DALGA AI.ILNI HESAPI-AMA
yonrratnnl
SehnaCO|KUN
varsrr ilsa,usrMI
JEoTInIKaA n nrIpls L/}TANABIIIM DALI
T994-ANKARA
.lxKArA fxiwnstrnsi
FENniriurzni nrrtsrjrust
DALGA ALANr HESAnLAMA yfi[trnarcN
Selma COf.KUN
YUKSEKrisa,ry's rEZi
noriztx Munsr,Dislici .qnaniriu DALr
Ru tez nzl^o.stlg4. tarihindeap[rdaki juri tarafindan..-.,9S.... (fuLt^nhs)
not takdir edilerek Oybirligi / Qrgoklu{p ile kabul edilmiqtir.
,1..-*.,
-'"-7 '
\-\
'|
'
):
-r'7'--
.- /.,
,
\
Prof. Dn.TuranKAYIRAN Prot. Ilr. OzerKENAR Prof.'Dr. Ahmet TuHrulBASOKUR
( Daruqman
)
ozrr
l'ilksek Lisans Tezi
DALGA AI-ANI HESAPI-,IMA YONTEMLER|
Selma COSKUN
Ankara tiniversitesi
Fen Bilimleri Enstitiisti
Jeotizik Milhendisli{i Anabilim Dah
Dcnqman : hof,
Dr. Turan fuNYIRAN
1994, Saylu: 78
filri: Prof Dn l\tran KAITIUN
Prof, Dr. OzerKENAR
Prof,Dr. Ahmet Tt{rul BAFOKaR
lki boyutlu ortamda sisrnik kesit r ve f nin forrksiyorrudur.Veri-iqlem agarnasr
bitmiq bir sismik kesitin yorumlarunasrise oldukgazor bir iglerndir.Bu agamadageqitti
ntodellerigin hesaplanandalgaalzurlan,yorumargrk tutac.tkbir aragolarakkullanrlabilir.
lki boyutlu heterojen ortamlarda dalga alaru hesaplama yontemleri analitik ve
sayrsalolrnak ttzerc iki gnrpta sruflandmlabilirler. fuialitik yOntemleriyatay veya yataya
yakm duzgitn arayuevli, aray{lzeyden uzaktaki igryrf heteroien btrlgelerde oldukga
duyarhdrlar. Buna kar,grnkannagrlrarayilzcyli nrodellerdeve yofiun heterojen bolgelerde
duyarhllklan oldukga azalmaktadr. Analitik yontemler basit yansulra ve sagrlrnaclalga
fadanru hesaplamaktadular.Sayrsalyontenrler ise karmaqrli arayitzeyli yogun heterojen
bdlgelerde oldukga duyarh sonuglar vemrekledirler. Ancak birilrcil ve ikincil datga
kaynnklamdan buytk uzakLklarda ( zayrf heterojen brllgelerde ) , hesaplamazarnamrul
arhrtastve sayrsaldispersiyonetkilerfurdendolayr duyarhlrklanda azalnraktadr. Sayrsal
ydntelnler iki boyutlu tum nrodeller igin tam dalga alanrru ( yansrnr4 krnhna, sagrlmq
teknuh yansrnralar,vs. ) vermektedirler.Bu 0zellikler dikkate alurarakmodeleen uygun
yOntemlerden
biri dalgaalamhesabrigin kutlaluhnahdrr.Ancak her zarnzurmodeleuygun
optimum bir ydntembulturamamaktrdu.Boyle durumlarigin yontemlerinen etkin olclu[u
bolgelerdcuygulatrntastile " Melez ( I'Iybrid ) - bir yonterngelirytirilmigtir.Bu yontem
bolgelerdeuygularunasl ile " Melez ( Ilybrid ) " bir yontem geliqtirilmigtir. Bu yfirtem
analitik ve saytsalyOntemlerinbirleqimidir. Yttntemin ana ozellifi, dalga alaru hesabrve
dalga yaydrntt olrnnk ilzere iki ayn igleme boltxunesi ve her bir iglem igin uygun
hesaplamaydntemininkullarulmasrdr.
Bu tez gahgmasrrda; geqitli modeller igin analitik ydntemlerden, Kirchhoff
integralinin lasa dalga boylu veya yuksek frekzursasimtotik gozclrnuolatr De[igtirilrniq
Ign Ydntemi ( MRS ), sayrsaly6ntemlerdenSonlu Farklar Yontemi ( FDM ) ve ikisinin
birleqimi olan Melez Ydntem tarutrlrnaktadr. Uygulamalar sonucwrda gegitli modeller
igin FDM ve MRS ile sitreksidik ytiaeyrnegok yalrrn bir dMemde hesaplanandalga alaru
kesitlerinde; i ) yatay sitreksidik y0zeylerinden gelen yansrmalar ikisinde de gok iyi
g0dilmektedir. ii ) e$imli ytueylerden gelen yansrmalar FDM kesitlerinde net olarak
gOr0lmekte,MRS kesitlerinde ise efiimli ytizeylere ait ug noftialardaki sagrlmalar daha
etkin g0rttlmehe ve stireklilik sagrlma dalgalanyla safilanmalctadr. Sureksizlik
ytlzeyinden oldukga yukandaki bir dttzlemde; i ) FDM ile hesaplanan clalga alam
kesitlerinde dispersiyon olnyuun etkisinden dolayr dalgacrk geniglemekte ve kesitleri
oldukgaboznakladr. Flattrabiiytlk agrh modellerde olaylar ayrt bile eclilernemektedfi ii
)
MRS ve Melez Ydntem kesitlerinde yatay silreksizlik yuzeylerindengelen yansrmalarnet
olarak g0riflmelle, eSirnli y0zeylerden gelen yansrmalarise Melez Yontem kesitlerinde
MRS kesitlerine gdre gok daha iyr izlenebilmektedir. Bu fark agrlar buyudtikge daha da
belirginlerymektedir.Agrsal olarak modellere balcrldrfirnda g : 45" den buyuk agrh
modellerde FDM kesitinde dispersiyon olayr oldukqa etkin hale gelmekfe, hesaplarutr
dalga alanurdakidafrlrnalar ruhnaktadu.Bu olumsuzluklaraz cJaolsaMelez yontenri de
etkilenlekfedir.Buttin kesitlerde sagrlmalarbiraz,Jahaetkin hale gelmektedir. g : 45"
den kug{ik agrh modellerdeug y0ntem de daha iyi sonuglarvermektedirler. Bu modellere
ait ttlm dalga alaru kesitleri incelendi[inde stireksizlik yuzeyineyakrn bir cluzlerncleen iyi
sonucuFDM uzaktaki bir dttdemde ise en iyi sonucuMelez Y0ntem vernrektedir.Aynca
her iki ydntem de tam dalga alanuu vemrektedirler. Yontemlerle ilgili uygulamalarda
ikincil dalga alaru hesaplanmaktadr.
ANAI{TAR KELIMELER: SonluFarklarYsntenri( FDM ), D,egiqtirilnrig
Igrnyontemi
( IvIRS), MelezYdntern,lkincil dalgaalanr
Il
ABST'RACT
ll{nsters Thesis
il.IETIIODS FOR Wtll4E I-IELD COtr{P(ITATION
Selma COSKUN
Ankaro University
Graduate School of Natural and Apptied Science
Department of Geophysicat Engineering
Supervisor: Prof, Dr. Turan KAI,IRAN
1994, Page: 78
Jury: Prof, Dr. Turan KAYIRAN
Prof Dr. OzerKENAR
Prof Dn AhmetTu{rat BA{;OKUR
in two-dinrensionalntedia, seisnticsectionis a firnction of r iurd f. lnterpretation
of seisnlic sectiorqwhich has been processed,is a mtJrerdififrcult step. 11 this view the
calculatedwave field for various models can be used to do thc best intepretation.
The wave field computation methods for twodimensional heterogeneousmedia
may be classified irto two groups, namely analytical and numerical methods. Alalytical
methods yield acceptableresults for horizontal or nearly horizontal smooth subsurfhces.
But they do not producegood resultsin modelswith eornplexsubsurfacesanclin strongly
heterogeneousregions. Analytical rnethodsleaclto computationof phasesof simple typcs
of diffracted and reflected waves. Hence, at ggeaterdistzurcesfronr the sources of
the
primary and seconderywaves ( at weak heterogeneous
regions) their sensitivity lessens
due to increase in the calculation time ancl numerical dispersion effect. These
specificationsshould be examine<lcarefully and the best method appropriateto the nrodel
must be chosenamong the avaible melhods. Howeveq for all cases,it is difficult to
find a
method which is appropriateto tlre model. Therefore,the proposed" Hybrid Methocl
" is
a contbination of antlytical md numerical methods, which applied in t5eir effective
regions. The main property of method is divide wave scatteringand the wave propagation
and is the description of eachprocessby the apprupriaternethod.
hr this thesis, asymptotic solution of the Kirchhoff integration for high frequency
known as Modified Ray Method ( Il{[{S )and Finite Diflbrence Method ( FDM ) are
selectediuxong the analytical and numerical nretJrods.respectively.Thus, the conrposition
of thesemethods is intrudused and it is referred as " the Hybrid Method ". AE a result of
applications of various models for wavefield sectioncalculatedat a plane very close to the
discontinuity wilh FDM aurd MRS; i ) reflections orrirrittg from the horizontal
discontinuity surfacesare representedvery well in both methods; ii ) reflections arriving
from the dipping surfaces are clear at FDM sections, but diffractions are seen at end
points of dipping surfaces rather donrinant in MRS section and continuation is
maintainedby diffiacted waves.On a plane far abovetlre discontimrity surfrrce;i ) wavelet
widens due to thc dispersion cffect calculated with FDM in wavefield sections and this
ratlrer deterioriatesthe sections.Eveq models can not be distinguished from each other in
large angled models; ii ) reflections arriving from the horizontal surfaeescan be clearly
seenin MRS and Hybrid Method sections;whereasreflections arrivfurgfront the dipping
surfacesare better monitored in Flybrid Method sectionsflran that of the MRS sections.
This contrast becomesprominent as the angles widens. When the models viewecl with
respectto the angles; angles gre.rterth*r fl : 45o, dispersionbecomesdominant and
scatteringincreasesin FDM section.Thesedisadvantageous,
though small, effectHybrid
lvlethod. In all of the sections,dispersionsa little bit more becomeseffective. Thesethree
methodsproducegood resultsfor the nrodelsconstructedat anglessmallertlnn p : 45o.
'I-he
cxamination of the sections show that the best results are prodused by FDM for a
plane close to the discontinuity md Hybrid Method for a plane far awa5' from the
discontinuity. Additionally, these two methods give complete wave field. The secondary
wave field is conrputedand someapplications are presented.
KEY woRDS : Finite DifferenceMethod ( FDM ), Modified Ray scheme( MRS ),
HybridMethod,Secondary
wavefield.
OwsOZve TEgEKKilR
Teknolqinin ilerlemesi biittin bilirn ddlannrn geliqinrini de olumlu yOnde
etkilemiry,her alanda yenilenme ve yeni gdziim yollan araqtrnlmayabaqlarunrgty.Bizim
alrlacilnu da bu geligime katkrda buluunak ve dahada ileriye ulagnrako[nafudg.
Yapmrg oldufrun bu gahgma stlresfurcekarryrlagtrflrmsonrnlarclabilgilerinclen
yararlandrfu]) sayrn tez hocanr prof. Dr. Turan KAYIRAN ' a ( A.U.F.F ve cli[er
)
homlanm Prof. Dr. A. Tu[rul BA$oKrrn
yrd.
( A.U.F.F ) ile
Doq. Dr. AMullah
'
ATE$ e ( A.U.F.F ), tez gahgrnamstlrcsinceOzelbilgisayanrubanatahsisedenve moral
destepiniesirgemeyenniganhmArq. Grv. yusuf Kagan KADIOGLu'na ( A.u.F.F ve
)
evdebanakatlanrursevgili kardeglerimegok tegekkitr ederim.
Her ilamzuryarnmda olzur, rnaddi ve manevi desteklerini esirgemeyen biricik
ailenrede en igten sevgilennribelirhnek isterim.
Anknra-1994
SelrnaCO$KUN
vt
IQINnBxlmn
OZET
AB S T R A C T ................
ONSOZveTE$EKKUR
veKISALTMALAR..
KULLAIIILAN SEMBOLLER
............ttr
..........v
................vii
............x
.............1
DIZb{I......
$EKILLER
1 .c i R I $ . . . .
2. SONLUFARKLAR Y0NTEMI ( FDM ) ile il<l BOYUTLU AKUSTIK
........,........4
FIESABI....
DALGAALAT.II
.........4
Tarumr
2. l. Y0ntemin
.............5
2. | .1.SonluF'arkOperat0rleri..........
......................6
lfadcsi........
SonluFarklarla
2.2.DalgaAlannur
2. 3. Kararhlft ( Stability) $artr,Grid Dspersiyonuve BunlaraGoreZantatr
Belirlenmesi.............. ....................12
Aralrklannn
velJzay
Ornekleme
.......... ....'...'13
2 .4 .Il kD e fi e rl e rve S rur $ar tlan.......
..-.'16
2. 5.KaynakveKaynakA1an..........
YONTEMhIIN ASNTTOTn(QoZtrMu OI,AN
3. KTRCFTHOFF
DEGI$TRfi-MI$ I$IN YONTEMI ( IyIRS) ile IKI BOYUTLU
...............I?
AKUSTK DALGAALA}II TIESABI.,..
.................'....17
3 . l . Y 6 n te miTna ru mr...
18
........'
veGreenTeoremleri.
3.2. Gauss
........'...-...20
3. 3. Smr $artlanve lki BoyutluGreenFonksiyonlan..............
---..-..-.---22
3.4. MRSileAkustikDalgaAlaruHesabr.................
'..-.'.'..'..-..-..28
3.4. l.IntegrasyonLimitlerininTanrmlanmasl..............
Duzcnlerunesi.............. -.-.-......-...'-.--.-29
3.4.2. uFvez* nin Yeniden
du,
du.
-,-"
..........3]
ve *
De[erlerininHesaplarunasl..............
3.5.
AZ
dt
4.\/IELEZ ( r{rBRD ) YONTEMile lKi }3OYUTLUAKUSTIKDALGA
............33
ALANIFIESABI....
......................33
4. 1.Yontemin
Tarumr...
4. 1. l. FDM ile lkincil DalgaAlarunrnNonnalTilrevininEldeEdiliqi.............34
DahaYukandekiBir Duzleme
4. I.2. MRS ile z = ZDtJzlentindcn
..........".34
Indirgenmesi................
DalgaAlarurun
...........35
5.UYGULAIvI\LAII.
6 . S ON U QL A R
7.K A Y N A K L A R
......................76
......... ..........78
vll
KULL/INILIIN
SEMBOLLER
W KISALTTML/IR
aF
go ilez" nin zamanag6re t0revilrin konvolisyonu sonucu
crR
d
gn ile r" nin nornral tilrevi nra"qurdaki
konvolusyon sonucu
d.ii
Vektor alarurunnonnal bilegeni
c(
Ricker dalgacr[r ile ilgili sabit sayr
a, b
Dalga alaru hesabnda r e g6re ikinci tilrev katsayrlan
c, d
Dalga alalu hesaburdaa ye gore ikinci tilrev katsayrlan
Diferansiyel olxrat0rU
D
"f
F
Vektor alalu
Kaynak fonksiyonu
Kaynak fonksiyonu spektmmu
FDM
SorrluFarklarMetodu ( Finite Differcnce Method )
FSI
Serbestyttzayintegrali
I
g/ (r)
Yayrlma lurrrun karesi
SerbestyCIzeyGreenfonksiyonu
S*(r)
Kah ytzey Greenfonksiyonu
G
G,
Serbestuzay Greenf'onksiyonu
z: Z dttzlemiboyrrncaG de$eri
H0(2)
Srfrmcr duzenikinci tip llankel fonksiyonu
i fi
i,
Radyal y0nde birim vellor
k
k
f boyutundakagurcr0mekleme arahfurda oldu[unu gdsterenalt indis
Dalgn so1nsr
q
Konvoliisyoniglemi igin ka5'mamiktan
,n
MRS
r boyutundakagurcr0rneklemearahfnda oldufruru gosterenalt indis
De[iqtirilrnig Igrn Metodu
pr
Merkezcil fark operatOr0ile ilgili katsayr
tr
p
e boyutrurdakagncr iimekleme arah[urda oldu[unu g0sterenalt indis
Birim veltor
Lr : Az olnrast dunxnunda v, Ar ve Ar e ba$h kararhhk paranretresi
r
Kilre yangapr
R
r
ro
Yansmakatsayrsr
( X, Z) noktasrndan(*o,rr) noLlasrarasmdakiuzakhk
Orjfurden(to,ro) noktasmaolzuruzakhk
r'
z: Z dttzlcrnincgdrer uzakhfrnur imajr
RSI
Katr y0zey integrali
ri
vru
s
kapah ytizey
s( t .)
Birm adrm fonksiyonu
S
Merkezcil fark operatdr0
6
f,
Birim impuls fonksiyonu
(xo,zo) noktasrndan(X, Z) noktasrravang zamaru
t
T-slrnan
ekseni
z: z ditdemindenz (Z bolgesindekiherhangibit(r, e)nollasma
to
dalgarunilk geliq zarnaru
T
T,oo
Kayrtzamaru
ldaksimum kayrt zarnam
r
Konvoluqyon iglemi igin kayma miktan
u
Dalga uluru ( dalgarunyerdefigtirme vektoru )
u$)
Kah ytlzey GreenFonksiyonunagore hesaplanandalga alaru
uF)
uR
Serbestyilzey GreenFonksiyomrnagore hesaplanandalga atalu
Katr yuzey integrali
ur
Serbestytizey integrali
,/(o)
Kaynakatan
U
U,
Dalga alaru speklrumu
z= Z dttdemibovuncaUde$eri
11k)
Kah yttzey Greenfonksiyonunagore hesaplanandalga alaru spektnrmu
UQ
SerbestyurreyGreenfonksiyonunag6re hesaplanandalga alaru spektrumu
)c
Yatay eksen
X
z: Z duzlerniboyurcar:-f,de[eri
v
Dalgamnyayrlmaluzr
n
Partikul lua
w
Agrsal frekans
/r\
r/r\
wo'" , wn\"'
SerbetyuzeyGreenfonksiyonukullarulmaqrdunlnrurda u'nun t'ye gore
wR
ttlrevininr e g6re integrali
Katt yttzey Grcen fonksiyonu kullarulmasr dumnunda u'nun C ye g6re
t{lrevinin r e giire irrtegrali
a
Ditgeyeksen
Z
Z
FDM da aray{lzeyinhemen ozerindekararlEtrnlan hesaplamadttzlemi
MRS'de arayiizeydttzlemi
V
Geri fa* operatdril
V.A
Vektor akuurundiverjansr
A
Ileri fark operat0r0
1X
Ar
AX
AT
r boyuhnda grld ( dmekleme ) arahfir
Lz
z boyuhrndagnd ( omekleme) arahfir
Ricker dalgacr[r
0
x e g0re integrasyonsrmn
f zamanboyutundaOrneklemearah[r
o'
Kayna$rr zunan ortalnnda aynainraj alaru
o
o'
Kaynak alan spektnrmu
d
on
o
dZ
:t
Kayna$rnaynaimajr spektnrmu
S yozeyindendrqadoSnr gradyent
z: Z ditdemi boyuncanormal filrev deSeri
Konvoltlsyoniglerni
$EKLLI.ERniziwi
$ekil 2.1 a- Ar = & olmastdununu b- Ar * Az, Lr ve Az'nin suasrylar ve z ydnlerincle
defigkenolrnasrdurumu......
.......9
$ekil 3.1 Kapahy{tzeyesahiphacnrinkuguk hacirnlerebttlunmesi( Berklrout 1980'den
alnmrgtr). ..... .. .
................1g
3.
2
Greenfonksiysnlnpigin koordinatsistemi.......
$ekil
............21
$ekil5. I a- moclell. b z =l9Lz dttdemindeFDMilehesaplana,ndalga alaru kesiti.
c- z = l9Az d0demindeMRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. d- z = l0Az
dttdemindeFDM ile hesaplanandalgaalam kesiti. e- z = l0Az dttdeminde
MRS ile hesaplanandalgaalam kesiti. f- z = l0Az duzlernindenrelezydntem
ile hesaplanan
dalgaalarukesiti.
................49
$ekil 5. 2 a- model 2.V z = lg/rz dttzlemindeFDM ile hesaplanandalga alaru kesiti.
c' z = l9Az dilzlemindeMRS ile hesaplanandalgaalam kesiti. d- z = l0Az
dtidemindeFDM ile hesaplanandalgaalarukesiti. e z =l0Az diizleminde
MRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. f- z = l0Az dilzlemindemelezyontem
ile hesaplanan
dalgaalarukesiti.........
.....,..50
5.
