Doğrusal Olmayan Sistemlerin Optimal Denetimi için
Yakınsama Yaklaşımı ve Uygulaması
Nurdan Bilgin1, Metin U. Salamcı2
1
Gazi Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi,
Makine Mühendisliği Bölümü
Otomatik Kontrol Laboratuvarı, Maltepe/Ankara
[email protected]
2
Gazi Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi,
Makine Mühendisliği Bölümü, Maltepe/Ankara
[email protected]
Özetçe
Bu çalışmada, doğrusal olmayan sistemlerin denetimi için
ardışık Doğrusal Zamanla Değişen (DZD) sistemlerin
yakınsama algoritması ele alınarak denetici girişi –yakınsama
modelindeki durum değişkenleri cinsinden- yeniden
düzenlenmektedir. Önce ardışık doğrusal zamanla değişen
yakınsamanın, doğrusal olmayan sistem için var olan optimal
denetimi belirlemede kullanılabileceği gösterilmekte, daha
sonra ardışık doğrusal zamanla değişen sistem için optimal
denetim algoritması kullanılarak bu denetimin doğrusal
olmayan sisteme uygulanabilmesi sağlanmaktadır. Yöntemin
geçerliliği, rijit bir uydu modelinin konumunun optimum
denetimi amacıyla benzetimlerle gösterilmektedir.
1. Giriş
Doğrusal olmayan dinamik sistemlerin denetimi, matematik,
fizik ve mühendislik alanlarında, çoğunlukla gerçek
sistemlerin doğrusal olmamaları nedeniyle, önemli bir
araştırma alanını oluşturmaktadır. Uygulama kolaylığı
nedeniyle, bazı kabullerle sistemleri belirli çalışma aralıkları
içerisinde doğrusallaştırarak (veya doğrusal kabul ederek)
denetim algoritmaları tasarlamak yaygın ve geçerli bir yöntem
olarak kabul görmüştür. Ancak günümüz teknolojisinde,
özellikle robotik, havacılık ve savunma sanayi gibi yüksek
doğruluk
gerektiren
alanlarda
dinamik
sistemleri
doğrusallaştırma yaklaşımı yeterli olmamaktadır. Bu durum
araştırmacıları doğrusal olmayan sistemler için geçerli olacak
yeni yöntemler geliştirmeye yönlendirmiştir. Bu yöntemlerden
birisi, doğrusal olmayan sistemlerin ardışık doğrusal zamanla
değişen sistemler dizisi olarak ele alınmasına dayanmaktadır
[1-3]. Doğrusal olmayan sistem, ardışık doğrusal zamanla
değişen sistemler dizisi olarak ele alındığında, doğrusal
sistemler için geliştirilmiş birçok denetim algoritması doğrusal
olmayan sistemler için de kullanılabilir olmaktadır. Böylelikle
yöntemin
çok
değişik
alanlarda
uygulanabilmesi
sağlanmaktadır. Örneğin, doğrusal olmayan sistemlerin ardışık
doğrusal zamanla değişen sistemler olarak ele alınması ile
kayan kipli denetim tasarımı ve doğrusal olmayan sistemin
denetiminin gerçekleştirilmesine yönelik farklı çalışmalar
litaratürde yerini almıştır [4-5].
Doğrusal olmayan sistemler için durum geri besleme
denetimci tasarımı da önemli yer tutmaktadır. Bu alandaki
yaklaşımlardan biri, Durum Değişkenine Bağlı Riccati
Denklemi çözümleri kullanılarak bir nevi durum değişkenine
bağlı geri besleme kazanç katsayıları kullanmayı öneren
SDRE (State Dependent Riccati Equation) yöntemidir.
Yöntem, doğrusal olmayan sistemlerin denetim tasarımında
özellikle benzetimlerde oldukça tatminkar sonuçlar verirken,
sadece lokal kararlılığın ispatlanmış olması nedeniyle
uygulama alanında aynı ölçüde çalışma sonuçları
yayınlanmamıştır [6].
