Soru 1 (altoyun mükemmel denge):
I·ki ki¸si ortakl¬klar¬n¬ sona erdirmeye niyetleniyor. 1. oyuncunun ¸su anki
hissesi s 2 (0; 1), 2. oyuncununki ise (1 s) olarak veriliyor. Her iki oyuncu
için de ¸sirketin tümüne sahip olman¬n de¼
geri v 2 [0; 1] olsun. Önce 1. oyuncu
oynuyor; ¸sirket için bir …yat, p > 0, belirliyor. Bunu takiben 2. oyuncu 1.’nin
hissesini ps ödeyerek almak (bu stratejiye B diyelim) ve kendi hissesini 1. oyuncuya p(1 s) kar¸s¬l¬g¼¬nda satmak (S) seçeneklerinden birini tercih ediyor. I·lk
durumda oyuncular s¬ras¬yla ps ve v ps faydalar¬n¬ elde ederken ikinci durumda faydalar¬v p(1 s) ve p(1 s) oluyor. (Oyunun çizimi için ekteki ¸sekle
bakabilirsiniz).
1.oyuncunun altoyun mükemmel denge stratejisi nedir?
Çözüm:
Soru bize altoyun mükemmel dengeyi (AMD) sordu¼
gu için geriye do¼
gru
ç¬karsama yöntemini kullan¬yoruz. Yani son hamleyi yapacak olan 2. oyuncudan ba¸sl¬yoruz.
2. oyuncunun hisse sat¬n almay¬elindekini satmaya tercih etmesi için gereken
ko¸sul:
U2 (B) > U2 (S)
v ps > p(1 s)
v>p
Yani 2. oyuncu biçilen …yat ¸sirketin de¼
gerini a¸smad¬g¼¬sürece di¼
gerinin hissesini sat¬n almay¬ tercih edecek. (Bu arada e¸sitsizli¼
gin yönünü de¼
gi¸stirerek
2. oyuncunun elindeki hisseyi satmay¬ tercih etmesini sa¼
glayacak ko¸sulu bulaca¼
g¬m¬za dikkat edin; v 6 p)
S
¸imdi ilk oyuncuya dönelim ve 2. oyuncunun B seçmesinin hangi ko¸sulda
1.oyuncu için daha kârl¬oldu¼
gunu bulal¬m:
U1 (B) > U1 (S)
ps > v p(1 s)
p>v
Bu e¸sitsizli¼
ge göre 2. oyuncunun B seçmesi ancak biçilen …yat ¸sirketin
de¼
gerinin alt¬nda olmad¬g¼¬sürece 1. oyuncu için kârl¬olacak. (Yine ayn¬¸sekilde
e¸sitsizli¼
gin yönünü de¼
gi¸stirerek 2. oyuncunun S seçmesinin 1. oyuncu için kârl¬
olmas¬n¬sa¼
glayacak ko¸sulu buluruz; v > p).
Buldu¼
gumuz iki ko¸sulun kesi¸sti¼
gi tek bir yer var; o da p = v. Yani 1. oyuncu
hem 2. oyuncunun B seçmesini hem de bunun kendisi için makul olmas¬n¬
istiyorsa tek bir seçene¼
gi var; ¸sirketi tam de¼
geri miktar¬nca …yatlamak.
Ayn¬ ak¬l yürütmesini 2. oyuncunun S seçti¼
gi durum için yaparsak bulaca¼
g¬m¬z ko¸sullar¬n yönleri de¼
gi¸secek ama ikisinin beraber sa¼
gland¬g¼¬durum yine
ayn¬olacak; p = v. Dolay¬s¬yla 1. oyuncunun elinde yine tek bir seçenek olacak.
Böylece 1. oyuncunun AMD stratejisini bulmu¸s oluyoruz. s1 = v.
Bu stratejiye kar¸s¬l¬k olarak 2. oyuncu B ve S seçenekleri aras¬nda kay¬ts¬z
kalacak ve ne seçerse seçsin oyuncular¬n elde edecekleri faydalar s¬ras¬yla vs ve
v(1 s) olacak; yani oyuncular¬n ¸sirketin de¼
gerini hisseleri oran¬nda payla¸st¬g¼¬
adil bir durum.
