VERiLERDEN
GE Qi CELEKTROMANYETiK
i
iLE
LERV0rurErui
rr'rxuc uK-KARE
so rrrrirvrr-u
qOzuvtu
PARAMETnT
cOncUruoGlu
ienaHitrr
TEZI
YUKSEKLISANS
Nln e t L l MD A L I
J E O F I Z IVKt U H E t t O l s t -al G
ANKARA
1997
AIIKARA
Uruivrnsircsi
rrusrirusu
rENeiLirurrRi
erurUEux-xnRgunn
veRilenoeru
soHtUvuu
ceqici ElEKTRolvtRltyerirc
yoruremiile pRR*ruETRE
QOzUMU
ibrahim
concuruoclu
DAt-l
ANlAtsiLiM
.leorizixH/lunrruoislici
rczi
YUxsrxL-isnrus
Bu tez 10 I I I 1997tarihindeaga$rdakijuritarafrndan90 (Doksan)not takdir edilerek
OybirligilryK66ir ile kabul edilmigtir.
-
Prof.Dr. AhrnetT. BA$OKUR
(Danrgman)
- /
i
{,'
t/-.**
Frof.Dr.o.Metinit-t<igtt<
KAYIRAN
Prof,Dr.Turan
OZET
Yi.iksekLisansTezi
GEgici ELEKTRoMANvETIK
vER|LERDEN
SONUMLUeruxU9OK-KARELER
q0zUurU
v0ureui ile peRnruErRE
ibrahim c6noUruoGlu
Ankara Universitesi
Fen Bilimleri Enstitiisii
Jeofizik MiihendisliSiAnabilim Dah
Prof. Dr. Ahmet T. BA$OKUR
1997,Sayfa:68
Jiiri : Prof. Dr. Ahmet T. BA$OKUR
Prof. Dr. O. Metin il-XtglX
Prof. Dr. Turan KAYIRAN
Gegici elektromanyetik verilerden (TEM) sdniimli.i enkiigiik-karelery6ntemi ile
parametregiiziimii igin bir algoritma geligtirilmigtir.Bilgisayarteknolojisiningetigmesi
ile birlikteyansonsuzkatmanhortamrngegici elektromanyetikcevabrhesaplanabilmigtir.
TEM y<intemindedalga denklemi g6ziimleri frekans ortamlnda gergeklegtirilir.Zaman
ortamlna gegmek igin gekirdek fonksiyonunun cince ters LaPlace d<iniigiimti ve sonra
Hankel d<iniigtimii altnarak kargrlrkhempedans bulunur. Zaman ortamlnda kargrlrklr
empedans, dzdirencin ve zamanrn bir fonksiyonudur. Aletsel olarak manyetik alanrn
zamana gore de$igimi dlgiiliir. Bu dlgiilerden yararlanarak kargrhkh empedans (Z),
gdrfiniir 6zdireng ve asimtotik ozdirengler hesaplanlr. G6riinfir 6zdireng, kargrlkll
empedans serisinden doSrudan gekilemedi$inden yinelemeli bir
algoritma ile
bulunabilmektedir.
Bu nedenleasimtotikgoriiniir ozdirengtanrmlan kullanllarakdiiz ve
ters gdztimler gergeklegtirilmigtir.Bu gahgmadamerkezi halka dtizenegi (centrel toop )
igin kargthkll empedans ve geg zaman gdrtiniir dzdirengleri (asimtotik <izdireng)igin
modelleme yapllmlgtrr. Kuramsal olarak hesaplanan geg zaman goriiniir rizdireng
e$risinin parametreleregdre logaritmik tiirevleri ahnarakters gdziim iglemine baglanlllr.
Bu proienin amact, TEM y<inteminde Marguardt-Levenberg enkiigi.ik-kareler
model optimizasyonu ydntemi kullanarak verilerin sunumu ve de$erlendirilmesinin
bilgisayar ortamrnda
gergeklegtirilmesidir. Parametre ve veri arasrndaki iligkinin
doSrusalolmamastnedeni ile iglemin do$rusallagtrnlmasrgerekir.Geg zaman goriiniir
6zdirenci parametre uzayrnda dnkestirim de$erlerinde Taylor serisine agrlarak g<izlem
deSerine egitlenir ve ikinci terimler ihmal edilir. Kuramsal ve 6lgiilen verinin farklan
alrnarak bir dizey denklemi elde edilir. Dizeyin g6ziimiinden fark de$erlerini kiigiilten
yeni parametrelerelde edilir. Bu iglem yinelenerek fark de$erleri azaltlllr. N katmanlr
yatay, homojen ve izotrop bir ortam igin katman parametreleribilinmemesine ra$men,
<inkestirim parametreleri di!er jeofizik yiintemlerden yararlanarak veya tahminen
bilgisayara veri olarak girilir. Arazi verisinin hesaplanan verilerle arasl farklar iinemsiz
olana kadar iglem tekrarlanarak,belirli bir tolerans srnrrlan iginde kuramsal ve dlgiilen
verilerin gaktgmasr sa$lanrr. Programrn
galrgmasr esnasrnda her yeni bulunan
parametreler <inkestirim olarak yeniden program tarafrndan kullanrlrr. Qaklgma iglemi
tolerans srnrrlanndagergeklegti$izaman program yineleme iglemini durdurur. En son
bufunan parametrelerarazi verisi ile hesaplanan veriyi gakrgtrran parametrelerolarak
kabul edilir. Fakat bu ytintemde programa ilk girilen parametrelerin gergele yakrn
olmasl istenir. Bunun iki nedeni vardrr. Birinci olarak parametreler g<iziimden
uzaktagabilir. it<inci olarak aynr veriyi
sa$layan farkh
parametre guruplan
olabilece$inden bulduSumuz gdziim jeolojiyi temsil etmeyebilir. Qiiziimiin bagarrsr
kullanrlan gdriini.iriizdirengtanrmlnrnduyarhk$rnada ba$hdtr.
Dizey denklemi, tekil de$er ayngrmr y6ntemi ile gdztilmtigtiir. Bu y<intemde
Jacobien dizeyi, birbirine dik iig ayn dizeyin garptmtna ddniigtiiriitiir. Bu dizeylerden
parametreiizyiineyi parametrelerarasr iligkileri, veri dzyiineyi bu parametrelerietkileyen
veri noktalannl verir. Ozde$erlerin btiyiikten kiigti$e srralantr ve enbi.iyiik tizdegere,
kargtllk gelen
enbiiyiik
parametreler en
iyi
g6ziilen
parametrelerdir. Model
optimizasyonununsonucu bulunan parametrelerindo$rulu$unun derecesi matematik
olaraktayorumlanabilir.Bu amagla parametrelerarasr iligkiterede bakrlabilir.Bu iligki
dizeyi yardlml ile parametrelerin birbirine g<ire ba$rmll veya baStmslz grSziiniirliikleri
incelenir.
Uygulamalarda (H,K,A,Q)tipi e$riler denenmigtir. Parametre ozydneyleri, veri
6zy6neyleri ve iligki fonksiyonlan biitiin e$ri tipleri iqin tartrgrlmrg ve parametre
istatisti$i gergeklegtirilmigtir.
ANAHTARKELiMELER: Gegici elektromanyetik(TEM), Tekil deger aynirmr, Ters giiziim
ilt
ABSTRACT
MasterThesis
OF TRANSIENT
INVERSION
DAMPEDLEAST.SQUARES
DATA
ELECTROMAGNETIC
ibrahim c6ncUHoGlu
Ankara UniversitY
GraduateSchoolof Naturaland Applied Science
of GeophysicalEngineering
Department
Supervisor: Assoc Prof.Dr. AhmetT' BA$OKUR
1997,Page:68
Jury : Prof.Dr.AhmetT. BA$OKUR
Prof.Dr. o. Metinit-xl$lx
Prof.Dr.TuranKAYIRAN
data
An algorithmis developedfor the inversionof transientelectromagnetic
technique.Advancesin computer technologypermits
basedon dampedleast-squares
responseover layeredearth.The
the calculationof the transientelectromagnetic(TEM)
wave-equationin TEM method is solved in the frequency domain' The mutual
in the time domainis computedby applyingthe inverseLaPlacetransform
impedance
and the inverse Hankel transform,sequentially.tn the time domain, the mutual
measuredquantityis the
impedanceis a functionof resistivityand time. Instrumentally
apparent
of the magneticfield,versustime. The mutualimpedance(Z),
time-derivative
resistivity,and asymptoticapparentresistivitiesare calculatedfrom the measuredfield
quantities.Sincethe apparentresistivitycan not be directlyobtainedfrom the mutual
impedance,an iterativealgorithmis usedto servethe calculations.For this reason,the
forward and inversesolutionsare performedby the help of the asymptoticapparent
resistivityexpressions.In this study, the model responsecalculatedfor the mutual
impedanceand derivedfrom the mutual impedancefor the centralloop configuration.
We start the inversesolutiontakingthe logarithmof the theoreticalcalculatedlatetime
apparentresistivitYdata.
IV
for the presentationand
The purposeof this projectis to the devetopa method
least-squares
data by Marquard-Levenberg
interpretationof transientelectromagnetic
of the non-lineardependencyof
method.The expressionsis to be linearizedbecause
data are expandedinto Taylor
the parametersto the data. The apparentresistivity
and it has beenequatedto the
seriesaroundan initial guess in the parametersspace
order terms and taking the
observedvalues. Neglectingthe second and higher
equationis obtained'The
differencesof the theoreticaland measureddata, a matrix
the differencesbecomeless
iterativeadjustmentof the parameteris terminatedwhen
not obtained by trying new
then a predeterminedvalue or any improvementis
consisting of N
parameters.An assumption about the parametersof subsurface
The initial-guessmust
homogeneousand izotroplayersis providedby the interpreter'
these requirements:Firstly'
be close to the true solution.There are two reasonsfor
error condition'As a
differentcombinationof the parametersmay satisfythe minimum
may not representthe real
result of equivalentsotutions, the derived parameters
subsurfaceconditions.
in which
The matrixsystemcan be solvedby the singularvalue decomposition
otherorthogonalmatrices'
the matrixis decomposedinto the multiplicationof the three
and parametereigenvectorsmatrices'The
eigenvatues
Theseare the dataeigenvectors,
dataeigenvectors
parametereigenvectorsprovidesthe relationsamongthe parameters,
of the matrices
gives the data points influencedby the parameters'These evaluation
can be performedby usingthe sortedeigenvalues'
are tried for the inversionof latetime apparent
Four basiccurvewpes (H,K,A,Q)
correlationmatrix are
resistivity. Parameter eigenvectors,data eigenvectorsand
statisticsarecarriedout'
evaluatedfor all curvetypesand parameters
(TEM),Singularvalue decomposition(svD)'
KEY WORDS:Transientelectromagnetic
lnversion.
\/
6ruS62 ve TE$EKKUR
Verilerinaletsel
yontemteknolojiyebaSrmhgeligmigtir.
Gegicielektromanyetik
olarakEok krsa zamanaralr{rndaahnmasrbilgisayarteknolojisindekigeliqmelerile
olanaklthale gelmigtir.Bu nedenle bu yontem son 10 yrl iginde kullantmimkant
bulmugtur.TEM y6nteminde verilerin sunumu ve de$erlendirilmesi bilgisayar
Yeni bir ydntem oldu$undanveri igleme ve
yazrlmlarr ile yaprlabilmektedir.
gerekmektedir.Son ytllarda bu yontem
de$erlendirmeydntemleriningeligtirilmesi
gibi bir gok alanda kullantlmaktadtr.
jeotermalaragttrmalar
mineralve su aramalarr,
yaygtn
Ulkemizdedugey elektriksondajr(DES)jeotermalve maden aramalartnda
TEM yontemiise gabukveri altm htztve ekonomikolmastndan
olarakkullanrlmaktadrr.
dolayr ulkemizdezamaniEindeyaygtnlagabilir.
Bana bu
gahgmayr dneren ve
kargrlagtr$rmsorttnlarda bi16isinden
BA'$OKUR'a (A.U.FF.),tezin
yararlandr$rmtez dantsmantProf.Dr. Ahmet Tu$rr-rl
desteginiesirgemeyenArg. Gor. Mehmet Emin CANDANSAYAR'a
hazrrlanmasrnda
ederim.
tesekkLir
\4
ozEr,.
1INDEK:LER
..............1t1
sinltcrlrRnizirrri
grrciurn oizirrri.......
Elzellcelrn oiziui
vtl
vll
tx
onsoi;- i;$iKxun
.l
I.
r
A8STRACT...............
v
GiRi$ . ...
1
2 . G E N E LK U R A M . . . . .
.................3
2 . l . E l e k t r o m a n yAeltai kn. .
................3
2 . 2 .T E MY o n te mi n d e
Otq ti Diizeni....
3
2 . 3 .K a rg rh kl
e mp
r e d a n srn
A letselOlar akElde Edilm esi... ..........5
2 . 4 . D a l gD
a enkleminQ
i nd z u m u
...........6
2.5.Basamak
Fonksiyonu
iginTekduzeOrtamrnGegici
Elektromanyetik....Cevabr............
........7
2.6.Basamak
Fonksiyonr-r
iginKatmanhOrtamrnEmpedansrnrn
H e s a p l a n m .a. s. .l. . . . . . . .
. . . .. . . 1 0
2.7.YokugFoksiyonuEtkisiile (RampFunctron)Katmanh
O r t a m r nE m p e d a n s r n rHne s a p l a n m a s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
2.B.YokugFonksiyonuKullanarak
Tekdtize Ortamrn
Empedansrnrn
Hesaplanmasr
19
2.9.Gaver-Stehfest
Yontemi ite Ters Laplace Donuglimiiniin
Hesaplanmast.............
,............21
2.10.Gaver-Stehfest
Yontemi ite Katmanh Ortamrn
E m p e d a n s r nHr e
ns a p l a n m a s t . . . . .
....................29
o.
c0nuruunOzoinrt.tg
rANtM1ARt.................
......
.............26
T E R SQ o Z r i MT E K N | K L E.R i. , . . . . . . .
4 . 1 .K u r a m
4 . Z . T e kD
i l e $ e rA y r r g r m r . . . .
4 . 3 .S d n r l m
Faktoru.....
4.4.SdnCIm
Faktdrunun
TekilDegerAyrrqrmr
Yontemine
Uygulanmast.......,.......
4 . 5 .Q o z u n u r l .u. k. . . . . . .
4 . 6.T e ki D
l e $ e rA yrrq rmr
i teqozUntir [igiin
incelenm esi
.......
4.7 GegiciElektromanyetik
VerilerinTers Qdztimu.
4 . 8 .L o g a r i t mGi k6 s t e r i .m. . . . . . . . . . .
4 . 9 . K r s mT
i u r e v l eDri z e y i n iEnl d eE d i l m e .s.i. . . . . . . . . .
5. UYGULAMALAR........
o. SONUQ1AR...............
7. KAYNAKLAR
.......
-A.
..27
....?T
.....j1
............33
. .....34
34
36
........j7
...........37
............39
.............39
............66
67
VII
SIMGELER DIZINI
a
Egde[erverici yangapt(m)
A.t. Vericihalkaalanr(nr2)
AR Ahcr halka alam(m2)
A
Jacobiandizey
B
Manyetikindiiksiyon
@l*')
CHI
E
I
J
tilgiirsii
arasrndaki
uyumsuzlu$un
. Hesaplananve gozlemselveriler
Elektrikalangiddeti
Akrm (Amper)
Akrm yo$unlufiu
t.-t Ters laPlace dciniigiimii
parametre
Pi
t
, K a t m a nk a l r n l r $ r
T
Peryod ( sn)
S
Kalrnlr$rnozdirenceoranrnaegitolanegdeferlilik
egitolanegde$erlilik
T
Kalrnh$rn6zdirenglegarprmrna
(m"r) boyutundagcizlemuzayrnaait r adet ozdizeyicerenve diklik kogullannr
U
saflayandizeydir.
