T.C.
GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ESNEK BİRLEŞİMSEL GRUPLAR
Zeynep KAYA TÜRK
Yüksek Lisans Tezi
Matematik Anabilim Dalı
Doç. Dr. Naim ÇAĞMAN
Yrd. Doç. Dr. A. S. SEZER (2. Danışman)
2013
Her hakkı saklıdır
T.C.
GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
ESNEK BİRLEŞİMSEL GRUPLAR
Zeynep KAYA TÜRK
TOKAT
2013
Her hakkı saklıdır
TEZ BEYANI
Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlâk
kurallarına uyulduğunu, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel
normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların
başka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını,
tezin herhangi bir kısmının bu üniversite veya başka bir üniversitedeki başka bir tez
çalışması olarak sunulmadığını beyan ederim.
Zeynep KAYA TÜRK
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
ESNEK BİRLEŞİMSEL GRUPLAR
Zeynep KAYA TÜRK
Gaziosmanpaşa Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Naim ÇAĞMAN
Yrd. Doç. Dr. A. S. SEZER (2. Danışman)
Bu çalışmada, ilk olarak grup teorisi ve esnek kümelerle ilgili kullanacağımız temel
tanım ve teoremler verildikten sonra esnek birleşimsel grupların tanımı verildi. Daha
sonra, normal esnek birleşimsel alt grup, karakteristik esnek birleşimselgrup, eşlenik
esnek birleşimsel grup, esnek normalleyen kavramları verildi ve grup theorsindeki
bazı sunuçlardan yararlanarak bunlarla ilgili bazı temel özellikler incelendi. Bunlara
ilaveten, esnek birleşimsel gruplar ve esnek kesişimsel gruplar arasındaki ilişkiler
araştrıldı.
2013, 56 sayfa
Anahtar Kelimeler: Esnek küme, Esnek birleşimsel grup, Esnek birleşimsel alt
grup, Normal esnek birleşimsel alt grup, Karakteristik esnek birleşimsel grup,
Eşlenik esnek birleşimsel grup, Esnek normalleyen.
i
ABSTRACT
M.Sc. Thesis
SOFT UNION GROUPS
Zeynep KAYA TÜRK
Gaziosmanpasa University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Naim ÇAĞMAN
In this thesis, we first introduce the basic definitions and theorems of group theory
and soft sets. We then define soft union groups. After that we give the notion of
soft normal union subgroups, characteristic soft union group, conjugate soft union
groups, soft normalizer and study their basic properties by doing analogue of some
results in group theory. Moreover, we investigate the relationship between soft union
groups and soft intersection groups.
2013, 56 pages
Keywords: Soft sets, Soft uni-groups, Soft uni-subgroups, Soft normal
uni-subgroups, Characteristic soft uni-group, Conjugate soft uni-groups, Soft
normalizer.
ii
İÇİNDEKİLER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ÖNSÖZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
SİMGE ve KISALTMALAR DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
1. GİRİŞ
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. GRUP VE ÖZELLİKLERİ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3. ESNEK KÜMELER
4. EB-GRUPLAR
5. EB-GRUPLARIN BAZI KARAKTERİZASYONLARI
. . . . .
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
ÖZGEÇMİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6. SONUÇ
iii
ÖNSÖZ
Bu çalışmayı yapmamda bana destek olan, bilgisini ve tecrübesini paylaşan tez
danışmanım, kıymetli hocam Doç. Dr. Naim ÇAĞMAN’a, ikinci tez danışmanım
değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Aslıhan SEZGİN SEZER’e, zaman ayırıp yardımını
esirgemeyen Arş. Gör. İrfan ŞİMŞEK’e ve yüksek lisans eğitimim boyunca emeği
geçen tüm hocalarıma minnettarlığımı sunarım.
Ayrıca bu yoğun süreçte tüm sıkıntılarımı paylaşan, maddi ve manevi destekleriyle
her zaman yanımda olan sevgili eşime, canım anneme, babama, kızlarım Merve ve
Sude’ye teşekkürlerimi sunarım.
iv
SİMGE ve KISALTMALAR DİZİNİ
Simgeler
Açıklamalar
U
Evrensel küme
E
Parametreler kümesi
EB-grup
Esenek Birleşimsel Grup
EK-grup
Esenek Kesişimsel Grup
P(U ) U ’nun kuvvet kümesi
SE (U ) U üzerinde E parametreli esnek kümelerin kümesi
fΦ
Boş esnek küme
fA˜
A Evrensel esnek küme
fE˜
Evrensel esnek küme
˜ B
fA ⊆f
fB , fA ’yi esnek kapsar
˜ fB
fA ∩
fA ve fB esnek kümelerinin esnek kesişimi
˜ fB
fA ∪
fA ve fB esnek kümelerinin esnek birleşimi
fA e fB
fA ve fB esnek kümelerinin kısıtlanmış esnek kesişimi
fA d fB
fA ve fB esnek kümelerinin kısıtlanmış esnek birleşimi
fAec
fA esnek kümesinin esnek tümleyeni
A≤G
A alt grup G
A¢G
A Normal alt grup G
fu fG
fH ≤
fH , fG nin EB-altgrubu
fN /eu fG
fN , fG nin normal EB-altgrubu
ˆ
xG
fG esnek kümesinin sol yan kümesi
N (fG ) fG nin esnek normalleyeni
fA ∧ fB
fA ve fB ’nin esnek ∧-çarpımı
fA ∨ fB
fA ve fB ’nin esnek ∨-çarpımı
EB-grup
esnek birleşimsel grup
EK-grup
esnek kesişimsel grup
GfG
G’nin e kümesi
xfˆG
x ve fG tarafından belirlenen sol yan küme
GfˆG
fG nin e-sol yan kümesi
v
Ψ(fA ) fA nın Ψ altında esnek görüntüsü
Ψ−1 (fB ) fB nin Ψ altında esnek ön görüntüsü
Ψ? (fA ) fA nın Ψ altında esnek ters görüntüsü
vi
1 GİRİŞ
Belirsizlik içeren bazı problemleri Aristo mantığına dayalı klasik matematikle modellemek çok zordur. Günlük hayatta kullandığımız cümleler içerisinde çok sıcak,
yüksek hız, güzel kız, orta boy gibi ölçüm değerleri kişiden kişiye değişen belirsiz
ifadelerdir. Hayatımızda, buna benzer belirsizlikler içeren birçok olay vardır. Gün
geçtikçe, etrafımızda bulunan belirsizliğin objektif olarak incelenmesi için klasik
yöntemlerin dışında belirsizliği de inceleyen metotlara ihtiyaç duyulmaktadır. Belirsizliğin birçok türüne özellikle sosyal bilimler, tıp bilimleri, biyoloji, ekonomi ve
mühendislik gibi alanlarda sıkça rastlanmaktadır. Bu yüzden bilim adamları belirsizliği anlamak ve elverişli çözümler sağlamak için bir hayli teori geliştirmeye başlamışlardır. Aralık matematiği, olasılık teorisi, bulanık kümeler teorisi (Zadeh, 1965),
yaklaşımlı kümeler teorisi (Pawlak, 1982), esnek kümeler teorisi (Molodtsov, 1999)
en iyi bilinen ve belirsizliği modellemek için sık kullanılan matematiksel teorilerden
birkaçıdır.
Belirsizlikleri modellemede kullanılan teorilerden biri esnek kümelerdir. Esnek kümeler
ilk defa Molodtsov tarafından 1999 yılında ortaya atıldı. Esnek küme teorisi bulanık
küme teorisindeki reel değerli bir fonksiyon yerine küme değerli bir fonksiyonla
belirsizliği ortadan kaldırmayı amaçlamıştır. Molodtsov (1999, 2004, 2006) sürekli
diferansiyellenebilir fonksiyonlar, oyun teorisi, yöneylem araştırması, Rienmann integrali,
Peron integrali, olasılık teori, ölçüm teori gibi bir çok kavramı esnek kümeler üzerinde
çalıştı. Maji ve arkadaşları (2003) esnek küme işlemlerini tanımladı. Daha sonra
Çağman ve Enginoğlu (2010) esnek küme işlemlerini yeniden tanımladılar. Maji
ve ark. (2002, 2003) , Pawlak (1982)’ın yaklaşımlı küme teorisi yardımıyla, bir
karar verme probleminde esnek kümelerin bir uygulamasını yaptı ve esnek kümelerde
birtakım işlemleri tanımladı. Xiao ve ark. (2003) esnek küme bazlı iş rekabet
kapasitesi için yapay bir hesaplama metodu hakkında çalışma yaptı. Yang ve ark.
(2004), esnek kümeler ve yaklaşımlı kümelere dair klinik teşhisin karar analizi ve
indüksiyon başlıklı bir çalışma yaptı. Chen ve ark. (2003, 2005) ile Kong ve ark.
(2008) esnek kümelerde parametre indirgemesi üzerine çalışmalar yaptı. Xiao ve
2
ark. (2005) ile Pei ve Miao (2005), esnek tabanlı bilgi sistemleri üzerine çalışmalar
sundular. Mushrif ve ark. (2006), esnek küme temelli sınıflandırmalar üzerine bir
makale yayımladı. Molodtsov ve ark. (2006) tarafından, esnek küme teorisi üzerine
dayalı bir analiz geliştirerek, esnek sayı, esnek türev, esnek integral gibi kavramlar
formüle edildi. Bu analiz, Kovkov ve ark. (2007) tarafından optimizasyon teorisi ile
ilgili problemlere uygulandı.
Esnek kümeler üzerindeki cebirsel ilk olarak Aktaş ve Çağman (2007) tarafından
esnek grupların tanımını vermesiyle başlamıştır. Jun (2008) esnek BCK/BCI-cebirleri
ve esnek alt cebir kavramlarını ortaya atarak, onların birtakım temel özeliklerini
meydana getirdi. Feng ve ark. (2008) esnek küme teorisini değerlendirerek esnek
yarı halkalar çalışmasını sundu ve ilgili bazı özeliklerini inceledi. Sun ve ark. (2008)
esnek modüllerin tanımını verdi. Ayrıca modülleri ve Molodtsov’un esnek küme
tanımını kullanarak bazı temel özelikleri inşa etti. Acar ve ark. (2010) esnek küme
ve esnek halkalar çalışmasını yayımladı. Normalistik esnek grup ve normalistik esnek
grup homomorfizmini konu alan çalışma Sezgin ve Atagün (2011) tarafından çalışıldı.