1
Zaten ortakl¬k sona eriyor, en az¬ndan bu ki¸siler makul insanlarsa kimse
kaz¬k yememi¸s olacak.
Tüm oyunu bir kez daha sözel olarak ifade edersek:
Dü¸sük …yatlama durumunda 2. oyuncu elinde olmayan hisseyi ucuza kapatarak 1. oyuncu ra¼
gm¬na kâr elde edecek. Yüksek …yatlama durumundaysa
yine 2. oyuncu bu sefer elindekini satarak kârl¬ç¬kacak. 1. oyuncu zarardan tek
bir yolla kaç¬nabilir; ¸sirkete ederince …yat biçerek.
Soru 2 (eksik bilgi alt¬nda statik oyun):
I·ki hayvan (bunlara 1. ve 2. oyuncu diyelim) bir av¬ payla¸s¬rken sava¸sç¬
m¬yoksa bar¬¸sç¬m¬olacaklar¬na ayn¬anda karar veriyor. I·kisi de sava¸sç¬tav¬r
tak¬n¬rsa bir kavgaya tutu¸sacaklar ve bunun onlara maliyeti s¬ras¬yla c1 ve c2
olacak. I·kisi de ayn¬tavr¬tak¬n¬rsa av¬payla¸sacaklar ama farkl¬tav¬r tak¬n¬rlarsa
av¬n hepsini sava¸sç¬ olan alacak. Av¬n de¼
geri her ikisi için de 2 olsun. c1 = 2
herkes taraf¬ndan biliniyor ama c2 0 (2. hayvan güçlü) veya 2 (2. hayvan zay¬f)
olabilir. 2. oyuncu kendi maliyetini do¼
gal olarak biliyor, 1. oyuncu ise c2 ’nin
q 2 (0; 1) olas¬l¬g¼¬yla 2 oldu¼
guna inan¬yor.
Dolay¬s¬yla bu oyun a¸sa¼
g¬daki fayda matrisleriyle gösterilebilir:
S
B
S
B
S
1; 1 2; 0
S
1; 1 2; 0
B
0; 2
1; 1
B 0; 2 1; 1
Güçlü (1 q)
Zay¬f (q)
a) 2. oyuncunun her iki tipinin de ayn¬stratejiyi seçti¼
gi birle¸stirici Bayesyen
dengeleri bulun.
Çözüm: Öncelikle güçlü bir 2. oyuncu için sava¸sç¬olman¬n bar¬¸sç¬olmay¬
kesin olarak bask¬lad¬g¼¬na dikkat edin. Dolay¬s¬yla güçlü bir 2. oyuncu asla
B oynamaz ve 2. oyuncunun her iki tipinin de ayn¬ stratejiyi seçti¼
gi dengede
s2 (G) = s2 (Z) = S olmal¬, yani her iki tip te sava¸sç¬tav¬r tak¬nmal¬. 2. oyuncu
S seçerse tipi ne olursa olsun buna birinci oyuncunun tepkisi B oynamak olur
(çünkü 0 > 1).
S
¸imdi de tersten bakal¬m. 1. oyuncu B seçerse 2. oyuncunun her iki tipinin
de en iyi tepkisi S oynamak oluyor (çünkü 2 > 1). O halde en iyi tepkiler kesi¸siyor ve 1. oyuncunun inanc¬na (q) dair bir ko¸sula ihtiyaç duymaks¬z¬n dengeyi
bulmu¸s oluyoruz. Ama soru bize Bayesyen dengeyi soruyor ve bu dengeyi tan¬mlarken inanc¬ da belirtmek gerekir. O halde bu soruda oyuncular¬n stratejileri
ayn¬ kalsa da tüm farkl¬ q 2 (0; 1) de¼
gerleri için farkl¬ bir Bayesyen dengeye
ula¸sm¬¸s oluyoruz. Yani sonsuz say¬da denge var.
s1 = B, s2 (G) = s2 (Z) = S, q 2 (0; 1)
b) I·ki tipin birbirinden farkl¬ stratejiler oynad¬g¼¬ ayr¬¸st¬r¬c¬ Bayesyen dengeleri bulun.