P
LaPlaceddnUgiimde$igkeni
parametre uzayrnaail r adet ozdizeyigerenve diklik kosrrllarrnr
(r*n) boyLrtunda
V
sa$layandizeydir.
V
Gerilim(Volt)
Z
w
f
GegiciElektromanyetik
Kargrlrklr
empedans
Agrsalfrekans
Frekans( Hz )
r
Dizeyinserbestlikderecesi
t
Ortamrnelektrikgeqirgenlifi(farad/m),(Boglukiqin e o = 8.854 I O-7)
)" i
Ozdeger
n
r adet srfrrdanfarkh 2 1 de$eriigeren, ktigegendizeydir.
lt
Ortamtnelektrikgegirgenlifi(farad/m),(Boglukigin p o = 4n 10'1)
/..,
rr.
Gcirilni.lrdzdirenq(ohm-m)
lletkenlik(Siemens)
Jn (?")n. derecedenBessel fonksiyonu
c u
itigri dizeyi
\ IIrl
Y III
$EK|LERolzit'ti
$ekil 2.1. Alrcr ve vericiiEinTEM dalgaqekilleri
$ekil 2.2. TEM yontemindealtctve vericininarazidekonumu
. '. ..4
$ e k i l 2 . 3 . Y a t a y n + 1 k a t m a n l ro r t a mm o d e l i
$ e k i l 2 . 4 . n + 1 k a t m a n yl re r m o d e l i
.......6
$ekil 2.5. Akrmfonksiyonu.......
$ e k i l 2 . 6 . Y o k r " rfgo n k s i y o n u n ugnd s t e r i m .i . . . . . . . . .
- ... 5
...........-10
..........15
.......16
.. ..41
algoritmast..
basitleqtirilmiq
$ekil 5.1.Ters gdzum programtntn
$ekil 5.2. H tipi gtlrultusuz,TEM gegzamang$rilnur ozdirengegrisi.......43
......--44
$ e k i l 5 . 3 . H t i p i g u r u l t u s u zT E M g o r u n u ro z d i r e n qe $ r i s i
45
$ekil 5.4. H tipi gurultlrsuzTE[\4verisininkargrhkhempedans efirisi
v e r i s i n i tne r s q d z l i m i .i . . . . . . . ........ . . 4 7
$ e k i l 5 . 5 . H t i p i T E M g d r u n u ro z d i r e n q
$ekil 5.6. Ktipi gurultusuz,TEM geEzamangdrunur dzdirengegrisi.. 49
........50
$ e k i l 5 . 7 . K t i p i g u r u l t u s u zT E M g d r r - r n u6rz d i r e n Ee $ r i s i
k a r g r l r kel m
t p e d a n se $ r i s .i . . . . . . . . . . 5 1
$ e k i l 5 . 8 . K t i p i g u r u l t u s u zT E Mv e r i s i n i n
v e r i s i n i tne r s q o z u m l i. . . . . . . . . . . . . 5 3
$ e k i l 5 . 9 . K t i p i T E M g d r u n u ro z d i r e n g
$ e k i l 5 . 1 0 . A t i p i g u r u l t u s u zT, E M g e q z a m a n g d r u n udr z d i r e n ge $ r i s .i . 5 5
. .......56
$ e k i l 5 . 1 1 . A t i p i g L i r u l t u s uTzE M g o r L j n u or z d i r e n ge f l r i s .i . . . .
$ e k i l 5 . 1 2 . A t i p i g t l r u l t u s u zT E M v e r i s i n i kn a r g r l r kehm p e d a n se $ r i s i. . . . . . . . . . . 5 7
$ e k i l 5 . 1 3 . A t i p i T E M g 6 r u n u ro z d i r e n E v e r i s i nt ei nr s g o z u m i r . . . . .... . . . . . . . . 5 9
$ekil 5.14. Q tipi gurultusuz,TEM geg zamangorunur dzdirenge$risi.......61
.....6?TEM gdrfrnur6zdirengefrrisi
$ekil 5.15 Q tipi gurujltusuz
k a r g r h kel rm p e d a n se g r i s .i . . . . . . . . . . 6 3
$ e k i l 5 . 1 6 . Q t i p i g u r u l t u s u zT E Mv e r i s i n i n
$ e k i l 5 . 1 7 . Q t i p i T E M g d r u n u ro z d i r e n cv e r i s i n i tne r s E d z u m i.i. . . . . . . . . . . . . . 6 5
IX
qizELGELER
DiziNi
T E M v e r i s i n i nt e r sE o z l i m u . . . . .
Q i z e l g e5 . 1 . H tipi gurultusuz
T E M v e r i s i n i nt e r sg d z u m u . . . . .
Q i z e l g e5 . 2 K tipi gurultusiiz
T E M v e r i s i n i nt e r sq d z t i m u
Qizelge5.3. A tipi gurultLisuz
T E M v e r i s i n i nt e r sq O z u m ( i . . . . .
Qizelge5.4. Q tipi gurtiltursuz
...........46
- - - - . . . '5
. .2
........58
' . ". 6 4
1. ciRi$
Yartsonsuzizotrop ortamtn geqici elektromanyetikcevabrnrn(TEM) hesabt
baqlar.Fakat, brr ortam iEin
Morissonve dig. (1969) yapmtg oldu$u gah$malarla
bagrntryrLee ve Lewis(1974) serilerintoplamrqeklindeilk kez ifade
matematiksel
Dahasonra Raiche ve Spies(1981)basamakfonksiyonu(stepfunction)
etmiglerdir.
TEM y6nteminde
kullanarakiki katmanftortam iEinTEM yanttrnthesaplamrglardrr.
kargrlklr empedans, manyetik alandaki de$igim taraftndan oluqturttlantepkinin
vericiden verilen akrma oranr olarak tantmlantr.Gaver-StehfestLaPlace ddnuqum
yonteminikullanarakkatmanhortamrnTEM yanrttntise Knight ve Raiche (1982)
Erkarmtglardtr.
Akrmrnbelirlibir genlikten,dodrusalazalttlarakkesildifli(yokrrgfonksiyonu)
varsaytmt ile hesaplanan,katmanhortam TEM yanrtr Raiche (1984) tarafrnadan
elde edilenduz
Bu duz gozum iglemi adrm fonksiyonukullanrlarak
hesaplanmrgtrr.
g6zumeg6re daha iyidir. QunkugerEekte akrm birdenkesilemez.Sandberg(1988)
yokuqfonksiyonunu( ramp function)ve Gaver-StehfestLaPlaceddnLlgilmmetodunu
kullanarak,TEM in merkezihalka duzeni iEin bir bilgisayarprogramryazmtqtrr.Bu
ters gdzrrmuTEM, lP ve do$ru aktm igin
program eg zamanfibirlegik(simr.rltaneous)
yapmaktadir.Bu programdakiTEM
duz qdzum alt programlarrele altnarakayrt bir
programhalinegetirilmigtir.
dalga
denklemleriyardlmryla
TEM y6ntemindekatmanfuortamlariqin Ma>nvell
Qoztim sonlictl Bessel
denklemining6zgmu, frekans ortamrnda gergeklegtirilir.
iqerirve Hankel ddnugumu yapmak gerekir.Bu nedenleempedans
fonksiyonlarr
fonksiyonuna once LaPlace donuqumu sonrada Hankel donfigllmli uygr-rlanarak
empedansbulunur.
zamanortamtndakargrhkh
Gorunur6zdirengfiziki anlamdaveriye uygulananbir normallegtirmeiqlemi
verecektantmlann uretilmesi
daha iyi sonuClar
gelenekseltanrmlardan
oldu$unclan
empedans
Kargrlkl empedanszamanlaustel olarakazaldrfrndan,karqrltklt
olasrclrr.
Btt nedenle
e$risi uzerinde katmanhortamrnetkisi, do$rudangdrulememektedir.
iglemisonucLlmodelleme
kargrlklrempedansuzerineuygulanacakbir normallegtirme
yaprlabilece$idijgunulebilir.G6runur 6zdirenq kargrhkhempedansdando$rudan
empedansdan ve geg
sonundakargrlrkh
duz gozumprogramrnrn
bulunamadr$rndan,
zaman 6zdirencindenyararlanarak,yinelemeli bir yontem ile gdrLinLir6zdirenq
de$erlerihesaPlantr.
Verilerinsunumu ve de$erlendirilmesi
ve yorumu bilgisayaryazrlrmlarr
ydntemiile
yardrmryla
enkuEuk-kareler
modeloptimizasyonu
Marguardt-Levenberg
gergeklegtirilir.
do$nrlu$unun
Modeloptimizasyonunun
sonucubulunanparametrelerin
matematik
olarakvorumlanabilir.
derecesi
2. GENEL KURAM
2.1. Elektromanyetik Alan
Elektromanyetik
alan yapay kaynaklrolarakyeryuzundeyalrtrlmrq
bir halkaya
dalgalr akrm verilerek uretilir. E$er bir ortamda de$iqken bir akrm varsa
elektromanyetikbir alan olugur.Akrmrnyeraltrndaurettigibirincilalan butun iletken
katmanlarda
Eddy akrmlarrolugturur.Katmanlardauretilenakrmlaryeryuzundeikincil
bir alan olugturur.Eddy akrmlarrnrn yarattr$r manyetik alan de$igimiolgtilur
Yeryuzundehalkadan verilenakrmde$iqkenise birincilalan ve ikincilalanrntoplamr
olgulur.ikincilalanrngenli$ibirincilalana gore gok kugukve elektromanyetik
alanlarr
aytrmak zor oldu{undanTEM (TransientElektromanyetik)
yontemido$muqtur.E$er
yeryuzunde halkadan verilen akrm aniden kesilirse(gegici) yeryiizundesadece
iletkenkatmanlannyarattr$r
ikincilalandlgulecektir.
Akrmbelirlibir frekansdavericiden
verilir.Altct zamanagore azalanmanyetikalandaki degiqimi,yaklaqtkolarak0.01 1000milisaniyearah$lndakidrneklemenoktalarrnda
belle$ekaydeder.
2.2. TEM YdntemindeOtq* Dtizeni
Aktm bellibir frekansda kare geklindeveya dairesel bir halka(loop) yardrmr
ile verilir.Vericidenverilenakrmrmrn
degigtiginoktalardayani akrmrnbirdenyukseldi$i
veya dugtu$u anda elektromanyetikalan oluqur. Bu alandaki degigmeyialrcr
vasttastyla
dlceriz bu de$erleryardrmryla
karqrlrklr
empedansl ve g6rlinurozdirenci
bulabiliriz.
Bu sistemdeahcrve vericideolugacakdalgaformlan$ekil 2.1 gosterilmigtir.
g i b i ,a k r mk a r eg e k l i n d e
v e r i l i r f a k a ta k r m b i r z a m a n s o n r a
$ e k i l( 2 . 1 a )d a g o r u l d u $ u
kesilir.Bu iglembelli bir frekanstatekrarlanrr.
(c) geklindeise akrm kesildiktensonra
elektromanyetikkuwet sonucu(b), alrcrda olEulen manyetikalanrn zamanagore
de$igimi6lgulur.(d) ve (e) geklindeise yan sonsuz ortamrniletken ve yalrtkan
olmasrnaba$lrolarak manyetikalanrnzamanagore defriqimiverilmiqtir.
pimarymagneticfield
ilcincil akrm (seconda4'current)
(c)
(d)
EMF
kotii iletken
Iletkenlik
artar
(a) vericiaktmt (akrmtnkesildiQi
gekil 2.1. Alrcr ve verici igin TEM dalga gekilleri.
(
c) ahcrdaokunan gerilim.( d) iyi
kuwet
anda EMF olugur.).( b) elektromanyetik
iletken ve kot0 iletken durumu iginTEM alrcrgerilimi ( e) iletkenli$eba$h olarak
manyetikalan de$igimi.
kuwet)
$ekil 2.1 den goruldugugibi iyi iletken daha fazla EMF (elektromanyetik
artmaktadtr.
artttkEa
olugturur.
Manyetikalan ise iletkenlik
2.3. KarErhkhEmpedansrnaletsel olarak elde edilmesi
olaral<
segilen
zamanpenceresindealrnrrOlCirlen
Otgtiterlogaritmik
biryiikltrk
manyetik
alanrnzamanagdretlirevidir.
Aletselolarakmanyetikalanrnzamanagdre
tiirevi aga$rdakigekildehesaplanrr.
(2.1)
Fr _r?B_Volt
cr
m'
ud-
B u r a d a ,l p : s l r c rh a l k aa l a n r( m 2 ) , t ; v e r i c i a k r m r ve V(t);ahcrda
potansiyel
olgulen
olmakiizere, kargrlrklr
empedans
-
L _
V(t)
I
BaAn
I
Volr
Amper
(2 2)
olarakverilirrremerkezihalkadr:zene$iiqin
l ' ( / ) =, ' 1 ,
eB
(2 3)
cQ
geklindetantmlantr.Olgiilen potansiyeloldukgakiigrik olmasrnedeniile rrygLrlamacla
birimolarak,rrV kr-rllanrlrr.
Elektromanyetik
alanrn zamana gdre ctegiqimigok kiiqLik
oldu$undan kayrt edilmeden once kuwetlendiricidengecirilir. l\4anyetikalan
induksiyonbcbinleriile de olslilebilir.
Verici tcl
Ahcr tcl
$ekil 2.2. TEM yontemindeahcrve vericininarazidekonumu
a / ; verici alanr, l; vericiakrmr
2.4. Dalga DenklemininQdzrimri
oi
lti
ti
$ekil 2.3. Yatay n+1 katmanh ortam modeli
Yeryuzunden
h kadaryuksekte b yangaphyatay bir halkabulunsun.rr i ; her
e ;; dielektriksabitiise koordinat
geqirgenli$i,
bir katmanrn iletkenli$i
, lr; i rTreoletik
akrm
sistemininmerkezindebir akrm elemanrnrn(l(w) a d0) 0 ydnundeoluqtrrracadr
yo$unlugu
.t : _ I (w\ b d0 6(r b) 5(z) 6(tu 0.)
JO
( -2. 4. \
\
/
,
ile ifade edilebilir( Morisson,1969). Burada 0 bir vektdrdLir.
l(w),l(t)'nin Fourier
d6ntigumUdur.
e ydnundeintegralahrsakakrmyo$unluguigin
JS A
I(*) b d0 5(r - b\ 6(z) ]
r
( 2 . 5)
yazrlabilir.Maxryelldenklemleriise
l1l'/ttnt.
=
OE,
ttlp H, -- -
^
CZ
| 0 (rEn)
r 0r
(26)
( 2 . 7)
( 28)
olarakverilmigtir.
Tekdtrzeortam(i=0)igin0 ydnundeki
elektrikakrmrgoz ardreclilirse
krsmidiferansiyel
denklem
i w,4, I(w) b 6(r * h) 5(z)
\ t.Y)
geklindeifade edilir. Dalga saytst ise kn2- *rlro €o-iw1tn on ile verilir.E$erhalka
yeryuzUne indirilirse 100000 hertzden kuguk frekanslarda ll'-a
ftt,
€() ((
ytr,
/1, on
oldu$uiqin
k^' = -i v,trtn o,,
( 2 . 1 4)
yazrlabilir.Homojen ortamrn dalga denklemi
Edzumu (. Z g ) denklemin den
gergeklegtirilir.
2'5- Basamakfonksiyonu igin Tekdr"izeO#amln Geeici ElektromanyetikCevabr
Basamak fonksiyonu kullanaraktekduze ortamrn geeiei elektromanyetik
cevabtntMorissonve di$. (1969) hesaplamrglarcllr.