$ekil 3 a- model 3. U z = 19Lz dttzlemindeFDM ile hesaplanandalgaalarukesiti.
c- z = 19& dtlzlemindeMRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. d- z = l0\z
dtrzlemindeFDM ile hesaplanandalgaalarukesiti. v z =l0Az d{lzleminde
MRS ile hesaplana,n
dalgaalarukesiti. f- z = l0Az dtulernindemelezyontem
ile lresaplanan
dalgaalarukesiti.........
..................
.........52
$ekil5.4a- model4.V z=l9!z dudemindeFDMilehesaplanan
dalga alaru keeiti.
c- z= l9Az dtlzlemindeMRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. d- z =l0|,z
dildeminde FDM ile hesaplanandalgaalarukesiti. * z = IOAa duzleminde
MRS ile hesaplanandalgaalam kesiti. f- z = l0Az dttzlemindernelezyontem
ile hesaplanan
dalgaalarukesiti.
.................S+
5.
5
amodel
5.V
z = 19Az dtldeminderDM ile hesaplanandalga alaru kesiti.
$ekil
c- z=l9&z dttdemindeMRS ile hesaplanan
dalgaalarukesiti. d- z =l}L,z
dudemindeFDM ile hesaplanandalgaalarukesiti. v z = 10Az dilzlernincle
MRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. f- z = l0Az ditzlernindemelezydntem
ile hesapLuran
dalgaalarukesiti.........
........56
=
5.
6
amodel
6.V
z
l9&
dudeminde
FDM
ile hesaplanandalgaalam kesiti.
$ekil
c' z = l9Az dudemindeMRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. d- z = lOA,z
dtldemindeFDM ile hesaplanandalgaalam kesiti. v z =l0Az dttzleminde
MRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. f- z = l0Az duzlemindemelezyontem
ile hesaplanan
dalgaalarukesiti.
...............5g
=
5.
7
amodel
7.6
z
lgAz
dtldeminde
FDM
ile
$ekil
hesaplanandalga alam kesiti.
c' z = 19& dttzlemindeMRS ile hesaplanandalgaalam kesiti. d- z = l0Az
dttdemindeFDM ile hesaplanandalgaalarukesiti. e z = l0Az duzlemincle
MRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. f- z = l0Ae dttzlemindemelezyontem
ile hesaplanan
dalgaalarukesiti..........
.......60
$ekil 5. 8 a- model 8. b-' z = lgAz drrzlemindeFDM ile hesaplanandalga alaru kesiti.
e' z= 19& dildemindeMRS ilehesaplanandalgaalamkesiti.
d- z =lOA,z
duzlemindeFDM ile hesaplanandalga alaru kesiti. e- z = 10A z ditzleminde
MRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. f- z = l0Az dudemindemelezyontem
ile hesaplana,n
dalgaalarukesiti.........
........62
5.
9
amodel
9.
V z = 19Az dodemindeFDM ile hesaplanandalgaalam kesiti.
$ekil
c' z= l9Az dtldemindeMRS ilehesaplanandalgaalaru
kesiti.d- z = l0Az
XT
dttdernindeFDM ile hesaplannndalgaalarukesiti. e- z = l0Az duzlemincle
MRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. f- z = l0Az dttdernindemelezyontern
ile hesnplanan
dalgaalamkesiti..........
......64
5.
10amodel
10.b' a = lgAz dtlzlemindeFDM ile hesaplanandalgaalarukesiti.
$ekil
c' z'= l9Az dildeminde MRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. d- z = l0Az
duzlemindeFDM ile lresaplanandalgaalarukesiti. * z =10A2 duzleminde
MRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. f- z = l0Az dtlzlernfurde
melezyontem
ile hesaplanan
dalgaalarukesiti.........
.......66
$ekil 5. l la- model I l. b- z = lgAz duzlemindeFDM ile hesaplanandalgaalarukesiti.
b z = 19Az d0demindeMRS ile hesaplanandalgaalalu kesiti. d- z = l}Lz
duzlemindeFDM ile hesaplanandalgaalam kesiti. v z = l0Az dozleminde
MRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. f- z = l0Az ditzlemindemelezyontem
ile hesaplanan
dalgualarukesiti.
...............6g
12a-model
12.l>
z=19Lz
duziemindeFDMilehesaplanandalgaalarukesiti.
$ekil5.
c- z = l9& dtidemfurdeMRS ile hesaplanandalgaalnmkesiti. d- z = l}Lz
dudemindeFDM ilc hesaplanandalgaalarukesiti. e- z = l0Az dudeminde
MRS ile heeaplanan
dalgaalanrkesiti. f: z = l0Az duzlemindemelezyontem
ile lresaplana,n
dalgaalarukesiti..........
......?0
$ekil 5' l3a- model 13.6 z= lgAz dttdemindeFDM ilc hesaplanandalgaalarukesiti.
c- z = l9Az dildernindeMRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. d- z = l0Aa
dtizlemindeFDM ile hesaplanandalgaalarukesiti. e- z =l0Az dilzleminde
MRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. f- z = l0Az duzlemindemelezyontem
ile heeaplanan
dalgaalarukesiti.........
.......j2
$ehl5. l4a-model 14.6 z=19Lz dttdemindeFDMileheraplanandalgaalarukesiti.
c- z = l9Az dltzlemindeMRS ile hesaplanandalgaalarukesiti. d- z = l0A,z
dudemirrdeFDM ile hesaplanandalgaalarukesiti. e- z = l0Az duzlerninde
MRS ile hesnplannndalgaalarukesiti. f- z = l0Az dttdemindemelezyontem
ile hesaplanan
dalgaalarukesiti.
...............74
r. GIN!
Sismik verilerin iqlenmesive yorumahaar sisnrik kesitin elde edilmesindensonra
sra bu kesitin yorumlarunasrragelmekledn.tki boyutlu ortamclasisnrik kesit x ve f nin
fonlisiyonudur.Sisnik kesitin yorunrlanmasrise oldukqa zor bir iglemdir. Bu agamacla
geqitli modeller igin hesaplanandalga alanlan yomnla rqft tutacak bir arag olarak
kullarulabilir. Tahmin edilen nrodellerin clalga alarrlan hesaplanarak, yonrm yaprlan
kesitle kargrlagtrnlrnastsuretiyle en uygun model bulunabilir. Buna gore dalga alzuu
hesabrveyasisnrik nrodellerne,yorumun do$rulupunusaptnyrcrbir iglevdir.
Iki boyutlu heterojenbir ortarnda sismik dalga alanuu hesaplarnakigin genel bir
kural yoHur. Her modele ait ozel dununlar igfur segilen en uygun hesaplanray6nterni
kullanrlf' Yontemlerin segirnilrikararlagtrmak igin gttzonillde bullndlnrtmasr gereken
anafaktorler gunlardr:
a- Sismik modelin karakteristikleri: heterojenlik tipi, arayuzeyin
ryekli, sisrnik
ortamurkonumu ve relativboyutlan
b- Qoziinriln aynmhhfr ve kesinlifii
c- UygrHrhesaplarnazamaruve s&klama
Iki boyutlu heterojen ortamlarda dalga alaru hesaplamayontemleri arurlitik ve
sayrsalolmak tDere iki grupta sruflandrnlabilir. Ilk g.,tp analitik fbrmtillerin lrrrllarum'r,a
dayanmaktadr. Igm y0ntemi ve bumrn geqitli modifikasyonlan, Kirctrhoff y6rrtemi ve
geqitli modifi"kasyonlan bu gruba ginnektedirler. Sayrsal yontemler de fiziksel bir
yakla$m olmaksrzn, dalga denklemine a5.nkgridlerle yaklagrm yapan matematiksel bir
goz{imdiu. Sonlu fiuklar, sonlu elemanlarve speklral yrintemler bu ggrba ginnektedirler.
funlitik
ydntemler; yatay veya yataya yakur duzgtin arayttzeyli, arayilzeyden
uzaktaki zayrf heterojenbolgelerdeoldukga cluyarhdular.Buna knrgurkarnraqrkaraytizeyli
modellerde ve yo[un heteroien btllgclerde duyarhhklan olclukga azalmaktadrr. Bu
ydntemlerbasit yarurmave sagilmadalgalanruhesaplamakladrlar.
Sayrsal y0ntemler ise analitik Jrdntemlerin aksine, karmagft araytizeyli yo[un
heterojen bOlgelerde oldukga duyarh sonuglar vermektedirler. Ancak ikincil dalga
kaynafurdan uzaklaqtftga ( zayrf heterojenbt]lgelerde) , hesaplamazmrammn arhrasryla
olugan sayrsal dispersiyon etkilerinden dolayr duyarhhlclan da azalmaktadg. Sayrsal
yOntcmler tam dalga alanuu ( yarxonq krnlrna, sagrlma, tekrarh yansrma: vs.
)
vennekledirler.
Buna gOrcbu sOzuedilen faktorler gcizsniineahnarak,modele uygun analitik veya
saytsal ydntemlerden biri dalga alaru hesabr igin kullarulnrahdn. Ancak her zaman
modele uygxr bir ydntem bulunamamaklaclr. Mesela, oldukga derinde karmaqrk
arayilzeyli bir jeolojik model igin yiizeyde veyn yuzeyoyahn bir duzlem ilzerinde dalga
alaru hesaplanmakistensin. Arayilzey karmagrk oldu$u igin yogun heterojen orizurrlarda
duyarh olan sayrsal yontemlerden biri kullarulabilir. Ancak sayrsal bir y6ntenrle
hesaplan;ur dalga alaru, arayilzeye yakur bir clilzlenr urerhrcle duyarh olarak
hesaplanabildi$inden arayozeyden uza.haki bir dttzlemde sayrsal yontem etkinlifiini
kaybedecektir. Analitik y0ntemlerdcn birirf ktllanarak hesaplanan dalga alarunda ise
aray0zeykarmaqft oldu$u igin duyarh sonug elde edilemeyecektir.Boyle clunrmlar igin
son zamanlardayontemlerin en etkin olduSu bolgelerdeuygulirrmasr gartrile birden fazla
gdztlrnyontemini igeren" Melez ( Hybrid ) " biryontem geliqtirilniqth.
Bu tezin amacr sayrsal 5'6ntemlerden,analitik yontemlerden ve sayrsal-analitik
yonternlerin birleqimi olan melez y6ntemlerdenbirer yontenri tarutmak; her yontem igin
nedr, nasrl uygularur, aviurtajve dezavantajlanve aralanndaki farklar nelerclir sorulanna,
uygulalnalanyla birlikte yamt verebilneklir. Bu amagla saysal y6ntemlerden Sonlu
Farklar Y0ntenri ( Finite Dfference Method : FDM ), nnalitik yontemlerden Kircfihoff
Y0nteminin krsa dalga boylu asirntotik gdzomtl olan Defiigtirilmiq lgur y6ntemi (
Modilied Ray Method : MRS ) ve bu y0ntenrlerin birlegimi olan Melez ( Hybrid
)
Ydntem ileriki bolumlerde tarutrlmalladr. Yontemlerin uygulamalannda ikincil dalga
akuu hesaplanmaltladu.lkincil dalga alaru, kaynak alan harig sadeee
( ikincil
kaynak ) etkisiyle olugan dalga alaruclr. Bu yontemlerle ilgili daha once yaprlan
gahgmalarise krsacagu gekildedzetlenebilir:
FDM ile dalgaalaruhesabrdzellikle 19?0'ti yrllann baqrnclabaqlamrgtrve halen
gok ilgi gekenbir konudur. Bu ydntemi en cazip krlan neden dalga alamrun tam ifadesini
vermesidir. Bu nedenlebirtakrm dezavantajlarara$nrenen gok tercih edilen yontemlerden
biddk. Altemlan and Karal ( 1968 ) yan sonsuztabalralagmrgbir ortamcla, elastik dalga
denklemini kullanarak FDM nu uygulamrglar ve derinlikle Rayleigh dalgalanrun
de$iqimiril incelemiglerdir. Aym iglem Aboudi ( l9?l
) tarnfinclanda yaprlmrqtg.
Alterntan and Rotenberg( 1969 ) yaptrklan gahgnradayine elastik dalga denklemini
hrllanarnk, geyrek dildenrde cisim dalgalan fazlanrun ve Rayleigh dalgasr fazlanrun
sentetik sisnrogramlanruelde etmiglerdir. Ottavizuri ( lgll
)' nin gahgmasuunbu
gahgrnadanfarkr, dugey eksen ile iki geyrek uzsya boltinen bir ortamcla elastik dalga
derrklemirrinku[arulmasrdr. Alford et al ( lg74) yapmrqolduklan gahqmada,akustik
dalga denklemi kullamlarak FDM un do$rulugu irdelenmigtir. Bunun igin 90. koqeli
homojen geyrek uzayd4 kaynak ahcr pozis5'sng161kogeile farkh agrlar yapacak gekilde
deEiqtirilrnesi sonucu sentetik sismogramlar elde edilrniqtir. Aynca uzay drnekleme
arah$urur yeterli kuguklttkte olmamasr dunrmunda gricl dispersiyonunun olugacagr ve
duyarh sonucunelde edilebilmesi igin kayna[rn clalgaboyunun en az on gnd arah$r kadar
olmastgerekti$ivurgulanmrgtr. Kelly et al ( 1976 elastik dalga denklemini lmllanarak,
)
farkh jeolojik modeller igin yatay ve dugey dalga alaru kesitlerini elde etnig ve
uygulamalarrylayontemin tam dalga alamm verdi$ini gOstermiqtir.
Bu gahgmalardayatay ve d0gey gnd ( Ornekleme ) arahklan eqit ve sabit
almmrgtur.Hepsi kararhhk kogulu igin birbirine gok yakrn yaklagrmlarsrrrmuglardr. Yine
smrrlarda Neumarn serbest yuzey srur garh veya Dirichlet katr ytlzny srnr gartt
kullarulmrgtr. Reynolds ( 1978 ) tarafindan bu srur gartlanndanfarkh olan, srurlarda ug
yarurmalan onleyen tranrparent suur gartuun usttlnluflu uygulamalarryla gdsterilmigtir.
Yatry ve dugey gnd amhklaffun birbirinden ftrkh olmasr durumunda ktrarhfuk qartma
Virieux ( 1985 ) tarafindan bir yaklaqrm yaprhnrgtr. Grid aratrklanmn stlrckli defigken
olmasrdurumundayontemiMufti ( 1985) uygulamrgtr. Mufti bu gahgmasmdaFDM wr
genellikle gok u kullarulan dolayh ( implicit ) yaklagrmr ile 90z0me gitmigtir. DBer
gahqmalardaFDM wr agrk ( explicit ) yaklagrmrkullamlmrghr.
KirchhoffYdntemine ilk yaklagun Trorey ( 1970 ) tarafindan yaprlmrgtr. Trorey
bu gahgmasrnda sabit ludr akustik bir ortamda, srfir-ofset kaynak-ahcr gifti ile
araytlzeyden gelen sagrlma ve yansmra yarutlanru elde etmek iqin skaler dalga
denkleminden yola
grkarak ve
Helmholtz-Kirchhoff
egitliginden
yararlanarak
matematiksel bir yaklagrn kunnugtur. Hiltennan ( l9?0 ) dalga denkleminin zaman
ortrmrnda integral gOzttmtlnogeliqtirmiqtir. Yine Hilterman ( 1975 ) rin teorisinden
modelin egi arayiizeyi ile sagrlmagenlikleri arasnda bir iliqki kurmug ve
farklr geriliklerin direkt olarak oncedentahmin edilebilecefini gdstennirytir.Trorey ( 1977
) ilk gahgmasuuslfir-ofset olmayan kaynak-ahcr giftlerine uyarlamrg ve sagilma dalgasr
genliklerinin ofsetten bagrmsz oldufunu gOstermigtir. Bu gahgmalarda serbest uzay
Green fonksiyonu kullarulmrqtn. Kutur and Alhilali ( 197'7), Kirchhoff integrali gdzfimu
igin agrl*landuma faktOrttnuirdelemig, serbestuzay, serbesty0zey ve katr yuzey Green
fonksiyonlan kullarularak elde edilen gdzttmler igin yayrlma ve e[im faktOrlerini formole
etmiqtir. Berkhout ( 1980) tarafindanKirchhoffintegrali ug boyutta gOz{tlmtlg,u9 boyutlu
katr ve serbest yuzey Grcerr tbnksiyonlan ile elde edilen g0zilm " Rayleigh I " ve "
Rayleigh2 " integralleri olarak tarumlanmrgtr.Shtivelman( 1984, 1985) yOnteminkrsa
dalga boylu asimtotik gdztlmunu uygularnrgve buna * Modified Ray Scheme( MRS ) "
adru vermigtir. Shtivelman and Channing ( 1988 ) MRS' i kullanarak datum duzeltunesi
yapmrglardu.
Melez Y0ntem ise son zarnanlarda geliqen bir y0ntemdir. Sayrsal-analitik
birleqirni Slrtivelman( 1984, 1985) tarafrndanuygulanmrgtr. SlrtiveLnangahgmalannda,
ydntemin di[er iki yOntemlekargrlaqtumaslruyapmamry,bu nedenlebir gok soruyayanrt
verememigtir.
2. SONLTIF'ANXLAR I'6NTEMr ( rDM ) iTCTXi BOYUTLU AKUSTTK
DALGA AI.ANI HESABI
2. T. YONTEMIN T.4NIITII
Kompleks yeraltr geometrileri igin sentetik sismogranlan iiretebilen saysal dalga
alaru hesaplamaydntemleri son yrllarda gok ilgi geken bir konuclur. Bu amag igin clalga
denklerninh do[rudan saytsal goz0milne yOnelik yonternler 1970' li yrllarcla Sonlu
Elemanlarve Sonlu Fuklar ile ba6lamrgtr ( Alterman and Karal 1968, Altennan and
Rotenberg1969,Aboudi 1971,Ottaviani1971,Boore 1972,Alford et al l9?4, Kellv et aI
1e76
).
FDM , akustik ortrundabasrngdnlgasrrunya1ulilnuu tanrmlayaniki boyutlu losmi
difenursiyel hareket denklemi igin uygur sonlu tark operatorleri kullamlarak elcle edilen,
aynk gridler tiaerinde gdzulebilen, uygun sonlu lhrklar denklenrleriyle yaklagrm
yaprlrnaktadr. Yarri FDM fiziksel bir yaklagrnr olmayrp dalga denklemi tizerine kgnrlan
matematikselbir yaklaqrmdr.
FDM aqil( ( explicit ) ve dolnyh ( implicit ) olrnalc ilzere iki gnrpta
srnrflandrnlnralitadr ( Ottaviani l9?1, Kelli/ et d lgi6, Saatgrlar lgg}
) Agrk
yalclaqrmda;bir ileriki zamzurdabir uzaysalnoktacJakictefierihesapkunakigin bir <inceki
Ltnana ait birkag noktadakidefierlerkullaruhr ve iqlem ardrgrkolarakher nokla iqfurteker
teker hesaplanu.Alternranand Karal (1968 ), ottavinni ( 19?I Boore ( lg72 Alford
),
),
et al ( 1974), Kelly et al ( 19?6), Reynolds( 1978) shtivelnran( 1984, 1985 agrk
)
yaklaqun yOntemini kullanan bilim adanrlanndansadecebirkagrdr. Dolay| yaklagrmda
ise; bir dnceki zunana ait bilinen ttim uzaysal nokfalardaki de$erlerden bir sonraki
zalnara ait bttthr noktalar aym anda matris tersleme yolu ile bulumrlar ( Mufti lg85
).
Agrk yaklaqrmdi$erine gOrebilgisayar uygulanralan agrsmclandala basit ve kullarughclu.
Burda da agrkyaklaqul yontemi kullarulnraktadr.
Krsaca FDM dalga darklemlerinde ve srur gartlannda bulunan tiirevlerin basit
sonlu farklar ifadelerfuri kullarurak qOzne yaklnqunrclr. FDM iki boyutlu modellerde
dalga alamrun tarn ifadesini vennektedir. Bununla birlikle dalga kaynafrndan gorecel
olarak bily[k uzrkhklarda FDM'un etkisi, hesaplamazarnarunarhnasr ile do[mlugturun
aznlrna"crna
neden olan saytsal dispersiyon etkilerinden dolayr etkfur bir
qckilde
aznlnxrktadr. Surekli ortsunaaynk gridlerlc yrrklagrnryaprldrfr igin gridler kaba olursa
sisrnik cevaplarda$rlrnaktadr.
Btuda kaynak alan harig, sadeceanryiiaeyin ( ikincil kaynak ) etkisiyle olugan
ikincil dalga alaruruhesaplamaiqlemi yaprlmaktaclu.