Ayrıca halka, cisim ve modüllerin esnek alt yapıları da Atagün ve Sezgin (2011a,
2011b) tarafından ele alındı.
Bu tez çalışmasında, ilk önce kullanacağımız grup teorisi ve esnek kümelerle ilgili
temel tanım ve teoremler verildikten sonra esnek birleşimsel grupların tanımı verildi.
Daha sonra, normal esnek birleşimsel alt grup, karakteristik esnek birleşimselgrup,
eşlenik esnek birleşimsel grup, esnek normalleyen kavramları verildi ve grup theorsindeki
bazı sunuçlardan yararlanarak bunlarla ilgili bazı temel özellikler incelendi. Bunlara
ilaveten, esnek birleşimsel gruplar ve esnek kesişimsel gruplar arasındaki ilişkiler
araştrıldı.
2 GRUP VE ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde, Taşçı (2007), Asar (2009), Rotman (1999) ve Dummit (1999) kaynaklarında
yer alan grup teorisi ile ilgili diğer bölümlerde kullanacağımız temel tanım ve teoremler
verilecektir.
Tanım 2.1. G boş olmayan bir küme olmak üzere
?:G×G→G
dönüşümüne G üzerinde bir ikili işlem denir. Eğer ?, G üzerinde bir ikili işlem ise
(G, ?) ifadesine G’de bir cebirsel yapı denir.
Tanım 2.2. G boş olmayan bir küme ve ? bu küme üzerinde bir ikili işlem ise
aşağıdaki şartları sağlayan (G, ?) cebirsel yapısına bir grup denir.
G1) ∀a, b, c ∈ G için (a ? b) ? c = a ? (b ? c)
G2) Öyle bir e ∈ G vardır ki ∀a ∈ G için a ? e = e ? a = a olmalıdır (e elemenına
G’nin birim elemanı denir).
G3) e, G nin birim elemanı olmak üzere, G kümesindeki herbir a elemanı için
a ? a0 = a0 ? a = e
olacak şekilde bir tek a0 ∈ G vardır (a0 elemenına a elemanının tersi denir ve a−1 ile
gösterilir).
Burada;
• (G1) şartını sağlayan (G, ?) cebirsel yapısına yarı grup denir.
• (G1) ve (G2) şartlarını sağlayan (G, ∗) cebirsel yapısına monoid denir.
4
• ∀a, b ∈ G için a ? b = b ? a şartını sağlayan (G, ?) grubuna değişmeli grup denir.
Örnek 2.3. Bir n kenarlı düzgün çokgende, r merkez etrafında saat yönünde dönmeyle
elde edilen keyfi bir permütasyon ve s yansımalarla elde edilen keyfi bir permütasyon
olmak üzere rn = 1, s2 = 1 ve rs = srn−1 şartlarını sağlayan r ve s permütasyonları
tarafından üretilen
D2n = {1, r, r2 , ..., rn−1 , s, sr, sr2 , ..., srn−1 }
kümesi bileşke işlemine göre bir gruptur. Bu gruba Dihedral grup denir.
Tanım 2.4. (G, ?) bir grup ve H, G nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer
(H, ?) cebirsel yapısı bir grup ise bu gruba (G, ?) grubunun bir alt grubu denir ve
H ≤ G şeklinde gösterilir.
Teorem 2.5. (G, ?) bir grup ve H, G’nin boştan farklı bir alt kümesi olsun. Buna
göre H ≤ G olması için gerek ve yeter şart
i) ∀a, b ∈ H için a ? b ∈ H
ii) ∀a ∈ H için a−1 ∈ H
şartlarının sağlanmasıdır.
Not 2.6. Bundan sonra aksi belirtilmedikce ve karışıklığa neden olmadığı durumlarda
(G, ?) şeklinde gösterilen cebirsel yapılar kısaca G şeklinde gösterilecektir ve ayrıca
a, b ∈ G için a ? b gösterimi yerine ab gösterimi kullanılacaktır.
Tanım 2.7. G bir grup olmak üzere
M (G) = {a ∈ G : ∀x ∈ G için ax = xa}
şeklinde tanımlanan kümeye G grubunun merkezi denir.
5
Teorem 2.8. Bir grubun merkezi o grubun bir alt grubudur. Yani G bir grup ve
G nin merkezi M (G) ise M (G) ≤ G dir.
Tanım 2.9. G bir grup ve a, G nin sabit bir elemanı olmak üzere a elemanının
merkezleyicisi
M (a) = {g ∈ G : ag = ga}
olarak tanımlanır ve M (a) ile gösterilir.
Teorem 2.10. Bir G grubundaki her bir a elemanı için a elemanın merkezleyicisi
G nin bir alt grubudur. Yani M (a) ≤ G dir.
Tanım 2.11. G bir grup, H ≤ G ve a ∈ G olmak üzere
aH = {ah : h ∈ H}
kümesine H’nın G’deki a’yı kapsayan sol yan kümesi ve
Ha = {ha : h ∈ H}
kümesine H’nın G’deki a’yı kapsayan sağ yan kümesi denir.
Tanım 2.12. G bir grup ve H ≤ G olsun.
NG (H) = {g ∈ G : gH = Hg}
şeklinde tanımlanan kümeye H’nın G içindeki normalleyeni denir.
Teorem 2.13. G bir grup, H ≤ G ve NG (H) , H nın G içindeki normalleyeni
olsun. O halde NG (H) ≤ G dir.
Tanım 2.14. G bir grup ve H ≤ G olsun. Eğer H nın G deki bütün sağ ve sol
yan kümeleri eşitse, yani ∀a ∈ G için aH = Ha oluyorsa o takdirde H alt grubuna
G nin normal alt grubu denir ve H ¢ G şeklinde gösterilir.
6
Teorem 2.15. G bir grup ve N ≤ G olsun. Buna göre aşağıdaki önermeler birbirine
denktir.
i) ∀g ∈ G için ve ∀n ∈ N için gng −1 ∈ N dir.
ii) ∀g ∈ G için gN g −1 ⊆ N dir.
iii) ∀g ∈ G için gN g −1 = N dir.
iv) ∀g ∈ G için gN = N g dir.
Teorem 2.16. Bir grubun merkezi o grubun bir normal alt grubudur. Yani G bir
grup ve G nin merkezi M (G) olmak üzere M (G) C G dir.
Teorem 2.17. G bir grup, H ≤ G ve NG (H) , H nın G içindeki normalleyeni
olsun. O halde NG (H) C G dir.
Tanım 2.18. (G, ?) ve (H, ◦) iki grup olmak üzere eğer ϕ : G → H dönüşümü
∀x, y ∈ G için
ϕ (x ? y) = ϕ (x) ◦ ϕ (y)
şartını sağlarsa ϕ ye bir grup homomorfizması ya da kısaca bir homomorfizma denir.
Eğer,
• ϕ, örten bir grup homomorfizması ise ϕ ye bir epimorfizma denir.
• ϕ, 1 − 1 bir grup homomorfizması ise ϕ ye bir monomorfizma denir.
• ϕ, 1 − 1 ve örten bir grup homomorfizması ise ϕ ye bir izomorfizma denir.
• ϕ : G → G bir grup homomorfizması ise ϕ ye bir endomorfizma denir.
• ϕ : G → G bir grup izomorfizması ise ϕ ye bir otomorfizma denir.
7
Tanım 2.19. G ve H iki grup olsun. ϕ : G → H bir grup homomorfizması olmak
üzere ϕ dönüşümünün görüntü kümesi
Im(ϕ) = {ϕ(g) : g ∈ G}
olarak tanımlanır.
3 ESNEK KÜMELER
Bu bölümde, (Molodtsov, 1999) tarafından ortaya atılan esnek kümelerle ilgili kullanacağımız
temel tanım ve teoremlere yer verilecektir.
Tanım 3.20. U ve E boştan farklı herhangi iki küme ve P (U ), U ’nun kuvvet kümesi
olmak üzere
fE : E → P (U )
fonksiyonuna U üzerinde bir esnek küme denir ve
fE = {(x, fE (x)) : x ∈ E}
şeklinde ikililer kümesi olarak ifade edilebilir.
Burada; U ya evrensel küme, E ye parametrelerin kümesi ve her x ∈ E için fE (x)
değerine fE esnek kümesinin x-yaklaşımı denir (Molodtsov, 1999).
U üzerinde tanımlı bir fE esnek kümesi, U evrensel kümesinin elemanlarını E
parametre kümesinin elemanlarıyla sınıfladırmaktadır.
Bundan sonra, U evrensel ve E parametre kümesi üzerinde tanımlı bütün esnek
kümelerin kümesi SE (U ) ile gösterilecektir.
Örnek 3.21. U = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } evrensel kümesi bir araba galerisindeki arabaların
kümesi ve e1 "konforlu", e2 "ekonomik", e3 "geniş", e4 "hızlı", e5 "lüks", e6 "güzel
renkli" parametresini göstermek üzere E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 } bu arabaları niteleyen
parametreler kümesi olsun. Buna göre araba almaya gelen kişi için fE esnek kümesini
oluşturalım. Bunun için önce verilen parametrelere göre arabaları sınıflandıralım.
fE (e1 ) = ∅
fE (e2 ) = {u2 , u4 }
fE (e3 ) = {u2 , u3 , u5 }
fE (e4 ) = ∅
9
fE (e5 ) = {u1 , u2 }
fE (e6 ) = ∅
O halde f esnek kümesi
fE = {(e2 , {u2 , u4 }), (e3 , {u2 , u3 , u5 }), (e5 , {u1 , u2 })}
şeklinde yazılabilir. Burada görüntüsü boş küme olan elemanlar yazılmamıştır ve
bundan sonra da yazmayacağız.
Not 3.22. U evrensel ve E parametere kümesinin bir A alt kümesi üzerinde tanımlı
esnek küme fA ile gösterilecektir.
Tanım 3.23. fA ∈ SE (U ) olsun. Eğer her x ∈ E için fA (x) = ∅ ise fA ’ya boş esnek
küme denir ve fΦ ile gösterilir (Çağman ve Enginoğlu, 2010).
Tanım 3.24. fA ∈ SE (U ) olsun. Eğer her x ∈ A için fA (x) = U ise fA ’ya A evrensel
esnek küme denir ve fA˜ ile gösterilir (Çağman ve Enginoğlu, 2010).
