b) a'nın bulunmadığı üç elemanlı alt küme sa-
a) Kaç farklı şekilde oluşturulur?
yısı kaçtır?
b) 2'si kız, 2'si erkek kaç farklı şekilde oluşturulur?
c) b'nin bulunduğu üç elemanlı alt küme sayısı
kaçtır?
c) En az biri erkek kaç farklı şekilde oluşturulur?
d) En çok üç elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Çözüm:
7
7!
765.4!
a) a 3 k = 3! 4! = 3.2.4! = 35
b) a çıkarılırsa 6 eleman kalır.
6
6!
a 3 k = 3! 3! = 20 c)A1 = {a, c, d, e, f, g} kümesinin iki elemanlı alt
kümelerine b eklenmelidir.
6!
a6
k
2 = 4! 2! = 15 7
7
7
7
d) a 0 k + a 1 k + a 2 k + a 3 k = 1 + 7 + 21 + 35 = 64
Çözüm:
a) Toplam 8 kişi vardır.
a8
k
4 = 70 dır.
5
b) 2 kız $ a 2 k = 10
3
2 erkek $ a 2 k = 3
10 . 3 = 30 olur
c) KEEE + KKEE + KKKE
a5
k a3k a5k a3k a5k a3k
1 . 3 + 2 . 2 + 3 . 1
= 5 . 1 + 10 . 3 + 10 . 3 = 65
30
UYGULAMA KUTUSU 9
1.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
4. Bir öğrenci 8 soruluk bir sınava girmiştir ve
5 soruya cevap vermesi istenmektedir. Son
3 sorudan en az 2'sini cevaplamak zorunda
olduğuna göre, bu öğrenci sınavdaki soruları kaç farklı şekilde cevaplayabilir?
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç
tanesinde en az bir tane çift sayı bulunur?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
E) 18
A) 40
B) 48
C) 56
D) 72
E) 84
A = {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları çarpımı negatif olan
dört elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
A) 6
B) 9
C) 10
D) 15
E) 18
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2.
5. Bir otelde 4 yataklı bir oda ve 2 yataklı üç
oda boştur. 10 kişi bu odalara kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?
A) 5445
B) 6734
D) 11642
C) 7560
E) 18900
3. 7 kişi arasından 5 kişi seçilerek bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekipten bir başkan seçilecektir. Başkan kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 54
B) 66
C) 72
D) 90
E) 105
6.
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
kümesinin elemanları ile a < b<c olmak üzere
kaç farklı abc üç basamaklı sayısı yazılabilir?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 24
E) 30
1. B 2. C 3. E 4. A 5. E 6. C
31
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 10: Geometrik Sorular
n
• n tane noktadan en çok ` 2 j tane doğru geçer.
n
• n tane doğru en çok ` 2 j tane noktada kesişir.
n
• n tane nokta, köşeleri bu noktalarda olan, en çok ` 3 j tane üçgen oluşturur.
n
• Herhangi ikisi paralel olmayan ve herhangi üçü bir noktadan geçmeyen n tane doğru ` 3 j tane
üçgen oluşturur.
n
• n tane nokta, köşeleri bu noktalar üzerinde olan, en çok ` 4 j tane dörtgen oluşturur.
n
• n tane çember en çok 2. ` 2 j tane noktada kesişirler.
n
• n tane üçgen en çok 6. ` 2 j tane noktada kesişirler.
Örnek 1:
Örnek 3:
Bir çember üzerinde bulunan 7 farklı nokta kaç
d1
farklı doğru belirtir?
d2
Çözüm:
7!
a7
k
2 = 5! 2! = 21
Örnek 2:
4'ü paralel olan 8 farklı doğru en çok kaç noktada kesişir?
Çözüm:
4
Paralel olmayan 4 doğru a 2 k = 6 noktada kesişir. Ayrıca paralel olmayan doğrulardan her biri
paralel doğrular ile toplam 4 noktada kesişir.
O halde 4 . 4 + 6 = 22 farklı noktada kesişirler.
a) Şekildeki 7 nokta kaç doğru belirtir?
b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan kaç tane
üçgen oluşturulabilir?
Çözüm:
4
a) d1 den a 1 k = 4
3
d2 den a 1 k = 3 tane geçer.
Ayrıca d1 ve d2'de eklenirse
4 . 3 + 1 + 1 = 14 doğru belirtir.
b) d 1 " 1 nokta
d 1 " 2 nokta
F+<
F
<
d 2 " 2 nokta
d 2 " 1 nokta
a4
k a3k a4k a3k
1 . 2 + 2 . 1
= 4 . 3 + 6 . 3 = 30 olur
32
UYGULAMA KUTUSU 10
1.Bir çember üzerindeki 6 nokta kullanılarak
köşeleri bu noktalarda olan kaç farklı çokgen oluşturulabilir?
A) 20
B) 27
C) 35
D) 42
4. Şekilde yatay olan 4
doğru ve düşey olan
3 doğru kendi
aralarında paraleldir. Buna göre
şekilde kaç tane
paralelkenar vardır?
E) 56
A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
A) 48
B) 62
C) 74
D) 82
E) 96
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2.Yandaki dokuz nokta
en çok kaç tane üçgen belirtir?
d1
5.
d2
Şekildeki 8 nokta kaç tane üçgen belirtir?
A) 42
B) 48
C) 52
D) 56
E) 60
D) 40
E) 48
3. 4 farklı çemberin kesim noktalarını köşe kabul eden en çok kaç tane üçgen çizilebilir?
A) 340
B) 220 C) 180
D) 160 E) 140
6. Yandaki şekilde kaç
tane üçgen vardır?
A) 24
B) 30
C) 35
1. D 2. C 3. B 4. C 5. A 6. C
33
KONTROL TESTİ - 4
1.
1k
` n j+` n j+a n +
= 21
5
3
4
4. Bir şarkıcıya 10 tane şarkı ismi söyleniyor ve
bu şarkılardan 3 tanesini seçip sunmasını istiyorlar. Şarkıcı kaç farklı sunum yapabilir?
olduğuna göre C(n, 1) kaçtır?
A) 5
C) 7
D) 8
E) 9
5.
` m j + ` m j + a m n+ 1 k = a 9 k
n–2
n–1
6
olduğuna göre m + n'nin en küçük değeri
kaçtır?
A) 16
B) 14
C) 12
D) 10
E) 8
3. 9 farklı kitap 3 öğrenciye eşit bir şekilde kaç
farklı şekilde dağıtılabilir?
A) 980
34
A) 570
B) 1050
D) 1440
C) 1260
E) 1680
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2.
B) 6
B) 640 C) 720
D) 840 E) 920
A = {10, 11, 12, ..... 18}
kümesinin elemanları ardışık tamsayı olmayan kaç tane iki elemanlı alt kümesi vardır?
A) 16
B) 21
C) 24
D) 28
E) 32
6. 11 elemanlı bir kümenin birbirini kapsamayan en çok kaç tane alt kümesi vardır?
A) 196
B) 212 C) 265
D) 384 E) 462
7. 8 kişi 4 ve 6 kişilik iki odaya kaç farklı şekilde
yerleşebilir?
B) 126 C) 142
D) 154 E) 176
8. 3'ü bir A noktasında 4'ü bir B noktasında
kesişen toplam 7 doğru en çok kaç noktada
kesişirler?
A) 12
9.
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
D
C
A) 15
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 118
10.Aynı düzlemde bulunan 4 farklı üçgen en
çok kaç noktada kesişir?
B) 21
C) 28
D) 36
E) 42
11.Herhangi birinin kenarı ötekinin kenarları ile
çakışık olmayan 6 farklı dikdörtgen en çok
kaç noktada kesişirler
A) 80
B) 92
C) 120
D) 140 E) 156
12.8 kişiden 4'er kişilik iki grup kaç farklı şekilde oluşturulur?