YeryLizlinden
h yliksekligincle
a
yartgapltdaireselbir halka iqinde oh.rganelektrikalanr, p(iw); l-aplace d6niisiim
de$igkeni,tr ; ortamrn manyetik gegirgenligi,
o.; ortamrn iletkenligi,
r ; raclyalyonde
de$igimolmakuzere( 2.9 ) diferansiyeldenkleminin
qdzumu
E ( 'p) J)' =
i u ' P t- t I
-n
i r , , , , , . / , (I r t c
.r=(2'*p1,.-1'lt
(2.11)
tn4.>\
\4.tL)
ile verilir.Elektrikalan goruldudugibi frekansabafrh olarak degigmekteclir.(
2.11
)
denklemindebirinciterimbirincil elektrik alanr(primer),ikinciterim ise ikincilelektrik
alant (seconder)
rrerir.Bu nedenlebirincilalan I akrmrndan,
ikincilalan ise yer igindeki
Eddy akrmlartndan
oluqur.E{er r = a ise yeryiiziincle
ahoda olu$anelektrikalan h=0
igin
E(tt) = S'' +
iwu all
)"-s
^
| J,(l a) .l'(i r)' l +" s dA
1
(2.13)
U
yaz|lr ise, halkanrnigindeinduklenengerilim
V,
'I
- 2 nn Ii(p)
I
= -ir' L-iwp ra- I)
( 2 . 1 4)
d)^
.
/1
eA-
S
),arJt'Qa)dl
( 2 . 1 5)
-iwL ise(Hallen1962,d.247)ikincilalandandolayrolugan
ve halkanrn
selfenduktansr
gerilimiqin
co4
't-,(p)- -i tt'1t
o rr2I l?
trt (i ciVA
"0/r+.\
(216)
elde edilir,Zaman ortamrndainduklenengerilimters LaPlacedoniiglimirve sonrada
Hankeldonuqumuahnarakbulunabilir.
co/
tr'-1t)= v Uo'rl
y \
rtIr-
o'
zAl^
lJ; tl a) d)"
A+S/
@T
L ' , ( t )= v ,
rl'l
o-tJ ld(t) -2 1
6L
, ( )"-.r\1 .
L' [
| l.lf ( 1a) til'
\ 4"-+.fl _l
\z.tt
)
( 2 . 1 8\
t>0igin
@
L -( t 7 : - 2 r p a 2 I I L '
( 2 . 1 e)
0
b u l u n u r(.2 . 1 9 ) d e n k l e m i n dparantez
e
iEindekiifadeninters LaPlacedonligrimu
(Churchill
1958p.326,eq"no.37)
(
I
-r'f
\ , t + s /l=+.'l ---L
,lop-lf f
)n,
[t.o,J
-;,
lnn -A''
-l L
=---= c "r cryc.i
o,
,lolt
lu
A
(2.20)
1
.,lO,Ll
_l
*,
t ,,
lott
It/ ll
,r.frl^tt/oat
(2.21)
1
bulunur.Zamantnormallegtirmek
etmekigin
(22)\
,-
o,u a'
altntr.Entegrasyon
de$igkenil= l- a olarakaltntrise kargtltklt
empedansiqin
z =v(t)=,
np J ,
It
(2.23)
.r(=\
;t
-.2
s ( r ) ='|^lLo - ' { ' - J *
r -rl
r
j e t f c( J - ) ' . ll J i ; 1 , 2 1 rq ;
(224)
U
yazrlabilir.
gekliniAbromowitz
Besselfonksiyonun
seriyeagrlmrg
ve Stugun(1964,
p . 3 6 0 ,e q ,n o .9 .1 .1
a g4a) $ rd a kigekildever m iEler dir .
(- r)o(ztr+z) t (' ')'*
, 2, z',( t l\' 3
'/r
\e/-\/2)
ft,,kt(r+r)r (r+r)r (r+z)r
t
-t
-r
-...
-r
i
)
(2.25)
(2.24 ) denklemininentegrasyonuise Gradshteynve Ryzhik( 1965, p,317,3.381.4
ve p 648,6.281)
co
(- r)o(zn+ 2) | xk
k=0
I
Y-_
41
o pa'
4t
1
geklindehesaplamrqlardrr.
(226)
10
2.6' Basamakfonksiyonu igin Katmanh OrtamlnEmpedanslnrnHesaplanmasl
o1
dl
6.t
d't
6n
n
.'t]
d n+l
$ekil 2.4 n +1 katmanhVer modeli
$ekil 2,4 de g6rulen n+1 katmanh yer modeli iqin karSrlrklr
empedansr,
basamakfonksiyonukullanarakKnight( 1gg2)
z ( t 1 =r 1 . t a bT t t Q , ( I , , r r , l ) ) 1 , e x ) J 1 e " a ) d A
0
( 2 . 2 7)
qeklindetanrmlamrgtrr.
(2,27) denkleminde,p; katman parametreleri,
w ; agrsal
frekans, 2"; Hankelddnugumde$igkeni,J,(t)i birinciderecedenBesselfonksiyonu,
x ; altctve vericihalkaarast uzakhk,a ; vericihalkayangapt,b ; ahcrhalkayarrgapr,
z(t,P ) ; katmanhortamrnkarqrlrklr
empedansrdrr. Knight (1982 ), n+1 katmanl
tekduzebirortamtnyeryuzeyinden
:, yuksekli$inde
olugturaca$r
elektrikalanrfrekans
b6lgesinde
11
iwualTt
-z))+Jp.cD.I()"x)
es tz.z r l)(4(r,'r,.))e-so('Z
clA (2.28 )
E(rt)=Wlle,(r,*,t)
-0
olarakvermigtir.
(z t = 0 ) j. katmanda
Yeryuzunde
l; vericiaktmr,o j; j.katmanrn
iletkenlifi
olmaklizere(2,28) denklemi
=
E(r,r)
iwu aITr
':
ttA
l(t, (t,,"',;),q') *(no (r,r,,i)e-si.)4ts"ct)./r(lx)
,
(2 29 )
1'
geklindeyazrlabilir.
Elektrikalan ise
iu'u
aI*rt
E ( r r '=) ' + l ( - t ,
( r , t r , . 2e) ' , ' ) * ( 0 , ( r . r , ' , / ), - ' , ' ) J r ( 2 n ) , t { 2 s \ d } .
t
"
i,'
So = )"
(2.30)
t/
, s , = ( , t2 _ i * t ' o , ) '
F = 1rl0-7
denklemleriile verilir.Empedans fonksiyonuise
2 rb E(p)
z7 t, n, -l \=
V(p)
(2.31)
ll
b a $ r n trsrn d a n
-
i /
,
.\\
Z(p)=rpa b)\4"\P,p,1)) Jt ().a)J, (Ab)dl
0
( 2 . 3 2)
( 2.30 ) denkleminde
olarakbulunabilir.
Ao(P,p,),)
ve Bo(P,p,l.)
de_fierlerini
srnrr
kogullarrndan
bulabiliriz.
t2
a) Her bir katman srnrnndaelektrikalanrnturevlerieEittir.z = dj ise
Ei = Ej*r
0Ei
0Ei*,
_
f,r.
A.i
(2.33)
f,t
*u., r-t ioi =A.1 +r ns i+tdi +81+tn-s i+tdi
"tiot
,.rIu,
"'i
o, -Bi
a r]=",.,[.r..
,-si
- , e si * r a i - 8 , * , e - ' r . , * r / r ]
b ) E m p e d a n s z = - i c i nA o = 0 v e B o = 1 d i r .
wait
(1962) benzer olarak iletkenliklerio,t,62.63......on+t
derinlikleri
h 1 , h 2 , h 3 . , . . . . h n o l a n t e k d u z e n + 1 a d e t k a t m a n d a no l u g a n y e r m o d e r i i g i n
gibi hesaplanmrgtrr.
empedansraga$rdaki
E i(R, + F,*,)
ll-
r
1+(l?
l;
J-
J tl/
\
( 2 . 3 4)
- o-2 s i h j
"I J; .
veyansrma
katsayrlarr
D
",
-
.t, -^l ,
.t
i--*
.t
al
q-
yazrlabilir.
n+1 katmanlrortamdaen son katmanda{,
( 2 . 3 6)
r.l - 0 ve bir oncekikatman
igin
F ,, = R,tE,,
elde edilir.Empedansfonksiyonuigin
(??7\
l3
^^' - 1_*l *l o, * F ,
( 2 . 3 8)
yaztlabilir.
Hesaplama
iglemine( 2.37 ) ba$rntrsr
ile baglanrr
ve ( 2.34 ) bagrntrsr
yinelemeiglemiile birincikatmanakadarhesaplandrktan
sonra(2.38)ba$rntrsrnda
yerinekonarak,
empedans
frekansortamrnda
bulunur.
Empedans
agagrdaki
degiEken
ddnugrimleri
iledahakolayhesaplanabilir.
lJ or p
lt ot paz
,=-Ti'=6;
s,
*t=
't=
'
,
ot lt a"
, =
a:_
€=)"a
r:-
T'
6
=
^
lt,
( 2 . 3 s)
Ht=:
l-tt(, 1 lt {t2
r.=(1_a)r
I
Bu de$iqken
ddnugumleri
ile(2.35) bagrntrsrnrnr
aqadrdaki
gibiyaz-abiliriz-
t Y.ill.i
=e
Ej="-t
-.,- : t'(,
^ *,,1) l,i
" or)
a
( 2 . 4 0)
( 2.30) ba$rntrsrndaki
s, yerineise
1r
t]
't,
O
- J'
J -l+
-
"
a
'l
/L
Or
(2.41)
yazrltrsa
yanstmakatsayrlarr
yv
D
t
_
-
J
_t
1 / + 1t /
t
J
I
+r
J
+l
( 2 . 4 2)
ile elde edilir.Yukandaanlatrldrfrr
gibi ( 2.34 ), ( 2.38 ) bagrntrlarrnr
kullanarak
empedans
fonksiyonu
bulunur.( 2.39) de verilendeSigken
dontigilmleri
kullanrlarak
(2.27)denklemiyle
verilenzamanortamrnda
karqrhklr
empedans
bafrntrsr
l4
(.€hta)
z(r)=:+i G(€',€n,r<,)t,
('?cts
r.€).r,
oro-
(2.43)
i,
denklemiyle
hesaplantr.
a = b (coincident
loop)ise karqrhklr
empedans
co
z ( t \=
* l' 0
o ( q ' r , ( H i K 1 (\ r r ( 6) ) : 6 2 a€
( 2 . 4 4)
qeklindeelde edilir.
2.7. Yokug FonksiyonuEtkisi ile KatmanlrOrtamln Empedanslnrn!-{esaplanmasl
Basamak fonksiyonu kullanarak daha 6nce katmanlr ortamrn karqrlrklr
empedanstntn
hesabrLee ve Lewis(1974),Raiche'yeSpies(1981),Knigtve Raiche
(1982)taraftndanyaprlmrgtrr.
Fakatvericidenverilenakrmkesildigianda akrmyokr-rga
benzerbir sdnumlenmeile kesilir.Dolaysryla
yokugfonksiyonr-r
kullanarakhesaplanan
kargrhkhempedans daha do$rr"rolacaktrr. Knight ve Raiche (1982) karsrlrkh
empedansr
Z(t1=-npab
i,,
- ' t ( o )p A u ( p , p , r ) ] ( ) " a ) J 1
J,
eq dt
I
(2.4s)
0
geklindevermiglerdir.(2"45) denklemindeAo(P,p,l.);katmanh ortamrn empeclans
fonksiyonu,P ; Ozdirengve derinligiigerende$igken,l- ; Hankelddntiglimdefiigkeni,
,ItQ): birinciderecedenBessel fonksiyonu,p = -iw; LaPlacedOn(igtim
degigkeni,
bigimlercle
€=ta; HankeldonUgumdedigkeniise Q(5,K); geometrikfaktdru,aqa$rclaki
tanrmlayabiliriz.
1) Ahctve vericihalka yarrqaplarr
aynr( coincidentloop)
Q (€,K)= Q"(€,n = ,1,'(€)
( 2.46)
l5
$ekil (2.2)goruldu$ugibi dikddrtgenvericihalka segilirse,dikdortgen alanrn
kargrlrSr,
daireselhalka egde$eryangaptbulunmasrgerekir.A 7.i veici alanr, An;
altct halka alant, al; dikddrtgen verici halkanrn bir kenar uzunlufru ise
1'tl-
A7:@l)" :7r a' ba$rntrsr
yardrmryla,
a; egde$ervericiyangapra : al f ^ltr bttlunur.
2) Dikey dipol ahcr ( verticaldipole receiver) x ; ahcr ve verici halka
merkezleri
arasrmesafe,K = x/ a olmakuzere
QG,K)= Q,G,K)= #
€Jr G) J" (K,€)
( 2 . 4 7)
yazlv.
3) Yataydipolahcr( horizontal
dipolreceiver), 0 ; yatay dipolalrcr ile verici
merkezleri
arasracrise
Q G,K)= e, (€,K)= -+€ Jt G )Jt (K,f) coss
(2.48)
ile ifadeedilebilir.
Karqrhklr
Empedansgeometrikfaktorebafiholarakgenellestirilebilir
z(t) = -7T paT ,o ' [r ol p Ao ] e(6,K) '/6
( 2 . 4 s)
o
ilt2
$ekil 2.5. Akrm fonksiyonu
akrmfonksiyonu
$ekil 2.5de gdsterilen
t ( tr -) I(t):1
t ) tr -+ I(t): 0
tr (t(t"
-+ I(t;= -,tz--.t
l:*lt
geklindetanrmlanabilir.
Akrmfonksiyonurnun
LaPlaced6nuqiimLinii
yazarsak
l6
t(
e-PIr
/[
6p
t,ltu)l= -:-| l-:
-pL\/r
u-i"tz)
*: ^
6p
)
I
( 2.50)
6=ll.-tt
eldeedilir.Bu durumda
kargrhklr
empedans
a
Z(t1: -o p o J [c. (,)- G, (t)+ c, (t)] Ql€,K)d€
(2.51)
0
yazrlabilir.( 2.51 ) denklemindeparantez igindeki ifadelerinayn ayn [-aPlace
ddniigiimleri
Go Q) = Lo
-t
(Ao)
t I
-l
-l
Gr(/) = Lr-'\,4np .-p t r).a
l
(2 52)
-t
G ( r )- , . r - t (, . o - '. - n ' z ) o
geklindealrnabilir.
( 2.51 ) egitli$inde
t > tl igin Go(t) ihmal edilebilir.QLinkiiakrmda
de$iqmeolmadr$riEinmanyetikalan de$igmez.TEIVI de zamanrnbaslanorcr
olarak
y o k u g u nb a g l a d r $arn ra l a b i l i r i z( t. = t l a n r )
gosterimi
$ekil 2.6. yokugfonksiyonunr-rn
Bu durumdaeqitlik( 2.51 ) iqin
r
t h-n-uol
Z ( t \ - n l t a I L r , - tA
l ,,\-;-_J
oL
(2s3)
t7
bulunabilir. Bu egitlikKnight ve Raiche'nin(1982) vermigoldlr$uGaver-Stehfest
y6ntemiile hesaplanabilir.
( 2.53 ) denklemini
=-,.,tl4ol
t;(t,€)
'
( 2 . 5 4)
tpl
yaparak
tanrmrnr
z(t1=r#T [u,(,-5,€)-4 (1,6
d6
)] eG,K)
"0
(2ss)
, y a za b i l i riP
z.ra ti kte
.
te rs L a P laceddnugum uq=opn2pl4' ye gor ealtntrZamant
normalize
etmekiEinr = rlopa2 ahntrsa
fVo|#
FG2,)
yardrmryld,
(p, t)
d6n0gumgifti yerine (,t,12r) donugumgifti yazrlabilir.