2. I. L Sonlu Fork Opndhilnri
Sonlu fark operatorleri, diferansiyel denklemlerdeki diferansiyel operatorlerine
benzemektedirler.Uq uyr sonlu fark operatdrii vardu. Burlar ileri fark, geri fark ve
merkercil fark operat0rleridir. En gok kullamlanlan ise merkezcil ve ileri faxk
operat6rleridir. Bir r(xl fonksiyonu ileri fark operatortl ile igleme sokulduSunda
Nr, = u,*r - ll,
olmaktadn. Burda u,*r,u( r/
deferidir. a(r/
(2.r)
fonksiyonunun x.,*,. de$eridir. Aym gekilde n, de x, .
fonksiyonu, v Geri fark operatorOile iqleme eokuldufunda
Yu,=
'Y,-
(2.2)
ilr-l
olrnaktadr.6 merkezcilfark operatoruile iglemesokuldu[rurdaise
( 2 . 3)
6 r,= ut+tlz- ut_rfz
olrnaktadr.Buradatammlanmrgfarklar birinci farklardr. Ikinci farklar birinci farklara
tekrareonlufark operat6rleri
bulunmaktadu.Bunagoreikinci ileri fark,
Eu,= a( a'' )
= b(u,*r- u,)
= ail,*r- Lrt
= xt
+z-
2ll,* ,l
(2'4)
tl,
dir. Ikinci geri fark bturabenzergekilde
Y z u , =t t , - 2 u , - t * u , _ ,
(2.j)
dr. kfurci merkezcilfark ise
62u,= 6(u,.r1r- u,-rp)
= Ur*t- Ut- trt+ ut_,
= ilt*r-
2n,* il,_t
(2.6)
geklinde tarunrlalur. Bu gekilde derece artrnlnralc suretiyle tlgtlrctl, dOrdtlrcU vb.
dereceden
sonlufark operatdrleritanrnrlanabilir( Potterl97S ).
DilbransiyeloperatOr0
D = dldx, ileri fork operat0r0ile
t(
N aj
D = 1 1 A - - + - - . . . )1
/rt
?
3
( 2 . 7)
)
geklindetarnmlanmaktadtr.D2 ise yine ileri fark operator[ ile,
'l
n' =r( * - a'+lll' -io:ft'(
12
6
(2.8)
)
dir. Yine merkezcil ve geri tark operatorlerinegore D ve Dz gu gekilde tarunrlanmaktadr.
n=!( v*A* o' *. l= {[u -{*,t5 - .']
l'[
2
3
)
h\
6
30
n, --I( v2+v, * l-lvo*...)=I( u, * - i6 n , 6 6
ft"\
t?
)
h'\
(2.e)
)
n-
)
(2.10)
)
Bu ifadelerdeki/rdeferi, adun amh$ Ar dir. Aynca O =^lr*!1
dir. Bir u
I4
fonksiyomrrunsonlufark operatdrleriile birinci veyaikinci ttirevleri ahurken yuknttd+i
seri agrhmlannsadeceilk terimlerikullarulmahladr( Potter l9?8 ). Buna g6re' l)"u
dxz
ifadesi,0mekolarakmerkezcilfark operatOr{l
ile,
Dztt=*
dx'
=
-
ut*t* 2utt nt-l
(ar )'
(2. 1l)
qeklindeifade edilir. Burda Ar herbir x deperi arasurdakiartrqmiktan yani adrnr
arah[rdr.
2. 2. DALGA ALANININ
SONLA ITARKTARLA IFADESI
Iki boyutlu heterojen bir ortamda x ve z yatay ve duqey eksenler ve z ekseni
aqafiryado[ru pozitif olsun. Bu qartlardakibir basrrg datgasr( P dalgasr) hareketi
0)u
ilzu
---j-
--
Cx'
Cz''
r
1 CLu
-
--
vr
d I'
|
(2 . 12)
difer:rursiyeldenklemi ile verilmektedir. Burda v = y( )c, z ) dalganur yayrlma hm,
u = u(.)c,z, t ) clulgarunyerdefigtimrevelltirtl. -f = -f(r ) kaynaktbnksiyonudur.Zaman
- uzaygridleri de qu gekildetanunlaunakladr;
li. = P1 41
Zr= flAz
tr= kr\t
Ar, Az uzay0nreklenrcaral*l&n, At zalnandrneklemearah$rdrr.yine
Vn''-- t'\x''
z')
u,,.n,k=u(,^, zr, th)
gektinde gdsterihncldedirler.Aynca
B n , =^ ( r * . , ) '
dir. Buna gOredalgadenklemi qu gekildeyenidenifade edilebilir.
dl ,
,cu1 dl , ,cu1 czu ,
z)1Q)d(x-r"),t(,-',)
il
i;ls\-, * )- Eyrt-,4; )=#+ s(r',
(2 13)
Burda d birirn impuls fonksiyonudur.Dalga denklernindekullarulzurikinci dereceden
ttlrevler, ikinci merkezcil f'ark operaloril kullamlarak elde edilmekledirler. (m,n)
noklalarrndnkibirinci tilrev de[erleri Ar = Ae olamk alndr[rrda ( gekil 2.I-a ) gu gekilde
verilirler.
( !y\
*un- ttz.,,r *) f
=(r**rtr .n,k
\0 , ).,.,.r
( a '\
=(,r-,a + tr ..k- un.,_t/2.- ) l*
\d, )^.,.r
(2.r4)
I ar)
=(u**t,r,k - un,r,)f t*
ArJ..
l.
ll2, n, k
far)
= (u..n,r- il*-.,,,) n*
f
( 2 . 1 5)
t^,,l
Iar)
i.^,J,,
= (",n*r,r-'-,,,)lM
n+uz\ E
(2. 16)
Im)
= (u*,n,r- u.,,-r,o) M
I
i A r / n-|12,ft
\
.il,
= (g..,+ g*u.,)12
8re+U2,n
8.;p.,
= (g..,+ g*r.,)12
( 2 . r 7)
= (8.,,* 8*,,-r)fZ
8n, n-UZ = (g,.o* g^,,-r)fz
8n, n+ll2
m-l
m+l
m
m+l
A
t
n:l
h^
'1,
D
p
I
C
n
4'
n+l
I
B
rh
&
n*l
hc
b
$ekil 2.la- Ar = Az olmasrclunrmu.V Lr* Az, Ar ve & srasrylax vez ydnlerinde
deSigkenolmasr dunrmu
Bu ifadelere g0re
l, #) _.,,2.
n,k'r"''
I OUI
-l(}--l
t.' ^ I
\
olc | m - t,,"
la,n,R
( au.)
I s- d Z |
\
=
)n.n+tlz.r
tnt'.i(u-,,,.o
- tt^.,.
x)
\
(s-,* 8*r, nt_f
"
ll*,
2Ar
( 2 . 1 8)
n,h
- U*-r,
r,n)
(g",,,* Bn.n*,),
\
t' t
(/-, n*r,
r u..^.t)
2M
(2.re)
(g-.,+g.,,
( _ar\
-T**t!-lu , ) , n''n.'-- tt,' \
^-,'r)
It i; ),, n-tt?.,
k
olur. Birinci turevler buhurdufunagOre,rlrinci tttrevler cle burlarclanyararlanarakgu
gekildebulunurlar.
( du\
la( au\f
lr Eu\
l/
^ )^+,t2.n.k-lr
*)-_,o.,.rll*
L*lr * )),.,.r=ll.r
(2'20)
SaStaraftaki birinci ttirevler yerlerine konulduklannda x'e g<ireikinci tttrev
l ^ l ^ \ l
I of,dull
= a n , n t t o r . , , r 'i- \ a * . n *. b * ,\ n ) I t ^ . , . r , * b * , , u * 1 . , , .( 2 . 2 2 )
| " i s;
l. l. n . k
t
.
*
t
)
Ll7r\
olur. Buradaki katsayrlar
gn.nlg,,r,,
_
=;t^rlQ^''
( 2 . 2 3)
-Am ' d_
8-,n* 9nt,n
t,
z(u)'
dir. Berrzlergekildez'ye g6reikinci tiirev
t0
I a( au\1
;
lillr
)l-.,. r=
cn'nil-' n+t'
k - (d^', *' -.n)u^.,.,* d^.nil^. n-1.* ( 2' 24)
dir. Buradakikatsayrlarda
z(t*)'
(2.2s)
s
un'n
8.,, *8., n-r
_
- -]At)t-
\
)
dir. Yine iye goreikinci ttinevikinci merkezcilfark operatdrukullarularak
/^1
\
ld'rl
| _, |
\dt-
r
_
= ( i l _ , , , r +_r2 u * . n . k * i l n . n , k\ _t tJ l (:n. 2t 1 "
)^.,,r
e.Z6)
bulunur. Buradaki (ar)t gutput" uzay degigkenlerinegore ikinci torevlere gaqpan
olarak
gegirilebilir.Aynca burda ax = az oldusu igin ve Ar r y0nllnde degigmedigi
igin
o*r,n = bn,,
c n , r - t= d * . ,
(2' 27 )
ve
={e* ++' ")1ar;,
0*.n
(2.28)
cn,n=(s.++-"J1^ry,
dir. Bu durumdagekil 2.la- da gOrtlldufugibi herhangibir p noktasrndakidalgaalam (
2.13) denklemine
gOrequgekildeifadeedilir.
ll
U n. n, h+l = o
n, oil nl, r, k * d *l,
rU nl,
r, ft * Cn, nUn,o+1, * * Cm,o-:U.,
-(o^,^*an_r.n*cn.^*c-.n_l
-2)u*.n.k-[n.n.k_t
n-:,h
(2. Zg )
+ s*.,f ( k+ l) d( nl- m,) d( n- n,)
Bruragore hvek-l zamanlanndaki
dort komqunoktadakialan degerlerikullalularak
ft + I zamamndaki
herhangibir (rn, n) noktasrndakiclalgaalamhesaplanabitir.
Aynca bu
ifadedeki(m,, n,)tayrak noktasrdrr.
Lr * Az, Ar ve & srasrylax vez ydnlerindede[iqtigi dunrmdaise qekil 2. lb
ye g0re,birinci ve ikinci t0revleryenidengugekildetarumlarurlar.
b-pi(u-*,,,x - u*,
(r #) *,,2.
^.r)
n.L
(2.30)
S au\
t8 ^ |
-
( du\
1 8 0Z
^ |
-
\
(s.,! + 8 n l ,
dx )^-yz,,.r
\
/ a. n+112,
k
!
2ho
(s.. + g
n
2h"
H, n+
I
I1
il*, r,k - Un-r, ^,r)
l1
Un, n+1,k - U-, ,. n)
(2'3r)
(r#)^x-,t..k
g'$(u*,.r-,*n,.0)
)
l*(r#)]...=#;Jl[ x)*2nk (,#)*,,,
.rl e 32
)
l*('#)]*._=diJlGH,n+,,2
k G#).*,,rf (233
dir. Brula g0re yeni katsayrlar
o,.o=(&*&d(ar),
(2.34)
u*''b
(s.,"+g*l:)1r;,
hM;-iJ
t2
(T(i?;:j)**,'
(2.35)
ohnaktadn.Bu durumdagekil 2.lb- de gOrulclugugibi herhangibir p noktasndaki dalga
olatn ( 2. 13 ) denklemineg6re,
iln, n,k+l = d-,
rV*l,
- (o
^,,
r,r * b^, nUn-1, n, L * C., nil^,n*1, r * dr, nilm, n-l.k
* bn-t, ^ * c
*,,
- il
* d n, o - 2)u
*, n, k
n. n. k_l
(2.36)
+s,.,-f (k + r)6(m- m,)d (n- n,)
qeklindeifadeedilir ( N{ufti 1985).
2. 3. KARARIILIK ( STABILTTY ) ;ARM , GND DISPERSTYONU VC
BUNLARA GORE ZAMAN VC AZAY hNNNXTNAN ARALIKLARININ
BELTRIENMEST
Fiziksel anlamdasayrsalhesaplam4sonlu farklar algoritmasrunsabit olmasyu
gereklirmelctedir.
Yard zarnanindisi &, At zamanartrmmaba$h olarakbutln m , n ler
igin arttrSurdandolayr srrurh olmahdr. Kararhlrk kogulu igin farkh yakla$mlar
yapilmrqtr. Lx= Az ohnasrdurumunda;Altemranand Rotenberg( 1969 Ottaviard(
),
l97l ) e gore
v^_ atlLr ( 0.g6
( 2 . 3 7)
qartrsBglanmah,Alford et al ( 1974) e gdreise
v^ LtlLr < {Ji
(2.38)
olmasr gerelrnektedir. Genelde Alford et al ( lg74 kararhl* garh kullarulmaktafu.
)
Lr * Az olmasrdurumundaise Virieux ( l9g5 e g6re
)
l3
'''*o'Jdr. '
io|'t
(2.3e)
garhsa$larunahdr.Bu ifadeler A/ nin keyfr olarak seqilerneyece$ilrigostennelledir. Af
segimi ortamdaki ntaksimunt luz, Ar ve Az grid aral*lan ile kontrol edilmelidir.
Aynk gridler tDerinde yayrnan dalgalar, artan ilerleme zarnanlarryla degiqime
u$ramakladrlar. Bu olay 'grid dispersiyorru 'olaralc adlandrrlr. Crid dispersiyonu
frekansla norrnal luz de$igirnini ortaya grkannaktadr. DaSrlma yttksek frekanslarda ve
uzun dalga boylannda arhnaktadr. Dspersiyon gdd aralrklanrun buyuk oldugu
durumlarda daha da etkilidir. Yine dagrlma dzellikle ytlksek frekanslardayonba[rmhdu (
anisotropic ) ( Alford et aI 1974, Kosloff and Baysat 1982 ). Yeterli cluyarhhl,;ta
modellenebileceken krsa dalga boyu olarak on grid noklasr rmrnlugu ahnmasr gerektigi
Alford et al ( 1974) ve Kosloffand Baysal( 1982) tarafindanbelirtilrniqtir.
Moilellenredekullarulan en ktsa dalga boyr, yer kesitindeki en ditqtilr luzn en
yttksek frekansabolunmesiyle belirlerrir. Ornekleme teorisine gore segilen en buyuk grid
arahfr en krsa dalga boyunun yansrdn. Ivlaksimum frekans ise kaynnk dalgacrfuun
belirgin olan en yttksek frekansr olarak tanrmlnnabilir. Kayna$ln en yilksek frekansr
ronugta ayrrmlrJr[r belirleyece$i igin yer kesitine qrgun bir frekans bandr segilmelidir (
Kosloff andBaysal1982,Baysal l99Z ).
2.4. ILK DEdERTER VC SINIR SARTLARI
(2. 29 ) veya ( 2. 36 ) ifadelerindengoroldilfit gibi hesaplarnaya
baglamakigin
f =Ove t=-N
zamanlanndakideBerlerintnnlnlarunasl gerekmektedir.f =-Af de
dalga alanrnrn srfr oldu[u bilfumektedir. Buna gdre sadece f = 0 daki clalga olarumn
tarumlalunasr gerelanelledir. Yani b0ttln ffi , fl noktalan iqin u..n.t de[erlerinin
verilrnesi yeterlidir. Butun m , n nohalannda tiuumlanan kaynak aluruun ilk de[eri
ilo,.,,r deAerlerineatanarakbiittin ffi , fl nokfalan igin ilk de$er vcrilrnig ohunr. Bu
nratematikselolarak:
u..n,o= uf.),.r
k= |
(2.40)
qeklindeifacteedilir. Burcla,(o) kuynokalan fonksiyonudur.Brurunnasrlhesaplanacaf;r
dahaileride anlatrlacaktn.
Yine dalga alaru hesabrndayer rnodellerinin olguleri yatay ve duryeyolarak
smdandmlrnak zomndadr. Bu nedenleuygulamayabaqlamakigin srur Eartlanrun
t4
ryartlanrunbelirlenmesi gerekrne*ledir. Srurlarda genellikle " Dirichlet katr y0zey srrur
gartl " veya'( Neumarurserbestytlzey suur gartr" hillarulmaktadn. Bunlar;
/ r , n , r= 0
il*,t.k=0
(DirichletSrrur$arh)
( 2. 4l)
( Neumann
srur gartr)
( z .42)
/ . , J v , t= 0
uu,o,*=0
o u r . n .-ro
ox
ou^.r._
ro
oz
o u u .,,r_ o
0x
ou.,r .r _o
6z
ile ifadeedilirler.Bu qartlaragdresrurlardayanslmakatsayrsrI n I : I olmaktadr.Bu da
sruf,agelen dalga ile smrdan yanslyandalganrngenli[inin aym olmasrdemefttir.Bu
durumiee istenmeyenkenaryansrmalara
sebepolmaktave bu nedenlehesaplanan
dulgu
alaruruolumsuzolaraketkilemelfedir.Bu smr Sartlankullamldr[rrda model boyutlan
yeteri kadar buyuk verilirse hesaplamazarnaruiginde bu smrlardan yansrmaelde
edilmedenmodel igin dalga alam hesaplanabilirveya smr yansrmalanngorUldugo
bolumleratrlarakdofru dalgaalarueldeedilebilir. Suxrlardayansrmalannolmamasrigin
iselR I :0 olmasrgerehnektedir.
Bu yaklaqrmReynolds( l9?8 ) tarefindan
uygulanmrg
ve buna" Transparent
suur qartr" aduuvermigtir.Bu gartagore;
(! !* z'l (z !* z)a= o
dt
0x)\v At 0t)
\v
x=M,15
(2.43)
z < N,0(f (J(
{! !_
dt
,'l (z !_ Z)u= o
Ax)\v
(! !*
g) (z !*
0t
Ox)
\v
r=1, l SzS N,0(t<K
g'l tt=a
0z)\.v dt
0z)
\v dt
z=N,l3r
SM,0(/(.K
u=A,z=l, lSx(M,0(r(K
(2.44)
(2.4s)
(2.46)
l5
olmalrdn.Burdap =v+dir.
Ar
ur, ,, k*r = ilr, n, k *
Bunagdreeuurlmdasonlufarklaryaklagrmr
ile g6zttm
ilt, o,t -
ilz, ,, k-l
I Pt., ( ur, ,.r - ilt. o.k- ( ur.,, r-r- ut
( 2 . 4 ' ,)7
*-, ) )
",
23 n < N-1,2< k< K-l
iltt-t,n,k -
urt,n,k*r = ilM,r,h *
-
(r
ilM-r,r,k-l
u M - r , " . *- ( u u - t , n . k --l u u - r , r , r - r ) )
Pu.,\uu,,.ft-
{2.48)
23n<.1/-l,2Sk<K-l
Un.N,ft+l =
iln,N,k *
-
il-,N-l,h
-
iln,N-t,*-l
I
P-,.^l( il^,N,L-
iln,N-t,tc-
( ,.,"-'*-, -
(2' 49)
u-.N4^--,) )
23 m 3 M-1,2< k < ,lr-l
il., l, r+t = 0
(2.50)
23m<M-1,2<k<K-l
ilt,t,k*t = ur,r.k + Pr,r(uar, o - ,,, ,,n)
(2.51)
ul.t.k*r = il M,t.k * P u. t(urr-,, - uu. r,r)
zx
( 2 .s 2 )
ul, tt,r*r = /r,.r,,/,
r + Pr,r(ur, *-,, * u,, * )
",
(2.53)
uM,N,k*t= u M,N,r+ pu,n(u u-1,^r-1,
r uu,*,r)
(2.54)
ifadeleri ile verilrnektedir( Reynolds lgTS ).
p*.^=u^.,#t
Burda
i
gartoru
saflamalrdr. Lr*Az oldufu dunrmda"rlgih m, n noktalanndaki gnd arahklan dikkate
ahnmahdr.
l6
2.5. KAYNAK ve KAYNAK ALAN
Burda / = 0 zamamndadalga cephesiaraytueyile eqleqenduqeyyayrlanbir
dtlzlerndalgakullarulmaktadu.Buna gilre FDM ile hesaplamaya
bElanrak igin gerekli
olankaynakalan;
,!l).),.*=nQQ-t,)
( 2 .s 5 )
qeklinde tarumlarlr. Burda / kaynak fonksiyonu, f, kayrak dalgacrfnq
verildigi
noktadankaynak alamn lresaplanaca$tnoktayavarlg zsrnamdr. Bu zanun uygun rgrr yolu
boyunca hesaplanabilmektedir. R ise yansrma katsayrsrdr. Kaynak olarak Ricker
dalgacr[r kullarulmrgtr.
Ok) = e-'' cos(2nf t)
(2.56)
ile tarumlanmaktadu.
Burdact sabitbir sayrdr./ isekaynaSrnorta fiekansrdr.Kayna$rn
en ytlksekfrekansrsonugtaayrunhhgrbelirleyecefiiigin yer kesitineuygun bir frekans
bandrsegilmesi
gerekliSidahaonceden
belirtilnriqti.
t1
3. KIRCHHOITII YONTNUTNIN ASTUTOTTX QOZOUT} OLAN
NTdT;TINTMTS IFIN YONTEMI ( MRS) i\g TKI BOY(TTLU,4KUSTTK
DALGA AI,ANI IIESABI
3. I. YONTETfiN TANIMI
Kirchhoff y0ntemi ile dalga alaru hesabr analitik bir gdztundtir. Yontem, Green
teoreminden yararlalularak elde edilen Kirchhoff integraline dayanmaktaclr. Trorey
(19?0 ) tarafindan brgok yaklagrmlar yaprlarak ydnternin esaslan {izerinde durulnrug ve
basit yzursrmqsagrlmadalgalanhesaplarrmrgtu.