Tanım 3.25. fA ∈ SE (U ) olsun. Eğer her x ∈ E için fA (x) = U ise fA ’ya evrensel
esnek küme denir ve fE˜ ile gösterilir (Çağman ve Enginoğlu, 2010).
Tanım 3.26. fA , fB ∈ SE (U ) olsun. Eğer her x ∈ E için fA (x) ⊆ fB (x) ise fA
e B ile gösterilir (Çağman ve
esnek kümesine fB ’nin esnek alt kümesi denir ve fA ⊆f
Enginoğlu, 2010).
Tanım 3.27. fA , fB ∈ SE (U ) olsun. Eğer her x ∈ E için fA (x) = fB (x) ise fA ve
fB esnek kümelerine esnek eşit kümeler denir ve fA = fB ile gösterilir (Çağman ve
Enginoğlu, 2010).
Tanım 3.28. fA ∈ SE (U ) olsun. fA esnek kümesinin esnek tümleyeni fAec , her x ∈ E
için f ec A (x) = U \ fA (x) şeklinde tanımlanır (Çağman ve Enginoğlu, 2010).
Tanım 3.29. fA , fB ∈ SE (U ) olsun. fA ve fB esnek kümelerinin esnek birleşimi
e fB , her x ∈ E için
fA ∪
e fB )(x) = fA (x) ∪ fB (x)
(fA ∪
şeklinde tanımlanır (Çağman ve Enginoğlu, 2010).
Tanım 3.30. fA , fB
10
∈ SE (U ) olsun. fA ve fB esnek kümelerinin esnek kesişimi
e fB , her x ∈ E için
fA ∩
e fB )(x) = fA (x) ∩ fB (x)
(fA ∩
şeklinde tanımlanır (Çağman ve Enginoğlu, 2010).
Önerme 3.31. fA ∈ SE (U ) olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:
1. (fAc˜ )c˜ = fA
2. fΦc˜ = fE˜
e fA = fA
3. fA ∪
e fA = fA
4. fA ∩
e fΦ = fA
5. fA ∪
e fΦ = fΦ
6. fA ∩
e fE˜ = fE˜
7. fA ∪
e fE˜ = fA
8. fA ∩
e fAc˜ = fE˜
9. fA ∪
e fAc˜ = fΦ
10. fA ∩
(Çağman ve Enginoğlu, 2010)
Önerme 3.32. fA , fB , fC ∈ SE (U ) olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:
e fB = fB ∪
e fA
1. fA ∪
e fB = fB ∩
e fA
2. fA ∩
e fB )c˜ = fAc˜ ∩
˜ fBc˜
3. (fA ∪
11
e fB )c˜ = fAc˜ ∪
˜ fBc˜
4. (fA ∩
e fB )∪
e fC = fA ∪
e (fB ∪
e fC )
5. (fA ∪
e fB )∩
e fC = fA ∩
e (fB ∩
e fC )
6. (fA ∩
e (fB ∩
e fC ) = (fA ∪
e fB )∩
e (fA ∪
e fC )
7. fA ∪
e (fB ∪
e fC ) = (fA ∩
e fB )∪
e (fA ∩
e fC )
8. fA ∩
(Çağman ve Enginoğlu, 2010)
Tanım 3.33. fA , fB ∈ SE (U ) olsun. fA ve fB esnek kümelerinin esnek ∧-çarpımı
fA ∧ fB , her (x, y) ∈ E × E için
(fA ∧ fB )(x, y) = fA (x) ∩ fB (y)
şeklinde tanımlanır (Maji ve ark., 2003).
Burada dikkat edilecek olursa (fA ∧ fB )(x, y) ∈ SE×E (U ) dur.
Tanım 3.34. fA , fB ∈ SE (U ) olsun. fA ve fB esnek kümelerinin esnek ∨-çarpımı
fA ∨ fB , her (x, y) ∈ E × E için
(fA ∨ fB )(x, y) = fA (x) ∪ fB (y)
şeklinde tanımlanır (Maji ve ark., 2003).
Yine burada dikkat edilecek olursa (fA ∨ fB )(x, y) ∈ SE×E (U ) dur.
Önerme 3.35. fA , fB , fC ∈ SE (U ) olsun. Bu durumda aşağıdakiler geçerlidir:
1. (fA ∧ fB ) ∧ fC = fA ∧ (fB ∧ fC )
2. (fA ∨ fB ) ∨ fC = fA ∨ (fB ∨ fC )
12
(Maji ve ark., 2003)
Tanım 3.36. fA , fB ∈ SE (U ) olsun. fA ve fB kümelerinin kısıtlanmış esnek kesişimi
fA e fB her x ∈ A ∩ B 6= ∅ için
(fA e fB )(x) = fA (x) ∩ fB (x)
şeklinde tanımlanır (Ali ve ark., 2009).
Tanım 3.37. fA , fB ∈ SE (U ) olsun.
fA ve fB kümelerinin kısıtlanmış esnek
birleşimi fA d fB her x ∈ A ∩ B 6= ∅ için
(fA d fB )(x) = fA (x) ∪ fB (x)
şeklinde tanımlanır (Ali ve ark., 2009).
Tanım 3.38. G bir grup ve fG ∈ SG (U ) olsun.
1. Her x, y ∈ G için fG (xy) ⊇ fG (x) ∩ fG (y)
2. Her x ∈ G için fG (x−1 ) = fG (x)
şartları sağlanıyorsa fG esnek kümesine U üzerinde bir esnek kesişimsel grup denir
(Çağman ve ark., 2012)
Bu tez çalışması boyunca, "esnek kesişimsel gruplar" yerine kısaca "EK-grup"
kullanacağız.
4 EB-GRUPLAR
Tanım 4.1. G bir grup ve fG ∈ SG (U ) olsun.
1. Her x, y ∈ G için fG (xy) ⊆ fG (x) ∪ fG (y)
2. Her x ∈ G için fG (x−1 ) = fG (x)
şartları sağlanıyorsa fG esnek kümesine U üzerinde bir esnek birleşimsel grup denir.
Bunda sonra tez çalışması boyunca, "esnek birleşimsel gruplar" yerine kısaca "EB-grup"
kullanacağız.
Örnek 4.2. Kabul edelim ki U = S3 evrensel küme ve
G = D2 = {< x, y >: x2 = y 2 = e, xy = yx} = {e, x, y, yx}
dihedral grubu parametreler kümesi olsun. Bilindiği gibi D2 ’nin grup tablosu aşağıdaki
gibidir :
.
e
x
y
yx
e
e
x
y
yx
x
x
e
yx
y
y
y
yx
e
x
y
x
e
yx yx
Eğer fG esnek kümesini,
fG (e) = {(13)}
fG (x) = {e, (12), (13)}
fG (y) = {e, (13), (23)}
fG (yx) = {e, (12), (13), (23)}
olacak şekilde inşa edersek fG esnek kümesi S3 üzerinde bir EB-grup olur.
Örnek 4.3. U = Z10
14
evrensel küme ve G = Z10 parametreler kümesi olsun. fG
esnek kümesini her x ∈ Z10 için
fG (x) = {y ∈ Z10 : y ∈< x >}
şeklinde tanımlayalım. Burada fG (0) = {0} , fG (1) = fG (3) = fG (7) = fG (9) = Z10
fG (2) = fG (4) = fG (6) = fG (8) = {0, 2, 4, 6, 8}, fG (5) = {0, 5} olur.
fG (4 + 5) = fG (9) = Z10 * fG (4) ∪ fG (5) = {0, 2, 4, 5, 6, 8} olduğundan fG , Z10
üzerinde bir EB-grup değildir.
Grup olarak G = {e} yi aldığımızda fG ve U nasıl tanımlanırsa tanımlansın fG , U
üzerinde bir EB-grup olur.
Önerme 4.4. fG , U üzerinde bir EB-grup ise, her x ∈ G için fG (e) ⊆ fG (x) dir.
İspat . fG , U üzerinde bir EB-grup olduğundan, her x ∈ G için
fG (e) = fG (xx−1 ) ⊆ fG (x) ∪ fG (x−1 ) = fG (x) ∪ fG (x) = fG (x)
sağlanır.
Teorem 4.5. U üzerinde bir fG esnek kümesinin bir EB-grup olması için gerek ve
yeter şart her x, y ∈ G için fG (xy −1 ) ⊆ fG (x) ∪ fG (y) olmasıdır.
İspat . Kabul edelim ki fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. O halde her x, y ∈ G
için
fG (xy −1 ) ⊆ fG (x) ∪ fG (y −1 ) = fG (x) ∪ fG (y)
dir.
Tersine her x, y ∈ G için fG (xy −1 ) ⊆ fG (x) ∪ fG (y) olsun.
fG (yy −1 ) = fG (e) ⊆ fG (y) ∪ fG (y) = fG (y) olduğundan x = e seçersek
fG (ey −1 ) = fG (y −1 ) ⊆ fG (e) ∪ fG (y) = fG (y)
olur. Benzer şekilde
fG (y) = fG ((y −1 )−1 ) ⊆ fG (y −1 )
15
olup böylece her y ∈ G için fG (y ) = fG (y) olur. Ayrıca kabulümüzden
−1
fG (xy) ⊆ fG (x) ∪ fG (y −1 ) = fG (x) ∪ fG (y)
olduğundan fG , U üzerinde bir EB-gruptur.
Teorem 4.6. fG , U üzerinde bir EB-grup ve x ∈ G olsun. O halde her y ∈ G için
fG (xy) = fG (y) olması için gerek ve yeter şart fG (x) = fG (e) olmasıdır.
İspat . Kabul edelim ki her y ∈ G için fG (xy) = fG (y) olsun. O zaman y = e
seçersek fG (x) = fG (e) olduğunu elde ederiz.
Tersine fG (x) = fG (e) olsun. Önerme 4.4’den her y ∈ G için
fG (e) = fG (x) ⊆ fG (y)
olur. fG , U üzerinde bir EB-grup olduğundan her y ∈ G için
fG (xy) ⊆ fG (x) ∪ fG (y) = fG (y)
olur. Ayrıca, yukarıdaki ifadeden her y ∈ G için
fG (y) = fG ((x−1 x)y)
= fG (x−1 (xy))
⊆ fG (x−1 ) ∪ fG (xy)
= fG (x) ∪ fG (xy)
= fG (xy)
olduğundan her y ∈ G için fG (xy) = fG (y) sağlanır.