Bu
( 2 . 5 6)
durumda
- -r.n-tlal
: -,,,-tlL'l
t (,2;)
'
tpi
tql
( 2 . 5 7)
parantezigindekiifade
eldeedilir.(2.55 ) denkleminde
GGz r)=ric'r')-trrG'r)
( 2 . s 8)
geklindeyazrlalabilir.Qegitliduzenleriginkargrhklr
empedansaga$rdaverilmigtir.
a) Ahcrve vericiyarrqaplarr
aynr ise ( coincidentloop)
€o
o
t
z" (r)= ':n rI qq
' ' r,o,p)(Jr(6 ))2a6
t
n
( 2.ss)
t8
b) Dikeydipolaltct
=r,o,p)Jr(6) Jo(K{
) €d€
Z,tt)=!::+jctf
Jo
nf
(260)
o
c) Yataydipolaltct
z. (t)=-U#4t#T,.
(€2r,a,p)
rr(f ) JrGf) ,:dq
(261)
,lr,( K€)= 1 ve (2.61)
konursa(2.60)denkleminde
Eger,alcr vericininmerkezine
./r( K€ ) = Oolur.Dikeydipolalcr igin
denklemind"
t ; \ t )=
r ua Ap
",
-U
;. J' T O I E
'r,o,p7Jr(f df
)
(2.62)
O
yataydipolalrcrigin
zi1)=s
( 2 . 6 3)
ba$rntrlarr
elde ediliir.E$er , alrcrvericidenqok uzaksa(dipolverici)gec zamanlarda(
latetimes)dikeydipolaltcrigin
nPa
-d ,.,
z!
tt1=fft[
Ap*l n,"
2
, r
J.6t<f
otr''r,o,p1
) €?d6
(2.64)
ve yataydipolalrctiEin
to; t\tt r.t
)=
- ft p a A ,L :o t?
2r ,o,p) Jr ir f
)
T
o,t
At
r,
?,
e rr
l d eedilir( Raiche,1984) .
e rmp e d a n sl a
k a rg rl rkl
€2dE
( 2.65)
l9
2.8.
Yokrrq
Fonksiyonu
Kullanarak Tekdiize
Ortamln
Empedansrnln
Hesaplanmasr
Katmanll ortamtn empedansfonksiyonundanyararlanarak(2.41), So = ).
egitli$iyardlmrile yan sonsuztekdirzeortamrnba$rntrsr
^, " =
), - (A2 + i t, 1t o1.tl
urt
-
= ;| ; ; fiF + q1,'\12
(2.66)
nur, o,
qeklindehesaplanabilir.
(2.66) ba$rntrsrnrn
analitikolarak ters t,aPlaced6niisiimti
ahnabilir.
-'
F'(;2
r) - 1.,,-'[Z.fl
'Lq)
( 2 . 6 7)
-'l
,
2 l(t
rtc - r\ =-:. | l.; *;' 1
vz L\_
l)=t'
a
c-\
,l
II
( 2 . 6 8)
J;
-':
lt
')l
q. T1;r
-
l -
yaprlrrsa,
ddnCIqiimleri
ahcrve vericiyrarrgaplan
aynrise kargrlklrempeclans
-,. "211
*.,')ffi,' -[]*r,)or.,
.n',t,
,,, (26e)
]{,','-u'2
if,r[f;
olarakbLrlunur.
BirinciderecedenBesselfonksiyonunun
agrlrmr
Ahromor,tritz
ve stegr_rn
(1964) tarafrndanverilmistir.
@
./1-(( ) ,1
-,
\-
L
i. =0
lr
J5
U
jN
-r
+l
I
tli
4+
( - r ) o q Q t ' + z )e t + z ) t
+l
t ( a +( a
i l+ l ) | ( * + r ) t ( k + z ) t
-)
q5
(t+l) !
2
tk
+2
( 2 . 7 o)
(2.71)
20
f
.rt+r
I g-"
0
/-,
a L : J c\ 6 t . l r )
(k +2) |
t?
rli=
(2.72)
kargrhklr
empedansiqin
Bilinenintegralformlarrndanyararlanarak
2paG
7 , . \ =T^
z"(r)
Ft)k (ztt+z\t xk
r 3 2- S
Llrr
t (r+u) r (zr+:) r
11a+t)
T"(k)
(2'7 3)
-'
r,(a,ri =;lo u rrl
*t+t-( 2 . 7 4)
a:6lt
X:o1tu2f+t
yazrlabilir.
,r -+ 0 ve Tz(cr,k) ,+ 1 iginyokugfonksiyonu
empedans
kullanarak
kargrlrklr
bulunur( Leeve Lewis,1974). Benzerqekilde
co (-r)u (Kq\ Qr)
\-'
,l"(Kd)=I
.k=o
,tltKqi=+
+kkl
tzrs)
kl
K.E @ (_r)o (rct)Qr,)
L k=o 4kkl
t276)
(r+r)t
yararlanarak
ve Besselfonksiyonunun
dzelliklerini
kullanarak,
diigeyve yataydipol
alrcrlar
iginkargrlrkh
empedans
hesaplanabilir.
(-t)r (f +l) | Y: _ ,
2tt An Af ,,.,:
$
_,r
z:(t)=;-3"i:r,
z,j (t:
tt-
-2rr ABAr
E x;t
(2.77)
[email protected],(a,k)
).: i
(-r)A(zr+l) r v,f
E , ( k + 3 ) / ,I: ( k + l ) r 1 t * r ;
T' la'k\
(278)
tl
z;(.r,q=;;+2)
ldrtt zr / -_
-
,l
oltX2
( 27e)
A+
TL
opX"
1 6t
Diigeydipolallcrdurumunda,altcrvericininmerkezindeise kargrhkh
empeclans
iEin
J-"t,^Ln $
z7,r,,,
) ( r ') : l - - ) -
(-t)"
I
I
r I
. 'n r: 2 6 Ar fr, 4',nl (2n+3:1
r "'.:.l
ert+S)Lr
ba$tntrsryazrlabilir
( Sandberg,1990
). (2.39)bagrntrsrnda
r ve
r'
iletkenlige
ve
dolaysryladzdirenceba$lrifadelerdir.
(2.80)bagrntrsrndan
g6rulduigu
gibi r ve r(6zdirenq)egitliktendo$rrrdangekilemezler.Bu
neclenlegortrnrir6zcfiren0vinelemeli
yontemleryardrmryla
bulunur
2'9' Gaver=stehfestYcintemiile Ters LaPtaceDoniigtimriniin
A.6nmasr
Bir fonksiyonunLrn
Laplaced6nuSlimoiffleri
oo
Y(p)= l r-u , ye) ctx
o
7 ' * ' r * - ,n.
y \(rn/ -\' d
n
- r ' ( . y ) :_ . Jl , , ,
r2lfi
Y *i
(281)
,t)
ileverilir.Bir y(x)fonksiyonunun
birimimpr_rrs
irekonvorusvonll
T
Y ( x ) = J a ( " - u-'') y Q t ) d u
'''
E(x,u)yrian{x,u)olarakgosterirsek
Vazrlrr.
( 2'82)
'r1
1d,(x,tr)du=l
o
( 2.Bs)
n ' nin bilttrndeserleriigin
integralsontrcu1 cJirBirim
imptrrsf.nksiyonrrnun
fonksiyonra
bir
isefonksiycnun
Qarprmr
o noktadaki
defrerini
verir.
?
l 5 n (r,r,) yQr) d u = y, (x)
0
( 2 . 8 4)
Agagrctaki
fonksiyonrr
6rnekolarakafursak
(n\"*1
lttt s-tt tt ' ''
(.;l
6,, (-r,u)=
n!
/?Rq\
rt+1,
(x)= [f)
-r',,
? t,
u o
,,1 J
0
\. -l-,/
-.tr,
.'
1'(ii)du
( 2 . 8 6)
LaPlacedonii;um
d e g i q k e n ip = n t x i s e
( W i d c l er 1 9 3 4 \
(
,*r
n
. r z ( x ) : . v , , ( - r ) -1l ,+, l)l1{ lr 1 I(")
t ( , t |1
, t,
)
t "f [;i
yazrlabifir.y@(p) p ye
bagh Laplace
(1966)aga$rdakigekilde
segmigtir.
3 (I Y
), :
(2n) t a ( t - . ttl
cl
=lr
l n 2l ,x
x)=
!, (x
( 2 . 8 7)
ddnugrimudlir.
'v'rqeqrrru(rur'
Benz, olarak6"(x'tt) yi
.'enzer
Gaver
-'r),
e-aun
(n-tl
!
(2BB)
lqA
( 2n) ! I n ( 2 )
11 ! @ - l ) t r
mrn(1 ,M)
I
k=m
(-11;I ll ,l (tt+i'ttn21
\.t)
x
L
/
(2.8e)
L.)
verilir.Bu ifade ise
y(x)=
J
ln(2\
,l (.i,J\
T
j=t)
-t
+,,'
,t(.i.,f)= (*l)/
I't.l
ln(2)
)
,
( 2 . e 0)
min(j,,M)
I
k=m
kvt 2k
( l t { - k ) | ( , ( ' * 1 !) ( 7 - , t ) ! ( 2 k - 1 \ l
( 2 . 9 1)
yakrnsar( Stehfest,1970).J tam saytdtrr/eM = J /2 seqilir.
2.10. Gaver-StehfestYdntemi
lle
Katrnanlr Ortarnrn Empedansrnrn
Hesaplanmasr
yaprlarakmerkezihalka drizeni iEin
(2.39)de verilen de$igkendonugumleri
kargrhkh
empedansrnrn(ahcrvericininmerkezinde)
n,-\
LII)=
Ap
npa
' .- 4
t _
"s
co
Jc ( f
(2.e2)
0
'"'\ 2
l\ (€ r)
GG2r.P):1;;1
( 2 . e 3)
t
'
.
T=a
2 r , P ) J r( E ) c l f
f
o1 s, o2
/-(t
01
lI
a
-
1
rl,q^@\l
G 1G ' r , l ) = - L u - 'l - l
lql
*iv7t
ota2
'1 =
t'
=
pot
lt
( 2 . e 4)
( 2 . e 5)
,2
Frekansortamrnda, Ao (q) aga$rdaki
hesaplandr$r
bir dncekibdlumdegosterilmigti.
gibi hesaplanabilir.
Son katmandanbaqlayarakindirgemeiqlemiile Ao(q) empedans
ters LaPlaceddnugumuve Hankel donugumii
fonksiyonuhesaplanrrsonrasrrasryla
sonrakuramsalgoriinlirozdirenq
empedansbulunur.Bu iqlemlerden
ahnarakkarqrlrkh
hesaplanrr.Bu
Olgulengorunurozdirengise ( 2.80 ) ba$rntrsrndan
hesaplanabilir.
gibi r' dan p do$rudanelde edilemez.Yinelemeile yedinci
ba$rntrdagorUldUQU
24
boltimde anlatrldrgrgibi frekans ortamrncla
empecJansrn
h e s a p l a n m a s r nkrr s a c a
yenidenagrklayahm
L.i:r--
L
//
\
T
i
".1
- ,- !. ( , - ( .l -.l . i ) h i
l'
TI
_Y
\
oll
fl
( 2.e6)
l
Jr
Ti=-T=l1q
A01
O:
-1 =
lra' - i w o , u l 1t
ll=l
L\a/
/'
( 2 . e 7)
l
ve yanstmakatsavrlarr
(2e8)
yaalabilir.n+1 katmanhortamclaen
son katmanda
rl-0
\ " / elrir dncekikatman
igin
F ,, - R,,8,,
/?qo\
egitligiryardrr.
Empedansfonksiyonrr
ise
F_
li, (R, + F',,* , )
l+(R. F'.,
. / . , 7
A_
.P. o
')
( 2 . 1 0 0)
+, l i. 1
l+R,,F,
bulunur. Gaver-stehfestyontemi uygularsak
degigkeni
q yerine4 = .iln( 2 )
fx yazabitiriz.
,=€'r
i s e LaPlace donuiglim
25
rr(f 2,=!$V.or,,nLf
^
ln()\
F\(€'d=#
Eti-0
( h(2))
n' -u:
-J
l,t
)
| ari.D I n ( 2 )
.r-
d(j,J)=(-l)/
+/"
m i n (j , M )
I
k=m
(2.101)
r
kM 2k
(M-k) ! (r-1) ! (i-k)t (2k-j)l
(2j02)
J - 16 ) ve HankeldoniiEumliyaprlarak karsrhklr
4 t" Fr bulunur(Sandberg,1990
empedansbulunur.Kargrhkh
empedans{ ve t ba$hdrr.
26
3. cdRriNun ozoinENeTANTMLART
Tekduzebir ortamigin ozdirencin
zamanortamrbafrrntrlarr
ikincibdlLimde
(2.80)ba$rntrsrndan
goruldugugibi r ve r'
anlatrlmrgtr.
(6zdireng) egitlikten
gekilemezler.
doQrudan
YanigorunurdzdirenE
tanrmryapmakamactiletekdiizeortam
ozdirencinden
do$rudanyararlanrlamaz.
Bu nedenlegoruniirozdireng
ve iletkenlik
yinelemeli
ydntemler
yardrmryla
bulunabilir.
dliz g6ztimiiolarak
Gdrunurozdirencin
gdrUnur 6zdirenceyaklagan asimtotik ba$rntrlar
do$rudan verilemedi$inden
tanrmlanmtgtrr
(Sandberg,
1990).izleyenasimtotik
ba$rntrlar
erl<en
ve gegzamanlarda
yaklagrrlar.
merkezihalkaduzene$i
igingdrUnur
ozdirence
-..r.^,. n3 Z,
LrNlrr
(31)
//)
rQ;a/
'
JAR
(
^
: 6'3184
lo-12
P,ris"'
l#)
^
106666(,7
(J.Z]
Bu asimtotik gdrunur ozdireng tanrmlarr kullanrlarakduz ve ters C6zumler
gergeklegtirilebilinir.
Aletsel olarak alrnanolgulerinniteligi,manyetikalanrnzamana
gore de$igimidir.
(2.2)ba|ntrsrndan yararlanarak
kargrhklr
empedans{Z) bLrlunabilir.
Olguten sayrsal de$erler, (3 2)
ba$rntrsrndayerine konuh.rrsamerkezi halka
duzene$indeolgltlen veriler iEin geE zaman gdrunlir ozdirenci zaman ortamrnda
bulunur.MerkezihalkadUzene$iiginkr-rramsal
olarakhesaplanankargrlrklr
empedans
de$erleriise (2.92) ba$rntrsryardrmrylahesaplanrr.Bu hesaplanancte$erler(3.2)
yerinekonulursa,kuramsalgeg zaman gdrunur ozdirengler
ba$tnttstnda
defrerleri
zaman ortamtndabulunur. KuramsalolarakhesaplanangeEzaman gdrliniir6zdirenq
e$risinin parametrelere gdre logaritmikturevleri ahnarak ters goziim iglemine
baglantr.Ters gozum iqlemibelirlisayrdayinelemegerektirir.Geq zaman gorLiniir
dzdirencini zaman ortamrnda sa$layan parametreler,ters gozum bittikten sonra
bulunur.Geg zamangdrunur ozdirencinden
(3.2)kargrhkh
empedanshesaplanrr.
Veri
sunumL' igin, (2.80) ba$rntrsr yardrmryla karqrhklr empedans de$erlerinden
yararlanarak,
yinelemelibir yontemlekuramsalve olgulengorunrirozdirengler(po-)
hesaplanabilir.