Doğrusal olmayan sistemlerin durum geri besleme denetimci
tasarımı için diğer bir yaklaşım ise, doğrusal olmayan
sistemlerin, yine ardışık Doğrusal Zamanla Değişen (DZD)
sistemler olarak ele alınması yaklaşımıdır. Bu yaklaşım ile
ilgili teorik sonuçlar daha önceki çalışmalarda verilmiştir [1,
2, 7-8]. Özetle; önce doğrusal olmayan sistem, durum
değişkenine bağlı katsayılar matrisleri oluşturularak durum
değişkenleri ve denetim giriş vektörleri cinsinden doğrusal
hale getirilmektedir. Daha sonra, ardışık olarak durum
değişkenine bağlı katsayılar matrisi (durum değişkenlerine
bağlı olarak) değerlendirilmek suretiyle doğrusal zamanla
değişen sistemler elde edilmektedir. Böylelikle denetim
algoritmasının ardışık DZD sistemler için tasarlanması
mümkün olabilmektedir. Diğer bir ifade ile, ardışık DZD
sistemler için durum geri besleme veya optimum denetim
tasarımı gibi farklı denetim tasarımları yapılabilmektedir.
Bu çalışmada, ardışık DZD yaklaşımının optimum denetim
tasarımı ile ilgili uygulamaları ele alınmaktadır. Daha önce
yapılan çalışmalarda, ardışık DZD sistemi için tasarlanan
optimum denetimin DZD sisteme uygulanması sonucunda
elde edilen zaman cevabının doğrusal olmayan sistemin zaman
cevabına yakınsadığı ispat edilmiştir [7-10]. Ancak, ardışık
DZD sistemi için tasarlanan optimum denetimin doğrusal
olmayan sistemin optimum denetimi olduğu kanıtlanmamıştır.
Bu çalışmada, doğrusal olmayan sistem için tasarlanmış
optimum denetimin ardışık DZD sistemleri yardımıyla elde
edilebileceği gösterilmiş, daha sonra doğrusal olmayan
sistemler ardışık DZD ile modellenerek optimum denetim
tasarlanmıştır. Önerilen algoritma, optimum denetimin
belirlenmesi için daha önce önerilmiş başka bir yakınsama
algoritmasının [11] sonuçlarının bulunmasında kullanılmıştır.
İlgili makalede seçilen örnek, kolaylık sağlaması açısından bu
çalışmada
da
kullanılarak,
her
iki
yöntemin
karşılaştırılabilmesi sağlanmıştır. Bu çalışmada daha önce
yapılan çalışmalardan farklı olarak hem sistem denklemlerinde
hem de optimum denetimin belirlenmesinde yakınsama
yaklaşımı kullanılmıştır. Önerilen yöntem, doğrusal olmayan
sistem için optimal bir denetim varsa bu denetimin ardışık
DZD algoritması ile bulunmasını garanti etmektedir. Bu
amaçla çalışma, bölüm 3’de özet olarak verilen Taylor serileri
temelinde, doğrusal olmayan sistemler için yaklaşık optimum
denetim öneren yaklaşım [11] ile karşılaştırılarak, bu
çalışmaya konu olan yöntemin uygulama kolaylığı açısından
avantajları sergilenmektedir.
Çalışmanın 2. bölümünde ardışık DZD yakınsama yöntemi, 3.
bölümünde ise doğrusal olmayan sistemlerin optimum
denetiminin belirlenmesi amacıyla [11]’de tanımlanan yöntem
aktarılmaktadır. 4. bölümde ise optimum denetim için
geliştirilen yöntemin temel teorisi aktarılmaktadır. Ardından
bölüm 5’de önerilen yöntem bir rigit uydu modeline
uygulanmakta ve elde edilen benzetim sonuçları
sunulmaktadır. Sonuçlar ise 6. bölümde tartışılmaktadır.