Teorem 4.7. fG , U üzerinde bir EB-grup ve x ∈ G olsun. O halde her y ∈ G için
fG (x) = fG (e) ⇒ fG (xy) = fG (yx)
dir.
16
İspat . Teorem 4.6 dan, fG (x) = fG (e) ise her y ∈ G için fG (xy) = fG (y) dir. Bu
yüzden ispatı tamamlamak için her y ∈ G için fG (yx) = fG (y) olduğunu göstermek
yeterlidir. x ∈ G olsun, o halde her y ∈ G için
fG (yx) = fG (yx(yy −1 ))
= fG (y(xy)y −1 )
⊆ fG (y) ∪ fG (xy) ∪ fG (y −1 )
= fG (y) ∪ fG (xy)
= fG (y) ∪ fG (y) ( T eorem 4.6)
= fG (y)
olur. Ayrıca her y ∈ G için
fG (y) = fG (y(xx−1 ))
= fG ((yx)x−1 )
⊆ fG (yx) ∪ fG (x)
= fG (yx)
dir. Böylece fG (yx) = fG (y) ve her y ∈ G için fG (xy) = fG (yx) elde edilir.
Sonuç 4.8. fG , U üzerinde EB-grup ve x ∈ G ise her y ∈ G için
fG (xy) = fG (yx) = fG (y) olması için gerek ve yeter şart fG (x) = fG (e) olmasıdır.
Teorem 4.9. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman x, y ∈ G için
fG (y) ( fG (x) ise
fG (xy) = fG (x) = fG (yx)
dir. Burada fG (y) ( fG (x) , fG (y) ⊆ fG (x) fakat fG (y) 6= fG (x) olmasıdır.
İspat . fG , U üzerinde bir EB-grup olduğundan
fG (xy) ⊆ fG (x) ∪ fG (y) = fG (x)
17
olur. Diğer taraftan,
fG (x) = fG (x(yy −1 ))
= fG ((xy)y −1 )
⊆ fG (xy) ∪ fG (y)
fG (y) ( fG (x) ve fG (x) ⊆ fG (xy) ∪ fG (y) olduğundan, fG (y) ⊆ fG (xy) dir. Böylece,
fG (x) ⊆ fG (xy) dir ve her y ∈ G için fG (xy) = fG (x) olur. fG (yx) = fG (x) in bu
varsayımla sağlandığı ve böylece ispatın tamamlandığı kolayca görülebilir.
Not 4.10. Eğer hipotezde fG (y) ( fG (x) yerine fG (y) ⊆ fG (x) alırsak Teorem 4.9
geçersiz olur.
Örnek 4.11. Kabul edelim ki G = {1, −1, i, −i} evrensel küme ve G parametre
kümesi olsun. Eğer her x ∈ G için fG esnek kümesini
fG (x) = {y ∈ G : y = xn , n ∈ N}
ile tanımlarsak fG (1) = {1}, fG (−1) = {−1, 1}, fG (i) = fG (−i) = {−1, 1, i, −i} =
G olup fG nin U üzerinde bir EB-grup olduğu kolayca gösterilebilir. Burada fG (i) ⊆
fG (−i), fakat fG (i.(−i)) = fG ((−i).i) 6= fG (−i) dir.
Teorem 4.12. fG ve fH , U üzerinde EB-gruplar olsun. O zaman fG ∨ fH , U
üzerinde EB-gruptur.
İspat . Tanım 3.34 den her (x, y) ∈ E × E için (fG ∨ fH )(x, y) = fG (x) ∪ fH (y) dir.
Ayrıca G ve H grup olduğundan, G × H da gruptur.
18
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ G × H alalım. O halde,
(fG ∨ fH )((x1 , y1 )(x2 , y2 )−1 ) = (fG ∨ fH )(x1 x2 −1 , y1 y2 −1 )
= fG (x1 x2 −1 ) ∪ fH (y1 y2 −1 )
⊆ (fG (x1 ) ∪ fG (x2 )) ∪ (fH (y1 ) ∪ fH (y2 ))
= (fG (x1 ) ∪ fH (y1 )) ∪ (fG (x2 ) ∪ fH (y2 ))
= (fG ∨ fH )(x1 , y1 ) ∪ (fG ∨ fH )(x2 , y2 )
olur. Böylece fG ∨ fH , U üzerinde bir EB-gruptur.
fG ve fH , U üzerinde birer EB-grup olduğunda aşağıdaki örnekte de gösterildiği gibi
fG ∧ fH ın U üzerinde bir EB-grup olmak zorunda olmadığına dikkat edilmelidir.
Örnek 4.13. fG Örnek 4.2 deki S3 üzerinde bir EB-grup ve E = Z6 parametreler
kümesi olsun. Ayrıca H = {0, 3} ≤ Z6 ve fH (0) = {(13)}, fH (3) = {(13), (23), (132)}
ile tanımlansın. fH ın S3 üzerinde bir EB-grup olduğu kolayca görülebilir. Şimdi
de S3 üzerinde fG ∧ fH kümesini ele alalım. O zaman
(fG ∧ fH )((x, 3)(yx, 0)) = (fG ∧ fH )(y, 3)
= {(13), (23)}
(fG ∧ fH )(x, 3) ∪ (fG ∧ fH )(yx, 0) = (fG (x) ∩ fH (3)) ∪ (fG (yx) ∩ fH (0))
= {(13)} ∪ {(13)}
= {(13)}
olur. (fG ∧ fH )((x, 3)(yx, 0)) * (fG ∧ fH )(x, 3) ∪ (fG ∧ fH )(yx, 0) olduğu açıktır. Bu
yüzden fA ∧ fB , U üzerinde bir EB-grup değildir.
Teorem 4.14. fG ve fH , U üzerinde birer EB-grup olsun. O zaman her (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈
G × H için,
(fG ∧ fH )((x1 , y1 )(x2 , y2 )−1 ) ⊆ (fG ∨ fH )(x1 , y1 ) ∪ (fG ∨ fH )(x2 , y2 )
19
dir.
İspat . (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ G × H olsun. Tanım 3.33 den,
(fG ∧ fH )((x1 , y1 )(x2 , y2 )−1 ) = (fG ∧ fH )(x1 x2 −1 , y1 y2 −1 )
= fG (x1 x2 −1 ) ∩ fH (y1 y2 −1 )
⊆ (fG (x1 ) ∪ fG (x2 )) ∩ (fH (y1 ) ∪ fH (y2 ))
⊆ (fG (x1 ) ∪ fG (x2 )) ∪ (fH (y1 ) ∪ fH (y2 ))
= (fG (x1 ) ∪ fH (y1 )) ∪ (fG (x2 ) ∪ fH (y2 ))
= (fG ∨ fH )(x1 , y1 ) ∪ (fG ∨ fH )(x2 , y2 )
elde edilir.
e hG de U üzerinde EB-gruptur.
Teorem 4.15. fG ve hG , U üzerinde iki EB-grup ise fG ∪
İspat . x, y ∈ G olsun. Tanım 3.30 dan,
e hG )(xy −1 ) = fG (xy −1 ) ∪ hG (xy −1 )
(fG ∪
⊆ (fG (x) ∪ fG (y)) ∪ (hG (x) ∪ hG (y))
= (fG (x) ∪ hG (x)) ∪ (fG (y) ∪ hG (y))
e hG )(x) ∪ (fG ∪
e hG )(y)
= (fG ∪
e hG , U üzerinde EB-gruptur.
olur. Böylece fG ∪
Aşağıdaki teorem U üzerinde EK-grup ve EB-grup arasındaki temel ilşkiyi vermektedir.
Teorem 4.16. fG , U üzerinde bir esnek küme olsun. fG nin U üzerinde bir EB-grup
olması için gerek ve yeter şart fGec nin U üzerinde bir EK-grup olmasıdır.
20
İspat . fG U üzerinde bir EB-grup olsun.O halde her x, y ∈ G için
fGec (xy −1 ) = U \ fG (xy −1 )
⊇ U \ ((fG (x) ∪ fG (y))
= (U \ fG (x)) ∩ (U \ fG (y))
= fGec (x) ∩ fGec (y)
olup bu fGec nin U üzerinde bir EK-grup olduğunu gösterir.
Tersine, fGec U üzerinde bir EK-grup olsun. O halde her x, y ∈ G için
fG (xy −1 ) = U \ fGec (xy −1 )
⊆ U \ (fGec (x) ∩ fGec (y))
= (U \ fGec (x)) ∪ (U \ fGec (y))
= fG (x) ∪ fG (y)
Böylece fG U üzerinde bir EB-gruptur.
Teorem 4.16 bir esnek kümenin U üzerinde bir EB-grup olması halinde, onun
tümleyeninin U üzerinde bir EK-grup olduğunu ve tersinin de doğru olduğunu
gösterir.
Tanım 4.17. G bir grup, H ≤ G ve fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. Eğer fH
(fG nin esnek alt kümesi) kendi başına U üzerinde bir EB-grup ise o zaman fH ın
fu fG ile
U üzerinde fG nin bir esnek birleşimsel-alt grubu olduğu söylenir ve bu fH ≤
gösterilir.
Örnek 4.18. U = Z yi evrensel küme olarak ve toplamsal grup G = Z4 ü parametre
kümesinin alt kümesi olarak düşünelim. Esnek küme fG yi fG (0) = {0, 2}, fG (1) =
fG (3) = {0, 1, 2, 3} ve fG (2) = {0, 2, 3} ile tanımlayalım. O zaman fG nin U üzerinde
bir EB-grup olduğu açıktır. H = {0, 2} ≤ Z4 ve Z üzerinde fH , fH (0) = {0} ve
fH (2) = {0, 2} ile tanımlansın. fH , fG nin bir esnek alt kümesi olduğundan ve
fu fG olur.
kendisi de U üzerinde bir EB-grup olduğundan fH ≤
21
f
fu fG olsun. O zaman U üzerinde
Teorem 4.19. U üzerinde fH ≤u fG ve fK ≤
fu fG
fH d fK ≤
dir.
İspat . Tanım 3.37 den, her x ∈ H ∩ K 6= ∅ için (fH d fK )(x) = fH (x) ∪ fK (x) dir.