27
4. TERSqOZUMTEKNTKLERI
4 . 1 . K u ra m
Jeofizik yontemlerde bilinmeyen parametrelerin kestirilmesi ve
yorumlanmasrigin Ug farklr bilgiye gereksinimduyulur. Birinci olarak yerin
fiziksel 6zellikleriningozlem belirtileri uzerine etkisi matematikselolarak
j e,o l o j i kyapr nr nolugtur acafrbelir
t a n rml a n a b i l i rse
r
tilersayr salolar ak el de
e d i l e b i l i r.B u ta n rmakrsa c a m odellem eiglemi denir .il<inciolar al< yaptntn
g o ze n e kl i l i k, mi n e ra ld a $ r lr mrgibi yor umlam ayretkileyenfiziksel6zelli k l er
g o zo n U n a
e l rn ma l rd rr
U g U ncU
olar akalgr lanan
ver ilersa!layan
i
bUtlr nm odel l er
iginde krsaltmayagidilerek, olabildifrinceaz sayrda parametre ile iqlem
y a p rl ma l rd(B
rr a g o ku1r 9 9 6 )
Parametrelerin saptanmasr iqin
yeryuzUnde alrnan
dlquleri
gerekbulunmaktadrr.Parametrelerile
tanrmlayabilecek
matematikba$rntrlara
olgu de$erleriile parametreleri
iligkendiren
matematiksel
ba$lntr'Duz qozum'
o l a ra ka d l a n d rrrl rr
Y e ra l tri gin dugunulenfizikselm odelinbelir libir m atemati k
b a $ tn ttyt
sa $ l a d r$va
r rsa yrmr
ile duz gozUmger qeklegtir ilir
Bu. nedenleiki ve uq
boyutluyeraltrmodelleriigingeligtirilen
duz g6zumlerfarklrolacaktrrParametre
de$erlerinin do$rulu$u dugunUlen model ile yeraltr fiziksel kogr-rllarrnrn
uyumuna ba$lrdrr.ikinci olarak farklr parametrelerikr-rllanara[(
aynt modeli
.
v e r en d u ru ml a rg e rq e kl e gebilir
Matematiksel
ba$r ntr lar la
elde edilenmod el i n
parametrelerine
sayrsalde$ervererek'Kuramsal
Veri' elde edilebilir.Kuramsal
veri, model parametrelerinin do$rusal veya
do{rusal olmayan bir
fonksiyonudur.
Do$rusaliligkidurumunda,modelparametreleri
olg0lenveriden
dolaysrzgozUlebilir.
Do$rusalolmayang6zUmigin ise parametrelere
onkestirim
atantr ve gergekgdzumUnon kestim de$erlerine yakrn oldu$u varsayrlrr.
Amag modeli sa$layangerqek parametrede$erlerineuygulanmasrgereken
dUzeltmede$erlerinin
saptanmasrdrr.
Bu iglemdizeyolarak
P,=P!+AP'
j : | , 2 , 3 , . . . . .M
,
(41)
28
geklinde yazrlabilir.Burada P;
gergek deferleri,P,o
parametrelerin
dUzeltme
dnkestirimde$erleri, AP, on kestirimde$erlerineuygulanacak
dizeyi ve M parametresaytstdtr. AP, dnkestirimve gerqek parametre
gerqekve
DUzgozumfonksiyonu
hesaplanrr.
farklardan
de$erleriarastndaki
ile onkestirimdefierleri
yakrnoldu$r-r
varsaytmr
birbirine
defrerlerinin
dnkestirim
civarrndaTaylorserisineagrlrriki ve daha yuksekdereceliterimlerihmal
edilirse
yu"::{i'(pj
. f( x i . p ) = . / ( x , , p r l ; + u r i
- p l ) + ... i : 1 . 2 . 3 . , N
(42)
i=l
yazrlabilir.Bu seride i, kuramsalverininstra numaraslve x i parametrelerin
onkestirimde$erlerininhesaplandt$r yatay eksen defreridir T devrikdizey
olmakLrzere; kuramsalverininsaytsalde$eri,(N"1)boyutundaslrtundizey
n =lrr,f2,f3,......fN|r
(43)
geklindegosterilebilir.Onkestirimve gergek parametrelerarastnCakifarklar,
(M"1)boyutundasutundizey;
rp = [(p,- pl]),
@z-pl),
.@u- nl]l]'
(4 1)
yazrlabilir.Kuramsal verinin onkestirimdeferlerine gore kr smi tur evler i ni
dizeyise
kapsayan(N-M)boyutundaki
|
n ; .; -- . t
-
ef,0
"
. llt,
CI
J
i
i l e g o ste ri l e b i l i(r4 2 .) d i zeydenklemktsaca
tA E\
\T.v,l
29
(4 6)
.f=.fo+AA,p
geklinde yazrlabilirBu denklemde A jacobian dizeyi,duyarlrlrk(sensivity)
ve
sistemdizeyigibi adlarlaanrlmaktadrr.
N adet olqUde$eri,
q =
[q d :,d ] .. d ']r
(4 7)
N*1boyutundasutundizeyolarakgdsterilirse,
6lgude$erleri
ile kuramsal
veri
(gerqekparametreler
ile) arasrndaki
fark hataeneriisi
olaraktanrmlanrr
ve
e=d-f
(4 8)
dizeygosterimiolarak yazlu. (4 6) denklemi(4.8) yerine konursa
e=d-fo
-ALP
(4e)
dizeygosterimiolarakbulunur.
Ad=d-fo
(410)
Ld dizeyi, olgUlenveri ve onkestirimparametrelerikr-rllanarak
hesaplanan
kuramsalveri arasrndakifark drr.(4 8) denklemi
e=Ld-AAP
(4 11)
yazlabilir.En kugukkareleryonteminegdre hata enerjisi6lgulenveriler ile
matematiksel
olarak bulunanrrerilerinfarklarrn karelerinintoplamr olarak
tanrmlanrr.
Butanrmr
I i = e ' r ' r = 1 \ , t l - A A I r ) 7( A t t : A L I r )
(4 12)
30
geklinde yazabiliriz.Qarpmaiglemiyaprlrrsa
E = A , P rA r A A p - 2 1 . d r A L p - A d r L d
(4 13)
ba{rntlsrelde edilir.Hataenerjisinien kugukyapmakigin AP' ye goretilrevler
a l r n rrve srfrrae g i tl e n i rse
dE
ft=?LPI
AI A-?AttrA=o
(4 14)
e g i tl i gbi u l u n u r.E g i tl i kd rl zenlenir se
L P 7A' r A = L ( l r A
(4 1s)
Bulunur.Ar A kare dizeydirve tersialrnabilirEgitli$in
her iki tarafrGr e1-t
ileqarprlrrsa
L , P= ( A r n - l A r n d
(4 16)
N
de$erleribulunur.Bu denklemdeJacobiandizeyi A ve dlgulenve kuramsal
verilerinfark dizeyi Ad bilinendizeyleroldudundan,Ap fark dizeyi , dizey
i g l eml e rii l e h e sa p l a n a b i l ir .Gr H- t Ar dizeyi genellegtir ilmter
ig s goz um
(generalized inverse) veya Lanczos (1961) tersi olarak adlandrrrlrrve
P e nro se (1 9 5 5 ) ko g u l l a rr nr sa$lar . istenen par am etr eler , hesaplanan
parametreduzeltmedizeyinindnkestirimdizeyineeklenmesiile elde edilir.
1 t r = 1 t '+l A , p ,
j:1,2.3.........,M
(4.17)
Bulunanparametre
rre Taylorserisinin
dizeyionkestirimlerden
rJolayr
yUksekterimlerininihmalindendolayryeteri do$ruluktaolmayabilir.
Fakat
-ll
bulunanfarklarrnk0gUlmesi
beklenir.Bu nedenleyeni bulunanfark dizeyinden
bulunan parametredizeyi bir sonraki iqlemin onkestim defrerleri olarak
kullantlarakfark dizeyi kugUltulmeye
galrgrlrr.Bu iglem parametredizeyinin
yeterihassasiyette
bulunmastna
kadartekrarlanrr.
Y i n e l e mei g l e mi ;
1) dlgtilen ve kuramsalveri arasrndakifarkrn,oncedenbelirlenbir cle$erden
d a h aku g u k o l ma sr,
2 ) iki a rd rg rkyi n e l e mea ra sr ndaki
hata ener jiler inin
or anr nr nbelir libir defrer i n
a l trn ai n me si
3) yineleme ile parametrelerde yontemin ayr^rmlrlr$rndan
cJahakugllk
d e S i g i ml e rienl d ee d i l mesi
4 ) r,e b e l i rl ib i r yi n e l e mesayr sr naer iqilmesikosullar r ndan
her hangi biri ni n
o l u g ma sli l e so n ae rd i ri lir( Baqokur1996)
,
4.2. Tekil De$er Ayrrqrmr( SVD )
Kare olmayantekil dizeylerinterslerininalrnmasrnda
cli$erbir yontemcle
t e k i l d e $ e r a yn g tmtd rr(S i ngularValue Decom position,
SVD) Kr sm itur ev l er
dizeyindeba$rmsrzegitliksayrsr r olmakuzere dizey,uq ayrr clizeyincarptml
g e kl i n d eve ri l e b i l i r
A = l JA . V r
(4 18)
B u di ze y q a rp rmrn d a ,
U, M*r boyutundagozlemuzeyrna ait r adet \zdizey igeren,diklik kogullalnr
sa$layandizeydir.
V, r*N
boyutunda parametre uzayrna ait r adet lzdizey igeren, diklik
kogullarrnrsa$layandizeydir.
A , r adet stflrdanfarkh )1 de$eri igeren,kogegendizeydir.A dizeyinintekil
d e $ e rl e ri d i r.
2, ) An
s a $ l a d rfli rg i n
o l a raksr r alanmr gtr V
r . ve U dizeylerdiklik
i
kogulla r r nr
.'\ L
vTl, =u(lr = I
(4.1e)
yararlanarak
6zelli$ini
tagrrlar.
Bu bafrrntrlardan
A dizeyinintersi
A-1=V lil (lr
(4 20)
ve donu$0de
AT =I/ lt UT
(4 21)
b a $ rn trl a rri l e ve ri l e b i l i r(4
( 4 18 ) ve ( 421 ) de veri l en
. 16) ba$r ntr sr na
i g l eml eur yg u l a n rrsa ,
N)=(vfr vr\-1 vLUrNl
(4 22)
V rre U nun diklik kogullarrndanyararlanarak
M=L'r.{*)ur
M
\4.tJ)
ba{rntrsryazlarakdizeyduzeltmede$erleribulunur.Dizeyinrankrise.
lvt
'=I
t? ltt.i*o-n')
(4.24)
l=l
ile verilir.o6 modelile gozlemverileriarasrndaki
uyumsuzlu$un
6lgus0dCIr:
Mr'(I-UUr)
^v o-,* - _
lr
l\
ile verilir
-
i.l
I| l
M
(4.2s)
4.3. Siiniim Faktdrii
(4 5 ) ba$tntrsrnda
/'}, etkisizolmasr
durumunda
krsmitUrevler
dizeyinin
j kolonustftrolur.Bu parametreye
ait ozde$erde
srfrrolarakbulunur.E$erveri
herhangibirparametreye
karqrduyarsrzise o parametreye
ait ozde$erde
gdreceli olarakkUgukglkar Yinelemesrrasrnda
srfrrozde$erlerin
dizeyden
gtkarrlmasr
ve kuqukozde$erlerin
nedenoldufu salrnrmlarrn
son0mlenmesi
gerekir.( 4.16) ba$rntrsrnda
ArA dizeyininkoqegenlerine
dizeyinozelligine
goresegilenbir saylsalde$ereklenerek
AP = (Ar A+e 1)-r Ar Ld
(4.26)
denklemielde edilir. Bu denklemin gozr-rmu Levenberg-Marguardt
ters
goz0muveya
sonumlu en kUquk kareler adrnr alrr. Bu ba$rntrdakiI
birimdizeyve s ise pozitifbir dzde$erdir(Levenberg
1944,Margr-rarclt
1963)
e al a ca $ .td e $ e rl e rsrfrri l e bir ar asr ndade$igirs. = 1 ise en dik inigyontem i ne
benzer gekildegozumyavagtrr.e =0 ise ( 4.16 ) gibi yontem Gauss-NeMon
ydntemi adtnt altr ve qdzumegok hrzlrulagrlrr.Fakatgozumer-rlagmak
garanti
de6ildir.Goruldilgugibi 0< e <1
ise yontem Levenberg-Margr_rardt
ters
gozumyontemidirve diSeriki qozumudekendi igersindebuh-rndurmaktarlrr.
Bu
nedenleprogram galrgrrkenyinelemeesnasrndae gegitlide$erleratanabilir.c
s e q i l me si n d eg e g i tl i u yg ulamalar
var dr r .En yaygtnt Ar A ntn sr fr r danfar k l r
en kuguk dzde$erinisonum faktoru olarak kullanmaktrr.Yineleme sonLtcLl
yaktnsamasa$lanamazise daha bUyuk ozdefier ile iglem tekrarlanabilir.
Kugukolan ozde$erlerstftragok yakrngrkabilirBr-rdurumdaozde$erler
iginde segim yapllmasr gerekir. Kabul edilecek ozde$erleriginde qegili
gorugler vardtr.Ornek olarak,en buy0k ozde$erinbelirlibir ylrzdedegerini
k e s me d e $ e ri o l a ra k ka b ul edilmesiveya kullanr lanbilgisayar r nduyarl r l r k
srnrnnagdre kesmede$erininbelirlenmesi
gerekir.
35
A , , A 1 , =t 1
(4.31)
iglemindenelde edilecek birim dizeyinelemanlarrveridenelde edilen
ayrrmlrlr{rn
6lqusuolarakkabuledilebilir.
Kogegenelemanlarr
bire yakrnsa
ayrtmltltk
iyidir.Birdenuzaksaveri parametreleri
gozmekiginyeterliayrrmlrlr$r
saflayamamaktadrr,
yararlanarak
(4.31)baf rntrsryeniden
SVDbilegenlerinden
yazrlrrsa
1 7=
, (/ L/7
(4.32)
eldeedilir.U dizeyiveri uzayrnaaittir.{/ dizeyibilgiyo$unlukdizeyiolarak
adlandrrrlrr.
Eldeedilenparametreler
ortamrtamolaraktemsiledivorsa
ArA-|=1
(4 33)
(4.33) bafrrntrsrnda
olmalrdrr.
yazrlrrsa
SVD bilegenleri
I v =VIIT
(4 34)
elde edilir. Iy dizeyiparametreaynmlrlrkdizeyiolarakadlandlrrlrr.
Parametre
ayrrmlrlrkdizeyibirimdizey ise parametrelerin
ortamrtemsil etti$ikabuledilir.
Birim dizeydekielemanlarparametrelerin gergek de$ere yakrnlrflrnrn bir
olgUsUd0r.
SdnUmfaktorUe$er srfrrdanfarklr ise lu ve lu dizeyleribirim dizey
olmayacaktrr.
Bu durumdaen buyuk de$er kdgegendeolmak Uzere[ir r:an
e$risi gorunumuelde edilecektir(Dimri,1992).
36
4.6 Tekil De$er Ayrrgrmrile gtiztinrirtii$iin incetenmesi
T e ki ld e $ e ra yn g rmryonteminde
elde edilenV dizeyiyardrmrile gerqek
ile hesaplananparametrelerarasr iligkilerortaya konabilir Do$rusalters
g o z u m i g l e mig o zo n 0 n ea l l nr r sa
P*i=IY
( 4.35)
P
l:-^,,;
/n\
y a z r l a b i l i r.
parametre
dizeyi1i;, Eozulen
urr"syrtr/,
Ge rg e kparametre
b i r ge ki l d eve ri l i r.j . parametre
P * . i= . , , i V i . i - tP i - t + + V , , P i * + V i i * t P ; + r + f . .
h^xt,
uduil
(4 36)
ba$rntrsrndan
bulunabilir.Bu ba$rntrda
V ayrrmlrlrk
dizeyinin
elemanlarrnr
gdsterir.V7isej. parametreye
ait parametreOzyoneyidir
ve j. parametrenin
difrer parametrelerden
etkilenmeoranrnrgosterir.Oranrn buyuk olmasr
parametrenin
gozUlmesini
ba$rmsrz
engeller(Juppand Vozof 1975,ilkrgrk
1e8e).
bittikten
sonrayorumagamasrnda
ozde$erlerbliyuktenkugil$e
QdzLrm
do$rutstralanrr.En buyukozde$eresahip parametreozyoneyinden
en iyi
gozumlenenparametreelde edilir. Elde edilen de$erlerters igaretliise
parametrelerin
toplamr 1P,+P1),igaretleraynrise parametrelerin
farklan
(P,-Pi), sabit kalacakgekildegozumbulunmayagalrgrlrr.
