Abel in, Kuvvet Serilerinin Yakınsaklık Aralı˘
gının U¸
c
Noktalarında davranı¸sı ile ilgili bir teoreminin ispatı:
Bu ispat, Matematik D¨
unyası Dergisinin 2013 yılı 1. sayısının (MD Sayı 94) 36-37. sayfalarında Tosun Terzio˘
glu
nun yazısında bulunabilir. ( O yazıda ve bazı kitaplarda, bizim kullandı˘gımız limx→r− yerine limx↑r kulanılıyor)
Teorem:
P∞
P∞
Yakınsaklık yarı¸capı 0 < r < ∞ olan bir kuvvet serisinin toplamı g(x) = n=0 an xn olsun. E˘ger n=0 an yakınsak
bir seri ise:
lim− g(x) =
x→r
∞
X
an rn
n=0
olur
˙
Ispat:
P∞
¨
Once
r =1 ¨
ozel durumunda ve (her P
x ∈ (−1, 1) i¸cin) f (x) = n=0 an xn iken e¸sitli˘gı ispatlayalım. Daha sonra
∞
genel durum kolayca elde edilecektir. n=0 an serisinin yakınsak oldu˘gunu varsayıyoruz.
Pk
k ≥ 1 i¸cin tk = n=0 an tanımını yapalım. an = tn − tn−1 e¸sitli˘ginden
k
X
an xn = a0 +
n=0
k
X
(tn − tn−1 )xn = a0 + ak xk − a0 x −
n=1
k−1
X
tn (xn+1 − xn )
n=1
t0 = a0 alarak daha sonra
k
X
an xn = (1 − x)a0 + ak xk −
n=0
k−1
X
tn (xn+1 − xn ) = ak xk + (1 − x)
n=1
k−1
X
tn xn
n=0
P∞
n
elde ederiz. P
(−1, 1) aralı˘
gındaki her x i¸cin lim ak xk = 0 oldu˘gundan f (x) = (1 − x) n=0
varırız.
P∞tn x n sonucuna
∞
t
buluruz.
S
¸ imdi t =
a
olsun.
Geometrik
seri
toplam
form¨
u
l¨
u
nden,
−1
<
x
<
1
i¸
c
in,
t
x
=
n=0 n
n=0
1−x
P∞
B¨
oylece f (x) − t = (1 − x) n=0 (tn − t)xn sa˘
glanır. Herhangi bir m ∈ N, (m ≥ 1) verildi˘ginde, yukarıdaki seriyi
iki par¸caya ayırıp,
!
m−1
∞
X
X
n
n
|f (x) − t| ≤ |1 − x|
|tn − t||x| +
|tn − t||x|
n=m
n=0
e¸sitsizli˘
gine ula¸sırız. Ama lim tn = t ve dolayısıyla bir ε > 0 sayısı verildi˘ginde m ∈ N, (m ≥ 1) sayısını, her n ≥ m
¨
i¸cin |tn − t| < 2ε olacak ¸sekilde se¸celim. Oyleyse
|f (x) − t| ≤ |1 − x|
∞
ε X n
|tn − t||x| +
|x|
2 n=m
n=0
m−1
X
!
n
elde ettik. Amacımız, x → 1− iken limiti bulmak oldu˘gundan sadece (−1, 1) aralı˘gını g¨oz¨on¨
une alalım. Sa˘
gdaki
ikinci terimde geometrik seri toplam form¨
ul¨
un¨
u kullanırsak
∞
X
|x|n =
n=m
|x|m
1
<
1−x
1−x
elde ederiz. Ayrıca her x ∈ (−1, 1) ve her n ≥ 0, (n ∈ N) i¸cin |x|n ≤ 1 olur. Demek ki elimizde
!
m−1
m−1
X
X
ε
ε 1
|f (x) − t| < (1 − x)
|tn − t| +
= (1 − x)
|tn − t| +
2
1
−
x
2
n=0
n=0
var. S
¸ imdi δ =
ε
2
P
m−1
n=0
−1
|tn − t|
olsun. 1 − δ < x < 1 i¸cin 1 − x < δ olur ve
|f (x) − t| <
ε ε
+ =ε
2 2
¨
sa˘
glanır. Oyleyse
lim f (x) = t =
x→1−
∞
X
n=0
1
an
olur. Genel halde ise
f (x) = g(rx) =
∞
X
a n r n xn
n=0
yazarız. limx→r− g(x) = limx→1− g(rx) oldu˘
gu limit tanımı ile kolayca g¨osterilebilir (veya kitabımızdaki Limitler
i¸cin De˘
gi¸sken De˘
gi¸sikli˘
gi Teoreminden elde edilir).
Daha ¨
once kanıtladı˘
gımız ¨
ozel hal bize
lim− g(x) = lim− f (x) =
x→r
x→1
∞
X
n=0
verir.
2
an rn
Download

Abel in, Kuvvet serilerinin yakınsaklık aralığının uç noktalarındaki