A) 70
B) 45
C) 35
D) 30
E) 25
0
A
B
ABCD dikdörtgen, A, O, C ve B, O, D doğrusaldır. Buna göre şekilde kaç tane üçgen
vardır?
A) 36
B) 42
1. A
C) 48
2. D
3. E
D) 56
4. C
E) 63
5. D
6. E
7. D
8. B
9. E
10. D
11. C
12. C
35
KONTROL TESTİ - 5
4.A = {a, b, c, d} ve B = {a, b, c, d, e, f, g, h}
1. 4 elemanlı alt küme sayısı 5 elemanlı alt
küme sayısına eşit olan kümenin 2 elemanlı
alt küme sayısı kaçtır?
B) 36
C) 42
D) 48
E) 52
2. A = {x: x2 < 41 ve x tamsayı}
olmak üzere A kümesinin 1 elemanlı alt
küme sayısı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 12
D) 13
E) 21
3. 1500 sayısını tam bölen kaç tane tek tamsayı
vardır?
A) 8
36
B) 12
C) 16
D) 20
E) 24
A) 4
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 28
olmak üzere hem A'nın hem de B'nin alt kümesi olan 2 elemanlı kaç tane küme vardır?
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
5. 10 kişiden her biri diğerlerine hediye verirse
toplam kaç tane hediyeleşme olur?
A) 90
B) 75
C) 45
D) 36
E) 27
6. 10 kişiden her biri diğerleri ile birer kez tokalaşırsa toplam kaç tane tokalaşma olur?
A) 90
B) 75
C) 45
D) 36
E) 27
10.2 farklı oyuncak 7 çocuğa kaç farklı şekilde
dağıtılabilir?
7.
A) 9
B) 14
C) 20
D) 30
E) 42
şekilde kaç farklı üçgen vardır?
B) 15
C) 18
D) 21
E) 26
8. Aralarında Nedim ve Halil’in de bulunduğu
9 kişi 4 ve 5 kişilik iki asansöre binecektir.
Nedim ve Halil’in farklı asansörde olmaları
koşuluyla kaç farklı şekilde binerler?
A) 35
B) 45
C) 60
D) 70
E) 90
9.5’in katı olan iki basamaklı doğal sayılar
yanyana getirilerek dört basamaklı sayılar
elde ediliyor. Buna göre bu şekilde en çok
kaç farklı doğal sayı oluşturulur?
A) 153
B) 242 C) 306
D) 342 E) 408
1. B
4. B
2. D
3. E
5. A
6. C
11.
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 12
A = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
kümesinin 4 elemanlı alt kümeleri yazılıyor.
Buna göre bu alt kümelerin kaç tanesinde
9 sayısı ait olduğu kümenin en büyük ikinci
elemanıdır?
A) 8
B) 12
C) 16
D) 18
E) 20
a 15
k a 15 k a 15 k
a 15 k
1 + 3 + 5 + ...... + 15
12.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 215
7. D
8. D
B) 214
9. C
10. E
C) 213
11. B
D) 212
E) 211
12. B
37
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 11: Binom Açılımı
• Paskal (Hayyam) Üçgeni
• n ! N olmak üzere (a + b)n ifadesinin açılımına
(a + b)n nin "Binom açılımı" denir.
n
• (a + b)n = ` n j a n + ` n j a n–1 b + .... + ` n
n j b dir.
0
1
n n n
• _0 i, _1 i, _ 2 i, ... _n
n i kat sayılardır.
• Açılım a'nın azalan kuvvetlerine göre yapılmıştır.
1
a ve b'nin üsleri toplamı n'dir.
1
1
4
1
3
1
2
6
1
3
1
4
1
(a + b)0 katsayıları
(a + b) katsayıları
(a + b)2 katsayıları
1
• Açılımında n + 1 tane terim vardır.
• a = 1 ve b = 1 alınırsa katsayılar toplamı bulunur.
• (Varsa) Sabit terim a = 0 b = 0 yazılarak bulunur.
• b yerine – b yazılırsa (a – b)n nin açılımı bulunur.
Örnek 1:
Örnek 3:
(5x – 2y)n+2 açılımında 7 tane terim varsa n
kaçtır?
Çözüm:
(a + 2b)3 açılımını yapalım.
Çözüm:
n + 2 + 1 = 7 & n = 4 dır.
^ a + 2b h3 = ` 3 j a 3 + ` 3 j a 2 2b + ` 3 j a ^2b h2 + ` 3 j^ 2b h3
0
1
2
3
= a 3 + 6a 2 b + 12ab 2 + 8b 3 dır.
Örnek 2:
Örnek 4:
(x + y) açılımındaki bir terim a . x y (a ! R) oln
4
6
duğuna göre açılımın katsayılar toplamı kaçtır?
Çözüm:
x4 y6 terimindeki üslerin toplamı 4 + 6 = 10
olduğundan n = 10 dır.
(x + y)10 açılımındaki katsayılar toplamı için
x = 1 = y alınır.
(1 + 1)10 = 210 dır.
38
(x – 2y)5 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terimi
bulalım.
Çözüm:
^x
5
5
2yh5 = `0 j x5 + `1 j x 4 ^ 2yh + ...
1.terim
2.terim
dır.
5
`1 j x 4 ^ 2yh = 5 . x 4 . ^ 2yh
= 10x 4 y
UYGULAMA KUTUSU 11
1.(2x + y)6 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir?
B) 192x5y
A) – 194xy5
C) 184x5y
E) 152x y
D) 96x y
5
4.
4
açılımdaki sabit terim kaçtır?
A) – 8
2
5.
(3x + y – 2z)6
açılımda katsayılar toplamı kaçtır?
A) 8
B) 16
3.^ x + yh
n+1
^x
n
3yh 2
A) 4
C) 32
D) 64
E) 128
açılımda 12 tane terim varsa
açılımda kaç tane terim vardır?
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2.
(3x + 5y – 2)3
B) – 4
C) – 2
D) 4
E) 8
(2x + 3y)6n
ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı 2512 olduğuna göre
(x – 2y)n ifadesinin açılımındaki katsayılar
toplamı kaçtır?
A) – 1
B) 1
C) 2
D) 4
E) 8
6.Aşağıdaki kümelerden hangisinin alt küme
sayısı (a + b)6 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamına eşittir?
A) A = " x: x # 3, x ! Z , B) B = # x: x 2 # 36, x ! Z -
C) C = " (x, y): x + y = 3, x ! Z , D) D = " x: x, 45'i tam bˆler, x ! N , E) E = {x: x 6'dan küçük asal rakamdır}
1. B 2. D 3. C 4. A 5. B 6. D
39
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 12: Binom Açılımı
• (a + b)n ifadesinin açılımı a'nın azalan kuvvetlerine göre
yazılırsa baştan r + 1 inci terim ` nr j a n–r b r dir.
n n
n
• n çift ise ortanca terim e n o a 2 b 2 dir.
2
n
• ^ x + y + zh ifadesinin açılımında
^n + 1h^n + 2h
2
Örnek 1:
tane terim vardır.
Örnek 3:
(x – 4y)6 ifadesinin açılımı x'in azalan kuvvetlerine göre yazılırsa baştan 2. terimi bulalım.
a2
x
x 2 k ifadesinin x'in azalan kuvvetlerine
7
göre yapılan açılımında x8 li terimin katsayısını
bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
`1
6 j x 5 ^ 4yh = 6 . x 5 ^ 4yh = –24x 5 y
7 ka 2 k . ^–x 2h7–m = ax 8
am
x
m
x–m . x–14–2m = x8 ⇒ 14 – 3m = 8 ⇒ m = 2 dir.
7 ka 2 k2 . ^–x 2h5 = –84x 8
am
x
Örnek 4:
2 6
4
ca + 2 m açılımındaki sabit terimi bulalım.
a
Örnek 2:
a x + 1x k ifadesinin açılımı x'in azalan kuvvetle8
rine göre yapılırsa sondan 3. terimi bulalım.