Daha sonrayine Hilterman ( l9?0, l9T5
), Trorey ( 1977 ), Kuhn and Alhilali ( 1977 ), Berkhout ( 1980 ), Shtivelrnan( 1984,
1985) vb. birqok bilim adzunuu'konu tuerinde gthgrnalanolmuqtur.
Kirchhoff integrelfuiln gozillebilmesi ipin sollsuz yangapL bir yanm daire
tanrmlarur. Ancak bu tarumlanan kapah ytrzey iginde singuleritenin olmamasr
gereknrekledir. tsu nederrle aynalarna yontemi
kullamlarak kaynak noktasuun imajr
alurr. Sotxtz yangaptandolayr yanm daire yCIzeyiiizerinde dalga alaru srlir kabul edilir
ve intcgral eksi sonsuzclanarh sonsuzr uzanan gap gizgisi ttzerinde ahrur. Toplam alan
herbir dildem yilzeyinden gelen tepkilerin toplamr olacaktr. Anc.1k hesaplanralarclagok
kath yansrnralar hesaba katrlnramaktadr. Bu nedenle arayttzeylerdeyanslnra katsayrsr
Lupttk olmahdr. Herbir ara5{izeyarasndaki hz sabittir. Anatitik gtlztime ulagmak igin bu
ditzey tizerinde yensrma katsayrsrun sabit olmasr gerelcrnekledir. I{esaplamalarur
yaprlabilmesi igin hesaplamaduzeyi tlzerinde basrng verisirrin ve partikul hrz verishin
veyabasurgverisi nonnal turevinin bilinmesi gerelcmelfedir.
Bu yaklaqunlar gOzoniine ahndrSrnda"yontemin yo[un heterojen bolgelerde
etkinliSi azalmaktadr. Homojen kabul edilcn durgutr arayuzeyli zayrf heterojen
bblgelerdeve dalga kayragurdanbuyuk uzakhklardaki bdlgelerdeise olclukgaduyarhdn.
Burada yuksek frekms asimtotik gdztim iizerinde durulacaktr. Bu g6zom
"Defrigtirilmig ISar Meto&t ( ModiJied Rny Scheme = MRS ),, olarak
adlandnlmaLladr. A)mca buradakaynak alan harig, sadece
( ikincii kaynak )
etkisiyle olugan ikincil dalga al:uuru hesaplamaiglemi yaprlmaktadr. Yontemin ,laha ryt
anlaqrlabilnresi
igin Gaussve Greenteorernlerindenlcrsacabahsedilnesindeyarar vardu.
l8
3 . 2. GAUSS ve GREEN TEOREMLEN
'-
Homojen ortamda bir basrrg dalgasrun partikul luzr v, vektdr alam
A(x,y,z) ve rt birim vektor olmak {Eere Gaussteorenri aqagrdaki gibi
verilmekledir.
( v . d ) A v ,=
{_a.n.dt,
I(v.d)Lv,: I $a.na',
t
I
(3. l)
(3.2)
A.ri
du.
gekil 3. l. Kapahbir yttzeyesahiphacminkugukhacimlerebolunmesi
( Berkfiout1980'denalmmrgtr.)
Avi + 0 iken
{,oa)dv:{a.na'
(3.3)
olmaktadr. ( 3. 3 ) ifadesi Gaussteoremi olarak adlandrnlmaktB&r ( BerlJrout l9S0 ). d
kapah s yuzeyi uzerindedir. Kuresel simetri dunrmu dugunttldufitnde,
a(r) =
*,,
(3.4)
ohu. e tlzerinder = 0 merkedibir kure igin
f-
!A.rtds
dir. Veya *rm
= 4n
teoremineg6re
(3.5)
19
(3.6)
$o.utr)du=4n
vo
dtr. 4n deferi vo iginde r = 0 noklasrnda elde edilmektedir. Bu nokta alanrn kaynak
noktast olarak ahnabilir.
r = 0 ul dalil edilmedigi hacimde ise diverjansur hacim
irrtegrali srfir olur. Bu
Y.d(r)=0
r*0
(3.7)
geklindeifadeedilir. Greenteoremiigin d' vekt0ru
d= UYt:
(3.8)
olarakalndr[rrda diverjansr
V . d = U V " G + VUVG
(3.e)
olur. Bu deferler Gaussteoremindeyerine konulduklannda
IlrvzG+ vuvcl* = $ uvo.na'
(3.lo)
olur. Bu denklem l. C'rcenteoremininformttludur.(Jve G yer deSigtirdiklerinde
ise
d=GYU
( 3 .n )
olur. Yine dveYd de[erleri Gaussteoremindeyerine konulduklannda
J Iovzu+vcvuf* = $cvu.na'
(3.l2)
olnr.( 3 . l0 ) ifadesinden
(3 . 12) ifadesi g*artrldr[urda
I lrvzc- cvrufav= $ [ uvG- Gvul.nds
ifadesi ile 2. Greenteoreminin formulu etde edilir.
( 3.13)
20
dG
VG.ids =
dn
(3. 14)
dU
= --
vlJ.llds
(3. 15)
dn
iligkisindenyararlarularak2. Greenteoremi
tl
tl
uvtc- Gvzula,= $l,#-c!!1a,
L
dtr
dn
(3. 16)
J
ifade edilebilir ( Berl-hout 1980 , Yaramiurcr1986). Bunla 0 / ht s
ryeklirrde
l,0zeyinden
drryaclogrunonrrnldo[mltudnlli gradyentiifadc ehrektcdir.
J.3. S/NIR $ARTL,ARI YCIKI BOYUTLA GREEN TTONKSTYONL/INT
2. Greenteoreminegdre Uve Gskaler fonksf,oflasdan biri serbcstgesegilebilir
dururncladr ( Yararnancr 1986 ). G fbnksiyonunun seginri igin kaynagur
p( ro, zo) = p( ro) - po noktasmdaoLnasrdulmunda I{chnholrz denklemi
v 2 G + k z G= - t ( r - r o
)d( z-zo) =, - d( r-ro )
(3. l7)
ile ifadeedilh. Bu denlclemisaglayanG fonksiyonuiki boyutluortiunda
G__rr,o(kr)
(3. l8)
4"
du. Bu
ifade " Serbest Uzay Green Fonksiyonu " olarak tarumlanmaktadrr. Burada
Hf2)srfinncrdozenikinci tip I{rurkel fonksiyomr,i = J]i,
agrsalfrekansdr. r ise ( xo, zo )
k clalgasavrslve * = 3 Air. *
v
noklasr ile s ytlzeyindeki (x, z) noktasr arasrnclaki
uzakhktr ve
'--v I ( r -
r, )'* ( ,-- ro)'
(3.le)
ile verilir. Ancaksuur gartlannag0reGreerrfbnksiyonlanda de[iqmeHedir.Genelolarak
u9tip suur gartrvardr. Dahaonce2. br:lumdeagftlanchsrgibi birincisi s ynzeyiuzerinde
U - Oolmasrdununuyarri"Dirichlet srur qartr( katrytizeysrur gartr)", ikincisi s yrizcyi
2l
tlzerinde+ = 0 ohnasrdunrmuyani "Neurnarulsmr gartr( serbesty{lzeysrur gartr
)",
0n
tlgllncostlise s ytlzeyi
0 olmasrdunrmudurki buna"Kangrk
' 0 nttzerinde
"ry+BU=
suurgarb"denmekledir.Ancakpek fazlakullarulmamaktadr( Bleistein1984).
Bu qartlansaflayanGreenfonksiyonlanaynalarnaydnterniile bulunabilmektedir
( Yaramancr
1986).
p ( r o , z o ) =/ r o
/i'
p(*0,"')= Pi
$ekil 3. 2. Greenfonksiyonlanigin koordfuratsistemi (26 = -zJ.
Dirichlet suur gartuu sa$layanGreen fonksiyonu, po daki bir kaynak ve omrnla
ayu fazdaolan s yuzeyineg0re uygun imajr pj deki bir kaynak tamfindan ilretilmektedir.
Uygrxr Helmholtz denklemi ise
v t G + k z G= - d ( r - r o ) 6 ( r - z o ) - t ( r - x o ) d ( z - 2 ) ( 3 . 2 0 )
dr. Bu denklemqugekildedegOsterilebilir
vzG + kzG= - 6(r-ri ) - 5(r-r{)
(3.21)
Bu denklemingOzomtlolan
G=-+|-4')(t,)
* Hf')(or')f
4L
v \
(3 22)
n4
ifadesi ile "Katr Yttzey Green fonksiyonu "elde edilir ( Kuln and Alhilali 19'17,
noktasr
Shtivelman1984 ). Burda r', (xs, z{ ) noktasr ile s yttzeyindeki (*,
")
arasrndakiuzaklrktrr ve
lt\')
(3.23)
r'-- | (r-ro)- + \z-z'o)-
r = r', ry = ry= 0 ve + = 4 OO
ileverilir.Bruugdresyuzeyfurde
0z
0z
0z
0n
Yine srurdaNeumarnsrmrqarhrusa$layan"serbestYuzeyGreenFonksiyonu"
'
ise po daki bfukaynal ve onunlakargrtfazdaolan s ytlzeyinegoreuygunimajt pi deki
bir kaynaktamfindanuretilmektedir.UygunHelmholtzdenklemi ise
v 2 G + k z G= - d ( " - r o ) d ' ( z - z r ) + 6 ( x - r o ) t (
z-;tr) Q-24)
dr. Bu denklemqugekildedegosterilebilir.
vzG+kzG= -t(
t-r)+
6(r-ri)
(3.25)
Bunung0z{Im0ise
G- -;i4')(*,) -44(o,')l
e26)
olmaktadrr( Kuhn andAlhilali 1977,Shtivelman1984). Burdas dozeyinder = rt ve
G = 0du.
3.1. MRS iTCAKUSTIK DALGA ALANI HESABI
!r
Yatayeksen:<,aqafryadolnr pozitif dugeyeksenz, u = u( x, z, t ) basmgalaru,
v = v( x, z ) basmgdalgasrhm f = .f ( *, z, t ) kaynakfonksiyonuolmakuzere( 2. 8 )
ifadesiile verilenakustikortamdaiki boyrrtlu dalgadenklemiyenidenyaalrsa
02u
-0 2 u= + -.------:
= -I -d z u -.f
6xz
oz2
v' ot'
&r. u vef fonksiyonlannrnspektnrmlanise
23
= + T,(r, z,t)e(-*)
dt
ltt
U(r,z,w)
!_
F(x, z,w )
=
t?
dt
t)e(-*)
* !_r(*,2,
( 3 . 2 1)
(3.28)
ile ifadeedilmek:te<lir.
BunagoreHelmholtzdalgadenklemi
vzu+k2[.]= -F
(3.2e)
du.(3.29)denkleminingoz{imuigin
0ncea=Z Elbisabitbirdttz"ysegilir.
z<ZtJst
yan dttzleminde(o,Z) orjinli bir yanm daire olughrrulur.Bu daireninyBngBprsonsuz
kabul edildi[inde, Rayleigh- Sommerfieldyayrlmagarhnagore, r -+ iken s yozeyinde
"o
U = 0 olmasrgereklili[indenyararlanarak
yarrmdaircninyayrtlzerindealanihmal edilir (
Bleistein1984). BunagOrez= Z dllr,eyigin ( 3. 16 ) ile verilen2. Greenteoreminde
hacim integrali alan integraline,ylJzeyintegrali de gizgi integmlinedonugur.2. Green
teoreminineldeedilen iki boyutludunrmukullamldr[rndaise
]a,= Il u,+dz -c"!*1*
J I uvzc-Gvzu
az I
(330)
-@ L
z(Z
olnr.Brrda U, ve G,, z = ZdttdemiboyuncaU ve G deferlerinigostermekfedur.A
I AZ,
z=Zde normalt0revigOstermektedir.
Yine z=Z de x=X olarakifadeedilir.z < Z
bolgesindekiherhangibit A noktasrigin ( 3. l7 ) ve ( 3. 29 ) ifarteterindensrasryla
VIG , V2U egitlikh"i ( 3. 30 ) dByerinekonulduklannda
Ioods
,(Z
- u(to,rr,*)
=i[u'#-o,#f*
(3.3r)
olur. U( xs. zn, w ) bir tarafagekildigindeise
-,1
r
U(xo,zo,w)=
f
lGFds-
z(Z
i.l''#-o,#f*
(i.32)
elde edilir. Bu ifade iki boyutlu dunrmda " Kirchhoff Integrali "olarak bilinmektedir(
Berklrout 1980 ). Yuzey integrali s yuzeyi uzerindeki tum kaynaklann katkrsrm
gostermektedir.Ytlzey ttzerinde loynak olmadrgr durumda yuzey integrati slfir
olmakf,adu.Yine tum kaynaklars yuzeyiuzerindeise o zarnangizgi integralininde[eri
24
srfir ofunak'tadr. Yiirey tizerinde kaynak olnradrgr katrulu ile ytrzey integrali ilunal
edilerekU dalgaalaruspektnrnrugizgi inlegrali cinsindengu gekildeithcleedilebilir.
u(*,,zs,w)=
TIu"
+-6"N;lar
dZ
AZ J
1.1
(33:)
Ru ifhdeKrilrn rurdAlhilali ( l9?7 ) tarafrndan" HelnrholtzConstructionLrtegrali"
olarnkndlandrnlmaktadr.
p.,noktasmdaki
dalgaolaruspekhurlrunu
bulnralrigin ( 3. lB )
ile vcrilenserbestuzayGrecnfonksiyonukrrllaruldr$mda
=;
u(*o,zo,w)
ilr,rtp
- Hdr(ki
#1,x (334)
olur. Burada
r= I (f,-r.,)' n (z-ro)'
(3.35)
dir. s yuzeyittzerindebir kaynakoldugukabuledildi[ilrde ise
- 4r(orl
!*1 *
u(*0,zo,
w)' = (r + : TI u"an[DLt'r)
u,
+xL
dz
az j
(3.36)
olmaktadr.(D,kaynakalnnspcklrumudurve
(s= -+forf'r(kr)ds
4
',-
(3.3i)
t(L
ile ilade edilmekledir. Kayrrakfonksiyonu spektrunu
P=
- d(r-ro)d("-ro)
t3.38)
olaraksegildifinde
o - - !. a[D1*r1
4"
(3.3e)
25
olnraktacln. Burda sadece ikincil dalga alruu ile grhqrlch[urdan kaynak alan ihnral
edilnrektedir. (3. 34 ) ifadesiherhangibir (x, z) nohasr igin ifade edildifinde
aal\( t'\
trr(x,z,w)
T |-". !irY'
' = ,r J*L
-
'Ir\'
-r
(*\ !:;
(340)
"1"
lo*
J
olur. Burda r, \x,z) noktasuram(x,z)
noktasmaolan 'zaklrktrr ve
,=Wf
(3.41)
ile verilir.
Frekansortarnurdanzflnan ortamru gegnrekigin Flankelfbnksiyomrminintegral
ifadesikullarulabilir ( Shtivelman1984).
i
,.,t-..,
_ :_ IA"tl v,t, 1 _
, . r /)
4
I I s ( r - r , ) ( _ n ,t \
:r=.-:
dt
;:z . n |! , " J r r _ r 1c,
( J. 42 )
/
Burda t, = L ve ,s( t ) birirn basarnak fonksiyonudur.
\,
s(r)= {o 'rio
Ll,f >0
(3.43)
ile tarumlanrnaktadr.(3. 42 ) ifhdesirrintiirevi ahnchsrnda
_ 1 a*r(wt)
4 i-
2-,
-_
_ ,iw
. . , _T
I
,
? / r ( t - t ) ,e\-*),rt
(3.44)
i; l_-iTf
olrrr. ( 3. 42) ve ( 3. 44 ) ifadeleri ( 3. 40 ) daysllsrine konulcluklannda
.#i
(3.45)
#u(m)o'f*
26
olur. Bwda parantezigindeki ilk integral ifadesinedikkat edildifinde
s,( t) =
(3.46)
ifadesinin ftekans ortamurdakispektrumuoldu[u gdr{llur.S, ( r ) ise znnranortamurda
serbest
ytlzeyGreenfonksiyonudur.
kinci integralifadesinin
ise
g^(r)= "(titJ
( 3 . 4 7)
-t:
4 t"
ifadesinin frekans ortamrndaki spekhumu oldugu gorttlitr. Sn( r) ise zaman ortammda
katr yuzey Green fonksiyonudrn ( Shtivelman 1984 ). Yine iwU, ifadesinin r;arntn
ortamurdaki karqft$ *
0t
a".Bu
bilgiler rgrgnda ifadenin geneline bahlrsa
zsm$r
ortamnda bu ifade
u(x,2,,)=
*!.lT#*r,*
#.r^f*
(3.48)
olur. * iqaretikonvoluqyon.iglemini
ifadeetmeltedir.Bu konvolitsyoniglemleriayn ayn
tarumlandr$rnda
r( )c,z, t ) iki fonksiyonuntoplamrolarakyazrlabilir.
(3.4e)
U=UF+UR
U 'p
=
lI ,
=
I
"lo
"2n
-
I
!"(?#.,,)*
(3.50)
!-(#."^)*
(3.sl)
olur. ( 3. 50 ) integraline" SerbestYtlzey Integrali Free SurfaceIntegral : FSI ) ,'
I
!!t
denmektedir.
FSI igin z = Z scrbest
=0 dr. ( 3. 5l ) integralinede
yuzeyi
ttzc:rinde
'az
" Katt Yuzey Integrali (Rrgit Surfacc Integral : RSI ) " denmekledir. RSI iqin de z = Z
katr yuzeyi uzerinde u, = 0 dn ( Shtivelrnan 1984 ).
2',1
Kah y0zey Greenfonksiyomnag0re z = Z ytJr.eyitlzerindedahaoncedende
ve U, =0 dr. Herhangibir (x,z) noktasmdaki
dalga
sdylordigigibi r=r', ' d+=0
z
alarunuUkatr yuzey Greenfonksiyomur,agore, ( 3. 33 ) ifadesi ile hesaplampkaynak alan
spektrumununda eklenmesidurumunda sonug,
u(*)(,, z, w ) =
q)'-'
j
iq',o,)#*
(3.52)
ile verilir. Burda O' kaynagrnaynaimajr spektnrmudurve
-
0'=
,
f
lt\,
(3.53)
. lFIl;"'(kr')ds
4
"iz
ile ifadeedilrnektedb.r' (3.23) ifadesiile tarumlanmaktadr.
Serbest yuzey Green fonksiyomrna gdre z = Z yLtz-eyi{lzerinde da}r,aonceden
belirtildigi gibi r =r',G,=0ve
idi. I{erhangi bir (r,z) noktasr igin dalga
+{
dZ
alarutult, serbestytJroyGreen fonksiyomyra gdre, ( 3. 33 ) ifadesi ile hesaplarupkaynak
alarun spekkumumm da eklenmesidunmunda sonug,
rlq(r,z,w)
-
O'+*
,
2
7 u.
*dz
a*q(tcr)
o*
(3.54)
ile verilir. Ancak sadeceikincil alanla gahqildrfmdan<D'hesaplanan
dalgaalamndan
grkanlr. (3. 52) ve ( 3. 54) ifadelerinintoplamuunyansmrnda"dalr,a
onceden
bulunan(
3. 34) itbdesineegitoldugugorolmektedir.
Bruragore,
U_
I
2
( uu,* u(-))
(3.s5)
dir. Ayru zamanda( 3. 52 ) ve ( 3. 54 ) ifadeleri ( 3. 29 ) Helmholtz denkleminin
gOzUmudUrler.
Bunagorez ( Z bolgerinde,
u(.) * u(-)
( 3.56)
dir. U(.) .rr"U(-) nin zamanortamrrdaki ifadeleri srasryla uRve urile iligkilidirler.
28
u(*)- {+2u^
(3.57)
uQ--f+2u,
(3.58)
( Shtivelman1984, 1985). Burda /' kaynagrnzarnanortamrndaaynaimaj alamdr.
Son dunrma bahldrfiurda z ( Z bolgesinde ikincil dalga atam RSI veya FSI
yollanndan biriyle hesaplanabilmektedirve bunun igin de +
*yu !*
6t'AZ
bilinmesi gerekrne*tedir.
O^bidnin
3. 4. I. htegrasyon Limittarinin Tantmlnmast
uFveun integrallerinin sayrsalolarak hesaplanabilmeleriigin onemli bir husus
integrasyon limillerinin tarumlanmasr gereklili[idir. Bu de[erler zarnan ile dofrudan
iligkilidirler. Bumrn Lgn z=z
z < z bolgesindeki herhangi bir (r,z)
noktasmadnlga alarumn ilk gelig zamalu fo ,
to=t,(x=x)=(+)
(3.5e)
ifadesiyletarnmlarur.Kayrtzamamise
T=t-to
(3.60)
ile tammlarur.T^o maximumlcayrtzamaruve [r-AX, r+lx]
integrasyonbolgesi
olaraktarumlandr$rnda
ise, X = x* AX deki kaydetmezarnarurunt0+T; r atmamasl
gerelcrne}ledir.Buna gore
* r^-)'
t" *(g
( v )I,(,0
""
(3.61)
veya
AX<
(tr+r.-)'-t!.
olmahdr. BurdaAX deferi f-
deferinebaghdo.Ayncaf*
(3.62)
degeri
29
T^ (( 2to
(3.63)
olnrok segildifinde krsa dalga boylu veya ytlksek frekruu asimtotik gozurn elde
edilmektedir. Bu qekilde elde edilen g0z0m MRS olarak adlandrnlnraktadr ( Shtivelman
1984,1985).