Çözüm: Güçlü tip için S bask¬n strateji; ayr¬¸st¬r¬c¬dengede iki tip sadece
¸söyle oynayabilir: s2 (G) = S, s2 (Z) = B; güçlü tip sava¸sç¬yken zay¬f tip bar¬¸sç¬
2
olacak. Zay¬f bir 2. oyuncunun en iyi tepkisinin B olmas¬için 1. oyuncunun S
oynamas¬gerekiyor.
S
¸imdi de 1. oyuncu taraf¬ndan bakal¬m. Güçlü tipin S, zay¬f¬n B oynamas¬na
kar¬¸s¬l¬k 1. oyuncunun en iyi tepkisinin S olmas¬n¬istiyoruz.
U1 (SjSB) > U1 (BjSB)
Bu sefer iki tip farkl¬ oynad¬g¼¬ndan 1. oyuncu elde edece¼
gi fayday¬ tam
bilmiyor ve q inanc¬na ba¼
gl¬olarak beklenen faydalar¬hesapl¬yor.
Örnek olarak EU1 (SjSB) de¼
gerini yani 1. oyuncunun S oynamaktan beklenen faydas¬n¬bulal¬m: S oynayan 1. oyuncu q olas¬l¬kla zay¬f bir 2. oyuncuyla
kar¸s¬la¸sacak ve zay¬f tipin B oynamas¬ verili oldu¼
guna göre sa¼
g matriste sa¼
güst kutucuktaki fayday¬, yani 2, alacak. Öte yandan 1 q olas¬l¬kla güçlü bir
2. oyuncuyla kar¸s¬la¸sacak ve güçlünün S oynamas¬ verili oldu¼
gundan sol matriste sol-üst kutucuktaki fayday¬, yani 1, alacak. Buna göre beklenen fayda
2q + ( 1)(1 q) olur. EU1 (BjSB) de¼
gerinin nas¬l hesapland¬g¼¬n¬buradan ç¬karmak pek zor olmasa gerek.
Kald¬g¼¬m¬z yerden beklenen faydalar¬kullanarak devam ediyoruz.
U1 (SjSB) > U1 (BjSB)
2q + ( 1)(1 q) > 1q
2q > 1
q > 1=2
1. oyuncu en az 1=2 olas¬l¬kla kar¸s¬s¬nda zay¬f bir tip oldu¼
guna inan¬yorsa
SB stratejisine S ile kar¸s¬l¬k verir.
Tekrardan zarar gelmez, söyleyelim: dengenin olu¸smas¬için en iyi tepkilerin
kesi¸smesi gerekiyor. Burada 1. oyuncunun S oynamas¬na 2.’nin en iyi tepkisi
güçlüyse S, zay¬fsa B oynamak. Buna mukabil 2. oyuncunun SB stratejisine 1.
oyuncunun en iyi tepkisi ise q > 1=2 oldu¼
gu sürece S oynamak. Yani q > 1=2
ko¸sulu sa¼
glan¬rsa en iyi tepkiler kesi¸siyor. Ama bu tek bir Bayesyen denge
anlam¬na gelmiyor, çünkü önceki ¸s¬kta da söyledi¼
gim gibi Bayesyen dengeyi
tan¬mlarken inanc¬ da belirtmemiz gerekiyor ve bu ¸s¬kta [1=2; 1) aral¬g¼¬ndaki
sonsuz say¬daki q de¼
geri için stratejiler ayn¬kalsa bile sonsuz say¬da Bayesyen
denge var.
s1 = S, s2 (G) = S, s2 (Z) = B, q 2 [1=2; 1)
3
Download

Soru 1 (altoyun mükemmel denge): ˙Iki kisi ortaklıklarınısona