Sabit terim baştan r + 1. terim olsun.
r
_6r i^a 4h6 r . c 2 m = k . a0
2
a
Çözüm:
8
1 + x k8 ifadesinin
ax + 1
k
a
sondan
3.
terimi
x
x
baştan 3. terimidir.
6
a1
k
x 2 = 28. 16 .x 2 = 28.x 4
a8
k
2 x
x
40
Çözüm:
6
& _ r i . a 24
4r
. 2r . a
2r
= k . a0
& 24 4r – 2r = 0
& 24 = 6r & r = 4
2 2 4
`6
4j .^a 4h . c 2 m = 15 . 16 = 240 dır.
a
UYGULAMA KUTUSU 12
1.
6
a x2 + 2
xk
4.
ifadesinin açılımındaki x9 lu terimin katsayısı
kaçtır?
A) 6
2. D) 24
E) 30
6
a x + 5x k
3.
B) 1900 C) 2200 D) 2500 E) 2700
1 8
3
cx + 2 m
x
açılımındaki ortanca terim aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 60x4
B) 70x4 C) 80x4 D) 90x4 E)100x4
ifadesinin x'in azalan kuvvetlere göre yapılan
açılımda sondan 3. terimin katsayısı kaçtır?
A) 126
5.
açılımındaki sabit terim kaçtır?
A) 1600
C) 18
1 k7
x
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
B) 12
a 2x 2
(1 + x)7
açılımındaki en büyük katsayı kaçtır?
A) 1
6.
B) 92 C) 84 D) –84 E) – 92
B) 35
C) 42
D) 56
E) 72
^ 3 5 + 5 h9
ifadesinin açılımında kaç tane terim irrasyoneldir?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
1. B 2. D 3. B 4. D 5. B 6. B
41
KONTROL TESTİ - 6
1.
a x2
1 k12
x
ifadesinin açılımında sabit terim A ve orta teB
rimin katsayısı B ise A oranı kaçtır?
2. 22
B) 13 3
C) 2 D) 2
1
E) 2
^3x 1hn
ifadesinin açılımında katsayılar toplamı 128
olduğuna göre x2 li terimin katsayısı kaçtır?
A) 189
3.
B) 165 C) –144 D) –165 E) –189
_5 x3 + 3 x i
8
A) 1
42
B) 2
5.
C) 3
D) 4
E) 5
B) 30
C) 40
D) 55
E) 72
(4m + 4n)5
açılımındaki en büyük katsayı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8 . 28
B) 9 . 29
C) 9 . 210
E) 10 . 211
D) 10 . 210
6.
ifadesinin açılımında kaç tane terim rasyoneldir?
d
A) 25
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
28
A) 15 5
x 2 2x
n
x2
k
açılımındaki bir terim 2 olduğuna göre k
x
kaçtır?
4.
^ x + yhn
açılımındaki baştan 7. terim ile sondan 4. terimin katsayıları eşit olduğuna göre verilen
ifadenin açılımının katsayılar toplamı kaçtır?
A) 28
B) 29
C) 210
D) 211
E) 212
7.
_ x3 + y2i
10.
10
40 . x 4 .y5
açılımı x'in azalan kuvvetlerine göre yapılırsa sondan 3. terimin katsayısı kaç olur?
açılımındaki x5 li terimin kat sayısı kaçtır?
A) 3
B) 9
C) 16
D) 30
(2x + y)8
A) 72
E) 120
11.
cx +
1 6
m
x
açılımındaki sabit terim kaçtır?
A) 9
9.
B) 15
C) 24
D) 36
E) 45
7
ax + 2
xk
x'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki
sondan 2. terimin katsayısı kaçtır?
A) 312
C) 108
D) 126 E) 144
(ax + by + cz)n
açılımındaki xp yq zr ifadesini içeren terimin
B) 364 C) 424
D) 448 E) 516
1. A
4. C
2. E
3. A
5. D
6. B
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
8. B) 84
n!
katsayısı p! . q! .r! ap . bq . cr dir. ^p + q + r = nh
olduğuna göre
^ x y + zh açılımındaki xy3 z 2 teriminin kat
6
sayısı kaçtır?
A) – 80
^3x + y
12.
B) – 60 C) – 30 D) 30
E) 60
2z h
8
ifadesinin açılımında kaç tane terim vardır?
A) 28
7. A
8. B
B) 36
9. D
10. E
C) 45
11. B
D) 55
E) 66
12. C
43
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 13: Olasılık (Hatırlatma)
• Sonuçları gözlemlenebilir veya kavranabilir olaylara "deney" denir.
• Bir deneyle ilişkilendirilebilecek farklı tüm sonuçların oluşturduğu kümeye "örnek uzay" denir.
• Örnek uzayın her alt kümesine "olay" , her elemanına (tek elemanlı kümelerine) "basit olay" veya
"çıktı" denir.
• A bir olay, E örnek uzay, P(A), A olayının olasılığı olmak üzere;
olması ve olmama
olasılığı eşit
s (A)
dir.
s (E)
P^Ah =
0 ≤ P(A) ≤ 1 dir.
0
imkansız
olay
olmaması
0,5
muhtemel
olması
1
kesin
olay
muhtemel
UYGULAMA KUTUSU 13
1. I. İki zar ve bir para aynı anda atılması dene
yinde örnek uzayın eleman sayısı 72'dir.
II. A = {0, 1, 2, 3....., 9} kümesinden iki rakam
seçilmesi deneyinin örnek uzayının eleman
3. İki zar birlikte atılıyor. Birinin 2 diğerinin 5
gelme olasılığı kaçtır?
1
A) 36 1
B) 24 1
C) 18 1
D) 9 1
E) 6
sayısı 36'dır.
III.On farklı rakamın yazıldığı kartlar arasından
aynı anda iki kart alınması deneyinin örnek
uzayının eleman sayısı 45'dir.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) I
B) II
D) I, III
4.Bir madeni para 6 kez atılıyor. 4'ünün yazı
2'sinin tura gelme olasılığı kaçtır?
C) I, II
E) I, II, III
15
A) 32 15
B) 64 7
C) 32 21
27
D) 32 E) 64
2. A olayının olasılığı x olsun.
Buna göre
m = 1+x2 ,
n = 1 – x2 ,
I. m = n dir.
1
r = x+1
II. m > n dir.
III.n = r dir.
IV.r > n dir.
V. m = n = r dir.
ifadelerinden kaç tanesi doğru olabilir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
5.Bir sınıftaki erkek öğrencilerin sayısının kız
2
öğrencilerin sayısına oranı 3 tür. Erkeklerin
%80'i gözlük takmadığına göre bu sınıftan
rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü erkek öğrenci olma olasılığı kaçtır?
2
A) 7 4
B) 15 2
C) 25 7
4
D) 60 E) 9
1. D 2. E 3. C 4. B 5. C
44
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 14: Olasılık (Hatırlatma)
• Olasılıkları eşit olan olaylara "eş olası olay" denir. Bir örnek uzayın tüm basit olaylarının olasılığı
eşitse "eş olumlu örnek uzay" denir.
• Ortak elemanı olmayan kümelerde temsil edilen olaylara "ayrık olaylar" denir. A ve B ayrık olaylarsa P(A veya B) = P(A) + P(B) dir.
• A olayının dışında kalan tüm olaylara A'nın tümleyeni denir ve Al ile gösterilir. A ile Al ayrık olaylardır. P(A) + P( A l ) = 1 dir.
• Bir E örnek uzayının tüm çıktıların kümesi E = {a1, a2, a3...., an} olmak üzere,
P(E) = P(a1) + P(a2) +......+ P(an) = 1 dir.
UYGULAMA KUTUSU 14
1.Bir sınıf temsilcisi seçimine Ebru, Fatma
ve Nedim aday olmuştur. Nedim veya Fat3
ma'nın seçilme olasılığı 7 ; Fatma veya Eb8
ru'nun seçilme olasılığı 11 olduğuna göre
Fatma'nın seçilme olasılığı kaçtır?