3. 4. 2. ilF ve u^'nin YenidenDflzenlentnesi
uF ve uR t nin hesaplanmasmdae = Z boyuncaher x nolctasrigin konvolilsyomrn
hesaplanmasrgerelti$inden bunun yerine Onc€ x e gore integralin hesaplarup sonra
konvolos'yonigleminin yapilmasr, iqlemleri biraz dahabasitlegtirmektedir.
r ( 0 oldufunda ,,( r ) = 0 oldu8u gOzt]n{rndebulmdunrlarak iki yeni defiqken
agafrdaki gibi tanrmlanabilir.
0u.
oo = -A, *8r
=
i au"(t-") -ffi-
t, a,
0u. *8.r = ' f a u " ( t - r )
=
on
AV
l, dz
rdr
(3.64)
,l lt'-t: )
dr
(3.65)
rr---:----:-T
)
l\/-t:
r kaymamiktan, t, iae(X,Z) noktasnd* (r, z) noktasna vang zamarudr.
T=t-t"
T^=t,-t,
(3.66)
€=r-t,
yerd deSiqkenlerolarak tarumlandr[urda
oF=
I
,l ?t,
T-T
J
0
ou,(r-q-6) - 4 * t ,
0t
_ p;a"s
n'1l.''4)
IF
ll
r
r
h
uo
I
(3.67)
30
uP
"
-F:
-
I
r-7,
J
I nt
1LI,
ou,(r-r, - t)
U
:-T-.
j'{['.;
d4
(3.68)
)
+2t, = I olw. Bu gartherbirf,ve r, igin
olmaktadr.+ Kt kabuledildilinde'f7-t,
\l
gosterildiginde( 3. 63 ) qarhsaglanmakladr.
Integralintlst smrn T - T, yerine 4.- segilebilir.Bunag6re( 3. 67 ) ve ( 3. 6g )
denklemleriyenidenduzenlendifinde
_T_ €)
n = I y au"(r
fi s,
lSdE
"n ,1zq
d,
I
-.FT
au"(r-r, - €) d€
dt
I h ou,(r-\-il a6
"n=Wl
(3.6e)
,E
v5
(3.70)
dz-E
olur. ro ve nn deki katrayrlarla birlikte erasryla aF ve aR nin bir krsmrruda igine alan
yeni de$igkenlerire gu gekilde tarumlanabilir.
fr)
l+I'
'.;*
t
=
,!* r[T
'*y
/^\
T
0u,(f-f,)
Z-z
r'
*,'=.f{t-?--z _ ,
dt
du,(f _f,)
at
au'(r-r,)
*r" ='*f :
,!6y ,l 2t,
dZ
*
dX
( 3 . 7 1 -a )
dx
(3.71-b)
(3.12)
Bu ifadeleruygrmgeomehikselagrhklandrma faktorleriile ve d gecilanezamanlanyla
0u:.-r
z = Z boyunca
ve $
Ao"yrel
- - - J - - - -kaynaklar
tarafinclanilretilmig dalga alanlanmn
'
0t
dZ
3l
toplarrndn ( Kuhn and Alhilali 197?, Shtivelman 1984 Bu duruma g6re urveu^
).
yeniden gu qekilde tarumlanabilirler.
Lr
ur 7
d€
*'l-'ltr'-€)Jf a€n J .}:'(r-€) --r:
(.37
. 3)
d€
+ J'-(r-t)l 5
(3.74)
f
lt\t
l,
0
1b
tTn
an7
0
Burda f konvolusyoniglemiigin zamandakaymanriktanclr.
Sonug olarak z=Zdirzey boyunca *t
**
!2
deAerlerbrinbilirrmesi
dt'AZe
dunrmundaz( Z bolgesindeikincil dalgaalaru, (3.73 ve ( 3. i4) ile, verilen sinyalin
)
arimtotik geklini tarumlayankonvolusyon integrallerinden birini kullanarak u veya uR
F
hesaplandrktansonra bu sonuglar hesaplananifadeye gdre ( 3. 57 veya ( 3. 5g
)
)
ifadelerindeyerlerine konularak bulunur.
J.s. + ,* 4 DEGERLERININ
HESAuLANMAST
0t
dz
Yontemin uygulanmasrigin kullalulan kaynak , kqrnak alan ve kaynafn verildigi
dttzlem sonlu farklar metodrurdaki gibidir. Anc..rk burda uygularnaya baqlarnak igin
#
,"tt
#
deferlerininbilinmesi gerekrnelteclir.
Burcla z = z dilzeyr olarak
araytlzeysegildi$inde
aray0zey
ozerindebu de$erlerinhesaplanmasr
gerelanetledir.
a"*oteri iguq araytizeytizerindekaynakalarun r;arnanagore
t{lrevi alrrur.
ff
Kaynakalanfonksiyonu
= li Ok - t,)
n(o)
(3.75)
ile ifade edilmekte idi. Krsaca hatrlatrlnsa, burda gl kaynnk fonksiyonu, f, kaynak
dalgacr[run, verildfti noktadan kaynak alarun heeaplanacafirnoktaya vang zamamdg.
Bu zantan uygun rgrn yolu boyunca hesaplanabilmektedir.R ise yansrma katsayrsrdu.
Kaynak olarak Ricker dalgacrfr kullarulmaktafu. Bu da ( z. s6
) ifadesi ile
tanrmlanmaktadu. Kaynak alalun zamana gore tilrevini almak iqin once
kaynak
fonksiyonumrn r:rmur gdre tilrevini almak gerelrnekledir. sonug olarak,
32
-R e-o(,-,')*r(zo"f(t* t,))+zo1rn(zn1(tr,)]
[.,
+:
( 3.76)
ile ifade edilir. z = Z dllzlemnae$
, yine kaynakalarunZ' ye gbret{trevialrrarak
dZ
bulnnnr.KaynakalanZ' ye g6retanrmlandrSrnda"
,io)=R
dlt-(z-r)lrl
G.1'.r
)
olmaktadr. Ttlrevi ahndr[rnda ise
#=lol,-(z-,)l,l
(3.78)
t/n\
_R tt.
-0-u: -, ' " ' =
- Q \ t - t , )\
oLv
olarakbulunur.
(3.7e)
J-t
4. ttrELEz ( HyBRiD ) yoNTEt|,r ile irt BOYLTTLIT AKUSTIK DALGA
.4L4NI HESABI
,1.I. YONTIIMTN TANI]UII
Giriq bolumtindede anlahidrgrgibi, Iki boyu11,r
heterojenorlanlarcla clalgaalaru
hesaplarna yontenrleri analilik ve sayrsal yonternler olnrak tizere iki gmpta
suuflzurdnlabilirler.I{er iki grup da nvmtaj ve dczrvzurtajlara
sahiptirler.Bu nedenleher
nrodeleait ozcl dununlar igin segilen en uygun l-resaplruna
yontemi kulftuuir. Ancirli her
:zanlannrodeleuygult bir yOntembulunalramaktadr.
Llu durumlnr igfurytlntemlerin err etkin oldufu bolgelerdeuygulannrasrile birden
f.rzlagodlnr y0nterniniigeren"Melez Ydntent" geligtirilmigtir ( Shtivelrnan1984, 19S.5).
Bu ydnterrtinana tizelli[i dalga alaruhesaplamaiqlcnrilrin iki ayn iglenrebriltinerekelde
edjhnesidir.Bwra gorc,
,l- Secilenmodelde arayiizeyinhemen iizerinde karflrlastrnlan e = Z eibi )'atav bir clUzlern
boyuncaikincil dalga akuuun clde edilisi : Bu iglem FDM ile tarumlaiinraktadr. Fl)M,
dalgadenklenrlerirxleve rumrrqartlanndabulunantorevlerin basit sonlu Farklarithdelerini
kullanarakgdzne yaklagmudrr.FDM iki boyutlu nrodellerde dnlgaalarruuntam ifaclesfuri
venrtelcledir.Bturunlabirlihe dalgakaynafrndiurgOreoclolarakbuyrrkuzaklklarda FDM
nin etliisi, hesaplanrazunanuul artmasrile dofrulu[unwr azalrnasrnflnedenolan sayrsal
dispersiyon etkilerinden clola;n etkin bir gekilde azalrnaktadr. Surekli ortama aynk
gridlerle yakla$rmyaprldrgr igin gridler kaba olursa sisnrik yarutlar dasrlmaHadr. I3u
nedenle FDM ikincil dalga kaynagurayakrn bolgelerde dalga alaru hesaplamalan igin
etkilidir. Girig olarali arayrizeyiizerindeki kaynak alann degerleri k'ullamir. Sonugolarak
z: Z dthlenri boyuncaikincil dalgaalam ve bu alruunnonnal turev de[erleri eldeeclilir.
2- e = Z dttzleminden daha yukandaki bir dttzleme veya ]ruze)'e ikincil dalga alanuun
indirgenmesi . Bu iglenr de Green teoremfurdenyararlanarak elde edilen Kirchhoff
inlgrgralininasimtotik goztlnt{rre dayananMRS ile tarumlanmalladr. MRS hornojen
kabul edilen anytf heterojen bolgclerde ve dalga kaynafrndan buyuk uzaklftlarc]aki
bolgelerde oldukga duyarhdrr. Hesaplzunalam ynpll4bilrnesi igin hcsaplarna ditzcyi
0ircrinde partikrtl luz vcrisirrin vcya basurg verisiriln nonnal tiirevinin bilinlnesi
gerekrnel'ltedir.Giriq olarak z : Z yatay durlenii boyrnca FDM clan elde eililen dalga
alanttrn normal ttlrev de$erlerikullamhr. Sonugolarak istenilendttzlerndekiikincil clalga
alarude[erleri eldeedilir.
34
4. I. 1. FDM ile lhincit Datgo Atorurun Normst rilrevinin
Elde Editifi
Yer modelinde kararlaqtrnlanherhangi bir duzlemdeFDM ile ikincil dalga alaru,
bolum 2'de de anlatrldrfrgibi, genelolarak(2.29), (2.36) ve ( 2. a0 ifadelerindenve
)
srurlarda uygulanan0zel ifadelerdenyararlanarakhesaplanabilmekledir.
Bdhlrn 3'de de anlatrldrfr gibi MRS ile clalgaalaruhesabryapabilmekigin giriq
olarak kaynak alarun zalnana gore turevinin veya z' ye g6re normal tiirevinin
tarumlanmasr gerekrnekle idi. Buradaki arnac$ g6re z : Z dltzfemrnde FDM ile
hesaplanandalga alarurunnormal turevinin hrllarulmau gerehneltedir. Buna g6re l'DM
tle Z-lveZ
+l dodemleri tDerinde hesaplanandalga alanlanndanyararlanarakz = Z
dttzlemindeki dalga alarumn normal ttlrevi merkezcil fa* operat6r0 kullarutamk
hesaplanabilir.Bu
oun,r,o -
0z
Un,Z+l,k-
Un,Z-t,k
(4. l)
2 A,x
ile tammlanmaktadn.
4. I. 2. MRS ilg z = Z Dllzleminden
Alnrurun Indirgerunesi
Duha
Yahwdoki
Bir
Dilzleme DalSa
Dalga alarunrnnormal ilrev deSerlerigiriq olarak ulrup ( 3. Tl-b ( 3. ?4 ve (
),
)
3. 57 ) ifadeleri kullarularak z < Z bolgesindeki herhangi bir dilzleme ikincil dalga alarn
indirgarebilir.
Sonuqolarak FDM ile, yosrm heterojenolan z t Z bolgesinde, arayuzeyinhemen
{lzerindeki z : Z dttzleminde dalga alam hesaplandrktansonra MRS ile, zayrf heterojen
kabul edilen z < Z b0lgesinde, aray0zeyden uzaktaki bfu dttzleme dalga alaru
indirgenme*;tedir. Buna gOreMelez Ydntem, analitik ve sayrsal dalga alaru hesaplama
ydntemlerinin bilegimidir. Aynca goztlnr algoritmasr da zamambolerek uygulama imkffu
verme}ledir. Ydntemlerin en etkili oldu[u bolgelerde kullarnlnasr ile karmaqrk ve
derinde olan bir yer modelinde diger iki yontemdendah,aetkin bir sonugvermektedir.
35
5. AYGALAMALAR
Uq farkh y0ntem ile hesaplamalara baqlamadan once jeolojrk model gnd
aralklanna g0re aynklagtrnlmrq olarak tarumlanmahdu. Grid dispersiyomrru 6nlemek
igin grid arahklanrun buyttk segilmemesigerekir.
Ikinci adrm olarak kaynak ve kaynak alamn tarumlanmasr gerekir. Burda / = 0
zamanrnda dnlga cephesi arayuzey ile eqlegen dugey yaFlan bir dttzlern dalga
kullamlmrgtr. Kaynak dalgacrSrolarak 50 FI/ lik Ricker dalgacrfr kullzuulmrgts.
Modeller iki homojen ortamt de[rqik geometrik gekillerle birbirinden ayuan bir
araytizeyden ibarettir. Ttim modellerde birinci ortamrn lua v, = 1000 mf sn, ikinci
ortamn Inn v, = 3000 m/sn olarak almmrgfur.Modeller dugey yonde N : 40 ve yatay
ydnde M : 40 birimden olugan kare matrislerle taumlanmrgtu. Sadecemodel 14' de
N: 46 olarak aknmrqtr. Aynca modellerde e$imli yuzeylerin yataylayaptrklan dar agrlar
( B agrsr) verilmiqtir. Butun modellerin dalga alanlan FDM MRS ve Melez yonteme
gore iki farkh dttzlemde hesaplanmrglardr. Birincisi araytrzeyin hemen Az kadar
tlzerindekiz=(NlZ-t)U=
lgAa dtlzleminde"ikincisi ise arayuzeyden
l0& ygkandaki
z = l0[z duzlemindedir.Yery0zlt dttzlemindehesaplamayaprlmamaruunsebebi,FDM
da hesaplamaigin gerekli zaman boyutu ve MRS' de herbir r de[erindeki konvolusyon
iglemi sonucu igin gerekli zfinan boyutunun kullamlan bilgisayar kapasitesinin drqrna
taqmasrdr.
Model I
$ekil 5-la, iki ortiamt birbirinden ayran yatay bir arayurey modelini
gostermektedir. z = lg[e dttdeminde FDM ve MRS ile hesaplanancJalgaalaru kesitleri
gekil 5-lb, 5-lc ile z=loLz dttdeminde fDM MRS ve Melez Yontern ile hesaplanan
dalgaalarukesitleri ise gekil 5-ld, 5-le, 5-lf ile verilmektedir.Burada Lr = Az= Z m ve
Al = 0.00046sndir. Bu kesitlerdegu dalgafazlan gorulmektedir:
Rnn, AA' araynzeyndenyanstma
Rin,
R r,'mn z = 0 d0zlemindentekrar geri yansrmasr
t = 0 zamarunda dalga cephesi araytlzey ile eglegen
ditzlem dalga yansrma
katsaytsroraruyla aqa$rve yukan doEnr ilerler. FDM da hem
Ea[r hemde ygkan doFu
ilerleyen dalga alam hesaplanmaktq MRS'cle ise sadeceyukan dogru ilerleyen yansma
dalgacrklan hesaplanmaktadr.
Ug yOntemlehesaplanandalga alaru kesitlerinde aray0zeydengelen .R
r, y{lnfrma
dalgasr etkin bir gekilde gOrtilmektedir. FDM ie z = l0Az dilzlemi igin hesaplanan
kesitte jt r dalgasuun z = 0 dildeminden telcrargeri yannnrasl sonucuolugan Rj, dalga
36
Iluuun bir lcrsmr da g0r{llmektedir. Aynca bu kcsitte dispcrsiyon olayurdnn dolayr
dalgacrsrngeniqledigigorulmektedir.
Model2
$ekil 5-2a, duqey fay modelini gdstermelledir. z =l9Vz cliizlemindeFDM ve
MRS ile hesaplanandalga alarukesitleri gekil 5-2b, 5-2c ile z = lOLz dtizlemindeFDM
MRS ve Melez Ydntem ile hesaplanandalga alarukesitleri ise qekil 5-2d, 5-2e,5-2f ile
verilmektedir.Burada Lr= Lz=Zm
ve Af =0.00046sn dir. Bu kesitlerdegu dalga
fazlan gorulmektedir:
R^n,
AA' trayt)znyudengeleny&rnuna
Rro,
BB' araytDeyindengelenyansrna
R'nn, Jtrr,'ntln ycryUzUdttzlemindentelaar geri yansrmasr
DA
A nokiasurdaki sagdnra
Da
B noktasrndakisagrlma
Di
B noktaemdakiragrlmarunA noktasurdaikinci kez sagrlmasr( ikincil eaprlma
)
A nohasmdaki sagrlmanuryeryOzudttzlemindengeri yarurmasr
D)'
D'B
A noktasmdaki sagrlmanurB noktasurdaikinci kez sagdlnasr
z = 19Az dttzlemindeFDM ve MRS ile hesaplanandalga alam kesitlerinde qunlar
gOrulmektedir:Her ikisinde de Rnn,ve .Iirr, yansrmalan, A noktasurdaki D, sagrlmasr
g0r0lmektedir. Aynca FDM kesitinde R ' yansrma dafr*trun A noktasrnda sagrlmaya
ugramasrsonucuDj, ikincil mgrlmadalgasr,.l?rr,yansrmaclah?sfuneagrlmaya
uframasr
sotlucu B no*fasrnda Dj ikincil sagilma dalgasr gorulrnekledir. MRS kesitinde ise
yansrmalar ve DA sagrlmasr drqrnda birde B noktasurdaki DB sagilma dalgasr
gdrilmektedir. Ust yuzeydengelen yarnuna dalgasuunzayrf olmasrrunsebebi,hesaplarna
dilzleminin bu ytlzeyegok yahn olmasrdr.
z=IOLz dtizlemindeFDM, MRS ve Melez Y0nteme ait dalga alarukesitlerinde
qunlar gortllmektedir: FDM kesitinde yukandaki dalga fazlan drgrnda birde bu dalga
fazlanrun yery0z0 dudeminden telrar geri yansryarak hesaplama duzlemine ulagmasr
sonucu 1?j1 yansrmadalgasrve D)' saprlmadalgasr goritlmeLledir. Bu kesitte ozellikle
yuksek frekanslardasaytsal dispersiyon etkisi gorulmektedir. MRS kesiti, z=l9fsz
dudenrindeki kesite ait dalga fazlan gorulmektedir. Ancak ost yuzeyden gelen yarurma
dalgalan ve sagilmadalgalan dahabclirgindir. Melez Ydntem ile hesaplanandalga alaru
kesitinde yanslma ve sagdmadalgalan goriilmektedir. Bu kesit z=l9yz duzlenrinde
hesaplananFDM kesitine benzemektedir.
Kesitler karqrlaqtmldrSrndaise z= lgAz dtizleminde FDM kesitinirL z=lA1z
dttzlenrindeMelez Y0ntem kesitinin dahaetkin sonugverdigi gortrlmektedir.
37
ModelS
$ekil 5-3a -30' efimli ( F : 30' ) normalfay modelinigostermekt
sJtr.z = 19Lz
dttzlemindeFDM ve MRS ile hesaplanandalga alam kesifleri gekil 5-3b, 5-3c ile
z= lALz dozlemindeFDM MRS ve Melez Ydntemile hesaplanan
dalgaalamkesitleri
ise $ekil 5-3d, 5-3e, 5-3f ile verilmektedir.Burada Lr =z m, Lz= 1.25m rre
A/ = 0.00035sn
dir. Bu kesitlerdegudalgafazlangor0rmerteclir:
Ron, AA' anytJzeyuden
gelenyanslma
Roo, ^BB'aray0zeyindengelenyanstma
Rn,4^BeSimliarayilzeydengelenyansrma
R)n, Jt r,' nonyeryfirtidttdemindentelaargeri yansrmasr
RLo, Jt r,'n{ln yery[20dUzleminden
tekrargeriyansrmasr
Rk
R,"'nin yery0z0d0deminden
tekrargeriyansrmasr
DA Anoktaendakisagrlma
DB B nolrtasmdakisagrlma
z = 19Az dudemindeFDM ve MRS ile hesaplanan
dalgaalamkesitlerindegunlar
gdrt[mehedir: Kesitlerde ilgili dalga fazlanru gormek oldukga kolaydr. l-17. izler
arasmdaR r, yansunadalgasq?3-4A.izler arasrda R yansrmadalgasrg6rglmektedir.