Gozlemverisinin
goreceliolarak kuquk
hata igermesidurumundaetkilenecekparametreler
ozde$ereait parametredzyoneyinden
, parametreyietkileyecekgozlem
gorulebilir.
noktalarrise veriozyoneyinden
Aynca veri ozyoneyinden
hangi
parametreninveriyi nasrl etkiledi$i anlagrlrr.En k[rqUkdzdefrereait
parametreozydneyindenparametrelerarasr egde$erliliken buyukteki
egde$erlili$eterstir.
parametreler
En kUguk dzde$erden,gurUltr-rnun
arasrndaki
hangitUr egde$erlili$i
daha fazla etkileyece$i
elde edilir
37
. gXi
P a ra me tre l earra sr i ligki,iligki dizeyi yar dr m r yla incelenebiliriti
dizevi C krsmi turevlerdizevindenelde edilir.
( A r A ) - 1 ,j
L;;
-f
T
l{
( 4.37)
, l ' A 1, , - ' ( A ' A ) , j - ' l ' '
,
-
,'1 ,.
lligki dizeyindebirim de$ere yalcn iligki veren parametreler
birbirinden
ba$rmsrz olarak gozulemezler.
itiqki de{eri (+) birime yakrn oldu$lrnda
parametrelerin
logaritmik
farklarr,(-) birime yakrnoldu$undaise logaritmik
parametrelerin
toplamlarrsabit olacak gekildeqdzUmbulunabilir.
Yuksek
iligkiverenparametreler
aynr katmanaait ise (+) iligki S tipi (tlp bdlumleri
(-) iligkiT tipi (l*p
sabitgozUm) egdegerlilige,
qarprmlarr
sabit qozum)
egde$erli
li$ekargrtl
rkgelir
4-7. Geqici ElektromanyetikVerilerin Ters Qiiziimii
Bu bolumdegenel kuramlarrverilen geqicielektromanyetik
verilerin
tersgozUmiglemine
nasrluygulanaca$r
anlatrlacaktrr.
4.8. Logaritmik Gdsterim
ydntemde
Gegicielektromanyetik
veriile parametreler
arasrnda
do$rusal
gergekleqtirilir.
bir iligki yoktur.Bu nedenle
olgulerdo$rusalolmayan
srrayla
Logaritmik gosterim ile
do$rusal olmayan olgum iglemi krsmen
do$rusallagtrrrlmrg
olur. Logaritmik
de$igkenkullanrlmasrnrn
sonucuolarak
parametrelerin
garprmrve oranlangdzulur.0rne$in,veri iki parametrenin
birbirineoranrna(PllP)
duyarlr ise
do$rusallagmtg
olur (In(P )-nQ
gosterimde
logaritmik
ba$rmlrllk
)) . Benzergekildeveri iki parametrenin
(Pf P) duyarlrise logaritmik
gosterimdeba$rmlrlrkiki
birbiriylegarprmrna
parametrenin
(In (P)- In (P)).
logaritmik
toplamrdrr
38
Tersgozumdeparametreler
arasr farklarrn buytjk olmasr gozumu
etkileyecektir.
Ornekolarak1 ve 1000ohm-metre
ozdirenqli
iki katmanlrortamda
yaptlan gozom iglemindeelde edilecekAP de$erleriikinci katmandandaha gok
etkileneceksonugtabirinci katman igin gergek degerindenuzak bir sonug elde
editecektir. Logaritmik de$igim kullanrmr ile degerlergoreceli olarak aynl
seviyeyeindirilirve gozum0n bUtUn parametrelerdenhemenhemen aynroranda
etkilenmesi
saglanrr.
4.9. Krsml T0revler Dizeylnin Elde Edilmesi
Ktsmi tUrevlerdizeyi,segilenbir model ba$rntrsrnrn parametrelere
g6re
t0revlerinden
olugur.Gegicielel<tromanyetik
ydntemdegorrlnurozdirenci dogrudan
baStnttlardangekemedi$imizden,
gorunttr ozdirengtanrmryapmak amact ile
tekd0zeortamOzdirenciigin bir egitlik do$rudanyazlamaz.Bu nedenle(3.1)ve
(3.2) verilenasimtotikba$tntllaraihtiyagvardrr. izleyenbagrntrlar erken ve geg
zamanlarigin gdrunUrOzdirenceyaklagrrlar.Bu ba$rntrlardanyararlanarak
krsmi
t0revlerdizeyiniolugturabiliriz.
Logaritmikturevozelliginden
yararlanarak
A Ir7b)
- Pia b)
a b(Pi
p a Fi)
(4.38)
yaztlabilir.p geg zamandzdirencini
ba$tnttlart
gostermektedir.
Analitikolarakturev
altnamadr$rndan
dolayrkrsmrturevdizeyi
a l.n(pi _ ln (p i*t)-ln (pi)
a Inf )Af
(4.3e)
ba$tnttlartndan
numerikolarakelde edilebrlir.
p i. ve p;*1 bir sonrakinoktaile bir
dnceki At farktnda hesaplanan geg zaman gorunur ozdireng de$erlerini
g0stermeKedir.
39
5. UYGULAMALAR
verilerinters qozUmtiiEin oncekibolumlerdeverilen
Geqicielektromanyetik
yararlanarak,
programr
yazrlmrgtrr
ba$rnttlardan
(1992)
bilgisayar
Sandberg'in
yapmtq oldu$u programdanyararlanaraksadece geqici elektromanyetik
verilerinters gozUmUn0,
merkezidongu duzenefi igin yapan bir program
geligtirilmigtir.
yorumr-r
Program,6zdirengverilerinin
iqin hazrrlanan
do$rusal
olmayanen kUgUk
karelertersgozumprogramrdrr($ekil
(1977)
5 1) Johansen
den altnanMarquart-Levenberg
tersqozumalgoritmasr
ile iglemyapmaktadrr.
Ters gdzumprogramrnrn
duz gozUmve krsmit0revlerdizeyinihesaplayan
alt
programlart
de{igtirilerek
TEM verisineuygunhale getirilmigtir
Duz q6zum
igin (3 2) de verilenasimtotikba$rntrdan
yararlanrlrrAsimtotikba$rntr
kullantlmasrnrn
sebebi gorunur ozdirencin,(2.80) de verilen kargrlrklr
empedansba$lnttstndan
do$rudangekilememesidir.
Bu nedenledr-rzgozum
yaprlrr.Yinelemeiglemisonundageq zamangdrr-rnur
asimtotikbaStnttlardan
yararlanarakempedans bulunr,rr.
ozdirenglerinden
Kargrlrklr
empedansdan
yararlanarak
yontemiyle,
tekrarbiryaklagtrrma
hesaplanan
ve olqulenverilerin
gdrUnUr
ozdireng
de$erleri
hesaplanrr
programr
ve gizdirilirQizimiginSLIRFER
kullanrlmrgtrr.
Yinelemeagamasrndaparametrelerinden
elde edilen geg zaman
Ozdirengie$risinin(p il
ve olgUlengeg zaman 6zdirenci(p o.) egrisi
benzerli$i,
de$erlerinfarklarrnrn
karelerinin
toplamrntn
karakoku(chi-square
sum)veren
f
-
C H I = l 4)
L
1r^
l n (' ,or \o- / .\ - l n (' 'o /-\ '\ l ' '
I
(51)
ba$tnttstndanyararlanarakdenetlenmigtir.
Dugeyeksen , geg zamangdrlrnur
ozdirenci, gorunUrozdirengve empedansolmak uzere tum r-rygulamalar
iqin
ug ayrrgrafikgizilmigtir.
40
Grafiklerdeyatayeksenzamanolmakuzere,olgulenG0 cte$erleri
, geg
vs hesaplananGO deferleri
zamanG0 de$erlerive empedasde$erlerirrooo"
"---"ile verilmigtir.
elde edilenher bir .1, 6zde$eri
Ozyoneygekillerinde
ise ters gozUmden
igin, birinci kolonda parametreozyoneyi ve ikinci kolonda veri ozyoneyi
verilmigtir. 1 j
ozde$erlerinde bUy0kten kugUge srralama yaprlmrgttr.
i in
Pa r ame treo zyo n e yi n d esrr ayla p t, p 2,p 3,.....,t
1,t2,.... par ametr elerig
genlikde$erlerigizilmigtir.
Veri ozyoneyindeher bir olgiimfrekansrigin genlik
d e $ erl e ri ve ri l mi g ti r.i ti g t<idizeyide aga$r dan yukar r ve soldan sa$a
p a r a m e t r e l e r si nt r a s tp t , p 2 , p 3 , . . . . . ,11, t , , . . . . g e k l i n d e d i r .
4l
"*Gozlemve baglangrg
parametrede$erlerini
okur.
DATAI
**Modelde$erlerigin
G0'lerihesaplar.
** Krsmit0revlerdizeyini
hesaplar.
** CHI de$erinihesaplar.
** Tekilde$erayngtml
iglemiyapar.
** Tekil de$erleri
srralar.
*" Modelparametrelerine
eklenecekduzeltmeleri
hesaplar.
* yeniparametreler
igin
G0 de$erihesaplar.
*" CHIde$erihesaplanrr.
* Yeniverilerin
gakrgmasr
iyimi?
** Yeniparametreler
veriyi
iyilegtiriyormu
?
*" Sonuglanyazar.
basitleqtirilmiq
algoritmasr
$ekil 5.1 Ters qozumprogramrnrn
ta
+L
llk
uygulama modeli olarak
parametrelerin gergek de$erleri
p t = 1 0 0 .p 2 = 1 0 , p t - - 1 0 0 . t 1 = 1 0 , t t = 1 0
o l a n H t i pvi e r i n c e l e n m i g t i r .
Se g i l e n mo d e l d e p ro = 1 20,p 2o= 5, p3o =70, t 10= 20. t 2o=15 lr aqlangr q
de$erleri
igin tersE6zumiglemiyapllmrgtrr
($ekil5.2,5.3 ve 5.4 ), ve ($ekil5.5)de
her ozde$erigin parametre6zydneylerigosterilmigtir.
En buyuk dzde$er birinci
parametreden(p t)
elde edilmigtir. Bu parametreyeait ozydney (yr )
incelendi$inde,
p2 ve t2
parametrelerine
ait bilegenlerin
di$erlerinegore daha
yuksekgenliklioldu$ugdrulur.igaretlerin
(gizelge
tersolmasrve ili6kidizeyinde
5.1)
p2 ve t 2 arastndaki
pozitifve bireyakrnolmasr(0.996)S tipiegde$erliligin
iliqkinin
ofdu$unugdstermektedir.
Bu durumda t z I p z = sabit olacak gekilde gdzum
parametrelerin,
bulunabilir.
Birinciveri ozyoneye bakrldr$rnda
go$unh"rkla
olgum
noktalannrn
son bolumunden
gorulmektedir.
etkilendigi
gelenparametre
lkinciozde$erekargrhk
Ozyoneyind
e p 1 vep 2 parametreleri
en bCIyuk
de$erlerivermektedir
ve bu parametreler
ikinciveridzyoneyine
baklldrfrrnda
6lgumnoktalannrn
son b6lumunde
etkilioldu$usoylenebilir
itigt<i
dizeyindep f in
di$erparametreler
ile iliqkisinin
kugukolmasrbu parametrenin
di$erparametrelerden
gdsterir. p t
ba$tmstzolarak gozulebilece$ini
en iyi Eoziilenparametrelerden
sayrlabililr.
gelenparametreOzyoneyinde
Uguncu6zde$erekargrlrk
f 1 en buyukgenligi
vermektedir.
Bu parametre
uguncuveriozydneyine
bakrldr$rnda
6lqumnoktalarrnrn
ilk
bdlumunde
etkilioldu$usdylenebilir.
En kugukozde$erolan beginciozdefreriny6neyleriincelendi$inde
p" rre
gdre oldugayuksektir.
t 2 parametrelerinin
di$erparametre
dzyoneylerine
Bu durum bu parametrelerin,
g6re daha tazla giirliltuden
di$er parametrelere
etkilenece$inigdstermektedir.
En kuguk parametreozdefreriigin bazr parametre
ozydneylerininen buyuk olmasr, girrultunun bu parametreleridaha fazla
etkileyece$ini
belirtir.Fakatparametre6zde$erien buytlkve parametredzyoneyleri
en buyuk olmasrdurumunda
parametreler
dahaiyi qdzultider.
Sonug parametrelerinebakttgrmrzdap3 ve
t 2 en
kdtu gdzulen
parametrelerdir.
Yukardaanlattr$rmrz
d[rqtincelerde
bunudesteklemektedir.
1l
pt:*
a
1I \ n
-J
3 TABAKALI
MODEL
ISTAS'fOl{:Tf
MH
T,ABAKA RHO KALINLIK
1
1 0 1. 4
9.5
a
L
i
.11 q
'ia,r
tt.*-)
LL-'f
11'd.2
Chisq:0.021
10 ' 3
10
2
4n
tw
-l
/\
10'
zomontmsn)
$ekil 5.2 H tipi gurultusuz,TEM geq zaman gorunurdzdirenqe$risi.( oooo, olculen
verinin gec zaman g6runur ozdirenci."----"hesaplananverinin
!"c ,"r"n gdrunur
ozdirenci
4-t
o^
1t (n- J 4
ISTAS'fON:Tf
MH
3 T A B A K A LM
I ODEL
TABAKA RHO KALINJLIK
a
4
I
|
-
3.i
11 q
| r.J
o
z_
3
4
tul.+
1'^l,r
tz_.'t
11A.2
Chisq:0.021
-'
10
zomon(msn)
10
o
( oooo"
olqulenverinin
$ekil 5.3. H tipi gurultusuzTEM gdrunurozdirenqe$risi.