2. Yakınsama Yöntemi: Doğrusal Olmayan
Sistemin, Doğrusal Zamanla Değişen Sistemler
Olarak Ele alınması
Taylor serisi açılımıyla denge (veya çalışma noktası) etrafında
doğrusal olmayan sistemlerin doğrusallaştırılması, sistem
davranışının çalışılmasında ve uygun denetçi tasarımında
oldukça yaygın olarak kullanılmaktadır. Ancak bu yöntem
denge noktalarının yakın komşuluklarında etkilidir ve
doğrusal olmayan sistemin tüm çalışma koşulları için
geçerliliğini genellikle koruyamaz. Bu bölümde, doğrusal
olmayan sistemlerin bir grubu için doğrusal olmayan sistemin,
ardışık doğrusal zamanla değişen sistemler olarak ele alınması
olarak ifade edilebilen yakınsama tekniği (sayfa sınırlaması
nedeniyle ispatı verilmeksizin) anlatılmaktadır (İspat için
bknz. [1-3]). Aşağıdaki gibi doğrusal olmayan sistem
düşünülürse,
̇ = (), (0) = 0 ∈ ℝ
(1)
[0, ]
aralığında
,
ise
→∞ { [] ()} ⟶ ()
denilebilmektedir. Böylelikle, doğrusal olmayan sistem,
ardışık DZD sistemleri ile modellenebilmekte ve doğrusal
olmayan sistemin analizi veya doğrusal olmayan sistem için
denetim algoritması tasarımı ardışık DZD sistemleri
vasıtasıyla yapılabilmektedir [1-5, 7-10]. Bu çalışmada,
doğrusal olmayan sistem için optimum denetimci tasarımı için
ardışık DZD modelleri kullanılmaktadır.
3. Taylor Seri Açılımı Temelli Yöntem
Doğrusal olmayan sistemlerin optimum denetiminin
belirlenmesi için farklı yöntemler önerilmektedir. Bu bölümde
Chen ve arkadaşları tarafından [11]’de önerilen yöntem, bu
çalışmada verilen yöntemin karşılaştırılması için, ele
alınmıştır. [11]’de doğrusal olmayan sistemin optimum
denetim problemi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
(T1)
∞
() = inf, ∫0 [() (())() + () (())()]
̇ () = (()) + (())() ve (0) = 
Burada () minimize edilecek karesel bir maliyet fonksiyonu
ve () ∈ ℜ , () ∈ ℜ ,  ∈ [0, ∞) dir. Aynı çalışmada
optimum denetimin belirlenmesi için aşağıdaki kabuller
yapılmaktadır.
(K1) (0) = 0, (0) ≠ 0;
(K2) (·), (·), −1 (·), (·), (·), (·) analitik
ℜ ′  sonsuza dek türevlenebilir fonksiyonlardır.
ve
(K3) 1 () = 0, 0 () = 0, ∀ ∈ ℜ , Burada () kuvvet
serisini temsil etmekte ve () = ∑∞
=0  ()
(K4) (T1) ile verilen tanım optimal denetim olarak kabul
edilir.
(K5) 0 () = 0, 1 () = 0 ∀ ∈ ℜ ,   () ’in kuvvet
serisi   () = ∑∞
=0  ().
(K4) kabulüyle, optimum geribesleme denetim girişi aşağıdaki
gibi tanımlanabilir,
Durum değişkenlerine bağlı katsayı matrisi ()’in Lipschitz
koşulunu sağladığı varsayılarak, (1)’de verilen doğrusal
olmayan sistemin, takibeden doğrusal zamanla değişen
sistemler olarak ifade edilmesi mümkündür.
1
()
() = − −1 () ()
,
2

̇ [1] () = (0 ) [1] (),
Burada (T1)’de verilen (∙), Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)
eşitliğini sağlayan fonksiyonun değeridir. (İspat için Bkz.
[11])
 [1] (0) = 0
(2)
⋮
̇ [−1] () =  ( [−2] ())  [−1] (),
̇ [] () =  ( [−1] ())  [] (),

 [−1] (0) = 0
 [] (0) = 0
(3)
(4)
Bu dizinin çözümü, { [] ()}≥1 ,doğrusal olmayan sistemin
çözümüne yakınsar, başka bir ifade ile t belirli bir zaman
()
  () + (
) ()


1 ()
()
− (
) ()−1  ()
4 

= 0.
(5)
(K1)-(K5)’de verilen kabüller temelinde, (∙) (∙)(∙), (∙) =
1
(∙)−1 (∙)(∙) ; (∙); (∙) fonksiyonları orijin etrafında
4
kuvvet (Taylor) serileriyle açılabilir, yani;
∞
(6)
yerine, sistemin her bir yakınsama için, herbir adımda bir
önceki yakınsamanın aynı adımında üretilen durum
değişkenlerini ve sistem matrislerini kullanarak çözdüğü
Diferansiyel Riccati Denkleminin sonucunu kullanması yolu
gözetilmiştir. Diferansiyel Riccati denklemi, son değeri sıfır
olarak verilerek geri integrasyon yöntemiyle çözülmüştür.