Ayrıca H, K ≤ G olduğundan H ∩ K ≤ G dir. x, y ∈ H ∩ K olsun,
(fH d fK )(xy −1 ) = fH (xy −1 ) ∪ fK (xy −1 )
⊆ (fH (x) ∪ fH (y)) ∪ (fK (x) ∪ fK (y))
= (fH (x) ∪ fK (x)) ∪ (fH (y) ∪ fK (y))
= (fH d fK )(x) ∪ (fH d fK )(y)
fu fG olur.
olur. Bu yüzden, U üzerinde fH d fK ≤
fu fG ve fH ≤
fu fG ise o zaman
Sonuç 4.20. Eğer fG , U üzerinde bir EB-grup, fN ≤
fN ∨ fH , U üzerinde fG nin bir esnek birleşimsel-altgrubu değildir. Çünkü eğer N
ve H, G nin altgrupları ise N × H, G nin bir altgrubu olmaz. Ayrıca, fN ve fH U
üzerinde fG nin iki esnek birleşimsel-altgrubu ise o zaman fN ve fH ın kısıtlanmış
kesişimi U üzerindeki fG nin bir esnek birleşimsel-altgrubu olması gerekmez. Ancak
şöyle olur:
fu fG ve fK ≤
fu fG olsun. O zaman her x, y ∈ H ∩ K
Teorem 4.21. U üzerinde fH ≤
için
(fH e fK )(xy −1 ) ⊆ (fH d fK )(x) ∪ (fH d fK )(y)
dir.
22
İspat . x, y ∈ H ∩ K olsun. Tanım 3.36 dan,
(fH e fK )(xy −1 ) = fH (xy −1 ) ∩ fK (xy −1 )
⊆ (fH (x) ∪ fH (y)) ∩ (fK (x) ∪ fK (y))
⊆ (fH (x) ∪ fH (y)) ∪ (fK (x) ∪ fK (y))
= (fH (x) ∪ fK (x)) ∪ (fH (y) ∪ fK (y))
= (fH d fK )(x) ∪ (fH d fK )(y)
elde edilir.
Tanım 4.22. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. Eğer, her x, y ∈ G için fG (xy) =
fG (yx) oluyorsa fG , U üzerinde bir abelyan esnek birleşimsel-grup olarak adlandırılır.
Açıktır ki G abelyan ise fG de U üzerinde abelyandır.
fu fG olsun. Eğer fN , U üzerinde bir
Tanım 4.23. fG , U üzerinde bir EB-grup ve fN ≤
abelyan EB-grup ise fN nin U üzerinde fG nin bir normal esnek birleşimsel-altgrubu
olduğu söylenir. Bu fN /eu fG ile gösterilir.
fu fG ise fN , U üzerinde fG nin bir normal esnek
Eğer G bir abelyan grup ve fN ≤
birleşimsel-altgrubudur. Bu durum, şayet G bir abelyan grup ise G nin bir H
altgrubunun G de normal olduğu gerçeğiyle benzerlik gösterir.
Örnek 4.24. U = Z8 evrensel küme ve G = S3 parametrelerin kümesi olsun. Bir
fG esnek kümesini fG (e) = {2, 3}, fG ((12)) = fG ((23)) = fG ((13)) = {1, 2, 3, 5, 7}
ve fG ((123)) = fG ((132)) = {1, 2, 3, 5} şeklinde oluşturalım. fG nin U üzerinde
bir EB-grup olduğu kolayca gösterilebilir.
N = A3 = {e, (123), (132)} ≤ S3
alterne grup olsun ve S3 üzerinde fN esnek kümesi; fN (e) = {3} ve fN ((123)) =
fu fG ve fN /eu fG olduğu kolayca
fN ((132)) = {2, 3, 5} şeklinde olsun. Bu durumda fN ≤
gösterilebilir.
Teorem 4.25. U üzerinde fH /eu fG ve fK /eu fG olsun. O zaman U üzerinde
fH d fK /eu fG
23
dir.
İspat . Teorem 4.19 da, fG nin iki esnek birleşimsel-altgrubunun kısıtlı birleşiminin
U üzerinde fG nin bir esnek birleşimsel-altgrubu olduğu gösterilmiştir. Tanım 3.37
den her x ∈ H ∩ K 6= ∅ için (fH d fK )(x) = fH (x) ∪ fK (x) idi. Şimdi x, y ∈ H ∩ K
ise
(fH d fK )(xy) = fH (xy) ∪ fK (xy)
= fH (yx) ∪ fK (yx), fH , fK /eu fG
= (fH d fK )(yx)
olur. Böylece U üzerinde fH d fK /eu fG dir.
fu fG öyleki her x ∈ H için fH (e) = fH (x) ve fK /eu fG
Teorem 4.26. U üzerinde fH ≤
olsun. O zaman, U üzerinde fH d fK /eu fG dir.
İspat . fG nin iki esnek birleşimsel-altgrubunun kısıtlı birleşiminin U üzerinde fG
nin bir esnek birleşimsel-altgrubu olduğu gerçeği Teorem 4.19 da gösterilmiştir.
Şimdi biz fH dfK nın fG nin bir normal esnek birleşimsel-altgrubu olduğunu gösterelim.
Teorem 4.7 den her y ∈ H için fH (xy) = fH (yx) idi. Şimdi,
(fH d fK )(xy) = fH (xy) ∪ fK (xy)
= fH (yx) ∪ fK (yx)
= (fH d fK )(yx)
Bu nedenle, U üzerinde fH d fK /eu fG elde edilir.
Bu bölümde anti görüntüyü ve bir esnek kümenin e-sol kosetini tanımlayıp bu
tanımların esnek birleşimsel gruplarla olan ilişkisini inceleyeceğiz. Ayrıca esnek
birleşimsel grubun grup teoriye bazı uygulamalarını vereceğiz.
Tanım 4.27. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. O halde fG nin e-kümesi GfG ile
gösterilir ve
GfG = {x ∈ G : fG (x) = fG (e)}
24
şeklinde tanımlanır.
Teorem 4.28. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman GfG , G nin bir
altgrubudur.
İspat . e ∈ GfG olduğu açıktır ve ∅ 6= GfG ⊆ G dir. Her x, y ∈ GfG için xy −1 ∈
GfG olduğunu göstermeliyiz. x, y ∈ GfG olduğundan fG (x) = fG (y) = fG (e) dir.
Önerme 4.4 den her x, y ∈ GfG için fG (e) ⊆ fG (xy −1 ) dir. fG , U üzerinde bir
EB-grup olduğundan her x, y ∈ GfG için, fG (xy −1 ) ⊆ fG (x) ∪ fG (y) = fG (e) dir.
fG (xy −1 ) = fG (e) olup xy −1 ∈ GfG dir. O halde GfG , G nin bir altgrubudur.
Eğer G abelyan ise GfG nin G nin bir normal altgrubu olduğuna dikkat edilmelidir.
Önerme 4.29. fG , U üzerinde bir abelyan EB-grup olsun. O zaman GfG , G nin
bir normal altgrubudur.
İspat . g ∈ G ve x ∈ GfG olsun. O zaman
fG (gxg −1 ) = fG (gg −1 x)
= fG (x)
= fG (e)
Bu yüzden, gxg −1 ∈ GfG dir. Böylece GfG , G de normaldir.
Tanım 4.30. fG , U üzerinde bir EB-grup ve x ∈ G olsun. Her g ∈ G için
xfˆG : G → U
xfˆG (g) = fG (gx−1 ) dönüşümünü tanımlayalım. xfˆG , x ve fG tarafından belirlenen
sol yan küme olarak adlandırılır.
Tanım 4.30 dan, efˆG = fG olduğu açıktır.
25
Tanım 4.31. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman GfˆG ile ifade edilen fG
nin e-sol koset kümesi
GfˆG = {x ∈ G : xfˆG = efˆG }
şeklinde tanımlanır.
Teorem 4.32. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman GfˆG , G nin bir
altgrubudur.
İspat . e ∈ GfˆG olduğu açıktır ve ∅ 6= GfˆG ⊆ G dir. Her g ∈ G ve x, y ∈
GfˆG için xy −1 ∈ GfˆG olduğunu yani fG (g(xy −1 )−1 ) = fG (ge−1 ) = fG (g) olduğunu
göstermeliyiz. x, y ∈ GfˆG ve fG , U üzerinde bir EB-grup olduğundan, g ∈ G
ve x, y ∈ GfˆG için fG (gx−1 ) = fG (gy −1 ) = fG (ge−1 ) = fG (g) olduğunu biliyoruz.
Böylece her g ∈ G ve x, y ∈ GfˆG için
fG (g(xy −1 )−1 ) = fG (g(yx−1 ))
= fG (gy(g −1 g)x−1 )
= fG (g(yg −1 )(gx−1 ))
⊆ fG (g) ∪ fG (yg −1 ) ∪ fG (gx−1 )
= fG (g) ∪ fG ((gy −1 )−1 ) ∪ fG (g)
= fG (g) ∪ fG (gy −1 ) ∪ fG (g)
= fG (g) ∪ fG (g) ∪ fG (g)
= fG (g)
olur. Benzer şekilde fG (g) ⊆ fG (g(xy −1 )−1 ) olduğu gösterilebilir. Böylece her g ∈ G
ve x, y ∈ GfˆG için fG (g(xy −1 )−1 ) = fG (g) dir. O halde xy −1 ∈ GfˆG olup GfˆG , G nin
bir altgrubudur.
Teorem 4.33. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. O halde GfG = GfˆG dir.
İspat . a ∈ GfˆG olsun. O zaman afˆG = efˆG dir. Yani, her g ∈ G için
fG (ga−1 ) = fG (g)
26
dir. Eğer g = e seçersek,
fG (a−1 ) = fG (e)
olur. Bu da a−1 ∈ GfG anlamına gelir ve dolayısıyla a ∈ GfG olur. Çünkü GfG , G
nin bir altgrubudur. Böylece
GfˆG ⊆ GfG
olur. Diğer taraftan, b ∈ GfG olsun. O zaman
fG (b) = fG (e)
dir. b ∈ GfˆG olduğunu göstermek için, bfˆG = efˆG yani her g ∈ G için
fG (gb−1 ) = fG (g)
olduğunu göstermeliyiz. g ∈ G olsun. O zaman
fG (gb−1 ) ⊆ fG (g) ∪ fG (b)
= fG (g) ∪ fG (e)
= fG (g)
Yine, her g ∈ G için
fG (g) = fG (g(b−1 b))
= fG ((gb−1 )b)
⊆ fG (gb−1 ) ∪ fG (b)
= fG (gb−1 ) ∪ fG (e)
= fG (gb−1 )
elde edilir. Buradan GfG ⊆ GfˆG olur ve böylece GfˆG = GfG elde edilir.