------"
gorunur6zdirenci,"
hesaplananveriningdrunur6zdirenci
45
ISTASYOITI:TtM
H
3 TABAKALI
MODEL
TABAKA RHO KALINLIK
1
1 0 1. 4
9.5
/)
L
3
l.'t E
I t.J
-ra.r
t1_.t
118.2
Chisq:0.tl2l
10l
10
2
7(1r'.tt
/r"ro.t\
' olEulen
empedanse$risi.' oooo
$ekil 5.4. H tipi gurultusuzTEM verisinin karqrlrkh
verininkarqrhkhempedansr," ------" hesaplananverininkarErhkh
empedansr
46
TEMverisinin
tersQdzumu
Qizelge5.1.H tipigurultusuz
BA$LANGIQPARAMETREDEGERLERi:
rho:120.000 5.000 70.000
t: 20.000 15.000
CHI=0.70116E+00
YINELEMESAYISI: 6
SoNUQ cHl DEGERI=0.2102E-01
SONUQPARAMETRELERi:
rho: 101.42 11.50 118.23
l: 9.47 12.38
VERi OZYONEYLERI:
1 0.050 0.055-0.352-0.253-0.367
2 0.032 0.043-0.375-A.227-0.182
3 0.001 0.024-0.380-a.177-0.046
4 - 0 . 0 3 60 , 0 0 3- 0 , 3 6 6- 0 . 1 1 30 . 0 3 4
5 -0.071-0.017-0.342-0.052 0.078
6 - 4 . 1 1 2- 0 . 0 4 0- 0 . 3 0 40 . 0 1 8 0 . 1 0 5
7 -4.149-0.063-0.259 0.081 0.101
B - 0 . 1 8 2- 0 . 0 8 ,-10 . 2 1 3A . 1 3 20 . 0 7 4
I - 0 . 2 1 3- 0 . 0 9 9- 0 . 1 5 90 . 1 7 4 0 . 0 1 9
1 A - 0 . 2 2 7- 0 . 1 0 5- 0 . 1 3 00 . . ' 8 4 0 . 6 9 9
11 -0.257-0.121-0.0650.201-0.103
1 2 - 0 . 2 7 0- 0 . 1 3 2- 0 . 0 2 20 . 1 8 7- 0 . 1 5 6
1 3 - 0 . 2 8 0- 0 . 1 3 90 . A 2 20 . 1 4 8- 0 . 1 8 5
14 -0.283-0.138 0.057 0.090-0.233
15 -0.286-0.118 0.089 0.031-0.228
16 -0.274-0.155 0.107-0.092-0.024
1 7 - 0 . 2 8 4- 0 . 0 4 00 . 1 2 9- 0 . 1 3 6- 0 . 1 4 5
1 8 - 0 . 2 3 8- 0 . 1 6 30 . 1 4 2- 0 . 3 1 9- 0 . 0 8 6
19 -O.4490.876 0.066-0.088 0.065
2 0 - 0 . 1 8 0- 0 . 2 4 00 . 1 5 4- 0 . 7 1 20 . 3 1 5
12345
PARAMETREOZYONEYLER
i:
1 -0.346 0.936-0.028 0.060-0.007
2-0.7't7-0.277-0.1240.214 0.590
3 -0.193-0.003 0.238-0.939 0.155
4 -0.115 -0.056-0.921-0.253-0.267
5 0.562 0.209-0.281-0.06s 0.746
12345
PARAMETREOZDEGERLERI
:
4.538 2.699 1.252 0.536 0.093
ir-lgxl
olzevl:
1 1.000
2 - 0 . 1 9 61. 0 0 0
3 - 0 . 3 5 50 . 6 3 8 1 . 0 0 0
4 0 . 1 6 1- 0 . 9 6 0 - 0 . 5 6 11 . 0 0 0
5 -0.203 0.996 0.694-0.947 1.000
12345
al= 75.0
ar=31.4
ramn=10.0
AA
at
rl
4
v(M,M)
T
1
'lris)-
il.09J 1
rnil a- 1-
0.5362
l,ti(f,)-
1.7525 U[N,M)
ffi
Wi 2 )-
2.6991
\{i(1):
4.5382
YY\
|
j-
$ekil 5.5. H tipi TEM g6rlinur dzdirengverisininters gdzlrmlr.V veri dzyoneyi
( p t . p 2 , p 3 , t r , t 2 ) , U p a r a m e t r e d z y d n eW
y i ,p a r a m e t r eo z d e f l e r l e r i
48
lkinci
uygulama modeli
olarak
parametrelerin gerEek de$erleri
P t = 1 0 , p r = 1 0 0 . P 3 = 1 0 . t 1 = 2 , t : = 3 0 o l a n K t i p i v e ri in c e l e n m i q t i r .
-20 baglangrq
p 7 o= 5 . p 2 o = 8 0 . p 3 o = 5 . t 1 o= 4 , t
""
de$erleriigin ters qdzum iglemi yaprlmrgtrr
(gekil5.6, 5.7 ve 5.8). Parametreyeait
Seqilen
modelde
6zy6ney (V1) incelendi$inde(gekil
5.9), pt ve t2
parametrelerine
ait bilegenlerin
di$erlerinegore daha yuksek genliklioldu$u gorulur.itigt<iOizeyinde(Eizelge5.2)
St2 ve t 2 arastndakiiligkininnegatifve bireyakrnolmasr(-0.902)T tipi eqcte$erlili$in
oldu$unu gostermektedir.
Bu durumda pz *t 2 = sabit olacak gekildegdzum
bulunabilir.
Birinciveriozydneyinebakrldr$rnda
gogunluklaolgum
f 2 parametresinin,
noktalannrnson bdlumLinden
etkilendi$igdrulmektedir.
ikinciozde$erekargrhkgelenparametreozydneyindep1 ve t I parametreleri
en buyuk de$eri vermektedirve bu parametrelerikinci veri ozydneyinebakrldrfrrnda
6lqumnoktalarrnrn
6n bolumundeetkilioldlr$usoylenebilir.
gelen parametredzyoneyincle
Uguncuozde$erekargrlrk
p I en bilyiik genligi
vermektedir.Bu parametreuguncuveri ozydneyinebakrldr$rnda
olEilmnoktalarrnrn
orta ve son bolumtindeetkilioldu$usdylenebilir.
En kuEukdzdefer olan begincidzde$erinydneyleri incelendigindep: ve
t 2 parametrelerinindi$er parametredzyoneylerinegdre oldugaduguktur.
gurultudendaha az etkilendi$inive iyi gozuldugiinu
Bu durum bu parametrelerin
gdsterir. p 3 ,vE t t
parametrelerdir.
parametrelerisonuclardang6rulebilecefi gibi en iyi qozulen
19
p:f*
rt n
(J
4
ISTASYON:TtM
K
3 TABAKALI
MODIL
TABAKA RHO KALINLIK
q
1
1,t
2
J
97.5
9.9
I
?
la.J
J.
I
I
2'3.2
Chisq :0.003
-'
10
zomcn(msn)
(
'
TEM geQzaman gorunurozdirenqe$risi. oooo dlgilen
$ekil 5.6. K tipi gurultusuz,
verinin geq zaman gorunur 6zdirenci,"------"
hesaplananverinin geq zaman g6runur
6zdirenci
50
Pa
.ta
IU
|\/ODEL
3 TABAKALI
ISTAS'(ON:TEM
K
TABAKA R H O K A L I N L I K
4
1
1t aA. J E
z-
97.5
9.9
3
-{
J.
1I
29.2
Chisq :0.003
an
-1
IU
/\
zomon(msnJ
( oooo"
dlEulenverinin
$ekil 5.7. K tipi gurultusuzTEM gdrunurozdirenqegrisi.
gorunur6zdirenci,"------"hesaplananverining6runurozdirenci
5l
Ml.(
ISTASYOf'l:Tf
Z
1l (nJ
4
3 TABAKALI I'/ODIL
TABAKA RHO KALINLIK
1I -,' Jr q
1I
2
3
10
-{
1
29.2
97.5
9.9
Chisq:0.003
-'
zcmon(msn)
'
'
empedansegrisi. oooo 6lqulen
$ekil 5.8. K tipi gurultusuzTEM verisinin karErhkh
" ------uhesaplanan
empedanst
verininkargtltklt
empedansr,
verininkargrhkh
,52
Qizelge 5.2 K tipi gurultusuz TEM verisinin ters gozumii.
BAgLANGIQPARAMETREDEGERLERI:
rho: 5.000 80.000 5.000
t: 4.000 20.000
CHI=0.73384E+00
Y I N E L E M ES A Y I S I: 6
SONUQcHl DEdERI= 0.2721E-02
SONUQPARAMETRELERi:
rho: 14.54 97.49 9.94
t: 3.09 29.17
VERi OZYdNEYLERi:
1 - 0 . 0 5 00 . 3 3 7 - 0 . 1 9 80 . 0 6 8 0 . 5 8 6
2 - 0 . 0 6 9 4 . 4 0 6 - 0 . 2 1 20 . 0 1 1 0 . 3 5 5
3 - 0 . 0 9 20 . 4 4 0- 0 . 1 8 1- 0 . 0 4 20 . 0 1 1
4 -0.1220.417-0.094-0.065-4.272
5 - 0 . 1 5 40 . 3 5 4 0 . 0 1 6- 0 . 0 6 7- 0 . 3 6 5
6 - 0 . 1 9 70 . 2 5 0 0 . 1 5 0- 0 . 0 5 7- 0 . 3 1 3
7 -4.2340.145 4.247-0.045-0.146
I -0.259 0.064 0.290-0.020 0.010
s -0.274-0.002 0.287 -0.024 0.126
10 -0.280-0.4420.249 0.007 0.210
1 1 - 0 . 2 8 0- 0 . 0 6 80 . 1 9 8- 0 . 0 0 80 . 1 8 5
12 -0.277-0.087 0.136-0.020 0.123
1 3 - 0 . 2 6 8- 0 . 1 0 90 . 0 6 0- 0 . 1 1 10 . 1 1 6
14 -0.261-0.115 -0.018-0.064 0.092
1 5 - 0 . 2 6 0, 0 . 1 0 8- 0 . 0 9 60 . 1 1 8- 0 . 0 4 4
1 6 - 0 . 2 4 9- A i 2 1 - 0 . 1 6 9 0 . 0 9 5- 0 , 0 9 0
17 -0.248-0.111-0.249 0.297 -0.?A3
18 -0.246-0.085-0.321 0.632-0.079
19 -0.212-0.154-0.365-0.2724.076
2 0 - 0 . ' t 9 8- 0 . 1 8 1- 0 . 4 0 5- 0 . 6 1 4- 0 . 0 9 5
PARAMETRE6ZY6NEYLERi:
1 -0.30't 0.651-0.167 0.s89 0,331
2 -0.2310.310 0.095 0.080-0.914
-A.014-0.109
3 -0.361-4.321-0.869
4 0 . 1 5 0- 0 . 5 4 60 . 1 4 4 0 . 7 9 9- 0 . 1 3 8
5 -0.839-0.2790.433-0.084 0.155
PARAMETREOZDEGERLERi
:
2.961 2.131 0.892 0j25 0.A92
illgrl oizevl:
1 1.000
2 - 0 . 5 4 91 . 0 0 0
3 -0.502 0.750 1.000
4 0.634 0.289 0.091 1.000
5 0.240-0.902-0.792-0.540 1.000
12345
al= 75.0
ar= 31.4
ramp=16.6
53
?-r,v{s)-
il.0s24
l
W{ + }-
v(M,M)f w{r)-
hwiz)w(1):
M
"'
il. 1246
0.8918
u(t't,tvt)
21312
2.S611
q
.'..rlllllllllllllll
tersgozumli.V veridzydneyi,
verisinin
$ekil 5.9.K tipiTEMgorunurozdireng
parametre
parametre
dzde$erleri
6zy6neyi, W
U
54
UgCIncu uygulama modeli
olarak
parametrelerin gergek
de$erleri
P t = 3 0 , p 2 = 7 0 , I 3 = 1 0 0 t, 1 = 1 0 , t t = 4 0 o l a n A t i p vi e r ii n c e l e n m i q t i r .
S e g i l e n m o d e l d e p f = 3 5 , p 2 o = 5 5 , p 3 o = 1 3 0 .t 7 o= 6 , t 2 " = 6 0 b a q l a n g r E
l 0 , 5 . 1 1v e 5 . 1 2 ) . $ e k i l5 . 1 3 d e
d e $ e r l e ri iE i nt e r s q d z i i m i g l e myi a p r l m r E t r r ( $ e5k.i 1
her dzdeSer igin parametre ozyoneyleri gdsterilmigtir. Birinci parametreye
(p1) kargthkgelen 6zde$eren buyuk de$erialmaktadrr.Bu parametreigin
iligki
dizeyinebaktldt$tnda(gizelge5.3) bLr parametrenindi$er parametrelerle
iliskisinin
kuguk olmastndandolayr difrer parametrelerdenba$rmsrzve do$ru gdzulece$i
gorulebilir.
Veri ozydneyinebakrldr$rnda
ise bu parametrenin
verininson bdlumunden
a$trltklt olarak etkilendi$inig6sterir. Fakat verinin son bollimlerde fazla bilgi
iqermemesinden
dolayrbu parametreo/o15hata ile bulunmuqtur.
ikinci6zde$erekargrhkgelen parametreozyoneyindet-t ve pz
parametreleri
en buyuk genlik vermektedirve bu parametrelerikinci veri dzyoneyinebakrldr$rnda
6lqum noktalartntn
son bolumundeetkilioldu$usoylenebilir.
En ktiErik6zde$erolan
beginci dzde$erinyoneyleriincelendi$indepz ,p s
tz parametrelerinin diger
parametre dzyoneylerine gdre olduga ytiksektir. Bu durum bu parametrelerin
gtirliltudendiQerparametreler96re daha fazla etkilenece$inig6stermektedir.
-))
nlole
f'(l
10
4
ISTASYO
N:TtIV-IA
3 TABAKALI
MODEL
TABAKA RHO KALINLIK
1
J- 7 4
.g
1
4.3
a
-ZE
11
t z-,1
n
z-
J
O
JJ.|-J
107.8
Chisq :0.024
-'
10
zcmon(msn)
(
'r
TEM geg zamangorunurdzdirenqelrisi. oooo dlgulen
$ekil 5.10.A tipi g0rultlisuz,
hesaplananverinin geq zaman gorun0r
verinin geq zaman gorunur 6zdirenci,"------"
6zdirenci
56
Pa
1I Ur f 4
ISTASYON:TtMA
3 TABAKALI[/ ODEL
TABAKA RHO KAL.ILIK
1
34.6
14.A
2
72.9
J6.D
J
105.9
Chisq:0.021
zomon(msn)
gurultusuzTEM gdrunur6zdirenge$risi." oooo" dlqulenverinin
$ekil 5.11. A tipi.------"
hesaplananverining6runur6zdirenci
gorunur6zdirenci,
57
Z
1n
ISTASYON:TtMA
3 TABAKALI
MODIL
TABAKA RHO KALII.JLIK
1
J4.g
14.9
/J
a)
/ ./_.+
107.A
-6
A
J5.3
Chisq -A.O24
zomon(msn)
'
D
empedanse$risi. oooo 6lEulen
$ekil 5.12.A tipi gurultustzTEMverisininkargrhklr
empedanst
verininkargrhklr
empedanst," ----" hesaplananverininkarqtltklt
58
TEMverisinin
terscozrlmu.