Özetle, doğrusal zamanla değişen sistem için optimal geri
besleme kazanç katsayı matrisinin bulunması, yukarıda
bahsedilen yaklaşımla
(7)
̇ [] ()
= −  [] () −  [] () ( [−1] ())
∞
  () = ∑  (),
() = ∑  (),
=2
=0
∞
() = ∑  (), 0 () = 0,
=1
∞
() = ∑  (), 0 () = 0, 1 () = 0,
=2
Burada  (),  (),  (),  () i. dereceden uygun olan
skaler veya matris polinomları temsil etmektedir. Aşağıda bu
çalışmanın konusu yöntem anlatılmakta, ardından [11]’de
verilen örnek her iki yöntemle tekrar çözülerek
karşılaştırılmaktadır.
4. Yakınsama Yönteminin Optimal Denetim için
Genişletilmesi
Bu çalışmada aşağıdaki gibi tanımlanabilen doğrusal olmayan
sistemler ele alınmaktadır. Sistem, durum değişkenlerine bağlı
katsayılar matrisleri kullanılarak standart doğrusal sistem
formuna benzetilmektedir.
̇ = () + (), (0) = 0 ∈ ℝ
(8)
Doğrusal olmayan sistem için optimal bir  = −()() var
olduğu kabul edilirse, optimum geri besleme kazanç katsayı
matrisi ardışık DZD ile tanımlanabilir, yani  [] () =
( [] ()) şeklinde yazılabilir [12]. Böylece  = −()()
(8)’de yerine konularak, denklemin yeni şekli
̇ = (() − ()()), (0) = 0 ∈ ℝ
(9)
formuna dönüşür. Kapalı çevrim sistem matrisi, ̃() =
() − ()() şeklinde tanımlanırsa, sistem aşağıdaki gibi
yazılabilir;
̇ = ̃(), (0) = 0 ∈ ℝ
(10)
̃() matrisinin Lipschitz koşulunu sağladığı kabul
edilmektedir. Uygun kazanç katsayısı bulunabildiğinde,
(10)’da verilen doğrusal olmayan sistemin, ardışık doğrusal
zamanla değişen sistemler olarak ifade edilmesi mümkündür.
̇ [1] () = ̃(0 ) [1] (),
 [1] (0) = 0
(11)
⋮
̇ [−1] () = ̃ ( [−2] ())  [−1] (),
̇ [] () = ̃ ( [−1] ())  [] (),
 [−1] (0) = 0 (12)
 [] (0) = 0
(13)
Bölüm 2’deki yaklaşımla, bu dizinin çözümü de,
{ [] ()}≥1 ,doğrusal olmayan sistemin çözümüne yakınsar,
aynı şekilde t belirli bir zaman aralığında [0, ] , ise
→∞ {
[] ()}
⟶ () denilebilmektedir.
Uygun kazanç katsayısının bulunması problemine geri
dönülürse, başka yöntemlerle kazanç katsayısı oluşturmak
+  [] () ( [−1] ()) −1  ( [−1] ())  [] ()
−  ( [−1] ())  [] ()
şeklinde ifade edilebilen (İspat için bknz. [7, 8]), simetrik,
yarı-pozitif tanımlı denkleminin çözümü ile
 [] () = −1  ( [−1] ())  [] ()
elde edilir. Burada  yakınsama sayısını ifade etmektedir. Elde
edilen kazanç katsayısının, sistemin çözümünde yerine
konulmasıyla kapalı çevrim sistem denklemi
̇ = ̃(),
(0) = 0 ∈ ℝ
şeklinde bulunur.