'
FDM kesitindeAB efimli yilzeydengelen yansma 17-23.izler anasurda
tam olarak
g0ri[mektedir.MRS kesitindeise A ve B noktalamdaki D^ ve D, sagrlmadalgalan
g0rtllmektedir.
z=l0[z dtlzletnitrde
F:DM,MRS ve Melez Yontemile hesaplanan
dalgaalam
kegiflerinde $rurlar gdrtilmektedir: FDM kesitinde model kendini net olarak
g0sterebilmektedir.
Ancak dalga alarurunyeryuzuduzlemindentelcrargeri yansrmasr
sonucu R'^n,,Rio, ve R'* geri yarumalan gOrtilmektedir.Bwrun sebebiornekleme
arahSm,a
ba$h model boyutununkrsrth olmasrdn.Aynca disperriyonolayrnrnetkisi de
g0rtllmektedir.MRS kesitinde egimli ytlzeydengelen yansvna 2A-23.izler arasmda
g0rtflmehedir-Melez Y0ntemkesiti MRS kesitinegok benzeme]tedir,ancakbu kesitte
esimli ytlzeydengelenyansrmadalgalandul,utyt gOrttlmektedir.
Model 4
$ekil 5-4qr-60"e[im[ ( F = 60' ) normalfay modelinigostermekteclir.
z = lgLz
duzlemindeFDM ve MRS ile hesaplanandalga alaru kesitleri gekil 5-4b, 5-4c ile
z= l0L'z d0zlemindeFDM MRS ve Melez Yontemile hesaplanan
dalgaalamkesitleri
38
ise qekil 5-4d, 5-4e, 5-4f ile verilmektedir. Burada ar = l.zj ffi, & = 2 m ve
Al = 0.00035sndir. Bu kesitlerdegu dalgafazlan gor0lnrekteclir:
Rnu, AA' xaytJzeynrlengelenymstmB
Rra,
BB' arayltzeyurdengelen yanstma
Rn
lAefimliarayiizeydengelenyansrma
DA
A noklasurdaki sagrlma
DB
B noktasrrdaki sagrlma
model 4, model 3 ile apu olup agrlan farkhdr. Dolayrsrylamodel 3'de g6r0len
dalga fazlannur go$u bu kesitlerde de gortfmektedk. z= lgAz duzlemine ait MRS
kesitinde saqrlma dalgalan daha belirgindir. Brma kargrlrk FDM kesitinde egimli
yiizeydengelen yansrmadalgasrbuyilk agryaraSmentyr bir gekilde gorulebilrnektedir.
z = l0[z ditdemindeki FDM kesitinde dispersiyon olayr nedeniyle model ryr bir
gekilde g0rtflememektedir. Bu etkinin daha iyi anlaqilmasr igin model I in aym
dttzlemdeki dalga alaru kesitine bahlabilir. MRS kesitinde sagrlma dalgalan etkin bir
qekilde g0rttlmektedir. Bu kesitte efiimli yilzeyden gelcn yanslma dalgasr
gor0lmemektedir. Melez Y0ntem kesitinde sagrlma dalgasr ve egimli yuzeyden gelen
yansrmadalgasrgor0lebilmektedir.
Bu d{ldemde hesaplanan FDM, MRS ve Melez Ydntem karqrlaqtrnldr[mda;
FDM un dispersiyon olayr nedeniyle istenilen dalga alamu vermedifi, MRS' in ise
efimli y0zeyden gelen yarxrnayr vermedi[i buna kargrl* melez y6ntemin sagrlma
dalgalanyla beraber bu ytlzeyden gelen yanslmayr gok belirgin olmasada verdigi
gorulmektedir. Ancak FDM dan gelen olumsuz etki Rrr,, nun altrnda kendini
g0stermeHedir.
Model 5
$ekil5-5q -45" efimli ( 0 :45" ) normalfay modelinigdstermektedir.
z = lgAz
duzleminde FDM ve MRS ile hesaplanandalga alaru kesitleri gekil 5-5b, i-5c ile
z = I0Lz dtldenrinde FDM MRS ve Melez Ydntem ile hesaplanandalga alaru kesitleri
ise gekil 5-5d, 5-5e, 5-5f ile verilmektedir. Burada Lr = z n, b = z m ve
at = 0.00046sndir. Bu kesitlerdegu dalgafazlan gOrulmektedir:
Rnt,
AA' ttytJzeyuden gelenyansuna
Ro*
BB' araylJzeyrndengelenyanslma
RAB AB e$irnlt aray0zeydengelen yansma
Rin,
DA
.R r,'ntinyery0zO dttdemindentelnu geri yansrmasr
A noktasrndakisagrlma
DB
B noltasrndaki sagrlma
39
Bu model, morJel4'tln p : 45" olarudr. Bu nedenlekesitlerdeaym dalga fazJan
g0rulmektedfu.-30o, -60" ve -45"' lik ( F : 30", 60o, 45" e[im atrmh normal fay
)
modellerinin dalga alalu kesitleri kargrlagtrnldrSrnda;
-30o' lik e[im atrmh normal fay
modeli igin hesqplanankesitlerde sagrlmadalgalan belirgin olarak g0r6lmemekte, -60o,
lik eSim atrmh normal fay modeline ait kesitlerde ise genig bir alandag6rtflmektedir. 45.'
lik efiim atrmh normal fay moclelineait kesitler ise yansrmave sagrlmadalgalaruun en
u[
gor0ld0gu kesitlerdir.
Aynca her ilg model de z = 19Az dtlzlemindehesaplanankesitlerdeFDM un en
iyi en iyi sonugverdi[i gOrtilmekledir. z = I}Lz dozlemindehesaplanankesitlerde g:30"'
lik eSim atrmh nonnal fay modeline ait dalga alaru kesitlerinde MRS ve Melez yontemin
iyi sonugverdifii bwrunla birlikte FDM un da gok kotu olmadrfr g6r6lrnektedir. :45"
F
ve 60o'lik e[im atrmh normal fay modellerineait kesitlerdeise Melez yontemin en ivi
sonucuverdifi gortfmeLledir.
Model6
$ekil 5-64" sol tarafinda F : 30o agrh simetrik senklinsl ve sag tarafinda F : 30"
agrlr simetrik antiklinal modelidir. z=19A2 dttzlemindeFDM ve MRS ile hesaplanan
dalga alaru kesitleri qekil 5-6b, 5-6c ile z=l}Az duzleminde FDM MRS ve Melez
Y0ntem ile hesaplanandalga alaru kesitleri ise gekil 5-6c1,5-6e, 5-6f ile verihnelfedir.
Burada Lr=?fr, M=1.25m ve At=0.00035sn dir. Bu kesitlerdegu dalga fazlan
g0r0lmehedir:
Rnn, AA' xrayMe5ntrden
gelenyansrma
Roo, BB' araytJznynden
gelenyansuna
Rn"
lC e[imli aray0zeydengelen yansrma
llor"
CC'e$imli aray0zeyden
gelenyzuuuna
R"o
C?efimli aray0zeyden
gelenyansuna
Rin,
Rio,
./t r,' niln yerytizu dudeminden tekrar geri yansrmasr
R r,'ntln yery0zii dfldeminden telcrargeri yansrmasr
R,
Rn" ve rt*" yarurmalanrunbirlegmesi
DA
A noktasndaki sagrlrna
DB
B noktasrndaki sagrlma
Dc,
C'noktasmdakisagrlrna
Dc
C noktasurdakisagrlnra
D{'
c noktasmdaki sagrlmarunyeryuza crozremindengeri yansrmam
z = 19Az dudeminde FDM ve MRS ile hesaplanandalga alam kesitlerinde gunlar
gdrlilmektedir: FDM kesitinde araytlzeydengelen tom yansrmalargdrtflmektedir. B, C ve
40
Ct noftlalanndaki sagrlmalar belirsiz de olsa g0rulmektedir. Aynca Rr" ve n*
yarurmalanrun birlegirni olan i?r, 16-18. izler arasmdadg. MRS kesitincle efilnli
ytlzeylerden gelen yansrma dalgalan betirgin bir gekilde goritlememehe,
ancak ug
noktalardaki sagrlmalarg0rulmektedir.
z = l0Lz ditdemindeki FDM, MRS ve Melez Ydntem ile hesaplanandalga alaru
kesitlerinde gunlar gor{rlmeldedir: FDM kesitinde farkh dalga fazlan olarak yukan giden
dalga alarurun yeryilzu dttdeminden telcrar geri yansrmayau$amasr sonucu Rin,,Ri*
geri yansrmalanve Dbi, Dc nagrlmasrungeri yarurmasrgoritlmekledir. Dugey 6rnekleme
aralrgtrm duguk olmasr bizim imkanlanmran ise model boyuhrnu krsrth tutmasq
lresaplamadtlzlemi ile yerytlzii dtlzleminin gok yahn olmasru gerektirmigtir. Bu nedenle
bu istenmeyen geri yansrmalar gOriitmekledir. MRS kesitinde nagrlma dalgalan dal,a
genig bir alanda g0rtilmektedir. Bu dttzlemde hesaplanan dalga alaru kesiti
difer
dttdemde hesaplanandalga alaru kesitinden daha iyi sonug vermektedir. Melez y0ntem
ile hesaplan dalga alaru kesiti z --IgAz duzleminde hesaplannnFDM kesitine gok
benzemektedir. Yalruz e[imli ytlzeylerden gelen yansrmalar ve ug noktalardaki
sagrlmalarlabirlegmektedir. Melez Yontenr kesitinin bu duzlemde hesaplananFDM ve
MRS kesitinden dahaiyi sonugverdifi gorulmektedir.
Model 7
$ekil 5-74"sol tsrafindaF :60' agrh simetrik senklinal ve sag tarafinda0 : 60o
agrlr simetrik antiklinal modelidir. z= lgAz duzleminde FDM ve MRS ile hesaplanan
dalga alaru kesitleri gekil 5-?b, 5-7c ile z=l}az dttzleminde FDM MRS ve Melez
Yontem ile hesaplanandalga alaru kesitleri ise gekil 5-7d, S-7e,5-?f ile verilmeftfedir.
Burada Ar = 1.25n, M =2 m ve Af = 0.00035sn dir. Bu kesitlerde qu dalga fazlan
gdrolmekledir:
Rnn, AA' araytJzeyu:den
gelenyansrma
ftor, BB' arayiDeyindengelen yansrna
Rn
lC e[imli aray0zeydengelenyansrma
n ,"
R"o
CC'e[imli aray0zeyden
gelen5r6nsrmt
R,
R
C?e[imli aray0zeyden
gelenyansrma
DA
ve .Ro" yannmalanrun birlegrnesi
"
A noktasmdaki sagrlma
DB
B noktasurdakisagrlma
Dc,
C'noktasrndakisagrlma
Dc
C noktasurdakisagrlma
D{'
D^ ve D", sagrlmalanmnbirlegmesi
4l
D;'
Do ve D" sagrlmalanrunbirleqmesi
z = 19Lz duzlemindeFDM ve MRS ile hesaplarrandalga alaru kesitlerinde qwrlar
gOrulrnektedir:FDM kesitinde araytizeydengelen tom yansrmalargorulmektedir. B, C ve
C' noktalarrrdaki sagrlmalar belirsiz de olsa gdrillebilmektedir. Aynca ,R ve Ro,
yarurmalanrunbirlegimi olan .ltr, 16-18. izler arasrndadr. Bu kesitte gdze" garpan C
noktasurdaki D" sagrlma dalgasffin gurig bir alana yayrlmasrdr. Aynca D, sagrlma
dalgasr 29-40. izler arasrtda gdrtllmektedir. Burda clispersiyon olayr anizotropik bir
dzellik g0stermehedir. MRS kesitinde e[imli ytizeylerden gelen yansrma clalgalan
b"hrgin bir gekilde gdr{Ilenremekie, modelin surekliligini uq noktalardaki sagrlmalar
sa$lamaktadr. Bu kesitte iz stlrtlmtl ryt bir qekilde yaprlamarnakt4 FDM kesiti
dispersiyonolayrnara[pren modeli dahaiyi gostermektedir.
z=IALz duzlemindekiFDM MRS ve Melez Yontem ile hesaplanandalga alaru
kesitlerinde gunlar gdrulmektedir. FDM kesitinde dispersiyon olayr oldukga fazla
gOrtflmekte,bu nedurle olaylan ayrmak oldukga guglegmektedk. Dc sagrlmasrolclukga
geniq bir alanda gdrtitmektedir. Sagrlmalann birbirini kesmesi izlerin takibini olclukga
zorlarytrmaktadr. MRS kesiti FDM kesiti kadar kangrk goriilmemekte, ancak burda da
e$imli ytrzeylerdengelen yarurmalar gOrttlmemekledir.Sagrlmalardaha genig bir alanda
gorulmektedir' Ozellikle antiklinal hakkurda sacleceC' noktasurdaki saqrlma zayf bir
gekildebilgi vermektedir.Melez Yontem ile hesaplandalga alaru kesitinde l-10. izler
arasuida ,it r, yansrmasr,10-17. izler arasmda R +D, birlegtf,ni, DA sagrlmasrun
"
altrnda 35. iro kadar takip edilen D" sagrlmasrgdrtllmektedir.
Yine Z5-4A.izler arasmda
D, sagdmasrgOrtllmektedir. Burda da sagrlrnalarbirbirini kesrnektedt. Melez yontem
kesitinin bu dtlzlemde hesaplananFDM ve MRS kesitinden daha iyi Bonug verdili
gdrulmektedir.
Model I
$ekil 5-8a"sol tarafindaI : 45' agrh simetrik senklinal ve rag tarafindag :45"
aptlr simetrik antiklinal modelidir. z = lglz duzleminde FDM ve MRS ile hesaplanan
dalga alaru kesifleri gekil 5-8b, 5-8c ile z=l0!z duzleminde fDM MRS ve Melez
Y0ntem ile hesaplanandalga alam kesitleri ise gekil 5-8d, 5-8e, 5-8f ile verilmektedir.
Bruada Ltc=2ffi, &=2m
ve Af =0.00046sn dir. Bu kesitlerclegu dalga fazlan
gdrulmektedir:
Rnn, AA' xayllzeynden gelenyansrma
Roo, BB' aray0zeyindengelenyansrma
Rn"
lC eSinrli arayilzeydengelen yarurma
R*,
CC'eSimli aray0zeydengelen yansrma
42
R",o
C?efimli araytlzeyden
gelenyanslma
R,
Rr" ve rRo" yansrnralanfin birlegmesi
DA
Anokiasrndakisagrlma
DB
B noktasrndakisagrlma
Dc,
C'noktasurdakisagrlma
Dc
C noktasndaki sagrlma
D"
Dn ve D* sagrlmalannrnbirlegmesi
z = 19Az ditzlemindeFDM ve MRS ile hesaplanandalga alalu kesitlerinde ryunlar
gdrt[mektedir: FDM kesitinde araytlzeydengelen ttlm yansrmalarg0rttlmektedir. B, C ve
C' noktalamrdaki sagrlmalar belireiz de olsa gortllebilmektedir. Aynca R* ve ,l?o"
yansrmalannurbirlegimi olan i?r, 16-18. izler arasurdadr. D" veD, sagrlmadalgasr
gOrulmektedir.Bu kesitte model kendini gok net bir gekilde gdstennekledir. MRS
kesitinde e[imli yEeylerden gelen yansma dalgalan belirgin bir gekilde g6r{llememekfe,
modelin sttreklili[ini eSimli y{lzeylerden gelen yarurmalardan gok ug noklalardaki
sagrlmalar sa$lamaktadr.Rr, 16-18. izler arasrnda goritlmektedir. Iki kesit
karqrlaqtrnldrSrndaFDM kesitinin gok gtizel sonugverdifii gorillmektedir.
z = l0M, dttzlemindeki FDtv[ MRS ve Melez Ydntem ile hesaplananclalga alaru
kesitlerinde qunlar goritlmektedir. FDM kesitinde egimli yttzeylerden gelen yansrmalar
mtrk gdr0lmemekie, ug noktalardaki sagrlma dalgalan daha etkin gdril Ozeflikle D"
sagrlmasr btltun izlerde gorolmektedh. MRS kesitinde de egimli yuzeylerden gelen
yansrmalaryerine iderin stlreklili[ini ug noklalardaki sagrlmalarsaglamalladr. Her iki
kesitte de DA ve Dc, sagilma dalgalaruwr birlegimi olan D,', Dc, sagilmasuu
desteklenrektedir.Melez Yontem ile hesaplanan dalga alaru kesitinde ise efinrli
ytlzeylerdengelen yamrmalar net bir gekilde gor{llmelctedt. Rr" ve
{o" yansynalanrmr
birleqimi olan itr, 16-18. izler arasmdadr. Sagrlma dalgalan da gorillmektedir. Bu
dttzlemde ug farkh yontemle hesaplanandalga alam kesitleri karqrlagtrnldr[urclaMelez
Y0ntemin gok tyr sonugverdiSi gtirtilmektcdir.
Model 6, model 7 ve model 8'e ait kesitler kargrlagtrnlch[rndaI] : 30"' lik modele
ait her iki dttdernde hesaplanankesitlere bakrldrgrncla,ytizeylerden gelen yansrmalar
digerlerinden gok daha belirgin olarak gorulmektedir. g : 45n, ye ait nrodel igin
hesaplanankesitlerdeFDM z = lgLz dttzleminde,Melez Yontem z = l}Ae dttzlenrinde
etkin bir sonug vermektedir. Bu kesitlerde e[imli yuzeylenlar gelen yansrmalar iyi bir
gekildcg0ritlmektedir.g:60o'ye
ait model igin hesaplffrankesitlerdez=lgllz
dMeminde hesaplananFDM kesitinde eSimli y[eylerden gelen yansrmalarg6r0lmekte,
diBer kesitlerde ise sagrlmadalgalan etkin olarak gtirulmektedir. Melez yontem, MRS'
den biraz dahaiyl sonugvermektedir.
43
Model 9
$ekil 5-94"sol tarafindaF :45" agrh simetrik antiklinal ve saStarafindaF = 45o
agrlr simetrik senklinal modelidir. z=l9!z
dilzleminde FDM ve MRS ile hesaplanan
dalga alam kesitleri gekil 5-9b, 5-9c ile z=lALz dttzlemindeFDM MRS ve Melez
Y6ntem ile hesaplanandalga alaru kesitleri ise gekil 5-9c1,5-9e, 5-9f ile verilnrelctedir.
Burada Lt = 2 m, M = 2 m ve Al = 0.00046sn dir. Bu kesitlerde g6r01endalga fazlan,
model 8'de goritlen dalga fazlan ile aymdr.
z=I9Lz
duzlemindeFDM ve MRS ile hesaplanandalga alaru kesitlerinin ve
z=l0Az dodeminde FDtvI, MRS ve Melez Yontem ile hesaplanan dalga alam
kesitlerinin sonuglanmodel I' e ait kesitlerin ozeltiklerini gostermektedirler.
Model 10
$ekil 5-l0a yanyanobulwran iki simekik senklinal modelidir. E[im agrlan 30"
ve -30"' dir ( B : 30o ).
lgAz dtldeminde FDM ve MRS ile hesaplanandalga alam
"=
kesitleri gekil 5-10b, 5-l0c rhez= l0Az dilzlemindeFDM MRS ve Melez ydntem ile
hesaplanandalga alaru kesitleri ise gekil 5-10d, 5-10e, 5-l0f ile verilmekledir. Burada
Ax =2 ffi, & = 1.25m ve Af = 0.00035sn dir. Bu kesitlerde gu ctulga fazlan
gorttlmeftledir:
Rnn, AA' araytJzeyrdren
gelenyansuna
Rou, .BB' arayuzeyindengelenyanfrma
Rn"
lC e$imli arayuzeydengelen yansrmn
R*
CC'elimli arayiDeydengelenyalurma
Rro,
C D'efimli aray{lzeydengelen yansrma
Roo, DD'e$irnli arayUzeyden
gelen yanrrma
Rm
DAeSimtiarayuzeydengelenyannma
R,
R
D^
ve /?o" yansrmalannurbirlegmesi
"
lt r, ve Jt , yansrmalanrunbirleqmesi
A noktasmdaki sagilma
DB
B noktasurdaki sagrlma
Dc,
C'nollasrndakisagrlrna
Dc
C noktasrndakisagrlma
DD
D noktasrdaki sagrlma
DD,
D'noktasilldakisagrlma
Rt
z= 19Az dttzlemindeFDMve MRS ile hesaplanandalgaalarukesitlerindegunlar
gOritlmektedir: FDM kesitinde arayilzey boyunca tttm yansrmalar ve kuqlk bir
alanda
44
senklinallerin ug noktalarrndaki sagrlnralar g0rulebilnektcdir. Aym qekilcle MRS
kcsitinde de bunlar gtlrolebilmekte, lurcak burcla Dc, ve DD, sagrlmalan c[inrli
yilzeylcrden gelen yrursnnalanetkilernektedirler.
z = IQAz duzlemindekiFDM, MRS ve Melez Y<intemile hesaplanandalga alaru
kesitlerinde Sunlar gorutnrektedir.FDM kesiti z - lgAz duzlemindeki FDM kesitine
benzenrektedir. Ancak geri yansrma olayr nedeniyle alt krsrmcla clnlga fazlan
belirlenenreyen dalga fazlan bozucu etki olarak kesiti etkilemehedir. MRS kesiti'de
sttreklilik, z=l9Az
duzlemindekinegdre daha iyidir Aym dalga fazlan gdr6lmektedir.