Qizelge5.3.A tipigurultusuz
BA$LANGIQPARAMETREDEdERLERi:
rho: 35.000 55.000 130.000
t: 6.000 60.000
CHI=0.87677E-01
Y I N E L E M ES A Y I S I: 6
S O N U QC H I D E 6 E R I =0 . 2 1 1 3 E - 0 1
SONUQPARAMETRELERI:
rho: 34.60 72.93 105.93
t: 14.82 35.96
VERi dZYONEYLERi:
1 -0.092 0.052-0.006-0.1410j33
2 - 0 . 1 1 9 0 . 0 3 7 0 . 0 3 4- 0 . 2 4 40 . 1 2 5
3 - 0 . 1 4 30 . 0 1 2 0 . 0 8 5- 0 . 3 2 60 . 0 6 6
4 - 0 . 1 5 9- 0 . 0 1 60 . 1 3 5- 0 . 3 5 1- 0 . 0 3 1
5 - 0 . 1 6 7- 0 . 0 4 40 . 1 7 4- 0 . 3 2 9- 0 . 1 1 3
6 -4.172-0.078 0.213-0.263-Afi1
7 - A 1 7 3- 0 . 1 1 0A . 2 4 1- A f i 3 - 0 . 1 7 4
8 -0.171-0.141 0.255-0.078-0.125
9 - 0 . 1 6 7- A 1 7 2 0 . 2 5 4 0 . 0 1 9- 0 . 0 5 6
1 0 - 0 . 1 6 3- 0 . 1 9 70 . 2 3 4 0 . 1 0 4 0 . 0 4 7
11 -0.157-A.2180.202 0.165 0.076
12 -0.146-0.2370.161 0.199 0.171
1 3 - 0 . 1 3 6- A . 2 5 40 . 0 9 5 0 . 2 3 4 0 . 1 . 1 6
14 -0.133-0.2570.004 0.214-0.026
1 5 - 0 . 1 1 9- 0 . 2 6 3- 0 . 0 6 5 0 i 8 3 a . f i 4
-0.058-0.020
16 0.295-0.471-0.068
17 -0.183-0.217-0.2160.099 0.239
18 0.424-0.555-0.236-0.358-0.181
-0.325 0.505
19 -0.373-0.068-A.47A
20 -0.473-0.051-A.4970.137-0.666
PARAMETRE
OZYONEYLERi:
1 -0.9800.197-0.0270.0260.001
2 -0.135-0.7210.2080.617-0.194
3 -0.055-0.366-0.882-0.207-0.204
4 0.1360.528-0.3780.741-0j02
5 0 . 0 2 30 . 1 6 90 . 1 8 7- 0 . 1 6 -00 . 9 5 4
PARAMETREOZDEGERLERI
:
4 . 8 1 8 1 . 8 8 80 . 6 9 2 0 . 2 6 0 0 . 0 6 0
Ir-igxl
olzryl:
1 1.000
2 0j12 1.00A
3 - 0 . 1 3 00 . 5 9 1 1 . 0 0 0
4 0 . 3 3 7 0 . 8 7 90 . 3 3 5 1 . 0 0 0
5 - 0 . 1 0 4 0 . 7 8 10 . 9 1 60 . 4 7 1 1 . A O O
12345
af= 75.0
ar=31.4
ramp=16.9
.s9
-+rl
\/(h/,h'{),
, ,
\ff(s )-
o.26o0
\/V(4 )-
o.o51J
I t,tr{J )-
il.t780
rllltr,,,,,,,,rr,
U(1',t,n4)
lr
I
ltli z )-
2.D4oB
,,, rllllllllllll
I
',l,ttt
|
\l'it I ):
r
f
.! r
'l
-^--
+4-J655
ll
-
,ll
I
I
I
V veriozydneyi,
$ekil 5.13.A tipi TEI\4gdrunurdzdirengverisininters gdzLimu.
parametre
dzde$erleri
U parametreozydneyi, W
60
Dordungu uygulama modeli olarak parametrelerin gergek defierleri
i re. E i l e n
/ , | = 1 0 0 . p 2 = 5 0 ,p 3 = 1 0 , t I = 5 . t 2 = 3 0 o l a nQ t i p i v e r ii n c e l e n m i s tS
m o d e l d ep f
=130, p2o=70,P3o=5,tt"
= 9 , t ? o = 1 5 b a E l a n g t E d e $ e ri lgei rni
($ekil 5.14, 15 ve 16). $ekil 5.17 de her ozdefrericin
ters qdzum iqlemiyaprlmrgtrr
parametredzyoneylerigdsterilmigtir.
Parametrelerait dzydney (Vr)
incelendi{inde,
p 1 drgrndadiger parametrelerin
veri dzydneygenliklerihemen hemen egit oldugu
gorulebilir.
En kuEuk ozdefrerolan beqincidzde$erinydneyleriincelendi$indep t ve
di$er parametredzydneylerineg6re olduqa duquktlir.
I 1 parametrelerinin
Bu durum
bu parametrelerindi$er parametreleregore daha iyi Eozlildu$unu
gostermektedir.Sonug parametrelerine baktr$rmrzddpa ye t 1 en iyi Eoziilen
parametreler
oldu$ugorulebilir.
6l
ISTASYOf'l:
TtM Q
3 TABAKALI
MODEL
TABAKA RHO KALINLIK
1
88.2
10.2
2
+1.5
26.2
3
9.9
Chisq:0.01 1
10
J
10'
-'
10
zcmon(msn)
1n r
( oooo
Dolgulen
TEM geq zamang6runurozdirenqe$risi.
$ekil 5.14.Q tipi gurultusuz,
verinin geq zaman gdrunur 6zdirenci,"-----"hesaplananverinin geq zaman gorunur
6zdirenci
62
Pa
1I nL-/ 1
ISTASYO
N:TttvlQ
3 TABAKALI
MODEL
RHO KALINLIK
88.2
10.2
41.5
26.2
9.9
Chisq-0.01.l
zamon(msn)
oooo( 6lglilenverinin
$ekil 5 15. Q tipi gurultusuzTEM g6runur6zdirenqegrisi."
gdrunur dzdirenci,"------"hesaplananverinin g6runur dzdirenci
o-1
Z
1I Un 4
MQ
ISTAS'fON:Tf
MODEL
3 TABAKALI
TABAKA RHO KALII.ILIK
AB.2 10.2
1
26.2
+1.5
2
9.9
J
Chisq-0.011
-'
10
zomcn(msn)
10
o
'
'
eQrisi. oooo dlqulen
$ekil 5.16. Q tipi gurultusuzTEM verisinin kargrhkhempedans
empedanst
verinin kargrlrklrempedanst," ------* hesaplananverininkarErlrklr
64
gdzumii
Qizelge 5.4. Q tipi gurultusuzTEM verisininters
BA9LANGIQPARAMETREDE6ERLERI:
rho:130.000 70.000 5.000
t: 9.000 15.000
cHl=0.42690E+00
Y I N E L E M ES A Y I S I: 6
s o N u g C H I D E G E R | =0 . 1 1 4 2 E - 0 1
SONUQPARAMETRELERi:
r h o : 8 8 . 1 5 4 1. 5 3 9 . 8 7
l: 10.21 26.23
VERI OZYONEYLERI:
1 -0.070 0.250-0.259 0.588 0.342
2 -0.080 0.308-0.274 0.269 0.257
3 -0.094 0.360-0.257-0.050 0.108
4 - 0 . 1 1 60 . 3 8 0- 0 . 1 9 0- 0 . 2 4 5- 0 . 0 3 1
5 -0.141 0.365-0.094-0.294-0.120
6 -0.176 0.314 0.037-0.232-0.169
7 -0.2090.242 0.155-0.109-0.163
8 - 0 . 2 3 5A J 7 2 0 . 2 3 2 0 . 0 1 2- 0 . 1 3 7
9 -0.255 0.099 0.272 0.110-0.088
10 -0.267 0.040 0.270 0.163-0.043
11 -0.272-0.008 0.248 0.139 0.036
1 2 - 0 . 2 7 4- 0 . 0 4 80 . 2 0 4 0 . 1 1 8 0 . 0 8 1
1 3 - 0 . 2 7 3- 0 . 0 8 80 . 1 3 8 0 . 0 7 1 0 . 1 2 8
1 4 - 0 . 2 6 9- 0 . 1 1 90 . 0 6 7 0 . 0 0 1 0 . 1 5 6
1 5 - 0 . 2 6 5 ' - 0 . 1 4- 03 . 0 0 5- 0 . 0 3 70 . 1 5 6
1 6 - 0 . 2 5 S- 0 . 1 6 6- 0 . 0 9 1- 0 . 0 5 30 . 1 1 3
1 7 - O . 2 5-40 . 1 8 6- 0 . 1 6 3- 0 . 1 4 60 . 1 3 0
18 -0.245-0.217-0.208-0.345 0.380
1 9 - 0 . 2 5 5- 0 . 1 8 6- 0 . 3 9 00 . 3 5 5- 0 . 6 5 5
20 -0.242-0.221-0.404-0,140-0.175
:
PARAMETREOZYONEYLERi
1 -0.190 0.320-0.403 0.712-0.438
2 -0.4940.611-0.044-0.573-0.228
3 -0.365-0.547-0.716-0.231 0.042
4 -0.4370.225 0.006 0.290 0.821
5 -0.629-0.416 0.568 0.167-0.284
:
OZDEGERLERi
PARAMETRE
2.3831.4560.7350.2040.094
olzevi:
lLi$Ki
1 1.000
2 0 . 0 7 81 . 0 0 0
3 - 0 . 5 9 20 , 3 3 31 . 0 0 0
4 - 0 . 6 9 -00 . 7 5 80 . 1 6 11 . 0 0 0
5 0.8670.406-0.553-8.8771 000
5
12
a l =7 5 . 0
ar=31.4
ramo=10.0
65
I
VVis)-
il.0sJ9
VV{+}-
il.2041
I \n/{J )-
il,735J
rr*f
I
HI
\"(lu4,
M)
rT-
h
t,ttl
] , r U[
\/
.l
./
w(1):
\
J:
#
tt(t,t,t,,t)
Ll[r-
ll
1.4562
2.3826
,,,,rltlllllllllllll
ters gozumLi.V veri dzydneyi,
dzdireng
verisinin
$ekil 5.17 Q tipiTEMgdrunur
6zydneyi, W parametre
Ozde$erleri
U parametre
66
5. SONUQLAR
TEM yontemindeakrmfonksiyonuolarak,basamakfonksiyonr-r
kr-rllanrlarak
dliz
gozum iglemini iki katmanlr ortam iEin Knight (1982) gerEeklegtirmigtir.
Yokr.rg
fonksiyonukullanrlarak
duz qdzumuise Raiche(1984) yapmrqtrrYokr-rq
fonksiyonu
yaprlandiiz gdzumiglemidaha dogrusonuglarvermektedir.
ktrllanarak
TEM yontemindeverilerinsunumuve de$erlendirilmesi
ve yorltmubilgisayar
yardtmtylaMarguardt-Levenberg
enkrig(ik-kareler
model optimizasyonrr
),aztltmlart
Dizey denklemi,tekil de$er ayngtmr yontemi ile
.vontemiile gerEeklegtirilmigtir.
gdzuldugLtnden
parametrelerarasr iligkileri,parametrelerin
hangi veri noktalarrndan
etkilendi$ive parametrelerin
birbirleriile iliqkilerisayrsal olarak goriilebilmekteclir.
Boylecemodel optimizasyonunun
sonucu bulunan parametrelerin
do$rrrh-r$unun
derecesi matematikolarak yorumlanmrE
olur. Parametrelerarast iliqkininyiiksek
olmast durumunda elde edilen de$erleringiivenirli$iniartrrmak igin bagka bir
yontemdenelde edilmiqde$erlerlekargrlagtrrrlmasr
yaprlabilir.Bunun nedeni avnr
veriyi sa$layanfarkl parametreguruplannrn
var olmasrdrr.
Qozumtin ba;anst kullanrlan gorunur 6zdirenq tanrmrnrndLryarhlr{rnada
ba$ltdrr.G6rfinurOzdireng
fizikianlamdaveriyeuygulananbir normallegtirmeiglemi
olduQundan
gelenekseltantmlardandaha iyi sonr-rqlar
verecektanrmlanniiretilmesi
olastdtr. Seri ba$rntrdan hesaplanan gorunur verileri kullanrlarak q6zim
yaptlamamaktadtr.
Ters goztim amaoyla
kullanrlangeE zaman gorlintirozdirenci
asimtotikbir bagtnttdtr
ve geg zamanlardagorlinurdzdirenceyaklagmaktadrr.
Kargrlrklr
empedanszamanlado$rusalbir azalmagosterdi$inden,
empeclansefirisiiizerinden
yaptlan ters gozum iglemi baganya ulagmamrgtrr.
Fakat karsrlrkLempe6ansdan
yararlanarakgeliqtirilengeq zaman gorlinur ozdirencitrzerindenyaprlanters q6zum,
genelliklekullanrlmaktadrr.
uy,gulamalarda
o,/
7. KAYNAKLAR
Function:Nal
of Mathematical
m., AND STEGUN,t., 1964,Hancllrook
ABROMOW|TZ,
series,1046p.
Bur.Of Stan.Appliedmathematics
Bciliimii,
dersnotlarr,A.U.JeofizikMirhendislifii
BA$OKUR A. T., 1996.Manyetotelliirik
Ankara.
itXl$lX, O.M. 1989.JeofizikmodellemeSVD analizi.Jeofizik,3,43-49
geophysicalprospeclinE,
INMAN,J.R: f 975. Resistivityinversionwith ridgeregression,
32,706-724.
GAVER, D. P., Jr., 1965.Observingstochasticprocesses,and approximatetransform
inversion:
Oper.Res.,v. 14, p. 444-459.
seriesand prodttct:
L S., and RYZH|K,l. M., 1965,Tablesof inlegrals,
GRADSHTEYN.
4'ned. (Engl.Trans.)NewYork,Academic Press,1086p.
BookCo.,
NewYork,McGraw-Hill
mathematics:
CHURHILL,R. V., 1958.Operatlonal
lnc.,337 p.
systemfor resistivitysottndingl
JOHANSEN,H.K. 1977.A man / computerinterpretation
25, 667-691.
stratifiedearth.Geophysicalprospecting,
over a horizontally
of Geophysical
JUPP, D. L. And VOZOF, K. 1975.Stableiterativemethoclsforthe inrrersion
data,Geophys.J. R. Astr.Soc., 42,957-976.
calculations
usingthe
KNIGHT,J.H. AND RAICHE,A.P, !982. Transientelectromagnetic
47, 47-50.
Gaver-SlehfestinverseLaPlaceTransformmethod:Geophysics,
Princeton,
LANCZOS,C. 1961.Lineardifferantatialoperators.Van Nostrand-Rcinhc'ld,
New Jersey.
LEE, T., AND LEW|S, R.,1974.Transientresponseof a largeloop on a layererlgrotrncl:
Geophys.Prosp.,22,430-444
of certainnon linear problemsin least
LEVENBERG.G. 1944.A methodforthe solLrtion
squares,Quart.Apply.Math.,2164-168.
parameters.
of nonlinear
MARQUART,D.W. 1963 An algorithmfor leastsquaresestimation
J. Soc. ldust.Apply.Math.,11, 431-441.
of
interpretation
Quantitativc
R.J.AND O'BRiEN,D.P.,1969.
MORISSON,M.F.,PHiLLPS,
fieldsover a layeredhalf-space:Geophys.
transientelectromagnetic
Props.,17,82-101
inversefor matrices.Proc.CambridgePhil Soc., 51,
PENROSE,R. 1954.A generalized
406-41
3.
master
looptransientelectromagnetic
RAICHE,A.P. AND SPIES,8.R., 1981.Coincident
of two layerearths:Geophysics,46, 53-64
Curvesfor interpretation
RAIGHE,A.P. ,1984. The effect of ramp function turnoff on the TEM responseof a
layeredground:Explor.Geophys.,15,37-41
(r8
STEHFEST,H., 1970a,Algorithm368,Numericalinversionof LaPlacetransforms:
Commun.ACM.,v. 13, p. 47-49.
modeling
SANDBERG,S.,1988.Microcomputersoftwarefor the processingand fonruard
of transientelectromagneticdata takenin the centralloop sounding
configuration
: New JerseyGeologicalSurveyOpen-FileReport88-1.,88pp.
verilerintekilde$erayngtmrydntemiile
EM|NU, 1993.I\4anyetotelli.irik
ULUGERGERLi,
A.U. JeofizikMiihenclisli[iBrjliirrrii
sciniimliien ktiqtikkarelerters qciztirnti,
YUksekLisansTezi,Ankara.
conclucting
earth:
WAIT. J. R., 1960.Propagationof electromagneticpulsesin a homogeneous
Appl.Sci. Res.,sect.B, v. 9, p.231-253.
69
ozcEQMi$
1966yrhnda Sungurlu'da do$du. ilk, orta lise ofrreniminiAnkara'da
MUhendislikMimarlrkFakUltesi
tamamladr.
1989 yrlrndaDokuzEylUlUniversitesi
AnabilimDalt'ndanmezunoldu.
BdlumilJeofizikMuhendisli$i
JeolojiMuhendisli$i
1989 yrlrndan beri DevletSu iqleriGenelMudurluluJeofizik Laboratuan
$ube
Muhendisi
olarakqaltgmaktadtr.
MLldurlugunde
Jeofizik
Download

geçici elektromanyetik verilerden sönümlü en küçük kareler yöntemi