Aşağıdaki örnekte, bölüm 3 verilen optimum denetim
belirleme yöntemi sonucunda elde edilen denetim girişi,
ardışık DZD yardımıyla elde edilmektedir. Böylelikle,
doğrusal olmayan sistemler için varsa optimum denetimin
ardışık DZD ile belirlenebileceği gösterilmektedir. Örnek
[11]’den alınmıştır. Sürekli karıştırılan tank reaktörün sistem
denklemleri,
−0.0112 − 0.3381 + 0.022
̇
0.02
[ 1] = [
]+[
]
̇ 2
0
0.0512 + 0.1591 − 0.032
Minimize edilecek karesel maliyet fonksiyonundaki ağırlık
10 0
matrisleri,  = [
] ,  = 1 ve başlangıç koşulları
0 1
−1.5
(0) = [
]
3
Bölüm 3’de verilen yöntemle bulunan optimum denetim girişi
fonksiyonunun beşinci dereceden yaklaşık değeri aşağıdaki
gibi bulunmuştur [11].
() = −0.39311 − 0.21632 − 0.034212 − 0.06221 2
− 3.018 × 10−3 22 − 0.0033313
+ 0.00088512 2 + 0.00003281 22
+ 0.000013523 + 1.45 × 10−4 14 − 0.32
× 10−5 13 2 + 0.24 × 10−5 12 22
Belirlenen denetim girişi, bir kez de ardışık DZD yaklaşımı ile
hesaplanmaktadır. Verilen örneğin, bölüm 3 ve bölüm 4’de
anlatılan yöntemlerle çözümünün benzetim sonuçları
aşağıdaki gibidir.
İkinci Durum Değişkenleri x2 karşılaştırılması
3
x2 Önerilen Yöntem
x2 Yue Chen ve ark.
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
200
250
300
Zaman, sn
Şekil 2: İkinci durum değişkenleri 2 karşılaştırılması
Şek. 3’te iki yöntemin kullandığı denetim girişleri-zaman
değişimi karşılaştırılmaktadır.
Şekil 1: Birinci durum değişkenleri 1 karşılaştırılması
Şek. 1-3’te bölüm 3 ve 4’de anlatılan iki yöntemin
çözümlerinin karşılaştırılması verilmektedir. Şek.1’de birinci
durum değişkenlerinin karşılaştırması vardır, birbirine çok
yakın olduğu için (Şek.1’de görüleceği gibi) her iki yöntemin
çözümü çakışık görünmektedir. Farkı gösterebilmek açısından,
Şek.1’nin 16 ve 18. saniyeler arasındaki davranışı
büyütülerek, grafiğe eklenmiştir. Buradaki amaç, yöntemlerin
birbirine benzer fakat aynı olmayan davranışının ortaya
konulmasıdır.
Şek.2’de ve Şek. 3’te de benzer davranış görülmektedir. Aynı
sonuca ulaşıldığı halde bölüm 3’de anlatılan yöntemin işlem
yoğunluğu, yöntemin ikiden fazla durum değişkeni olan
sistemlerde kullanabilirliğini kısıtlamaktadır. Taylor serisi
açılımının birden çok değişkenli sistemler için Eş. 14 ile ifade
edildiği düşünüldüğünde, bu yöntemin kullanımının çok
değişkenli sistemler için zorlaştığı, hatta neredeyse imkansız
hale geldiği söylenebilir.
∞
∞
(1 , … ,  ) = ∑ ∑ ⋯
1 =0 2 =0
∞
(1 − 1 )1 ⋯ ( −  )  1+⋯+ 
∑
( 1
 ) (1 , ⋯ ,  ) (14)
1 ! ⋯  !
1 ⋯  
 =0
Bölüm 4’de anlatılan yöntemin ise değişken sayısına bağlı bir
kısıtı yoktur. Bu çalışmada önerilen yöntemin uygulama
kolaylığı, beşinci bölümde altı durum değişkenli rijit uydu
modelinin optimal denetiminin belirlenmesi ve benzetimleri
ile sunulmaktadır.
Kontrol Girişleri Karşılaştırılması
0.2
u Önerilen Yöntem
u Yue Chen ve ark.
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
0
50
100
150
200
250
300
Zaman, sn
Şekil 3: Denetim girişleri karşılaştırılması
5. Rijit Uydu Matematik Modeli ve Benzetim
Sonuçları
Yukarıda teorik arka planı sunulan yöntem, doğrusal olmayan
hareket denklemlerine sahip bir uydu modeline uygulanarak
geçerliliği sınanmaktadır. Uydu modeli [13] nolu kaynaktan
alınmış olup, hareket denklemleri aşağıdaki gibi verilmektedir.