27
Tanım 4.34. fA ve fB ortak evrensel küme U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, A dan
B ye bir fonksiyon olsun. O halde U üzerinde her b ∈ B için

 S{f (a) | a ∈ A ve Ψ(a) = b}, b ∈ Ψ(A)
A
(Ψ(fA ))(b) =
 ∅,
diger
şeklinde tanımlanan Ψ(fA ) esnek kümesine fA nın Ψ altında esnek görüntüsü denir.
Ayrıca her a ∈ A için U üzerinde
(Ψ−1 (fB ))(a) = fB (Ψ(a))
şeklinde tanımlanan Ψ−1 (fB ) esnek kümesine fB nin Ψ altında esnek ön görüntüsü
denir.
Tanım 4.35. fA ve fB ortak evrensel küme U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, A dan
B ye bir fonksiyon olsun. O halde U üzerinde her b ∈ B için

 T{f (a) | a ∈ A ve Ψ(a) = b}, b ∈ Ψ(A)
A
?
(Ψ (fA ))(b) =
 ∅,
diger
şeklinde tanımlanan Ψ? (fA ) esnek kümesine fA nın Ψ altında esnek ters görüntüsü
denir.
Teorem 4.36. A1 , A2 ⊆ A olmak üzere fA1 ve fA2 ortak evrensel küme U üzerinde
iki esnek küme ve Ψ, A dan B ye bir fonksiyon olsun. O zaman
e fA2 ) = Ψ? (fA1 )∩
e Ψ? (fA2 )
a) Ψ? (fA1 ∩
e A2 ise Ψ? (fA1 )⊆Ψ
e ? (fA2 ) dir.
b) Eğer fA1 ⊆f
İspat . a) Tanım 3.30 ve Tanım 4.35 den ispat açıktır.
28
b) b ∈ B olsun, o zaman
(Ψ? (fA1 ))(b) =
⊆
\
\
{fA1 (a) : a ∈ A1 , Ψ(a) = b}
{fA2 (a) : a ∈ A2 , Ψ(a) = b}
= (Ψ? (fA2 ))(b)
olur ki bu ispatı tamamlar.
Teorem 4.37. fΦ boş esnek küme, fA˜ , A-evrensel esnek küme ve Ψ, A dan A ya
bir fonksiyon olsun. O zaman,
a) Ψ(fΦ ) = fΦ , Ψ−1 (fΦ ) = fΦ ve Ψ? (fΦ ) = fΦ dir.
b) Ψ−1 (fA˜ ) = fA˜ dır ve eğer Ψ bir örten fonksiyon ise o zaman Ψ(fA˜ ) = fA˜ ve
Ψ? (fA˜ ) = fA˜ dır.
İspat . Tanım 3.23, Tanım 4.34 ve Tanım 4.35 den ispat açıktır.
Teorem 4.38. fA ve fB , U üzerinde esnek kümeler, fAec , fBec sırasıyla onların tümleyen
esnek kümeleri ve Ψ, A dan B ye bir fonksiyon olsun. O zaman,
a) Ψ−1 (fBec ) = (Ψ−1 (fB ))ec
b) Ψ(fAec ) = (Ψ? (fA ))ec ve Ψ? (fAec ) = (Ψ(fA ))ec
dır.
İspat . a) a ∈ A olsun. O zaman
(Ψ−1 (fBec ))(a) = fBec (Ψ(a))
= U \ fB (Ψ(a))
= U \ Ψ−1 (fB (a))
= (Ψ−1 (fB ))ec (a)
olup böylece Ψ
−1
(fBec )
29
= (Ψ (fB )) elde edilir.
−1
e
c
b) b ∈ B olsun. O zaman
(Ψ(fAec ))(b) =
=
[
[
{fAec (a) : a ∈ A, Ψ(a) = b}
{U \ fA (a) : a ∈ A, Ψ(a) = b}
\
= U \ {( fA (a)) : a ∈ A, Ψ(a) = b}
= U \ Ψ? (fA )(b)
= (Ψ? (fA ))ec (b)
olur böylece Ψ(fAec ) = (Ψ? (fA ))ec dır ve benzer şekilde
(Ψ? (fAec ))(b) =
=
\
\
{fAec (a) : a ∈ A, Ψ(a) = b}
{U \ fA (a) : a ∈ A, Ψ(a) = b}
[
= U \ {( fA (a)) : a ∈ A, Ψ(a) = b}
= U \ Ψ(fA )(b)
= (Ψ(fA ))ec (b)
olur ve Ψ? (fAec ) = (Ψ(fA ))ec elde edilir.
Teorem 4.39. fG ve fH , U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, G den H a bir grup
izomorfizması olsun. Eğer fG , U üzerinde bir EK-grup ise Ψ(fG ), U üzerinde bir
EK-gruptur (Çıtak, 2011).
Teorem 4.40. fG ve fH , U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, G den H a bir grup
homomorfizması olsun. Eğer fH , U üzerinde bir EK-grup ise o zaman Ψ−1 (fH ), U
üzerinde bir EK-gruptur (Çıtak, 2011).
Teorem 4.41. fG ve fH , U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, G den H a bir grup
homomorfizması olsun. Eğer fH , U üzerinde bir EB-grup ise o zaman Ψ−1 (fH ), U
üzerinde bir EB-gruptur.
30
İspat . fH , U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman Teorem 4.16 dan fHec , U
üzerinde bir EK-gruptur ve Teorem 4.40 dan Ψ−1 (fHec ), U üzerinde bir EK-gruptur.
Böylece,Teorem 4.38 (a) dan Ψ−1 (fHec ) = (Ψ−1 (fH ))ec , U üzerinde EK-gruptur. Bu
nedenle, Teorem 4.16 dan Ψ−1 (fH ), U üzerinde bir EB-gruptur.
Teorem 4.42. fG ve fH , U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, G den H a bir grup
izomorfizması olsun. Eğer fG , U üzerinde bir EB-grup ise o zaman Ψ? (fG ), U
üzerinde bir EB-gruptur.
İspat . fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. O halde, Teorem 4.16 dan fGec , U üzerinde
bir EK-grup ve Teorem 4.39 dan Ψ(fGec ), U üzerinde bir EK-gruptur. Böylece,
Teorem 4.38 (b) den Ψ(fGec ) = (Ψ? (fG ))ec , U üzerinde bir EK-gruptur. Bu nedenle,
Teorem 4.16 dan Ψ? (fG ), U üzerinde bir EB-gruptur.
Teorem 4.43. fG ve fH , U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, G den H a bir grup
homomorfizması olsun. Eğer U üzerinde fH /eu fG ise U üzerinde Ψ−1 (fH )/eu fG dir.
İspat . Eğer U üzerinde fH /eu fG ise fH ın kendisi U üzerinde bir EB-gruptur.
Teorem 4.41 den Ψ−1 (fH ), U üzerinde bir EB-gruptur. Bu yüzden biz sadece her
x, y ∈ G için Ψ−1 (fH )(xy) = Ψ−1 (fH )(yx) olduğunu göstereceğiz. x, y ∈ G olsun, o
halde
Ψ−1 (fH )(xy) = fH (Ψ(xy))
= fH (Ψ(x)Ψ(y))
= fH (Ψ(y)Ψ(x)), fH /eu fG
= fH (Ψ(yx))
= Ψ−1 (fH )(yx)
elde edilir. Böylece, U üzerinde Ψ−1 (fH )/eu fG dir.
5 EB-GRUPLARIN BAZI KARAKTERİZASYONLARI
Tanım 5.1. fG , U üzerinde bir EB-grup ve Θ, G den kendisine bir dönüşüm olsun.
fGΘ : G → P (U )
her x ∈ G için fGΘ (x) = fG (Θ(x)) dönüşümünü tanımlayalım. O zaman, G nin
herbir Θ otomorfizması için fGΘ = fG ise fG , U üzerinde bir karakteristik esnek
birleşimsel-grup olarak adlandırılır.
Teorem 5.2. fG , U üzerinde bir EB-grup ve Θ, G nin bir homomorfizması olsun.
O zaman fGΘ , U üzerinde bir EB-gruptur .
İspat . Her x, y ∈ G için fGΘ (xy) ⊆ fGΘ (x) ∪ fGΘ (y) olduğunu göstermeliyiz. Her
x, y ∈ G için
fGΘ (xy) = fG (Θ(xy))
= fG (Θ(x)Θ(y)), Θ homomorf izma
⊆ fG (Θ(x)) ∪ fG (Θ(y)), fG EB − grup
= fGΘ (x) ∪ fGΘ (y)
olur. Yine,
fGΘ (x−1 ) = fG (Θ(x−1 ))
= fG (Θ(x))−1
= fG (Θ(x)−1 )
= fG (Θ(x)), fG EB − grup
= fGΘ (x)
elde edilir.
Teorem 5.3. fG , U üzerinde bir EB-grup, fG bijektif bir dönüşüm ve Θ, G nin bir
epimorfizması olsun. O halde, fGΘ nın U üzerinde bir abelyan EB-grup olması için
gerek ve yeter şart G nin bir abelyan grup olmasıdır.
32
İspat . fG , U üzerinde bir EB-grup, Θ, G nin bir epimorfizması ve G bir abelyan
grup olsun. Önceki teoremde fG nin U üzerinde bir EB-grup olması ve Θ nın G
nin bir homomorfizması olması halinde fGΘ nın U üzerinde bir EB-grup olduğunu
gösterdik. Bu yüzden şimdi sadece fGΘ nın U üzerinde bir abelyan EB-grup olduğunu
göstereceğiz. Her x, y ∈ G için
fGΘ (xy) = fG (Θ(xy))
= fG (Θ(yx))
= fGΘ (yx)
olur. Bu da fGΘ nın U üzerinde bir abelyan EB-grup olduğunu gösterir.