7
A) 18 11
B) 18 9
C) 77 12
15
D) 77 E) 77
2. 100'den küçük doğal sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının 5'e bölünmeme olasılığı kaçtır?
81
A) 100 19
4
B) 100 C) 5 3
D) 5 5
E) 21
4.Bir tenis oyuncusunun oynayacağı bir maçı
3
kazanma olasılığı 5 , berabere kalma ola1
sılığı 10 olduğuna göre kaybetme olasılığı
kaçtır?
3
A) 10 2
B) 10 1
C) 5 2
D) 5 3
E) 4
5. E = {a, b, c, d} örnek uzayı verilsin.
Buna göre
I. P(a) = P(b) = P(c) = P(d) dir.
1
1
1
II. P(a) + P(b) = 2 ise P(c) = 4 ve P(d) = 4 dır.
III.P(a) + P(b) + P(c) + P(d) = 1 dir.
IV.P(a') + P(b') +P(c') + P(d') = 3 dir.
3. İki zar aynı anda atılıyor. Üste gelen sayıların
çarpımı 12 olduğuna göre, bu sayılardan ikisininde çift olmama olasılığı kaçtır?
2
A) 3 1
B) 2 1
C) 3 1
D) 4 2
E) 5
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
A) I, III
B) II, III
D) I, III, IV
C) III, IV
E) Hepsi
1. D 2. C 3. B 4. A 5. C
45
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 15: Koşullu Olasılık
• A ve B örnek uzayda iki olay ve P(B) > 0 olsun. B olayının gerçekleşmesi hâlinde A olayının olma
olasılığına "A'nın B koşullu olasılığı" denir.
P ^ A–Bh = P ^ A = Bh =
P ^ A + Bh
dir.
P ^Bh
Örnek 1:
Örnek 3:
İki zar atılıyor. Üste gelen sayıların toplamının
Bir sepette 22 yeşil ve 28 kırmızı elma vardır.
6 olduğu bilindiğine göre sayılardan ikisinin de
Yeşil elmaların 7'si ve kırmızı elmaların 10'u çü-
çift sayı olma olasılığı kaçtır?
rüktür. Buna göre rastgele seçilen bir elmanın;
a) Kırmızı elma olduğu bilindiğine göre çürük
olma olasılığı,
Çözüm:
b) Yeşil elma olduğu bilindiğine göre sağlam
B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
A = {(2, 4), (4, 2)}
P ^A = Bh =
P ^A + Bh 2
= 5
P ^Bh
olma olasılığı,
c) Çürük olduğu bilindiğine göre yeşil olma
olasılığı
kaçtır?
Çözüm:
Örnek 2:
Bir zar atılıyor. Üste gelen sayının asal sayı
olduğu bilindiğine göre tek sayı olma olasılığı
kaçtır?
Çözüm:
B = {2, 3, 5}
A = {3, 5}
2
P ^ A = Bh = 3 olur.
46
a)
s (K) = 28
3 P (Ç = K) = 10 = 5
28 14
s (Ç) = 10
b)
s (Y) = 22
3 P ^S = Yh = 15
22
s (S) = 15
c)
s (çürük) = 17
3 P ^Y = Çh = 7
17
s (çürük - yesil) = 7
UYGULAMA KUTUSU 15
1. İki basamaklı doğal sayılar ayrı ayrı kartlara
yazılarak bir torbanın içine atılıyor ve bir kart
çekiliyor. Kartta yazan sayının 3'ün katı olduğu biliniyorsa 5'in katı olma olasılığı kaçtır?
1
B) 15 1
C) 5 2
D) 3 2. Bir torbada 3 mavi, 2 kırmızı ve 4 beyaz bilye
vardır. Torbadan bir bilye çekilip geri atılıyor.
İkinci kez bilye çekilip geri atılıyor. Birinci
bilyenin mavi olmadığı ve ikinci bilyenin beyaz olmadığı bilindiğine göre iki çekilişte de
bilyelerin aynı renk olma olasılığı kaçtır?
1
A) 2 3
B) 5 4
C) 15 1
A) 2 3
E) 10
2
23
D) 15 E) 60
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
1
A) 30 3. Bir torbada 4 kırmızı, 6 mavi ve 3 yeşil bilye
vardır. Bu torbadan bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin kırmızı olmadığı bilindiğine göre
yeşil olma olasılığı kaçtır?
1
B) 3 2
C) 3 3
D) 4 4
E) 7
4. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini
konuşanlardan oluşan 23 kişilik bir kafilede;
İngilizce konuşabilenlerin sayısı Almanca
konuşabilenlerin iki katı ve her iki dili konuşanların sayısından 6 fazladır. Kafileden seçilen bir kişinin İngilizce konuşabildiği bilindiğine göre Almanca bilme olasılığı kaçtır?
1
A) 7 2
B) 9 4
C) 15 5
7
D) 18 E) 20
1. C 2. D 3. A 4. E
47
BİLGİ KAVRAMA KUTUSU 16: Bağımlı ve Bağımsız Olaylar
• A olayının meydana gelme olasılığı B olayının meydana gelme olasılığını etkilemiyorsa A ile B bağımsız olaylardır. P(A) ≠ 0 ve P(B) ≠ 0 bağımsız olaylar ise A ve B'nin meydana gelme olasılığı
P(A ∩ B) = P(A) . P(B) dir.
•A ve B'nin meydana gelme olasılığı P(A ∩ B)
A veya B'nin meydana gelme olasılığı P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) dir.
A ya da B'nin meydana gelme olasılığı P(A – B) + P(B – A) dır.
• Tekrarlı Denemeler: Bir deney sonlu sayıda tekrar edilsin.
Birinci deneyde A1, ikinci deneyde A2, ....., n inci deneyde An olayının gerçekleşme olasılığı, bu
olayların olasılıklarının çarpımına eşittir.
A nın ölçüsü
• Sonsuz Örnek Uzay: s(E) = ∞ ve s(A) = ∞ ise P (A) = B nin ölçüsü dır.
Örnek 1:
Çözüm:
Bir madeni para ve bir zar atılıyor. Paranın tura
gelmesi ve zarın 4'ten büyük gelmesi olasılığı
kaçtır?
Arda'nın vurması A
Halil'in vurması H olsun.
P(A ∪ H) istenmektedir.
P(A ∪ H) = P(A) + P(H) – P(A ∩ H)
olduğundan P(A ∩ H) yi bulmalıyız.
Çözüm:
Tura gelmesi ile 4'ten büyük gelmesi bağımsız
olaylardır.
1
P(T) = 2 2
1
P(B) = 6 = 3
1 1 1
P(T∩ B) = P(T).P(B) = 2 $ 3 = 6
2 1
2
P(A ∩ H) = P(A) . P(H) = 5 $ 3 = 15
2 1 2
3
P(A ∪ H) = 5 + 3 – 15 = 5
Örnek 3:
ABCD dörtgeninin
kenarlarının orta
noktaları birleştiri- A
lerek KLMN
dörtgeni elde
Örnek 2:
2
Hedefi ilk atışta Arda'nın vurma olasılığı 5 ,
1
Halil'in vurma olasılığı 3 tür. İkisi birer atış
yaptığında en az birinin hedefi vurma olasılığı
kaçtır?
48
D
Tahtadan yapılmış
edilmiştir.
L
C
M
K
N
B
Bir atıcı ABCD dörtgenine isabet ettirmiş ise
KLMN dörtgenine isabet ettirme olasılığı kaçtır?
Çözüm:
A
Alan (ABCD) = A ise Alan (KLMN) = 2 dir.
A
1
P ^KLMNh = 2 = 2 dir.
A
UYGULAMA KUTUSU 16
1. Bir toplulukta 6 kız 5 erkek vardır. Bu topluluktan rastgele seçilen iki kişinin ikisinin de
erkek olma olasılığı kaçtır?
