MBT1005 Diferansiyel Denklemler
Ödev Soruları - Seriler
1. Aşağıda verilen adi noklar civarında denklemlerinin seri formunda genel çözümlerini bulunuz (çözüme
ait sıfırdan farklı ilk 4 terimi yazınız).
(a) y 0 + 2(x − 1)y = 0; x0 = 1
(b) (x2 − 2x)y 00 + 2y = 0; x0 = 1
(c) x2 y 00 − y 0 + y = 0; x0 = 2
2. Aşağıda verilen adi noklar civarında başlangıç değer problemlerinin seri formunda çözümlerini bulunuz
(çözüme ait sıfırdan farklı ilk 4 terimi yazınız).
(a) x0 + (sin t)x = 0; x(0) = 1
(b) (x2 + 1)y 00 − ex y 0 + y = 0; y(0) = 1, y 0 (0) = 1
(c) y 00 − (sin x)y = 0; y(π) = 1, y 0 (π) = 0
(d) y 00 − e2x y 0 + (cos x)y = 0; y(0) = −1, y 0 (0) = 1
3. x > 0 olmak üzere xr dönüşümü yaparak aşağıda verile diferansiyel denklemlerin genel çözümlerini
bulunuz.
(a) x2 y 00 + 6xy 0 + 6y = 0
(b) x2 y 00 − xy 0 + 17y = 0
(c) x3 y 000 + 3x2 y 00 + 5xy 0 − 5y = 0
4. x > 0 olmak üzere Frobenius yöntemini kullanarak aşağıdaki denklemlerin x = 0 civarında seri çözümlerini bulunuz (çözüme ait sıfırdan farklı ilk 4 terimi yazınız).
(a) 9x2 y 00 + 9x2 y 0 + 2y = 0
(b) x2 y 00 + xy 0 + x2 y = 0
(c) x2 z 00 + (x2 + x)z 0 − z = 0
5. x > 0 olmak üzere Frobenius yöntemini kullanarak aşağıdaki denklemlerin x = 0 civarında seri çözümlerini bulunuz (çözüme ait serinin genel terimi an için bir formül bulunuz).
(a) 4x2 y 00 + 2x2 y 0 − (x + 3)y = 0
(b) xw00 − w0 − xw = 0
(c) xy 00 + (x − 1)y 0 − 2y = 0
Cevaplar. 1. (a) a0 [1 − (x − 1)2 + (1/2)(x − 1)4 − (1/6)(x − 1)6 + · · · ] (b) a0 [1 + (x − 1)2 + · · · ] + a1 [(x − 1) +
(1/3)(x−1)3 +· · · ] (c) a0 [1−(1/8)(x−2)2 +(1/32)(x−2)3 +· · · ]+a1 [(x−2)+(1/8)(x−2)2 −(7/96)(x−2)3 +· · · ]
2. (a) 1 − (1/2)t2 + (1/6)t4 − (31/720)t6 + · · · (b) 1 + x + (1/24)x4 + (1/60)x5 + · · · (c) 1 − (1/6)(x − π)3 +
(1/120)(x−π)5 +(1/180)(x−π)6 +· · ·√(d) −1+x+x2 +(1/2)x3 +· · · 3. (a) c1 x−2 +c2 x−3 (b) c1 x cos(4 ln x)+
c2 x sin(4 ln x) (c) c1 x + c2 x−1/2 cos[( 19/2) ln x] 4. (a) a0 [x2/3 − (1/2)x5/3 + (5/28)x8/3 − (1/21)x11/3 + · · · ]
(b) a0 [1 − (1/4)x2 + (1/64)x4 − (1/2304)x6 + · · · ] (c) a0 [x − (1/3)x2 + (1/12)x3 − (1/60)x4 + · · · ] 5. (a)
n n+(3/2)
P∞
P∞
x
x2n+2
a0 n=0 (−1)
n=0 22n (n+1)!n! (c) a0 x
2n−1 (n+2)! (b) a0
Download

Calisma 11