Tersine, Θ nın G nin bir epimorfizması olduğu yerde fGΘ , U üzerinde bir abelyan
EB-grup olsun. O zaman her x, y ∈ G için
fGΘ (xy) = fGΘ (yx) ⇒ fG (Θ(x)Θ(y)) = fG (Θ(y)Θ(x))
⇒ Θ(x)Θ(y) = Θ(y)Θ(x), fG bijektif
Buradan G nin bir abelyan grup olması sonucu çıkar.
Teorem 5.4. fG , U üzerinde bir karakteristik EB-grup ise o zaman fG bir abelyan
EB-gruptur.
İspat . Her x, y ∈ G için fG (xy) = fG (yx) olduğunu göstermeliyiz. Θ, x ∈ G ve
her g ∈ G için
Θ(g) = x−1 gx
ile tanımlanmış G nin bir otomorfizması olsun. Θ nın iç otomorfizma olarak adlandırılan
G nin bir otomorfizması olduğu açıktır. fG , U üzerinde bir karakteristik EB-grup
33
olduğundan
fGΘ
= fG dir. Bu nedenle
fG (xy) = fGΘ (xy)
= fG (Θ(xy))
= fG (x−1 (xy)x)
= fG ((x−1 x)(yx))
= fG (yx)
Bu yüzden fG bir abelyan EB-gruptur.
Tanım 5.5. fG , U üzerinde bir EB-grup, fH ve fK , fG nin EB-altgrupları olsun.
Her g ∈ G ve bazı x ∈ G için
fH (g) = fK (x−1 gx)
oluyorsa fH , fK ya esnek eşleniktir denir.
Teorem 5.6. Eşleniklik, bir esnek birleşimsel-grubun esnek birleşimsel-altgruplarının
ailesinde bir denklik bağıntısıdır.
Bu teoremin bir sonucu olarak bir esnek birleşimsel-grubun esnek birleşimsel-altgruplarının
ailesi, birbirine eş esnek birleşimsel-altgruplardan oluşan esnek birleşimsel-altgrupların
ikili ayrık sınıflarının bir birleşimidir. Şimdi bir esnek birleşimsel-grubun farklı
eşleniklerinin sayısını veren bir ifade elde edeceğiz.
Sonuç 5.7. fG , U üzerinde bir EB-grup ve g ∈ G olsun. fGg dönüşümünü
fGg : G → P (U )
her x ∈ G için fGg (x) = fG (g −1 xg) şeklinde tanımlayalım.
34
Teorem 5.8. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. O halde, her g ∈ G için fGg , U
üzerinde bir EB-gruptur.
İspat . Her x, y ∈ G için fGg (xy) ⊆ fGg (x) ∪ fGg (y) olduğunu göstermeliyiz. x, y ∈ G
olsun. O zaman
fGg (xy) = fG (g −1 (xy)g)
= fG (g −1 x(gg −1 )yg)
= fG ((g −1 xg)(g −1 yg))
⊆ fG (g −1 xg) ∪ fG (g −1 yg))
= fGg (x) ∪ fGg (y)
olur. Yine,
fGg (x−1 ) = fG (g −1 x−1 g)
= fG ((g −1 xg)−1 )
= fG (g −1 xg), fG EB − grup
= fGg (x)
elde edilir.
Tanım 5.9. Teorem 5.8 de ki fGg EB-grubuna fG ve x ∈ G tarafından belirlenen U
üzerindeki eşlenik esnek birleşimsel-grup denir.
Tanım 5.10. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman,
N (fG ) = {g ∈ G : fGg = fG }
kümesine fG nin esnek normalleyeni denir.
Teorem 5.11. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman N (fG ), G nin bir
altgrubudur.
35
İspat . e ∈ N (fG ) olduğundan N (fG ) =
6 ∅ dır. a, b ∈ N (fG ) olsun. O halde her
x ∈ G için
fGab (x) = fG ((ab)−1 x(ab))
= fG (b−1 a−1 xab)
= fG (b−1 (a−1 xa)b)
= fGb (a−1 xa)
= fG (a−1 xa), b ∈ N (fG )
= fGa (x)
= fG (x), a ∈ N (fG )
olur. Böylece fGab = fG ve ab ∈ N (fG ) dir.
Yine x ∈ N (fG ) ve y = x−1 olsun. y ∈ N (fG ) olduğunu göstermeliyiz.
Herhangi bir w ∈ G için,
fGy (w) = fG (y −1 wy)
= fG (xwx−1 )
= fG ((x−1 w−1 x)−1 )
= fG (x−1 w−1 x)
= fGx (w−1 )
= fG (w−1 ), fGx = fG
= fG (w)
olur. Böylece fGy = fG ve bu yüzden y ∈ N (fG ) dir. Dolayısıyla N (fG ), G nin bir
altgrubudur.
Teorem 5.12. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. fG nin U üzerinde bir abelyan
EB-grup olması için gerek ve yeter şart N (fG ) = G olmasıdır.
36
İspat . fG , U üzerinde bir abelyan EB-grup ve g ∈ G olsun. O zaman herhangi bir
w ∈ G için
fGg (w) = fG (g −1 wg)
= fG ((g −1 g)w), fG abelyan
= fG (w)
olur. Böylece fGg = fG ve dolayısıyla g ∈ N (fG ) dir. Buradan N (fG ) = G sonucu
çıkar.
Tersine, N (fG ) = G ve x, y ∈ G olsun. fG nin bir abelyan EB-grup olduğunu
göstermek için her x, y ∈ G için
fG (xy) = fG (yx)
olduğunu göstermeliyiz. N (fG ) = G olup x ∈ G için x−1 ∈ N (fG ) olduğundan
fG (xy) = fG (xy(xx−1 ))
= fG ((x−1 )−1 (yx)x−1 )
−1
= fGx (yx)
= fG (yx)
olur. Böylece fG bir abelyan EB-gruptur.
Teorem 5.13. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. G bir sonlu grup olmak üzere fG
nin farklı eşleniklerinin sayısı [G : N (fG )] ye eşittir. Yani, N (fG ) nin G içindeki
indeksidir.
İspat . G nin ayrışımını N (fG ) nin yan kümelerinin birleşimi olarak ifade edelim.
k farklı yan kümelerin sayısı yani [G : N (fG )] olmak üzere
G = x1 N (fG ) ∪ x2 N (fG ) ∪ ... ∪ xk N (fG )
37
olur. x ∈ N (fG ) olsun ve 1 ≤ i ≤ k olacak şekilde bir i ∈ Z seçelim. Daha sonra
g ∈ G için,
fGxi x (g) = fG ((xi x)−1 g(xi x))
= fG (x−1 (x−1
i gxi )x)
= fGx (x−1
i gxi )
= fG (x−1
i gxi ), x ∈ N (fG )
= fGxi (g)
olur. Böylece her x ∈ N (fG ) ve 1 ≤ i ≤ k için
fGxi x (g) = fGxi (g)
olur. Aynı xi N (fG ) yan kümesinde yer alan G nin her hangi iki elemanı fG nin
aynı fGxi eşleniğini verir. Şimdi iki farklı yan kümenin fG nin iki farklı yan kümesini
vereceğini göstereceğiz. Bunun için i 6= j ve 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ k olmak üzere
x
fGxi = fGj
olduğunu kabul edelim. Böylece her g ∈ G için
x
x
fGxi = fGj ⇔ fGxi (g) = fGj (g)
−1
⇔ fG (x−1
i gxi ) = fG (xj gxj )
olur. Eğer g = xj tx−1
j seçersek, her t ∈ G için
−1
−1
−1
−1
−1
−1
fG (x−1
i xj txj xi ) = fG (xj xj txj xj ) ⇒ fG ((xj xi ) t(xj xi )) = fG (t)
x−1 xi
⇒ fGj
(t) = fG (t)
⇒ x−1
j xi ∈ N (fG )
⇒ xi N (fG ) = xj N (fG )
38
elde edilir. Fakat eğer i 6= j ise, G nin ayrışımını N (fG ) nin yan kümelerinin
birleşimi olarak kabul ettiğimizde bu mümkün olmamaktadır. Bu nedenle fG nin
farklı eşleniklerinin sayısı [G : N (fG )] ye eşittir.
Teorem 5.14. fG , U üzerinde bir EB-grup ve fN , fG nin bir EB-altgrubu olsun.
fN nin fG nin bir normal EB-altgrubu olması için gerek ve yeter şart fN nin N nin
herbir eşlenik sınıfında sabit olmasıdır.
İspat . Kabul edelim ki fN /eu fG olsun. O zaman her x, y ∈ N için
fN (y −1 xy) = fN (y −1 yx) = fN (x) dir.
fu fG olduğundan fN bir
Tersine fN , N nin herbir eşlenik sınıfında sabit olsun. fN ≤
EB-gruptur. Bu nedenle fN nin abelyan olduğunu göstermek yeterlidir. x, y ∈ N
olsun. O zaman
fN (xy) = fN (xy(xx−1 ))
= fN (x(yx)x−1 )
= fN (yx)
olup bu fN nin fG nin bir normal EB-altgrubu olduğunu gösterir.
Teorem 5.15. fG , U üzerinde bir EB-grup ve fN , fG nin bir normal EB-altgrubu,
β ⊆ U ve β ⊇ fN (e) olsun. O halde
fN⊆β = {x ∈ N | fN (x) ⊆ β}
kümesi N nin bir normal altgrubudur.
İspat . β ⊇ fN (e) olduğundan e ∈ fN⊆β ve ∅ 6= fN⊆β ⊆ N dir. Şimdi x, y ∈ fN⊆β
olsun. O zaman fN (x) ⊆ β ve fN (y) ⊆ β dır. Buradan
fN (xy −1 ) ⊆ fN (x) ∪ fN (y)
⊆ β∪β =β
sonucu çıkar ki bu da xy
−1
∈
fN⊆β
39
olduğunu gösterir. Şimdi x ∈ fN⊆β ve n ∈ N
olduğunu kabul edelim. fN /eu fG olduğundan Teorem 5.14 den fN , N nin her eşlenik
sınıfında sabittir. O halde her n ∈ N ve x ∈ fN⊆β için
fN (nxn−1 ) = fN (x) ⊆ β
olup nxn−1 ∈ fN⊆β elde edilir ki bu ispatı tamamlar.
Şimdi bir grubun komütatörleri açısından EB-grubun alternatif formülasyonunu
veriyoruz. Öncelikle G herhangi bir grup x, y ∈ G olduğunda x−1 y −1 xy elemanı
genellikle [x, y] ile gösterilir ve bu x ve y nin “komütatörü" olarak adlandırılır. Eğer
G abelyan ise her x, y ∈ G için [x, y] = e dir.