2
A) 5 1
B) 10 2
C) 10 4. Bir zar art arda üç kez atılıyor. Her atışta
farklı bir sayının gelme olasılığı kaçtır?
5
A) 9 3
2
D) 11 E) 11
2
D) 5 1
E) 2
2
5. Bir atıcının hedefi vurma olasılığı 5 tir. Atıcı
üç atış yaptığında sadece ortadakinde vuramama olasılığı kaçtır?
2. Bir soruyu A, B, C öğrencilerinin çözebilme ola2 1 2
sılıkları sıra ile 5 , 3 , 3 dır.
8
B) 9 13
C) 15 43
45
D) 45 E) 49
3
A) 25 ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
Bu soru aynı anda soruluyor. Sorunun çözülebilme olasılığı kaçtır?
9
D) 100 5
B) 49 8
C) 81 12
E) 125
3. Bir torbada 2 mavi, 3 sarı, 4 kırmızı top vardır. Rastgele alınan 3 topun üçünün de farklı
renkte olma olasılığı kaçtır.
1
A) 5 9
C) 16 7
A) 9 7
B) 12 2
B) 7 3
C) 8 4
D) 9 5
E) 11
6. A ve B olayları için,
7
3
1
P ^ A , Bh = 10 , P ^ A h = 5 , P ^Bh = 4
olduğuna göre ^ A + Bhl olayının olma olasılığı
kaçtır?
7
A) 10 17
B) 20 19
C) 30 27
33
D) 40 E) 50
1. D 2. C 3. B 4. A 5. E 6. B
49
KONTROL TESTİ - 7
1. Bir torbada 4 kırmızı ve 6 beyaz bilye vardır.
Bu torbadan rastgele çekilen üç bilyenin birinin beyaz diğer ikisinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
B) 3 10
C) 4 15
2.
A = {a, b, c, d}
B = {a, c, d, e, f, g}
D) 1 4
E) 6
25
olmak üzere A x B kartezyen çarpımından
alınan bir elemanın birinci bileşeni ile ikinci
bileşeninin eşit olma olasılığı kaçtır?
A) 2 3
B) 1 2
C) 1 4
D) 1 8
E) 1
12
A) 5 6
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 2 5
4. Farklı boylardaki 4 araç bir çizgi boyunca
yan yana park ediliyor. Buna göre en kısa
ve en uzun aracın kenarlarda olma olasılığı
kaçtır?
A) 5 9
50
B) 6 11
C) 7 13
D) 8 E) 9
15
17
C) 1 2
D) 1 3
E) 1
6
5. İki zar ve bir madeni para atılıyor. Paranın
tura, zarların aynı sayı gelme olasılığı kaçtır?
A) 1 6
6.
3. 4 kız 5 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıftan 2 kişi seçiliyor. Bu iki kişiden birinin kız
diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır?
B) 2 3
B) 1 7
C) 1 8
D) 1 9
E) 1
12
A = {–4, 0, 1, 2, 3, 4}
kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçiliyor. Seçilen kümedeki elemanların çarpımının negatif olmama olasılığı kaçtır?
A) 1 2
B) 2 3
C) 3 4
D) 4 5
E) 5
6
7. Bir zar art arda 3 kez atılıyor. En az iki atışta
üst yüze 3 gelmesi olasılığı kaçtır?
A) 2 17
B) 3 20
C) 1 25
10.
A = {0, 1, 3, 5, 7, 9}
kümesinin elemanları ile yazılabilecek tüm
üç basamaklı sayılar birer birer kâğıtlara yazılıp bir torbaya atılıyor. Bu torbadan çekilen
bir kâğıdın üzerindeki sayının en az iki rakamının aynı olma olasılığı kaçtır?
D) 2 E) 4
27
29
B) 2 5
8. İçerisinde 6 kırmızı ve 4 yeşil bilyenin bulunduğu bir torbadan geri atılmamak üzere art
arda 3 bilye çekiliyor. Buna göre üçünün de
aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
A) 1 5
B) 7 30
C) 8 45
D) 9 E) 1
50
6
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 1 3
A) 1 8
B) 1 16
D) 1 64
1. B
2. D
3. A
A) 37 60
5. E
B) 61 120
D) 73 150
A) 1 2
6. C
C) 71 120
E) 87
150
12.Üç çocuklu bir ailenin çocuklarından en az
birinin kız olduğu bilindiğine göre üçünün de
kız olma olasılığı kaçtır?
1
128
4. E
E) 1
2
Buna göre çekilen bu bilyenin yeşil olma olasılığı kaçtır?
C) 1 32
E)
D) 4 9
11.Birinci torbada 4 mavi 6 yeşil ve ikinci torbada
5 mavi, 7 yeşil bilye vardır. Bir madeni para atılıyor. Yazı gelirse birinci torbadan, tura gelirse
ikinci torbadan bir top çekiliyor.
9. Bir madeni para art arda 7 kez atılıyor. Her
bir atışın öncekinden farklı gelme olasılığı
kaçtır?
C) 3 7
7. D
8. A
B) 2 3
9. D
10. D
C) 1 3
11. C
D) 2 5
E) 1
8
12. C
51
KONTROL TESTİ - 8
1.
4. 20 kişilik bir gruptan rastgele 2 kişi seçiliyor.
İkisinin de erkek olma olasılığı 12 ise grup19
ta kaç tane erkek vardır?
Şekildeki sekiz noktadan 3 tanesi rastgele
seçiliyor. Seçilen bu noktaların üçgen oluşturma olasılığı kaçtır?
A) 19 27
B) 22 27
C) 33 56
B) 5 21
D) 21 105
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
B) 14
C) 12
D) 6
E) 4
D) 45 E) 47
56
56
2. Birim karelerden
oluşan yandaki
şekilden rastgele bir dörtgen
seçiliyor. Seçilen
dörtgenin kare
olma olasılığı
kaçtır?
A) 3 7
A) 16
C) 9 42
E) 57
210
5.Birinci torbada 3 kırmızı, 4 beyaz, ikinci torbada
2 kırmızı, 6 beyaz bilye vardır. Birinci torbadan
bir bilye çekilip ikinci torbaya, daha sonra da
ikinci torbadan bir bilye çekilip birinci torbaya
atılıyor.
Son durumda torbadaki renk dağılımının
başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır?
A) 37 63
B) 25 49
C) 23 42
D) 13 E) 4
7
21
3.
A
C
B
D
Yukarıdaki şekil aynı yol üzerinde bulunan A, B,
C, D şehirlerinin aralarındaki yollar gösterilmiştir. A'dan harekete başlayan bir araç B ve C'den
geçip D'ye varıp geri dönüyor.
Bu aracın giderken kullandığı yolları dönerken kullanmama olasılığı kaçtır?
A) 4 7
52
B) 3 4
C) 2 3
D) 1 2
E) 1
4
6. 4 kırmızı, 4 beyaz ve 4 sarı gülün bulunduğu
bir çiçekçiden 2 tane gül alınacaktır. İkisinin
de aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
A) 3 5
B) 5 11
C) 9 22
D) 8 E) 21
11
44
7.
10.Köşeleri O merkezli çember üzerinde olan
ABCD karesi çiziliyor. O merkezli çemberin
iç bölgelerinde alınan bir noktanın ABCD karesinin iç bölgelerinde olma olasılığı kaçtır?
A = {a, b, c} , B = {1, 2, 3, 4}
kümeleri veriliyor. A'dan B'ye tanımlanan bir
fonksiyonun sabit fonksiyon olma olasılığı
kaçtır?
B) 1 8
C) 1 16
8. Bir düzgün 10'genin köşelerindeki on noktadan 3'ü rastgele seçilerek üçgen oluşturuluyor. Bu üçgenlerden seçilen bir tanesinin dik
üçgen olma olasılığı kaçtır?