Melez Yontent ile hesaplanan dalga alaru kesiti cle modeli gtizel bir gekilde
yansrtmaktadu.
z=19L2 dtideminde FDM kesiti, z=70A2 diialemindeise MRS ve Melez
Yontem ile hesaplanankesitler modeli iyl bir gekildevermektedirler.
tr[odel II
$ekil S-lla, Bir Oncekimodelin eSirn agrlan B:60o
olzuudr. z=l9!z
dtldemindeFDM ve MRS ile hesaplanrur
dalga alaru kesitleri gekil 5-llb, 5-l1c ile
=
z lAAz ditz:lemindeFDM MRS ve Melez Y0ntenr ile hesapkuranclalgaalanr kesitleri
ise qekil 5-ILd, 5-lle, 5-1lf ile verilmekteclir.
EluraclaAx=1.25m,M=Zm ve
g'ggg35sn
=
At
dir. tsu kesitlerde Model l0' a ait kesitlerde gortilen dalga fazlan
gorulmek1edir.
z = 19Az dudemindeFDM ve MRS ile hesaplanandalgaalarukesitlerinclegunlar
gor0lmelfedir: FDM kesitinde araytizey boynca tthn yansrmalar ve senklfurallerin
ug
noktalanndaki sagrlmalar iyi bir gekitde grtritlmekte, emcak kesitin alt krsmlannda
anisotropik bir dasrlma da dikkati gekmekledir. MRS kesitincle yine egimli yrzeylerde
sureklili$i daha gok sagrlmadalgalan saglarnakta,e[imli ytizeylerden gelen yansrmalar
net olmamakla birlikte senklinallerin ug lcrsrmlanndagOriilmekledir.
z = l0&z dozlemindeki FDM, MRS ve Melez Yontem ile hesaplanandalga alam
kesitlerinde ryunlargdrulmektedir: FDM kesitinde dispersiyon olayr goze garpmakta
olup,
arayilzeydengelen yansrmalardandalra gok ug noklalarclaki sagrlmadalgalan gok geniry
bir alanayayrlmrglardr. Aynca D" ve D, sagrlnralanrurlbirleqimi sonucu Dj, dalga
fazr
henten hemen butiin izlerde gok etkili bir gekilde gddenmefttedir.MRS kesiti,
FDM
kcsitine g0re biraz daha nyrtedici tizellilredir. Ancalc burda da D" ve Do
sagrlma
dalgalanrun takibi zor olmaktadr. Ikisinin birleqirni olan Dj' faa burda gok
kuguk bir
alandagOr0hnekfedir.Melez Y0ntem kesiti de MIIS kesitfurebenzemekle,
ancak olaylar
dahanet bir gekilde gor{llebilmektedir.
45
z = l0\z
dudeminde hesaplanan dalga alaru kesitlerinde efimli olaylann net
olarak g0rolememesinin bir sebebi de bu hesaplama dttzlemi igin Fresnel zomunrn
senklinallerin geniqli$inden datn buyuk olmasrdn.
Bu model igin kesitler birbirleriyle kargrlaqtrnldrgrzaman z=l9Az
FDM kesiti, z=l}M
dudeminde
dtizlemindeise Melez Yontem kesiti diferlerinden daha ryr sonug
vermekledirler.
Model 12
olaludr.
$ekil 5-12a"h,4odel10 ve model ll ile aym moclelolup F:45"
z--l9Az dtldeminde FDM ve MRS ile hesaplanandalga alaru kesitleri gekil 5-12b, 5l2c ile z=l}Lz dudeminde FDM, MRS ve Melez Yontem ile hesaplanandalga alam
kesitleri ise qekil 5-12d, 5-12e,5-l2f ile verilrnektedir.Burada Ar= Zm, Az=2 m ve
Af =0.00046sn dir. Bu kesitlerdeModel l0'a ait kesitlerde gorulen dalga fazlan
gor{ilmektedir.
z = l9Az duzlemindeFDM ve MRS ile hesaplanandalgaalarukesitleri model l0'
daki aym dttzlemdehesaplanankesitlere benzemektedirler.Aym dalga fazlan gorulmekte
olup, sagilmalarbiraz dahagenig bir alanayayrlmrglardu.
z = l0Az dtidenrindeki FI)M, MRS ve Melez Y0ntem ile hesaplanandalga alaru
kesitlerinde de bu benzerlik azda olsa vardr. FDM kesitinde efiimli yttzeylerden gelen
yarurmalar azda olsa gOrtilebilmekte olup, ancak yine sagrlma dalgalan daha genig bir
alana yayrlmrqlardr. Egimli yttzeylerde sagilma dalgalan dalr,abelirgindir ve modelin
rireklilifini sa$lanraktadrlar.Melez Yontenr ile hesaplanankesit z = lglz dtzlemindeki
FDM kesitine benzemektedir.E[imli ytlzeylerden gelen yansrmalarburda da net olnrak
gOrtllmekteolup, bu dttdemde modeli en iyi yansrtmaktadr.
F : 30", 60" ve 45" aqrh t{lm modeller kargrlagtrnldrfurda;B : 60" olan
nrodellerde,FDM kesitlerinde dagrlmalar dikkati gelcnekte olup z = l0Az duzlemindeki
kesiflerde dispersiyon etkisi kendini gostermektedir. z=l9Az dtizlemine ait FDM
kesitlerindeki olumsuz etkiler Melez Yonteme ait kesifleri de olumsuz etkilemektedir.
MRS kesiflerinde sagrlmalaretkin hale gelmekteve izlerin sureklilifini saflamaktadrlar.
Ancak bu stlreklilik duzgun s0reklilik degildir. B : 30o olan modellerde, FDM
kesitlerinde da$ilmalar ve dispersiyon etkisi yok denecek kadar az$tr ve modellerin
istenen dalga alaru kesitleri, z=I9Lz dttzlenrindehesaplannnFDM kesitlerinde net
olarak elde edilrnektedirler. z=loAz duzleminde MRS kesitleri diger agrlara gore
hesaplananlardandahanet sonugvermesinera[men Melez Yontem kesitleri bu dttzlemde
daha duyarh sonuglar vemrelledirler. F : 45" olan modellere ait kesitlerde, tilrn
hesaplamayontenileri kendi ozelliklerine gore duyarh sonuglar vermektedirler. Ancak
46
bunlar arasmdaen duyarh sonuglan z = lglz dilzlcminde FDM ve z = l0Az 6ilzlemin6e
Melez Y0ntem vermekledir. Buna gdre agrsalolarak nrodellere ait kesitlere bakrlch$rrdq
her tig yOntemde de epim agmrun 45o' den buyuk olmasr durumrurda duyarllft
azalmaktadn.
Model 13
$ekil 5-l3q dik agrhsenklinalm<xlelidir.z= lgrla duzlemindeFDM ve MRS ile
hesaplanandalga alarukesitleri gekil 5-13b, 5-13c rfe z = 10Az duzlemincleFDM, MRS
ve Melez Yontern ile hesaplanandalga alam kesitleri ise qekil 5-13d,5-13e, 5-l3f ile
verilmektcrlir. Burada Lr=2 rn, Az =2nt ve At=0.00046sn dir. Bu modele ait
kesitlerdegu dalgafazlan grirulmeltedir:
Run, AA' arayiszeynden
gelenyanslma
Rro,
.BB' araytDeyindengelenyanstma
ft.,,
CC'e[imli arayuzeyden
gelenyarurma
DA
A noktasndaki sagrlma
DB
B noklasrndaki sagrlma
Dc
C nollasrndaki sagrlma
Dc,
C'noktasmdakisagrlma
D)
C noklasrndaki sagrlmarunA noktaerndaikinci kez sagrhnau( ikincil nagrlma
)
C'noktasurdaki saqilmanrnB noktasrndaikinci kez sagilmasr
z = 19Lz dttzlemindeFDM ve MRS ile hesaplanandalga alam kesitlerinde qunlar
D;
gor0hne}tedir: FDM kesitinde, arayilzey boyunur tirn vansilnalar gdrulmekte olup. D,
ve Do sagrlmalanve D",, D" sagrlmalanrunyukan do$nr ilerlemesi srasurda A ve B
noktalan:rdan ikinci kez sagrlmasl Eonucumeydana gelen Dj
Dj ikincil sagrlmalan
"
gorulmektedir. MRS kesitinde yansrmalarve ug noktalardaki sagrlmalargorulmektedir.
Bu iki kesit kargrlaqtmld€uda FDM kesitinin tanr sonugverdifi gorulmekledir.
z=lOAz ditzlemindekiFDM MRS ve Melez Yontem ile hesaplanandalga alam
kesitlerinde gunlar gorulmekledir. FDM kesiti z = 19Lz duzlemindeki FDM kesitine gore
yanstmalann geniqledifi ve sagrlmalam geniq bir alana yayrlchfr gorillmektedfu. MRS
kesitindede sagrlmalardahagenigbir.ilanda goriilmektedir.Melez Yonternkesitfurdetitnr
uqlardaki sagrlmalar ve D'n , Di ikincil sagrlrnalan gtlrulmektedir. Bu duzlemde
hesaplanan kesitler karqilafltnldr[rrdq FDM ve Melez Y6ntem kesitleri tam sonug
vermekle ancak FDM kesitinde dispersiyon etkisi gdrillmektedir. Bu nedenle Melez
Yontem kesiti dahaduyarh sonugvermeHedir.
47
Model I'l
$ekil 5- l4q -27 " (F : 27" ) e[im atrmh ters f'aymodelidir. z = 19Lz dtideminde
FDM ve MRS ile hesaplanandalga alan kesitleri qekil 5-14b,5-l4c tle z=l}Lz
dMeminde FDM MRS ve Melez Yontern ile hesaplaruurdalga alaru kesitleri ise gekil 5l4d, 5-14e,5-l4f ile verilmektedir.Burada Ar = 2 n, Az = I m ve At = 0.00025sndir.
Bu modele ait kesitlerde gu dalga fazlan gorulrnektedir:
Rnn, AA' traytJznylrdengelenysnftmfl
Ruo, B8' araytlzeyindangelen yansrma
RAB AB e[imli Bray0zeyinden
geleny{msrna
R'ro, BB' araytlzeyindengelen yanslmamnAB ve AA' wayiJznypargalanboyunca
DA
kmlmasl
AB e$imli araytlzcyindengelen yBnslmam AA' arny/lrznyndcnkrnlmasr
A noktasrndakisagrlma
DB
B noktasurdakisagrlma
Di
R o, yansrmaslmnA noktasmdansagilmasr( A noktasndaki ikincil sagrlrna).
B noktasurdakisagrlmanrnAA' araytJzsyutden
krnlmasr
Rk
D'B
z = 19Az dudemindeFDM ve MRS ile hesaplaruur
dalgaalarukesitlerindegunlar
gdrtilmektedir: Ilk bakrqta MRS kesitinin modeli daha iyi yansrttrfir duqunulmektedir.
Anc.akFDM kesitinde tam dalga alaru gdriilmekte buna kar,grhkMRS kesitinde sadece
yalrsrmave sagrlmadalga fazlan g0rtflebilmekledir. FDM kesitinde ,4A' arayiJreynden
gelen yansrma MRS kesitindekine gdre gok daln ryrdir. AB egimli yuzeyden gelen
yalrsilna AA' arayitzeyindenkrnlmaktadr. Bu I?DM kesitinde g0rtilmekte, MRS
kesitinde ise direkt efimli yuzeydengelen yansrmagorulmektedir. Bu y0zeydeki yansrma
MllS kesitinde belirgin bir gekilde gorulebilrnektedir. Aynca MRS' e gore bu yansrma
dalgacrfr kayrt dtldemine kadar sabit Vz luayla ilerlemiqtir. Ilalbuki bu modelde efimli
y{tzeydenyukan do[ru ]uz defiiqkendir.Bu rnodel MRS ile dalga alam hesabrndqolayn
oldufiu diidem ile hesaplama dtizlemi arasmda ]uzrn sabit olmasr gartrun dikkate
alrrmasr gerefiini t)o bit gekilde g0stermekledir. Boyle dunrmlardn istenilen dilzlemcle
dalga alarum elde edebilmek igin, modeli hrzn sabit oldugu kilquk parplara ayrarak
dalga alarnu adrm adrm bu dudernlere indiryemek gerekmekfedir. Yine /R yansrma
r,
dalgasryukan do$u ilerlemesi srasrnda, 6nce efimli AB y0zeyrndensonra AA' yNwuna
y{lzeyindenhnlmasr ve A noktasurdasagrlmayauSramasrgerehnektedir. B noklasurdaki
sagrlma dalgasrun da bu yuzeyden krnlrnasr gerekrnektedir. Bu olaylarla ilgili dalga
fazlan F-DM kesitinde ryr bit qekilde gortllrnektedir. Bu da FDM rur tam dalga alaruru
verdi[ini gdstermesiagrsrndantyl bir Ornektir.
48
i = l0Az ditzlcnrindckiFDM, MRS vc Mclez Ydntern ilc hesaplanandalga alaru
kosi{.leriJrdc
Eunlarg0r0hnektedir:IIDM ve Melcz Yt]ntenr ile hesaplarundalga alalu
kcsitlcri tarndalgaalmlannr vcnnektedirler.Ancik FDM kesitinciedispcrsil,ondandolayr
dalgacrkgeniqlemelle,ayflca suur qartrndmdolayrycryuzuduzlcmincgclen dalga alaru
tekraryansmlaya.
u[rnnraktave bu da dalgaaiarukesitindealt k:rsundag0rttlebilmekledir.
MRS ile hcsaplaniurkesitte ise z = 19Az dudemindeki MRS kesiti ile aym clurum
s0zlronusudur.Sonugta z=70A2 dtrzlernindehesaplananen iyl dalga alarurukesitini
Mclez Yontentvennelledir.
Model I
20
!,fr= toAz
I
I
-o , l z = 1 9 L z
lz=20L2
.{ltaB
,[j3?6
.tl564
[A'7[:',)
. L,r I J{..
l [( * n )
J.
. [1188
,m3?6
.t:!564
.[1?52
T(sni
ZN
I
"41.t]t]
:R^n'
".1"./"/"1
r.i.(i.
.fi376
tfifi
"ffu64
Ri^,..,
'l
.n752
T(slr
d
ZA
zti
.{1t1.15
lt
I
t
t\1\
.a4?3(':rr
,ti{i345
I
. ufi,llb
1[(sn)
tSckil5'1a- rnodel1' b z= igAz ditzlenrindeFDMilehcsaplanan
dalgaalarukcsiti.
c- z = l9Az ditzleminde
MRSilc hesaplanan
dalgaalarukesiti.d- z = l.1az
FD)rI ile_hesaplannn
dalgaularuf.*riii o =l0Az dnzlcrninde
|kl?liltd.
MI(s ile trcsaplzuuur
"
dalgaalarukesiti.f_z = l0Az duzlenri".[;;;ro;]"*
ile liesaplanan
dalgaalarukesiti.
. Modet2
1
20
40
z = l0Az
z=19L2
z = ZOLz
z - 24Lz
,ff184
I
I
.B55Z
I
.0368
.0736
T(sn
.0184
,0368
I
.8552
l
.n736
T(sn
5l
.8184
I
I
,8368
.B55Z
I
.n?36
Tisn)
1
d
111
ZN
3n
4B
,uzBT
I
I
.06e1
I
.[1,114
.OBZB
T(sn)
e
ZA
,fr287
I
.8414
. [1621
I
.OB2B
T(sn]
f
$ckil5.2 a- rnoclel2.U z= 19AeclttzlenrindeFDMilehcsaplanan
dalga alaru kesiti.
c- z = 19Az dudemindeMRS ile hesaplanan
dalgaalarukesiti. d- z = l01z
duzlcrnindeFDM ile hcsaplanandalga alarukeriii. e z =l0Az dozleminde
MRS ile ltesaplanrur
dalgaalarukesiti. f- z = l0Az dilzlcmindemelezy6ntem
ilc hcsaplanandalgaalarukesiti.
52
Model3
l'
20
40
z - lALz
z=19Lz
z = 20Az
z = 26Az
.81,1
.az8
.843
.856
l[(sn]
.tl1.4
.028
.0,12
.n56
.T{sn)
, ff1.4
. OZfi
. [1,13
. {1U6
T(s'n)
t
d
1n
Zfl
38
4B
,ri15?5
I
.a315
.[:14?
,0h::l
l[(sn)
,[J1.5?5
I
I
.fl315
.0,*7311
.fi63
Tr(srr)
f
$ckil 5. 3 a- modcl3.V z= I9Lz ditdemindcIiDM ilc hcsaplanandalga alaru kesiti.
dalgaalarukcsiti. d- z = lOLz
c- z = igAz duzlemindcMRS ile hesaplanan
ditr:lenrindcIrDM ile hesaplanandalga alarukesiti. e- z = l0Az dttzleminde
dalgaalarnkesiti. f- z = 10Az dodcrnindgmelezyOntcm
MRS ile hesaplanan
dalgaala:ukesiti.
iie hesapianan
54
tn
40
z = l}Lz'
lvlodcl 't
z=19Lz
z = 20Lz
z = 261112.
,tl1,1
.11?8
.ti,12
.t156
T(sn)
t)
Ztl
.tJ14
.[12fi
.[.t4?
.856
l[(sn)
55
.tlJ.4
.fiZfi
.B4Z
.056
T{sni
d
?B
.fl15?5
IJJ
.8315 "1t'
.tl{?25
.t163
T(sni
.815?5
.ff315
.04?25
.063
T(sn)
f
FDM ile hesaplanandalga alaru kesiti'
=
$ekil 5. 4 a- :norJel4.V z 19Lz dUzleminde
dalgatlam kesiti. d- z = 10Lz
MRS ile hesaplanan
c- z = lgAz d0zlemincle
=
dttzlcminde
clilzlemindeFDM ile hesaplanandalga alarukesiti. e- z l0Az
dalgaalamkesiti. f- z = 10Az dttzlemindemelezyOntem
MRS ile hesaplanan
i1e)resaplarwrdalgaalamkesiti'
56
Modet S
20
40
z = l}Lz
z = . 1 9L z
z = 20Lz
Bl
48
,8184
I r \Pn.
"t"t"t
,8368
(((
lt\
,0552
)rl I
t)l
I . .t.. . t . .
Iil
.8736
T(sn)
1
,8184
.0368
.0552
.8736
T(sn)
t(l
rJ_i_
.B1B4
. B36B
AC,C,?
,8736
u
T(sn)
1B
1
2B
3B
48
,8287
,84T4
.a6z'L
.8828
T(sn
,428?
'|
'r\-rir
rt/.l/t
, ((
,a4r4
\
il
lllTl
,962r
.8828
llc11
gekil5.5 a- rrrodel5.V z = 19Lz dtlzlemindeFDM ilc hesaplanandalga alaru kesiti.
d- z =I}Lz
c- z= 19Az dtizlemindeMRsilehesaplarurndalgaalamkesiti.
duzlemindeFDM ile hesaplanmrdalgaalarukesiti. b z = 10Az d0zleminde
MRS ile hesaplanan
dalgaalarukesiti. f- z = l0Az du'lemhde melezyOntem
ile hesaplanan
dalgaalarukesiti.
5B
Model6
20
40 =
z TALz
z=79L2
z=20L2
z =.23L2
z = 30Lz
.r114
.tl?8
.842
. [!Sii
i[(sn)
,i
.t
t-i"
.814 l { . , :
l'r
.n?fl
.fl42
l1
ti
ll
.tat56u
T(sl 1 )
11 a}
10
iL tl
nn"
l,'{r{,
1:i
3tl
4PJ
s9
. 1114
Rtu,'
lli
,1.'r...,,
ilt
\\r
. tlil?
lil
DC
, , 1 . .[ '. ,
'R'n^)
.056
l[ (sn ]
I
.815?5
Iil:l;
.8315;11
I'j1'j'
.u4?"15
.{163
I (srr)
J.
rT-
5
.tl1575
l'l
I '
.fl315 f'
..1
rl
II t
i5
.t14??5
tl
tl
.1163L-1.
if(sn)
dalga alaru kcsiti.
$ckil 5. 6 a- rnodel6. b z = 19Lz duzlernindeFDM ile hesaplnnzur
c- z = i9Az dtlzlenrindeMRS ilc ircsaplanan
dalgaalarukesiti. d- z = l}Lz
ditdemindeFDM ile hcsaplanandalgaalam kesiti. e- z = 10Az dtlzleminde
MRS ile hesaplanan
dalgaalarukesiti. f- z = 10Az duzlenrindemelezyontem
ilo
hesaplanan
dalga
alruukesiti.