̇ =  + (   +   )
̇ =    −   
̇ =
   +   
 

0
−
−


 ]  [ ] + [ ]


0
Konum Açılarında Yakınsaklığın Gösterimi
20
Burada: (, , ) sırasıyla yalpa, yunuslama ve sapma açıları,
( ,  ,  ) ise uydunun açısal hız bileşenleridir.  uydunun,
simetrik pozitif tanımlı atalet momenti matrisidir. Kullanılan
kaynakta belirtilmediği için bu çalışmada atalet moment
matrisi aşağıdaki gibi alınmıştır.
1001 19.6 8.3
 = [ 19.6 623 13.6]
8.3 13.6 703
Yunuslama[Pitch] Açısı (deg.)
0
̇
 [̇ ] = [−

̇
15
10
5
0
-5
0
Burada, ( ,  ,  ) gaz jet motoru tarafından sağlanan torkları
temsil etmektedir. Bölüm 4’de verilen kontrol algoritması ile,
doğrusal olmayan dinamik uydu modelinin kontrolünün
benzetim sonuçları aşağıda verilmektedir. Her yakınsamanın
ilk değeri
1. Yakınsama.
3. Yakınsama.
5. Yakınsama.
Doğrusallaştırılmış
50
100
Zaman (sn.)
150
200
Şekil 5: Yunuslama açısı için yakınsaklığın gösterimi.
Konum Açılarında Yakınsaklığın Gösterimi
5
0 = [30 20 − 30 0 0 0] alınmıştır.
0
0
0
0.5
0
0
0 0.25 0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1 0
 = 100 [0 1
0 0
Sapma[Yaw] Açısı(deg.)
1
0
0
 = 1000
0
0
[0
0
0
0
0
0
0
0
ve
0
0
0.5
0
0 0.25]
0
0] tamamen keyfi olarak seçilmiştir.
1
-5
-10
-15
1. Yakınsama.
3. Yakınsama.
5. Yakınsama.
Doğrusallaştırılmış
-20
-25
-30
0
Grafiklerde,
doğrusallaştırılmış
sistemin
cevabı
ve
yakınsamaların sabit bir çözüm kümesine yakınsadığının
görülmesi açısından 1, 3 ve 5. yakınsamaların grafikleri
verilmiştir.
50
100
Zaman (sn.)
150
200
Şekil 6: Sapma açısı için yakınsaklığın gösterimi.
Açısal Hızların Yakınsaklığının Gösterimi
Şek. 4’de uydunun yalpa açısının zamana bağlı değişimi
görülmektedir. Şek. 5’te ise uydunun yunuslama açısının
zamana bağlı değişimi görülmektedir. Sapma açısının zamana
bağlı değişimi ise Şek.6’da verilmektedir.
Konum Açılarında Yakınsaklığın Gösterimi
30
1. Yakınsama.
3. Yakınsama.
5. Yakınsama.
Doğrusallaştırılmış
Yalpa[Roll] Açısı(deg.)
25
20
15
Yalpa[Roll] Açısı Değişimi(deg/s)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.6
-0.8
-1
0
10
1. Yakınsama.
3. Yakınsama.
5. Yakınsama.
Doğrusallaştırılmış
-0.4
50
100
Zaman (sn.)
150
200
5
Şekil 7: Yalpa açısının değişimi için yakınsaklığın gösterimi.
0
Şekil 7-9 sırasıyla yalpa, yunuslama ve sapma yönlerindeki
açısal hız değişimlerini göstermektedir.
-5
0
50
100
Zaman (sn.)
150
200
Şekil 4: Yalpa açısı için yakınsaklığın gösterimi.