A) 1 2
B) 1 3
C) 1 4
D) 2 5
E) 3
5
9. İki zar aynı anda atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 9 olma olasılığı
kaçtır?
A) 1 4
B) 1 6
1. D
C) 1 9
2. B
3. E
1
A) r
D) 4 E) 2
81
81
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 1 4
5. A
6. D
3
C) r
D) r 4
E) r
8
11.Bir zar atılıyor. Üst yüze herhangi bir sayının
gelme olasılığı bu sayı ile doğru orantılıdır.
Buna göre bu zar bir kez atılırsa üst yüze 3
gelme olasılığı kaçtır?
B) 1 3
A) 1 2
C) 1 5
D) 1 6
E) 1
7
12.Kenar uzunlukları 2 br, 3 br ve 4 br olan
dikdörtgenler prizmasının bütün yüzeyleri
boyanıyor. Sonra bu prizma birim küplere
ayrılıyor. Bu birim küpler bir torbaya konup
bir tanesi çekiliyor. Çekilen küpün yalnız bir
yüzünün boyalı olma olasılığı kaçtır?
B) 1 2
A) 2 5
D) 1 E) 1
12
18
4. A
2
B) r
7. C
8. B
9. C
10. B
C) 1 4
11. E
D) 1 6
E) 1
8
12. D
53
KONTROL TESTİ - 9
1.Birinci galeride A markasından 4, B markasından 6 araç; ikinci geleride ise A markasından 8,
B markasından 4 araç vardır.
4. Bir çemberin üzerinde eşit aralıklarla 20
tane nokta vardır. Bu noktalardan üç tanesi
seçilerek üçgenler oluşturuluyor. Bu üçgenlerden bir tanesi rastgele seçiliyor. Seçilen
üçgenin dik üçgen olduğu bilindiğine göre
ikizkenar olma olasılığı kaçtır?
Bu galerilerden rastgele alınan bir aracın A
markasından olduğu bilindiğine göre ikinci
galeriden alınmış olma olasılığı kaçtır?
A) 3 5
C) 5 8
B) 4 7
A) 1 16
D) 7 E) 8
12
15
Herkesin kendi telefonunu alma olasılığı
kaçtır?
A) 1 30
D) 1 90
3.
B) 1 40
C) 1 60
E)
1
120
3B
2K
2B
4K
3K
5B
1. kutu
2. kutu
3. kutu
1. kutuda 3 beyaz, 2 kırmızı, 2. kutuda 2 beyaz 4 kırmızı ve 3. kutuda 3 kırmızı, 5 beyaz top
vardır. Birinci kutudan bir top çekilip 2. kutuya
atılıyor. Daha sonra 2. kutudan iki top çekilip 3.
kutuya atılıyor. En sonunda 3. kutudan bir top
çekiliyor.
Bu topun kırmızı olma olasılığının 1 olma
2
olasılığı kaçtır?
A) 23 50
54
B) 27 70
D) 38 105
C) 31 90
E) 54
115
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2.Bir sınava giren beş kişi girişte birbirinden farklı olan cep telefonlarını bırakıyorlar. Çıkışta bu
beş cep telefonu beş kişiye rastgele dağıtılıyor.
B) 1 8
C) 1 4
D) 2 9
E) 1
9
5.Kenar uzunlukları 1 birim, 2 birim ve 2 birim
olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tahta
blokun tüm yüzleri boyandıktan sonra birim
küplere ayrılıyor. Bu birim küpler rastgele masanın üzerine atılıyor.
Küplerin tamamının üste gelen yüzlerinin
boyalı olmama olasılığı kaçtır?
A) 1 81
B) 2 81
C) 1 27
D) 2 E) 2
51
27
6.Bir takımın oynadığı bir maçta kazanma olasılığı, kaybetme olasılığının 3 katı, berabere gelme
olasılığının 2 katıdır.
Buna göre bu takım oynadığı iki maçı da kazanma olasılığı kaçtır?
A)
4 121
B)
9 C) 36 D) 11 E) 20
121
121
81
81
7.
10.Bir deneyin olasılık değeri aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A = {1, 2, 3, ......, 20}
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden biri
rastgele seçiliyor. Seçilen kümenin elemanlarının ardışık olma olasılığı kaçtır?
D)
5 324
B) 3 190
8. Bir okuldaki öğrencilerin %45'i A kitabını, %75'i B kitabını okumuştur. Bu okuldan
rastgele seçilen bir öğrencinin her iki kitabı
da okumuş olma olasılığı en çok kaçtır?
A) 1 4
B) 3 10
C) 1 5
D) 9 E) 12
20
25
9. [0, 1] aralığı bir A noktasından iki parçaya
ayrılıyor. Buna göre bu parçalardan birinin
diğerinin üçte birine eşit veya üçte birinden
daha uzun olma olasılığı kaçtır?
A) 1 4
B) 1 3
1. C
C) 1 2
2. E
3. C
D) 2 3
4. E
6. C
r2
C) 8 10 –2 1
5+2
E)
1–
1
1
1
1– 2
11.5 kız 6 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıftan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu temsilcilerden birinin kız diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır?
11
A) 30 9
B) 25 6
C) 11 4
D) 9 3
E) 5
12.Aralarında Efe'nin de bulunduğu bir evde kalan
toplam beş üniversite öğrencisi akşam yemek
yaparken ekmek olmadığını görüyorlar. Efe:
"Toplam 5 kişiyiz. Çevrede 8 tane market var.
Bu marketlerin 2 tanesinde ekmek var. Her birimiz bir markete gidersek kesine yakın ekmek
buluruz."
Efe'nin kesine yakın dediği olasılık tam olarak kaçtır?
E) 1
6
5. A
B)
D)
C) 4 245
E) 7
380
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 2 181
A) –0,07
A) 25 28
7. B
8. D
B) 6 7
9. C
10. D
C) 31 35
11. D
D) 7 8
E) 61
70
12. A
55
KARMA TEST - 1
1.
.
A
.
B
.
C
5. Üç basamaklı doğal sayıların kaç tanesinde
0 kullanılmıştır?
.
D
A) 154
Şekildeki oklar A, B, C, D şehirleri arasındaki
yolları göstermektedir.
B) 163 C) 171
D) 185 E) 196
Buna göre A'dan D'ye kaç farklı yolla gidilebilir?
A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
E) 26
6.s(A) = 2 ve B kümesinin alt küme sayısı 32'dir.
2. 4 farklı fizik ve 3 farklı matematik kitabı, matematik kitapları bir arada olmak koşulu ile
kaç farklı şekilde yanyana sıralanabilirler?
3.
B) 640 C) 410
D) 120 E) 90
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
rakamları birer kez kullanılarak üç basamaklı ve 500'den büyük kaç tane sayı yazılabilir?
A) 16
4.
B) 27
C) 32
D) 64
E) 90
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları kullanılarak rakamları
farklı üç basamaklı kaç tane çift doğal sayı
yazılabilir?
A) 32
56
B) 40
C) 52
D) 56
E) 72
A) 18
B) 25
C) 32
D) 45
E) 64
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
A) 720
Buna göre A'dan B'ye kaç tane fonksiyon tanımlanabilir?
7. 4 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden
kaç değişik şekilde sonuçlanabilir?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 16
E) 20
8. abcba gibi baştan ve sondan aynı sıradaki
sayıların eşit olduğu doğal sayılara yansıyan
sayılar denir. Buna göre beş basamaklı kaç
tane yansıyan doğal sayı vardır?
A) 9000
B) 6000 C) 1200 D) 900 E) 729
9. 10 erkek ve 12 kız öğrenci arasından bir erkek veya bir kız öğrenci kaç değişik şekilde
şeçilebilir?
A) 10
B) 12
C) 22
D) 120
13.Bir torbada 3 beyaz, 2 mavi ve 2 yeşil top vardır.