,
60
20
40
-.f'=tot
I
Lz=nE
Modcl 7
- lr=,zlt,
3'l
I
I =,on,
j,
a
.Bl4
,AZB
,842
.856
T(sn)
.814
.028
.842
.856
T(sn
6l
.ff14
.0eB
,a4e
.056
T(sn)
1
d
tg
3E
Z8
48
.015?5
tt
,8315 I
,84725
.063
T(sn)
.01575
,D"1..
I
i{
,8315,
.84?25rD
.863
T(sn)
f
dalga alam keniti'
$ekilS. ? a- modeli.6 z=l9yz cllzlemindeFDMilehesaplnnan
c- z =19A2 dMemindeMRS ile heraplanmdalgnalarukesiti.f,' 7 = l}Lz
dUzlemindeFDM ile hesaplananaatgaatamkesiti. e. z =I}Lz dttdemindc
Ml{S iie hesaplanan
rialgaalamkcsiti- f- z = l0Az difzlemindemclczy0ntem
ilc hcsapLuran
dalgallam kcsiti.
4n
Model S
40
z = l)Lz
z=19L2
z=20L2
z =23L2
.8184
,0368
.0552
.0736
ll(sn
18
.8184
,8368
({
) ,tQ,,
{ci
I
..tl
,.,/../..'l
1 " 1 ' Y" r
":t".
\\1
, .),j,
\))
"i'"r""i"
un cr l
.8552
.0736
lf(sn
\I,in
63
. B1B4
.6368
nqq?
.8736
T( s n
18
Z8
38
4g
,llll
i J/tr;/
,8287
,9414
iltl
tllli
,862r
,frBZB
T(sn
ZB
,8287
I
.8414
.862,1
I
.8828
T(sn)
FDM ile hesaplarnndalgaalanrkesiti.
$ekil5. 8 a- nrodel8. b- z = 19Lz duzleminde
=
dalgaalnrukesiti.d- z = 10Lz
hcsaplanan
ilc
MRS
c- z 19Lz dudcminde
dalgaalarukesiti.b z = i0Az diideminde
FDM ile hesaplanan
duzleminde
dalgaalarukcsiti.f- z = l0Az d0dcmindemclezy0ntcm
MRSile hesaplanan
kesiti.
dalgaala.ru
ile hcsaplanan
,&
tn
I
Model9
40
:-1AA'
z=
19[z
-'lo.At
,
: - 17.t\,
- - ?f\Az
10
.B1B4
/ )'iqi
,8368
,0552
.8736
I l'Sr1
.8184
. 11368
,8552
.0736
T( s r i
UC
65
,CI184
.E36B
,8552
.8736
T(sn)
1
18
ZA
?ft
48
,829?
.8414
.462I
.BBZB
T(sn)
,8247
.4414
.8627
:8BZB
T(sn)
FDM ilc hcsaplannn
dalganlnm kcsiti.
$ckil5. 9 a- modcl9.1>z = lgAz duzlcrnindc
c- z = l9Az dOzlcrnindc
MltS ilc hcsuplruwr
dulganllnrkcsiti.<l- z - l}Lz
d0rlcrnindcFDM ile hcsaplannn
dalgaalarukcsiti. c- z =10L'z clMemindc
MllS ile hcsaplarurn
dalganlamkesiti.f- z = 10Az duzlcminclc
melczy0ntcm
ilc liesaplana:r
dalgtalarukcsiti.
66
Modell0
40
20
Il'.
I
=tonz
J"z
Lr=rgL,
lz = 20Lz
l,=,,
,81,1
,ffzs
,n4z
.056
1[(srr]
i)
?0
.tlt4
.n?8
,0rl?
.tis6
T(sn)
b/
d
ZO
ki )b;
.fl1575nI
Dn,
t:
l \ii
lt.
1..,\{
l t l
Ji/
tf
frl
.031.5\
ft
It r' i
.tl4?25
lt
.[163 L-l
T(sn)
I
dalgaalarukesiti.
$ckil 5. l0a- modcl 10.b z = lgLz dtElemindcFDM iie hcsaplanan
c- z= l9Az dtizlemindeMRSilelresaplanandalgaalarukcsiti.
d- z =l}L,z
dttdemindeFDM ile hesaplanandalgaalarukesiti. e- z = i0Az dttdeminde
I\4RSile hesaplanan
dalgaalarukesiti. f- z = l0Az dttzlemindemelezydntem
ilc hesaplanan
dalgaalarukesiti.
68
Modelll
1
20
40
z = 10Az
z=79[z
z = 20Lz
,[14
.tl2B
.tl4Z
.056
T(sn)
b
Z8
.ff1.4
.028
,tl42
.456
T(sn)
69
. [114
,BzB
,842
.456
T(sn)
d
1
Tisu)
*'l
.815?
YI
l&,,.
.8315
t"'1',,t'.
t\1
,947?
5{t
lfl
,063 t/l
L.LJT(sn)
$ekil 5. I la- morJel11.b- z = IgAz drulcmindeFDM ile hesaplanan
dalgaalarukesiti.
,
c- z = 19Az dttdemindcMRS ile heraplarr,an
dalgaalarukesiti. d- z = I0A,z
dttzlemindeFDM ile hesaplanandnlgaalarukesiti. e- z = l0Az dtzlemindc
MRS ile hesaplanan
daligaalarukesiti. f- z = l0Az duzlemindemelezv6ntem
ile hesaplanan
dalgaalarukesiti,
Model12
)n
I
40
1J _
TV
L\/J
z=19Lz
=-1AA-
|.-r7-r,
.0184i - ( . : . i
t,.t/
|
| /?f
' '.,1/l'
,8368
,0552
II
. E?36
I(snJ
. B1B4
.0368
,8552
.8736
I(sn)
t,
\
1l
.B1B4
I
I
.8552
I
ily
I
l\
.B35B
I
I
.8736
T(sn)
,l
l-
A
1B
ZB
48
JU
.8287
.,o. ,t I
...t.+'..1..,
(,/,J )
.8414
tlt
,862I
"l"'t"i"
't\ (- It . t ) , !
i
,!((
'.tv/)
1))p;
U
nlr
t-/2
D
)\
,,,|,'/
(
'
.BBZB
I (SII J
,4287
.8414
,862r
.8BZB
T(sn
dalgaalarukesiti.
FDM ile hesaplanan
$ckil5. 12a-rnodel12.6 z = 19Azduzleminde
=
kesiti.
d- z = I}Lz
dalga
nlaru
ile
hesaplanan
MRS
dtldcminde
c- z lgAe
=
dalgaalarukesiti.e- z 10Az duzlemindc
fDM ile hesapkuran
dttzlcrninde
mclczy0ntem
dalgaalarukesiti.f- z = l0Az ditzlernilrdc
MRS ile hesaplanan
dalgaalamkcsiti.
ile hcsaplanan
't2
Model13 I
L---
20
40
z _-10Az
z = 19Az
z = 20La
, - )\Az
,[1lt]4
,t1368
,fi552
. [1?36
l[(sn
.41ff4
,[136S
,fl553
,0736
T(sn
't3
.tl:[u4
.ff36{1
.0552
. u?36
I(sn)
I
d
?g
, fi?07
.0414
,86?1
.B8;lrl
T(sn)
.{:l;ltl?
.n414
,816?1
.fl8t:tl
Iisn)
f
dalganlanrkesiti.
$ckil 5. 13a-rnoclcl13.b- z = 19Az dttzlcmindcFDM ilc hcsaplanan
c- z= l9Az d0zlemindeMllSilehesapkuundalgaalamkesiti.
d- z =l}Lz
duz.leminde
FDM ile heeaplanan
dalgaalarukesiti. e- z = 10Az dtldemilrdc
MIiS ile hesaplanan
yontern
dalgaalarukesiti. f- z = iOAz dttdeminde.melez
ile hesaplanan
dalgaalarukesiti.
74
Modet14
1
20
40
z = I0Az
z - 40Lz
30
AA'
5
.B11ZI
I
,NZZ\
I
5
.83371
I
.845 L
T(snr)
,8125
,825
.8375
.85
T(sn)
,A,.
\
I
..1(..
t"'t
7tli
f,;lI
15
B1Izl5
.B
a225
.B
B33?l5
.E
PJ")
I'
.v
5 LJ
84
t4s
T(
1
I(ssll
d
I
1
1B
z8
38
48
rI
375
,2
B1
n13
t{
rl
175 I
827
,I82
l"l
l{
'125
.t941
;5
.tB5t
T(sn)
e
ZB
,813?5
I
,BZ?5
I
,8412slffi
.855 LJJIJ
T(sn)
dalgaalarukesiti.
FDM ile henaplanan
$ekil5. l4n- mo6el14.b- z = lgAa duzlerninde
dalgaalarukcsiti.d- z =l}Lz
MRS ile hcsaplanan
c- z = lgAe duzlenrinclc
dalb; ahru kesiti.e z = 10Az diEleminde
FDM ile hesaplanan
dtrzleminde
melezyOntem
dalgaaiarukesiti.f- z = l0Az duzleminde
MRSile hesaplanan
dalgaalarukesiti.
ilc hesaplanan
76
6. SONUQL/|R
FDM yogun heterojen bOlgelerde( aray0zcyeyakm bolgelerde ) oldukga duyarh
sonuglar vermekledir. Ancak ikincil dalga kaynagrndan ( arayilzey ) uzaktaki zayrf
heterojenb0lgelerde,hesaplamazamamrunarhrrasrylameydanagelen sayrsaldispersiyon
etkilerinden dolayt duyarhlftlan da azalmaktadr. Stlrekli ortama aynk gridlerle yaklaqrm
yaprldrfr igin gridler kaba olursa sismik cevaplardagrlmaktadu. Aynca dalga alaru hesabr
igin oldukga boyuk bilgisayar kapasitesive uzun bir hesaplamazamarugerektirmektedir.
Elimizdeki imkanlar elvermedifi igin uygulamalarkllguk boyutlarla yaprlmrgtu. FDM iki
boyutlu modellerde dalga alanrnrn tam ifadesini ( yaruun4 krnlma sagilma, tekrarh
yansrm4 vs ) vermektedir. YOnteminen buyik avantajrdabudur.
MRS duzgon arayuzeyli modellerde, arayozeyden uzaktaki zayrf heterojen
bdlgelerde oldukga duyarhdrlar. Buna kargrn karmagrk araytlzeyli modellerde ve yogn
heterojen bolgelerde duyarhlklan da oldukga Bzalmaktadr. MRS ydnteminde herbir
araytlzey arasndaki hrz sabit kabul edilir. Analitik gdz(tme ulagmak igin bu dttzey
{lzerinde y{mstmo katsayrsrun sabit olmasr gerehnelctedir. Buna gorc ard arda gelen
karmagrk araytlzeyli modeller igin dalga alaru lresaplama iglemi, luzr sabit olan
aray0zeylerboyunca yapdarak dalga alaru yukandaki bir dttdeme indirgenmelidir. Aksi
takdirde modele ait do[nr dalga alaru deSerleri elde edilmesi nrumkon de[ildir.
Uygulama esnasrndaFDM a gorc daha az bilgisayar kapasitesi ve hesaplamazarnaru
gerektinnektedir. MRS tam dalga alaruru vernremehe sadecebasit yarurma ve sagilma
dalgalanruvermektedir.
Melez Ydntem, araytlzeyegok yakur bir dttzlemde FDM ile hesaplanan dalga
alamru MRS ile arayilzeydendaha uzsk bir dttdeme indirgeme}dedir. Dolayrsryla heriki
y6ntemi etkin oldugu bolgelerde kullanmBk srnetiyle; karmagrk arayuzeyesahip bir yer
modelinde, araytDeydenuzaktaki bir dttdemde dalga alaruru diger iki ydntemden dalra
duyarh hesaplayabilmektedir.Ayrrca g0ztlm algorihnasr zamarubolerek uygulama imkaru
vermelledir.
Qeqitli modeller igin FDM ve MRS ile araytlzeyetakm bir dtldemde hesaplanan
dalga alaru kesitlerinde; yatay arayilzeylerden ( ettreksidik yrzeylerinden ) gelen
yansrmalar ikisinde de 9ok iyi gOrulrnekte, egimli ytlzeylerden gelen yansrmalar ise
sadeceFDM kesitlerinde net bir gekilde gorulmeltedir. Buna karqiltk MRS kesitlerinde
e$imli ytlzeylere ait ug noklalardaki sagrlmalardaha etkin olarak gdrtilmekle, yansrmalar
zayrf olarak izlenebilmekfe ve kesitlerde bu btilgelerdeki sitreklilik sagrlmadalgalarryla
ea$lzurmaktadr.Silreksizlik yilzeyinden oldukga yukandaki bir dudemde FDM, MRS ve
Melez Ydntem ile hesaplanandalga alalu kesitlerindeise; FDM kesitlerindedispersiyon
olayuun etkisinden dolayr dalgacrlrgeniglernektebu da kesitleri oldukga boznaktacln.
'77
f*ttta buyilk agrh modellere ait FDM kesitlerinde bu olurnsuzluk nerleniyle olaylar ayrt
edilemernekledir. MRS ve Melez Ysntem kesitlerinde yatay arayuzeylerden gelen
yanstmalarlyl bir qekilde gOrtllebilmekte,efimli y0zeylerdengelen yarurmalar ise Melez
Y0ntem kesitlerinde MRS kesitlerindekine gore gok dalra net olarak gorulebilmekle, bu
fark p agrlan buyudttkge datr,a da belirginleqrnektedir. MRS kesitlerinde e[imli
yttzeylerdeki sureklilifi yansrmalardan dalra gok sagrlmalar saglamaktadg. Aynca
B
agrlan buyudttkge epimli y0zeylerden gelen yansrmalann zayrfladrgr ve ug noltalardaki
sagrlmalanndaha etkin hnle geldifi her iki hesaplamadtizlemindeki og ayn yonteme ait
kesitlerde gdrtilebilnrekteclir. Yfure FDM un tam dalga alaruru verdigi, bwra karqrlk
MRS' in sadecearaytlzeylerdengelen yansrmalan ve sagrlmalan verdi$i dzellikle model
13 ve model 14' de agrk bir gekilde goriilmektedir. Melez Yontem arayiizeye yakm
dtldem iizerinde hesaplanandalga alaru igin FDM u kullandr$rndan bu yontem de tarn
dalga alanuu vemrekledir.
Agrsal olarak modellere ait kesitlere bakrldrSurda ise sonug qu gekilde
defierlendirilebilir: P : 45o'den buytk agdr modellenle; FDM kesitlerinde clispersiyon
olayr oldukga etkin hale gelmekle, dafrlmalar artmaktaclr. Bu olumsuzluklar azda olsa
Melez Y0ntemi de etkilemektedir. MRS kesitlerhrde sagrlmalrr daha etkin hnle
gelmektedir.Bu dunrm difer iki y0ntemdede g0rulmekledir.p = 45" ve 45"'den k09uk
agrh modellerde tlg yOntem de kendi dzelUklerine gore ryr sonuglan vermektedirler.
Aynca eSimli yilzeyler arasrndaki agr daraldrkga sagrlma dalgalan daln etkin dgnrma
gelmektedir. Bu sonuglarag0re moclellere ait ug ayn yontemle hesaplanandalga alaru
kesitleri deferlendirildi[inde; arayttzeye ( sttreksizlik yuzeyrne yakrn bir dttzlemde
)
hesaplanandalga alaru kesitlerinde en r)n sonucu F'DIvf araytizeydur uzak bir dttzlemde
hesaplanandalga alarukesitlerinde ise en iyi sonucuMelez Yontem verrneltedi.
Hesaplanan dalga alanlamdaki
birbirleriyle uyugrnaktadr.
vang zamanlanyla teorik vanq zamanlan
1A
7, KAI'NtWfulR
AB0LIDI, J, I9TL Thentotionexcitedby ruriinpulsivcin an elastichall:space
with a surfacc
obstacle.
Bull.Seisrn.
Soc.Am., 61,3,"14'l-'763.
ALFORD, RM,, KELLY, K.R and BooRE, D.M. 1974, Accuracy of frnitedifference
modelingof acoustic
rvaveequation.
Geophysics,3g,
6,93,4-g4i'.
AI-TERMAN,Z.S. and KARAL, F,C 1965.Propagotion
of elasticwavesin layeredmedia
by finitedifference
nrethods.
Bull. Seisur.
Soc.Am., 5g, l, 367_399.
ALTERMAN, z,s. and R2TENIIERG,A. 1969,seismicw&vesin n quarterplane.Bull.
Seisrn.Soc.Ant..59, l, 34?-368.
BAYSAL,E 1992,Akustikdalgadenklerniile modelleme.
Jeof-rzikte
ModcllcmeKollokyurnu
TMMOB JeofizikMiihendisleriOdasr.157-l?6,Ankara
BERKIIOUT, A,J. J984 Seismicmigration.ElsevicrScienccPublishingCo.,Arnsterdam,
Oxford,I 09-I 65, New-york.
BLEISTEIN, N, 19E4.Mathemalical
methodsfor wa.vephenonrenaAcedemicpressInc.,
Ncw York.
BOORE,D,M, 1972.Finite-dift-erence
methodsfor seismicwavepropagation
in heterogenous
meterials.
in Mcthodsh CornputatiorralPhysrcs,
NewYorkAcadernic
Prcss,Z.2l-22,
NewYork.
HILTERMAN, F,J. 1970.Threvdirnensioncl
scisnticmodelling,Geophysics,
35, 1020- 1037.
'745-'162.
HILTERMAN, F.J. 1975.knplitud of seisnticwoves,a quicktook,Geophysics,40.
KELLY, K,R, llURD, ll ly., TREITEL, S. and AI.IrORD, ll.tt{,19 76. Synthetic
scismogrruns:A finite.dil)lcrencc
npproaclr.
Geophysics,
41,l,Z-2i .
KosLoFr-, D.D. and IIAYSAL,E. IgB2. FonvardModelringby a FourierMethod.
Geophy5i65,
47, 1402-1
412.
KaIIN, M.l. and ALITII-AIJ, K,,4.1977,weightingfactorsfurtheconstruction
asd
rcconstruction
of acoustic
wavefields.Geophy5iqs,
42,6,1193_ll93.
IrfilFTI, I'R 1985'Seisnticmodellingin the irnplicitnrodc.Geophysical
Prospecting,
33,
619-656.
OTTAIaIANI,M. lgTL Elasticwavepropagation
in two cvenly-wcldcd
quartcr-spaccs.
Bull.
S e i s mS.o cA. m , 6 l , 5 , l l l g - 1 1 5 2 .
POTTEII M'C, 1978,Mathematical
Methodsin thePhysrcalSciences.
Prenticc-Flall,
hc.
Englewood
Cliffs,3 I 8-330.
REYNOLDS,
A.C' 1978,Boundaryconditions
for lhe numcrical
solutionof wavepropagatiol
problems.
Geophysics,
43, 1099-lI 10.
SAATQILAII"R 1992.Boa diferansiyel
denklemlcrin
sayrsal
sonlufarklar
E<izfimlcrinde
yaklaSfinr.
JeofzikteModellenre
KollokyumuTMMOB Jcot-rzik
MuhcndislcriOdasr.
205-2l4,Ankara.
SilTIWLMAN, 111984,A hybridntctltodfbr wavelicld cornputation.
Cieoptrysicnl
Prospccting32, 236-25i.
"
SilTIIryLMAN, 111985,'lwo dimcnsional
rcousticrnodclingby a hybridmethod.
Gcophysics, 50,8,l2?3-l2tt4.
TR0REY,A,w, 1970,A simplctheoryfor scismicdiflractions.
creophysics,
3s,s, j62-,1g4.
T'IIOREI',A.W: 1977.Difliactionsfor arbitrarysource.reccvier
locnl.ions.Geophysics
.42,6,
l l 7 7 - ll 8 2 .
|/IIIIE{'IX, .L 1985.P-SVrvnvepropagation
in hetcrcgeneous
mcclia:Velocitv-stress
fnitedilfcrcnce
nrethod.
Geophysics,
5l, gg9-90I.
YIIRAtrIANCI,U, 198.6,
.Tcol-zikte
PotansiyelTcori.LT.IJ MadcnFaktiltcsiofsetbaskrtrtcilyesi,
24-85,Istanbul.
Ozcneal$
1968 yrlrrda Zonguldak' ta dogdu. Illc, orta ve lise egitinrini Zonguldak' ta
tamzunladr.19865alurdaKaradenizTelorik UniversitesiMtrhendislik-Mimnrhk Fakaltesi
Jcofizik Muhendisligi Bolttmundeyttksek ripgeniminebagladr.1990yrlurda menm oldu.
1991 yrlurda Ankara Universitcsi Fen F'akultesi Je.ofizik Mtihendisligi Bolumiincle
Araqtrma Gorevlisi olarak gahgmay6baqladr.Kcndisi halen buradaki gorevinc clevarn
ctnrcktcdir.
Download

dalga alanı hesaplama yöntemleri