Yunuslama[Pitch] Açısı Değişimi (deg/s)
Açısal Hızların Yakınsaklığının Gösterimi
6. Sonuçlar
0.2
Doğrusal olmayan sistemlerin, ardışık doğrusal zamanla
değişen sistemler dizisi olarak ele alınabileceği dikkate
alınarak, önce doğrusal olmayan sistemler için var olan
optimum denetimin ardışık DZD yaklaşımı ile bulunabileceği
gösterilmiştir. Daha sonra, doğrusal olmayan sistem için
optimum denetim tasarlamak yerine ardışık DZD için
optimum denetim tasarlayıp bunun doğrusal olmayan sisteme
uygulanabileceği gösterilmiştir. Yöntem bir rijit uydu
modelinin denetimine uygulanmıştır.
0
-0.2
1. Yakınsama.
3. Yakınsama.
5. Yakınsama.
Doğrusallaştırılmış
-0.4
-0.6
0
50
100
Zaman (sn.)
150
Kaynakça
200
Şekil 8: Yunuslama açısının değ. için yakınsaklığın gösterimi.
Açısal Hızların Yakınsaklığının Gösterimi
Sapma[Yaw] Açısı Değişimi (deg/s)
1.2
1. Yakınsama.
3. Yakınsama.
5. Yakınsama.
Doğrusallaştırılmış
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
Zaman (sn.)
150
200
Şekil 9: Sapma açısının değişimi için yakınsaklığın gösterimi.
Aşağıda verilen son grafik Şek. 10, 5. Yakınsamada kullanılan
denetim girişlerini göstermektedir.
Son Yakınsama Kontrol Girişleri(Newton)
U1
2
0
U2
-2
0
1
100
150
200
50
100
150
200
50
100
Time sec
150
200
0
-1
0
1
U3
50
0
-1
0
Şekil 10: Son yakınsamanın denetim kuvvetlerinin gösterimi.
[1] Salamcı, M. U., “Two new switching surface design
techniques for nonlinear systems with their applications
to missile control” Doktora Tezi, ODTÜ Fen Bilimleri
Enstitüsü, Ankara, 1999.
[2] Bilgin, N., “Esnek sistemlerin kayan kipli denetimi ve bir
uydu modeline uygulanması” Yüksek Lisans Tezi, Gazi
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 2007.
[3] Tomás-Rodríguez, M., Banks S. P., “Linear, Timevarying Approximations to Nonlinear Dynamical
Systems with Applications in Control and Optimization”,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2010.
[4] Bilgin, N., Salamcı M.U., “Esnek kanada sahip bir uydu
modeli için kayan kipli denetci tasarımı”, 13. UMTS,
309-316, 2007.
[5] Salamcı, M. U., and Banks, S.P., “Optimal Sliding
Surface Design for a Class of Nonlinear Systems”, 4th
International Conference on Optimization: Techniques
and Applications, 2:743-750, Perth, Australia, (1998).
[6] Çimen, T., “Survey of State-Dependent Riccati Equation
in Nonlinear Optimal Feedback Control Synthesis”,
Journal Of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 35,
No. 4, s.1025-1048, 2012.
[7] Banks, S.P., Dinesh, K., “Approximate Optimal Control
and Stability of Nonlinear Finite and InfiniteDimensional Systems.”, Ann. Op. Res. 98, 19–44 (2000).
[8] Çimen, T., Banks, S.P., “Global optimal feedback control
for general nonlinear systems with nonquadratic
performance criteria”, Systems & Control Letters,
53:5,327–346, 2004.
[9] Bilgin, N., Salamcı, M. U., “Bir Uydu Modelinin Kayan
Kipli Denetçi ile Konum ve Titreşim Kontrolü için iki
Farklı Denetim Yöntemi”, TOK 2011 İzmir.
[10] Bilgin, N., Salamcı, M. U., “Rijit bir uydu için durum
geri besleme denetim algoritması tasarımı”, UMTS 2013,
Erzurum.
[11] Chen Y., Edgar T., Manousiouthakis V., “On infinitetime nonlinear quadratic optimal control, Systems &
Control Letters 51 259 – 268, 2004.
[12] E.W. Kamen, P. P. Khargonekar, A. Tannenbaum,
“Control of Slowly-Varying Linear Systems”, IEEE
Transactions on Automatic Control, 34(12):1283-1285
(1989).
[13] Marino, R., Tomei P., "Nonlinear Control Design"
Prentice Hall, 1995.
Download

Doğrusal Olmayan Sistemlerin Optimal Denetimi