Torbadan rastgele 5 top alındığında torbada kalan topların beyaz renkte olma olasılığı
kaçtır?
E) 222
1
B) 6 1
A) 7 10.2 öğretmen ve 5 öğrenci toplam 7 kişi yan
yana durarak fotoğraf çektireceklerdir. Öğretmenler arasında en az 3 öğrenci olmak
koşuluyla kaç değişik fotoğraf çektirebilirler?
A) 360
B) 420
D) 720
C) 560
E) 1440
11.Yandaki birimkare
lerden oluşan şekilde toplam kaç
tane kare vardır?
2
4
çanta
saat
6
8
toka
kemer
12.
B) 36
Yarışmacı önce 1. çarkı üç kez çevirecektir. Bu
üç çevirişte ok işaretine gelen üç sayının toplamı 20'den büyük ise ikinci çarkı çevirmeye hak
kazanacaktır. Ok işaretine çıkan hediyeyi kazanıyor.
Oyuna başlayan bir yarışmacının saat kazanma olasılığı kaçtır?
C) 40
D) 52
7
nin açılımında x8 li terimin katsayısı kaçtır?
1. D
2. A
B) –96
3. E
C) –21
4. C
5. C
D) 96
6. B
8. D
1
C) 32 1
E) 128
15.Rakamların kümesinden bir sayı rastgele
seçiliyor. Seçilen sayının çift sayı olduğu bilindiğine göre asal sayı olma olasılığı kaçtır?
1
A) 10 E) 189
7. D
1
B) 25 1
D) 3 E) 64
2
a3
x –x k
A) –189
2. çark
1. çark
1
A) 16 A) 28
1
E) 3
14.Bir lunaparkta iki çarktan oluşan bir oyun aracı
vardır.
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
1
D) 4 1
C) 5 9. C
10. D
3
B) 10 11. C
12. A
1
C) 5 13. A
14. D
2
D) 5 15. C
3
E) 5
16. B
57
KARMA TEST - 2
1.
` n j = 8. ^n 2 –nh
3
5. Üç elemanlı alt küme sayısı dört elemanlı alt
küme sayısına eşit olan kümenin en çok iki
elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
olduğuna göre C (n, 1) kaçtır?
A) 36
2.
B) 40
C) 44
D) 50
E) 56
A) 21
a4
k a4k a5k
2 + 3 + 4
6.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 9
B) 15
C) 18
D) 21
4.
C) 8
D) 12
E) 16
olduğuna göre A kaçtır?
B) 4
C) 2
C) 7
D) 8
E) 9
D) 1
1
E) 2
A = {1, 3, 5, 7,9}
A) 18
B) 16
C) 14
D) 12
E) 10
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları kullanılarak a<b<c
şartını sağlayan kaç tane üç basamaklı abc
sayısı yazılabilir?
A) 4
58
B) 6
kümesinin elemanları kullanılarak a<b<c
şartını sağlayan üç basamaklı kaç tane abc
sayısı yazılabilir?
8.
9
a 11
k a 11 k
a 11 k
0 + 2 + ..... + 10 = A.2
A) 8
E) 48
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
7.
olduğuna göre n'nin alabileceği değerler
çarpımı kaçtır?
B) 4
D) 40
kümesinin elemanları toplamı sıfır olan üç
elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
E) 24
a n12
k a 12 k
+ 1 = 2n–1
A) 2
C) 33
A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}
A) 5
3.
B) 29
B) 7
C) 10
D) 12
E) 15
9. 10 kişilik bir basketbol takımı 5'erli iki gruba
ayrılarak maç yapacaklardır. Bu işlem kaç
değişik şekilde yapılabilir.
A) 78
B) 84
C) 96
10.
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {a, b, c}
13.Madeni bir para ard arda üç kez atılıyor. En
az bir yazı gelme olasılığı kaçtır?
63
A) 64 D) 114 E) 126
D) 450 E) 500
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
B) 220 C) 330
11.(x+1) nin açılımından rastgele seçilen bir terimin katsayısının 25'ten küçük olma olasılığı kaçtır?
7
2
A) 7 2
B) 3 3
C) 4 1
D) 3 5
C) 8 3
D) 4 7
E) 8
D) 48
E) 60
D) 1
7
E) 3
14.Şekildeki çember üzerinde eşit aralıklı 10
tane nokta işaretlenmiştir. Köşeleri bu
noktalar üzerinde olan
kaç tane dik üçgen çizilebilir?
kümelerinin elemanları birer kez kullanılarak
üç haneli şifreler oluşturuluyor. Bu şifrelerden kaç tanesinde en az bir tane rakam bulunur?
A) 110
49
B) 64 A) 24
B) 36
C) 40
15.Yandaki şekilde
kaç tane üçgen
vardır?
A) 25
C) 35
E) 60
3
E) 5
B) 30
D) 45
16.Yanda birim kareler-
den oluşan şekilde
tüm karelerin sayısı
A ve tüm dikdörtgenlerin sayısı B ise
A
B oranı kaçtır?
12.A = {1, 2, 3} kümesi veriliyor. A'dan A'ya tanımlanan fonksiyonlardan bir tanesi seçiliyor. Bu fonksiyonun sabit fonksiyon olma
olasılığı kaçtır?
1
A) 3 1. D
2. B
1
B) 6 3. C
1
C) 9 4. C
5. B
1
1
D) 12 E) 15
6. A
7. E
8. C
2
A) 9 9. E
10. C
3
B) 7 11. C
12. C
5
C) 8 13. E
14. C
15. C
16. A
59
KARMA TEST - 3
5. Aynı düzlemde bulunan 5 farklı çember en
fazla kaç noktada kesişir?
1. Her ülkeye en az bir kişi gitmek koşuluyla 5
kişi iki ülkeye kaçı değişik şekilde gönderilir?
A) 20
B) 24
C) 30
D) 36
A) 20
E) 42
6.
C) 6
D) 8
B) 45
C) 60
D) 75
60
C) 5
D) 90
D) 6
E) 120
1
Hakan'ın kırmızı bilye çekme olasılığının 2
olma olasılığı kaçtır?
1
A) 9 1
B) 3 4
C) 9 5
D) 9 2
E) 3
A
B
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç
tanesinin elemanları çarpımı negatif tamsayıdır?
B) 4
C) 65
E) 90
A = {–4, –2, 0, 2, 4, 6}
A) 3
B) 56
7.Bir torbanın içinde 5 kırmızı, 3 mavi ve 1 yeşil
bilye vardır. Bu torbadan geri torbaya atmamak
üzere Efe bir bilye çekiyor. Efe'den sonra Hakan
bir bilye çekecektir.
8.
4.
E) 8
E) 10
3. Bir çiçekçide 6 farklı renkten çok sayıda gül
ve 3 çeşit vazo vardır. 2 farklı renkten toplam
3 gül ve 1 vazo kaç değişik şekilde alınabilir?
A) 30
D) 10
A = {1, 3, 5, 7, 9}
A) 45
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
B) 4
C) 12
kümesinin elemanlarıyla, en az iki basamağındaki rakamı aynı olan üç basamaklı kaç
farklı sayı yazılır?
2. Boyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca
rastgele sıraya giriyor. En kısa ve en uzun
boylu öğrencilerin uçlarda olması koşuluyla
kaç değişik şekilde sıraya girebilirler?
A) 2
B) 16
E) 7
C
ABC üçgeninin kenarları üzerindeki 9 nokta verilmiştir. Köşeleri bu noktalar üzerinde
olan kaç tane üçgen oluşturulabilir?
A) 52
B) 61
C) 68
D) 73
E) 79
9.
13.Bir çember üzerinde eşit aralıklarla işaretlenmiş 6 nokta vardır. Bu noktalar kullanılarak üçgenler oluşturuluyor ve içinden bir
tanesi rastgele seçiliyor. Seçilen bu üçgenin
eşkenar üçgen olma olasılığı kaçtır?