Önerme 5.16. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun.
i) Eğer fG , U üzerinde bir abelyan EB-grup ise her x, y ∈ G için fG [x, y] = fG (e)
dir.
ii) fG nin bijektif fonksiyon olduğu yerde eğer her x, y ∈ G için fG [x, y] = fG (e)
ise o zaman fG , U üzerinde bir abelyan EB-gruptur.
İspat . i) fG , U üzerinde bir abelyan EB-grup olsun. O halde,
fG [x, y] = fG (x−1 y −1 xy)
= fG (x−1 (y −1 y)x)
= fG (e)
olur. ii) Her x, y ∈ G için
fG [x, y] = fG (x−1 y −1 xy) = fG (e) ⇔ x−1 y −1 xy = e, ( fG bijektif )
⇔ yx = xy
⇔ fG (yx) = fG (xy)
40
olup bu fG nin U üzerinde bir abelyan EB-grup olduğunu belirtmektedir.
Teorem 5.17. fG , U üzerinde bir EB-grup olsun. fN nin fG nin bir normal
EB-altgrubu olması için gerek ve yeter şart her x, y ∈ N için fN [x, y] ⊆ fN (x)
olmasıdır.
İspat . Kabul edelim ki her x, y ∈ N için fN , fG nin bir normal EB-altgrubu olsun.
O zaman,
fN [x, y] = fN (x−1 y −1 xy) ⊆ fN (x−1 ) ∪ fN (y −1 xy)
= fN (x) ∪ fN ((y −1 y)x)
= fN (x) ∪ fN (x)
= fN (x)
olur. Tersine her x, y ∈ N için fN [x, y] ⊆ fN (x) olsun. Teorem 5.14 den fN /eu fG
olduğunu göstermek için fN nin N nin herbir eşlenik sınıfında sabit olduğunu göstermek
yeterlidir. x, z ∈ N olsun.
fN (x−1 zx) = fN ((zz −1 )x−1 zx)
⊆ fN (z(z −1 x−1 zx))
⊆ fN (z) ∪ fN [z, x]
= fN (z)
elde edilir. Böylece
fN (x−1 zx) ⊆ fN (z)
41
olur. Yine
fN (z) = fN ((xx−1 )z(xx−1 ))
= fN (x(x−1 zx)x−1 )
⊆ fN (x) ∪ fN (x−1 zx) ∪ fN (x−1 )
= fN (x) ∪ fN (x−1 zx) ∪ fN (x)
= fN (x) ∪ fN (x−1 zx)
elde edilir. Eğer fN (x) ∪ fN (x−1 zx) = fN (x) ise her x, z ∈ N için fN (z) ⊆ fN (x)
olduğunu elde ederiz. Bu da fN nin bir sabit fonksiyon olduğu anlamına gelir. Bu
durumda açıkça görülüyorki fN (x−1 zx) ⊆ fN (z) dir. Bu nedenle sonuç hemen alınır.
Bu yüzden fN (x) ∪ fN (x−1 zx) = fN (x−1 zx) olduğunu göz önüne alalım. O halde,
fN (z) ⊆ fN (x−1 zx) ve böylece fN (x−1 zx) = fN (z) dir. Dolayısıyla fN , fG nin bir
esnek normal birleşimsel-altgrubudur.
fu fG ve fN U üzerinde bir abelyan EB-grup olsun. O halde fN /eu fG
Not 5.18. fN ≤
olduğu açıktır. Aslında fN bir abelyan EB-grup olduğundan, Önerme 5.16 dan her
x, y ∈ N için fN [x, y] = fN (e) ⊆ fN (x) dir. fN [x, y] ⊆ fN (x) olduğundan fN /eu fG
dir.
6 SONUÇ
Bu tez çalışmasında, öncelikle grup teorisi ve esnek kümelerle ilgili kullanacağımız
temel tanım ve teoremler verildikten sonra esnek birleşimsel grupların tanımı verildi.
Daha sonra, normal esnek birleşimsel alt grup, karakteristik esnek birleşimsel grup,
eşlenik esnek birleşimsel grup, esnek normalleyen kavramları verildi ve grup teorisindeki bazı sunuçlardan yararlanılarak bunlarla ilgili bazı temel özellikler incelendi.
Bunlara ilaveten, esnek birleşimsel gruplar ve esnek kesişimsel gruplar arasındaki
ilişkiler araştrıldı. Bu çalışmalar kullanılarak esnek kümeler üzerinde diğer cebirsel
yapılar çalışılabilir.
KAYNAKLAR
Acar, U., Koyuncu, F. and Tanay, B., 2010. Soft sets and soft rings. Computers and
Mathematics with Applications, 59, 3458-3463.
Aktaş, H. and Çağman, N., 2007. Soft sets and soft groups. Information Sciences, 177(1),
2726-2735.
Asar, A. O., Arıkan, A., Arıkan, A., 2009. Cebir , Eflatun Yayınları, Ankara.
Aygünoğlu, A. and Aygün, H., 2009. Introduction to fuzzy soft groups. Computers and
Mathematics with Applications, 58, 1279-1286.
Atagün, A.O. and Sezgin, A., 2011 Soft substructures of rings, fields, and modules.
Computers and Mathematics with Applications, 61 (3), 592-601.
Babitha, K. V. and Sunil, J. J., 2010. Soft set relations and functions. Computers and
Mathematics with Applications, 60, 1840-1849.
Chen, D., Tsang, E.C.C., Yeung, D.S., 2003. Some
notes
on
the
parameterization
reduction of soft sets. International Conference on Machine Learning and
Cybernetics, 3, 1442-1445.
Dummit, D. S., Foote, R.,M., 2009. Abstract Algebra, John Wiley and Sons, United
States of America.
Çağman, N., Çıtak, F. and Aktaş, H., 2012 Soft int-groups and its applications to group
theory. Neural Computing and Applications, 21, 151-158.
Çağman, N., and Enginoğlu, S., 2010. Soft set theory and uni-int decision making.
European Journal of Operational Research, 207, 848-855.
Çağman, N., Sezgin, A. and Atagün, A. O., 2011 α-inclusions and their applications to
group theory. submitted.
Feng, F., Liu, X. Leoreanu-Fotea, V. and Jun, Y. B., 2011. Soft sets and soft rough sets.
Information Sciences, 181, 1125-1137.
44
Feng, F., Jun, Y. B. and Zhao, X., 2008 Soft semirings. Computers and Mathematics
with Applications, 56(10), 2621-2628.
Gong, K., Xiao, Z. and Zhang, X., 2010. The bijective soft set with its operations.
Computers and Mathematics with Applications, 60, 2270-2278.
Jun, Y. B., 2008 Soft
BCK/BCI-algebras.
Computers
and
Mathematics
with
Applications, 56(1), 1408-1413.
Jun, Y. B. and Park, C. H., 2008 Applications
of
soft
sets
in
ideal
theory
of
BCK/BCI-algebras. Information Sciences, 178 (1), 2466-2475.
Kaygısız, K., 2012a. On soft int-groups, 4(2), 365-375.
Kaygısız, K., 2012b. 2012. Normal soft int-groups, arXiv:1209.3157v1
Maji, P.K., Biswas, R. and Roy, A.R., 2001. Fuzzy
soft
sets.
Journal
of
Fuzzy
Mathematics, 9(3), 589-602.
Maji, P.K., Roy, A.R. and Biswas, R., 2002 An application of soft sets in a decision
making problem. Computers and Mathematics with Applications, 44 (1),
1077-1083.
Maji, P. K., Bismas, R. and Roy, A.R., 2003 Soft
set
theory.
Computers
and
Mathematics with Applications, 45 (1), 555-562.
Maji, P.K., Roy, A.R. and Biswas, R., 2004. On Intuitionistic Fuzzy soft sets. J. Fuzzy
Math, 12(3) 669-683.
Majumdar, P. and Samanta, S. K., 2010. Generalised fuzzy soft sets. Computers and
Mathematics with Applications, 59, 1425-1432.
Molodtsov, D., 1999. Soft set theory-first results. Computers and Mathematics with
Applications, 37(1), 19-31.
Molodtsov, D., 2004. The Theory of Soft Sets (in Russian). URSS Publishers, Moscow.
Molodtsov, D. A., Leonov V. Yu. and Kovkov D. V., 2006. Soft Sets Technique and Its
Application. Nechetkie Sistemy i Myagkie Vychisleniya, 1(1), 8-39.
45
Mushrif, M.M., Sengupta, S. and Ray, A.K., 2006. Texture Classification Using a Novel,
Soft-Set Theory Based Classification, Algorithm. Lecture Notes In Computer
Science, 3851 246-254.
Park, C.H., Jun, Y.B. and Öztürk, M.A., 2008 Soft
WS-algebras.
Communation
of
Korean Mathematical Society 23(3), 313-324.
Pawlak, Z., 1982. Rough sets. International Journal of Information and Computer
Sciences, 11(1), 341-356.
Rotman, J. J., 2009. An Introduction to the Theory of Groups, Springer, United States
of America.
Sezgin, A. and Atagün, A.O., 2011a Soft groups and normalistic soft groups. Computers
and Mathematics with Applications, 62 (2), 685-693.
Sezgin, A., Atagün, A.O. and Çağman, N., 2011b Soft
intersection
near-rings
with
applications. Neural Computing and Applications, 21 (Issue 1-Supplement),
133-143.
Taşçı D. ,2007. Soyut Cebir, Alp Yayınevi, Ankara,
Yang, C., 2011 Fuzzy soft semigroups and fuzzy soft ideals. Computers and Mathematics
with Applications, 61, 255-261.
Zadeh, L.A., 1965. Fuzzy Sets. Inform. and Control, 8(1), 338-353.
46
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Adı Soyadı
: Zeynep Kaya Türk
Doğum Tarihi : 01.03.1984 Gümüşhane-Kelkit
Medeni Hali
: Evli
Yabancı Dili
: İngilizce
Telefon
: 0530 9526880
E-posta
: [email protected]
Eğitim:
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet Tarihi
Yüksek Lisans
Gaziosmanpaşa Üniversitesi
2013
Lisans
Ondokuz Mayıs Üniversitesi
2007
Lise
Ondokuz Mayıs Lisesi
2001
Download

yönergesi - IEL Satranç