P(n, r) = 120 . C(n, r)
olduğuna göre n'nin alabileceği en küçük
değer kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
1
A) 20 3
B) 8 1
C) 10 4
D) 9 5
E) 9
10.a ve b asal sayılar olmak üzere K sayısının asal
çarpanlarına ayrılmış şekli
14.Bir çift zar atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen
sayıların çarpımının asal sayı olma olasılığı
kaçtır?
K = a2 . b5 dır.
K'nın pozitif bölenlerinden rastgele alınan
bir sayının tamkare ifade olma olasılığı kaçtır?
5
B) 18 2
C) 9 1
D) 6 1
E) 9
11.Elinde üç renk bulunan bir boyacı 3 katlı bir
apartmanı boyayacaktır.
Üst üste olan iki katın aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
3
A) 8 4
B) 9 7
C) 10 1
D) 2 1. C
2. B
B) 112 C) 125
3. E
4. D
5. A
7. D
8. E
1
C) 6 1
D) 9 1
E) 12
A = {1, 2, 3, 4, .... 99} kümesinin elemanlarından bir tanesi rastgele seçiliyor. Seçilen bu
sayının a, b, c, d, e sayılarından en az birini
tam bölme olasılığı kaçtır?
1
A) 33 2
B) 33 1
C) 11 4
5
D) 99 E) 99
16.Aralarında Ayhan ve Fatih'in de bulunduğu
11 kişilik futbol takımı önde 5 arkada 6 kişi
durarak fotoğraf çektireceklerdir. Ayhan ve
Fatih'in arasında iki futbolcu olması koşuluyla kaç değişik fotoğraf çektirirler?
D) 136 E) 144
6. C
1
B) 4 15.a, b, c, d, e sayıları 100'den küçük birbirinden
farklı asal sayılardır.
1
E) 3
12.İki kanepe birbirine bakacak şekilde konulmuştur. Her kanepe üç kişiliktir. İkisi kardeş
olan toplam 6 kişi bu kanepelere oturacaktır.
Kardeşlerin karşılıklı oturduğu kaç durum
vardır?
A) 96
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
1
A) 3 1
A) 2 A) 9 !
9. B
10. A
B) 3.9 ! C) 4.9 ! D) 5.9 ! E) 9.9 !
11. B
12. E
13. C
14. C
15. B
16. D
61
KARMA TEST - 4
1. Toplamları 10 olan iki pozitif tamsayının çarpımlarının tamkare olma olasılığı kaçtır?
3
B) 8 5
A) 8 1
C) 3 4
D) 9 4.
A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
kümeleri veriliyor. B'nin iki elemanlı alt kümelerinden biri rastgele seçiliyor. Seçilen bu
kümenin A'nın da alt kümesi olma olasılığı
kaçtır?
5
E) 9
4
A) 7 kümesinin elemanlarından bir tanesi rastgele seçiliyor. Seçilen bu sayının tamsayı olduğu biliniyorsa tek sayı olma olasılığı kaçtır?
1
A) 10 1
C) 6 2
B) 5 1
D) 2 1
E) 3
5.
A=&
3.
1000 1000 1000
1000 0
1 , 2 , 3 , ...., 1000
9
B) 1000 1
A) 100 2
D) 125 3
C) 500 1
E) 125
Doktor Hemşire
Erkek
8
2
Bayan
4
12
Yukarıdaki tablo bir hastanede çalışan personelin dağılımını göstermektedir.
Buna göre bu hastaneden seçilen bir kişinin
bayan veya hemşire olma olasılığı kaçtır?
9
A) 13 62
1
E) 8
kümesinin elemanlarından bir tanesi rastgele seçiliyor. Seçilen bu sayının doğal sayı
olma olasılığı kaçtır?
1
D) 4 2
C) 7 180 180 180
180
A = & 1 , 2 , 3 , ...., 180 0
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
2.
3
B) 7 8
B) 13 6
C) 13 4
9
D) 13 E) 26
6.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçiliyor. Seçilen kümede 1'in olma, 4'ün olmama olasılığı kaçtır?
1
A) 2 1
B) 4 1
C) 5 1
D) 6 1
E) 8
7.
10.Birinci torbada 3 kırmızı, 5 mavi bilye, 2. torbada 2 kırmızı 8 mavi bilye vardır. Birinci torbadan
rastgele iki bilye alınıp ikinci torbaya atılıyor ve
ikinci torbadan rastgele bir bilye çekiliyor.
A = {1, 2, 3, 4, ....., 99, 100}
kümesinden rastgele iki sayı seçiliyor. Bu
sayılardan birinin diğerinin yarısı olma olasılığı kaçtır?
2
B) 99 1
A) 99 1
C) 33 Çekilen bu bilyenin kırmızı olma olasılığının
1
3 olma olasılığı kaçtır?
4
5
D) 25 E) 12
3
A) 14 5
B) 28 2
C) 14 3
1
D) 28 E) 14
8.(2x+3y2)n açılımındaki terim sayısı 9 olduğuna göre (n – 3x)2n açılımındaki terim sayısı
kaçtır?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
ÖZGÜN TASARI YAYINLARI
11.A = {1, 2, 3}
B = {1, 4, 5}
C = {1, 6, 7}
1.
2.
3.
sütun sütun sütun
A kümesinin elemanları 1. sütuna,
B kümesinin elemanları 2. sütuna,
C kümesinin elemanları 3. sütuna
yazılacaktır.
Bu yazılışta 1 rakamının üçünün de aynı satıra gelme olasılığı kaçtır?
1
A) 3 9.
c x3 – 3
1
1
C) 9 5
5
D) 12 E) 24
10
x
m
açılımında x20'li terimin katsayısı kaçtır?
A) 120
2
B) 9 B) 90
D) –90
1. E
12.(x+y)8 açılımından rastgele seçilen iki terimin
katsayılarının aynı olma olasılığı kaçtır?
C) –40
1
A) 9 E) –120
2. E
3. D
4. C
5. D
6. B
7. A
8. D
2
B) 9 9. E
10. D
1
C) 3 11. C
1
D) 6 1
E) 8
12. A
63
Süre
AY
EYLÜL
EKİM
HAFTA
15-19
22-26
2
4
6
6
6
08-10
113-17
29-03
SAAT
VERİ, SAYMA OLASILIK (20 Saat)
9. Bileşik olayların olasılıklarını hesaplar.
Kurban Bayramı, uygulama
9. Bileşik olayların olasılıklarını hesaplar
gerçekleşme olasılıklarını hesaplar.
8. Bağımlı ve bağımsız olayları örneklerle açıklar;
7. Koşullu olasılığı örneklerle açıklar.
ilişkilendirir.
6. Binom teoremini açıklar ve açılımdaki katsayıları Pascal üçgeni ile
5. Pascal özdeşliğini gösterir ve Pascal üçgenini oluşturur.
ceğini hesaplar.
4. n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilebile
sıralanabileceğini hesaplar.
3. n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilip
örneklerle açıklar.
2. Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini (permütasyonlarını)
kullanarak hesaplar.
1. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini
ALT ÖĞRENME ALANLARI VE KAZANIMLAR
1. Ünite
Olasılık
Olasılık
Veri, Sayma ve
Olasılık
Veri, Sayma ve
Olasılık
(CEBİR)
ÖĞRENME ALANI
Düz Anlatım
Soru-cevap
Problem çözme,
Analiz etme,
Gösterip Yaptırma,
Grup Çalışması
ÖĞRENMEÖĞRETME YÖNTEM VE TEKNİKLERİ
Ders kitabı
Etkileşimli Tahta Eba
KULLANILAN EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ VE TEKNİKLERİ
2014-2015 Eğitim Öğretim Yılı 10. Sınıf Matematik Dersi Ünitelendirilmiş Yıllık Plan Örneği
DEĞERLENDİRME
Download

(pdf) indirmek için TIKLAYINIZ.